บทที่ 8 analysis of indeterminate structures by force...
Embed Size (px)
TRANSCRIPT
-
THEORY OF STRUCTURES
By
Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING
INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
บทที่ 8Analysis of Indeterminate Structures by Force Method
วัตถุประสงค1. เพื่อใหเขาใจถึงขอไดเปรียบและเสียเปรียบระหวางโครงสรางแบบ
statically determinate และแบบ statically indeterminate2. เพื่อใหเขาใจและสามารถวิเคราะหโครงสราง statically
indeterminate โดยวิธี force method: method of consistent deformation และ method of least work ไดอยางถูกตอง
8.1 Statically Indeterminate Structuresโครงสราง statically indeterminate เปนโครงสรางที่มีผลรวมของจํานวนแรงปฏกิิริยา (reactions) และจํานวนแรงและโมเมนตภายใน (internal loads) ทีไ่มทราบคามากกวาจํานวนสมการความสมดุลของโครงสรางและเปนโครงสรางที่มีเสถียรภาพ
“จํานวนแรงและโมเมนตที่ไมทราบคามากกวาจํานวนสมการความสมดุล”
โครงสราง โดยเฉพาะโครงสรางคอนกรีตเสริมเหล็ก มักเปนโครงสราง statically indeterminate เนื่องจากการกอสราง
-
โครงสรางเหล็กทีม่ีจุดเชื่อมตอแบบ rigid joint เปนโครงสราง statically indeterminate
ขอดขีองโครงสราง statically indeterminate1. ใชวัสดุนอยกวาและมีการโกงตัวนอยกวา
2. มีการกระจายแรงภายในที่ดกีวา แตการกระจายแรงภายในจะทําใหโครงสรางแตกราวได ในกรณีที่โครงสรางมีการทรุดตัวไมเทากนั (differential settlement)
-
3. ทาํใหเกดิเทคนิคการกอสรางแบบ cantileverขอเสียของโครงสราง statically indeterminate
1. การวิเคราะหและการออกแบบมีความยุงยากมากกวา2. ในบางกรณี คากอสราง (จุดเชื่อมตอและฐานราก) มีราคาแพงกวา
3. การทรุดตวัที่ไมเทากัน การเปลี่ยนแปลงของอุณหภูม ิและความผิดพลาดทีเ่กดิขึ้นในการกอสรางจะกอใหเกดิหนวยแรงขึ้นภายในโครงสราง statically indeterminate
ตัวอยาง: โครงสราง statically determinate ไมมหีนวยแรงภายในเกิดขึ้นเนื่องจากการทรุดตัวที่ไมเทากันของจุดรองรับ
-
4. การเปลี่ยนแปลงรูปแบบของแรงกระทําตอโครงสรางอาจจะทําใหเกดิ stress reversal ขึ้นในโครงสราง statically indeterminate ไดงายกวาในโครงสราง statically determinate
Method of Analysisโครงสราง statically determinate ถูกวิเคราะหไดโดยใชสมการความสมดุลเพียงอยางเดยีว
โครงสราง statically indeterminate ไมสามารถถูกวิเคราะหไดโดยใชสมการความสมดุลเพียงอยางเดียว
โดยตองใชเงื่อนไขความสอดคลอง (compatibility conditions) และความสัมพันธระหวางแรงและการเปลีย่นตําแหนง (force-displacement relationship) ชวยในการวิเคราะห
0;F+ ↑ =∑Equilibrium Equation;
0B AF F P+ − =
Compatibility Condition;/ 0A Bδ =
Force-Displacement Relationship;FLAE
δ =
0A AC B CBF L F LAE AE
− =
CBA
LF PL
= ACBLF PL
=
เนื่องจากแรงที่ไดมีคาเปนบวก ดังนั้น ทิศทางของแรงที่สมมุติขึน้เปนทิศทางที่เกิดขึ้นจริง
Displacement Method of Analysis Force Method of Analysisจาก principle of superposition
Compatibility Condition;0 P Bδ δ= −
Force-Displacement Relationship;
ACPPLAE
δ = BBF LAE
δ =
0 AC BPL F LAE AE
= −
ACB
LF PL
=
-
Equilibrium Equation;
0;yF+ ↑ =∑0AC A
LP F PL
+ − =
CBA
LF PL
=equilibrium equations และ force-
displacement relationshipsdisplacementsDisplacement
method
compatibility equations และ force-displacement relationships
forcesForce methodสมการทีใ่ชในการหาคําตอบUnknownวิธีการ
8.2 วิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่อง (method of consistent deformation)
1. เลือก reaction By เปนแรงเกินจําเปน (redundant force)
โครงสราง statically indeterminate 1 degree
2. Compatibility equation ทีจ่ดุ B:0 B BB′= ∆ − ∆+ ↓
BB y BBB f′∆ =
0 B y BBB f= ∆ −
By
BB
Bf∆
=
แทนจุดที่หา deflectionแทนจุดที่แรงเกนิจําเปนกระทํา
3. หาคา deflection และแทนคาหา By ……….
กาํหนดใหคานยาว L และแรง P กระทาํที่ระยะ L/2 จากจุดรองรับ A จงใชวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหคานเพื่อเขียน shear และ moment diagram และหาสมการของการโกงตัวของคานที่จดุทีแ่รงกระทํา
EXAMPLE
By
BB
Bf∆
=
3. หาคา deflection และหาคาแรงเกนิจําเปน2 35 5
8 6 48BPL PLLEI EI
⎛ ⎞∆ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 322 3 3BBL Lf LEI EI
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
516yPB =
1. เลือก reaction By เปนแรงเกนิจําเปน2. Compatibility equation ทีจ่ดุ B:
-
4. ใชสมการสมดุลหาคาแรงปฏกิิริยา Ay และ MA และเขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน
หาสมการของการโกงตัวในแนวดิ่งที่จุด C
3
'7
768C CPLMEI
= ∆ = −
5. ราง elastic curve ของคาน
MA
Hinge/Pin
1. เลือก reaction MA เปนแรงเกินจําเปนโครงสราง statically indeterminate 1 degree
2. Compatibility equation ทีจ่ดุ A:
0 A A AAMθ α= +
AA
AAM α
θ−=
0 A AAθ θ′= +แทนจุดที่หา slope
แทนจุดที่แรงเกนิจําเปนกระทํา
3. หาคา slope และแทนคาหา MA4. เขียน V- และ M-diagram ของคาน 5. ราง elastic curve ของคาน
+
AA
AAM α
θ−=
LEI
EIPLM A )1(
316
2
= PL163
=
ใชสมการสมดุลหาคาแรงปฏกิิริยา Ay และ By
-
กาํหนดใหคานยาว L และแรง P กระทาํที่ระยะ L/2 จากจุดรองรับ A จงใชวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหคานเพื่อเขียน shear และ moment diagram และหาสมการการโกงตัวของคานที่จดุที่แรงกระทาํ
EXAMPLE
AA
AA
M θα
= −
2 218 2 16APL PLEI EI
θ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
22 3 3AAL LEI EI
α ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
316APLM = −
1. เลือก reaction MA เปนแรงเกินจําเปน2. Compatibility equation ทีจ่ดุ A:
3. หาคา deflection และหาคาแรงเกนิจําเปน
ตารางแสดงสมการของ slope และ deflection ของคานที่ควรทราบ
4. ใชสมการสมดุลหาคาแรงปฏกิิริยา Ay และ By
1116yPA =
516yPB =
เขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน
หาสมการของการโกงตัวในแนวดิ่งที่จดุ C
3
'7
768C CPLMEI
= ∆ = −
5. ราง elastic curve ของคาน
316APLM =
จงใชวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหคานเพื่อเขยีน shear และ moment diagram และหาการโกงตัวของคานที่จดุ D และราง elastic curve
EXAMPLE
1. เลือก reaction By เปนแรงเกนิจําเปน
2. Compatibility equation ทีจ่ดุ B:
By
BB
Bf∆
=
∆B
1 unit
fBB
0 B y BBB f= ∆ −+ ↓
แทนจุดที่หา deflectionแทนจุดที่แรงเกนิจําเปนกระทํา
3. หาคา deflection และหาคาแรงเกินจําเปน
-
∆B
Note: แรง w อยูคนละดาน ดังนั้น คาการโกงตัวทีก่ึ่งกลางคานจะหาไดจาก
x
↓=∆ 7685 4
EIwL
B
EI76812)2(5 4
=
EI270
=
1 unit
fBBNote: หาคาการโกงตัว fBB ที่จดุที่แรง 1 unit กระทํา
( )↑−−= 6
222 abLEILPbafBB
[ ]222 661212)(66)6(1
−−=EI
EI36
=
จาก compatibility equation ทีจุ่ด B:B
yBB
Bf∆
=
kN 5.736
270==
EIEI
4. ใชสมการสมดุลหาคาแรงปฏกิิริยา Ay และ Cy
7.5 kNAy Cy
Ax = 0
7.5 kN 5.25 kN
Ax = 0
0.75 kN
เขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน
7.5 kN 5.25 kN
Ax = 0
0.75 kN
-0.75 kN
6.75 kN
-5.25 kN
2.625 mslope = -2
slope = -0.75-4.5 kN-m
slope = 6.75
slope = 0 6.891 kN-m
slope = -5.25
5. ราง elastic curve ของคาน
-
หาสมการของการโกงตัวในแนวดิ่งที่จดุ D
4.5/EI
6.891/EI
D´A´ B´ C´
4.5/EI
D´A´ B´
yA′
∑ =′ 0BM
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=′
3665.4
21)6(EI
Ay
EIAy
5.4=′
2.25/EI
D´A´
4.5/EI
∑ =′ 0DMckwisecountercloAθ=
DM ′ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−==∆ ′ 3
3325.221)3(45EIEI
MDD
↑=∆EID125.10
By Cy
1. สมมุติให reaction force ที ่B (By) และ C (Cy) เปน redundant forces
3.1 หา deflection เนื่องจากแรง P1 และ P2 ทีจุ่ด B = ∆B และที่จุด C = ∆C
โครงสราง statically indeterminate 2 degree
2. Compatibility equation ทีจ่ดุ B และจุด C:
3. หาคา deflection และแรงเกนิจําเปน
3.2. ให redundant = 1 หนวยกระทําที่จดุ B ทาํใหเกดิ deflection ทีจุ่ด B= fBB และที่จุด C = fCB
3.3 ให redundant = 1 หนวยกระทําที่จดุ C ทาํใหเกดิ deflection ทีจุ่ด B = fBC และที่จุด C = fCC
Compatibility ที่จดุ B:+
+
Compatibility ที่จดุ C:
0 B y BB y BCB f C f= ∆ + +
0 C y CB y CCB f C f= ∆ + +
3.4 แกสมการหาคา reaction force By และ Cy
4. เขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน
5. ราง elastic curve ของคาน
-
จงหาวิเคราะหคานโดยวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่อง จากนั้น จงเขียน shear และ moment diagram และรางรูปรางการโกงตัวของคาน
EXAMPLE
คานเปนคานที่สมมาตรที่จุดกึ่งกลางคาน
1. ใหโมเมนตปฏิกิริยาที่จดุรองรับ A(MA) และ B (MB) เปน redundant ของคาน
MA
Hinge
MB
Hinge
เมื่อไมพิจารณาแรงในแนวแกนแลว indeterminacy ลดลงเหลือ 2 degree
โครงสราง statically indeterminate 3 degree
2. จาก compatibility condition
+
+
0 A A AA B ABM Mθ α α= + +
0 B A BA B BBM Mθ α α= + +
3. หาคา slope และหาคาแรงเกินจําเปน2 31 2
2 3 8 24AwL wLLEI EI
θ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 31 22 3 8 24B
wL wLLEI EI
θ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
22 3 3AAL LEI EI
α ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
AB BAα α=
12 3 6BAL LEI EI
α ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
22 3 3BBL LEI EI
α ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
-
จากสมการ compatibility0 A A AA B ABM Mθ α α= + + 0 B A BA B BBM Mθ α α= + +
3
024 3 6A BwL L LM MEI EI EI
= + +
03 6 3A BL L LM MEI EI EI
= + +
แกสมการหาคา reaction force MA และ MB2
12AwLM =
2
12BwLM =
+
+
2
12wL
2
12wL
Ay By
2ywLA =
2ywLB =
4. เขียน shear diagram และ moment diagram
5. ราง elastic curve ของคาน
Maxwell’s Theorem of Reciprocal Displacementsในกรณีของ deflection, กฎผกผันของ Maxwell กลาววา
BA ABf f=
“คา displacement ที่เกิดขึ้นทีจ่ดุ B บนโครงสราง ในทศิทาง b เนื่องจาก unit force ที่จดุ A ในทิศทาง a = คา displacement ที่เกิดขึน้ที่จดุ A ในทิศทาง a เนื่องจาก unit force ที่จดุ B ในทิศทาง b”
ในกรณีของ slope, กฎผกผันของ Maxwell กลาววา BA ABθ θ=
“คามมุลาดเอียงที่เกิดขึ้นทีจ่ดุ B บนโครงสราง ในทิศทาง b เนื่องจากโมเมนตขนาด 1 หนวยกระทําทีจ่ดุ A ในทิศทาง a = คามมุลาดเอียงที่เกิดขึน้ที่จดุ A ในทิศทาง a เนื่องจากโมเมนตขนาด 1 หนวยกระทําที่จุด B ในทิศทาง b”
-
ในกรณีของ deflection และ slope, กฎผกผนัของ Maxwell กลาววา
“คามมุลาดเอียงทีม่หีนวยเปนเรเดียนที่เกิดขึ้นทีจุ่ด B บนโครงสราง ในทิศทาง b เนื่องจากแรงขนาด 1 หนวยกระทําทีจุ่ด A ในทิศทาง a = คาระยะโกงตัวที่เกิดขึ้นทีจ่ดุ A ในทิศทาง a เนื่องจากโมเมนตขนาด 1 หนวยกระทาํที่จดุ B ในทิศทาง b”
BA ABfθ =
8.4 ขอสังเกตเพิ่มเตมิเมื่อโครงสรางมีจํานวนดีกรีของอินดีเทอรมิเนทเทากบั n แลว โครงสรางนั้นจะมีจํานวนของแรงเกินจําเปนเทากบั n คา หรือ Rnและสมการความสอดคลองโดยวิธ ีforce method มีจํานวน n สมการ
1 11 1 12 2 1 0n nf R f R f R∆ + + + + =L
2 21 1 22 2 2 0n nf R f R f R∆ + + + + =L
M
1 1 2 2 0n n n nn nf R f R f R∆ + + + + =LM
ในรูปของเมตริกซ (matrix)
1 111 12 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
n n nn n n
Rf f ff f f R
f f f R
∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
L
L
M M M
L
fR= − ∆
จากกฎผกผนัของ Maxwell, fij = fjiดังนั้น เมตริกซ f จงึเปนเมตริกซสมมาตร
8.5 Moment Diagram ของคาน Statically Indeterminate
-
จุดรองรับแบบหมุดและ roller ที่อยูที่ปลายคาน และ internal hinge เปนจดุที่มีคาโมเมนตดัดเทากบัศูนย จุดรองรับยึดแนนและจุดรองรับหมุดที่อยูภายในชวง span ของคานจะมีคาโมเมนตดัดเกิดขึน้ แรงกระทําเปนจุดจะทําให moment diagram มีลักษณะเปนเสนตรงที่มีความชัน แรงแผกระจายสม่ําเสมอจะทําให moment diagram ที่มีลักษณะเปนเสนโคง parabola
จงหาวิเคราะหคานโดยวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องและเขียน shear และ moment diagram และรางรูปรางการโกงตัวของคาน เมื่อจุดรองรับ B เกิดการทรุดตัวในแนวดิ่ง 0.10 m E = 200 GPa และ I = 179(106) mm4
EXAMPLE
1. ใหแรงปฏิกิริยาที่จดุรองรับ B (By) และ C (Cy) เปน redundant
By Cy
10 kN
โครงสราง statically indeterminate 3 degree แตเนื่องจาก Ax = 0 ดงันั้น จึงเหลือ 2 degree
2. จาก compatibility condition
3. หาระยะโกงตัวตางๆ และแรงเกนิจําเปน
0.010 B y BB y BCB f C f= ∆ + ++ ↓
+ ↓ 0 C y CB y CCB f C f= ∆ + +
3.1 ใชตารางหาระยะโกงตัว 3.2 ใชวิธี conjugate beam หาระยะ
โกงตัว
a = 10.5 mb = 2.5 m2 2 2(10)(2.5)(8) [(13) (2.5) (8) ]
6 (13)B EI∆ = − −
3253.205 kN.mEI
=xB = 8.0 m
2 2 2(10)(2.5)(4) [(13) (2.5) (4) ]6 (13)C EI
∆ = − −
3188.141 kN.mEI
=
xC = 4.0 m
3.1 ใชตารางหาระยะโกงตัว
-
a = 8 mb = 5 m
xB = 8.0 mxC = 4.0 m
2 2 2(1)(5)(8) [(13) (5) (8) ]6 (13)BB
fEI
= − −
341.026 kN.mEI
=
2 2 2(1)(5)(4) [(13) (5) (4) ]6 (13)CB
fEI
= − −
332.821 kN.mEI
=a = 4 mb = 9 m
xC = 4.0 m2 2 2(1)(9)(4) [(13) (9) (4) ]
6 (13)CCf
EI= − −
333.231 kN.mEI
=
3.2 ใชวิธี conjugate beam หาระยะโกงตัว
Ay By1y
PbA xL
= 2yPaB xL
=
ทาํการเขียน moment diagram
หาแรงปฏิกริิยา
ทาํการเขียน conjugate beam
หาแรงปฏิกริิยาของ conjugate beam
11 1 1 1
1 ( )2 3 6Pb x Pab L bM x x xEIL EIL
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
211( )6
Pbx x aL abEIL
= − −
22 2 2 2
1 ( )'2 3 6Pa x Pab L aM x x xEIL EIL
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
222( )6
Pax x bL abEIL
= − −
( )2 2 21 16Pbx L b xEIL
= − + +
หาระยะ ∆B โดยที ่a = 2.5 m b = 10.5 m และ x2 = 8.0 m
2(10 kN)(2.5 m)(8 m)[(8 m) (10.5 m)(13 m) (2.5 m)(10.5 m)]6 (13 m)B EI
∆ = − − −
หาระยะ ∆C โดยที ่a = 2.5 m b = 10.5 m และ x2 = 4.0 m
2(10 kN)(2.5 m)(4 m)[(4 m) (10.5 m)(13 m) (2.5 m)(10.5 m)]6 (13 m)C EI
∆ = − − −
3253.205 kN.mEI
=
3188.141 kN.mEI
=
222( )6
Pax x bL abEIL
∆ = − −x2
-
หาระยะ fBB โดยที ่a = 5.0 m b = 8.0 m และ x2 = 8.0 m
2(1 kN)(5 m)(8 m)[(8 m) (8 m)(13 m) (5 m)(8 m)]6 (13 m)BB
fEI
= − − −
หาระยะ fCB โดยที ่a = 5.0 m b = 8.0 m และ x2 = 4.0 m2(1 kN)(5 m)(4 m)[(4 m) (8 m)(13 m) (5 m)(8 m)]
6 (13 m)CB BCf f
EI= = − − −
332.821 kN.mEI
=
341.026 kN.mEI
=
x2 222( )6
Pax x bL abEIL
∆ = − −
หาระยะ fCC โดยที ่a = 9.0 m b = 4.0 m และ x2 = 4.0 m
2(1 kN)(9 m)(4 m)[(4 m) (4 m)(13 m) (4 m)(9 m)]6 (13 m)CC
fEI
= − − −
333.231 kN.mEI
=
222( )6
Pax x bL abEIL
∆ = − −x2
4. แกสมการ compatibility เพื่อหาแรงเกินจําเปน
0.010 B y BB y BCB f C f= ∆ + +
0 C y CB y CCB f C f= ∆ + +
253.205 41.0260.010 m
32.821
y
y
BEI EI
CEI
⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎣ ⎦
188.141 32.8210
33.231
y
y
BEI EI
CEI
⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎣ ⎦
333.231 kN.mCCf EI
=
341.026 kN.mBBf EI=
332.821 kN.mCBf EI=
332.821 kN.mBCf EI=
3253.205 kN.mB EI
∆ =3188.141 kN.m
C EI∆ =
6 2 6 4 2200(10 kN/m )179(10 m ) 35800 kN.mEI −= =เมื่อแรงปฏิกิริยาเกินจําเปนมีคาเทากบั
33.753 kNyB = ↓ 39.00 kNyC = ↑
33.753 kN 39.00 kN
10 kN
Ay Dy
16.848 kNyA = ↑
12.093 kNyD = ↓
-
5. เขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน
6. รางรูปรางการโกงตัวของคาน
33.753 kN 39.00 kN
10 kN
16.848 kN 12.093 kN
จงใชวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหโครงขอแข็งเพื่อเขียน shear และ moment diagram เมื่อ EI ของชิ้นสวนตางๆ มีคาคงที่
โครงสราง statically indeterminate 1 degree1. ใหแรงปฏิกิริยา Ay เปน redundant
EXAMPLE
Ay
8.6 การวิเคราะหโครงขอแข็ง (frame) โดยวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่อง 2. compatibility condition ทีจุ่ดรองรับ A
3. หาคาการเปลี่ยนตําแหนง ∆A และ fAA
Ay
Ay
yAAA Af−∆=↓+ 0
AA
Ay fA ∆=
-
3400 kN-mA EI
∆ = ↓
3400 kN-mEI
= −
หาคาการเปลี่ยนตําแหนง ∆A
0
L
AmM dxEI
∆ = ∫2
33
0
( 4)(50 )x dxEI
−= ∫
M3 = +50x3 m3 = -4
m2 = -4
2 m
2 m4 m
แสดงวามีทิศตรงกันขามกับแรง 1 หนวย ดังนั้น385.333 kN-m
AAf EI= ↑
หาคาการเปลี่ยนตําแหนง fAA0
L
AAmmf dxEI
= ∫
400 85.33( ) 0 yAEI EI+ ↓ = −
4.688 kNyA = ↓
4 2 22 2 21
1 2 30 0 0
( 4) ( 4)x dx dx dxEI EI EI
− −= + +∫ ∫ ∫
4. แกสมการหาคาแรง Ay3400 kN-m
A EI∆ = ↓
m2 = -4
m3 = -4
2 m
2 m4 m1 หนวย
5. เขียน shear diagram และ moment diagram
4.688 kN
= 50 kN
= 4.688 kN
= 81.25 kN-m
50.0 kNxC =
Cy
Cx
MC
4.688 kNyC =
81.25 kN-mCM =
∑ = ;0xF∑ = ;0yF∑ = ;0CM
4.688 kN
50 kN
4.688 kN
81.25 kN-m
6. รางรูปรางการโกงตัวของคาน
4.688 kN
-50 kN
18.75 kN-m
81.25 kN-m
-18.75 kN-m
Slope = 4.688
Slope = 0
Slop
e =
0
Slope =
-50
Slope = 0
-
โครงสราง statically indeterminate 1 degree
จงวิเคราะหโครงขอแข็ง โดยวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่อง กาํหนดให EI มีคาคงที่
EXAMPLE
1. ใหโมเมนตดัดปฏกิิริยาที่จดุรองรับ A(MA) เปน redundant
MA
Hinge/Pin
2. compatibility condition ทีจุ่ดรองรับ A0 A A AAMθ α= ++
AA
AA
M θα
= −
MA
ใชวิธี virtual work หา θA
x1
x2
x3
M3 = 40+12x3-4x32CAM2 = -20x2DC
M1 = 0BDMmember
0
L
Am M dxEIθθ = ∫
3. หาคาการเปลี่ยนตําแหนงและแกสมการ
By
Ay
Ax
= 12.0 kN
= 18.0 kN
= 20.0 kN
2 m
2 m5 m
x3/5CA0DC0BD
mθmember1
Ay= 1/5 kNAx= 0 kN
By = 1/5 kN
5 m
-
0-5.0 m0-2.0 m0-2.0 mจาก-ถึง
x3/5M3 = 40+12x3-4x32CA0M2 = -20x2DC0M1 = 0BD
mθMmember
2 35 3 3
0
(40 12 4 )( )50 0
xx xdx
EI
+ −= + + ∫
75EI
=
0
L
Am M dxEIθθ = ∫
2 m
2 m
5 m
ใชวิธี virtual work หา αAA0
L
AAm m dxEIθ θα = ∫
x3/50-5.0 mCA00-2.0 mDC00-2.0 mBD
mθจาก-ถึงmember
52 2
0
0 05 5x x dx
EI= + + ∫
53EI
=
1
Ay= 1/5 kNAx= 0 kN
By = 1/5 kN
ใชวิธี castiglino หา θA
x1
x2
x3M'
M3 = 40+12x3-4x32x3/5M3 = 40+12x3-4x32+M'x3/5CAM2 = 20x20M2 = 20x2DC
M1 = 00M1 = 0BDM เมื่อ M' = 0∂M/∂M'Mmember
0 '
L
AM dxMM EI
θ ∂=∂∫
2 35 3 3
0
(40 12 4 )( )50 0
xx xdx
EI
+ −= + + ∫
75EI
=
3. หาคาการเปลี่ยนตําแหนงและแกสมการ ใชวิธี castiglino หา αAA0 '
L
AAM dxMM EI
α ∂=∂∫
M3 = x3/5x3/5M3 = M'x3/5CAM2 = 00M2 = 0DCM1 = 00M1 = 0BD
M เมื่อ M' = 1 kN-m∂M/∂M'Mmember
52 2
0
0 05 5x x dx
EI= + + ∫
53EI
=
-
4. แกสมการ compatibility เพือ่หาคาแรงเกินจําเปน 75 50
3AM
EI EI= +
45.0 kN-mAM = −
เครื่องหมายลบ MA มีทิศทางตรงกันขามกบัที่ไดสมมุติไว (ทวนเข็มฯ)45.0 kN-m
By
AyAx
37.0 kNyA =
20.0 kNxA =
3.0 kNyB =
0 A A AAMθ α= +
53AA EI
α =
75A EI
θ =
5 m2 m
2 m
5. เขียน shear และ moment diagram45.0 kN-m
3.0 kN
37.0 kN20.0 kN 5 m 2 m
2 m
6. รางรูปรางการโกงตัวของคาน
จงใชวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหโครงขอแข็งเพื่อเขียน shear และ moment diagram เมื่อ E = 200 GPa และ I = 250(106) mm4 ของชิ้นสวนมีคาคงที่
โครงสราง statically indeterminate 1 degree1. ใหแรงปฏิกิริยา Cx เปน redundant
EXAMPLE
Cx
Cx2. compatibility condition ทีจุ่ดรองรับ C
3. หาคาการเปลี่ยนตําแหนง ∆CH และ fCC
xCCCH Cf+∆′=→+
0 )(
-
หาคาการเปลี่ยนตําแหนง ∆CH
M m
dxEIMmL
CH ∫=∆0
)0.1(
M 6 kN
6 kN12 kN
x1
x2
21
1111 1
122
212 xxxxxM −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
22 6xM =
1
11
x1
x2
11 xm =
22 xm =
dxEIMmL
CH ∫=∆0
)0.1(
∫∫ +−=∆6
0
222
6
0
11
211 ))(6())(12( EI
dxxxEIdxxxxCH
→= 972EI
หาคาการเปลี่ยนตําแหนง fCC0
L
CCmmf dxEI
= ∫
4. แกสมการหาคาแรง Cx
1
11
x1
x2
11 xm =
22 xm =
∫∫ +=6
0
222
6
0
111 ))(())(( EI
dxxxEIdxxx
→= 144EI
→=∆ 972EICH
xCEIEI1449720 )( +=→
+
kN 75.6144
972−=−=
EIEI
Cx
→= kN 75.6xC
5. เขียน shear diagram และ moment diagram
6.75 kN
5.25 kN
0.75 kN
0.75 kN
-
จงใชวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหโครงขอแข็งเพื่อเขียน shear และ moment diagram เมื่อ E = 200 GPa และ I = 250(106) mm4 ของชิ้นสวนตางๆ มีคาคงที่ และจุดรองรับ C เกดิการเคลื่อนตัวในแนวดิ่งขึ้น 4 mm
โครงสราง statically indeterminate 1 degree1. ใหแรงปฏิกิริยา Cy เปน redundant
EXAMPLE
Cy
2. compatibility condition ทีจุ่ดรองรับ C
3. หาคาการเปลี่ยนตําแหนง ∆C และ fCC
( ) 0.004 m C y CCC f+ ↑ = −∆ +
Cy
Cy
หาคาการเปลี่ยนตําแหนง ∆C
354.0 kN-mC EI
∆ = ↓
354.0 kN-mEI
= −
0
L
CmM dxEI
∆ = ∫3
11
0
(3 )( 12)x dxEI
− −= ∫
39 kN-mCCf EI
= ↑
หาคาการเปลี่ยนตําแหนง fCC0
L
CCmmf dxEI
= ∫
54 9( ) 0.004 m yCEI EI+ ↑ = − +
28.2 kNyC = ↑
3 21
10
(3 )x dxEI−
= ∫ 9EI=
6 6 6 654 90.004 m
200(10 )250(10 ) 200(10 )250(10 ) yC− −= − +
4. แกสมการหาคาแรง Cy354.0 kN-m
C EI∆ = ↓
-
5. เขียน shear diagram และ moment diagram
28.2 kN
= 0 kN
= 28.2 kN
= 72.7 kN-m
Ay
Ax
MA
0 kNxA =
28.0 kNyA =
72.7 kN-mAM =
6. รางรูปรางการโกงตัวของคาน
28.2 kN
0 kN
28.2 kN
72.7 kN-m
-28.2 kN
72.7 kN-m
-12 kN-m