บทที่ 8 analysis of indeterminate structures by force · pdf file analysis of...

THEORY OF STRUCTURES

By

Assoc. Prof. Dr. Sittichai Seangatith SCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

INSTITUTE OF ENGINEERING SURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

บทที่ 8 Analysis of Indeterminate Structures by Force Method

วัตถุประสงค 1. เพื่อใหเขาใจถึงขอไดเปรียบและเสียเปรียบระหวางโครงสรางแบบ

statically determinate และแบบ statically indeterminate 2. เพื่อใหเขาใจและสามารถวิเคราะหโครงสราง statically

indeterminate โดยวิธี force method: method of consistent deformation และ method of least work ไดอยางถูกตอง

8.1 Statically Indeterminate Structures โครงสราง statically indeterminate เปนโครงสรางที่มีผลรวมของ จํานวนแรงปฏกิิริยา (reactions) และจํานวนแรงและโมเมนตภายใน (internal loads) ทีไ่มทราบคามากกวาจํานวนสมการความสมดุลของ โครงสรางและเปนโครงสรางที่มีเสถียรภาพ

“จํานวนแรงและโมเมนตที่ไมทราบคามากกวาจํานวนสมการความสมดุล”

โครงสราง โดยเฉพาะโครงสราง คอนกรีตเสริมเหล็ก มักเปนโครงสราง statically indeterminate เนื่องจากการ กอสราง

โครงสรางเหล็กทีม่ีจุดเชื่อมตอแบบ rigid joint เปนโครงสราง statically indeterminate

ขอดขีองโครงสราง statically indeterminate 1. ใชวัสดุนอยกวาและมีการโกงตัวนอยกวา

2. มีการกระจายแรงภายในที่ดกีวา แตการกระจายแรงภายในจะทําใหโครงสราง แตกราวได ในกรณีที่โครงสรางมีการทรุดตัวไม เทากนั (differential settlement)

3. ทาํใหเกดิเทคนิคการกอสรางแบบ cantilever ขอเสียของโครงสราง statically indeterminate

1. การวิเคราะหและการออกแบบมีความยุงยากมากกวา 2. ในบางกรณี คากอสราง (จุดเชื่อมตอและฐานราก) มีราคาแพงกวา

3. การทรุดตวัที่ไมเทากัน การเปลี่ยนแปลงของอุณหภูม ิและความ ผิดพลาดทีเ่กดิขึ้นในการกอสรางจะกอใหเกดิหนวยแรงขึ้นภายใน โครงสราง statically indeterminate

ตัวอยาง: โครงสราง statically determinate ไมมหีนวยแรงภายในเกิดขึ้นเนื่องจากการ ทรุดตัวที่ไมเทากันของจุดรองรับ

4. การเปลี่ยนแปลงรูปแบบของแรงกระทําตอโครงสรางอาจจะทําใหเกดิ stress reversal ขึ้นในโครงสราง statically indeterminate ไดงายกวาใน โครงสราง statically determinate

Method of Analysis โครงสราง statically determinate ถูกวิเคราะห ไดโดยใชสมการความสมดุลเพียงอยางเดยีว

โครงสราง statically indeterminate ไมสามารถ ถูกวิเคราะหไดโดยใชสมการความสมดุลเพียง อยางเดียว

โดยตองใชเงื่อนไขความสอดคลอง (compatibility conditions) และความสัมพันธ ระหวางแรงและการเปลีย่นตําแหนง (force- displacement relationship) ชวยในการวิเคราะห

0;F+ ↑ =∑ Equilibrium Equation;

0B AF F P+ − =

Compatibility Condition; / 0A Bδ =

Force-Displacement Relationship; FL AE

δ =

0A AC B CBF L F L AE AE

− =

CB A

LF P L

= ACB LF P L

=

เนื่องจากแรงที่ไดมีคาเปนบวก ดังนั้น ทิศทางของแรงที่สมมุติขึน้เปนทิศทางที่เกิดขึ้นจริง

Displacement Method of Analysis Force Method of Analysis จาก principle of superposition

Compatibility Condition; 0 P Bδ δ= −

Force-Displacement Relationship;

AC P PL AE

δ = BB F L AE

δ =

0 AC BPL F L AE AE

= −

AC B

LF P L

=

Equilibrium Equation;

0;yF+ ↑ =∑ 0AC A

LP F P L

+ − =

CB A

LF P L

= equilibrium equations และ force-

displacement relationships displacementsDisplacement

method

compatibility equations และ force- displacement relationships

forcesForce method สมการทีใ่ชในการหาคําตอบUnknownวิธีการ

8.2 วิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่อง (method of consistent deformation)

1. เลือก reaction By เปนแรงเกินจําเปน (redundant force)

โครงสราง statically indeterminate 1 degree

2. Compatibility equation ทีจ่ดุ B: 0 B BB′= ∆ − ∆+ ↓

BB y BBB f′∆ =

0 B y BBB f= ∆ −

B y

BB

B f ∆

=

แทนจุดที่หา deflection แทนจุดที่แรงเกนิจําเปนกระทํา

3. หาคา deflection และแทนคาหา By ……….

กาํหนดใหคานยาว L และแรง P กระทาํที่ระยะ L/2 จากจุดรองรับ A จงใช วิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหคานเพื่อเขียน shear และ moment diagram และหาสมการของการโกงตัวของคานที่จดุทีแ่รงกระทํา

EXAMPLE

B y

BB

B f ∆

=

3. หาคา deflection และหาคาแรงเกนิจําเปน 2 35 5

8 6 48B PL PLL EI EI

⎛ ⎞∆ = =⎜ ⎟ ⎝ ⎠

2 32 2 3 3BB L Lf L EI EI

⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎝ ⎠

5 16y PB =

1. เลือก reaction By เปนแรงเกนิจําเปน 2. Compatibility equation ทีจ่ดุ B:

4. ใชสมการสมดุลหาคาแรง ปฏกิิริยา Ay และ MA และ เขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน

หาสมการของการโกงตัวใน แนวดิ่งที่จุด C

3

' 7

768C C PLM EI

= ∆ = −

5. ราง elastic curve ของคาน

MA

Hinge/ Pin

1. เลือก reaction MA เปนแรงเกินจําเปน โครงสราง statically indeterminate 1 degree

2. Compatibility equation ทีจ่ดุ A:

0 A A AAMθ α= +

AA

A AM α

θ −=

0 A AAθ θ′= + แทนจุดที่หา slope

แทนจุดที่แรงเกนิจําเปนกระทํา

3. หาคา slope และแทนคาหา MA 4. เขียน V- และ M-diagram ของคาน 5. ราง elastic curve ของคาน

+

AA

A AM α

θ −=

L EI

EI PLM A )1(

3 16

2

= PL 16 3

=

ใชสมการสมดุลหาคาแรง ปฏกิิริยา Ay และ By

กาํหนดใหคานยาว L และแรง P กระทาํที่ระยะ L/2 จากจุดรองรับ A จงใช วิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหคานเพื่อเขียน shear และ moment diagram และ