เฉลยแบบฝึกหัด calculus 2 เจษฎา ห่อไพศาล...

เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 2 เจษฎา ห่อไพศาล (พีแ่บงค)์ www.clipvidva.com

17

แบบฝึกหัด 4.3

1. จงหาอนุพนัธ์ยอ่ยของฟังกช์นัต่อไปน้ี

1.1. 4 4f(x, y) 3xy 4x y

วธิีท ำ fx(x, y) = 4 4(3xy 4x y )x

= 4

4x x3y 4yx x

= 3 43y 16x y

fy(x, y) = 4 4(3xy 4x y )y

= 4

4y y3x 4xy y

= 4 33x 16x y

1.2. 3 23f(x, y) 1 cos (x y)

วธิีท ำ fx(x, y) = 3 23( 1 cos (x y) )x

= 3 223 2 3

1 (1 cos (x y))x3(1 cos (x y))

= 2 2

223 2 3

3cos (x y) (cos(x y))x3(1 cos (x y))

= 2 2 2

223 2 3

3cos (x y)sin(x y) (x y)x3(1 cos (x y))

= 2 2 2

23 2 3

2xy cos (x y)sin(x y)

(1 cos (x y))

fy(x, y) = 3 23( 1 cos (x y) )y

= 3 223 2 3

1 (1 cos (x y))y3(1 cos (x y))

= 2 2

223 2 3

3cos (x y) (cos(x y))y3(1 cos (x y))

= 2 2 2

223 2 3

3cos (x y)sin(x y) (x y)y3(1 cos (x y))

= 2 2 2 2

23 2 3

x cos (x y)sin(x y)

(1 cos (x y))

1.3. f(x, y) ln(sec x y )

วธิีท ำ fx(x, y) = (ln(sec x y ))x

= 1 (sec x y )xsec x y


18

= sec x y tan x y ( x y )xsec x y

= 1 tan x y (x y)x2 x y

= tan x y2 x y

fy(x, y) = (ln(sec x y ))y

= 1 (sec x y )ysec x y

= sec x y tan x y ( x y )ysec x y

= 1 tan x y (x y)y2 x y

= tan x y2 x y

1.4. x yf(x, y) x y

วธิีท ำ fx(x, y) = x y( )x x y

= 2

(x y) (x y) (x y) (x y)x x(x y)

= 2x y x y

(x y)

= 22y

(x y)

fy(x, y) = x y( )y x y

= 2

(x y) (x y) (x y) (x y)y y(x y)

= 2x y x y

(x y)

= 22x

(x y)

1.5. 2 2f(x, y) x y sin(xy)

วธิีท ำ fx(x, y) = 2 2(x y sin(xy))x

= 2 2x (y sin(xy))x x

= 22x y sin(xy)x


19

= 22x y cos(xy) (xy)x

= 32x y cos(xy)

fy(x, y) = 2 2(x y sin(xy))y

= 2

2x (y sin(xy))y y

= 2

2 sin(xy) yy sin(xy)y y

= 2 (xy)y cos(xy) 2y sin(xy)y

= 2xy cos(xy) 2y sin(xy)

1.6. 2 3x y 5 4f(x, y) 4e cos(x y )

วธิีท ำ fx(x, y) = 2 3x y 5 4(4e cos(x y ))x

= 2 3x y 5 44 (e ) (cos(x y ))x x

= 2 3x y 2 3 4 5 4 54e (x y ) y sin(x y ) (x )x x

= 2 33 x y 4 4 5 48xy e 5x y sin(x y )

fy(x, y) = 2 3x y 5 4(4e cos(x y ))y

= 2 3x y 5 44 (e ) (cos(x y ))y y

= 2 3x y 2 3 5 4 5 44e (x y ) sin(x y ) (x y )y y

= 2 32 2 x y 5 3 5 412x y e 4x y sin(x y )

1.7. 2yf(x, y) x

วธิีท ำ ln f(x, y) = 2y lnx

ln f(x, y)x

= 2(y lnx)x

1 f (x, y)f(x, y) x

= 2y (lnx)x

f (x, y)x

= 2yf(x, y) x =

22 y 1y x

ln f(x, y)y

= 2(y lnx)y

1 f (x, y)f(x, y) y

= 2ylnx y

f (x, y)y

= 2y ln x f(x, y) = 2y2y ln x x


20

1.8. xy yf(x, y) e ln( )x

วธิีท ำ fx(x, y) = xy y(e ln( ))x x

= xy y(e ) (ln( ))x x x

= xye x 1x ( )y x x x

= xye 1

y x

fy(x, y) = xy y(e ln( ))y x

= xy y(e ) ln( )y y x

= xy y1 1xe ( )y y y y

=

xy

2xe 1

yy

1.9. 2yf(x, y) arctan( )x

วธิีท ำ fx(x, y) = 2y(arctan( ))x x

= 22

2 4yx ( )x xx y

= 2

2 4y

x y

fy(x, y) = 2y(arctan( ))y x

= 22

2 4yx ( )y xx y

= 2 42xy

x y

1.10. 3 2x 3zf(x, y, z) y e

วธิีท ำ fx(x, y) = 3 2x 3z(y e )x

= 3 3z 2xy e (e )x

= 3 2x 3z2y e

fy(x, y) = 3 2x 3z(y e )y


21

= 2x 3z 3e (y )y

= 2 2x 3z3y e

2. ก าหนดให้ 2 xyf(x, y) x ye จงหาค่าของ D1f (1, 1) และ D2f (1, 1)

วธิีท ำ D1f (x, y) = 2 xy(x ye )x

= 2 xy xy 2y{x (e ) e (x )}x x

= 2 xy xyy{x e (xy) 2xe }x

= 2 2 xy xyx y e 2xye

เพราะฉะนั้น D1f (1, 1) = 2 2 1 1(1 )(1 )(e ) 2(1)(1)e = 3e

D2f (x, y) = 2 xy(x ye )y

= 2 xy xyx {y (e ) e (y)}y y

= 2 xy xyx {ye (xy) e }y

= 3 xy 2 xyx ye x e

เพราะฉะนั้น D2f (1, 1) = 3 1 2 1(1 )(1)(e ) (1 )e = 2e

3. ก าหนดให้ 2 2 2 2f(x, y) (x 2y ) x y จงหาค่าของ fx(2, 1) และ fy(2, 1)

วธิีท ำ fx (x, y) = 2 2 2 2((x 2y ) x y )x

= 2 2 2 2 2 2 2 2x y (x 2y ) (x 2y ) x yx x

= 2 2

2 2 2 22 2

x 2y2x x y ( ) (x y )x2 x y

= 2 2

2 22 2

x 2y2x x y xx y

= 2 2 2 2

2 22x 2y x 2yx

x y

= 3

2 23x

x y

เพราะฉะนั้น fx (2, 1) = 3

2 23 2

(2) (1)

= 8 3

fy (x, y) = 2 2 2 2((x 2y ) x y )y

= 2 2 2 2 2 2 2 2x y (x 2y ) (x 2y ) x yy y

= 2 2

2 2 2 22 2

x 2y4y x y (x y )y2 x y


22

= 2 2

2 22 2

x 2y4y x y yx y

= 2 2 2 2

2 24x 4y x 2yy

x y

= 2 2

2 23y(x 2y )

x y

เพราะฉะนั้น fy (2, 1) = 2 2

2 23(2 2(1) )

2 1

= 2 3

4. ก าหนดให้ f(x, y, z) x sin(xyz) จงหาค่าของ f 1(1, , )x 2

และ f 1(1, , )z 2

วธิีท ำ f(x, y, z)x

= (x sin(xyz))x

= x sin(xyz) sin(xyz) xx x

= x cos(xyz) (xyz) sin(xyz)x

= xyz cos(xyz) sin(xyz)

เพราะฉะนั้น f 1(1, , ) cos( ) sin( ) 1x 2 2 2 2

f(x, y, z)z

= (x sin(xyz))z

= x sin(xyz)z

= x cos(xyz) (xyz)z

= 2x y cos(xyz)

เพราะฉะนั้น f 1 1(1, , ) cos( ) 0z 2 2 2

5. ก าหนดให้ 3 3

2 2x y (x, y) (0, 0)

f(x, y) x y 0 (x, y) (0, 0)

จงหาค่าของ fx(0, 0) และ fy(0, 0)

วธิีท ำ เพราะว่า h 0 h 0

f(h, 0) f(0, 0) h 0lim lim 1h h

เพราะฉะนั้น fx(0, 0) = 1

และ เพราะว่า h 0 h 0

f(0, k) f(0, 0) k 0lim lim 1k k

เพราะฉะนั้น fy(0, 0) = 1

6. ก าหนดให้ 2 3

4 2x y (x, y) (0, 0)

f(x, y) x 4y 0 (x, y) (0, 0)

จงหาค่าของ f (0, 0)x

และ f (0, 0)y

วธิีท ำ เพราะว่า h 0 h 0

f(h, 0) f(0, 0) 0 0lim lim 0h h

เพราะฉะนั้น f (0, 0)x

= 0

เม่ือ เม่ือ

เม่ือ

เม่ือ


23


f(0, k) f(0, 0) k 0lim lim 1k k

เพราะฉะนั้น f (0, 0)y

= 0

7. ก าหนดให้ 2x xy x y 0x yf(x, y)

0 x y 0

จงหาค่าของ

7.1. D1f (0, y) เม่ือ y 0 และ D1f (0, 0)

วธิีท ำ เพราะว่า

2

h 0 h 0 h 0

h hy 0f(h, y) f(0, y) h y h ylim lim lim 1h h h y

เพราะฉะนั้น D1f (0, y) = –1


f(h, 0) f(0, 0) h 0lim lim 1h h

เพราะฉะนั้น D1f (0, 0) = 1

7.2. D2f (x, 0) เม่ือ x 0 และ D2f (0, 0)

วธิีท ำ เพราะว่า

22 2

k 0 k 0 k 0 k 0

x xk xf(x, k) f(x, 0) x xk x xk 2xkx klim lim lim lim 2k k k k(x k)

เพราะฉะนั้น D2f (x, 0) = –2

และ เพราะว่า k 0 k 0

f(0, k) f(0, 0) 0 0lim lim 0k k

เพราะฉะนั้น D2f (0, 0) = 0

8. ก าหนดให้ yxxz x sin( ) yey จงแสดงว่า z zx y zx y

วธิีท ำ y yx xz z x xx y x (x sin( ) ye ) y (x sin( ) ye )x y x y y y

y y y

2 2x x xx x x 1 x 1 x( cos( ) sin( ) y e ( )) y(x cos( ) ( ) y e e )y y y x x y y y y

y y y2 2x x x

2 2y yx x x x x x( cos( ) sin( ) e ) y( cos( ) e e )y y y y xx y

y y y2 22 2x x xy yx x x x x cos( ) xsin( ) e cos( ) e yey y y x y y x

yxx xsin( ) yey

z

9. ก าหนดให้ 1

2 xz y tan(ye ) จงแสดงว่า 2 2z zx y 2yx y

วธิีท ำ 1 1

2 2 2 2x xz zx y x (y tan(ye )) y (y tan(ye ))x y x y

1 1

2 2x x x tan(ye ) y y y tan(ye )x y y

เม่ือ เม่ือ


24

1 1 1 1

2 2 2 2x x x x x y sec (ye ) (e ) 2y ye sec (ye )x

1 1 1 1

2 2 2 2x x x x1 x e y sec (ye ) ( ) 2y ye sec (ye )x x

1 1 1 1

2 2 2x x x x e y sec (ye ) 2y ye sec (ye )

2 2y

10. ก าหนดให้ 2 2 y zu f(x, y, z) (x y )cos( )x

จงแสดงว่า f f fx y z 2fx y z

วธิีท ำ พิจารณา 2 2 y zf {(x y )cos( )}x x x

2 2 2 2y z y z (x y ) cos( ) cos( ) (x y )x x x x

2 2 y z y z1 (y z)(x y )sin( ) ( ) 2x cos( )x x x x

2 2

2(y z)(x y ) y z y z sin( ) 2x cos( )x xx

พิจารณา 2 2 y zf {(x y )cos( )}y y x

2 2 2 2y z y z (x y ) cos( ) cos( ) (x y )y x x y

2 2 y z y z1 (x y )sin( ) (y z) 2y cos( )x x y x

2 2 y z y z1 (x y )sin( ) 2y cos( )x x x

พิจารณา 2 2 y zf {(x y )cos( )}z z x

2 2 y z (x y ) cos( )z x

2 2x y y z ( )sin( ) (y z)x x z

2 2x y y z ( )sin( )x x

2 2

2 22 (y z)(x y ) y z y z y zf f f 1x y z x{ sin( ) 2x cos( )} y{ (x y )sin( )x y z x x x xx

2 2y z x y y z2y cos( )} z( )sin( )x x x

2 2

2 2 2 2 (y z)(x y ) y z y z y y z y zsin( ) 2x cos( ) (x y )sin( ) 2y cos( )x x x x x x

2 2x y y zz( )sin( )x x

2 2 y z y z2x cos( ) 2y cos( )x x

2 2 y z2(x y )cos( )x

2f(x, y, z)


25

11. จงหาความชนัของเส้นโคง้ท่ีเป็นรอยตดัของพ้ืนผวิ x2 + 3y2 – z = 0 กบัระนาบ x = 2 ท่ีจุด (2, 1, 7)

วธิีท ำ ให้ z = f(x, y) = x2 + 3y2

จะไดว้่า fy(x, y) = 6y

ดงันั้น ความชนัของเส้นโคง้ท่ีจุด (2, 1, 4) คือ f(2, 1) = 6

12. จงหาความชนัของเส้นโคง้ท่ีเป็นรอยตดัของพ้ืนผวิ 9x2 – 36y2 – 4z2 = 36 กบัระนาบ y = –1 ท่ีจุด ( 12 , –1,–3)

วธิีท ำ ให้ z = f(x, y) = 2 21 9x 36y 362

จะไดว้่า fx(x, y) = 2 2

3x2 x 4y 4

ดงันั้น ความชนัของเส้นโคง้ท่ีจุด ( 12 , –1,–3) คือ f( 12 , –1,–3) = 3 122 12 4 4

= 3 32

เฉลยแบบฝึกหัด calculus 2 เจษฎา ห่อไพศาล...

Documents