บทท 2การวเคราะหขอมลเบองตน

อาจารยธนวฒน ศรศรวฒนสาขาวชาคณตศาสตร

คณะครศาสตรมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทาสปดาหท 2

การแจกแจงความถ

การแจกแจงความถ (frequency distribution) เปนวธการทางสถตทใชในการจดขอมลทเกบรวบรวมมาใหอยเปนกลมๆ หรอชวง ซงในแตละกลมถกแยกออกจากกนอยางเปนหมวดหม มองเหนไดงาย เหมาะอยางยงส าหรบขอมลทมจ านวนมากๆ ปกตแลวการแจกแจงความถนยมท าเปนรปตาราง จงเรยกวา “ตารางแจกแจงความถ” ซงมขนตอนในการสราง ดงน

การแจกแจงความถ

ขนท 1 หาพสย (range) เปนคาความแตกตางระหวางคาสงสดและคาต าสดของขอมล โดยค านวณหาไดจาก

เมอ แทน พสย แทน คาของขอมลทมคาสงสดแทน คาของขอมลทมคาต าสด

R = X - Xmax minR X maxXmin

การแจกแจงความถ

ขนท 2 ก าหนดจ านวนชนหรอกลม หรออาจค านวณหาจ านวนชนจากสตรโดย Sturges’rule ดงน

เมอ k แทน จ านวนชน n แทน จ านวนขอมลทงหมดทมอย

k = 1 + 3.322 log n10

การแจกแจงความถ

ขนท 3 หาความกวางของชนหรอ “อนตรภาคชน” (class interval) ซงหาไดจาก

เมอ W แทน ความกวางของแตละชน

ขนท 4 ด าเนนการขดรอยคะแนน (tally) ของขอมลทกรายการ เพอหาความถของขอมล ในแตละชน

RW = k

ตวอยาง อายของคน 40 คน ทเขารวมประชมสมมนาทางวชาการครงหนง เปนดงน

20 52 80 24 36 84 35 28 24 42

45 31 81 24 33 47 80 83 55 56

58 32 24 60 67 55 90 59 71 78

54 24 81 93 41 52 82 24 98 47

จงสรางตารางแจกแจงความถของอายของผเขารวมประชมสมมนาทางวชาการ8*

วธท า จากขอมลขางตน คาสงสด คอ 98 คาต าสด คอ 20ดงนน พสย คอจ านวนชนหาไดจากจะได

และหาขนาดของความกวางของชน คอ

จะได

ดงนน ความกวางของชน เปน 13 และไดชวงของขอมลเปน

20 – 32, 33 – 45, 46 – 58, 59 – 71, 72 – 84 และ 85 – 98

R = 98 - 20 = 78k = 1 + 3.322 log n10

k = 1 + 3.322 log 4010

k 6

RW = k78W = = 136

อาย (ป) รอยขด ความถ

20 – 32

33 – 45

46 – 58

59 – 71

72 – 84

85 – 98

10

6

9

4

8

3รวม 40

หลงจากนนด าเนนการสรางตารางและขดรอยคะแนนแลวนบจ านวนขอมลทมคาตกอยในแตละชน เพอหาความถและจะไดตารางการแจกแจงความถของขอมลอายของผเขารวม ประชมสมมนาทางวชาการดงน

นอกจากการแจกแจงความถแลวผศกษาอาจน าเสนอโดยการแจกแจงความถ

สะสมการแจกแจงความถสมพทธ และการแจกแจงความถสะสมสมพทธ โดยม

รายละเอยดดงน

ความถสะสม (cumulative frequency) เปนผลรวมของความถของคานน

หรออนตรภาคชนนนกบอนตรภาคชนทมชวงคะแนนต ากวาทงหมด

ความถสมพทธ (relative frequency) เปนอตราสวนของความถของแตละ

ชนขอมลกบความถรวม หรอจ านวนขอมลทงหมด

ความถสะสมสมพทธ (relative cumulative frequency) เปนผลรวม

สะสมของความถสมพทธสะสมจากชนทมคาของขอมลต าสดไปยงคาของขอมลสงสด

อาย (ป) ความถ (f) ความถสะสม (F) ความถสมพทธความถสะสม

สมพทธ

20 – 32

33 – 45

46 – 58

59 – 71

72 – 84

85 – 98

10

6

9

4

8

3

10

16

25

29

37

40

0.250

0.150

0.225

0.100

0.200

0.075

0.250

0.400

0.625

0.725

0.925

1.000

รวม 40 1.000

ตารางแจกแจงความถ ความถสะสม ความถสมพทธ และความถสะสมสมพทธ จ าแนกตามชวงอายของผเขารวมสมมนาทางวชาการ

นอกจากการแจกแจงความถขางตนแลวยงสามารถแจกแจงความถโดยใชกราฟ

ดงน1) ฮสโทแกรม (histogram) เปนแผนภมทมลกษณะเปนรป

สเหลยมมมฉากวางเรยงตดกนบนแกนนอน โดยมแกนนอนแทนคาของตวแปร มความกวางขนาดเทากบความกวางของอนตรภาคชน ความสงแสดงความถหรอความถสมพทธ และในบางครงคาสงเกตไมเปนคาตอเนอง ดงนนในการสรางฮสโทแกรม เพอใหรปสเหลยมมมฉากวางเรยงตดกน จงตองหาขอบลางและขอบบนของแตละอนตรภาคชนกอน

2) รปหลายเหลยมของความถ (the frequency polygon) เปนรปทเกดจากการลากเสนตอจดกงกลางของแตละชน ดานบนของแทงฮสโทแกรม พนททงหมดภายใตรปหลายเหลยมความถจะเทากบพนททงหมดภายใต ฮสโทแกรม

1. คาเฉลยเลขคณต (arithmetic mean) อาจเรยกสนๆ วาคาเฉลย (mean) เปนการหาคากลางของขอมลชนดหนง ซงเปนคาทไดจากการเฉลยขอมลทงหมด

1.1 คาเฉลยเลขคณตกรณขอมลไมแจกแจงความถ หาไดโดยการหารผลรวมของขอมลทงหมดดวยจ านวนขอมล นนคอ ถาให เปนขอมลขนาด จากประชากร และเปนขอมลขนาด จากกลมตวอยาง จะได

การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง

คาเฉลยเลขคณตของประชากร คอ

คาเฉลยเลขคณตของกลมตวอยาง คอ

μ

NXii=1= N

nXii=1X = n

ตวอยาง จากการสมคะแนนสอบวชาคณตศาสตรครงหนงของนกเรยน 10 คน

ไดขอมลดงน 10, 15, 15, 12, 10, 8, 18, 9, 10, 14 คะแนน จงหาคะแนนเฉลยของ

นกเรยนในการสอบครงนวธท า ดวยคะแนนสอบเปนคะแนนของนกเรยนทสมมาจ านวน 10 คน จะได

ดงนน คะแนนเฉลยในการสอบเทากบ 12.10 คะแนน

nXii=1X = n

[10 15 15 12 10 8 18 9 10 14]X = 10

X = 12.10

สมบตทส าคญของคาเฉลยเลขคณต

ในการศกษาคาเฉลยเลขคณตจะพบวามสมบตทส าคญดงน1) 2)

3) 4)

5) คาเฉลยเลขคณตเปนคาสถตทใชกบขอมลในระดบอนตรภาคและอตราสวน

6) คาเฉลยเลขคณตไมเหมาะกบชดขอมลทมคาสงมากๆ หรอต ามากๆ

เนองจากจะท าใหคาเฉลยเลขคณตทค านวณไดไมเปนตวแทนทดของขอมลนน

X - X = 0i

X = X ±kX(X±k)X = kX X(kX)

1X = X xkxk

สมบตทส าคญของคาเฉลยเลขคณต

7) กรณทคาสงเกตหรอขอมลแตละตวมน าหนกความส าคญไมเทากน เชน การค านวณหาผลการเรยน

เฉลย ซงในแตละวชามน าหนกหรอจ านวนหนวยกตไมเทากน ถาใชคาเฉลยเลขคณตอาจท าใหเกดความ

คลาดเคลอนได จงควรใช “คาเฉลยเลขคณตถวงน าหนก” (weighted arithmetic mean) จะท าใหไดคา

กลางทเปนตวแทนของขอมลทด

เมอ แทน คาเฉลยเลขคณตถวงน าหนกแทน น าหนกความส าคญของ

nw X

i ii=1X = nwww

ii=1

Xwww

ixi

8) กรณทมขอมลหลายชดแตละชดกมคาเฉลยเลขคณต ถาตองการทราบคาเฉลยเลขคณตของขอมลทงหมด สามารถหาไดจาก “คาเฉลยเลขคณตรวม” (combined arithmetic mean) มสตรดงน

เมอ แทน คาเฉลยเลขคณตรวม

แทน คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท i

สมบตทส าคญของคาเฉลยเลขคณต

kn Xi ii=1X = knii=1

XXi

การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง

1.2 คาเฉลยเลขคณตกรณขอมลแจกแจงความถ เปนการหาคาเฉลยเลขคณตในกรณทมขอมลจ านวนมากและแจกแจงความถ คอถาก าหนดให เปนความถของขอมลในอนตรภาคชนท 1 ทม เปนจดกงกลางชน และ เปนความถของขอมลในอนตรภาคชนท 2 ทม เปนจดกงกลางชนไปเรอยๆ ถง เปนความถของขอมลในอนตรภาคชนท k ทม เปนจดกงกลางชน จะได

f1

X1 f2

X2fk Xk

คาเฉลยเลขคณตของประชากรคอ

คาเฉลยเลขคณตของกลมตวอยางคอ

μ

kf Xi ii=1 = N

kf Xi ii=1X = n

การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง

ในกรณทขอมลมคามากๆ อาจใชเทคนคการลดคะแนน โดยใชสตรการค านวณ ดงน

เมอ แทน คะแนนเฉลยทสมมตขน

แทน คาของจดกงกลางชนลบดวยคะแนนเฉลยสมมต หารดวย

ความกวางของอนตรภาคชน

แทน ความกวางของอนตรภาคชน

kfdi ii=1X = a + i n

a di

i

การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง

การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง

2. มธยฐาน (median : Med) เปนคาของขอมลทอยกงกลางของขอมลทงชดเมอ

เรยงล าดบขอมลชดนนจากนอยไปมากหรอจากมากไปนอย

2.1 มธยฐานกรณขอมลไมแจกแจงความถ หาไดโดยการเรยงล าดบขอมล

จากนอยไปมากหรอจากมากไปนอย แลวพจารณาวา ถาจ านวนขอมลเปนจ านวนค มธยฐาน

คอคาทอยในต าแหนงกงกลางของขอมลทงหมด แตถาจ านวนขอมลเปนจ านวนค มธยฐานคอ

คาทอยในต าแหนงกงกลางของขอมลทงหมดบวกกนแลวหารดวย 2 และถาขอมลมจ านวน

มากสามารถหาต าแหนงของมธยฐาน โดยค านวณจากสตร ต าแหนงของ (N+1)Med = 2

การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง 2.2 มธยฐานกรณขอมลแจกแจงความถ สามารถหาไดโดยสรางตารางแจกแจงความถสะสม แลวพจารณาชนทมต าแหนงของ คอขอมลตวท และค านวณหามธยฐานจากสตร

เมอ L แทน ขอบลางของชนทมมธยฐานN แทน จ านวนขอมลทงหมด

แทน ความถสะสมของชนทมคาต ากวาชนทมมธยฐานแทน ความถของชนทมมธยฐาน

i แทน ความกวางของอนตรภาคชน

Med N2

N - FL2Med = L + i fM

FLfM

การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง

3. ฐานนยม (mode:Mo) คอคาของขอมลทมความถสงสด หรอเกดบอยครงทสด ขอมล บางชด อาจจะไมมฐานนยมเลยกได ในกรณทมจ านวนขอมลมากอาจมฐานนยมมากกวา 1 คาได

3.1 ฐานนยมกรณขอมลไมแจกแจงความถ สามารถหาฐานนยมโดยพจารณาคาหรอขอมลทมความถสงสด

การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง

3.2 ฐานนยมกรณขอมลแจกแจงความถ สามารถหาไดจากการค านวณ โดยใชสตรในการค านวณดงน

เมอ แทน ผลตางของความถของชนทฐานนยมอยกบความถของชนต ากวาแทน ผลตางของความถของชนทฐานนยมอยกบความถของชนสงกวา

L แทน ขอบลางของชนทมความถสงสดi แทน ความกวางของอนตรภาคชน

d 1Mo = L + i d + d1 2

d1d2

ตารางท 3.3 การเลอกใชการวดแนวโนมเขาสสวนกลาง

การวดแนวโนมเขาส

สวนกลางการเลอกใช

คาเฉลยเลขคณต - เปนคาสถตทใชกบขอมลในระดบอนตรภาค และระดบ อตราสวน

- เปนคาทไดจากการเฉลยขอมลทงหมด

- ไมเหมาะกบชดขอมลทมคาสงผดปกต หรอต าผดปกต เนองจากจะท าใหคาเฉลยเลขคณตท

ค านวณไดไมเปนตว แทนทดของขอมล

มธยฐาน - เปนคาสถตทใชกบขอมลในระดบเรยงอนดบระดบอนตรภาค และระดบอตราสวน

- สามารถใชกบชดขอมลทมคาสงผดปกตหรอต าผดปกตเนองจากไมกระทบตอการค านวณ

ฐานนยม - เปนคาสถตทใชกบขอมลทกระดบ

- สามารถใชกบชดของขอมลทมคาสงผดปกต หรอต าผดปกต เนองจากไมกระทบตอการค านวณ

- เหมาะส าหรบใชขอมลทมการซ ากนมากๆ

การวดการกระจาย

การวดการกระจาย (measure of variation) เปนการพจารณาถงลกษณะการกระจายของขอมลวามการกระจายมากนอยเพยงใดเพอประกอบการเลอกขอมลเมอขอมลแตละชดมการวดแนวโนมเขาสสวนกลางเทากน โดยแบงได 2 วธ คอ การวดการกระจายสมบรณ และการวด การกระจายสมพทธ มรายละเอยดดงน

การวดการกระจาย

1. การวดการกระจายสมบรณ (measure of absolute variation) เปนการวดการกระจายของขอมลเพยงชดเดยวเพอเปรยบเทยบความแตกตางของคาสงเกตของขอมล โดยการวดการกระจาย ทนยมใชม 5 ชนดดงน

1.1 พสย (range) เปนคาความแตกตางระหวางคาสงสดและคาต าสดของขอมลหนงๆ ในกรณไมแจกแจงความถ หาไดจาก

พสย = คาสงสด – คาต าสด

R = X - Xmax min

การวดการกระจาย1.2 สวนเบยงเบนควอรไทล (quartile deviation) เปนคาครงหนง

ของผลตางระหวางควอรไทลท 3 กบควอรไทลท 1 โดยการหาสวนเบยงเบนควอรไทลทงกรณทยงไมแจกแจงความถ และกรณทการแจกแจงความถ หาไดจาก

เมอ แทน สวนเบยงเบนควอรไทลแทน คาของขอมล ณ ต าแหนงควอรไทลท 3แทน คาของขอมล ณ ต าแหนงควอรไทลท 1

Q - Q3 1Q.D. = 2Q.D.Q3Q1

การวดการกระจาย1.2 สวนเบยงเบนควอรไทล (quartile deviation) เปนคาครงหนง

ของผลตางระหวางควอรไทลท 3 กบควอรไทลท 1 โดยการหาสวนเบยงเบนควอรไทลทงกรณทยงไมแจกแจงความถ และกรณทการแจกแจงความถ หาไดจาก

เมอ แทน สวนเบยงเบนควอรไทลแทน คาของขอมล ณ ต าแหนงควอรไทลท 3แทน คาของขอมล ณ ต าแหนงควอรไทลท 1

Q - Q3 1Q.D. = 2Q.D.Q3Q1

การวดการกระจาย

1.3 สวนเบยงเบนเฉลย (mean deviation หรอ average deviation) เปนคาทไดจากการเฉลยของคาเบยงเบนของขอมลแตละตวทเบยงเบนไปจากคาเฉลยของขอมลชดนน ซงแตกตางกบพสย และสวนเบยงเบนควอรไทล ทค านวณเฉพาะคาของขอมลบางคาเทานนโดยแบงได 2 กรณดงน

การวดการกระจาย

1.3.1 สวนเบยงเบนเฉลยในกรณขอมลไมแจกแจงความถ สามารถค านวณไดจากสตร

เมอ MD. แทน สวนเบยงเบนเฉลยแทน คาหรอคะแนนของขอมลท iแทน คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนน

n แทน จ านวนขอมลทงหมด

kX - Xii=1M.D. = n

XiX

การวดการกระจาย

1.3.2 สวนเบยงเบนเฉลยในกรณขอมลแจกแจงความถ สามารถค านวณไดจากสตร

kf X - Xi ii=1M.D. = n

การวดการกระจาย

1.4 สวนเบยงเบนมาตรฐาน (standard deviation) เปนการวดการกระจายของขอมลทมกนยมใช ดวยเปนการหารากทสองของคาเฉลยของก าลงสองของคาเบยงเบนของขอมลแตละตวทเบยงเบนจากคาเฉลยของขอมลชดนน โดยแบงได 2 กรณ มรายละเอยดดงน

การวดการกระจาย

1.4.1 สวนเบยงเบนมาตรฐานกรณขอมลไมแจกแจงความถสามารถค านวณไดจากสตรดงน

μσ μ

2N N N N2 2 2(X - ) X X Xi ii i2i=1 i=1 i=1 i=1 = = - = -N N N N

2n nn n 22 2 2 n X - X(X -X) X - nX ii ii i=1 i=1i=1 i=1S = = = n - 1 n - 1 n n - 1

เมอ แทน สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร

S แทน สวนเบยงเบนมาตรฐานของกลมตวอยาง

แทน คาเฉลยเลขคณตของประชากร

แทน คาเฉลยเลขคณตของกลมตวอยาง

แทน คาหรอคะแนนตางๆ ของขอมลท i

N แทน จ านวนขอมลของประชากร

n แทน จ านวนขอมลของกลมตวอยาง

σ

μ

XXi

การวดการกระจาย

การวดการกระจาย

1.4.2 สวนเบยงเบนมาตรฐานกรณขอมลแจกแจงความถ สามารถหาค านวณไดจากสตรดงน

μσ

2k k k2 2f X - f X f Xi i i i iii=1 i=1 i=1 = = - N N N

222 n f X - ( f X )f (X -X) i i ii i iS = = n - 1 n(n - 1)

การวดการกระจาย

1.5 ความแปรปรวน (variance) เปนคาก าลงสองของสวนเบยงเบนมาตรฐาน ดงนนการค านวณคาความแปรปรวนสามารถค านวณเชนเดยวกบคาสวนเบยงเบนมาตรฐาน แตไมตองถอดรากทสอง นนคอเทากบคาสวนเบยงเบนมาตรฐานยกก าลงสอง ในกรณประชากรจะแทนดวยสญลกษณ และความแปรปรวนของกลมตวอยางแทนดวยสญลกษณ ค านวณไดดงน

การวดการกระจาย

1.5.1 ความแปรปรวนของประชากรและกลมตวอยางกรณขอมลไมแจกแจงความถ สามารถหาไดดงน

μσ

2N N N2 2(X - ) X Xi ii2 i=1 i=1 i=1 = = - N N N

n n n n2 2 2 2 2(X -X) X - nX n X - ( X )i ii i2 i=1 i=1 i=1 i=1S = = = n - 1 n - 1 n n - 1

การวดการกระจาย

1.5.2 ความแปรปรวนของประชากรและกลมตวอยางกรณขอมลแจกแจงความถ สามารถหาไดดงน

μσ

2k k k2 2f X - f X f Xi i i i ii2 i=1 i=1 i=1 = = - N N N

222 n f X - ( f X )f (X -X) i i i2 i i iS = = n - 1 n(n - 1)

การวดการกระจาย

2. การวดการกระจายสมพทธ (relative variation) เปนการหาคาเพอเปรยบเทยบ การกระจายระหวางขอมลมากกวาหนงชด ซงเหมาะส าหรบขอมลทแตกตางกนมากจงหาอตราสวนของคาทไดจากการวดการกระจายสมบรณกบคากลางของขอมลชดนนๆ ซงมอย 4 ชนด ไดแก

สมประสทธของพสย (C.R.) สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล (C.Q.D.) สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย (C.M.D.)สมประสทธของการแปรผน (C.V.)

การวดการกระจาย

สมประสทธของพสย (C.R.)

สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล (C.Q.D.)

สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย (C.M.D.)

สมประสทธของการแปรผน (C.V.)

X - Xmax min= X + Xmax minQ - Q3 1= Q + Q3 1

M.D.= x

S= ×100%X

ตาราง การเลอกใชการวดการกระจาย

การวดการกระจายระดบการวด

นามบญญต เรยงอนดบ อนตรภาค อตราสวน

พสย - -

สวนเบยงเบนควอรไทล -

สวนเบยงเบนมาตรฐาน - -

ความแปรปรวน - -

การวเคราะหขอมลเบองตนโดยใชโปรแกรมคอมพวเตอร

โดยใชโปรแกรมคอมพวเตอร SPSS มขนตอนดงนขนท 1 กรอกขอมลในโปรแกรมขนท 2 คลกเลอกค าสง Analyze Descriptive Statistics Frequenciesขนท 3 เลอกตวแปรทตองการวเคราะหในชอง Variable(s)ขนท 4 คลก Statistics... เพอวเคราะหค านวณคา ไดแก คาเฉลย คามธยฐาน คา

ฐานนยม และการวดการกระจาย แลวคลก Continueขนตอนท 5 คลก OK

ตวอยางงานวจยทางการศกษาทใชการวเคราะหขอมลเบองตน

อษา จนทร (2552) ท าวจยเรอง “การพฒนากจกรรมการเรยนรคณตศาสตร เรอง การหาร ส าหรบนกเรยนชนประถมศกษาปท 3 โดยใชรปแบบแนวคดของทฤษฎคอนสตรคตวสต ทเนนทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตร”

วตถประสงคการวจย: เพอศกษาผลการพฒนาทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตร ของนกเรยนชนประถมศกษาปท 3 โรงเรยนบานหวบง อ าเภอน าพอง จงหวดขอนแกน ทเกดจากผลการพฒนากจกรรมการเรยนรคณตศาสตร เรอง การหาร โดยใชรปแบบแนวคดของทฤษฎคอนสตรคตวสตทเนนทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตร

ตวอยางงานวจยทางการศกษาทใชการวเคราะหขอมลเบองตน

วงจรทจ านวนนกเรยนทงหมด

คะแนนจ านวนนกเรยนทผานเกณฑ

เตม ผานเกณฑ

สงสด ต าสด คาเฉลย รอยละ สวนเบยงเบนมาตรฐาน

จ านวน(คน)

รอยละ

1 13 20 14 20 9 16.69 83.46 3.33 11 84.62

จากตารางพบวา ผลการทดสอบทายวงจรท 1 นกเรยนไดคะแนนเฉลยรอยละ 83.46 และมนกเรยนไดคะแนนผานเกณฑรอยละ 70 ของคะแนนเตม จ านวน 11 คน คดเปนรอยละ 84.62

สถตทใชในการวเคราะหขอมล : คาเฉลย สวนเบยงเบนมาตรฐาน และการหารอยละผลการวเคราะหขอมล :ตารางผลการทดสอบทายวงจร

อางอง

ธนวฒน ศรศรวฒน. (2560). สถตเพอการวจย.กรงเทพฯ : มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา.