สารบัญก. จงหาควอร ไทล ท 1เดไซล ท 6...

สารบญ

หนา

การวดคากลางของขอมล 1

การวดต าแหนงของขอมล 6

การวดการกระจายสมบรณ 14

การวดการกระจายสมพทธ 30

แบบฝกหดการวดการกระจายขอมล 32

สรปความสมพนธระหวางคากลางชนดตางๆ 41

แบบฝกหดทบทวน 43

วชาคณตศาสตร (ค30206/ ค33292) เรอง การวเคราะหขอมลเบองตน โรงเรยนสตรนนทบร ระดบชนมธยมศกษาปท 6 ภาคเรยนท 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

Page 1

เรอง การวดคากลางของขอมล


Page 2


Page 3

1.ขอมลนาหนก (กก.) ของนกเรยน 9 คนเปนดงน 40 45 46 46 50 51 49 52 42 ใหหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม ของขอมลชดน 2. ตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบของนกเรยนจานวน 100 คน เปนดงน

คะแนน จานวนนกเรยน 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99

2 9 13 20 30 15 10 1

ก. ใหหาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบ ข. ใหหามธยฐานของคะแนนสอบ


Page 4

ค. ใหหาฐานนยมของคะแนนสอบ

ง. หากตดอนตรภาคชน 20 – 29 และ 30 – 39 ทงไป ใหเหลอขอมลเพยง 89 จานวน แลว คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม จะเปลยนแปลงอยางไร

3. คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยน 10 คน เปน 65 คะแนน ถานกเรยน 7 คนแรก มคะแนนสอบดงน 55, 43, 67, 80, 85, 74, 38 คะแนน สวนอก 3 คน มคนไดคะแนนเทากน 2คน และมากกวาอกคนหนงอย 11 คะแนน จงหามธยฐาน และฐานนยมของคะแนนสอบของนกเรยน10 คนน 4. ครอบครวหนงมบตร 5 คน คนโตอาย 15 ป คนสดทองอาย 4 ป คาเฉลยอายบตรทกคนเปน11 ป มธยฐานเปน 12 ป หากบตรคนท 4 อายนอยกวาคนท 2 อย 4 ป จงหาคาเฉลยของอายบตรในอก 3 ปขางหนา


Page 5

5. จากการวเคราะหความสมพนธระหวางนาหนก (กก.; W) กบสวนสง (ซม.; H) ของคน 15 คน พบวาเปนไปตามสมการ 3W = H − 15 ถาคาเฉลยของสวนสง 6 คนแรกเปน 159 ซม. และของอก 9 คนทเหลอเปน 156 ซม. ใหหาคาเฉลยของนาหนกคน 15 คนน 6. ความสมพนธระหวางกาไร (y) และราคาทน (x) ของสนคาชนดหนงเปนy = 7 + 0.25 x ถาราคาทนของ สนคา 5 ชนเปน 32, 48, 40, 56, 44 บาท แลว จงหาคาเฉลยเลขคณตของกาไรของสนคา 5 ชนน 8. ขอมล N จานวน มคาเฉลยเลขคณตเปน 15 ภายหลงพบวาอานขอมลผด คอจาก 21 อานผด เปน 12 จงทาการหาคาเฉลยเลขคณตใหมไดเปน 16 จงหาจานวนขอมล


Page 6

การวดต าแหนงของขอมล การวดต าแหนงของขอมล เปนการหาคะแนนเมอแบงขอมลออกเปนสวนๆ เทาๆ กน 1. การหาเปอรเซนไทล คอ การหาคาทแบงขอมลออกเปน 100 สวนเทาๆ กน 2. การหาเดไซล คอ การหาคาทแบงขอมลออกเปน 10 สวนเทาๆ กน 3. การหาควอไทล คอ การหาคาทแบงขอมลออกเปน 4 สวนเทาๆ กน การหาคาควอไทล เดไซล และเปอรเซนไทล กรณขอมลไมแจกแจงความถ 1. นาขอมลมาเรยงจากนอยไปหามาก 2. หาตาแหนงของคาทเราตองการ

ตาแหนงของ Qr คอ 4

)1( Nr

ตาแหนงของ Dr คอ 10

)1( Nr

ตาแหนงของ Pr คอ 100

)1( Nr

ตวอยาง 1. ขอมล 10, 13, 17, 25, 25, 27, 30, 35, 39 จงหา Q1 ,D5, P75


Page 7

เมอขอมลแจกแจงความถของแตละคา เชน

x 5 7 10 14 15 F 1 3 5 4 2

จงหา Q1, D7, P30

เขยนในรปไมแจกแจงความถไดดงน 5 7 7 7 10 10 10 10 10 14 14 14 14 14 15 15 กรณขอมลแจกแจงความถเปนกลมคะแนน 1. เรมดวยการหาตาแหนง

ตาแหนง Qr คอ 4

rN

ตาแหนง Dr คอ 10

rN

ตาแหนง Pr คอ 100

rN

2. นาคาทไดไปเทยบกบตารางความถสะสม

3. ใชสตร Qr = L + I 4L

m

rNf

f

Dr = L + I 10L

m

rNf

f

Pr = L + I 100L

m

rNf

f

L - แทนขอบลางของอนตรภาคชนท Qr , Dr , Pr อย


Page 8

I - แทนความกวางของอนตรภาคชนท Qr , Dr , Pr อย

Lf - ผลรวมของความถของทกชนทมคะแนนตากวาอนตรภาคชนท Qr , Dr , Pr อย

mf - ความถของอนตรภาคชนท Qr , Dr , Pr อย ตวอยาง 1 คะแนนการสอบของนกเรยน 30 คน จงหา P40, D8, Q2

คะแนน 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 ความถ 3 7 10 8 2


Page 9

ตวอยาง 2 ในการสอบของนกเรยน 120 คน

คะแนน 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 ความถ 1 4 10 22 45 30 8

จงหา 1. คะแนนตาสดของกลมนกเรยนทไดคะแนนสงสด ซงคดเปน 20 % ของทงหมด

2. คะแนนสงสดของกลมทไดคะแนนตาสด ซงคดเปน 15 % ของทงหมด 3. นกเรยนทไดคะแนน 75 คะแนน คดเปนเปอรเซนไทลทเทาใด


Page 10

1. จงหา Q1, D5, P60 จากขอมลตอไปน

x 1 3 5 7 9 11 13 15 f 1 2 3 4 5 6 7 8

2. การสอบคณตศาสตรของนกเรยน 80 คน

คะแนน 90-99 80-89 70-79 60-69 50-59 ความถ 2 5 7 6 2

จงหา 1.จานวนเปอรเซนตของนกเรยนทสอบไดคะแนน ตงแต 70 - 89 2. คะแนน 75 ตรงกบเปอรเซนไทลทเทาใด 3. Q2 ตรงกบคะแนนใด

แบบฝกหด 1


Page 11

สมชายกบสมศรมอาย 25 ปเทากน จงหาวา

1. อายสมชายอยในตาแหนงเปอรเซนไทลเทาใด ของกลมชาย

2. อายสมศรอยในตาแหนงเปอรเซนไทลเทาใด ของกลมหญง

3. ถารวม 2 กลมเปนกลมเดยวกน อายของ ทง 2 คนอยในตาแหนงเปอรเซนไทลทเทาใด

3. ขอมลตอไปนเปนคะแนนการสอบวชาสถตของนกเรยน 2 หอง ๆ ละ 50 คน

ความถ

หอง 1 หอง 2 30-39 2 3 40-49 5 4 50-59 11 13 60-69 15 12 70-79 8 10 80-89 6 5 90-99 3 3

4. ตารางตอไปนเปนอายของคนสองกลม ๆ ละ 50 คน โดยแยกตามเพศ

ความถ เพศชาย เพศหญง

36-38 3 1 33-35 6 3 30-32 8 4 27-29 12 15 24-26 15 12 21-23 4 10 18-20 2 5

คะแนน

อาย

นาย ก อยหอง 1 ไดคะแนนเทากบ P75

นาย ข อยหอง 2 ไดคะแนนเทากบ D8

1. จงหาคะแนนเฉลยของทง 2 คน 2. ถารวมนกเรยนทง 2 หองเปนหองเดยว จงหาคะแนนของคนทสอบไดเทากบ Q1


Page 12

5. ผลการสอบวชาคณตศาสตรประจาภาคปลาย ปรากฏวา โรงเรยน ก และโรงเรยน ข มจานวนนกเรยนทไดระดบคะแนน A มอย 10 % , B มอย 20 % C มอย 45 %, D มอย 20 % และ F มอย 5 % เทากน โดยทโรงเรยน ข มจานวนนกเรยนไดคะแนนในชวงตาง ๆ ดงตาราง

ชวงคะแนน นอยกวา30 30-49 50-69 70-89 ตงแต 90 ขนไป จานวนนกเรยน 2 25 40 20 10

ถาสมชายอยโรงเรยน ก และ สมชยอยโรงเรยน ข ไดคะแนน 65 คะแนนเทากน โดยทคะแนนของสมชายอยในตาแหนงเปอรเซนไทลท 73 แลว จงหาระดบคะแนนของสมชายและสมชย (B,C) 6. ขอมลนาหนก (กก.) ของนกเรยน 9 คนเปนดงน40 45 46 46 50 51 49 52 42ใหหาคามธยฐาน ควอรไทลท 3 เดไซลท 7 และเปอรเซนไทลท 14 ของขอมลชดดงกลาว


Page 13

7. สวนสงของนกเรยนกลมหนงเปนดงน

ก. จงหาควอรไทลท 1เดไซลท 6 และเปอรเซนไทลท 65 ของขอมลชดดงกลาว ข. สมชายและสมหญงเปนนกเรยนในกลมน โดยสมชายมสวนสงอยในตาแหนงควอรไทลท 3 และสมหญงมสวนสงอยในตาแหนงเปอรเซนไทลท 45 ดงนนสมชายสงกวาสมหญงอยเทาใด


Page 14

การวดการกระจายของขอมล ลกษณะทสาคญอยางหนงของขอมลใดๆกคอ คาจากการสงเกตทงหลายในขอมลนนมกจะไมเทา-กน

หมดทกคา ดงนนถาจะถามวา จะรไดอยางไร หรอ มวธการอยางไรจงจะทาใหเราทราบวา คาจากการสงเกตในขอมลชดหนงมความแตกตางกนมากนอยเพยงใด คาเหลานเกาะกลมกนอยหรอวามความแตกตางกนมาก สงเหลานจะมเครองมออะไรชวยในการวด คากลางของขอมลทเราไดศกษามาแลวเพยงอยางเดยวคงไมเพยงพอจะหาคาตอบเหลานได เชน พจารณาขอมล 2 ชด คอ

ชดท 1 40, 42, 43, 44, 46 จะได 43X ชดท 2 11, 41, 49, 56, 58 จะได 43X

พจารณาจากขอมลทงสองชดพบวา X เทากนจะไดขอสงเกตวา 1. ชดท 1 คาตาสดคอ 40 คาสงสดคอ 46 ชดท 2 คาตาสดคอ 11 คาสงสดคอ 58 2. ขอมลชดท 1 คาของขอมลใกลเคยงกนกลาวคอคะแนนเกาะกลมกนไมแตกตางกนมากไมมคาทสงหรอตาเกนไป ถาเปนคะแนนสอบของนกเรยนแสดงวานกเรยนกลมนมความสามารถใกลเคยงกน 3. ขอมลชดท 2 คาของขอมลหางกนมาก กลาวคอ คะแนนกระจายมาก คาสงสดและคาตาสดของขอมลแตกตางกนมาก ถาเปนคะแนนสอบของนกเรยนแสดงวานกเรยนทงหมดมความ สามารถแตกตางกนคอ เกงมากและออนมาก 4. X ของขอมลทงสองชดเทากนไมเปนสงยนยนไดวาขอมลทงสองชดมลกษณะหรอขอสรปเหมอนกน จากขอสงเกตขางตนจะเหนวาการวเคราะหขอมลเทาทไดศกษามาแลว ยงไมทาใหการแจกแจง ขอมลชดเจนพอ ควรไดพจารณาลกษณะการกระจายของขอมลประกอบดวย การวดการกระจายของขอมลแบงออกเปน 2 วธคอ 1.3.1 การวดการกระจายสมบรณ (absolute variable ) เปนการวดการกระจายของขอมลเพยงชดเดยวเพอใหทราบวาขอมลนนแตละคาแตกตางกนเพยงใด ผลทไดจากการวดการกระจายนไมนาไปเกยวของหรอเปรยบเทยบกบขอมลชดอนมการวด 4 แบบ 1. พสย (range) ไดแกการวดการกระจายของขอมลทใชผลตางระหวางคาสงสดกบคาตาสดของขอมล - ขอมลทไมแจกแจงความถ ( ungrouped data ) คาตาสดของขอมล คาสงสดของขอมล ตวอยางท 1 จากขอมลตอไปนจงหาพสย ก. 11,14,14,16,19,21,24,20,26,42 พสย = 42 – 11= 31 ข. 20,25,100,80,10,5,30,15, พสย = 100 - 5 = 95

พสย = minmax XX


Page 15

- ขอมลทแจกแจงความถแลว ( grouped data ) ตวอยางท 2 จงหาพสยของนาหนกของนสตชายในมหาวทยาลยแหงหนงจานวน 100 คน วธทา ขอบลางของอนตรภาคชนตาสดคอ 59.5 ขอบบนของอนตรภาคชนสงสดคอ 74.5 พสย = 74.5 - 59.5 = 15 กโลกรม

พสย = ขอบบนของอนตรภาคชนสงสด - ขอบลางของอนตรภาคชนต าสด

น าหนก(กก.) จ านวนนสต 60-62 5 63-65 18 66-68 42 69-71 27 72-74 8

ขอสงเกตเกยวกบพสย 1. ค านวณงายและรวดเรวเหมาะส าหรบขอมลทมคาใกลเคยงกน 2. ขอมลทมบางคาต าหรอสงเกนไปไมเหมาะทจะใชพสย 3. ขอมลแจกแจงความถชนดปลายเปดใชพสยไมได 4. จากขอมลทงหมดน ามาใชค านวณเพยง 2 คาเทานนพสยทไดจงเปนคาท

คอนขางหยาบ ไมเหมาะสมทจะน าไปใชในคณตศาสตรชนสง


Page 16

2. สวนเบยงเบนควอไทล (quartile deviation) “Q.D.” ไดแกการวดการกระจายของขอมลทใชคาครงหนงของผลตางระหวางคา ณ ตาแหนงควอไทลท 3 กบควอไทลท 1 (สตรนใชไดทงขอมลทไมแจกแจงและแจกแจงความถ) ตวอยางท 1 กาหนดขอมลดงน 10,9,12,14,11,8,15,20,18,100 จงหาคาของสวนเบยงเบนควอไทล วธทา ตวอยางท 2 ขอมลตอไปนเปนคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.6 ของโรงเรยนแหงหนงจงหา ก. พสย

วธทา พสย = =

2.. 13 QQDQ

คะแนน จ านวนนกเรยน ความถสะสม 1-19 4 20-39 10 40-69 50 70-84 25

85-100 11


Page 17

ข. สวนเบยงเบนควอไทล วธทา

ขอสงเกตเกยวกบ Q.D. 1. คา Q.D. วดการกระจายของขอมลไดดกวาพสย 2. ขอมลทมบางคาสงหรอต าเกนไปไมกระทบกระเทอนในการหา Q.D. 3. ขอมลชนดปลายเปดหา Q.D.ได 4. ขอมลทมขนาดอนตรภาคชนไมเทากนหา Q.D. ได 5. เนองจาก Q.D. ไมไดน าขอมลทกตวมาท าการวเคราะหจงไมนยมใชในสถตชนสง


Page 18

สวนเบยงเบนเฉลย (mean deviation ) “M.D.”

ไดแกการวดการกระจายของขอมลทใชคาเฉลยของคาสมบรณของผลตางระหวางแตละคาของขอมลกบ คากลางของขอมลนนซงนยมใชคาเฉลยเลขคณต ซงผลตางระหวางคาของขอมลกบคากลางของขอมลเรยกวา “คาเบยงเบน”(Deviation) -ขอมลทไมแจกแจงความถ (ungrouped data) คาเฉลยเลขคณต จานวนขอมล ขอมลแตละตว ตวอยางท 1 กาหนดขอมล 2 ชดดงน ชด A คอ 2, 4, 14, 15, 20, 53, 71, 101 ชด B คอ 2, 20, 20, 22, 35, 40, 40,101 จงหาสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลแตละชด

วธทา ชด A: n =8 จะได 358

101715320151442

X

จากสตร

n

i

i XXn

DM1

1..

30

8240

83510135713553352035153514354352

ชด B :

n

ii XX

nDM

1

1..


Page 19

ตวอยาง 2 ขอมล 25, 28, 32, 34, 41 จงหา สวนเบยงเบนเฉลย ตวอยาง 3 ขอมล 1.8, 5.2, 7.1, 7.1 จงหา สวนเบยงเบนเฉลย ขอมลทแจกแจงความถแลว (grouped data ) จดกงกลางชน ตวอยางท 2 จงหาสวนเบยงเบนเฉลยของนาหนกตอ 1 คน ของขอมลตามตารางแจกแจงความถ

k

iii XXf

nDM

1

1..

น าหนก(กก.) if 30-39 4 40-49 3 50-59 5 60-69 7 70-79 4 80-89 2

N=


Page 20

ตวอยาง การหา M.D.

คะแนน ความถ X d fd xx xxf 10-14 3 15-19 5 20-24 8 25-29 4

สตรลด

N

ddfiDM

(

..

ขอสงเกตเกยวกบ M.D. 1. การวดการกระจายของขอมล M.D. มคณสมบตดกวา Q.D.และพสย 2. ขอมลชนดปลายเปดหา M.D. ไมได 3. M.D.= 0 กตอเมอสมาชกทกตวในขอมลเทากน 4. ถาน าจ านวนจรงไปบวกกบทกคาในขอมลแลว M.D. ใหมจะเทากบ M.D. เดม 5 ถาน าจ านวนจรง a ไปคณกบทกคาในขอมลแลว M.D. ใหมจะเทากบ a คณM.D.

เดม 6 M.D. มคาสมบรณมาเกยวของซงเปนเรองยงยาก จงไมนยมใช


Page 21

สวนเบยงเบนมาตรฐาน (standard deviation ) “SD”

เปนการแกไขขอบกพรองของสวนเบยงเบนเฉลย โดยนา )( xx แตละคามายกกาลง 2 แทนการใชคาสมบรณ แลวนามาถอดรากท 2

-ถาเปนขอมลทไดจากประชากร สวนเบยงเบนมาตรฐานเขยนแทนดวย “” (อานวาsigma) -ถาเปนขอมลทไดจากกลมตวอยาง สวนเบยงเบนมาตรฐานเขยนแทนดวย“S.D.” หรอ “S” ไดแกการวดการกระจายของขอมลโดยใชคาซงเปนรากทสองของสวนเฉลยของกาลงสองของ สวนเบยงเบนจากคาเฉลยเลขคณต เปนวธการทจดวาใหผลสมบรณทสดสามารถนาไปใชในการ

วเคราะหขอมลสถตในขนสงตอไปได

- ขอมลทไมแจกแจงความถ ( ungrouped data )

หรอ หรอ ตวอยางท 1 แดงมอาย 6 ป นดกบหนอยเปนคแฝดตางมอาย 3 ป บดามอาย 35 ป มารดามอาย 28 ป จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของอายคนในครอบครวน วธทา หา

1n

xx.D.S

n

1i

2i

15

5

75

5

2835336

X

N

xN

1i

2i

1n

xnx.D.S

n

1i

22i

2

N

1

2i

N

x


Page 22

1n

xxf.D.S

n

1i

2ii

ตวอยาง 2 จากขอมล 1, 3, 5, 7, 9 จงหา เบยงเบนมาตรฐาน

ตวอยาง 3 จากขอมล 101, 103, 105, 107, 109 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน ขอมลทแจกแจงความถ

หรอ หรอ

วธลด 22

N

fd

N

fdis

N

xfN

1i

2ii

1n

xnxf.D.S

n

1i

22ii

2

N

1i

2ii

N

xf


Page 23

ตวอยางท 1 จากตารางแจกแจงความถตอไปนเปนการสอบวชาภาษาไทย ของนกเรยนชน ม . 1 จานวน 40 คน ของโรงเรยนแหงหนง จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนน วธทา ตวอยาง 2 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานจากตาราง

คะแนน ความถ X d fd 10-14 3 15-19 5 20-24 2

คะแนน if ix 2ix 2

ii xf 2xxi 2xxf ii

21-30 1 31-40 4 41-50 15 51-60 12 61-70 6 71-80 2

N =


Page 24

สมบตบางประการของ “S.D.” 1. 0.. DS เสมอ 2. S.D.= 0 เมอขอมลทกตวเทากนหมด 3. การหา S.D. โดยใชคากลางตวอนๆ ทไมใช X จะมคามากกวาทใช X 4. ถานาคาคงตว a ไปบวกหรอไปลบออกแตละคาของขอมล คา S.D. ของขอมลชดใหมและ

ขอมลชดเดมจะเทากน 5. ถานาคาคงตว a ไปคณทกคาของขอมล S.D. ของขอมลชดใหมจะเทากบ a คณกบ S.D.ของขอมลชดเดม 6. ให X แทนคาของขอมลชดเดม , Y แทนคาของขอมลชดใหมโดยท Y = aX+b เมอ a และ b

เปนคาคงตว ถา YX DและSDS .... เปนสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดเดมและชดใหมแลว

XY DSaDS ....

คณสมบตสวนเบยงเบนมาตรฐาน 1. มคามากกวาหรอเทากบ 0 เสมอ 2. ถาสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 0 แสดงวาขอมลชดนนเทากนทกตว 3. การเพมหรอลดคาของขอมลแตละตว ไมทาใหสวนเบยงเบนมาตรฐานเปลยนแปลง 4. ถาคณขอมลแตละตวดวยคาคงทแลว สวนเบยงเบนมาตรฐานจะเพมตาม


Page 25

ความแปรปรวน (variance ) “V” ความแปรปรวนของขอมลไดแก คากาลงสองของสวนเบยงเบนมาตรฐาน - ขอมลทไมแจกแจงความถ (ungrouped data ) - ขอมลทแจกแจงความถแลว (grouped data) การหาความแปรปรวนรวม 1. กรณ x ไมเทากน จากขอมล 2 กลม กลมท 1 กลมท 2 N1 = 30 N2 = 25

601 x 452 x s1 = 5 s2 = 3

sx

N

x

N2

2 2

สงทเราตองหา คอ x ทไดจากขอมลทง 2 กลมรวมกน

x2 ทไดจากขอมล 2 กลมรวมกน N ทไดจากขอมล 2 กลมรวมกน

x รวม = 21

2211

nn

xnxn

ตองการ x2 ตองนาของกลม 1 และกลม 2 มารวมกน

222 หรอS.D.SหรอV

2

N

1i

2iN

1i

2i N

xหรอVX

N1

V

2

N

1i

2ii

N

1i

2ii

N

xf Vหรอ

N

xfV

1n

xnxหรอV

1n

xxV

n

1i

22i

n

1i

2i

1n

xnxf Vหรอ

1n

xxfV

n

1i

22ii

n

1i

2ii


Page 26

โดยใชสตร 2

2

2 )(xN

xs

กลม 1 x2 = 30(52+ 602) = 108,150

กลม 2 x2 = 25(32+ 452) = 50,850

2. กรณท x เทากน

21

2

22

2

112

nn

snsns

ตวอยางท 1 จงหาความแปรปรวนของนาหนกของนกเรยน 10 คน ซงมนาหนกเปนกโลกรม ดงน 44,40,45,42,39,44,42,45,49,50 วธทา

4410

50494542443942454044

X

ตวอยางท 2 ในการสอบสมภาษณของพนกงานบรษทแหงหนง จานวน 3 คน ปรากฎวา คาเฉลยเลขคณต, มธยฐานและพสยของคะแนนสมภาษณมคาเทากบ 63,60และ31 ตามลาดบ ความแปรปรวนของคะแนนในการสอบครงนมคาเทากบเทาใด วธทา


Page 27

ตวอยางท 3 ขอมลชดหนงเปนขอมลจากประชากรมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 42 และมธยฐานเทากบ 40 กมลตองการคานวณหาความแปรปรวนของขอมลแตไปนามธยฐานคานวณแทนคาเฉลยเลข-คณตผลปรากฎวาความแปรปรวนทคานวณไดเทากบ 36 จงหาความแปรปรวนทถกตองของขอมล. วธทา V=ความแปรปรวนทคานวณไดโดยใชมธยฐานซงเทากบ 36

1V คอความแปรปรวนทถกตองดงนน

32

416042436

4160440

440440

240

42

40

36

1111

2

1

2

2

1

1

2

1

1

2

1

2

NNN

X

N

X

N

XX

N

X

N

X

V

N

X

N

MedX

V

N

i

N

i

N

i

i

N

i

i

N

i

ii

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i


Page 28

ความแปรปรวนรวม (combined variance ) “ cV ” ถา

2

2

2

2

121

21

cc

c

XXXXVVV

nn

ถา

1n1n

V1nV1nV

XX

21

2211c

21

ถา

2VV

V

XXและnn

21c

2121

ตวอยางท 4 นาย ก. นาย ข.และนาย ค.มคาเฉลยเลขคณตของอายเทากบ 18 ป สวนเบยงเบนมาตรฐานของอายเทากบ 0 ถานาย ง. นาอายของเขามาคานวณดวย คาเฉลยเลขคณตของอายของทงสคนจะเทากบ 20 ป จงหาพสยของอายของคนทงสคนน วธทา ตวอยางท 5 จากการสอบวชาสถตของนกเรยนหองหนง พบวา 5.2..45 DและSX ถาครตองการใหนา 2 ไปคณคะแนนทกคนแลวบวกดวย 5 จงหา ก. คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใหม ข. สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดใหม

1n1n

XX1nXX1nV1nV1nv

21

22c2

21c12211

c


Page 29

ค. ถา เดชา คานวณผดโดยการนา 5 ไปคณกบคะแนนทกคนแลวบวกดวย 2 จงหาวา ..DและSX ทเดชา คานวณไวจะตางไปจากความเปนจรงเทาไร วธทา ให X แทนคะแนนเดมของนกเรยนแตละคน Y แทนคะแนนใหมของนกเรยนแตละคน = 2X + 5 X แทนคาเฉลยเลขคณตของคะแนนเดม = 45 Y แทนคาเฉลยเลขคณตของคะแนนใหม XDS .. แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนเดม = 2.5 YDS .. แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนใหม

ก. ข. ค.


Page 30

การวดการกระจายสมพทธ (relative variation ) การวดการกระจายสมบรณทกลาวมาแลวคาทไดบอกแตเพยงใหทราบวาขอมลทนามาวด การกระจายมการ

กระจายของขอมลมากนอยเพยงใดเพยงขอมลเดยว ไมไดนาไปเปรยบเทยบ การกระจายของขอมลอน ในการเปรยบเทยบขอมลตงแตสองชดขนไปเพอดวาขอมลชดใดมการกระจายมากหรอนอยกวากน การเปรยบเทยบการกระจายของขอมลใหไดผลหรอถกตองใกลเคยงทสด เราจะใชการวดการกระจายทเรยกวา การวดการกระจายสมพทธ ซงไดแก อตราสวนระหวางการวดการกระจายสมบรณกบคากลางของขอมลชดนนๆ ขอมลใดมคาอตราสวนมากกวา ขอมลนนจะมการกระจายมากกวา ซงจะหาเปนรอยละกไดโดยเอา 100 ไปคณอตราสวนนนๆ อตราสวนเหลานเรยกวา สมประสทธการกระจาย ( coefficient of dispersion ) ซงมอยดวยกน 4 ชนดคอ

1. สมประสทธของพสย ( coefficient of range )

2. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล ( coefficent of quartile deviasion )

3. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย (coefficient of quartile deviasion )

4. สมประสทธของความแปรผน ( coefficient of variation ) “ C.V.”

*** การเปรยบเทยบขอมลตงแต 2 ชดขนไป เพอดวาชดใดมประสทธภาพดกวากน ใหพจารณา คากลางเลขคณตดงน 1. ถาขอมล 2 ชดมคากลางเทากน ขอมลทมการกระจายนอยจะมประสทธภาพดกวา 2. ถาขอมล 2 ชดมคากลางไมเทากน ขอมลทมการกระจายสมพทธนอย จะมประสทธภาพดกวา 3. ถาขอมล 2 ชดม s เทากน ใหพจารณา x

x กลมใดมากกวา กลมนนจะมประสทธภาพดกวา

13

13

QQQQ

minmax

minmax

XXXX

XDM ..

XDS ..


Page 31

ตวอยางท 1 ราคาขาวเปลอกและราคาขาวสารตอถงของรานคาขาวสาร 6 รานในทองทสมพนธวงศ เปนดงน จงเปรยบเทยบการกระจายของราคาขาวเปลอกและราคาขาวสารของรานคา 6 ราน โดยใช

ก. สมประสทธของพสย ข. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล ค. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย ง. สมประสทธของความแปรผน

วธทา ก. ส.ป.ส.ของพสยของราคาขาวเปลอก 09.0464

21252125

ส.ป.ส.ของพสยของราคาขาวสาร 05.019010

9010090100

แสดงวาราคาขาวเปลอกมการกระจายมากกวาราคาขาวสาร (0.09 > 0.05 ) วธทา ข. วธทา ค. วธทา ง.

ราคาขาวเปลอก(บาท) 22 23 23 24 25 21

ราคาขาวสาร(บาท) 95 98 100 96 97 90

ขอสงเกตเกยวกบการวดการกระจายสมพทธ - เพราะสมประสทธของการกระจายอยในรปอตราสวนจงไมมหนวย - สมประสทธของการกระจายเขยนไดทงในรปอตราสวนและรปรอยละ - สมประสทธของการกระจายทนยมใชเปรยบเทยบการกระจายของขอ-มลคอ

สมประสทธขอความแปรผน 100....

XDS

หรอXDS

ดงนนถาโจทยไมก าหนดใหเปรยบเทยบการกระจายของขอมลดวยวธใด ตองใชสมประสทธของความแปรผนเสมอ


Page 32

แบบฝกหดการวดการกระจายขอมล ==================================================================

1. ขอมล a, b, c, d หาสวนเบยงเบนมาตรฐานได k จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล 1-3a, 1-3b, 1-3c, 1-3d

2. คะแนนเฉลยของนกเรยน 2 คนคอ 70 พสยคอ 40 แลว สวนเบยงเบนเฉลย คอ..................... 3. ดา แดง ขาว ชงนาหนกแลวคานวณคาเฉลยเลขคณตได 50 กก. และสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 0 ถานานาหนกสทธดามาคานวณดวย คาเฉลยเลขคณตของคนทง 4 เปน 45 สวนเบยงเบนมาตรฐาน คนทง 4 คอ ..................... 4. สวนเบยงเบนมาตรฐานของอายนกเรยน 10 คนเปน 0 ถานาอายของแตละคนมา ยกกาลงสองแลวบวกกนจะได 1,000 จงหาวาเดกกลมนอายคนละเทาใด.........................


Page 33

5. นกเรยนหญงกลมหนงจานวน 30 คน อายเฉลย 15 ป สวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 1.2 ป และนกเรยนชาย อกกลมจานวน 25 คน อายเฉลย 15 ป สวนเบยงเบนมาตรฐาน 1.9 ป สวนเบยงเบนมาตรฐานรวมของนกเรยนทง 2 กลมคอ ....................

6. คาอาหารกลางวนเดก 2 กลม โดยเฉลย 5 และ 6 บาท จานวนนกเรยนเปน 10 และ 20 ตามลาดบ ถาสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 1 และ 1.2 บาท แลวคากลางเลขคณตคอ....... และความแปรปรวน คอ.....

7. เดก 10 คน อายเทากนหมดคอ คนละ a ป ผใหญ 5 คนอายเทากนหมดคอ b ป แลวคากลางเลขคณตคอ....... และ สวนเบยงเบนมาตรฐาน ของคนทง 2 กลม คอ...........


Page 34

8. ขอมลชดหนงมเลข 1 จานวน P% นอกนนเปนเลข 0 ถาขอมลทงหมดม N ตว แลวคาของสวนเบยงเบนมาตรฐานคอ ....................

9. หองเรยนหองหนงมนกเรยนหญง 11 คน นกเรยนชาย 25 คน ถาคาเฉลยเลขคณตของอายนกเรยน ทง 2 กลมเทากนคอ 17 ป แตความแปรปรวนอายนกเรยนชายเปน 4 ความแปรปรวนอายนกเรยนหญงเปน 1 แลวความแปรปรวนอายนกเรยนทงหอง คอ ..................

10. ขอมล 3 ชดเปนดงน x s n

ชด 1 คอ 5 2 10 ชด 2 คอ 6 3 25 ชด 3 คอ 4 2 30 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานรวม


Page 35

11. อายนกเรยน 2 กลมเปนดงน จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานรวม

N

2x x s

กลมท1 10 1808 13.4 1.1

กลมท2 5 249 7 0.9

12. จากขอมล 50 รายการ คานวณคาเฉลยเลขคณตได 10 และสวนเบยงเบนมาตรฐานได 4 ภายหลง พบวาอานขอมลผดไป 2 รายการ คอคะแนน 2 และ 3 อานผดเปน 20 และ 30 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน ทถกตอง


Page 36

13. ในการคานวณสวนเบยงเบนมาตรฐาน ผคานวณใชมธยฐานแทนคาเฉลยเลขคณตคานวณได 6 ถามธยฐานเปน 40 และคาเฉลยเลขคณตเปน 42 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานทถกตอง 14. คาเฉลยเลขคณตของขอมล x1, x2, x3, x4, x5 มคาเทากบคาเฉลยเลขคณตของขอมล x1, x2,

x3, x4 ถา P และ q เปนสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลทง 2 ชด แลว P/q มคาเทาใด

15. ถาความแปรปรวนของขอมล 1, 2, 3, 4,... มคาเปน 30 จงหาวาจานวนทเขยนเรยงกนทงหมด มกจานวน


Page 37

16. ขอมลชดหนงม 3 จานวน มความแปรปรวนเปน 6/5 ขอมลชดท 2 ม 4 จานวน ความแปรปรวนเปน 1/2 ถาขอมลทง 2 มคาเฉลยเลขคณตเทากนแลว ความแปรปรวนเปนเทาใด 17. ครอบครวหนงพอมอาย 45 ป แมอาย 40 ป ลก 3 คนมอาย 18, 14 และ12 ป เมอหาคาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐานของอายคนในครอบครวนจะได 25.8 ปและ 13.86 ปตามลาดบ อก 3 ปขางหนาสวนเบยงเบนมาตรฐานเปนเทาใด 18. การสอบคณตศาสตรครงหนง ปรากฎวา นาย ก ไดตาแหนง P25 และนาย ข ไดตาแหนง P75

ถาสวนเบยงเบนควอไทลเทากบ 24 และ ส.ป.ส.ของสวนเบยงเบน ควอไทลเทากบ 0.20 แลว จงหาคะแนนของคนทงสอง


Page 38

19. วดเสนผาศนยกลางของแผนโลหะรปวงกลม 8 แผน คานวณผลรวมของความยาว เทากบ 10 ซม.

ผลรวมกาลงสองของความยาว = 12.62 ซม2 ผลรวมของกาลงสามของความยาวเทากบ 16.072 ซม2

และผลรวมกาลงสของความยาวเทากบ 20.0438 ซม2 ตามลาดบ ความแปรปรวนของเสนผาศนยกลาง เปนเทาใด สวนเบยงเบนมาตรฐานของรศมเปนกเซนตเมตร สวนเบยงเบนมาตรฐานของพนทวงกลมเทากบ กตารางเซนตเมตร 20. จากการสารวจยางรถยนต ปรากฎวาอายการใชงานเปนดงน ชนดท 1. x = 23 เดอน s = 8.8 N = 5 ชนดท 2. x = 37.6 เดอน s = 10.8 N = 6 จงพจารณาวายางชนดใดมคณภาพดกวากน


Page 39

21. การสารวจรายไดตอวนของเดก 2 กลม เปนดงนกลมท 1 จานวน 10 คน และกลมท 2 จานวน 15 คน คาเฉลยเลขคณตของทง 2 กลม เทากบ 20 บาท ถา ส.ป.ส. ความแปรผนของรายไดเปน 0.2 และ 0.1 แลวความแปรปรวนของรายไดเดก 2 กลมเปนเทาใด 22. ดวงใจและสมศรชวยกนทาตกตาขาย ดวงใจทาตอนเยนเมอกลบจากโรงเรยน จากวนจนทรถงวนศกร สมศรทาวนเสารกบวนอาทตย ดวงใจทาไดเฉลยวนละ 2 ตว สวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.4 ตว สมศรทาไดเฉลยวนละ 6 ตว สวนเบยงเบนมาตรฐาน 1 ตว ดงนนจานวนตกตาทดวงใจและสมศรชวยกนทาจะมจานวนเฉลยตอวน และสวนเบยงเบนมาตรฐานเปนเทาใด


Page 40

23. ผลการสอบของนกเรยน 4 หองเปนดงน x s หอง ก 60 5 หอง ข 60 7 หอง ค 70 6 หอง ง 70 5 ถาทานมโอกาสไดเลอกหองสอน ทานจะเลอกสอนหองใด


Page 41

สรปความสมพนธระหวางคากลางชนดตางๆจากเสนโคงการแจกแจงความถของขอมล เสนโคงของความถของขอมลทมการแจกแจงของความถม 3 ลกษณะคอ

1 เสนโคงปกตหรอรประฆง (normal or bell-sharped curve )

จากรป คาของ oMMedX ,, จะอยทจดเดยวกน คอจดทมความถมากทสดคอ oMMedX เมอยด X เปนแกนกลาง ทงสองขางจะอยในรปสมมาตร

2 เสนโคงเบทางขวา ( positively skewed curve )

โคงเบทางขวา

คาตา คาสง

oM Med X

ตามลกษณะความโคงแสดงวาขอมลคาตามจานวนมาก (ความถสง) ขอมลคาสงมจานวนนอย (ความถตา) ดงนนขอมลประเภทน X มคามากทสดและ oM มคานอยทสด ( XMedMo ) ถาเปรยบเทยบกบการเรยนของนกเรยนในหองเรยนหนง กลาวไดวานกเรยนในหองนมคนเรยนเกง นอยกวาคนเรยนออน

คาต า คาสง

oM

Med

X


Page 42

1.4.3 โคงเบทางซาย (negatively skewed curve )

โคงเบทางซาย

คาตา คาสง

X Med oM ลกษณะความโคงแสดงวาขอมลคาสงมมาก (ความถสง) และขอมลคาตามนอย (ความถตา )

ดงนนขอมลน X จะมคานอยทสดและ oM จะมคาสงทสด oMMedX ซงเปรยบเทยบกบการเรยนของนกเรยนหองหนงกลาวไดวานกเรยนในหองนคนเรยนเกงมมาก คนเรยนออนมนอย

สรป 1. เสนโคงปกต x = Med = M0 2. เสนโคงเบขวา M0 < Med < x 3. เสนโคงเบซาย x < Med < M0


Page 43

แบบฝกหดทบทวน

1. ครใหนาหนกการสอบวชาภาษาองกฤษ วทยาศาสตร และ คณตศาสตรเปน 2, 5 และ 4 ตามลาดบ สมใจสอบทงสามวชาไดคะแนน 72, 83 และ 94 คะแนนตามลาดบ จงหาคะแนนเฉลยของสมใจ

ก. 85 ข. 84 ค. 83 ง. 82

2. ถาอายเฉลยของคน 100 คน เทากบ 9.45 ป อายเฉลยของ 25 คนแรกเทากบ 8.25 ป และ อายเฉลยของ 65 คนตอมาเทากบ 10.7 ป จงหาอายเฉลยของคนทเหลอ ก. 6.75

ข. 5.75 ค. 5.25 ง. 4.35

3. จากการสอบวชาสถตของนกเรยนหองหนงซงม 40 คน พบวา มนกเรยนขาดสอบ 1 คน ผลการสอบของนกเรยน 39 คนมคะแนนเฉลยเทากบ 65 คะแนน ตอมาภายหลงนกเรยนทขาดสอบมาสอบเพมเตม ทาใหมคะแนนเฉลยเทากบ 65.2 คะแนน จงหาคนทขาดสอบ สอบไดกคะแนน ก. 75

ข. 73 ค. 71 ง. 70

จากขอในตารางตอไปนใชตอบคาถามขอ 4-6

คะแนน จานวน 1 – 5 3 6 – 10 4 11 –15 8 16 - 20 3 21 - 25 2


Page 44

4. จงหาคาเฉลยเลขคณต ก. 12.25 ข. 12.50 ค. 12.75 ง. 13.0

5. จงหาคามธยฐาน

ก. 12.125 ข. ข. 12.250 ค. ค. 12.375 ง. ง. 12.425

6. จงหาคาฐานนยม

ก. 12.15 ข. ข. 12.20 ค. ค. 12.22 ง. ง. 12.38

จากขอมลตอไปนใชตอบคาถามขอ 7 – 9 100 90 45 85 60 30 10 15 22 7. จงหา 1Q ก. 2.5

ข. 18.5 ค. 19.5 ง. 20.5

8. จงหา 7D ก. 60

ข. 75 ค. 85 ง. 90


Page 45

9. จงหา 56P ก. 54

ข. 55 ค. 56 ง. 57

จากขอมลในตารางตอไปน ใชตอบปญหาขอ 10 – 11 10. จงหา 3Q ก. 16 ข. 15.75 ค. 15.5 ง. 15 11. จงหา 3D ก. 6.3

ข. 12 ค. 12.3 ง. 13

จากขอมลในตารางตอไปน ใชตอบปญหาขอ 12 – 14 12. จงหา 3Q ก. 14 ข. 14.5 ค. 15 ง. 15.5 13. จงหา 3D ก. 9.0

ข. 9.25 ค. 9.5 ง. 9.75

คะแนน จานวน 10 2 12 4 13 7 15 5 16 2

คะแนน จานวน 1 – 5 3 6 – 10 4 11 –15 8 16 - 20 3 21 - 25 2


Page 46

14. จงหา 80P ก. 16.17

ข. 16.67 ค. 17.17 ง. 17.67

15. จากขอมลตอไปน 1 5 3 4 2 จงหาสวนเบยงเบนเฉลย ก. 1.2

ข. 1.3 ค. 1.4 ง. 1.5

16. จากขอมลในขอ 9 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน ก. 1.2

ข. 1.3 ค. 1.4 ง. 1.5

17.จากขอมลในตารางตอไปน จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน ก. 4.4 ข. 4.5 ค. 4.6 ง. 4.7 18. ถาสมประสทธของพสยของขอมลชดหนงเทากบ 0.8 และ มพสยเทากบ 16 จงหาขอมลทมคานอยทสด ก. 5

ข. 4 ค. 3 ง. 2

คะแนน จานวน 1 – 5 2 6 – 10 4 11 –15 3 16 - 20 1


Page 47

19. ถาสมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทลของขอมลชดหนงเทากบ 2

1 และ สวนเบยงเบนควอรไทลมคา

เทากบ10 จงหาควอรไทลท 3 ก. 15

ข. 20 ค. 25 ง. 30

20. จากขอมลตอไปนหองใดมความสามารถแตกตางกนมากทสด ก. หอง 1 ข. หอง 2 ค. หอง 3 ง. เทากน

หอง 1 2 3

x 20 40 30 S 2 5 4

สารบัญก. จงหาควอร ไทล ท 1เดไซล ท 6...

Documents