บทที่ 4 influence line ของคาน statically...
TRANSCRIPT
1
STRUCTURAL ANALYSIS
By
Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING
INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
2
บทท 4Influence line ของคาน statically indeterminate
วตถประสงค1. เพอใหสามารถเขยน influence line diagram ของคาน statically
indeterminate ได2. เพอใหสามารถประยกตใช influence line diagram ในการจดวางนาหนกบรรทกจรบนคาน statically indeterminate ได
3. เพอใหสามารถราง influence line diagram ของ statically indeterminate frames ได
3
4.1 บทนาinfluence line diagram เปนแผนภาพทแสดงการเปลยนแปลงคาของ function ใด function หนง ทจดใดจดหนงบนโครงสราง เมอแรงกระทาเคลอนทไปตลอดความยาวของโครงสรางนน
4รอยเชอม
5 6
Influence line diagram: Shear
Influence line diagram โครงสรางถกกระทาโดย moving load ทเคลอนทไปตามความยาว หาคา reaction (หรอ shear หรอ moment) ทจดทเราสนใจ หาลกษณะการวางแรง/นาหนกบรรทก เพอทาใหเกดคา reaction(หรอ shear หรอ moment) สงสดทจดทเราสนใจ
7
Influence line diagram: Bending Moment
8
โครงสรางถกกระทาโดยแรงหรอนาหนกบรรทกทอยกบท (fixed load)
Shear diagram และ Moment diagram
เพอหาคา shear และ moment สงสด เพอนาไปใชในการออกแบบหาขนาดของหนาตดคาน
9
การหาลกษณะการวางแรงหรอนาหนกบรรทกจากแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงเฉอน VC ของคาน ถาเรามแรง LLF = 4 kN และ LLw = 2 kN/m ทสามารถจดใหมความยาวไดตามตองการ จงหารปแบบของแรงดงกลาวททาใหเกดแรงเฉอน VC สงสดและคาของแรง VC ดงกลาว
4 kN 2 kN/m VC = (4 kN)(พกด)+(2 kN/m)(พ.ท.)
= (4 kN)(0.75)+(2 kN/m)(0.5x7.5x0.75)
= 8.625 kN
10
จงหารปแบบของแรงขางตนททาใหเกด MC สงสดและคาของ MC
ab/L = 2.5(7.5)/10 = 1.875
4 kN 2 kN/mMC = (4 kN)(พกด)+(2 kN/m)(พ.ท.)
= (4 kN)(1.875)+(2 kN/m)(0.5x10x1.875)
= 26.25 kN-m
11
Qualitative Influence Linesหลกการ Muller-Breslau กลาววา
“รปรางของแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา (หรอของแรงเฉอน หรอของโมเมนตดด) ทจดใดๆ บนคานจะเหมอนกบรปรางของการเปลยนตาแหนงของคาน เมอคานถกกระทาโดยแรงปฏกรยา (หรอแรงเฉอน หรอโมเมนตดด) ทจดนนโดยทจดนนของคานจะตองไมมความตานทานตอแรงปฏกรยา (หรอตอแรงเฉอน หรอตอโมเมนตดด) ทกระทาอย”
สมมตฐาน: ในกรณของคาน statically determinate เราพจารณาใหคานมความแกรงมาก ไมเกดการดดตวภายใตแรงปฏกรยา (หรอแรงเฉอน หรอโมเมนตดด)
12
แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา
1. เปลยนจดรองรบหมด (pin) ทจด A เปน roller guide
2. ใหแรงปฏกรยา Ay กระทาตอคาน
Ay
Ay 3. คานเกดการเปลยนตาแหนง และรปรางของการเปลยนตาแหนงดงกลาวจะเปนแผนภาพ Influence line ของแรงปฏกรยา Ay
13
แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงเฉอน
1. เปลยนจด C ของคานเปน roller guide
2. ใหแรงเฉอน VC ซงมคาเปนบวกกระทาตอคาน
VC
VC
VC
VC
3. คานเกดการเปลยนตาแหนง และรปรางของการเปลยนตาแหนงทเกดขนจะเปนแผนภาพ Influence line ของแรงเฉอน VC ของคาน
14
แผนภาพอนฟลเอนซไลนของโมเมนตดด1. เปลยนจด C ของคานเปน internal
hinge2. ใหโมเมนตดด MC ทมคาเปนบวก
กระทาตอคาน
MC
MC
3. คานเกดการเปลยนตาแหนง และรปรางของการเปลยนตาแหนงทเกดขนจะเปนแผนภาพ Influence lines ของโมเมนตดด MC
15
จงเขยนแผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา RB และ RC แรงเฉอน VD และโมเมนตดด MD ของคาน
EXAMPLE
อนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา RB
15/4
16
แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา RC
1
-1/4
17
แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา VD
11/4
b/L = 12/16 = 3/4
a/L = 1/4
18
แผนภาพอนฟลเอนซไลนของแรงปฏกรยา MD
ab/L = 4(12)/16 = 31
-3
19
4.2 กฎผกผนของ Maxwell (Maxwell’s Theorem of Reciprocal Displacements)ในกรณของ deflection กฎผกผนของ Maxwell กลาววา
BA ABf f=
“คาระยะโกงตวทเกดขนทจด B บนโครงสราง ในทศทาง b เนองจากแรง 1 หนวยกระทาทจด A ในทศทาง a = คาระยะการโกงตวทเกดขนทจด A ในทศทาง a เนองจากแรง 1 หนวยกระทาทจด B ในทศทาง b”
ในทน ทศทาง a = ทศทาง b = ทศทางดงลงตามทศของแรง
20
ในกรณของ slope กฎผกผนของ Maxwell กลาววา BA ABθ θ=
“คามมลาดเอยงทเกดขนทจด B บนโครงสราง ในทศทาง b เนองจากโมเมนต 1 หนวยกระทาทจด A ในทศทาง a = คามมลาดเอยงทเกดขนทจด A ในทศทาง a เนองจากโมเมนต 1 หนวยกระทาทจด B ในทศทาง b”
ในทน ทศทาง a = -ทศทาง b = ทศทางทวนทศของโมเมนต
21
ในกรณของ deflection และ slope กฎผกผนของ Maxwell กลาววา
คามมลาดเอยงทมหนวยเปนเรเดยนทเกดขนทจด B บนโครงสราง ในทศทาง b เนองจากแรง 1 หนวยกระทาทจด A ในทศทาง a = คาระยะโกงตวทเกดขนทจด A ในทศทาง a เนองจากโมเมนต 1 หนวยกระทาทจด B ในทศทาง b
BA ABfθ =
22
การหาสมการ influence line ใชพนฐานของวธ consistant deformation
By
BB
Bf∆
=
0 B y BBB f= ∆ −
23
4.3 อนฟลเอนไลนของคาน Statically Indeterminateอนฟลเอนไลนของแรงปฏกรยาทจด A
1. ใหแรง 1 หนวยกระทาทจด D2. โดยวธเปลยนรปรางตอเนอง กาหนดใหแรงปฏกรยา Ay เปนแรงเกนจาเปน
0 AD y AAf A f↑ + = +
1 ( )y ADAA
A ff
= −
จากกฎผกผนของ MaxwellDAAD ff −=
3. จากเงอนไขความสอดคลอง
24
1 ( )y DAAA
A ff
=
แผนภาพอนฟลเอนไลนของแรงปฏกรยา Ay จะมรปรางเหมอนกบลกษณะการโกงตวของคาน เมอเราเอาความตานทานตอแรงปฏกรยา Ay ออก จากนน ใหแรงปฏกรยา Ay = 1 กระทาตอคาน
พกดของแผนภาพอนฟลเอนไลนมคา = คาการแอนตวของคานทจด x ใดๆเนองจากแรง 1 หนวยกระทาทจด A (fxA) หารดวยคาการแอนตวของคานทจด A เนองจากแรง 1 หนวยกระทาทจด A (fAA)
1 ( )y xAAA
A ff
=
25
อนฟลเอนไลนของแรงเฉอนทจด E1. ใหแรง 1 หนวยกระทาทจด D2. โดยวธเปลยนรปรางตอเนอง กาหนดใหแรงเฉอน VE เปนแรงเกนจาเปน
3. จากเงอนไขความสอดคลอง 0 ED E EEf V f↑ + = +
1 ( )E EDEE
V ff
= −
จากกฎผกผนของ Maxwell
ED DEf f= − 26
1E DE
EE
V ff
=
แผนภาพอนฟลเอนไลนของแรงเฉอนทจด E มรปรางเหมอนกบลกษณะการโกงตวของคาน เมอเราเอาความตานทานตอแรงเฉอนทจด E ออก จากนน ใหแรงเฉอนคาบวก 1 หนวยกระทาทจด E
พกดของแผนภาพอนฟลเอนไลนมคา = คาการโกงตวของคานทจด x ใดๆ เนองจากแรงเฉอนบวก 1 หนวยกระทาทจด E (fxE) หารดวยคาการโกงตวของคานทจด E เนองจากแรงเฉอนคาบวก 1 หนวยกระทาทจด E (fEE)
1E xE
EE
V ff
=
27 28
อนฟลเอนไลนของโมเมนตทจด E1. ใหแรง 1 หนวยกระทาทจด D2. โดยวธเปลยนรปรางตอเนอง กาหนดใหโมเมนต ME เปนแรงเกนจาเปน
3. จากเงอนไขความสอดคลอง
จากกฎผกผนของ Maxwell
0 ED E EEMα α= +
1 ( )E EDEE
M αα
= −
ED DEfα = −
29
แผนภาพอนฟลเอนไลนของโมเมนตทจด E มรปรางเหมอนกบลกษณะการโกงตวของคาน เมอเราเอาความตานทานตอโมเมนตทจด E ออก จากนน ใหโมเมนตคาบวก 1 หนวยกระทาทจด E
พกดของแผนภาพอนฟลเอนไลนมคา = คาการโกงตวของคานทจด x ใดๆ เนองจากโมเมนตบวก 1 หนวยกระทาทจด E (fxE) หารดวยคา slope ของคานทจด E เนองจากโมเมนตคาบวก 1 หนวยกระทาทจด E (αEE)
1E DE
EE
M fα
=
1E xE
EE
M fα
=30
31 32
การบาน: influence line
4.1, 4.2, และ 4.5 ในเอกสารคาสอน 1
33
ตวอยางท 4-1จงรางแผนภาพ influence line ของ RA, RE, MC, VCL, VCR, MH, และ VH
xAA
AA
fRf
=
xEE
EE
fRf
=
xCC
CC
fMα
=
34
xHH
HH
fVf
=
xHH
HH
fMα
=
xCRCR
CCR
fVf
=
xCLCL
CCL
fVf
=
35
จงทาการวางนาหนกบรรทกจรทมการกระจายคงทททาใหเกดคาสงสดของแรงปฏกรยา RE และโมเมนตดด MC และ MH
36
37
ตวอยางท 4-2a.) จงหาสมการของพกดและเขยนแผนภาพ influence line ของแรงปฏกรยา
RB ของคาน เมอคานมคา EI คงท
. . xBB
BB
fI L Rf
=
จากหลกการ Muller-Breslau
หาคาการโกงตวของคานโดยใชวธ conjugate beam
38
สมการโมเมนตดดบน conjugate beam = สมการการโกงตวของคานจรง
2 14 2 2 3xB xL x xf M x xEI EI
⎡ ⎤= = − ⎢ ⎥⎣ ⎦2 33
12L x xEI−
=
แทน x = L ลงในสมการ fxB เราจะได 31
6BBLfEI
=
ดงนน 2 3
3
3. . 2BL x xI L RL−
= 0 x L≤ ≤
เนองจากความสมมาตรของคาน ดงนน 2 3
1 13
3. . 2BL x xI L RL−
= 10 x L≤ ≤
x1
39
b.) จงเขยน moment diagram ของคานจากพกดของ influence line ของแรงปฏกรยา RB
เมอแรง 1 หนวยกระทาทจด D [x = L/2] แลว พกดของ influence line ของแรง RB อยในรป
2 3
3
3. . 2BL x xI L RL−
=
2 3
3
3 ( / 2) ( / 2)2
L L LL−
=1116
=
และแรง RB เนองจากแรง 10 kN เทากบ
11 11010 kN kN16 16BR⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠ 40
c.) จงหาสมการของพกดและเขยนแผนภาพ influence line ของแรงปฏกรยา RA
0;CM =∑(2 ) ( ) 1(2 )A BR L R L L x+ = −
3 2 3
3
4 5. . 4A
L L x xI L RL
− +=
เมอแรง 1 หนวยอยในชวงจากจด A ถงจด B
เมอแรง 1 หนวยอยในชวงจากจด C ถงจด B
1(2 ) ( ) 1( )A BR L R L x+ =
0;CM =∑
2 31 1
3. . 4AL x xI L RL
− +=
2 3
3
3. . 2BL x xI L RL−
=
0 x L≤ ≤
2 31 1
3
3. . 2BL x xI L RL−
=
10 x L≤ ≤
41
d.) หาแรงปฏกรยาทจดรองรบ A และเขยน moment diagram เมอ L = 10 mพนทใต influence line ในชวงทนาหนกบรรทกกระทา
3 2 3
30
4 5 74 16
L L L x x dx LL
− +=∫
7 70(10)(2 kN/m) kN16 8AR = =
จาก FBD ของคานและสมการความสมดล
70/8 = 8.75 kN RB RC
12.5 kNBR =
1.25 kNCR = −
0;CM =∑
0;yF =∑42
e.) จงหาสมการของพกดและเขยนแผนภาพ influence line ของแรงปฏกรยา RC
0;AM =∑
3 2 31 1
3
4 5. . 4C
L L x xI L RL
− +=
เมอแรง 1 หนวยอยในชวงจากจด A ถงจด B
เมอแรง 1 หนวยอยในชวงจากจด C ถงจด B
1(2 ) ( ) 1(2 )C BR L R L L x+ = −
0;AM =∑
2 3
3. . 4CL x xI L RL
− +=
(2 ) ( ) 1( )C BR L R L x+ =
2 3
3
3. . 2BL x xI L RL−
=
0 x L≤ ≤
2 31 1
3
3. . 2BL x xI L RL−
=
10 x L≤ ≤
43
f.) จงหาสมการของพกดและเขยนแผนภาพ influence line ของแรงเฉอน VBL
เมอแรงขนาด 1 หนวยกระทาอยในชวง AB
เมอแรงขนาด 1 หนวยกระทาอยในชวง BC
0;yF =∑ 1BL AV R= −
2 3
3
5. . 4BLL x xI L VL
− +=
0;yF =∑ BL AV R=
2 31 1
3. . 4BLL x xI L VL
− +=
3 2 3
3
4 5. . 4A
L L x xI L RL
− +=
0 x L≤ ≤
2 31 1
3. . 4AL x xI L RL
− +=
10 x L≤ ≤
44
g.) จงหาสมการของพกดและเขยนแผนภาพ influence line ของโมเมนต MB
เมอแรงขนาด 1 หนวยกระทาอยในชวง AB
เมอแรงขนาด 1 หนวยกระทาอยในชวง BC
0;BLM =∑ ( ) 1( )B AM R L L x= − −
3 2
2. . 4B
x xLI L ML−
=
0;BLM =∑ ( )B AM R L=
2 31 1
2. . 4BL x xI L ML
− +=
3 2 3
3
4 5. . 4A
L L x xI L RL
− +=
0 x L≤ ≤
2 31 1
3. . 4AL x xI L RL
− +=
10 x L≤ ≤
45
ตวอยางท 4-3จงหาพกดของแผนภาพ influence line ของแรงเฉอนทจด D ของคาน ทกๆ ระยะ 3 m เมอคานมคา EI คงท
จากหลกการ Muller-Breslau เอาความตานทานตอแรงเฉอนทจด D ออกโดยใส roller ทจดดงกลาว จากนน ใหแรงเฉอนทมทศทางบวกขนาด 1 kN กระทาท roller
46
การเปลยนแปลงรปรางของคานทเกดขนจะเปนรปรางของ influence line ของแรงเฉอนทจด D และ
. . xDD
DD
fI L Vf
=
โดยใชวธ conjugate beam144
DD Df MEI′= =
0AD Af M ′= =
0BD Bf M ′= =
0CD Cf M ′= =
จากรป คาการโกงตวท A, B และ C
47
0;LD
M ′ =∑ 4.5 30(1) (3)L LD D Df M
EI EI′= = −
0;RD
M ′ =∑ 4.5 30 144(1) (3)R RD D Df M
EI EI EI′= = − +
หาคาการโกงตวทจด D:เนองจากความไมตอเนองของโมเมนตทจด D' เราจะตองหาคาโมเมนตทจดทอยทางซายมอและทางขวามอของจด D'
85.5LD Df EI= −
58.5RD Df EI=
48
หาคาการโกงตวทจด E:0;EM ′ =∑
13.5EDf EI
= −
4.5 6(1) (3)ED Ef MEI EI′= = −
49
0/144 = 0C-13.5/144 = -0.0938E
0/144 = 0B58.5/144 = 0.406DR
-85.5/144 = -0.594DL
0/144 = 0Aพกดของ influence line VDx
50
ตวอยางท 4-4จงหาพกดของแผนภาพ influence line ของ bending moment ทจด D ของคาน ทกๆ ระยะ 3 m เมอคานมคา EI คงท
จากหลกการ Muller-Breslau เอาความตานทานตอโมเมนตทจด D ออกโดยใส hinge ทจดดงกลาว จากนน ใหโมเมนตทมทศทางบวกขนาด 1 kN-m กระทาท hinge
51
การเปลยนแปลงรปรางของคานทเกดขนจะเปนรปรางของ influence line ของโมเมนตทจด D และ
. . xDD
DD
fI L Mα
=
โดยใชวธ conjugate beam16
DD DR EIα ′= =
0AD Af M ′= =
0BD Bf M ′= =
0CD Cf M ′= =
จากรป คาการโกงตวท A, B และ C
52
หาคาการโกงตวทจด D:
หาคาการโกงตวทจด E:
0;DM ′ =∑ 1.5 6(1) (3)DD Df MEI EI′= = +
19.5DDf EI
=
0;EM ′ =∑1.5 2(1) (3)ED Ef MEI EI′= = −
4.5EDf EI
= −
53
0/16 = 0C-4.5/16 = -0.281E
0/16 = 0B19.5/16 = 1.219D
0/16 = 0Aพกดของ influence line MDx
54
4.4 การใชอนฟลเอนไลนเพอหารปแบบการจดวางนาหนกบรรทกจรบนคาน statically indeterminateแผนภาพอนฟลเอนไลนมกถกใชในการหารปแบบการวางนาหนกบรรทกจรแบบกระจายสมาเสมอ (uniform live loads) ททาใหเกดคาสงสดของแรงปฏกรยา แรงเฉอน และโมเมนตดด ทจดทเราสนใจบนคาน
การวางนาหนกแบบ span เวน span หรอ alternate span loading กอใหเกดโมเมนตบวกสงสดทจด B (หรอทกงกลาง span ของชวงคาน)
55
การวางนาหนกแบบ span ตดกน หรอ adjacent span loading กอใหเกดโมเมนตลบสงสดทจด C (หรอทจดรองรบภายในของคาน)
56
57
4.5 การรางอนฟลเอนไลนของ statically indeterminate frames
xII
II
fMα
=
58
ตวอยางท 4-5จงรางแผนภาพ influence line ของ moment ทจด A และของแรงเฉอนทจด B ของโครงขอแขง
xAA
AA
fMα
=
59
xBB
BB
fVf
=
60
End of Chapter 4