THEORY OF STRUCTURES

By

Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

บทที่ 8Analysis of Indeterminate Structures by Force Method

วัตถุประสงค1. เพื่อใหเขาใจถึงขอไดเปรียบและเสียเปรียบระหวางโครงสรางแบบ

statically determinate และแบบ statically indeterminate2. เพื่อใหเขาใจและสามารถวิเคราะหโครงสราง statically

indeterminate โดยวิธี force method: method of consistent deformation และ method of least work ไดอยางถูกตอง

8.1 Statically Indeterminate Structuresโครงสราง statically indeterminate เปนโครงสรางที่มีผลรวมของจํานวนแรงปฏกิิริยา (reactions) และจํานวนแรงและโมเมนตภายใน (internal loads) ทีไ่มทราบคามากกวาจํานวนสมการความสมดุลของโครงสรางและเปนโครงสรางที่มีเสถียรภาพ

“จํานวนแรงและโมเมนตที่ไมทราบคามากกวาจํานวนสมการความสมดุล”

โครงสราง โดยเฉพาะโครงสรางคอนกรีตเสริมเหล็ก มักเปนโครงสราง statically indeterminate เนื่องจากการกอสราง

โครงสรางเหล็กทีม่ีจุดเชื่อมตอแบบ rigid joint เปนโครงสราง statically indeterminate

ขอดขีองโครงสราง statically indeterminate1. ใชวัสดุนอยกวาและมีการโกงตัวนอยกวา

2. มีการกระจายแรงภายในที่ดกีวา แตการกระจายแรงภายในจะทําใหโครงสรางแตกราวได ในกรณีที่โครงสรางมีการทรุดตัวไมเทากนั (differential settlement)

3. ทาํใหเกดิเทคนิคการกอสรางแบบ cantileverขอเสียของโครงสราง statically indeterminate

1. การวิเคราะหและการออกแบบมีความยุงยากมากกวา2. ในบางกรณี คากอสราง (จุดเชื่อมตอและฐานราก) มีราคาแพงกวา

3. การทรุดตวัที่ไมเทากัน การเปลี่ยนแปลงของอุณหภูม ิและความผิดพลาดทีเ่กดิขึ้นในการกอสรางจะกอใหเกดิหนวยแรงขึ้นภายในโครงสราง statically indeterminate

ตัวอยาง: โครงสราง statically determinate ไมมหีนวยแรงภายในเกิดขึ้นเนื่องจากการทรุดตัวที่ไมเทากันของจุดรองรับ

4. การเปลี่ยนแปลงรูปแบบของแรงกระทําตอโครงสรางอาจจะทําใหเกดิ stress reversal ขึ้นในโครงสราง statically indeterminate ไดงายกวาในโครงสราง statically determinate

Method of Analysisโครงสราง statically determinate ถูกวิเคราะหไดโดยใชสมการความสมดุลเพียงอยางเดยีว

โครงสราง statically indeterminate ไมสามารถถูกวิเคราะหไดโดยใชสมการความสมดุลเพียงอยางเดียว

โดยตองใชเงื่อนไขความสอดคลอง (compatibility conditions) และความสัมพันธระหวางแรงและการเปลีย่นตําแหนง (force-displacement relationship) ชวยในการวิเคราะห

0;F+ ↑ =∑Equilibrium Equation;

0B AF F P+ − =

Compatibility Condition;/ 0A Bδ =

Force-Displacement Relationship;FLAE

δ =

0A AC B CBF L F LAE AE

− =

CBA

LF PL

= ACBLF PL

=

เนื่องจากแรงที่ไดมีคาเปนบวก ดังนั้น ทิศทางของแรงที่สมมุติขึน้เปนทิศทางที่เกิดขึ้นจริง

Displacement Method of Analysis Force Method of Analysisจาก principle of superposition

Compatibility Condition;0 P Bδ δ= −

Force-Displacement Relationship;

ACPPLAE

δ = BBF LAE

δ =

0 AC BPL F LAE AE

= −

ACB

LF PL

=

Equilibrium Equation;

0;yF+ ↑ =∑0AC A

LP F PL

+ − =

CBA

LF PL

=equilibrium equations และ force-

displacement relationshipsdisplacementsDisplacement

method

compatibility equations และ force-displacement relationships

forcesForce methodสมการทีใ่ชในการหาคําตอบUnknownวิธีการ

8.2 วิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่อง (method of consistent deformation)

1. เลือก reaction By เปนแรงเกินจําเปน (redundant force)

โครงสราง statically indeterminate 1 degree

2. Compatibility equation ทีจ่ดุ B:0 B BB′= ∆ − ∆+ ↓

BB y BBB f′∆ =

0 B y BBB f= ∆ −

By

BB

Bf∆

=

แทนจุดที่หา deflectionแทนจุดที่แรงเกนิจําเปนกระทํา

3. หาคา deflection และแทนคาหา By ……….

กาํหนดใหคานยาว L และแรง P กระทาํที่ระยะ L/2 จากจุดรองรับ A จงใชวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหคานเพื่อเขียน shear และ moment diagram และหาสมการของการโกงตัวของคานที่จดุทีแ่รงกระทํา

EXAMPLE

By

BB

Bf∆

=

3. หาคา deflection และหาคาแรงเกนิจําเปน2 35 5

8 6 48BPL PLLEI EI

⎛ ⎞∆ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 322 3 3BBL Lf LEI EI

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

516yPB =

1. เลือก reaction By เปนแรงเกนิจําเปน2. Compatibility equation ทีจ่ดุ B:

4. ใชสมการสมดุลหาคาแรงปฏกิิริยา Ay และ MA และเขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน

หาสมการของการโกงตัวในแนวดิ่งที่จุด C

3

'7

768C CPLMEI

= ∆ = −

5. ราง elastic curve ของคาน

MA

Hinge/Pin

1. เลือก reaction MA เปนแรงเกินจําเปนโครงสราง statically indeterminate 1 degree

2. Compatibility equation ทีจ่ดุ A:

0 A A AAMθ α= +

AA

AAM α

θ−=

0 A AAθ θ′= +แทนจุดที่หา slope

แทนจุดที่แรงเกนิจําเปนกระทํา

3. หาคา slope และแทนคาหา MA4. เขียน V- และ M-diagram ของคาน 5. ราง elastic curve ของคาน

+

AA

AAM α

θ−=

LEI

EIPLM A )1(

316

2

= PL163

=

ใชสมการสมดุลหาคาแรงปฏกิิริยา Ay และ By

กาํหนดใหคานยาว L และแรง P กระทาํที่ระยะ L/2 จากจุดรองรับ A จงใชวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหคานเพื่อเขียน shear และ moment diagram และหาสมการการโกงตัวของคานที่จดุที่แรงกระทาํ

EXAMPLE

AA

AA

M θα

= −

2 218 2 16APL PLEI EI

θ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

22 3 3AAL LEI EI

α ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

316APLM = −

1. เลือก reaction MA เปนแรงเกินจําเปน2. Compatibility equation ทีจ่ดุ A:

3. หาคา deflection และหาคาแรงเกนิจําเปน

ตารางแสดงสมการของ slope และ deflection ของคานที่ควรทราบ

4. ใชสมการสมดุลหาคาแรงปฏกิิริยา Ay และ By

1116yPA =

516yPB =

เขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน

หาสมการของการโกงตัวในแนวดิ่งที่จดุ C

3

'7

768C CPLMEI

= ∆ = −

5. ราง elastic curve ของคาน

316APLM =

จงใชวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหคานเพื่อเขยีน shear และ moment diagram และหาการโกงตัวของคานที่จดุ D และราง elastic curve

EXAMPLE

1. เลือก reaction By เปนแรงเกนิจําเปน

2. Compatibility equation ทีจ่ดุ B:

By

BB

Bf∆

=

∆B

1 unit

fBB

0 B y BBB f= ∆ −+ ↓

แทนจุดที่หา deflectionแทนจุดที่แรงเกนิจําเปนกระทํา

3. หาคา deflection และหาคาแรงเกินจําเปน

∆B

Note: แรง w อยูคนละดาน ดังนั้น คาการโกงตัวทีก่ึ่งกลางคานจะหาไดจาก

x

↓=∆ 7685 4

EIwL

B

EI76812)2(5 4

=

EI270

=

1 unit

fBBNote: หาคาการโกงตัว fBB ที่จดุที่แรง 1 unit กระทํา

( )↑−−= 6

222 abLEILPbafBB

[ ]222 661212)(66)6(1

−−=EI

EI36

=

จาก compatibility equation ทีจุ่ด B:B

yBB

Bf∆

=

kN 5.736

270==

EIEI

4. ใชสมการสมดุลหาคาแรงปฏกิิริยา Ay และ Cy

7.5 kNAy Cy

Ax = 0

7.5 kN 5.25 kN

Ax = 0

0.75 kN

เขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน

7.5 kN 5.25 kN

Ax = 0

0.75 kN

-0.75 kN

6.75 kN

-5.25 kN

2.625 mslope = -2

slope = -0.75-4.5 kN-m

slope = 6.75

slope = 0 6.891 kN-m

slope = -5.25

5. ราง elastic curve ของคาน

หาสมการของการโกงตัวในแนวดิ่งที่จดุ D

4.5/EI

6.891/EI

D´A´ B´ C´

4.5/EI

D´A´ B´

yA′

∑ =′ 0BM

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′

3665.4

21)6(EI

Ay

EIAy

5.4=′

2.25/EI

D´A´

4.5/EI

∑ =′ 0DMckwisecountercloAθ=

DM ′ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−==∆ ′ 3

3325.221)3(45EIEI

MDD

↑=∆EID125.10

By Cy

1. สมมุติให reaction force ที ่B (By) และ C (Cy) เปน redundant forces

3.1 หา deflection เนื่องจากแรง P1 และ P2 ทีจุ่ด B = ∆B และที่จุด C = ∆C

โครงสราง statically indeterminate 2 degree

2. Compatibility equation ทีจ่ดุ B และจุด C:

3. หาคา deflection และแรงเกนิจําเปน

3.2. ให redundant = 1 หนวยกระทําที่จดุ B ทาํใหเกดิ deflection ทีจุ่ด B= fBB และที่จุด C = fCB

3.3 ให redundant = 1 หนวยกระทําที่จดุ C ทาํใหเกดิ deflection ทีจุ่ด B = fBC และที่จุด C = fCC

Compatibility ที่จดุ B:+

+

Compatibility ที่จดุ C:

0 B y BB y BCB f C f= ∆ + +

0 C y CB y CCB f C f= ∆ + +

3.4 แกสมการหาคา reaction force By และ Cy

4. เขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน

5. ราง elastic curve ของคาน

จงหาวิเคราะหคานโดยวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่อง จากนั้น จงเขียน shear และ moment diagram และรางรูปรางการโกงตัวของคาน

EXAMPLE

คานเปนคานที่สมมาตรที่จุดกึ่งกลางคาน

1. ใหโมเมนตปฏิกิริยาที่จดุรองรับ A(MA) และ B (MB) เปน redundant ของคาน

MA

Hinge

MB

Hinge

เมื่อไมพิจารณาแรงในแนวแกนแลว indeterminacy ลดลงเหลือ 2 degree

โครงสราง statically indeterminate 3 degree

2. จาก compatibility condition

+

+

0 A A AA B ABM Mθ α α= + +

0 B A BA B BBM Mθ α α= + +

3. หาคา slope และหาคาแรงเกินจําเปน2 31 2

2 3 8 24AwL wLLEI EI

θ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 31 22 3 8 24B

wL wLLEI EI

θ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

22 3 3AAL LEI EI

α ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

AB BAα α=

12 3 6BAL LEI EI

α ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

22 3 3BBL LEI EI

α ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

จากสมการ compatibility0 A A AA B ABM Mθ α α= + + 0 B A BA B BBM Mθ α α= + +

3

024 3 6A BwL L LM MEI EI EI

= + +

03 6 3A BL L LM MEI EI EI

= + +

แกสมการหาคา reaction force MA และ MB2

12AwLM =

2

12BwLM =

+

+

2

12wL

2

12wL

Ay By

2ywLA =

2ywLB =

4. เขียน shear diagram และ moment diagram

5. ราง elastic curve ของคาน

Maxwell’s Theorem of Reciprocal Displacementsในกรณีของ deflection, กฎผกผันของ Maxwell กลาววา

BA ABf f=

“คา displacement ที่เกิดขึ้นทีจ่ดุ B บนโครงสราง ในทศิทาง b เนื่องจาก unit force ที่จดุ A ในทิศทาง a = คา displacement ที่เกิดขึน้ที่จดุ A ในทิศทาง a เนื่องจาก unit force ที่จดุ B ในทิศทาง b”

ในกรณีของ slope, กฎผกผันของ Maxwell กลาววา BA ABθ θ=

“คามมุลาดเอียงที่เกิดขึ้นทีจ่ดุ B บนโครงสราง ในทิศทาง b เนื่องจากโมเมนตขนาด 1 หนวยกระทําทีจ่ดุ A ในทิศทาง a = คามมุลาดเอียงที่เกิดขึน้ที่จดุ A ในทิศทาง a เนื่องจากโมเมนตขนาด 1 หนวยกระทําที่จุด B ในทิศทาง b”

ในกรณีของ deflection และ slope, กฎผกผนัของ Maxwell กลาววา

“คามมุลาดเอียงทีม่หีนวยเปนเรเดียนที่เกิดขึ้นทีจุ่ด B บนโครงสราง ในทิศทาง b เนื่องจากแรงขนาด 1 หนวยกระทําทีจุ่ด A ในทิศทาง a = คาระยะโกงตัวที่เกิดขึ้นทีจ่ดุ A ในทิศทาง a เนื่องจากโมเมนตขนาด 1 หนวยกระทาํที่จดุ B ในทิศทาง b”

BA ABfθ =

8.4 ขอสังเกตเพิ่มเตมิเมื่อโครงสรางมีจํานวนดีกรีของอินดีเทอรมิเนทเทากบั n แลว โครงสรางนั้นจะมีจํานวนของแรงเกินจําเปนเทากบั n คา หรือ Rnและสมการความสอดคลองโดยวิธ ีforce method มีจํานวน n สมการ

1 11 1 12 2 1 0n nf R f R f R∆ + + + + =L

2 21 1 22 2 2 0n nf R f R f R∆ + + + + =L

M

1 1 2 2 0n n n nn nf R f R f R∆ + + + + =LM

ในรูปของเมตริกซ (matrix)

1 111 12 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

n n nn n n

Rf f ff f f R

f f f R

∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

L

L

M M M

L

fR= − ∆

จากกฎผกผนัของ Maxwell, fij = fjiดังนั้น เมตริกซ f จงึเปนเมตริกซสมมาตร

8.5 Moment Diagram ของคาน Statically Indeterminate

จุดรองรับแบบหมุดและ roller ที่อยูที่ปลายคาน และ internal hinge เปนจดุที่มีคาโมเมนตดัดเทากบัศูนย จุดรองรับยึดแนนและจุดรองรับหมุดที่อยูภายในชวง span ของคานจะมีคาโมเมนตดัดเกิดขึน้ แรงกระทําเปนจุดจะทําให moment diagram มีลักษณะเปนเสนตรงที่มีความชัน แรงแผกระจายสม่ําเสมอจะทําให moment diagram ที่มีลักษณะเปนเสนโคง parabola

จงหาวิเคราะหคานโดยวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องและเขียน shear และ moment diagram และรางรูปรางการโกงตัวของคาน เมื่อจุดรองรับ B เกิดการทรุดตัวในแนวดิ่ง 0.10 m E = 200 GPa และ I = 179(106) mm4

EXAMPLE

1. ใหแรงปฏิกิริยาที่จดุรองรับ B (By) และ C (Cy) เปน redundant

By Cy

10 kN

โครงสราง statically indeterminate 3 degree แตเนื่องจาก Ax = 0 ดงันั้น จึงเหลือ 2 degree

2. จาก compatibility condition

3. หาระยะโกงตัวตางๆ และแรงเกนิจําเปน

0.010 B y BB y BCB f C f= ∆ + ++ ↓

+ ↓ 0 C y CB y CCB f C f= ∆ + +

3.1 ใชตารางหาระยะโกงตัว 3.2 ใชวิธี conjugate beam หาระยะ

โกงตัว

a = 10.5 mb = 2.5 m2 2 2(10)(2.5)(8) [(13) (2.5) (8) ]

6 (13)B EI∆ = − −

3253.205 kN.mEI

=xB = 8.0 m

2 2 2(10)(2.5)(4) [(13) (2.5) (4) ]6 (13)C EI

∆ = − −

3188.141 kN.mEI

=

xC = 4.0 m

3.1 ใชตารางหาระยะโกงตัว

a = 8 mb = 5 m

xB = 8.0 mxC = 4.0 m

2 2 2(1)(5)(8) [(13) (5) (8) ]6 (13)BB

fEI

= − −

341.026 kN.mEI

=

2 2 2(1)(5)(4) [(13) (5) (4) ]6 (13)CB

fEI

= − −

332.821 kN.mEI

=a = 4 mb = 9 m

xC = 4.0 m2 2 2(1)(9)(4) [(13) (9) (4) ]

6 (13)CCf

EI= − −

333.231 kN.mEI

=

3.2 ใชวิธี conjugate beam หาระยะโกงตัว

Ay By1y

PbA xL

= 2yPaB xL

=

ทาํการเขียน moment diagram

หาแรงปฏิกริิยา

ทาํการเขียน conjugate beam

หาแรงปฏิกริิยาของ conjugate beam

11 1 1 1

1 ( )2 3 6Pb x Pab L bM x x xEIL EIL

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

211( )6

Pbx x aL abEIL

= − −

22 2 2 2

1 ( )'2 3 6Pa x Pab L aM x x xEIL EIL

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

222( )6

Pax x bL abEIL

= − −

( )2 2 21 16Pbx L b xEIL

= − + +

หาระยะ ∆B โดยที ่a = 2.5 m b = 10.5 m และ x2 = 8.0 m

2(10 kN)(2.5 m)(8 m)[(8 m) (10.5 m)(13 m) (2.5 m)(10.5 m)]6 (13 m)B EI

∆ = − − −

หาระยะ ∆C โดยที ่a = 2.5 m b = 10.5 m และ x2 = 4.0 m

2(10 kN)(2.5 m)(4 m)[(4 m) (10.5 m)(13 m) (2.5 m)(10.5 m)]6 (13 m)C EI

∆ = − − −

3253.205 kN.mEI

=

3188.141 kN.mEI

=

222( )6

Pax x bL abEIL

∆ = − −x2

หาระยะ fBB โดยที ่a = 5.0 m b = 8.0 m และ x2 = 8.0 m

2(1 kN)(5 m)(8 m)[(8 m) (8 m)(13 m) (5 m)(8 m)]6 (13 m)BB

fEI

= − − −

หาระยะ fCB โดยที ่a = 5.0 m b = 8.0 m และ x2 = 4.0 m2(1 kN)(5 m)(4 m)[(4 m) (8 m)(13 m) (5 m)(8 m)]

6 (13 m)CB BCf f

EI= = − − −

332.821 kN.mEI

=

341.026 kN.mEI

=

x2 222( )6

Pax x bL abEIL

∆ = − −

หาระยะ fCC โดยที ่a = 9.0 m b = 4.0 m และ x2 = 4.0 m

2(1 kN)(9 m)(4 m)[(4 m) (4 m)(13 m) (4 m)(9 m)]6 (13 m)CC

fEI

= − − −

333.231 kN.mEI

=

222( )6

Pax x bL abEIL

∆ = − −x2

4. แกสมการ compatibility เพื่อหาแรงเกินจําเปน

0.010 B y BB y BCB f C f= ∆ + +

0 C y CB y CCB f C f= ∆ + +

253.205 41.0260.010 m

32.821

y

y

BEI EI

CEI

⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎣ ⎦

188.141 32.8210

33.231

y

y

BEI EI

CEI

⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎣ ⎦

333.231 kN.mCCf EI

=

341.026 kN.mBBf EI=

332.821 kN.mCBf EI=

332.821 kN.mBCf EI=

3253.205 kN.mB EI

∆ =3188.141 kN.m

C EI∆ =

6 2 6 4 2200(10 kN/m )179(10 m ) 35800 kN.mEI −= =เมื่อแรงปฏิกิริยาเกินจําเปนมีคาเทากบั

33.753 kNyB = ↓ 39.00 kNyC = ↑

33.753 kN 39.00 kN

10 kN

Ay Dy

16.848 kNyA = ↑

12.093 kNyD = ↓

5. เขียน shear diagram และ moment diagram ของคาน

6. รางรูปรางการโกงตัวของคาน

33.753 kN 39.00 kN

10 kN

16.848 kN 12.093 kN

จงใชวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหโครงขอแข็งเพื่อเขียน shear และ moment diagram เมื่อ EI ของชิ้นสวนตางๆ มีคาคงที่

โครงสราง statically indeterminate 1 degree1. ใหแรงปฏิกิริยา Ay เปน redundant

EXAMPLE

Ay

8.6 การวิเคราะหโครงขอแข็ง (frame) โดยวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่อง 2. compatibility condition ทีจุ่ดรองรับ A

3. หาคาการเปลี่ยนตําแหนง ∆A และ fAA

Ay

Ay

yAAA Af−∆=↓+ 0

AA

Ay fA ∆=

3400 kN-mA EI

∆ = ↓

3400 kN-mEI

= −

หาคาการเปลี่ยนตําแหนง ∆A

0

L

AmM dxEI

∆ = ∫2

33

0

( 4)(50 )x dxEI

−= ∫

M3 = +50x3 m3 = -4

m2 = -4

2 m

2 m4 m

แสดงวามีทิศตรงกันขามกับแรง 1 หนวย ดังนั้น385.333 kN-m

AAf EI= ↑

หาคาการเปลี่ยนตําแหนง fAA0

L

AAmmf dxEI

= ∫

400 85.33( ) 0 yAEI EI+ ↓ = −

4.688 kNyA = ↓

4 2 22 2 21

1 2 30 0 0

( 4) ( 4)x dx dx dxEI EI EI

− −= + +∫ ∫ ∫

4. แกสมการหาคาแรง Ay3400 kN-m

A EI∆ = ↓

m2 = -4

m3 = -4

2 m

2 m4 m1 หนวย

5. เขียน shear diagram และ moment diagram

4.688 kN

= 50 kN

= 4.688 kN

= 81.25 kN-m

50.0 kNxC =

Cy

Cx

MC

4.688 kNyC =

81.25 kN-mCM =

∑ = ;0xF∑ = ;0yF∑ = ;0CM

4.688 kN

50 kN

4.688 kN

81.25 kN-m

6. รางรูปรางการโกงตัวของคาน

4.688 kN

-50 kN

18.75 kN-m

81.25 kN-m

-18.75 kN-m

Slope = 4.688

Slope = 0

Slop

e =

0

Slope =

-50

Slope = 0

โครงสราง statically indeterminate 1 degree

จงวิเคราะหโครงขอแข็ง โดยวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่อง กาํหนดให EI มีคาคงที่

EXAMPLE

1. ใหโมเมนตดัดปฏกิิริยาที่จดุรองรับ A(MA) เปน redundant

MA

Hinge/Pin

2. compatibility condition ทีจุ่ดรองรับ A0 A A AAMθ α= ++

AA

AA

M θα

= −

MA

ใชวิธี virtual work หา θA

x1

x2

x3

M3 = 40+12x3-4x32CAM2 = -20x2DC

M1 = 0BDMmember

0

L

Am M dxEIθθ = ∫

3. หาคาการเปลี่ยนตําแหนงและแกสมการ

By

Ay

Ax

= 12.0 kN

= 18.0 kN

= 20.0 kN

2 m

2 m5 m

x3/5CA0DC0BD

mθmember1

Ay= 1/5 kNAx= 0 kN

By = 1/5 kN

5 m

0-5.0 m0-2.0 m0-2.0 mจาก-ถึง

x3/5M3 = 40+12x3-4x32CA0M2 = -20x2DC0M1 = 0BD

mθMmember

2 35 3 3

0

(40 12 4 )( )50 0

xx xdx

EI

+ −= + + ∫

75EI

=

0

L

Am M dxEIθθ = ∫

2 m

2 m

5 m

ใชวิธี virtual work หา αAA0

L

AAm m dxEIθ θα = ∫

x3/50-5.0 mCA00-2.0 mDC00-2.0 mBD

mθจาก-ถึงmember

52 2

0

0 05 5x x dx

EI= + + ∫

53EI

=

1

Ay= 1/5 kNAx= 0 kN

By = 1/5 kN

ใชวิธี castiglino หา θA

x1

x2

x3M'

M3 = 40+12x3-4x32x3/5M3 = 40+12x3-4x32+M'x3/5CAM2 = 20x20M2 = 20x2DC

M1 = 00M1 = 0BDM เมื่อ M' = 0∂M/∂M'Mmember

0 '

L

AM dxMM EI

θ ∂=∂∫

2 35 3 3

0

(40 12 4 )( )50 0

xx xdx

EI

+ −= + + ∫

75EI

=

3. หาคาการเปลี่ยนตําแหนงและแกสมการ ใชวิธี castiglino หา αAA0 '

L

AAM dxMM EI

α ∂=∂∫

M3 = x3/5x3/5M3 = M'x3/5CAM2 = 00M2 = 0DCM1 = 00M1 = 0BD

M เมื่อ M' = 1 kN-m∂M/∂M'Mmember

52 2

0

0 05 5x x dx

EI= + + ∫

53EI

=

4. แกสมการ compatibility เพือ่หาคาแรงเกินจําเปน 75 50

3AM

EI EI= +

45.0 kN-mAM = −

เครื่องหมายลบ MA มีทิศทางตรงกันขามกบัที่ไดสมมุติไว (ทวนเข็มฯ)45.0 kN-m

By

AyAx

37.0 kNyA =

20.0 kNxA =

3.0 kNyB =

0 A A AAMθ α= +

53AA EI

α =

75A EI

θ =

5 m2 m

2 m

5. เขียน shear และ moment diagram45.0 kN-m

3.0 kN

37.0 kN20.0 kN 5 m 2 m

2 m

6. รางรูปรางการโกงตัวของคาน

จงใชวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหโครงขอแข็งเพื่อเขียน shear และ moment diagram เมื่อ E = 200 GPa และ I = 250(106) mm4 ของชิ้นสวนมีคาคงที่

โครงสราง statically indeterminate 1 degree1. ใหแรงปฏิกิริยา Cx เปน redundant

EXAMPLE

Cx

Cx2. compatibility condition ทีจุ่ดรองรับ C

3. หาคาการเปลี่ยนตําแหนง ∆CH และ fCC

xCCCH Cf+∆′=→+

0 )(

หาคาการเปลี่ยนตําแหนง ∆CH

M m

dxEIMmL

CH ∫=∆0

)0.1(

M 6 kN

6 kN12 kN

x1

x2

21

1111 1

122

212 xxxxxM −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

22 6xM =

1

11

x1

x2

11 xm =

22 xm =

dxEIMmL

CH ∫=∆0

)0.1(

∫∫ +−=∆6

0

222

6

0

11

211 ))(6())(12( EI

dxxxEIdxxxxCH

→= 972EI

หาคาการเปลี่ยนตําแหนง fCC0

L

CCmmf dxEI

= ∫

4. แกสมการหาคาแรง Cx

1

11

x1

x2

11 xm =

22 xm =

∫∫ +=6

0

222

6

0

111 ))(())(( EI

dxxxEIdxxx

→= 144EI

→=∆ 972EICH

xCEIEI1449720 )( +=→

+

kN 75.6144

972−=−=

EIEI

Cx

→= kN 75.6xC

5. เขียน shear diagram และ moment diagram

6.75 kN

5.25 kN

0.75 kN

0.75 kN

จงใชวิธีเปลี่ยนรูปรางตอเนื่องวิเคราะหโครงขอแข็งเพื่อเขียน shear และ moment diagram เมื่อ E = 200 GPa และ I = 250(106) mm4 ของชิ้นสวนตางๆ มีคาคงที่ และจุดรองรับ C เกดิการเคลื่อนตัวในแนวดิ่งขึ้น 4 mm

โครงสราง statically indeterminate 1 degree1. ใหแรงปฏิกิริยา Cy เปน redundant

EXAMPLE

Cy

2. compatibility condition ทีจุ่ดรองรับ C

3. หาคาการเปลี่ยนตําแหนง ∆C และ fCC

( ) 0.004 m C y CCC f+ ↑ = −∆ +

Cy

Cy

หาคาการเปลี่ยนตําแหนง ∆C

354.0 kN-mC EI

∆ = ↓

354.0 kN-mEI

= −

0

L

CmM dxEI

∆ = ∫3

11

0

(3 )( 12)x dxEI

− −= ∫

39 kN-mCCf EI

= ↑

หาคาการเปลี่ยนตําแหนง fCC0

L

CCmmf dxEI

= ∫

54 9( ) 0.004 m yCEI EI+ ↑ = − +

28.2 kNyC = ↑

3 21

10

(3 )x dxEI−

= ∫ 9EI=

6 6 6 654 90.004 m

200(10 )250(10 ) 200(10 )250(10 ) yC− −= − +

4. แกสมการหาคาแรง Cy354.0 kN-m

C EI∆ = ↓

5. เขียน shear diagram และ moment diagram

28.2 kN

= 0 kN

= 28.2 kN

= 72.7 kN-m

Ay

Ax

MA

0 kNxA =

28.0 kNyA =

72.7 kN-mAM =

6. รางรูปรางการโกงตัวของคาน

28.2 kN

0 kN

28.2 kN

72.7 kN-m

-28.2 kN

72.7 kN-m

-12 kN-m