บทที่ 8 analysis of indeterminate structures by force...

of 23 /23
THEORY OF STRUCTURES By Assoc. Prof. Dr. Sittichai Seangatith SCHOOL OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF ENGINEERING SURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY บทที8 Analysis of Indeterminate Structures by Force Method วัตถุประสงค 1. เพื่อใหเขาใจถึงขอไดเปรียบและเสียเปรียบระหวางโครงสรางแบบ statically determinate และแบบ statically indeterminate 2. เพื่อใหเขาใจและสามารถวิเคราะหโครงสราง statically indeterminate โดยวิธี force method: method of consistent deformation และ method of least work ไดอยางถูกตอง 8.1 Statically Indeterminate Structures โครงสราง statically indeterminate เปนโครงสรางทีมีผลรวมของ จํานวนแรงปฏิกิริยา (reactions) และจํานวนแรงและโมเมนตภายใน (internal loads) ที่ไมทราบคามากกวาจํานวนสมการความสมดุลของ โครงสรางและเปนโครงสรางที่มีเสถียรภาพ จํานวนแรงและโมเมนตที่ไมทราบคามากกวาจํานวนสมการความสมดุลโครงสราง โดยเฉพาะโครงสราง คอนกรีตเสริมเหล็ก มักเปนโครงสราง statically indeterminate เนื่องจากการ กอสราง

Author: others

Post on 24-Mar-2020

4 views

Category:

Documents


0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • THEORY OF STRUCTURES

    By

    Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

    INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

    บทที่ 8Analysis of Indeterminate Structures by Force Method

    วัตถุประสงค1. เพื่อใหเขาใจถึงขอไดเปรียบและเสียเปรียบระหวางโครงสรางแบบ

    statically determinate และแบบ statically indeterminate2. เพื่อใหเขาใจและสามารถวิเคราะหโครงสราง statically

    indeterminate โดยวิธี force method: method of consistent deformation และ method of least work ไดอยางถูกตอง

    8.1 Statically Indeterminate Structuresโครงสราง statically indeterminate เปนโครงสรางที่มีผลรวมของจํานวนแรงปฏกิิริยา (reactions) และจํานวนแรงและโมเมนตภายใน (internal loads) ทีไ่มทราบคามากกวาจํานวนสมการความสมดุลของโครงสรางและเปนโครงสรางที่มีเสถียรภาพ

    “จํานวนแรงและโมเมนตที่ไมทราบคามากกวาจํานวนสมการความสมดุล”

    โครงสราง โดยเฉพาะโครงสรางคอนกรีตเสริมเหล็ก มักเปนโครงสราง statically indeterminate เนื่องจากการกอสราง

  • โครงสรางเหล็กทีม่ีจุดเชื่อมตอแบบ rigid joint เปนโครงสราง statically indeterminate

    ขอดขีองโครงสราง statically indeterminate1. ใชวัสดุนอยกวาและมีการโกงตัวนอยกวา

    2. มีการกระจายแรงภายในที่ดกีวา แตการกระจายแรงภายในจะทําใหโครงสรางแตกราวได ในกรณีที่โครงสรางมีการทรุดตัวไมเทากนั (differential settlement)

  • 3. ทาํใหเกดิเทคนิคการกอสรางแบบ cantileverขอเสียของโครงสราง statically indeterminate

    1. การวิเคราะหและการออกแบบมีความยุงยากมากกวา2. ในบางกรณี คากอสราง (จุดเชื่อมตอและฐานราก) มีราคาแพงกวา

    3. การทรุดตวัที่ไมเทากัน การเปลี่ยนแปลงของอุณหภูม ิและความผิดพลาดทีเ่กดิขึ้นในการกอสรางจะกอใหเกดิหนวยแรงขึ้นภายในโครงสราง statically indeterminate

    ตัวอยาง: โครงสราง statically determinate ไมมหีนวยแรงภายในเกิดขึ้นเนื่องจากการทรุดตัวที่ไมเทากันของจุดรองรับ

  • 4. การเปลี่ยนแปลงรูปแบบของแรงกระทําตอโครงสรางอาจจะทําใหเกดิ stress reversal ขึ้นในโครงสราง statically indeterminate ไดงายกวาในโครงสราง statically determinate

    Method of Analysisโครงสราง statically determinate ถูกวิเคราะหไดโดยใชสมการความสมดุลเพียงอยางเดยีว

    โครงสราง statically indeterminate ไมสามารถถูกวิเคราะหไดโดยใชสมการความสมดุลเพียงอยางเดียว

    โดยตองใชเงื่อนไขความสอดคลอง (compatibility conditions) และความสัมพันธระหวางแรงและการเปลีย่นตําแหนง (force-displacement relationship) ชวยในการวิเคราะห

    0;F+ ↑ =∑Equilibrium Equation;

    0B AF F P+ − =

    Compatibility Condition;/ 0A Bδ =

    Force-Displacement Relationship;FLAE

    δ =

    0A AC B CBF L F LAE AE

    − =

    CBA

    LF PL

    = ACBLF PL

    =

    เนื่องจากแรงที่ไดมีคาเปนบวก ดังนั้น ทิศทางของแรงที่สมมุติขึน้เปนทิศทางที่เกิดขึ้นจริง

    Displacement Method of Analysis Force Method of Analysisจาก principle of superposition

    Compatibility Condition;0 P Bδ δ= −

    Force-Displacement Relationship;

    ACPPLAE

    δ = BBF LAE

    δ =

    0 AC BPL F LAE AE

    = −

    ACB

    LF PL

    =

  • Equilibrium Equation;

    0;yF+ ↑ =∑0AC A

    LP F PL

    + − =

    CBA

    LF PL

    =equilibrium equations และ force-

    displacement relationshipsdisplacementsDisplacement

    method

    compatibility equations และ force-displacement relationships

    forcesForce methodสมการทีใ่ชในการหาคําตอบUnknownวิธีการ

    8.2 วิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่อง (method of consistent deformation)

    1. เลือก reaction By เปนแรงเกินจําเปน (redundant force)

    โครงสราง statically indeterminate 1 degree

    2. Compatibility equation ทีจ่ดุ B:0 B BB′= ∆ − ∆+ ↓

    BB y BBB f′∆ =

    0 B y BBB f= ∆ −

    By

    BB

    Bf∆

    =

    แทนจุดที่หา deflectionแทนจุดที่แรงเกนิจําเปนกระทํา

    3. หาคา deflection และแทนคาหา By ……….

    กาํหนดใหคานยาว L และแรง P กระทาํที่ระยะ L/2 จากจุดรองรับ A จงใชวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหคานเพื่อเขียน shear และ moment diagram และหาสมการของการโกงตัวของคานที่จดุทีแ่รงกระทํา

    EXAMPLE

    By

    BB

    Bf∆

    =

    3. หาคา deflection และหาคาแรงเกนิจําเปน2 35 5

    8 6 48BPL PLLEI EI

    ⎛ ⎞∆ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

    2 322 3 3BBL Lf LEI EI

    ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

    516yPB =

    1. เลือก reaction By เปนแรงเกนิจําเปน2. Compatibility equation ทีจ่ดุ B:

  • 4. ใชสมการสมดุลหาคาแรงปฏกิิริยา Ay และ MA และเขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน

    หาสมการของการโกงตัวในแนวดิ่งที่จุด C

    3

    '7

    768C CPLMEI

    = ∆ = −

    5. ราง elastic curve ของคาน

    MA

    Hinge/Pin

    1. เลือก reaction MA เปนแรงเกินจําเปนโครงสราง statically indeterminate 1 degree

    2. Compatibility equation ทีจ่ดุ A:

    0 A A AAMθ α= +

    AA

    AAM α

    θ−=

    0 A AAθ θ′= +แทนจุดที่หา slope

    แทนจุดที่แรงเกนิจําเปนกระทํา

    3. หาคา slope และแทนคาหา MA4. เขียน V- และ M-diagram ของคาน 5. ราง elastic curve ของคาน

    +

    AA

    AAM α

    θ−=

    LEI

    EIPLM A )1(

    316

    2

    = PL163

    =

    ใชสมการสมดุลหาคาแรงปฏกิิริยา Ay และ By

  • กาํหนดใหคานยาว L และแรง P กระทาํที่ระยะ L/2 จากจุดรองรับ A จงใชวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหคานเพื่อเขียน shear และ moment diagram และหาสมการการโกงตัวของคานที่จดุที่แรงกระทาํ

    EXAMPLE

    AA

    AA

    M θα

    = −

    2 218 2 16APL PLEI EI

    θ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

    22 3 3AAL LEI EI

    α ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

    316APLM = −

    1. เลือก reaction MA เปนแรงเกินจําเปน2. Compatibility equation ทีจ่ดุ A:

    3. หาคา deflection และหาคาแรงเกนิจําเปน

    ตารางแสดงสมการของ slope และ deflection ของคานที่ควรทราบ

    4. ใชสมการสมดุลหาคาแรงปฏกิิริยา Ay และ By

    1116yPA =

    516yPB =

    เขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน

    หาสมการของการโกงตัวในแนวดิ่งที่จดุ C

    3

    '7

    768C CPLMEI

    = ∆ = −

    5. ราง elastic curve ของคาน

    316APLM =

    จงใชวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหคานเพื่อเขยีน shear และ moment diagram และหาการโกงตัวของคานที่จดุ D และราง elastic curve

    EXAMPLE

    1. เลือก reaction By เปนแรงเกนิจําเปน

    2. Compatibility equation ทีจ่ดุ B:

    By

    BB

    Bf∆

    =

    ∆B

    1 unit

    fBB

    0 B y BBB f= ∆ −+ ↓

    แทนจุดที่หา deflectionแทนจุดที่แรงเกนิจําเปนกระทํา

    3. หาคา deflection และหาคาแรงเกินจําเปน

  • ∆B

    Note: แรง w อยูคนละดาน ดังนั้น คาการโกงตัวทีก่ึ่งกลางคานจะหาไดจาก

    x

    ↓=∆ 7685 4

    EIwL

    B

    EI76812)2(5 4

    =

    EI270

    =

    1 unit

    fBBNote: หาคาการโกงตัว fBB ที่จดุที่แรง 1 unit กระทํา

    ( )↑−−= 6

    222 abLEILPbafBB

    [ ]222 661212)(66)6(1

    −−=EI

    EI36

    =

    จาก compatibility equation ทีจุ่ด B:B

    yBB

    Bf∆

    =

    kN 5.736

    270==

    EIEI

    4. ใชสมการสมดุลหาคาแรงปฏกิิริยา Ay และ Cy

    7.5 kNAy Cy

    Ax = 0

    7.5 kN 5.25 kN

    Ax = 0

    0.75 kN

    เขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน

    7.5 kN 5.25 kN

    Ax = 0

    0.75 kN

    -0.75 kN

    6.75 kN

    -5.25 kN

    2.625 mslope = -2

    slope = -0.75-4.5 kN-m

    slope = 6.75

    slope = 0 6.891 kN-m

    slope = -5.25

    5. ราง elastic curve ของคาน

  • หาสมการของการโกงตัวในแนวดิ่งที่จดุ D

    4.5/EI

    6.891/EI

    D´A´ B´ C´

    4.5/EI

    D´A´ B´

    yA′

    ∑ =′ 0BM

    ⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡

    ⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛=′

    3665.4

    21)6(EI

    Ay

    EIAy

    5.4=′

    2.25/EI

    D´A´

    4.5/EI

    ∑ =′ 0DMckwisecountercloAθ=

    DM ′ ⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡

    ⎥⎦⎤

    ⎢⎣⎡−==∆ ′ 3

    3325.221)3(45EIEI

    MDD

    ↑=∆EID125.10

    By Cy

    1. สมมุติให reaction force ที ่B (By) และ C (Cy) เปน redundant forces

    3.1 หา deflection เนื่องจากแรง P1 และ P2 ทีจุ่ด B = ∆B และที่จุด C = ∆C

    โครงสราง statically indeterminate 2 degree

    2. Compatibility equation ทีจ่ดุ B และจุด C:

    3. หาคา deflection และแรงเกนิจําเปน

    3.2. ให redundant = 1 หนวยกระทําที่จดุ B ทาํใหเกดิ deflection ทีจุ่ด B= fBB และที่จุด C = fCB

    3.3 ให redundant = 1 หนวยกระทําที่จดุ C ทาํใหเกดิ deflection ทีจุ่ด B = fBC และที่จุด C = fCC

    Compatibility ที่จดุ B:+

    +

    Compatibility ที่จดุ C:

    0 B y BB y BCB f C f= ∆ + +

    0 C y CB y CCB f C f= ∆ + +

    3.4 แกสมการหาคา reaction force By และ Cy

    4. เขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน

    5. ราง elastic curve ของคาน

  • จงหาวิเคราะหคานโดยวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่อง จากนั้น จงเขียน shear และ moment diagram และรางรูปรางการโกงตัวของคาน

    EXAMPLE

    คานเปนคานที่สมมาตรที่จุดกึ่งกลางคาน

    1. ใหโมเมนตปฏิกิริยาที่จดุรองรับ A(MA) และ B (MB) เปน redundant ของคาน

    MA

    Hinge

    MB

    Hinge

    เมื่อไมพิจารณาแรงในแนวแกนแลว indeterminacy ลดลงเหลือ 2 degree

    โครงสราง statically indeterminate 3 degree

    2. จาก compatibility condition

    +

    +

    0 A A AA B ABM Mθ α α= + +

    0 B A BA B BBM Mθ α α= + +

    3. หาคา slope และหาคาแรงเกินจําเปน2 31 2

    2 3 8 24AwL wLLEI EI

    θ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

    2 31 22 3 8 24B

    wL wLLEI EI

    θ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

    22 3 3AAL LEI EI

    α ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

    AB BAα α=

    12 3 6BAL LEI EI

    α ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

    22 3 3BBL LEI EI

    α ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

  • จากสมการ compatibility0 A A AA B ABM Mθ α α= + + 0 B A BA B BBM Mθ α α= + +

    3

    024 3 6A BwL L LM MEI EI EI

    = + +

    03 6 3A BL L LM MEI EI EI

    = + +

    แกสมการหาคา reaction force MA และ MB2

    12AwLM =

    2

    12BwLM =

    +

    +

    2

    12wL

    2

    12wL

    Ay By

    2ywLA =

    2ywLB =

    4. เขียน shear diagram และ moment diagram

    5. ราง elastic curve ของคาน

    Maxwell’s Theorem of Reciprocal Displacementsในกรณีของ deflection, กฎผกผันของ Maxwell กลาววา

    BA ABf f=

    “คา displacement ที่เกิดขึ้นทีจ่ดุ B บนโครงสราง ในทศิทาง b เนื่องจาก unit force ที่จดุ A ในทิศทาง a = คา displacement ที่เกิดขึน้ที่จดุ A ในทิศทาง a เนื่องจาก unit force ที่จดุ B ในทิศทาง b”

    ในกรณีของ slope, กฎผกผันของ Maxwell กลาววา BA ABθ θ=

    “คามมุลาดเอียงที่เกิดขึ้นทีจ่ดุ B บนโครงสราง ในทิศทาง b เนื่องจากโมเมนตขนาด 1 หนวยกระทําทีจ่ดุ A ในทิศทาง a = คามมุลาดเอียงที่เกิดขึน้ที่จดุ A ในทิศทาง a เนื่องจากโมเมนตขนาด 1 หนวยกระทําที่จุด B ในทิศทาง b”

  • ในกรณีของ deflection และ slope, กฎผกผนัของ Maxwell กลาววา

    “คามมุลาดเอียงทีม่หีนวยเปนเรเดียนที่เกิดขึ้นทีจุ่ด B บนโครงสราง ในทิศทาง b เนื่องจากแรงขนาด 1 หนวยกระทําทีจุ่ด A ในทิศทาง a = คาระยะโกงตัวที่เกิดขึ้นทีจ่ดุ A ในทิศทาง a เนื่องจากโมเมนตขนาด 1 หนวยกระทาํที่จดุ B ในทิศทาง b”

    BA ABfθ =

    8.4 ขอสังเกตเพิ่มเตมิเมื่อโครงสรางมีจํานวนดีกรีของอินดีเทอรมิเนทเทากบั n แลว โครงสรางนั้นจะมีจํานวนของแรงเกินจําเปนเทากบั n คา หรือ Rnและสมการความสอดคลองโดยวิธ ีforce method มีจํานวน n สมการ

    1 11 1 12 2 1 0n nf R f R f R∆ + + + + =L

    2 21 1 22 2 2 0n nf R f R f R∆ + + + + =L

    M

    1 1 2 2 0n n n nn nf R f R f R∆ + + + + =LM

    ในรูปของเมตริกซ (matrix)

    1 111 12 1

    21 22 2 2 2

    1 2

    n

    n

    n n nn n n

    Rf f ff f f R

    f f f R

    ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

    L

    L

    M M M

    L

    fR= − ∆

    จากกฎผกผนัของ Maxwell, fij = fjiดังนั้น เมตริกซ f จงึเปนเมตริกซสมมาตร

    8.5 Moment Diagram ของคาน Statically Indeterminate

  • จุดรองรับแบบหมุดและ roller ที่อยูที่ปลายคาน และ internal hinge เปนจดุที่มีคาโมเมนตดัดเทากบัศูนย จุดรองรับยึดแนนและจุดรองรับหมุดที่อยูภายในชวง span ของคานจะมีคาโมเมนตดัดเกิดขึน้ แรงกระทําเปนจุดจะทําให moment diagram มีลักษณะเปนเสนตรงที่มีความชัน แรงแผกระจายสม่ําเสมอจะทําให moment diagram ที่มีลักษณะเปนเสนโคง parabola

    จงหาวิเคราะหคานโดยวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องและเขียน shear และ moment diagram และรางรูปรางการโกงตัวของคาน เมื่อจุดรองรับ B เกิดการทรุดตัวในแนวดิ่ง 0.10 m E = 200 GPa และ I = 179(106) mm4

    EXAMPLE

    1. ใหแรงปฏิกิริยาที่จดุรองรับ B (By) และ C (Cy) เปน redundant

    By Cy

    10 kN

    โครงสราง statically indeterminate 3 degree แตเนื่องจาก Ax = 0 ดงันั้น จึงเหลือ 2 degree

    2. จาก compatibility condition

    3. หาระยะโกงตัวตางๆ และแรงเกนิจําเปน

    0.010 B y BB y BCB f C f= ∆ + ++ ↓

    + ↓ 0 C y CB y CCB f C f= ∆ + +

    3.1 ใชตารางหาระยะโกงตัว 3.2 ใชวิธี conjugate beam หาระยะ

    โกงตัว

    a = 10.5 mb = 2.5 m2 2 2(10)(2.5)(8) [(13) (2.5) (8) ]

    6 (13)B EI∆ = − −

    3253.205 kN.mEI

    =xB = 8.0 m

    2 2 2(10)(2.5)(4) [(13) (2.5) (4) ]6 (13)C EI

    ∆ = − −

    3188.141 kN.mEI

    =

    xC = 4.0 m

    3.1 ใชตารางหาระยะโกงตัว

  • a = 8 mb = 5 m

    xB = 8.0 mxC = 4.0 m

    2 2 2(1)(5)(8) [(13) (5) (8) ]6 (13)BB

    fEI

    = − −

    341.026 kN.mEI

    =

    2 2 2(1)(5)(4) [(13) (5) (4) ]6 (13)CB

    fEI

    = − −

    332.821 kN.mEI

    =a = 4 mb = 9 m

    xC = 4.0 m2 2 2(1)(9)(4) [(13) (9) (4) ]

    6 (13)CCf

    EI= − −

    333.231 kN.mEI

    =

    3.2 ใชวิธี conjugate beam หาระยะโกงตัว

    Ay By1y

    PbA xL

    = 2yPaB xL

    =

    ทาํการเขียน moment diagram

    หาแรงปฏิกริิยา

    ทาํการเขียน conjugate beam

    หาแรงปฏิกริิยาของ conjugate beam

    11 1 1 1

    1 ( )2 3 6Pb x Pab L bM x x xEIL EIL

    +⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

    211( )6

    Pbx x aL abEIL

    = − −

    22 2 2 2

    1 ( )'2 3 6Pa x Pab L aM x x xEIL EIL

    +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

    222( )6

    Pax x bL abEIL

    = − −

    ( )2 2 21 16Pbx L b xEIL

    = − + +

    หาระยะ ∆B โดยที ่a = 2.5 m b = 10.5 m และ x2 = 8.0 m

    2(10 kN)(2.5 m)(8 m)[(8 m) (10.5 m)(13 m) (2.5 m)(10.5 m)]6 (13 m)B EI

    ∆ = − − −

    หาระยะ ∆C โดยที ่a = 2.5 m b = 10.5 m และ x2 = 4.0 m

    2(10 kN)(2.5 m)(4 m)[(4 m) (10.5 m)(13 m) (2.5 m)(10.5 m)]6 (13 m)C EI

    ∆ = − − −

    3253.205 kN.mEI

    =

    3188.141 kN.mEI

    =

    222( )6

    Pax x bL abEIL

    ∆ = − −x2

  • หาระยะ fBB โดยที ่a = 5.0 m b = 8.0 m และ x2 = 8.0 m

    2(1 kN)(5 m)(8 m)[(8 m) (8 m)(13 m) (5 m)(8 m)]6 (13 m)BB

    fEI

    = − − −

    หาระยะ fCB โดยที ่a = 5.0 m b = 8.0 m และ x2 = 4.0 m2(1 kN)(5 m)(4 m)[(4 m) (8 m)(13 m) (5 m)(8 m)]

    6 (13 m)CB BCf f

    EI= = − − −

    332.821 kN.mEI

    =

    341.026 kN.mEI

    =

    x2 222( )6

    Pax x bL abEIL

    ∆ = − −

    หาระยะ fCC โดยที ่a = 9.0 m b = 4.0 m และ x2 = 4.0 m

    2(1 kN)(9 m)(4 m)[(4 m) (4 m)(13 m) (4 m)(9 m)]6 (13 m)CC

    fEI

    = − − −

    333.231 kN.mEI

    =

    222( )6

    Pax x bL abEIL

    ∆ = − −x2

    4. แกสมการ compatibility เพื่อหาแรงเกินจําเปน

    0.010 B y BB y BCB f C f= ∆ + +

    0 C y CB y CCB f C f= ∆ + +

    253.205 41.0260.010 m

    32.821

    y

    y

    BEI EI

    CEI

    ⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎣ ⎦

    188.141 32.8210

    33.231

    y

    y

    BEI EI

    CEI

    ⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎣ ⎦

    333.231 kN.mCCf EI

    =

    341.026 kN.mBBf EI=

    332.821 kN.mCBf EI=

    332.821 kN.mBCf EI=

    3253.205 kN.mB EI

    ∆ =3188.141 kN.m

    C EI∆ =

    6 2 6 4 2200(10 kN/m )179(10 m ) 35800 kN.mEI −= =เมื่อแรงปฏิกิริยาเกินจําเปนมีคาเทากบั

    33.753 kNyB = ↓ 39.00 kNyC = ↑

    33.753 kN 39.00 kN

    10 kN

    Ay Dy

    16.848 kNyA = ↑

    12.093 kNyD = ↓

  • 5. เขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน

    6. รางรูปรางการโกงตัวของคาน

    33.753 kN 39.00 kN

    10 kN

    16.848 kN 12.093 kN

    จงใชวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหโครงขอแข็งเพื่อเขียน shear และ moment diagram เมื่อ EI ของชิ้นสวนตางๆ มีคาคงที่

    โครงสราง statically indeterminate 1 degree1. ใหแรงปฏิกิริยา Ay เปน redundant

    EXAMPLE

    Ay

    8.6 การวิเคราะหโครงขอแข็ง (frame) โดยวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่อง 2. compatibility condition ทีจุ่ดรองรับ A

    3. หาคาการเปลี่ยนตําแหนง ∆A และ fAA

    Ay

    Ay

    yAAA Af−∆=↓+ 0

    AA

    Ay fA ∆=

  • 3400 kN-mA EI

    ∆ = ↓

    3400 kN-mEI

    = −

    หาคาการเปลี่ยนตําแหนง ∆A

    0

    L

    AmM dxEI

    ∆ = ∫2

    33

    0

    ( 4)(50 )x dxEI

    −= ∫

    M3 = +50x3 m3 = -4

    m2 = -4

    2 m

    2 m4 m

    แสดงวามีทิศตรงกันขามกับแรง 1 หนวย ดังนั้น385.333 kN-m

    AAf EI= ↑

    หาคาการเปลี่ยนตําแหนง fAA0

    L

    AAmmf dxEI

    = ∫

    400 85.33( ) 0 yAEI EI+ ↓ = −

    4.688 kNyA = ↓

    4 2 22 2 21

    1 2 30 0 0

    ( 4) ( 4)x dx dx dxEI EI EI

    − −= + +∫ ∫ ∫

    4. แกสมการหาคาแรง Ay3400 kN-m

    A EI∆ = ↓

    m2 = -4

    m3 = -4

    2 m

    2 m4 m1 หนวย

    5. เขียน shear diagram และ moment diagram

    4.688 kN

    = 50 kN

    = 4.688 kN

    = 81.25 kN-m

    50.0 kNxC =

    Cy

    Cx

    MC

    4.688 kNyC =

    81.25 kN-mCM =

    ∑ = ;0xF∑ = ;0yF∑ = ;0CM

    4.688 kN

    50 kN

    4.688 kN

    81.25 kN-m

    6. รางรูปรางการโกงตัวของคาน

    4.688 kN

    -50 kN

    18.75 kN-m

    81.25 kN-m

    -18.75 kN-m

    Slope = 4.688

    Slope = 0

    Slop

    e =

    0

    Slope =

    -50

    Slope = 0

  • โครงสราง statically indeterminate 1 degree

    จงวิเคราะหโครงขอแข็ง โดยวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่อง กาํหนดให EI มีคาคงที่

    EXAMPLE

    1. ใหโมเมนตดัดปฏกิิริยาที่จดุรองรับ A(MA) เปน redundant

    MA

    Hinge/Pin

    2. compatibility condition ทีจุ่ดรองรับ A0 A A AAMθ α= ++

    AA

    AA

    M θα

    = −

    MA

    ใชวิธี virtual work หา θA

    x1

    x2

    x3

    M3 = 40+12x3-4x32CAM2 = -20x2DC

    M1 = 0BDMmember

    0

    L

    Am M dxEIθθ = ∫

    3. หาคาการเปลี่ยนตําแหนงและแกสมการ

    By

    Ay

    Ax

    = 12.0 kN

    = 18.0 kN

    = 20.0 kN

    2 m

    2 m5 m

    x3/5CA0DC0BD

    mθmember1

    Ay= 1/5 kNAx= 0 kN

    By = 1/5 kN

    5 m

  • 0-5.0 m0-2.0 m0-2.0 mจาก-ถึง

    x3/5M3 = 40+12x3-4x32CA0M2 = -20x2DC0M1 = 0BD

    mθMmember

    2 35 3 3

    0

    (40 12 4 )( )50 0

    xx xdx

    EI

    + −= + + ∫

    75EI

    =

    0

    L

    Am M dxEIθθ = ∫

    2 m

    2 m

    5 m

    ใชวิธี virtual work หา αAA0

    L

    AAm m dxEIθ θα = ∫

    x3/50-5.0 mCA00-2.0 mDC00-2.0 mBD

    mθจาก-ถึงmember

    52 2

    0

    0 05 5x x dx

    EI= + + ∫

    53EI

    =

    1

    Ay= 1/5 kNAx= 0 kN

    By = 1/5 kN

    ใชวิธี castiglino หา θA

    x1

    x2

    x3M'

    M3 = 40+12x3-4x32x3/5M3 = 40+12x3-4x32+M'x3/5CAM2 = 20x20M2 = 20x2DC

    M1 = 00M1 = 0BDM เมื่อ M' = 0∂M/∂M'Mmember

    0 '

    L

    AM dxMM EI

    θ ∂=∂∫

    2 35 3 3

    0

    (40 12 4 )( )50 0

    xx xdx

    EI

    + −= + + ∫

    75EI

    =

    3. หาคาการเปลี่ยนตําแหนงและแกสมการ ใชวิธี castiglino หา αAA0 '

    L

    AAM dxMM EI

    α ∂=∂∫

    M3 = x3/5x3/5M3 = M'x3/5CAM2 = 00M2 = 0DCM1 = 00M1 = 0BD

    M เมื่อ M' = 1 kN-m∂M/∂M'Mmember

    52 2

    0

    0 05 5x x dx

    EI= + + ∫

    53EI

    =

  • 4. แกสมการ compatibility เพือ่หาคาแรงเกินจําเปน 75 50

    3AM

    EI EI= +

    45.0 kN-mAM = −

    เครื่องหมายลบ MA มีทิศทางตรงกันขามกบัที่ไดสมมุติไว (ทวนเข็มฯ)45.0 kN-m

    By

    AyAx

    37.0 kNyA =

    20.0 kNxA =

    3.0 kNyB =

    0 A A AAMθ α= +

    53AA EI

    α =

    75A EI

    θ =

    5 m2 m

    2 m

    5. เขียน shear และ moment diagram45.0 kN-m

    3.0 kN

    37.0 kN20.0 kN 5 m 2 m

    2 m

    6. รางรูปรางการโกงตัวของคาน

    จงใชวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหโครงขอแข็งเพื่อเขียน shear และ moment diagram เมื่อ E = 200 GPa และ I = 250(106) mm4 ของชิ้นสวนมีคาคงที่

    โครงสราง statically indeterminate 1 degree1. ใหแรงปฏิกิริยา Cx เปน redundant

    EXAMPLE

    Cx

    Cx2. compatibility condition ทีจุ่ดรองรับ C

    3. หาคาการเปลี่ยนตําแหนง ∆CH และ fCC

    xCCCH Cf+∆′=→+

    0 )(

  • หาคาการเปลี่ยนตําแหนง ∆CH

    M m

    dxEIMmL

    CH ∫=∆0

    )0.1(

    M 6 kN

    6 kN12 kN

    x1

    x2

    21

    1111 1

    122

    212 xxxxxM −=⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛−=

    22 6xM =

    1

    11

    x1

    x2

    11 xm =

    22 xm =

    dxEIMmL

    CH ∫=∆0

    )0.1(

    ∫∫ +−=∆6

    0

    222

    6

    0

    11

    211 ))(6())(12( EI

    dxxxEIdxxxxCH

    →= 972EI

    หาคาการเปลี่ยนตําแหนง fCC0

    L

    CCmmf dxEI

    = ∫

    4. แกสมการหาคาแรง Cx

    1

    11

    x1

    x2

    11 xm =

    22 xm =

    ∫∫ +=6

    0

    222

    6

    0

    111 ))(())(( EI

    dxxxEIdxxx

    →= 144EI

    →=∆ 972EICH

    xCEIEI1449720 )( +=→

    +

    kN 75.6144

    972−=−=

    EIEI

    Cx

    →= kN 75.6xC

    5. เขียน shear diagram และ moment diagram

    6.75 kN

    5.25 kN

    0.75 kN

    0.75 kN

  • จงใชวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหโครงขอแข็งเพื่อเขียน shear และ moment diagram เมื่อ E = 200 GPa และ I = 250(106) mm4 ของชิ้นสวนตางๆ มีคาคงที่ และจุดรองรับ C เกดิการเคลื่อนตัวในแนวดิ่งขึ้น 4 mm

    โครงสราง statically indeterminate 1 degree1. ใหแรงปฏิกิริยา Cy เปน redundant

    EXAMPLE

    Cy

    2. compatibility condition ทีจุ่ดรองรับ C

    3. หาคาการเปลี่ยนตําแหนง ∆C และ fCC

    ( ) 0.004 m C y CCC f+ ↑ = −∆ +

    Cy

    Cy

    หาคาการเปลี่ยนตําแหนง ∆C

    354.0 kN-mC EI

    ∆ = ↓

    354.0 kN-mEI

    = −

    0

    L

    CmM dxEI

    ∆ = ∫3

    11

    0

    (3 )( 12)x dxEI

    − −= ∫

    39 kN-mCCf EI

    = ↑

    หาคาการเปลี่ยนตําแหนง fCC0

    L

    CCmmf dxEI

    = ∫

    54 9( ) 0.004 m yCEI EI+ ↑ = − +

    28.2 kNyC = ↑

    3 21

    10

    (3 )x dxEI−

    = ∫ 9EI=

    6 6 6 654 90.004 m

    200(10 )250(10 ) 200(10 )250(10 ) yC− −= − +

    4. แกสมการหาคาแรง Cy354.0 kN-m

    C EI∆ = ↓

  • 5. เขียน shear diagram และ moment diagram

    28.2 kN

    = 0 kN

    = 28.2 kN

    = 72.7 kN-m

    Ay

    Ax

    MA

    0 kNxA =

    28.0 kNyA =

    72.7 kN-mAM =

    6. รางรูปรางการโกงตัวของคาน

    28.2 kN

    0 kN

    28.2 kN

    72.7 kN-m

    -28.2 kN

    72.7 kN-m

    -12 kN-m