สารบัญ - rmutphysics · 2017-12-27 · บทที่ 9 การกลิ้ง...

ผชวยศาสตราจารยสชาต สภาพ คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยเทคโนโลยราชมงคลธญบร

สารบญ หนา

บทท 1 การเคลอนทใน 1 มต 6

1.1 ต ำแหนง ระยะทำง กำรกระจด ควำมเรวและอตรำเรว 7 1.2 อตรำเรวเฉลยและควำมเรวเฉลย 8 1.3 อตรำเรวขณะใดขณะหนง และควำมเรวขณะใดขณะหนง 10 1.4 อตรำเรงขณะใดขณะหนง และควำมเรงขณะใดขณะหนง 11 1.5 กำรเคลอนทใน 1 มต ดวยควำมเรงคงตว 14 1.6 กำรตกอยำงเสร 20 1.7 เวกเตอร 26 1.8 ปรมำณเวกเตอรและปรมำณสเกลำร 27 บทท 2 การเคลอนทในสองมต 29 2.1 กำรเคลอนทวถโคง 29 2.2 กำรเคลอนทเปนวงกลม ดวยอตรำเรวคงตว 39 2.3 ควำมเรวสมพทธ 45 บทท 3 กฎการเคลอนท 53 3.1 กฎของนวตน 51 3.2 แนวควำมคดเกยวกบแรง 54 3.3 มวล แรงโนมถวง และน ำหนก 55 3.4 กฎกำรเคลอนทขอทสอง ของนวตน 59 3.5 กฎขอทสำมของนวตน 61 3.6 แรงเสยดทำน 74 บทท 4 การเคลอนทแบบวงกลม และอนๆ 85 4.1 กฎขอสอง กบกำรประยกตใช 86 4.2 กำรรเคลอนทเปนวงกลม ทมอตรำเรวไมสม ำเสมอ 95 4.3 กำรเคลอนทในกรอบอำงองทมควำมเรง 101 4.4 กำรเคลอนทภำยใตแรงตำนทำน 105 บทท 5 งาน - พลงงาน 111

ฟสกส เวย..เฮย !!! เลม 1 - 2


5.1 งำน 112 5.2 งำนทท ำโดยสปรง 122 5.3 พลงงำนจลน และทฤษฎงำน-พลงงำน 123 5.4 ก ำลงงำน 128 บทท 6 พลงงานศกย และกฎการอนรกษพลงงาน 134 6.1 พลงงำน 134 6.2 กฎกำรอนรกษพลงงำน 140 6.3 ควำมสมพนธระหวำงมวลกบพลงงำน 143 บทท 7 โมเมนตมและการชน 145 7.1 กฎกำรอนรกษโมเมนตม 147 7.2 กำรดล และโมเมนตม 149 7.3 กำรชนแบบยดหยนและไมยดหยนใน1 มต 154 บทท 8 การหมนของวตถแขงเกรงรอบแกนทหยดนง 173 8.1 กำรกระจดเชงมม ควำมเรวเชงมมและควำมเรงเชงมม 174 8.2 พลศำสตรของกำรหมน: กำรหมนดวยควำมเรงเชงมมคงตว 177 8.3 ควำมสมพนธระหวำงปรมำณเชงมมกบปรมำณเชงเสน 182 8.4 พลงงำนของกำรหมน 187 8.5 กำรค ำนวณหำโมเมนตควำมเฉอย 195 8.6 แรงบด 197 8.7 ควำมสมพนธระหวำงทอรกกบอตรำเรงเชงมม 201 8.8 งำน ก ำลงงำน และพลงงำนของกำรหมน 208 บทท 9 การกลง และโมเมนตมเชงมม 209 9.1 กำรกลงของวตถแขงเกรง 210 9.2 คำแรงบด 221 9.3 โมเมนตมเชงมมของอนภำค 222 9.4 โมเมนตมเชงมมของวตถแขงเกรงทหมน 223 9.5 กฎกำรอนรกษโมเมนตมเชงมม 224 9.6 กำรเคลอนทของลกขำงหรอไจโรสโคป 229 บทท 10 ความยดหยน 232



10.1 สมบตควำมยดหยนของของแขง 234 10.2 ควำมสมพนธระหวำงควำมเคนกบควำมเครยด 235 10.3 สมดลเสถยร สมดลไมเสถยร และสมดลสะเทน 264 10.4 สมบตความยดหยนของของแขง 247 10.5 ความสมพนธระหวางความเคนกบความเครยด 264 บทท 11 การเคลอนทแบบสน 268 11.1 กำรเคลอนทแบบฮำรโมนกอยำงงำย 269 11.2 มวลผกตดกบสปรง 273 11.3 พลงงำนของกำรสน 277 11.4 ลกตมนำฬกำ 285 11.5 เปรยบเทยบกำรเคลอนทแบบSHM กบกำรเคลอนทแบบวงกลมอยำงสม ำเสมอ 289 บทท 12 กฎของความโนมถวง 291 12.1 กฎควำมโนมถวงสำกลของนวตน 291 12.2 กำรวดคำคงตวของควำมโนมถวง 296 12.3 ควำมเรงของกำรตกอยำงเสร และแรงโนมถวง 297 12.4 สนำมโนมถวง 299 บทท 13 กลศาสตรของไหล 303 13.1 ควำมดน 304 13.2 ความดนในของเหลวขนอยกบความลก 307 13.3 แรงลอยตวและหลกของอารคมดส 312 13.4 กำรเคลอนทของของไหล 327 13.5 สมกำรของแบรนลล 331 บทท 14 คลนกล 338 14.1 กำรจ ำแนกประเภทของคลน 339 14.2 กำรซอนทบกนและกำรแทรกสอดของคลน 355 14.3 กำรสะทอนและกำรถำยทอดพลงงำนของคลน 357 14.4 อตรำเรวของคลนในเสนเชอก 361 14.5 คลนนงในเสนเชอก 361



บทท 15 คลนเสยง 365 15.1 กำรจ ำแนกประเภทของคลนเสยง 369 15.2 อตรำเรวของคลนเสยง 371 15.3 ควำมเขมเสยง 373 15.4 ระดบควำมเขมเสยง 375 15.5 คลนนงของเสยงในทอ 379 15.6 ระดบเสยง 386 15.7 คลนเสยงควำมเขมสง 390 15.8 คณภำพของเสยง 391 15.9 กำรน ำควำมรเรองเสยง มำใชประโยชน 394 15.10 คลนทรงกลมและคลนระนำบ 400 15.11 กำรไดยน 402 15.12 ปรำกฏกำรณดอปเปลอร 403 15.13 คลนกระแทก 411 บทท 16 ความรอนและทฤษฎจลนของแกส 417 16.1 ควำมรอน และพลงงำนภำยใน 417 16.2 ควำมจควำมรอนและควำมจควำมรอนจ ำเพำะ 419 16.3 อณหภม 431 16.4 กฎขอทศนยของอณหพลศำสตร 434 16.5 กฎขอทหนงของอณหพลศำสตร 435 16.6 เทอรโมมเตอรชนดแกสแบบปรมำตรคงตว และอณหภมสมบรณ 438 16.7 กำรขยำยตวของของแขงและของเหลวเมอไดรบควำมรอน 440 16.8 กำรอธบำยเกยวกบแกสอดมคตในระบบมหภำค 446 16.9 ทฤษฎจลนของแกส 449 16.10 ควำมรอนจ ำเพำะโมลำรของแกสอดมคต 462 16.11 แผนภำพ P - V 467 16.12 แผนภำพ P – T 468



บทท 1 การเคลอนท ใน 1 มต

กำรเคลอนท หมำยถง กำรยำยต ำแหนงจำกทเดม ไปอย ทใหม ทกสงทกอยำงในจกรวำลน ตำงกเคลอนทดวยกนทงสน ไมมอะไรทหยดนงอยำงแทจรงเลย

รป 1.1 ดวงดำวตำงๆ กก ำลงเคลอนท

ในชวตประจ ำวนของทกคน จะเหนกำรเคลอนทของสงตำงๆ มรปแบบกำรเคลอนทตำงๆกน หลำยรปแบบ แตหนงสอนจะกลำวถงกำรเคลอนทเพยง 4 ประเภท คอ 1) กำรเคลอนทแนวเสนตรง 2 ) กำรเคลอนทแนวเสนโคง 3) กำรเคลอนทเปนวงกลม 4 ) กำรเคลอนทแบบฮำรมอนกอยำงงำย

ในบทนนจะกลำวถงเฉพำะกำรเคลอนทแนวเสนตรง หรอกำรเคลอนทในแนวเสนตรง เทำนน



1.1 ต าแหนง / ระยะทาง / การกระจด / ความเรว / อตราเรว

ต าแหนง คอกำรบอกใหทรำบวำสงทเรำสนใจ อยทไหน เมอเทยบกบจดอำงองจดใดจดหนง

รป 1.2 ต ำแหนง

ระยะทาง หมำยถงควำมยำวตำมเสนทำงทวตถเคลอนทไดทงหมด

รป 1.3 แผนท แสดงเสนทำงตำงๆ



การกระจด ( x) หมำยถงกำรยำยต ำแหนงจำกจดเรมตน ไปยงจดสดทำยของกำรเคลอนท มขนำดเทำกบระยะหำงระหวำงจดเรมตนกบจดสดทำยและมทศทำงจำกจดเรมตนไปยงจดสดทำย

รป 1.4 เปรยบเทยบระยะทำง กบกำรกระจด

1.2 อตราเรวเฉลย และความเรวเฉลย

อตรำเรวเฉลย หมำยถงระยะทำงทเคลอนทได ในหนงหนวยเวลำ หรอเขยนเปนสมกำรไดวำ

av

xv

t

(1.1)

ควำมเรวเฉลย หมำยถงกำรกระจดของกำรเคลอนท ในหนงหนวยเวลำ หรอเขยนเปนสมกำรไดวำ

av

t

xv (1.2)

คนทวไปใชค ำวำควำมเรวกบอตรำเรวในควำมหมำยทเหมอนกน แตในทำงวทยำศำสตรทงสองค ำมควำมหมำยตำงกน หมายเหต หนงสอนปรมำณเวกเตอรจะใชตวอกษรหนำ เชน ควำมเรวจะแทนดวย v อตรำเรวจะแทนดวย v ควำมเรงจะแทนดวย a อตรำเรงจะแทนดวย a เพอใหเหนถงควำมแตกตำงระหวำงอตรำเรวกบควำมเรว จะขอยกตวอยำงดงน ถำกำรโยนลกเทนนสขนในแนวดงดวยควำมเรวตน 80 /m s ดงรป 1.5



รป 1.5 ถำโยนลกเทนนสขนในแนวดง ดวยควำมเรวตน 80 m s/

เมอเขยนกรำฟควำมสมพนธระหวำงควำมเรวกบเวลำ และอตรำเรวกบเวลำ จะไดกรำฟ ดงรป 1.6 และ 1.7

รป 1.6 กรำฟ ควำมเรว – เวลำ

ความเรว

เวลา

การกระจด ทเคลอนทขน

การกระจด ทเคลอนทลง



รป 1.7 กรำฟ อตรำเรว - เวลำ

1.3 อตราเรวขณะใดขณะหนง และความเรวขณะใดขณะหนง

อตราเรวขณะใดขณะหนง เปนคำอตรำเรวของกำรเคลอนททเวลำหนง ๆ (ชวงเวลำสนมำก ๆ) อำจจะเรยกวำ อตรำเรวบดดลหรออตรำเรวขณะใดขณะหนง กได

dxv

dt (1.3)

ตวอยำงเชนถำหนำปดรถยนตชทเลข 90 km/hr หมำยควำมวำ ขณะนนรถยนตมอตรำเรวขณะใดขณะหนงเทำกบ 90 กโลเมตรตอชวโมง

ความเรวขณะใดขณะหนง เปนคำควำมเรวของกำรเคลอนททเวลำหนง ๆ (ชวงเวลำสนมำก ๆ) อำจจะเรยกวำ ควำมเรวบดดลหรอควำมเรวขณะใดขณะหนง กได

d

dt

xv (1.4)

อตราเรว

เวลา

ระยะทาง ทเคลอนทขน

ระยะทาง ทเคลอนทลง



1.4 อตราเรงขณะใดขณะหนง และความเรงขณะใดขณะหนง

อตราเรงขณะใดขณะหนง เปนคำอตรำเรวของกำรเคลอนททเวลำหนง ๆ (ชวงเวลำสนมำก ๆ) อำจจะเรยกวำ อตรำเรงบดดลหรออตรำเรงขณะใดขณะหนง กได

dva

dt (1.5)

ความเรงขณะใดขณะหนง เปนคำควำมเรงของกำรเคลอนททเวลำหนง ๆ (ชวงเวลำสนมำก ๆ) อำจจะเรยกวำ ควำมเรงบดดลหรอควำมเรงขณะใดขณะหนง กได

d

dt

va (1.6)

เนองจำกควำมเรวเปนปรมำณเวกเตอร ทตองมทงขนำดและทศทำง ดงนนกำรเปลยนแปลงควำมเรวจงเกดขนได 3 กรณดวยกน ดงน

1. เปลยนอตราเรว 2. เปลยนทศทาง 3. เปลยนทงสองอยาง

เมอควำมเรวของวตถเปลยนไป กแสดงวำวตถนนมควำมเรง

รป 1.8 กำรเคลอนทดวยควำมเรง



ตวอยาง 1.1 อนภำคหนงมสมกำรกำรเคลอนทเปน 240 5tv t และเขยนกรำฟควำมเรว – เวลำ ไดดงรป

จงหำ ก) ควำมเรงเรงเฉลย ในชวงเวลำ 0 2t ข) ควำมเรงเรง ทวนำทท 2 วธท า ก) ควำมเรงเฉลยในชวงเวลำ 0 2t หำไดจำกสมกำร

2 00 2

2 0t t

v va (1)

จำก 2(40 5 )tv t จะได 2

0 40 5(0) 40 /v m s (2) และ 2

2 40 5(2) 20 /v m s (3)

แทนสมกำร (2) และสมกำร (3) ในสมกำร (1) ได

2

0 2

(20 40)10 /

(2 0)a m s

ควำมเรงเรงเฉลยในชวงเวลำ 0 2t 210 /m s ตอบ

ข) จำก d

dt

va

2(40 5 )

10d t

a tdt

ควำมเรงเรงทเวลำใดๆ 210 /ta t m s 2

2 10(2) 20 /a m s ควำมเรงเรงทวนำทท 2 220 /m s ตอบ



แนวขอสอบ PAT 2 ป 52 เครองบนล ำหนงเคลอนทจำกหยดนงดวยควำมเรง a เพอทะยำนขนฟำดวยอตรำเรว v ถำเครองบนล ำนตองกำรทะยำนขนฟำดวยอตรำเรว 2v โดยใชระยะทำงวงเทำเดมจะตองเคลอนทดวยควำมเรงเทำใด วธท า เนองจำก 2 2 2v u as ถำให 0u และ s มคำคงตว 2a v ดงนนถำควำมเรวเพมขน 2 เทำ ควำมเรงตองเพมขน 4 เทำ ตอบ

PAT 2 ป 54 ส ำหรบกำรเคลอนทใน 1 มต ขอควำมใดตอไปนเมอน ำมำเตมในประโยคแลวใหใจควำมทถกตอง “ ส ำหรบควำมเรงทมทศเดยวกนกบควำมเรว ถำอตรำเรวของวตถก ำลงเพมขนแลวขนำดของควำมเรงจะ...” ก. เพมขนเทำนน ข. คงทเทำนน ค. เพมขนหรอคงทเทำนน ง. เพมขน คงท หรอลดลงกได เฉลย ง.



1.5 การเคลอนทใน 1 มตดวยความเรงคงตว

ตวอยำงของกำรเคลอนทในชวตประจ ำวนทควำมเรงคงตว ไดแกกำรตกของวตถตำงๆ ถำเขยนกรำฟแสดงควำมสมพนธระหวำงอตรำเรวกบเวลำจะไดกรำฟ ดงรป 1.9

รป 1.9 กรำฟควำมสมพนธระหวำงอตรำเรว – เวลำในกรณทควำมเรงคงตว

กรำฟในรป เสนกรำฟมสมกำรวำ

xf xi xv v a t (1.7)

ถำเขยนกรำฟแสดงควำมสมพนธระหวำง x t จะไดกรำฟ ดงรป 1.10

รป 1.10 กรำฟควำมสมพนธระหวำง x t



21

2f i xi xx x v t a t (1.8)

รป 1.11 ระยะทำงและอตรำเรว ทเวลำตำงๆ ของวตถทตกอยำงเสร



ตวอยาง 1.2 ในกำรลงจอดของเครองบนรบ บนเรอบรรทกเครองบน

ขณะทลอแตะพนเครองบน มควำมเรว 140 ไมลตอชวโมง ( 63 / )m s จงหำ a) ควำมหนวงของเครองบน ถำเครองบนหยดนงในเวลำ 2 วนำท b) ระยะทำงทเครองบนวงบนเรอ กอนทจะหยด ก ำหนดให ควำมหนวงของเครองบน มคำคงตว

วธท า จำก xf xi

x

v va

t

20 63 /31 /

2x

m sa m s

s

ควำมหนวงของเครองบน 231 /m s ตอบ

จำก avx v t

จำก 2

xi xf

f i

v vx x t

1(63 0)(2) 63

2f ix x m

ระยะทำงทเครองบนวงบนเรอกอนทจะหยด 63m ตอบ



ตวอยาง 1.3 รถคนหนงแลนมำดวยควำมเรว 163 กโลเมตรตอชวโมง (ซงเกนทกฎหมำยก ำหนด) ผำนรถต ำรวจทจอดอยรมถนน ดงรป หลงจำกนน 1 วนำท ต ำรวจไดขบรถตำมไปดวยควำมเรง 3 2/m s จงหำเวลำทต ำรวจตำมรถคนนทน (ก ำหนดให ควำมเรง มคำคงตว)

วธท า เนองจำกควำมเรว 163 กโลเมตรตอชวโมง มคำประมำณ 45 m/s

สมมตใหรถต ำรวจตำมรถทวงเรวเกนก ำหนดทนในเวลำ t วนำท พจารณาทรถ ขบเรวเกนก าหนด รถคนดงกลำวจะวงไดระยะทำง ( )carx

car B xcarx x v t 45 (45 / )carx m m s t (1) พจารณาทต ารวจ ในชวงเวลำดงกลำวรถต ำรวจวงไดระยะทำง ( )policex

21

2police i xi xx x v t a t

2 210 0 (3 / )

2policex m s t (2)

ในชวงเวลำดงกลำว รถทงสองคนจะเคลอนทไดระยะทำงเทำกน คอ สมกำร (1) สมกำร (2)

2 21(3 / ) 45 (45 / )

2m s t m m s t

21.5 45 45 0t t 31t s ต ำรวจจะตำมรถคนนทนในเวลำ 31 วนำท ตอบ



1.6 การตกอยางเสร (free fall)

กำรตกของวตถใดๆบนพนโลก จะประมำณไดวำเปนกำรตกอยำงเสร (น ำหนกของวตถมคำมำกกวำแรงตำนของอำกำศมำกๆ) เชนกำรตกของวตถทวๆไป ยกเวนกำรตกของส ำล ขนนก กระดำษ ฯลฯ (แรงตำนของอำกำศมคำมำกเมอเทยบกบน ำหนก) กำรตกอยำงเสรของวตถใดๆจะมควำมเรงเทำกบ 29.8 /m s เหมอนกนหมด

รป 1.12 กำรทดลองตกอยำงเสรบนดวงจนทร

รป 1.13 กำรตกอยำงเสร ของชำงและมด



ตวอยาง 1.4 ชำยคนหนงยนอยบนดำดฟำของตกสง 50 เมตร ดงรป แลวโยนวตถขนไปในแนวดง ดวยควำมเรวตน 20 /m sจงหำ ก) เวลำทวตถเคลอนทไปถงจดสงสด ข) ระยะสงสด ค) เวลำทวตถ ตกลงมำอยทต ำแหนงเดม ง) อตรำเรวขณะทวตถ ตกลงมำทต ำแหนงเดม จ) ควำมเรวท วนำทท 5 วธท า ก) จำก 0u yv v gt ทจดสงสด 0v

20 20 / ( 9.8 / )m s m s t

2

20 /2.04

9.8 /

m st s

m s

เวลำทวตถขนไปถงจดสงสด 2.04Bt s ตอบ

ข) จำก 2

0

1

2t yy v t gt

2 2

max

1(20 / )(2.04 ) ( 9.8 / )(2.04 )

2h m s s m s s

ระยะสงสด max 20.4h s ตอบ

ค) จำก 2

0

1

2y yy v t a t

ถำวตถตกลงมำทต ำแหนงเดมแสดงวำ 0y ดงนนจะได 20 20 4.9t t

(20 4.9 ) 0t t ได 0 , 4.08t วตถจะตกลงมำทต ำแหนงเดมในเวลำ 4.08 s ตอบ

ง) จำก 0t y yv v a t 220 / ( 9.8 / ) (4.08 )tv m s m s s 20 /tv m s ควำมเรวขณะทตกลงมำอยต ำแหนงเดม 20 /m s ตอบ

จ) จำก 0t y yv v a t

2

5 20 / ( 9.8 / ) (5 )v m s m s s 5 29 /v m s ควำมเรวทวนำทท 5 29 /m s ตอบ



ตวอยาง 1.5 ทงวตถลงมำจำกหอเอน ดงรป ถำวตถตกถงพนในเวลำ 5 วนำท จงหำ a) อตรำเรวขณะทวตถตกถงพน b) ระยะทวตถตก

วธท า จำก v v gt

= 0 + (9.8 m/s2) (5 s) = 49 m/s a) อตรำเรวขณะตกถงพน = 49 m/s ตอบ

จำก 21

2y vt gt

= 0 + 21 (9.8 m/s2) (5 s)2 = 123

b) ระยะทวตถตก = 123 m ตอบ

ตวอยาง 1.6 ขวำงวตถลงมำจำกหนำผำสง 25 m ดวยควำมเรวตน 8 m/s จงหำ a) อตรำเรวเมอกระทบพน b) เวลำเมอถงพน วธท า a) จำก 2 2

0 2fv v gy

= (8 m/s)2 + 2(9.8 m/s) (25 m) = 554 m2/s2

จะได v = 23.5 m/s a) อตรำเรวขณะกระทบพน = 23.5 m/s ตอบ จำก 0fv v gt 23.5 m/s = 8 m/s + (9.8 m/s2)t จะได t = 1.58 s b) เวลำเมอถงพน = 1.58 s ตอบ



ตวอยาง 1.7 กรรมกำรโยนเหรยญ แลวเหรยญตกกลบลงมำทระดบเดมในเวลำ 4 วนำท อยำกทรำบวำเหรยญถกโยนขนไปดวยควำมเรวเทำไร ?

วธท า จำก 2

0

1

2s v t gt (1)

เมอเหรยญตกกลบมำทเดม แสดงวำ 0s

แทนคำตำงๆในสมกำร (1) ได 2 2

0

10 (4 ) ( 9.8 / )(4 )

2v s m s s

00 (4 ) 78.4v s m ควำมเรวตน 0 19.6 /v m s ตอบ

ตวอยาง 1.8 ยงปนขนฟำในแนวดง ดวยควำมเรวเรมตน 500 เมตร/วนำท จงหำ a) ระยะสงสดของลกปน b) เวลำทถงจดสงสด c) ควำมเรวทวนำทท 60 d) เวลำทลกปนอยทควำมสง 10 km วธท า จำก 2 2

0 2fv v gy (1)

ทจดสงสด v = 0 แทนคำตำงๆในสมกำร (1) ได 0 = (500 m/s) 2 + 2 (–9.8 m/s2) y y = 12800 m a) ระยะสงสด = 12.8 km ตอบ

จำก v = v0 + gt (2)

ทจดสงสด v = 0 แทนคำตำงๆในสมกำร (2) ได 0 = 500 m/s + (–9.8 m/s2)t t = 51 s b) เวลำทถงจดสงสด = 51 s ตอบ

จำก 0fv v gt (3)

แทนคำตำงๆในสมกำร (3) ได v = 500 m/s + (–9.8 m/s2) (60 s) = –88 m/s

c) ควำมเรวทวนำทท 60 = –88 m/s ตอบ

จำก 2

0

1

2y v t gt (4)

แทนคำตำงๆในสมกำร (4) ได



10000 m = (500 m/s)t + 21 (–9.8 m/s2)t2

หรอ 4.9 t2 – 500 t + 10000 = 0

2 4

2b b ac

ta

27 75t s s , (d) ลกปนจะอยทควำมสง 10 km 2 เวลำ ดวยกนคอ t = 27 s และ t = 75 s ตอบ

ตวอยาง 1.9 ถำปนจนตอกเสำเขม ปลอยตมน ำหนกจำกหยดนงแลว ตมน ำหนกกระทบเสำเขมดวยควำมเรว 5 m/s จงหำควำมสงทตมน ำหนกอยเหนอ เสำเขม

วธท า จำก 2 2

0 2fv v gy (5 m/s) 2 = 0 + 2 (9.8 m/s2) y 25 m2/s 2 = (19.6 m/s2) y จะได y = 1.28 m ควำมสง = 1.28 m ตอบ



แนวขอสอบ PAT2 (2553) ถำเรำปลอยกอนหน A ใหตกแบบเสร สวนกอนหน B ถกโยนขนตำมแนวดงดวยควำมเรวตนคำหนง หลงจำกทกอนหนทงสองเคลอนทออกจำกมอไปแลว ควำมเรงของกอนกนทงสองเปนอยำงไรกน ตอบ เทำกน เนองจำกไดรบแรงกระท ำอยำงเดยวกน คอแรงโนมถวง

แนวขอสอบ PAT2 (2553) แดงกบด ำยนอยบนตกสง ถำแดงปำกอนหน A ขนในแนวดงดวยควำมเรวตน 10 เมตรตอวนำท พรอมกนกบทด ำปำกอนหน B ลงในแนวดงดวยขนำดควำมเรวเทำกน อยำกทรำบวำกอนหนทงสองกระทบพนดวยควำมเรวเทำกนหรอไม ตอบ เทำกน

แนวขอสอบ PAT2 (2553) หยอนลกเหลกขนำดเลกลงในทอแกวสงทบรรจดวยสำรละลำยชนดหนง ปรำกฏวำเมอถงจดๆ หนง ลกเหลกเคลอนทดวยควำมเรวคงตว ณ จดนควรใชหลกฟสกสใดอธบำยเหตกำรณทเกดขน ตอบ สมดลของแรง



1.7 เวกเตอร

คณตศำสตรเปนเครองมอทส ำคญส ำหรบแกปญหำตำงๆในทำงวทยำศำสตรและศำสตรทำงดำนอนๆแทบทกสำขำ ถำไมมคณตศำสตร วทยำศำสตรและศำสตรอนๆ คงไมสำมำรถพฒนำไดถงขนำดน เวกเตอรกเปนคณตศำสตรอกแขนงหนงทมควำมส ำคญมำก และน ำมำใชในกำรแกปญหำทำงฟสกสในหลำยเรอง ทงนเนองมำจำกปรมำณในทำงวทยำศำสตรหลำยปรมำณเปนปรมำณเวกเตอร เชนแรง กำรกระจด ควำมเรว ควำมเรง ทอรก สนำมโนมถวง สนำมไฟฟำ สนำมแมเหลก ฯลฯ กำรแกปญหำในเรองดงกลำว จงจ ำเปนตองใชวธกำรทำงคณตศำสตร ทเรยกวำเวกเตอร ดงนนนกศกษำจงควรจะไดศกษำเกยวกบคณตศำสตรทเรยกวำเวกเตอร แตกอนทจะไดศกษำเรองเวกเตอร ควรรจกกบระบบพกดตำงๆเสยกอน ดงน

ระบบพกด

กำรศกษำเกยวกบกำรเคลอนทของวตถ จ ำเปนตองทรำบต ำแหนงของวตถทเวลำตำงๆ ระบบพกดทน ำมำใชในกำรบอกต ำแหนงของวตถ ทใชกนมำกในทำงฟสกส มหลำยระบบ แตในทนจะกลำวถงเพยงระบบเดยว คอ ระบบคำรทเซยน หรอเรยกอกชอหนงวำระบบพกดฉำก

ระบบพกดฉากหรอระบบคารทเซยน

เปนระบบพกดทนยมใชมำก เพรำะเปนระบบทเขำใจไดงำย กำรบอกต ำแหนงในระบบน ถำบอกต ำแหนงใน 3 มต กจะบอกทงพกดในแนวแกน x , y และ z ดงรป 1.14

รป 1.14 ระบบพกดฉำก 3 มต



จด ( , , )a b c ในรป 2.1 เปนจดท หำงจำกจด origin (0,0,0) ไปในแนวแกน x เปนระยะทำง a หำงจำกจด origin (0,0,0) ไปในแนวแกน y เปนระยะทำง b หำงจำกจด origin (0,0,0) ไปในแนวแกน z เปนระยะทำง c แตถำบอกต ำแหนงใน 2 มต จะบอกพกดเฉพำะในแนวแกน x และ y เทำนน ดงรป 2.2

รป 1.15 กำรบอกต ำแหนงในระบบพกดฉำก ใน 2 มต

1.8 ปรมาณเวกเตอรและปรมาณสเกลาร

ปรมำณตำงๆในธรรมชำตจ ำแนกได เปน 2 ประเภท คอ

1) ปรมาณสเกลาร 2) ปรมาณเวกเตอร

ปรมาณสเกลาร

หมำยถงปรมำณทมแตขนำดอยำงเดยว ไมมทศทำง เชน เวลำ อณหภม ฯลฯ เปนปรมำณทบอกดวยขนำดเพยงอยำงเดยวกเขำใจควำมหมำยไดชดเจน เชน บอกวำนกศกษำมมวล 60 kg บรเวณพนน ำทะเลมควำมดน 1 บรรยำกำศ หรอในหองเรยนมอณหภม 25o C กำรบอกเพยงเทำน กเขำใจควำมหมำยไดชดเจน ดงนน มวล ควำมดน และอณหภม จงเปนปรมำณสเกลำร นอกจำกน อตรำเรว อตรำเรง ระยะทำง ป รมำตร ควำมหนำแนน เวลำ พ น ท พลงงำน กระแสไฟฟำ งำน ฯลฯ กเปนปรมำณสเกลำร



ปรมาณเวกเตอร

หมำยถงปรมำณทตองบอกทงขนำดและทศทำงจงจะเขำใจควำมหมำยไดชดเจน ปรมำณเวกเตอรไดแก แรง กำรกระจด ควำมเรว ควำมเรง สนำมไฟฟำ สนำมแมเหลก สนำมโนมถวง ทอรก ฯลฯ ปรมำณเหลำนถำไมบอกทศทำงผ ฟงกจะไมสำมำรถเขำใจควำมหมำยไดชดเจน เชน ถำบอกวำคนๆหนงถกผลกลมลง ถำไมบอกทศทำงของแรงผลก วำผลกทำงดำนหนำหรอดำนหลง ผ ฟงกจะไมสำมำรถทรำบไดวำคนทถกผลกจะลมลงในลกษณะใด หรอบอกวำจงหวดบำนเกดของนกศกษำอยหำงจำกกรงเทพฯ 100 กโลเมตร ถำไมบอกทศทำงผ ฟงกจะไมทรำบวำบำนของนกศกษำอยทำงทศใดของกรงเทพฯ

เครองบนบนไปทำงทศเหนอ ดวยควำมเรว 80 /km hr ลมพดไปทำงทศตะวนออกดวยควำมเรว 60 /km hr เรำสำมำรถหำควำมเรวของเครองบน เมอเทยบกบพนดนไดโดยกำรน ำเอำเวกเตอรของควำมเรวทงสองมำบวกกน ดงรป 1.16

รป 1.16 กำรบวกเวกเตอร



การคณเวกเตอร ดวยปรมาณสเกลาร (multiplying a vector with a scalar)

ถำคณเวกเตอร A ดวยปรมำณสเกลำร m ผลลพธจะได mA ซงเปนเวกเตอรทมทศเดยวกบเวกเตอร A แตมขนำดเปน m เทำของเวกเตอร A แตถำ m เปนลบ ผลลพธจะเปนเวกเตอรทมทศตรงขำมกบเวกเตอร A แตมขนำดเปน m เทำของเวกเตอร A ดงรป 1.17

รป 1.17 กำรคณเวกเตอร A ดวยปรมำณสเกลำร

ตวอยางของปรมาณเวกเตอรทคณดวยปรมาณสเกลาร

ปรมาณเวกเตอร

ปรมาณสเกลารทน ามาคณ

ปรมาณทได

ควำมเรว ( )v

มวล ( )m โมเมนตม ( )P

ควำมเรง ( )a

มวล ( )m แรง ( )F

ควำมเรว ( )v

เวลำ ( )t กำรกระจด ( )x

ควำมเรง ( )a

เวลำ ( )t ควำมเรว ( )v

A

3 3A



บทท 2 การเคลอนทใน 2 มต

ในบทท 1 ไดกลำวถงกำรเคลอนทใน 1 มตไปแลว บทนจะกลำวถงกำรเคลอนทใน 2 มต ในชวตประจ ำวนของทกคนจะเหนกำรเคลอนทของสงตำงๆมหลำยรปแบบดวยกน กำรเคลอนทบำงอยำงกเคลอนทใน 1 มต ไดแกกำรตกของสงของตำงๆ ฯลฯ กำรเคลอนทบำงอยำงกเคลอนทใน 2 มต ไดแกกำรเคลอนทของรถและเรอ ฯลฯ และกำรเคลอนทบำงอยำงกเคลอนทใน 3 มต ไดแกกำรเคลอนทของเครองบน ฯลฯ ส ำหรบในบทนจะกลำวถงเฉพำะกำรเคลอนทใน 2 มตเทำนน ตวอยำงของกำรเคลอนทใน 2 มต ทมกจะมกำรกลำวถงเสมอไดแกกำรเคลอนทวถโคง กำรเคลอนทแบบวงกลม ฯลฯ ซงจะไดกลำวถงตอไป

2.1 การเคลอนทวถโคง

รป 2.1 กำรเคลอนทวถโคงของกระแสน ำ

กำรเคลอนทวถโคงเปนผลรวมของกำรเคลอนท 2 แบบเขำดวยกน คอ

1. เคลอนทในแนวราบดวยความเรวคงตว 2. เคลอนทในแนวดงดวยความเรงคงตว



รป 2.2 แนวรำบควำมเรวคงตว แนวดงควำมเรงคงตว

ตวอยำงของกำรเคลอนทวถโคง ไดแกกำรเคลอนทของลกฟตบอล ลกกอลฟ เทนนส แบดมนตน เปตอง วอลเลยบอล กำรเคลอนทของลกปนใหญ ฯลฯ วถกำรเคลอนทวถโคง จะมเสนทำงกำรเคลอนทเปนเสนโคงรปพำรำโบลำ ดงรป 2.3

รป 2.3 เปรยบเทยบกรำฟ y t กบ กรำฟ v t



เนองจำกระยะทำงในแนวรำบขนอยกบควำมเรวตนและมม เมอพลอตกรำฟแสดงควำมสมพนธระหวำงระยะทำงในแนวดงกบระยะทำงในแนวรำบ จะไดกรำฟ ดงรป 2.4

รป 2.4 วถกำรเคลอนท ทมมเรมตนตำงๆกน

จำกรป 2.4 จะเหนวำเมอมม 045i จะไดระยะทำงในแนวรำบมำกทสด และจะพบวำระยะไกลสดของกำรเคลอนทวถโคง

ทมม 030i กบ 060i มคำเทำกน และ ทมม 015i กบ 075i มคำเทำกน

หรอมม 2 มมใดๆ ทมคำรวมกนเทำกบ 090 จะมระยะไกลสดเทำกน เชน

มม 010 กบมม 080 ระยะไกลสดในแนวรำบ มคำเทำกน มม 020 กบมม 070 ระยะไกลสดในแนวรำบ มคำเทำกน มม 030 กบมม 060 ระยะไกลสดในแนวรำบ มคำเทำกน มม 040 กบมม 050 ระยะไกลสดในแนวรำบ มคำเทำกน

วถกำรเคลอนทในรป 2.4 เปนกำรเคลอนทวถโคงทไมไดคดถงแรงตำนของอำกำศ ดงนนวถกำรเคลอนทแบบนจงคลำดเคลอนจำกควำมจรงอยบำง โดยวถกำรเคลอนทจรงกบวถกำรเคลอนทในอดมคตมเสนทำงทตำงกน ดงรป 2.5



รป 2.5 เปรยบเทยบวถกำรเคลอนทจรง กบวถกำรเคลอนทอดมคต

ในหนงสอนจะถอวำเสนทำงกำรเคลอนทวถโคงเปนแบบอดมคต (Ideal)

รป 2.6 ตองพงหรอทมดวยมม 45o จงจะไดระยะทำงไกลสด

การเคลอนทวถโคงกบการตกอยางเสรในแนวดง

ในกำรยงปนแตละนดจะมสองสง วงออกมำจำกกระบอกปน คอ กระสนปน และปลอกกระสนปน ดงรป 2.7

รป 2.7 ลกปนและปลอกกระสน ตกถงพนกอนกน

เสนทางจรง

เสนทางอดมคต



ถำยงปนในแนวระดบวถกำรเคลอนทของกระสนปนจะเปนวถโคง สวนปลอกกระสนปนจะประมาณไดวำตกลงในแนวดง โดยควำมเรวในแนวดงของกระสนปนและปลอกกระสนจะมคำเทำกน เนองจำกแรงทกระท ำตอวตถทงสอง คอแรงโนมถวงของโลกเหมอนกน ดงนนลกปนกบปลอกกระสนจะตกถงพนพรอมกน เพอยนยนควำมจรงน จงไดมกำรทดลองและถำยภำพดวยกลองถำยภำพควำมเรวสง ผลกำรถำยภำพจะมลกษณะดงรป 2.8

รป 2.8 ภำพถำยวตถทตกในแนวดง และวตถทตกแบบวถโคง

จำกรป 2.8 จะเหนวำทเวลำเดยวกน วตถทงสองจะอยในระดบควำมสงเดยวกน

ตวอยาง 2.1 นกกฬำกระโดดไกล กระโดดท ำมม 20 O กบพนดวยควำมเรวตน 11 m/s จงหำ ก) ระยะสงสดในแนวดง max( )h ข) ระยะไกลสด max( )x ทนกกฬำ กระโดดได

วธท า ก) หำระยะสงสดในแนวดง ไดจำก 2

max

1( sin )

2i iy v t gt (1)

หำเวลำในกำรเคลอนทไดจำก siny i iv v gt (2) ทจดสงสด 0yv แทนคำตำงๆในสมกำร (2) ได จะได 20 (11m/s)sin 20 ( 9.8m/s ) At

09 8 11 20A

t m s. ( / )sin จะได 0 384

At s . (3)

เมอ At เปนเวลำทจดสงสด

แทนสมกำร(3) ในสมกำร (1) ได max (11)(sin 20 )(0.384)y 21( 9.8)(0.384)

2

max 0.722y m



ก ) ระยะสงสดในแนวดง maxh 0.722m ตอบ

ระยะไกลสดในแนวรำบ หำไดจำกสมกำร max ( cos )i i Bx v t max ( cos )2i i Ax v t (4) แทนคำตำงๆในสมกำร (4)ได max (11m/s)(cos20 )2(0.384s)x

max 7.94x m

ระยะไกลสด ทนกกฬำนกระโดดได 7.94m ตอบ

ตวอยาง 2.2 สมมตวำในกำรยงปนไปยงเปำ ปำกกระบอกปนเลงตรงไปยงเปำ ถำขณะเหนยวไกปน เปำกตกลงมำพอด ดงรป

จงพสจนใหเหนวำกำรยงปนครงน ลกปนถกเปำ วธท า กำรพสจนวำลกปนจะถกเปำ มหลกในกำรพสจน ดงน ในขณะทลกปนกระทบเปา ก) ควำมสงของเปำและลกปนตองเทำกน ข) ลกปนเคลอนทในแนวรำบไดระยะทำงเทำกบ Tx

พจารณาทเปา

จำกรป เปำอยสงจำกพน tanTh x ก ำหนดให ลกปนกระทบเปำ เมอเปำตกลงมำเปนเวลำ t ดงนนในเวลำ t ใดๆ เปำจะตกลงมำ

ไดระยะทำง 21

2y gt

ลกปนกระทบเปำทระยะควำมสง 21tan

2T ih x gt (1)

ในชวงเวลำ t ลกปนเคลอนทในแนวรำบไดระยะทำง

( cos )T i ix v t



cos

T

i i

xt

v

2

( arg )

1tan

2 cos

Tt et T i

i i

xh x g

v

(2)

พจารณาการเคลอนทของลกปน หำระยะควำมสงของลกปนทเวลำ t จำกสมกำร

21

2bullet yh u t gt

2

1( sin )

cos 2 cos

T Tbullet i i

i i i i

x xh v g

v v

2

1tan

2 cos

Tbullet T i

i i

xh x g

v

(3)

สมการ (2) = สมการ (3)

หมำยควำมวำทเวลำ t ลกปนและเปำอยทต ำแหนงเดยวกน ซงกคอกำรทลกปนยงถกเปำนนเอง ตอบ

ตวอยาง 2.3 ถำกอนหน กอนหนงถกพนออกมำจำกปลองภเขำไฟ ดวยควำมเรวตน 25 /iv m s ในแนวท ำมม 35 องศำกบแนวระดบ ดงรป

ถำปลองภเขำไฟสง 20 เมตร จงหำ ก) เวลำทกอนหนตกถงพน ข) อตรำเรวขณะทกอนหนกระทบพน ค) มม ทกอนหนท ำกบแนวระดบ วธท า พจำรณำกำรเคลอนทในแนวรำบ (แนวแกน x) ควำมเรวในแนวแกน x cosx i iv v

(25m/s)(cos35 ) 20.48 m/sxv พจำรณำกำรเคลอนทในแนวดง (แนวแกน y)

http://www.google.co.th/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=Bxv4FeZ8ui-iXM&tbnid=N95cf9QvK26V4M:&ved=0CAUQjRw&url=http://cnx.org/content/m42042/latest/?collection=col11406/latest&ei=PldnUrCmIYiMrQeVtYCwDg&psig=AFQjCNF9DQSTUCUXCOaERd0b0MZoEJ2jmw&ust=1382590631129288



ควำมเรวตนในแนวดง sini iv

(25m/s)(sin 35 ) 14.34 m/syiv หำเวลำทกอนหนตกถงพนไดจำก 21

2yiy v t gt

2 21200 m (14.34m/s) ( 9.8m/s )

2t t

2 2(4.9m/s ) (14.34m/s) 20 0t t m

เรำหำคำ t ไดจำกสมกำร 2 4

2

b b act

a

ได 3.96t s ก) กอนหนจะตกถงพนทเวลำ 3.96 วนำท ตอบ

เนองจำกขณะทกอนหนกระทบพนกอนหนมทงควำมเรวในแนวรำบ ( )xv และควำมเรวในแนวดง( )yv ดงนนเรำหำอตรำเรวขณะทกอนหนกระทบพนไดจำกสมกำร 2 2

f xf yfv v v (1) เมอ yf yiv v gt และ 14.34m/s (9.8m/s)(3.96s)yfv

24.5 /yfv m s แทนคำตำงๆ ในสมกำร (1) ได 2 2(20.48) ( 24.5) 31.9m/sfv ควำมเรวขณะทกอนหนกระทบพน 31.9m/s ตอบ

1tany

x

v

v

1 24.5tan

20.5

มม ทกอนหนท ำกบแนวระดบ 50.1O ตอบ



ตวอยาง 2.4 ในกำรสงเสบยงอำหำรมำชวยผประสบภยธรรมชำต โดยกำรทงเสบยงลงมำจำกเครองบน ทก ำลงบนดวยควำมเรวในแนวระดงคงตว 40 m/s และอยสงจำกพน 100 m จงหำ ก) ระยะทำงทเสบยงตกหำงจำกต ำแหนงททง ข) อตรำเรวทเสบยงตกกระทบพน

วธท า เรำสำมำรถหำระยะทำงในแนวรำบทเสบยงเคลอนทได ไดจำกสมกำร xx v t (1) เนองจำกยงไมทรำบเวลำตก จงตองหำเวลำตกใหไดกอนจำกสมกำร

21

2yh u t gt

2 21100 (9.8 / )

2m m s t

ได 4.52t s แทนคำตำงๆ ในสมกำร (1) ได x = (40 m/s) (4.52 ) = 181 m เสบยงทตกหำงจำกจดทงเทำกบ 181 เมตร ตอบ ข) อตรำเรวทเสบยงตกกระทบพน หำไดจำกสมกำร 2 2

x yv v v (2) เมอควำมเรวของเสบยงในแนวดง yv หำไดจำกสมกำร

0yv v gt 20 ( 9.8 / ) 4.52 44.3 /yv m s s m s แทนคำตำงๆ ในสมกำร (2) ได 2 2(40) ( 44.3) 59.7 /v m s อตรำเรวขณะทเสบยงกระทบพน 59.7 /m s ตอบ



ตวอยาง 2.5 ในกำรเลนสกน ำแขงบรเวณภเขำทมควำมลำดชนเปนมม 35o กบแนวระดบ

ถำสกไถลลงมำตำมรำงโดยมควำมเรวในแนวรำบ 25 m/s ดงรป แลวเหรลอยในอำกำศและตกลงทระยะกระจดเทำกบ d จงหำระยะกระจดในแนวรำบ ( )xd และระยะกระจดในแนวดง ( )yd ของสกขณะลงสพน วธท า ระยะกระจดในแนวรำบ ( )xd หำไดจำก x xid v t (25 / )xd m s t (1)

ระยะกระจดในแนวดง ( )yd หำไดจำก 21

2y yd ut a t

2 210 (9.8 / )

2yd m s t (2)

พจารณารปสามเหลยม xyd 0cos35xd d (3) 0sin 35yd d (4) สมกำร (1) = สมกำร(3) จะได 0cos35 (25 / )d m s t (5) สมกำร (2) = สมกำร(4)

จะได 0 2 21sin35 (9.8 / )

2d m s t (6)

สมกำร(6) หำรดวยสมกำร (5) ได 0tan35 0.196t 3.57t วนำท (7) แทนสมกำร(7) ในสมกำร (5) ได 0cos35 (25 / )(3.75 )d m s s ได 109d m กำรกระจดในแนวรำบ 0(109 )cos35 89.3xd m m ตอบ กำรกระจดในแนวดง 0(109 )sin 35 62.5yd m m ตอบ



ตวอยาง 3.6 ลกแกวกลงบนโตะดวยอตรำเรว 20 cm/s แลวตกบนพน ถำโตะสง 80 cm

จงหำ a) เวลำทลกแกวตกถงพน b) ระยะทำงทลกแกวตกหำงจำกขอบโตะ


0

1

2y

y v t gt

2 210 8 0 9 8

2m s t . ( . / )

0 4t s . a) เวลำทลกแกวตก 0 4s . ตอบ จำก x = v0xt x = (20 cm/s) (0.40 s) = 8.0 cm ตอบ b) ระยะทำงในแนวระนำบจำกขอบโตะ = 8.0 cm ตอบ

โควตา มช. 49 เครองบนทงระเบดบนดวยควำมเรว 360 กโลเมตรตอชวโมงทระดบ 2,000 เมตร จำกพน ทงลกระเบดไปยงเปำทอยบนพนดน เปำควรอยหำงจำกจดทเครองบนทงลกระเบดเปนระยะทำงกกโลเมตร


2s ut gt

212000 0 10

2m t ( )

20t วนำท ระเบดจะตกถงพนในเวลำ 20 วนำท เครองบนบนดวยอตรำเรว 100 เมตร/วนำท ดงนนในเวลำ 20 วนำท ระเบดจะเคลอนทในแนวรำบไดระยะทำง 2000 เมตร เครองบนจะตองทงระเบด กอนถงเปำหมำย 2 กโลเมตร ตอบ



2.2 การเคลอนทเปนวงกลม ดวยอตราเรวคงตว

การเคลอนท เปนวงกลมดวยอตราเรวคงตว หมำยถงกำรเคลอนท ทแรงกบควำมเรวมทศตงฉำกกนตลอดเวลำ ดงรป 2.9

รป 2.9 กำรเคลอนทเปนวงกลม

นกศกษำทกคน คงเคยนงชงชำสวรรคหรอมำหมน ทงชงชำสวรรคและมำหมนตำงกเคลอนทเปนวงกลมดวยอตรำเรวคงตว กำรเคลอนทดงกลำวเปนกำรเคลอนททมควำมเรง เนองจำก การเคลอนททงสองแบบนมการเปลยนทศของความเรวตลอดเวลา ดงรป 2.10

รป 2.10 ควำมเรวเปลยนทศทำงตลอดเวลำ

กำรเปลยนทศของควำมเรวกคอกำรเปลยนควำมเรว เนองจำกควำมเรวเปนปรมำณเวกเตอร เมอควำมเรวเปลยนกจะตองมควำมเรง ควำมเรงของกำรเคลอนททงสองแบบนอยในแนวสศนยกลำง โดยขนำดของควำมเรงสศนยกลำง หำไดจำกสมกำร



2

r

va

r (2.1)

ตวอยาง 2.7 ลกตมผกตดกบเชอกทยำว 0.5 m และแกวงในแนวดง ดงรป

เมอเชอกท ำมม 020 กบแนวดง ลกตมมอตรำเรว 1.5 m/s จงหำ ก) ควำมเรงสศนยกลำง ( )ra ข) ควำมเรงในแนวสมผส ( )ta ค) ควำมเรงทงหมด ( )a ง) มม ( ) ทควำมเรงลพธท ำกบเสนเชอก

วธท า ควำมเรงสศนยกลำง ( ra )หำไดจำกสมกำร

2

r

va

r

ก. ควำมเรงสศนยกลำง ra 2

2(1.5 m/s)4.5 m/s

0.50 m ตอบ

จำกรป จะไดวำ sinta g

09.8sin 20ta ข. ควำมเรงในแนวสมผส 23.4 /m s ตอบ จำก 2 2

r ta a a

2 2 2 2(4.5 m/s ) (3.4 m/s )a ค. ควำมเรงทงหมด 25.6m/sa ตอบ

จำกรป tan t

r

a

a

มม ( ) ทควำมเรงลพธท ำกบเสนเชอก หำไดจำกสมกำร

1tan t

r

a

a



2

1

2

3.4m/stan 37

4.5m/s

o

มมทควำมเรงลพธท ำกบเสนเชอก 37 ตอบ

ตวอยาง 2.8 มวล 0.3 kg ผกตดกบเชอกยำว 1.5 m แกวงเคลอนทเปนวงกลมในแนวระนำบ ดวยอตรำเรว 6 m/s จงหำ a) ควำมเรงสศนยกลำง b) แรงตงในเสนเชอก

วธท า จำก

2va

r

26

1 5

m sa

m

( / )

. = 24 m/s2

a) ควำมเรงสศนยกลำง = 24 m/s2 ตอบ จำก mF a F (0.3 kg) (24 m/s2) = 7.2 N b) แรงตงในเสนเชอก = 7.2 N ตอบ



โควตา มช. 50 มวล 2.1 กโลกรม หมนเปนวงกลมรศม 70 เซนตเมตร ดวยอตรำเรว 2 รอบตอวนำท ใหหำอตรำเรวเชงเสนในหนวยเมตรตอวนำท และแรงเขำสศนยกลำงทเกดกบมวลน

วธท า จำก v r 12 566 0 7v rad s m ( . / )( . ) 8 8v m s . / ตอบ

จำก 2

c

va

r (2)

28 8

0 7c

m sa

m

( . / )

.

2110 6c

a m s . / จำก

cF ma

22 1 110 6F kg m s ( . )( . / ) 232 3F . นวตน ตอบ



2.3 ความเรวสมพทธ (Relative Velocity)

ปรมำณตำงๆ หลำยปรมำณเปนปรมำณสมพทธ คอเปนปรมำณทตองมสงเปรยบเทยบ ในท ำนองเดยวกนควำมเรวกเปนปรมำณสมพทธ ทตองมสงเปรยบเทยบ จงจะวดหรอสงเกตควำมเรวได

รป 2.11 ถำไมมสงเปรยบเทยบ จะไมมควำมรสกเกยวกบควำมเรว

เพอควำมเขำใจเกยวกบควำมเรวสมพทธ ขอยกตวอยำงดงน สมมตวำนกศกษำและเพอนเปนนกบนอวกำศ ทมยำนอวกำศคนละหนงล ำ และก ำลงเดนทำงทองอวกำศ ดงรป 2.12

รป 2.12 จรวด 2 ล ำก ำลงเดนทำงทองอวกำศ



สมมตวำในอวกำศไมมดวงดำวและสงอนใด นอกจำกจรวด 2 ล ำ เมอนกศกษำมองไปทำงหนำตำง(สมมตวำม)กจะเหนยำนอวกำศของเพอนเทำนน ถำนกศกษำเหนยำนอวกำศของเพอนวงแซงหนำไป เหตกำรณดงกลำวอำจเกดจำกสำเหตอยำงหนงอยำงใดตอไปนกได คอ

1) ยำนอวกำศของเพอนมควำมเรวมำกกวำยำนอวกำศของนกศกษำ 2) ยำนอวกำศของนกศกษำหยดนง สวนยำนอวกำศของเพอนเคลอนทไปขำงหนำ 3) ยำนอวกำศของนกศกษำถอยหลง สวนยำนอวกำศของเพอนหยดนง 4) ยำนอวกำศของนกศกษำและของเพอนถอยหลงทงค แตยำนอวกำศของนกศกษำ

ถอยหลงไดเรวกวำ

หรอถำนกศกษำเดนทำงทองอวกำศคนเดยว

ควำมรสกของนกศกษำจะไมสำมำรถบอกควำมแตกตำงระหวำงกำรเคลอนทดวยควำมเรวคงตว หรอกำรหยดนงไดเลยเนองจำกสถำนกำรณทงสองจะใหควำมรสกเดยวกน และนกศกษำกจะไมมควำมรสกเกยวกบควำมเรว เนองจำกไมมสงเปรยบเทยบ หรอไมสำมำรถใชดวงดำวตำงๆเปนสงเปรยบเทยบได เนองจำกดำวแตละดวงอยไกลกนมำก กำรเคลอนทของยำนอวกำศไมสำมำรถท ำใหต ำแหนงของดวงดำวเปลยนแปลงไปไดมำกนก จำกทกลำวมำทงหมด แสดงใหเหนวำควำมเรวเปนปรมำณสมพทธหรอเปนปรมำณทตองมสงเปรยบเทยบ จงจะสงเกตหรอวดควำมเรวได ในกรณ ทมรถยนตอยบนรถไฟ และใหรถทงสองตำงกมกำรเคลอนท เรำสำมำรถค ำนวณหำควำมเรวของรถยนตสมพทธกบรำงรถไฟ หรอพนโลกได ดงน

รป 2.13 รถยนต รถไฟ ก ำลงเคลอนท



ตวอยาง 2.9 เรอขำมฝำก แลนดวยควำมเรว 10 กโลเมตรตอชวโมง เทยบกบน ำไปทำงทศเหนอ ถำกระแสน ำไหลดวยควำมเรว 5 กโลเมตรตอชวโมง ไปทำงทศตะวนออก

จงหำ

ก) ควำมเรวของเรอ เมอเทยบกบฝง ( )BEV ข) มม ( ) ทเรอท ำกบทศเหนอ

ก าหนดให

bEv คอควำมเรวของเรอเทยบกบฝง rEv คอควำมเรวของกระแสน ำเทยบกบฝง

brv คอควำมเรวของเรอเทยบกบกระแสน ำ วธท า จำกรป จะไดวำ bE br rE v v v

และควำมเรวของเรอเทยบกบฝง หำไดจำกสมกำร

2 2

bE br rEv v v

2 2

bE (10 km/h) (5 km/h)v

ก) ควำมเรวของเรอเมอเทยบกบฝง = 11.2 km/h ตอบ

จำกรป rE

br

tanv

v

มมทเรอท ำกบทศเหนอหำไดจำกสมกำร

1 rE

br

tanv

v

1 5tan 26.6

10

o

ข) มมทเรอท ำกบทศเหนอ 26.6o ตอบ



ตวอยาง 2.10 จำกตวอยำง 2.9 ถำเรอขำมฝำกดงกลำว ตองกำรแลนไปทำงทศเหนอ อยำกทรำบวำเรอจะตองแลนไปในทศทำงใด วธท า เขยนรปเวกเตอรควำมเรวตำงๆ โดยใหเวกเตอร bEv ชไปทำงทศเหนอ ดงรป

จำกรป tan rE

bE

v

v

หำมมเบนของหวเรอไดจำก 1tan rE

bE

v

v

(1)

จำกรป จะได 2 2

bE br rEv v v

2 2

bE (10) (5) km/hv (2) bE 8.66 km/hv (3)

แทนคำตำงๆในสมกำร (1) ได 1 5.00tan 30

8.66

o

จะตองเบนหวเรอไปในทศทำงใด 30o ตอบ



ตวอยาง 2.11 ขณะทลฟตแกวเคลอนทขนดวยอตรำเรวคงตว 4 m/s หลอดไฟหลนจำกเพดำนลฟต ชำยทอยในอำคำร(นอกลฟต)มองเหนหลอดไฟนนเคลอนทขน 0.4 วนำท และเคลอนทลง 0.4 วนำท จงหำอตรำเรวของหลอดไฟนทเวลำ t = 0.4 วนำท เมอสงเกตจำกคนทอยในลฟต

วธท า จำก bulb elev bulb blbg blbg elev

/ / /

v v v

bulb elev bulb blbg elev blbg

/ / /

v v v

0 4 4bulb elev

m s /

v / ท t = 0.4 วนำท คนในลฟตเหนหลอดไฟตกลงมำดวยอตรำเรว 4m s/ ตอบ



ตวอยาง 2.12 ขณะทฝนตก เมดฝนท ำมม 35° กบแนวดง กระแสลมมอตรำเรว 4.6 m/s ถำองคประกอบของควำมเรวในแนวระดบของเมดฝน เทำกบอตรำเรวของกระแสลม จงหำ a) อตรำเรวในแนวดงของเมดฝน b) อตรำเรวของเมดฝน

วธท า ให v คออตรำเรวของเมดฝน w

v คออตรำเรวลม

w

y

v

v tan

4 535o

y

m s

v

. /tan

6 43y

v m s . / a) อตรำเรวในแนวดงของเมดฝน 6 43 m s . / ตอบ จำก

x yv v v

2 24 5 6 43v m s m s ( . / ) ( . / )

7 84 m s . / b) อตรำเรวของเมดฝน 7 84 m s . / ตอบ



ตวอยาง 2.13 เรอขำมฟำกแลนไปทำงเหนอ ดวยอตรำเรว 5 m/s เทยบกบฝง ถำกระแสน ำไหลไปทำงทศตะวนออกเทยบกบพนดน ดวยอตรำเรว 8 m/s จงหำ a) อตรำเรวของเรอ เมอเทยบกบฝง b) มมทควำมเรวเรอท ำกบทศตะวนออก c) ถำแมน ำกวำง 100 m จงหำระยะทำง AB

ก าหนดให netv อตรำเรวของเรอ เมอเทยบกบฝง Bv อตรำเรวของเรอ เมอเทยบกบฝง wv อตรำเรวของกระแสน ำ เมอเทยบกบฝง

วธท า จำกรป tot riverboat v v v

จะได vnet = 22

wB vv = 2 25 1 = 5.1 m/s a) อตรำเรวของเรอ เมอเทยบกบฝง = 5.1 m/s ตอบ

จำก w

B

v

v tan

10 2

5

m s

m s

/tan .

/

11 3o . b) มมทควำมเรวเรอท ำกบทศเหนอ 11 3o . ตอบ c) ให BC คอระยะทำงตำมกระแสน ำ

100

river

boat

vAB

v

8

100 5

AB

160AB m ตอบ

A B

สารบัญ - rmutphysics · 2017-12-27 · บทที่ 9 การกลิ้ง...

Documents