บทท 1 ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย 061. ¨íҹǹ¹Ñº 072. µÑÇËÒÃËÇÁÁÒ¡áÅСÒùíÒä»ãªŒ 093. µÑǤٳËÇÁ¹ŒÍÂáÅСÒùíÒä»ãªŒ 134. ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹ �ÃÐËÇ‹Ò§ Ë.Ã.Á. ¡Ñº ¤.Ã.¹. 17

บทท 2 ระบบจำนวนเตม 181. ¨íҹǹàµçÁ 192. ¡ÒúǡáÅСÒÃź¨íҹǹàµçÁ 203. ¡ÒäٳáÅСÒÃËÒèíҹǹàµçÁ 264. ÊÁºÑµÔ¢Í§¨íҹǹàµçÁ 28

บทท 3 เลขยกกำลง 301. ¤ÇÒÁËÁÒ¢ͧàŢ¡¡íÒÅѧ 312. ¡ÒôíÒà¹Ô¹¡ÒâͧàŢ¡¡íÒÅѧ 353. ¡ÒùíÒä»ãªŒ 37

บทท 4 พนฐานทางเรขาคณต 401. ¨Ø´ àÊŒ¹µÃ§ ʋǹ¢Í§àÊŒ¹µÃ§ ÃѧÊÕ áÅÐÁØÁ 412. ¡ÒÃÊÌҧ¾×é¹°Ò¹ 453. ¡ÒÃÊÌҧÃÙ»àâҤ³ÔµÍ‹ҧ§‹Ò 53

บทท 5 ทศนยมและเศษสวน 561. ·È¹ÔÂÁáÅСÒÃà»ÃÕºà·Õº ·È¹ÔÂÁ 572. ¡ÒúǡáÅСÒÃź·È¹ÔÂÁ 593. ¡ÒäٳáÅСÒÃËÒ÷ȹÔÂÁ 644. àÈÉʋǹáÅСÒÃà»ÃÕºà·ÕºàÈÉʋǹ 675. ¡ÒúǡáÅСÒÃźàÈÉʋǹ 686. ¡ÒäٳáÅСÒÃËÒÃàÈÉʋǹ 717. ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�ÃÐËÇ‹Ò§àÈÉʋǹ ¡Ñº·È¹ÔÂÁ 73

บทท 6 การประมาณคา 751. ¤‹Ò»ÃÐÁÒ³ 762. ¡Òû˜´àÈÉ 783. ¡ÒûÃÐÁÒ³¤‹Ò 80

บทท 7 คอนดบและกราฟ 821. ¤Ù‹Íѹ´ÑºáÅСÃÒ¿¢Í§¤Ù‹Íѹ´Ñº 832. ¡ÃÒ¿¢Í§ÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹ÊͧµÑÇá»Ã 863. ¡ÃÒ¿áÅСÒùíÒä»ãªŒ 93

บทท 8 สมการเชงเสนตวแปรเดยว 961. ÃٻẺáÅФÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸� 972. ¤íҵͺ¢Í§ÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ 983. ¡ÒÃá¡ŒÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹µÑÇá»Ãà´ÕÂÇáÅÐ ¡ÒùíÒä»ãªŒ 99

บทท 9 ความสมพนธระหวางรป เรขาคณตสองมตและสามมต 110

1. ÀÒ¾áÅÐ˹ŒÒµÑ´¢Í§ÃÙ»àâҤ³Ôµ ÊÒÁÁÔµÔ 1112. ÀÒ¾·Õèä´Œ¨Ò¡¡ÒÃÁͧ·Ò§´ŒÒ¹º¹ ŒÒ¹Ë¹ŒÒ áÅÐ ŒÒ¹¢ŒÒ§¢Í§ÃÙ»àâҤ³Ôµ ÊÒÁÁÔµÔ 1163. ÃÙ»àâҤ³Ôµ·Õè»ÃСͺ¢Ö鹨ҡÅÙ¡ºÒÈ¡� 117

บทท 10 อตราสวนและรอยละ 1181. ÍѵÃÒʋǹáÅÐÍѵÃÒʋǹ·Õè෋ҡѹ 1192. ÊѴʋǹ 1233. ÃŒÍÂÅÐ (à»ÍÃ�à«ç¹µ�) 127

บทท 11 การวด 1331. ¡ÒÃÇÑ´¤ÇÒÁÂÒÇ 1352. ¡ÒÃÇÑ´¾×é¹·Õè 1393. ¡ÒÃÇÑ´»ÃÔÁÒµÃáÅйíéÒ˹ѡ 1514. ¡ÒÃÇÑ´àÇÅÒ 154

บทท 12 แผนภมรปวงกลม 1561. ¡ÒÃÇÒ´á¼¹ÀÙÁÔÃٻǧ¡ÅÁ 1572. ¡ÒÃ͋ҹἹÀÙÁÔÃٻǧ¡ÅÁ 160

บทท 13 การแปลงทางเรขาคณต 1651. ¡ÒÃàÅ×è͹¢¹Ò¹ 1662. ¡ÒÃÊзŒÍ¹ 170

สารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญสารบญ

page1_1-164.indd 4 8/13/19 10:02 AM

3. ¡ÒÃËÁع 1744. ¡ÒÃá»Å§·Ò§àâҤ³ÔµËÅÒÂæ ÅѡɳР177

บทท 14 ความเทากนทกประการ 1781. ¤ÇÒÁ෋ҡѹ·Ø¡»ÃСÒâͧ ÃÙ»àâҤ³Ôµ 1792. ¤ÇÒÁ෋ҡѹ·Ø¡»ÃСÒâͧ ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁ 1803. ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁ ÊͧÃٻẺµ‹Ò§æ 1824. ¡ÒùíÒÊÁºÑµÔ¤ÇÒÁ෋ҡѹ·Ø¡»ÃСÒà ä»ãªŒ 186

บทท 15 ทฤษฎบทพทาโกรส 1881. ÊÁºÑµÔ¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁÁØÁ©Ò¡áÅÐ ·Äɮպ·¾Õ·Òâ¡ÃÑÊ 1892. º·¡ÅѺ¢Í§·Äɮպ·¾Õ·Òâ¡ÃÑÊ 1903. ¡ÒÃËÒ¤ÇÒÁÂÒǢͧÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁ ÁØÁ©Ò¡ àÁ×èÍ·ÃÒº¤ÇÒÁÂÒÇ´ŒÒ¹ à¾Õ§´ŒÒ¹´ÕÂÇ 1924. ¡ÒùíÒä»ãªŒ 193

บทท 16 ความรเบองตนเกยวกบ จำนวนจรง 199

1. ¨íҹǹµÃáÂÐáÅÐ͵ÃáÂÐ 2002. ÊÁºÑµÔ¢Í§¨íҹǹ¨ÃÔ§ 2033. ÃÒ¡·ÕèÊͧ ÃÒ¡·ÕèÊÒÁ áÅÐ ÃÒ¡·Õè n 204

บทท 17 เสนขนาน 2121. àÊŒ¹¢¹Ò¹áÅÐÁØÁÀÒÂã¹ 2142. àÊŒ¹¢¹Ò¹áÅÐÁØÁáÂŒ§ 2173. àÊŒ¹¢¹Ò¹áÅÐÁØÁÀÒ¹͡¡Ñº ÁØÁÀÒÂã¹ 2214. àÊŒ¹¢¹Ò¹áÅÐÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁ 225

บทท 18 พนทผวและปรมาตร 2261. ÃÙ»àâҤ³ÔµÊÒÁÁÔµÔ 2272. »ÃÔÁҵâͧ»ÃÔ«ÖÁáÅзç¡Ãк͡ 2303. »ÃÔÁҵâͧ¾ÕÃÐÁÔ´áÅСÃÇ 235

4. »ÃÔÁҵâͧ·Ã§¡ÅÁ 2385. ¾×é¹·Õè¼ÔÇ 240

บทท 19 ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร 2461. ÃкºÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹ÊͧµÑÇá»Ã 2472. ¡ÒÃá¡ŒÃкºÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹ ÊͧµÑÇá»Ã 252 3. ⨷Â�ÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹ÊͧµÑÇá»Ã 254

บทท 20 ความคลาย 2581. ÃÙ»àâҤ³Ôµ·Õè¤ÅŒÒ¡ѹ 2592. ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁ·Õè¤ÅŒÒ¡ѹ 2613. ¡ÒùíÒä»ãªŒ 266

บทท 21 อสมการเชงเสนตวแปรเดยว 2681. ÍÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ 2692. ¡ÒÃá¡ŒÍÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ 2723. ⨷Â�»˜ÞËÒà¡ÕèÂǡѺÍÊÁ¡Òà àªÔ§àÊŒ¹µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ 276

บทท 22 ความนาจะเปน 2801. ¡Ò÷´ÅͧÊØ‹ÁáÅÐà˵ءÒó� 2812. ¡ÒÃËÒ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ð໚¹¢Í§à˵ءÒó� 2863. ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ð໚¹¡Ñº¡ÒõѴÊԹ㨠291

บทท 23 สถต 2921. ¢ŒÍÁÙÅáÅСÒùíÒàʹ͢ŒÍÁÙÅ 2932. ¤‹Ò¡ÅÒ§¢Í§¢ŒÍÁÙÅ 301

บทท 24 ทกษะและกระบวนการทาง คณตศาสตร 307

1. ¡ÒþѲ¹Ò·Ñ¡ÉÐáÅСÃкǹ¡Òà ·Ò§¤³ÔµÈÒʵÃ� 3082. ·Ñ¡ÉÐáÅСÃкǹ¡Ò÷ҧ ¤³ÔµÈÒʵÃ�µÃÕ⡳ÁÔµÔ 3093. ¡ÒÃá¡Œ»˜ÞËÒáÅСÒùíÒä»ãªŒ 315

page1_1-164.indd 5 8/13/19 10:03 AM

Lecture ÊÃػࢌÁ¤³Ôµ Á.µŒ¹6

ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

จำ นวนนบตวหารรวมมากและการนำ ไปใชตวคณรวมนอยและการนำ ไปใชความสมพนธระหวาง ห.ร.ม. กบ ค.ร.น.

º··Õè 1

page1_1-95.indd 6 8/5/19 5:47 PM

Lecture ÊÃػࢌÁ¤³Ôµ Á.µŒ¹7

1 ໚¹µÑÇ»ÃСͺ¢Í§ 7 à¾ÃÒÐ 1 ËÒà 7 䴌ŧµÑÇ

7 ໚¹µÑÇ»ÃСͺ¢Í§ 7 à¾ÃÒÐ 7 ËÒà 7 䴌ŧµÑÇ

´Ñ§¹Ñé¹ µÑÇ»ÃСͺ·Ñé§ËÁ´¢Í§ 7 ¤×Í 1 áÅÐ 7

µÑÇ»ÃСͺËÇÁ¢Í§¨íҹǹ¹ÑºµÑé§áµ‹ 2 ¨íҹǹ¢Öé¹ä» (µÑÇËÒÃËÇÁ) ¤×Í µÑÇËÒ÷ÕèÊÒÁÒö

ËÒèíҹǹ¹Ñº·Ñé§ËÁ´ä´ŒÅ§µÑÇ àª‹¹

µÑÇ»ÃСͺ¢Í§ 7 ¤×Í 1 áÅÐ 7

µÑÇ»ÃСͺ¢Í§ 14 ¤×Í 1, 2, 7 áÅÐ 14

´Ñ§¹Ñé¹ µÑÇ»ÃСͺËÇÁ¢Í§ 7 áÅÐ 14 ¤×Í 1 áÅÐ 7

¨íҹǹ੾ÒÐ ¤×Í ¨íҹǹ·ÕèÁÕµÑÇ»ÃСͺà¾Õ§ 2 µÑÇ ¤×Í 1 áÅеÑÇÁѹàͧ ઋ¹

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

¨íҹǹ¹Ñº 䴌ᡋ 1, 2, 3, …

µÑÇ»ÃСͺ¢Í§¨íҹǹ¹Ñº ¤×Í ¨íҹǹ·ÕèËÒèíҹǹ¹Ñº

¹Ñé¹æ 䴌ŧµÑÇ àª‹¹

1. จำ นวนนบ

¨íҹǹ੾ÒеÑé§áµ‹ 1-100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

0 äÁ‹à»š¹¨íҹǹ¹Ñº

NOTE:

page1_1-95.indd 7 8/5/19 5:47 PM

Lecture ÊÃػࢌÁ¤³Ôµ Á.µŒ¹8

Ex 1 ¨§á¡µÑÇ»ÃСͺ¢Í§ 100

â´ÂÇÔ¸ÕµÑé§ËÒÃ

Sol 2 100

2 50

5 25

5

´Ñ§¹Ñé¹ µÑÇ»ÃСͺ¢Í§ 100 ¤×Í

2 ĭ 2 ĭ 5 ĭ 5 = 22 ĭ 52 Ans

ËÒµÑÇ»ÃСͺ·ÕÅÐ 2 µÑÇ ä»àÃ×èÍÂæ ¹ÊØ ·ŒÒÂ

ä´ŒµÑÇ»ÃСͺ·Õè·Ø¡µÑÇ໚¹¨íҹǹ੾ÒÐ

ÇÔ¸Õ¡ÒÃᡵÑÇ»ÃСͺ

µÑé§ËÒà á¡·ÕÅÐ 2 µÑÇ

㪌µÑÇËÒëÖè§à»š¹¨íҹǹ੾ÒÐËÒÃä»àÃ×èÍÂæ

¨¹äÁ‹ÊÒÁÒöËÒ¨íҹǹ੾ÒÐã´ÁÒËÒÃä´ŒÍÕ¡

Ex 2 ¨§á¡µÑÇ»ÃСͺ¢Í§ 100

â´Â¡ÒÃá¡·ÕÅÐ 2 µÑÇ

Sol 100

5 20

2 10

2 5

´Ñ§¹Ñé¹ µÑÇ»ÃСͺ¢Í§ 100 ¤×Í

2 ĭ 2 ĭ 5 ĭ 5 = 22 ĭ 52 Ans

àÇÅÒᡵÑÇ»ÃСͺ·ÕÅÐ 2 µÑÇ 1 ã¹ 2

¢Í§¨íҹǹ·Õèá¡ÍÍ¡ÁÒ¤ÇÃ໚¹¨íҹǹ੾ÒÐ

Trick!

µÑÇ»ÃСͺ੾ÒÐ ¤×Í µÑÇ»ÃСͺ·Õè໚¹¨íҹǹ੾ÒРઋ¹

µÑÇ»ÃСͺ·Ñé§ËÁ´¢Í§ 8 ¤×Í 1, 2, 4 áÅÐ 8

¨ÐàËç¹Ç‹Ò 2 ໚¹¨íҹǹ੾ÒÐ

´Ñ§¹Ñé¹ µÑÇ»ÃСͺ੾ÒТͧ 8 ¤×Í 2

ÇÔ¸Õ¡ÒÃᡵÑÇ»ÃСͺ

page1_1-164.indd 8 8/13/19 10:05 AM

Lecture ÊÃػࢌÁ¤³Ôµ Á.µŒ¹9

µÑÇËÒÃËÇÁÁÒ¡ (Ë.Ã.Á.) ¤×Í µÑÇ»ÃСͺËÇÁ·ÕèÁÕ¤‹ÒÁÒ¡·ÕèÊØ´¢Í§¨íҹǹ¹Ñº¡ÅØ‹Á˹Öè§

1. ÇÔ¸Õ¡ÒÃËÒ Ë.Ã.Á.

ÇÔ¸Õ¡ÒÃËÒ Ë.Ã.Á.

¡ÒþԨÒóÒ

µÑÇ»ÃСͺ

¡ÒÃᡵÑÇ»ÃСͺ ¡ÒõÑé§ËÒÃÊÑé¹ ¡ÒõÑé§ËÒÃẺÂؤÅÔ´

¡ÒþԨÒóҵÑÇ»ÃСͺ

¡ÒÃᡵÑÇ»ÃСͺ

µÑÇ»ÃСͺ·Õè«íéҡѹãËŒ¹íÒÁÒ㪌ᤋ 1 µÑÇ

ʋǹµÑÇ»ÃСͺ·ÕèäÁ‹«íéҡѹ äÁ‹µŒÍ§¹íÒÁÒ㪌

Ex 3 ¨§ËÒ Ë.Ã.Á. ¢Í§ 27 áÅÐ 36

Sol µÑÇ»ÃСͺ¢Í§ 27 ¤×Í 1, 3, 9, 27

µÑÇ»ÃСͺ¢Í§ 36 ¤×Í 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

µÑÇ»ÃСͺËÇÁ·ÕèÁÒ¡·ÕèÊØ´¤×Í 9

´Ñ§¹Ñé¹ Ë.Ã.Á. ¢Í§ 27 áÅÐ 36 ¤×Í 9 Ans

Ex 4 ¨§ËÒ Ë.Ã.Á. ¢Í§ 12 áÅÐ 20

Sol ᡵÑÇ»ÃСͺ¢Í§ 12 áÅÐ 20 ä´Œ´Ñ§¹Õé

12 = 2 ĭ 2 ĭ 3

20 = 2 ĭ 2 ĭ 5

´Ñ§¹Ñé¹ Ë.Ã.Á. ¢Í§ 12 áÅÐ 20 ¤×Í 2 ĭ 2 = 4 Ans

, 12, 18, 36

12 = 2

20 = 2

2

2

´Ñ§¹Ñé¹ Ë.Ã.Á. ¢Í§ 12 áÅÐ 20 ¤×Í 2 ´Ñ§¹Ñé¹ Ë.Ã.Á. ¢Í§ 12 áÅÐ 20 ¤×Í 2 ´Ñ§¹Ñé¹ Ë.Ã.Á. ¢Í§ 12 áÅÐ 20 ¤×Í 2

¶ Œ ÒµÑ Ç»ÃСͺÁÕ¤ ‹ Ò¶Ö §

¤ÃÖè§Ë¹Ö觢ͧ¨íҹǹ·Õè¡íÒÅѧʹã¨áÅŒÇ

¨ÐäÁ‹ÁÕ¨íҹǹã´ÊÒÁÒöËÒèíҹǹ

¹Ñé¹ä´ŒÍÕ¡¹Í¡¨Ò¡µÑÇÁѹàͧ

Trick!

2. ตวหารรวมมากและการนำ ไปใช

page1_1-95.indd 9 8/5/19 5:48 PM

Lecture ÊÃػࢌÁ¤³Ôµ Á.µŒ¹10

¡ÒõÑé§ËÒÃÊÑé¹ à»š¹ÇÔ¸ÕÂÍ´¹ÔÂÁ

¡ÒõÑé§ËÒÃẺÂؤÅÔ´

Ex 5 ¨§ËÒ Ë.Ã.Á. ¢Í§ 72 áÅÐ 84

Sol 2 72 84

2 36 42

3 18 21

6 7

´Ñ§¹Ñé¹ Ë.Ã.Á. ¢Í§ 72 áÅÐ 84

¤×Í 2 ĭ 2 ĭ 3 = 12 Ans

Ex 6 ¡ÒÃËÒ Ë.Ã.Á. ¢Í§ 114 áÅÐ 437

Sol µÑé§ËÒÃâ´Â¡ÒùíÒ¤‹Ò¹ŒÍÂäÇŒ·Ò§«ŒÒÂÁ×ÍáÅйíÒ¤‹ÒÁÒ¡äÇŒ·Ò§¢ÇÒÁ×Í

1 114 437 3

95 342

19 95 5

95

0

´Ñ§¹Ñé¹ Ë.Ã.Á. ¢Í§ 114 áÅÐ 437 ¤×Í 19 Ans

¢Ñé¹·Õè 4 ¹íÒ 95 ÁÒËÒà 114

ä´ŒÁÒ¡ÊØ´ 1 ¤ÃÑé§

¢Ñé¹·Õè 5 ¹íÒ 114 - 95 = 19

¢Ñé¹·Õè 9 Ë.Ã.Á. = 19

¢Ñé¹·Õè 1 ¹íÒ 114 ËÒà 437

ä´ŒÁÒ¡ÊØ´ 3 ¤ÃÑé§

¢Ñé¹·Õè 2 ãÊ‹¼Å¤Ù³¢Í§ 114 ĭ 3 ŧ仢Ñé¹·Õè 3 ¹íÒ 437 - 342 = 95

¢Ñé¹·Õè 6 ¹íÒ 19 ËÒà 95

ä´ŒÁÒ¡ÊØ´ 5 ¤ÃÑé§

¢Ñé¹·Õè 7 ãÊ‹¼Å¤Ù³¢Í§ 19 ĭ 5 ŧ仢Ñé¹·Õè 8 95 - 95 = 0

95

0

95 95

0 0 0

19 95 5 19 95 5 19 95 5

95 342 95 342 95 342

1 114 437 3 ¹íÒ 95 ÁÒËÒà 114

1 114 437 3 1 114 437 3 1 114 437 3

19 95 5 19 95 5 19 95 5 19 95 5

95 95

Trick!

• µÑÇàÅ¢·Õè¹íÒÁÒËÒõŒÍ§à»š¹¨íҹǹ੾ÒзÕè

ÊÒÁÒöËÒ÷ء¨íҹǹ䴌ŧµÑÇ â´Â

ã¹·Õè¹Õé¨ÐàÃÔèÁ㪌 2 ËÃ×Í 3 ËÒá‹Í¹¡çä´Œ

• ¡ÒÃËÒèШºÅ§àÁ×èÍäÁ‹ÁÕ¨íҹǹ੾ÒÐã´

ËÒèíҹǹ·Ñé§ËÁ´ä´ŒÍÕ¡

• Ë.Ã.Á. ¤×Í ¼Å¤Ù³¢Í§¨íҹǹ੾ÒзÕè

¹íÒä»ËÒÃã¹áµ‹ÅТÑ鹵͹

page1_1-95.indd 10 8/5/19 5:48 PM

Lecture ÊÃػࢌÁ¤³Ôµ Á.µŒ¹11

2. ¡ÒùíÒ Ë.Ã.Á. ä»ãªŒ

·íÒàÈÉʋǹãˌ໚¹àÈÉʋǹÍ‹ҧµíèÒ

㪌ã¹â¨·Â�»˜ÞËÒ·Õ赌ͧẋ§¨íҹǹÍ͡໚¹Ê‹Ç¹æ ᵋÅÐʋǹ෋ҡѹ (ÁÑ¡ÁÕ¤íÒÇ‹ÒÁÒ¡·ÕèÊØ´

ã¹â¨·Â�)

Ex 7 ¨§·íÒ 2025 ãˌ໚¹àÈÉʋǹÍ‹ҧµíèÒ

Sol ËÒ Ë.Ã.Á. ¢Í§ 20 áÅÐ 25 ä´Œ 52025 =

20 ÷ 525 ÷ 5

= 45

´Ñ§¹Ñé¹ àÈÉʋǹÍ‹ҧµíèҢͧ 2025 ¤×Í 45 Ans

Ex 8 ⨷Â�·ÕèªÍºÍÍ¡Êͺ

ÁÕàª×Í¡ 3 àÊŒ¹ ÂÒÇ 108, 204 áÅÐ 360 àÁµÃ µÒÁÅíҴѺ ¶ŒÒµŒÍ§¡ÒõѴ

àª×Í¡·Ñé§ÊÒÁãËŒÁÕ¤ÇÒÁÂÒÇà·‹Òæ ¡Ñ¹ áÅÐµÑ ãËŒÁÕ¤ÇÒÁÂÒÇÁÒ¡·ÕèÊØ à·‹Ò·Õè зíÒä Œ

¨Ðä´Œàª×Í¡·ÕèÁÕ¤ÇÒÁÂÒÇà·‹Òäà áÅШÐä´Œ·Ñé§ËÁ´¡ÕèàÊŒ¹

Sol 2 108 204 360

2 54 102 180

3 27 51 90

9 17 30

´Ñ§¹Ñé¹ ¨Ðä´Œàª×Í¡·ÕèÁÕ¤ÇÒÁÂÒÇ 2 ĭ 2 ĭ 3 = 12 àÁµÃ

áÅШÐä´Œàª×Í¡·Ñé§ËÁ´ 9 + 17 + 30 = 56 àÊŒ¹ Ans

MEMO

page1_1-164.indd 11 8/13/19 10:07 AM

Lecture ÊÃػࢌÁ¤³Ôµ Á.µŒ¹12

Ex 10 ⨷Â�¡ÒÃËÒ¾×é¹·ÕèẺÁÕ Ë.Ã.Á. à¡ÕèÂÇ¢ŒÍ§

ÁÕ¡ÃдÒɡnjҧ 105 ૹµÔàÁµÃ ÂÒÇ 150 ૹµÔàÁµÃ ¶ŒÒµŒÍ§¡ÒõѴ¡ÃдÒɹÕéãˌ໚¹

ÃÙ»ÊÕè àËÅÕèÂÁ¨ÑµØÃÑÊ ·ÕèÁÕ´ ŒÒ¹ÂÒÇ·ÕèÊØ´à·‹Ò·Õè¨ÐÂÒÇä´ŒáÅÐäÁ‹àËÅ×ÍàÈÉ¡ÃдÒÉàÅÂ

¨ÐµÑ´ä´Œ¡ÕèἋ¹

Sol ËÒ Ë.Ã.Á. ¢Í§ 105 áÅÐ 150

5 105 150

3 21 30

7 10

Ë.Ã.Á. ¢Í§ 105 áÅÐ 150 ¤×Í 5 ĭ 3 = 15

ËÁÒ¤ÇÒÁNjҨеѴ䴌¡ÃдÒÉÃÙ»ÊÕèàËÅÕèÂÁ¨ÑµØÃÑÊ

·ÕèÁÕ¤ÇÒÁÂÒÇ´ŒÒ¹ÅÐ 15 ૹµÔàÁµÃ

¾×é¹·Õè¢Í§ÃÙ»ÊÕèàËÅÕèÂÁ¨ÑµØÃÑÊᵋÅÐÃÙ» ¤×Í 15 ĭ 15 = 225 µÒÃҧૹµÔàÁµÃ

´Ñ§¹Ñé¹ µÑ´¡ÃдÒÉä´Œ·Ñé§ËÁ´ = ¾×é¹·ÕèÃÙ»ÊÕèàËÅÕèÂÁ¼×¹¼ŒÒ

¾×é¹·ÕèÃÙ»ÊÕèàËÅÕèÂÁ¨ÑµØÃÑÊ = 105 ĭ 150

225

= 70 ÃÙ» Ans

Ex 9 ⨷Â�¡ÒÃËÒ Ë.Ã.Á. ẺÁÕàÈÉ

¨§ËÒ¨íҹǹÁÒ¡·ÕèÊØ´·ÕèËÒà 482 áÅÐ 947 áÅŒÇ

àËÅ×ÍàÈÉ 2 ෋ҡѹ

Sol 482 - 2 = 480 ¡Ñº 947 - 2 = 945

5 480 945

3 96 189

32 63

Ë.Ã.Á. ¢Í§ 480 áÅÐ 945

¤×Í 5 ĭ 3 = 15

´Ñ§¹Ñé¹ ¨íҹǹÁÒ¡·ÕèÊØ´·ÕèËÒà 482 áÅÐ 947 áÅŒÇ

àËÅ×ÍàÈÉ 2 ¤×Í 15 Ans

Trick!

¶ŒÒµŒÍ§¡ÒÃËÒ¨íҹǹÁÒ¡·ÕèÊØ´

·ÕèËÒèíҹǹã´æ áÅŒÇàËÅ×ÍàÈÉ

ãËŒ¹íÒ¨íҹǹã´æ ÁÒźàÈÉ

¡‹Í¹ áŌǨ֧¹íÒä»ËÒ Ë.Ã.Á.

page1_1-95.indd 12 8/5/19 5:48 PM

Lecture ÊÃػࢌÁ¤³Ôµ Á.µŒ¹13

Ex 11 ⨷Â�àÃ×èͧ¤ÇÒÁÂÒÇẺÁÕ Ë.Ã.Á. à¡ÕèÂÇ¢ŒÍ§

ÊǹŌÍÁÃÑéÇáË‹§Ë¹Öè§à»š¹ÃÙ»ÊÕèàËÅÕèÂÁ¼×¹¼ŒÒ ¡ÇŒÒ§ 180 àÁµÃ ÂÒÇ 255 àÁµÃ µŒÍ§¡ÒÃ

»ÅÙ¡µŒ¹äÁŒã¹ÊǹáË‹§¹Õé â´Â»ÅÙ¡ãËŒµŒ¹äÁŒáµ‹ÅеŒ¹ÁÕÃÐÂÐˋҧ෋ҡѹ áÅÐË‹Ò§¨Ò¡

ÃÔÁÃÑéÇ෋ҡѺÃÐÂÐË‹Ò§¨Ò¡µŒ¹Í×è¹æ ´ŒÇ ¨Ð»ÅÙ¡µŒ¹äÁŒä´ŒÍ‹ҧ¹ŒÍ¡Õ赌¹

Sol ËÒ Ë.Ã.Á. ¢Í§ 180 áÅÐ 255

5 180 255

3 36 51

12 17

Ë.Ã.Á. = 5 x 3 = 15

ËÁÒ¤ÇÒÁÇ‹ÒÃÐÂÐË‹Ò§¢Í§µŒ¹äÁŒáµ‹ÅеŒ¹¤×Í 15 àÁµÃ

ẋ§´ŒÒ¹¡ÇŒÒ§ä´Œ 18015

= 12 ª‹Í§ «Ö觡ç¤×Í»ÅÙ¡µŒ¹äÁŒ (ÃÐËÇ‹Ò§ª‹Í§)

ä´Œ 11 µŒ¹

ẋ§´ŒÒ¹ÂÒÇä´Œ 25515

= 17 ª‹Í§ «Ö觡ç¤×Í»ÅÙ¡µŒ¹äÁŒ (ÃÐËÇ‹Ò§ª‹Í§)

ä´Œ 16 µŒ¹

´Ñ§¹Ñé¹ ÊÒÁÒö»ÅÙ¡µŒ¹äÁŒä´ŒÍ‹ҧ¹ŒÍ 11 ĭ 16 = 176 µŒ¹ Ans

¨Ò¡·Õè·ÃÒº¡Ñ¹ä»áÅŒÇÇ‹Ò 7 ໚¹µÑÇ»ÃСͺ¢Í§ 14 ã¹·Ò§¡ÅѺ¡Ñ¹ 14 ໚¹¾Ëؤٳ

¢Í§ 7 ´Ñ§¹Ñ鹨íҹǹ¹Ñº·ÕèËÒôŒÇ¨íҹǹ¹Ñº·Õè¡íÒ˹´ãˌŧµÑǤ×Í ¾Ëؤٳ¢Í§¨íҹǹ¹Ñº

·Õè¡íÒ˹´ãËŒ ઋ¹

¾Ëؤٳ¢Í§ 7 ¤×Í 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, …

¾Ëؤٳ¢Í§ 14 ¤×Í 14, 28, 42, 56, …

¨ÐàËç¹Ç‹ÒÁÕºÒ§¨íҹǹ·Õè໚¹¾Ëؤٳ¢Í§·Ñé§ 7 áÅÐ 14 ઋ¹ 14, 28, 42, 56, …

ËÃ×ÍàÃÕ¡NjÒ໚¹¾ËؤٳËÇÁ¢Í§ 7 áÅÐ 14 ¾ËؤٳËÇÁ·ÕèÁÕ¤‹Ò¹ŒÍ·ÕèÊØ´¤×Í 14 àÃÒàÃÕ¡

¨íҹǹ·Õ蹌Í·ÕèÊØ´¹ÕéÇ‹Ò µÑǤٳËÇÁ¹ŒÍ (¤.Ã.¹.)

3. ตวคณรวมนอยและการนำ ไปใช

page1_1-95.indd 13 8/5/19 5:48 PM

Lecture ÊÃػࢌÁ¤³Ôµ Á.µŒ¹14

Ex 13 ¨§ËÒ ¤.Ã.¹. ¢Í§ 10, 20 áÅÐ 25

Sol 10 = 2 x 5

20 = 2 x 2 x 5

25 = 5 x 5

´Ñ§¹Ñé¹ ¤.Ã.¹. ¢Í§ 10, 20 áÅÐ 25 ¤×Í 2 x 2 x 5 x 5 = 100 Ans

1. ÇÔ¸Õ¡ÒÃËÒ ¤.Ã.¹.

¡ÒÃᡵÑÇ»ÃСͺ

¡ÒþԨÒóҾËؤٳ

• µÑÇ»ÃСͺàËÁ×͹¡Ñ¹ 2 µÑÇ ¹íÒÁÒ 1 µÑÇ

• µÑÇ»ÃСͺàËÁ×͹¡Ñ¹ 3 µÑÇ ¹íÒÁÒ 1 µÑÇ

• µÑÇ»ÃСͺäÁ‹àËÁ×͹¡Ñ¹ ¹íÒÁÒ·Ø¡µÑÇ

Trick!

Ex 12 ¨§ËÒ ¤.Ã.¹. ¢Í§ 3 áÅÐ 6

Sol ¾Ëؤٳ¢Í§ 3 ¤×Í 3, 6, 9, 12, 18, …

¾Ëؤٳ¢Í§ 6 ¤×Í 6, 12, 18, …

¾ËؤٳËÇÁ¢Í§ 3 áÅÐ 6 ¤×Í 6, 12, 18, …

áÅоËؤٳËÇÁµÑÇ·Õ蹌Í·ÕèÊØ´¤×Í 6

´Ñ§¹Ñé¹ ¤.Ã.¹. ¢Í§ 3 áÅÐ 6 ¤×Í 6 Ans

Sol 10 = 2 x 5

= 2 x 2 x 5

´Ñ§¹Ñé¹ ¤.Ã.¹. ¢Í§ 10, 20 áÅÐ 25 ¤×Í

= 5 x 5

Sol 10 = 2 x 5

= 2 x 2 x 5

= 5 x 5

ÇÔ¸Õ¡ÒÃËÒ ¤.Ã.¹.

¡ÒþԨÒóҾËؤٳ ¡ÒõÑé§ËÒÃÊÑ鹡ÒÃᡵÑÇ»ÃСͺ

page1_1-95.indd 14 8/5/19 5:48 PM

Lecture ÊÃػࢌÁ¤³Ôµ Á.µŒ¹15

Ex 14 ¨§ËÒ ¤.Ã.¹. ¢Í§ 15, 25 áÅÐ 30

Sol 5 15 25 30

3 3 5 6

5 1 5 2

2 1 1 2

1 1 1

´Ñ§¹Ñé¹ ¤.Ã.¹. ¢Í§ 15, 25 áÅÐ 30 ¤×Í 2 ĭ 3 ĭ 5 ĭ 5 = 150 Ans

Ex 15 ¨§ËÒ¼ÅÅѾ¸�¢Í§ 12

+ 13

- 14

Sol ËÒ ¤.Ã.¹. ¢Í§ 2, 3 áÅÐ 4 䴌෋ҡѺ 12

·íÒʋǹ¢Í§·Ø¡¨íҹǹãˌ෋ҡѺ 12

´Ñ§¹Ñé¹ 12

+ 13

- 14 = 1 ĭ 6

2 ĭ 6+ 1 ĭ 4

3 ĭ 4- 1 ĭ 34 ĭ 3

= 612 + 4

12 - 3

12 = 7

12Ans

¡ÒõÑé§ËÒÃÊÑé¹ à»š¹ÇÔ¸ÕÂÍ´¹ÔÂÁ

• µÑÇàÅ¢·Õè¹íÒÁÒËÒõŒÍ§à»š¹¨íҹǹ੾ÒÐ

• ¨íҹǹ੾ÒзÕè¹íÒÁÒËÒÃäÁ‹¨íÒ໚¹µŒÍ§ËÒÃä´Œ·Ø¡¨íҹǹ

¨íҹǹã´ËÒÃäÁ‹ä´Œ¡çãËŒ´Ö§Å§ÁÒàÅÂ

• ¡ÒÃËÒèШºÅ§àÁ×èͺÃ÷ѴÊØ´·ŒÒ¡ÅÒÂ໚¹ 1 ·Ñé§ËÁ´

• ¤.Ã.¹. ¤×Í ¼Å¤Ù³¢Í§¨íҹǹ੾ÒзÕè¹íÒÁÒËÒ÷Ñé§ËÁ´

Trick!

2. ¡ÒùíÒ ¤.Ã.¹. ä»ãªŒ

㪌㹡ÒúǡźàÈÉʋǹ

page1_1-164.indd 15 8/13/19 10:08 AM

Lecture ÊÃػࢌÁ¤³Ôµ Á.µŒ¹16

㪌¤íҹdzàÁ×è͵ŒÍ§ËҨش·Õè¨ÐÁÒºÃ躡ѹ¢Í§§Ò¹ËÅÒÂæ §Ò¹·ÕèÁըشàÃÔèÁµŒ¹¾ÃŒÍÁ¡Ñ¹

ᵋ㪌ÃÐÂÐàÇÅÒ㹡Ò÷íÒ§Ò¹µ‹Ò§¡Ñ¹ (ÁÑ¡ÁÕ¤íÒÇ‹Ò¹ŒÍ·ÕèÊØ´ã¹â¨·Â�)

Ex 17 ⨷Â�ËÒ ¤.Ã.¹. ẺÁÕàÈÉ

¨íҹǹ¹ŒÍ·ÕèÊØ´·Õè¹íÒ 6, 8 áÅÐ 10 ä»ËÒÃáÅŒÇàËÅ×ÍàÈÉ 3 ·Ñé§ËÁ´¤×ͨíҹǹã´

Sol 2 6 8 10

3 3 4 5

5 1 4 5

2 1 4 1

2 1 2 1

1 1 1

¤.Ã.¹. ¢Í§ 6, 8 áÅÐ 10 ¤×Í 2 ĭ 2 ĭ 2 ĭ 3 ĭ 5 = 120

ᵋ⨷Â�µŒÍ§¡Òèíҹǹ·ÕèàÁ×è͹íÒ 6, 8 áÅÐ 10 ä»ËÒÃáÅŒÇàËÅ×ÍàÈÉ 3

¨Ö§µŒÍ§¹íÒ 120 + 3 = 123

´Ñ§¹Ñé¹ ¨íҹǹ¹ŒÍ·ÕèÊØ´·Õè¹íÒ 6, 8 áÅÐ 10 ä»ËÒÃáÅŒÇàËÅ×ÍàÈÉ 3 ·Ñé§ËÁ´¤×Í

123 Ans

Ex 16 ⨷Â�·ÕèªÍºÍÍ¡Êͺ

¨íҹǹ¹ŒÍ·ÕèÊØ´·Õè¹íÒ 3, 5 áÅÐ 7 ä»ËÒÃ

áÅŒÇŧµÑÇ·Ñé§ËÁ´¤×ͨíҹǹã´

Sol 3 3 5 7

5 1 5 7

7 1 1 7

1 1 1

´Ñ§¹Ñé¹ ¨íҹǹ¹ŒÍ·ÕèÊØ´·Õè¹íÒ 3, 5 áÅÐ 7

ä»ËÒÃáÅŒÇŧµÑÇ·Ñé§ËÁ´¤×Í 105 Ans

¡ÒÃËÒ¨íҹǹ¹ŒÍ·ÕèÊØ ·Õè¹íÒ¨íҹǹã´æ ·Õè

¡íÒ˹´ÁÒãËŒËÒÃáÅŒÇàËÅ×ÍàÈÉ ãËŒ¹íÒ

µÑÇàÅ¢·Õè໚¹àÈÉÁҺǡ ¤.Ã.¹. ·ÕèËÒä´Œ

Trick!

page1_1-95.indd 16 8/5/19 5:48 PM

Lecture ÊÃػࢌÁ¤³Ôµ Á.µŒ¹17

Ex 18 ⨷Â�ËÒ ¤.Ã.¹. ·Õèà¡ÕèÂǡѺàÇÅÒ

¹ÒÌ�¡Ò 3 àÃ×͹ µÑ駵ç¡Ñ¹·ÕèàÇÅÒ 8.00 ¹. áÅÐãˌᵋÅÐàÃ×͹»ÅØ¡·Ø¡ 15 ¹Ò·Õ, 30 ¹Ò·Õ

áÅÐ 1 ªÑèÇâÁ§ µÒÁÅíҴѺ ÍÕ¡¹Ò¹à·‹ÒäùÒÌ�¡Ò·Ñé§ÊÒÁàÃ×͹¨Ö§¨Ð»ÅØ¡¾ÃŒÍÁ¡Ñ¹ áÅШлÅØ¡

¾ÃŒÍÁ¡Ñ¹·ÕèàÇÅÒà·‹ÒäÃ

Sol 3 15 30 60 1 ªÑèÇâÁ§ = 60 ¹Ò·Õ

5 5 10 20

2 1 2 4

2 1 1 2

1 1 1

¤.Ã.¹. ¢Í§ 15, 30 áÅÐ 60 ¤×Í 2 ĭ 2 ĭ 3 ĭ 5 = 60

´Ñ§¹Ñé¹ ¹ÒÌ�¡Ò 3 àÃ×͹ ¨Ð㪌àÇÅÒ 60 ¹Ò·Õ ËÃ×Í 6060 = 1 ªÑèÇâÁ§ ¨Ö§¨Ð»ÅØ¡¾ÃŒÍÁ¡Ñ¹

ÍÕ¡¤ÃÑé§ áÅйÒÌ�¡Ò·Ñé§ÊÒÁàÃ×͹¨Ð»ÅØ¡¾ÃŒÍÁ¡Ñ¹ã¹àÇÅÒ 8.00 + 1.00

= 9.00 ¹ÒÌ�¡Ò Ans

¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�ÃÐËÇ‹Ò§ Ë.Ã.Á. ¡Ñº ¤.Ã.¹. ¢Í§¨íҹǹ¹ÑºÊͧµÑÇã´æ àÁ×èÍ a áÅÐ b

໚¹¨íҹǹ¹Ñºã´æ ¤×Í

(Ë.Ã.Á. ¢Í§ a áÅÐ b) ĭ (¤.Ã.¹. ¢Í§ a áÅÐ b) = a ĭ b

4. ความสมพนธระหวาง ห.ร.ม. กบ ค.ร.น.

Ex 19 ¼Å¤Ù³¢Í§ Ë.Ã.Á. áÅÐ ¤.Ã.¹. ¢Í§¨íҹǹ¹Ñº a áÅÐ b ෋ҡѺ 60

¶ŒÒ b = 15 áÅŒÇ a ÁÕ¤‹Òà·‹ÒäÃ

Sol ¨Ò¡Êٵà (Ë.Ã.Á. ¢Í§ a áÅÐ b) ĭ (¤.Ã.¹. ¢Í§ a áÅÐ b) = a ĭ b

á·¹¤‹Ò¨Ðä´Œ 60 = 15 ĭ a

a = 6015 a = 4

´Ñ§¹Ñé¹ a ÁÕ¤‹Ò෋ҡѺ 4 Ans

page1_1-95.indd 17 8/5/19 5:48 PM

Lecture ÊÃػࢌÁ¤³Ôµ Á.µŒ¹18

ระบบจำ นวนเตม º··Õè 2

จำ นวนเตมการบวกและการลบจำ นวนเตมการคณและการหารจำ นวนเตมสมบตของจำ นวนเตม

page1_1-95.indd 18 8/5/19 5:48 PM

Lecture ÊÃػࢌÁ¤³Ôµ Á.µŒ¹19

¤×Í íҹǹ·Õè»ÃСͺ仴ŒÇ¨íҹǹàµçÁºÇ¡ ÈÙ¹Â� áÅШíҹǹàµçÁź

¡ÒÃà»ÃÕºà·Õº¨íҹǹàµçÁ

àÁ×èÍà»ÃÕºà·Õº¨íҹǹàµçÁâ´Â㪌àÊŒ¹¨íҹǹ íҹǹ·ÕèÍÂÙ‹·Ò§¢ÇÒÁ×ͨÐÁÕ¤‹ÒÁÒ¡¡Ç‹Ò¨íҹǹ

·ÕèÍÂÙ‹·Ò§«ŒÒÂÁ×ÍàÊÁÍ

Ò¡àÊŒ¹¨íҹǹ´ŒÒ¹º¹¨ÐàËç¹ä´ŒÇ‹Ò 3 ÁÕ¤‹ÒÁÒ¡¡Ç‹Ò 1 áÅÐ -1 ÁÕ¤‹ÒÁÒ¡¡Ç‹Ò -3

¨íҹǹàµçÁź ÈÙ¹Â� ¨íҹǹàµçÁºÇ¡

ÁÕ¤‹Ò¹ŒÍÂ¡Ç‹Ò 0 ઋ¹

-1, -2, -3, …

0 ¨íҹǹ¹Ñº ËÃ×Í

¨íҹǹ¸ÃÃÁªÒµÔ

ઋ¹ 1, 2, 3, …ÊÒÁÒöà¢Õ¹ŧº¹àÊŒ¹¨íҹǹ䴌´Ñ§¹Õé

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

¨íҹǹàµçÁ

àÇÅÒà»ÃÕºà·Õº¨íҹǹàµçÁ´ŒÇ¡ÒþԨÒóҵÑÇàÅ¢ ÍҨ㪌ËÅÑ¡¡Òôѧ¹Õé

µÑÇàŢ໚¹ºÇ¡ ¶×ÍÇ‹ÒÁÕà§Ô¹ ઋ¹ 5 ¤×Í ÁÕà§Ô¹ 5 ºÒ·

µÑÇàŢ໚¹Åº ¶×ÍÇ‹ÒÁÕ˹Õé ઋ¹ -5 ¤×Í ÁÕ˹Õé 5 ºÒ·

àÁ×èÍà»ÃÕºà·Õº¤‹ÒºÇ¡¡Ñº¤‹Òź ઋ¹ -5 ¡Ñº 5 ÁÕà§Ô¹ 5 ºÒ· ‹ÍÁÁÕ¤‹ÒÁÒ¡¡Ç‹Ò

µÔ´Ë¹Õé 5 ºÒ· ´Ñ§¹Ñé¹ 5 ÁÒ¡¡Ç‹Ò -5

Trick!

1. จำ นวนเตม

page1_1-95.indd 19 8/5/19 5:48 PM

Lecture ÊÃػࢌÁ¤³Ôµ Á.µŒ¹20

1. ¤‹ÒÊÑÁºÙó�

¤‹ÒÊÑÁºÙó�¢Í§¨íҹǹàµçÁ (à¢ÕÂ¹á·¹ä Œ ŒÇÂÊÑÞÅѡɳ� | |) ËÒä Œ Ò¡ÃÐÂзÕè íҹǹ¹Ñé¹

ÍÂÙ‹Ë‹Ò§¨Ò¡ÈÙ¹Â�º¹àÊŒ¹¨íҹǹ

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Ex 1 ¨§ËÒ¤‹ÒÊÑÁºÙó�¢Í§ 4 (l4l)

Sol 4 ÍÂÙ‹Ë‹Ò§¨Ò¡ 0 ໚¹ÃÐÂÐ 4 ˹‹Ç ´Ñ§ÃÙ»

´Ñ§¹Ñé¹ ¤‹ÒÊÑÁºÙó�¢Í§ 4 (à¢Õ¹᷹䴌´ŒÇÂÊÑÞÅѡɳ� l4l) ¤×Í 4 Ans

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Ex 2 ¨§ËÒ¤‹ÒÊÑÁºÙó�¢Í§ -4 (l-4l)

Sol -4 ÍÂÙ‹Ë‹Ò§¨Ò¡ 0 ໚¹ÃÐÂÐ 4 ˹‹Ç ´Ñ§ÃÙ»

´Ñ§¹Ñé¹ ¤‹ÒÊÑÁºÙó�¢Í§ -4 (à¢Õ¹᷹䴌´ŒÇÂÊÑÞÅѡɳ� l-4l) ¤×Í 4 Ans

µÑÇàÅ¢ã´æ àÁ×èÍÍÂÙ‹ÀÒÂ㵌à¤Ã×èͧËÁÒ¤‹ÒÊÑÁºÙó�

¼ÅÅѾ¸�·Õèä´ŒÍÍ¡ÁÒ¨Ð໚¹ºÇ¡·Ñé§ËÁ´ ઋ¹

l89l = 89

l0l = 0

l-115l = 115

Trick!

ã¹·Ò§¡ÅѺ¡Ñ¹ x ·ÕèÍÂÙ‹ÀÒÂ㵌à¤Ã×èͧËÁÒ¤‹ÒÊÑÁºÙó�

ÍÒ¨ÁÕ¤‹Ò໚¹ºÇ¡ ÈÙ¹Â� ËÃ×Íź¡çä´Œ ઋ¹

ÁÕ¤‹Ò໚¹ºÇ¡ àÁ×èÍ x > 0 lxl ÁÕ¤‹Ò໚¹ÈÙ¹Â� àÁ×èÍ x = 0

ÁÕ¤‹Ò໚¹Åº àÁ×èÍ x < 0

2. การบวกและการลบจำ นวนเตม

page1_1-95.indd 20 8/5/19 5:48 PM

Lecture ÊÃػࢌÁ¤³Ôµ Á.µŒ¹21

Ex 4 21 + 10 ÁÕ¤‹Òà·‹ÒäÃ

Sol 21 + 10 ãËŒ¤Ô´Ç‹ÒÁÕà§Ô¹ 21 ºÒ· ä´Œà¾ÔèÁÁÒÍÕ¡ 10 ºÒ· ¨ÐÁÕà§Ô¹

·Ñé§ËÁ´ 31 ºÒ· ´Ñ§¹Ñé¹ 21 + 10 = 31 Ans

Ex 3 3 + 1 ÁÕ¤‹Òà·‹ÒäÃ

Sol ¹Ñº¨Ò¡ÈÙ¹Â�ä»·Ò§´ŒÒ¹ºÇ¡ 3 ˹‹Ç ¨Ò¡¹Ñ鹹Ѻµ‹Íä»ÍÕ¡ 1 ˹‹ÇÂ

¨Ðä»ÊÔé¹ÊØ´·Õè 4 ´Ñ§¹Ñé¹ 3 + 1 = 4 Ans

2. ¡Òúǡ¨íҹǹàµçÁ

¡Òúǡ¨íҹǹàµçÁºÇ¡´ŒÇ¨íҹǹàµçÁºÇ¡ ໚¹àÃ×èͧ·Õèà¤ÂàÃÕ¹ÁÒµÑé§áµ‹ªÑé¹»ÃжÁ

¡Òúǡ¨íҹǹàµçÁ

¡Òúǡ¨íҹǹàµçÁºÇ¡´ŒÇ¨íҹǹàµçÁºÇ¡

¡Òúǡ¨íҹǹàµçÁºÇ¡´ŒÇ¨íҹǹàµçÁź

¡Òúǡ¨íҹǹàµçÁź´ŒÇ¨íҹǹàµçÁź

¡Òúǡ¨íҹǹàµçÁź´ŒÇ¨íҹǹàµçÁºÇ¡

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

¨Ò¡â¨·Â� 3 + 1 ÁÕ¤‹Òà·‹Òäà ÍÒ¨¤Ô´´Ñ§¹Õé

ÁÕà§Ô¹ 3 ºÒ· áÅŒÇä´Œà¾ÔèÁÁÒÍÕ¡ 1 ºÒ· ÊØ´·ŒÒ¨Ð

ÁÕà§Ô¹ 4 ºÒ· ¤×Í 4 ¹Ñè¹àͧ

Trick!

page1_1-95.indd 21 8/5/19 5:49 PM