ปีการศึกษา บทที่ 1 - krusawed ·...

1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร วชาคณตศาสตรเพมเตม รหสวชา ค 33201 ปการศกษา 2559

“มนษยทกคนตองท างาน ความอตสาหะ วรยะ เปนหนทางสความส าเรจ” ครเสวตร

บทท 1 ล าดบอนนตและอนกรมอนกรมอนนต

1. 1 ความหมายของล าดบ บทนยาม ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซต 1 2 3, , ,...,n หรอ มโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก เรยกล าดบทมโดเมนเปน 1 2 3, , ,...,n วา ล าดบจ ากด เขยนแทนดวย 1 2 3 na ,a ,a ,...,a เรยกล าดบทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวกวา ล าดบอนนต เขยนแทนดวย 1 2 3 na ,a ,a ,...,a ,... เรยก 1a วา พจนท 1 ของล าดบ เรยก 2a วา พจนท 2 ของล าดบ

.

.

.

.

.

.

เรยก na วา พจนท n ของล าดบ หรอ พจนทวไป เชน ล าดบ 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , . . . ม

1. 2 รปแบบการก าหนดล าดบ เราสามารถเขยนแสดงล าดบไดหลายรปแบบ ดงตอไปน

ก าหนดล าดบโดยการเขยนแจงพจนทงหมดของล าดบ ถาล าดบทพจารณาเปนล าดบจ ากดและมจ านวนพจนไมมาก วธการก าหนดหรอเขยนแสดงล าดบจะใช วธการเขยนพจนทงหมดของล าดบ เชน

(1) 0 , 4 , 8 , 12 , 16 , 20 (2) 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64

(3) 2 3 4 5 6, , , ,

3 4 5 6 7 (4) 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21

ก าหนดล าดบโดยเขยนพจนเรมตนจ านวนหนงพรอมสตรพจนทวไปของล าดบ วธการนจะใชกบล าดบจ ากดทมพจนจ านวนมาก และล าดบอนนต เชน

(1) 0 , 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , . . . 4 4 , . . . , 1996n (2) 4 , 7 , 10 , 13 , . . . 3 1 , . . . , 301n (3) 11 , 5 , 25 , 125 , . . . 5 , . . .n

(4)

1 1 1 1 1. . .

3 15 35 63 2 1 2 1n n

ชอ-สกล …………………………………. หอง ม.6 /…… เลขท …….. ……..



ตวอยางท 1 ก าหนดล าดบหนงม 2 1 n

na n ( ) จงเขยน 4 พจนแรกของล าดบน

ตวอยางท 2 ก าหนดล าดบหนงม 11

2 1

n

n

( ) na

n

จงเขยน 5 พจนแรกของล าดบน

ก าหนดพจนเรมตนจ านวนหนงพรอมกบสตรการหาพจนถดไปจากพจนกอนหนา การก าหนดล าดบแบบนเรยกอกอยางหนงวา การก าหนดโดยใชความสมพนธเวยนเกด (recurrence relation)

ตวอยางท 3 ก าหนดล าดบ na ซงม 1 3a และ 12 1n na a เมอ 2n จงเขยนสพจนแรกของล าดบน

ตวอยางท 4 ก าหนดล าดบ na ซงม 1 22 1a , a และ 1 23n n na a a เมอ 3n จงเขยนหกพจนแรกของล าดบน



การก าหนดล าดบโดยการบอกเงอนไขหรอสมบตของพจนของล าดบ ถาไมทราบสตรพจนทวไปของล าดบ และไมทราบความสมพนธเวยนเกดของล าดบ การก าหนดล าดบจ าเปนตองใชวธการบอกเงอนไขหรอสมบตของพจนของล าดบ เชน (1) 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29, , , , , , , , , , . . . คอล าดบ na เมอ na เปนจ านวนเฉพาะตวท n (2) 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5, , , , , , , , , , . . . คอล าดบ kb เมอ kb เปนทศนยมต าแหนงท k ของ ซงเทากบ 3 1415926535. ...

1. 3 ล าดบเลขคณต ( arithmetic Sequence ) บทนยาม ล าดบเลขคณต คอ ล าดบซงมผลตางทไดจากการน าพจนท 1n ลบดวยพจนท n เปนคาคงตวท เทากน ส าหรบทกจ านวนเตมบวก n และ เรยกคาคงตวนวา ผลตางรวม common difference

เขยนแทนดวย d นนคอ 2 1 3 2 4 3 1n nd a a a a a a . . . a a และม 1 1na a n d เมอ 1a คอ พจนท 1 และ d คอ ผลตางรวม

ตวอยางท 1 จงเขยน 5 พจนแรกของล าดบในขอตอไปน (แสดงวธท าในสมด) 1. 1 2 3a , d 2. 5 3 216 4a , a a 3. 5 137 17a , a 4. 3 168 47a , a

ตวอยางท 2 เลขคณตล าดบหนงมพจนท 5 เทากบ 29 และพจนท 51 เทากบ 397 จงหาพจนท 30 ของล าดบน



ตวอยางท 3 ก าหนดล าดบเลขคณต 1 5 9 13 17, , , , , . . . จงอธบายวา 2056 อยในล าดบนหรอไม ตวอยางท 4 ก าหนดล าดบเลขคณต 24 , 19 , 14 , 9 , … , - 46 จงหาวาล าดบนมกพจน

ตวอยางท 5 ก าหนดล าดบเลขคณต 5 , 8 , 11 , 14 , . . . , 77 จงหาวาล าดบนมกพจน

ตวอยางท 6 จ านวนเตมตงแต 16 ถง 775 ทหารดวย 3 ลงตว มกจ านวน



แสดงวธท าในสมด ตวอยางท 7 จ านวนเตมทอยระหวาง 25 กบ 227 ทหารดวย 2 และ 3 ลงตว มกจ านวน

ตวอยางท 8 จ านวนเตมทอยระหวาง 12 กบ 520 ทหารดวย 4 หรอ 6 ลงตว มกจ านวน

ตวอยางท 9 จ านวนเตมทอยระหวาง 32 กบ 500 ทหารดวย 7 แลวเหลอเศษ 3 มกจ านวน

ตวอยางท 10 ถาผลบวก 3 พจนทเรยงกนเปนล าดบเลขคณตเปน 27 และผลบวกของก าลงสองของแตละพจน เปน 293 จงหาล าดบเลขคณตชดน

ตวอยางท 11 ปาจขายขนมครกในวนท 3 มกราคม ในวนแรกขายไดก าไร 100 บาท และในวนตอๆไปจะขายได ก าไรเพมขนจากวนกอนหนาวนละ 10 บาททกวน ขอใดตอไปนเปนวนทของเดอนมกราคมทปาจขายได ก าไรเฉพาะในวนนน 340 บาท ( ขอสอบ O-NET )

ก. วนท 25 ข. วนท 26 ค. วนท 27 ง. วนท 28

ตวอยางท 12 พจนท 31 ของล าดบเลขคณต 1 1 1

20 30 60, , , . . . เทากบขอใดตอไปน(ขอสอบ O-NET)

ก. 12

5

ข. 30

13

ค. 20

9

ง. 15

7



1. 4 อนกรมเลขคณต (Arithmetic Series) บทนยาม ถา 1 2 3 na ,a ,a ,...,a เปนล าดบเลขคณต จะเรยก 1 2 3 na a a ... a วา อนกรมเลขคณต

ให nS แทนผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมเลขคณตทม 1a เปนพจนแรก และ d เปนผลตางรวม จะได 1 1 1 1 12 2 1nS a a d a d ... a ( n )d a ( n )d ท าใหไดวา 1n n na S S และ

ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต 12

n n

nS a a

หรอ 12 12

n

nS a n d

เมอ 1 1na a n d

ตวอยางท 1 จงหาผลบวกของพจนทกพจนของอนกรมเลขคณต 7 10 13 ... 157 ตวอยางท 2 จงหาผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมเลขคณต 5 13 21 . . .

ตวอยางท 3 จงหาจ านวนเตมบวก n ทท าให nS ของอนกรมเลขคณต 24 22 20 . . .

มคาเทากบ 150



ตวอยางท 4 ถาผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมหนง คอ 23 2nS n แลว พจนท 10 ของอนกรมน มคาเทากบขอใดตอไปน(ขอสอบ O-NET)

ก. 57 ข. 82 ค. 117 ง. 302

ตวอยางท 5 ถา 1 2 3a , a , a , . . . เปนล าดบเลขคณต ซง 2 3 4 9 100a a a . . . a แลว 10 1 2 3 10S a a a . . . a มคาเทากบขอใดตอไปน(ขอสอบ O-NET)

ก. 120 ข. 125 ค. 130 ง. 135 ตวอยางท 6 ก าหนดอนกรมเลขคณต ซงมผลบวก 40 พจนแรกเทากบ 430 และมผลบวกของ 60

พจนแรกเทากบ 945 จงหาผลบวกของ 80 พจนแรกของอนกรม



ตวอยางท 7 ก าหนดให 101102 103 104 999S , , , , . . . , ถา a เทากบผลบวกของจ านวนคทงหมดใน S และ b เทากบผลบวกของจ านวนคทงหมดใน S แลว b a มคาเทากบขอใดตอไปน(ขอสอบ O-NET) ก. – 550 ข. – 500 ค. – 450 ง. 450

1.5 ล าดบเรขาคณต ( Geometric Sequence ) บทนยาม ล าดบเรขาคณต คอ ล าดบทมอตราสวนระหวางพจนท 1n กบ พจนท n เปนคาคงตวทเทากน ส าหรบจ านวนเตมบวก n และ เรยกคาคงตวนวา อตราสวนรวม common ratio เขยนแทนดวยสญลกษณ r

นนคอ 3 12 4

1 2 3

n

n

a aa ar . . .

a a a a

และม 1

1

n

na a r เมอ 1a เปนพจนท 1 ทไมเทากบศนย และ r เปนอตราสวนรวมทไมเทากบศนย แสดงวธท าในสมด ตวอยางท 1 จงหาหาพจนแรก ของล าดบเรขาคณตทก าหนดคาตางๆ ใหในขอตอไปน

1. 1 3 2a , r 2. 3 5 49 2 3a , a a

3. 2 554 1458a , a 4. 3 5

36

2a , a



ตวอยางท 2 ถาพจนท 2 และ พจนท 5 ของล าดบเรขาคณต มคาเทากบ 3 และ 8

81 ตามล าดบ แลว

พจนท 8 ของล าดบนเทากบเทาใด

ตวอยางท 3 ถาพจนท 3 และพจนท 6 ของล าดบเรขาคณต มคาเทากบ 20 และ – 160 ตามล าดบ แลว 1,280 เปนพจนทเทาใดของล าดบน

ตวอยางท 4 ก าหนดใหเรมฝากเงนดวยเงนตน 15,000 บาท และอตราดอกเบย 6% ตอป จงหาสตรการคดจ านวน เงนในบญชหลงจากคดอกเบยแลว เมอสนปท n

ตวอยางท 5 การศกษาการก าจดสารพษชนดหนงจากโรงงานอตสาหกรรม โดยการฝงไวใตดนและปลอยให สลายตวเองตามธรรมชาต พบวาในแตละปสารพษดงกลาวจะสลายตวโดยมน าหนกลดลงหนงในสของ น าหนกเดม และเปนทยอมรบกนวา ปรมาณสารพษดงกลาวทต ากวา 0.5 กรมในธรรมชาตจงจะถอวา ปลอดภย อยากทราบวาจะตองฝงสารพษชนดนทมน าหนก 1.6 กโลกรมไว นานเทาใด จงจะถอวาดน บรเวณทฝงสารพษมความปอดภย



ตวอยางท 6 คน 3 คน อาย 10 , 18 และ 30 ป จงหาวาอกกปขางหนาอายของคนทงสามจะเรยงกนเปน ล าดบเรขาคณต ตวอยางท 7 ให wzyx ,,, เปนพจน 4 พจนเรยงกนในล าดบเรขาคณต โดยท x เปนพจนแรก ถา 6 zy

และ 12wz แลว ผลบวกของพจนท 5 และพจนท 6 ของล าดบนเทากบเทาใด

1.6 ผลบวกของอนกรมเรขาคณต (Geometric Series) บทนยาม ถา 1 2 3 na ,a ,a ,...,a เปนล าดบเรขาคณต จะเรยก 1 2 3 na a a ... a วา

อนกรมเรขาคณต ให nS แทนผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมเรขาคณตทม 1a เปนพจนแรก และ r เปนอตราสวนรวม จะได 2 1

1 1 1 1

n

nS a a r a r ... a r ท าใหไดวา ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต คอ

1 1

1

n

n

a rS

r

เมอ 1r และ 1

1

n

na a r



แสดงวธท าในสมด

ตวอยางท 1 จงหาผลบวก 10 พจนแรกของอนกรม ...8

1

4

1

2

11

ตวอยางท 2 จงหาผลบวกของอนกรม 024,1...1684

ตวอยางท 3 อนกรมเรขาคณตชดหนงมพจนแรกเทากบ 160 อตราสวนรวมเทากบ 3

2

จงหาคา n ทท าให 2 110nS ,

ตวอยางท 4 ผลบวกของอนกรมเรขาคณต 256...8421 เทากบขอใดตอไปน(ขอสอบ O-NET) ก. 171

ข. 85 ค. 85 ง.171 ตวอยางท 5 ถา a เปนจ านวนจรงลบ และ 20 2 3 0a a แลว 2 191 a a . . . a

มคาเทากบขอใดตอไปน(ขอสอบ O-NET) ก. -2 ข. -3 ค. -4 ง. -5



ตวอยางท 6 ให na เปนพจนท n ของล าดบเรขาคณต โดยท r เปนอตราสวนรวม

ถา 1 2

1 2 2 3 1

2

n

n

n

aa a. . . n

a a a a a a

แลว r คอขอใดตอไปน

ก.

ข.

ค. ง.

ตวอยางท 7 ก าหนดให cba ,, เปน 3 พจนเรยงตดกนในล าดบเรขาคณตและมผลคณเปน 27

ถา 2,3, cba เปน 3 พจนเรยงตดกนในล าดบเลขคณตแลว cba มคาเทากบเทากบเทาใด



1.7 ลมตของล าดบ ( Limit of a Sequence ) ในหวขอนจะกลาวถงสมบตประการหนงของล าดบ โดยจะพจารณาพจนท n ของล าดบเมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด เชน

(1) พจารณากราฟของ 1na

n ดงรป 1.1 ก

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 1

nan

. . .

จากกราฟในรป 1.1 ก จะเหนวา ถา n มคามากขนโดยไมมทสนสด แลว na มคาลดลงและเขาใกล …… แตไมเทากบ …….

(2) พจารณากราฟของล าดบ 3na ดงรป 1.1 ข

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 3na . . .

1

1

21

41

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

na

0n

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

na

0n



จากกราฟในรป 1.1 ข จะเหนวา ถา n มคามากขนโดยไมมทสนสด แลว na มคาเปน ……. เสมอ

เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด และ พจนท n มคาเขาใกลหรอเทากบจ านวนจรง L เพยงจ านวนเดยวเทานน แลว จะเรยก L วา ลมตของล าดบ na (limit of a sequence ) และกลาววา ล าดบนน มลมตเทากบ L ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ n

n

lima L

เชน ในตวอยางขางตน จะเหนวาล าดบ 1na

n มลมตเทากบ 0 และล าดบ 3na มลมตเทากบ 3

เรยกล าดบอนนตทมลมตวา ล าดบลเขา หรอ ล าดบคอนเวอรเจนต ( convergent sequence ) ซงจะเขยนแทนดวยสญลกษณ 0n

n

lima

และ 3nn

lima

ตามล าดบ

(3) พจารณากราฟของล าดบ 12

n

nan

ดงรป 1.1 ค

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 1

2

n

nan

. . .

จากกราฟในรป 1.1 ค จะเหนวา แนวของจดในกราฟจะเขาใกลเสนทบทปรากฏ ซงหมายความวา เมอ

n มคามากขนโดยไมมทสนสด พจนท n มคาเขาใกล …… แตจะไมเทากบ …….

ดงนนล าดบ 12

n

nan

เปนล าดบ ……….. และ มลมตเทากบ ……..

เขยนแทนดวยสญลกษณ nn

lima

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

na

0n



(4) พจารณากราฟของล าดบ 2 1na n ดงรป 1.1 ง จากกราฟรป 1.1 ง จะเหนวา เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด พจนท n ของล าดบจะมคามากขนและไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง จงกลาววาล าดบ 2 1na n ไมมลมต ล าดบนจงไมใชล าดบลเขา เรยกล าดบอนนตทไมใชล าดบลเขาวา ล าดบลออก หรอ ล าดบไดเวอรเจนต ( divergent sequence ) และเขยนแทนดวยสญลกษณ n

n

lima

หาคาไมได

(5) พจารณากราฟของล าดบ 1n

na ดงรป 1.1 จ

จากกราฟในรป 1.1 จ เมอ n เปนจ านวนค พจนท n เปน 1 และเมอ n เปนจ านวนค พจนท n เปน 1 ดงนน เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด พจนท n ของล าดบน จงไมเขาใกล จ านวนใดจ านวนหนง ล าดบ 1

n

na จงไมมลมต ดงนนล าดบนจงเปนล าดบลออก และจากลกษณะ กราฟทลงและขนสลบกนโดยไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนงเชนน จะเรยกล าดบนวา ล าดบ…………….

na

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100n

20

5

15

10

na

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100n

1

1



เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด และ na มคาเขาใกลหรอ เทากบจ านวนจรง L เพยงจ านวนเดยวเทานน จะเรยก L วา ลมตของล าดบ na

และกลาววา na มลมตเทากบ L ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ nn

lima L

เรยกล าดบอนนตทมลมตวา ล าดบคอนเวอรเจนต ( Convergent Sequence ) หรอ ล าดบลเขา เรยกล าดบอนนตทไมมลมตวา ล าดบไดเวอรเจนต ( Divergent Sequence ) หรอ ล าดบลออก ตอไปนจะพจารณาวา ถา n มคามากขนอยางไมมทสนสดแลว พจนท n ของล าดบจะมคาเขาใกลหรอเทากบจ านวนจรงใด โดยอาศยการแทนคา n เปนจ านวนเตมบวกทมากขน แลว พจารณวา พจนท n ของล าดบเขาใกลหรอเทากบจ านวนจรงใด เชน

พจารณาล าดบ 1

2n n

a ดงน

เมอ 1n แลว 1

10 5

2a .


10 25

4a .


10 125

8a .


10 0625

16a .

.

.

.

.

.

.


10 000977

1024a .

จะเหนวา เมอ n มคามากขนอยางไมมทสนสด แลว พจนท n จะเขาใกล 0 ดงนน 0n

n

lima

พจารณาล าดบ 2

na n ดงน เมอ 1n แลว 1 1a เมอ 2n แลว 2 4a เมอ 3n แลว 3 8a เมอ 4n แลว 4 16a

.

.

.

.

.

.

เมอ 100n แลว 4 10000a จะเหนวา เมอ n มคามากขนอยางไมมทสนสด แลพจนท n จะไมเขาใกลจ านวนจรงใดเลย ดงนน n

n

lima




แสดงวธท าในสมด ตวอยางท 1 จงพจารณาวาล าดบในแตละขอตอไปนเปนล าดบลเขาหรอลออก ถาเปนล าดบลเขา ใหบอกดวยวาลมตของล าดบนมคาเทาใด

1. 2

1na

n

2.

1n

na

n

3. 2

3n

na

n

4.

2

2 1n

na

n

ตอไปนจะกลาวถงทฤษฎบททส าคญทชวยในการหาลมตของล าดบใหงายขน ทฤษฎบทท 1 ให r เปนจ านวนจรงบวกใดๆ จะไดวา

1. 10

rnlim

n เชน

2

10

nlim

n

2. r

nlim n

หาคาไมได เชน 3

nlim n


ทฤษฎบทท 2 ให r เปนจ านวนจรง

1. ถา 1| r | แลว 0n

nlim r

เชน 20

3

n

nlim

2. ถา 1| r | แลว n

nlim r

หาคาไมได เชน 5

2

n

nlim


ทฤษฎบทเกยวกบลมต ให n na , b เปนล าดบของจ านวนจรง A , B เปนจ านวนจรง และ c เปนคาคงตวใดๆ โดยท n

nlim a A

และ nnlimb B

จะไดวา

1. ถา na c แลว nn nlim a lim c c

2. n nn nlim ca c lim a cA

3. n n n nn n nlim a b lim a limb A B

4. n n n nn n nlim a b lim a limb A B

5. n n n nn n nlim a b lim a limb AB

6. ถา 0nb ทกจ านวนเตมบวก n และ 0B แลว

nn n

nn n

n

lim aa Alim

b lim b B



แสดงวธท าในสมด ตวอยางท 2 จงหาคาของขอตอไปน

1. 7nlim

2. 2 1n

nlim

n

3. 2

2

5 2

3n

nlim

n

4. 2

2

2 3 4

2 5 3n

n nlim

n n

5. 2 3

5n

nlim

n

6. 2 3

21 3n

n nlim

n n

7. 1 2

1

5 3

5

n n

nnlim

8. n 1 n 1

n n 2n

7 5lim

3 7

9. 2 12 3

5

n n

nnlim

10. 2 1

2

7 2

5

n n

nnlim

ทฤษฎบท ให na เปนล าดบของจ านวนจรงทมากกวาหรอเทากบ 0 และ m เปนจ านวนเตมท

มากกวาหรอเทากบ 2 ถา n

nlim a L

แลว mm mn n

n nlim a lim a L

แสดงวธท าในสมด ตวอยางท 3 จงหาลมตของล าดบในขอตอไปน

1. 9 4

5n

nlim

n

2.

2

32

2 8

5n

n nlim

n

3. 3 2

52 3

2 3 4

7 64n

n n nlim

n n

4.

2

3 3

16 1

2 8 2n

nlim

n n

ตวอยางท 4 คาของ 2lim 6n

n n n

เทากบเทาใด



ตวอยางท 5 คาของ 5 3 5 1lim

20 15 20 13n

n n

n n

ตรงกบขอใดตอไปน

ก. 0 ข. 2 ค. 4 5 ง. หาคาไมได

สมบตของ ทควรทราบ

1. 1

n

i

k nk

เมอ k เปนคาคงตว

2. 1 1

n n

i i

i i

ka k a

เมอ k เปนคาคงตว

3. 1 1 1

n n n

i i i i

i i i

a b a b

4. 1 1 1

n n n

i i i i

i i i

a b a b

ผลบวกทตองจ า

1. 1

11 2 3

2

n

i

n( n )i . . . n

เชน 1 2 3 100. . .

2. 2 2 2 2 2

1

1 2 11 2 3

6

n

i

n( n )( n )i . . . n

เชน 2 2 2 21 2 3 10. . .

3. 2

3 3 3 3 3

1

11 2 3

2

n

i

n( n )i . . . n

เชน 3 3 3 31 2 3 15. . .




ตวอยางท 1 จงแสดงวา 10

1

5 50i

ตวอยางท 2 จงหาคาของ 20

1

2 3i

i

ตวอยางท 3 จงหาคาของ

252

1

2 5i

i i


2

1

2 3i

i

ตวอยางท 5 จงเขยน 2 3 4 5 6 73 6 9 12 15 18 21x x x x x x x โดยใชสญลกษณ

ตวอยางท 6 จงหาผลบวกของอนกรม 3 2 5 4 7 6 2 1 2. . . n n





1

2 3n

i

i i

ตวอยางท 8 ถา 1 2 3 4 325. . . n แลว จงหาคาของ n


1

k

k

a

เมอ 1

1ka

k k

ตวอยางท 10 ส าหรบแตละจ านวนเตม 4n ก าหนดให 4

3 3 3 3

1

1 2 3n

na

. . . n

ล าดบ n

a เปนจรงตามขอใดตอไปน ก. ลมตเปน 1 ข. ลมตเปน 2 ค. ลมตเปน 4 ง. เปนล าดบไดเวอรเจนต

ตวอยางท 11 ถา n เปนจ านวนเตมบวกทท าให 1

120n

k

k

แลว คาของ 2 4 2

1

4 12 9 4n

k

k k k

เทากบขอใดตอไปน ก. -8678 ข. -8650 ค. -1270 ง. -1242



1. 8 อนกรมอนนต ถา 1 2 3 ka , a ,a , ...,a เปนล าดบจ ากดทม k พจน จะเรยกการเขยนแสดงผลบวกของพจนทกพจนของ ล าดบในรป 1 2 3 ka a a . . . a วา อนกรมจ ากด ( finite series ) ท านองเดยวกน ถา 1 2 3 na , a , a , . . . , a , . . . เปนล าดบอนนต จะเรยกการเขยนแสดงผลบวกในรป 1 2 3 na a a . . . a . . . วา อนกรมอนนต ( infinite series )

เรยก 1a วา พจนท 1 ของอนกรม เรยก 2a วา พจนท 2 ของอนกรมและ เรยก na วา พจนทวไปหรอพจน ท n ของอนกรม ตวอยางของอนกรม

1 1 1 1 11

2 4 8 16 32 เปนอนกรมจ ากดทไดจากล าดบจ ากด 1 1 1 1 1

12 4 8 16 32

, , , , ,

1 3 5 2 1. . . n . . . เปนอนกรมอนนตทไดจากล าดบอนนต 1 3 5 2 1, , , . . . , n , . . . 1 1 1 1

2 6 12 1. . . . . .

n( n )

เปนอนกรมอนนตทไดจากล าดบอนนต 1 1 1 1

2 6 12 1, , , . . ., , . . .

n( n )

1.8.1 ผลบวกของอนกรมอนนต

บทนยาม ก าหนดอนกรม 1 2 3 na a a . . . a . . . ให 1 1S a

2 1 2S a a

3 1 2 3S a a a .

.

.

1 2 3n nS a a a . . . a เรยก nS วา ผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม ( the partial sum of the first n terms ) เมอ n เปนจ านวนเตมบวก เรยกล าดบอนนต 1 2 3 nS , S , S , . . . , S , . . . วา ล าดบของผลบวกยอยของอนกรม ( a sequence of partial sums )



พจารณาอนกรม 1

1 1 1 1 11 . . . . . .

2 4 8 16 2n จะไดวา

1 1S

2

1 31

2 2S

3

1 1 71

2 4 4S

4

1 1 1 151

2 4 8 8S

เราจะพบวา ล าดบนเปนล าดบเรขาคณตซงม 12 2

2

n

n nS

และ ล าดบของผลบวกยอยของอนกรมอนนตนคอ 13 7 15 2 2

12 4 8 2

n

n, , , , . . . , , . . .

เมอเราหาลมตของล าดบน 12 2

2

n

n nn nlim S lim

1

12

2nnlim

2 จะเรยก 2 วา เปนผลบวกของอนกรมอนนต

1

1 1 1 11

2 4 8 2n. . . . . .

บทนยาม ก าหนดอนกรมอนนต 1 2 3 na a a . . . a . . . ให 1 2 3 nS , S , S , . . . , S , . . . เปนล าดบของผลบวกยอยของอนกรมน ถาล าดบ nS เปนล าดบลเขา โดยท n

nlim S S

เมอ S เปนจ านวนจรง

แลวจะกลาววาอนกรม 1 2 3 na a a . . . a . . . เปน อนกรมลเขา ( convergent series ) เรยก S วาผลบวกของอนกรม ถาล าดบ nS เปนล าดบลออก โดยท n

nlim S

หาคาไมได จะกลาวาอนกรม

1 2 3 na a a . . . a . . . เปน อนกรมลออก ( divergent series )



ทบทวนสตรผลบวกของอนกรมเลขคณต ทบทวนสตรผลบวกของอนกรมเรขาคณต

ตวอยางท 1 อนกรม n 1

1 1 11 . . . . . .

2 4 2 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก

ตวอยางท 2 อนกรม 3 7 11 4 1. . . n . . . เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก

ตวอยางท 3 อนกรม 4 83 2

3 9. . . เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก



ตวอยางท 4 อนกรม 8112 18 27

2. . . เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก

ตวอยางท 5 อนกรม 1

5 5 5 55

2 4 8 2n. . . . . .

เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก

ตวอยางท 6 อนกรม 16 13 10 19 3. . . n . . . เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก



ขอสรปเกยวกบผลบวกอนนตของอนกรมเลขคณตและอนกรมเรขาคณต

1. ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต คอ 12 12

n

nS a n d

จะไดวา 0

nnlimS

2. ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต คอ 1 1

11

n

n

a rS , r

r

จะไดวา 1

1nn

a

limS r

ตวอยางท 7 จงหาผลบวกของอนกรมอนนตในขอตอไปน

1) 3 3 3 3

5 25 125 5n. . . . . .

2) 1

5 5 5 55

2 4 8 2n. . . . . .

เมอ 1

0a และ 0d เปนอนกรมลเขา

หาคาไมได เมอ 1

0a หรอ 0d เปนอนกรมลออก

เมอ 1r เปนอนกรมลเขา

หาคาไมได เมอ 1r เปนอนกรมลออก



ตวอยางท 8 ถา 2

2 21 1 1 9x x . . . แลว x มคาเทาใด ตวอยางท 9 ถา 2 313 9 3k k k . . . แลว k มคาเทาใด

ตวอยางท 10 จงหาผลบวกของอนกรม 2 2 3 3

2 3

2 3 2 3 2 3

4 4 4. . .



ตวอยางท 11 ปลอยลกบอลจากความสง 15 เมตร ลกบอลกระดอนขนมา 60% ของความสงเดมในแตละครง จงหาระยะเคลอนททงหมดในแนวตงของลกบอล

ตวอยางท 12 ถา 2

2 3

1 1

3 3 3

a a. . .

a เปนอนกรมเรขาคณต ซงมผลบวกเทากบ

3

4 แลว a มคาเทากบ

ขอใดตอไปน(ขอสอบ A-NET)

ก. 2

1

ข. 3

2

ค. 2

3

ง. 2

5


5 3

2 1nn n( n )

มผลบวกเทากบขอใดตอไปน

ก. 0 ข. 2 ค. 4 ง. 5



ตวอยางท 14 ถา c เปนจ านวนจรง ซง

3 2 1

3 21

3 2

32 1

n

nnn

cn n cn ( )lim

n

แลว c มคาเทาใด

1. 85

2. 95

3. 16

5

4. 24

5

1.9 อนกรมอนๆ ตวอยางท 1 จงหาผลบวก 10 พจนแรก และผลบวกอนนตของอนกรมในขอตอไปน

1) 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 1. . . . . .

n( n )

2)

2 2 2 2

5 9 9 13 13 17 4 1 4 5. . . . . .

n n



ตวอยางท 2 จงหาผลบวก 10 พจนแรก และผลบวกอนนตของอนกรมในขอตอไปน

1)

1 1 1 1

1 2 3 2 3 4 3 4 5 1 2. . . . . .

n n n

2)

5 5 5 5. . . . . .

1 4 7 4 7 10 7 10 13 3 2 3 1 3 4n n n


1 1 1 1

3 15 35 4 1. . . . . .

n

มสมบตตรงกบขอใดตอไปน( ขอสอบสมาคมฯ )

ก. เปนอนกรมคอนเวอรเจนตและมผลบวกเทากบ 0.48 ข. เปนอนกรมคอนเวอรเจนตและมผลบวกเทากบ 0.5 ค. เปนอนกรมคอนเวอรเจนตและมผลบวกเทากบ 0.6 ง. เปนอนกรมไดเวอรเจนต



ตวอยางท 4 จงเขยนทศนยมซ าตอไปนในรปเศษสวน 1) 52.0

2) 321.0

1.10 อนกรมผสมระหวางอนกรมเลขคณตและอนกรมเรขาคณต ก าหนดให 1 2 3 na a a . . . a . . . เปนอนกรมเลขคณต และ 1 2 3 nb b b . . . b . . . เปนอนกรมเรขาคณตจะเรยก 1 1 2 2 3 3 n na b a b a b . . . a b . . . วา อนกรมผสมระหวางอนกรมเลขคณตและอนกรม

เรขาคณต เชน อนกรม 1 3 5 7 2 1

2 4 8 16 2n

n. . . . . .

เปนอนกรมผสมระหวางอนกรมเลขคณตและอนกรม

เรขาคณตทม 1 3 5 7 2 1. . . n . . . เปนอนกรมเลขคณตอนนต และ

ม 1 1 1 1 1

2 4 8 16 2n. . . . . . เปนอนกรมเรขาคณตอนนต



ตวอยางท 1 จงหาผลบวก 10 พจนแรกและผลบวกอนนตของอนกรมในขอตอไปน

1) 1 2 3 4

3 9 27 81 3n

n. . . . . .

2) 1

4 7 10 3 21

5 25 125 5n

n. . . . . .



ตวอยางท 2 ผลบวกของอนกรมอนนต 1

4 7 10 3 21

3 9 27 3n

n. . . . . .

มคาเทากบเทาใด

ตวอยางท 3 ผลบวกของอนกรมอนนต 2 3 4

1 2 2 3 3 4 4 5. . .

3 3 3 3

มคาเทากบขอใดตอไปน

ก. 3

4

ข. 5

4

ค. 7

4

ง. 9

4



โจทยฝกทกษะ ล าดบเลขคณตและอนกรมเลขคณต 1) พจนแรกทเปนจ านวนเตมลบของล าดบเลขคณต ...,146,164,182,200 มคาตางจากพจน ท 10 เทากบขอใดตอไปน

ก. 54 ข. 38 ค. 22 ง. 20

2) ถาผลบวกและผลคณของสามพจนแรกของล าดบเลขคณตทม d เปนผลตางรวมเทากบ 15 และ 80

ตามล าดบ แลว 2d มคาเทากบขอใดตอไปน ก. 1 ข. 4 ค. 9 ง. 16

3) ถา )163(log,)23(log,3log 999 xx เปนสามพจนแรกทเรยงกนในอนกรมเลขคณต และ S เปนผลบวก

ของสพจนแรกของอนกรมน แลว S3 มคาเทากบเทาใด ก. 243 ข. 81 ค. 64 ง. 27

4) ผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมเลขคณตอนกรมหนงเทากบ 430 ถาพจนท 10 ของอนกรมนคอ 79

แลวผลบวก 3 พจนแรกมคาเทากบขอใดตอไปน ก. 44 ข. 45 ค. 46 ง. 47



5) จ านวนสมาชกในเซต 600,...,102,101,100 ซงหารดวย 8 หรอ 12 ลงตวเทากบขอใดตอไปน

ก. 84 ข. 92 ค. 100 ง. 125

6) ก าหนดให log , log( 2) , log( 16)x x x เปนสามพจนแรกทเรยงกนของล าดบเลขคณต ถา 10a เปนพจนท 10 และ 10S เปนผลบวก 10 พจนแรกของล าดบเลขคณต แลวขอใดตอไปนถก

ก. 10 109log5 8log3 , 5 9log5 7log3a S ข. 10 109log5 8log3 , 5 9log7 2log3a S ค. 10 109log7 log3 , 5 9log5 7log3a S ง. 10 109log7 log3 , 5 9log7 2log3a S

7) ก าหนดให na เปนล าดบเลขคณต โดยมสมบตดงน ก. 15 13 3a a ข. ผลบวก m พจนแรกของล าดบเลขคณตนเทากบ 325 และ ค. ผลบวก 4m พจนแรกของล าดบเลขคณตนเทากบ 4900 แลวพจน 2ma เทากบขอใดตอไปน

1. 61

2

2. 121

2

3. 125

2

4. 199 8) ถา ...,,, 321 aaa เปนล าดบเลขคณต ซง 100... 9432 aaaa แลว

1032110 ... aaaaS มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 120

2. 125 3. 130 4. 135



9) ก าหนดให 4 พจนแรกของล าดบเลขคณต คอ 2 1 , 2 1 , 3a b b a และ 3a b เมอ a และ b

เปนจ านวนจรง พจนท ของล าดบเลขคณตน เทากบขอใดตอไปน 1. 3,997

2. 3,999

3. 4,001

4. 4,003

10) ถา na เปนล าดบเลขคณต ซง 1 3 5 201. . . 303a a a a แลว คาของ 2 4 6 200. . .a a a a เทากบเทาใด (300)

โจทยฝกทกษะ ล าดบเรขาคณตและอนกรมเรขาคณต 1) ผลบวกของอนกรมเรขาคณต 256...8421 เทากบขอใดตอไปน(ขอสอบ O-NET)

ก. 171 ข. 85 ค. 85 ง. 171

2) ก าหนดให nS เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ซงมอตราสวนรวมเทากบ 2 ถา 10 8 32S S แลว พจนท 9 ของอนกรมนเทากบขอใดตอไปน(ขอสอบ O-NET)

ก. 3

16

ข. 3

20

ค. 3

26

ง. 3

32



3) ก าหนดให 1 2 3, ,a a a เปนล าดบเรขาคณต โดยท 1 2a และ 3 200a ถา 2a คอคาในขอใดขอหนงตอไปน แลว ขอดงกลาวคอขอใดตอไปน(ขอสอบ O-NET) ก. -20 ข. -50 ค. 60 ง. 100 4) ให wzyx ,,, เปนพจน 4 พจนเรยงกนในล าดบเรขาคณต โดยท x เปนพจนแรก ถา 6 zy และ 12wz คาสมบรณของพจนท 5 ของล าดบนเทากบขอใด

ก. 16 ข. 32 ค. 48 ง. 54

5) ให ...,,,5 yx เปนล าดบเลขคณตทมผลบวกของ 12 พจนแรกเปน a และ ...,20,,5 y เปนล าดบเรขาคณตทมพจนท 6 เปน b โดยท 0y แลว a b มคาเทากบขอใดตอไปน ก. -225 ข. -275 ค. 225 ง. 275

6) ก าหนดให cba ,, เปน 3 พจนเรยงตดกนในล าดบเรขาคณต และมผลคณเปน 27 ถา 2,3, cba เปน 3 พจนเรยงตดกนในล าดบเลขคณตแลว cba มคาเทากบเทากบเทาใด

ก. 7 ข. 13 ค. 15 ง. 18

7) ถา n เปนจ านวนเตมบวก ซงท าให 3

2

2 2 21 log 2 log 2 . . . log 2 21n n แลว 21 2 2 . . . 2n มคาเทากบขอใดตอไปน

ก. 63 ข. 127 ค. 255 ง. 511



8) ให ...3282

12 2

aa

a เปนอนกรม ถาอนกรมดงกลาวมผลบวกเทากบ 2 แลว a มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2

1

2. 2

3

3. 2 4. 4

9) ถา a เปนจ านวนจรงลบ และ 03220 aa แลว 192 ...1 aaa มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2 2. 3 3. 4 4. 5

10) ให , ,a b c เปนจ านวนจรง โดยท 2 ,3 ,4a b c เปนล าดบเรขาคณต และ 1 1 1, ,

a b c เปนล าดบเลขคณต

คาของ a c

c a เทากบเทาใด(ขอสอบ PAT1)



โจทยฝกทกษะ ลมตของล าดบ 1) พจารณาล าดบ na และ nb ซง

, 1002 1

2 , 100n

nn

a n

n n

และ 2

2 , 100

, 1002 1

n

n

b nn

n

ขอใดตอไปนถก 1. na และ nb เปนล าดบลเขา 2. na และ nb เปนล าดบลออก 3. na เปนล าดบลเขา และ nb เปนล าดบลออก 4. na เปนล าดบลออก และ nb เปนล าดบลเขา

2) พจารณาล าดบ na และ nb ซง 2

, 1002 1

2 , 100

n

nn

a n

n

และ 2

2 , 100

, 1002 1

n

n

b nn

n

ขอใดตอไปนถก 1. na และ nb เปนล าดบลเขา 2. na และ nb เปนล าดบลออก 3. na เปนล าดบลเขา และ nb เปนล าดบลออก 4. na เปนล าดบลออก และ nb เปนล าดบลเขา



3) ถา 13

12

2

n

nnan และ

95

52

n

nn

nb แลว ลมตของล าดบทมพจนท n เปน nnnn baba

มคาเทากบขอใดตอไปน ก. –1

ข.

ค. 0 ง. 1

4) ถา na เปนล าดบเลขคณตทมผลตางรวมเปนจ านวนจรงบวก ซง 2 2

1lim 32n n

n

a a

n

แลว 17 9

2

a a

มคาเทาใด (4)

5) ก าหนดให 1 12 3

4

n n

n na

และ 1

1 2 3 . . .nb

n

ถา A และ B เปนผลบวกของอนกรม 1

n

n

a

และ 1

n

n

b

ตามล าดบ แลว A B เทากบขอใดตอไปน

1. 4.5 2. 5 3. 5.5 4. 6



6) ก าหนดให 1

1 2 2 3 3 3n ka ( ) ( ) ... ( n n n ... n )

n

ม n จ านวน n ตว โดยท k เปนคาคงตว ทท าให 0nnlim a ,

แลว 6( k ) มคาเทาใดขอใด

ตอไปน 1. 5

2. 10 3. 15 4. 20

7) ผลบวกของอนกรม 1 2

1

4 2

2 3

n

n nn

เทากบขอใดตอไปน(ขอสอบ B-PAT1 ต.ค. 2551)

1. 18

13

2. 18

40

3. 27

33

4. 27

56

8) ถา 2

2

1lim 1

2 1n

n b

n a

แลวผลบวกของอนกรม

2 21

n

n

ab

a b

เทากบขอใดตอไปน(ขอสอบ PAT1 ม.ค. 2552)

1. 13

2. 2

3

3. 1 4. หาคาไมได



9) ก าหนดให na เปนล าดบทสอดคลองกบ 2 2n

n

a

a

ส าหรบทกจ านวนนบ n

ถา 10

1

n

n

a

=31 แลว 2552

1

n

n

a

เทากบขอใดตอไปน(ขอสอบ PAT1 ม.ค. 2552)

1. 12752 1 2. 12762 1 3. 25512 1 4. 25522 1

10) ถา 1a , 2a , 3a , ... เปนล าดบเรขาคณตซง 1

n

n

a

= 4 แลวคามากทสดทเปนไปไดของ 2a เทากบขอใดตอไปน

1. 4 2. 2 3. 1 4. หาคาไมไดเพราะ 2a มคามากไดอยางไมมขดจ ากด

11) ก าหนดให na เปนล าดบเลขคณตทสอดคลองกบเงอนไข 1lim 5n

n

a a

n

ถา 9 5 100a a แลว 100a เทากบขอใดตอไปน(ขอสอบ PAT1 ก.ค. 2552) 1. 500 2. 515 3. 520 4. หาไมไดเพราะขอมลไมเพยงพอ



12) ถา 3

2lim

1 8 27 ...

k

n

nA

n

มคาเปนจ านวนจรงบวก แลวคาของ

A เทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 2 3. 4 4. 8

13) 3

3

3 12 27 . . . 3lim

1 8 27 . . .n

n n n n

n

มคาเทาใด (4)

14) ถา na เปนล าดบของจ านวนจรงท

2

2 4 6 . . . 2n

na

n

ส าหรบทกจ านวนเตมบวก n

แลว lim nn

a

มคาเทากบเทาใด (1)



15) ก าหนดให อนกรมตอไปน 100 20 100

2

1 3 1 1

1( 1) , , , 2

2

k

k

k k k k

A B k C k D

คาของ A B C D เทากบขอใดตอไปน 1. 7,917 2. 7,919 3. 7,920 4. 7,922

16) ก าหนดให เปนจ านวนจรง และ na เปนล าดบของจ านวนจรงท

นยามโดย 7

2n

na

n

ส าหรบ 1,2,3, . . .n

ถาผลบวก 9 พจนแรกมคามากกวาผลบวก 7 พจนแรกของล าดบ na เปนจ านวนเทากบ 108a แลว lim n

na


17) ก าหนดให na เปนล าดบของจ านวนจรง โดยท

2

1 2 1 2 1

n

n

k

ka

k k

ส าหรบ 1 , 2 , 3 , . . .n

คาของ 16lim nn

an

เทากบขอใดตอไปน(ขอสอบ PAT1 ต.ค. 2553)

1. 4 2. 16

3

3. 8 4. 16



18) ก าหนดให 1 2

1 1 11 log log ... log

2 3

n

n n nan

และ

4 21 1

n

n

k

kb

k k

คาของ c ทท าให lim 4n nn

a cb

เทากบเทาใด (ขอสอบ PAT1 ธนวาคม 2554)(ตอบ 10)

19) ก าหนดให

2 2 2 21 2 3 . . . 231

1 2 2 3 3 4 ... 1 228

n

n n

คาของ n เทากบเทาใด (ตอบ 115)

20) ก าหนด พจนท n ของล าดบสองล าดบเปนดงน

2 2 2 2

1 2 3 . . .

3 1 2 3 . . .n

n na

n

และ 3 2 3 1

2 1n

n nb

n n

คาของ lim n nn

a b

เทากบขอใดตอไปน

ก. 11

3 ข. 1 3 ค. 1 1

2 3 ง. 1

32



โจทยฝกทกษะ อนกรมอนนต

1) ผลบวกของอนกรม 2

3

1

4n n


1. 4

1

2. 12

25

3. 48

25

4. หาคาไมได

2) คาของ 1 1 3 7 2 1lim ...

1 2 4 8 2

n

nn n


1. 1 2. 2 3. 0 4. หาคาไมได

3) ถา 4 2

2

1

n

An n

แลว 2

2

1

n n

มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 3

4A

2. 5

4A

3. 3

4A

4. 5

4A

4) ผลบวกของอนกรม 1

11 33 3 2 23 . . .

4 16 4

n n

n


1. 20

3

2. 29

3

3. 31

3

4. 40

3



5) ก าหนดให 1

1

1 1

n

n

k

Sk k k k

ส าหรบ 1,2,3,n คาของ lim n

nS

เทากบเทาใด (1)

6) ให na เปนล าดบของจ านวนจรง โดยท 2

1 2 3 . . . n na a a a n a ส าหรบ 1,2,3, . . .n ถา 1 100a แลว 2lim n

nn a


7) ให I แทนเซตของจ านวนเตม และให IIf : เปนฟงกชน โดยท 231 nnfnf ส าหรบ In ถา 000,15100 f แลว 0f เทากบเทาใด (50)

8) ก าหนดให na เปนล าดบของจ านวนจรง โดยท 2

1n na n a ส าหรบ 1,2,3,...n คาของ 1a ทท าให 101 5100a เทากบขอใดตอไปน 1. 50 2. 25 3. 1 4. 0

9) คาของจ านวนจรง x ทมากกวาศนยทสอดคลองกบสมการ

2 3

6 15 28 271 . . .

1 41 1x x x

เทากบเทาใด (2)



10) ให x เปนจ านวนจรง

ถาอนกรม 2 3

2 2 31 1 11 (1 ) (1 ) (1 ) . . .

2 2 2x x x x x x

มผลบวกเทากบ

แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

ก.

ข.

ค.

ง.

ปีการศึกษา บทที่ 1 - krusawed ·...

Documents