บทที่ 1. เซต 58 7-4-16 · 1. กลมของนุ่...

เนอหาสาระการเรยนรตามหลกสตรขนพนฐาน พทธศกราช 2544 1. เซต 2. เอกภพสมพทธ 3. สบเซตและเพาเวอรเซต 4. ยเนยน อนเตอรเซกชนและคอมพลเมนตของเซต

“ เอกสารชดน P 1 ไดจดทาขนเพอใหนองๆสามารถเรยนร และ พฒนาตนเอง นาความรทางคณตศาสตรไปพฒนาชวต และ เปนเครองมอในการเรยนรคณตศาสตรตลอดจนศาสตรอนๆ ในระดบทสงขนไป ในสวนของการนาไปจดการเรยนการสอนผสอนสามารถปรบลดหรอเพมเนอหาสาระ ตลอดจนความลกซงไดตามความเหมาะสมของนกเรยนแตละคน เพอสนองตอความตองการของนกเรยน ทมความสามารถทางคณตศาสตรทแตกตางกน ” ขอความสาเรจจงเปนของนองๆพทตงใจเรยน

P 1

คณตศาสตร มคณตศาสตร ม..4 4 พนฐาน พนฐาน เทอม เทอม 11 บทท บทท 11.. เซตเซต

<< SSEETT >>

Concept การสอนของพหนงเปนอยางไรบาง

1. ใหความสาคญกบนร.พนฐานออน – ปานกลาง เปนหลก ( นร.พนฐานดอาจรสกวาสอนชา ) 2. มระบบการบานทสอดคลองกบทกหวขอยอย ( เปนตวเตอรหวโบราณยงเนนการบาน ) 3. ใชภาษาพดทว ไๆปในการอธบายทฤษฎตางๆ ( เนนความเขาใจ ไมใชภาษานกคณตศาสตร ) 4. ไมใชเทพ !! เปนตวเตอรธรรมดา

( จาไววาความสาเรจในการเรยนขนอยกบความตงใจเรยน มากกวาตวตวเตอร )

““ จดเดนกจดเดนการตวแบบารตวแบบอนทาเนยสไตลอนทาเนยสไตล BByy PP’’11 ””

สอนละเอยด +++

ตรงตามหลกสตรกระทรวงฯ

เวอรชนลาสด ครบทกบท

และ ทกหวขอยอย

มทนทเดยว !! !

คลปเฉลยโจทยตงแตยคสมย Ent , A-NET , PAT 1 และ 7 วชาสามญ

มากกวา 2,000 ขอ จดเปนระบบทงแยกตามบทเรยน และ แยกตามป พ.ศ.

ขออภยเนนการบาน !!! วธสอนของพหนงอาจโบราณ ทยงเนนการบาน และ แบบฝกหด

อยางเปนระบบ นะครบ

มรายงานการเขาเรยน >_<<

ผปกครองหรอนร.สามารถตรวจสอบ เวลาเรยนในทกๆครง ซงจะมรายงาน แจงรายละเอยดอยางครบถวน

แบบวา... โปรงใส ตรวจสอบได

““ ตวเลขตวเลข ออนไลน ออนไลน

สไตล สไตล IInnttaanniiaa ”” *Intania < อนทาเนย > เปนชอเรยกของนสตคณะวศวกรรมศาสตร จาก จฬาลงกรณมหาวทยาลย

ทมา : th.wikipedia.org

WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 1

บทท บทท 11.. เซตเซต


1. เซต เปนอนยามใชแทนกลมของอะไรกไดทสามารถชเฉพาะเจาะจงได เชน

เซตของจงหวดในประเทศไทย เซตของดาราสาวสวย เซตของวนใน 1 สปดาห เซตของผลไมอรอย เซตของพยญชนะในภาษาไทย เซตของนกเรยนทเรยนเกง

ตวแปรทตองทราบในเรองเซต

จานวนเชงซอน ( Complex Number , C )

จานวนจนตภาพ ( Imaginary Number ) จานวนจรง ( Real Number , R )

จานวนตรรกยะ ( Q ) จานวนอตรรกยะ ( Q )

จานวนเตม ( Integer , I ) จานวนตรรกยะทไมใชจานวนเตม ( I )

จานวนเตมบวก ( I+ ) , จานวนนบ ( N ) จานวนเตมศนย ( I0 ) จานวนเตมลบ ( I– )


จานวนตรรกยะ ( Rational number )

……………….…………………………………………………………………………………………………………………….

จานวนอตรรกยะ ( Irrational number ) ………………………………………………………………………………………………………………………………………

จานวนตรรกยะ ( Rational number )

คอ จานวนทสามารถเขยนอยในรป ba

โดยท a , b I และ b 0 ( หรอกคอ “เศษสวนของจานวนเตม” นนเอง )

จานวนอตรรกยะ ( Irrational number )

คอ จานวนทไมสามารถเขยนอยในรป ba

โดยท a , b I และ b 0

เชน รททไมลงตว ( 2 , – 3 , 3 4 ) , = 3.14159… , e = 2.7183… , log2 = 0.3010

ทศนยมไมรจบแบบซา


1. เขยน แบบแจกแจงสมาชก ( Roster Method ) เชน

A = { 1 , 2 , 3 , 4 } …………………………

B = { 1, {1} , {1,2} } …………………………

C = { 1, 2 , 2 , 3 , 3 } ………………………….

D = { { ก, ข , ค ,จ ,ฉ } } …………………………..

E = { {1} , 1 , {{{1}}} , { 1,{1} } } ……………………………

F = { { 0,1 } , { 0 } , { 1,0 } , 0 , {1} } ……………………………

G = { { {0},0 } , { 0,{0},{{0}} } , {0} , { 0,{0} } } …………………………….

2. เขยน แบบบอกเงอนไข ( Set selector method ) เชน

A = { x x I และ – 5 x 4 } = ……………………………………………………..

B = { y y I– และ y2 = 4 } = ………………………………………………………

C = { m m I+ และ m2–3m+2 = 0 } = ………………………………………………………

D = { n n Q และ – 4+3n = 8 } = ……………………………………………….………

การเขยนสญลกษณแทนเซต ( Notation )


E = { x x เปนจานวนเตมบวกทอยระหวาง 10 และ 20 } = …………………………………………….

F = { ก ก เปนจานวนเตมทอยระหวาง 0 กบ 1 } = …………………………………………….

G = { ส ส N และ ส เปนตวหารรวมของ 30 และ 45 } = ……………………………………………

H = { x x I และ 2x = – x } = ……………………………………………………….

I = { x x N และ x 50 และ x N } = ……………………………………………………….


J = { x x I และ x 2x } = ……………………………………………………….

K = { x x I และ x x+1 } = ……………………………………………………….

M = { x x R และ x x+1 } = ……………………………………………………….

สงทควรร 1. n(A) ใชแทน จานวนสมาชกของเซต A นะ

2. เซตวาง คอ เซตทไมมสมาชกเลย ใชสญลกษณ หรอ { }


Ex1. จงเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

A1 = { x I + –3 x 4 } A2 = { x I – 4x2 + 6x = 0 }

A3 = { x I – x2+ 5x = 6 } A4 = { x N 2x2 + x = 1 }

A5 = { x R 9 – 4x2 = 0 } A6 = { x R x2 +1 = 0 }

A7 = { x x = 2n+1 และ n เปนจานวนนบ } A8 = { x x = 3 – 5n และ n I – }


Ex2. จงเขยนเซตตอไปนแบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซต 1. { 1 , 3 , 5 , 7, 9 } 2. { 0 , 2 , 4 , ….. , 100 } 3. { –1 , –3 , –5 , … , –99 } 4. { 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 } 5. { 0 , 1 , 8 , 27 , 64 , 125 } 6. { 0 , 5 , –5 , 10 , –10 , …. , 100 , –100 }

7. { 1 , 21

,31

,41

, …. , 100

1 } 8. {

21

,32

,43

, …. , 101100

}

9. { ก , จ , ด , ต , ฎ , ฏ , บ , ป , อ } 10. { a , e, i ,o , u }


Ex3. กาหนด A = { x x เปนจานวนเฉพาะ และ x2 – x – 2 = 0 } เขยนเซต A แบบแจกแจงสมาชกไดดงขอใด 1. { 2 } 2. { 1,2 } 3. { –1,2 } 4. { –1,–2 } Ex4. กาหนด A = { 1 , 3 , 5 , …. } เขยนเซต A แบบบอกเงอนไขของสมาชกไดดงขอใด 1. { x x เปนจานวนเตมค } 2. { x x เปนจานวนเตม และ x = 2k – 1 } 3. { x x เปนจานวนเตม และ x = 2k – 1 , k เปนจานวนนบ } 4. { x x เปนจานวนเตม และ x = 2k – 1 , k เปนจานวนเตม } Ex5. กาหนดให A = { –1 , 1 } ตรงกบเซตใด

1. { xx เปนจานวนนบ และ –1 x 1 } 2. { xx เปนจานวนเตม และ x3 – x2 = x –1 }

3. { xx เปนจานวนเตม และ x3 – 2x2 = x –2 } 4. ไมมขอใดถก


Ex6. จงหา n(A) เมอกาหนด A ซงเปนเซตจากดในแตละขอตอไปน 1. A = เซตของพยญชนะในคาวา “ THAILAND “ 2. A = เซตของสระในคาวา ” EXAMINATION “

3. A = { x I 2 x 10 } 4. A = { x R x = x }

5. A = { x R x + 5 = 4 + x } 6. A = { x x = }

7. A = { x x { 1,3 } } 8. A = { x จานวนเฉพาะบวก x 25 }


Note.


1. กลมสงของทกลาวในขอตอไปนถอวาเปนเซตหรอไม ( ตอบ 1 , 2 , 3 , 4 ) 1. กลมของนกเรยนทมอายเกน 16 ป 2. กลมของนกเรยนทอยในหองเรยนนซงสง 150 เซนตเมตร 3. กลมของจานวนเตมทหาร 100 ลงตว 4. กลมของจานวนจรงทมคาตงแต 1 ถง 10 5. กลมของคนรวยในประเทศไทย

2. ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 3 ) 1. เซตจานวนทสอดคลองกบสมการ 3x2–x–2 = 0 คอ { 1 } 2. เซตจานวนตงแต 3 ถง 6 คอ { 3 , 4 , 5 , 6 }

3. { x x2 – 3x = 0 } คอ { 0 , 3 } 4. มขอถกมากกวา 1 ขอ 3. ถา A = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } จะเขยน A แบบบอกเงอนไขของสมาชกไดดงขอใด ( ตอบ 2 )

1. { x x = 2n , n I และ n 10 } 2. { x x เปนจานวนเตมคทเปนบวก และ 3x 32 }

3. { x x = 2n และ 1 n 10 } 4. { x x เปนจานวนเตมคทเปนบวก และ 3x 30 } 4. ให A = { 1, 3, 5, 7, 9,11 } เขยน A ออกแบบเงอนไขของสมาชกในเซตไดดงขอใด ( ตอบ 1 )

1. { x x = 2n+1, n I และ 0 n 5 } 2. { x x = –2n + 1, n I และ 0 n 5 }

3. { x x = 2n–1, n I และ 1 n 5 } 4. { x x = –2n – 1, n I และ –1 n –6 } 5. ให A = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } เมอเขยนเซต A แบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซตแลว ขอใดไมใชเซต A ( ตอบ 3 )

1. { x x I และ 3 x 9 } 2. { x x I + และ 2 x 10 }

3. { x x = n+1 เมอ nI และ 2 n 7 } 4. { x x = n – 3 เมอ n I + และ 6 n 12 } 6. เซตในขอใดตอไปนเปนเซตวาง ( ตอบ A , E , G , H , I , L , M , N )

A = { x I 0 x 1 } B = { x x = }

C = { } D = { { } }

E = { x I x เปนเลขค และ 4 x 6 } F = { x จานวนเฉพาะ 10 x 14 }

G = { x จานวนเฉพาะ 8 x 10 } H = { x R x2+x+1 = 0 }

I = { x Q x2+x–1 = 0 } J = { x I x+x = x2 }

K = { x I x + x = x – x } L = { x R x เปนจานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ }

M = { x I x I+ และ x I– } N = { x x เปนอกษรสงในคาวา “พจนานกรม” }

การบานชดท 1.


7. จงเขยนเซตแตละขอตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

(1) เซตของจานวนเฉพาะบวกทเปนจานวนค = ………………………………………………………..

(2) เซตของจานวนเตมทมคาระหวาง –2 และ 3 = …………………………………………………………

(3) เซตของจานวนเตมบวกทเปนจานวนค = …………………………………………………………

(4) เซตของจานวนเตมลบทเปนจานวนค = …………………………………………………………

(5) เซตของจานวนเตมทหารดวย 3 ลงตว = …………………………………………………………

(6) เซตของจานวนเตมทหารดวย 2 และ 3 ลงตว = …………………………………………………………

(7) เซตของจานวนนบทหารดวย 2 หรอ 3 ลงตวและไมเกน 20 = ………………………………………………

(8) เซตของคนทมสามหว = ………………………………………………………….

(9) เซตของจงหวดทตดกรงเทพ = …………………………………………………………..

(10) { x x R และ 2x2–5x–3 = 0 } = ………………………………………………………

(11) { x x Q และ x2–x–1 = 0 } = ………………………………………………………

(12) { x x Q และ x2–x+1 = 0 } = ………………………………………………………

(13) { y y Q และ 4y2+5y–6 = 0 } = ……………………………………………….………

(14) { y y I และ 9–3y–2y2 = 0 } = ……………………………………………….………

(15) { y y Q และ y3+2y2–9y–18 = 0 } = ……………………………………………….………

(16) เซตของพยญชนะในคาวา “ NISIT TUTOR ” = …………………………………………………………

(17) เซตของสระในคาวา “ NISIT TUTOR ” = …………………………………………………………

(18) เซตของพยญชนะในคาวา “ นสต ตวเตอร ” = …………………………………………………………


เฉลยขอ 7. (1) { 2 } (2) { –1,0,1,2 } (3) { 1,3,5,7,… } (4) { –2,–4,–6,… }

(5) { 0,3, 6, 9,… } (6) { 0, 6, 12, 18,… } (7) { 2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20 } (8) { } (9) { นนทบร,นครปฐม,ปทมธาน,สมทรสาคร,สมทรปราการ }

(10) { 21

,3 } (11) { 2

51,

251

} (12) { }

(13) { 43

,–2 } (14) { –3 } (15) { –3,–2,3 } (16) { N,S,T,R }

(17) { I,O,U } (18) { น,ส,ต,ว,อ,ร } 8. จงเขยนเซตตอไปนแบบบอกเงอนไข

(1) { 8 , 16 , 24 , 32 , 40 , ……. } = ………………………………………………………..

(2) { 8 , 16 , 24 , 32 , 40 } = ………………………………………………………..

(3) { มกราคม , กมภาพนธ ,….. , ธนวาคม } = ………………………………………………………..

(4) { } = ………………………………………………………..

(5) { 1 , 2 , 6 } = ………………………………………………………..

(6) { 32

,94

,278

,8116

,….. } = ………………………………………………………..

(7) { 2 , 2 , 2 2 , 4 , 4 2 , 8 ,.... } = ………………………………………………………..

(8) { –1 , 2 , 5 , 8 , 11 , 14 } = ……………………………………………………….. (9) { 1 , 3 , 7 , 15 , … } = ………………………………………………………..

(10) { 3 , 12 , 27 , 48 , … } = ………………………………………………………….

(11) { 12 , 23 , 34 , 45 , … } = ……………………………………………………………..

(12) { 1,161

,91

,41

, ……} = ……………………………………………………………..

(13) { 31

,61

,31

,125

,157

} = ……………………………………………………………..

เฉลยขอ 8. ( คาตอบอาจมมากกวา 1 แบบ เอาใหพ Tutor ทละคน ใครไดคาตอบเหมอนเพอนแปลวาลอกกน ( ไมดนะครบ ) )


Ex1. เซตตอไปนมเซตใดบางทเทากน (1) A = { x x แทนพยญชนะในคาวา “ กรรมกร ” } B = { x x แทนพยญชนะในคาวา “ มรรคา ” } C = { x x แทนพยญชนะในคาวา “ มกราคม “ } D = { x x แทนพยญชนะในคาวา “ รายมาก “ } E = { x x แทนพยญชนะในคาวา “ รากไม “ }

(2) A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } B = { 5 , 4 , 3 , 2 , 1 }

(3) A = { 7 , 14 , 21 , …. , 343 } B = { x x = 7n และ n เปนจานวนนบทมคานอยกวา 50 }

(4) A = { x x = 1–n1

และ n เปนจานวนนบ }

B = { 0 ,21

, 32

,43

,54

, .... }

(5) A = { x x เปนจานวนเตมคทนอยกวา 10 } B = { 2,4,6,8 } (6) A = { x x เปนจานวนเตม และ x2 = 36 } B = { 6 }

เซตทเทากน ( equal sets or identical sets )

A = B กตอเมอ (1) จานวนสมาชกเทากน (2) สมาชกตองเปนตวเดยวกน A เทยบเทากบ B กตอเมอ (1) จานวนสมาชกเทากน (2) แตไมจาเปนตองเหมอนกน


Ex1. กาหนดให A เปนเซตของจานวนเตมลบ และมคามากกวา –10

................................................................................................ จะไดวา U คอ .................

Ex2. กาหนดให B เปนเซตพยญชนะไทยทเปนอกษรกลาง

.................................................................................................. จะไดวา U คอ .................

Ex3. กาหนดให C = { x I – x2+ 2x = 3 } จะไดวา U คอ .................

Ex4. กาหนดให D = { x I x2+ 2x = 3 } จะไดวา U คอ .................

Ex5. กาหนดให E = { x N x2+ 2x = 3 } จะไดวา U คอ .................

เอกภพสมพทธ ( Relative Universe )

คอ เซตทกาหนดขน โดยมขอตกลงวา ตอไปนจะกลาวถงแตสมาชกของเซตนเทานน ใชสญลกษณ U หรอ จางายวา เอกภพสมพทธ คอ “ ขอบเขตของตวแปรนนเอง “


Ex6. กาหนดให F = { x x2+ 2x = 3 } จะไดวา U คอ ................. Ex7. กาหนดให G = { x 25 – 4x2 = 0 } จะไดวา U คอ .................

JUM !! ถาโจทยเปนเรองเกยวกบตวเลข และไมกาหนดเอกภพสมพทธ ( U ) มาใหตองถอวาเอกภพสมพทธ เปนจานวนจรง ( R ) เสมอ


Ex1. ขอใดเปนเซตจากด / เซตอนนต

1. A = { x –3 x 2 } ………………………………………………………………

2. B = { x x I และ –1 x 5 } ……………………………………………………………… 3. C = { {1,2,3,…} } ………………………………………………………………

4. D = { x x –3 และ x 2 } ………………………………………………………………

5. E = { x x เปนจานวนเตมบวก และ x 5 } ………………………………………………………………

6. F = { x x เปนจานวนเตมบวก และ x 5 } ………………………………………………………………

7. G = { x x เปนจานวนเตมลบ และ x 0 } ……………………………………………………………… 8. H = { 1,2,{ 3,4,5,…} } ……………………………………………………………… 9. I = { { {1}, {2}, {3},… } } ……………………………………………………………… 10. J = { {1,2,3,…},{0}, { –1,–2 ,–3, …} } ………………………………………………………………

เซตจากด และ เซตอนนต ( Finite and Infinite Set ) 1. เซตจากด คอ เซตทสามารถบอกจานวนสมาชกทแตกตางกนในเซตนนได 2. เซตอนนต คอ เซตทไมสามารถบอกจานวนสมาชกได


11. K = { x x เปนจดบนเสนตรงทยาว 1 นว } ………………………………………………………………

12. L = { x x I และ x2 = 2 } ………………………………………………………………

13. M = { x –1 x 0 } ………………………………………………………………

14. N = { x x = 3n และ 1 n 5 } ………………………………………………………………

15. O = { x R x2 = 1 } ………………………………………………………………

16. P = { x I x2 1 } ………………………………………………………………

17. Q = { x I 1 x 5 } ………………………………………………………………


18. R = { x R 1 x 5 } ………………………………………………………………

19. S = { x Q 1 x 5 } ………………………………………………………………

20. T = { x I+ x 50 } ………………………………………………………………

21. U = { x I– x –10 } ………………………………………………………………

22. V = { x I+ –10 x 0 } ………………………………………………………………

23. W = { x I– 2 x 4 } ………………………………………………………………

24. X = { } ………………………………………………………………


Note.


Ex1. กาหนดให A = { , a , {a} , b , { a,b } , { a,{b} } , { a,b,c } } จงเตมสญลกษณ “ ” หรอ “ ” ใหถกตอง

1. …….. A 2. a …….. A 3. b …….. A 4. c …….. A 5. { a } …….. A 6. { b } …….. A 7. { c } …….. A 8. { b,a } …….. A 9. { a,{b} } …….. A

10. { a,b,b,c } …….. A 11. { } …….. A 12. { } …….. A

Ex2. ถา A = { , 1 , {1} , {1,2} } ขอใดถก / ผด

1. n(A) = 4 2. A 3. 1 A

4. { 1 } A 5. 2 A 6. { 1,2 } A

Ex3. ถา A = { , { } , 1 , {2} , {1,2} } ขอใดถก / ผด

1. n(A) = 5 2. { } A 3. {1} A

4. {{2}} A 5. {1,2} A 6. A Ex4. กาหนดให A เปนเซตใดๆ ขอใดตอไปนไมถกตอง

1. 0 2. 3. A 4. { }

Ex5. กาหนดให A = { x I – x 10 } ขอใดตอไปนถกตอง 1. { –1 } A 2. – 5 A 3. 10 A 4. –11 A

การบอกการเปนสมาชกของเซต

1. เราใชสญลกษณ แทนการเปนสมาชก

2. เราใชสญลกษณ แทนการไมเปนสมาชก

ทองเอาไวเลยนะครบนองๆวา ...

เปนสมาชก “ ดทงกอน ”


3. สบเซต ( Subsets )

เราใชสญลกษณ A B แทนความหมายวา A เปนสบเซตของ B และเราใช แทนคาวา “ ไมเปนสบเซต ”

A B กตอเมอ “ ทกๆสมาชกของ A ตางกเปนสมาชกของ B ”

สงทควรร A เปน สบเซตแท ของ B คอ A B และ B A A B

A เปน สบเซตไมแท ของ B คอ A B และ B A A = B

หรอจางายๆ เลยนะครบนองๆ วา …………………………………………………………………………..

Ex1. กาหนดให A = { 1 , 2 , {1} , {2} , { 1,2,3 } } จงพจารณาดวาขอใดตอไปนถกหรอผด

1. A 6. { 1,2,3 } A

2. A 7. { {1},{2} } A

3. { 1,2 } A 8. { { 1,2 } } A

4. { 1,2 } A 9. { {1} } A

5. { 1,2,3 } A 10. { x x A } A

สงทควรร 1. A 4. ถา A B และ B C แลว A C

2. A A 5. ถา n(A) = m จานวนสบเซตทงหมดของ A ม 2m สบเซต

3. A U

ทองเอาไวเลยนะครบนองๆวา ...

เปนสบเซต “ ดขางใน ”


Ex2. กาหนดให A = { , { } ,1 , 2 , 3 , { 1,2 } , { 1,3 } , { 2,3 } , { 1,2,3 } } จงพจารณาดวาขอใดตอไปนถกหรอผด

1. A 6. { { 1,2 } } A

2. A 7. { 1,2,3 } A

3. { } A 8. { 1,2,3 } A

4. { } A 9. { { 1,2,3 } } A

5. { 1,2 } A 10. { { 1 } } A

Ex3. ให A = { , { },1 , {1} , 2 , {2} , {1,2} , {1,2,3} , {2,{1}} , { { },{1,2} } , { , { 1,{1} } } } ขอใดตอไปนถก / ผด

1. { {1,2} } A 2. { {2,1} } A 3. { { } } A

4. { 1,{2},{1,2} } A 5. { 1,{2} } A 6. { 1,2,3 } A

7. { 1,2,3 } A 8. A A 9. { {1},2,{1,2} } A

10. { 1,{1} } A 11. { ,{ 1,2 } } A 12. { ,{1,2 } } A

13. { { {1},2 } , ,{{ }} } A 14. { { } , { 1,{1} } } A Ex4. ขอใดถก / ผด

1. 2. { } 3. { } { }

4. 5. { } 6. { ,{ } }

7. { } { } 8. { } {{ }} 9. { } { ,{ } }

10. { } { ,{ }} 11. { ,{ } }


Ex5. กาหนดให A = { xx เปนจานวนเตม และ x2 –2x – 3 = 0 } ขอใดเปนสบเซตของ A

1. { x N 2x2 –7x+3 = 0 } 2. { x Q 2x2 –7x+3 = 0 }

3. { x R 2x2 –7x+3 = 0 } 4. ไมมขอใดถก Ex6. กาหนดให A = { {1},{2},{3} } ขอใดเปนสบเซตของ A 1. { 1,2,3 } 2. { {1}, {2} } 3. { {1,2,3} } 4. ไมมขอใดถก

Ex7. กาหนดให A = { x x = 5n และ n เปนจานวนเตม } A เปนสบเซตของขอใด

1. { x x = 2n และ n เปนจานวนเตม} 2. { x x = 2n – 1 และ n เปนจานวนเตม }

3. { x x เปนจานวนเตม และ –5 x 5 } 4. ไมมขอใดถก


Ex8. ขอใดไมถกตอง

1. ถา A = { 1,2 } แลว A เปนสบเซตแทของ I

2. ถา A เปนเซตใดๆ แลว { } จะเปนสบเซตของ A 3. ถา A = { 1,1,2 } และ B = { 1,2,2 } แลว A เปนสบเซตของ B 4. ถา A = { a,b,c } และ B เปนเซตของตวอกษรภาษาองกฤษ แลว A เปนสบเซตแทของ B Ex9. กาหนด A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4 } เซตทเปนสบเซตของ A แตไมเปนสบเซตของ B คอเซตใด

1. { 1 , 2 } 2. { 2 , 3 } 3. { 2 } 4. Ex10. กาหนด A = { a , b , c } และ B = { 1 , 2 , 3 } ขอใดตอไปนถกตอง 1. A = B 2. A เทยบเทากบ B 3. A เปนสบเซตของ B 4. B เปนสบเซตของ A


Ex11. จงเขยนสบเซตทงหมดของ A เมอ

1. A = { 1 } n(A) = ……………. ดงนน สบเซตทงหมดของ A ม ............................. สบเซต

คอ …………………………………………………………………………………………………………………………

2. A = { 1,2 } n(A) = ……………. ดงนน สบเซตทงหมดของ A ม ............................. สบเซต

คอ …………………………………………………………………………………………………………………………

3. A = { 1,2,3 } n(A) = ……………. ดงนน สบเซตทงหมดของ A ม ............................. สบเซต

คอ …………………………………………………………………………………………………………………………

4. A = { 1,{1} } n(A) = ……………. ดงนน สบเซตทงหมดของ A ม ............................. สบเซต

คอ …………………………………………………………………………………………………………………………

5. A = { ,{ } } n(A) = ……………. ดงนน สบเซตทงหมดของ A ม ............................. สบเซต

คอ …………………………………………………………………………………………………………………………

6. A = { ,1,{1} } n(A) = ……………. ดงนน สบเซตทงหมดของ A ม ............................. สบเซต

คอ …………………………………………………………………………………………………………………………

7. A = n(A) = ……………. ดงนน สบเซตทงหมดของ A ม ............................. สบเซต

คอ …………………………………………………………………………………………………………………………


Note.


บทแทรก

rn C คอ จานวนวธในการเลอกของ n สง ( ทแตกตางกน ) มาจบกลมกนคราวละ r สง

สมการ ของ rn C =

)!rn(!r!n


Ex1. กาหนดให A = { a , b , c ,d , e , f } จงหา 1. จานวนสบเซตทงหมดของ A 2. จานวนสบเซตแทของ A ทมสมาชก 2 ตว 3. จานวนสบเซตแทของ A ทมสมาชก 3 ตว 4. จานวนสบเซตแทของ A ทมสมาชกอยางมาก 2 ตว 5. จานวนสบเซตของ A ทมสมาชกอยางนอย 3 ตว 6. สบเซตของ A ทมสมาชกอยางนอย 2 ตว


Note.


1. ขอใดตอไปนขอใดถกตอง ( ตอบ 4 ) 2. เซตของจานวนพลเมองในโลกในขณะนเปนเซตอนนต 2. เซตของจานวนเตมคทม 7 เปนหลกรอย เปนเซตจากด

3. { x 2x = – x } เปนเซตจากด 4. เซตของจานวนจรงทหารดวยศนยลงตวเปนเซตจากด

2. ขอใดตอไปนเปนเซตจากด ( ตอบ 2 )

1. { xx เปนจดบนเสนตรงทยาว 1 นว } 2. { xx I และ x2 = 2 }

3. { x–1 x 0 } 4. { xx = 3n และ 1 n 5 }

3. กาหนดให A = { 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 } เขยนเซต A แบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซตไดตรงกบขอใด ( ตอบ 4 )

1. { x x = y2 และ 1 y 6 } 2. { xx = y2 , –6 y 6 และ y 0 }

3. { xx = y2 , y I และ –7 y 7 } 4. { xx = y2 , y I และ 0 y 7 } 4. ถา A = { 2,4,6,8,10 } จะเขยน A แบบบอกเงอนไขของสมาชกไดดงขอใด ( ตอบ 2 )

1. { xx = 2n , n I และ n 10 } 2. { xx เปนจานวนเตมคทเปนบวก และ 3x 32 }

3. { xx = 2n , และ 1 n 10 } 4. { xx เปนจานวนเตมคทเปนบวก และ 3x 30 }

5. จงพจารณา (1) A = { xx2 = 9 และ 2x = 4 }

(2) B = { xx R และ x x }

(3) C = { xx R และ x2 + 4 = 0 }

(4) D = { x x R และ x x }

(5) E = { x x เปนจานวนบวกและจานวนลบ } ขอใดเปนเซตวาง ( ตอบ 3 ) 1. ขอ (1) 2. ขอ (1) และ ขอ (2) 3. ทกขอยกเวนขอ (4) 4. จาก 1 – 3 ไมมขอถก 6. ให A เปนเซตของจานวนนบ , B เปนเซตของวงกลมทมจดศนยกลางอยทจด ( 0,0 )

C เปนเซตของสามเหลยม PQR ซงม PQ เปนฐานทคงท D เปนเซตของประชากรทไดรบชมการแขงขนฟตบอลโลกทประเทศแอฟรกาใต

ขอใดทจดเปนเซตจากด ( ตอบ 4 ) 1. A 2. B 3. C 4. D



7. ขอใดตอไปนเปนเทจ ( ตอบ 4 ) 1. เซตของคนทไดไปดคอนเสรตพบ เดอะสตาร ทอมแพคอารนา เปนเซตจากด 2. เซตของจานวนเตมทสอดคลองกบสมการ 2x2 – 1 = 0 เปนเซตวาง 3. เซตของจานวนเตมทนอยกวา 10 เปนเซตอนนต 4. เซตของจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ x + x = x2 เปนเซตอนนต 8. ขอใดตอไปนเปนจรง ( ตอบ 3 )

1. { x5 x 9 } = { 6 , 7 , 8 , 9 }

2. { x0 x 8 } { 1 , 2 , 3 , … 9 }

3. { xx = 7n และ n N , n 50 } = { 7 , 14 , 21 ,…. , 343 } 4. คาตอบขางตนมถกตองมากกวา 1 ขอ 9. กาหนดให A = { –2 , 0 , 2 , 4 ,…. , 100 } จะเขยนเซตแบบบอกเงอนไขดงขอใด ( ตอบ 4 )

(1) { xx = 2( n–1 ) , n I และ 0 n 50 }

(2) { xx = 2n และ –1 n 50 } 1. เขยนตามขอ (1) 2. เขยนตามขอ (2) 3. เขยนตามไดทงสองขอ 4. เขยนผดทงสองขอ 10. จงพจารณาขอความใดไมถกตอง ( ตอบ 2 )

1. ถา A = { , {} } แลวสมาชกทกตวของเซต A เปนสบเซตของเซต A เสมอ

2. { xx2 + x = 0 } = { –1 } 3. ถา N เปนเซตของจานวนเตมบวกแลว { –1 , 0 , N } เปนเซตจากด

4. { xRx + 2 = 2+x เปนเซตอนนต } 11. ขอใดตอไปนเปนจรง ( ตอบ 3 )

1. { 6 , 7 , 8 , 9 } = { x5 x 9 } 2. { xx เปนจานวนคทนอยกวา 10 } = { 2 , 4 , 6 , 8 }

3.

,......

87

,65

,43

,21

= { xx = n2

1n2 และ n I+ } 4. มถกมากกวา 1 ขอ

12. กาหนด A = { 3 , 6 , 9 , 12 , 15 } จะเขยนเซต A แบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซตนนไดตรงกบขอใดตอไปน ( ตอบ 4 )

1. { xx = 3n และ 1 n 5 } 2. { xx = 3n และ n I+ }

3. { xx = –3n และ –1 n –5 และ n I – } 4. { xx = –3n และ –5 n –1 และ n I – }


13. กาหนดให X , Y และ Z เปนเซตจากดใดๆทไมเปนเซตวาง จงพจารณาวาขอความใดถกตอง ( ตอบ 2 )

1. ถา X Y และ Y Z แลว X Z



4. ถา X Y และ Y Z แลว X Z 14. กาหนด A = { 0,1, { 0,1 } } ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 2 )

1. { 0 } A 2. { 0,1 } A 3. { { 0,1 } } A 4. { 0, {1} } A

15. ขอใดตอไปนไมเปนเซตอนนต ( ตอบ 2 )

1. { x x R ; x2 = 2n, n I+ } 2. { x x2 + 1 = 0 ; x R }

3. { x x2 + 1 0 ; x I } 4. { x x I , n I+ ; x = 2n }

16. ให A = { 3 } , B = { 3 , {3} , {{3}} } , C = { {3} } ขอใดตอไปนไมถกตอง ( ตอบ 3 )

1. A B 2. A B 3. A C 4. C B

17. กาหนดให A = { , 1 , {1} , 2 , 3 , { 1,2 } , {} , {{}} } จงพจารณา

ก. A ข . { 1,2 } A ค. { 1,2 } A

ง. { } A จ. { {} } A ฉ. { 2,3 } A ขอใดถกตองทสด ( ตอบ 1 ) 1. ผดเฉพาะขอ ฉ. 2. ผดเฉพาะขอ จ , ฉ 3. ถกเพยง 3 ขอ เทานน 4. ถกทงหมดทกขอ

18. ให A = { x ถา x A แลว Ax } ขอใดเขยน A แบบแจกแจงสมาชกไมถกตอง ( ตอบ 3 ) 1. A = { } 2. A = { , { } } 3. A = { { },{{ }} } 4. A = { ,{ },{ ,{ } } } 19. กาหนดให A = { 1 , m , { n } } ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 1 )

1. { n } A 2. A 3. { n } A 4. m A


20. ถา A , B , C เปนเซตใดๆแลว ขอใดไมเปนจรง ( ตอบ 4 )

1. A A 2. A

3. ถา A แลว A = 4. ถา A B และ C B แลว A = C

21. สบเซตทงหมดของ A คอ , {} , { {} } ,{ ,{} } แลว A คอ เซตในขอใด ( ตอบ 2 )

1. { , 0 } 2. { , { } } 3. { {} , 0 } 4. { { 0 } , { } } 22. ขอใดตอไปนผด ( ตอบ 1 ) 1. A เปนเซตใดๆ A จะมสบเซตแทเสมอ 2. สบเซตของเซตอนนตจะเปนเซตจากดกได

3. { , {} } 4. { , {} } 23. เซต A , B , C และ D ทกาหนดใหตอไปน เซตใดบางเทากบเซตวาง ( ตอบ 3 )

A = { xx } B = { xx = }

C = { xx เปนสบเซตแทของ } D = { xx } 1. A และ B 2. B และ C 3. C และ D 4. A และ C 24. กาหนด A = { a1,a2,a3, … , an } จานวนสบเซตแททงหมดของ A เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 1 ) 1. 2n – 1 2. 2n – 2 3. 2n 4. 2n–1 25. ให A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } จานวนสบเซตของ A ทมสมาชก 2 ตว ไดแกขอใด ( ตอบ 1 ) 1. 15 2. 20 3. 25 4. 30 26. ให A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } จานวนสบเซตของ A ทมสมาชก 3 ตว ไดแกขอใด ( ตอบ 2 ) 1. 15 2. 20 3. 25 4. 30

27. ให A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } และ B = { 2 , 4 } ถา C = เปนเซตใดๆ ซง C A และ C กบ B ไมมสมาชกรวมกนเลย จะมเซต C ทเปนไปไดกเซต ( ตอบ 1 )

1. 8 2. 16 3. 20 4. 24


U

เพอใหการศกษาเกยวกบเรองของเซตงายและเขาใจยงขน จงมการใชแผนภาพทใชเขยนแทนเซต นกคณตศาสตรสองทาน คอ จอหน เวนน ( John Venn : 1834 – 1883 ) และ เลออนฮารด

ออยเลอร ( Leonhard Euler : 1807 – 1873 ) เปนผ ทใชแผนภาพ แทนเซต จงเรยกแผนภาพดงกลาววา แผนภาพเวนน – ออลเลอร

การเขยนแผนภาพของเวนน – ออยเลอร เอกภพสมพทธ (U ) แทนดวย รป ผนผาหรอรปปดใดๆ เซต A , B , … แทนดวย วงกลม วงร หรอ รปทมพนทจากดใดๆ

Ex1. จงอธบายลกษณะของเซตในแตละขอทเขยนแทนดวยแผนภาพเวนน – ออยเลอร

(1) ……………………………………………. (2) …………………………………………………….. (3) ………………………………………………….. (4) ………………………………………………………

แผนภาพของ เวนน – ออยเลอร ( Venn – Euler Diagram )

U

A B

U

A B

U

B

A

U

B A

A

B

U


Ex2. จงเขยนแผนภาพแสดงลกษณะของเซตตอไปน A B และ A กบ C ไมมสมาชกรวมกน Ex3. กาหนดให U = { 1 , 2 , 3 , …. , 15 } , A = { 1 , 4 , 7 , 8 } B = { 4 , 8 , 10 , 13 } และ C = { 1 , 4 } จงเขยนแผนภาพของเวนน – ออยเลอรแทนเซตทกาหนดให Ex4. กาหนดให U = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } A = { 0 , 1 , 2 } B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } C = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } จงเขยนแผนภาพของเวนน – ออยเลอรแทนเซตทกาหนดให


Ex5. กาหนดให U = { a , b , c , d , e , f , g , h } A = { a , b , c , d } , B = { a , b , e , f } , C = { a , c , e , g } จงเขยนแผนภาพของเวนน – ออยเลอรแทนเซตทกาหนดให Ex6. กาหนดให U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }

A = { 1 , 3 , 5 , 7 } , B = { 2 , 4 , 6 , 8 } , C = { 2 , 6 } , D = { 1 , 3 , 4 } จงเขยนแผนภาพของเวนน – ออยเลอรแทนเซตทกาหนดให Ex7. จากแผนภาพหมายถงเซตในขอใด

1. B A และ A C

2. B A และ B C 3. เซต B จะมสมาชกบางตวเหมอนสมาชกของเซต A และ C 4. เซต B มสมาชกบางตวเปนสมาชกของ A และ เซต A ม สมาชกบางตวเปนสมาชกของเซต B

Ex8. จากแผนภาพหมายถงเซตใด

1. B A และ B C

2. B A และ B C

3. A B และ B C

4. B C และ B A

A C B

U

A C B

U


1. อนเตอรเซกชน ( Intersection )

AB = { xx A และ x B } “ เอาสวนทมรวม ( ซา ) กน ”P

สมบต ทควรทราบ

1. AB = BA

2. A( BC ) = ( AB )C = ABC

3. AA = A , A = , A U = A

การกระทาระหวางเซต ( Operation of Set )

A BU

2. ยเนยน ( Union )

AB = { xx A หรอ x B } “ เอาทงหมดมารวมกน ”P

สมบต ทควรทราบ 1. AB = BA

2. A( BC ) = ( AB )C = ABC

3. AA = A , A = A , A U = U

A BU


Ex1. กาหนดให A = { 1,2,3,4,5,6 } , B = { 3,5,7,8,9 } , C = { 1,2,4,6,10 } และ D = { 5,6,7,8,9 } จงหา

(1) AB = ……………………….. (2) CD = ……………………………………………….

(3) A(CD) = ……………………………………………………………………………………………………

= ……………………………………………………………………………………………………

(4) B(AC) = …………………………………………………………………………………………………….

= ……………………………………………………………………………………………………

(5) (AB)(CD) = …………………………………………………………………………………………. = ………………………………………………………………………………………….

(6) (AB)(CD) = …………………………………………………………………………………………. = ………………………………………………………………………………………….

(7) (BD)(AC) = …………………………………………………………………………………………. = ………………………………………………………………………………………….


Ex2. กาหนดให A = { 1,{1} } , B = { {1} , { } , { 1,{1} } } , C = { , {} ,1 } และ D = { {{ }} ,{ 1, } ,{1},1 } จงหา

(1) (AB)(CD) = …………………………………………………………………………………………. = ………………………………………………………………………………………….

(2) (AB)(CD) = …………………………………………………………………………………………. = ………………………………………………………………………………………….

(3) (BD)(AC) = …………………………………………………………………………………………. = ………………………………………………………………………………………….


Ex1. กาหนดให A = { 1,2,3,4,5,6 } , B = { 3,5,7,8,9 } , C = { 1,2,4,6,10 } และ D = { 5,6,7,8,9 } จงหา (1) A – B = ……………………………….. (2) C – D = …………………………………….

(3) (AB) – C = …………………………………………………………………………………………………….

= …………………………………………………………………………………………………….

(4) B– (CD) = …………………………………………………………………………………………………….

= …………………………………………………………………………………………………….

Ex2. กาหนดให A = { 1,{1} } , B = { {1},{ },{ 1,{1} } } , C = { ,{},1 } และ D = { {{ }},{ 1, },{1} ,1 } จงหา (1) B – C = ……………………………….. (2) D – A = …………………………………….

(3) (A–C)B = …………………………………………………………………………………………………….

= …………………………………………………………………………………………………….

(4) (C–D)A = …………………………………………………………………………………………………….

= …………………………………………………………………………………………………….

3. ผลตาง ( Difference )

A–B = { xx A แต x B } “ อยใน A แตไมอยใน B ” P A B

U


Ex1. กาหนด U = { 1 , 2 , 3 , … ,9 } , A = { 1 , 3 , 5 , 6 ,9 } ,

B = { 2 , 3 , 4 , 7 , 9 } , C = { 3 , 4 , 5 , 8 ,9 }

จงเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก

1. AC = ........................................ 2. BA = .................................................

3. C – B = ........................................ 4. B = .................................................

5. ABC = ........................................ 6. ABC = .................................................

U

A

4. คอมพลเมนต ( Complement )

A = { xx A } = U – A “ ไมเอา A “P

สมบต – และ ทควรทราบ

1. ( A ) = A 2. = U 3. U =

4. AA = 5. AA = U

6. ( AB ) = AB

( AB ) = AB *7. A – B = AB

A

De’ morgain


7. (BC) = .......................................................................................................................................................

8. (AC) – B = ........................................................................................................................................................

9. B– A = .......................................................................................................................................................

10. (C–A)B = ........................................................................................................................................................ = ........................................................................................................................................................

11. B–(AC) = ........................................................................................................................................................ = ........................................................................................................................................................

12. (AB)– (CA) = .......................................................................................................................................... = ..........................................................................................................................................


Ex2. จงหาบรเวณของเซตในแตละขอตอไปน

1. (AB) = ......................................................................................................................................................

2. (C–A) = .......................................................................................................................................................

3. (AC) – B = .......................................................................................................................................................

4. C– B = ........................................................................................................................................................

5. (BA)–C = ........................................................................................................................................................

= ........................................................................................................................................................

6. A(C–B) = .......................................................................................................................................................

= ........................................................................................................................................................

1

2 3 4 5 6

7 8 9

10 11

U A B

C


Ex3. จงหาบรเวณของเซตในแตละขอตอไปน

1. (AB) – C = ...................................................................................................................................................... = ......................................................................................................................................................

2. (C– A)B = ...................................................................................................................................................... = ......................................................................................................................................................

3. (AC) – B = ....................................................................................................................................................... = .......................................................................................................................................................

4. (A– B)C = ........................................................................................................................................................ = .......................................................................................................................................................

1

2 3 5

6 4 7

8 9

U A B

C


5. (B – A) – C = ........................................................................................................................................................

= ........................................................................................................................................................

6. A(C–B) = .......................................................................................................................................................

= ........................................................................................................................................................


Ex4. จงเขยนแผนภาพของเวนน – ออยเลอรแทนเซตทกาหนดให

(1) (AB) (2) (AB) (3) AB (4) BA

(5) (A–B) (6) (B–A) (7) AB (8) AB


สมบตของ , , – และ ทตองทราบ

1. AB = BA , AB = BA

2. A( BC ) = ( AB )C = ABC

A( BC ) = ( AB )C = ABC

3. A ( BC ) = ( AB )( AC )

A ( BC ) = ( AB )( AC )

4. AA = A , A = , A U = A

AA = A , A = A , A U = U

5.* A – B = AB

6. ( A ) = A , = U , U = , AA = , AA = U

7. ( AB ) = AB

( AB ) = AB

สรปการกระทาระหวางเซต ( Operation of Set ) (1) อนเตอรเซกชน ( Intersection ) AB = { xx A และ x B } “ เอาสวนทมรวม ( ซา ) กน “

(2) ยเนยน ( Union ) AB = { xx A หรอ x B } “ เอาทงหมดมารวมกน ”

(3) ผลตาง ( Difference ) A – B = { xx A แต x B } “ อยใน A แตไมอยใน B “

(4) คอมพลเมนต ( Complement ) A = { xx A } = U – A “ A อานวา ไมเอา A “

AB AB A–B A

A BU

A BU U

A

A BU

A

De’ morgain


Note.


Ex1. จงใชสตรในการเปลยนเซตในแตละขอ

(1) B – ( AB ) (2) ( BA ) – B

(3) A – ( AB ) (4) ( AB ) – B

(5) ( AB) – A (6) ( AB ) – ( AB ) Ex2. ให A, B, C เปนเซตใดๆ จงแสดงวา

(1) A – ( BC ) = ( A–B )( A–C ) (2) ( AB ) – C = A( B–C )


Ex3. กาหนด A*B = ( B–A )B ขอใดถกตอง 1. A*( A–B ) = AB 2. A*B = B*A

3. A*A = 4. ( AB )* = A*B

Ex4. ถา A , B เปนเซตใดๆ และ A*B = ( AB) จงหา A*( A–B ) ( ตอบ 4 )

1. AB 2. AB 3. AB 4. A – B


Ex1. สาหรบ A , B เปนเซตใดๆ

1. [ (AB)A ] = …………………. 2. [ (AB)B ] = ……………….

3. [ (AB)B ] = ………………. 4. [ (AB)A ] = ………………….

5. [ (AB)(AB) ] = …………………. 6. [ (AB)(AB) ] = ……………….

7. (ABC)(AB) = …………………. 8. [ (ABC)C ] = ……………….

9. (ABC)(ABC) = …………………. 10. (ABC)(BC) = ……………….

โจทยพายเรอในอาง

เลก ใหญ = …………………….

เลก ใหญ = ……………………..


Ex2. 1. AB = B หมายความวา .................. 2. AB = B หมายความวา ........................

3. AB = A หมายความวา .................. 4. AB = A หมายความวา ........................ Ex3. ขอใดผด

1. AB ( AB) 2. AB ( AB) 3. ถา A – B = A – C แลว B = C 4. B ( AB )


Ex4. ขอใดถกตอง

1. ถา B A แลว B A 2. A( B–A ) = AB

3. ถา AB = B แลว A = 4. A – B = B – A


Note.


1. กาหนดให A = { 1, 2, 3 } , B = { 2, 4, 6 } แลว ( AB ) – A ตรงกบขอใด ( ตอบ 4 ) 1. { 1, 2, 3 } 2. { 2, 4, 6 } 3. { 1, 3 } 4. { 4, 6 }

2. ถา A = { 1,2,3,4, … } และ B = { { 1,2 } , { 3,4,5 } , 6 , 7 , 8 , … } แลว ( A–B )( B–A ) มสมาชกกตว ( ตอบ 3 ) 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8

3. ถา A = { –3,–2,–1,0,1,2 } และ B = { –6,–4,–2,1,3,5 } แลว AB เทากบเซตในขอใดตอไปน ( ตอบ 2 )

1. { x x R , x2 – x – 2 = 0 } 2. { x x R , x2 + x – 2 = 0 }

3. { x x N , x2 + x – 2 = 0 } 4. { x x เปนจานวนนบ }

4. ถา A = { x I x2+3x–4 = 0 } , B = { xI –4 x 4 } และ C = { –1,4 } แลวขอใดเปนเซตวาง ( ตอบ 1 )

1. (A B)C 2. (ABC) 3. (B–C)A 4. (AC)

5. กาหนดให I เปนเซตของจานวนเตมและเปนเอกภพสมพทธ A , B และ C เปนสบเซตของ I โดยท

A = { x1 x 4 } , B = { x –3 x 4 } , C = { –3,–2,0,1 } ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 2 )

1. AC = B 2. ( B–A )C = { –3,–2,0 }

3. ( AB )( AC ) = AB 4. C = { x x –3 หรอ x 1 } 6. ถา A = { a , {a} , b , { a,b } } , B = { a , b } และ C = { {a}, b } แลว A – ( B–C ) คอขอใดตอไปน ( ตอบ 2 ) 1. { {a, b} } 2. { {a}, b, {a,b} } 3. { a } 4. { a , b , { a, b } }

7. ถา A = { –5,–3,–1,0,1,5,10 } , B = { –6,–3,1,3,6 } และ C = { –4,–3,–2,1, 2,4 } แลว A( BC ) เทากบขอใด ( ตอบ 1 )

1. { x R x2+2x – 3 = 0 } 2. { x R x2 – 2x – 3 = 0 }

3. { x N x2+2x – 3 = 0 } 4. { x N x2 – 2x – 3 = 0 } 8. ถา A = B แลวขอใดกลาวถกตอง ( ตอบ 4 )

1. A B 2. B A 3. B A 4. มขอถกมากกวา 1 ขอ



9. ถา A = { –1 , 3 , { 1,2 } } ,

B = { x x เปนจานวนเตม และ ( x – 3 )( x2–3x+2 ) = 0 }

C = { x x เปนจานวนเตม และ x 3 }

แลว [ ( A–B )( A–C ) ] ( B–A ) คอ เซตในขอใดตอไปน ( ตอบ 4 ) 1. { 1,2 } 2. { {1,2} } 3. { 1, {1,2} } 4. { 1, 2, {1,2} } 10. กาหนดเซต A = { 1, 2, 3 , { 1,2,3 } } และ B = { 1,2,{ 1,2 } } ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 3 )

1. AB = { {1,2} } 2. AB = { {1,2} , {1,2,3} } 3. A–B = { { 1,2,3 } , 3 } 4. B – A =

11. กาหนด AB = { –1,0,2,3 } , AC = { –1,0 } , BC = { –1,0,4 } ,

AB = { –1,0,2,3,4,5 } , AC = { –1,0, 2,3,4 } แลว ( B–A ) C ตรงกบขอใด ( ตอบ 4 ) 1. { 0 } 2. { –1, 0 } 3. { 0, 4 } 4. { 4 } 12. กาหนด A = { 1 } , B = { 1,2 } , C = { 2,3,4 } , D = { 1,2,3,4 } และ E = { {1}, {1,2}, { 2,3,4 } }

จากขอกาหนดจงพจารณาขอสรปตอไปน ( ตอบ 2 )

ก. { D–A }D = D

ข. ( D–B )( D–C ) E 1. ถกขอ ก. ขอเดยว 2. ถกขอ ข. ขอเดยว 3. ถกทง 2 ขอ 4. ผดทง 2 ขอ 13. กาหนดให A = { 1 , { 1,2 } , 3 }

B = { 2 , { {1} } , {3} } C = { 1 , {1} }

และ M = { {1} , {1,2} , {1,3} } ขอความใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 3 )

1. C M 2. ( AC ) M 3. จะมสมาชกของ B บางตว เปนสบเซตของ M 4. จะมสมาชกของ A บางตว เปนสบเซตของ B 14. กาหนดให A = { a } , B = { a,b } , C = { b,c,d } , D = { a,b,c,d } และ M = { {a},{a,b},{b,c,d} }

ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 3 )

1. { AB } M 2. { D–A }D M

3. ( D–B )( D–C ) M 4. B( D–C ) M


15. ให AB = { 3,4,5,7,8 } , AC = { 1,2,3,4,5,6,8 } , AC = , BC = { 8 }

( BC )A = { 3,5 } และ 4 B จงหา A , B , C ( ตอบ A = { 3,4,5 } , B = { 3, 5,7,8 } , C = { 1,2,6,8 } )

16. สาหรบ A , B เปนเซตใดๆ ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 2 )

1. ถา A = B แลว AC = BC 2. ถา A = B แลว AC = BC

3. ถา AC = BC แลว A = B 4. ถา AC = BC แลว A = B 1. ถก 1 ขอ 2. ถก 2 ขอ 3. ถกทง 4 ขอ 4. ผดทง 4 ขอ 17. กาหนดให A , B เปนเซตใดๆ ขอใดถกตอง ( ตอบ 3 )

ก. [ (AB)B ] = AB

ข. AB A[ B–(AB) ] 1. ถกทงสองขอ 2. ก. ถกขอเดยว 3. ข. ถกขอเดยว 4. ผดทงสองขอ 18. พจารณาขอความตอไปน

(1) ( A–B ) – C = A – ( BC )

(2) ( A–C )( B–C ) = ( AB ) – C

(3) A( B–C ) = ( AB ) – ( AC ) ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 3 ) 1. ถกตองทกขอ 2. ถกตอง 2 ขอ คอ ขอ (1) และ (2) 3. ถกตอง 2 ขอ คอ ขอ (2) และ (3) 4. ถกตอง 2 ขอ คอ ขอ (1) และ (3) 19. ถา A และ B เปนเซตใด ๆ ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 3 )

1. ( A–B ) = A– B 2. ( B–A ) = AB

3. ( A–B ) = AB 4. ( B–A ) = ( A–B )

20. เซต [ C( ABD) ] [ C( ABD ) ] เทากบเซตในขอใด ( ตอบ 3 ) 1. A 2. B 3. C 4. D


21. ขอใดถกตอง ( ตอบ 2 )

1. { 0, {1} , { }} 2. ถา AB = B แลว B A 3. AB [ A( B– (AB) ) ] 4. ถา AB = B แลว [ ( AB )B ] = B – A 22. ขอใดผด ( ตอบ 4 )

1. ถา ABC = U แลว (AC)B = 2. ( AB )( AB)( AB ) =

3. [ ( AB) – C] – [ A(B–C) ] = 4. ถา AB = B แลว A – B =

23. ถา A , B เปนเซตอนนต สวน C เปนเซตจากด เซตในขอใดเปนเซตอนนต ( ตอบ 2 )

1. ( AC )( BC ) 2. A( BC )

3. ( C–B )( C–A ) 4. ( AB )C 24. กาหนดให A , B และ C เปนเซตใด ๆ ทไมเปนเซตวาง และ

P = ( ABC)( ABC)( ABC )( ABC )

Q = ( AB )( AB ) ขอใดตอไปนถก ( ตอบ 2 )

1. Q P 2. PQ = PQ 3. PQ = 4. Q เปนสบเซตแทของ P

25. กาหนดให AB = ( B–A )B ขอความใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 1 )

1. AB = BA 2. AA = U 3. A( A–B ) = AB 4. ( BA )B = BA

26. กาหนดให A*B = ( A–B )( B–A ) จะได ( A*B )A ตรงกบขอใด ( ตอบ 3 )

1. A – B 2. ( AB ) – ( AB ) 3. B – A 4. U

27. กาหนดให AB = AB ขอใดไมถกตอง ( ตอบ 4 )

1. = U U 2. B( A ) = AB

3. ( AB ) C = ( AC )( BC ) 4. AB BA


28. กาหนดให AB = ( A–B )( B–A ) จงพจารณาขอความตอไปนวาขอใดเปนจรง ( ตอบ 1 )

(1) AA =

(2) ( AB)A = B 1. ถกทง 2 ขอ 2. ถกเฉพาะขอ (1) 3. ถกเฉพาะขอ (2) 4. ผดทง 2 ขอ 29. นยาม ( a,b ) = { {a} , {a,b} } ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 3 )

1. ( a,b )( a,{b} ) = { {a} , { a,{b} } 2. ( a,b )( {a} , {b} ) = { {a} , { {a} , {b} } }

3. ( a,b) – ( a,{b} ) = { {a,b} } 4. ( a,a )( b,b ) = { {a} , {b} , {a,b} }

30. ถา A, B, C เปนเซตใดๆ ขอใดถก ( ตอบ 2 )

1. ถา A – B = แลว B – A = 2. ถา ( AC ) B = แลว ABC = U

3. A( BC ) ( AB )C 4. [ ( AB )–C ] – [ A( B–C ) ]

31. ถา A – B = { 2,4,6 } , B – A = { 0,1,3 } และ AB = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8 }

แลว AB = เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน ( O–NET’49 ) ( ตอบ 3 ) 1. { 0,1,4,5,6,7 } 2. { 1,2,4,5,6,8 } 3. { 0,1,3,5,7,8 } 4. { 0,2,4,5,6,8 }

32. กาหนดให A , B , C เปนเซต โดยท AB = { 6,8 } , AB = { 4,6,7,8,9 } , AC = { 6,7 } ,

AC = { 4,5,6,7,8 } แลว B – C คอเซตในขอในขอใดตอไปน ( Ent’47 ม.ค. เลข 2.) ( ตอบ 3 ) 1. { 8 } 2. { 9 } 3. { 8, 9 } 4. { 4 , 8 }

33. ให A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } , B = { x x = 1–y1

เมอ y A } , C = { x x = 1y

y

เมอ y A }

ขอใดตอไปนถก ( Ent’46 ต.ค. เลข 2. ) ( ตอบ 2 )

1. BC =

76

,65

,54

,43

,32

,21

2. BC =

65

,54

,43

,32

,21

3. B – C =

76

4. C – B = { 0 }

34. ให U = { 2,3,4, …,10 } , A = { 2,4,6 } , B = { 3,4,5,6,7 } , C = { 3,5,7,9 }

แลว ( A–C )B คอขอใดตอไปน ( Ent’43 ม.ค. เลข 2.) ( ตอบ 2 ) 1. { 4,6 } 2. { 3, 5, 7 } 3. { 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9 ,10 } 4. {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ,10 }


35. ถาสบเซตแททงหมดของเซต X คอ , { {1} } และ {2} และ เซต Y = { 1,{2} } แลว XY คอขอใดตอไปน ( Ent’42 ต.ค. เลข 2.) ( ตอบ 1 )

1. 2. {1} 3. {2} 4. { 1,2 } 36. กาหนด U = { 1,2,3,4,5,6,7,8 } และให A = { 1,2,3,4 } , B = { 3,4,5,6 } , C = { 2,4,6,7 }

แลว [ (BC) – A] ( ABC ) คอเซตในขอใดตอไปน ( Ent’42 ม.ค. เลข 2. ) ( ตอบ 2 ) 1. { 6 } 2. { 6,8 } 3. { 5,6 } 4. { 5,6,7} 37. กาหนดให A = { 1 , 2 , {3,4} , {5} , 6 } ขอใดตอไปนไมเปนสบเซตของ A ( Ent’41 เลข 2. ) ( ตอบ 4 ) 1. { 1,2,{ 3,4 } } 2. { 1,{ 3,4 },{5} } 3. { 1,{3,4},6 } 4. { {3,4},5,6 }

38. กาหนดให A – B = { 1,2,4 } , B – A = { 3,5 } และ AB = { 1,2,3,4,5,6,7 }

แลว AB เปนสบเซตในขอใดตอไปน ( Ent’41 เลข 2.) ( ตอบ 1 ) 1. { 0,1,4,6,7 } 2. { 0,1,3,5,7 } 3. { 1,2,3,4,7 } 4. { 1,2,4,5,6 } 39. กาหนดให A = { 1, 3, 5 }

B = { x x2 – 4x + 3 = 0 }

C = { x x คอจานนแตมของลกเตาหนงลกทหารดวย 2 ไมลงตว }

D = { x x คอจานวนหวทไดเมอโยนเหรยญ 3 เหรยญ } แลวขอใดตอไปนถก ( Ent’41 เลข 2.) ( ตอบ 4 ) 1. A = B 2. B = C 3. C = D 4. A = C

40. กาหนดให A = { 0 , {} , { {} } } , B = { 0 , {} } , C = { 0 , , {} } ขอใดตอไปนถก ( Ent’40 เลข 2.) ( ตอบ 4 )

1. A C 2. A – B 3. C A 4. B C

41. ให R แทนเซตของจานวนจรง และ I แทนเซตของจานวนเตม ผลสรปในขอใดตอไปนถกตอง ( Ent’40 เลข 2.) ( ตอบ 3 )

1. { x I 3x2 – 4x = 0 } เปนเซตวาง 2. { x I x2 – 4 0 } เปนเซตจากด

3. { x R x x2 } เปนเซตอนนต 4. { x R x 2+ 1 = 0 } เปนเซตอนนต


42. กาหนดให A และ B เปนเซต พจารณาขอความตอไปน

ก. ถา A B แลว AB = A

ข. ถา A B แลว AB = B ขอใดตอไปนถก ( Ent’40 เลข 2. ) ( ตอบ 1 ) 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 43. สาหรบเซต A และ B ใดๆ ขอใดตอไปนผด ( Ent’48 ม.ค.) ( ตอบ 3 )

1. ถา AB = แลว AB และ BA 2. A – ( AB ) = A – B

3. ( AB ) – A = B 4. ถา ( AB ) = A แลว A B 44. ถา A = { 1,2,3,4, …. } และ B = { {1,2} , {3,4,5} , 6 , 7 , 8 , … }

แลว ( A–B )( B–A ) มสมาชกกตว ( Ent’42 ม.ค.) ( ตอบ 7 )

45. ถา A = { x x = n2

1 และ n N } B = { 0, 1, 21

,31

,41

,… }

และ C = { –1 , 0 , 21

,{31

, 42

, 53

, … } } แลว ( AC ) – B เปนตามขอใด ( Ent’41 ) ( ตอบ 3 )

1. เซตอนนต 2. เซตจากดซงจานวนสมาชกมากกวา 1 ตว 3. เซตทมจานวนสมาชกตวเดยว 4. 46. กาหนดให A = { a, {a}, {b}, {b,c} } ขอใดตอไปนถก ( Ent’40 ) ( ตอบ 2 )

1. ( A – {{b,c}} ){b} = { a,b,{a}, {b}, {b,c} } 2. ( A – {{b,c}} ){b} = { a,b,{a},{b} } 3. ( A – {{b,c}} ) – {a} = { {b,c} } 4. ( A – {{b,c}} ) – {a} = { b,c }

47. กาหนดให A , B , C , D เปนเซตใดๆ ( AC ) – ( BD ) เทากบเซตในขอใดตอไปน ( Ent’39 ) ( ตอบ 2 )

1. ( A–B )( D–C ) 2. ( A–B )( C–D ) 3. ( A–B )( D–C ) 4. ( A–B )( C–D )


Ex1. จากแผนภาพตรงกบขอใด

A

BC

U

Ex2. จากแผนภาพตรงกบขอใด

A

B C

U

Ex3. บรเวณทแรเงาตรงกบขอใด ( ตอบ 4 )

1. A – ( BC )

2. ( A–C ) B

3. C( AB )

4. ( C–A ) B

การตรวจสอบพนทแรเงา

11.. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 22.. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1. ( A–B )C

2. ( A–B )C

3. ( A–B ) – C 4. ( AB )C

1. ( AC)B

2. ( C–B ) A 3. ( AC )( B–A )

4. ( AB ) – ( CB )

B C

A

U


Note.


Ex1. จงหา P(A) ของเซต A ในแตละขอ 1. A = { 2 } 2. A = { 1 , 2 }

3. A = { 1 , } 4. A = { ,{ } }

5. A = { 1,2,3 } 6. A = { ,1 ,{1} }

เพาเวอรเซต ( Power Set )

P(A) คอ เซตทประกอบดวยสมาชกทเปนสบเซตของ A ทงหมด = { x x A}

หรอ จางายๆวา เพาเวอรเซต คอ ………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

สมบตเกยวกบ Power Set ทควรทราบ 1. P(A) 5. ถา A B แลว P(A) P(B)

2. P(A) 6. P(A)P(B) = P(AB)

3. A P(A) 7. P(A)P(B) P(AB)

4. ถา n(A) = m จะได n[P(A)] = 2m 8. ถา A = แลว P(A) = { }


Ex2. จงหา P(P(A)) จาก A ทกาหนดใหตอไปน

1. A = { 1 } 2. A =

Ex3. กาหนด A = { 1 , 2 } , B = { 2 , 3 } จงหา P( AB ) และ P(A)P(B)

Ex4. กาหนด A = { 1 , 2 } , B = { 2 , 3 } จงหา P( AB ) และ P(A)P(B)


Ex5. กาหนด U = { 1,2,3, … , 9 } , A = { 2,3,5,7 } , B = { 2,4,6,8 } จงหา P( AB )

Ex6. กาหนด A = { 0,1,2,3,7 } , B = { 0,2,4,6 } และ C = { 1,3,5 } จงหา P(A)P(B)P(C)


Ex1. กาหนด A = { , {} , {1} , 2 , {1,2} } ขอใดถก / ผด

1. { 1 } P(A) 2. 2 P(A) 3. {} P(A)

4. { {2} } P(A) 5. { {2} , {} } P(A) 6. { 1,2 } P(A)

7. { {1,2} , ,1 } P(A) 8. { {} } P(A) 9. P(A)

Ex2. กาหนดให A = { , 1 , {1} , 2 , {2} , {1,2} } ขอใดตอไปนถกหรอผด

1. P(A) 2. {} P(A) 3. { 0,1,2,3 } P(A)

4. { {1} } P(A) 5. { 1,2 } P(A) 6. { {2} } P(A)

7. { { 1,2 } } P(A) 8. { { {2},1 } } P(A) 9. A P(A)

10. { A } P(A) 11. { {1} , {2} } P(A) 12. { 1 , {1} } P(A) Ex3. กาหนดให A = { 0 , 1 , 2 , { 1,2 } , { 1,2,3 } } ขอใดตอไปนถกหรอผด

1. P(A) 2. { { 0,{1,2} }} P(A) 3. { 0,1,2 } P(A)

4. { {1} } P(A) 5. { 1,2 } P(A) 6. { {2},{ {1,2} } } P(A)

7. { { 1,2 } } P(A) 8. { { 1,{2} } } P(A) 9. A P(A)

10. { A } P(A) 11. {} P(A) 12. { 0,{1,2} } P(A)

การตรวจสอบ , ของ เพาเวอรเซต

1. ............................................................................................................

2. ............................................................................................................


Ex4. ถา A = { 0 , 1 , 2 , 3 } และ P(A) เปนเพาเวอรเซตของ A แลวขอใดตอไปนถกตอง

1. { 0 , 1 , 2 } P(A) 2. A P(A)

3. { } P(A) 4. { } P(A)

Ex5. ถา A = { 2 , {2} , } ขอใดไมถกตอง

1. P(A) มจานวนสมาชก 8 ตว 2. { 2 } P(A)

3. { {2} } P(A) 4. { 2 } P(A)

Ex6. กาหนด A = { 1,2,3,4,5 } , B = { {3,4} , 5 , 6 } , C A แต C B จะมเซต C ดงกลาวไดกแบบ ( ตอบ 3 ) 1. 4 2. 16 3. 30 4. 32 Ex7. เซต A มสมาชก 3 ตว แลวสบเซตแทของ P(A) ทมสมาชกอยางนอย 1 ตวมกเซต ( ตอบ 1 ) 1. 254 2. 255 3. 64 4. 65


Ex8. ถา P(A) มจานวนสมาชก 32 ตว , B เปนเซตของสบเซตแทของ A แลว P(B) จะมจานวนสมาชกมากทสดกตว

( ตอบ 1 ) 1. 231 2. 232 3. 25 4. 24 Ex9. กาหนดให A = { a , {a} , b , {b} , { a,b } } จงพจารณาขอความตอไปน

1 ) { a } , { b } และ { a,b } เปนสมาชกของ A 2 ) { a } , { b } และ { a,b } เปนสบเซตของ A 3 ) ถา B เปนสบเซตแทของ A แลว B จะมสมาชกนอยทสดเทากบศนย

4 ) ถา D เปนสบเซตแทของ A แลว จานวนสมาชกของ P(D) มากทสดเทากบ 312 จะสรปไดดงขอใด ( ตอบ 3 ) 1. ถก 1 ขอ 2. ถก 2 ขอ 3. ถก 3 ขอ 4. ถก 4 ขอ Ex10. กาหนดให A เปนเซตใดๆ จงพจารณาขอความตอไปนขอใดถก ( ตอบ 3 ) 1. ถา A เปนเซตวางแลว จานวนสมาชกของ P(P(P(A))) เทากบ 8

2. ถา A แลว A P(A) เสมอ 3. สามารถหาเซต A ททาใหสมาชกของ P(A) เปนเลขคได 4. ถาจานวนสมาชกของ P(P(A)) เทากบ 256 ตว แลว สบเซตแทของ A จะมสมาชกไดมากทสด 3 ตว


Ex11. กาหนดให n( P(A) ) แทนจานวนสมาชกใน P(A) ให n( P(A) ) – n( P(C) ) = 63 n( P(A) ) + n( P(B) ) = 96

จงหาคาของ n( P(AC)) + n(P(BC) ) ( ตอบ 96 ) Ex12. กาหนดให P(X) คอ เพาเวอรเซตของเซต X ถา A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } และ B = { 4 , 5 , 6 , 7 }

จงหา n[ P(A) – P(B) ] มจานวนสมาชกเทากบเทาใด ( ตอบ 28 )


Note.


1. พนทบรเวณทแรเงา ตรงกบเซตในขอใด ( ตอบ 1 ) 2. สวนทแรเงาในภาพไมไดแทนเซตในขอใด ( ตอบ 3 ) 3. แผนภาพทกาหนดใหสวนทแรเงาตรงกบเซตในขอใด ( ตอบ 2 ) 4. สวนทแรเงาในแผนภาพคอเซตในขอใด ( ตอบ 3 )

5. ความสมพนธ [ ( AC)B]( BC ) ตรงกบแผนภาพใด ( ตอบ 4 )

1. ( C–D )( AB )

2. ( C–D )( AB )

3. ( C–D )( A– B )

4. ( C–D )–( AB )

A B

C D

U

A

B

C

U 1. (AB) (CA) 2. (AB) – (CA) 3. (ABC) (CA) 4. (ABC) – (CA)

A B

C

U 1. (AB) (ABC)

2. [( B–A )C ]( A–B )

3. ( A–B )[ (B–A )C] 4. [(AB)A](ABC)

1. (AB)(AC)

2. ( A– B ) C 3. ( A–B )– C 4. A – ( B–C)

A

B C

U

4. ถกมากกวา 1 ขอ 1. 3. 2. A

B C

U A

BC

U

A

B C U



6. ถา A = { a , b , { c,d } } และ P(A) มสมาชกกตว ( ตอบ 1 ) 1. 8 2. 16 3. 32 4. 64 7. เพาเวอรเซตของเซตของสระในภาษาองกฤษมจานวนสมาชกเปนเทาใด ( ตอบ 4 ) 1. 10 2. 16 3. 20 4. 32 8. ถาเซต B มสมาชก 3 ตว แลวจานวนสมาชกของ P( P(B) ) มกตว ( ตอบ 4 ) 1. 8 2. 16 3. 64 4. 256

9. ถา A = แลว P(P(A) คอเซตใด ( ตอบ 3 )

1. { {} } 2. { } 3. { , {} } 4. 10. ถา B เปนเซตทมสมาชก 2 ตว คอ 1 กบ A โดยท A = {1} แลว ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 1 )

1. A P(B) 2. P(A) = P(B) 3. P(B) = { 1, , {1} } 4. P(A)P(B) = { } 11. ขอใดตอไปนไมถกตอง ( ตอบ 3 )

1. ถา P(A) มสมาชก 8 ตว แลว n(A) = 3 2. ถา P(A) มสมาชก 1 ตว แลว A = 3. ถา n(A) = 0 แลว P(A) ไมมสมาชก 4. ถา n(A) = 5 แลว P(A) มสมาชก 32 ตว

12. ให A = { 0 , } ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 4 )

1. P(A) = { A , {0} , } 2. P(A) 3. { ,{0} } A 4. {} P(A)

13. ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 4 ) 1. ถา n[P(A)] = n[P(B)] แสดงวา A = B 2. จะมเซต A ซงจานวนสมาชกของ P(A) = 100 ตว

3. ถา A B แลว n[P(A)] n[P(B)] 4. { x x2 – 3x + 4 = 0 } เปนเซตทไมมสบเซตแท 14. ถา n[ P(P(A)) ] = 256 จงหา n(A) ( ตอบ 2 ) 1. 2 2. 3 3. 4 4. 8


15. ขอใดผด ( ตอบ 4 )

1. P(A) P( AB ) 2. P( AB ) P(B) 3. P(AB) P(AB) 4. P( A–B ) P( AB ) 16. ขอใดตอไปนผด ( ตอบ 4 )

1. P(A) 2. P(A) 3. P(A) 4. { } P(A) 17. ถา B เปนเซตทมสมาชก 2 ตว คอ 1 กบ A โดยท A = { 1 } แลว ขอใดถก ( ตอบ 2 )

1. P(B) = { 1,,{1} } 2. A P(B) 3. P(A) = P(B) 4. P(AB) P(A) P(B)

18. กาหนดให A = { 1 , {1} , {2} , 2 } จงพจารณาวาขอใดตอไปนไมถกตอง ( ตอบ 4 )

1. { 1 } P(A) 2. P(A) 3. { 1 , 2 } P(A) 4. { , {1} } P(A)

19. ถา A = { –1 , 0 , , {1,2} , {0} } ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 4 )

1. { 0 , {1,2} } A 2. { –1, 0 , } A 3. { –1, {0} } P(A) 4. { , {0} , {1,2} } P(A)

20. กาหนดให A = { x I x เปนจานวนคทมคาอยระหวาง –11 กบ 11 }

B = { x I x เปนจานวนทมคามากกวา –13 แตนอยกวา 13 }

C = { xN x เปนจานวนเฉพาะ }

P[ (BC)A] มจานวนสมาชกเปนเทาใด ( ตอบ 1 ) 1. 16 2. 32 3. 64 4. 128

21. กาหนดให A = { 1 , {1} , , { } } และ P(A) เปนเพาเวอรเซตของ A จะไดวา

1) { } A และ { } P(A)

2) A และ P(A) 3) A และ P(A) มสมาชกซากน 3 ตว ขอสรปใดถกตอง ( ตอบ 4 )

1. ขอ 1. และ ขอ 2. ถก 2. ขอ 2. และ ขอ 3. ถก 3. ขอ 1. และ ขอ 3. ถก 4. ถกหมดทง 3 ขอ

22. ถา A { , { } } ขอใดถก ( ตอบ 4 )

1. { } P(A) 2. P(A) { } 3. P(A) มสมาชก 4 ตว 4. A{ } P(A)


23. กาหนดให A = { , 1 , {1} , {2} } , B = { , { } , {1} , 2 } , C = { , {1} , {2} , {1,2} }

เซต P(A)P(B)P(C) จะเทากบเซตใด ( ตอบ 1 )

1. { , { } , { {1} } , { , {1} } } 2. { , {1} , {2} , { 1,2 } }

3. { , { } } 4. { }

24. ถา P(A) = { {0} , {1/2} , {2} , {0,1/2} , {1/2,2} , {2,0} , {0,1/2,2} , {} } แลว A คอเซตขอใด ( ตอบ 1 )

1. { x2x3 – 5x2 + 2x = 0 } 2. { x2x3 + 5x2 + 2x = 0 }

3. { x2x3 – 5x2 – 2x = 0 } 4. { x2x3 – 3x2 – 2x = 0 }

25. กาหนด P(E) = { {a} , {b} , E , } และ E A ขอใดตอไปนทไมมโอกาสเทากบ A ไดเลย ( ตอบ 3 )

1. { a , b , {a,b} , , {a} , {b} } 2. { {a} , {b} , a , b }

3. { {a} , {b} , {a,b} , } 4. { a , b , {a,b} , c , } 26. จงพจารณาขอความตอไปน ขอใดผด ( ตอบ 1 )

1. P({}) – P() = P({})

2. ถา A – B = แลว P(A) – P(B) =

3. ถา AB = และ AC = แลว A(BC) =

4. ถา A , B และ AB = แลวจะได A– B = B

27. ถา A = { 0 , 1 , {0} } และ B = { , 0 } แลว P(B) – P(A) เทากบขอใด ( ตอบ 4 )

1. 2. {} 3. { ,0 } 4. { {} , {,0} }

28. ถา A = { , 0 , 1 , {1} , { 1,2 } , {3} } และ P(A) เปนเพาเวอรเซตของ A แลว จานวนสมาชกของเซต P(A) – A เทากบเทาใด ( Ent’48 ม.ค. เลข 2. ) ( ตอบ 62 )

29. ถา A = { , {} , 0 , {1} , { 1,2 } } และ P(A) เปนเพาเวอรเซตของ A แลวจานวนสมาชกของเซต

[ P(A) – A ][ A – P(A) ] เทากบเทาใด ( Ent’47 ต.ค. เลข 2. ) ( ตอบ 33 ) 30. ถา A = { a , b , {c} , {a} , { a,b } ,{ b,c } }

และ P(A) เปนเพาเวอรเซตของ A แลว จานวนสมาชกของ [ P(A)A ] เทากบเทาไร ( Ent’46 ต.ค. เลข 2. ) ( ตอบ 2 )


โจทยแบบท 1. โจทยแผนภาพเวนน – ออยเลอร

Ex1. ในแผนภาพท กาหนดให U , A , B และ A B มจานวนสมาชก 100 , 40 , 25 และ 16 ตว ตามลาดบ จงเตมจานวนสมาชกของ เซตตางๆ ลงในตารางตอไปน

เซต A – B B – A AB A B (AB)

จานวนสมาชก

การหาจานวนสมาชกของเซตจากด

A B U

โจทย 2 เซต A B


Ex2. กาหนด n(U) = 90 , n(A) = 60 , n(B) = 55 และ n(AB) = 30 จงหาจานวนสมาชกของเซตในแตละขอ

1. AB 2. A – B 3. B – A

4. A 5. B 6. A B

7. AB 8. A– B 9. AB

10. AB 11. AB 12. B A

A B U


Ex3. กาหนด n(A) = 5 , n(B) = 7 และ n(AB) = 2 จงหา n[( A–B )( B–A )]

Ex4. กาหนด n(A) = 20 , n(B) = 30 และ n(AB) = 40 จงหา n( AB)

Ex5. ให A และ B เปนสบเซตของ U และ n(U) = 50 ถา n(AB) = 10 และ n(AB) = n(AB) = 15 แลว

n(AB) เทากบเทาใด


Ex6. จากการสอบถามผชายจานวน 50 คน พบวา ม 29 คน ชอบ เจนน ม 21 คน ชอบพอลลา ม 10 คน ชอบทง เจนน และ พอลลา จงหา

1. มกคนชอบ เจนน หรอ พอลลา 2. มกคนไมชอบ เจนน และ ไมชอบ พอลลา 3. มกคนชอบ เจนน แต ไมชอบ พอลลา 4. มกคนชอบ พอลลา แต ไมชอบ เจนน 5. มกคนชอบ เจนน หรอ ไมชอบ พอลลา 6. มกคนชอบ พอลลา หรอ ไมชอบ เจนน

Ex7. จากการตรวจสขภาพของคนกลมหนงพบวา มคนทสายตาสนจานวน 35% ของคนทงหมด มคนทฟนผจานวน 48 % ของ

คนทงหมด และมคนทสายตาไมสนและฟนไมผจานวน 29 % ของคนทงหมด จงหาจานวนเปอรเซนตของ 1. คนทสายตาสน หรอฟนผ 2. คนทสายตาสน และฟนผ 3. คนทสายตาสน แตฟนไมผ 4. คนทสายตาไมสน แตฟนผ 5. คนทสายตาสน หรอฟนไมผ


โจทยแบบท 2. โจทยแบงชายหญง Ex1. ชมรมถายภาพมสมาชก 25 คน เปนนกเรยนชาย 14 คน ปรากฏวามสมาชกทถายภาพเปน 9 คน มสมาชกทเปน

นกเรยนหญง หรอ ถายภาพเปน 16 คน จงหาวาจานวนสมาชกทเปนนกเรยนหญง และ ถายภาพเปนมกคน ( ตอบ 4 คน ) Ex2. หองเรยนหองหนงมนกเรยนชาย 30 คน และนกเรยนหญง 20 คน จากการสอบวชาคณตศาสตรและฟสกสพบวา

มนกเรยนสอบตกวชาคณตศาสตร 15 คน ในจานวนนเปนนกเรยนชาย 7 คน มนกเรยนสอบตกวชาฟสกส 10 คน ในจานวนนเปนนกเรยนชาย 4 คน มนกเรยนสอบตกทงสองวชา 3 คน ในจานวนนเปนนกเรยนหญง 1 คน จงหา 1. จานวนนกเรยนทสอบคณตศาสตรตก แตสอบฟสกสได 2. จานวนนกเรยนทสอบฟสกสตก แตสอบคณตศาสตรได 3. จานวนนกเรยนทสอบไดทงสองวชา 4. จานวนนกเรยนชายทสอบไดทงสองวชา 5. จานวนนกเรยนหญงทสอบไดเพยงวชาเดยว

Ex3. จากการสอบถามนกเรยนของโรงเรยนแหงหนงพบวา มนกเรยนชาย 600 คน นกเรยนหญง 500 คน เปนนกเรยน ตางจงหวด 300 คน เปนนกเรยนชายตางจงหวด 200 คน มนกกฬาทงหมด 50 คน เปนนกกฬาชาย 30 คน

นกกฬาตางจงหวดม 25 คน เปนนกเรยนชายตางจงหวดทเปนนกกฬา 5 คน จงหาวานกเรยนทไมไดมาจาก ตางจงหวดและไมไดเปนนกกฬามกคน ( 775 คน )


โจทยแบบท 3. โจทย 2 เซตไมเกยวกน Ex1. ในเดอนทแลว P’1 มาสอนเพยง 11 วนเทานน และพบวาไมมวนใดในเดอนนนท P’1 จะมาสอนเตมวน กลาวคอ

ถาไมขาดสอนตอนเชา กขาดสอนตอนบาย ถา P’1 ขาดสอนตอนเชา 17 วน และ ขาดสอนตอนบาย 12 วน จงหา 1. จานวนวนท P’1 ขาดสอนทงวน 2. จานวนวนท P’1 มาสอนตอนเชา 3. จานวนวนท P’1 มาสอนตอนบาย 4. จานวนวนทตองสอนทงหมดในเดอนทแลว

Ex2. ระหวางไปพกตากอากาศ มฝนตก 13 วน ถาหากฝนตกตอนเชา ตอนบายอากาศจะแจมใส แตถาวนไหนฝนตก

ตอนบาย ตอนเชาอากาศกตองแจมใส ถาระหวางไปพกตากอากาศ มอากาศแจมใสตอนเชา 11 วน และ อากาศแจมใสตอนบาย 12 วน ถามวาไปพกตากอากาศกวน

Ex3. จากการสารวจนกเรยนหองหนง พบวา

(1) ม 20 คนทเลอกเรยนฝรงเศส หรอ คณตศาสตร ( 2 ) ถาเลอกเรยนฝรงเศสแลวจะตองไมเรยนคณตศาสตร (3) มอย 17 คน ทไมเรยนคณตศาสตร ( 4 ) มอย 15 คน ทไมเรยนฝรงเศส นกเรยนทไมเรยนทงสองวชามจานวนกคน ( ตอบ 6 คน )


โจทยแบบท 4. โจทย Gifted Ex1. จากการสอบถามผ ทดมกาแฟ 20 คนพบวา

(1) จานวนผ ทใสครมในกาแฟนอยกวาสองเทาของจานวนผ ทใสนาตาลในกาแฟอย 7 คน (2) จานวนผ ทใสครมและนาตาลในกาแฟเทากบจานวนผ ทไมใสครม และไมใสนาตาลในกาแฟ จงหาจานวนผ ทใสครมในกาแฟ ( ตอบ 11 คน )

Ex2. จากการสอบถามผ ทไดรบบตรเชญสาหรบงานพธอยางหนงพบวา ผ ทรบปากวาจะมาในงานนไดแนๆ 66% พอถงวนพธ

กพบวา ผ ทรบปากวาจะมาและมาไดมถง 90% ของจานวนผ ทมาในงานนทงหมด ขณะเดยวกนในจานวนผ ทไมไดมา

ในงานนกมผ รบปากวาจะมาถง 33% ผ ทมาในงานนมกเปอรเซนต ( ตอบ 571917

% )


Ex3. ในการสอบเขาทางานบรษทแหงหนงพบวามชาย 60% แตพอประกาศผลพบวาในบรรดาผสอบไดเปนชาย 90% และใน

บรรดาผสอบตกเปนชาย 30% ผ ทสอบไดทงหมดคดเปนกเปอรเซนตของผสมครสอบ ( ตอบ 50 % )


1. นกเรยนหองหนง สอบผานฟสกสหรอคณตศาสตร 40 คน สอบผานคณตศาสตร 25 คน สอบผานคณตศาตรและ

ฟสกส 5 คน จงหาจานวนนกเรยนทสอบผานฟสกส ( ตอบ 20 ) 2. นกเรยนชน ม .4 ในโรงเรยนแหงหนงม 100 คน เลนฟตบอล 20 คน เลนวอลเลยบอล 15 คน ในจานวนนเลนทงฟตบอล และ

วอลเลยบอล 10 คน จงหา (1) จานวนนกเรยนทเลนกฬาเพยงอยางเดยว ( 15 คน ) (2) จานวนนกเรยนทงหมดทเลนกฬาทงสองประเภทน ( 25 คน ) (3) จานวนนกเรยนทไมเลนกฬาทง 2 ประเภทน ( 75 คน )

3. ในชนเรยนแหงหนงมนกเรยนชาย 40 คน ปรากฏวา 8 คน ไมเลนกฬาชนดใดเลย แต 25 คน เลนฟตบอล และ 20 คน

เลนวอลเลยบอล จงหาวามเดกทเลนฟตบอลอยางเดยวกคน ( 12 คน ) 4. จากการสอบถามความนยมนาดม 2 ยหอ คอ ดมดกบเยนชนใจ ของคนจานวน 45 คน ปรากฏวา 25 คน นยมยหอดมด

30 คน นยมยหอเยนชนใจ และ ม 35 คน นยมอยางนอยหนงยหอ จงหาวามกคนทนยมมากกวาหนงยหอ ( 20 คน ) 5. โรงพยาบานแหงหนงทาการสารวจขอมลผ ปวยทมอายเกน 40 ป จานวน 1,000 คน ปรากฏวา มคนสบบหร 312 คน ม

คนเปนมะเรงทปอด 180 คน และ ม 660 คน ไมสบบหรและไมเปนมะเรงปอด อยากทราบวา มผสบบหรและเปนมะเรงทปอดจานวนเทาใด และ คดเปนรอยละเทาใดของจานวนผ ทสบบหรทงหมด ( ตอบ 152 คน และ 48.72% )

6. ถาจานวนสมาชกของ U ม 50 ตว จานวนสมาชกของเซต A ม 35 ตว จานวนสมาชกของเซต B ม 20 ตว แลวขอใด

กลาวถกตองเกยวกบจานวนสมาชกของ AB ( ตอบ 2 ) 1. มากทสด 55 ตว นอยทสด 15 ตว 2. มากทสด 50 ตว นอยทสด 35 ตว 3. มากทสด 50 ตว นอยทสด 20 ตว 4. มากทสด 55 ตว นอยทสด 35 ตว



7. จากการสอบถามนกเรยน 100 คน เปนชาย 60 คน หญง 40 คน พบวามนกเรยน 30 คน เลนฟตบอล , นกเรยน 20

คน เลนบาสเกตบอล , มนกเรยนชาย 8 คน เลนฟตบอล , นกเรยน 6 คน เลนฟตบอลและบาสฯ , นกเรยนชาย 12 คน เลนบาส , นกเรยนชาย 3 คน เลนทงสองอยาง อยากทราบวา มนกเรยนทไมเลนกฬาอะไรเลยกคน ( ตอบ 56 คน )

8. นกเรยนหองหนงม 55 คน ในจานวนนเปนนกเรยนชาย 30 คน นกกฬา 29 คน และนกดนตร 7 คน นกดนตรทกคน

เปนนกกฬา ปรากฏวานกเรยนหญง 21 คน ไมเปนนกดนตร สวนนกเรยนชาย 10 คน ไมเปนนกกฬา จงหาวา มนกเรยนหญงทเปนนกกฬา แตไมเปนนกดนตรกคน ( ตอบ 5 คน )

9. U เปนเซตทมสมาชก 50 ตว , A มสมาชก 12 ตว , B มสมาชก 15 ตว ถา AB มสมาชก 22 ตว แลว

P( AB ) มสมาชกกตว ( ตอบ 1 ) 1. 25 2. 23 3. 22 4. 2 10. U มสมาชก 30 ตว , A มสมาชก 9 ตว , B มสมาชก 7 ตว ถา P( A–B ) มสมาชก 32 ตว แลว P( B–A ) ม

สมาชกกตว ( ตอบ 2 ) 1. 4 2. 8 3. 16 4. 32 11. นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ของโรงเรยนแหงหนงม 400 คน ในจานวนนมผลงทะเบยนเรยนวชาคณตศาสตร 225 คน

และ ลงทะเบยนเรยนวชาภาษาองกฤษ 240 คน ถามนกเรยนทไมลงทะเบยนเรยนวชาคณตศาสตร และ ไมลงทะเบยนเรยนวชาภาษาองกฤษ 50 คน แลว จานวนนกเรยนทลงทะเบยนเรยนวชาคณตศาสตรและไมลงทะเบยนเรยนวชาภาษาองกฤษเทากบขอใดตอไปน ( Ent’48 ม.ค. เลข 2 ) ( ตอบ 1 )

1. 110 คน 2. 115 คน 3. 120 คน 4. 125 คน 12. นกเรยนหองหนงม 40 คน ตองลงทะเบยนเรยนวชาภาษาฝรงเศษ หรอภาษาเยอรมนอยางนอยหนงภาษา ถามนกเรยนใน

กลมนลงทะเบยนเรยนภาษาฝรงเศษ 30 คน ภาษาเยอรมน 20 คน แลวนกเรยนทเรยนภาษาฝรงเศษวชาเดยว หรอภาษาเยอรมนวชาเดยวมจานวนกคน ( Ent’45 ต.ค. เลข 2 ) ( ตอบ 30 )


13. ในการสอบถามความเหนของผชมรายการขาวของสถานโทรทศน 2 ชอง คอ ชอง A และชอง B โดยใหตอบวา ชอบ หรอ

ไมชอบ อยางใดอยางหนง ถามผตอบวา ชอบชอง A 60 เปอรเซนต ชอบชอง B 55 เปอรเซนต และชอบทงสองชอง 40 เปอรเซนต แลวผชมทไมชอบรายการขาวของทงสองชองคดเปนเปอรเซนตเทากบขอใดตอไปน ( Ent’44 ม.ค.เลข 2 ) ( ตอบ 3 )

1. 15 2. 20 3. 25 4. 30 14. ในการสอบถามพอบานจานวน 300 คน พบวา มคนทไมดมทงชาและกาแฟ 100 คน

มคนทดมชา 100 คน มคนทดมกาแฟ 150 คน พอบานทดมทงชาและกาแฟมจานวนเทาใด ( O–NET’49 ) ( ตอบ 50 )

15. กาหนดให A และ B เปนเซต ซง n( AB ) = 88 และ n[ ( A–B )( B–A ) ] = 76 ถา n(A) = 45 แลว n(B) เทากบขอใดตอไปน ( O–NET’50 ) ( ตอบ 4 )

1. 45 2. 48 3. 53 4. 55 16. นกเรยนกลมหนงจานวน 46 คน แตละคนมเสอเหลองหรอเสอสฟาอยางนอยสละหนงตว ถานกเรยน 39 คน มเสอสเหลอง

และ 19 คนมเสอสฟา แลว นกเรยนกลมนทมทงเสอสเหลองและเสอสฟามจานวนเทากบขอใด ( O–NET’50 ) ( ตอบ 4 ) 1. 9 2. 10 3. 11 4. 12 17. นกเรยนกลมหนงมจานวน 50 คน ม 32 คน ไมชอบเลนกฬาและไมชอบฟงเพลง ถาม 6 คน ชอบฟงเพลงแตไมชอบเลน

กฬา และม 1 คน ชอบเลนกฬาแตไมชอบฟงเพลง แลวนกเรยนในกลมนชอบเลนกฬาและชอบฟงเพลงมจานวนเทากบขอใดตอไปน ( O–NET’51 ) ( ตอบ 1 )

1. 11 คน 2. 12 คน 3. 17 คน 4. 18 คน 18. ในการสารวจความชอบในการดมชาเขยวและกาแฟของกลมตวอยาง 32 คน พบวาผชอบดมชาเขยว 18 คน ผชอบดม

กาแฟ 16 คน ผไมชอบดมชาเขยวและไมชอบดมกาแฟม 8 คน จานวนคนทชอบดมชาเขยวอยางเดยวเทากบขอใดตอไปน ( O–NET’52 ) ( ตอบ 2 )

1. 6 คน 2. 8 คน 3. 10 คน 4. 12 คน


โจทยแบบท 1. โจทยแผนภาพเวนน – ออยเลอร Ex1. กาหนด n(U ) =49 , n(A) = 20 , n(B) = 25 , n(C) = 18 , n(AB) = 13 , n(AC) = 11

, n(BC) = 12 , n(ABC) = 8 จงหาจานวนสมาชกของเซตในแตละขอตอไปน

1. ABC 2. A – B 3. AB

4. AC 5. AB 6. AC 7. C – A 8. B – C 9. (A – B) – C

10. (ACB) 11. ( ABC) 12. (CAB)

13. ABC 14. BAC 15. ABC

โจทย 3 เซต

A B

C


Ex2. ในการสอบถามรสนยมในการเลอกเครองดมของนกเรยน ม4. โรงเรยน Saint Leo ( มธยมวดสงห ) จานวน 100 คน

พบวา มนกเรยนทชอบดมนาอดลม 40 คน มนกเรยนทชอบดมนาผลไม 45 คน มนกเรยนทชอบดมนาเปลา 39 คน มนกเรยนทชอบดมนาอดลม และ นาผลไม 12 คน มนกเรยนทชอบดมนาอดลม และ นาเปลา 15 คน มนกเรยนทชอบดมนาผลไม และ นาเปลา 10 คน และมนกเรยนทชอบดมนาทงสามชนด 5 คน จงหาจานวนคนท

1. ชอบดมนาเหลานอยางนอยหนงชนด 2. ชอบดมนาเหลานเพยงสองชนด 3. ชอบดมนาเหลานเพยงชนดเดยว 4. ไมชอบดมนาเหลานเลยแมแตชนดเดยว Ex3. ในการสารวจความนยมในการเทยวสวนสตวของคน 100 คน พบวา ม 50 คนชอบชาง , ม 35 คนชอบลง , มชอบ

หม 35 คน , มคนทชอบชางอยางเดยว 32 คน , ม 20 คน ชอบหมแตไมชอบลง และม 10 คนทชอบชางและลงแต ไมชอบหม จงหาจานวนคนทไมชอบสตวทงสามชนดเลย ( 13 คน )


Ex4. จากการสารวจความนยมในการฟงเพลงของคน 300 คน พบวาแตละคนชอบเพลงลกทง , เพลงลกกรงหรอเพลงไทยเดม

อยางนอยหนงประเภท ปรากฏวา ชอบเพลงลกทง 120 คน ชอบทงเพลงลกกรงและเพลงไทยเดม 45 คน ชอบเพลงลกกรงอยางเดยว 70 คน ชอบทงเพลงลกทงและเพลงลกกรง แตไมชอบเพลงไทยเดม 30 คน ชอบเพลงไทยเดมอยางเดยว 80 คน ไมชอบเพลงไทยเดมและไมชอบเพลงลกกรง 50 คน อยากทราบวามคนชอบเพลงลกทง และ เพลงไทยเดม แตไมชอบเพลงลกกรงกคน ( 25 คน )

โจทยแบบท 2. โจทยทควรใชสตร Ex1. จากการสารวจนกเรยนชน ม.6 จานวน 110 คน ของโรงเรยนแหงหนง เกยวกบกฬาทชอบ ปรากฏผลดงน

ชอบฟตบอล 25 คน ชอบฟตบอล และ บาสเกตบอล 6 คน ชอบวอลเลยบอล 48 คน ชอบฟตบอล และ วอลเลยบอล 10 คน ชอบบาสเกตบอล 45 คน ชอบบาสเกตบอล และ วอลเลยบอล 8 คน ไมชอบกฬาประเภทใดเลยในสามประเภทน 11 คน จงหาจานวนนกเรยนทชอบกฬาทงสามประเภท ( ตอบ 5 คน )


Ex2. จากการสารวจชาวสวนในอาเภอแหงหนง 1,000 ครวเรอน พบวาแตละครอบครวปลกผลไมอยางนอยหนงชนด คอ เงาะ

, มงคด , หรอ ทเรยน ปรากฏวา 400 ครวเรอนไมปลกทกเรยน , 380 ครวเรอนไมปลกมงคด , 542 ครวเรอนไมปลกเงาะ , 294 ครวเรอนปลกทงเงาะและมงคด , 277 ครวเรอนปลกทงมงคดและทเรยน , 190 ครวเรอนปลกทงเงาะและทเรยน มกครวเรอนทปลกผลไมทง 3 ชนด

โจทยแบบท 3. โจทยสมมตตวแปรเลกนอย Ex1. นกเรยน 78 คน จะตองเรยนพเศษอยางนอย 1 วชา จากวชาคณตศาสตร เคม และฟสกส ไมมใครเลยทเรยนวชา

คณตศาสตรและเคม , ในจานวนนม 16 คนทเรยนวชาฟสกสเทานน , มอย 5 คนทเรยนคณตศาสตรและฟสกส , ม 10 คนทเรยนเคมและฟสกส และ จานวนคนทเรยนเคมมากกวาเรยนคณตศาสตรอย 6 คน มนกเรยนทเรยนเคม กคน ( ตอบ 34 คน )


Ex2. หมบานหนงม 800 ครอบครว ประกอบอาชพคาขายอยางเดยว 10 ครอบครว นอกนนทาสวนเงาะ , มงคด , ทเรยน

จากการสารวจเฉพาะชาวสวนพบวามครอบครวทปลกผลไมตงแต 2 ชนดขนไป 110 ครอบครว , ปลกเงาะ และ มงคด 70 ครอบครว , ปลกเงาะและทเรยน 60 ครอบครว , ปลกมงคดและทเรยน 50 ครอบครว , ไมปลกมงคดเลย 290 ครอบครว จงหาจานวนครอบครวทปลกแตมงคดเพยงอยางเดยวเทานน ( ตอบ 415 ครอบครว )

Ex3. จาการสารวจการลงทะเบยนเรยนวชาคณตศาสตร ฟสกส และเคม ของนกเรยนกลมหนงจานวน 200 คน พบวา มนกเรยนไมเลอกเรยนวชาใดเลย 18 คน มนกเรยนทเลอกเรยนคณตศาสตรและฟสกส แตไมเลอกเคม 44 คน มนกเรยนทเลอกเรยนคณตศาสตรและเคม แตไมเลอกฟสกส 38 คน มนกเรยนทเลอกเรยนเคมและฟสกส แตไมเลอกคณตศาสตร 42 คน

มนกเรยนทเลอกเรยนคณตศาสตร 120 คน มนกเรยนทเลอกเรยนฟสกส 116 คน มนกเรยนทเลอกเรยนเพยงวชาเดยว 32 คน

จงหาจานวนนกเรยนท (1) เลอกเรยนทงสามวชา ( ตอบ 26 ) (2) เลอกเรยนคณตศาสตรเพยงวชาเดยว ( ตอบ 12 ) (3) เลอกเรยนฟสกสเพยงวชาเดยว ( ตอบ 4 )


โจทยแบบท 4. โจทยสมมตตวแปรไมเลกนอย ( สมมตตวแปรมากมาย ) Ex1. กาหนดให A , B , C เปนเซต n( AB ) = 32 , n( AC ) = 39 , n( BC ) = 35 , n( ABC ) = 2 ,

n[ (AB) – C ] = 8 , n[ (AC) – B ] = 4 , n[(BC) – A ] = 6 ดงนน n(ABC) เทากบเทาใด ( ตอบ 43 ) Ex2. ในการสารวจความนยมของคนกลมหนงจานวน 40 คน พบวานยมเครองดมอยางนอยหนงชนด คอ โคก 21 คน

, เปปซ 16 คน และเบยรสงห 19 คน และนยมทงสามชนด 3 คน มผ นยมชนดเดยวกคน ( ตอบ 27 คน )


โจทยแบบท 5. โจทย Gifted Ex1. ถา A , B และ C เปนเซตจากด โดยท n(A) = 16 , n(B) = 20 , n(C) = 19 , n(AB) = 27 , n(AC) = 27

, n(BC) = 26 และ n(ABC) = 28 จงหา n( ABC ) ( ตอบ 3 ) Ex2. ประชาชนในจงหวดหนงทางภาคอสานพดภาษาไทยได 72% , พดภาษาลาวได 34% , พดภาษาจนได 22% ,

พดภาษาไทยหรอภาษาจนได 79% , พดภาษาไทยหรอภาษาลาวได 92 % , พดภาษาจนหรอภาษาลาวได 49% , พดไดทงสามภาษา 5% นอกนนพดภาษาองกฤษไดภาษาเดยวอยากทราบวา

(1) จานวนประชาชนทพดภาษาองกฤษคดเปนรอยละเทาไร ( รอยละ 3 ) (2) จานวนประชาชนทพดภาษาเดยวคดเปนรอยละเทาไร ( รอยละ 74 )


Ex3. จากการสอบถามนกเรยนอนบาลแหงหนงเกยวกบความชอบสตวทงสามชนด คอ มด หนอน และ ปลวก โดยจะไมม

ผใดไมชอบสตวทงสามชนดเลย มผชอบมด 50 คน ชอบมดและหนอน 18 คน ชอบปลวกแตไมชอบมด 14 คน ชอบหนอนแตไมชอบมด 11 คน ชอบสตวเพยงชนดเดยว 32 คน ชอบสตวเพยงสองชนด 15 คน จงหา

1. มผชอบสตวทงสามชนดไดนอยทสดกคน ( ตอบ 17 คน ) 2. มผชอบปลวกเพยงอยางเดยวไดมากทสดกคน ( ตอบ 4 คน ) 3. มผชอบมดและปลวก แตไมชอบหนอนไดมากทสดกคน ( ตอบ 5 คน )


Ex1. กาหนดให U = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } A = { 2 , 3 } , B = { 4 , 5 , 6 } ,

C = { 1 , 2 , 3 , 4 } , D = { 1 , 2 , 3 , 5 } จงหาจานวนเซต X ซง

1. A X C 2. A X AB

3. A X CD 4. A X BC

5. D X U 6. D X BCD

การหาจานวนสบเซตซอน กาหนดให A B , n(A) = n และ n(B) = m

1. จานวนเซต X ซง A X B จะมจานวน …………..…. สบเซต

2. จานวนเซต X ซง A X B จะมจานวน ……..………. สบเซต


Ex2. กาหนดให A = { 0 , 1 , 2 } B = { 0 , 1 , 2 , 3 } C = { –2 , –1 , 0 , 1 , 2 } D = { –1 , 0 , 1 } E = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }

จงหาจานวนเซต X ซง

1. A X B 2. D X C

3. B X E 4. A X BD

5. D X EC 6. BC X A


1. ในการสอบของนกเรยนชนมธยมศกษาตอนปลายพบวา มผสอบผานวชาคณตศาสตร 37 คน วชาสงคมศกษา 48 คน

วชาภาษาไทย 45 คน และมผ ทสอบผานวชาคณตศาสตรและสงคมศกษา 15 คน ผ ทสอบผานวชาสงคมศกษาและภาษไทยม 13 คน ผ ทสอบผานวชาคณตศาสตรและภาษาไทยม 7 คน และมผ ทสอบผานทงสามวชา 5 คน ดงนนผ ทสอบผานอยางนอยหนงวชามกคน ( ตอบ 100 คน )

2. จากการสารวจผ ถอหนในตลาดหลกทรพยฯ จานวน 3,000 คน พบวา มผ ถอหนของบรษท ก , ข และ ค ดงน

ผ ถอหนบรษท ก มจานวน 200 คน ผ ถอหนบรษท ข มจานวน 250 คน ผ ถอหนบรษท ค มจานวน 300 คน ผ ถอหนบรษท ก และ ข มจานวน 50 คน ผ ถอหนบรษท ข และ ค มจานวน 40 คน ผ ถอหนบรษท ก และ ค มจานวน 30 คน และไมมผ ทถอหนทงสามบรษท จากจานวนผ ถอหนทสารวจ ผ ถอหนบรษทอนๆทไมใชหนของสามบรษทนมจานวนเทาไร ( ตอบ 2,370 คน )

3. ในการสารวจผใชบรการขนสง พบวาม ผ ทใชบรการขนสงทางรถไฟ 100 คน ผ ทใชบรการขนสงทางรถยนต 150 คน ผ ทใชบรการขนสงทางเรอ 200 คน ผ ทใชบรการขนสงทางรถไฟและรถยนต 50 คน ผ ทใชบรการขนสงทางรถยนตและเรอ 25 คน ไมมผ ทใชบรการขนสงทางรถไฟและเรอ ผใชบรการขนสงทางแบบอนๆ ทไมใชรถไฟ รถยนต หรอเรอ มจานวน 30 คน อยากทราบวา จานวนผใชบรการขนสงทไดรบการสารวจมทงหมดกคน ( ตอบ 405 คน )

4. จากการสมภาษณนกเรยนทชอบฟงเพลง จานวน 75 คน พบวา ชอบเพลงไทยเดม 42 คน ชอบเพลงลกทง 34 คน ชอบเพลงไทยสากล 27 คน ชอบทงเพลงไทยเดม และไทยสากล 12 คน ชอบทงเพลงไทยเดมและเพลงลกทง 14 คน ชองเพลงลกทง และเพลงไทยสากล 10 คน ชอบเพลงทงสามประเภท 7 คน จงหาจานวนนกเรยนทชอบเพลง ประเภทเดยว ( ตอบ 52 คน )



5. จากการสงเกตผลงทะเบยน 84 คน มวชาทเปดสอน คอ คณตศาสตร , ฟสกส และ ชววทยา ผ ทเรยนฟสกส

จะตองเรยนคณตศาสตรดวย สวนผ ทเรยนชววทยาจะไมเรยนคณตศาสตรเลย มผ ทเรยนฟสกส 32 คน และ ผ ทเรยนคณตศาสตรมากกวาผ ทเรยนชววทยาอย 8 คน จงหาวามกคนทเรยนคณตศาสตร แตไมเรยนฟสกส ( ตอบ 14 คน )

6. ในการประกาศผลสอบของนกเรยนหองหนงซงม 60 คน โดยประกาศเพยง 3 วชา คอ คณตศาสตร , ภาษาไทย

และ ภาษาองกฤษ พบวามนกเรยนทสอบตกทงสามวชา 2 คน มนกเรยนทสอบคณตศาสตรได แตตกภาษาองกฤษ 20 คน มนกเรยนทสอบภาษาไทยไดแตตกคณตศาสตร 14 คน มนกเรยนทสอบภาษาองกฤษไดแตตกภาษาไทย 16 คน และมนกเรยนทสอบคณตศาสตรตก 18 คน จงหา (1) จานวนนกเรยนทสอบไดทงสามวชา ( ตอบ 8 คน ) (2) จานวนนกเรยนทสอบภาษาองกฤษไดเพยงวชาเดยว ( ตอบ 2 คน ) (3) จานวนนกเรยนทสอบภาษาองกฤษหรอภาษาไทยไดแตตกคณตศาสตร ( ตอบ 16 คน )

7. จากการสอบถามนกเรยน 100 คน ปรากฏวาสามารถแบงนกเรยนออกเปน 2 พวก คอ พวกชอบเลนกฬาและพวกไมชอบ

เลนกฬา พวกทชอบเลนกฬามรายละเอยดดงน ชอบเลนบาสเกตบอล 31 คน ชอบเลนทงบาสเกตบอลและฟตบอล 11 คน ชอบเลนฟตบอล 21 คน ชอบเลนทงฟตบอลและปงปอง 9 คน ชอบเลนปงปอง 46 คน ชอบเลนบาสเกตบอลและปงปอง 10 คน ชอบเลนกฬาทง 3 ชนด 6 คน

จงหาจานวนนกเรยนทไมชอบเลนกฬา ( ตอบ 26 ) 8. จากการสารวจผอานหนงสอพมพในหมบานแหงหนง จานวน 180 คน พบวามคนอานหนงสอพมพอยาง นอยฉบบใดฉบบหนงใน 3 ฉบบ คอ ไทยรฐ , เดลนวส และ มตชน โดยทรายละเอยดดงน

ม 115 คน อานไทยรฐ ม 57 คน อานทงไทยรฐและเดลนวส ม 100 คน อานเดลนวส ม 52 คน อานทงไทยรฐและมตชน ม 92 คน อานมตชน ม 47 คน อานทงเดลนวสและมตชน

อยากทราบวามคนอานหนงสอพมพ 2 ฉบบกคน ( ตอบ 69 ) 9. ในบงแหงหนงม ออด อง และ อาง ซงออดทกตวเปนอง มครงหนงของอางทเปนอง และมครงหนงขององเปนออด อาง

ทกตวไมเปนออด ทงหมดมอางอย 30 ตว มออดอย 20 ตว อยากทราบวามอง กตวทไมเปนออดหรออาง ( ตอบ 5 )


10. ในการสอบถามความเหนจากประชาชนเกยวกบเครองดม 3 ชนด ผลปรากฏวา

มผชอบดมกาแฟ 100 คน มผชอบดมชา 120 คน มผชอบดมกาแฟและชา 50 คน มผชอบดมกาแฟและนาอดลม 60 คน มผชอบดมชาและนาอดลม 70 คน มผชอบดมกาแฟ แตไมชอบดมชา ไมชอบดมนาอดลม 10 คน จงหาจานวนคนทชอบดมชาเพยงอยางเดยว ( ตอบ 20 คน )

11. มนกเรยนมารายงานตวขอสอบซอม 50 คน พอถงเวลาสอบชวโมงท 1 เขาสอบภาษาองกฤษ 35 คน ชวโมงท 2 เขา

สอบคณตศาสตร 25 คน ชวโมงท 3 เขาสอบสงคมศกษา 10 คน มนกเรยนทตองการสอบซอม 3 วชาอย 1 คน มนกเรยนกคนทสอบซอม 2 วชา ( สอบเขาเตรยมอดม’30 ) ( ตอบ 4 )

1. 31 คน 2. 20 คน 3. 19 คน 4. 18 คน

12. กาหนดให A , B , C เปนเซต n( AB ) = 28 , n( AC ) = 29 , n( BC ) = 35 , n( ABC ) = 3 ,

n[ (AB) – C ] = 8 , n[ (AC) – B ] = 4 , n[ (BC) – A ] = 7 ดงนน n( ABC ) เทากบเทาใด ( ตอบ 1 ) 1. 35 2. 36 3. 37 4. 38

13. จากแผนภาพ ถา n( AB ) = 11 , n( BC ) = 9 และ

n( AC ) = 4 แลว n( ABC ) ทมากทสดเทากบเทาใด ( ตอบ 36 ) 14. พนกงานกลมหนงเปนชาย 31% ถา 75% ของพนกงานกลมนชอบทานเจ และ 20% ของพนกงานทไมทานเจเปนชาย

แลวจานวนพนกงานทชอบทานเจเปนก % ของทงหมด ( ตอบ 3 ) 1. 20 % 2. 40.25 % 3. 61.25 4. 70% 15. จากการสอบถามความชอบ Super Star ชายไทยของนกเรยนหญงกลมหนง โดยแตละคนตองชอบ Super Star อยางนอย

1 คน ไดผลการสอบถามดงน มอยางนอย 75 % ชอบ พหนง NISIT TUTOR มอยางนอย 70 % ชอบ พเคน ธรเดช มอยางนอย 65 % ชอบ พโดม ปกรณ ลม จงหาวามอยางนอยกเปอรเซนตทชอบทง 3 คน ( ตอบ 10 % )

A 4

B 5

3 C


16. จากการสอบถามนกเรยนหญงในชนเรยนหนง ซงมจานวน 48 คน เกยวกบความชนชอบดารายอดนยม 3 คน ซงไดแกลโอ

กปตน และ เจสน ปรากฏผลดงน 29 คน ชอบลโอ , 22คน ชอบกปตน , 21 คน ชอบเจสน , 7 คน ชอบดาราทงสามคน , 10 คน ชอบทงลโอและเจสน , 12 คน ชอบทงกปตนและเจสน จานวนนกเรยนหญงทชอบกปตนและลโอ คอขอใดตอไปน ( Ent’41 ต.ค.เลข 2 ) ( ตอบ 3 )

1. 2 คน 2. 7 คน 3. 9 คน 4. 10 คน 17. จากการสารวจผชมการถายทอดการแขงขนกฬาเอเชยนเกมส ประเภทฟตบอล บาสเกตบอล และวอลเลยบอล จานวน 200

คน พบวา ผ ทชอบดฟตบอลม 130 คน ผ ทชอบดบาสเกตบอลม 100 คน ผ ทชอบดวอลเลยบอลม 110 คน ผ ทชอบดฟตบอล และบาสเกตบอลม 60 คน ผ ทชอบดบาสเกตบอลและวอลเลยบอลม 55 คน ผ ทชอบดฟตบอล และวอลเลยบอลม 45 คน จานวนผ ทชอบดกฬาทงสามประเภทคอขอใดตอไปน ( Ent’42 ม.ค.เลข 2 ) ( ตอบ 1 )

1. 20 2. 25 3. 30 4. 35 18. ในการสารวจนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 ของโรงเรยนแหงหนงจานวน 69 คน ซงตองลงทะเบยนเรยนอยางนอย 1 วชา

พบวานกเรยนลงทะเบยนเรยนวชาคณตศาสตร 30 คน วชาภาษาองกฤษ 27 คน วชาภาษาไทย 41 คน วชาคณตศาสตรและวชาภาษาองกฤษ 19 คน วชาภาษาองกฤษและวชาภาษาไทย 7 คน วชาคณตศาสตรและวชาภาษาไทย 8 คนจานวนนกเรยนทลงทะเบยนเรยนทง 3 วชา คอขอใดตอไปน ( Ent’43 ม.ค. เลข 2 ) ( ตอบ 2 )

1. 4 คน 2. 5 คน 3. 6 คน 4. 7 คน 19. ถากาหนดจานวนสมาชกของเซตตาง ๆ ตามตารางตอไปน

แลวจานวนสมาชกของ ( AB )C เทากบขอใดตอไปน ( O–NET’51 ) ( ตอบ 1 ) 1. 23 2. 24 3. 25 4. 26 20. ในการสารวจความชอบในการดมชาเขยวและกาแฟของกลมตวอยาง 32 คน พบวาผชอบดมชาเขยว 18 คน ผชอบดม

กาแฟ 16 คน ผไมชอบดมชาเขยวและไมชอบดมกาแฟม 8 คน จานวนคนทชอบดมชาเขยวอยางเดยวเทากบขอใดตอไปน ( O–NET’52 ) ( ตอบ 2 )

1. 6 คน 2. 8 คน 3. 10 คน 4. 12 คน

เซต AB AC BC ABC ABC

จานวนสมาชก 25 27 26 30 7


21. ในการสออบของนกเรยนชนประถมศกษากลมหนง พบวา มผสอบผานวชาตางๆ ดงน

คณตศาสตร 36 คน สงคมศกษา 50 คน ภาษาไทย 44 คน คณตศาสตรและสงคมศกษา 15 คน ภาษาไทยและสงคมศกษา 12 คน คณตศาสตรและภาษาไทย 7 คน ทงสามวชา 5 คน จานวนผสอบผานอยางนอยหนงวชามกคน ( O–NET’53 ) ( ตอบ 101 )

22. กาหนด A = { 0, 2 } B = { 0 , 2 , 4 , 6 } C = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 } จงหาจานวนเซต x ทงหมดท

1. x เปนสบเซตทงหมดของ B ( ตอบ 16 เซต ) 2. x เปนสบเซตทงหมดของ B ทมสมาชกอยางนอย 1 ตว ( ตอบ 15 เซต ) 3. x เปนสบเซตแทของของ C ( ตอบ 127 เซต )

4. A x B ( ตอบ 4 เซต )

5. A x C ( ตอบ 32 เซต )

6. B x C ( ตอบ 8 เซต )

7. A x B ( ตอบ 12 เซต )

8. A x C ( ตอบ 96 เซต )

9. B x C ( ตอบ 120 เซต )


1. มจานวนเตมทงหมดกจานวนทอยระหวาง 1 กบ 2541 ท 3 หรอ 7 หารลงตว ( ตอบ 1088 )

2. ให A = { 1 , a , 2 , b , 3 , c } และ B = { 1, 2 } ถา S A และ SB จงหาจานวนเซต S ( ตอบ 48 ) 3. ขอใดถก ( ตอบ 2 )

1. ถา AB = AC แลว B = C 2. A( BC) = ( A–B )( A–C )

3. ถา AB = AC แลว B = C 4. ( A–B ) = A B

4. ให A = { ,{ } } , B = { } และ C = { { }, { } } จงพจารณาขอความตอไปน

ก. A = C ข. B A ค. B C ขอใดถกตอง ( ตอบ 1 ) 1. ขอ ก. ข. และ ค. ถกทง 3 ขอ 2. ถกเฉพาะขอ ก. และ ข. 3. ถกเฉพาะขอ ก. และ ค. 4. ถกเฉพาะขอ ข. และ ค.

5. ให X = { n 100 n 999 และ n เปนจานวนเตม }

Ai = { n Xหลกท i นบจากทางซายของ n = i }

และ ให A หมายถง จานวนสมาชกของ A ดงนน 321 AAA เทากบ ( ตอบ 1 ) 1. 252 2. 259 3. 260 4. ขอ 1 , 2 , 3 ไมมขอใดถก

6. กาหนดให n(P(A)) = x , n(P(B)) = y , n(P(AB)) = z จงหา n( P(A)P(B) ) ( ตอบ 2 )

1. z

yz -xy xz 2.

zxy-yz xz

3. z

xz-xy yz 4.

zyxyz xz

7. n(A) = m , n(B) = n และ n(P(AB)) = nm2 ขอใดผด ( ตอบ 4 )

1. A B 2. B A

3. A B = ( A – B )( B – A ) 4. A B = U

แบบฝกหดทายบท


8. กาหนดให A = { 1,2,3 } , B = { 5 } และ C = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }

ถา a เปนจานวนเซต X โดยท B X แต X C

และ b เปนจานวนของเซต Y โดยท A Y แต Y C จงหา a+b ( ตอบ 4 ) 1. 80 2. 96 3. 160 4. 176 9. จากการสารวจนกเรยนหองหนงซงมนกเรยนชาย 30 คน นกเรยนหญง 20 คน พบวามนกเรยนใสแวนตา 15 คน ม

นกเรยนใสฟนปลอม 10 คน มนกเรยนชายใสแวนตา 7 คน มนกเรยนใสแวนตาและฟนปลอม 3 คน มนกเรยนชายทใสแวนตาและฟนปลอม 2 คน มนกเรยนชายทใสฟนปลอม 4 คน ขอใดตอไปนแสดงจานวนนกเรยนหญงทไมใสแวนตา และไมใสฟนปลอม ( ตอบ 1 )

1. 7 2. 5 3. 12 4. 8 10. ในการสอบถามครอบครว 1,000 ครวเรอน เกยวกบเครองใชภายในบานพบวาแตละบาน มเครองใชตอไปนอยางนอย 1

อยาง คอ เตาไฟฟา , เตารด หรอ ต เยน ปรากฏวา 400 ครอบครวไมมต เยน , 380 ครอบครวไมมเตารด , 532 ครอบครว ไมมเตาไฟฟา , 294 ครอบครว มทงเตารดและเตาไฟฟา , 277 ครอบครวมทงเตารดและต เยน และ 190 ครอบครว มทงต เยนและเตาไฟฟา จงหาวามกครอบครวทมเครองใชทงสามชนด และกครอบครวทมเตารดเพยงอยางเดยวเทานน ( ตอบ 73 ครอบครว และ 122 ครอบครว )

11. ถา A = { 0, 1 } และ B = { 0, 1, {1},{0,1} } ขอใดไมจรง ( ตอบ 3 )

1. A P(B) 2. {1} P(A) P(B)

3. n[P(A B)] = 2 4. n[P(AB)] = 16

12. ถา n(A) = a , n(B) = b และ n[P(AB)] = 2b

2a

2

ขอใดถก ( ตอบ 2 )

1. n( A–B ) = a/2 2. n(AB) = 2b

2a

3. n[ B–( B–A ) = b/2 ] 4. ถกมากกวา 1 ขอ


13. ถา A = { , { } , 0 , {0} , {1} , {0,1} } แลวเซต [ P(A)–A ][ A–P (A) ] มจานวนสมาชกเทาใด ( ตอบ 64 )

14. ถา AB มจานวนสมาชก m ตว และ AB มจานวนสมาชก n ตว

ถา A , B มจานวนสมาชกเทากน จงหาจานวนสมาชกของ B – A ( ตอบ 2

nm )

15. ขอความใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 4 )

1. กาหนดให A , B และ C เปนเซต ถา A B และ B C แลว A C

2. กาหนดให A , B และ C เปนเซต ถา B A และ A C แลว B C

3. ถา A B มสมาชก 8 ตว A B มสมาชก 5 ตว A มสมาชก 6 ตว ดงนน A – B มสมาชก 2 ตว

4. กาหนดเซต A = { d } ถา B = P(A) แลว P(B) = { , { }, {{d}}, { , {d} } } 16. ให P(S) หมายถง เพาเวอรเซตของ S ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 1 )

1. ถา A – B = แลว P(A) – P(B) = 2. ถา AC = BC แลว P(A) = P(B)

3. P( {}) – P( ) = P({ }) 4. P( A( B–C)) = (P(A) P(B)) – (P(A) P(C))

17. ให A และ B เปนเซต โดยท n(P(AB)) = 4

n [ P(P(AB))] = 264 แลว

n[ P( AB) – P( (A–B)(B–A)) ] เทากบขอใด ( ตอบ 3 ) 1. 16 2. 32 3. 48 4. 56

18. ถา A = { , 0, 1, { 0,1 } } และ B = { , {}, { 0, { 0,1} }, { 0, {1} } } แลวจานวนสมาชกของ P(A)–B เทากบขอใด ( ตอบ 2 ) 1. 10 2. 13 3. 15 4. 16 19. ถา A = { 0 , 1 } และ B = { 0 , {1} , { 0,1 } } แลวขอใดตอไปนเปนจรง ( ตอบ 3 )

1. A P(B) 2. {1} P(A) P(B)

3. จานวนสมาชกของ P( AB ) = 2 4. จานวนสมาชกของ P( AB ) = 8


20. จงพจารณาวาขอใดถก ( ตอบ 4 ) 1. ถาจานวนสมาชกของเซตใดเซตหนงเทากบ n แลว จานวนสบเซตแทของเซตนนเทากบ 2n

2. ถา A และ B เปนเซตใด ๆ และ AB = แลว P( AB ) = 3. จานวนสมาชกของเพาเวอรเซตเปนจานวนคเสมอ 4. ไมถกทงขอ 1, 2 และ 3

21. ให A = { 1 } , B = { 1,2,3 } และ C = { x A x และ x B } จานวนสมาชกของ C มคาเทากบ ( ตอบ 3 ) 1. 7 2. 8 3. 4 4. 10

22. กาหนด A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } , B = { 1, 2, 3 } จะมเซต E ซง B E A ไดทงหมดกเซต ( ตอบ 1 ) 1. 16 เซต 2. 32 เซต 3. 64 เซต 4. 128 เซต 23. กาหนดเซต A มสมาชก m ตว คอ A = { 1 , 2 , 3 , … , m } และ เซต B มสมาชก n ตว คอ B = { 1 , 2 , 3 , …, n }

โดยท m n ถา C เปนเซตโดยท A C B เซต C มไดทงหมดกเซต ( ตอบ 2 ) 1. 2m – n 2. 2n – m 3. 2m – 2n 4. 2n – 2m

24. ถา A และ B เปนสบเซตของเอกภพสมพทธ U

บทนยาม A B = ( A–B )( B–A ) พจารณาขอความตอไปน

(1) A A = (2) A B = B A

(3) A = A (4) A B = A B ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 3 ) 1. ขอ (1) และ (2) เปนจรง 2. ขอ (2) และ (3) เปนจรง 3. ขอ (1), (2) และ (3) เปนจรง 4. ขอ (1), (2) และ (4) เปนจรง 25. ภาควชาหนงตองการนดอาจารยในภาค 5 คน มาประชมพรอมกน โดยไมทาใหการประชมนมผลกระทบกระเทอนตอชวโมง

สอนของอาจารยในแตละวน ซงแบงเปนภาคเชา และ ภาคบาย ถาทราบวา อาจารย ก. วางสอนวนจนทร พธเชา พฤหสเชา และวนศกร อาจารย ข. มชวโมงสอนวนจนทรบาย และพฤหสเชา เทานน อาจารย ค. วางสอนจนทรเชา องคารเชา พธบาย พฤหสเชา และ ศกรเชา อาจารย ง. สอนทกวนยกเวนจนทรบาย องคารบาย วนพธบาย พฤหสเชา และศกรทงวน อาจารย จ. มแตงานวจยไมมชวโมงสอน อยากทราบวา ภาควชาควรนดอาจารยมาประชมในวน และ เวลาชวงใด ( ตอบ วนศกรเชา )


26. กาหนดให A = { 1,2,3 } และ B = { 1,2,3,4,5,6,7,8 }

(1) จงหาจานวนเซต X P(B) ซง X A หรอ A X อยางใดอยางหนง ( เตรยม mid–term’53 ) ( ตอบ 38 )

(2) จงเขยนเซต X P(B) ซง X A และ A X และ n(X) = 2 มาทงหมด ( เตรยม mid–term’53 ) ( ตอบ 25 )


ขอสอบ PAT 1 ( พ.ศ. 2552 – ปจจบน ) ( PAT 1’52 ม.ค. )

1. กาหนดให A = { x x เปนจานวนคบวก และ x 100 }

และ B = { x x A และ 3 หาร x ลงตว } จานวนสมาชกของเซต P(B) เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 1 ) (B)

1. 216 2. 217 3. 218 4. 219

( PAT 1’52 ก.ค. ) 2. ในการสารวจความเหนของนกเรยนชนมธยมศกษาตอนปลายจานวน 880 คน เพอสอบถามขอมล

เกยวกบการศกษาตอปรากฏผลดงน มผ ตองการศกษาตอ 725 คน มผ ตองการทางาน 160 คน มผ ตองการศกษาตอหรอทางาน 813 คน ผ ทตองการศกษาตอและทางานดวยมจานวนเทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 2 ) (C)

1. 67 คน 2. 72 คน 3. 85 คน 4. 90 คน 3. กาหนดให A = { 1 , 2 , { 1,2 } , { 1,2,3 } } ขอใดตอไปนผด ( ตอบ 4 ) (C)

1. { 1,2 } A 2. { 1,2,3 } A 3. { 1,2 } A 4. { 1,2,3 } A

4. กาหนดให A = { , 1 , {1} } ขอใดตอไปนผด ( ตอบ 2 ) (C)

1. A 2. { } A 3. { 1,{1} } A 4. { {1} , { 1,{1} } } A


( PAT 1’52 ต.ค. ) 5. กาหนดให A = { 0 , 1 , 2 , { 0,1,2 } } และ P(A) แทนเซตกาลงของ A พจารณาขอความตอไปน

ก. AP(A) = { 0 , 1 , 2 }

ข. n ( A – P(A) ) n( P(A) – A ) ขอใดตอไปนเปนจรง ( ตอบ 3 ) (B) 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 6. กาหนดให A เปนเซตซงสอดคลองกบเงอนไขตอไปน

ก. 1 A

ข. ถา x A แลว Ax1

ค. x A กตอเมอ 2x A จานวนในขอใดตอไปนเปนสมาชกของ A ( ตอบ 3 ) (A)

1. 21

2. 81

3. 161

4. 321


7. กาหนดเซตและจานวนสมาชกของเซตตามตารางตอไปน

เซต A B C AB BC AC ( AB )C

จานวนสมาชก 15 17 22 23 29 32 28

จานวนสมาชกในเซต ABC เทากบเทาใด ( ตอบ 33 ) (B) ( PAT 1’53 ม.ค. ) 8. ให A = { 1 , {1} } และ P(A) เปนเพาเวอรเซตของเซต A ขอใดตอไปนผด ( ตอบ 4 ) (B) 1. จานวนสมาชกของ P(A) – A เทากบ 3 2. จานวนสมาชกของ P( P(A) ) เทากบ 16

3. { {1} } P(A) – A 4. { , A } P (A)


9. กาหนดให A , B และ C เปนเซตใดๆ

ถา n( ABC ) = 91 , n( ABC) = 11 ,

n( ( B–A )( B–C) ) = 15 , n( ABC ) = 20

n( ( AB )( AC )( BC ) ) = 47 และ n(C) = 59

แลว n( ABC ) เทากบขอใด ( ตอบ 18 ) (B) 10. พจารณารปตอไปน

ใหเตมจานวนเตมบวก 1 , 2 , 3 , … , 11 ลงในชองรปสเหลยม ชองละ 1 จานวน โดยใหผลบวกของจานวนในแนวตงเทากบ 43 และผลบวกของจานวนในแนวนอน เทากบ 28 จานวน x ในชองรปสเหลยมมม เทากบเทาใด ( ตอบ 5 ) (B)

x

แนวนอน

แนวตง


( PAT 1’53 ก.ค.)

11. ให A = { , {} , { ,{} } } และ P(A) เปนพาวเวอรเซตของเซต A ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 4 ) (A) 1. จานวนสมาชกของ P(A) เทากบ 16

2. จานวนสมาชกของ P(A) – { , {} } เทากบ 7

3. { , { ,{} } } P(A) – { ,{} }

4. { , {} , { {} } } P(A) 12. ในการสอบวชาภาษาไทย วชาภาษาองกฤษ และวชาคณตศาสตร ของโรงเรยนแหงหนง มนกเรยนสอบทงหมด 66 คน

ปรากฎวามนกเรยนทสอบตกทงสามวชา จานวน 13 คน นกเรยนทสอบไดทงสามวชา มจานวน 17 คน นกเรยนทสอบไดวชาภาษาไทย และวชาภาษาองกฤษ แตสอบตกวชาคณตศาสตรมจานวน 10 คน นกเรยนทสอบไดวชาภาษาไทย และวชาคณตศาสตร แตสอบตกวชาภาษาองกฤษ มจานวน 11 คน นกเรยนทสอบไดเพยงวชาเดยว มจานวน 6 คน จานวนนกเรยนทสอบไดวชาภาษาองกฤษและวชาคณตศาสตร เทากบเทาใด ( ตอบ 26 ) (B)


( PAT 1’53 ต.ค. )

13. กาหนดให I แทนเซตของจานวนเตม และ P(S) แทนเพาเวอรเซตของเซต S

ให A = { x I x2–1 8 } และ

B = { x I 3x2+x–2 0 } ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 4 ) (A)

1. จานวนสมาชกของ P( A–B ) เทากบ 4 2. จานวนสมาชกของ P( I – (AB) ) เทากบ 2

3. P( A–B ) = P(A) – P( AB ) 4. P( A–B ) – P( AB ) = {{0}} 14. กาหนดให A , B และ C เปนเซตใด ๆ

ถา n(A) + n(B) + n(C) = 301 และ n( ABC ) = 102

แลว n( ABC ) มคาอยางนอยเทากบเทาใด ( ตอบ 97 ) (A)


( PAT 1’54 ม.ค. ) 15. โรงเรยนแหงหนงมนกเรยนจานวน 750 คน พบวามนกเรยนจานวน 30 คน ไมเลนกฬาเลย นอกนนเลนกฬาอยางนอยหนง

ประเภท คอ ปงปอง แบดมนตน เทนนส จากการสารวจเฉพาะกลมนกเรยนทเลนกฬา พบวามนกเรยนจานวน 630 คน เลนกฬาเพยงประเภทเดยวเทานน มนกเรยนจานวน 30 คน เลนเทนนสและปงปอง มนกเรยน 50 คน เลนปงปองและแบดมนตน มนกเรยน 40 คน เลนเทนนสและแบดมนตน มนกเรยนไมเลนเทนนสจานวน 250 คน จงหาวามนกเรยนกคนทเลนเทนนสเพยงอยางเดยว ( ตอบ 415 ) (B)

16. กาหนดให A , B และ C เปนเซตจากด โดยท n(P(A)) = 4log 2 , n(P(B)) = ( 5 ) 256log5 และ

n( P(AB) ) = 3 32log2 9 เมอ P(S) แทนเพาเวอรเซตของเซต S

จงหาคาของ n( P(A)P(B) ) ( ตอบ 18 ) (A)


( PAT 1’54 ต.ค.) 17. กาหนดให P(S) แทนพาเวอรเซตของเซต S ถา A และ B เปนเซตใดๆ

โดยทจานวนสมาชกของ P(B) เปนสองเทาของจานวนสมาชกของ P(A) , n[ P(AB) ] = 8

จานวนสมาชกของ P(AB) เทากบ 256 แลวจานวนสมาชกของ P(A–B) เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 3 ) (A)

1. 2 2. 4 3. 8 4. 16

18. สาหรบเซต S ใดๆ ให S แทนคอมพลเมนตของเซต S และ n(S) แทนจานวนสมาชกของเซต S กาหนดให U เปนเอกภพสมพทธ และ A , B , C เปนเซตใดๆ ทไมเปนเซตวาง

โดยท n(U ) = 44 , n(B) = 19 , n(ABC) = 2 , n( (AC)–B ) = 3 , n( A(BC) ) = 6

และ n( ABC ) = 9 จงหาคาของ n( ( AC )–B ) ( ตอบ 16 ) (B)


( PAT 1’55 ม.ค.)

19. สาหรบเซต S ใดๆ ให S แทนคอมพลเมนตของเซต S กาหนดให A , B และ C เปนเซตในเอกภพสมพทธ U

โดยท AB = B , C A และ BC

ถาเซต U มสมาชก 12 ตว เซต AB มสมาชก 10 ตว และ เซต AB มสมาชก 4 ตว แลวจะมเซต C ทงหมดกเซต ( ตอบ 2 ) (A)

1. 60 เซต 2. 48 เซต 3. 16 เซต 4. 8 เซต 20. ในการสารวจสโมสรแหงหนงมสมาชกจานวน 100 คน พบวาชอบอานนวนยายหรอหนงสอพมพหรอนตยสาร

อยางนอย 1 รายการ และ ม 75 คน ชอบอานนวนยาย

ม 70 คน ชอบอานหนงสอพมพ และ ม 80 คน ชอบอานนตยสาร จะมสมาชกอยางนอยกคนทชอบอานทงสามรายการ ( ตอบ 25 ) (A)


( PAT 1’55 ต.ค.) 21. กาหนดให U เปนเอกภาพสมพทธ และ ให A , B และ C เปนสบเซตของ U ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 2 ) (B)

1. A – ( BC ) = ( A–B )( A–C )

2. ( AB ) – C = ( A–C )( B–C )

3. A – ( B–C ) = A( BC) 4. ( AB )–C = A( B–C )

22. กาหนดให U เปนเอกภาพสมพทธ และ ให A และ B เปนสบเซตของ U ถา 20% ของสมาชกในเซต A เปนสมาชกในเซต B

25% ของสมาชกในเซต B เปนสมาชกในเซต A และ

จานวนสมาชกของเซต ( A–B )( B–A ) เทากบ 112

แลว จานวนสมาชกของเซต AB เทากบขอใด ( ตอบ 128 ) (B)


23. นกเรยนกลมหนงม 16 คน ซงแตละคนเปนสมาชกของชมรมวชาการ หรอ ชมรมกฬา หรอ ชมรมดนตร อยางนอย 1 ชมรม พบวา ม 8 คน เปนสมาชกของชมรมวชาการ ม 10 คน เปนสมาชกของชมรมกฬา

ม 10 คน เปนสมาชกของชมรมดนตร ม 6 คน เปนสมาชกของชมรมดนตรและชมรมกฬา ม 5 คน เปนสมาชกของชมรมวชาการและชมรมกฬา และ ม 3 คน เปนสมาชกของชมรมวชาการและชมรมดนตร

ตองการเลอกผแทน 1 คน ของแตละชมรมโดยทแตละคนตองเปนสมาชกเพยงชมรมเดยวเทานน จานวนวธเลอกดงกลาวมทงหมดเทากบเทาใด ( ตอบ 6 ) (C)

( PAT 1’56 ม.ค.) 24. กาหนดให U เปนเอกภพสมพทธ และ ให A , B และ C เปนเซตใดๆ ใน U

พจารณขอความตอไปน

(ก) A – [ (AB)(ABC) ] = A – B

(ข) เพาเวอรเซตของเซต A – ( BC ) เทากบเพาเวอรเชตของเชต ( A – B ) – C ขอใดตอไปนถกตอง ( ตอบ 1 ) (B) 1. (ก) ถก และ (ข) ถก 2. (ก) ถก แต (ข) ผด 3. (ก) ผด แต (ข) ถก 4. (ก) ผด และ (ข) ผด


25. กาหนดให A และ B เปนเซตจากด โดยท AB สบเซตของ A ทมสมาชก 2 ตว มทงหมด 10 เซต และ สบเซตของ B ทมสมาชก 2 ตว มทงหมด 6 เซต

ถา จานวนสมาชกของ P(P(AB)) เทากบ 16 เมอ P(S) แทน เพาเวอรเซตของเซต S แลว จานวนสมาชกนของ

เซต AB เทากบเทาใด ( ตอบ 7 ) (A)

( PAT 1’56 ธ.ค.)

26. ให A แทนคอมพลเมนตของเซต A และ n(A) แทนจานวนสมาชกของเซต A

กาหนดให U แทนเอกภพสมพทธ ถา A และ B เปนสบเซตใน U

โดยท n( AB ) = 30 , n( AB ) = 18 , n( AB ) = 3 และ n( A–B ) = 8

แลวจานวนสมาชกของเอกภพสมพทธ U เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 3 ) (B)

1. 29 2. 30 3. 37 4. 42


( PAT 1’57 เม.ย.) 27. สาหรบเซต S ใดๆ ให n(S) แทนจานวนสมาชกของเซต S กาหนดให U แทนเอกภพสมพทธ

ถา A , B และ C เปนสบเซตใน U

โดยท n(A) = 2(n(B)) = 3(n(C)) , n(ABC) = 15 , n(ABC) = 2 ถา n( A–B ) = 8 , n( B–C ) = 4 และ n( A–C ) = 9

แลว n[ (AB) – C ] เทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 3 ) (B) 1. 13 2. 12 3. 11 4. 10

( PAT 1’57 พ.ย.)

28. ให S แทนคอมพลเมนตของเซต S และ n(S) แทนจานวนสมาชกของเซต S ให A , B และ C เปนสบเซตของเอกภพสมพทธ U

โดยท AC = , A – B , B – A , B – C และ C – B

ถา n( U ) = 20 , n(A) = 12 , n(B) = 9 , n(C) = 15 , n[ (A–B)(B–A) ] = 11

และ n[ (B–C)(C–B) ] = 12 แลว n[ (A–B)(C–B) ] เทากบเทาใด ( ตอบ 7 ) (A)


( PAT 1’58 ม.ค.) 29. สาหรบเซต X ใดๆ กาหนดให P(X) แทนเพาเวอรเซตของเซต X

ถา A , B , C , D และ E เปนเซตจากด โดยท P(D) = { , {1} , D , E } , DE AB , BC =

, { 2 , 3 , 4 ,5 } AB , 2 B และ

P(A) P(AC) P(B) P(C–A)

8 2 32 4

แลวจานวนสมาชกของเซต ABC เทากบเทาใด ( ตอบ 8 ) (B)

30. การสอบคดเลอกพนกงานของหนวยงานแหงหนง พบวาจานวนผ เขาสอบทงหมด 160 คน เปนผชายเขาสอบคดเปนรอยละ 55 แตเมอประกาศผลสอบพบวาในบรรดาผ ทสอบไดเปนผชายคดเปนรอยละ 70 และในบรรดาผ ทสอบไมผานเปนผชายคดเปนรอยละ 40 จานวนผ ทสอบไดเปนผหญงเทากบขอใดตอไปน ( ตอบ 3 ) (B)

1. 16 คน 2. 20 คน 3. 24 คน 4. 28 คน

บทที่ 1. เซต 58 7-4-16 · 1. กลมของนุ่...

Documents