คู่มือครู ชุดการสอน ชุดที่ 1...

1

คู่มือคร ูชุดการสอน ชดุที่ 1 เรือ่ง ลมิิตของล าดับ

1. เอกสารและอุปกรณ์ประกอบการสอน ชุดการสอน ชุดการสอนชุดที่ 1 เรื่อง ลิมิตของล าดับ มีเอกสารและอุปกรณ์ท่ีครูจะต้องตรวจให้ ครบถ้วนดังนี้ 1) คู่มือครู 2) คู่มือนักเรียน 3) อุปกรณ์ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1.3.1 ใบความรู้ 1-3 1.3.2 เอกสารแนะแนวทาง 1-6 1.3.3 แบบฝึกทักษะ 1-9 1.3.4 เฉลยแบบฝึกทักษะ 1-9 1.3.5 แบบทดสอบก่อนเรียน จ านวน 10 ข้อ 1.3.6 แบบทดสอบหลังเรียน จ านวน 10 ข้อ 2. บทบาทของครูผู้สอน

1) ครูศึกษาเนื้อหาที่ต้องสอนให้ละเอียดและศึกษาชุดการสอนให้รอบคอบ 2) ก่อนสอนครูต้องเตรียมชุดการสอนให้เรียบร้อย และให้เพียงพอกับจ านวนนักเรียน ซึ่งนักเรียน

แต่ละคนจะได้รับคนละ 1 ฉบับ 3) ก่อนสอนครูต้องให้นักเรียนท าแบบทดสอบก่อนเรียนเสียก่อน ตรวจดูแบบทดสอบพร้อม

ทั้งกระดาษค าตอบให้เพียงพอกับจ านวนนักเรียน 4) ก่อนสอนครูต้องชี้แจงให้นักเรียนรู้เกี่ยวกับบทบาทของนักเรียนในการใช้ชุดการสอน 5) ทันทีท่ีนักเรียนทุกคนด าเนินการศึกษาชุดการสอน ครูไม่ควรพูดเสียงดัง หากมีอะไร จะพูด ต้อง

พูดเป็นรายบุคคล ต้องไม่รบกวนกิจกรรมของนักเรียนคนอ่ืน 6) ขณะที่นักเรียนศึกษาชุดการสอน ครูต้องเดินดูการท างานของนักเรียนแต่ละคนอย่างใกล้ชิด

หากมีนักเรียนคนใดมีปัญหา ครูควรจะเข้าไปให้ความช่วยเหลือจนปัญหานั้นคลี่คลาย 7) หลังจากสอนเรียบร้อยแล้ว ให้นักเรียนท าแบบทดสอบหลังเรียน

2

คู่มือนักเรียน ชุดการสอน ชดุที่ 1 เรือ่ง ลมิิตของล าดับ

1 .เอกสารและอุปกรณ์ประกอบการสอน ชุดการสอน ชุดการสอนชุดที่ 1 เรื่องลิมิตของล าดับ ใช้เวลาเรียน 5 ชั่วโมง มีเอกสารและอุปกรณ์ที่นักเรียนจะต้องตรวจให้ครบถ้วนดังนี้ 1.3.1 ใบความรู้ 1-3 1.3.2 เอกสารแนะแนวทาง 1-6 1.3.3 แบบฝึกทักษะ 1-9 1.3.4 เฉลยแบบฝึกทักษะ 1-9 1.3.5 แบบทดสอบก่อนเรียน จ านวน 10 ข้อ 1.3.6 แบบทดสอบหลังเรียน จ านวน 10 ข้อ 2. บทบาทของนักเรียน 1) นักเรียนต้องศึกษาคู่มือนักเรียนให้เข้าใจ 2) นักเรียนศึกษาชุดการสอนทีละข้ันตอน ตั้งแต่ใบความรู้ เอกสารแนะแนวทาง แบบฝึกทักษะ ตามล าดับโดยไม่ต้องรีบร้อน 3) ในแต่ละใบงานจะมีแบบฝึกหัดและแบบฝึกทักษะ ให้นักเรียนตอบค าถาม แบบฝึกทักษะทุกข้อ ห้ามขีดเขียนข้อความใด ๆ ลงในชุดการสอน 4) นักเรียนต้องตั้งใจปฏิบัติงานอย่างจริงจัง ไม่ก่อกวนผู้อื่นและไม่ชักชวนเพื่อนให้ออกนอกลู่นอกทาง 5) ก่อนท ากิจกรรมกลุ่มให้ท าการเลือกหัวหน้ากลุ่มเพ่ือท าหน้าที่รวบรวมผลงานของสมาชิก ส่งครูเมื่อเสร็จสิ้นการปฎิบัติกิจกรรมกลุ่มแต่ละกิจกรรม 3. ผลการเรียนรู้/ จุดประสงค์การเรียนรู้ ผลการเรียนรู้ นักเรียนสามารถหาลิมิตของล าดับอนันต์โดยอาศัยทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิตได้ จุดประสงค์การเรียนรู้ 1) นักเรียนสามารถอธิบายความหมายเกี่ยวกับล าดับอนันต์ 2) นักเรียนสามารถหาลิมิตของล าดับอนันต์โดยอาศัยกราฟของล าดับได้ 3) นักเรียนสามารถหาลิมิตของล าดับอนันต์โดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตได้

3

รายวิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 ใบความรู้ 1 เร่ือง ล าดับอนันต์

รหัสวิชา ค30205

ล าดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6

อธิบายความหมายเกี่ยวกับล าดับอนันต์ บทนิยาม ล าดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต }...,,3,2,1{ n หรือ จ านวนเต็มบวก

เรียกล าดับที่มีโดเมนเป็นเซต }...,,3,2,1{ n ว่า ล าดับจ ากัด(finite sequence) และเรียกล าดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจ านวนเต็มบวก ว่า ล าดับอนันต์(Infinite sequence)

การเขียนล าดับ

ก าหนดให้ a เป็นล าดับ เขียนล าดับ a เรียงตามล าดับได้ดังนี้ เรียก )1(a ว่า พจน์(term) ที่ 1 เขียนแทนด้วย 1a เรียก )2(a ว่า พจน์(term) ที่ 2 เขียนแทนด้วย 2a

เรียก )(na ว่า พจน์(term) ที่ n หรือ พจน์ทั่วไปของล าดับ เขียนแทนด้วย na

กรณี a เป็นล าดับจ ากัด เขียนแทนด้วย naaaa ,...,,, 321 กรณี a เป็นล าดับอนันต์ เขียนแทนด้วย ,...,...,,, 321 naaaa

จุดประสงค์การเรียนรู้

4

รูปแบบการก าหนดล าดับ

1) ก าหนดล าดับโดยการแจงพจน์ทั้งหมดของล าดับ ถ้าล าดับที่พิจารณาเป็นล าดับจ ากัดและมีพจน์ไม่มากนัก วิธีการเขียนแสดงล าดับจะใช้วิธีการเขียน

พจน์ทั้งหมดของล าดับ ตัวอย่างเช่น 1. 15,12,9,6,3

2. 7

6,

6

5,

5

4,

4

3,

3

2,

2

1

2) ก าหนดล าดับโดยเขียนพจน์เริ่มต้นจ านวนหนึ่งพร้อมกับสูตรพจน์ทั่วไปของล าดับ ถ้าล าดับที่พิจารณาเป็นล าดับจ ากัดและมีพจน์ไม่มากนัก วิธีการเขียนแสดงล าดับจะใช้วิธีการเขียน

พจน์ทั้งหมดของล าดับ ตัวอย่างเช่น 1) 25...,,52...,,11,9,7 n

2) 13

10...,,

3...,,

2

1,

5

2,

4

1

n

n

3) ก าหนดล าดับเริ่มต้นจ านวนหนึ่งพร้อมกับสูตรการหาพจน์ทั่วไปจากล าดับก่อนหน้า การก าหนดล าดับแบบนี้เรียกอย่างหนึ่งว่า การก าหนดโดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) ตัวอย่าง จงหา 5 พจน์แรกของล าดับเมื่อก าหนดล าดับ 31 a และ 51 nn aa เมื่อ 2n จาก 51 nn aa และ 31 a

จะได้ 85355 1122 aaa

135855 2133 aaa 1851355 3144 aaa 2351855 4155 aaa

ดังนั้น 5 พจน์แรกของล าดับนี้คือ 23,18,13,8,3

4) ก าหนดล าดับโดยการบอกเงื่อนไขหรือสมบัติของพจน์ของล าดับ ถ้าไม่ทราบสูตรทั่วไปของล าดับ และไม่ทราบความสัมพันธ์เวียนเกิดของล าดับ การก าหนดล าดับจ าเป็นต้องใช้วิธีการบอกเง่ือนไขหรือสมบัติของพจน์ของล าดับ ตัวอย่างเช่น ...,23,19,17,13,11,7,5,3,2 คือ ล าดับ na เมื่อ na เป็นจ านวนเฉพาะตัวที่ n

วิธีท า

5

เอกสารแนะแนวทาง จากล าดับที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ จงบอกว่าเป็นล าดับจ ากัดหรือล าดับอนันต์ โดยท าเครื่องหมาย ลงในช่อง พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ

ล าดับ ชนิดของล าดับ เหตุผล 1) 10,8,6,4,2 ล าดับจ ากัด

ล าดับอนันต์

เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก 5 ตัวแรก

2) ...,5

1,

4

1,

3

1,

2

1,1 ล าดับจ ากัด


เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก

3) 13,...,27,9,3,1 n ล าดับจ ากัด ล าดับอนันต์

เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก n ตัวแรก

4) ...,)1(

1,...,

12

1,

6

1,

2

1

nn ล าดับจ ากัด



5) 1,0,1,0,1,0,1,0,1,0 ล าดับจ ากัด ล าดับอนันต์


เอกสารแนะแนวทาง 1

ไปท าแบบฝึกทักษะ

กันเถอะครับ

ค าสั่ง

6

ค าชี้แจง: จากล าดับที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ จงบอกว่าเป็นล าดับจ ากัดหรือล าดับอนันต์ โดยท าเครื่องหมาย ลงในช่อง พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ

เกณฑ์การให้คะแนน : บอกชนิดล าดับและบอกเหตุผลได้ถูกต้องให้คะแนนข้อละ 1 คะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน

ล าดับ ชนิดของล าดับ เหตุผล 1) 11,8,5,2 ล าดับจ ากัด


…………………………………………………………… ……………………………………………………………

2) ...,8,8,8,8 ล าดับจ ากัด ล าดับอนันต์

…………………………………………………………… ……………………………………………………………


…………………………………………………………… ……………………………………………………………

4) 10

9,

8

7,

6

5,

4

3,

2

1 ล าดับจ ากัด ล าดับอนันต์

…………………………………………………………… ……………………………………………………………


…………………………………………………………… ……………………………………………………………

แบบฝึกทักษะ 1

7

ล าดับ ชนิดของล าดับ เหตุผล

1) 11,8,5,2 ล าดับจ ากัด ล าดับอนันต์






4) 10

9,

8

7,

6

5,

4

3,

2

1 ล าดับจ ากัด ล าดับอนันต์



เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก n ตัวแรก

เฉลยแบบฝึกทักษะ 1

8

เรื่อง ลิมิตของล าดับ จากล าดับที่ก าหนดให้ จงวาดกราฟของล าดับและใช้กราฟของล าดับตอบค าถามต่อไปนี้ 1) ถ้า n มีค่ามากขึ้นโดยไม่สิ้นสุดค่าของ na มีค่าเพ่ิมขึ้น ลดลง หรือคงตัว 2) na มีค่าเพ่ิมข้ึนหรือลดลง ในลักษณะเข้าใกล้จ านวนจริงใด หรือ เพ่ิมข้ึน ลดลงไม่สิ้นสุด

ล าดับ nan

1

n 1 2 3 4 5

na 1 2

1 3

1 4

1 5

1

ได้กราฟของล าดับดังนี้

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

1

2

na

จากกราฟ สรุปได้ว่า

1) ถ้า n มีค่ามากข้ึนโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว na มีค่าค่อยๆลดลง. 2) na มีค่าค่อยๆลดลงและเข้าใกล้ 0 แต่จะไม่เท่ากับ 0


ตัวอย่าง 1

วิธีท า

ค าสั่ง

9

ล าดับ 2na

n 1 2 3 4 5 6 7 8

na 2 2 2 2 2 2 2 2

จะได้กราฟของล าดับดังนี้

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n

1

2

na


1) ถ้า n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว na มีค่าคงตัว 2) na มีค่าคงตัวเท่ากับ 2 เสมอส าหรับทุกค่าของ n


n 1 2 3 4 5

na -1 -2 -3 -4 -5


na

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n

-4

-5

-3

1

-2

-1


1) ถ้า n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว na มีค่าลดลงเรื่อยๆ 2) na มีค่าลดลงเรื่อยๆ ไม่เข้าใกล้จ านวนใดจ านวนหนึ่ง


วิธีท า


วิธีท า

10

ค าชี้แจง จากล าดับที่ก าหนดให้ จงวาดกราฟของล าดับและใช้กราฟของล าดับตอบค าถามต่อไปนี้

1) ถ้า n มีค่ามากขึ้นโดยไม่สิ้นสุดค่าของ na มีค่าเพ่ิมข้ึน ลดลง หรือคงตัว 2) na มีค่าเพ่ิมขึ้นหรือลดลง ในลักษณะเข้าใกล้จ านวนจริงใด หรือ เพิ่มขึ้น ลดลงไม่สิ้นสุด

ล าดับ 2

12

nan

n 1 2 3 4 5

na


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

1

2

na

จากกราฟ สรุปได้ว่า 1) ……………………………………………………………………………………. 2) …………………………………………………………………………………….


1)

วิธีท า

11

ล าดับ 2nan

n 1 2 3 4

na 1 4

9

16


1 2 3 4 5 6 n

na

2

4

6

8

10

12

14

16

-27


1) ……………………………………………………………………………………. 2) …………………………………………………………………………………….

2)

วิธีท า

12

ล าดับ 2

12

nan

n 1 2 3 4 5

na 1 4

7 9

17 16

31 25

49


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

1

2

na

จากกราฟ สรุปได้ว่า 1) ถ้า n มีค่ามากข้ึนโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว na มีค่าค่อยๆเพ่ิมขึ้น 2) na มีค่าค่อยๆเพ่ิมขึ้น เข้าใกล้ 2 แต่ไม่เท่ากับ 2


1)

วิธีท า

13

ล าดับ 2nan

n 1 2 3 4

na 1 4

9

16


1 2 3 4 5 6 n

na

2

4

6

8

10

12

14

16

-27


1) ถ้า n มีค่ามากข้ึนโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว na มีค่าเพ่ิมมากขึ้นเรื่อยๆ 2) na มีค่าเพ่ิมมากข้ึนเรื่อยๆ ไม่เข้าใกล้จ านวนใดจ านวนหนึ่ง

2)

วิธีท า

14

รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 ใบความรู้ 2 เร่ือง ลิมิตของล าดับ 1



ใช้กราฟของล าดับหาลิมิตของล าดับได้

ก าหนด na เป็นล าดับอนันต์ เมื่อ n มีค่าเพ่ิมข้ึน ไม่สิ้นสุด พจน์ที่ n มีค่าเข้าใกล้

หรือเท่ากับจ านวนจริง เพียงจ านวนเดียวเท่านั้นแล้ว เรียก ว่า ลิมิตของล าดับ (limit of a sequence) แล้วกล่าวว่าล าดับนั้นมีลิมิตเท่ากับ เรียกล าดับอนันต์ที่มีลิมิตว่า ล าดับลู่เข้า (convergent sequence) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Lan

n

lim (อ่านว่า ลิมิตของล าดับ

na เมื่อ n มีค่ามากขึ้นไม่สิ้นสุด มีค่าเท่ากับ ) เรียกล าดับอนันต์ที่ไม่ใช่ล าดับลู่เข้าว่าล าดับลู่ออก (divergent sequence) เขียนแทนด้วย n

na

lim หาค่าไม่ได้

ขั้นตอนในการหาลิมิตของล าดับจากกราฟสามารถท าได้ตามข้ึนตอนต่อไปนี้ 1) หาค่าของล าดับ 2) น าค่าท่ีได้มาลงจุดบนกราฟ 3) สังเกตลักษณะจุดบนกราฟ 4) สรุปว่าล าดับที่ก าหนดลู่เข้าหรือลู่ออก

เข้าใจแล้วมาศึกษา

ตัวอย่างเลยนะครับ

พ่ี


15

ให้นักเรียนแสดงวิธีท าเพ่ือหาลิมิตของล าดับ


1

n 1 2 3 4 5 6

na 1 2

1

3

1

4

1

5

1

6

1


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

-1

-2

1

na

จากกราฟ สรุปได้ว่า ถ้า n มีค่าเพ่ิมข้ึนโดยไม่มีที่สิ้นสุด แล้ว na มีค่าค่อยๆ เพิ่มข้ึนและเข้าใกล้ 0

ดังนั้น ล าดับ n

an

1 ลู่เข้าและมีลิมิตเท่ากับ 0



วิธีท า

ค าสั่ง

16

จงวาดกราฟของล าดับ n

na )1(

n 1 2 3 4 5 6 7 8

na -1 1 -1 1 -1 1 -1 1


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n

1

-1

-1

na

จากกราฟ สรุปได้ว่า เมื่อ n เป็นจ านวนคี่ พจน์ที่ n มีค่าเป็น -1 และเมื่อ n เป็นจ านวนคู ่ พจน์ที่ n มีค่าเป็น 1 ซึ่งไม่ได้เข้าใกล้จ านวนจริงเพียงจ านวนเดียว ดังนั้น ล าดับ n

na )1( มีเป็นล าดับลู่ออก


วิธีท า

เรียกล าดับลู่ออกที่มลีักษณะของกราฟขึ้นและลงสลับกันโดยไม่เขา้

ใกล้จ านวนใดจ านวนหนึ่งเช่นนี้วา่ ล าดับแกว่งกวัด (oscillating sequence)

17

ค าชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีท าเพ่ือหาลิมิตของล าดับจากการกราฟของล าดับ เกณฑ์การให้คะแนน หาลิมติของล าดับจากการวาดกราฟได้ถูกต้อง ได้ข้อละ 3 คะแนน

คะแนนเต็ม 9 คะแนน ใช้เวลา 10 นาที

ล าดับ n

an

13

n 1 2 3 4 5 6

na

น าคู่อันดับจากตารางมาเขียนกราฟ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

-1

na

-2

1

-3


……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………


1)

วิธีท า

18

ล าดับ

n

na 2

n 1 2 3 4

na


1 2 3 4 5 6 n

na

2

4

6

8

10

12

14

16

-27

จากกราฟ สรุปได้ว่า ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

2)

วิธีท า

19

ล าดับ n

na

2

1

n 1 2 3 4 5

na


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n

0.5

-0.5

na

1

-1

จากกราฟ สรุปได้ว่า ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

3)

วิธีท า

20

ล าดับ n

an

13

n 1 2 3 4 5

na 2 2

5

3

8

4

11

5

14


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

-1

-2

1

-3

na

จากกราฟ สรุปได้ว่า ถ้า n มีค่ามากข้ึนโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว na ลดลงและเข้าใกล้ -3

แต่จะไม่เท่ากับ -3


an

13 ลู่เข้าและลิมิตเท่ากับ 3

1)

วิธีท า


21

ล าดับ n

na 2

n 1 2 3 4

na 2 4

8

16


1 2 3 4 5 6 n

na

2

4

6

8

10

12

14

16

-27

จากกราฟ สรุปได้ว่า ถ้า n มีค่ามากข้ึนโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว n

na 2 มีค่ามากข้ึนและไม่เข้าใกล้ จ านวนใดจ านวนหนึ่ง


na 2 ลู่ออก

2)

วิธีท า

22

ล าดับ n

na

2

1

n 1 2 3 4 5

na 2

1

4

1 8

1

16

1 32

1


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n

0.5

-0.5

na

1

-1

จากกราฟ สรุปได้ว่า ถ้า n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว na มีค่าเข้าใกล้ 0 แต่จะไม่เท่ากับ 0


na

2

1 ลู่เข้าและมีลิมิตเท่ากับ 0

3)

วิธีท า

23

ชื่อ………………………………………………………..ชั้น…………เลขที…่…….กลุ่ม……………. ค าชี้แจง จงหาลิมิตของล าดับเมื่อก าหนดกราฟของล าดับดังต่อไปนี้ เกณฑ์การให้คะแนน หาลิมติของล าดับได้ถูกต้อง ได้ข้อละ 2 คะแนน

คะแนนเต็ม 4 คะแนน ใช้เวลา 5 นาที

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n

2

-1

1

-2

na


…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n

2

1

na

3

-1


…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………

1)

2)


24

1) จากกราฟ สรุปไดว้่า ถ้า n มีค่ามากข้ึนโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว na มีค่าขึ้นและลงสลับกันโดยไม่เข้าใกล้

จ านวนใดจ านวนหนึ่ง ดังนั้น ล าดับ na ลู่ออก

2) จากกราฟ สรุปไดว้่า ถ้า n มีค่ามากข้ึนโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้วถึงแม้ค่าของล าดับ na ใน 4 พจน์แรก มีค่าเพ่ิมข้ึน แต่เมื่อถึงพจน์ที่ 5 เป็นต้นไปค่าของล าดับ na ค่อยๆลดลงเรื่อยๆเข้าใกล้ 2 แต่ไม่เท่ากับ 2

ดังนั้น ล าดับ na ลู่เข้าสู่ 2


25

รายวิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 ใบความรู้ 3 เร่ือง ลิมิตของล าดับ 2



หาลิมิตของล าดับโดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตได้ การหาลิมิตของล าดับต่างๆ นอกจากจะหาโดยตรงจากการพิจารณากราฟของล าดับแล้ว

อาจหาได้โดยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต ดังต่อไปนี้ ทฤษฎีบท 1 ให้ r เป็นจ านวนจริงบวกใดๆ จะได้ว่า

1) 01

lim rn n

หรือ ล าดับ rn

na

1 ลู่เข้าสู่ 0

2) r

nn

lim หาค่าไม่ได้ หรือ r

n na ลู่ออก

จงหาลิมิตของล าดับต่อไปนี้

1) ล าดับ nan

1

เนื่องจาก ล าดับ 1

11

nnan เมื่อ 01r

ดังนั้น ล าดับn

an



วิธีท า


26

2) ล าดับ n

an

1


1

11

nn

an เมื่อ 02

1r


an


3) ล าดับ 4nan

เนื่องจาก ล าดับ 4nan เมื่อ 04 r ดังนั้น ล าดับ 4nan ลู่ออก

4) ล าดับ nan


1

nnan เมื่อ 02

1r

ดังนั้น ล าดับ nan ลู่ออก

วิธีท า

วิธีท า

วิธีท า

27

ทฤษฎีบท 2 ให้ r เป็นจ านวนจริงใดๆ จะได้ว่า 1) ถ้า 1|| r แล้ว 0lim

n

nr หรือ ล าดับ n

n ra ลู่เข้าสู่ 0

2) ถ้า 1|| r แล้ว n

nr

lim หาค่าไม่ได้ หรือ ล าดับ n

n ra ลู่ออก

จงหาลิมิตของล าดับต่อไปนี้

1) ล าดับ n

na

2

1

เนื่องจาก ล าดับ n

na

2

1 มี 12

1

2

1r


na

2


2) n

na

3

1


na

3

1 มี 13

1

3

1r


na

3


3) n

na 2


na 2 เมื่อ 122 r


na 2 ลู่ออก

4) n

na

3

8


na

3

8 เมื่อ 13

8

3

8r


na

3

8 ลู่ออก


วิธีท า

วิธีท า

วิธีท า

วิธีท า

28

ค าชี้แจง จงหาลิมิตของล าดับต่อไปนี้ เกณฑ์การให้คะแนน : บอกลิมิตของล าดับได้ถูกต้อง ได้คะแนนข้อละ 1 คะแนน คะแนนเต็ม 6 คะแนน

1) 2

1

nan

……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… 3)

3 nan ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….……

5) nna 26.0 ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….……

2) n

na

3

2

……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….……

4) nna 2 ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… 6)

3 nan ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….…… ……………………………………………………………….……


29

1) 2

1

nan

วิธีท า ล าดับ 2

1

nan มี 02 r

จากทฤษฎีบท 1 ข้อ 1

ดังนั้น ล าดับ 2

1

nan ลู่เข้าสู่ 0

3)

3 nan


3 1

nnan มี 03 r

จากทฤษฎีบท 1 ข้อ 1 ดังนั้น ล าดับ

3 nan ลู่เข้าสู่ 0

5) nna 26.0

วิธีท า ล าดับ nna 26.0 มี 126.026.0 r จากทฤษฎีบท 2 ข้อ 1

ดังนั้น ล าดับ nna 26.0 ลู่เข้าสู่ 0

2) n

na

3

2

วิธีท า ล าดับ n

na

3

2 มี 13

2

3

2r



na

3


4) nna 2

วิธีท า ล าดับ nna 2 มี

1414.12 r


ดังนั้น ล าดับ nna 2 ลู่ออก 6)

3 nan


3 nnan มี 03

1r

จากทฤษฎีบท 1 ข้อ 2 ดังนั้น ล าดับ

3 nan ลู่ออก


30

รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 ใบความรู้ 4 เร่ือง ลิมิตของล าดับ 3



หาลิมิตของล าดับโดยอาศัยทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิตได้

ทฤษฎีบท 3 ก าหนดให้ A B และ c เป็นจ านวนจริงใดๆ ถ้า na nb และ nt เป็นล าดับของจ านวนจริง โดยที่ Aan

n

lim และ Bbn

n

lim จะได้ว่า

1) ถ้า ctn แล้ว cctn

nn

limlim

2) cAacca nn

nn

limlim

3) BAbaba nn

nn

nnn

limlim)(lim

4) BAbaba nn

nn

nnn

limlim)(lim

5) ถ้า 0nb ทุกๆจ านวนเต็มบวก n และ 0B แล้ว B

A

b

a

b

a

nn

nn

n

n

n

lim

limlim

6) mm

nn

mn

nAaa

limlim เมื่อ m เป็นจ านวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2

จงหาลิมิตของล าดับ 1) 2na

เนื่องจาก -2 เป็นค่าคงตัว จะได้ว่า 2limlim

nn

na

2 ดังนั้น 22lim

n

วิธีท า



31

2) 2

3

nan

2

3limlim

na

nn

n

2

1lim3

nn )0(3 0

ดังนั้น

03

lim2

nn

3) n

an

12

na

nn

n

12limlim

nnn

1lim2lim

02 2


21

2lim

nn

4)

6

3

11

2

1n

nn

a

6

3

11

2

1limlim

n

nn

n na

6

3

1lim

1

2

1lim

n

nn n

6lim

3

1lim

1lim

2

1lim

n

n

nnn n

6002

1

3


363

11

2

1lim

n

n n

วิธีท า

วิธีท า

วิธีท า

32

5)

12

17

2

4

n

nan

12

17

limlim

2

4

n

na

nn

n

12

lim

17lim

2

4

n

n

n

n

1lim2

lim

1lim7lim

2

4

nn

nn

n

n

10

07

7


7

12

17

lim

2

4

n

n

n

6) 32

81

nan

32

81

limlim n

an

nn

32

81

lim

nn

32

8lim1

lim

nn n

3 80

3 8

2


281

lim 32

nn

วิธีท า

วิธีท า

33

ค าชี้แจง : จงหาลิมิตของล าดับต่อไปนี้ เกณฑ์การให้คะแนน : บอกลิมิตของล าดับได้ถูกต้อง ได้คะแนนข้อละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 8 คะแนน

1) 534

nan

……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….

3)

23 2

1

10

35

1

nnan

……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….

2)

43

16n

an

……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….

4)

34

2

15

5n

a

n

n

……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. ……………………………………………………………………. …………………………………………………………………….


34

1) 534

nan

วิธีท า

5

3limlim

4na

nn

n

5lim3

lim4

nn n

50 5

ดังนั้น 553

lim4

nn

3)

23 2

1

10

35

1

nnan

วิธีท า

23 2

1

10

35

1limlim

nna

nn

n

23 2

1

10

3lim5

1lim

nn nn

23 2

1lim

10

3lim5lim

1lim

nn nnnn

0

10

350

10

35

2

3


31

10

35

1lim

23 2

nnn

2)

43

16n

an

วิธีท า 43

16limlimn

an

nn

42

316lim

nn

43

lim16limnnn

4 016

4 16

2


16lim 4 nn

4)

34

2

15

5n

a

n

n

วิธีท า

34

2

15

limlim

5n

a

n

nn

n

3lim4

lim

2

1lim5lim

5 nn

n

nn

n

30

05

3

5


5

34

2

15

lim

5

n

n

n


35

เอกสารแนะแนวทาง

ให้นักเรียนแสดงวิธีท าเพ่ือหาลิมิตของล าดับต่อไปนี้

1) 55

13

n

nan

เนื่องจาก

nn

nn

an5

5

13

n

n

55

13

n

na

nn

n 55

13

limlim

n

n

nn

nn

5lim5lim

1lim3lim

05

03

5

3


3

55

13lim

n

n

n

2) 54

23

n

nan


54

23

2

1

2

1

n

nan

2

12

1

2

12

1

54

23

n

n

n

n

2

1

2

1

54

23

n

n

2

1

2

1

54

23

limlim

n

na

nn

n

2

1

2

1

5lim4lim

2lim3lim

n

n

nn

nn

04

03

4

3


3

54

23lim

n

n

n

วิธีท า วิธีท า


ค าสั่ง

36

3) nn

nan

33

323

2


2

3

3

3

33

32

nn

nnn

an

2

3

33

32

n

nn

nn

na

nn

n 33

32limlim

3

2

2

3

33

32

lim

n

nn

n

2

3

3lim3lim

3lim

2lim

n

nn

nn

nn

03

00

0


32lim

3

2

nn

n

n

4) n

nnan

52

4323 4


n

nnan

52

432 2

1

3

4

3

1

3

4

3

4

3

4

6

5

3

4

52

432

nn

n

nn

n

3

1

3

4

3

4

6

5

52

432

nn

nn

3

1

3

4

3

4

6

5

52

432

limlim

nn

nna

nn

n

3

1

3

4

3

4

6

5

5lim

2lim

4lim

3lim2lim

nn

nn

nn

nnn

00

002

0

2 หาค่าไม่ได้


nnan

52

4323 4

ลู่ออก


37

ค าชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีท าเพ่ือหาลิมิตของล าดับที่โจทย์ก าหนดให้ เกณฑ์การให้คะแนน หาลิมติของล าดับได้ถูกต้อง ได้ข้อละ 2 คะแนน คะแนนเต็ม 8 คะแนน

1) 28

322

2

n

nan

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

2) 54

253

3

n

nan

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………


38

3) n

nan

71

96

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

4) 32

234

932

1625

nn

nnnan

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

39

5) 457

)42)(1(2

nn

nnan

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

6 ) )12(

)23)(5(3

2

nn

nnan

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

40

1) 28

322

2

n

nan


2

2

2

2

28

32

nn

nn

an

2

2

28

32

n

n

2

2

28

32

limlim

n

na

nn

n

2

2

2lim8lim

3lim2

lim

n

n

nn

nn

08

30

8

3


3

28

32lim

2

2

n

n

n

2) 54

253

3

n

nan

เนื่องจาก 54

25

3

1

3

1

n

nan

3

1

3

1

3

1

3

1

54

25

n

n

n

n

3

1

3

1

54

25

n

n

3

1

3

1

54

25

limlim

n

na

nn

n

3

1

3

1

5lim4lim

2lim5lim

n

n

nn

nn

04

05

4

5


5

54

25lim

3

3

n

n

n



41

3) n

nan

71

96


71

96

2

1

nn

nn

n

71

96

2

1

n

nn

71

96

limlim2

1

n

nn

an

nn

7lim1

lim

9lim

6lim

2

1

2

1

nn

nn

n

nn

70

00

0


071

96lim

n

n

n

4) 32

234

932

1625

nn

nnnan

nnnn

nnnn

an932

1625

24

4

42

4

nnn

nnn

932

1625

24

42

nnn

nnna

nn

n 932

1625

limlim

24

42

nnn

nnn

nnn

nnnn

9lim

3lim

2lim

1lim

6lim

2lim5lim

24

42

00

0005

0



234

932

1625

nn

nnnan

ลู่ออก


42

5) 457

)42)(1(2

nn

nnan

457

2242

2

nn

nnan

2

2

2

2

457

224

nnn

nnn

2

2

457

224

nn

nn

2

2

4lim

5lim7lim

2lim

2lim4lim

lim

nn

nna

nnn

nnn

nn

007

004

7

4


4

457

)42)(1(lim

2

nn

nn

n

6) )12(

)23)(5(3

2

nn

nnan

34

23

2

101523

nn

nnnan

nn

nnnnn

12

101523

4

432

4

n

nnnn

12

101523432

n

nnnna

nn

nnnn

nn 1

lim2lim

10lim

15lim

2lim

3lim

lim432

02

0000

0


0)12(

)23)(5(lim

3

2

nn

nn

n


43

ให้นักเรียนแสดงวิธีท าเพ่ือหาลิมิตของล าดับที่โจทย์ก าหนดให้

1) 52

3

23

22

n

n

n

nan

52

3

23

22

n

n

n

nan

5223

23352 22

nn

nnnn

10196

69522

2323

nn

nnnn

10196

72

23

nn

nn

32

3

3

10196

17

nnnn

nn

32

10196

17

nnn

n

32

10lim

19lim

6lim

1lim7lim

lim

nnn

na

nnn

nn

nn

000

07

0



3

23

22

n

n

n

nan

ลู่ออก

2) 1

14 2

n

nan

1

14 2

n

nan

2

2

1

14

n

n

22

1

14

n

n

12

142

2

nn

n

2

2

2

2

121

14

nnn

nn

2

2

121

14

nn

n

2

2

1lim

2lim1lim

1lim4lim

lim

nn

na

nnn

nn

nn

001

04

4

2


21

14lim

2

n

n

n



ค าสั่ง

44


1) 1212

2 2

2

3

n

n

n

nan

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

2)

3 3 18

2

n

nan

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………


45

1) 1212

2 2

2

3

n

n

n

nan

1212

121222

223

nn

nnnn

1224

22423

2434

nnn

nnnn

1224

2223

234

nnn

nnn

4324

4

2

4

1224

122

nnnnn

nnn

4324

2

1224

122

nnnn

nn

4324

2

1lim

2lim

2lim

4lim

1lim

2lim2lim

lim

nnnn

nna

nnnn

nnn

nn

0000

002

0



2 2

2

3

n

n

n

nan ลู่ออก

2) 3 3 18

2

n

nan

3 3

3 3

18

2

n

n

3 3

3 23

18

8126

n

nnn

3

3

23

18

8126

n

nnn

3

3

3

32

3

18

81261

nn

nnnn

3

32

1lim8lim

8lim

12lim

6lim1lim

lim

n

nnna

nn

nnnn

nn

3

08

0001

3

8

1

2

1

ดังนั้น ล าดับ

3 3 18

2

n

nan

ลู่เข้าสู่

2

1


46

ให้นักเรียนแสดงวิธีท าเพ่ือหาลิมิตของล าดับที่โจทย์ก าหนดให้

1) nn

nn

na23

23 2

nn

nn

na23

2332

nn

nn

23

239

n

nn

n

nn

3

213

3

293

n

n

n

n

3

21

3

29

n

n

3

21

3

29

nn

nn

nn

na

23

23limlim

2

n

n

n

3

21

3

29

lim

n

nn

n

nn

3

2lim1lim

3

2lim9lim

01

09

9

ดังนั้น ล าดับ nn

nn

na23

23 2

ลู่เข้าสู่ 9

3) )1( nnan

)1(

)1()1(

nn

nnnnan

)1(

))1()(( 22

nn

nn

)1(

))1((

nn

nn

)1(

1

nn

)1(

1limlim

nna

nn

n

0 ดังนั้น ล าดับ )1( nnan ลู่เข้าสู่ 0


ค าสั่ง


47


1) 1

1

53

53

nn

nn

na

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

2) )12( nnan ………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………


48

1) 1

1

53

53

nn

nn

na

nn

nn

na553

533

55

35

15

335

n

n

n

n

55

3

15

33

n

n

55

3

15

33

limlimn

n

nn

na

5lim5

3lim

1lim5

33lim

n

n

n

n

n

n

50

1)0(3

5

1


1

53

53

nn

nn

na ลู่เข้าสู่

5

1

2) )12( nnan

))12(

))12()12(

nn

nnnnan

)112(

))1()2(( 22

nn

nn

)12(

))1()2((

nn

nn

)12(

1

nn

)12(

1limlim

nna

nn

n

0 ดังนั้น ล าดับ )12( nnan ลู่เข้าสู่ 0



49

แบบทดสอบก่อนเรียน/หลังเรียนประจ าชุดการสอนที่ 1 เรื่อง ลิมิตของล าดับ

ค าชี้แจง 1) ให้นักเรียนท าเครื่องหมายกากบาท (X) ลงในช่อง ก ข ค หรือ ง ที่เห็นว่าถูกต้องที่สุด เพียงข้อเดียวในกระดาษค าตอบ 2) เวลาในการท าแบบทดสอบ 15 นาที

1)ข้อใดกล่าวถูกต้อง

ก) ล าดับ ...,5

1,

4

1,

3

1,

2

1,1 เป็นล าดับจ ากัดเพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก 5 ตัวแรก

ข) ล าดับ 12,...,8,4,2,1 n เป็นล าดับอนันต์เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก

ค) ล าดับ ...,)2(

1,...,

15

1,

8

1,

3

1

nn เป็นล าดับอนันต์เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก

ง) ล าดับ 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 เป็นล าดับอนันต์เพราะมีโดเมนเป็นจ านวนเต็มบวก 2) จากกราฟของล าดับที่ก าหนดข้างล่าง ข้อใดกล่าวถูกต้อง

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

1

na

2

3

4

5

-1

-2

ก) ล าดับลู่เข้าสู่ 0 ข) ล าดับลู่เข้าสู่ -2 ค) ล าดับลู่เข้าสู่ 5 ง) ล าดับลู่ออก 3) ล าดับในข้อใดลู่ออก

ก) 2

1

nan ข) 1

10

n

nan

ค) n

na 2 ง) n

na

10

1

4) ลิมิตของล าดับ 2

2

3

432

n

nnan

เท่ากับข้อใด

ก) -2 ข) 2

1 ค)

2

1 ง) หาค่าไม่ได้

5) ลิมิตของล าดับ 2

2

3

22

n

n

n

nan เท่ากับข้อใด

ก) -2 ข) 1 ค) 1 ง) หาค่าไม่ได้

6) ก าหนดให้ 12

22

n

nan แล้ว n

na

lim เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

ก) 2

1 ข) 2

1 ค) 1 ง) หาค่าไม่ได้

50

7) ล าดับในข้อใดเป็นล ำดับลู่เข้ำ

ก) 1

2

n

nan

ข) n

na )1(1

ค) 1022 nnnan ง) 1

42

2

2

n

nan

8) ล าดับในข้อใดลู่เข้ำ

ก) n

nn

na3

25

ข)

25

36

n

n

na

ค) n

n

na 33

2

ง) 5

3

1

n

na

9) ถ้า 3

1

2

11

14

15lim

2

2

n

nkn

n โดยที่ k เป็นจ านวนจริงใดๆ แล้ว k เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

ก) 3

10 ข) 3

8

ค) 4 ง) 1

10) ก าหนดให้

nA

n

12lim ,

nn

nn

nB

34

34lim

1

แล้ว BA เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

ก) 4 ข) 6 ค) 10 ง) 12

เฉลยแบบทดสอบชุดที่ 1 เรือ่งลิมิตของล าดับ

ข้อ เฉลย ข้อ เฉลย 1 ค 6 ก

2 ก 7 ค 3 ค 8 ง

4 ก 9 ก

5 ข 10 ข

51

ข้อ ก ข ค ง

1 2

3 4

5

6 7

8

9 10

กระดาษค าตอบแบบทดสอบ ชุดการสอนที่ 1 เรื่อง ลิมิตของล าดับ

52

กนกวรี อุษณกรกุล และรณชัย มาเจริญทรัพย์. (2548). แบบฝึกหัดและประเมินผลการเรียนรู้

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม 2. กรุงเทพฯ : ส านักพิมพ์เดอร์บุคส์ เจริญรัฐ การพิมพ์. กวิยา เนาวประทีป. (2555). เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร์ ล าดับและอนุกรม. กรุงเทพฯ :

ส านักพิมพ์ฟิสิกส์เซ็นเตอร์. จ ารัส อินสม. (2547). คู่มือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 6 ภาคเรียนที่ 2. กรุงเทพฯ : ส านักพิมพ์ แม็ค. ธนวัฒน ์(สันติ) สนทราพรพล. คู่มือรายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐานและเพิ่มเติมเล่ม 6. นนทบุรี : ส านักพิมพ์ธรรมบัณฑิต. ฝ่ายวิชาการ ส านักพิมพ์ดอกหญ้าวิชาการ. (2549). แบบฝึกเสริมทักษะ กลุ่มสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม

วิชาคณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 (ช่วงชั้นที่ 4) เล่ม 2. กรุงเทพฯ : ส านักพิมพ์ดอกหญ้าวิชาการ.

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2554). คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ เพิ่มเติม เล่ม 6 ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4 - 6. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.

. (2557). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 6 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 - 6. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.

บรรณานุกรม

คู่มือครู ชุดการสอน ชุดที่ 1...

Documents