บทท 8

สหสมพนธและการวเคราะหการถดถอย

การหาความสมพนธระหวางขอมลเชงปรมาณ 2 ชด หรอมากกวานนถาใชเทคนคการทดสอบไคสแควรจะตองแปลงขอมลเชงปรมาณเปนขอมลเชงกลมเสยกอนแลวจงนบความถ ซงการท าเชนนจะสญเสยรายละเอยดของขอมลไป เทคนคการวเคราะหสหสมพนธเปนเทคนคการหาความสมพนธระหวางขอมลเชงปรมาณตงแต 2 ชดขนไป หรอตวแปรแบบตอเนองตงแต 2 ตวขนไป และสามารถบอกไดวาขอมลทมความสมพนธกนนนมความสมพนธกนในทศทางใด ในขณะเดยวกนหากขอมลตงแต 2 ชดมความสมพนธโดยทขอมลชดหนง (ตวแปรตาม) ขนอยกบขอมลชดอน ๆ (ตวแปรอสระ) เทคนคการวเคราะหการถดถอยจะชวยพยากรณคาของตวแปรตามเมอก าหนดคาของตวแปรอสระเหลานน

สหสมพนธ (Correlation)

สหสมพนธเปนการศกษาความสมพนธระหวางขอมลหรอตวแปรตงแต2 ตวขนไป วามความสมพนธกนในระดบใด และมความสมพนธในทศทางใด เชนความสงกบน าหนกของคนมความสมพนธกนมากหรอนอย และมความสมพนธในทศทางเดยวกนหรอตรงกนขาม

ถาให X เปนตวแปรแทน ความสง (cm) Y เปนตวแปรแทนน าหนก (kg) ลกษณะของขอมลทเกบรวมรวมมาจะตองเปนขอมลทมาจากหนวยตวอยางเดยวกน

เชนคนเดยวกน ดงน

คนท น าหนก (Y) ความสง (X) 1 2

n

y1

y2

yn

x1

x2

xn

232

จากตารางจะเหนวาคาของตวแปร Y และ X ไดมาจากคน ๆ เดยวกน ซงอาจจะมหนวยเดยวกนหรอหนวยตางกนกได

การหาความสมพนธระหวางขอมลหรอตวแปร 2 ตว เรยกวาสหสมพนธอยางงาย(simple correlation) การหาความสมพนธระหวางขอมลหรอตวแปรมากกวา 2 ตว เรยกวาสหสมพนธเชงพห (multiple correlation) ในเอกสารฉบบนจะกลาวถงสหสมพนธอยางงายเทานน

วธการตรวจสอบลกษณะความสมพนธ

การตรวจสอบลกษณะความสมพนธของตวแปรสามารถท าไดหลายวธ ดงน 1. แผนภาพการกระจาย (scatter diagram) 2. คาสมประสทธสหสมพนธ (correlation coefficient)

1. แผนภาพการกระจาย

แผนภาพการกระจายเปนวธการดลกษณะความสมพนธของขอมลอยางคราว ๆโดยดจากลกษณะการกระจาย หรอแนวโนมของจดเมอเทยบกบเสนตรง ดงน

ในรป (a) แนวโนมของจดชขนดานขวาตามแนวเสนตรง เมอ x มคามาก y มคามาก เมอ x มคานอย y มคานอย เรยกวามความสมพนธเชงเสนเชงบวก (positive and linear correlation) หรอความสมพนธแบบแปรตามกน

ในรป (b) แนวโนมของจดชลงดานขวาตามแนวเสนตรง เมอ x มคามาก y มคานอย เมอ x มคานอย y มคามาก เรยกวามความสมพนธเชงเสนเชงลบ (negative and linear correlation) หรอความสมพนธแบบแปรผกผน

233

ในรป (c) แนวโนมของจดชลงดานขวาตามแนวเสนโคง เรยกวามความสมพนธไมเชงเสนเชงลบ(negative and nonlinear correlation)

ในรป (d) แนวโนมของจดกระจายออกไมมแนวเสนตรง เ รยกวาไม มความสมพนธ (no correlation)

2. คาสมประสทธสหสมพนธ

ส าหรบตวสถตทใชวดคาสหสมพนธอยางงายวามความสมพนธมากหรอนอยเพยงใดคอสมประสทธสหสมพนธ (Correlation coefficient) ซงในกรณของสหสมพนธอยางงายตวสถตนเรยกวาสมประสทธสหสมพนธอยางงาย (Simple Correlation Coefficient) เขยนแทนดวยสญลกษณ หรอ xy ในกรณทเปนคาพารามเตอร และ r หรอ rxyในกรณทเปนคาสถตโดยท และ r จะไมมหนวยและมคาตงแต -1 ถง 1

2.1 ความหมายของคาสมประสทธสหสมพนธ คาสมประสทธสหสมพนธทค านวณไดมความหมายดงน

1. ถา หรอ r มคาเปนบวก แสดงวาตวแปร X และ Y มความสมพนธเชงบวก หมายความวาถาตวแปร X มคาเพมขนตวแปร Y จะมคาเพมขนหรอถาตวแปร X มคาลดลง ตวแปร Y จะมคาลดลง

2. ถา หรอ r มคาเปนลบ แสดงวาตวแปร X และ Y มความสมพนธเชงลบ หมายความวาถาตวแปร X มคาเพมขนตวแปร Y จะมคาลดลง หรอถาตวแปร X มคาลดลง ตวแปร Y จะมคาเพมขน

234

3. ถา หรอ r มคาเทากบ 1 แสดงวาตวแปร X และ Y มความสมพนธเชงบวกอยางสมบรณ (perfect positive correlation)

4. ถา หรอ r มคาเทากบ -1 แสดงวาตวแปร X และ Y มความสมพนธเชงลบอยางสมบรณ (perfect negative correlation)

5. ถา หรอ r มคาเขาใกล 1 แสดงวาตวแปร X และ Y มความสมพนธเชงบวกและมความสมพนธมาก

6. ถา หรอ r มคาเขาใกล -1 แสดงวาตวแปร X และ Y มความสมพนธเชงลบและมความสมพนธมาก

7. ถา หรอ r มคาเขาใกล 0 แสดงวาตวแปร X และ Y ม ความสมพนธกนนอย

8. ถา หรอ r มคาเทากบ 0 แสดงวาตวแปร X และ Y ไมมความสมพนธเชงเสน

ตวอยางเชนถาคาสมประสทธสหสมพนธระหวางความสงกบน าหนกเทากบ

0.85 หมายความวาความสงมความสมพนธเชงบวกอยางมากกบน าหนก ถาความสงมากน าหนกจะมากดวย และถาความสงนอยน าหนกจะนอยดวย เปนตน

ความหมายของ หรอ r สามารถแสดงดวยแผนภาพการกระจาย ดงน

235

2.2 วธการค านวณหาคาสมประสทธสหสมพนธ วธการค านวณคาสมประสทธสหสมพนธมหลายวธขนอยกบประเภทของขอมลหรอตวแปร เชนสมประสทธสหสมพนธฟ สมประสทธสหสมพนธสเปยรแมน สมประสทธสหสมพนธเพยรสน เปนตน

ในเอกสารฉบบนจะกลาวเฉพาะการค านวณหาคาสมประสทธสหสมพนธของเพยรสน ซงใชหาความสมพนธระหวางขอมลเชงปรมาณ หรอตวแปรแบบตอเนอง สมประสทธสหสมพนธเพยรสนเขยนแทนดวยสญลกษณ ซงคดคนโดย คารล เพยรสน (Karl Pearson) บางครงอาจเรยกวา Pearson Product moment correlation Coefficient ซงสามารถค านวณไดจากสตร ดงน

yx

yx

),cov( หรอ

yx

xy

2

1

2

1

1

)()(

)()(

yi

N

ixi

N

i

yixi

N

i

yx

yx

โดยท แทนสมประสทธสหสมพนธเพยรสน cov(x,y) หรอ xy แทนความแปรปรวนรวมของตวแปร X และ Y yx , แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานของตวแปรX และ Y

yx , แทนคาเฉลยของตวแปร X และ Y

ในการปฏบตเราเกบรวบรวมขอมลจากตวอยาง ดงนนจะประมาณ ดวย r โดยท

yxss

yxr

),cov(

2

1

2

1

1

)()(

))((

yyxx

yyxx

i

n

ii

n

i

ii

n

i

2

1

2

1

2

1

2

1

111

)()()()( i

n

ii

n

i

n

i

ii

n

i

i

n

ii

n

iii

n

i

yynxxn

yxyxn

236

โดยท r แทนสมประสทธสหสมพนธเพยรสน cov(x,y) แทนความแปรปรวนรวมของตวแปร X และ Y yx ss , แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานของตวแปร X และ Y yx , แทนคาเฉลยของตวแปร X และ Y n แทนจ านวนตวอยาง

2.3 ขอตกลงเบองตน ของสมประสทธสหสมพนธของเพยรสน เปนดงน 1. ตวแปร 2 ตว เปนตวแปรแบบตอเนอง หรอเปนขอมลเชงปรมาณ 2. ความสมพนธระหวาง 2 ตวแปรเปนเสนตรง (Linear Relationship)

ตวอยาง 8.1 จากคะแนนสอบของนกศกษาเอกคณตศาสตรทสอบวชาแคลคลส 1 และแคลคลส2 จ านวน 12 คน เปนดงตารางดานลางอยากทราบวาคะแนนสอบทง 2 วชามความสมพนธกนเพยงใด

คนท. คะแนนสอบวชาแคลคลส 1 (Y)

คะแนนสอบวชาแคลคลส 2 (X)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

51 68 72 97 55 73 95 74 20 91 74 80

74 70 88 93 67 73 99 73 33 91 80 86

y = 850 x = 927

237

วธท า จากขอมล จะได 2y 2x xy

2601 4624 5184 9409 3025 5329 9025 5476 400

8281 5476 6400

5476 4900 7744 8649 7789 5329 9801 5329 1089 8281 6400 7396

3774 4760 6336 9021 3685 5329 9045 5402 660

8281 5920 6880

65230y2 74883x2 69453xy

2i

n

1i

2i

n

1i

2n

1i

i2

i

n

1i

i

n

1ii

n

1iii

n

1i

yynxxn

yxyxn

r

)()()()(

))()(())()((

))(()(

22 85065230129277488312

8509276945312

))(( 6026039267

787950833436

2366229420

45486

9350.

935.0r หมายความวาคะแนนสอบวชาแคลคลส 1 และแคลคลส 2 ของนกศกษา 12 คนมความสมพนธอยางมากในเชงบวก นนคอถาคะแนนสอบวชาแคลคลส 1 เพมขนคะแนนสอบวชาแคลคลส 2 จะเพมขน หรอถาคะแนนสอบวชาแคลคลส 1 ลดลงคะแนนสอบวชาแคลคลส 2 จะลดลงดวย

238

การประมาณคาสมประสทธสหสมพนธเพยรสน ( xy )

1. การประมาณคาแบบจดของสมประสทธสหสมพนธ

ตวประมาณแบบจดของ xy คอ

2i

n

1i

2i

n

1i

2n

1i

i2

i

n

1i

i

n

1ii

n

1iii

n

1i

yynxxn

yxyxn

r

)()()()(

2. การประมาณคาแบบชวงของสมประสทธสหสมพนธ

เนองจากคาสมประสทธสหสมพนธมคาไมเทากบ 0 ดงนนการแจกแจงของสมประสทธสหสมพนธจงไมเปนสมมาตร เพอใหการแจกแจงของสมประสทธสหสมพนธเปนสมมาตร จงตองเปลยนคา xyr เปน rZ ตามวธการของ Fisher ดงน

r1

r1n1

2

1Zr

จะได rZ มการแจกแจงแบบปกตดวยคาเฉลย

1

1ln

2

1Zr

ความ

แปรปรวน 3

12

nZr

นนคอ ),ln(~3n

1

1

1

2

1NZr

ดงนนจะได 3nZ

ZZ

Zrr

Zr

Zrr

)(

จะได %)( 1001 ของ rZ คอ 3nzZr

2

3nzZrZ

2

L

และ 3nzZrZ

2

u

239

ในการประมาณคาแบบชวงของ ตองเปลยนขอบเขตบนและขอบเขตลางของการประมาณคาแบบชวงเปนขอบเขตบนของ ( U ) และขอบเขตลางของ ( L ) เสยกอนโดยท

1e

1e

Zu2

Zu2

U

และ

1e

1e

L

L

Z2

Z2

L

ดงนนชวงความเชอมน %)( 1001 ของ คอ UL

ตวอยาง 8.2 จากตวอยาง 8.1 คะแนนสอบวชาแคลคลส 1 และแคลคลส 2 ของนกศกษาเอกคณตศาสตรมความสมพนธกนในระดบใด ทความเชอมน 95 %

จาก rZ =

r1

r1

2

1ln

=

93501

93501

2

1

.

.ln

= 77292

1.ln

= ).( 3932

1

= 671. จะได %)( 1001 ของ rZ คอ

3nzZr

2

= 312

961671

.).(

ดงนน 021Z322Zu L .. และ

จาก 1e

1e

Zu2

Zu2

U

และ

1e

1e

L

L

Z2

Z2

L

980

54104

54102

1e

1e

3222

3222

U

.

.

.

).(

).(

770

698

696

1e

1e

0212

0212

L

.

.

.

).(

).(

หมายความวาทระดบความเชอมน 95 % สมประสทธสหสมพนธของคะแนนสอบวชาแคลคลส 1 และแคลคลส 2 มคาในชวง 0.77 ถง 0.98

240

การทดสอบสมมตฐานเกยวกบสมประสทธสหสมพนธ ( )

เปนการทดสอบวาตวแปร X และตวแปร Y มความสมพนธกนหรอไม

สมมตฐานเชงสถต 0H0 : หรอ :0H X และ Y ไมมความสมพนธเชงเสนตรง 0H1 : หรอ :1H X และ Y มความสมพนธเชงเสนตรง

เนองจาก 0 จะไดวา r มการแจกแจงแบบปกต และมสวนเบยงเบนมาตรฐาน

คอ )/()( 2nr1 2

ตวสถตทดสอบ

2nr1

0rT

2

)(

คาวกฤต 2n

22n

2

tt

,,

,

ในบางกรณความตองการทดสอบสมมตฐานวา ส.ป.ส สหสมพนธมคาเทากบคาใดคาหนงหรอไม (หมายความวา 00 ) จะตองเปลยนคา r ใหเปน Zr rเสยกอนโดยท

r1

r1

2

1Zr ln และ

3n

1

1

1

2

1NZr ,ln~

ดงนน ตวสถตทดสอบ )( 3n

1

ZZrZ 0

โดยท

0

00

1

1

2

1Z

ln

คาวกฤต 22

zz ,

ตวอยาง 8.3 จากตวอยาง 8.1 ตองการทดสอบวาคะแนนสอบวชาแคลคลส 1 และแคลคลส 2 มความสมพนธในรปเชงเสนตรงหรอไม ทระดบนยส าคญ 0.05

H0: คะแนนวชาแคลคลส 1 และแคลคลส 2 ไมมความสมพนธเชงเสนตรง H1: คะแนนวชาแคลคลส 1 และแคลคลส 2 มความสมพนธเชงเสนตรง

241

หรอ 0H0 : 0H1 :

ตวสถตทดสอบ 2nr1

0rT

2

/)(

= 21293501

9350

2 /).(

.

= 101260

9350

/.

.

= 8.33

คาวกฤต 2282tt 1002502n

2

.,.,

2282tt 1002502n

2

.,.,

เนองจาก T = 8.33 มากกวา t 0.025,10 = 2.228 มคาอยในบรเวณปฏเสธ H0หมายความวา คะแนนวชาแคลคลส 1 และแคลคลส 2 มความสมพนธเชงเสนตรง อยางมนยส าคญทระดบ 0.05

การวเคราะหการถดถอย (Regression Analysis)

เปนการศกษาถงความสมพนธของตวแปรตงแต 2 ตวขนไป โดยมวตถประสงคทจะประมาณหรอพยากรณคาของตวแปรหนง จากตวแปรอน ๆ ทมความสมพนธกบตวแปรทตองการพยากรณ โดยจะตองมการก าหนดหรอทราบคาของตวแปรอน ๆ ลวงหนา ในทนเรยกวาตวแปรอสระ (Independence Variable) จงจะท าใหทราบคาของตวแปรอกตวหนง ซงในทนเรยกวาตวแปรตาม (Dependence Variable) เชน เมอทราบวาราคาทดนกบขนาดของทดนมความสมพนธกนแลว และคดวาราคาทดนขนอยกบขนาดของทดนหรอขนาดของทดนมผลตอราคาทดน นนคอขนาดทดนเปนตวแปรอสระ และราคาทดนเปนตวแปรตาม หมายความวาเมอก าหนดขนาดของทดนจะท าใหประมาณหรอพยากรณราคาทดนนนได และสามารถศกษาการเปลยนแปลงของราคาทดนเมอขนาดของทดนเปลยนแปลงไป โดยอาศยหลกการของการวเคราะหการถดถอย ดงนนวตถประสงคของ การวเคราะหการถดถอย คอพยากรณคาตวแปรตามในอนาคต เมอก าหนดคาตวแปรอสระ

หมายเหต โดยทวไปมกใหตวแปรอสระแทนดวย X และตวแปรตามแทนดวย Y

242

การทจะน าตวแปร X มาพยากรณ Y ไดนน ตวแปร X และ Y จะตองมความสมพนธกน (จากแผนภาพการกระจาย) ถาตวแปรX และ Y มความสมพนธเชงเสนตรงและ คาของ Y ขนอยกบคาของ X จะเรยกการถดถอยนนวาการวเคราะหการถดถอยเชงเสน (Linear Regression Analysis)

ถาตวแปร X และ Y มความสมพนธเชงเสนตรง และตวแปร Y ถกพยากรณดวยตวแปร X เพยง 1 ตวจะเรยกวา การถดถอยเชงเสนอยางงาย (Simple Linear Regression)

ถาตวแปร X และ Y มความสมพนธเชงเสนตรง และตวแปร Y ถกพยากรณดวยตวแปร X มากกวา 1 ตวจะเรยกวาการถดถอยเชงเสนพหคณ (Multiple Linear Regression)

ซงในเอกสารฉบบนจะศกษาเฉพาะ Simple Linear Regression เทานน

การวเคราะหการถดถอยเชงเสนอยางงาย (Simple Linear Regression Analysis)

หลกการของการวเคราะหการถดถอยคอใชขอมลเมอก าหนดคาตวแปรอสระ (X) แลวท าใหเกดคาตวแปรตาม (Y) ในอดตน ามาสรางสมการเชงเสนทเหมาะสมทสด เพอพยากรณคา Y ในอนาคต

แตในบางครงคาของ x และ y ทเกดขนนนอาจสรางสมการเชงเสนตรงไดหลายเสน คอนดบ (x,y) อาจไมอยในแนวเสนตรงเดยวกนทงหมด ดงรป

243

ตวอยาง 8.4 รายจายมกขนอยกบรายไดเสมอ หากตองการพยากรณคาของรายจายในอนาคตเมอก าหนดรายไดจงท าการบนทกขอมลรายได และรายจายของครอบครว โดยท X เปนตวแปรอสระแทนเงนเดอน (พนบาท)

Y เปนตวแปรตามแทนรายจาย (พนบาท) ไดขอมลดงน

เมอน าขอมลนมาเขยน scatter diagram จะไดดงรป

จะเหนวาจากขอมลขางตนอาจสามารถสรางสมการเชงเสนตรงได 2 เสนคอ L1 และ L2 ถาก าหนดใหสมการทวไปของ L1 และ L2 คอ

L1 : Y = A1 + B1 x L2 : Y = A2 + B2 x

ครอบครวท รายได X (พนบาท) รายจาย Y (พนบาท) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

8 8 9 9

10 10 12 12 14 15

7 8 8

10 8 9 9

11 12 14

L1 L2

244

การพจารณาดวยสายตาวาควรใช L1 หรอ L2 ในการพยากรณคา Y นนท าใหตดสนใจล าบาก จงมแนวคดทางคณตศาสตรมาชวยในการตดสนใจเลอกสมการเชงเสนตรงทเหมาะสมทสด วธนนคอวธก าลงสองนอยทสด (Least Square Method)

1. วธก าลงสองนอยทสด (Least Square Method)

หลกการของวธก าลงสองนอยทสด คอเลอกสมการถดถอยเชงเสนทใหคาความคลาดเคลอนระหวางคาสงเกตของ y (คาจรง) กบคาประมาณของ y หรอคาจากสมการ )ˆ( y นอยทสด พจารณาขอมลตอไปน

ล าดบท x y 1 1 10 2 2 30 3 3 50

สามารถสรางสมการเชงเสนได 3 สมการ x1010yL 11 ˆ: x15yL 22 ˆ: x2010yL 33 ˆ:

ค านวณหาความคลาดเคลอนระหวาง y กบ y

ความคลาดเคลอน x y 1y 2y 3y 1yy ˆ 2yy ˆ 3yy ˆ 1 10 20 15 10 -10 5 0 2 30 30 30 30 0 0 0 3 50 40 45 50 10 5 0

ผลรวมความคลาดเคลอน 0 0 0 เมอน ามาค านวณก าลง 2 ของความคลาดเคลอนจะได ดงน 2

1yy )ˆ( 22yy )ˆ( 2

3yy )ˆ( 100 25 0 0 0 0 100 25 0 ผลรวม 200 50 0

245

จะเหนวาสมการเชงเสน L3 ยงใหคาผลรวมก าลงสองต าสด และเมอพจารณาจากกราฟ

จะเหนวา L3 เปนเสนกราฟดทสด โดยปกตเรานยามวาเสนตรงทดควรมคาความ

คลาดเคลอนระหวางเสนตรงกบจดขอมลนอยทสด และเรยกเสนตรงนนวา สมการถดถอยเชงเสนอยางงาย วธการก าลงสองนอยทสดจะเลอกสมการทใหความคลาดเคลอนระหวาง y กบ y นอยทสดเชนกน

สรปสมการถดถอยเชงเสนอยางงายทจะเปนตวแทนแสดงความสมพนธเชงเสนระหวางตวแปรอสระ (X) และตวแปรตาม (Y) จงหมายถงสมการเสนตรงทท าใหผลรวมก าลงสองของความคลาดเคลอน ))ˆ(( 2yy มคาต าสด โดยอาศยวธการก าลงสองนอยทสด

2. ประโยชนของสมการถดถอยเชงเสน

สมการถดถอยเชงเสนสามารถใชประโยชนในการแสดงความสมพนธของตวแปร X กบ Y ใน 2 ประการ ดงน

1. ใชในการประมาณคา (estimation) เชนในการศกษาคาสมพนธระหวางปรมาณหมกทใชกบความเรวทพมพ

ถาให Y แทนปรมาณหมกทใช X แทนความเรวในการพมพ เราอาจท าการทดลองหาปรมาณหมกทใชในแตละระดบของความเรวในการ

พมพแลวน ามาใชในการหาสมการประมาณคาปรมาณหมกทใชในระดบความเรวตาง ๆ 2. ใชในการพยากรณ (forecasting) เชน ถา X คอป พ.ศ. Y คอปรมาณการสงออก

ของผลไมไทย การบนทกปรมาณการสงออกของผลไมไทยในปตาง ๆ ทผานมา ท าใหเราสามารถใชสมการถดถอยพยากรณปรมาณการสงออกของผลไมไทยใน 5 หรอ 10 ปขางหนาได

L1

L2

L3

246

3. ตวแบบ (Model) ขอสมมต (Assumptions) และวธการหาสมการถดถอยเชงเสนอยางงาย

3.1 ตวแบบ โดยทวไปสมการถดถอยเชงเสนอยางงายจะมตวแบบดงน

XY 10

โดยท 0 เปนจดตดแกน Y หรอคาของ y เมอ x=0 1 คออตราการเปลยนแปลงของ Y เมอ X เปลยนไป 1 หนวย หรอเรยกวา สมประสทธถดถอย (regression coefficient) คอ คาคลาดเคลอนเชงสม (error)

3.2 ขอสมมตของสมการถดถอยเชงเสน จากหลกการของการถดถอยเชงเสน คอก าหนดคาของตวแปรอสระ X ท าให

เกดตวแปรตาม Y จะเหนวาตวแปร X เปนตวแปรทใชควบคม (Fixed Variable) ถกก าหนดคา หรอถกสงเกต หรอมผลตอตวแปร Y ดงนน Y จงเปนตวแปรสม เชน

ปรมาณปยมผลตอปรมาณผลผลตขาว X Y (ควบคม) (ตวแปรตาม)

คะแนนสอบเขามผลตอเกรดเฉลยชนปท 1 X Y (สงเกต) (ตวแปรตาม)

จะเหนวาตวแปรอสระ 1 คา สามารถมคา Y ทเปนไปไดมากมายหลายคา ดงรป

247

ซงการใชสมการถดถอยท าการประมาณ คา Y นน จงท าใหเกดความคลาดเคลอนขน ( i ) ซงความคลาดเคลอนนประกอบดวยความคลาดเคลอน 2 สวนใหญ ๆ คอ

สวนท 1 ความคลาดเคลอนสมซงเกดจากการทมปจจยอน ๆ ทมผลตอตวแปรตามแตไมไดน ามารวมกน และความผดพลาดในการวดคา (พจารณาเฉพาะความคลาดเคลอนในตวแปรตาม)

สวนท 2 ความคลาดเคลอนเนองจากใชตวแบบไมเหมาะสม (Lack of fit) เชนความสมพนธระหวาง x กบ y จรง ๆ เปนเสนโคง แตตวแบบทใชในการวเคราะหเปนเสนตรง เปนตน (ความคลาดเคลอนประเภทนจะไมกลาวถงรายละเอยด ดงนนส าหรบการวเคราะหการถดถอยตอไปนจะสมมตวาตวแบบทใชเหมาะสม)

ดวยเหตผลนในการหาสมการถดถอยเชงเสนโดยวธก าลงสองนอยทสดจงมขอสมมตเกยวกบความคลาดเคลอน ( i ) ดงตอไปน

1. i ของตวแปรอสระแตละคาไมสมพนธกน 2. i ของตวแปรแตละคาเปนตวแปรสมและ i ~N(0,2) เนองจาก Y~N(0,2)

ภายใตเงอนไขขอน จะตองน าไปใชในการทดสอบสมมตฐานและการหาชวงเชอมนตอไป ขอสมมตในขอ 2 เปนสวนส าคญมาก นนคอถา ),0(N~ 2

i ไมเปนจรงวธการทใชในการประมาณคา 10 , จะไมเปนไปตามทควรเปน ดงน นควรตรวจสอบเสมอวา

),(~ 2i 0N หรอไม

3.3 การสรางสมการถดถอยเชงเสนอยางงาย จากตวแบบสมการถดถอยเชงเสน XY 10 เปาหมายคอตองการ

หาคา 10 , ทท าใหผลรวมของความคลาดเคลอนเปนศนย ( 0i ) และผลรวมก าลงสอง

ของความคลาดเคลอน ( 2i ) นอยทสด แตในความเปนจรงเราไมสามารถหาคาพารามเตอร

10 , จงตองอาศยคาจากตวอยางเพอหาคาประมาณของ 10 , ในตวแบบสมการถดถอยเชงเสนจากตวอยาง ดงน

i10 ebby ˆ

เมอ y แทนคาประมาณของ y b0 แทนคาประมาณของ 0

b1 แทนคาประมาณของ 1 ei แทนคาประมาณของ i หรอเรยกวาสวนเหลอ (residual)

248

3.4 การประมาณคาพารามเตอร 10 , การหาคา b0 และ b1 มดวยกนหลายวธ แตคาประมาณทไดจากวธก าลงสอง

นอยทสดจะท าใหผลรวมของก าลงสองของผลตางระหวาง y กบ y มคานอยทสด จากวธก าลงสองนอยทสดจะได

1b2

i2

i

iiii

xxn

xyyxn

)(

และ 0b = xby 1

ตวอยาง 8.5 จากตวอยาง 8.4 ขอมลรายจายกบรายได จงหาสมการถดถอยเชงเสนอยางงาย ตวแบบสมการถดถอยเชงเสนอยางงาย i10 ebby ˆ

1b = 2

i2

i

iiii

xxn

xyyxn

)(

= 2107119910

10796107010

)()(

))(()(

= 0.791 0b = xby 1 = (9.6)-(0.791)(10.7) = 1.1363

ดงนนสมการถดถอยเชงเสน คอ y = 1.1363 + 0.791X หมายความวาถารายไดเพมขน 1 พนบาท รายจายจะเพมขน 0.791 พนบาท หรอถารายไดลดลง 1 พนบาท รายจายจะลดลง 0.791 พนบาท

การประมาณคาและการทดสอบสมมตฐาน

1. การประมาณคา 0

ชวงความเชอมน 100(1- )% ของ 0 คอ

2

i

2i

2n2

0xxn

xstb

)(,

249

2. การทดสอบสมมตฐานของ 0 (ตองการทราบวาเสนถดถอยนผานจดก าเนดหรอไม)

สมมตฐานเชงสถต H0 : 0 = 00 (คาคงท) H1 : 000 H1 : 0>00 H1 : 0<00

ตวสถตทดสอบ

2i

2i

000

xxn

xs

bt

)(

คาวกฤต 2n

2

t

,

หรอ 2nt , หรอ 2nt ,

3. การประมาณคา 1

ชวงความเชอมน 100(1- )% ของ 1 คอ

2i

2n2

1 xxstb )(/,

4. การทดสอบสมมตฐานของ 1 (ตองการทดสอบวาตวแปร X มผลตอตวแปร Y หรอไม)

สมมตฐาน H0 : 1 = 10 (คาคงท) H1 : 1 > 10 (มความสมพนธในทางบวก) H1 : 1 < 10 (มความสมพนธในทางลบ) H1 : 1 10 (มความสมพนธกน)

ตวสถตทดสอบ

2i

101

xxs

bt

)(/

คาวกฤต 2nt , หรอ 2nt , หรอ 2n

2

t

,

250

ตวอยาง 8.6 จากตารางแสดงจ านวนชวโมงเฉลยในการท าการบานตอสปดาหของนกศกษา 6 คน กบเกรดเฉลยทนกศกษาไดในภาคเรยนนน เปนดงน

จ านวนชม.เฉลยในการท าการบาน (X)

15 28 13 20 4 10

เกรดเฉลย (Y) 2 2.7 1.3 1.9 0.9 1.7

จาก 623yxn

1xysxy .))((

344xn

1xs 22

xx )(

9151yn

1ys 22

yy .)(

หรอ

9194530

yynxxn

yxxynr

ss

sr

2222

yyxx

xyxy

.

)()(

r = 0.919 หมายความวาจ านวนชวโมงเฉลยในการท าการบานและเกรดเฉลยม

ความสมพนธเชงเสนเชงบวกกนคอนขางมาก นนคอถาจ านวนชวโมงเฉลยในการท าการบานเพมขนเกรดเฉลยจะเพมขนดวย และถาจ านวนชวโมงเฉลยในการท าการบานลดลงเกรดเฉลยจะลดลงดวย

ประมาณคา โดย แปลง r เปน 591r1

r1

2

1Zr .

)(

)(ln

ทระดบความเชอมน 95% ชวงความเชอมนของ rz คอ

131591

36

961591

3n

z

Zr 2

..

).(.

จะไดชวงเชอมน 95% rz คอ 722460

rz ..

251

ทระดบความเชอมน 95% ชวงความเชอมนของ คอ UL โดยท

990

44231

44229

1e

1e

u

u

U z2

z2

.

.

.

และ

430

513

511

1e

1e

L

L

L z2

z2

.

.

.

99.043.0 หมายความวาทระดบความเชอมน 95% สมประสทธสหสมพนธของจ านวนชวโมงเฉลยในการท าการบานกบเกรดเฉลยมคาประมาณ 0.43 ถง 0.99

หาคา b0 และ b1

จาก 068600

xxn

yxyxnb

2i

2i

iiii1

.

)(

720930

xbyb 10

.

สมการถดถอยเชงเสนคอ x06860720930y ..ˆ หมายความวาถาไมมชวโมงในการท าการบานเลยจะไดเกรดเฉลย 0.72093 และถาเพมชวโมงในการท าการบาน 1 ชวโมง เกรดเฉลยจะเพมขน 0.0686

ทดสอบสมมตฐาน 0H

0H

11

10

:

: เมอ 050.

ตวสถตทดสอบ

2i

11

xxs

bt

)(/

โดยท 27202n

SSEs .

3442720

006860

/.

.

= 4.678

คาวกฤต t0.025,24 = 2.776

เนองจาก t = 4.678 อยในบรเวณปฏเสธ H0 แสดงวา 1 0 นนคอ x และ y มความสมพนธเชงเสน ทระดบนยส าคญ 0.05

252

ประมาณคา 1 ทระดบความเชอมน 95% ชวงความเชอมนของ 1คอ

xx2n2

1s

stb

,

= ).(. 01466507762b1

= 0.06860 0.0471

ดงนนทระดบความเชอมน 95% ชวงความเชอมนของ 1คอ 0.0215 ≤1≤ 0.1157

การใชโปรแกรมส าเรจรป SPSS

1. การตรวจสอบความสมพนธดวยแผนภาพการกระจาย

ตวอยาง 8.7 จงตรวจสอบความสมพนธของตวแปร X และ Y ในแฟมขอมล example16.sav

ขนท 1 เปดแฟมขอมล example16.sav เลอกค าสง Graphs / Scatter…

ขนท 2 เลอกค าสง Scatter จะไดเมนยอยเปนดงน

253

ขนท 3 เลอกรปแบบกราฟเปน Simple เสรจแลวคลกปม Define จะไดเมนยอยเปน

ขนท 4 เลอกตวแปร x ไวท X Axis และตวแปร y ไวท Y Axis

254

ขนท 5. คลก OK จะไดกราฟของแผนภาพการกระจายท SPSS Viewer ดงน

2. การหาคาสมประสทธสหสมพนธ

ตวอยาง 8.8 จงหาคาสมประสทธสหสมพนธของตวแปร X และ Y ในแฟมขอมล example16.sav ขนท 1 เปดแฟมขอมล example16.sav เลอกค าสง Analyze / Correlate / Bivariate…

255

ขนท 2 เลอกค าสง Bivariate จะไดเมนยอยดงน

ขนท 3 เลอกตวแปร X ละ Y ไวทชอง Variables: และเลอก Pearson ในสวน Correlation Coefficient

256

ขนท 4 เลอก OK ไดผลลพธดงน

ตวแปร X และ Y มความสมพนธกนคอนขางมากอยางมนยส าคญทางสถตทระดบ

0.01 (p_value = 0.000, r = 0.991)

3. การสรางสมการถดถอย

ตวอยาง 8.8 จงสรางสมการถดถอยเชงเสนอยางงายของตวแปร Y ในแฟมขอมล example16.sav ขนท 1 เปดแฟมขอมล example16.sav เลอกค าสง เลอกค าสง Analyze / Regression / Linear

C or re la tions

1 .991**

. .000

9 9

.991** 1

.000 .

9 9

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

X

Y

X Y

Correlation is significant at the 0.01 level

(2-tailed).

**.

257

ขนท 2. คลกท Linear จะไดเมนของค าสงดงน

ขนท 3.เลอกตวแปร x เปนตวแปรอสระน าไปไวทชอง Independent(s) เลอกตวแปร y เปนตวแปรตามน าไปไวทชอง Dependent

หมายเหต หากตองการเฉพาะคา b0, b1 และ r ใหคลก OK จะไดผลการวเคราะหทนท แตถาตองการใหมการเขยนกราฟใหคลก Plots หรอ ตองการหาชวงความเชอมนของคาพารามเตอร β0 และ β1

ใหคลกทปม Statistics จะไดเมนยอย ดงน

258

ขนท 4. เลอก Confidence Intervals เพอหาชวงความเชอมนของคาพารามเตอร β0 และ β1

ขนท 5. คลก Continue เพอกลบไปทเมน Linear Regression

259

ขนท 7. คลก OK จะไดผลการค านวณเปนดงน

Var iabl es En te red/ R em ov edb

Xa . EnterModel1

Variables

Entered

Variables

Removed Method

All requested variables entered.a.

Dependent Variable: Yb.

M ode l Sum m ary

.991a .982 .980 .53877Model1

R R Square

Adjusted

R Square

Std. Error of

the Estimate

Predictors: (Constant), Xa.

260

การใชโปรแกรมส าเรจรป MS EXCEL

ใชขอมลจากตวอยางท 8.1 ดงนนการใสขอมลใน Microsoft Excel เปนดงน

AN OVAb

112.484 1 112.484 387.516 .000a

2.032 7 .290

114.516 8

Regress ion

Residual

Total

Model1

Sum of

Squares df Mean Square F Sig.

Predic tors : (Constant), Xa.

Dependent Variable: Yb.

C oef f i c i en t sa

.257 .532 .483 .644 -1.002 1.516

2.930 .149 .991 19.685 .000 2.578 3.282

(Constant)

X

Model1

B Std. Error

Unstandardized

Coefficients

Beta

Standardized

Coefficients

t Sig. Lower Bound Upper Bound

95% Confidence Interval for B

Dependent Variable: Ya.

261

1. การตรวจสอบความสมพนธดวยแผนภาพการกระจาย ขนท 1 เลอก cell ขอมล เลอกเมน Insert เลอก Chart เลอก Scatter ดงรป

ขนท 2 จะไดผลลพธ ดงรป

262

2. การหาคาสมประสทธสหสมพนธ

ขนท 1 เมน Tools เลอก Data Analysis เลอก Correlation ดงรป

ขนท 2 ในสวน Input Range ใหใส cell ทเปนขอมลทงหมด ในสวน Group By เปนการเลอกการแบงกลมของขอมล

ขนตอนท 3 จะไดผลลพธ ดงรป

935.0r หมายความวาคะแนนสอบวชาเศรษฐศาสตร และวชามานษยวทยา ของนกศกษา 12 คนมความสมพนธอยางมากในเชงบวก

263

3. การสรางสมการถดถอย ขนตอนท 1 ใสขอมลดบ เลอกเมน Tools เลอก Data Analysis เลอก regression ดงรป

264

ขนตอนท 2 ในสวน Input Y Range ใหใส cell ทเปนขอมลตวแปรตาม ในสวน Input X Range ใหใส cell ทเปนขอมลตวแปรอสระ

ดงนนสมการถดถอยเชงเสน คอ y = 1.1363 + 0.791X หมายความวาถารายไดเพมขน 1 พนบาทรายจายจะเพมขน 0.791 พนบาท หรอถารายไดลดลง 1 พนบาท รายจายจะลดลง 0.791 พนบาท

265

สรปทายบท

สหสมพนธและการวเคราะหการถดถอยเปนเทคนคการวเคราะหขอมลในทางสถตเพอหาความสมพนธของขอมล หรอตวแปรตงแต 2 ตว ถาขอมลทง 2 ชดเปนขอมลเชงปรมาณ หรอตวแปร 2 ตวแปรเปนตวแปรแบบตอเนองการหาความสมพนธจะเรยกวาสหสมพนธอยางงาย และวดระดบควาสมพนธโดยใชสมประสทธสหสมพนธเพยรสน และถาขอมล หรอตวแปรตวหนงเปนตวแปรทมคาตามทก าหนดหรอมผลตอตวแปรอกตวหนงจะเรยกตวแปรนวาตวแปรอสระ สวนตวแปรทมคาเปลยนไปตามคาของตวแปรอสระเรยกวาตวแปรตาม เมอตวแปรอสระและตวแปรตามมความสมพนธกน และตองการพยากรณคาของตวแปรตามเมอก าหนดคาตวแปรอสระโดยอาศยหลกการของการวเคราะหการถดถอย ดงนนวตถประสงคของ การวเคราะหการถดถอย คอพยากรณคาตวแปรตามในอนาคต เมอก าหนดคาตวแปรอสระ

แบบฝกหดทายบท

1. นายแพทยผหนงตองการศกษาเกยวกบความสมพนธระหวางน าหนก(Y) และความดนโลหต(X) ของชายอาย 25-30 ป จงท าการสมตวอยางชายอาย 25-30 ปจ านวน 26 คน แลววดน าหนกกบความดนโลหต ไดผลดงน

คนท น าหนก ความดนโลหต 1 165 130 2 167 133 3 180 150 4 155 128 5 212 151 6 175 146 7 190 150 8 210 140 9 200 148 10 149 125 11 158 133 12 169 135 13 170 150 14 172 153 15 159 128

266

คนท น าหนก ความดนโลหต 16 168 132 17 174 149 18 183 158 19 215 150 20 195 163 21 180 156 22 143 124 23 240 170 24 256 165 25 192 160 26 187 159

นายแพทยผนตองการทราบวา ก. น าหนกกบความดนโลหตของชายอาย 25-30 ป จะมความสมพนธกบในระดบใด ทชวงความชอมน 95% ข. น าหนกกบความดนโลหตจะมความสมพนธกนในระดบสง ดวยสมประสทธสหสมพนธเทากบ 0.9 หรอไม ทระดบนยส าคญ 0.05 2. ขอมลตอไปน เปนปรมาณน า (นว) และผลผลตขาว (ตน/10 ดอร) ทส ารวจไวในไรทดลอง ปรมาณน า (X) 12 18 24 30 36 42 48 ผลผลตขาว (Y) 5.27 5.68 6.25 7.21 8.02 8.71 8.42 จงหา ก. สมการถดถอยโดยวธก าลงสองนอยทสด ข. หาคา 90% ชองความเชอมนและทดสอบสมมตฐานของ b0 , b1 ค. ดวยความเชอมน 90% จงคาดคะเนคา y ณ จดท x = 40 ง. หา 90% ชองความเชอมนของ E(y|x) ณ จดท x = 40