การเคลื่ี่อนท 2 มิตในิpornmong/sc40101/sheets/sheet - 2...
TRANSCRIPT
การเคลอนทใน 2 มต
การเคลอนทใน 2 มต
การเคลอนทบนระนาบ (Motion in a plane) การเคลอนทในระนาบเปนการเคลอนทใน 2 มต ซงเราสามารถแสดงตาแหนง ความเรว และความเรงของอนภาคใดๆทเคลอนทบนระนาบไดดงน ตาแหนงใดๆ jyixr ˆˆ +=
r
r
ความเรว jvivdtrdv yx
ˆˆ +==r
ความเรง jaiadtvda yx
ˆˆ +==r
r
ซงการเคลอนทในระนาบทเราจะศกษาน ไดแกการเคลอนทแบบโปรเจกไทล และการเคลอนทแบบวงกลม 1. การเคลอนทแบบโปรเจกไทล (Projectile motion) การเคลอนทแบบโปรเจกไทลเปนการเคลอนทบนระนาบแบบหนงทมแนวการเคลอนทเปนแนวโคง ซงจะ
มการเคลอนทในแนวดงและแนวระดบเกดขนพรอมๆ กน โดยท 1. การเคลอนทในแนวดงเปนการเคลอนทดวยความเรงเนองจากแรงโนมถวง 2. การเคลอนทในแนวระดบเปนการเคลอนทดวยความเรวคงท เนองจากไมมแรงลพธมากระทา
การพจารณาการเคลอนทแบบโปรเจกไทลน สามารถพจารณาการเคลอนททงสองแนวแยกกนได
รปท 1 แสดงวถการเคลอนทและความเรวของการเคลอนทแบบโปรเจกไทล
จากรปท 1 พจารณาวตถทเคลอนทจออกจากตาแหนง A ดวยความรวตน u โดยทามมกบแนวระดบเปน จะไดวา θ
1
การเคลอนทใน 2 มต
ความเรวตนในแนวระดบ u (1) θcosux =
ความเรวตนในแนวดง u (2) θsinuy =
เนองจาก ความเรงในการเคลอนทนมเฉพาะในแนวดง ( เมตร/วนาท) สวนในแนวระดบความเรงเปนศนย (a เมตร/วนาท) ดงนนทเวลาใดๆ จะได
gay =
0=x ความเรวในแนวระดบทเวลาใดๆ
dtadvdtdva xx
xx =⇒=
∫∫ =tv
ux dtdv
x
0cos
)0(θ
v 0cos =− θux
∴ v (3) θcosux =
ความเรวในแนวดงทเวลาใดๆ
dtadvdtdv
a yyy
y =⇒=
∫∫ =t
y
v
uy dtadv
y
0sinθ
tauv yy =− θsin
v (4) tau yy += θsin
ในกรณรปท 1 u มทศขน และ มทศลงในแนวดง ดงนน กรณรปท 1 จะได θsinuy = gay =
∴ (5) gtuvy −= θsin
ความเรวของวตถทเวลาใดๆ จะเปน jvivv yxˆˆ +=
r
และมขนาดเทากบ 22yx vvv +=
r ถามม เปนมมทความเรวกระทากบแนวระดบ ณ เวลาใด ๆ จะไดวา β
yv
xv=βtan
การกระจดในแนวระดบทเวลาใดๆ
dtdSx
x =v ⇒ dtvdS xx =
∫ =x ∫tS
dtudSx
00
)cos( θ
(6) tuSx )cos( θ=
2
การเคลอนทใน 2 มต
การกระจดในแนวดงทเวลาใดๆ
dtdS
v yy = ⇒ dtvdS yy =
∫ =dS ∫ +t
y
S
y dttauy
00
)sin( θ
2
21)sin( tatuS yy += θ (7)
ในกรณรปท 1 u มทศขน และ มทศลงในแนวดง ดงนน กรณรปท 1 จะได θsinuy = gay =
2
21)sin( gttuy −= θS (8)
จาก สมการท 6 แล
จะเหนวาสมการท ซงเปนสมการของ
การเคล
การหารพจารณา
ตกลงมาทพนในแการท 9 จะไดวา
การกระจดของวตถทเวลาใดๆ สามารถเขยนไดเปน jSiSS yx
ˆˆ +=r
และมขนาดเทากบ 22 SSS +=r
yxะ 8 จะได
( )( )
22cos2
tan xxy SugSSθ
θ −= (9)
9 นอยในรปของ 2bxaxy +=พาราโบลา (Parabola) แสดงวา วถการเคลอนทของการเคลอนทแบบโปรเจกไทลเปนรปพาราโบลา
อนทแบบโปรเจกไทลบนพนราบ
รปท 2
ะยะการกระจดทวตถตกไกลทสด รปท 2 จะเหนวาในชวงเวลาทวตถเคลอนทไดไกลทสด เปนชวงเวลาทวตถเรมเคลอนทจนกระทงนวระดบเดม (เมอวตถตกในแนวระดบเดม การกระจดในแนวแกน y เปนศนย ) จากสม0=yS
3
การเคลอนทใน 2 มต
( ) 2
21sin0 gttu −= θ
เวลาทวตถใชในการเคลอนทจากเรมตนจนตกมาทในแนวระดบเดม จะเปน
gu θsin2
=t (10)
ดงนนระยะทางทวตถเคลอนทไดในแนวระดบ จากตาแหนงเรมตนจนถงตาแหนงทวตถตกมาทแนวระดบเดมจะเปน
( )
=
guuSx
θθ sin2cos
จาก 2 ( )θθθ 2sincossin =
ดงนน ระยะทวตถเคลอนทไดไกลทสด( พสย ) เมอยงวตถออกไปดวยความเรว u และทามมกบแนวระดบ คอ θ
( θ2sin2
gu
x = )
)
S (11)
จากสมการท 11 นจะเหนไดวา ระยะทวตถตกไกลทสดกตอเมอ มคามากทสด ซงเทากบ 1 ดงนนจะไดวา
( θ2sin045=θ
การหาระยะทวตถสามารถขนไปไดสงสด
เมอวตถเคลอนทขนไดสงสด แสดงวาวตถนนไมมความเรวในแนวดง ( )0=yv ดงนน จากสมการท 5 จะได เวลาทวตถเคลอนทไดถงจดสงสด ดงสมการท 12
g
utgtu θθ sinsin0 =→−= (12)
จะเหนวาจากสมการท 10 และ 12 เวลาทวตถเคลอนทถงจดสงสดเทากบเวลาครงหนงของเวลาทงหมดทวตถเคลอนทตกลงมาถงแนวระดบเดม ระยะสงสดทสามารถเคลอนท เมอยงวตถออกไปดวยความเรว u และทามมกบแนวระดบ คอ θ
( )2
sin21sinsin
−
=
gug
guuy
θθθS
g
uy 2
sin 22 θ=S (13)
จากสมกาท 13 น การกระจดในแนวดงนมากทสด เมอ ซงจะไดวา 1sin 2 =θ 090=θ
4
การเคลอนทใน 2 มต
การเคลอนทแบบโปรเจกไทลบนพนเอยง
รปท 3 วตถเคลอนทแบบโปรเจกไทลบนพนเอยง
จากรปท 3 แสดงการเคลอนทของวตถแบบโปรเจกไทลบนพนเอยง ซงพจารณาแกน X และ Y วตถจะมสมการการเคลอนท ดงน
gmdtvdm rr
=
]ˆ)cos(ˆ)sin[()ˆˆ( jgigmjvivdtdm yx ββ −+−=+
ซงจะไดวา ความเรงในแนวแกน X คอ มทศทางพงลงเขาสจดกาเนด ดงรปท 3 βsingax =
ความเรงในแนวแกน Y คอ มทศทางพงลงเขาสจดกาเนด ดงรปท 3 βcosgay =
เพจารณารปท 3 เมอยงวตถดวยความเรวตน u ในทศทามม กบแนวแกน X จะได θความเรวตนในแนวแกน X u θcosux =
ความเรวตนในแนวแกน Y u θsinuy =
ซงเราสามารถหาคาความเรวทเวลาใดๆ ทงสองแนวแกน ดงน ความเรวตนในแนวแกน X (14) tguvx )sin(cos βθ −=
ความเรวตนในแนวแกน Y (15) tguvy )cos(sin βθ −=
และการกระจดทเวลาใดๆ ทงสองแนวแกน ดงน การกระจดในแนวแกน X
2)sin(21)cos( tgtuSx βθ −= (16)
การกระจดในแนวแกน Y
2)cos(21)sin( tgtuS y βθ −= (17)
ซงจากสมการท 14-17 นเราสามารถหาระยะทวตถตกไกลสดบนพนเอยง ( พสย ) เมอยงวตถออกไปดวยความเรว และทามม กบแนวแกน X ไดดงน u θ
5
การเคลอนทใน 2 มต
2
2
)(cossin)cos(2
βθβθ +
=guR (18)
*** นกเรยนคดวา เราตองยงวตถทามมกบแนวแกน X เทาไร จงทาใหวตถตกไกลทสด และ ระยะทไกลทสดนเปนเทาไร ? ***
เราสามารถหาระยะทวตถอยหางจากพนเอยงมากทสด เมอยงวตถออกไปดวยความเรว และทามม กบแนวแกน X ไดดงน
u θ
)(cos2
sin22
βθ
guh = (19)
*** นกเรยนคดวา เราตองยงวตถทามมกบแนวแกน X เทาไร จงทาใหวตถหางจากพนเอยงมากทสด และ ระยะหางจากพนเอยงมากทสดนเปนเทาไร ? ***
2. การเคลอนทแบบวงกลม (Circular motion)
วตถทเคลอนทเปนวงกลม บนระนาบใดๆ อตราเรวขณะใดขณะหนงของวตถจะคงทหรอไมกได แตความเรวของวตถไมคงทแนนอน เนองจากวามการเปลยนทศาทางของการเคลอนท ตลอดเวลา ซงเมอวตถทมการเปลยนทศทางการเคลอนทแสดงวา วตถนตองมองคประกอบของแรงมากระทาในทศทางทตงฉากกบเสนทางการเคลอนทดวย และกรณทการเคลอนทมอตราเรวไมคงท แสดงวาตองมองคประกอบของแรงในทศทางทขนานกบแนวการเคลอนทดวย พจารณา รปท 4
รปท 4 การเคลอนทแบบวงกลม
จากรปท 4 วตถมวล เคลอนทดวยความเรง a ซงมองคประกอบในแนวสมผส และแนวตงฉาก (เขาสจดศนยกลางวงกลม) กบการเคลอนท โดยท
m rtar
car
tc aaa rrr+= (20)
การเคลอนทเปนวงกลมอยางสมาเสมอ
6
การเคลอนทใน 2 มต
การเคลอนทเปนวงกลมอยางสมาเสมอ เปนการเคลอนทเปนวงกลมทมอตราเรวคงท (ขนาดของความเรวคงท ) ซงการเคลอนทแบบนจะไมมความเรงในแนวสมผสวงกลม ( ) ดงนน จะได 0=ta
r
caa rr= (21)
พจารณาวตถ ซงเคลอนทดวยอตราเรวคงท แสดงเวกเตอรความเรว ดงรปท 5
ก. รปท 5 แสดงความเรวเมอนภาคเคลอนทแบบว
จากรป 5 ก. และ รป 5ข. วตถเคลอนทจากจด P1 ไปจด P2 จะไดสามเหลยมคล
1vv
Rs
r∆
=∆ ⇒ v∆r
ดงนน ขนาดความเรงเฉลย ระหวางเวลา คอ ava t∆r
tRsv
tv
aav ∆∆
=∆
∆= 1
พจารณา ขนาดความเรงทจด P1 (ใหจด P2 เขาใกลจด P1 มากๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ
tRsv
t ∆∆
→∆
1
0lima =
ts
Rv
t ∆∆
=→∆ 0
1 lim
เนองจาก 10lim v
ts
t=
∆∆
→∆ ซงเปนอตราเรวของวตถทจด P1 นนเอง ดงนน
Rv 2
1a =
เนองจากการเคลอนททกาลงพจารณานเปนการเคลอนทเปนวงกลมแบบสมา
ไดวา Rv
c
21a =
“ การเคลอนทเปนวงกลมอยางสมาเสมอ จะมความเรงเฉพาะความเเรยกความเรงนวา ความเรงสศนยกลาง ( Centripetal acceleration ) ” ดงนนจะมความเรงเขาสศนยกลาง เปน
7
ข. งกลม
ายโดยท
Rsv ∆
= 1
ๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ)
เสมอ (อตราเรวคงท) จากสมการท 21 จะ
รงทมทศเขาสศนยกลางเทานน ซงเรา หากพจารณาทใดๆ ซงมความเรว v
การเคลอนทใน 2 มต
Rv
ac2
= (22)
และหากวตถทเคลอนทนมมวล เทากบ จะได m
Rmv
maF cc
2
== (23)
สมการท 23 นแสดงใหเหนวา การทวตถสามารถเคลอนทเปนวงกลมอยางสมาเสมอไดนน ตองมแรงมากระทาในทศทเขาสจดศนยกลางเสมอ เราเรยกแรงนวา แรงสศนยกลาง (Centripetal Forces) การเคลอนทเปนวงกลมอยางไมสมาเสมอ ในกรณทวตถเคลอนทปนวงกลมอยางสมาเสมอ (อตราเรวไมคงท ) นนวตถจะมความเรงในแนวสมผสการเคลอนทดวย โดยท ขนาดของความเรงในแนวสมผส เทากบ ta
r
dtvd
at = (24)
เราสามารถเขยนไดวาความเรงของวตถทเคลอนทเปนวงกลมแบบไมสมาเสมอ เทากบ
ctct eRve
dtvd
aaa ˆˆ2
+=+=r
rrr (25)
เมอ และ e เปนเวกเตอรหนงหนวยทมทศสมผสวงกลม และเขาสศนยกลางวงกลม ตามลาดบ te cˆ
การเคลอนทแ
8
อตราเรวเชงมม ( Angular velocity)
ซงหากการเคลอนทนกวาดมมไปได ในเวลา t จะไดวา θ
tθ
=ω
ถาวตถเคลอนทครบ 1 รอบ มมทรศมกวาดไปไดคอ เรเดยน จะไดเวลาทใชในการเคลอนท 1 รอบ คอ คาบ ดงนน
π2
TT
ω 2=
π (ก)
และในการเคลอนทครบ 1 รอบ จะเคลอนทไดระยะทาง ดงนน rπ2
Trv π2
= (ข)
จากสมการ (ก) และ (ข ) จะไดความสมพนธระหวาง และ เปน v ω rv ω=จาก สมการท (14 ) จะได (ค) rac
2ω=
และจะได (ง) rmFc2ω=
สมการ (ค) และ (ง) นเปนการเขยนความเรงสศนยกลางและแรงสศนยกลางในรปของอตราเรวเชงมม
เมอวตถเคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรวคงท ระยะทางท เคลอนทไดในหนงหนวยเวลาเรยกวา อตราเรวเชงเสน(Linear velocity) นอกจากขณะทเคลอนทนรศมยงกวาดมมไปได และ มมทกวาดไปไดในหนงหนวยเวลา เรยกวา อตราเรวเชงมม สญลกษณทใช คอ ω
เมอ rS
=θ
การเคลอนทใน 2 มต
การประยกตการเคลอนทแบบวงกลม 1. การเคลอนทบนถนนโคง กรณทรถยนตเคลอนทไปตามถนนโคงนนตองมแรงมากระทาทรถในทศทางเขาสศนยกลางความโคง (เพอ
เปลยนทศทางการเคลอนทของรถ) เราเรยกแรงนวา แรงสศนยกลาง ซงในการเคลอนทของรถบนถนนโคงนแรงททาหนาทเปนแรงสศนยกลาง คอ แรงเสยดทาน ทกระทากบดานขางของยางรถ นนเอง
- รถทเลยวโคงบนถนนราบดวยอตราเรวสงจะตองใชแรงสศนยกลางมากกวาการเลยงโคงดวยอตราเรวตาในบรเวณโคงเดยวกน และมโอกาสทจะไถลออกนอกทางไดมากกวา เพราะการเลยวโคงดวยอตราเรวสงนนตองใช
แรงสศนยกลางมากตามสมการ rmvFa
2
= แตแรงเสยดทานระหวางพนถนนกบลอรถททาหนาทเปนแรงสศนย
กลางมคาสงสดคาหนงและแรงเสยดทานระหวางพนถนนกบลอรถททาหนาทเปนแรงสศนยกลางในกรณทรถเลยวโคงดวยอตราเรวสงขนอาจทาใหรถมโอกาสไถลออกนอกทางไดมากกวาการเลยวโคงดวยอตราเรวตา
- รถยนตทแลนบนถนนราบเมอเลยวโคงทมรศมความโคงสนมาก กบเลยวโคงทมรศมความโคงยาวมาก โดยอตราเรวเทากน กรณแรกจะมโอกาสไถลออกนอกทางไดมากกวากรณหลงทงนเพราะถนนทมรศมความโคงสน
ตองใชแรงสศนยกลางมาก ดงสมการ rmvFa
2
= จงมโอกาสไถลออกนอกทางไดมากกวาการเลยวบนโคงทม
รศมความยาวดวยอตราเรวเทากน เพราะการเลยวโคงทมรศมสนนนแรงเสยดทานททาหนาทเปนแรงสศนยกลางอาจจะมขนาดไมเพยงพอ
- แรงเสยดทานระหวางยางรถกบถนนททาหนาทเปนแรงสศนยกลาง จะมคามากหรอนอยขนอยกบ นาหนกรถ ผวถนน และยางรถ
- อตราเรวสงสดทเลยวโคงไดเมอฝนไมตกมคามากกวาเมอฝนตกผวสมผสระหวางบางรถกบถนนจะเปยก ลน ทาใหแรงเสยดทานททาหนาทเปนสศนยกลางมคาลดลง กรณการเคลอนทของจกรยานยนตบนทางโคงราบ
ก.แลนทางตรงราบ ข.แลนทางโคงราบ
รปท 6 แสดงแรงทกระทาตอรถจกรยานยนต กรณรถจกยานหรอรถจกรยานยนตแลนทางตรงบนถนนราบ ดงรป6 ก. จะมแรงเสยดทานมากระทากบลอ
เพอใหรถเคลอนทไปขางหนา และแรงจากนาหนกของรถ+คน (mg ) และแรงทพนกระทาตอรถ (N ) ในแนวทผานจดศนยกลางมวล ทาใหไมมโมเมนตของแรงรอบจดศนยกลางมวล จงทาใหรถไมลม
กรณรถจกยานหรอรถจกรยานยนตแลนเลยวโคงบนถนนราบ ดงรปท 6 ข. แรงสยงทานทพนถนนกระทาตอรถจะมอย 2 แนว ซงแรงเสยดทานในแนวแรกคอ แรงเสยดทานททาใหรถเคลอนทไปขางหนา สวนแรงเสยด
9
การเคลอนทใน 2 มต
ทานในอกแนวหนงคอแรงเสยดทานททาหนาทเปนแรงสศนยกลางผลกใหรถเลยวโคง ทาใหตองเอยงตว เพอไมใหมโมเมนตของแรงรอบจดศนยกลางมวล และทาใหรถไมลม หากกรณนไมเอยงรถจะทาใหมโมเมนตของแรงรอบจดศนยกลางมวลเนองจากแรง
r ซงเปนแรงลพธระหวาง
rและ
r และจะทาใหการหมนรอบจดศนยกลางมวลและ
มผลทาใหรถลมได R N f
พจารณารปท 6 ข. จะไดวา
rmvR
2
sin =θ (26.1)
(26.2) mgR =θcos
(26.1)/(26.2) ; rgv 2
tan =θ (27)
จากสมการท 27 นเราจะไดความสมพนธระหวางมม ซงเปนมมทรถจกยานยนตและคนตองเอยงเทยบกบแนวดง เมอรถเลยวโคงซงมรศมความโคง ดวยความเรว v
θr
กรณการเคลอนทของรถยนตและรถจกรยานยนตบนทางโคงเอยง ในปจจบนลกษณะของถนนโคงตางจะมลกษณะเอยงทามมกบแนวระดบคอขอบถนนดานนอกจะถกยกใหสงกวาขอบถนนดานใน เพอใหการเลยวโคงดวยความเรวไดปลอดภยมากขน
ก.แลนบนพนเอยงทไมมแรงเสยดทาน ข. แลนบนพนเอยงทมแรงเสยดทาน
รปท 7 แสดงแรงทกระทาตอรถทแลนบนทางโคงเอยง
กรณทรถเลยวโคงบนถนนทเอยงทามมกบแนวระดบ และทพนเอยง แรงสศนยกลางททาใหรถเลยวโคงได เกดจากองคประกอบของแรงทพนดนรถในแนวระดบ และองคปประกอบของแรงเสยดทานในแนวระดบ ดงรปท 7ข ซงจะไดวา
θ
rmvfN
2
cossin =+ θθ (28)
สาหรบการสรางถนนบรเวณเลยวโคงทามมกบพนระดบโดยทวไปจะคดแรงองคประกอบในแนวระดบของแรงทพนดนรถ เพยงแรงเดยวเทานนททาหนาทเปนแรงสศนยกลาง ใหรถเลยวโคงไดในอตราเรวทกาหนด ทงนเปนเพราะแรงเสยดทาน ขนอยกบลกษณะของผวถนน ดงนนเราเมอไมคดองคประกอบของแรงเสยดทานจะไดดงรปท 7ก ซงจะไดวา
θsinNθcosf
rmvN
2
sin =θ (29.1)
10
การเคลอนทใน 2 มต
(29.2) mgN =θcos
(29.1)/(29.2) ; rgv 2
tan =θ (30)
จากสมการท 30 นเราสามารถหาไดวาจะตองยกขอบถนนดานนอกสงกวาขอบถนนดานในเทาไรในการสรางถนน
2. การเคลอนทแบบวงกลมในแนวดง รปท 8 แสดงการเคลอนทของลกกลมบนทางโคงกลมตามแนวดง
วตถทเคลอนทเปนวงกลมตามแนวดง ดงรปท 8 จะตองมแรงสศนยกลางซงเกดจากแรงทรางดนวตถและองคประกอบของนาหนก โดยทตาแหนงตางๆ จะมแรงสศนยกลางดงน
ทตาแหนง A mgNrmvFc −==
2
(31.1)
ทตาแหนง B mgNrmvFc +==
2
(31.2)
ทตาแหนง C NrmvFc ==
2
(31.3)
ทตาแหนง D θcos2
mgNrmvFc −== (31.4)
3. การเคลอนทของดาวเทยม
รปท 9 แสดงการเคลอนทของดาวเทยมมวล m รอบโลกมวล M
11
การเคลอนทใน 2 มต
การโคจรรอบโลกของดาวเทยม หรอการเคลอนทรอบดวงอาทตยของดาวเคราะหนนจะมแรงดงดดระหวางมวลทมากระทาตอดาวเทยมหรอดาวเคราะหนนเปนแรงสศนยกลาง ดงนนหากพจารณา ดาวเทยมมวล ทโคจรรอบโลกมวล ดวยความเรว v ทตาแหนงวงโคจรหางจากจดศนยกลางของโลกเปนระยะ จะไดวา
mM r
2
2
rGMm
rmvFc ==
rGMv =2 (32)
จากสมการท 32 นน ดาวเทยมทมวงโคจรตางกนนนจะตองเคลอนทดวยอตราเรวเชงเสนตางกน ซงการสง
ดาวเทยมขนสวงโคจรนนไดทาการกาหนดรสมวงโคจรไวกอน แลวคานวณหาแรงสศนยกลางทกระทากบดาวเทยมและอตราเรวเชงเสนในวงโคจรนนๆ และเมยงดาวเทยมขนไปจนมความสงตามทตองการแลวจงปรบทศทางและอตราเรวของดาวเทยมเพอใหเขาสวงโคจร
PhysicsPhysicsPhysics PhysicsPhysicsPhysics PhysicsPhysicsPhysics
12