บทที่ 7...

บทท 7

ปรพนธ

7.1 บทนยามและทฤษฎบทพนฐานของปรพนธ

7.1.1 ปฏยานพนธ

ในทางคณตศาสตรมการดำเนนการทเปนผกผน (inverse operations) ซงกนและกนเปนจำนวนมาก เชน การบวกเปนการดำเนนการผกผนของการลบ การคณเปนการดำเนนการผกผนของการหาร การยกกำลงเปนการดำเนนการผกผนของการถอดราก เปนตน ในทนเราจะศกษาการดำเนนการผกผนของการหาอนพนธของฟงกชน นนคอการหาฟงกชนจากอนพนธของฟงกชนนนๆ ซงกระบวนการนเรยกวา การหาปฏยานพนธ (antidifferentiation)

บทนยาม 7.1 ฟงกชน F เรยกวา ปฏยานพนธ (antiderivative) ของฟงกชน f บนชวงเปดใดๆ ถา F ′(x) = f(x) สำหรบทกคาของ x บนชวงนน

ตวอยางเชนฟงกชน F (x) = 13x3 เปนปฏยานพนธของ f(x) = x2 บนชวงเปด (−∞,+∞)

เนองจากสำหรบแตละคา x ∈ (−∞,+∞)

F ′(x) =d

dx

[

1

3x3

]

= x2

อยางไรกตาม F (x) ไมไดเปนปฏยานพนธเพยงฟงกชนเดยวของ f(x) สงเกตไดวา

d

dx

[

1

3x3 + 2

]

= x2

ดงนน G(x) = 13x3 + 2 กเปนปฏยานพนธของ f(x) และถา C เปนคาคงตวใดๆ แลว

d

dx

[

1

3x3 + C

]

= x2 + 0 = x2

ฉะนน H(x) = 13x3 + C เปนปฏยานพนธของ f(x) เชนกน

โดยทวไปถา F เปนปฏยานพนธของ f และ C เปนคาคงตวใดๆ แลว

d

dx

[

F (x) + C]

= F ′(x) + 0 = f(x)

115

เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 116

ดงนน F (x) + C เปนปฏยานพนธใดๆของ f(x) และถาหากจะถามวามปฏยานพนธของ f(x)

นอกเหนอจาก F (x) + C หรอไม? คำตอบคอ ไมม ดงทกลาวในทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 7.1 ถา F (x) เปนปฏยานพนธของ f(x) บนชวงเปด [a, b] ใดๆ แลวสำหรบคาคงตวC ใดๆ ฟงกชน F (x) + C กเปนปฏยานพนธของ f บนชวงเปด [a, b] นอกจากนแตละปฏยานพนธของ f(x) บนชวงเปด [a, b] สามารถเขยนในรป F (x) + C เมอ C เปนคาคงตวใดๆ

7.1.2 ปรพนธไมจำกดเขต

กระบวนการหาปฏยานพนธเรยกวา การหาปฏยานพนธ (antidifferentiation) หรอ การอนทเกรต (integration) ดงนนถา

d

dx[F (x)] = f(x)

แลวจากการอนทเกรตหรอการหาปฏยานพนธของฟงกชน f(x) จะไดปฏยานพนธในรป F (x)+C

ซงสามารถเขยนแทนดวยสญลกษณ∫

f(x) dx = F (x) + C

เมอ C เปนคาคงตวใดๆ และเรยกนพจน∫

f(x) dx วา ปรพนธไมจำกดเขต หรอ อนทกรลไม

จำกดเขต (indefinite integral) และในทนเครองหมาย∫

เรยกวา เครองหมายอนทกรล

(integral sign) ฟงกชน f(x) เรยกวา ปรพทธ (integrand) และเรยก C วา คาคงตวของการอนทเกรต (constant of integration) สำหรบพจน dx จะเปนตวกำหนดวา x เปน ตวแปรของการอนทเกรต (variable of integration)

ตวอยาง 7.1 จงหา∫

4x3 dx

วธทำ . . . . . . . . .


cosω dω

วธทำ . . . . . . . . .


xn dx โดยท n 6= −1

วธทำ . . . . . . . . .

จากตวอยางขางตนจะไดวา เราสามารถหาปฏยานพนธของกฎอนพนธทกกฎได หรอกลาวไดวากฎการหาอนพนธทกกฎจะมกฎการหาอนทกรลทสมนยกนเสมอ ตารางตอไปนจะแสดงกฎการหาอนทกรลทสำคญ


∫

xn dx =xn+1

n+ 1+ C (n 6= −1)

∫

1

xdx = ln |x|+ C

∫

ex dx = ex + C

∫

ax dx =ax

ln a+ C, a > 0, a 6= 1

∫

sin x dx = − cosx+ C

∫

cos x dx = sin x+ C∫

sec2 x dx = tan x+ C

∫

csc2 x dx = − cot x+ C∫

sec x tan x dx = sec x+ C

∫

csc x cot x dx = − csc x+ C∫

1√1− x2

dx = sin−1 x+ C

= − cos−1 x+ C

∫

1

1 + x2dx = tan−1 x+ C

= − cot−1 x+ C∫

1

|x|√x2 − 1

dx = sec−1 x+ C

= − csc−1 x+ C

สมบตของปรพนธไมจำกดเขต

ทฤษฎบท 7.2 ให f และ g เปนฟงกชนทมปฏยานพนธ แลวจะไดวาสำหรบคาคงตว a และb ใดๆ

∫

[

af(x) + bg(x)]

dx = a

∫

f(x) dx+ b

∫

g(x) dx

จากทฤษฎบท 7.2 จะสงเกตไดวา เราสามารถหาอนทกรลของผลบวก ผลตาง และผลคณระหวางคาคงตวกบฟงกชนได อยางไรกตามอนทกรลของผลคณ (หรอผลหาร) ของฟงกชน ไมเทากบ ผลคณ(หรอผลหาร) ของอนทกรลของฟงกชน


(3 sinx+ 4x15) dx

วธทำ . . . . . . . . .


(2ex − 3 sec2 x) dx

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 7.6 จงหาอนทกรลไมจำกดเขตตอไปน

(a)

∫

x(1 + 2x3) dx (b)

∫

x2 − 2x3

x4dx

(c)

∫

x2

x2 + 1dx (d)

∫

sin 2x

sin xdx

วธทำ . . . . . . . . .


7.1.3 ปรพนธจำกดเขต

ทฤษฎบท 7.3 ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และ F เปนปฏยานพนธใดๆ ของ f

บนชวง [a, b] แลว∫ b

a

f(x) dx = F (x)]b

a= F (b)− F (a)

ในทน∫ b

a

f(x) dx เรยกวา ปรพนธจำกดเขต หรอ อนทกรลจำกดเขต (definite inte-

gral) ของ f จาก a ถง b และเรยก a และ b วา ลมตของการอนทเกรต (limit ofintegration) โดยท a คอ ลมตลางของการอนทเกรต (lower limit of integration)และ b คอ ลมตบนของการอนทเกรต (upper limit of integration)

สมบตของปรพนธจำกดเขต

บทนยาม 7.2

(a) ถา a เปนสมาชกในโดเมนของฟงกชน f แลว∫ a

a

f(x) dx = 0

(b) ถา f เปนฟงกชนทหาปรพนธไดบนชวง [a, b] แลว∫ a

b

f(x) dx = −∫ b

a

f(x) dx

ทฤษฎบทตอไปนเปนกฎทวไปของปรพนธจำกดเขต

ทฤษฎบท 7.4 ให f และ g เปนฟงกชนทหาปรพนธไดบนชวง [a, b] แลวจะไดวาสำหรบคาคงตวc และ d ใดๆ

∫ b

a

[

cf(x) + dg(x)]

dx = c

∫ b

a

f(x) dx+ d

∫ b

a

g(x) dx

ทฤษฎบท 7.5 ถา f เปนฟงกชนทหาปรพนธไดบนชวง [a, b] และ c เปนคาคงตวใดๆ บนชวง[a, b] แลว

∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx

ทฤษฎบท 7.6 ถา f และ g เปนฟงกชนทหาปรพนธไดบนชวง [a, b] และ f(x) ≥ g(x) สำหรบทกคาของ x บนชวง [a, b] แลว

∫ b

a

f(x) dx ≥∫ b

a

g(x) dx

ตวอยาง 7.7 จงหาคาของ∫ 4

0

(x2 − 4x+ 2) dx


วธทำ . . . . . . . . .


0

(

3 + x√x)

dx

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 7.9 จงหาคาของ∫ 2π

π

cos θ dθ

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 7.10 จงหาคาของ∫ −e

−e2

1

xdx

วธทำ . . . . . . . . .

แบบฝกหด 7.1

1. จงหาปฏยานพนธใดๆ ในรปแบบ F (x) + C ของฟงกชน f(x) ตอไปน

(a) f(x) = 5 (b) f(x) = x2 + π

(c) f(x) = x5/4 (d) f(x) = 1/3√x2

(e) f(x) = x2 − x (f) f(x) = 4x5 − x3

(g) f(x) = 27x7 + 3x5 − 45x3 +√2x

(h) f(x) =3

x2− 2

x3(i) f(x) =

4x6 + 3x4

x3

2. จงหาอนทกรลไมจำกดเขตตอไปน

(a)∫

3x4 dx (b)∫

(x2 + x) dx

(c)∫

(3x4 − 3x) dx (d)∫

(x+ 1)2 dx

(e)∫

3√x dx (f)

∫(

3− 1

x4

)

dx

(g)∫

x1/3 − 3

x2/3dx (h)

∫

(x2 + 1)2√x

dx

(i)∫

(sin x− cosx) dx (j)∫

2 sec x tan x dx

(k)∫

5 sec2 x dx (l)∫

(3ex − 2) dx

(m)∫

(3 cosx− 1/x) dx (n)∫

(

5x− 3

ex

)

dx

(o)∫

ex + 3

exdx (p)

∫

x1/4(x5/4 − 4) dx


3. จงหาคาปรพนธจำกดเขตตอไปน

(a)∫ 1

0

2x dx (b)∫ 5

−1

(1 + 3x) dx

(c)∫ 5

1

(2 + 3x− x2) dx (d)∫ 2

0

(2− x2) dx

(e)∫ 5

0

(1 + 2x3) dx (f)∫ 2

1

x3 dx

4. จงใชทฤษฎบท 7.4 และ 7.5 เขยนนพจนตอไปนในรปปรพนธจำกดเขตเพยงปรพนธเดยว

(a)∫ 2

0

f(x) dx+

∫ 3

2

f(x) dx (b)∫ 3

0

f(x) dx−∫ 3

2

f(x) dx

(c)∫ 2

0

f(x) dx+

∫ 1

2

f(x) dx (d)∫ 2

−1

f(x) dx+

∫ 3

2

f(x) dx

(e)∫ 3

1

f(x) dx+

∫ 6

3

f(x) dx+

∫ 12

6

f(x) dx

5. กำหนดให∫ 8

2

f(x) dx = 1.8 และ∫ 8

5

f(x) dx = 3.2 จงหา∫ 5

2

f(x) dx

6. กำหนดให∫ 1

0

f(x) dx = 3,

∫ 4

0

f(x) dx = −7 และ∫ 4

3

f(x) dx = 2 จงหา∫ 3

1

f(x) dx

7. จงหาคาปรพนธจำกดเขตตอไปน

(a)∫ 3

−1

x5 dx (b)∫ 2

0

(2x− 3) dx

(c)∫ 4

0

√x dx (d)

∫ 4

0

(√x+ 3x) dx

(e)∫ 2

1

3

x4dx (f)

∫ 1

0

(x√x+ x−1/2) dx

(g)∫ 3

3

√x5 + 2 dx (h)

∫ π/2

0

2 sin x dx

(i)∫ π

π/2

sec x tanx dx (j)∫ π

π/2

(2 sin x− cosx) dx

(k)∫ 9

1

1

2xdx (l)

∫ 1

0

(ex − e−x) dx

(m)∫ 9

8

2x dx (n)∫ 3

0

(3e2x − x2) dx

(o)∫ 1

−1

(ex + e−x) dx (p)∫

√3

1

6

1 + x2dx

(q)∫ 2

0

f(x) dx เมอ f(x) =

{

x4 ถา 0 ≤ x < 1

x5 ถา 1 ≤ x ≤ 2


8. จงหาปรพนธตอไปน

(a)∫

x−3/4 dx (b)∫

(x3 + 6x+ 1) dx

(c)∫

(1− x)(2 + x2) dx (d)∫

(2−√x)2 dx

(e)∫

sin x

1− sin2 xdx (f)

∫ 1

0

(1− 2x− 3x2) dx

(g)∫ 0

−1

(2x− ex) dx (h)∫ 3

1

(

1

x2− 1

x4

)

dx

(i)∫ 2

1

x2 + 1√x

dx (j)∫ 1

0

x(√x+ 3

√x) dx

(k)∫ 4

1

√

5

xdx (l)

∫ 3

−2

|x2 − 1| dx

(m)∫ 4

1

(√x− 2√

x

)

dx (n)∫ 0

−1

(x+ 1)3 dx

(o)∫ π/3

π/6

csc2 x dx (p)∫ π/4

0

1 + cos2 x

cos2 xdx

(q)∫ e

1

x2 + x+ 1

xdx (r)

∫ 2

−1

(x− 2|x|) dx

คำตอบแบบฝกหด 7.1

1. (a) 5x+ C (b) 13x3 + πx+ C (c) 4

9x9/4 + C (d) 3 3

√x+ C

(e) 13x3 − 1

2x2 + C (f) 2

3x6 − 1

4x4 + C (g) 27

8x8 + 1

2x6 − 45

4x4 +

√22x2 + C

(h) − 3x+ 1

x2 + C (i) x4 + 32x2 + C

2. (a) 35x5 + C (b) 1

3x3 + 1

2+ C (c) 3

5x5 − 3

2x2 + C (d) 1

3(x+ 1)3 + C

(e) 2x3/2 + C (f) 3x+ 13x−3 + C (g) 3

2x2/3 − 9x1/3

(h) 29x9/2 + 4

5x5/2 + 2x1/2 + C (i) − cos x− sin x+ C (j) 2 sec x+ C

(k) 5 tanx+ C (l) 3ex − 2x+ C (m) 3 sinx− ln |x|+ C

(n) 52x2 + 3e−x + C (o) x− 3e−x + C (p) 2

5x5/2 − 16

5x5/4

3. (a) 7, 385 (b) −21, 980 (c) 323, 400 (d) −2, 746, 200 (e) 2, 870

(f) 44, 520 (g)n(n + 1)(2n+ 1)

3− 3n (h)

4n(n+ 1)(2n+ 1)

6− n(n + 1)

2

4. (a)∫ 3

0

f(x)dx (b)∫ 2

0

f(x)dx (c)∫ 1

0

f(x)dx (d)∫ 3

−1

f(x)dx

(e)∫ 12

1

f(x)dx

5. −1.4 6. −12


7. (a) 3643

(b) −2 (c) 163

(d) 883

(e) 78

(f) 125

(g) 0

(h) 2 (i) หาคาไมได (j) 3 (k) ln 3 (l) e− e−1 − 2 (m) 28

ln 2

(n) 32e6 − 21

2(o) 2e− 2e−1 (p) π

2(q) 10.7

8. (a) 4x1/4 + C (b) 14x4 + 3x2 + x+ C (c) 2x− x2 + 1

3x3 − 1

4x4 + C

(d) 4x− 83x3/2 + 1

2x2 + C (e) sec x+ C (f) −1 (g) −2 + 1

e

(h) 2881

(i) 6(3√2− 2)/5 (j) 29

35(k) 2

√5 (l) 28

3(m) 2

3

(n) 14

(o) 2√3/3 (p) 1 + π

4(q) 1

2e2 + e− 1

2(r) −3.5

7.2 เทคนคการหาปรพนธ

7.2.1 การอนทเกรตโดยการแทนท

ในหวขอนเราจะเรยนรเทคนคทชวยในการหาปรพนธทเรยกวา การอนทเกรตโดยการแทนท (in-tegration by substitution) ซงเปนเทคนคทใชเปลยนรปของการอนทเกรตฟงกชนทยงยากใหอยในรปทงายขน เราจะเรมดวยบทนยามตอไปน

บทนยาม 7.3 (ผลตางเชงอนพนธ) ถา y = f(x) เปนฟงกชนทหาอนพนธไดทจด x ใดๆ แลวผลตางเชงอนพนธ dy ของ y นยามโดย

dy = f ′(x)dx =dy

dxdx

ให F เปนปฏยานพนธของ f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธได จากกฎลกโซเราไดวาอนพนธของ F (g(x)) สามารถเขยนในรป

d

dx[F (g(x)] = F ′(g(x))g′(x)

และจะไดวา∫

F ′(g(x))g′(x) dx = F (g(x)) + C (7.1)

และเนองดวย F เปนปฏยานพนธของ f ดงนน∫

f(g(x))g′(x) dx = F (g(x)) + C (7.2)

ถาให u = g(x) และเขยน du/dx = g′(x) ในรปผลตางเชงอนพนธ du = g′(x) dx แลวสมการ(7.2) สามารถเขยนแทนดวย

∫

f(u) du = F (u) + C (7.3)

กระบวนการหาอนทกรล (7.2) โดยการเปลยนใหอยในรป (7.3) สามารถทำไดโดยการแทนท

u = g(x) และ du = g′(x) dx

และเรยกวธการนวา วธการแทนทดวย u (method of u-substitution)



(x4 − 1)99(4x3) dx

วธทำ . . . . . . . . .

ขนตอนการอนทเกรตโดยการแทนท

ขนตอนท 1 เลอกนพจน u = g(x) โดยทวไปเราจะเลอกให u เปนนพจนซงอยสวนในสด หรอพจนสวนในของฟงกชนประกอบ (composite function) เชนในตวอยาง 7.11 จะไดวา x4 − 1 เปนพจนสวนในของ (x4 − 1)99

ขนตอนท 2 คำนวณหา du =du

dxdx

ขนตอนท 3 แทนททกพจนของปรพทธ ดวยนพจนทเกยวของกบตวแปร u และผลตางเชงอนพนธdu

ขนตอนท 4 หาคาอนทกรล ถาหากยงหาไมได อาจจะตองเลอกนพจน u ใหม

ขนตอนท 5 แทนทแตละ u ในปฏยานพนธทได ดวยนพจนทสมนยกนในรปของตวแปรเดม ซงในทนคอ x


x2 cos(x3 − 2) dx

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 7.13 จงหา∫ √

2 sin x+ 1 cosx dx

วธทำ . . . . . . . . .


x√1− 4x2

dx

วธทำ . . . . . . . . .


cos√x√

xdx

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 7.16 จงหา∫ √

1 + x2 x5 dx

วธทำ . . . . . . . . .


tanx dx

วธทำ . . . . . . . . .

เนองจาก − ln | cosx| = ln(

| cosx|)−1

= ln(1/| cosx|) = ln | sec x| ดงนนผลเฉลยของตวอยาง 7.17สามารถเขยนในรป

∫

tan x dx = ln | sec x|+ C


การแทนทในอนทกรลจำกดเขต

การหาคาอนทกรลจำกดเขตโดยการแทนทม 2 วธทเปนไปได วธแรกคอหาอนทกรลไมจำกดเขตกอน แลวใชทฤษฎบท 7.3 หาคาอนทกรลจำกดเขต เชนจากตวอยาง 7.13 เราไดวา

∫ π/2

0

√2 sin x+ 1 cosx dx =

∫ √2 sinx+ 1 cos x dx

]π/2

0

=1

3(2 sin x+ 1)3/2

]π/2

0

=1

3

(

2 sinπ

2+ 1

)3/2

− 1

3(2 sin 0 + 1)3/2

=1

3(3)3/2 − 1

3(1)3/2 =

1

3(33/2 − 1)

อกวธหนงคอ การเปลยนขดจำกดของการอนทเกรตเมอตวแปรเปลยนไปเชน ถาหากตวแปรตวใหมคอ u แลวเราจะตองเปลยนขดจำกดของการอนทเกรตจาก x = a และ x = b เปนขดจำกดทสมนยกบ u นนคอ u = u(a) และ u = u(b) ดงนน

∫ b

a

f(

u(x))

u′(x) dx =

∫ u(b)

u(a)

f(u) du


1

x3√x4 + 5 dx

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 7.19 จงหาคาของ∫ e

1

ln x

xdx

วธทำ . . . . . . . . .

7.2.2 การอนทเกรตทละสวน

ตามทไดกลาวมาแลววา กฎการหาอนพนธทกกฎจะมกฎการหาอนทกรลทสมนยกนเสมอ ในหวขอนจะกลาวถงกฎการหาอนทกรลทสมนยกบกฎผลคณของการหาอนพนธ เรยกวา การอนทเกรตทละสวน (integration by parts)

วตถประสงคของหวขอนคอ การศกษาวธการหาอนทกรลทอยในรป∫

f(x)g(x) dx

เรมดวยการให G(x) เปนปฏยานพนธใดๆ ของ g(x) ในกรณนจะได G′(x) = g(x) จากการหาอนพนธของ f(x)G(x) โดยใชกฎผลคณจะไดวา

d

dx[f(x)G(x)] = f(x)G′(x) + f ′(x)G(x) = f(x)g(x) + f ′(x)G(x) (7.4)


หรอกลาวไดวา f(x)G(x) เปนปฏยานพนธของฟงกชนทางขวามอของ (7.4) ดงนนเราสามารถเขยน (7.4) ในรปอนทกรลไดดงน

∫

[

f(x)g(x) + f ′(x)G(x)]

dx = f(x)G(x)

หรอ∫

f(x)g(x) dx = f(x)G(x)−∫

f ′(x)G(x) dx (7.5)

เราเรยกรปแบบนวา การอนทเกรตทละสวน (integration by parts) ซงจะชวยหาอนทกรลของ f(x)g(x) โดยการหาอนทกรลของ f ′(x)G(x) แทน

ในทางปฏบตเรามกจะเขยนรปแบบสำหรบการอนทเกรตทละสวน (7.5) โดยให

u = f(x) du = f ′(x) dx

v = G(x) dv = G′(x) dx = g(x) dx

ดงนนจะไดวา∫

u dv = uv −∫

v du (7.6)


x cosx dx

วธทำ . . . . . . . . .

หมายเหต วตถประสงคหลกของการอนทเกรตทละสวนคอ การเลอก u และ dv เพอใหไดอนทกรลทงายกวาอนทกรลทกำหนดให โดยทวไปจะเลอกให u เปนฟงกชนทเมอหาอนพนธแลวจะไดฟงกชนทงายกวาเดม หรออยางนอยทสดกไมยงยากกวาเดม และเลอกให dv เปนฟงกชนทสามารถจะอนทเกรตหา v ได ดงเชนตวอยาง 7.20 เราสามารถหาคา

∫

x cosx dx ไดโดยการให u = x และ dv = cosx dx แตถาเราให u = cosx และ dv = x dx แลว du = − sin x dx

และ v = x2/2 และจากสตรการอนทเกรตทละสวน จะไดวา∫

x cosx dx = (cosx)x2

2+

1

2

∫

x2 sin x dx

การเลอก u และ du นในการอนทเกรตทละสวน ทำใหไดอนทกรลทยากกวาอนทกรลทกำหนดให


xex dx

วธทำ . . . . . . . . .


ln x dx

วธทำ . . . . . . . . .


การทำซำของการอนทเกรตทละสวน

ในบางครงเรามความจำเปนในการใชการอนทเกรตทละสวนมากกวาหนงครง ดงตวอยางตอไปน


x2 sin x dx

วธทำ . . . . . . . . .


e2x cosx dx

วธทำ . . . . . . . . .

การอนทเกรตทละสวนสำหรบอนทกรลจำกดเขต

สำหรบอนทกรลจำกดเขต สตรการอนทเกรตทละสวนทสมนยกบ (7.6) คอ∫ b

a

u dv = uv

]b

a

−∫ b

a

v du (7.7)

หมายเหต u และ v ทปรากฎในสตร (7.7) เปนฟงกชนของ x และลมตของการอนทเกรตเปนลมตของตวแปร x ดงนนในบางครงเปนการดทจะเขยน (7.7) ในรป

∫ b

x=a

u dv = uv

]b

x=a

−∫ b

x=a

v du (7.8)


1

x3 ln x dx

วธทำ . . . . . . . . .


0

tan−1 x dx

วธทำ . . . . . . . . .

7.2.3 การอนทเกรตโดยใชเศษสวนยอย

ในหวขอน เราจะกลาวถงวธการทวไปทใชในการอนทเกรตฟงกชนตรรกยะ โดยการเขยนฟงกชนตรรกยะใหอยในรปเศษสวนยอย (partial fractions) ซงจะทำใหการหาคาอนทกรลงายขน

บทนยาม 7.4 ฟงกชน f เรยกวา ฟงกชนตรรกยะ (rational function) ถา f สามารถเขยนอยในรป

f(x) =P (x)

Q(x)(7.9)

เมอ P (x) และ Q(x) เปนฟงกชนพหนาม ในทนจะเรยก P (x) วา ตวเศษ (numerator)และเรยก Q(x) วา ตวสวน (denominator) ของ f(x)

ถา P (x) เปนฟงกชนพหนามทอยในรป

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0

โดยท an 6= 0 แลว ระดบขนพหนาม (degree of the polynomial) ของ P เทากบ n


เศษสวนยอย

จากทเคยศกษามาแลววา การรวมเศษสวนหลายเศษสวนใหเปนเศษสวนเดยว สามารถทำไดโดยการหาตวประกอบรวมของตวเศษ ตวอยางเชน

3

x+ 2− 2

x− 5=

3(x− 5)− 2(x+ 2)

(x+ 2)(x− 5)=

x− 19

x2 − 3x− 10(7.10)

และถาหากตองการหาคาอนทกรลของเศษสวนทางขวามอของสมการ (7.10) เราสามารถหาคาไดโดยการอนทเกรตเศษสวนทางซายมอของสมการ (7.10) ซงพบวาสามารถหาคาอนทกรลไดโดยงาย ดงน

∫

x− 19

x2 − 3x− 10dx =

∫(

3

x+ 2− 2

x− 5

)

dx

= 3 ln |x+ 2| − 2 ln |x− 5|+ C

ลำดบตอไปเราจะศกษาวธการททำใหไดเศษสวนทางซายมอของ (7.10) จากเศษสวนทางขวามอของ (7.10) เรมดวยเราสงเกตเหนวาตวเศษของเศษสวนทางซายมอเปนคาคงตว ในขณะทตวสวนเปนตวประกอบของตวสวนของเศษสวนทางขวามอ ดงนนในการหาเศษสวนทางซายมอของ (7.10)เราเรมดวยการแยกตวประกอบของตวสวนของเศษสวนทางขวามอ และหาคาคงตว A และ B ททำให

x− 19

x2 − 3x− 10=

A

x+ 2+

B

x− 5(7.11)

วธการหนงทใชหาคาคงตว A และ B คอ คณสมการ (7.11) ดวย (x + 2)(x− 5) เพอกำจดตวสวน ดงนนจะไดวา

x− 19 = A(x− 5) +B(x+ 2) (7.12)

ซงเปนสมการทเปนจรงสำหรบทกคาของ x และถาแทน x = −2 ในสมการ (7.12) แลวจะไดสมการ −21 = −7A หรอ A = 3 และถาแทน x = 5 ในสมการ (7.12) แลวจะไดสมการ−14 = 7B หรอ B = −2 จากการแทน A = 3 และ B = −2 ในสมการ (7.11) จะได

x− 19

x2 − 3x− 10=

3

x+ 2− 2

x− 5(7.13)

อกวธหนงทใชหาคาคงตว A และ B คอการคณกระจายพจนทางขวามอของ (7.12) แลวรวมพจนทคลายกน ดงนนจะได

x− 19 = (A+B)x+ (5A+ 2B)

เนองจากฟงกชนพนนาม 2 ฟงกชนจะเทากนกตอเมอสมประสทธของพจนทสมนยกนมคาเทากนดงนนจากการเทยบสมประสทธจะไดระบบสมการของตวไมรคา A และ B ดงน

A+ B = 1

5A+ 2B = −19

และจากการแกระบบสมการจะได A = 3 และ B = −2 เชนเดยวกบวธการแรก


ในทนจะเรยกเศษสวนทางขวามอของ(7.13) วา เศษสวนยอย (partial fractions) ของเศษสวนทางซายมอของ (7.13) และเศษสวนยอยน เราหาไดโดยเรมจากการคาดเดารปแบบของเศษสวนยอย จากนนหาคาของคาคงตวในรปแบบทกำหนด ลำดบตอไปเราจะขยายแนวคดดงกลาวเพอหาเศษสวนยอยของฟงกชนตรรกยะ

กำหนดให P (x)/Q(x) เปนฟงกชนตรรกยะแท (proper rational function) นนคอเปนฟงกชนตรรกยะทระดบขนพหนามของตวเศษมคานอยกวาระดบขนพหนามของตวสวน เนองจากฟงกชนตรรกยะแททกฟงกชนสามารถเขยนในรปผลบวก นนคอ

P (x)

Q(x)= F1(x) + F2(x) + · · ·+ Fn(x) (7.14)

เมอ F1(x), F2(x), . . . , Fn(x) เปนฟงกชนตรรกยะทอยในรป

A

(ax+ b)kหรอ

Ax+B

(ax2 + bx+ c)k

โดยทตวสวนเปนตวประกอบของ Q(x) และผลบวก (7.14) เรยกวา การแยกเศษสวนยอย(partial fraction decomposition) ของ P (x)/Q(x)

การหารปแบบการแยกเศษสวนยอย

ขนตอนแรกของการหารปแบบการแยกเศษสวนยอยของฟงกชนตรรกยะแท P (x)/Q(x) คอการแยกตวประกอบของ Q(x) ใหอยในรปตวประกอบเชงเสน หรอตวประกอบกำลงสองทลดทอนไมได นนคอเขยน Q(x) ในรปผลคณของตวประกอบ

(ax+ b)m และ (ax2 + bx+ c)m

จากตวประกอบเหลานเราสามารถหารปแบบการแยกเศษสวนยอยโดยใชหลกเกณฑทจะกลาวตอไปน

ตวประกอบเชงเสน

ถาตวประกอบของ Q(x) ทงหมดเปนตวประกอบเชงเสน แลวรปแบบการแยกเศษสวนยอยของP (x)/Q(x) สามารถหาไดโดยใชหลกเกณฑดงน:

สำหรบแตละตวประกอบเชงเสน (ax+ b)m การแยกเศษสวนยอยจะประกอบดวยผลบวกของ m เศษสวนยอย

A1

ax+ b+

A2

(ax+ b)2+ · · ·+ Am

(ax+ b)m

เมอ A1, A2, . . . , An เปนคาคงตวทตองการหาคา ในกรณท m = 1 จะมเฉพาะพจนแรกของผลบวก

ตวอยาง 7.27 จงหาคาของ∫

x− 9

x2 + 3x− 10dx


วธทำ . . . . . . . . .


3x2 − 7x− 2

x3 − xdx

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 7.29 จงใชวธการแยกเศษสวนยอย หาอนทกรลไมจำกดเขตของ

f(x) =5x2 + 20x+ 6

x3 + 2x2 + x

วธทำ . . . . . . . . .


x− 2

x2(x− 1)2dx

วธทำ . . . . . . . . .

ตวประกอบกำลงสอง

ถาตวประกอบของ Q(x) บางตวเปนตวประกอบกำลงสองทลดทอนไมได แลวรปแบบการแยกเศษสวนยอยของ P (x)/Q(x) สามารถหาไดโดยใชหลกเกณฑดงน:

สำหรบแตละตวประกอบเชงเสน (ax2 + bx+ c)m การแยกเศษสวนยอยจะประกอบดวยผลบวกของ m เศษสวนยอย

A1x+B1

ax2 + bx+ c+

A2x+B2

(ax2 + bx+ c)2+ · · ·+ Amx+Bx

(ax2 + bx+ c)m

เมอ A1, A2, . . . , An, B1, B2, . . . , Bm เปนคาคงตวทตองการหาคา ในกรณท m = 1 จะมเฉพาะพจนแรกของผลบวก


3x2 − 4x+ 3

x3 + xdx

วธทำ . . . . . . . . .


3x4 + 4x3 + 16x2 + 20x+ 9

(x+ 2)(x2 + 3)2dx

วธทำ . . . . . . . . .

การอนทเกรตฟงกชนตรรกยะไมแท

ถงแมวาวธการแยกเศษสวนยอยจะใชสำหรบฟงกชนตรรกยะแท แตการอนทเกรตฟงกชนตรรกยะไมแทสามารถทำได โดยการใชการหารยาวในการเขยนฟงกชนตรรกยะไมแทในรปผลหารบวกเศษเหลอโดยทเศษเหลอจะเปนฟงกชนตรรกยะแท ซงสามารถแยกเศษสวนยอยได ตวอยางตอไปนจะแสดงวธการดงกลาว



3x4 + 9x3 − 29x2 + 4x− 19

x2 + 3x− 10dx

วธทำ . . . . . . . . .

หมายเหต ในบางกรณการใชวธการแยกเศษสวนยอยอาจไมเหมาะสม ตวอยางเชน∫

3x2 + 2

x3 + 2x− 8= ln |x3 + 2x− 8|+ C

เปนการหาปรพนธโดยไมจำเปนตองใชการแยกเศษสวนยอย เนองจากเราสามารถหาปรพนธโดยใชการแทนท u = x3 + 2x− 8 ไดโดยตรง


1. จงหาปรพนธตอไปน โดยการแทนทดวยตวแปรทกำหนดให

(a)∫

cos 3x dx, u = 3x

(b)∫

x2(x3 + 2) dx, u = x3 + 2

(c)∫

4

(1 + 2x)3dx, u = 1 + 2x

(d)∫

(√x+ 2)3√

xdx, u =

√x+ 2

2. จงหาคาอนทกรลไมจำกดเขตตอไปน โดยใชวธการอนทเกตรโดยการแทนท


(a)∫

2x(x2 + 3)4 dx (b)∫

(2x+ 1)(x2 + x)3 dx

(c)∫ √

x− 1 dx (d)∫

x2

√x3 − 2

dx

(e)∫

dx

5− 3x(f)

∫

2x+ 1

x2 + x− 1dx

(g)∫

1 + 4x√1 + x+ 2x2

dx (h)∫

1√x(√x+ 1)2

dx

(i)∫

cos 2x dx (j)∫

cosx√sin x+ 1 dx

(k)∫

x sin(x2) dx (l)∫

sin x√cos x

dx

(m)∫

cos4 x sin x dx (n)∫

sin x(cosx+ 3)3/4 dx

(o)∫

sec x tanx√1 + sec x dx (p)

∫

cosxesinx dx

(q)∫

ex√1 + ex dx (r)

∫

xex2+1 dx

(s)∫

dx

x ln x(t)

∫

4

x(ln x+ 1)2dx

(u)∫ √

cotx csc2 x dx (v)∫

sin x(cosx− 1)3 dx

(w)∫

sec3 x tanx dx (x)∫

ex − e−x

ex + e−xdx

(y)∫

1 + x

1 + x2dx (z)

∫

2x+ 3

x+ 7dx

3. จงหาคาอนทกรลจำกดเขตตอไปน โดยใชวธการอนทเกรตโดยการแทนท


(a)∫ 2

0

(x− 1)25 dx (b)∫ 2

0

x√x2 + 1 dx

(c)∫ 1

0

x2(1 + 2x3)5 dx (d)∫ 1

−1

x

(x2 + 1)2dx

(e)∫ 1

0

cosπx dx (f)∫ π

π/2

4 cosx

(sin x+ 1)2dx

(g)∫ 4

1

1

x2

√

1 +1

xdx (h)

∫ π/2

π/4

cot x dx

(i)∫ 3

0

dx

2x+ 3(j)

∫ 4

1

x− 1√x

dx

(k)∫ π/3

0

sin x

cos2 xdx (l)

∫ 13

0

dx3

√

(1 + 2x)2

(m)∫ 2

1

x√x− 1 dx (n)

∫ e4

e

dx

x√ln x

(o)∫ a

0

x√x2 + a2 dx (a > 0)

4. จงหาปรพนธตอไปน โดยใชวธการอนทเกรตทละสวน

(a)∫

xe2x dx (b)∫

x2 ln x dx

(c)∫

x sin 4x dx (d)∫

x2e−3x dx

(e)∫

x2 cos 3x dx (f)∫

ex sin 4x dx

(g)∫

(lnx)2 dx (h)∫

cosx cos 2x dx

(i)∫

x sec2 x dx (j)∫

cos x ln(sin x) dx

(k)∫

cos(ln x) dx (l)∫

cos−1 x dx

(m)∫

sin√x dx (n)

∫ 1

0

x sin 2x dx

(o)∫ 1

0

xe−x dx (p)∫ 2

1

ln x

x2dx

(q)∫ 4

1

ln√x dx (r)

∫ 2

1

x4(ln x)2 dx

5. จงหาปรพนธตอไปน โดยใชเศษสวนยอย


(a)∫

x− 5

x2 − 1dx (b)

∫

6x

x2 − x+ 2dx

(c)∫

x+ 1

x2 − x− 6dx (d)

∫ −x+ 5

x3 − x2 − 2xdx

(e)∫

x3 + x+ 2

x2 + 2x− 8dx (f)

∫ −3x− 1

x3 − xdx

(g)∫

2x+ 3

(x+ 2)2dx (h)

∫

x− 1

x3 + 4x2 + 4xdx

(i)∫

x+ 4

x3 + 3x2 + 2xdx (j)

∫

x+ 2

x3 + xdx

(k)∫

4x− 2

x4 − 1dx (l)

∫

3x2 − 6

x2 − x− 2dx

(m)∫

2x+ 3

x2 + 2x+ 1dx (n)

∫

x2 + 2x+ 1

x3 + xdx

(o)∫

4x2 + 3

x3 + x2 + xdx (p)

∫

3x3 + 1

x3 − x2 + x− 1dx


1. (a) 13sin 3x+ C (b) 2

3(x3 + 2)3/2 + C (c) −1/(1 + 2x)2 + C

(d) 12(√x+ 2)4 + C

2. (a) 15(x2 + 3)5 + C (b) 1

4(x2 + x)4 + C (c) 2

3(x− 1)3/2 + C

(d) 23

√x3 − 2 + C (e) −1

3ln |5− 3x|+ C (f) ln |x2 + x− 1|+ C

(g) 2√1 + x+ 2x2 + C (h) −2(

√x+ 1)−1 + C (i) 1

2sin 2x+ C

(j) 23(sin x+ 1)3/2 + C (k) −1

2cos(x2) + C (l) −2

√cos x+ C

(m) −15cos5 x+ C (n) −4

7(cosx+ 3)7/4 + C (o) 2

3(1 + sec x)3/2 + C

(p) esinx + C (q) 23(1 + ex)3/2 + C (r) 1

2ex

2+1 + C (s) ln | ln x|+ C

(t) −4(ln x+ 1)−1 + C (u) −23(cot x)3/2 + C (v) −1

4(cosx− 1)4 + C

(w) 13sec3 x+ C (x) ln(ex + e−x) + C (y) tan−1 x+ 1

2ln(1 + x2) + C

(z) 2(x+ 7)− 11 ln |x+ 7|+ C

3. (a) 0 (b) 53

√5− 1

3(c) 182

9(d) 0 (e) 0 (f) −2

(g) 4√2

3− 5

√5

12(h) 1

2ln 2 (i) 1

2ln 3 (j) 8

3(k) 1 (l) 3

(m) 1615

(n) 2 (o) 13(2√2− 1)a3

4. (a) 12xe2x − 1

4e2x+C (b) 1

3x2 ln x− 1

9x3+C (c) −1

4x cos 4x+ 1

16sin 4x+C

(d) −13x2e−3x − 2

9xe−3x − 2

27e−3x + C (e) 1

3x2 cos 3x+ 2

9x cos 3x− 2

27sin 3x+C

(f) 117ex sin 4x− 4

17ex cos 4x+ C (g) x(ln x)2 − 2x lnx+ 2x+ C

(h) 23sin 2x cosx− 1

3cos 2x sin x+ C (i) x tanx+ ln | cosx|+ C


(j) sin x ln(sin x)− sin x+ C (k) 12x[sin(ln x) + cos(ln x)] + C

(l) x cos−1 x−√1− x2 + C (m) −2

√x cos

√x+ 2 sin

√x+ C

(n) 14sin 2− 1

2cos 2 (o) 1− 2

e(p) 1

2− 1

2ln 2 (q) 2 ln 4− 3

2

(r) 32(ln 2)2 − 64

25ln 2 + 62

125

5. (a) 3 ln |x+ 1| − 2 ln |x− 1|+ C (b) 2 ln |x+ 1|+ 4 ln |x− 2|+ C

(c) 15ln |x+ 2|+ 4

5ln |x− 3|+ C (d) 2 ln |x+ 1|+ 1

2ln |x− 2| − 5

2ln |x|+C

(e) 11 ln |x+ 4|+ 2 ln |x− 2|+ 12x2 − 2x+ C

(f) ln |x+ 1| − 2 ln |x− 1|+ ln |x|+ C (g) 2 ln |x+ 2| − (x+ 2)−1 + C

(h) 14ln |x+ 2| − 3

2(x+ 2)−1 − 1

4ln |x|+C (i) ln |x+ 2| − 3 ln |x+ 1|+ 2 ln |x|+C

(j) − ln(x2 + 1) + tan−1 x+ 2 ln |x|+ C

(k) 32ln |x+ 1|+ 1

2ln |x− 1| − ln(x2 + 1) + tan−1 x+ C

(l) 3x+ ln |x+ 1|+ 2 ln |x− 2|+ C (m) 2 ln |x+ 1| − (x+ 1)−1 + C

(n) 2 tan−1 x+ ln |x|+ C

(o) 3 ln |x|+ 12ln |x2 + x+ 1| − 7√

3tan−1

(

2x+1√3

)

+ C

(p) 3x+ 2 ln |x− 1|+ 12ln(x2 + 1)− 2 tan−1 x+ C

บทท 8

อนกรมอนนต

8.1 ลำดบ

บทนยาม 8.1 ลำดบ (sequence) คอฟงกชน a จากเซตของจำนวนนบไปยงเซต A

a(n) = an คอคาของฟงกชน a ท n และนยมเขยนแทนลำดบดวย {a1, a2, a3, . . .} หรอ{an} หรอ {an}+∞

n=1 และเรยก an วาพจนท n ของลำดบ {an}ถาลำดบ {an} มจำนวนพจนจำกด จะเรยกลำดบนวา ลำดบจำกด (finite sequence) แต

ถาลำดบมจำนวนพจนเปนจำนวนอนนต เราจะเรยกวา ลำดบอนนต (infinite sequence)

ตวอยาง 8.1 จงหาหาพจนแรกของลำดบตอไปน

(a) {4n+ 5} (b) {2n}+∞n=1 (c)

{

(−1)n

n+ 2

}

วธทำ . . . . . . . . .

เนองจากลำดบเปนฟงกชน ดงนนเราสามารถเขยนกราฟของลำดบได ตวอยางเชน กราฟของลำดบ { n

n+1}+∞n=1 คอกราฟของสมการ

y =n

n+ 1, n = 1, 2, 3, . . .

เนองดวยนพจนทางขวามอของสมการนนยามสำหรบจำนวนนบ n ดงนนกราฟของลำดบ { nn+1

}+∞n=1

จะแตกตางจากกราฟของy =

x

x+ 1, x ≥ 1

ซงเปนกราฟของฟงกชนตอเนอง

135


y =1

n, n = 1, 2, 3, . . .

n

y

1

1 2 3 4 5 6 7 8

bb

b b b b b b

x

y

y =1

x, x ≥ 1

1

1 2 3 4 5 6 7 8

bb

b b b b b b

จากกราฟของลำดบ{

n

n + 1

}+∞

n=1

เหนไดวาพจนของลำดบนจะเขาใกล 1 เมอ n มคามากๆ

ดงนนเราสามารถกลาวไดวาlim

n→+∞

n

n+ 1= 1

โดยทวไปสญลกษณlim

n→+∞an = L

หมายความวาพจนของลำดบ {an} สามารถทำใหมคาเขาใกล L โดยการให n มคามากเพยงพอ

บทนยาม 8.2 ลำดบ {an} จะม ลมต L และเขยนแทนดวย

limn→+∞

an = L หรอ an → L เมอ n → +∞

ถาพจน an มคาเขาใกล L เมอ n มคามากเพยงพอ และถา limn→+∞

an หาคาได แลวจะกลาววา

ลำดบ {an} ลเขา (converges) มฉะนนจะกลาววาลำดบ {an} ลออก (diverges)

ทฤษฎบทตอไปจะกลาวถงสมบตของลมตสำหรบลำดบ ซงยนยนวาพชคณตทใชสำหรบการหาคาลมตในรป lim

x→+∞สามารถใชกบลมตในรป lim

n→+∞

ทฤษฎบท 8.1 ถาลำดบ {an} และ {bn} เปนลำดบทลเขาหาคา L1 และ L2 ตามลำดบ และ c

เปนคาคงตวใดๆ แลว

(a) limn→+∞

c = c

(b) limn→+∞

can = c limn→+∞

an = cL1

(c) limn→+∞

(an + bn) = limn→+∞

an + limn→+∞

bn = L1 + L2

(d) limn→+∞

(an − bn) = limn→+∞

an − limn→+∞

bn = L1 − L2

(e) limn→+∞

(anbn) = limn→+∞

an · limn→+∞

bn = L1L2


(f) limn→+∞

anbn

=lim

n→+∞an

limn→+∞

bn=

L1

L2

ถา L2 6= 0

ถาพจนทวไปของลำดบคอ f(n) เมอ f(x) เปนฟงกชนทนยามบนชวง [1,+∞) แลวคาของf(n) คอคาของ f(x) เมอ x เปนจำนวนเตมบวก ดงนน

ถา f(x) → L เมอ x → +∞ แลว f(n) → L เมอ n → +∞

อยางไรกตามบทกลบของขอความขางตนไมเปนจรง นนคอเราไมสามารถกลาวไดวา f(x) → L

เมอ x → +∞ ถา f(n) → L เมอ n → +∞ทฤษฎบทตอไปมกจะนำมาใชในการหาลมตของลำดบทพจนของลำดบมคาเปนทงบวกและลบ

ทฤษฎบท 8.2 ถา limn→+∞

|an| = 0 แลว limn→+∞

an = 0

ตวอยาง 8.2 จงพจารณาวาลำดบตอไปนเปนลำดบลเขาหรอลออก

(a) an =n

2n+ 1(b) an =

(−1)n

n(c) {7− 5n}+∞

n=1

วธทำ . . . . . . . . .


1. จงหาพจนทวไปของลำดบตอไปน เรมดวย n = 1

(a) 1,1

3,1

9,1

27, . . . (b) 1,−1

3,1

9,− 1

27, . . .

(c)1

2,3

4,5

6,7

8, . . . (d)

1√π,

43√π,

94√π,165√π, . . .

2. (a) จงเขยนสพจนแรกของลำดบ {1 + (−1)n} โดยเรมดวย n = 0

(b) จงเขยนสพจนแรกของลำดบ {cosnπ} โดยเรมดวย n = 0

3. จงเขยนหาพจนแรกของลำดบตอไปน พรอมทงพจารณาวาเปนลำดบลเขาหรอไม ถาเปน จงหาคาลมต

(a){

n

n+ 3

}+∞

n=1

(b) {5}+∞n=1

(c){

lnn

n

}+∞

n=1

(d) {1 + (−1)n}+∞n=1

(e){

(−1)n2n3

n3 + 1

}+∞

n=1

(f){

(n+ 1)(n+ 2)

2n2

}+∞

n=1

(g) {n2e−n}+∞n=1 (h)

{(

n + 3

n + 1

)n}+∞

n=1


4. จงหาพจนทวไปของลำดบตอไปน เรมดวย n = 1 พรอมทงพจารณาวาเปนลำดบลเขาหรอไมถาเปน จงหาคาลมต

(a)1

2,3

4,5

6,7

8, . . . (b)

1

3,−1

9,1

27,− 1

81, . . .

(c)(

1− 1

2

)

,

(

1

3− 1

2

)

,

(

1

3− 1

4

)

,

(

1

5− 1

4

)

, . . .

(d)(√

2−√3)

,(√

3−√4)

,(√

4−√5)

, . . .


1. (a) an =1

3n−1(b) an =

(−1)n−1

3n−1(c) an =

2n− 1

2n(d) an =

n2

π1/(n+1)

2. (a) 2, 0, 2, 0 (b) 1,−1, 1,−1

3. (a) 14, 25, 36, 47, 58; ลเขา ; lim

n→+∞

n

n+ 3= 1

(b) 5, 5, 5, 5, 5 ; ลเขา ; limn→+∞

5 = 5

(c)ln 1

1,ln 2

2,ln 3

3,ln 4

4,ln 5

5; ลเขา ; lim

n→+∞

lnn

n= 0

(d) 0, 2, 0, 2, 0 ; ลออก (e) −1, 166,−54

28, 128

65,−250

126; ลออก

(f) 62, 12

8, 2018, 3032, 4250; ลเขา ; lim

n→+∞

(n+ 1)(n+ 2)

2n2=

1

2

(g) e−1, 4e−2.9e−3, 16e−4, 25e−5 ; ลเขา ; limn→+∞

n2e−n = 0

(h) 2,

(

5

3

)2

,

(

6

4

)3

,

(

7

5

)4

,

(

8

6

)5

; ลเขา ; limn→+∞

(

n + 3

n + 1

)n

= e2

4. (a){

2n− 1

2n

}+∞

n=1


2n− 1

2n= 1

(b){

(−1)n+1 1

3n

}+∞

n=1


(−1)n+1 1

3n= 0

(c){

(−1)n+1

(

1

n− 1

n+ 1

)}+∞

n=1

; ลเขา; limn→+∞

(−1)n+1

(

1

n− 1

n+ 1

)

= 0

(d){√

n + 1−√n + 2

}+∞

n=1; ลเขา ; lim

n→+∞

(√n+ 1−

√n+ 2

)

= 0

8.2 อนกรมอนนต

บทนยาม 8.3 อนกรมอนนต (infinite series) คอนพจนทสามารถเขยนในรป

∞∑

n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · · (8.1)


หรอเขยนในรปสญลกษณ∞∑

n=1

an หรอ∑

an

โดยทจำนวน a1, a2, a3, . . . , an, . . . เรยกวา พจน (terms) ของอนกรม

โดยทวไปการพจารณาวาอนกรมอนนต (8.1) หาผลบวกไดหรอไมนน เราพจารณา ผลบวกยอย (partial sum) ของอนกรม

s1 = a1

s2 = a1 + a2

s3 = a1 + a2 + a3

s4 = a1 + a2 + a3 + a4...

sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an =n

∑

i=1

ai

...

ซงผลบวกยอยนกอใหเกดลำดบ {sn}+∞n=1 เรยกวา ลำดบของผลบวกยอย (sequence of

partial sums)ถาหาก n มคามากขน แลวผลบวกยอย sn = a1+ a2+ a3+ · · ·+ an จะรวมจำนวนพจนของ

อนกรมมากขนๆ และถา sn มคาเขาใกลลมต S เมอ n → +∞ แลวเราจะเรยก S วาผลบวกของอนกรมอนนต

∑

an

บทนยาม 8.4 กำหนดให∞∑

n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · · เปนอนกรมอนนต และให

sn =n

∑

i=1

ai = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

เปนผลบวกยอยท n ถาลำดบ {sn} เปนลำดบลเขาหาคา S แลวอนกรม∑

an เรยกวา อนกรมลเขา (convergent) และ S เปน ผลบวก (sum) ของอนกรม ซงจะเขยนแทนดวย

S =

∞∑

n=1

an

แตถาลำดบ {sn} เปนลำดบลออก แลวอนกรม∑

an เรยกวา อนกรมลออก (divergent)ซงไมสามารถหาผลบวกได

ตวอยาง 8.3 จงพจารณาวา1

2+

1

22+

1

23+ · · · เปนอนกรมลเขาหรอไม ถาเปน จงหาผลบวก

วธทำ . . . . . . . . .


บทนยาม 8.5 อนกรมเรขาคณต (geometric series) คออนกรมอนนตทอยในรป

∞∑

n=0

arn = a + ar + ar2 + ar3 + · · ·+ arn + · · · , (a 6= 0)

โดยทจำนวน r เรยกวา อตราสวน (ratio) ของอนกรม

ตวอยางอนกรมเรขาคณต

• 1 + 2 + 4 + 8 + · · ·+ 2n−1 + · · · a = 1, r = 2

•1

2− 1

4+

1

8− 1

16+ · · ·+ (−1)n+1 1

2n+ · · · a =

1

2, r = −1

2

•3

10+

3

102+

3

103+

3

104+ · · ·+ 3

10n+ · · · a =

3

10, r =

1

10

ทฤษฎบท 8.3 อนกรมเรขาคณต

∞∑

n=0

arn = a + ar + ar2 + · · ·+ arn + · · · (a 6= 0)

เปนอนกรมลเขาถา |r| < 1 และมผลบวกเทากบ

S =∞∑

n=0

arn =a

1− r

แตถา |r| ≥ 1 แลวอนกรมเรขาคณตเปนอนกรมลออก

ตวอยาง 8.4 จงหาผลบวกของอนกรมเรขาคณต

5− 10

3+

20

9− 40

27+ · · ·

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 8.5 จงหาผลบวกของอนกรมเรขาคณตตอไปน

(a)4

3+

4

9+

4

27+

4

81+ · · ·

(b) 0.515151 . . . =51

100+

51

10, 000+

51

1, 000, 000+ · · ·

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 8.6 จงพจารณาวา∞∑

n=1

22n31−n เปนอนกรมลเขาหรอลออก

วธทำ . . . . . . . . .



n=1

1

n(n+ 1)=

1

1 · 2 +1

2 · 3 +1

3 · 4 +1

4 · 5 + · · ·

เปนอนกรมลเขาหรอลออก ถาเปนอนกรมลเขา จงหาผลบวกของอนกรม

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 8.6 อนกรมฮาโมนค (harmonic series) คออนกรมอนนตทอยในรป

∞∑

n=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+

1

4+

1

5+ · · ·

ซงเปนอนกรมลออก


จงพจารณาวาอนกรมตอไปนลเขาหรอลออก ถาเปนอนกรมลเขา จงหาผลบวก

1. 4 +8

5+

16

25+

32

125+ · · · 2. −2 +

5

2− 25

8+

125

32− · · ·

3.1

4+

2

4+

22

4+

23

4+ · · · 4.

1

2 · 3 +1

3 · 4 +1

4 · 5 +1

5 · 6 + · · ·

5.∞∑

n=1

5(

23

)n−1 6.∞∑

n=1

(−3)n−1

4n

7.∞∑

n=1

3−n8n+1 8.∞∑

n=1

n

n+ 5

9.∞∑

n=1

1

n(n+ 2)10.

∞∑

n=1

[2(0.1)n + (0.2)n]

11.∞∑

n=1

3n + 2n

6n12.

∞∑

n=1

1

9n2 + 3n− 2

13.∞∑

n=1

[

2(

14

)n+ 3

(

−15

)n] 14.∞∑

n=1

n− 5

n + 2

15.∞∑

n=2

(

1

n− 1

n− 1

)

16.∞∑

n=1

( e

π

)n+1


1. ลเขา; 203

2. ลออก 3. ลออก 4. ลเขา; 12

5. ลเขา; 15 6. ลเขา; 17

7. ลออก 8. ลออก 9. ลเขา; 34

10. ลเขา; 1736

11. ลเขา; 32

12. ลเขา; 16

13. ลเขา; 316

14. ลออก 15. ลเขา; −1 16. ลเขา; e2

π(π−e)


8.3 การทดสอบการลเขา

ในหวขอนเราจะศกษาวธการทใชในการพจารณาวาอนกรมทกำหนดใหเปนอนกรมลเขาหรอลออก

การทดสอบการลออก (The Divergence Test)

ทฤษฎบท 8.4 (การทดสอบการลออก)

(a) ถา limn→+∞

an 6= 0 แลวอนกรม∑

an ลออก

(b) ถา limn→+∞

an = 0 แลวอนกรม∑

an อาจจะลเขาหรอลออก

ทฤษฎบท 8.5 ถาอนกรม∑

an ลเขา แลว limn→+∞

an = 0

หมายเหต บทกลบของทฤษฎบท 8.5 ไมจรงเสมอไป นนคอถา limn→+∞

an = 0 เราไมสามารถสรป

ไดวา∑

an เปนอนกรมลเขา ตามทกลาวไวในทฤษฎบท 8.4(b)


n=1

n2

5n2 + 4เปนอนกรมลเขาหรอลออก

วธทำ . . . . . . . . .

สมบตพชคณตของอนกรมอนนต

ทฤษฎบท 8.6 ถา∑

an และ∑

bn เปนอนกรมลเขา แลว∑

can เมอ c เปนคาคงตวใดๆ,∑

(an + bn) และ∑

(an − bn) เปนอนกรมลเขา และ

(a)∞∑

n=1

can = c∞∑

n=1

an

(b)∞∑

n=1

(an + bn) =

∞∑

n=1

an +

∞∑

n=1

bn

(c)∞∑

n=1

(an − bn) =

∞∑

n=1

an −∞∑

n=1

bn

ตวอยาง 8.9 จงพจารณาวา 7 +7

2+

7

3+ · · ·+ 7

n+ · · · เปนอนกรมลเขาหรอลออก

วธทำ . . . . . . . . .


n=1

1

n + 5เปนอนกรมลเขาหรอลออก

วธทำ . . . . . . . . .


ตวอยาง 8.11 จงหาผลบวกของอนกรม∞∑

n=1

(

1

2n+

3

n(n+ 1)

)

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 8.12 จงหาผลบวกของอนกรม∞∑

n=2

(

1

n2 − 1− 3

5n−1

)

วธทำ . . . . . . . . .

การทดสอบอนทกรล (The Integral Test)

ทฤษฎบท 8.7 (การทดสอบอนทกรล) กำหนดให∑

an เปนอนกรมททกพจนมคาเปนบวก ถาf เปนฟงกชนลดลงและตอเนองบนชวง [c,+∞) โดยท an = f(n) สำหรบทกคา n ≥ c แลว

∞∑

n=1

an และ∫ +∞

c

f(x) dx

จะลเขาหรอลออกพรอมกน

ตวอยาง 8.13 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

(a)∞∑

n=1

1

n(b)

∞∑

n=1

1

n2 + 1

วธทำ . . . . . . . . .

อนกรมพ (p-Series)

อนกรมพ (p-series) คออนกรมอนนตทอยในรป

∞∑

n=1

1

np= 1 +

1

2p+

1

3p+ · · ·+ 1

np+ · · · เมอ p > 0

ตวอยางเชน∞∑

n=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+ · · ·+ 1

n+ · · ·

∞∑

n=1

1

n2= 1 +

1

22+

1

32+ · · ·+ 1

n2+ · · ·

∞∑

n=1

1√n

= 1 +1√2+

1√3+ · · ·+ 1√

n+ · · ·

ทฤษฎบทตอไปนจะกลาววาอนกรมพเปนอนกรมลเขาเมอใด


ทฤษฎบท 8.8 อนกรมพ

∞∑

n=1

1

np= 1 +

1

2p+

1

3p+ · · ·+ 1

np+ · · ·

เปนอนกรมลเขาถา p > 1 และเปนอนกรมลออกถา 0 < p ≤ 1

ตวอยาง 8.14 จงพจารณาวาอนกรมตอไปนเปนอนกรมลเขาหรอลออก

(a)∞∑

n=1

1

n3(b)

∞∑

n=1

1

n1/3

วธทำ . . . . . . . . .

การทดสอบเปรยบเทยบ (The Comparison Test)

ทฤษฎบท 8.9 (การทดสอบเปรยบเทยบ) กำหนดให∑∞

n=1 an และ∑∞

n=1 bn เปนอนกรมทพจนแตละพจนมคาไมเปนลบ และสมมตให

a1 ≤ b1, a2 ≤ b2, a3 ≤ b3, . . . , an ≤ bn, . . .

(i) ถาอนกรม∑

bn ลเขา แลวอนกรม∑

an ลเขา

(ii) ถาอนกรม∑

an ลออก แลวอนกรม∑

bn ลออก

หมายเหต ในการใชการทดสอบเปรยบเทยบ จำเปนตองรอนกรม∑

bn เพอนำมาใชในการเปรยบเทยบโดยสวนใหญมกจะนยมใชอนกรมพ หรออนกรมเรขาคณต


(a)∞∑

n=1

5

2n2 + 4n + 3(b)

∞∑

n=1

n

5n2 − 4

(c)∞∑

n=1

n

2n(n+ 1)(d)

∞∑

n=1

lnn

n

วธทำ . . . . . . . . .

การทดสอบเปรยบเทยบโดยลมต (The Limit Comparison Test)

ทฤษฎบท 8.10 (การทดสอบเปรยบเทยบโดยลมต) กำหนดให∑

an และ∑

bn เปนอนกรมทพจนทกพจนมคาเปนบวก และให

ρ = limn→+∞

anbn

ถา ρ เปนจำนวนจำกด และ ρ > 0 แลวอนกรมทงสองจะเปนอนกรมลเขาหรอลออกพรอมกน



(a)∞∑

n=1

3n− 2

n3 − 2n2 + 11(b)

∞∑

n=1

1√n2 + 19n

(c)∞∑

n=1

1

2n − 1(d)

∞∑

n=1

2n2 + 3n√5 + n5

วธทำ . . . . . . . . .

การทดสอบอตราสวน (The Ratio Test)

ทฤษฎบท 8.11 (การทดสอบอตราสวน) กำหนดให∑

an เปนอนกรมทพจนทกพจนมคาเปนบวก และให

ρ = limn→+∞

an+1

an

(i) ถา ρ < 1 แลวอนกรม∑

an ลเขา

(ii) ถา ρ > 1 หรอ ρ = +∞ แลวอนกรม∑

an ลออก

(iii) ถา ρ = 1 แลวอนกรม∑

an อาจจะลเขาหรอลออก ดงนนตองทดสอบการลเขาโดยวธอน


(a)∞∑

n=1

2n

n!(b)

∞∑

n=1

n3

3n(c)

∞∑

n=1

2n

n20

(d)∞∑

n=1

n!

nn(e)

∞∑

n=1

1

2n− 1

วธทำ . . . . . . . . .

การทดสอบราก (The Root Test)

ทฤษฎบท 8.12 (การทดสอบราก) กำหนดให∑

an เปนอนกรมทพจนทกพจนมคาเปนบวกและให

ρ = limn→+∞

n

√an = lim

n→+∞(an)

1/n

(i) ถา ρ < 1 แลวอนกรม∑

an ลเขา

(ii) ถา ρ > 1 หรอ ρ = +∞ แลวอนกรม∑

an ลออก

(iii) ถา ρ = 1 แลวอนกรม∑

an อาจจะลเขาหรอลออก ดงนนตองทดสอบการลเขาโดยวธอน

ตวอยาง 8.18 จงพจารณาวาอนกรมตอไปนลเขาหรอลออก

(a)∞∑

n=1

(

2n+ 3

3n+ 2

)n

(b)∞∑

n=2

(

1

lnn

)n


วธทำ . . . . . . . . .


1. จงใชการทดสอบการลออก พจารณาวาอนกรมตอไปนเปนอนกรมลเขาหรอลออก

(a)∞∑

n=1

n2 + n+ 3

2n2 + 1(b)

∞∑

n=1

(

1 +1

n

)

(c)∞∑

n=1

cos kπ

2. จงพจารณาวาอนกรมตอไปนเปนอนกรมลเขาหรอลออก

(a)∞∑

n=1

1

n4(b)

∞∑

n=1

1

3n+ 1(c)

∞∑

n=2

7

4n+ 2

(d)∞∑

n=1

ne−n (e)∞∑

n=1

ne−n2 (f)∞∑

n=2

ne−3n2

(g)∞∑

n=1

n

n2 + 1(h)

∞∑

n=1

−2√n + 2

(i)∞∑

n=1

3

(4 + 3n)7/6

(j)∞∑

n=1

tan−1 n

1 + n2(k)

∞∑

n=2

1

n lnn(l)

∞∑

n=5

1

n1.0001

(m)∞∑

n=1

1√n + 5

(n)∞∑

n=1

13√2n− 1

(o)∞∑

n=1

n

ln(n+ 1)

(p)∞∑

n=1

(

1 +1

n

)−n

(q)∞∑

n=1

n2 sin2

(

1

n

)

(r)∞∑

n=5

7n−1.01

3. จงใชการทดสอบเปรยบเทยบ พจารณาวาอนกรมตอไปนเปนอนกรมลเขาหรอลออก

(a)∞∑

n=1

1

5n2 − n(b)

∞∑

n=1

3

n− 14

(c)∞∑

n=1

1

3n + 5

(d)∞∑

n=1

5 sin2 n

n!(e)

∞∑

n=1

n

n3/2 − 12

4. จงใชการทดสอบเปรยบเทยบโดยลมต พจารณาวาอนกรมตอไปนเปนอนกรมลเขาหรอลออก

(a)∞∑

n=1

4n3 + 3n

n5 − 4n2 + 1(b)

∞∑

n=1

5

2 + 3n(c)

∞∑

n=1

13√8n2 − 3n

5. จงใชการทดสอบอตราสวน พจารณาวาอนกรมตอไปนเปนอนกรมลเขาหรอลออก

(a)∞∑

n=1

8n

n!(b)

∞∑

n=1

n!

n100(c)

∞∑

n=1

n+ 1

n2

6. จงใชการทดสอบราก พจารณาวาอนกรมตอไปนเปนอนกรมลเขาหรอลออก

(a)∞∑

n=1

(

n2 + 1

2n2 + 1

)n

(b)∞∑

n=1

(

n

3n+ 2

)n

(c)∞∑

n=1

n

5n


7. จงพจารณาวาอนกรมตอไปนเปนอนกรมลเขาหรอลออก

(a)∞∑

n=1

1

n2 + n+ 1(b)

∞∑

n=1

5− 2√n

n3(c)

∞∑

n=1

n

n+ 200

(d)∞∑

n=1

1√

n(n + 1)(n+ 2)(e)

∞∑

n=1

3

n2n(f)

∞∑

n=1

n2 + 1

n3 − 1

(g)∞∑

n=1

3 + cos n

3n(h)

∞∑

n=1

n√n5 + 4

(i)∞∑

n=1

2n

1 + 3n

(j)∞∑

n=1

1

1 +√n

(k)∞∑

n=1

n2 + 1

n4 + 1(l)

∞∑

n=1

n+ 1

n2n

(m)∞∑

n=1

1 + n+ n2

√1 + n2 + n6

(n)∞∑

n=1

1

n!(o)

∞∑

n=1

sin

(

1

n

)

(p)∞∑

n=1

n

n2 + 2n + 3(q)

∞∑

n=1

1

n√n + 1

(r)∞∑

n=1

n3

(2n)!

(s)∞∑

n=1

n + 3

n2√n

(t)∞∑

n=1

sin 2n

n2(u)

∞∑

n=1

n(−3)n

4n−1

(v)∞∑

n=1

10n

(n+ 1)42n+1(w)

∞∑

n=1

n!

(−10)n(x)

∞∑

n=1

nn

31+3n

(y)∞∑

n=1

nn

(2n)!(z)

∞∑

n=1

4n + n

n!

8. จงหาพจนทวไปของอนกรม พรอมทงใชการทดสอบอตราสวนแสดงวาอนกรมตอไปนเปนอนกรมลเขา

(a) 1 +1 · 21 · 3 +

1 · 2 · 31 · 3 · 5 +

1 · 2 · 3 · 41 · 3 · 5 · 7 + · · ·

(b) 1 +1 · 33!

+1 · 3 · 5

5!+

1 · 3 · 5 · 77!

+ · · ·


1. (a) ลออก (b) ลออก (c) ลออก

2. (a) ลเขา (b) ลออก (c) ลออก (d) ลเขา (e) ลเขา (f) ลเขา

(g) ลออก (h) ลออก (i) ลเขา (j) ลเขา (k) ลออก (l) ลเขา

(m) ลออก (n) ลออก (o) ลออก (p) ลออก (q) ลออก

(r) ลเขา

3. (a) ลเขา (b) ลออก (c) ลเขา (d) ลเขา (e) ลออก

4. (a) ลเขา (b) ลเขา (c) ลออก

5. (a) ลเขา (b) ลออก (c) สรปไมได


6. (a) ลเขา (b) ลเขา (c) ลเขา

7. (a) ลเขา (b) ลเขา (c) ลออก (d) ลเขา (e) ลเขา (f) ลออก(g) ลเขา (h) ลเขา (i) ลเขา (j) ลออก (k) ลเขา (l) ลเขา(m) ลออก (n) ลเขา (o) ลออก (p) ลออก (q) ลเขา (r) ลเขา(s) ลเขา (t) ลเขา (u) ลเขา (v) ลเขา (w) ลออก (x) ลออก(y) ลเขา (z) ลเขา

บทท 9

สมการเชงอนพนธสามญอนดบหนง

9.1 บทนยามและทฤษฎบทพนฐาน

บทนยาม 9.1 สมการเชงอนพนธ (Differential Equation) คอ สมการทมอนพนธของฟงกชนตวแปรเดยว หรอหลายตวแปร

เราสามารถแบงสมการเชงอนพนธไดตาม ชนด (type) อนดบ (order) และ การเปนเชงเสน (linearity) ดงน

ชนดของสมการเชงอนพนธ แบงไดเปน 2 ชนดคอ

1. สมการเชงอนพนธสามญ(

Ordinary Differential Equation (ODE))

คอ สมการเชงอนพนธทมอนพนธของฟงกชนเทยบกบตวแปรอสระเพยงตวเดยว ตวอยางเชน

(a)dy

dx+ 5y = ex

(b)dy

dx= x

√x2 + 9

(c)d2y

dx2− dy

dx+ 6y = 0

(d)dy

dt+

dx

dt= 3x+ 5y − 1

จากตวอยางขางตนน สมการเชงอนพนธในขอ (a)-(c) เปนสมการทม x เปนตวแปรอสระ และม y เปนตวแปรตาม ในขณะทสมการเชงอนพนธในขอ (d) ม t เปนตวแปรอสระ และม x และ y เปนตวแปรตาม

2. สมการเชงอนพนธยอย(

Partial Differential Equation (PDE))

คอ สมการเชงอนพนธทมอนพนธยอยของฟงกชนเทยบกบตวแปรอสระมากกวาหนงตวแปร ตวอยางเชน

(a)∂u

∂x+

∂u

∂y= 2x+ 4y

(b)∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0

149


(c)∂u

∂y= −∂v

∂x

ในทนสมการเชงอนพนธในขอ (a)-(b) เปนสมการทม x และ y เปนตวแปรอสระและม u เปนตวแปรตาม ในขณะทสมการเชงอนพนธในขอ (c) ม x และ y เปนตวแปรอสระและ u และ v เปนตวแปรตาม

อนดบของสมการเชงอนพนธ คออนดบสงสดของอนพนธ หรออนพนธยอยทปรากฏในสมการนน ตวอยางเชน

1.dy

dx= 2xy เปนสมการเชงอนพนธอนดบหนง

2. y(4) + x2y(3) + x5y = sin x เปนสมการเชงอนพนธอนดบส

3. 5∂2u

∂x2=

∂2u

∂t2เปนสมการเชงอนพนธยอยอนดบสอง

โดยทวไปสมการเชงอนพนธสามญอนดบท n ทม x เปนตวแปรอสระ และม y เปนตวแปรตาม สามารถเขยนในรป

F(

x, y, y′, . . . , y(n))

= 0 (9.1)

โดยท F เปนฟงกชนคาจรงของตวแปร n + 2 ตวแปร ซงในทนคอ x, y, y′, . . . , y(n) และถาหากเขยน y(n) ในรปของตวแปรทเหลอ แลวสมการ (9.1) จะเปลยนเปนสมการเชงอนพนธ

y(n) = f(

x, y, y′, . . . , y(n−1))

โดยท f เปนฟงกชนคาจรงทตอเนองของตวแปร n + 1 ตวแปร

การเปนเชงเสนของสมการเชงอนพนธ สมการเชงอนพนธสามญอนดบท n (9.1) จะเปนสมการ เชงเสน (linear) ถา F เปนฟงกชนเชงเสนในเทอมของ y, y′, . . . , y(n) นนคอสมการ (9.1) เขยนอยในรป

an(x)y(n) + an−1(x)y

(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x)

หรอan(x)

dny

dxn+ an−1(x)

d(n−1)y

dx(n−1)+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = g(x) (9.2)

ตวอยางเชน

1. (y − x) dx+ 4x dy = 0 เปนสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบหนง

2. y′′ − 2y′ + y = 0 เปนสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบสอง

3.d3y

dx3+ x

dy

dx− 5y = ex เปนสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบสาม


สำหรบสมการเชงอนพนธสามญทไมเปนสมการเชงเสนเรยกวา สมการเชงอนพนธสามญไมเชงเสน(nonlinear ordinary differential equation) นนคอเปนสมการทประกอบดวยพจนทไมเปนเชงเสน เชน มฟงกชนทไมเชงเสนของตวแปรตาม หรออนพนธของตวแปรตาม ดงนน

(1− y)y′ + 2y = ex,d2y

dx2+ sin y = 0, และ

d4y

dx4+ y2 = 0

เปนตวอยางของสมการเชงอนพนธสามญไมเชงเสนอนดบหนง อนดบสอง และอนดบส ตามลำดบ

หมายเหต จากนเปนตนไปเราจะศกษาเฉพาะสมการเชงอนพนธสามญ ดงนนถาหากเขยน สมการเชงอนพนธ จะหมายถง สมการเชงอนพนธสามญ

บทนยาม 9.2 ฟงกชน φ ทนยามบนชวง I จะเปน ผลเฉลย (solution) ของสมการเชงอนพนธ (9.1) บนชวง I ถา φ′, φ′′, . . . , φ(n) หาคาไดและตอเนองบนชวง I และ

F(

x, φ(x), φ′(x), . . . , φ(n)(x))

= 0 สำหรบทก x ∈ I

หรอกลาวไดวาฟงกชน φ สอดคลองกบสมการเชงอนพนธ (9.1) บนชวง I

หมายเหต ชวง I ทกลาวในบทนยาม 9.2 คอชวงททำใหสมการเชงอนพนธมผลเฉลย หรอโดเมนของผลเฉลย ซงอาจจะเปนชวงเปด (a, b), ชวงปด [a, b], ชวง (a,∞) หรอชวงอนๆ

ตวอยาง 9.1 จงแสดงวา u(x) = A cos 3x + B sin 3x เมอ A,B เปนคาคงตวใดๆ เปนผลเฉลยของสมการ y′′ + 9y = 0 บนชวง (−∞,∞)

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 9.3 ความสมพนธ G(x, y) = 0 เรยกวา ผลเฉลยโดยปรยาย (implicit solution)ของสมการเชงอนพนธ (9.1) บนชวง I ถามฟงกชน φ อยางนอยหนงฟงกชนทสอดคลองกบความสมพนธน และสอดคลองกบสมการเชงอนพนธบนชวง I

ตวอยาง 9.2 จงแสดงวาความสมพนธ x2 + y2 = 4 เปนผลเฉลยโดยปรยายของสมการเชงอนพนธx+ yy′ = 0 บนชวง (−2, 2)

วธทำ . . . . . . . . .

ปญหาคาเรมตน

บอยครงเราสนใจทจะหาผลเฉลย y(x) ของสมการเชงอนพนธ ททำให y(x) สอดคลองกบเงอนไขทกำหนดให ดงนนสำหรบชวง I ทบรรจคา x0 ปญหาทประกอบดวยสมการเชงอนพนธอนดบท n

dny

dx= f(x, y, y′, . . . , y(n−1)

และเงอนไขเรมตน (initial condition) n เงอนไข

y(x0) = y0, y′(x0) = y1, . . . , y(n−1)(x0) = yn−1


โดยท y0, y1, . . . , yn−1 เปนคาคงตวทกำหนดให เรยกวา ปญหาคาเรมตนอนดบท n (nth-order initial-value problem) ตวอยางเชนปญหาทประกอบดวยสมการเชงอนพนธ

dy

dx= f(x, y)

และเงอนไขเรมตนy(x0) = y0

เรยกวา ปญหาคาเรมตนอนดบหนง

ตวอยาง 9.3 กำหนดให y(x) = c1 cos 4x+ c2 sin 4x เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใดๆ เปนผลเฉลยของสมการ y′′ + 16y = 0 จงหาผลเฉลยของปญหาคาเรมตน

y′′ + 16y = 0, y(π

2

)

= −2, y′(π

2

)

= 1

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 9.4 ผลเฉลยทวไป (general solution) ของสมการเชงอนพนธคอ ผลเฉลยทมคาคงตวใดๆปรากฏอยในผลเฉลยนน

บทนยาม 9.5 ผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) ของสมการเชงอนพนธคอ ผลเฉลยทไดจากผลเฉลยทวไป โดยกำหนดคาทเจาะจงใหกบคาคงตวใดๆทปรากฏอยในผลเฉลยทวไป และโดยทวไปจะกำหนดคาทเจาะจงใหสอดคลองกบเงอนไขเรมตนทโจทยกำหนดให

การมจรงและเปนไปไดอยางเดยวของผลเฉลย (Existence and Unique-ness of Solutions)

ทฤษฎบทตอไปนจะกลาวถงเงอนไขเพยงพอ (sufficient condition) สำหรบการมจรงและเปนไปไดอยางเดยวของผลเฉลย

ทฤษฎบท 9.1 ให R เปนบรเวณสเหลยมผนผาในระนาบ xy ทนยามโดย a ≤ x ≤ b, c ≤y ≤ d และมจด (x0, y0) เปนจดภายใน ถา f(x, y) เปนฟงกชนตอเนองบนบรเวณ R แลวปญหาคาเรมตน

y′ = f(x, y), y(x0) = y0

จะมผลเฉลยอยางนอยหนงผลเฉลยบนชวงเปด I0 : (x0 − h, x0 + h), h > 0 บางชวง

นอกจากน ถา∂f

∂yเปนฟงกชนตอเนองบนบรเวณ R แลวปญหาคาเรมตนทกำหนดใหจะม

ผลเฉลยเปนไปไดอยางเดยวบนชวงเปด I0

ตวอยาง 9.4 จงพจารณาวาปญหาคาเรมตน y′ =y2

x− 3, y(1) = 0 มผลเฉลยเปนไปไดอยางเดยว

หรอไม?

วธทำ . . . . . . . . .


ตวอยาง 9.5 จงพจารณาวาปญหาคาเรมตน y′ = 3y2/3, y(2) = 0 มผลเฉลยเปนไปไดอยางเดยวหรอไม?

วธทำ . . . . . . . . .


1. จงพจารณาวาสมการเชงอนพนธตอไปน เปนสมการเชงอนพนธสามญเชงเสน หรอสมการเชงอนพนธสามญไมเชงเสน พรอมทงบอกอนดบของสมการเชงอนพนธ

(a) (1− x)y′ − 4xy = cosx (b)d2y

dt2+ sin(t+ y) = sin t

(c)d2y

dx2=

√

1 +

(

dy

dx

)2

(d)d3y

dt3+ t

dy

dt+ cos2 ty = t3

(e) (sin θ)y′′′ − (cos θ)y′ = 2ey (f)d4y

dt4+

d3y

dt3+

d2y

dt2+

dy

dt+ y = 1

2. จงแสดงวาฟงกชน y ทกำหนดใหเปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

(a) (y − x)y′ = y − x+ 8 ; y = x+ 4√x+ 2

(b) y′ = 25 + y2 ; y = 5 tan 5x

(c) y(4) + 4y′′′ + 3y = t ; y = e−t + t/3

(d) y′ = 2xy2 ; y = 1/(4− x2)

(e) 2y′ = y3 cosx ; y = (1− sin x)−1/2

(f) t2y′′ + 5ty′ + 4y = 0 ; y = t−2 ln t

3. จงแสดงวา x3 + 3xy2 = 1 เปนผลเฉลยโดยปรยายของสมการ

2xydy

dx+ x2 + y2 = 0 บนชวง (0, 1)

4. จงแสดงวา 5x2y2 − 2x3y2 = 1 เปนผลเฉลยโดยปรยายของสมการ

dy

dx= (3x− 5)y3 บนชวง (0, 5

2)

5. จงแสดงวา ln

(

2y − 1

y − 1

)

= x เปนผลเฉลยโดยปรยายของสมการ

dy

dx= (y − 1)(1− 2y) บนชวง (−∞, ln 2) หรอ (ln 2,∞)

6. จงหาคาของ r ททำใหฟงกชน y = erx เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธทกำหนดให

(a) 3y′ = 2y (b) 4y′′ = y

(c) y′′ + y′ − 2y = 0 (d) 3y′′ + 3y′ − 4y = 0


7. จงหาคาของ r ททำใหฟงกชน y = xr เมอ x > 0 เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธทกำหนดให

(a) x2y′′ + 4xy′ + 2y = 0 (b) x2y′′ − 4xy′ + 4y = 0

8. จงพจารณาวาปญหาคาเรมตนตอไปนมผลเฉลยเปนไปไดอยางเดยวหรอไม

(a)dy

dx= 2x2y2; y(1) = −1 (b)

dy

dx= 3

√y; y(0) = 1

(c)dy

dx=

√x− y; y(2) = 2 (d) y

dy

dx= x− 1; y(1) = 0

(e)dy

dx= ln(1 + y2); y(0) = 0

9. กำหนดให y(x) = c1e−x + c2e

2x เมอ c1 และ c2 เปนคาคงตวใดๆ เปนผลเฉลยของ

สมการd2y

dx2− dy

dx− 2y = 0 จงหาคาของ c1 และ c2 ททำให y(x) สอดคลองกบ

เงอนไขเรมตนในแตละขอตอไปน

(a) y(0) = 2, y′(0) = 1 (b) y(1) = 1, y′(1) = 0


1. (a) สมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบหนง

(b) สมการเชงอนพนธสามญไมเชงเสนอนดบสอง

(c) สมการเชงอนพนธสามญไมเชงเสนอนดบสอง

(d) สมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบสาม

(e) สมการเชงอนพนธสามญไมเชงเสนอนดบสาม

(f) สมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบส

6. (a) r = 23

(b) r = ±12

(c) r = −2, 1 (d) r = −12±

√576

7. (a) r = −1,−2 (b) r = 1, 4 8. (a) ม (b) ม (c) ไมม (d)ไมม (e) ม

9. (a) c1 = 1, c2 = 1 (b) c1 =2e3, c2 =

13e2

9.2 สมการแยกตวแปรได

บทนยาม 9.6 สมการเชงอนพนธอนดบหนงทเขยนในรป

dy

dx= g(x)h(y)

เรยกวา สมการแยกตวแปรได (separable equation)


ตวอยางเชนสมการdy

dx= y2xe2x+5y และ

dy

dx= y + cosx

เปนสมการแยกตวแปรได และสมการแยกตวแปรไมไดตามลำดบ ในสมการแรกเราสามารถเขยนf(x, y) = y2xe2x+5y ในรป

f(x, y) = y2xe2x+5y =(

xe2x) (

y2e5y)

แตในสมการทสองเราไมสามารถเขยน y + cosx ในรปของผลคณของฟงกชนของ x กบฟงกชนของ y ได

นอกจากนจะสงเกตไดวาสมการแยกตวแปรได dy/dx = g(x)h(y) สามารถเขยนในรป

p(y)dy

dx= g(x) (9.3)

เมอ p(y) = 1/h(y)

ถา y = φ(x) เปนผลเฉลยของสมการ(9.3) แลวจะไดวา p(φ(x))φ′(x) = g(x) ดงนน∫

p(φ(x))φ′(x) dx =

∫

g(x) dx (9.4)

แต dy = φ′(x) dx ฉะนนจาก (9.4) จะได∫

p(y) dy =

∫

g(x) dx หรอ H(y) = G(x) + c (9.5)

เมอ H(y) และ G(x) เปนปฏยานพนธของ p(y) = 1/h(y) และ g(x) ตามลำดบ

ตวอยาง 9.6 จงหาผลเฉลยของสมการdy

dx=

4− 2x

3y2 − 5

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 9.7 จงหาผลเฉลยของสมการ (1 + x) dy − y dx = 0

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 9.8 จงหาผลเฉลยของปญหาคาเรมตนdy

dx= 6e2x−y, y(0) = 0

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 9.9 จงหาผลเฉลยของปญหาคาเรมตน 2√xdy

dx= cos2 y, y(4) =

π

4

วธทำ . . . . . . . . .



1. จงหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธตอไปน

(a)dy

dx= sin 5x (b)

dy

dx+ 2xy = 0

(c) dx+ e3xdy = 0 (d) xdy

dx= 4y

(e)dy

dx= y sin x (f)

dy

dx= e3x+2y

(g)dy

dx= (64xy)1/3 (h) y ln x

dx

dy=

(

y + 1

x

)2

(i)dy

dx= xy3 (j) (1− x2)

dy

dx= 2y

(k) 2√xdy

dx=

√

1− y2 (l) y3dy

dx= (y4 + 1) cosx

(m)dy

dx= x

√

1− y2 (n)dy

dx=

(x− 1)y5

x2(2y3 − y)

(o) y′ = 1 + x+ y + xy (p) y ln xdx

dy=

(

y + 1

x

)2

(q) csc y dx+ sec2 x dy = 0 (r)dy

dx=

xy + 3x− y − 3

xy − 2x+ 4y − 8

(s)dS

dr= kS (t)

dP

dt= P − P 2

(u) (ey + 1)2e−y dx+ (ex + 1)3e−x dy = 0

2. จงหาผลเฉลยของปญหาคาเรมตนตอไปน

(a)dy

dx= (1− 2x)y2, y(0) = −1/6

(b)dx

dt= 4(x2 + 1), x(π/4) = 1

(c) x2 dy

dx= y − xy, y(−1) = −1

(d)dy

dx=

3x2 − ex

2y − 5, y(0) = 1

(e)√

1− y2 dx−√1− x2 dy = 0, y(0) =

√3

2

(f) y2(1− x2)1/2 dy = sin−1 x dx, y(0) = 1


1. (a) y = −15cos 5x+ c (b) y = ce−x2 (c) y = 1

3e−3x + c (d) y = cx4

(e) y = ce− cos x (f) −3e−2y = 2e3x + c (g) y = (2x4/3 + c)3/2


(h) 13x3 ln x− 1

9x3 = 1

2y2 + 2y + ln |y|+ c (i) y = (c− x2)−1/2

(j) y = c(1 + x) · (1− x) (k) y = sin(c+√x) (l) ln(y4 + 1) = c+ 4 sin x

(m) y = sin(12x2 + c) (n)

1

3y3− 2

y=

1

x+ ln |x|+ c

(o) ln |1 + y| = x+ 12x2 + c (p) 1

3x3 ln x− 1

9x3 = 1

2y2 + 2y + ln y + c

(q) 4 cos y = 2x+ sin 2x+ c (r) (y + 3)5ex = c(x+ 4)5ey (s) S = cekr

(t) P =cet

1 + cet(u) (ex + 1)−2 + 2(ey + 1)−1 = c

2. (a) y = 1/(x2 − x− 6) (b) x = tan(4t− 34π) (c) y =

e−(1+1/x)

x

(d) y = 52−

√

x3 − ex + 134

(e) y = 12x+ 1

2

√3√1− x2

(f) y =[

32(sin−1 x)2 + 1

]1/3

9.3 สมการเชงเสน

ในหวขอนเราจะศกษาถงวธการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบหนง ซงนยามไดในบทนยามตอไปน

บทนยาม 9.7 สมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบหนงทอยในรป

a1(x)dy

dx+ a0(x)y = g(x) (9.6)

เรยกวา สมการเชงเสน (linear equation)

จากการหารทงสองขางของสมการ (9.6) ดวย a1(x) จะได รปแบบมาตรฐาน (standardform) ของสมการเชงเสน นนคอ

dy

dx+ P (x)y = Q(x) (9.7)

โดยท P (x) =a0(x)

a1(x)และ Q(x) =

g(x)

a1(x)

สำหรบการหาผลเฉลยของสมการ (9.7) บนชวง I ใดๆ ททำใหฟงกชนสมประสทธ P (x) และQ(x) มความตอเนอง สามารถหาไดโดยการคณสมการ (9.7) ดวยฟงกชน ρ(x) เพอใหไดสมการทหาปรพนธได และฟงกชน ρ(x) เรยกวา ตวประกอบปรพนธ (integrating fac-tor) ซงในทนนยามโดย

ρ(x) = e∫P (x) dx

จากการคณสมการ (9.7) ดวย ρ(x) จะได

e∫P (x) dx dy

dx+ P (x)e

∫P (x) dxy = Q(x)e

∫P (x) dx (9.8)


เนองจากd

dx

(∫

P (x) dx

)

= P (x)

ดงนนe∫P (x) dx dy

dx+ P (x)e

∫P (x) dxy =

d

dx

(

y · e∫P (x) dx

)

และสมการ (9.8) จะเปลยนเปน

d

dx

(

y(x) · e∫P (x) dx

)

= Q(x)e∫P (x) dx (9.9)

จากการอนทเกรตทงสองขางของสมการ (9.9) เทยบกบ x จะได

y(x)e∫P (x) dx =

∫

(

Q(x)e∫P (x) dx

)

dx+ c

นนคอจะไดวาy(x) = e−

∫P (x) dx

[∫

(

Q(x)e∫P (x) dx

)

dx+ c

]

(9.10)

เปนผลเฉลยทวไปของสมการ (9.7)อยางไรกตามนกศกษาไมควรจดจำรปแบบผลเฉลยทวไป (9.10) แตควรหาผลเฉลยทวไปของสมการ

เชงเสนโดยใชขนตอนตอไปน

ขนตอนการหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงเสน

ขนตอนท 1 เขยนสมการเชงอนพนธเชงเสน (9.6) ใหอยในรปแบบมาตรฐาน (9.7)

ขนตอนท 2 หาพจน P (x) จากนนหาตวประกอบปรพนธ e∫P (x) dx

ขนตอนท 3 คณสมการเชงเสนทเขยนในรปแแบบมาตรฐานดวยตวประกอบปรพนธ ซงทำใหพจนทางขวามอสามารถเขยนในรปอนพนธของตวประกอบปรพนธกบ y นนคอจะไดวา

d

dx

[

e∫P (x) dxy

]

= e∫P (x) dxQ(x)

ขนตอนท 4 อนทเกรตทงสองขางของสมการในขนตอนท 3

ขนตอนท 5 แกสมการหาคา y(x)

ตวอยาง 9.10 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการ xdy

dx− 4y = 3x7 + 5, x > 0

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 9.11 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการ xy′ + 2y = ex

วธทำ . . . . . . . . .


ตวอยาง 9.12 จงหาผลเฉลยของปญหาคาเรมตน

(x2 + 1)dy

dx+ 3xy = 6x, y(0) = 1

วธทำ . . . . . . . . .



(a)dy

dx= 5y (b)

dy

dx+ y = e3x

(c) y′ + 3x2y = x2 (d) x2y′ + xy = 1

(e) y′ + 3y = 2xe−3x (f) xdy

dx− y = x2 sin x

(g) xdy

dx+ 4y = x3 − x (h) xy′ = 2y + x3 cosx

(i) x2y′ + x(x+ 2)y = ex (j) cosxdy

dx+ (sin x)y = 1

(k)dr

dθ+ r sec θ = cos θ (l) x

dy

dx+ (3x+ 1)y = e−3x

(m) (x+ 1)dy

dx+ (x+ 2)y = 2xe−x


(a) xy′ + y = ex, y(1) = 2

(b) xy′ + 5y = 7x2, y(2) = 5

(c) xy′ − y = x, y(1) = 7

(d) xy′ + 3y = 2x5, y(2) = 1

(e) y′ + 2xy = x, y(0) = −2

(f) xy′ = 3y + x4 cosx, y(2π) = 0

(g) (x2 + 4)y′ + 3xy = x, y(0) = 1

(h) (x+ 1)dy

dx+ y = ln x, y(1) = 10


1. (a) y = ce5x (b) y = 14e3x + ce−x (c) y = 1

3+ ce−x3

(d) y = x−1 ln x+ cx−1 (e) y = (x2 + c)e−3x (f) y = cx− x cos x

(g) y = 17x3 − 1

5x+ cx−4 (h) y = x2(sin x+ c) (i) y = 1

2x−2ex + cx−2e−x

(j) y = sin x+ c cosx (k) (sec θ + tan θ)r = θ − cos θ + c

(l) y = e−3x + cx−1e−3x (m) (x+ 1)exy = x2 + c


2. (a) y = x−1ex + (2− e)x−1 (b) y = x2 + 32/x5 (c) y = x ln x+ 7x

(d) y = 14x5 − 56x−3 (e) y = 1

2− 5

2e−x2 (f) y = x3 sin x

(g) y = 13+ 16

3(x2 + 4)−3/2 (h) (x+ 1)y = x ln x− x+ 21

9.4 สมการแบบแมนตรง

โดยทวไปสมการเชงอนพนธอนดบหนงdy

dx= f(x, y) สามารถเขยนใน รปแบบเชงอนพนธ (d-

ifferential form)M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 (9.11)

ตวอยางเชนสมการdy

dx=

2x+ xy

y2 + 1

สามารถเขยนในรป(2x+ xy) dx− (y2 + 1) dy = 0

โดยท M(x, y) = 2x+ xy และ N(x, y) = −(y2 + 1)

ถามฟงกชน F (x, y) ททำให

∂F (x, y)

∂x= M(x, y) และ

∂F (x, y)

∂y= N(x, y)

แลวสมการ F (x, y) = c จะเปนผลเฉลยโดยปรยายของสมการเชงอนพนธ (9.11) เนองจากผลตางเชงอนพนธ

dF (x, y) =∂F (x, y)

∂xdx+

∂F (x, y)

∂ydy

ของ F (x, y) คอ M(x, y) dx + N(x, y) dy และในกรณนจะเรยกสมการ (9.11) วา สมการแบบแมนตรง (exact equation) ดงบทนยามตอไปน

บทนยาม 9.8 สมการเชงอนพนธอนดบหนงทเขยนอยในรปแบบเชงอนพนธ

M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0

เรยกวา สมการแบบแมนตรง ในบรเวณ R ของระนาบ xy ถามฟงกชน F (x, y) ททำให

∂F (x, y)


∂F (x, y)

∂y= N(x, y)

สำหรบทก (x, y) ใน R

จากทกลาวมาขางตนกอใหเกดคำถามดงน

1. เราจะทดสอบวาสมการเชงอนพนธอนดบหนงทเขยนในรป (9.11) เปนสมการแบบแมนตรงไดอยางไร?


2. ถาหากสมการเชงอนพนธอนดบหนงเปนสมการแบบแมนตรง แลวจะหาฟงกชน F (x, y) ท

ทำให∂F (x, y)


∂F (x, y)

∂y= N(x, y) โดยวธใด?

ทฤษฏบทตอไปนจะตอบคำถามขอท 1.

ทฤษฎบท 9.2 กำหนดให M(x, y) และ N(x, y) เปนฟงกชนตอเนอง และมอนพนธยอยอนดบหนงตอเนองในบรเวณสเหลยมมมฉาก R ทนยามโดย a < x < b, c < y < d แลวสมการ

M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0

จะเปนสมการแบบแมนตรงใน R กตอเมอ

∂M(x, y)

∂y=

∂N(x, y)

∂x(9.12)

สำหรบทก (x, y) ใน R นนคอจะมฟงกชน F (x, y) ททำให

∂F (x, y)


∂F (x, y)

∂y= N(x, y)

กตอเมอ M(x, y) และ N(x, y) สอดคลองกบสมการ (9.12)

สำหรบคำตอบของคำถามขอท 2. คอวธการหาฟงกชน F (x, y) ซงมขนตอนดงน

ขนตอนท 1 อนทเกรตทงสองขางของสมการ∂F (x, y)

∂x= M(x, y) เทยบกบ x จะได

F (x, y) =

∫

M(x, y)dx+ g(y) (9.13)

โดยท g(y) เปนเสมอน ‘‘คาคงตวของการอนทเกรต’’

ขนตอนท 2 หาคา g(y) โดยการหาอนพนธทงสองขางของสมการ (9.13) เทยบกบ y แลวใช

เงอนไข∂F (x, y)

∂y= N(x, y) ทำใหได g′(y) จากนนอนทเกรต g′(y) เพอหาคา g(y)

ขนตอนท 3 แทนคา g(y) ลงในสมการ (9.13) จะไดฟงกชน F (x, y)

หมายเหต ในทำนองเดยวกนเราสามารถหาฟงกชน F (x, y) ได โดยเรมจากเงอนไข∂F (x, y)

∂y=

N(x, y) แลวอนทเกรตเทยบกบ y

จากฟงกชน F (x, y) ทหาได จะไดผลเฉลยทวไปของสมการแบบแมนตรงเขยนอยในรป F (x, y) =

c เมอ c เปนคาคงตวใดๆ


ตวอยาง 9.13 จงพจารณาวาสมการเชงอนพนธ

(6xy − y3) dx+ (4y + 3x2 − 3xy2) dy = 0

เปนสมการแบบแมนตรงหรอไม?

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 9.14 จงหาผลเฉลยของสมการ (6xy − y3) dx+ (4y + 3x2 − 3xy2) dy = 0

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 9.15 จงหาผลเฉลยของสมการสมการเชงอนพนธdy

dx=

cosx sin x− xy2

y(x2 − 1)

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 9.16 จงหาผลเฉลยของสมการ (1 + yexy) dx+ (2y + xexy) dy = 0

วธทำ . . . . . . . . .

การแปลงเปนสมการแบบแมนตรงโดยใชตวประกอบปรพนธ

บทนยาม 9.9 ถาสมการM(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 (9.14)

ไมเปนสมการแบบแมนตรง แตสมการ

ρ(x, y)M(x, y) dx+ ρ(x, y)N(x, y) dy = 0 (9.15)

เปนสมการแบบแมนตรง แลวเราจะเรยก ρ(x, y) วา ตวประกอบปรพนธ (integrating fac-tor) ของสมการ (9.14)

ลำดบตอไปเราจะศกษาวธการหา ρ(x, y) ถา ρ(x, y) เปนตวประกอบปรพนธของสมการ (9.14)แลวสมการ (9.15) เปนสมการแบบแมนตรงเมอ

∂

∂y

[

ρ(x, y)M(x, y)]

=∂

∂x

[

ρ(x, y)N(x, y)]

ρ∂M

∂y+M

∂ρ

∂y= ρ

∂N

∂x+N

∂ρ

∂x

M∂ρ

∂y−N

∂ρ

∂x= ρ

(

∂N

∂x− ∂M

∂y

)

(9.16)

ถงแมวาจะทราบคาฟงกชน M,N,∂M

∂yและ

∂N

∂xหากแตการหาผลเฉลย ρ(x, y) จากสมการ (9.16)

ซงเปนสมการเชงอนพนธยอยมความยงยาก ดงนนเพอใหงายขนเราสมมตวา ρ เปนฟงกชนของ


x เพยงตวแปรเดยว ตวอยางเชนสมมตให ρ เปนฟงกชนของ x เพยงตวแปรเดยว นนคอ ρ =

ρ(x) ในกรณน∂ρ

∂y= 0 ดงนนจากสมการ (9.16) จะได

dρ

dx=

ρ(

∂M∂y

− ∂N∂x

)

N(9.17)

ถาρ(

∂M∂y

− ∂N∂x

)

Nเปนฟงกชนของ x เพยงตวแปรเดยว แลวสมการ (9.17) จะเปนสมการ

แยกตวแปรได และสามารถหาฟงกชน ρ(x) ไดโดยการแยกตวแปรและอนทเกรตทงสองขาง ดงน

∫

1

ρdρ =

∫

(

∂M∂y

− ∂N∂x

)

Ndx

ln ρ(x) =

∫

(

∂M∂y

− ∂N∂x

)

Ndx

ρ(x) = e

∫

(

∂M∂y

− ∂N∂x

)

Ndx

ในทำนองเดยวกนถา ρ เปนฟงกชนของ y เพยงตวแปรเดยว แลวจากสมการ (9.16) จะได

dρ

dy=

ρ(

∂N∂x

− ∂M∂y

)

M(9.18)

ในกรณนถา

(

∂N∂x

− ∂M∂y

)

Mเปนฟงกชนของ y เพยงตวแปรเดยว แลวเราสามารถหาฟงกชน ρ(y)

ไดจากสมการ (9.18)จากทกลาวมาขางตน เราสามารถสรปได ตามทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 9.3 ถา

(

∂M∂y

− ∂N∂x

)

Nเปนฟงกชนตอเนองของตวแปร x เพยงตวแปรเดยว แลวตวประกอบ

ปรพนธของสมการ (9.14) คอ

ρ(x) = e

∫

(

∂M∂y

− ∂N∂x

)

Ndx

ถา

(

∂N∂x

− ∂M∂y

)

Mเปนฟงกชนตอเนองของตวแปร y เพยงตวแปรเดยว แลวตวประกอบปรพนธ

ของสมการ (9.14) คอ

ρ(y) = e

∫

(

∂N∂x

− ∂M∂y

)

Mdy


ตวอยาง 9.17 จงหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธdy

dx= −3xy + y2

x2 + xy, x > 0

วธทำ . . . . . . . . .


1. จงพจารณาวาสมการเชงอนพนธตอไปนเปนสมการแบบแมนตรงหรอไม? ถาหากเปนสมการแบบแมนตรง แลวจงหาผลเฉลย

(a) (2x+ 3y) dx+ (3x+ 2y) dy = 0

(b) (5x+ 6y) dx+ (8y3 − 6x) dy = 0

(c) (3x2 + 2y2) dx+ (4xy + 6y2) dy = 0

(d) (3x2 − 2xy + 2) dx+ (6y2 − x2 + 3) dy = 0

(e)(

x3 +y

x

)

dx+ (y2 + ln x) dy = 0

(f) (ex sin y + 3y) dx− (3x− ex sin y) dy = 0

(g) (y ln y − e−xy) dx+

(

1

y+ x ln y

)

dy = 0

(h) (cosx+ ln y) dx+

(

x

y+ ey

)

dy = 0

(i) (3x2y3 + y4) dx+ (3x3y2 + y4 + 4xy3) dy = 0

(j) (ex sin y − 2y sin x) dx+ (ex cos y + 2 cosx) dy = 0

(k) (x− y3 + y2 sin x) dx = (3xy2 + 2y cosx) dy

(l) (x ln y + xy) dx+ (y ln x+ xy) dy = 0; x > 0, y > 0

(m) xdy

dx= 2xex − y + 6x2

(n) (tanx− sin x sin y) dx+ (cos x cos y) dy = 0

(o)(

x2y3 − 1

1 + 9x2

)

dx

dy+ x3y2 = 0

(p)xdx

(x2 + y2)3/2+

ydy

(x2 + y2)3/2= 0


(a) (2x− y) dx+ (2y − x) dy = 0, y(1) = 3

(b) (x+ y)2 dx+ (2xy + x2 − 1) dy = 0, y(1) = 1

(c) (9x2 + y − 1) dx− (4y − x) dy = 0, y(1) = 0

(d) (4y + 2t− 5) dt+ (6y + 4t− 1) dy = 0, y(−1) = 2

(e) (y2 cosx− 3x2y − 2x) dx+ (2y sin x− x3 + ln y) dy = 0, y(0) = e


3. จงหาคาของ k ททำใหสมการเชงอนพนธตอไปนเปนสมการแบบแมนตรง

(a) (xy2 + kx2y) dx+ (x+ y)x2 dy = 0

(b) (y3 + kxy4 − 2x) dx+ (3xy2 + 20x2y3) dy = 0

(c) (ye2xy + x) dx+ kxe2xy dy = 0

(d) (x2 + 3xy) dx+ (kx2 + 4y) dy = 0

(e)(

1

x2+

1

y2

)

dx+

(

kx+ 1

y3

)

dy = 0

4. จงหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธตอไปนโดยการแปลงเปนสมการแบบแมนตรง

(a) (2y2 + 3x) dx+ 2xy dy = 0 (b) 6xy dx+ (4y + 9x2) dy = 0

(c)dy

dx= e2x + y − 1 (d) y dx+ (2xy − e−2y) dy = 0

(e) (10− 6y + e−3x)dx− 2dy = 0 (f) dx+

(

x

y− sin y

)

dy = 0


1. (a) x2 + 3xy + y2 = c (b) ไมเปนสมการแบบแมนตรง

(c) x3 + 2xy2 + 2y3 = c (d) x3 − x2y + 2x+ 2y3 + 3y = c

(e) 3x4 + 4y3 + 12y ln x = c (f) ไมเปนสมการแบบแมนตรง

(g) ไมเปนสมการแบบแมนตรง (h) sin x+ x ln y + ey = c

(i) 5x3y3 + 5xy4 + y5 = c (j) ex sin y + 2y cos x = c

(k) xy3 + y2 cosx− 12x2 = c (l) ไมเปนสมการแบบแมนตรง

(m) xy − 2xex + 2ex − 2x3 = c (n) − ln | cosx|+ cosx sin y = c

(o) x3y3 − tan−1 3x = c (p) x2 + y2 = c

2. (a) y =[

x+√28− 3x2

]

/2 (b) 13x3 + x2y + xy2 − y = 4

3

(c) y =[

x− (24x3 + x2 − 8x− 16)1/2]

/4 (d) 4ty + t2 − 5t+ 3y2 − y = 8

(e) y2 sin x− x3y − x2 + y ln y − y = 0

3. (a) k = 3 (b) k = 10 (c) k = 1 (d) k = 32

(e) k = −2

4. (a) x2y2 + x3 = c (b) 3x2y3 + y4 = c (c) y = cex + 1 + ex

(d) xe2y − ln |y| = c (e) −2ye3x+ 103e3x+x = c (f) xy+y cos y− sin y = 0


9.5 สมการเอกพนธ

บทนยาม 9.10 สมการเชงอนพนธอนดบหนงdy

dx= f(x, y) เรยกวา สมการเอกพนธ (ho-

mogeneous equation) ถา f(x, y) สามารถเขยนในรปฟงกชนของy

xนนคอ

dy

dx= F

(y

x

)

(9.19)

ตวอยาง 9.18 จงพจารณาวาสมการเชงอนพนธตอไปนเปนสมการเอกพนธหรอไม?

(a)dy

dx=

2x+ y2

xy

(b) (y − x)dx+ xdy = 0

(c) (x− 2y + 1)dx+ (x− y)dy = 0

วธทำ . . . . . . . . .

การตรวจสอบอกวธหนงวาสมการdy

dx= f(x, y) เปนสมการเอกพนธหรอไมนน สามารถทำได

โดยการแทน x ดวย tx และแทน y ดวย ty ลงใน f(x, y) ถา f(tx, ty) = f(x, y) แลว

สมการdy

dx= f(x, y) จะเปนสมการเอกพนธ

ตวอยาง 9.19 จงพจารณาวาสมการdy

dx=

2xy

x2 − y2เปนสมการเอกพนธหรอไม?

วธทำ . . . . . . . . .

ถาให u =y

xหรอ y = ux แลวจะได

dy

dx= u+ x

du

dxดงนนสมการ (9.19) จะเปลยนรป

เปนสมการแยกตวแปรไดu+ x

du

dx= F (u)

หรอxdu

dx= F (u)− u

และสามารถใชวธการในหวขอ 9.2 หาผลเฉลยได ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 9.20 จงหาผลเฉลยของสมการ (x+ y)dy

dx= x− y

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 9.21 จงหาผลเฉลยของสมการ (x2 + y2) dx+ (x2 − xy) dy = 0

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 9.22 จงหาผลเฉลยของปญหาคาเรมตน

xdy

dx= y +

√

x2 − y2, y(x0) = 0 เมอ x0 > 0

วธทำ . . . . . . . . .




(a) xy′ = y + 2√xy (b) (x+ y) dx+ x dy = 0

(c) (x+ 2y)y′ = y (d) y dx = 2(x+ y) dy

(e) x2y′ = xy + y2 (f) (y2 + yx) dx+ x2 dy = 0

(g) xyy′ = y2 + x√

4x2 + y2 (h)dy

dx=

x+ 3y

3x+ y

(i) x(x+ y)y′ + y(3x+ y) = 0 (j) −y dx+ (x+√xy) dy = 0

(k) y′ =2xy

(x2 − y2)(l) y′ =

y − x

x


(a) (16x+ 5y) dx+ (3x+ y) dy = 0, y(1) = −3

(b) xy dx+ 2(x2 + 2y2) dy = 0, y(0) = 1

(c) xy2dy

dx= xy, y(1) = 3

(d)(

y −√

x2 + y2)

dx = x dy, y(√

3)

= 1

(e)dy

dx=

y

x+

y2

x2, y(1) = 1

(f) (x+ yey/x) dx− xey/x dy = 0, y(1) = 0


1. (a) y = x(ln x+ c)2 (b) x2 + 2xy = c (c) 2y ln y = x+ cy

(d) x+ 2y = cy2 (e) x = y(c− ln x) (f) x2y = c(y + 2x)

(g)x

2sin(2 lnx+ c) (h) (y − x)2 = c(y + x) (i) x2(4xy + 2y2) = c

(j) 4x = y(ln |y| − c)2 (k) ln∣

∣

∣

y

x

∣

∣

∣− y

x= ln |x|+ c (l) y = x ln

∣

∣

∣

c

x

∣

∣

∣

2. (a) y + 3x = (y + 4x) ln(y + 4x) (b) y4(3x2 + 4y2) = 4

(c) y3 + 3x3 ln |x| = 27x3 (d) x2 + 6y = 9 (e) x = y − y lnx

(f) ln |x| = ey/x − 1

บทที่ 7...

Documents