แปลจาก

SANSU-SUGAKU MARUGOTO NYUMON

by... Naoki Kawata

แปลโดย... ดร.บณฑต โรจนอารยานนท

240.-

บรรณาธการบรหาร ทวยา วณณะวโรจน หวหนาบรรณาธการ แทนพร เลศวฒภทร บรรณาธการ พรรณพมล กจไพฑรย ออกแบบปก ภาณพนธ โนวยทธ ออกแบบรปเลม ประเทอง คชเสนย ธรการส�านกพมพ องคณา อรรถพงศธร พมพท : บรษท ส.เอเซยเพรส (1989) จ�ากด

ฟตทกษะคณต พชตทกโจทยสอบเขา

by... Naoki Kawataแปลโดย... ดร.บณฑต โรจนอารยานนท

ราคา 240 บาท

พมพครงท 1 ธนวาคม 2555

ขอมลทางบรรณานกรมของส�านกหอสมดแหงชาตคาวาตะ, นาโอก.

ฟตทกษะคณต พชตทกโจทยสอบเขา. - - กรงเทพฯ : สมาคมสงเสรมเทคโนโลย (ไทย-ญปน), 2555.

288 หนา.1. คณตศาสตร - - ขอสอบและเฉลย.I. บณฑต โรจนอารยานนท, ผแปล. II. ชอเรอง.

510.76ISBN 978-974-443-520-0

SANSU-SUGAKU MARUGOTO NYUMON by Naoki KawataCopyright Naoki Kawata, 2004 All rights reserved.Original Japanese edition published by SEIBUNSHINSHA Publishing Co., Ltd. Tokyo. This Thai language edition is published by arranged with SEIBUNSHINSHA Publishing Co., Ltd. Tokyo through Tuttle-Mori Agency, Inc., Tokyo. ลขสทธฉบบภาษาไทยโดย สมาคมสงเสรมเทคโนโลย (ไทย-ญปน)

จดพมพโดย ส�านกพมพ ส.ส.ท. 5-7 ซอยสขมวท 29 ถนนสขมวท แขวงคลองเตยเหนอ เขตวฒนา กรงเทพฯ 10110 โทร. 0-2258-0320 (6 เลขหมายอตโนมต), 0-2259-9160 (10 เลขหมายอตโนมต) เสนองานเขยน • งานแปลไดท www.tpa.or.th/publisher/new ตดตอสงซอหนงสอไดท www.tpabookcentre.com

จดจ�าหนายโดย บรษท ซเอดยเคชน จ�ากด (มหาชน) อาคารทซไอเอฟ ทาวเวอร ชน 19 เลขท 1858/87-90 ถนนบางนา-ตราด แขวงบางนา เขตบางนา กรงเทพฯ 10260 โทร. 0-2739-8000, 0-2739-8222 โทรสาร 0-2739-8356-9 www.se-ed.com

“ถาหนงสอมขอผดพลาดเนองจากการพมพ ใหน�ามาแลกเปลยนไดทสมาคมฯ” โทร. 0-2258-0320 ตอ 1560, 1570

จดมงหมายของหนงสอเลมนคอตองการใหผอานสนกกบการคด

เชงคณตศาสตร จงไดรวบรวมโจทยทเกยวของกบหวขอหลก ไดแก

“ตวเลข” “สตร” “รปภาพ” “จ�านวนกรณทเปนไปได” และ “ตรรกะ” รวม

ทงหมด 45 เรองดวยกน โดยน�าค�าถามทปรากฏในขอสอบเขาเรยนตอ

ระดบมธยมตน และค�าถามทมาจากขอสอบเขาเรยนตอระดบมหาวทยาลย

มาแสดงเปรยบเทยบใหด

โดยหวงวาจะสามารถตอบสนองความตองการของเดกทอยในวย

เรยนทงหลาย กลาวคอ

ส�ำหรบเดกชนประถม จะเปนการน�าเสนอใหเหนถงพฒนาการของ

คณตศาสตรทเรยนในชนมธยมตน มธยมปลาย และขอสอบทใชสอบเขา

ศกษาตอในระดบมหาวทยาลย ดงนนส�าหรบนกเรยนทชอบเลขคณตจง

สามารถศกษาคณตศาสตรทตองเจอในอนาคตไดดวยตวเอง

ส�ำหรบนกเรยนชนมธยมตนและมธยมปลำย กจะชวยใหสามารถ

กลบมาทบทวนและจดระเบยบความเขาใจเรอง “การคดเชงคณตศาสตร”

ทเรยนมาในชนประถม แลวตระหนกวาการสอบเขาเรยนตอในระดบ

มหาวทยาลยนน เลขคณตทเรยนในชนประถมถอเปนพนฐานทส�าคญ

ค�ำชแจงเกยวกบหนงสอเลมน

ส�ำหรบครสอนคณตศำสตรในระดบประถมและมธยมทงหลำย

กคดวาเนอหาของหนงสอเลมนจะท�าใหไดเหนแนวทางขอสอบวชา

คณตศาสตรทใชสอบเขาเรยนตอในระดบมธยมปลายและระดบอดมศกษา

ซงส�าหรบผเรยบเรยงเองทสอนในโรงเรยนกวดวชา กตองบอกวารสก

ตระหนกถงความส�าคญของเนอหาวชาเลขคณตและคณตศาสตรทเรยน

ในระดบประถมและมธยมเปนอยางมาก

สวนครแนะแนวตำมโรงเรยนมธยมปลำย เมออานหนงสอเลมน

แลวกจะทราบวา ค�าถามในขอสอบเขาเรยนชนมธยมตนมความเชอมโยง

กบค�าถามทปรากฏในขอสอบเขาของระดบอดมศกษา และเมอมองถง

ภาพรวมในปจจบนแลว เปนทนาเสยดายวานกเรยนระดบมธยมปลายไม

สามารถเขาใจเนอหาเลขคณตทเรยนในระดบประถมไดอยางถองแท และ

ตวผเรยบเรยงเองกเคยน�าขอสอบเขาในระดบมธยมตนมาใหนกเรยนท

เตรยมตวสอบเขาในระดบอดมศกษาฝกท�าอยบอย ๆ ดงนนการน�าโจทย

ประเภททวานมาแนะน�า จงคดวาจะเปนประโยชนตอผอานเปนอยางมาก

รปแบบของหนงสอเลมนจะวางโครงสรางของแตละหวเรองไปตาม

ล�าดบดงน

?

คคำถำม

(ขอสอบเขาระดบมธยมตน)

á¹Ç¤Ô´

(อธบายวธคด)

ค�าตอบ

(แสดงวธหาค�าตอบ)

Ê‹Ç

¹àÊÃÔÁ

(อธบายเพมเตม)

ขอสอบเขามหาวทยาลย

(ขอสอบเขาระดบมหาวทยาลย)

à©ÅÂ

(อธบายวธท�าและการแกโจทย)

* โจทยทคดเลอกมาน�าเสนอในหนงสอเลมน มาจากหนงสอ “คมอแกโจทยเลขคณตของขอสอบเขาระดบมธยมตน”, “รวมโจทยคณตศาสตรของขอสอบเขาระดบอดมศกษา” ของส�านกพมพ Seibunsha และ “วธแกโจทยคณตศาสตรในการสอบเขามหาวทยาลย” ของส�านกพมพ Seibunshinsha

2 ฟตทกษะคณต พชตทกโจทยสอบเขา

?

คคำถำม

1 มำทบทวนเรองเลขฐำนสบ

ความสงของยอดเขาฟจคอ 3776 เมตร

ซง 3776 เปนผลบวกของจ�านวนตอไปน

- มจ�านวน 1000 อย (ก) ตว

- มจ�านวน 100 อย (ข) ตว

- มจ�านวน 10 อย (ค) ตว

- มจ�านวน 1 อย (ง) ตว

á¹Ç¤Ô´

โจทยลกษณะนอยในหนงสอเรยนของเดกชนประถมปท 2

ตวเลขทเราใชกนในชวตประจ�าวนนนแสดงอยในรปของ “เลขฐานสบ”

ซงจะแสดงจ�านวนตาง ๆ ดวยตวเลขอารบกสบตวคอ

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

สงทนาสนใจคอ ถาม “หนง” อยเกาตว จะแสดงดวยเลข 9 แลว

ถาม “หนง” อยสบตวละ จะแสดงอยางไร

ค�าตอบคอ ไมมเลขอารบกตวเดยวทแสดงจ�านวนดงกลาว ดงนน

จงใชเลข 1 กบเลข 0 แสดงในรป “10” ในท�านองเดยวกน

ถาม 10 อยสบตวกจะแสดงดวย “100” (= 102)

ถาม 100 อยสบตวกจะแสดงดวย “1000” (= 103)

3776 m

บทท 1 โจทยเกยวกบตวเลข 3

ชนของ 103....

…

ชนของ 102....ชนของ 10....ชนของ 1....

วาง

102 คอผลจากการคณกนของ 10 จ�านวนสองตว กรณทเปนการ

คณกนของ 10 เปนจ�านวน n ตว กจะเขยนในรป

10n (อานวา 10 ยกก�าลง n)

การเขยนตวเลขใหอยในรป “100” หรอ

“1000” นน เรยกวา “การแสดงจ�านวนตาม

หลกของตวเลข” เหมอนกบกรณทมสงของ

จ�านวนมาก แลวเราสามารถจดระเบยบการ

แสดงสงของ “จ�านวนมาก” นน โดยแบงใหเปนระดบชนดงแสดงในรป

ตามรปดานบน จ�านวนดงกลาวจะเขยนไดเปน

2 × 103 + 0 × 102 + 3 × 10 + 5 = 2035

เพราะฉะนน ค�าตอบของโจทยขอนคอ

ค�าตอบ

(ก) 3 (ข) 7 (ค) 7 (ง) 6

Ê‹Ç

¹àÊÃÔÁ

การแสดงจ�านวนในรปเลขฐานสบน ถาจ�านวนหลกเพมขนจะ

เรยกอยางไร ขางลางนแสดงการเรยกชอหลกตาง ๆ ไว

1016

1015

1014

1013

1012

1011

1010

109 108 107 106 105 104 103 102 101 1

ลานล

านแสนล

านหม

นลาน

พนลาน

หมนล

านลาน

พนลานล

านรอยลานลาน

สบลานล

าน

รอยลาน

สบลาน

ลาน

แสน

หมน

พน รอย

สบ หนวย

...

4 ฟตทกษะคณต พชตทกโจทยสอบเขา

ส�าหรบในภาษาองกฤษนน จ�านวนทมคามาก ๆ จะมชอเรยก

เฉพาะ เชน 1033 เรยกวา “ดซลเลยน (Decillion)” 1048 เรยกวา “ควน-

ดซลเลยน (Quindecillion)” และ 1060 เรยกวา “โนเวมดซลเลยน

(Novemdecillion)”

การแสดงจ�านวนนน นอกจากเลขฐานสบทกลาวมาแลว ในเรอง

เกยวกบคอมพวเตอรจะแสดงดวยเลขฐานสอง เมอดรปดานลางประกอบ

จะเหนวา จ�านวนขนาดใหญทแสดงดวยเลขฐานสอง คอ 11001 กใชวธจด

ระเบยบโดยแบงเปนระดบชนเชนกน แตตวเลขทใสในแตละชนมแค 0

และ 1 เทานน โดยเลข 0 หมายถง “วางเปลา” และเลข 1 หมายถง “ไม

วางเปลา” และเมอน�าเลขฐานสองนไปแปลงเปนเลขฐานสบ จะเปนดงน

1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 25

2 252 122 62 3 1

… ชนของ 24 = 16… ชนของ 23 = 8… ชนของ 22 = 4… ชนของ 21 = 2… ชนของ 20 = 1

…………

1001

25 ÷ 2 12 ÷ 2 6 ÷ 2 3 ÷ 2 3 ÷ 2

เศษ เหลอเศษเหลอเศษเหลอเศษเหลอเศษผลทได

11

100

ในทางกลบกน เมอตองการแปลงเลขฐานสบใหเปนเลขฐานสอง

จะท�าไดโดยการหารดวย 2 ไปเรอยๆ จนถงเศษตวสดทายทหารตอไมได

บทท 1 โจทยเกยวกบตวเลข 5

ผลของการด�าเนนการนจะไดเลขฐานสองทเขยนในรปตอไปน

1 1 0 0 1

ขอสอบเขามหาวทยาลย

จงแสดงวธหาจ�านวนนบทงหมดทเพมขนจากการเพมหลกท 10

เขาไปทเลขฐานสอง 9 หลก

(มหาวทยาลย Showa Joshidai)

à©ÅÂ

จ�านวนนบทนอยทสดทแสดงไดดวยเลขฐานสอง 10 หลกคอ

29 = 512

ส�าหรบจ�านวนนบทมากทสดทแสดงไดดวยเลขฐานสองจ�านวน 10

หลกคอ

210 – 1 = 1023

ดงนนจ�านวนนบทงหมดทตองการหาคอจ�านวนตงแต 512 ถง

1023 นนคอ รวมทงหมดเทากบ

1023 – 511 = 512 จ�านวน

ขอสงเกต

ยกตวอยางแบบอน เชน การเพมหลกท 4 ของเลขฐานสองจะ

ท�าใหมจ�านวนนบเปนเลขฐานสองเพมขนกจ�านวน เนองจากเลขฐานสอง

จ�านวน 4 หลกทมคาต�าสดคอ “1000” ซงมคาเทากบ

1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 0 × 1 = 23 = 8

6 ฟตทกษะคณต พชตทกโจทยสอบเขา

สวนจ�านวนทมากทสดคอ “1111” ซงจะเทากบจ�านวนทต�าทสด

ของเลขฐานสองจ�านวน 5 หลกลบออกดวย 1

24 - 1 = 16 - 1 = 15

ดงนน จ�านวนนบทงหมดทเพมขนคอตงแต 8 ถง 15

อนง จ�านวนนบ หมายถงจ�านวนเตมทเรมจาก 1 คอ 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, ...

2 มำดเรองเกยวกบจคำนวนเทำและตวประกอบ

จ�านวนเตม 3 จ�านวน คอ 147, 184, 115 เมอหารดวย

จ�านวนเตมจ�านวนหนงแลวไดเศษเปน 3, 4 และ 7 ตามล�าดบ จงหา

จ�านวนเตมทน�ามาหารนจากเลขทมคาต�าสดขนมา 2 จ�านวน

(ขอสอบเขาโรงเรยนมธยมตนลาซาล)

á¹Ç¤Ô´

ระยะหลงนมเรองนาตกใจ ทในบรรดานกเรยนทงหลาย

รวมถงนกเรยนทจะสอบเขามหาวทยาลยนน มจ�านวนไมนอยทไมเขาใจ

ความหมายของ

ตวหารรวม, ตวหารรวมมาก

ตวคณรวม, ตวคณรวมนอย

?

คคำถำม

บทท 1 โจทยเกยวกบตวเลข 7

ดงนน ในทนจงขอเรมจากการทบทวนความเขาใจเกยวกบค�า

เหลานกอน

กอนอนให A เปนจ�านวนเตมบวก เมอน�ามาหารดวย B (A > B)

ไดผลลพธเปน Q แลวเหลอเศษ R ซงสามารถเขยนเปนความสมพนธได

ดงน

A = B × Q + R (0 ≤ R < B)

สงทส�าคญตรงนคอ “คา R จะตองนอยกวาคา B เสมอ” สวน

ในกรณพเศษท R = 0 นน จะเขยนความสมพนธไดเปน

A = B × Q

ในกรณเชนน เราจะพดวา A เปนจ�านวนเทาของ B และ B เปน

ตวประกอบของ A

ยกตวอยางเชน มจ�านวนเตม 2 จ�านวน คอ M = 42, N = 56

ตวประกอบของ M คอ 1 , 2 , 3, 6, 7 , 14 , 21, 42

ตวประกอบของ N คอ 1 , 2 , 4, 7 , 8, 14 , 28, 56

ตวประกอบรวมระหวาง M กบ N (เขยนวงกลมลอมไว) เรยกวา

ตวหารรวม และตวทมคามากทสดไดแก 14 เรยกวา ตวหารรวมมาก

ส�าหรบจ�านวนเทาของ M กบ N เมอเขยนเรยงล�าดบจากนอย

ไปหามากจะเปนดงน

จ�านวนเทาของ M คอ 42, 84, 126, 168 , 210, 252, 294,

336 , ...

จ�านวนเทาของ N คอ 56, 112, 168 , 224, 280, 336 , 392,

448, ...

8 ฟตทกษะคณต พชตทกโจทยสอบเขา

จ�านวนทตกรอบสเหลยมไวคอจ�านวนเทาของ M กบ N ทมคา

เทากน เราเรยกวา ตวคณรวม และตวทมคาต�าทสดคอ 168 จะเรยกวา

ตวคณรวมนอย

เมอมค�าวา “ตวหารรวมมาก” และ “ตวคณรวมนอย” บางครงก

มค�าถามมาวา แลว “ตวหารรวมนอย” คออะไร หรอ “ตวคณรวมมาก”

คออะไร จากทอธบายมาขางตน คดวาคงจะท�าใหเขาใจกนแลววา ค�าถาม

ทวามานถามไปกไมมประโยชน

ค�าตอบ

ถาให x เปนจ�านวนเตมทเราตองการหาค�าตอบ จ�านวนดงกลาว

กจะตองหารตวเลขตอไปนไดลงตว

147 – 3 = 144, 184 – 4 = 180, 115 – 7 = 108

นนคอ x จะตองเปนตวประกอบของ 144, 180, 108 และมคา

มากกวา 7 (เศษจะตองมคานอยกวาตวหารเสมอ) ดงนนจะได

x = 9, 12

Ê‹Ç

¹àÊÃÔÁ

คา x ทเปนตวประกอบรวมของ 144, 180 และ 108 นน เมอ

น�าตวประกอบของแตละจ�านวนมาเรยงจากนอยไปหามาก กจะพบไดไม

ยาก ถาอยางนน ตวหารรวมมากของ 3 จ�านวนนคออะไร

บทท 1 โจทยเกยวกบตวเลข 9

วธหาตวหารรวมมากนนจะใชวธน�าแตละจ�านวนมาเขยนใหอยใน

รปผลคณของจ�านวนเฉพาะ (การแยกตวประกอบเปนจ�านวนเฉพาะ)

จ�านวนเฉพาะ คอจ�านวนทไมมตวประกอบอนนอกจาก 1 และตว

มนเอง ซงไดแก

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

โดยทไมรวมเลข 1

เมอเขยน 144, 180, 108 ใหอยในรปผลคณของจ�านวนเฉพาะ

จะไดดงน

144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 (= 24 × 32)

180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 (= 22 × 32 × 5)

108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 (= 22 × 33)

ดงนน ตวหารรวมทมคามากทสดของ 3 จ�านวนนคอ

2 × 2 × 3 × 3 = 36 (= 22 × 32)

ตอไปลองหาตวคณรวมนอยของทงสามจ�านวนนดวาจะไดเปน

เทาใด ซงจ�านวนดงกลาวจะตองมชดตวเลขตอไปนเปนตวคณรวมอย

ไดแก

2 × 2 × 2 × 2

3 × 3 × 3

5

เพราะฉะนน ผลทไดคอ

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 = 2160 (= 24 × 33 × 5)

10 ฟตทกษะคณต พชตทกโจทยสอบเขา

ขอสอบเขามหาวทยาลย

มจ�านวนนบตวหนง เมอหารดวย 11 จะเหลอเศษ 7 เมอหารดวย

5 เหลอเศษ 3 ถามวา เมอน�า 11 × 5 มาหารจะเหลอเศษเปนเทาไร

(มหาวทยาลย Setsunan)

à©ÅÂ

จ�านวนนบกคอจ�านวนเตมบวกดงตอไปน

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

จ�านวนเหลานทหารดวย 11 แลวเหลอเศษ 7 เมอน�ามาเขยนเรยง

ตามล�าดบแลวจะได

7, 18 , 29, 40, 51, 62, 73, 84, 95, 106, 117,

128 , 139, 150, 161, 172, 183 , ...

ในบรรดาจ�านวนขางตนทหารดวย 5 แลวเหลอเศษ 3 ไดเขยน

วงลอมเอาไว ซงตวเลขทวานจะเขยนไดในรป

55 × (จ�านวนเตม) + 18

เพราะฉะนนค�าตอบกคอ เศษทเกดจากการหารดวย 55 คอ 18

ขอสงเกต

โจทยขอนสามารถหาค�าตอบไดโดยใชวธผกสมการ แตวธทแสดง

ไวในทนคอ “การลองคนหาจ�านวนดจรงๆ” ซงนบวามความส�าคญมาก

ในเรองของตวเลข ทนลองมาคดหาค�าตอบของโจทยอกขอหนง โจทย

มอยวา