มธ.151 บทท 4 ตรรกศาสตร 1

บทท 4 ตรรกศาสตร ตรรกศาสตร (logic) คอวชาทวาดวยการใหเหตผลซงเกยวของกบขอความเปนชดทเรยงตามล าดบ

กอนหลง (a series of statements) การไดมาของผลภายใตกฎเกณฑทก าหนดถอเปนสาระส าคญ ขอความหรอการใหเหตผลในชวตประจ าวนสามารถสรางเปนรปแบบทชดเจนจนใชประโยชนในการสรปความ ความสมเหตสมผลเปนทยอมรบกนอยางกวางขวาง ตรรกศาสตรมบทบาทมากไมเพยงแตในชวตประจ าวนเทานนแตเปนศาสตรทจ าเปนมากส าหรบนกกฎหมายและนกรฐศาสตร

ประพจน (Proposition or Statement) บทนยาม ประพจน คอ ประโยคบอกเลาหรอปฏเสธทมคาความจรงเปนจรงหรอเปนเทจ อยางใดอยางหนงเทานน ในวชาตรรกศาสตรจะใชสญลกษณ p, q, r และ s แทนประพจน และใช T แทนคาความจรงเปนจรง ใช F แทนคาความจรงเปนเทจ

ตวอยางประโยคทเปนประพจน 1. กรงเทพมหานครเปนเมองหลวงของประเทศไทย

** เปนประพจน มคาความจรงเปน จรง 2. x + 3 = 5 ค าตอบของสมการคอ 2

** เปนประพจน มคาความจรงเปน จรง 3. พระอาทตยไมไดขนทางทศตะวนตก

** เปนประพจน มคาความจรงเปน จรง 4. x - 4 = 10 ค าตอบของสมการคอ 7

** เปนประพจน มคาความจรงเปน เทจ

ประโยคทไมเปนประพจน ประโยคทไมใช ประโยคบอกเลา หรอประโยคปฎเสธ ไดแก ประโยคค าสง ขอรอง ออนวอน ค าถาม อวยพร หาม อทาน ปรารถนา วล ค าพงเพย ประโยคทไมสามารถบอกคาความจรงได ประโยคทมคาความจรงเปนจรงหรอเทจ กได เปนตน เชน 1. กรณาอยาสงเสยงดง ( หาม)

2. ขอใหคณพระคมครอง (อวยพร) 3. โปรดเถดดวงใจ (ออนวอน) 4. ทรกเรารกกนไมได (ขอรอง) 5. x + 5 = 8 แลว x มคาเทาไร (ค าถาม) 6. อย ! ตาเถร (อทาน) 7. อยากใหทกคนในโลกนรกเรา (ปรารถนา)

8. ใหทกคนท าการบานขอ 1 ถง ขอ 20 (ค าสง)

มธ.151 บทท 4 ตรรกศาสตร 2

การเชอมประพจน ให p , q , r , ... แทนประพจน และให T แทนคาความจรงของประพจนทเปนจรง และ F แทนคา

ความจรงของประพจนทเปน เทจ เมอน าประพจนมาเชอมกนดวยตวเชอม จะเรยกประพจนใหมวา “ประพจนเชงประกอบ” หรอ “ประพจนผสม”

ตวเชอมประพจนในทางตรรกศาสตรม 5 ประเภท ไดแก 1. ตวเชอม "และ" เปนตวเชอมระหวางประพจนสองประพจนซงใชสญลกษณ (อานวา

และ) แทนค าวา "และ" ดงนนเมอเชอมประพจน p , q ดวยตวเชอม "และ" จะไดประพจน " p และ q " เขยนแทนดวย p q (อานวา พและคว) 2. ตวเชอม "หรอ" เปนตวเชอมระหวางประพจนสองประพจน ซงใชสญลกษณ (อานวา หรอ) แทนค าวา "หรอ" ดงนนเมอเชอมประพจน p , q ดวยตวเชอม "หรอ" จะไดประพจน " p หรอ q " เขยนแทนดวย p q (อานวา พหรอคว) 3. ตวเชอม "ถา....แลว" เปนตวเชอมระหวางประพจนสองประพจน โดยทประพจนหนงอยหลงค าวา "ถา" สวนอกประพจนหนงอยหลงค าวา "แลว" ตวเชอม "ถา...แลว" เปนตวเชอมทส าคญมากในทางคณตศาสตร เพราะเปนตวเชอมทแสดงความเปน "เหต" เปน "ผล" ซงใชสญลกษณ (อานวา ถา...แลว) แทนค าวา "ถา...แลว" ดงนนเมอเชอมประพจน p , q ดวยตวเชอม "ถา...แลว" จะไดประพจน " ถา p แลว q " เขยนแทนดวย p q (อานวา ถา...พ...แลว...คว) 4. ตวเชอม "กตอเมอ" เปนตวเชอมระหวางประพจนสองประพจน ทใชสญลกษณ (อานวา กตอเมอ) แทนค าวา "กตอเมอ" ดงนนเมอเชอมประพจน p , q ดวยตวเชอม "กตอเมอ" จะไดประพจน " p กตอเมอ q " เขยนแทนดวย p q (อานวา พ กตอเมอ คว) 5. นเสธ สามารถเขยนนเสธแทนดวยสญลกษณ ซงเมอเตมสญลกษณนลงหนาประพจนใด จะไดประพจนใหมซงเปนประโยคปฏเสธหรอตรงกนขามกบประพจนเดม เชน ถา p แทนประพจน 2 + 3 = 3 + 2 จะไดวา p แทนประพจน 2 + 3 ≠ 3 + 2 การหาคาความจรงของประพจน

ตารางคาความจรง (Truth table) คอ ตารางทแสดงคาความจรงทเปนไปไดทงหมดของประพจน คาความจรง ในตารางจะมกกรณนนขนอยกบจ านวนประพจนทเราพจารณา กลาวคอ

ก ) ถามประพจนเพยงประพจนเดยว ไดคาความจรง 2 กรณ คอ p T F

มธ.151 บทท 4 ตรรกศาสตร 3

ข ) ถามประพจนสองประพจน จะไดคาความจรง 4 กรณ คอ p q T T F F

T F T F

ค ) ถามประพจนสามประพจน จะไดคาความจรง 8 กรณ คอ

p q r T T T T F F F F

T T F F T T F F

T F T F T F T F

ดงนน ถามประพจน n ประพจน จะไดจ านวนกรณของคาความจรง = 2n เมอ n = 1 , 2 , 3 ,...

ตารางคาความจรงของประพจนทเกดจากการเชอมดวยตวเชอม 5 ชนด

p q p q p q p q p q T T F F

T F T F

T F F F

T T T F

T F T T

T F F T

p p T F

F T

มธ.151 บทท 4 ตรรกศาสตร 4

ตวอยาง ให p แทน 2 + 3 = 5 มคาความจรงเปน จรง q แทน 5 เปนเลขค มคาความจรงเปน เทจ

วธท า 1. p q T F F ดงนน มคาความจรงเปน เทจ 2. p q ดงนน มคาความจรงเปน จรง 3. p q ดงนน มคาความจรงเปน เทจ 4. p q ดงนน มคาความจรงเปน เทจ

การหาคาความจรงจากประพจนผสม การหาคาความจรงของประพจนผสมจะแบงออกเปน 2 กรณ กรณท 1 เปนการหาคาความจรงของประพจนผสม โดยทไมบอกคาความจรงของประพจนยอย ๆ

มาใหเลยแมแตประพจนเดยว กรณท 2 เปนการหาคาความจรงของประพจนผสม โดยทบอกคาความจรงของประพจนยอย ๆ มา

ให หลกการหาคาความจรงของประพจนผสม 1. ตองหาคาความจรงของประพจนทอยในวงเลบเสยกอน 2. ถาประพจนเดยวใดมนเสธก ากบตองหาคาของนเสธใหเรยบรอยเสยกอนจงจะน าไปเชอมกบตว

อน กรณท 1 หาคาความจรงของประพจนผสมโดยทไมบอกคาความจรงของประพจนยอย ๆ มาใหเลย การหาคาของความจรงของโจทยประเภทน เราตองพจารณาคาความจรงทอาจจะเกดขนไดทงหมด

จากประพจนยอย ๆเหลานนโดยตตาราง สวนทจะมกรณเกดขนไดกกรณขนอยทโจทยมประพจนกประพจน

ตวอยาง จงหาคาความจรงของประพจน p ( p q ) ม 2 ประพจนยอย คอ p กบ q ดงนน จะมคาความจรงทอาจจะเปนไปได 4 กรณ

P q p q p ( p q ) T T F F

T F T F

T T T F

T T T T

มธ.151 บทท 4 ตรรกศาสตร 5

ตวอยาง จงหาคาความจรงของประพจน (p q ) q ตวอยาง จงหาคาความจรงของประพจน (p q ) p

กรณท 2 หาคาความจรงของประพจนผสมโดยทบอกคาความจรงของประพจนยอย ๆ มาให ในกรณนแบงออกเปน 2 ประเภท คอ

ประเภทท 1 โจทยจะใหคาความจรงของประพจนยอย ๆ มาครบทกประพจน ถาเปนเชนนโจทยขอนน ๆ จะมค าตอบ 2 อยาง คอ จรง (T) หรอเทจ (F)

ประเภทท 2 โจทยจะใหคาความจรงของประพจนยอย ๆ มาไมครบทกประพจน ถาเปนเชนนโจทยขอนน ๆ จะมค าตอบ 2 อยาง คอ จรง (T) เทจ (F) หรอ สรปไมได ซงหมายความวาเปนจรงบางเทจบาง ตวอยาง ก าหนด p , q , r , s เปนคาความจรงเปน จรง เทจ เทจ และเทจ ตามล าดบ

จงหาคาความจรงของประพจน ( p q ) ( r s )

มธ.151 บทท 4 ตรรกศาสตร 6

ตวอยาง ก าหนด q เปนคาความจรง เปน เทจ จงหาคาความจรงของ ประพจน p ( q r ) ตวอยาง ก าหนด p , r เปนคาความจรง เปน จรง และเทจ ตามล าดบ

จงหาคาความจรงของประพจน ( p q ) ( r s ) การสมมลของประพจน

ประพจนสองประพจนจะสมมลกน ตอเมอ ประพจนคนนมคาความจรงขนสดทายเหมอนกนทกกรณ สญลกษณคอ

ถาประพจนคใดสมมลกน จะเรยกกนงาย ๆ วา ประพจนคนนเทากน การตรวจสอบสมมลของประพจน ท าได 2 วธ คอตรวจสอบดวยตารางคาความจรง หรอการใชสตรตรรกศาสตรในการตรวจสอบ แตในทนจะกลาวถงกรณการตรวจสอบดวยวธการใชตารางคาความจรงเทานน ตวอยาง จงพจารณาวา ประพจนตอไปนสมมลกนหรอไม p q กบ q p

p q p q p q q p T T F F

T F T F

F F T T

F T F T

T F T T

T F T T

มธ.151 บทท 4 ตรรกศาสตร 7

ตวอยาง จงพจารณาวา ประพจนตอไปนสมมลกนหรอไม ( p q ) กบ q p สจนรนดร (Tautology)

สจนรนดร คอ ประพจนผสมทมคาความจรงขนสดทายเปนจรงทกกรณ ไมวาประพจนยอย ๆ จะมคาความจรงเชนไรกตาม ถาคาความจรงขนสดทายไมเปนจรงทกกรณ (สามารถเกด F ไดอยางนอยหนงกรณ) แลวประพจนผสมนนไมเปนสจนรนดร

การตรวจสอบวาประพจนนน ๆ เปนสจนรนดรหรอไมสามารถท าไดหลายวธ เชน การสรางตารางคาความจรง การใชสตรตรรกศาสตร หรอการสมมตขอขดแยง แตในทนจะกลาวถงวธการใชตารางคาความจรงเทานน ตวอยาง จงพจารณาวาประพจน p ( p q ) เปนสจนรนดรหรอไม ตวอยาง จงพจารณาวาประพจน (p q) (p q) เปนสจนรนดรหรอไม

มธ.151 บทท 4 ตรรกศาสตร 8

การอางเหตผล การอางเหตผล เรยกอกอยางหนงวา การใหเหตผลทางตรรกศาสตร การอางเหตผลนเปนสงหนงท

ส าคญในวชาคณตศาสตร เพราะการพสจนทฤษฎทางคณตศาสตรจะยอมรบหลกการสรปผลแบบการใหเหตผลทางตรรกศาสตรเปนส าคญ

การอางเหตผล คอ การสรปผลจากขอความทโจทยก าหนดมาให การอางเหตผลจะประกอบดวยขอความ 2 ตอน คอ ขอความตอนน า ซงจะเรยกวา เหต หรอสงทก าหนดให และขอความตอนตามซงจะเรยกวา ผล หรอขอสรป

รปแบบของการอางเหตผล ถา P1 , P2 , P3 ,... Pn เปนขอความใด ๆ โดยเปนเหต ถา C เปนขอความใด ๆ โดยเปนผล น าเหตทงหมดมาเชอมดวย และน าไปเชอมกบผลดวย

( P1 P2 P3 ... Pn ) C การอางเหตผลหรอการสรปผลจากขอความทโจทยก าหนดให ม 2 แบบ ตอ แบบท 1 ถาสรปผลนนเปนสจนรนดร เรยกการอางเหตผลนนวา สมเหตสมผล (Valid) แบบท 2 ถาสรปผลนนไมเปนเปนสจนรนดร เรยกการอางเหตผลนนวา ไมสมเหตสมผล (Invalid)

ตวอยาง การอางเหตผลน สมเหตสมผลหรอไม

เหต 1. p q 2. p

ผล q

มธ.151 บทท 4 ตรรกศาสตร 9

ตวอยาง การอางเหตผลน สมเหตสมผลหรอไม เหต 1. ถาฝนตก แลวกบรอง

2. กบรอง ผล ฝนตก

การอางเหตผลดวยวธของเวน – ออยเลอร

วธของ เวน – ออยเลอร จะวาดแผนภาพใหสอดคลองกบเหต หรอ สมมตฐานทกกรณทเปนไปได แลวดวาแผนภาพแตละกรณสอดคลองกบผลสรปตามทสรปไวหรอไม ถาทกแผนภาพสอดคลองกบผลสรปตามทสรปไว เรากลาววาการใหเหตผลนนสมเหตสมผล แตถามบางกรณของแผนภาพไมแสดงผลสรปตามทสรปไวจะกลาววาการใหเหตผลนนไมสมเหตสมผล

กอนทจะใชแผนภาพ เซตของ เวน – ออยเลอร ชวยในการตรวจสอบความสมเหตสมผล เราจะตองตกลงกนกอนวา ขอความแตละแบบจะวาดแผนภาพแสดงไดอยางไร

ให a เปนสมาชกของเซต A b เปนสมาชกของเซต B

1) a ทกตวเปน b 2) ไมม a ตวใดเปน b

มธ.151 บทท 4 ตรรกศาสตร 10

3) a บางตวเปน b (บรเวณแรเงา) 4) a บางตวไมเปน b (บรเวณแรเงา)

5) ถาไมทราบความสมพนธระหวาง A กบ B จะเขยนแผนภาพไดหลายแบบดงน

ตวอยาง จงตรวจสอบวา การใหเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม

เหต 1. คนทกคนเปนสนข 2. สนขทกตวกนอาหาร

ผล คนทกคนกนอาหาร

วธท า วาดภาพใหสอดคลองตามสมมตฐานทงสองจะไดดงรป

เมอน าผลมาตรวจสอบจะเหนวาสอดคลองกบแผนภาพ ดงนนการใหเหตผลน สมเหตสมผล

มธ.151 บทท 4 ตรรกศาสตร 11

ตวอยาง จงตรวจสอบความสมเหตสมผล เหต 1. ลงทกตวบนได

2. คนบางคนเปนลง ผล คนบางคนบนได

ตวอยาง จงตรวจสอบความสมเหตสมผล

เหต 1. นกบางชนดบนได 2. ปลาบางชนดบนได

ผล นกบางชนดไมใชปลา ตวอยาง การอางเหตผลนสมเหตสมผลหรอไม

เหต 1. ส าหรบรปเรขาคณตใดๆ ถารปๆหนงเปนรปสเหลยมจตรสแลว รปๆนนเปนรปสเหลยมดานขนาน

2. ABCD ไมใชรปสเหลยมจตรส ผล ABCD ไมใชรปสเหลยมดานขนาน

มธ.151 บทท 4 ตรรกศาสตร 12

แบบฝกหด

1. ก าหนดใหประพจน ( p q ) มคาความจรงเปนเทจ ( F ) r s มคาความจรงเปนเทจ ( F ) s q มคาความจรงเปนเทจ ( F )

คาความจรงของประพจน [( q r ) s] ( p q ) คอ ...................................................

2. ก าหนดให ประพจน a , b มคาความจรงเปนจรง (T) ประพจน c , d มคาความจรงเปนจรง (T) ประพจน e , f ไมทราบคาความจรง

คาความจรงของประพจน [ ( a ( d e ) ) ( ( b f ) c ) ] คอ .........................................

3. ก าหนดให p , q , r , s และ t เปนประพจน โดยท t และ q มคาความจรงเปนเทจ ( F ) คาความจรงของประพจน [ ( t p) r ( s q ) ] [ ( r s ) ( q t ) ] คอ ................

4. คาความจรงของประพจนตอไปนคอ 4.1 ถา 24 แลว )3)(2()3)(4( 4.2 8 หาร 1,128 ลงตว กตอเมอ 8 หาร 128 ลงตว 4.3 ถา 3 หาร 6 ลงตวและ 3 หาร 9 ลงตว แลว 3 หาร (6+9) ลงตว

5. ก าหนด q r เปนคาความจรง เปน เทจ จงหาคาความจรงของประพจน p ( q r )

6. ก าหนด p , r เปนคาความจรง เปน จรง และเทจ ตามล าดบ จงหาคาความจรงของประพจน ( p q ) ( r s )

7. จงพจารณาวา ประพจนตอไปนสมมลกนหรอไม p q สมมลกบ (p q) (q p)

8. ประพจนตอไปนเปนสจนรนดรหรอไม p ( p q )

9. ประพจนตอไปนเปนสจนรนดรหรอไม ( p q) p

มธ.151 บทท 4 ตรรกศาสตร 13

10. จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม เหต 1. p q

2. q ผล p

11. จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม เหต 1. q r

2. q ผล p r

12. จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม เหต 1. ถาเขาเปนนกรอง เขากจะมชอเสยง

2. เขาไมไดเปนนกรอง ผล เขาไมไดเปนนกรอง

13. จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม เหต 1. นกเรยนทกคนเปนมนษย

2. มนษยทกคนตองหายใจ ผล นกเรยนทกคนตองหายใจ

14. จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม เหต 1. เรอทกล าลอยน าได

2. ถงพลาสตกลอยน าได ผล ถงพลาสตกเปนเรอ

15. จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม เหต 1. สตวเลยงทกตวเปนสตวไมดราย

2. แมวทกตวเปนสตวเลยง ผล แมวทกตวเปนสตวไมดราย

16. จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม เหต 1. นกเรยนบางคนเกยจคราน

2. ผชายทกคนเกยจคราน ผล นกเรยนบางคนเปนผชาย