แคลคูลัส - trueplookpanya...2 แคลคูลัส ตัวอย่าง...

แคลคลส

20 Sep 2016

สารบญ

ลมตของฟงกชน ....................................................................................................................................................................... 1

ลมตทางซาย – ลมตทางขวา ................................................................................................................................................... 6

การหาลมตจากกราฟ ............................................................................................................................................................ 12

ความตอเนองของฟงกชน ..................................................................................................................................................... 14

อตราการเปลยนแปลงเฉลย .................................................................................................................................................. 21

อตราการเปลยนแปลงขณะใดๆ ............................................................................................................................................ 22

อนพนธของฟงกชน ............................................................................................................................................................... 24

กฎลกโซ ................................................................................................................................................................................. 30

อนพนธของฟงกชนแฝง ......................................................................................................................................................... 33

อนพนธอนดบสง ................................................................................................................................................................... 35

ระยะทาง ความเรว ความเรง ................................................................................................................................................ 38

กฎของโลปตาล ..................................................................................................................................................................... 40

ความชนเสนโคง .................................................................................................................................................................... 42

ฟงกชนเพม – ฟงกชนลด....................................................................................................................................................... 46

คาสงสด ต าสด ...................................................................................................................................................................... 48

ปฏยานพนธ ........................................................................................................................................................................... 56

พนททปดลอมดวยเสนโคง .................................................................................................................................................... 71

พนทระหวางเสนโคง .............................................................................................................................................................. 77

แคลคลส 1

ลมตของฟงกชน

ax lim 𝑓(𝑥) อานวา “ลมตของ 𝑓(𝑥) เมอ 𝑥 เขาใกล 𝑎” หมายถง คาประมาณของ 𝑓(𝑥) เมอ 𝑥 ประมาณ 𝑎

เชน ถา 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 จะเหนวา เมอ 𝑥 ประมาณ 4 จะได 𝑓(𝑥) ประมาณ (2 × 4) + 5 = 13

ดงนน 4

limx

2𝑥 + 5 = 13

“ลมตของฟงกชน” จะใชสญลกษณคลายๆกบ “ลมตของล าดบ” ตางกนทในเรองนจะใช 𝑥 → 𝑎 แทนทจะเปน 𝑛 → ∞

และในเรองน 𝑥 จะเปนจ านวนจรงอะไรกได ไมตองเปนจ านวนเตมบวกเหมอน 𝑛 ในเรองล าดบอนนต จะเหนวาวธหา

ax lim 𝑓(𝑥) แบบงายๆกคอ ใหแทน 𝑥 = 𝑎 ลงไปนนเอง

เชน 1

limx

2𝑥 − 7 = (2 × 1) − 7 = −5

3

limx

𝑥2 − 2𝑥 + 3 = (−3)2 − 2(−3) + 3 = 9 + 6 + 3 = 18

1

limx

2𝑥 + 3 = 2−1 + 3 = 1

2+ 3 =

7

2

เวลาทเราหาax

lim 𝑓(𝑥) เราจะลองแทน 𝑥 = 𝑎 กอนเปนอนดบแรกดงตวอยางขางบน

แตกอาจจะมบางกรณ ทเราไมสามารถค านวณ 𝑓(𝑎) ได ซงไดแกกรณทเกดการหารดวยศนยขน

ในกรณน จะมวธตอบคาลมตดงตอไปน ถาตวตงไมเปนศนย แตตวหารเปนศนย ตอบไดทนทวา

ax lim 𝑓(𝑥) หาคาไมได

เชน 0

limx

2

𝑥 = หาคาไมได

1lim

x

𝑥

1+𝑥 = หาคาไมได

1

limx

𝑥+2

𝑥−1 = หาคาไมได

2limx

𝑥−1

𝑥2−𝑥−2 = หาคาไมได

ถาตวตงเปนศนย แตตวหารไมเปนศนย ตอบไดทนทวาax

lim 𝑓(𝑥) = 0

เชน 1

limx

𝑥−1

𝑥2+2𝑥+2=

0

5= 0

ถาตวตงเปนศนย แลวตวหารกเปนศนยดวย ตองเปลยนรป 𝑓(𝑥) ใหมกอน เปาหมายของการเปลยนรป 𝑓(𝑥) คอ เพอใหเกดการตดกนของ 𝑥 − 𝑎 จากนนคอยลองแทน 𝑎 ลงไปใหม การเปลยนรป 𝑓(𝑥) จะใชการแยกตวประกอบ หรอไมกใชคอนจเกตคณ

คอนจเกต หรอ สงยค หมายถง เทอมทตวหนากบตวหลงเหมอนเดม แตเปลยนเครองหมายตรงกลางเปนตรงขาม

เชน คอนจเกตของ √𝑥 + 2 คอ √𝑥 − 2

คอนจเกตของ √5 − √𝑥 คอ √5 + √𝑥

เวลาเอาคอนจเกตเขาไปคณ จะท าใหเขาสตร (น + ล)(น − ล) = น2 − ล2 ไดเสมอ

คาของ 𝑓(𝑥) เมอ 𝑥 = 𝑎

แทนดวยสญลกษณ 𝑓(𝑎)

2 แคลคลส

ตวอยาง จงหาคาของ2

limx

𝑥2−3𝑥+2

2𝑥2+𝑥−10

วธท า กอนอนลองแทน 2 ลงไปดกอน จะได 22−3×2+2

2×22+2−10 =

4−6+2

8+2−10 =

0

0

แปลวาตองเปลยนรป 𝑥2−3𝑥+2

2𝑥2+𝑥−10 ใหม ใหเกดการตดกนของ 𝑥 − 2 กอน แลวคอยลองแทน 2 ลงไปใหม

จะเหนวาเราสามารถแยกตวประกอบ เพอให 𝑥 − 2 โผลมาตดกนได 𝑥2−3𝑥+2

2𝑥2+𝑥−10 =

(𝑥−2)(𝑥−1)

(𝑥−2)(2𝑥+5) =

𝑥−1

2𝑥+5

พอ 𝑥 − 2 ตดกนแลว แทน 2 ดใหม จะได 2−1

2×2+5=

1

9

ดงนน 2

limx

𝑥2−3𝑥+2

2𝑥2+𝑥−10=

1

9 #


limx

3−𝑥

𝑥3−27

วธท า ถาลองแทน 3 ลงไป จะได 00 ดงนน ตองเปลยนรปใหม ใหเกดการตดกนของ 𝑥 − 3 กอน

ตวเศษ จดรป 3 − 𝑥 ใหม ไดเปน – (𝑥 − 3)

ตวสวน ใชสตรแยกตวประกอบ 𝑥3 − 27 เปน (𝑥 − 3)(𝑥2 + 3𝑥 + 9)

ดงนน 3−𝑥

𝑥3−27 =

−(𝑥−3)

(𝑥−3)(𝑥2+3𝑥+9) =

−1

𝑥2+3𝑥+9

แทนคา 3 ดใหม จะได −1

9+9+9 = −

1

27

ดงนน 3

limx

3−𝑥

𝑥3−27= −

1

27 #


limx

𝑥2−5𝑥+4

√𝑥−1

วธท า ถาลองแทน 1 ลงไป จะได 00 แปลวาตองเปลยนรปใหม ใหเกดการตดกนของ 𝑥 −1 กอน

หลงจากตด 𝑥 − 1 ไดแลว จงลองแทน 𝑥 = 1 ดใหม จะได (1 − 4)(√1 + 1) = −3 × 2 = −6

ดงนน 1

limx

𝑥2−5𝑥+4

√𝑥−1= −6 #

น2 − ล2 = (น + ล)(น − ล) น3 − ล3 = (น − ล)(น2 + นล + ล2) น3 + ล3 = (น + ล)(น2 − นล + ล2)

𝑥2−5𝑥+4

√𝑥−1=

(𝑥−1)(𝑥−4)

√𝑥−1∙

√𝑥+1

√𝑥+1=

(𝑥−1)(𝑥−4)(√𝑥+1)

(√𝑥)2

−12=

(𝑥−1)(𝑥−4)(√𝑥+1)

𝑥−1= (𝑥 − 4)(√𝑥 + 1)

ใชวธแยกตวประกอบกจะม 𝑥 −1 โผลออกมา

ตวนแยกตวประกอบไมได สวนใหญพวกตดรท มกตองใชคอนจเกทคณ

ตองคณทงเศษและสวน เพอใหคาเหมอนเดม

เขาสตร น2 − ล2 𝑥 − 1 โผลแลว

ตวนไมตองกระจายเขาไป เพราะเดยวกเอา 1 ไปแทน 𝑥 แลว



limx

√𝑥+2−1

√𝑥+5−2

วธท า ถาลองแทน −1 ลงไป จะได 00 แปลวาตองเปลยนรปใหม ใหเกดการตดกนของ 𝑥 − (−1) หรอ 𝑥 + 1 กอน

ขอน ตดรททงตวเศษและตวสวน ตองเอาคอนจเกตของทงตวเศษและตวสวนมาคณ

แทน −1 ดใหม จะได √−1+5+2

√−1+2+1=

2+2

1+1=

4

2= 2

ดงนน1

limx

√𝑥+2−1

√𝑥+5−2= 2 #

แบบฝกหด

1. จงหาคาลมตในแตละขอตอไปน

1. 2

limx

2𝑥2 − 𝑥 2. 1

limx

𝑥2−𝑥

𝑥−1

3. 0

limx

𝑥+1

𝑥2−𝑥 4.

1lim

x

𝑥+1

𝑥2−1

5. 2

limx

𝑥2−3𝑥+2

𝑥2−4𝑥+4 6.

1limx

𝑥2+3𝑥−4

1−𝑥

√𝑥+2−1

√𝑥+5−2=

√𝑥+2−1

√𝑥+5−2∙

√𝑥+2+1

√𝑥+2+1∙

√𝑥+5+2

√𝑥+5+2=

(√𝑥+22

−12)(√𝑥+5+2)

(√𝑥+52

−22)(√𝑥+2+1)=

(𝑥+2−1)(√𝑥+5+2)

(𝑥+5−4)(√𝑥+2+1) =

(𝑥+1)(√𝑥+5+2)

(𝑥+1)(√𝑥+2+1)

=√𝑥+5+2

√𝑥+2+1


7. 1

limx

𝑥2−√𝑥

√𝑥−1

2. 1

limx

(1

1−𝑥−

1

2−3𝑥+𝑥2) มคาเทาใด [A-NET 50/2-5]

3. จงหาคาของ 0

limx

𝑥

√𝑥+83

+ √𝑥−83 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/40]



lim

x

(cot3 𝑥−1) cosec2 𝑥

1+cos 2𝑥−2 sin2 𝑥 [PAT 1 (ม.ค. 55)/40]

5. ก าหนดให 𝑎 เปนจ านวนจรงบวก สอดคลองกบ 0

limx

|5𝑥+1|−|5𝑥−1|

√𝑥+𝑎−√𝑎 = 80

คาของ 𝑎2 + 𝑎 + 58 เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 58)/17]


ลมตทางซาย – ลมตทางขวา

จากหวขอทแลว

ax lim 𝑓(𝑥) หมายถง คาประมาณของ 𝑓(𝑥) เมอ 𝑥 ประมาณ 𝑎

ค าวา “𝑥 ประมาณ 𝑎” จะเหมารวมทงกรณ “𝑥 นอยกวา 𝑎 นดๆ” และกรณ “𝑥 มากกวา 𝑎 นดๆ” ทผานมา เราไมตองกงวลเรองน เพราะ ไมวา 𝑥 นอยกวา 𝑎 นดๆ หรอ 𝑥 มากกวา 𝑎 นดๆ กใช 𝑓(𝑥) สตรเดยวกน

แตเราจะมปญหา ถา 𝑓(𝑥) เกดมหลายสตร และกรณ 𝑥 นอยกวา 𝑎 นดๆ ดนใชคนละสตรกบกรณ 𝑥 มากกวา 𝑎 นดๆ

ในกรณน เราตองหาคาประมาณของ 𝑓(𝑥) ออกมา “ทงสองกรณ” แลวมาเทยบกน ถาเทากนถงจะเอาไปตอบได

เราจะมสญลกษณใหม คอ 𝑥 → 𝑎− กบ 𝑥 → 𝑎+ ดงน

ax

lim 𝑓(𝑥) อานวา “ลมตของ 𝑓(𝑥) เมอ 𝑥 เขาใกล 𝑎 ทางดานซาย”

หมายถง คาประมาณของ 𝑓(𝑥) เมอ 𝑥 นอยกวา 𝑎 นดๆ

ax

lim 𝑓(𝑥) อานวา “ลมตของ 𝑓(𝑥) เมอ 𝑥 เขาใกล 𝑎 ทางดานขวา”

หมายถง คาประมาณของ 𝑓(𝑥) เมอ 𝑥 มากกวา 𝑎 นดๆ

ในกรณท 𝑥 → 𝑎− กบ 𝑥 → 𝑎+ อยในโดเมนของ 𝑓 ถาตวใดตวหนงในสองตวนหาคาไมได หรอ ทงสองตวหาไดไมเทากน เราจะกลาววา

ax lim 𝑓(𝑥) หาคาไมได แตถาสองตวนหาคาได และไดคาเทากน จงจะน าไปเปนค าตอบได

ตวอยาง ก าหนดให 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 2 เมอ 𝑥 ≥ 1

𝑥2 เมอ 𝑥 < 1 จงหา

1limx

𝑓(𝑥)

วธท า จะเหนวา 𝑓(𝑥) ใชคนละสตรกน ในกรณ 𝑥 → 1− กบกรณ 𝑥 → 1+ ดงนนตองแยกหาลมตซายขวา

1

limx

𝑓(𝑥) =1

limx

𝑥2 = 12 = 1

1

limx

𝑓(𝑥) =1

limx

𝑥 + 2 = 1 + 2 = 3

จะเหนวาลมตทงสองขางไมเทากน ดงนน1

limx

𝑓(𝑥) หาคาไมได #

ตวอยาง ก าหนดให 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 2 เมอ 𝑥 ≥ −1

𝑥2 เมอ 𝑥 < −1 จงหา

1lim

x𝑓(𝑥)

วธท า จะเหนวา 𝑓(𝑥) ใชคนละสตรกน ในกรณ 𝑥 → −1− กบกรณ 𝑥 → −1+ ดงนนตองแยกหาลมตซายขวา

1

limx

𝑓(𝑥) = (−1)2 = 1

1

limx

𝑓(𝑥) = (−1) + 2 = 1

ลมตทงสองขางเทากน ดงนน1

limx

𝑓(𝑥) = 1 #

หมายเหต: เราจะแยกหาลมตซายขวา เฉพาะเมอ 𝑓(𝑥) มหลายสตร และใชคนละสตรกนเมอ 𝑥 นอยกวา 𝑎 นดๆกบเมอ 𝑥 มากกวา 𝑎 นดๆ แตถา 𝑓(𝑥) ไมมการแบงกรณเปนหลายๆสตร กแทน 𝑎 ลงไปใน 𝑥 เหมอนหวขอทแลวไดเลย


ตวอยาง ก าหนดให 𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 1 เมอ 𝑥 ≥ −1

𝑥+2

𝑥+1เมอ 𝑥 < −1

จงหา1

limx

𝑓(𝑥)

วธท า จะเหนวา 𝑓(𝑥) ใชคนละสตรกน ในกรณ 𝑥 → −1− กบกรณ 𝑥 → −1+ ดงนนตองแยกหาลมตซายขวา

1

limx

𝑓(𝑥) =−1+2

−1+1=

1

0= หาคาไมได

ถาลมตทางซายหาคาไมได กไมตองหาลมตทางขวาตอแลว

ตอบไดทนทวา1

limx


ตวอยาง ก าหนดให 𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 2𝑥 เมอ 𝑥 ≥ 0

𝑥2 เมอ 𝑥 < 0 จงหา

1lim

x𝑓(𝑥)

วธท า ขอนจะเหนวา 𝑓(𝑥) มสองสตรกจรง แต 𝑥 → −1− กบ 𝑥 → −1+ ใชสตรเดยวกน คอ 𝑓(𝑥) = 𝑥2

ดงนนขอนไมตองแยกหาลมตซายขวา แตแทน 𝑥 = −1 ใน 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ไดเลย นนคอ

1lim

x𝑓(𝑥) = (−1)2 = 1 #

ตวอยาง ก าหนดให 𝑓(𝑥) = {

𝑥2+2𝑥

𝑥2 เมอ 𝑥 ≥ 0

𝑥2 เมอ 𝑥 < 0

จงหา0

limx

𝑓(𝑥)

วธท า จะเหนวา 𝑓(𝑥) ใชคนละสตรกน ในกรณ 𝑥 → 0− กบกรณ 𝑥 → 0+ ดงนนตองแยกหาลมตซายขวา

0

limx

𝑓(𝑥) = 02 = 0

0

limx

𝑓(𝑥) = 0

limx

𝑥(𝑥+2)

𝑥2 = 0

limx

𝑥+2

𝑥=

2

0= หาคาไมได

ดงนน0

limx

𝑓(𝑥) = หาคาไมได #

ตวอยาง ก าหนดให 𝑓(𝑥) =|𝑥|

𝑥 จงหา

0limx

𝑓(𝑥)

วธท า ขอน 𝑓(𝑥) มสตรเดยวกจรง แตถาพจารณาดๆจะพบวา จรงๆแลวเครองหมายคาสมบรณ ประกอบดวยสองสตร

คอ |𝑥| = { 𝑥 เมอ 𝑥 ≥ 0

−𝑥 เมอ 𝑥 < 0

ดงนน เขยน 𝑓(𝑥) ไดใหมเปน 𝑓(𝑥) = {

𝑥

𝑥เมอ 𝑥 ≥ 0

−𝑥

𝑥เมอ 𝑥 < 0

จะเหนวา 𝑓(𝑥) ใชคนละสตรกน ในกรณ 𝑥 → 0− กบกรณ 𝑥 → 0+ ดงนนตองแยกหาลมตซายขวา

0

limx

𝑓(𝑥) = 0

limx

−𝑥

𝑥=

0

limx

−1 = −1

0

limx

𝑓(𝑥) = 0

limx

𝑥

𝑥=

0

limx

1 = 1

จะเหนวาลมตทงสองขางไมเทากน ดงนน0

limx



ตวอยาง ก าหนดให 𝑓(𝑥) =|𝑥−1|

𝑥 จงหา

1limx

𝑓(𝑥)

วธท า จากสตรของคาสมบรณ จะได |𝑥 − 1| = {𝑥 − 1 เมอ 𝑥 − 1 ≥ 0

−(𝑥 − 1) เมอ 𝑥 − 1 < 0

ดงนน 𝑓(𝑥) = {

𝑥−1

𝑥เมอ 𝑥 ≥ 1

−(𝑥−1)

𝑥เมอ 𝑥 < 1

จะเหนวา 𝑓(𝑥) ใชคนละสตรกน ในกรณ 𝑥 → 1− กบกรณ 𝑥 → 1+ ดงนนตองแยกหาลมตซายขวา

1

limx

𝑓(𝑥) =−(1−1)

1= 0

1

limx

𝑓(𝑥) =1−1

1= 0

ลมตทงสองขางเทากน ดงนน 1

limx

𝑓(𝑥) = 0 #

ตวอยาง ก าหนดให 𝑓(𝑥) = √𝑥2−1

𝑥2+𝑥 จงหา

1lim

x𝑓(𝑥)

วธท า ขอน 𝑓(𝑥) มสตรเดยวกจรง แตถาพจารณาดๆจะพบวา √𝑥2 = |𝑥|

เนองจาก |𝑥| = { 𝑥 เมอ 𝑥 ≥ 0

−𝑥 เมอ 𝑥 < 0 ดงนน 𝑓(𝑥) =

|𝑥|−1

𝑥2+𝑥 = {

𝑥−1

𝑥2+𝑥เมอ 𝑥 ≥ 0

−𝑥−1

𝑥2+𝑥เมอ 𝑥 < 0

ขอนถาม 𝑥 → −1 แตจะเหนวา กรณ 𝑥 → −1− กบ 𝑥 → −1+ กเขากรณ 𝑥 < 0 ใชสตรลาง เหมอนกน ดงนน ขอนใช 𝑓(𝑥) =

−𝑥−1

𝑥2+𝑥 มาคดลมต 𝑥 → −1 ไดเลย ไมตองแยกหาลมตซายขวา

จะเหนวา แทนแลวได 00 ตองจดรปให 𝑥 − (−1) มาตดกนกอน จะได −𝑥−1

𝑥2+𝑥 =

−(𝑥+1)

𝑥(𝑥+1) = −

1

𝑥

แทน 𝑥 = −1 จะได 1

limx

𝑓(𝑥) = −1

−1 = 1 #


1. จงหาคา 1

limx

𝑓(𝑥) เมอ 𝑓(𝑥) = {2𝑥 + 1 เมอ 𝑥 ≥ 1

4𝑥 − 1 เมอ 𝑥 < 1


limx

𝑓(𝑥) เมอ 𝑓(𝑥) = { 2 − 𝑥 เมอ 𝑥 ≥ 0

3𝑥 + 1 เมอ 𝑥 < 0



limx

𝑓(𝑥) เมอ 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 2 เมอ 𝑥 ≥ 3

𝑥 − 1 เมอ 𝑥 < 3


limx

𝑓(𝑥) เมอ 𝑓(𝑥) = {𝑥2−3𝑥+2

2−𝑥เมอ 𝑥 ≥ 2

2𝑥 − 3 เมอ 𝑥 < 2


limx

𝑓(𝑥) เมอ 𝑓(𝑥) = {

𝑥2−16

√𝑥−2เมอ 𝑥 ≥ 4

7𝑥 + 4 เมอ 𝑥 < 4


limx

𝑓(𝑥) เมอ 𝑓(𝑥) = |𝑥−1|

𝑥2−1


limx

𝑓(𝑥) เมอ 𝑓(𝑥) = |𝑥−2|

𝑥2−3𝑥+2



limx

𝑓(1 + 𝑥) เมอ 𝑓(𝑥) = {𝑥2 เมอ 𝑥 ≥ 1

2𝑥 + 1 เมอ 𝑥 < 1

9. คาของ 1

limx

1

√1−𝑥(1 −

2𝑥3

𝑥2+1) เทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 58)/13]


limx

√𝑥3+𝑥2+𝑥

𝑥2 เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 54)/18]


limx

|1+𝑥−2𝑥2|

√𝑥+3−2 เทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/21]



limx

|𝑥2−𝑥−2|

2− √𝑥2+43 เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 59)/42]

13. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = {𝑥2 เมอ 𝑥 < 0

2𝑥 − 1 เมอ 0 ≤ 𝑥 < 1

3𝑥 เมอ 𝑥 > 1

คาของ 0

limx

𝑓(𝑥2) +0

limx

𝑓(1 − 𝑥) เทากบเทาใด [A-NET 49/1-17]


การหาลมตจากกราฟ

หวขอทผานมา เปนการหาลมตจากสมการฟงกชน

ในหวขอน เราจะฝกการอานกราฟ โดยใชหลกงายๆกคอ ใหอานคา 𝑓(𝑥) จากคา 𝑦

ปกต เรามกตองอานกราฟเพอหาคา 4 คา ดงตอไปน

เชน ตรงท 𝑥 = 1 จะเหนวา 𝑦 = 4 ดงนน 𝑓(1) = 4

เมอ 𝑥 < 1 นดๆ จะเหนวา 𝑦 กประมาณ 4 ดงนน1

limx

𝑓(𝑥) = 4

เมอ 𝑥 > 1 นดๆ จะเหนวา 𝑦 กประมาณ 4 ดงนน1

limx

𝑓(𝑥) = 4

เนองจากลมตซายขวาเทากน ดงนน 1

limx

𝑓(𝑥) = 4

ตรงท 𝑥 = 1 จะเหนวา 𝑦 = 2 ดงนน 𝑓(1) = 2

เมอ 𝑥 < 1 นดๆ จะเหนวากราฟพงขนอยางไมมขอบเขต จงหาคา 𝑦 ไมได

ดงนน1

limx

𝑓(𝑥) = หาคาไมได

เมอ 𝑥 > 1 นดๆ จะเหนวา 𝑦 ประมาณ 2 ดงนน1

limx

𝑓(𝑥) = 2

เนองจากลมตทางซายหาคาไมได ดงนน 1

limx


ตรงท 𝑥 = 2 จะเหนวามจดด าๆอยตรง 𝑦 = 4 ดงนน 𝑓(2) = 4

เมอ 𝑥 < 2 นดๆ จะเหนวามเสนกราฟอยท 𝑦 = 1 ดงนน 2

limx

𝑓(𝑥) = 1

เมอ 𝑥 > 2 นดๆ จะเหนวามเสนกราฟอยท 𝑦 = 3 ดงนน 2

limx

𝑓(𝑥) = 3

เนองจากลมตซายขวาไมเทากน ดงนน 2

limx


2

4

X

Y

3

1

1

4

X

Y

1

2

X

Y

คา 𝑦 ตรงท 𝑥 = 𝑎

คา 𝑦 ตรงแถวๆท 𝑥 นอยกวา 𝑎 นดๆ

คา 𝑦 ตรงแถวๆท 𝑥 มากกวา 𝑎 นดๆ

จะมคา เมอลมตซายขวามคาเทากน

𝑓(𝑎) , ax

lim 𝑓(𝑥) , ax

lim 𝑓(𝑥) , ax

lim 𝑓(𝑥)


แบบฝกหด 1. จงเตมค าในชองวาง 1. 𝑓(2) =

2

limx

𝑓(𝑥) =

2

limx

𝑓(𝑥) =

2

limx

𝑓(𝑥) =

2. 𝑓(1) =

1

limx

𝑓(𝑥) =

1

limx

𝑓(𝑥) =

1

limx

𝑓(𝑥) =

3. 𝑓(2) =

2

limx

𝑓(𝑥) =

2

limx

𝑓(𝑥) =

2

limx

𝑓(𝑥) =

4. 𝑓(0) =

0

limx

𝑓(𝑥) =

0

limx

𝑓(𝑥) =

0

limx

𝑓(𝑥) =

X

Y

1

1

4

X

Y

2

1

X

Y

2 X

Y

3

1


ความตอเนองของฟงกชน

เราจะกลาววา “ฟงกชน 𝑓(𝑥) ตอเนองท 𝑥 = 𝑎” เมอ 𝑓(𝑎) =ax

lim 𝑓(𝑥)

ถาแยกคดลมตซายขวา ax

lim 𝑓(𝑥) จะมคาเทากบ ax

lim 𝑓(𝑥) และ ax

lim 𝑓(𝑥)

ดงนน ฟงกชน 𝑓(𝑥) ตอเนองท 𝑥 = 𝑎 เมอ ax

lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) = ax

lim 𝑓(𝑥)

ตวอยาง ก าหนด 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 จงพจารณาวา 𝑓(𝑥) ตอเนองท 𝑥 = 1 หรอไม

วธท า ตองเชควา 𝑓(1) กบ 1

limx

𝑓(𝑥) เทากนหรอไม

เนองจาก 𝑓(1) = 2 × 1 + 5 = 7 และ 1

limx

𝑓(𝑥) = 2 × 1 + 5 = 7 เทากน

ดงนน 𝑓(𝑥) ตอเนองท 𝑥 = 1 #

ตวอยาง ก าหนด 𝑓(𝑥) = 𝑥2+𝑥

𝑥 จงพจารณาวา 𝑓(𝑥) ตอเนองท 𝑥 = 0 หรอไม


limx


จะเหนวา 𝑓(0) = 02+0

0 = หาคาไมได จบเลย ไมตองหา

0limx

𝑓(𝑥) แลว

สรปไดทนทวา 𝑓(𝑥) ไมตอเนองท 𝑥 = 0 #

ตวอยาง ก าหนด 𝑓(𝑥) = {

𝑥2−𝑥−2

𝑥−2เมอ 𝑥 > 2

2𝑥 − 1 เมอ 𝑥 ≤ 2 จงพจารณาวา 𝑓(𝑥) ตอเนองท 𝑥 = 2 หรอไม


limx


จะได 𝑓(2) = 2 × 2 − 1 = 3 แตจะหา2

limx

𝑓(𝑥) ตองคดลมตซายขวา เพราะ 𝑓(𝑥) ใชคนละสตร

2

limx

𝑓(𝑥) = 2 × 2 − 1 = 3

2

limx

𝑓(𝑥) = 22−2−2

2−2 =

0

0 ดงนน ตองเปลยนรปให 𝑥 − 2 มาตดกนกอน

เนองจาก 𝑥2−𝑥−2

𝑥−2=

(𝑥−2)(𝑥+1)

𝑥−2= 𝑥 + 1 ดงนน

2

limx

𝑓(𝑥) = 2 + 1 = 3

ลมตซายขวาเทากน ดงนน 2

limx

𝑓(𝑥) = 3

จะเหนวา 𝑓(2) = 2

limx

𝑓(𝑥) = 3 ดงนน 𝑓(𝑥) ตอเนองท 𝑥 = 2 #

คาของ 𝑓(𝑥) เมอ 𝑥 นอยกวา 𝑎 นดๆ

คาของ 𝑓(𝑥) ตรงจด 𝑥 = 𝑎

คาของ 𝑓(𝑥) เมอ 𝑥 มากกวา 𝑎 นดๆ


ในกรณทโจทยมาเปนรปกราฟ จะท าแบบเดมกได คอเชควา 𝑓(𝑎) =ax

lim 𝑓(𝑥) ไหม

เพยงแตคราวนตองหา 𝑓(𝑎) , ax

lim 𝑓(𝑥) , ax

lim 𝑓(𝑥) จากกราฟ

หรอจะดวาเสนกราฟขาด หรอไมกได ถาเขยนกราฟแลวตองยกดนสอตรง 𝑥 = 𝑎 แปลวาตรง 𝑥 = 𝑎 ไมตอเนอง

ตวอยาง ก าหนดกราฟของ 𝑓(𝑥) ตามรป จงพจารณาวา 𝑓(𝑥) ตอเนองท 𝑥 = 2 หรอไม


limx

𝑓(𝑥) เทากนหรอไม แตคราวนตองหาจากรปกราฟ

จากกราฟ จะได 𝑓(2) = 4 แต 2

limx

𝑓(𝑥) = 2

limx

𝑓(𝑥) = 2 ไมเทากน

ดงนน 𝑓(𝑥) ไมตอเนองท 𝑥 = 2 #

ตวอยาง ก าหนดกราฟของ 𝑓(𝑥) ตามรป จงพจารณาวา 𝑓(𝑥) ตอเนองท 𝑥 = 1 หรอไม

วธท า จากกราฟ จะได 𝑓(1) = 2

แตจะเหนวา1

limx

𝑓(𝑥) หาคาไมได ดงนน 𝑓(𝑥) ไมตอเนองท 𝑥 = 1 #

ตวอยาง ก าหนดกราฟของ 𝑓(𝑥) ตามรป จงพจารณาวา 𝑓(𝑥) ตอเนองทตรงไหนบาง

วธท า ท 𝑥 = 0 ตอเนอง เพราะ 𝑓(0) = 3 = 0

limx

𝑓(𝑥) = 0

limx

𝑓(𝑥)

ท 𝑥 = 3 ไมตอเนอง เพราะ 𝑓(3) หาคาไมได

ท 𝑥 = 6 ไมตอเนอง เพราะ 𝑓(6) หาคาไมได ดงนน 𝑓(𝑥) ตอเนองเมอ 𝑥 ∈ (−∞, 3) ∪ (3, 6) ∪ (6, ∞) #

2

2

4

1

2

3

3

6


แบบฝกหด 1. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 จงพจารณาวา 𝑓(𝑥) ตอเนองทคา 𝑥 ตอไปนหรอไม 1. 𝑥 = 0 2. 𝑥 = −1

2. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = 𝑥2+𝑥−2

𝑥−1 จงพจารณาวา 𝑓(𝑥) ตอเนองทคา 𝑥 ตอไปนหรอไม

1. 𝑥 = −1 2. 𝑥 = 1

3. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = {2 เมอ 𝑥 ≥ −1

1−𝑥2

𝑥+1เมอ 𝑥 < −1

จงพจารณาวา 𝑓(𝑥) ตอเนองทคา 𝑥 ตอไปนหรอไม

1. 𝑥 = −1 2. 𝑥 = 0

4. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = |𝑥|

𝑥 จงพจารณาวา 𝑓(𝑥) ตอเนองทคา 𝑥 ตอไปนหรอไม

1. 𝑥 = −1 2. 𝑥 = 0

5. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = {𝑘 เมอ 𝑥 = 1

𝑥2−𝑥

𝑥−1เมอ 𝑥 ≠ 1

จงหาคา 𝑘 ทท าให 𝑓(𝑥) ตอเนองท 𝑥 = 1


6. จงหาคา 𝑎 และ 𝑏 ทท าให 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 𝑎 เมอ 𝑥 > 1

2𝑎 − 1 เมอ 𝑥 = 1

𝑎𝑥 − 𝑏 เมอ 𝑥 < 1

เปนฟงกชนตอเนอง

7. ฟงกชนในขอใดบางทตอเนองท 𝑥 = 1 1. 2.

3. 4.

8. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = {

𝑥−3

√2𝑥+10−√𝑥+13เมอ 𝑥 ≠ 3

𝑎 เมอ 𝑥 = 3 โดยท 𝑎 เปนจ านวนจรง

ถา 𝑓 เปนฟงกชนตอเนองทจด 𝑥 = 3 แลว 𝑎 เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 54)/44]

1 1

1 1


9. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = {

2𝑥−8

2𝑥−√4𝑥2−3𝑥+12, 𝑥 < 4

𝑘𝑥

3, 𝑥 ≥ 4

โดยท 𝑘 เปนจ านวนจรง ถา 𝑓 เปนฟงกชนตอเนองทจด 𝑥 = 4

แลว 𝑓(𝑘 + 1) เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 56)/38]

10. ก าหนดให 𝑓 เปนฟงกชน นยามโดย 𝑓(𝑥) = {

−𝑥 + 𝑎 , 𝑥 ≤ −2

−2

5𝑥 + 𝑏 , −2 < 𝑥 < 3

𝑥2 − 6𝑥 + 11 , 𝑥 > 3

เมอ 𝑎, 𝑏 เปนจ านวนจรง ถาฟงกชน 𝑓 มความตอเนองท 𝑥 = −2 และ 3

limx

𝑓(𝑥) หาคาได

แลวคาของ |𝑎 + 5𝑏| เทากบเทาใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/17]

11. ก าหนดให 𝑎, 𝑏 เปนจ านวนจรง และ 𝑓 เปนฟงกชนซงนยามโดย

𝑓(𝑥) = {

(𝑥 − 1)2 + 1 เมอ 𝑥 < 0

𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 เมอ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1

𝑥 − 𝑏 เมอ 𝑥 > 1

ถา 𝑓 เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [−2, 2] แลว 𝑓 (1

2) เทากบเทาใด [A-NET 50/1-20]


12. ก าหนดให 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนจรง และให 𝑓 เปนฟงกชน โดยท 𝑓(𝑥) = {

|𝑥3−1|

𝑥−1, −1 < 𝑥 < 1

𝑎𝑥 + 𝑏 , 1 ≤ 𝑥 < 55 , 𝑥 ≥ 5

ถา 𝑓 เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (−1, ∞) แลวคาของ 𝑎𝑏 เทากบเทาใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/19]

13. ก าหนดให 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนจรง และ 𝑓 เปนฟงกชน ซงก าหนดโดย 𝑓(𝑥) = {

𝑥3−3𝑥−2

𝑥−2, 𝑥 < 2

𝑎 − 𝑏 , 𝑥 = 2

𝑥2 + 𝑎𝑥 + 1 , 𝑥 > 2

ถา 𝑓 เปนฟงกชนตอเนองบนเซตของจ านวนจรงแลว คาของ 𝑎2 + 𝑏2 เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 53)/37]

14. ให 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนจรง และให 𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 , 𝑥 < 2

√𝑥 − 1 , 2 ≤ 𝑥 ≤ 5𝑎𝑥 + 𝑏 , 𝑥 > 5

ถา 𝑓 เปนฟงกชนตอเนองบนเซตของจ านวนจรง แลว 𝑎 − 𝑏 เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 57)/17]


15. ก าหนดให 𝑓 เปนฟงกชน นยามโดย 𝑓(𝑥) = {

𝑒2𝑥 + 2𝑎 , 𝑥 < 0𝑎 + 𝑏 , 𝑥 = 0

√1+𝑏𝑥+5𝑥2−1

𝑥, 𝑥 > 0

เมอ 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนจรง

ถาฟงกชน 𝑓 มความตอเนองท 𝑥 = 0 แลวคาของ 15𝑎 + 30𝑏 เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 58)/41]

16. ก าหนดให 𝑅 แทนเซตของจ านวนจรง ให 𝑓: 𝑅 → 𝑅 เปนฟงกชนตอเนอง ท 𝑥 = 1 และ ให 𝑔 เปนฟงกชนทก าหนดโดย

𝑔(𝑥) = {

√𝑥+3−2

√𝑥−1เมอ 𝑥 > 1

𝑓(𝑥)

|𝑥|+7เมอ 𝑥 ≤ 1

ถาฟงกชน 𝑔 มความตอเนองท 𝑥 = 1 แลว คาของ (𝑔 ∘ 𝑓)(1) เทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/18]


อตราการเปลยนแปลงเฉลย ในเรองน เราจะเจอค าวา “อตราการเปลยนแปลงเฉลย ของ 𝑓(𝑥) เทยบกบ 𝑥 ในชวง 𝑥 = 𝑎 ถง 𝑥 = 𝑏” ซงจะเปนคาทบอกวา 𝑓(𝑥) เปลยนไปขนาดไหน เทยบกบการเปลยนไปของ 𝑥

นนคอ เราจะหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยนไดจากสตร 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)

𝑏−𝑎 (หรอจากสตร 𝑓(𝑎)−𝑓(𝑏)

𝑎−𝑏 กได)

ตวอยาง จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลย ของ 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 2 เมอ 𝑥 เปลยนจาก 2 เปน 5

วธท า อตราการเปลยนแปลงเฉลย = 𝑓(5)−𝑓(2)

5−2 =

(52−2∙5+2)−(22−2∙2+2)

5−2 =

17−2

3 = 5 #

ตวอยาง จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลย ของพนทวงกลม เมอรศมเปลยนจาก 1 เปน 4

วธท า ขอนตองรเองวาสตรพนทวงกลมทมรศม 𝑟 คอ 𝜋𝑟2

ดงนน อตราการเปลยนแปลงเฉลย = 𝜋42−𝜋12

4−1 =

16𝜋−𝜋

3 = 5𝜋 #


1. จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของฟงกชนตอไปน

1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 เมอ 𝑥 เปลยนจาก 1 เปน 8 2. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 5 เมอ 𝑥 เปลยนจาก 9 เปน 14

3. พนทสเหลยมจตรส เมอความยาวดานเปลยน 4. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 เมอ 𝑥 เปลยนจาก 𝑎 เปน 𝑎 + 1

จาก 2 เปน 6

𝑥 𝑓(𝑥) 𝑎 𝑏

𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏)

หางกน 𝑏 − 𝑎 หางกน 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

ดงนน 𝑓(𝑥) เปลยนไป 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)

𝑏−𝑎

เมอเทยบกบ 𝑥


อตราการเปลยนแปลงขณะใดๆ

หวขอทแลว อตราการเปลยนแปลงเฉลย จะเปนการคดจากจดตนกบจดปลาย 2 จด ซงคดงาย แตใชอะไรไมคอยได เพราะปกตเรามกจะอยากรอตราการเปลยนแปลงตรงจดใดจดหนงแคจดเดยว

ดงนน ในหวขอน เราจะพยายามหา “อตราการเปลยนแปลง ขณะท 𝑥 = 𝑎” โดยเราจะหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยในชวง 𝑥 = 𝑎 ถง 𝑥 = 𝑎 + ℎ กอน

แลวคอยบบให ℎ เขาใกลศนยโดยใชความรเรองลมตของฟงกชนมาชวย

แตปกต เรามกจะไมแทน 𝑥 = 𝑎 แตแรก แตจะหา 0

limh

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ แบบตดตวแปร 𝑥 ไวกอน

แลวถาอยากไดอตราการเปลยนแปลงท 𝑥 เทากบเทาไหร คอยแทนเอาตอนทาย

สรป อตราการเปลยนแปลงของ 𝑓(𝑥) เทยบกบ 𝑥 ขณะ 𝑥 ใดๆ คอ 0

limh


ℎ

ตวอยาง จงหาอตราการเปลยนแปลงของ 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 + 3 เทยบกบ 𝑥 ขณะท 𝑥 = 1

วธท า อตราการเปลยนแปลงขณะใดๆ = 0

limh


ℎ =

0limh

[2(𝑥+ℎ)2−(𝑥+ℎ)+3]−[2𝑥2−𝑥+3]

ℎ

=0

limh

[2(𝑥2+2𝑥ℎ+ℎ2)−(𝑥+ℎ)+3]−[2𝑥2−𝑥+3]

ℎ

=0

limh

2𝑥2+4𝑥ℎ+2ℎ2−𝑥−ℎ+3−2𝑥2+𝑥−3

ℎ

=0

limh

4𝑥ℎ+2ℎ2−ℎ

ℎ =

0limh

4𝑥 + 2ℎ − 1 = 4𝑥 − 1

ดงนน อตราการเปลยนแปลงขณะท 𝑥 = 1 คอ (4)(1) − 1 = 3 #

ตวอยาง จงหาอตราการเปลยนแปลงของ 𝑓(𝑥) = 3 − 5𝑥 เทยบกบ 𝑥 ขณะท 𝑥 = 8

วธท า อตราการเปลยนแปลงขณะใดๆ =0

limh

[3−5(𝑥+ℎ)]−[3−5𝑥]

ℎ

=0

limh

3−5𝑥−5ℎ−3+5𝑥

ℎ

=0

limh

−5ℎ

ℎ =

0limh

−5 = −5

ดงนน อตราการเปลยนแปลงขณะท 𝑥 = 8 คอ −5 #

ตวอยาง จงหาอตราการเปลยนแปลงพนทรปสเหลยมจตรส เทยบกบความยาวดาน ขณะทดานของสเหลยมยาว 4 หนวย

วธท า ให 𝑥 คอความยาวดาน จะได พนท = 𝑥2

ดงนน อตราการเปลยนแปลงพนทขณะใดๆ =0

limh

(𝑥+ℎ)2−𝑥2

ℎ

=0

limh

𝑥2+2𝑥ℎ+ℎ2−𝑥2

ℎ

=0

limh

2𝑥ℎ+ℎ2

ℎ =

0limh

2𝑥 + ℎ = 2𝑥

ดงนน อตราการเปลยนแปลงพนทขณะทดานของสเหลยมยาว 4 หนวย = (2)(4) = 8 #

= 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

(𝑎+ℎ)−(𝑎) =

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ

= 0

limh

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ



1. จงหาอตราการเปลยนแปลงของ 𝑓(𝑥) = 3 − 2𝑥 − 𝑥2 เทยบกบ 𝑥 ขณะท 1. 𝑥 = 1 2. 𝑥 = 2

2. จงหาอตราการเปลยนแปลงของพนทสเหลยมจตรส เทยบกบความยาวดาน ขณะท 1. ดานยาว 2 หนวย 2. ดานยาว 6 หนวย


อนพนธของฟงกชน

“อนพนธของ 𝑓(𝑥) เทยบกบ 𝑥” หรอ “ดฟ 𝑓(𝑥)” แทนดวยสญลกษณ 𝑓′(𝑥) หรอ 𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥 หรอ 𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

หมายถง อตราการเปลยนแปลงขณะใดๆ ทเรยนในหวขอทแลวนนเอง

บางทเราสามารถใช 𝑦 แทน 𝑓(𝑥) ได เชน “อนพนธของ 𝑦 เทยบกบ 𝑥” ซงแทนดวยสญลกษณ 𝑦′ หรอ 𝑑𝑦

𝑑𝑥 หรอ 𝑑

𝑑𝑥𝑦

ตวอยาง จงหาอนพนธของ 𝑓(𝑥) เมอก าหนดให 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3

วธท า ท าแบบเดยวกบตอนหาอตราการเปลยนแปลงขณะใดๆในเรองทแลว เพยงแตใชสญลกษณ 𝑓′(𝑥) ของเรองน

𝑓′(𝑥) = 0

limh


ℎ

=0

limh

[2(𝑥+ℎ)2+3]−[2𝑥2+3]

ℎ

=0

limh

2𝑥2+4𝑥ℎ+2ℎ2+3−2𝑥2−3

ℎ

=0

limh

4𝑥ℎ+2ℎ2

ℎ =

0limh

4𝑥 + 2ℎ = 4𝑥

จะไดค าตอบคอ 𝑓′(𝑥) = 4𝑥 #

หมายเหต: ในตวอยางขางบน เราสามารถพดสนๆไดวา “ดฟ 2𝑥2 + 3 ได 4𝑥”

ซงสามารถเขยนเปนสญลกษณไดเปน 𝑑

𝑑𝑥2𝑥2 + 3 = 4𝑥

อยางไรกตาม เวลาทเราหาอนพนธ กจะไมไดท าขนตอนยงยากเหมอนอยางทท าใหดขางบน

แตเราจะมสตรหาแบบงายๆ คอ

และ ดฟ กระจายในบวกลบได

เชน 𝑑

𝑑𝑥2𝑥4 = 8𝑥3

𝑑

𝑑𝑥3𝑥2 = 6𝑥1 = 6𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑥3 = 3𝑥2

𝑑

𝑑𝑥2 =

𝑑

𝑑𝑥2𝑥0 = 0 (ดฟคาคงท ได 0 เสมอ)

𝑑

𝑑𝑥4𝑥1/3 =

4

3𝑥

1

3−1 =

4

3𝑥−

2

3 𝑑

𝑑𝑥−2𝑥5 = −10𝑥4

𝑑

𝑑𝑥2𝑥−3 = −6𝑥−4

𝑑

𝑑𝑥(

4

𝑥) =

𝑑

𝑑𝑥4𝑥−1 = −4𝑥−2 = −

4

𝑥2

𝑑

𝑑𝑥5√𝑥

3 =

𝑑

𝑑𝑥5𝑥

1

3 = 5

3𝑥−

2

3 𝑑

𝑑𝑥(−

6

√𝑥) =

𝑑

𝑑𝑥(−6𝑥−

1

2) = 3𝑥−3

2

𝑑

𝑑𝑥(2𝑥2 − 3𝑥 + 5) =

𝑑

𝑑𝑥2𝑥2 −

𝑑

𝑑𝑥3𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥5

= 4𝑥 − 3

ตวอยาง จงหาอตราการเปลยนแปลงขณะใดๆ ของ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥 ขณะท 𝑥 = 1

วธท า ขอน จะใชสตรการหาอนพนธมาชวยหาอตราการเปลยนแปลงขณะใดๆ จะได 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 4 แทน 𝑥 = 1 ลงไป จะได 𝑓′(1) = 3(12) − 4 = −1 #

หมายเหต: สญลกษณ 𝑓′(1) หมายถงหาอนพนธของ 𝑓(𝑥) ออกมากอน แลวแทน 𝑥 = 1 ลงไป

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑥𝑛 = 𝑎𝑛𝑥𝑛−1


เราสามารถดง “ตวเลข” ท คณ หาร อย ออกมาไวหนาดฟได เชน 𝑑

𝑑𝑥(3)(𝑥2 + 2𝑥 + 4) = 3 ∙

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 2𝑥 + 4)

แต ดฟ กระจายในคณ หาร หรอ ยกก าลง ไมได กลาวคอ 𝑑

𝑑𝑥(2𝑥2)(3𝑥 + 2) ≠ (4𝑥)(3)

แตจะมสตรดฟผลคณ ผลหาร ดงน

เชน

ตวอยาง จงหา 𝑑

𝑑𝑥(2𝑥 + 5)2

วธท า เนองจากดฟกระจายในการยกก าลงไมได ท าใหเราไมสามารถหา 𝑑

𝑑𝑥2𝑥 + 5 กอน แลวคอยยกก าลงสองได

ขอนตองกระจาย (2𝑥 + 5)2 ออกมาในรปการบวกกอน แลวคอยดฟ ดงน

หรอจะใชสตรดฟผลคณ กได ดงน #

ตวอยาง ก าหนดให 𝑓(1) = 2 , 𝑓′(1) = 3 ถา 𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 1)𝑓(𝑥) แลว จงหาคาของ 𝑔′(1)

วธท า จะเหนวา 𝑔(𝑥) เกดจากการคณกนระหวาง 2𝑥 − 1 กบ 𝑓(𝑥) ดงนน เราสามารถใชสตรดฟผลคณกบ 𝑔(𝑥) จะได 𝑔′(𝑥) = (2𝑥 − 1)𝑓′(𝑥) + 𝑓(𝑥)(2)

ดงนน 𝑔′(1) = (2 ∙ 1 − 1)𝑓′(1) + 𝑓(1)(2)

= ( 1 )( 3 ) + (2)(2) = 7 #


1. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

1. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 5 2. 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 𝑥2 + 𝑥

3. 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 4. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2

𝑑

𝑑𝑥หนา ∙ หลง = หนา ∙

𝑑

𝑑𝑥หลง + หลง ∙

𝑑

𝑑𝑥หนา

𝑑

𝑑𝑥(บนลาง) =

(ลาง∙ 𝑑

𝑑𝑥บน)−(บน∙

𝑑

𝑑𝑥ลาง)

ลาง2

𝑑

𝑑𝑥(2𝑥2)(3𝑥 + 2) = (2𝑥2)(3) + (3𝑥 + 2)(4𝑥)

= 6𝑥2 + 12𝑥2 + 8𝑥

= 18𝑥2 + 8𝑥

𝑑

𝑑𝑥(

2𝑥2

3𝑥+2) =

(3𝑥+2)(4𝑥)−(2𝑥2)(3)

(3𝑥+2)2

= 12𝑥2+8𝑥−6𝑥2

(3𝑥+2)2

= 6𝑥2+8𝑥

(3𝑥+2)2

𝑑

𝑑𝑥(2𝑥 + 5)2 =

𝑑

𝑑𝑥4𝑥2 + 20𝑥 + 25

= 8𝑥 + 20

𝑑

𝑑𝑥(2𝑥 + 5)2 =

𝑑

𝑑𝑥(2𝑥 + 5)(2𝑥 + 5)

= (2𝑥 + 5)(2) + (2𝑥 + 5)(2)

= 4𝑥 + 10 + 4𝑥 + 10

= 8𝑥 + 20


5. 𝑓(𝑥) = 𝑥√𝑥 − 𝑥 6. 𝑓(𝑥) = √𝑥(𝑥 − 2)

7. 𝑓(𝑥) = 1

𝑥√𝑥

2. จงใชสตรดฟผลคณ ผลหาร เพอหาอนพนธของฟงกชนตอไปน 1. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)(𝑥 − 2) 2. 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1)(2𝑥 − 3)

3. 𝑓(𝑥) = 1

𝑥2+2 4. 𝑓(𝑥) =

𝑥−1

𝑥+1

3. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑥 + 1 ถา 𝑓′(1) = 2 แลว จงหาคาของ 𝑓′(2)

𝑓(2)

4. ก าหนดให 𝑓(0) = 1 , 𝑓′(0) = 2 ถา 𝑔(𝑥) = (𝑥2+𝑥−1)

𝑓(𝑥) แลว จงหาคาของ 𝑔′(0)


5. ก าหนดให 𝑓(1) = 1 , 𝑓′(1) = 2 , 𝑔(1) = 3 , 𝑔′(1) = 4 ถา ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) −𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) แลว จงหาคา

ของ ℎ′(1)

6. ถา 𝑃(𝑥) เปนพหนามดกรสาม ซงม 1, 2, 3 เปนค าตอบของสมการ 𝑃(𝑥) = 0 และ 𝑃(4) = 5

แลว 𝑃′(1) มคาเทากบเทาใด [A-NET 49/1-18]

1. −6

7 2. −

5

6 3. 4

5 4. 5

3

7. ถา 𝑓, 𝑔 และ ℎ สอดคลองกบ 𝑓(1) = 𝑔(1) = ℎ(1) = 1 และ 𝑓′(1) = 𝑔′(1) = ℎ′(1) = 2 แลวคาของ (𝑓𝑔 + ℎ)′(1) เทากบเทาใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/33]


8. ให ℝ แทนเซตของจ านวนจรง ให 𝑓 : ℝ → ℝ , 𝑔 : ℝ → ℝ และ 𝑠 : ℝ → ℝ เปนฟงกชน โดยท 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 ส าหรบทก 𝑥 ∈ ℝ 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑥2 + 2𝑥 − 1 ส าหรบทก 𝑥 ∈ ℝ

และ 𝑠(𝑥) = 0

limh

(𝑔(𝑥+ℎ))2

−(𝑔(𝑥))2

ℎ ส าหรบทก 𝑥 ∈ ℝ คาของ (𝑠𝑔)(1) เทากบเทาใด

[PAT 1 (พ.ย. 57)/44]

9. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏√𝑥 เมอ 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนจรงท 𝑏 ≠ 0

ถา 2𝑓′(1) = 𝑓(1) แลว 𝑓(4)

𝑓′(9) มคาเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-18]

10. ให 𝑓 เปนฟงกชน โดยท 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 𝑏 − 4 , 𝑥 ≤ 𝑎

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 , 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏2𝑏𝑥 − 𝑎 , 𝑥 > 𝑏


และ 𝑓 เปนฟงกชนตอเนองบนเซตของจ านวนจรง ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (ม.ค. 59)/17] 1. (𝑓 ∘ 𝑓)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎 − 𝑏

2. 𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)

3. 𝑓′(𝑓(2)) = 𝑓(𝑓′(2))


11. ก าหนดให 𝑓 เปนฟงกชนตอเนอง ทนยามโดย

𝑓(𝑥) = {𝑎𝑥2 + 𝑏 เมอ 𝑥 ≥ 0

𝑥3 + 1 เมอ 𝑥 < 0

ถา 𝑓′(1) = 4 แลว (𝑓 ∘ 𝑓) (−1

√23 ) มคาเทาใด [A-NET 51/2-9]

12. ถา 𝑓′(𝑥) =1

2(

1

√𝑥+

1

√𝑥3) แลวคาของ

0limh

𝑓(1+ℎ)−𝑓(1)

𝑓(4+ℎ)−𝑓(4) เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 52)/34]

13. ให R แทนเซตของจ านวนจรง ให 𝑓 : R → R , 𝑔 : R → R และ ℎ : R → R เปนฟงกชน โดยท

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+1

𝑥2+1 เมอ 𝑎 เปนจ านวนจรง 𝑔(𝑥) = (𝑥2 + 1)𝑓′(𝑥) และ ℎ(𝑥) = {

𝑓(𝑥) เมอ 𝑥 ≥ 2

𝑔(𝑥) เมอ 𝑥 < 2

ถาฟงกชน ℎ ตอเนองท 𝑥 = 2 แลว คาของ 2ℎ(−2) − ℎ(2) เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 55)/17]


กฎลกโซ

จากตวอยางขางบน จะเหนวาการหา 𝑑

𝑑𝑥(2𝑥 + 5)2 คอนขางล าบาก เพราะ ตองกระจายก าลงสองออกมากอน

ยงถาจะหา 𝑑

𝑑𝑥(2𝑥 + 5)10 ยงล าบาก เพราะคราวนตองกระจายก าลง 10

ท าแบบนไดไหม กอนอน เปลยนตวแปรกอน โดยให 𝑢 = 2𝑥 + 5 กอน ดงนน (2𝑥 + 5)10 จะกลายเปน 𝑢10

จากนน ดฟ 𝑢10 จะได 10𝑢9 แลวคอยเปลยนตวแปรกลบ เปน 10(2𝑥 + 5)9

ค าตอบคอ “ไมได” เพราะถาสงเกตดๆ ตอนท ดฟ 𝑢10 ได 10𝑢9 นน เปนการดฟโดยใช 𝑢 เปนตวแปร

ดงนน ค าตอบทได 10(2𝑥 + 5)9 เปนค าตอบของค าถาม 𝑑

𝑑𝑢(2𝑥 + 5)10 ไมใชค าถาม 𝑑

𝑑𝑥(2𝑥 + 5)10

ในหวขอนจะพดถงกฎลกโซ ทจะชวยใหเปลยนตวแปรในการดฟได ดงน

จะเหนวาถาเราเปลยนตวแปรในการดฟ เราจะตองคณดวย “ดฟตวแปรใหม” เพมเขาไปดวย

ดงนน 𝑑

𝑑𝑥(2𝑥 + 5)10 =

𝑑

𝑑(2𝑥+5)(2𝑥 + 5)10 ∙

𝑑

𝑑𝑥(2𝑥 + 5)

= 10(2𝑥 + 5)9 ∙ (2)

= 20(2𝑥 + 5)9

ตวอยางการใชกฎลกโซ เชน 𝑑

𝑑𝑥(2𝑥2 − 3𝑥 + 5)4 = 4(2𝑥2 − 3𝑥 + 5)3 ∙ (4𝑥 − 3)

𝑑

𝑑𝑥√3𝑥 − 2 =

1

2(3𝑥 − 2)−

1

2 ∙ (3) = 3

2(3𝑥 − 2)−

1

2 𝑑

𝑑𝑥(

1

√𝑥2+23 ) =

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 2)−

1

3 = −1

3(𝑥2 + 2)−

4

3 ∙ (2𝑥)

𝑑

𝑑𝑥 ((𝑥2 + 2)3 + 2(𝑥2 + 2)2 − 2) = (3(𝑥2 + 2)2 + 4(𝑥2 + 2))(2𝑥)

𝑑

𝑑𝑥 ((𝑥5 + 3)2 + 2(𝑥5 + 3) + 1)10 = 10((𝑥5 + 3)2 + 2(𝑥5 + 3) + 1)9(2(𝑥5 + 3) + 2)(5𝑥4)

อยางไรกตาม บางคน เรยกกฎลกโซนวา การหาอนพนธของฟงกชนคอมโพสท (หรอเรยกวาฟงกชนประกอบกได) เนองจาก (2𝑥 + 5)10 ในตวอยางกอนหนา สามารถแบงเปน 2 สวนได คอ สวนของ 2𝑥 + 5 กบ สวนการยกก าลง 10

กลาวคอ ถาให 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 และ 𝑔(𝑥) = 𝑥10

จะได (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(2𝑥 + 5) = (2𝑥 + 5)10

ถาเขยนกฎลกโซในแบบฟงกชนคอมโพสท กจะได (𝑔 ∘ 𝑓)′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑓(𝑥))

=𝑑

𝑑(𝑓(𝑥))𝑔(𝑓(𝑥)) ∙

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

บางคนเรยกตวนวา “ดฟไส”

ดฟโดยใช 𝑓(𝑥) เปนตวแปร ดฟไส

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑𝑦

𝑑𝑢∙

𝑑𝑢

𝑑𝑥

ของเดม ดฟเทยบกบ 𝑥 เปลยนตวแปรเปนดฟเทยบกบ 𝑢 แทน

ถาจะเปลยนตวแปร ตองดฟตวแปรใหมเทยบกบ 𝑥 คณไปดวย


โดยสตรทนยมทองกนคอ

สงทตองระวงเวลาใชสตรน คอ เวลาหา 𝑔′(𝑓(𝑥)) ใหดฟหา 𝑔′(𝑥) กอน แลวคอยแทน 𝑥 ดวย 𝑓(𝑥)

(เหมอนกบเวลาหา 𝑓′(3) กตองดฟหา 𝑓′(𝑥) กอน แลวคอยแทน 𝑥 = 3 → หาม แทน 𝑥 = 3 กอน คอยดฟ)

ตวอยาง ก าหนดให 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 1 และ 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 5 จงหา (𝑔 ∘ 𝑓)′(𝑥) วธท า ใชสตร (𝑔 ∘ 𝑓)′(𝑥) = 𝑔′(𝑓(𝑥)) ∙ 𝑓′(𝑥)

หา 𝑔′(𝑓(𝑥)) ตองหา 𝑔′(𝑥) กอน จะได 2𝑥 + 2

แลวคอยแทน 𝑥 ดวย 𝑓(𝑥) จะได 𝑔′(𝑓(𝑥)) = 2𝑓(𝑥) + 2 = 2(2𝑥2 + 1) + 2 = 4𝑥2 + 4

และ 𝑓′(𝑥) = 4𝑥 ดงนน (𝑔 ∘ 𝑓)′(𝑥) = (4𝑥2 + 4)(4𝑥) = 16𝑥3 + 16𝑥 #

แบบฝกหด 1. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

1. 𝑓(𝑥) = (2𝑥3 + 1)100 2. 𝑔(𝑥) = 1

𝑥2+2𝑥−5

3. ℎ(𝑥) = √𝑥2 + 3𝑥 4. 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 2𝑥)2 − 3(𝑥2 + 2𝑥)

2. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 3 และ 𝑔(𝑥) = √𝑥 จงหา 1. (𝑔 ∘ 𝑓)′(𝑥) 2. (𝑓 ∘ 𝑔)′(𝑥)


(𝑔 ∘ 𝑓)′(𝑥) = 𝑔′(𝑓(𝑥)) ∙ 𝑓′(𝑥)


3. ให 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 1 และ (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 ถา 𝑔(1) = 2 จงหา 𝑔′(1)

4. ก าหนดให 𝑅 แทนเซตของจ านวนจรง ถา 𝑓: 𝑅 → 𝑅 และ 𝑔: 𝑅 → 𝑅 เปนฟงกชน โดยท 𝑓(𝑥) = 3𝑥2

3 ,

𝑔(1) = 8 และ 𝑔′(1) =2

3 คาของ (𝑓 ∘ 𝑔)′(1) เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 53)/18]

5. ให R แทนเซตของจ านวนจรง ให 𝑓 : R → R , 𝑔 : R → R และ ℎ : R → R เปนฟงกชนทมอนพนธทกอนดบ

โดยท ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 4 , 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑓(𝑥) − 1) และ 𝑓′(1) = 𝑔′(1) = 1

แลวคาของ 𝑓(1) เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 55)/18]

6. ก าหนดให 𝑅 แทนเซตของจ านวนจรง ถา 𝑓: 𝑅 → 𝑅 และ 𝑔: 𝑅 → 𝑅 เปนฟงกชนทหาอนพนธไดทก 𝑥 ∈ 𝑅

โดยท 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 , (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥6 + 2𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 + 5 และ 𝑓(0) = 0

คาของ (𝑓′ ∘ 𝑔′)(1) + (𝑔′ ∘ 𝑓′)(0) เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 54)/42]


อนพนธของฟงกชนแฝง ทผานมา 𝑓(𝑥) จะมาใหเราดฟแบบจะๆ กลาวคอ จะมาในรป 𝑓(𝑥) = “กอนทจะดฟ” แตในบางกรณ 𝑓(𝑥) อาจจะ “แฝง” มาในกอนทจะดฟไดดวย

เชน 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑓(𝑥) − 4𝑥2 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 1)𝑓(𝑥) + 2

𝑓(𝑥) = √𝑓(𝑥) + 1 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑓3(𝑥)

ในกรณแบบน ถาจะดฟ อาจจดรปให 𝑓(𝑥) แยกไปอยเดยวๆกอน แลวคอยดฟ เชน

จะเหนวา วธนตองล าบากจดรป และอาจใชไมไดกบบางกรณ

อกวธหนงทจะดฟ 𝑓(𝑥) ประเภทนไดโดยไมตองจดรปใหเสยเวลา คอใชวธ “ลยดฟ” มนทงอยางนน

โดยเราจะดฟตลอดทงสมการ และ “ใชกฎลกโซเมอตองดฟพจนทม 𝑓(𝑥)”

ตวอยางการใชกฎลกโซเพอดฟพจนทม 𝑓(𝑥) เชน 𝑑(𝑓(𝑥))3

𝑑𝑥= 3(𝑓(𝑥))

2∙ 𝑓′(𝑥)

อยางไรกตาม โจทยประเภทน มกนยมใช 𝑦 แทน 𝑓(𝑥) เพราะเขยนงายกวา

ตวอยางการดฟพจนทม 𝑦 เชน 𝑑𝑦3

𝑑𝑥= 3𝑦2 ∙ 𝑦′

𝑑√𝑦

𝑑𝑥=

1

2(𝑦)−

1

2 ∙ 𝑦′ =𝑦′

2√𝑦

𝑑

𝑑𝑥(

1

𝑦) =

𝑑

𝑑𝑥(𝑦−1) = −𝑦−2 ∙ 𝑦′

𝑑

𝑑𝑥(𝑦2 + 𝑦 + 5)3 = 3(𝑦2 + 𝑦 + 5)2(2𝑦 ∙ 𝑦′ + 𝑦′)

ตวอยาง จงหา 𝑑𝑦

𝑑𝑥 เมอก าหนดให 𝑥2 + 𝑦2 = 4

วธท า ดฟทงสองขางของสมการ จะได 2𝑥 + 2𝑦 ∙ 𝑦′ = 0 ดงนน 𝑦′ = −

2𝑥

2𝑦 = −

𝑥

𝑦 #

ตวอยาง จงหา 𝑑𝑦

𝑑𝑥 ทจด (5, 0) เมอก าหนดให (2𝑦2 + 5)2 = 𝑥2 + 2𝑦

วธท า ดฟทงสองขางของสมการ: 2(2𝑦2 + 5) ∙ (4𝑦 ∙ 𝑦′) = 2𝑥 + 2𝑦′ แทน 𝑥 = 5 และ 𝑦 = 0: 2(2 ∙ 02 + 5) ∙ (4 ∙ 0 ∙ 𝑦′) = 2 ∙ 5 + 2𝑦′

0 = 10 + 2𝑦′

𝑦′ = −5 #

𝑓(𝑥) = 2 − 𝑓(𝑥) − 4𝑥2

𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥) = 2 − 4𝑥2

2𝑓(𝑥) = 2 − 4𝑥2

𝑓(𝑥) = 1 − 2𝑥2

𝑓′(𝑥) = −4𝑥




1. จงหา 𝑦′ ณ จดทก าหนด ของความสมพนธดงตอไปน

1. √𝑥 + √𝑦 = 𝑥 ณ จด (4, 4) 2. 𝑥𝑦 + 𝑦 = 3𝑥2 ณ จด (2, 4)

3. 𝑦2 + 𝑥𝑦 = 3𝑥2 − 𝑦 ณ จด (1, 1)


อนพนธอนดบสง ถาเราเอาผลดฟ มาดฟตอไปอกเทยว จะได “อนพนธอนดบสอง”

เราจะแทนอนพนธอนดบสองดวยสญลกษณ 𝑓′′(𝑥) หรอ 𝑑2𝑓(𝑥)

𝑑𝑥2 หรอ 𝑑2

𝑑𝑥2 𝑓(𝑥)

หรอ 𝑦′′ หรอ 𝑑2𝑦


𝑑𝑥2 𝑦

ตวอยาง จงหาอนพนธอนดบ 2 ของ 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥 + 5

วธท า

#

ท านองเดยวกน ถาดฟตอไปอก จะเรยกวา อนพนธอนดบสาม

เราจะแทนอนพนธอนดบสามดวยสญลกษณ 𝑓′′′(𝑥) หรอ 𝑑3𝑓(𝑥)


𝑑𝑥3 𝑓(𝑥)

หรอ 𝑦′′′ หรอ 𝑑3𝑦


𝑑𝑥3 𝑦

ท านองเดยวกน ถาดฟตอไปอก จะเรยกวา อนพนธอนดบส อนพนธอนดบท 4 ขนไป จะไมนยมใช 𝑓′′′′(𝑥) แตจะใช 𝑓(4)(𝑥) แทน

อนพนธอนดบท 𝑛 กคอการดฟไป 𝑛 เทยว แทนดวยสญลกษณ 𝑓(𝑛)(𝑥) หรอ 𝑑𝑛𝑓(𝑥)

𝑑𝑥𝑛 หรอ 𝑑𝑛

𝑑𝑥𝑛 𝑓(𝑥)

หรอ 𝑦(𝑛) หรอ 𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛 หรอ 𝑑𝑛

𝑑𝑥𝑛 𝑦

ตวอยาง จงหาอนพนธอนดบ 4 ของ 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)100

วธท า 𝑓′(𝑥) = 100(2𝑥 + 1)99 ∙ (2) = 2 ∙ 100 ∙ (2𝑥 + 1)99 𝑓′′(𝑥) = 2 ∙ 100 ∙ 99 ∙ (2𝑥 + 1)98 ∙ (2) = 22 ∙ 100 ∙ 99 ∙ (2𝑥 + 1)98 𝑓′′′(𝑥) = 22 ∙ 100 ∙ 99 ∙ 98 ∙ (2𝑥 + 1)97 ∙ (2) = 23 ∙ 100 ∙ 99 ∙ 98 ∙ (2𝑥 + 1)97 𝑓(4)(𝑥) = 23 ∙ 100 ∙ 99 ∙ 98 ∙ 97(2𝑥 + 1)96 ∙ (2) = 24 ∙ 100 ∙ 99 ∙ 98 ∙ 97 ∙ (2𝑥 + 1)96 #


1. จงหาอนพนธอนดบ 2 ของ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1

2. จงหาอนพนธอนดบ 3 ของ 𝑓(𝑥) = 1

𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥 + 5 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 − 6𝑥2 + 6𝑥 − 2 𝑓′′(𝑥) = 12𝑥2 − 12𝑥 + 6


3. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = 1

√2𝑥−1 จงหาคาของ 𝑓(4)(1)

4. ให 𝑓 เปนฟงกชนซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตของจ านวนจรง โดยท 𝑓(2𝑥 + 1) = 4𝑥2 + 14𝑥

คาของ 𝑓 (𝑓′(𝑓′′(2553))) เทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/47]

5. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = 1 +𝑎

𝑥 และ 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏 ถา (𝑓 ∘ 𝑔)(0) =

1

2 และ 𝑓′′(−1) = 2 แลว (𝑓

𝑔)

′(𝑎 + 𝑏)

เทากบเทาใด [A-NET 50/1-21]


6. ให 𝑅 แทนเซตของจ านวนจรง ให 𝑓 : 𝑅 → 𝑅 เปนฟงกชน ทสอดคลองกบสมการ

𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 ส าหรบทกจ านวนจรง 𝑥 และ 𝑦 และ 0

limx

𝑓(𝑥)

𝑥 = 2

คาของ 𝑓′(1) + 𝑓′′(5) เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 58)/35]


ระยะทาง ความเรว ความเรง หวขอหลายๆหวขอตอไปจะเปนเรองของการน าอนพนธไปใชประโยชน

ถายงจ าได อนพนธ กคออตราการเปลยนแปลงขณะใดๆ และในชวตคนเรา มกตองพบกบการเปลยนแปลงหลายๆอยาง

ตวอยางการเปลยนแปลงอยางหนงทเราคนกนด กคอ ระยะทาง ความเรว และความเรง

“ความเรว” คอ อตราการเปลยนแปลงของ “ระยะทาง” เทยบกบเวลา

เชน ถา “เคลอนทไดระยะทางเพมขน 60 เมตรในทกๆ 1 วนาท” จะเรยกวา “ขบรถดวยความเรว 60 เมตรตอวนาท” ความเรวจะเปน 0 เมอวตถหยดเคลอน (เชน เมอโยนวตถขนฟา จดทวตถพงขนไปไดสงทสด จะมความเรว = 0)

“ความเรง” คอ อตราการเปลยนแปลงของ “ความเรว” เทยบกบเวลา เชน ถา “เคลอนทโดยเพมความเรว 10 เมตรตอวนาท ในทกๆ 1 วนาท”

จะเรยกวา “ขบรถดวยความเรง 10 เมตรตอวนาท ตอวนาท” หรอ “10 เมตรตอวนาทยกก าลงสอง” ความเรงจะเปน 0 เมอวตถไมเปลยนความเรว (= เมอเคลอนทดวยความเรวคงท)

สรป ความเรว = ดฟระยะทาง ความเรง = ดฟความเรว = ดฟระยะทางสองเทยว

ในเรองน จะใชตวแปร 𝑡 แทน 𝑥 และใช 𝑠(𝑡) แทน 𝑓(𝑥) โดยท 𝑠(𝑡) หมายถงระยะทาง 𝑣(𝑡) หมายถงความเรว = 𝑠′(𝑡)

𝑎(𝑡) หมายถงความเรง = 𝑣′(𝑡) = 𝑠′′(𝑡)

ตวอยาง ก าหนด 𝑠(𝑡) = 𝑡2 + 5𝑡 − 2 จงหาความเรว และความเรง ณ เวลา 𝑡 = 2

วธท า หาความเรวโดยการดฟระยะทาง จะได 𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡) = 2𝑡 + 5

ดงนน ท 𝑡 = 2 จะไดความเรว = 2(2) + 5 = 9

หาความเรงโดยการดฟความเรว จะได 𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡) = 2

จะเหนวา ความเรงเทากบ 2 โดยไมขนกบ 𝑡 นนคอ ท 𝑡 = 2 กจะไดความเรง = 2

นนคอ ณ เวลา 𝑡 = 2 จะมความเรว 9 และความเรง 2 #

ตวอยาง ก าหนด 𝑠(𝑡) = 𝑡3 − 6𝑡2 + 3𝑡 + 15 จงหาระยะทาง และความเรว ขณะทความเรงเปนศนย

วธท า จะได 𝑣(𝑡) = 3𝑡2 − 12𝑡 + 3 𝑎(𝑡) = 6𝑡 −12 ขณะทความเรงเปนศนย จะได 𝑎(𝑡) = 0 → 0 = 6𝑡 −12 → 𝑡 =

12

6= 2

แทน 𝑡 = 2 เพอหา ระยะทางและความเรว

ระยะทาง: 𝑠(2) = 23 − 6(22) + 3(2) + 15 = 5 ความเรว: 𝑣(2) = 3(22) − 12(2) + 3 = −6 #

เชน วนาทแรก ขบ 5 เมตรตอวนาท วนาทตอมา ขบ 15 เมตรตอวนาท วนาทตอมาเปน 25 เมตรตอวนาท



1. ก าหนดให 𝑠(𝑡) = 𝑡3 − 2𝑡2 + 3𝑡 + 4 จงหาความเรวและความเรง เมอ 𝑡 = 2

2. ก าหนดให 𝑣(𝑡) = 5𝑡2 + 2𝑡 − 3 จงหาความเรง ณ เวลา 𝑡 = 1

3. โยนลกบอลขนไปในอากาศ โดยลกบอลเคลอนทดวยสมการ 𝑠(𝑡) = 4𝑡 − 𝑡2 จงหาวาลกบอลเคลอนทไดสงเทาไหรกอนจะตกลงมา


กฎของโลปตาล

ประโยชนอกอยางของอนพนธ คอสามารถชวยหา “ลมตของฟงกชน“ ได

โดยเวลาหาax

lim 𝑓(𝑥) เราจะแทน 𝑎 ลงไปใน 𝑓(𝑥) กอน

กรณทสรางความล าบากใหเราทสด คอกรณทแทนแลวได 00 ซงท าใหเราจดรปใหมเพอให (𝑥 − 𝑎) โผลมาตดกน

แตดวยกฎของโลปตาล จะชวยใหเราหาลมตในกรณ 00 ไดงายขน

กฎของโลปตาลกลาววา ในกรณทแทน 𝑥 ดวย 𝑎 แลวได 00 ใหเรา “ดฟเศษ 1 ท และ ดฟสวน 1 ท แลวคอยแทนใหม”

และถาแทนใหมแลวยงได 00 อก กใหดฟเศษกบสวนตอไปอกท แลวแทนใหม ท าเชนนไปเรอยๆจนกวาจะหลดจากกรณ 0

0

ตวอยาง จงหา2

limx

𝑥2−3𝑥+2

2𝑥2+𝑥−10

วธท า แทน 2 ลงไปด จะได 00

ใชกฎของโลปตาล ดฟบน ได 2𝑥 − 3 ดฟลาง ได 4𝑥 + 1

ดงนน 2

limx

𝑥2−3𝑥+2

2𝑥2+𝑥−10=

2limx

2𝑥−3

4𝑥+1=

2∙2−3

4∙2+1=

1

9 #


limx

√𝑥+2−1

√𝑥+5−2

วธท า แทน −1 ลงไปด จะได 00

ใชกฎของโลปตาล ดฟบน ได 12

(𝑥 + 2)−1

2 ∙ (1) =1

2(𝑥 + 2)−

1

2

ดฟลาง ได 12

(𝑥 + 5)−1

2 ∙ (1) =1

2(𝑥 + 5)−

1

2

ดงนน 1

limx

√𝑥+2−1

√𝑥+5−2=

1lim

x

1

2(𝑥+2)−

12

1

2(𝑥+5)−

12

=1

limx

√𝑥+5

√𝑥+2=

√4

√1= 2 #

หมายเหต: กฎของโลปตาล เปนคนละเรองกบการ “ดฟผลหาร”

กฎของโลปตาล จะใชหา ax

limบนลาง ในกรณทแทนแลวได

0

0 โดยโลปตาลบอกวา ใหไปหา

ax lim

ดฟบนดฟลาง

แทน

แตถาเราจะหา 𝑑

𝑑𝑥

√𝑥+2−1

√𝑥+5−2 จะยงตองใชสตร 𝑑

𝑑𝑥(บนลาง) =

(ลาง∙ 𝑑

𝑑𝑥บน)−(บน∙

𝑑

𝑑𝑥ลาง)

ลาง2 จะหาจาก ดฟบนดฟลาง

ไมได


1. จงหาลมตของฟงกชนตอไปนดวยกฎของโลปตาล

1. 1

limx

3𝑥2+2𝑥−1

𝑥2−1 2.

1limx

𝑥2−5𝑥+4

√𝑥−1


3. 2

limx

𝑥2−3𝑥+2

𝑥2−4𝑥+4 4.

1limx

𝑥3−3𝑥+2

𝑥3−4𝑥2+5𝑥−2

2. ก าหนดให ℝ แทนเซตของจ านวนจรง ให 𝑓: ℝ → ℝ เปนฟงกชนทสามารถหาอนพนธได และสอดคลองกบ

2

limx

𝑥2+𝑥−6

√1+𝑓(𝑥)−3 = 6 และ 1 + 𝑓(𝑥) ≥ 0 ส าหรบทกจ านวนจรง 𝑥

ถาเสนตรง 6𝑥 − 𝑦 = 4 ตดกบกราฟ 𝑦 = 𝑓(𝑥) ท 𝑥 = 2 แลวคาของ 𝑓′(2) เทากบเทาใด

[PAT 1 (ต.ค. 58)/33]

3. ให ℝ แทนเซตของจ านวนจรง ถา 𝑓 : ℝ → ℝ เปนฟงกชน โดยท 𝑓(3) = 111 และ 3

limx

𝑥𝑓(𝑥)−333

𝑥−3 = 2013

แลวอตราการเปลยนแปลงของ 𝑓(𝑥) เทยบกบ 𝑥 ขณะท 𝑥 = 3 เทากบเทาใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/42]


ความชนเสนโคง “ความชนเสนโคง 𝑦 = 𝑓(𝑥)” หมายถงความชนของเสนตรงทลากมาสมผสกราฟ 𝑦 = 𝑓(𝑥) ณ จดทก าหนด

โดยความชนดงกลาว จะหาไดจากการแทนคา 𝑥 ของจดทตองการลงไปใน 𝑓′(𝑥)

สรปคอ

ตวอยาง จงหาความชนของเสนสมผสโคง 𝑦 = 𝑥2 ณ จด 𝑥 = 1

วธท า ดฟหนงท จะไดสมการความชน คอ 𝑦′ = 2𝑥 ดงนน ความชนเสนสมผสโคงท 𝑥 = 1 คอ 𝑦′ = (2)(1) = 2 #

ตวอยาง จงหาความชนของเสนโคง 𝑦 = (2𝑥2 − 1)3 ท 𝑥 = −1

วธท า ดฟหนงท จะไดสมการความชน คอ 𝑦′ = 3(2𝑥2 − 1)2(4𝑥) ดงนน ความชนท 𝑥 = −1 คอ 𝑦′ = 3(2 ∙ (−1)2 − 1)2 ∙ (4 ∙ −1) = −12 #

ตวอยาง จงหาจดบนเสนโคง 𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 2𝑥 − 5 ทมความชนเทากบ 2

วธท า ดฟหนงท จะไดสมการความชน คอ 𝑦′ = 3𝑥2 − 12𝑥 + 2 ขอน ตองหาวาตรงไหนทม 𝑦′ = 2

นนคอ ตองแกสมการ

ถา 𝑥 = 0 จะได 𝑦 = 03 − 6 ∙ 02 + 2 ∙ 0 − 5 = −5

ถา 𝑥 = 4 จะได 𝑦 = 43 − 6 ∙ 42 + 2 ∙ 4 − 5 = −29 ดงนน จดบนเสนโคงทมความชนเทากบ 2 คอ (0, −5) และ (4, −29) #

ในเรองน เรามกตองวาดรปกราฟเพอท าความเขาใจสงทโจทยถาม

โดยความชนแบบตางๆ จะมความหมายดงน

2 = 3𝑥2 − 12𝑥 + 2 0 = 3𝑥2 − 12𝑥 0 = 3𝑥(𝑥 − 4) 𝑥 = 0 , 4

ความชน = 𝑓′(𝑥)

ความชน = ?

1

ชน = 0 ชน = +นอยๆ ชน = +1 ชน = +มากๆ หาความชนไมได

ชน = −นอยๆ ชน = −1 ชน = −มากๆ


โจทยในหวขอน มกจะน าไปออกรวมกบความรเรองกราฟเสนตรง ซงมสตรทควรทราบดงน

ตวอยาง จงหาสมการกราฟเสนตรงทสมผสโคง 𝑦 = 𝑥2 ท 𝑥 = 1

วธท า หาความชนของเสนสมผสกอน โดยแทน 𝑥 = 1 ใน 𝑦′ = 2𝑥 ได ความชน = 2(1) = 2

จากโจทย จดสมผสจะมพกด 𝑥 เปน 1 ดงนน หาพกด 𝑦 ไดโดยแทน 𝑥 = 1 ในสมการโคง 𝑦 = 𝑥2 ได 𝑦 = 1 ดงนน จะไดพกดของจดสมผส คอ (1, 1)

จากสตร จะไดสมการกราฟเสนตรงทมความชน 2 และผานจด (1, 1) คอ

นนคอ สมการกราฟเสนตรงทตองการ คอ 𝑦 = 2𝑥 − 1 #

ตวอยาง จงหาสมการเสนตรงทตงฉากกบเสนสมผสกราฟ 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 ทจด (0, 5)

วธท า สมการความชน คอ 𝑦′ = 2𝑥 − 2 ดงนน เสนสมผสกราฟท (0, 5) จะมความชน คอ (2)(0) − 2 = −2

เนองจาก เสนตรงทตงฉากกนตองมความชนคณกนได −1

ดงนน เสนตรงทตงฉากกบเสนสมผสน ตองมความชน = 1

2 เพราะ – 2 ×

1

2= −1

จากสตร จะไดสมการเสนตรงทมความชน 12 และ ผานจด (0, 5) คอ 𝑦−5

𝑥−0=

1

2 ซงจดรปไดเปน 𝑦 =

𝑥

2+ 5

ดงนน สมการเสนตรงทตองการ คอ 𝑦 =𝑥

2+5 #


1. จงหาความชนของเสนโคง ณ จดทก าหนด

1. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 1 เมอ 𝑥 = 0 2. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 เมอ 𝑥 = 3

2. จงหาสมการเสนตรงทสมผสโคง 𝑦 = 1 − 𝑥2 ท 𝑥 = 1

𝑦−1

𝑥−1 = 2

𝑦 − 1 = 2(𝑥 − 1) 𝑦 − 1 = 2𝑥 − 2 𝑦 = 2𝑥 − 1

สมการคอ ?

1

สมการกราฟเสนตรง ทมความชนเทากบ 𝑚 และตดแกน Y ท 𝑐 คอ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐

สมการกราฟเสนตรง ทมความชนเทากบ 𝑚 และผานจด (𝑎, 𝑏) คอ 𝑦−𝑏

𝑥−𝑎 = 𝑚

เสนตรงทขนานกน จะมความชนเทากน เสนตรงทตงฉากกน จะมความชนคณกนได −1


3. จงหาสมการเสนตรงทตงฉากกบสมผสโคง 𝑦 = 1

𝑥 ท 𝑥 = −2

4. ก าหนดให C เปนเสนโคง 𝑦 = 3𝑥4−2

𝑥3 เมอ 𝑥 > 0 และให L เปนเสนตรงทสมผสกบเสนโคง C ทจด (1, 1)

ถาเสนตรง L ตดกบพาราโบลา 𝑥(𝑥 − 1) = 𝑦 − 1 ทจด A และจด B

แลวระยะหางระหวางจด A และจด B เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 56)/20]

5. เสนตรงซงตดตงฉากกบเสนสมผสของเสนโคง 𝑦 = 2𝑥3 −1

√𝑥 ทจด 𝑥 = 1 คอเสนตรงในขอใดตอไปน

[PAT 1 (ก.ค. 52)/34] 1. 13𝑥 − 2𝑦 − 11 = 0 2. 13𝑥 + 2𝑦 − 15 = 0

3. 2𝑥 − 13𝑦 + 11 = 0 4. 2𝑥 + 13𝑦 − 15 = 0


6. ก าหนดให 𝐶 เปนเสนโคง 𝑦 = 2 + 𝑥|𝑥 − 1| เมอ 𝑥 เปนจ านวนจรง ถา 𝐿 เปนเสนตรงทสมผสกบเสนโคง 𝐶 ทจด (0, 2) และให 𝑁 เปนเสนตรงทตงฉากกบเสนตรง 𝐿 ณ จด (0, 2) แลวเสนตรง 𝑁 ผานจดในขอใดตอไปน

[PAT 1 (ต.ค. 58)/14] 1. (−1, 3) 2. (1, 5) 3. (−2, 5)

4. (3, −2) 5. (−3, 4)

7. ก าหนดให 𝑓 : R → R โดยท 𝑓(𝑥) = 𝑥2

3

ถา N เปนเสนตรงทตงฉากกบเสนสมผสกราฟของ 𝑓(𝑥) ทจด (𝑎, 𝑓(𝑎)) , 𝑎 > 0

และ N มระยะตดแกน 𝑦 เทากบ 52 หนวย แลว ขอใดเปนพกดของจดบนเสนตรง N [PAT 1 (ธ.ค. 54)/17]

1. (−2, 7) 2. (−1, 4) 3. (2, −4) 4. (3, −5)

8. ก าหนดให 𝑓 และ 𝑔 เปนฟงกชนซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรง โดยทง 𝑓 และ 𝑔 เปนฟงกชนทสามารถหาอนพนธได และสอดคลองกบ (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = √𝑥2 + 5 ส าหรบทก 𝑥 ทอยในโดเมนของ 𝑓 ∘ 𝑔

และ ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 𝐶 เมอ 𝐶 เปนคาคงตว ถา 𝐿 เปนเสนตรงทสมผสเสนโคง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ณ 𝑥 = 0

แลวเสนตรง 𝐿 ตงฉากกบเสนตรงทมสมการตรงกบขอใดตอไปน [PAT 1 (พ.ย. 57)/16] 1. 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 2. 2𝑥 + 𝑦 − 7 = 0

3. 3𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 4. 5𝑥 + 𝑦 − 2 = 0


ฟงกชนเพม – ฟงกชนลด

ถายงจ าได 𝑓′(𝑥) กคอ อตราการเปลยนแปลงขณะใดๆ

ถา 𝑓′(𝑥) เปนบวก แปลวาอตราการเปลยนแปลงเปนบวก หมายถง 𝑓(𝑥) เปลยนแบบเพมขน หมายความวา 𝑓(𝑥) เพมขน เมอ 𝑥 เพมขน และ 𝑓(𝑥) ลดลง เมอ 𝑥 ลดลง ในกรณน เราจะเรยกวา 𝑓(𝑥) เปน “ฟงกชนเพม”

ถา 𝑓′(𝑥) เปนลบ แปลวาอตราการเปลยนแปลงเปนลบ หมายถง 𝑓(𝑥) เปลยนแบบลดลง หมายความวา 𝑓(𝑥) ลดลง เมอ 𝑥 เพมขน และ 𝑓(𝑥) เพมขน เมอ 𝑥 ลดลง ในกรณน เราจะเรยกวา 𝑓(𝑥) เปน “ฟงกชนลด”

สรป: ถาคา 𝑥 ตรงไหนทท าให 𝑓′(𝑥) เปนบวก แปลวา 𝑓(𝑥) เปนฟงกชนเพมทตรงนน

ถาคา 𝑥 ตรงไหนทท าให 𝑓′(𝑥) เปนลบ แปลวา 𝑓(𝑥) เปนฟงกชนลดทตรงนน

สวนคา 𝑥 ทท าให 𝑓′(𝑥) = 0 คอจดเปลยนสถานะของฟงกชน

ตวอยาง ก าหนดให 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 จงพจารณาวา 𝑓(𝑥) เปนฟงกชนเพม หรอลด เมอ 𝑥 = 3

วธท า จะได 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 2 ดงนน 𝑓′(3) = 2(3) − 2 = 4 เปนบวก ดงนน 𝑓(𝑥) เปนฟงกชนเพมท 𝑥 = 3 #

ตวอยาง ก าหนดให 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 9𝑥 + 1 จงหาคา 𝑥 ทท าให 𝑓(𝑥) เปนฟงกชนลด วธท า จะได 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥 − 9

ดงนน 𝑓(𝑥) จะเปนฟงกชนลด เมอ

จะได 𝑓(𝑥) เปนฟงกชนลด เมอ 𝑥 ∈ (−2, 3) #


1. จงพจารณาวา 𝑓(𝑥) ในแตละขอตอไปน เปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด ณ คา 𝑥 ทก าหนด 1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 + 5 เมอ 𝑥 = 1 2. 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 𝑥 + 1 เมอ 𝑥 = 0

3. 𝑓(𝑥) = 1

𝑥2+𝑥−2 เมอ 𝑥 = −1 4. 𝑓(𝑥) = (1 − 2𝑥)100 เมอ 𝑥 = 1

−2 3

+ − +

3𝑥2 − 6𝑥 − 9 < 0 𝑥2 − 2𝑥 − 3 < 0 (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) < 0


2. จงพจารณาวา 𝑓(𝑥) ในแตละขอตอไปน เปนฟงกชนเพมเมอ 𝑥 มคาอยในชวงใด 1. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 5 2. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 6

3. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥2 + 7 𝑓 เปนฟงกชนเพมบนเซตในขอใดตอไปน [PAT 1 (ม.ค. 52)/33]

1. (−3, −2) ∪ (2, 3) 2. (−3, −2) ∪ (1, 2)

3. (−1, 0) ∪ (2, 3) 4. (−1, 0) ∪ (1, 2)

4. ให 𝑓 เปนฟงกชนหนงตอหนง ซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรง โดยท 𝑓−1(𝑥) = 2𝑥

𝑥+1 ส าหรบทก

สมาชก 𝑥 ในเรนจของ 𝑓 ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (ต.ค. 58)/15] 1. 2𝑓′(4) − 𝑓(4) = 3

2. 𝑓′′(𝑓(4)) = 𝑓(𝑓′′(4))

3. 𝑓 เปนฟงกชนเพมบนชวง (0, 2)


คาสงสด ต าสด

ประโยชนของอนพนธ ทดจะเปนประโยชนกบเรามากกวาอนอน คอ การน าอนพนธไปใชหาคาสงสด หรอ คาต าสด ได โจทยทจะเจอในเรองน เชน ก าหนด 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 แลวถามวา 𝑓(𝑥) จะมคานอยทสดไดเทากบเทาไหร สมมตวาเราไมเคยเรยนเรองอนพนธมากอน เราอาจจะใชแรง ลยแทน 𝑥 ดวยคาตางๆลงไปด จะไดคา 𝑓(𝑥) ดงน

จากการลยแทนคา จะพอเดาไดวา 𝑥 = 1 นาจะได 𝑓(𝑥) มคาต าสด เทากบ 4

อยางไรกตาม เราสามารถน าความรเรองอนพนธมาหาคาสงสด หรอ คาต าสดได โดยอาศยแนวคดตอไปน จดต าสด จะเปนจดท 𝑓(𝑥) เปลยนสถานะจากขาลง เปนขาขน จดสงสด จะเปนจดท 𝑓(𝑥) เปลยนสถานะจากขาขน เปนขาลง

จากหวขอทแลวเรองฟงกชนเพม – ฟงกชนลด จดท 𝑓(𝑥) เปลยนสถานะดงกลาว กคอจดท 𝑓′(𝑥) = 0 นนเอง โดยเราจะเรยกจดท 𝑓(𝑥) เปลยนจากขาลงเปนขาขน หรอ ขาขนเปนขาลง วา “จดวกกลบ” และจะเรยกคา 𝑥 ทจดวกกลบน วา “คาวกฤต”

ตวอยาง จงหาจดวกกลบของ 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 5

วธท า จะได 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 2 เนองจากจดวกกลบ คอจดท 𝑓′(𝑥) = 0 ดงนนให 2𝑥 − 2 = 0 จะได 𝑥 = 1 (= คาวกฤต) แทน 𝑥 = 1 ลงไปในสมการ 𝑓(𝑥) เพอหาคา 𝑦 จะได 𝑓(1) = 12 − 2(1) + 5 = 4

ดงนน จะไดจดวกกลบคอ (1 , 4) #

จะเหนวาจดวกกลบ อาจจะเปนไดทงแบบทเปลยนจาก “ขาลงเปนขาขน” และ แบบ “ขาขนเปนขาลง” จดวกกลบ จงอาจเปนไดทง จดต าสด หรอ จดสงสด กได เชนในตวอยางขางบน เราจะไมรวา (1 , 4) เปนจดต าสด หรอจดสงสด

ถาอยากรวา (1 , 4) เปนจดต าสด หรอจดสงสด วธงายๆ คอ ใชแรงลยแทนคารอบๆ 𝑥 = 1 ด โดยเราจะเอาคา 𝑦 ของจดรอบๆ มาเทยบกบ 4 เชน แทน 𝑥 = 0 จะได 𝑓(𝑥) = (0)2 − 2(0) + 5 = 5 → มากกวา 4

แทน 𝑥 = 2 จะได 𝑓(𝑥) = (2)2 − 2(2) + 5 = 5 → มากกวา 4 จะเหนวาจดขางๆตางกมคา 𝑦 สงกวา 4 ดงนน (1, 4) เปนจดต าสด

𝑥 𝑓(𝑥)

−1 −2

0 1 2 3

(−2)2 − 2(−2) + 5 = 13 (−1)2 − 2(−1) + 5 = 8 (0)2 − 2( 0 ) + 5 = 5 (1)2 − 2( 1 ) + 5 = 4 (2)2 − 2( 2 ) + 5 = 5 (3)2 − 2( 3 ) + 5 = 8


มอกวธ ทจะใชบอกไดวาจดวกกลบเปนจดต าสด หรอจดสงสด โดยการด “เครองหมาย” ของ 𝑓′(𝑥) ดงน

สรป 𝑓′(𝑥) เปลยนจาก ลบ เปน บวก → จดต าสด

𝑓′(𝑥) เปลยนจาก บวก เปน ลบ → จดต าสด โดยเราจะใชเสนจ านวนมาพจารณาเครองหมายของ 𝑓′(𝑥) เหมอนกบตอนทแกอสมการ ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง จงหาจดสงสด หรอจดต าสด ของ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 − 9𝑥 + 5

วธท า จะได 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥 − 9

ดงนน จดสงสดคอ (−3 , 32) และจดต าสดคอ (1 , 1) #

นอกจากน เรายงสามารถใช 𝑓′′(𝑥) มาชวยไดดวย

จะเหนวา 𝑓′(𝑥) เปลยนจาก ลบ เปน บวก แสดงวา 𝑓′(𝑥) เพมขน → จะได 𝑓′′(𝑥) เปนบวก

แตถา 𝑓′(𝑥) เปลยนจาก บวก เปน ลบ แสดงวา 𝑓′(𝑥) ลดลง → จะได 𝑓′′(𝑥) เปนลบ สรป ถาจดวกกลบทได ท าให 𝑓′′(𝑥) > 0 แปลวาจดนนเปนจดต าสด

แตถา ท าให 𝑓′′(𝑥) < 0 แปลวาจดนนเปนจดสงสด

และถาท าให 𝑓′′(𝑥) = 0 จะยงไมรวาเปนจดต าสดหรอจดสงสด ตองพจารณาเครองหมายแบบเกา

ตวอยาง จากตวอยางทแลว จงใช 𝑓′′(𝑥) ในการพจารณาจดวกกลบ (−3 , 32) และ (1 , 1) ของ 𝑓(𝑥) วาจดใดเปนจดสงสด และจดใดเปนจดต าสด

วธท า จาก 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥 − 9 → ดฟตอไปอกท จะได 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 + 6

ท 𝑥 = −3 จะได 𝑓′′(−3) = 6(−3) + 6 = −12 เปนลบ ดงนน (−3 , 32) เปนจดสงสด ท 𝑥 = 1 จะได 𝑓′′(1) = 6(1) + 6 = 12 เปนบวก ดงนน (1 , 1) เปนจดต าสด #

ตวอยาง จงหาจดสงสด หรอจดต าสด ของ 𝑓(𝑥) = 4 − 4𝑥 − 𝑥2 โดยใช 𝑓′′(𝑥)

วธท า จะได 𝑓′(𝑥) = −4 − 2𝑥 จดสงสด หรอจดต าสด จะเปนจดท 𝑓′(𝑥) = 0 ดงนน ตองแกสมการ

−4 − 2𝑥 = 0 − 2𝑥 = 4 𝑥 = −2

(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)

−3 1

+ − +

ขน ลง ขน

สงสดท 𝑥 = −3

𝑓(−3) = (−3)3 + 3(−3)2 − 9(−3) + 5 = 32

𝑓′(𝑥) เปนลบ ฟงกชนลด

กราฟขาลง

𝑓′(𝑥) เปนบวก ฟงกชนเพม

กราฟขาขน

จดวกกลบแบบต าสด

𝑓′(𝑥) เปนบวก ฟงกชนเพม

กราฟขาขน

𝑓′(𝑥) เปนลบ ฟงกชนลด

กราฟขาลง

จดวกกลบแบบสงสด

ต าสดท 𝑥 = 1

𝑓(1) = 13 + 3(1) − 9(1) + 5 = 0


หาคา 𝑓(𝑥) ท 𝑥 = −2 จะได 𝑓(−2) = 4 − 4(−2) − (−2)2 = 8

ดงนนจดวกกลบ คอ (−2 , 8) ตอไปจะหาวาจด (−2 , 8) เปนจดต าสด หรอจดสงสด โดยใช 𝑓′′(𝑥)

ดฟ 𝑓′(𝑥) ตอไปอกท จะได 𝑓′′(𝑥) = −2 จะเหนวา 𝑓′′(𝑥) เปนลบ โดยไมขนกบคา 𝑥 ดงนน (−2 , 8) เปนจดสงสด #

โดยโจทยในเรองน จะถามได 2 แบบ คอ “จด” กบ “คา” → ถาโจทยถาม “จด” สงสด (หรอต าสด) ใหตอบเปนคอนดบ (𝑥, 𝑦)

→ ถาโจทยถาม “คา” สงสด (หรอต าสด) ใหตอบคา 𝑓(𝑥)

ตวอยาง จงหาคาสงสด หรอคาต าสด ของ 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 8𝑥3 − 6𝑥2 + 24𝑥 + 8

วธท า จะได 𝑓′(𝑥) = 12𝑥3 − 24𝑥2 − 12𝑥 + 24

ดงนน จดต าสด เกดท 𝑥 = −1 กบ 2 และจดสงสดเกดท 𝑥 = 1

𝑥 = −1 จะได 𝑓(−1) = 3(−1)4 − 8(−1)3 − 6(−1)2 + 24(−1) + 8 = −11

𝑥 = 1 จะได 𝑓(1) = 3(1)4 − 8(1)3 − 6(1)2 + 24(1) + 8 = 21

𝑥 = 2 จะได 𝑓(2) = 3(2)4 − 8(2)3 − 6(2)2 + 24(2) + 8 = 16

ดงนน “จด” ต าสด คอ (−1, −11) และ (2, 16) “จด” สงสด คอ (1, 21)

จะได “คา” ต าสด คอ −11 และ 16 “คา” สงสด คอ 21 #

จากตวอยางทแลว ถาลองวาดกราฟของ 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 8𝑥3 − 6𝑥2 + 24𝑥 + 8 ด จะไดดงรป

ดงนน ค าตอบทไดวา (1, 21) เปนจดสงสด กบ (2, 16) เปนจดต าสดนน ไมจรงซะทเดยว

จดพวกน แคสงหรอต ากวาจดขางๆเทานน แตไมใชจดสงทสดหรอต าทสดอยางแทจรง จดทสง (หรอต า) กวาจดขางๆ จะเรยกวา จดสงสด (หรอต าสด) สมพทธ

จดทสง (หรอต า) ทสดอยางแทจรง จะเรยกวา จดสงสด (หรอต าสด) สมบรณ

ดงนน (1, 21) เปนจดสงสดสมพทธ และ (2, 16) กบ (−1, 11) เปนจดต าสดสมพทธ

(−1, 11) เปนจดต าสดสมบรณ และ 𝑓(𝑥) ไมมจดสงสดสมบรณ (เพราะกราฟพงขนอยางไมมขอบเขต)

จดสมบรณ จะเปนสมพทธดวย

เพราะถาจะเปนทสดจรงๆได กตองชนะจดขางๆอยแลว

= 12(𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 2) = 12(𝑥2(𝑥 − 2) − (𝑥 − 2))

= 12(𝑥 − 2)(𝑥2 − 1) = 12(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

−1 1

− + − + ลง ขน ลง ขน

2


ปกตเรามกจะไมคอยชอบจดแบบสมพทธเทาไหร เพราะมนไมเปนทสดจรงๆ

ในกรณทโจทยใหหาจดแบบสมบรณ เราจะตองหาจดแบบสมพทธออกมากอน แลวคอยคดเลอกจดสมบรณออกมา โดย จดสงสดสมบรณ จะหาไดจากจดทสงทสด ในบรรดาจดสงสดสมพทธ และจดขอบ จดต าสดสมบรณ จะหาไดจากจดทต าทสด ในบรรดาจดต าสดสมพทธ และจดขอบ

ในเรองน โจทยมกจะก าหนดขอบเขตของคา 𝑥 มาให (แตถาไมไดก าหนดขอบเขตมา จะใช 𝑥 → ∞ กบ 𝑥 → −∞)

ตวอยาง จงหาจดสงสดสมบรณ และจดต าสดสมบรณ ของ 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 + 5 เมอ 𝑥 ∈ [−2, 3] วธท า หาจดสงสด ต าสด สมพทธ กอน

ดงนน คา 𝑥 ท “ตองสงสย” วาจะท าใหเกดคาสงสด หรอต าสด สมบรณ คอ 0 , 1 , −2 , 3

แทนคา 𝑥 ทตองสงสย เพอหา 𝑓(𝑥) มาเทยบกน

ดงนน จดสงสดสมบรณ คอ (3 , 32) และจดต าสดสมบรณ คอ (−2, −23) #

สงทสรางปญหาใหกบนกเรยนสวนใหญในเรองน กคอ “โจทยปญหา” โดยโจทยจะสรางเรองราวและเงอนไขตางๆมาให แลวใหเราหาคาสงสด หรอต าสด ของปรมาณทตองการ โดยขนตอนการท าคราวๆ จะเปนดงน

1. ใหปรมาณทโจทยตองการหาคาสงสด หรอต าสด เปน 𝑓(𝑥)

2. สมมตใหตวแปร 𝑥 แทนปรมาณซกอยาง ทมผลตอ 𝑓(𝑥)

3. ลยอานโจทยใหม เขยนปรมาณอนๆทมผลตอ 𝑓(𝑥) ใหอยในเทอมของ 𝑥

4. เขยนสมการของ 𝑓(𝑥) ในเทอมของ 𝑥

5. ใชความรในเรองอนพนธ เพอหาคาสงสด หรอต าสด “สมบรณ” ของ 𝑓(𝑥)

ขนตอนทยากทสด คอขนท 3 เพราะเราตองท าทกอยางใหอยในเทอมของ 𝑥

ซงถาสมมตตวแปร 𝑥 ในขนท 2 ไวไมด กจะล าบากในขนท 3

ตวอยาง มลวดยาว 20 เมตร น ามาลอมเปนสเหลยมมมฉากไดพนทมากทสดเทากบเทาไร วธท า ขนท 1 โจทยตองการหา “พนท” มากสด ดงนน เราจะให 𝑓(𝑥) แทนพนทของสเหลยมมมฉากทลอมได

ขนท 2 ให 𝑥 แทน “ดานยาว” ของสเหลยม เราตองเขยน 𝑓(𝑥) ในเทอมของ 𝑥 ขนท 3 หา “ดานกวาง” ในเทอมของ 𝑥

ดานยาวม 2 ดาน ดงนนเสยลวดไปกบดานยาว = 2𝑥

𝑥 = 0: จะได 𝑓(0) = 2(0)3 − 3(0)2 + 5 = 5

𝑥 = 1: จะได 𝑓(1) = 2(1)3 − 3(1)2 + 5 = 4

𝑥 = −2: จะได 𝑓(−2) = 2(−2)3 − 3(−2)2 + 5 = −23

𝑥 = 3: จะได 𝑓(3) = 2(3)3 − 3(3)2 + 5 = 32

𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 − 6𝑥 = 0 𝑥2 − 𝑥 = 0 𝑥(𝑥 − 1) = 0 𝑥 = 0 , 1 จดสมพทธ จดขอบ


เหลอลวดส าหรบดานกวางทเหลอ = 20 − 2𝑥

แตดานกวางม 2 ดาน ดงนน จะไดวา ดานกวาง = 20−2𝑥

2 = 10 − 𝑥

ขนท 4 จากสตร พนทสเหลยมมมฉาก = กวาง × ยาว ดงนน 𝑓(𝑥) = 𝑥(10 − 𝑥) = 10𝑥 − 𝑥2

ขนท 5 หาคาสงสด ต าสด ของ 𝑓(𝑥)

ให 𝑓′(𝑥) = 10 − 2𝑥 = 0 จะได 𝑥 = 5

แทนใน 𝑓(𝑥) จะได 𝑓(5) = 5(10 − 5) = 25 และสดทาย 𝑓′′(𝑥) = −2 เปนลบ แปลวาไดคาสงสด ดงนน ตองลอมใหสเหลยมยาว 5 เมตร จงจะไดพนทมากทสด คอ 25 ตารางเมตร #


1. จงหาจดสงสด / ต าสด สมพทธ ของฟงกชนในแตละขอตอไปน 1. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 − 9𝑥 + 15 2. 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 1)(3 − 𝑥)

2. จงหาคาสงสด / ต าสด สมบรณ ของฟงกชนในแตละขอตอไปน

1. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 − 4 เมอ 𝑥 ∈ [−4, 2]


2. 𝑓(𝑥) = 10 + 12𝑥 + 3𝑥2 − 2𝑥3 เมอ 𝑥 ∈ [0, ∞]

3. ถาเสนโคง 𝑦 = 𝑓(𝑥) มความชนของเสนสมผสทจด (𝑥, 𝑦) เทากบ 𝑥 − 2 และ 𝑓(𝑥) มคาต าสดสมพทธเทากบ 5 แลว จงหาคาของ 𝑓(2)

4. มลวดยาว 12 เมตร ตองการลอมทดนรมแมน าใหเปนรปสเหลยมมมฉาก โดยลอมแค 3 ดาน เวนดานทตดรมแมน าไมตองลอม จงหาวาจะลอมไดพนทมากทสดเทาไร


5. มลวดยาว 20 เมตร ตองการลอมทดนรปสเหลยมผนผา โดยแบงเปน 4 ชองตามรป จะสามารถลอมไดพนทมากทสดเทาไร

6. โรงงานผลตตกตาแหงหนง มตนทนในการผลตตกตา 𝑥 ตว โรงงงานจะตองเสยคาใชจาย 𝑥3 − 450𝑥2 + 60,200𝑥 + 10,000 บาท ถาขายตกตาราคาตวละ 200 บาท โรงงานจะตองผลตตกตากตว จงจะไดก าไรมากทสด [PAT 1 (ก.ค. 53)/36]

7. ก าหนดให ℝ เปนเซตของจ านวนจรง ให 𝑓 : ℝ → ℝ และ 𝑔 : ℝ → ℝ เปนฟงกชนทมอนพนธทกอนดบ และสอดคลองกบ 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑓(𝑥) และ 𝑔′(𝑥) = 4𝑥3 + 9𝑥2 + 2 ส าหรบทกจ านวนจรง 𝑥

ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (ม.ค. 59)/28]

1. คาสงสดสมพทธของ 𝑓 เทากบ 6

2. คาต าสดสมพทธของ 𝑓 เทากบ 2

3. อตราการเปลยนแปลงของ (𝑓 + 𝑔)(𝑥) เทยบกบ 𝑥 ขณะท 𝑥 = 1 เทากบ 12


8. ให 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนจรง และก าหนดให 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 +𝑏

𝑥 เมอ 𝑥 ≠ 0 โดยท 𝑦 = 𝑓(𝑥) เปนเสนโคงทสมผส

กบเสนตรง 𝑦 = 1 ทจด (1, 1) ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (พ.ย. 57)/7] 1. 𝑓 มคาสงสดสมพทธท 𝑥 = −1

2. 1

limx

(𝑓 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑓(2𝑎2 + 2𝑏2)

9. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = 4𝑥3

𝑥6−3𝑥3+64 เมอ 𝑥 เปนจ านวนจรงบวกใดๆ ขอใดตอไปนถกตองบาง

[PAT 1 (ม.ค. 57)/19]

1. 𝑓 เปนฟงกชนเพมบนชวง (0, 3)

2. คาสงสดสมพทธของ 𝑓 เทากบ 4

13


ปฏยานพนธ เรองนจะเปนกระบวนการท ตรงขามกบการดฟ

“ปฏยานพนธของ 𝑓(𝑥)” เขยนแทนดวยสญลกษณ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 หมายถง ฟงกชนทดฟแลวได 𝑓(𝑥)

ค าวา “ปฏยานพนธ” บางทเรยกวา “ปรพนธ” หรอ “อนทกรล” หรอ “อนทเกรต” กได

หมายเหต: เรานยมใชสญลกษณ 𝐹(𝑥) แทน ปฏยานพนธของ 𝑓(𝑥)

ตวอยางเชน ถาเราตองการหา ∫ 2𝑥 − 3 𝑑𝑥 เราจะตองหาวาอะไรทดฟแลวได 2𝑥 − 3

จะไดค าตอบคอ 𝑥2 − 3𝑥 นนเอง อยางไรกตาม นอกจาก 𝑥2 − 3𝑥 แลว จะเหนวา 𝑥2 − 3𝑥 + 1 กดฟแลวได 2𝑥 − 3 เหมอนกน

𝑥2 − 3𝑥 + 2 กดวย

𝑥2 − 3𝑥 − 8 กได เพราะสวนทเปนตวเลข ไมวาจะเปนเลขอะไร ดฟแลวกหายไปเหมอนกน

ดงนน จะไดผลการอนทเกรต ∫ 2𝑥 − 3 𝑑𝑥 เทากบ 𝑥2 − 3𝑥 + 𝑐 เมอ 𝑐 เปนตวเลขคงทใดๆนนเอง

สตรส าหรบอนทเกรตทควรจ าไดแก โดยเรามกจะทองวา เพมก าลงเพมขนหนง แลวเอาก าลงลงมาหาร เชน

∫ 8𝑥3 𝑑𝑥 = 8

4𝑥4 + 𝑐 = 2𝑥4 + 𝑐 ∫ 6𝑥 𝑑𝑥 =

6

2𝑥2 + 𝑐 = 3𝑥2 + 𝑐

∫ 2 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑐 ∫ 3𝑥− 3

2 𝑑𝑥 = 3

− 1

2

𝑥− 1

2 = −6𝑥− 1

2 + 𝑐

เราสามารถกระจายอนทเกรตในการบวกลบได แตหามกระจายในการคณหาร

เชน ∫ 𝑥2 − 4𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 𝑥3

3− 2𝑥2 + 2𝑥 + 𝑐

แต ∫(𝑥 + 1)(2𝑥 − 3) 𝑑𝑥 ≠ (𝑥2

2+ 𝑥 + 𝑐) (𝑥2 − 3𝑥 + 𝑐)

ถาจะหา ∫(𝑥 + 1)(2𝑥 − 3) 𝑑𝑥 ตองกระจายเปน ∫ 2𝑥2 − 𝑥 − 3 𝑑𝑥 กอน

และจะเหนวา เราตองตด 𝑐 ในผลลพธการอนทเกรตเสมอ เพราะไมวา 𝑐 เปนตวเลขอะไร มนจะหายไปเมอถกดฟ

แตสวนใหญ โจทยมกจะบอกขอมลบางอยางเพมเตม เพอใหหาคา 𝑐 ได

ตวอยาง ก าหนดให 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 1 ถา 𝑓(1) = 5 จงหา 𝑓(𝑥) วธท า วธท าคอ เราจะอนทเกรต 𝑓′(𝑥) กลบไปใหกลายเปน 𝑓(𝑥)

นนคอจะได 𝑓(𝑥) = ∫ 2𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 𝑐

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

ปฏยานพนธ 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥)

อนพนธ 𝑓′′(𝑥)

อนพนธอนดบสอง

ดฟ

อนทเกรต

ดฟ


ดฟ


∫ 𝑎𝑥𝑛 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑛+1𝑥𝑛+1 + 𝑐


แตโจทยบอกวา 𝑓(1) = 5 แปลวา 12 + 1 + 𝑐 = 5

ดงนน 𝑐 = 5 − 1 − 1 = 3 นนคอจะได 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 3 #

บางท อาจเหนตวเลขปดหวปดทายเครองหมายอนทกรล เชน 3

1 3𝑥 + 5 𝑑𝑥

ถาเจอแบบน วธหาคอ ใหหา ∫ 3𝑥 + 5 𝑑𝑥 ออกมากอน หลงจากนน “แทน 𝑥 = 3” ลบดวย “แทน 𝑥 = 1”

ตวอยาง จงหา 3

2 4𝑥 𝑑𝑥

วธท า หา ∫ 4𝑥 𝑑𝑥 ออกมากอน ได 2𝑥2 + 𝑐 จากนน “แทน 𝑥 = 3” ลบดวย “แทน 𝑥 = −2”

นนคอ 3

2 4𝑥 𝑑𝑥 = [2(3)2 + 𝑐] − [2(−2)2 + 𝑐]

= (18 + 𝑐) − (8 + 𝑐) = 10 #

อนทกรลแบบทมตวเลขปดหวทายเครองหมายอนทกรล (แบบตวอยางกอนหนา) เรยกวา อนทกรลแบบ “จ ากดเขต” ถาไมมตวเลขปดหวทาย เรยกกวา อนทกรลแบบ “ไมจ ากดเขต”

ถาสงเกตดๆ อนทกรลแบบจ ากดเขต ตอนทแทนคาหวทายมาลบกน จะพบวาคา 𝑐 จะตดกนเองหายไปหมดเสมอ

ดงนน ในการอนทกรลแบบจ ากดเขต เราไมตองม 𝑐 ตอนอนทเกรตเลยกได

และสดทาย ประโยค “แทน 𝑥 = 𝑎 ลบดวย แทน 𝑥 = 𝑏” สามารถใชสญลกษณ |𝑎𝑏 แทนได

เชน 2

1

1

𝑥2 + 2𝑥 𝑑𝑥 = 2

1 𝑥−2 + 2𝑥 𝑑𝑥

= −𝑥−1 + 𝑥2 |2

−1

= [−2−1 + 22] − [−(−1)−1 + (−1)2]

=7

2− 2 =

3

2 #

แบบฝกหด 1. จงหาคาของอนทกรลตอไปน

1. ∫ 4𝑥 − 3 𝑑𝑥 2. ∫ 2𝑥3 + 6𝑥2 − 3𝑥 + 5 𝑑𝑥

3. ∫ √𝑥 𝑑𝑥 4. ∫1

√𝑥𝑑𝑥

แทน 𝑥 = 2 ลบดวย แทน 𝑥 = 1


5. ∫(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 𝑑𝑥 6. ∫𝑥2+2𝑥

𝑥𝑑𝑥

2. จงหาคาอนทกรลแบบจ ากดเขตตอไปน

1. 3

1 2𝑥 + 1 𝑑𝑥 2.

2

1 𝑥2 − 1 𝑑𝑥

3. 4

0

2

√𝑥+ 1 𝑑𝑥 4.

1

1

𝑥2+2

𝑥2 𝑑𝑥

3. ก าหนดให 𝑓′(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 จงหา 2

1 𝑓′′(𝑥) 𝑑𝑥

4. ก าหนดให 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 4 ถา 𝑓(0) = 1 จงหา 3

0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

5. ก าหนดให 𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 − 1 ถา 𝑓(−1) = 0 แลว จงหา 𝑓(1)


6. ก าหนดให 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 + 2 ถา 𝑓′(0) = 1 และ 𝑓(1) = 0 แลว จงหา 𝑓(0)

7. ให 𝑓 เปนฟงกชนซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรง โดยทอตราการเปลยนแปลงของ 𝑓(𝑥) เทยบกบ 𝑥 เทากบ 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥 เมอ 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนจรง และให 𝑔(𝑥) = (𝑥3 + 2𝑥)𝑓(𝑥) ถา 𝑓′(1) = 18 ,

𝑓′′(0) = 6 และ 𝑓(2) = 𝑓(1) + 𝑓(0) แลวคาของ 𝑔′(−1) เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 56)/39]

8. ถา 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 𝑥 − 5 และ 𝑓(0) = 1 แลว 1

1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 มคาเทากบเทาใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/32]


9. ให 𝑓 เปนฟงกชนซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตของจ านวนจรง โดยท 𝑓(2𝑥 − 1) = 4𝑥2 − 10𝑥 + 𝑎

เมอ 𝑎 เปนจ านวนจรง และ 𝑓(0) = 12 คาของ 4

1

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 เทากบเทาใด [PAT 1 (พ.ย. 57)/41]

10. ให 𝑓 และ 𝑔 เปนฟงกชนซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตของจ านวนจรง โดยท 𝑓′(𝑥) = 2𝑥4−𝑥

𝑥3 เมอ 𝑥 ≠ 0

𝑔(𝑥) = (1 + 𝑥2)𝑓(𝑥) และ 𝑔(1) = 2 คาของ 2

1

𝑥3𝑔′′(𝑥) 𝑑𝑥 เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 58)/40]

11. ก าหนดใหฟงกชน 𝑓(𝑥) = {𝑥3 , 𝑥 < −1

𝑎𝑥 + 𝑏 , −1 ≤ 𝑥 < 1

3𝑥2 + 2 , 𝑥 ≥ 1


ถาฟงกชน 𝑓 ตอเนอง ส าหรบทกจ านวนจรง 𝑥 แลวคา 2

2

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 เทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 58)/34]


12. ให ℝ แทนเซตของจ านวนจรง ถา 𝑓 : ℝ → ℝ เปนฟงกชนซง 𝑓′′(𝑥) = 3 + 6𝑥 ส าหรบทกจ านวนจรง 𝑥 และความชนของเสนสมผสโคง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ณ จด (2, 22) เทากบ 20 แลวคาของ

4limx

𝑓(𝑥) เทากบเทาใด

[PAT 1 (ม.ค. 57)/42]

13. ก าหนดให 𝑅 แทนเซตของจ านวนจรง ถา 𝑓: 𝑅 → 𝑅 เปนฟงกชนโดยท 𝑓′(𝑥) = 3√𝑥 + 5 ส าหรบทกจ านวนจรง 𝑥

และ 𝑓(1) = 5 แลวคาของ 4

limx

𝑓(𝑥2)−2

𝑓(𝑥) เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 53)/38]

14. ก าหนดให 𝑓 : R → R 𝑓′′(𝑥) = 0 ทกๆจ านวนจรง

ถา 𝑓(0) = 23 และ 𝑓(1) = 103 แลว จงหาคาของ 1

0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/38]


15. ก าหนดให ℝ แทนเซตของจ านวนจรง และ 𝑎, 𝑏 เปนจ านวนจรง และให 𝑓 : ℝ → ℝ เปนฟงกชนทนยามโดย

𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑥3 ส าหรบทกจ านวนจรง 𝑥 ถาเสนตรง 5𝑥 − 𝑦 + 13 = 0 สมผสกราฟของ 𝑓 ท 𝑥 = 1

แลว 2

0

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 เทากบเทาใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/41]

16. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 เมอ 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนจรง

ถา 𝑓(1) = 2 และ (𝑓 ∘ 𝑓)(0) = 10 แลวคาของ 2

1

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 57)/38]

17. ถา 2

2

|𝑥2 − 7𝑥 + 6| 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏 เมอ 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนเตมท 𝑏 ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ 𝑎 และ 𝑏 เทากบ 1

แลวคาของ 𝑎 + 𝑏 เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 57)/18]



4

𝑥3+𝑥2+𝑥

𝑥|𝑥+2|−𝑥2−2𝑑𝑥 เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 59)/34]

19. ก าหนดให 𝑦 = 𝑓(𝑥) เปนฟงกชนซงมคาสงสดท 𝑥 = 1 ถา 𝑓′′(𝑥) = −4 ทก 𝑥 และ 𝑓(−1) + 𝑓(3) = 0 แลว 𝑓 มคาสงสดเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-19]

20. ก าหนดให 𝑅 แทนเซตของจ านวนจรง ถา 𝑓: 𝑅 → 𝑅 เปนฟงกชน โดยท 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 + 4 ส าหรบทกจ านวนจรง 𝑥 และความชนของเสนสมผสโคง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ทจด (2, 19) เทากบ 19 แลว คาของ 𝑓(1) เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 53)/39]


21. ก าหนดให 𝑓 เปนฟงกชนพหนามทม 𝑓′′(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 เมอ 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนจรง ถา 𝑓(0) = 2 และกราฟของ 𝑓 มจดต าสดสมพทธท (1, −5) แลว 2𝑎 + 3𝑏 เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 54)/19]

22. ก าหนดให 𝑓 เปนฟงกชนทนยามบนชวง (0, ∞) โดยท 𝑓(2) = 2𝑓(1) และ 𝑓′(𝑥) = 27𝑥 −1

𝑥2 ถา L เปนเสนสมผสกราฟของ 𝑦 = 𝑓(𝑥) ทจด (1, 𝑓(1)) แลว จดในขอใดตอไปนอยบน L [A-NET 51/1-19]

1. (2, 64) 2. (2, 66) 3. (3, 94) 4. (3, 96)

23. ให R แทนเซตของจ านวนจรง ก าหนดให 𝑓 : R → R เปนฟงกชนทมอนพนธทกอนดบ โดยท 𝑓′′(𝑥) = 2𝑥 + 1 และ 𝑓′(2) = 2

สมการของเสนตรงทตงฉากกบเสนสมผสเสนโคง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ทจด (1, 3) คอขอใดตอไปน

[PAT 1 (ม.ค. 55)/16]

1. 𝑦 = −1

2𝑥 + 2 2. 𝑦 =

1

2𝑥 +

5

2

3. 𝑦 = −1

2𝑥 +

5

2 4. 𝑦 =

1

2𝑥 + 2


24. ก าหนดให 𝑓(𝑥) เปนฟงกชนพหนามก าลงสอง ถาความชนของเสนสมผสเสนโคง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ทจด (1, 2) มคา

เทากบ 4 และ 2

1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 12 แลว 𝑓(−1) + 𝑓′′(−1) มคาเทากบเทาใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/37]

25. ก าหนดให 𝑓 เปนฟงกชนพหนามก าลงสาม ซงนยามบนชวง [−2, 2] โดยท 𝑓(0) = 1, 𝑓(1) = 0 และ 𝑓 มคาต าสดท 𝑥 = 1, มคาสงสดท 𝑥 = −1 ขอใดตอไปนถกบาง [A-NET 51/1-20]

1. 𝑓(−2) ≤ 𝑓(𝑥) ทก 𝑥 ∈ [−2, 2]

2. 𝑓(2) ≥ 𝑓(𝑥) ทก 𝑥 ∈ [−2, 2]

26. ถา 𝑓′(𝑥) = 𝑥2 − 1 และ 1

0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0 แลว |𝑓(1)| มคาเทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-17]


27. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 เมอ 𝑏, 𝑐 และ 𝑑 เปนจ านวนจรง โดยท 2

2

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = −64

3

ถา 𝑔(𝑥) เปนพหนามซง 𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑥) และ 𝑔′(1) = 𝑔′(0) = 𝑔(0) = 0

แลว 𝑔′′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥) ตรงกบสมการในขอใดตอไปน [PAT 1 (พ.ย. 57)/19] 1. 𝑥4 − 4𝑥3 + 12𝑥2 − 6𝑥 = 0 2. 𝑥4 − 8𝑥3 − 12𝑥2 − 6𝑥 = 0

3. 3𝑥4 − 16𝑥3 + 48𝑥2 − 24𝑥 = 0 4. 3𝑥4 + 8𝑥3 − 48𝑥2 + 24𝑥 = 0

28. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 เมอ 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนจรง ถาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ 𝑓(𝑥) เทยบ

กบ 𝑥 เมอคาของ 𝑥 เปลยนจาก −1 เปน 1 เทากบ −2 และ 1

1

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 2

แลวคาของ 0

limh

𝑓(3+ℎ)−𝑓(3−ℎ)

ℎ เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 59)/40]

29. ก าหนดให 𝑏 > 1 และ b

1

𝑥−1

𝑥+√𝑥 𝑑𝑥 = 4 คาของ 1 + 𝑏 + 𝑏2 เทากบเทาใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/18]


30. ก าหนดให ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) โดยทความชนของเสนสมผสเสนโคง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ทจด (𝑥, 𝑦) เทากบ 2 − 2𝑥 และเสนโคง 𝑦 = 𝑓(𝑥) มคาสงสดสมพทธ เทากบ 5 ถา 𝑔 เปนฟงกชนพหนาม ซงมสมบต 𝑔(2) = 𝑔′(2) = 5 แลว ℎ′(2) มคาเทากบเทาใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/38]

31. ก าหนดให R แทนเซตของจ านวนจรง ถา 𝑓 : R → R และ 𝑔 : R → R เปนฟงกชน โดยท 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3

และ (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 8𝑥3 + 44𝑥2 + 80𝑥 + 48 ส าหรบทกจ านวนจรง 𝑥

แลวคาของ ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥6

0 เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 55)/37]

32. ก าหนดใหเสนโคง 𝑦 = 𝑓(𝑥) สมผสกบเสนตรง 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 ทจด (0, 3) และ 2

0

𝑓′′(𝑥) 𝑑𝑥 = −3

ถา 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2 𝑓(𝑥) และ 𝑔′(2) = 0 แลว 𝑓(2) เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 54)/43]


33. ก าหนดให 𝑃(𝑥) เปนพหนามทสอดคลองกบ 𝑃(𝑥2 + 3) = 3𝑥4 + 24𝑥2 + 40 และให 𝑓(𝑥) = x

0

𝑃(𝑡) 𝑑𝑡

คาของ 2

limx

√𝑃(𝑥) − 𝑓(𝑥) เทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/38]

34. ก าหนดให 𝑓(𝑥) เปนพหนามก าลงสอง โดยท 𝑓(0) = 1 และ 𝑓(𝑥 + 1) = 𝑓(𝑥 − 1) + 𝑥 + 1 ส าหรบ

จ านวนจรง 𝑥 ใดๆ คาของ 1

2

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 เทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/20]

35. ก าหนดให 𝐼(𝑎) = a

a (𝑥2 − 1) 𝑑𝑥 ส าหรบ 𝑎 ∈ [0, ∞)

ประโยคในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนจรง เมอเอกภพสมพทธคอชวง [0, ∞) [A-NET 51/1-2]

1. ∀𝑎[𝐼(𝑎) > 0] 2. ∀𝑎[(𝐼(𝑎) = 0) → (𝑎 = 0)]

3. ∃𝑎[(𝑎 > 2) ∧ (𝐼(𝑎) < 0)] 4. ∃𝑎[(𝑎 ≠ 0) ∧ (𝐼(𝑎) = 0)]


36. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 เมอ 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนจรงทแตกตางกน และให L1 และ L2 เปนเสนสมผส

เสนโคง ท 𝑥 = 𝑎 และ 𝑥 = 𝑏 ตามล าดบ ถา L1 ขนานกบ L2 และ 0

limh

9ℎ

𝑓(1+ℎ)−𝑓(1) = 1

แลวคาของ 2

0

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 55)/39]

37. ก าหนดให 𝑃(𝑥) เปนพหนามโดยท 𝑃(0) = 1 และสอดคลองกบ 0

limh

3ℎ𝑥+2ℎ

𝑃(𝑥+ℎ+2)+𝑃(ℎ+2)−𝑃(𝑥+2)−𝑃(2) = 1

คาของ 𝑃(12) เทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/39]


38. ก าหนดให R แทนเซตของจ านวนจรง ให 𝑓 : R → R เปนฟงกชน โดยท 1. (𝑓𝑔)(𝑥) = 2𝑥 + 3 ส าหรบทกจ านวนจรง 𝑥

2. ฟงกชน 𝑓 และ 𝑔 มอนพนธทกอนดบส าหรบทกจ านวนจรง 𝑥

3. ฟงกชน 𝑓 มคาสงสดสมพทธเทากบ 2 ท 𝑥 = 1

4. 𝑔′′(𝑥) = 2 ส าหรบทกจ านวนจรง 𝑥

ฟงกชน 𝑔 มคาต าสดสมพทธเทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/37]

39. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 เปนพหนามก าลงสอง เมอ 𝑎, 𝑏, 𝑐 เปนจ านวนจรง และ 𝑎 ≠ 0

โดยท 𝑓(1) = 0 และ 𝑓 มคาสงสดท 𝑥 = 1

3 ให 𝐹(𝛼, 𝛽) =

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 โดยท 𝐹(0, 𝑡) = 𝐹(1, 𝑡) + 1

ส าหรบจ านวนจรง 𝑡 > 1 ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (เม.ย. 57)/19]

1. 𝐹(1,2) = 𝐹(2,3) + 10

2. อนพนธของ 𝑓(𝑥)

𝑥2 เทากบ −3𝑥2−2𝑥−2

𝑥3


พนททปดลอมดวยเสนโคง

พนททอยระหวางกราฟ 𝑓(𝑥) กบ แกน X ตงแต 𝑥 = 𝑎 ถง 𝑥 = 𝑏 จะเทากบ b

a 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

สงทตองระวงกคอ ถาพนททแรเงาอยใตแกน X เราจะได b

a 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 เปนคาตดลบ

แตพนท เปนคาตดลบไมได ดงนน เราตองกลบเครองหมายใหเปนบวกกอนตอบดวย

ตวอยาง จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง 𝑦 = 𝑥2 กบแกน X ตงแต 𝑥 = 1 ถง 𝑥 = 3

วธท า พนทสวนทแรเงา จะเทากบ 3

1 𝑥2 𝑑𝑥

จะได 3

1 𝑥2 𝑑𝑥 =

1

3𝑥3 |

31

= [1

3(3)3] − [

1

3(1)3] = 9 −

1

3 =

26

3

ดงนน พนททแรเงา เทากบ 26

3 #

ตวอยาง จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง 𝑦 = −𝑥2 − 1 กบแกน X ตงแต 𝑥 = 1 ถง 𝑥 = 3

วธท า ท าเหมอนเดม แตเนองจากพนทอยใตแกน X ดงนนค าตอบจะออกมาเปนเลขตดลบ

จะได 3

1 −𝑥2 − 1 𝑑𝑥 = −

1

3𝑥3 − 𝑥 |

31

= [−1

3(3)3 − 3] − [−

1

3(1)3 − 1]

= (−12) − (−4

3) = −

32

3

กอนตอบ ใหเปลยนคาทได ใหเปนบวกกอน ดงนน จะไดพนทใตกราฟเทากบ 32

3 #

1 3

1 3

พนทสวนทแรเงา = b

a 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑎 𝑏


กรณทสรางความล าบากใหเรามากทสดคอ กรณทมบางสวนอยเหนอแกน X และบางสวนอยใตแกน X

จากรป ถาโจทยถามพนทสวนทแรเงา เราจะอนทเกรต รวดเดยวตงแต 𝑎 ถง 𝑏 เลย ไมได เพราะพนทเหนอแกน (เปนบวก) กบใตแกน (เปนลบ) จะหกลางกน ท าใหคาทไดนอยกวาค าตอบทโจทยตองการ

วธท าโจทยประเภทน จะตองแยกอนทเกรต โดยอนทเกรตจาก 𝑎 ถง 𝑐 หนงครง และอนทเกรตจาก 𝑐 ถง 𝑏 อกหนงครง ถาอนไหนไดคาตดลบ ใหเปลยนเปนบวกกอน แลวเอาผลการอนทเกรตทเปลยนเปนบวกแลว มารวมกน

ทยากกคอ ปกตโจทยมกจะไมใหรปกราฟมา ท าใหเราตองหาจด 𝑐 เอาเอง จะเหนวาจด 𝑐 กคอ จดทกราฟตดแกน X

ซงวธหาคอ ใหแกสมการ 𝑓(𝑥) = 0 โดยอาศยการแยกตวประกอบ หรอใชสตร 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

ดงนน สงทตองท าเปนอนดบแรกในการท าโจทยเรองนคอ ตองแกสมการ 𝑓(𝑥) = 0 เพอหาจดทกราฟตดแกน X กอน

ตวอยาง จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 กบแกน X ตงแต 𝑥 = 0 ถง 𝑥 = 3

วธท า กอนอน หาวากราฟตดแกน X ทไหนบาง โดยการแกสมการ

ดงนน กราฟตดแกน X ท 𝑥 = −1 และ 𝑥 = 1 เนองจากเราตองการหาพนทตงแต 𝑥 = 0 ถง 𝑥 = 3 จงตองแบงอนทเกรตตรงจด 𝑥 = 1

1

0 𝑥2 − 1 𝑑𝑥 =

1

3𝑥3 − 𝑥 |

10

= [1

3(1)3 − 1] − [

1

3(0)3 − 0] = −

2

3 → ท าใหเปนบวก ได 2

3

3

1 𝑥2 − 1 𝑑𝑥 =

1

3𝑥3 − 𝑥 |

31

= [1

3(3)3 − 3] − [

1

3(1)3 − 1] =

20

3

ดงนน จะไดพนท คอ 23

+20

3 =

22

3 #

อยางไรกตาม มขอสงเกตจากตวอยางขอทผานมาดงน ถาโจทยตองการหาพนทตงแต 𝑥 = −5 ถง 𝑥 = 3 คราวนตองแบงอนทเกรตตรง 𝑥 = −1 ดวย

นนคอ ตองอนทเกรต 3 เทยว คอ 1

5

,

1

1 และ

3

1

ถาโจทยตองการหาพนทตงแต 𝑥 = 2 ถง 𝑥 = 5 แบบนอนทเกรตรวดเดยว 5

2 ไดเลย

เพราะจาก 𝑥 = 2 ถง 𝑥 = 5 ไมมจดตดแกน X

ถาโจทยใหหา “พนทระหวาง 𝑓(𝑥) กบแกน X” เฉยๆ โดยไมบอกวาจะเอาพนทตงแต 𝑥 เปนเทาไหรถงเทาไหร แบบนใหหาตงแตจดแรกทกราฟตดแกน X ไปจนถงจดสดทายทกราฟตดแกน X เชนในตวอยางขอทผานมา กตองหาตงแต 𝑥 = −1 ถง 𝑥 = 1

𝑎 𝑏 𝑐

𝑥2 − 1 = 0 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = 0 𝑥 = −1 , 1


ตวอยาง จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 + 2 กบแกน X ตงแต 𝑥 = −1 ถง 𝑥 = 1 วธท า หาจดตดแกน X กอนโดยแกสมการ 𝑥2 − 𝑥 + 2 = 0

จะเหนวาสมการน แยกตวประกอบไมออก

ถาลองใชสตร 𝑥 = −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 =

−(−1)±√(−1)2−4(1)(2)

2(1) จะพบวาหาคาไมได เพราะในรทตดลบ

นนคอ สมการน ไมมค าตอบ → แปลวากราฟน ไมตดแกน X

ดงนน อนทเกรตรวดเดยว ตงแต −1 ถง 1 ไดเลย

ดงนน พนท = 1

1 𝑥2 − 𝑥 + 2 𝑑𝑥 =

1

3𝑥3 −

1

2𝑥2 + 2𝑥 |

1−1

= [1

3(1)3 −

1

2(1)2 + 2(1)] − [

1

3(−1)3 −

1

2(−1)2 + 2(−1)] =

14

3 #

ตวอยาง จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 4𝑥 และแกน X

วธท า หาจดตดแกน X กอน โดยแกสมการ

ขอน โจทยไมไดบอกวาจะเอาพนทตงแตตรงไหนถงตรงไหน

ในกรณน ใหหาตงแตจดแรกทกราฟตดแกน X ไปจนถงจดสดทายทกราฟตดแกน X

นนคอ ตงแต 𝑥 = −1 ถง 𝑥 = 1 แตระหวางทาง กราฟตดแกน X ท 𝑥 = 0 จงตองแบงอนทเกรตดวย

0

1 4𝑥3 − 4𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥2 |

0−1

= [(0)4 − 2(0)2] − [(−1)4 − 2(−1)2] = 1

1

0 4𝑥3 − 4𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥2 |

10

= [(1)4 − 2(1)2] − [(0)4 − 2(0)2] = −1 → ท าใหเปนบวก ได 1

ดงนน พนท = 1 + 1 = 2 #

ตวอยาง จงหาคาของ 1

1 √1 − 𝑥2 𝑑𝑥

วธท า ขอน อนทเกรตตรงๆไมได เพราะเรากระจาย ∫ เขาไปในรทไมได ขอน ตองท ากลบกน คอแทนทจะใชการอนทเกรตเพอหาพนท เราตองใชพนท มาหาคาอนทเกรตแทน

จะเหนวา 1

1 √1 − 𝑥2 𝑑𝑥 กคอ พนททปดลอมดวยเสนโคง 𝑦 = √1 − 𝑥2 ตงแต 𝑥 = −1 ถง 𝑥 = 1 นนเอง

วาดกราฟ 𝑦 = √1 − 𝑥2 ไดดงรป

จะเหนวา 1

1 √1 − 𝑥2 𝑑𝑥 กคอพนทครงวงกลมทมรศม 1 นนเอง

ดงนน 1

1 √1 − 𝑥2 𝑑𝑥 =

1

2× 𝜋(1)2 =

𝜋

2 #

4𝑥3 − 4𝑥 = 0 4𝑥(𝑥2 − 1) = 0 4𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = 0 𝑥 = −1 , 0 , 1

𝑦2 = 1 − 𝑥2 ; 𝑦 ≥ 0 𝑥2 + 𝑦2 = 1 ; 𝑦 ≥ 0 1 −1



1. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคงตอไปน กบแกน X

1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 ตงแต 𝑥 = 2 ถง 4 2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4 ตงแต 𝑥 = 1 ถง 3

3. 𝑓(𝑥) = 6𝑥2 − 6𝑥 − 12 ตงแต 𝑥 = 0 ถง 3 4. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 ตงแต 𝑥 = −1 ถง 2

5. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 6. 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 9𝑥2 + 6𝑥



2 √4 − 𝑥2 𝑑𝑥

3. พนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 2𝑥 และแกน X จาก 𝑥 = 0 ถง 𝑥 = 4 เทากบเทาใด

[A-NET 50/1-22]

4. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 3 เมอ 𝑥 < −1

−2𝑥3 เมอ 𝑥 ≥ −1

พนททปดลอมดวยกราฟของ 𝑓 บนชวง [−4, 0] มคาเทาใด [A-NET 51/2-10]

5. ก าหนดให กราฟของ 𝑦 = 𝑓(𝑥) มความชนทจด (𝑥, 𝑦) ใดๆ เปน 2𝑥 + 2 และ 𝑓 มคาต าสดสมพทธเทากบ −3

พนทของอาณาบรเวณทปดลอมดวยกราฟของ 𝑦 = 𝑓(𝑥) แกน X เสนตรง 𝑥 = −1 และเสนตรง 𝑥 = 0 เทากบกตารางหนวย [A-NET 49/1-19]


6. ให L เปนเสนตรงทผานจด (0, 10) และมความชนมากกวา −1 แตนอยกวา 0

ถาพนทของอาณาบรเวณทถกปดลอมดวยเสนตรง L กบแกน 𝑥 จาก 𝑥 = 0 ถง 𝑥 = 6 มคาเทากบ 51 ตารางหนวย แลว จงหาพนทของอาณาบรเวณทถกปดลอมดวยเสนตร L กบแกน 𝑥 จาก 𝑥 = 0 ถง 𝑥 = 3 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/39]

7. ก าหนดให

𝐴 แทนพนทของอาณาบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 𝑦 = 1 − 𝑥2 และแกน X

𝐵 แทนพนทของอาณาบรเวณทใตเสนโคง 𝑦 =𝑥2

4 เหนอแกน X จาก 𝑥 = −𝑐 ถง 𝑥 = 𝑐

คาของ 𝑐 ทท าให 𝐴 = 𝐵 เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 52)/32]

8. ก าหนดให A(0, 0), B(1, 0) และ C( 1

2 ,

√3

2 ) เปนจดยอดของรปสามเหลยม ABC

ถากราฟของ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ผานจด A(0, 0), B(1, 0)

โดยท AC และ BC เปนเสนสมผสกราฟของ 𝑓 ทจด A(0, 0), B(1, 0) ตามล าดบ

แลวพนททปดลอมดวยกราฟของ 𝑓 และเสนตรง AB มคาเทาใด [PAT 1 (ธ.ค. 54)/18]


พนทระหวางเสนโคง ทผานมา เปนการหาพนทระหวางเสนโคงเสนหนง กบแกน X

นอกจากน การอนทเกรต ยงสามารถใชหาพนทระหวางเสนโคงสองเสนไดดวย

พนทระหวางเสนโคง 𝑓(𝑥) กบ 𝑔(𝑥) ตงแต 𝑥 = 𝑎 ถง 𝑥 = 𝑏 จะหาไดจากสตร b

a 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

ตวอยาง จงหาพนททอยระหวางเสนโคง 𝑦 = 𝑥3 + 1 และ 𝑦 = 𝑥2 ตงแต 𝑥 = 0 ถง 𝑥 = 2 ดงรป

วธท า พนทระหวางโคง = 2

0 𝑥3 + 1 − 𝑥2 𝑑𝑥 =

1

4𝑥4 + 𝑥 −

1

3𝑥3 |

2 0

= [1

4(2)4 + 2 −

1

3(2)3] − [

1

4(0)4 + 0 −

1

3(0)3] =

10

3 #

อยางไรกตาม การใชสตร b

a 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 มสงทตองระวง คอ

บรเวณท 𝑓(𝑥) อยเหนอ 𝑔(𝑥) ผลอนทเกรตจะเปนบวก

บรเวณท 𝑓(𝑥) อย ใต 𝑔(𝑥) ผลอนทเกรตจะเปนลบ

เนองจาก พนทเปนลบไมได ดงนน กอนตอบตองเปลยนเครองหมายเปนบวกดวย

ปญหาจะเกดเมอ บางสวน 𝑓(𝑥) อยเหนอ 𝑔(𝑥) และบางสวน 𝑓(𝑥) อยใต 𝑔(𝑥) ดงรปตอไปน

เวลาหาพนททแรเงาในรปขางบน จะตองแยกอนทเกรต c

a หนงเทยว และ

b

c อกหนงเทยว

โดยถาอนไหนเปนลบกเปลยนใหเปนบวกกอน แลวคอยเอามารวมกน

อยางไรกตาม ปกตโจทยกจะไมใจดบอกจด 𝑐 มาให จะเหนวา จด 𝑐 กคอจดท 𝑓(𝑥) ตดกบ 𝑔(𝑥) นนเอง วธหาจดตดของ 𝑓(𝑥) กบ 𝑔(𝑥) กคอใหแกสมการ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) 𝑎 𝑏 𝑐

พนทสวนทแรเงา = b

a 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

𝑎 𝑏

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑦 = 𝑔(𝑥)

2

𝑦 = 𝑥3 + 1

𝑦 = 𝑥2


ดงนน สงทตองท าเปนอนดบแรกในการท าโจทยเรองนคอ ตองแกสมการ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) เพอหาจดตดกราฟกอน ถาแกสมการ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) แลวไมมค าตอบ แสดงวา 𝑓(𝑥) กบ 𝑔(𝑥) ไมตดกนนนเอง

และสดทาย ถาโจทยไมบอกวาตองการพนทตงแต 𝑥 เปนเทาไหรถงเทาไหร กใหหาตงแตจดแรกทกราฟตดกนไปจนถงจดสดทายทกราฟตดกน

ตวอยาง จงหาพนทระหวาง 𝑦 = 𝑥2 และ 𝑦 = 𝑥 ตงแต 𝑥 = −1 ถง 𝑥 = 1 วธท า กอนอน หาจดตดกนของสองกราฟนกอน โดยแกสมการ

จะเหนวา จาก 𝑥 = −1 ถง 𝑥 = 1 ตองผานจดตดกราฟท 𝑥 = 0 ดงนน ตองแยกกนทเกรตท 𝑥 = 0

0

1 𝑥2 − 𝑥 𝑑𝑥 =

1

3𝑥3 −

1

2𝑥2 |

0−1

= [1

3(0)3 −

1

2(0)2] − [

1

3(−1)3 −

1

2(−1)2] =

5

6

1

0 𝑥2 − 𝑥 𝑑𝑥 =

1

3𝑥3 −

1

2𝑥2 |

10

= [1

3(1)3 −

1

2(1)2] − [

1

3(0)3 −

1

2(0)2] = −

1

6 → เปลยนเปนบวก ได 1

6

ดงนน พนททงหมด คอ 56

+1

6 = 1 #

ตวอยาง จงหาพนทระหวาง 𝑦 = √𝑥 และ 𝑦 = 𝑥

วธท า หาจดตดกนของสองกราฟนกอน โดยแกสมการ

ขอนโจทยไมไดบอกวาใหหาพนทตงแตตรงไหนถงตรงไหน

ดงนน ตองหาตงแตจดแรกทกราฟตดกนไปจนถงจดสดทายทกราฟตดกน นนคอ ตงแต 𝑥 = 0 ถง 𝑥 = 1

จะได พนท = 1

0 √𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥 =

2

3𝑥

3

2 −1

2𝑥2 |

10

= [2

3(1)

3

2 −1

2(1)2] − [

2

3(0)

3

2 −1

2(0)2] =

1

6 #


1. จงหาพนทระหวาง 𝑦 = 𝑥 − 2 และ 𝑦 = 2 − 𝑥 ตงแต 𝑥 = 0 ถง 𝑥 = 3

𝑥2 = 𝑥 𝑥2 − 𝑥 = 0 𝑥(𝑥 − 1) = 0 𝑥 = 0 , 1

√𝑥 = 𝑥 𝑥 = 𝑥2 0 = 𝑥2 − 𝑥 0 = 𝑥(𝑥 − 1) 𝑥 = 0 , 1

อยาลมตรวจค าตอบดวย !


2. จงหาพนทระหวาง 𝑦 = 3𝑥2 + 2 และ 𝑦 = 1 − 𝑥 ตงแต 𝑥 = 0 ถง 𝑥 = 2

3. จงหาพนทระหวาง 𝑦 = 2𝑥2 − 𝑥 − 4 และ 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 − 1 ตงแต 𝑥 = 0 ถง 𝑥 = 3

4. จงหาพนทระหวาง 𝑦 = 𝑥2 − 1 และ 𝑦 = 1 − 𝑥2


5. จงหาคา 𝑎 > 0 ทเปนไปไดทงหมด ทท าใหพนทของบรเวณทปดลอมโดยกราฟของพาราโบลา 𝑦 = 𝑥 − 𝑎𝑥2

และ 𝑦 = 𝑥2

𝑎 มคามากสด


ลมตของฟงกชน

1. 1. 6 2. −1 3. หาไมได 4. −1

2

5. หาไมได 6. −5

7. 3

𝑥2−√𝑥

√𝑥−1 =

(√𝑥)4 − √𝑥

√𝑥−1 =

√𝑥((√𝑥)3−1)

√𝑥−1 =

√𝑥(√𝑥−1)((√𝑥)2+√𝑥+1)

√𝑥−1 = √𝑥((√𝑥)2 + √𝑥 + 1)

ดงนน 1

limx

𝑥2−√𝑥

√𝑥−1 = √1((√1)2 + √1 + 1) = 1(3) = 3

2. 1 3. 6 4. 3 5. 330

ลมตทางซาย – ลมตทางขวา

1. 3 2. หาไมได 3. −2 4. หาไมได

5. 32 6. หาไมได 7. −1 8. 3

9. 0 10. −1

2 11. 12 12. 9

13. 2

การหาลมตจากกราฟ

1. 1 , 1 , 1 , 1 2. หาไมได , 4 , 4 , 4

3. 3 , 1 , 3 , หาไมได 4. 1 , หาไมได , หาไมได , หาไมได

ความตอเนองของฟงกชน

1. ตอเนอง / ตอเนอง 2. ตอเนอง / ไมตอเนอง 3. ตอเนอง / ตอเนอง 4. ตอเนอง / ไมตอเนอง 5. 1 6. 𝑎 = 2, 𝑏 = −1 7. 2, 4 8. 8

9. 24 10. 18 11. 0.125 12. −10

13. 53 14. 8 15. 15 16. √7 − 2

อตราการเปลยนแปลงเฉลย

1. 1. 2 2. 1

5 3. 8 4. 2𝑎 + 1

อตราการเปลยนแปลงขณะใดๆ

1. 1. −4 2. −6

2. 1. 4 2. 12


อนพนธของฟงกชน

1. 1. 2𝑥 + 2 2. 12𝑥3 − 2𝑥 + 1 3. −1 + 2𝑥 − 3𝑥2 4. 1

2√𝑥

5. 3√𝑥

2− 1 6. 3√𝑥

2−

1

√𝑥 7. −

3

2𝑥2√𝑥

2. 1. 4𝑥 − 3 2. 6𝑥2 − 6𝑥 + 2 3. −2𝑥

(𝑥2+2)2 4. 2

(𝑥+1)2

3. 6

5 4. 3 5. 88

9 6. 5

3

7. 6 8. 4 9. 12 10. 1, 2

11. 1.5 12. 16

5 13. 3

กฎลกโซ

1. 1. 100(2𝑥3 + 1)99(6𝑥2) 2. −2𝑥+2

(𝑥2+2𝑥−5)2

3. 2𝑥+3

2√𝑥2+3𝑥 4. (2𝑥2 + 4𝑥 − 3)(2𝑥 + 2)

2. 1. 2𝑥3

√𝑥4+3 2. 2𝑥

3. 1

2 4. 2

3 5. 1.5 6. 1

อนพนธของฟงกชนแฝง

1. 1. 3 2. 8

3 3. 5

4

อนพนธอนดบสง

1. 6𝑥 + 2 2. −6

𝑥4 3. 105 4. 120

5. 1

3 6. 35

ระยะทาง ความเรว ความเรง

1. 7, 8 2. 12 3. 4

กฎของโลปตาล

1. 1. 2 2. −6 3. หาไมได 4. −3

2. 5 3. 634

ความชนเสนโคง

1. 1. −2 2. 1

4

2. 𝑦 = −2𝑥 + 2 3. 𝑦 = 4𝑥 +15

2 4. 8√82 5. 4

6. 1 7. 2 8. 3


ฟงกชนเพม – ฟงกชนลด

1. 1. เพม 2. ลด 3. เพม 4. เพม 2. 1. (3, ∞) 2. (−∞, 1) ∪ (3, ∞)

3. 3 4. 1, 3

คาสงสด ต าสด

1. 1. สงสด (−3, 42) / ต าสด (1, 10) 2. สงสด (1, 4)

2. 1. สงสด (2, 8) / ต าสด (−2, −8) 2. สงสด (2, 30) / ไมมจดต าสดสมบรณ

3. 5 4. 18 5. 10 6. 0

7. 1, 2 8. 1, 2 9. 2

ปฏยานพนธ

1. 1. 2𝑥2 − 3𝑥 + 𝑐 2. 𝑥4

2+ 2𝑥3 −

3𝑥2

2+ 5𝑥 + 𝑐 3. 2𝑥√𝑥

3+ 𝑐

4. 2√𝑥 + 𝑐 5. 𝑥3

3− 𝑥 + 𝑐 6. 𝑥2

2+ 2𝑥 + 𝑐

2. 1. 10 2. 0 3. 12 4. −2

3. 5 4. −6 5. 2 6. −3

7. 354 8. 7

3 9. 34.5 10. 132

11. 9.25 12. 100 13. 6 14. 63

15. 38 16. 12 17. 104 18. 3

19. 8 20. 7 21. 42 22. 2

23. 2 24. 18 25. 1, 2 26. 0.25

27. 4 28. 48 29. 91 30. 10

31. 990 32. 8 33. 3 34. 3

35. 4 36. 4 37. 157 38. 2.25

39. 1

พนททปดลอมดวยเสนโคง

1. 1. 8 2. 2 3. 31 4. 6

5. 4

3 6. 3

2

2. 2𝜋 3. 37.33 4. 3 5. 8

3

6. 27.75 7. 2 8. √3

6


พนทระหวางเสนโคง

1. 5 2. 12 3. 9 4. 8

3

5. 1

หาจดตดของทงสองกราฟกอน โดยการแกสมการ 𝑥 − 𝑎𝑥2 = 𝑥2

𝑎 → 𝑥 − (𝑎 +

1

𝑎) 𝑥2 = 0

→ 𝑥 (1 − (𝑎2+1

𝑎) 𝑥) = 0 ได 𝑥 = 0 หรอ 1 − (

𝑎2+1

𝑎) 𝑥 = 0 → 𝑥 = 0 ,

𝑎

𝑎2+1

ดงนน พท ใตกราฟ = เอาสองเสนมาลบกน แลวอนทเกรต ตงแต 0 ถง 𝑎

𝑎2+1

สองเสนลบกนได 𝑥 − 𝑎𝑥2 −𝑥2

𝑎 → อนทเกรตได 𝑥

2

2−

𝑎𝑥3

3−

𝑥3

3𝑎 แลวแทน 𝑥 =

𝑎

𝑎2+1 ลบดวยแทน 𝑥 = 0

ได พท = 1

2(

𝑎

𝑎2+1)

2−

𝑎

3(

𝑎

𝑎2+1)

3−

1

3𝑎(

𝑎

𝑎2+1)

3 =

1

2(

𝑎

𝑎2+1)

2−

1

3(

𝑎2+1

𝑎) (

𝑎

𝑎2+1)

3 = (

1

2−

1

3) (

𝑎

𝑎2+1)

2

= 1

6(

𝑎

𝑎2+1)

2 =

1

6(

1

𝑎+1

𝑎

)

2

= 1

6(𝑎2+1

𝑎2+2) → มากสดเมอ 𝑎2 +

1

𝑎2 นอยสด

ดฟได 2𝑎 −2

𝑎3 = 0 → 𝑎4 = 1 → 𝑎 = ±1 → 𝑎 = 1

เครดต

ขอบคณ คณครเบรด จาก กวดวชาคณตศาสตรครเบรด ยานบางแค 081-8285490 ทชวยตรวจสอบความถกตองของเอกสารดวยครบ

แคลคูลัส - trueplookpanya...2 แคลคูลัส ตัวอย่าง...

Documents