โดยคุณครูสุทิน สุทธิสิน กลุ...

โดยคุณครูสุทิน สุทธิสิน กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร โรงเรียนสวนศรีวิทยา อําเภอหลังสวน จังหวัดชุมพร


คํานํา

วิชาคณิตศาสตรเปนวิชาที่ยากและมีลักษณะเปนนามธรรมในหลายเนื้อหา เปนวิชา

ที่วาดวยเหตุผล ผูเรียนตองมีความรูความเขาใจและมีทักษะในการคิดคํานวณ ซึ่งการเรียน

การสอนวิชาคณิตศาสตรนั้น นักเรียนยังขาดทักษะดานนี้มาก มีผลใหไมผานจุดประสงค

การเรียนรู ครูผูสอนจําเปนตองหาแนวทางแกไข เพื่อใหนักเรียนไดมีโอกาสเรียนรู ตาม

ความสามารถของตน และทําใหมีผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนสูงขึ้น

ขาพเจาในฐานะครูผูสอนคณิตศาสตร จึงไดจัดทําแบบฝกทักษะคณิตศาสตร เรื่อง

ลําดับอนันตและอนุกรมอนันต กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ระดับชั้นมัธยมศึกษาที่ 6

โดยศึกษาหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐานพุทธศักราช 2551 ซึ่งมีหลักการขอหนึ่ง คือ

เปนหลักสูตรการศึกษาที่เนนผูเรียนเปนสําคัญ ขาพเจาจึงกําหนด จุดประสงคการเรียนรู

และกิจกรรมการเรียนรู ที่เนนใหผูเรียนมีโอกาสไดสรางองคความรูดวยตนเองผานความคิด

พิจารณาจากสื่อการเรียนรูที่ขาพเจาออกแบบขึ้น ในการจัดกิจกรรมการเรียนรูเนนการทํางาน

รวมกัน เพื่อฝกผู เรียนใหเรียนรูวิธีการทํางานรวมกันกับผูอื่น บนวิถีทางประชาธิปไตย

แลวนําไปใชประกอบการเรียนการสอนและแกปญหาใหกับนักเรียนที่มีปญหาดานทักษะ

ทางคณิตศาสตรและไมผานเกณฑการประเมินจุดประสงคการเรียนรู โดยจัดทําแบบฝกทักษะ

คณิตศาสตรที่เนนการแกปญหาแบบ SSCS เรื่อง ลําดับและอนุกรม จํานวน 5 เลม ไดแก

เลมที ่ 1 ความหมายของลําดับและรูปแบบการกําหนดลําดับ เวลา 2 ชั่วโมง

เลมที ่ 2 ลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต เวลา 6 ชั่วโมง

เลมที ่ 3 ลิมิตของลําดับ เวลา 3 ชั่วโมง

เลมที ่ 4 ผลบวกของอนุกรมอนันต เวลา 4 ชั่วโมง

เลมที ่ 5 สัญลักษณแทนการบวก เวลา 4 ชั่วโมง

ขาพเจาหวังเปนอยางยิ่งวา แบบฝกทักษะคณิตศาสตรที่เนนการแกปญหาแบบ SSCS

เ รื่ อ ง ลํ าดั บอนันต และอนุ กรมอนุ กรมอนันต กลุ มสาระการ เ รี ยนรู คณิ ตศ าสตร

ระดับชั้นมัธยมศึกษาที่ 6 เลมที่ 1 – เลมที่ 5 นี้คงจะเปนประโยชนแกนักเรียนและผูที่สนใจ

สุทิน สุทธิสิน


สารบัญ

เรื่อง หนา

คํานํา ....................................................................................................................................... ก

สารบัญ .................................................................................................................................... ข

คําชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝกทักษะคณิตศาสตร .............................................................................. 1

คําชี้แจงในการใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตรสําหรับครู ............................................................. 3

คําชี้แจงในการใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตรสําหรับผูเรียน ....................................................... 4

ขั้นตอนการปฏิบัติกิจกรรมการเรียนรู ...................................................................................... 5

ขั้นตอนการเรียนรูโดยใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตรที่เนนการแกปญหาแบบ SSCS .................. 6

สาระ มาตรฐานการเรียนรู ตัวชี้วัดและจุดประสงคการเรียนรู .................................................. 7

แบบทดสอบกอนเรียน ............................................................................................................. 8

กระดาษคําตอบแบบทดสอบกอนเรียน ................................................................................... 11

เฉลยคําตอบแบบทดสอบกอนเรียน ......................................................................................... 12

ใบความรูที่ 1 เรื่อง ความหมายของลําดับ ........................................................................... 14

แบบฝกทักษะที่ 1 เรื่อง ความหมายของลําดับ .................................................................... 20

เฉลยแบบฝกทักษะที่ 1 เรื่อง ความหมายของลําดับ ............................................................. 22

ใบสรุปความรูที่ 1 เรื่อง ความหมายของลําดับ .................................................................... 23

ใบแลกเปลี่ยนเรียนรู ที่ 1 เรื่อง ความหมายของลําดับ ........................................................ 24

ใบความรูที่ 2 เรื่อง รูปแบบการกําหนดลําดับ ..................................................................... 26

แบบฝกทักษะที่ 2 เรื่อง รูปแบบการกําหนดลําดับ .............................................................. 28

เฉลยแบบฝกทักษะที่ 2 เรื่อง รูปแบบการกําหนดลําดับ ...................................................... 29

ใบสรุปความรูที่ 2 เรื่อง รูปแบบการกําหนดลําดับ .............................................................. 30

ใบแลกเปลี่ยนเรียนรู ที่ 2 เรือ่ง รูปแบบการกําหนดลําดับ ................................................... 31

แบบทดสอบหลังเรียน ............................................................................................................. 33

กระดาษคําตอบ แบบทดสอบหลังเรียน................................................................................... 36

เฉลยคําตอบแบบทดสอบหลังเรียน ......................................................................................... 37

แบบบันทึกคะแนนแบบฝกทักษะคณิตศาสตร เลมที่ 1 ........................................................... 38


สารบัญ (ตอ)

บรรณานุกรม .......................................................................................................................... 39

ประวัติผูจัดทํา ......................................................................................................................... 40

แบบฝกทักษะเลมที่ 1 เรื่อง ความหมายของลําดับ และรูปแบบการกําหนดลําดับ 1


1. แบบฝกทักษะคณิตศาสตรนี้ เนนการแกปญหาแบบ SSCS เรื่อง ลําดับอนันตและอนุกรมอนันต

นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ซึ่งมีจํานวนทั้งหมด 5 เลม ดังนี้

แบบฝกทักษะคณิตศาสตรเลมที่ 1 เรื่อง ความหมายของลําดับและ

รูปแบบการกําหนดลําดับ

แบบฝกทักษะคณิตศาสตรเลมที่ 2 เรื่อง ลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต

แบบฝกทักษะคณิตศาสตรเลมที่ 3 เรื่อง ลิมิตของลําดับ

แบบฝกทักษะคณิตศาสตรเลมที่ 4 เรื่อง ผลบวกของอนุกรมอนันต

แบบฝกทักษะคณิตศาสตรเลมที่ 5 เรื่อง สัญลักษณแทนการบวก

2. แบบฝกทักษะคณิตศาสตรนี้ จัดทําขึ้นเพื่อเปนสื่อในการจัดกิจกรรมการเรียนรู หนวยการเรียนที่ 1

เรื่อง ลําดับอนันตและอนุกรมอนันต รายวิชาคณิตศาสตรเพิ่มเติม 6 (ค33202) สําหรับนักเรียน

ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ที่เนนการแกปญหาแบบ SSCS โดยมีขั้นตอนในการจัดกิจกรรมการเรียนรูดังนี้

2.1 ขั้นนําเขาสูบทเรียน เปนขั้นตอนที่ครูทบทวนความรูเดิมของผูเรียน ซึ่งอาจจะใช

การทํากิจกรรม การเลนเกมหรือการรองเพลงและใชคําถามกระตุนเชื่อมโยงกับสิ่งที่กําลังจะสอน

ตามความเหมาะสม หรืออาจจะเฉลยแบบฝกเสริมทักษะที่ผูเรียนทําเปนการบาน และทําการชี้แจง

เรื่องที่จะเรียน จุดประสงคการเรียนรู และขั้นตอนการเรียนรูตามเทคนิคที่ใชในการจัดกิจกรรม

การเรียนรูแตละชั่วโมง

2.2 ขั้นการจัดกิจกรรมการเรียนรู เปนขั้นตอนที่ครูแบงกลุมผูเรียนคละเพศและความสามารถ

กลุมละ 4 – 5 คน และจัดกิจกรรมการเรียนรูที่ เนนการแกปญหาแบบ SSCS ซึ่งมีขั้นตอน

ในการจัดการเรียนรู 4 ขั้นตอน คือ

ขั้นที่ 1 Search : S เปนขั้นของการคนหาขอมูลที่เกี่ยวของกับปญหา

ขั้นที่ 2 Solve : S เปนขั้นของการแกปญหาหรือการใชความคิดท่ีหลากหลาย

ขั้นที่ 3 Create : C เปนขั้นของการสรางวิธีการหรือขั้นตอนการหาคําตอบ

ขั้นที่ 4 Share : S เปนขั้นของการรวมแสดงความคิดเห็นตอวิธีการและการหาคําตอบ

คําชี้แจงเก่ียวกับแบบฝกทักษะคณิตศาสตร



บูรณาการกับเทคนิคการเรียนรูตาง ๆ ตามความเหมาะสมของเนื้อหาในแตละแผนการจัดการ

เรียนรู โดยใชสื่อแบบฝกทักษะคณิตศาสตร ผู เรียนศึกษาจากใบความรูรวมกันทําแบบฝกทักษะ

คณิตศาสตรหรือกิจกรรมเปนรายกลุม จับคูหรือเปนรายบุคคล

2.3 ข้ันวิเคราะห อภิปรายผลงาน องคความรูที่สรุปไดจากกิจกรรมการเรียน ครูซักถามความเขาใจ

เกี่ยวกับเนื้อหา อภิปรายสรุปรวมกัน แจงคะแนนและใหรางวัล วิเคราะหขอดีขอดอยของการจัดกิจกรรม

การเรียนรูที่เนนการแกปญหาแบบ SSCS เพื่อนําขอมูลไวพัฒนา การจัดกจิกรรมการเรียนรูในชั่วโมงตอ

3. แบบฝกทักษะคณิตศาสตรเลมนี้ เปนเลมที่ 1 เรื่อง ความหมายของลําดับและรูปแบบการกําหนดลําดับ

มี 2 สวน คือ

สวนที่ 1 ประกอบดวย ใบความรู แบบฝกทักษะคณิตศาสตร ใบสรุปความรู

และใบแลกเปลี่ยนเรียนรู

สวนที่ 2 ประกอบดวยแบบทดสอบยอยประจําแบบฝกทักษะคณิตศาสตรเลมที่ 1

4. แบบฝกทักษะคณิตศาสตรเลมนี้ ใชเวลาเรียน 2 ชั่วโมง

5. การวัดและประเมินผลการเรียนรู

การวัดและประเมินผลการเรียนรู จะดําเนินการประเมินทั้งสิ้น 4 ดาน ไดแก ดานความรู (K)

ดานทักษะกระบวนการ (P) ดานคุณลักษณะอันพึงประสงค (A) และดานสมรรถนะสําคัญ (C)

ซึ่งประเมินจาก

5.1 การตรวจแบบทดสอบกอนเรียน แบบฝกทักษะ และแบบทดสอบหลังเรียนและประเมิน

ผานเกณฑรอยละ 80 ของคะแนนเต็ม

5.2 แบบสังเกตพฤติกรรมผูเรียนดานทักษะกระบวนการ โดยการสังเกตพฤติกรรม ขณะผูเรียน

ปฏิบัติกิจกรรมการเรียนรู และการผานเกณฑตองไดระดับคุณภาพดีขึ้นไป

5.3 แบบสังเกตพฤติกรรมผูเรียนดานคุณลักษณะอันพึงประสงค โดยการสังเกตพฤติกรรมขณะ

ผูเรียนปฏิบัติกิจกรรมการเรียนรู และการผานเกณฑตองไดระดับคุณภาพดีขึ้นไป

5.4 แบบสังเกตพฤติกรรมดานสมรรถนะสําคัญ โดยการสังเกตพฤติกรรมขณะผูเรียนปฏิบัติ

กิจกรรมการเรียนรู และการผานเกณฑตองไดระดับคุณภาพดีขึ้นไป



การใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตรเลมนี้ ครูผูสอนมีบทบาทสําคัญเปนอยางยิ่งใน การจัดกิจกรรม

การเรียนรู เพื่อใหบรรลุวัตถุประสงคที่ตั้งไว ครูผูสอนควรศึกษารายละเอียดตาง ๆ ทั้งดานเนื้อหา

กิจกรรมและกระบวนการจัดการเรียนรู รวมทั้งการปฏิบัติตนกอนใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร ดังนี้

กอนการจัดกิจกรรมการเรียนรู ครูผูสอนควรดําเนินการดังนี้

1. ศึกษาแผนการจัดการเรียนรู แบบฝกทักษะที่เนนการแกปญหาแบบ SSCS การวัดผลและ

ประเมินผล คําชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝกทักษะคณิตศาสตร

2. เตรียมแบบฝกทักษะใหครบถวนและเพียงพอกับจํานวนผูเรียน

3. ครูเตรียมเครื่องมือวัดผลประเมินผล เพื่อใหทราบความกาวหนาของผูเรียน

4. อาจจัดชั้นเรียนใหผูเรียนเรียนรูเปนรายบุคคลหรือกลุมก็ได

ระหวางดําเนินการจัดกิจกรรมการเรียนรู ครูผูสอนควรดําเนินการดังนี้

1. กํากับควบคุมใหผูเรียนทําแบบทดสอบกอนเรียน เพื่อประเมินความกาวหนาของผูเรียน

2. ดําเนินการจัดกิจกรรมการเรียนรูตามกิจกรรมการเรียนรูที่กําหนดไวในแผนการจัดการเรียนรู

อยางเครงครัด

3. ชี้แจงใหผูเรียนทราบลําดับขั้นตอนและวิธีการเรียนโดยใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตรเลมนี้และ

ประโยชนที่ไดรับจากการใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร

4. ชี้แจงใหผูเรียนทราบเกี่ยวกับบทบาทของผูเรียนในการใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตรเลมนี้อยาง

ชัดเจน

5. สังเกตความตั้งใจของผูเรียน ความสนใจในการเรียน การทํางานรวมกันเปนกลุมของผูเรียนทุก

กลุมอยางใกลชิด หากผูเรียนคนใดมีปญหาขอสงสัย ครูตองใหความชวยเหลือทันที

6. ควบคุมเวลาในการจัดกิจกรรมการเรียนโดยใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตรของผูเรียนแตละคน

แตละคนอาจจะไมเทากัน ครูควรยืดหยุนตามความเหมาะสมและตามสถานการณ

7. การสรุปบทเรียนควรเปนกิจกรรมรวมกันของผูเรียนทุกคน หรือแตละกลุมสงตัวแทนมารวม

อภิปรายเรื่องที่เรียนมา

8. กํากับควบคุมใหผูเรียนทําแบบทดสอบหลังเรียน เพื่อประเมินความกาวหนาของผูเรียน

คําชี้แจงในการใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร สําหรับครู



สิ้นสุดการจัดกิจกรรมการเรียนรู ครูผูสอนควรดําเนินการดังนี้

1. เก็บรวบรวมผลงานของผูเรียนไปตรวจ

2. เนนย้ําใหผูเรียนทําการบานมาสงใหตรงตามเวลาที่กําหนด และนําขอบกพรองจากการทําการบาน

ของผูเรียนไปบอกและแกไขใหกับผูเรียนในคาบตอไป

3. ตรวจแบบทดสอบ บันทึกคะแนน และสรุปผลการประเมินพฤติกรรมของผูเรียน



คําชี้แจงในการใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตร สําหรับผูเรียน

การใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตรเลมนี ้สําหรับผูเรียนควรปฏิบัติตามคําแนะนํา ดังนี้

1. อานคําชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝกทักษะคณิตศาสตร คําแนะนําสําหรับผูเรียนในการใชแบบฝกทักษะ

คณิตศาสตร ใหเขาใจกอนลงมือปฏิบัติกิจกรรม

2. ศึกษาจุดประสงคการเรียนรูและผังมโนทัศนของแบบฝกทักษะ เพื่อใหทราบวาเมื่อเรียนจบแลว

ผูเรียนจะมีความรูในเรื่องใดบาง

3. ทําแบบทดสอบกอนเรียน ลงในกระดาษคําตอบ ตรวจคําตอบจากเฉลยแบบทดสอบกอนเรียน

พรอมทั้งบันทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน

4. ศึกษาใบความรูและตัวอยาง

5. ทําแบบฝกทักษะคณิตศาสตร ตรวจคําตอบจากเฉลยแบบฝกทักษะคณิตศาสตร พรอมทั้งบันทึก

คะแนนลงในแบบบันทึกคะแนนรายบุคคล

6. เมื่อผูเรียนไมเขาใจ ทําแบบฝกทักษะขอใดไมได หรือมีปญหาขอสงสัยในเนื้อหาใหกลับไปศึกษา

ใบความรูและตัวอยางอีกครั้งจนเขาใจดี หรือปรึกษาครูผูสอน แลวจึงกลับมาทําแบบฝกทักษะ

คณิตศาสตร

7. การเขียนคําตอบของแบบฝกทักษะคณิตศาสตรใหผูเรียนทําดวยความรอบคอบ ใหผลงาน มีความถูก

ตอง สะอาดเรียบรอย และเปนระเบียบ

8. ทําแบบทดสอบหลังเรียน ตรวจใหคะแนนตามเฉลย ถาไดต่ํากวา 80% ใหกลับไปศึกษาแบบฝก

ทักษะคณิตศาสตรอีกครั้ง

9. สรุปผลการเรียน ประเมิน ปรับปรุงและพัฒนาตนเอง

10. การศึกษาแบบฝกทักษะคณิตศาสตรเลมนี้จะไมบรรลุผลสําเร็จ ถาผูเรียนขาดความซื่อสัตยในการทํา

แบบฝกทักษะคณิตศาสตร



ขั้นตอนการปฏิบัติกิจกรรมการเรียนรู

คําชี้แจง ผูเรียนปฏิบัติกิจกรรมตามลําดับขั้นตอน ดังนี้

ชั่วโมงที่ 1

1. ทําแบบทดสอบกอนเรียน เรื่ อง ความหมายของลําดับและรูปแบบการกําหนดลํ าดับ

เพื่อทดสอบความรูพื้นฐาน

2. ผูเรียนศึกษาจุดประสงคการเรียนรู

3. ผูเรียนศึกษาใบความรูที่ 1 เรื่อง ความหมายของลําดับ

4. ผูเรียนทําแบบฝกทักษะท่ี 1 เรื่อง ความหมายของลําดับ

5. ผูเรียนชวยกันเฉลยคําตอบของแบบฝกทักษะคณิตศาสตร

6. ผูเรียนทําใบสรุปความรูที่ 1 เรื่อง ความหมายของลําดับ

7. ผูเรียนรวมกันทําใบแลกเปลี่ยนเรียนรูที่ 1 เรื่อง ความหมายของลําดับ

ชั่วโมงที่ 2

1. ผูเรียนศึกษาใบความรูที่ 2 เรื่อง รูปแบบการกําหนดลําดับ

2. ผูเรียนทําแบบฝกทักษะที่ 2 เรื่อง รูปแบบการกําหนดลําดับ

3. ผูเรียนชวยกันเฉลยคําตอบของแบบฝกทักษะคณิตศาสตร

4. ผูเรียนทําใบสรุปความรูที่ 2 เรื่อง รูปแบบการกําหนดลําดับ

5. ผูเรียนรวมกันทําใบแลกเปลี่ยนเรียนรูที่ 2 เรื่อง รูปแบบการกําหนดลําดับ

6. ผูเรียนทําแบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ความหมายของลําดับและรูปแบบการกําหนดลําดับ

เพื่อตรวจสอบความกาวหนา



สาระ มาตรฐานการเรยีนรู ผลการเรียนรู และจุดประสงคการเรียนรู สาระ

มาตรฐารการเรียนรู ตวัช้ีวัด และผลการเรียนรู

สาระที่ 4 พีชคณิต มาตรฐาน ค 4.1 เขาใจและวิเคราะหแบบรูป (pattern) ความสัมพันธ และฟงกชัน

ตัวชี้วัด ม.4-6/4 เขาใจความหมายของลําดับ และหาพจนทั่วไปของลําดับจํากัดท่ี

กําหนดใหได

สาระที่ 6 ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร และ สื่อ

ความหมายทางคณิตศาสตร และการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ

ทางคณิตศาสตรและการเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอื่น ๆ และมี

ความคิดริเริ่ม สรางสรรค

ตัวชี้วัด ม.4-6/2 ใชความรูทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรและเทคโนโลยีในการ

แกปญหาในสถานการณตาง ๆ ไดอยางเหมาะสม

ตัวชี้วัด ม.4-6/4 ใชภาษาและสัญลักษณทางคณิตศาสตรในการสื่อสาร การสื่อความหมาย

และการนําเสนอไดอยางถูกตองและชัดเจน

ตัวชี้วัด ม.4-6/5 เชื่ อมโยงความรูต าง ๆ ในคณิตศาสตรและนําความรู หลักการ

กระบวนการทางคณิตศาสตรไปเชื่อมโยงกับศาสตรอื่น ๆ

ผลการเรียนรู

1. เขาใจความหมายของลําดับและบอกความหมายของลําดับได

2. เขียนลําดับในรูปแจงพจนเมื่อกําหนดพจนทั่วไปของลําดับใหและเขียนพจนทั่วไปของ

ลําดับเมื่อกําหนดลําดับในรูปแจกแจงพจนให

3. ใชความรูทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรและเทคโนโลยีในการแกปญหาใน

สถานการณตาง ๆ ไดอยางเหมาะสม ใชภาษาและสัญลักษณทางคณิตศาสตรในการ

สื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอไดอยางถูกตองและชัดเจนเชื่อมโยง

ความรูตาง ๆ ในคณิตศาสตรและนําความรู หลักการกระบวนการทางคณิตศาสตรไป

เชื่อมโยงกับศาสตรอื่น ๆ



แบบทดสอบกอนเรียน

คําช้ีแจง

เรื่อง ความหมายของลําดับและรูปแบบการกําหนดลําดับ เวลา 15 นาที

คะแนน 10 คะแนน

กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร รหัส ค33202 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6

...............................................................................................................................................

จุดประสงคการเรียนรู : ผูเรียนสามารถ

1. บอกความหมายของลําดับได

2. บอกลําดับจํากัดและลําดับอนันตได

3. หาพจนแรกของลําดับได

4. หาพจนถัดไปของลําดับได

5. หาพจนทั่วไปของลําดับได

การตอบแบบทดสอบใหผูเรียนทําเครื่องหมาย ลงใน ใตตัวอักษร ก ข ค

และ ง ที่เปนคําตอบที่ถูกที่สุดเพียงขอเดียว บนกระดาษคําตอบ

1. ขอใดตอไปนี้ไมเปนลําดับ

ก. {(2, 4), (6, 8), (8, 12), (10, 16)}

ข. {(0 , -1), (1, -2), (2, -3), (3, -4), …}

ค. {(2, -7), (3 , -5), (4 , -3), (5 , -1), … , (10 , 9)}

ง. {(1 , 10), (2 , 20), (3 , 30), (4 , 40), … , (20 , 200)}

2. ขอใดตอไปนี้เปนลําดับจํากัด

ก. 0, 5, 10, 15, 20,... ,5n-5, ..., 1975

ข.

1 1 1 1 1, , , ,..., ,...2 6 12 20 1n n

ค. 5, 9, 13, 17, ... ,4n+1, ...

ง. 1, 3, 9, 27, ... ,3n-1 , ...



3. ลําดับในขอใดตอไปนี้เปนลําดับอนันต

ก. 3, 6, 9, 10, 12

ข. -3, 9, -27, … , 729

ค. an = 2n + 1 เมื่อ n ∈ I+

ง. an = 5n เมื่อ n = {1, 2, 3, … , 23}

4. สามพจนถัดไปของลําดับ -1, 1, 3, 5, … คือขอใด

ก. 6, 7, 8

ข. 6, 8, 10

ค. 7, 9, 11

ง. 7, 11, 15

5. ถา an = -2n + 7 แลวเขียนลําดับในรูปแจงพจนไดดังขอใด

ก. 2, 5, 12, 23, …

ข. 5, 3, 1, -1, …

ค. -1, 1, 3, 5, …

ง. 2, 4, 8, 14, …

6. พจนทั่วไปของลําดับ -2, 3, 8, 13, … คือขอใด

ก. an = 2n - 4

ข. an = 3n - 5

ค. an = 4n - 6

ง. an = 5n - 7

7. กําหนด an= 2n-1 เมื่อ n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} เขียนลําดับในรูปแจกแจงพจนไดตามขอใด

ก. 1, 3, 5, 7, 9

ข. 3, 5, 7, 9, 11

ค. 1, 5, 9, 13, 17

ง. 3, -7, 27, -7, 51



8. สี่พจนแรกของลําดับ an = 2n + 5 ตรงกับขอใด

ก. 1, 3, 5, 7

ข. 2, 4, 6, 8

ค. 7, 9, 11, 13

ง. 9, 11, 13, 15

9. สี่พจนแรกของลําดับ เมื่อกําหนด พจนที่ n คือ an = (-1)n ขอใดมีคาเทากับ a7 + a12

ก. -1

ข. 0

ค. 5

ง. 19

10. กําหนดลําดับ bn ซึ่ง b1 = 1 และ bn = nbn-1 เมื่อ n ≥ 2 ขอใดคือหาพจนแรกของลําดับนี้

ก. 1, 2, 6, 24, 120

ข. 5, 10, 15, 20, 25

ค. 2, 6, 24, 120, 7205

ง. 1, 6, 120, 5,040, 40,320



แบบทดสอบกอนเรียน กระดาษคําตอบ

เร่ือง ความหมายของลําดับและรูปแบบการกําหนดลําดับ

ชื่อ – สกุล ………………………………………………เลขที่ …………. ชั้น ม.6/…….

ขอ ก ข ค ง

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

คะแนน กอนเรียน ผลการประเมิน

เต็ม 10

ได

เกณฑการประเมิน

9 – 10 คะแนน ระดับ 4 ดีเยีย่ม

7 – 8 คะแนน ระดับ 3 ด ี

5 – 6 คะแนน ระดับ 2 พอใช ผานเกณฑ

0 – 4 คะแนน ระดับ 1 ปรบัปรุง




แบบทดสอบกอนเรียน



1 x

2 x

3 x

4 x

5 x

6 x

7 x

8 x

9 x

10 x



ชั่วโมงที ่1

Search : S การคนหาขอมูลที่เกี่ยวของกับปญหา

Solve : S การแกปญหาหรือการใชความคิดที่หลากหลาย

Create : C การสรางวิธีการหรือข้ันตอนการหาคําตอบ

Share : S การรวมแสดงความคิดเห็นตอวิธีการและการหาคําตอบ



ความหมายของลําดับ

พิจารณาตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยางท่ี 1 จํานวนเงินฝาก

ทับทิมนําเงินไปฝากธนาคารทุกเดือน เดือนละ 500 บาท เปนเวลา 5 เดือน เขียนตารางแสดง

จํานวนเงินสะสมในแตละเดือนไดดังนี ้

เดือนที่ 1 2 3 4 5

จํานวนเงินสะสม (บาท) 500 1,000 1,500 2,000 2,500

จากตารางจะเห็นวาความสัมพันธระหวางเดือนที่ฝากเงินกับจํานวนเงินสะสมในแตละเดือนเปน

ฟงกชันซึ่งมีโดเมนเปน { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } และมีเรนจเปน { 500, 1,000, 1,500, 2,000, 2,500,

3,000, 3,500, 4,000 }

ขั้นตอนที่ 1 Search : S การคนหาขอมูลที่เกี่ยวของกับปญหา

ใบความรู 1

เรื่อง ความหมายของลาํดับ



ตัวอยางที ่ 2 จํานวนไมขีดไฟ

1 2 3 4

จากตัวอยางขางตน พบวา ลําดับที่ของรูปและจํานวนไมขีดไฟในรูปมีความสัมพันธกัน ดังนี้

รูปที่ 1 2 3 4 5

จํานวนไมขีดไฟ 4 7 10 13 16

จากตารางจะเห็นวา ความสัมพันธของลําดับของรูป และจํานวนไมขีดไฟในแตละรูป เขียนเปน

ฟงกชันไดดังนี้

f = {(1,4) , (2,7) , (3,10) , (4,13) , (5,16)}

ซึ่งมีโดเมนเปน {1 , 2 , 3, 4 ,5} และมีเรนจเปน {4 , 7 , 10 , 13 , 16}

ตัวอยางที ่ 3 จํานวน

พิจารณา จํานวน 1, 4, 7, 10, 13, 16, … , 3n – 2 เมื่อ n เปนจํานวนนับ

จากตัวอยางของจํานวนขางตน เขียนความสัมพันธระหวางลําดับที่กับจํานวนแตละจํานวนไดดังนี้

ลําดับที่ 1 2 3 4 5 6 … n …

จํานวน 1 4 7 10 13 16 … 3n - 2 …

จากตารางจะเห็นวา ความสัมพันธของลําดับที่กับจํานวนเขียนเปนฟงกชันไดดังนี้

f = {(1,1) , (2,4) , (3,7) , (4,10) , (5,13) , (6,16) , … , (n,3n - 2) , …}

ซึ่งมีโดเมนเปน {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , … , n , …}

และมีเรนจเปน {1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , … , 3n – 2 , …}



ตัวอยางที่ 4 จํานวนเงินฝาก

นันทภัสนําเงินไปฝากธนาคารออมสิน โดยเดือนแรกฝาก 30 บาท เดือนตอไปฝากเพิ่มเดือนละ

12 บาท ทุกเดือน ซึ่งเขียนตารางแสดงจํานวนเงินฝากในแตละเดือนไดดังนี้

เดือนที่ 1 2 3 4 5 … 12

จํานวนเงินฝาก 30 42 54 66 78 … 372

จากตารางจะเห็นวา ความสัมพันธของเดือนที่กับจํานวนเงินฝากขางตน เขียนเปนฟงกชันไดดังนี้

f = {(1,30) , (2,42) , (3,54) , (4,66) , (5,78) , … , (12,372)}

ซึ่งมีโดเมนเปน {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … , 12}

และมีเรนจเปน {30 , 42 , 54 , 66 , 78 , … , 372}

ตัวอยางที่ 5 ฟงกชัน

กําหนดฟงกชัน f(x) = x + 1 จงหาคาของ f(x) เมื่อโดเมนมีคา 1, 2, 3, 4, … , n ซึ่งเขียน

ตารางแสดงคาของ f(x) ไดดังนี ้

x 1 2 3 4 … n

f(x) 2 3 4 5 … n + 1

จากตารางจะไดวา มีโดเมนเปน {1 , 2 , 3 , 4 , … , n}

และมีเรนจเปน {2 , 3, 4 , 5 , … , n + 1}



ในการเขียนลําดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจเรียงกัน กลาวคือ ถา a เปนลําดับซึ่ง a(1) = a1,

a(2) = a2, a(3) = a3, ..., a(n) = an, แลว

กรณี a เปนลําดับจํากัด เขียนแทนลําดับดวย a1, a2, a3, ... , an

กรณี a เปนลําดับอนันต เขียนแทนลําดับดวย a1, a2, a3, ... , an, ...

เรียก a1 วา พจนที่ 1 ของลําดับ

a2 วา พจนที่ 2 ของลําดับ

a3 วา พจนที่ 3 ของลําดับ . . . an วา พจนที่ n ของลําดับ หรือพจนทั่วไปของลําดับ

ตัวอยางของลําดับ

1. f(n) = 3n + 5 ; n ∈ {1 , 2 , 3 , 4 , 5}

โดเมน คือ {1 , 2 , 3 , 4 , 5}

เรนจ คือ {8 , 11 , 14 , 17 , 20}

ลําดับจะเขียนเฉพาะเรนจเทานั้น ลําดับตามตัวอยางดานบน คือ 8 , 11 , 14 , 17 , 20

2. f(n) = 2n - 5 ; n ∈ I�

โดเมน คือ {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , …}

เรนจ คือ {-3 , -1 , 1 , 3 , 5 , …}

ลําดับจะเขียนเฉพาะเรนจเทานั้น ลําดับตามตัวอยางดานบน คือ -3 , -1 , 1 , 3 , 5 , …



3. จงพิจารณาฟงกชันตอไปนีว้าสวนใดเปนโดเมน เปนเรนจและเปนลําดับ

ที ่ ฟงกชัน โดเมน เรนจ ลําดับ

1 f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} {1, 2, 3, 4} {2, 3, 4, 5} 2, 3, 4, 5

2 f = {(1, 1), (2, 1

2), (3,

1

4), (4,

1

6)} {1, 2, 3, 4} {1,

1

2,

1

4,

1

6} 1,

1

2,

1

4,

1

6

3 y = x + 3 {1, 2, 3, 4} {4, 5, 6, 7} 4, 5, 6, 7

4 y = 2x2 + 1 {1, 2, 3, 4, …} {3, 9, 19, 33, …} 3, 9, 19, 33, …

5 y = x3 {1, 2, 3, 4, …} {1, 8, 27, 81} 1, 8, 27, 81



จุดประสงค ผูเรียนสามารถบอกความหมายของลําดับได

คําชี้แจง ใหผูเรียนเติมขอความในชองวางใหถูกตองสมบูรณ

1. ลําดับ คือ ฟงกชันที่มี…………………………. เปนเซตของ ……………………. หรือสับเซต

ของ…………………………………… ในรูป {…. , …. , …. , …. , … , ….}

2. ไพลินตั้งใจจะปลูกตนมะละกอใหเต็มพื้นที่สวนหลังบาน โดยวันแรกปลูกได 2 ตน วันถัดไปจะปลูก

ตนมะละกอไดเพิ่มขึ้นวันละ 3 ตน เมื่อเวลาผานไป 8 วัน ไพลินปลูกมะละกอเต็มสวน เขียน

ตารางแสดงจํานวนตนมะละกอที่ปลูกในแตละวันไดดังตาราง

วันที ่ 1 2 3 4 5 6

จํานวนตนมะละกอ 2 ……. ……… ……… …….. ……..

โดเมน เปน ……………………………………………………………………………………………………..

เรนจ เปน …………………………………………………………………………………………………….…

ดังนั้นเขียนลําดับไดเปน ……………………………………………………………………………………….


แบบฝกทักษะ

1

ขั้นตอนที่ 2 Solve : S การแกปญหาหรือการใชความคิดที่หลากหลาย



3. จงพิจารณาฟงกชันตอไปนี้แลวเติมคําตอบใหสมบูรณ


1 f = {(1, 1), (2, -1), (3, 1), (4, -1)} {.…, …., …., ….}

2 f = {(1, 1), (2, �

�), (3,

�

�), (4,

�

�)} {…., …., …., ….}

3 y = 2x + 1 {1, 2, 3, 4}

4 y = x2 + 2 {1, 2, 3, 4, …}

5 y = x3 - 1 {1, 2, 3, 4, …}

4. f(n) = 4n + 1 ; n ∈ I�

โดเมน คือ …………………………………………………………………..

เรนจ คือ ………………………………………………………………….

ลําดับ คือ …………………………………………….…………………….



แบบฝกทักษะที่ 1

เร่ือง ความหมายของลาํดับ

1. ลําดับ คือ ฟงกชันที่มี โดเมน เปนเซตของ จํานวนนับ หรือสับเซตของ จํานวนเต็มบวก ในรูป

{1, 2, 3, 4, … , n, ….}

2. ไพลินตั้งใจจะปลูกตนมะละกอใหเต็มพ้ืนที่สวนหลังบาน โดยวันแรกปลูกได 2 ตน วันถัดไปจะปลูก

ตนมะละกอไดเพิ่มขึ้นวันละ 3 ตน เมื่อเวลาผานไป 6 วัน ไพลินปลูกมะละกอเต็มสวน เขียน

ตารางแสดงจํานวนตนมะละกอที่ปลูกในแตละวันไดดังตาราง

วันที ่ 1 2 3 4 5 6

จํานวนตนมะละกอ 2 …5…. …8…… …11… …14.. …17..

โดเมน เปน ……{1, 2, 3, 4, 5, 6}…………

เรนจ เปน ………{2, 5, 8, 11, 14, 17}.……

ดังนั้นเขียนลําดับไดเปน ………2, 5, 8, 11, 14, 17 ………….

3. จงพิจารณาฟงกชันตอไปนี้แลวเติมคําตอบใหสมบูรณ


1 f = {(1, 1), (2, -1), (3, 1), (4, -1)} {1, 2, 3, 4} {1, -1, 1, -1} 1, -1, 1, -1

2 f = {(1, 1), (2, �

�), (3,

�

�), (4,

�

�)} {1, 2, 3, 4} {1,

�

�, �

�, �

�} 1,

�

�, �

�, �

�

3 y = 2x + 1 {1, 2, 3, 4} {3, 5, 7, 9} 3, 5, 7, 9

4 y = x2 + 2 {1, 2, 3, 4, …} {3, 6, 11, 18, …} 3, 6, 11, 18, …

5 y = x3 - 1 {1, 2, 3, 4, …} {0, 7, 26, 63, …} 0, 7, 26, 63, …

4. f(n) = 4n + 1 ; n ∈ I�

โดเมน คือ {1, 2, 3, 4, …}

เรนจ คือ {5, 9, 13, 17, …}

ลําดับ คือ 5, 9, 13, 17, …



ใหผูเรียนเรียบเรียงและบันทึกความรูของผูเรียนที่ไดจากการศึกษาใบความรูที่ 1

และจากการทําแบบฝกทักษะที่ 1 โดยใชภาษาที่งายตอการเขาใจ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………..


1 ใบสรุปความรู

ขั้นตอนที่ 3 Create : C การสรางวิธีการหรือข้ันตอนการหาคําตอบ



ใหผูเรียนแตละคนแลกเปลี่ยนความรูของตนจากการทําแบบฝกทักษะ

โดยครูจะสุมผูเรียนออกมานําเสนอการสรุปความรู หรือแนวคิด

และวิธีการในการทํากิจกรรม

สรุปความรูกลุม

คนที่ 3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

คนที่ 4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

คนที่ 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

คนที่ 2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ใบแลกเปลี่ยน ความรู


1

ขั้นตอนที่ 4 Share : S การรวมแสดงความคิดเห็นตอวิธีการและการหาคําตอบ



ชั่วโมงที ่2

Search : S การคนหาขอมูลที่เกี่ยวของกับปญหา

Solve : S การแกปญหาหรือการใชความคิดที่หลากหลาย

Create : C การสรางวิธีการหรือข้ันตอนการหาคําตอบ

Share : S การรวมแสดงความคิดเห็นตอวิธีการและการหาคําตอบ



สามารถเขียนแสดงลําดับไดหลายรูปแบบ ดังตอไปนี ้

กําหนดลําดับโดยเขียนแจงพจนทั้งหมดของลําดับ

ถาลําดับที่พิจารณาเปนลําดับจํากัดและมีจํานวนพจนไมมากนัก วิธีการกําหนดหรือเขียนแสดง

ลําดับจะใชวิธีการเขียนพจนทั้งหมดของลําดับ ตัวอยางเชน

1) 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30

2) 1, 3, 9, 27

3) 0.1, 0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.8, 1.3

4) 1 2 3 4, , ,2 3 4 5

กําหนดลําดับโดยเขียนพจนเริ่มตนจํานวนหนึ่งพรอมกับพจนทั่วไปของลําดับ

วิธีการนี้จะใชกับลําดับจํากัดที่มีพจนจํานวนมากและลําดับอนันต ตัวอยางเชน

1) 0, 5, 10, 15, 20, ..., 5n-5, ..., 1975

2) 5, 9, 13, 17, ..., 4n+1, ..., 81

3) 1, 3, 9, 27, ..., 3n-1, ...

4)

1 1 1 1 1, , , ,..., ,...2 6 12 20 1n n

จากตัวอยาง จะเห็นวาทุกลําดับมีการเขียนแสดงพจนที่ n ของลําดับไวดวยอยางชัดเจนการ

กําหนดเชนนี้มีความสําคัญ เพราะหากไมกําหนดพจนที่ n ไว เขน จากลําดับ 2, 3, 5, 8, ... เมื่อตองการ

หาพจนถัดจาก 8 ผูหาอาจมีมุมมองที่แตกตางกัน เชน พจนถัดไปอาจเปน 13 เพราะ 5=3+2, 8=5+3

และ 13=8+5 หรือพจนถัดไปอาจเปน 12 เพราะ 3-2=1, 5-3=2, 8-5=3 และ 12-8=4 ดังนั้น ถาเปนไป

ไดควรเขียนแสดงพจนที่ n ของลําดับดวยทุกครั้ง

เพื่อความสะดวก สามารถกําหนดลําดับโดยเขียนเฉพาะพจนที่ n เชน กําหนดลําดับในขอ 4)

ขางตน ใหเปนลําดับ an ที่มี 1

1

n

an n

เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก

ขั้นตอนที่ 1 Search : S การคนหาขอมูลที่เกี่ยวของกับปญหา

ใบความรู 2

เรื่อง รูปแบบการกําหนดลําดับ



ตัวอยางท่ี 1 กําหนดลําดับ an=n+(-1)n จงหาหกพจนแรกของลําดับนี ้

วิธีทํา a1 = 1 + (-1)1(1) = 0

a2 = 2 + (-1)2(2) = 4

a3 = 3 + (-1)3(3) = 0

a4 = 4 + (-1)4(4) = 8

a5 = 5 + (-1)5(5) = 0

a6 = 6 + (-1)6(6) = 12

ดังนั้น หกพจนแรกของลําดับนี้คือ 0, 4, 0, 8, 0, 12

การกําหนดพจนเริ่มตนจํานวนหนึ่งพรอมกับสูตรการหาพจนถัดไปจากพจนกอนหนา

การกําหนดลําดับแบบนี้เรียกอีกอยางหนึ่งวา การกําหนดโดยใชความสัมพันธเวียนเกิด

ตัวอยางท่ี 2 กําหนดลําดับ an ซึ่ง a1=2 และ an=an-1+3 เมื่อ n≥2 จงหาหาพจนแรก

ของลําดับนี้

วิธีทํา จาก an = an-1 + 3 และ a1= 2

จะได a2 = a1 + 3 = 2 + 3 = 5

a3 = a2 + 3 = 5 + 3 = 8

a4 = a3 + 3 = 8 + 3 = 11

a5 = a4 + 3 = 11 + 3 = 14

ดังนั้น หาพจนแรกของลําดับนี้คือ 2, 5, 8, 11, 14

การกําหนดลําดับโดยการบอกเงื่อนไขหรือสมบัติของพจนของลําดับ

ถาไมทราบสูตรพจนทั่วไปของลําดับ และไมทราบความสัมพันธเวียนเกิดของลําดับ การ

กําหนดลําดับจําเปนตองใชวิธีการบอกเง่ือนไขหรือสมบัติของพจนของลําดับ เชน

1) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... คือลําดับ an เมื่อ an เปนจํานวนเฉพาะตัวที่ n

2) 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, ... คือลําดับ bk เมื่อ bk เปนทศนิยมตําแหนงที่ k ของ π ซึ่ง

เทากับ 3.1415926535...



จุดประสงค ผูเรียนสามารถบอกรูปแบบการกําหนดลําดับได

คําชี้แจง จงเติมคําตอบลงในชองวางใหสมบูรณ

1. ฟงกชันที่มีโดเมนเปน {1 , 2 , 3 , … , n} เรียกวา ……………………………………………..

ฟงกชันที่มีโดเมนเปน {1 , 2 , 3 , … , n , … } เรียกวา ……………………………………….

2. พจนที่ 3 ของลําดับ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 คือจํานวน ……………………………

พจนที่ 10 ของลําดับ -1 , -3 , -5 , -7 , … คือจํานวน ………………………………………….

พจนที่ 7 ของลําดับ an = 2n + 5 คือจํานวน ……………………………………………

3. จงบอกวาในแตละขอตอไปนี้ใชการกําหนดลําดับโดยวิธีใดจึงจะเหมาะสม

ขอ ลําดับ กําหนดลําดับโดย

1 2 , 5 , …. , 8, 11

2 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , …

3 6 , 10 , 14 , 18 , … , 50

4 an = 8n เมื่อ n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5

5 an = n + 5 เมื่อ n ∈ I�


2

ขั้นตอนที่ 2 Solve : S การแกปญหาหรือการใชความคิดที่หลากหลาย

แบบฝกทักษะ



แบบฝกทักษะที่ 2

เร่ือง รูปแบบการกําหนดลําดับ

คําชี้แจง จงเติมคําตอบลงในชองวางใหสมบูรณ

1. ฟงกชันที่มีโดเมนเปน {1 , 2 , 3 , … , n} เรียกวา ลําดับจํากัด

ฟงกชันที่มีโดเมนเปน {1 , 2 , 3 , … , n , … } เรียกวา ลําดับอนันต

2. พจนที่ 3 ของลําดับ 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 คือจํานวน 6

พจนที่ 10 ของลําดับ -1 , -3 , -5 , -7 , … คือจํานวน -19

พจนที่ 7 ของลําดับ an = 2n + 5 คือจํานวน 19

3. จงบอกวาในแตละขอตอไปนี้ใชการกําหนดลําดับโดยวิธีใดจึงจะเหมาะสม

ขอ ลําดับ กําหนดลําดับโดย

1 2 , 5 , …. , 8, 11 เขียนแจกแจงพจนทั้งหมดของลําดับ

2 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , … เขียนพจนเริ่มตนจํานวนหนึ่งพรอมกับ

สูตรทั่วไปของลําดับ

3 6 , 10 , 14 , 18 , … , 50 เขียนพจนเริ่มตนจํานวนหนึ่งพรอมกับ

สูตรทั่วไปของลําดับ

4 an = 8n เมื่อ n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 เขียนแจกแจงพจนทั้งหมดของลําดับ

5 a1 = 3, an+1 = an-2 กําหนดพจนเริ่มตนจํานวนหนึ่งพรอมกับ

สูตรการหาพจนถัดไปจากพจนกอนหนา



ใหผูเรียนเรียบเรียงและบันทึกความรูของผูเรียนที่ไดจากการศึกษาใบความรูที่ 2

และจากการทําแบบฝกทักษะที่ 2 โดยใชภาษาที่งายตอการเขาใจ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….


2 ใบสรุปความรู

ขั้นตอนที่ 3 Create : C การสรางวิธีการหรือข้ันตอนการหาคําตอบ



ใหผูเรียนแตละคนแลกเปลี่ยนความรูของตนจากการทําแบบฝกทักษะ

โดยครูจะสุมผูเรียนออกมานําเสนอการสรุปความรู หรือแนวคิด

และวิธีการในการทํากิจกรรม


คนที่ 1

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

คนที่ 2

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ใบแลกเปลี่ยน ความรู


2

ขั้นตอนที่ 4 Share : S การรวมแสดงความคิดเห็นตอวิธีการและการหาคําตอบ




คนที่ 3

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

คนที่ 4

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………



แบบทดสอบหลังเรียน


เรื่อง ความหมายของลําดับและรูปแบบการกําหนดลําดับ เวลา 15 นาที

คะแนน 10 คะแนน

กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร รหัส ค33202 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6

...............................................................................................................................................

จุดประสงคการเรียนรู : ผูเรียนสามารถ

1. บอกความหมายของลําดับได

2. บอกลําดับจํากัดและลําดับอนันตได

3. หาพจนแรกของลําดับได

4. หาพจนถัดไปของลําดับได

5. หาพจนทั่วไปของลําดับได

การตอบแบบทดสอบใหผูเรียนทําเครื่องหมาย ลงใน ใตตัวอักษร ก ข ค

และ ง ที่เปนคําตอบที่ถูกที่สุดเพียงขอเดียว บนกระดาษคําตอบ

1. ถา an = -2n + 7 แลวเขียนลําดับในรูปแจงพจนไดดังขอใด

ก. 2, 5, 12, 23, …

ข. 5, 3, 1, -1, …

ค. -1, 1, 3, 5, …

ง. 2, 4, 8, 14, …

2. ขอใดตอไปนี้ไมเปนลําดับ

ก. {(2, 4), (6, 8), (8, 12), (10, 16)}

ข. {(0 , -1), (1, -2), (2, -3), (3, -4), …}

ค. {(2, -7), (3 , -5), (4 , -3), (5 , -1), … , (10 , 9)}

ง. {(1 , 10), (2 , 20), (3 , 30), (4 , 40), … , (20 , 200)}



3. ลําดับในขอใดตอไปนี้เปนลําดับอนันต

ก. 3, 6, 9, 10, 12

ข. -3, 9, -27, … , 729

ค. an = 2n + 1 เมื่อ n ∈ I+

ง. an = 5n เมื่อ n = {1, 2, 3, … , 23}

4. ขอใดตอไปนี้เปนลําดับจํากัด

ก. 0, 5, 10, 15, 20,... ,5n-5, ..., 1975

ข.

1 1 1 1 1, , , ,..., ,...2 6 12 20 1n n

ค. 5, 9, 13, 17, ... ,4n+1, ...

ง. 1, 3, 9, 27, ... ,3n-1 , ...

5. สามพจนถัดไปของลําดับ -1, 1, 3, 5, … คือขอใด

ก. 6, 7, 8

ข. 6, 8, 10

ค. 7, 9, 11

ง. 7, 11, 15

6. สี่พจนแรกของลําดับ เมื่อกําหนด พจนที่ n คือ an = (-1)n

ขอใดมีคาเทากับ a7 + a12

ก. -1

ข. 0

ค. 5

ง. 19



7. พจนทั่วไปของลําดับ -2, 3, 8, 13, … คือขอใด

ก. an = 2n - 4

ข. an = 3n - 5

ค. an = 4n - 6

ง. an = 5n - 7

8. กําหนดลําดับ bn ซึ่ง b1 = 1 และ bn = nbn-1 เมื่อ n ≥ 2 ขอใดคือหาพจนแรกของลําดับ

นี้

ก. 1, 2, 6, 24, 120

ข. 5, 10, 15, 20, 25

ค. 2, 6, 24, 120, 7205

ง. 1, 6, 120, 5,040, 40,320

9. กําหนด an = 2n - 1 เมื่อ n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} เขียนลําดับในรูปแจกแจงพจนไดตาม

ขอใด

ก. 1, 3, 5, 7, 9

ข. 3, 5, 7, 9, 11

ค. 1, 5, 9, 13, 17

ง. 3, -7, 27, -7, 51

10. สี่พจนแรกของลําดับ an = 2n + 5 ตรงกับขอใด

ก. 1, 3, 5, 7

ข. 2, 4, 6, 8

ค. 7, 9, 11, 13

ง. 9, 11, 13, 15



แบบทดสอบหลังเรียน กระดาษคําตอบ


ชื่อ – สกุล ………………………………………………เลขที่ …………. ชั้น ม.6/…….

คะแนน กอนเรียน ผลการประเมิน

เต็ม 10

ได


9 – 10 คะแนน ระดับ 4 ดีเยีย่ม

7 – 8 คะแนน ระดับ 3 ด ี

5 – 6 คะแนน ระดับ 2 พอใช ผานเกณฑ

0 – 4 คะแนน ระดับ 1 ปรบัปรุง


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10




แบบทดสอบหลังเรียน



1 x

2 x

3 x

4 x

5 x

6 x

7 x

8 x

9 x

10 x



แบบบันทึกคะแนนแบบฝกทักษะคณิตศาสตร

เลมที่ 1 เรื่อง ความหมายของลําดับและรูปแบบการกําหนดลําดับ

ชื่อ - สกุล.......................................................เลขที่ ............................ ชั้น ม. 6/....

ที ่ รายการ คะแนนเตม็ คะแนนที่ได

1 แบบทดสอบกอนเรยีน 10

2 แบบฝกทักษะคณติศาสตรที่ 1 15

3 แบบฝกทักษะคณติศาสตรที่ 2 15

4 แบบทดสอบหลังเรียน 10

รวมคะแนนทั้งหมด 50

หมายเหตุ คะแนนทดสอบกอนเรียนไมนํามารวม บันทึกเพื่อดูพัฒนาการเทานั้น


รอยละ 80 ขึ้นไปถือวาผานเกณฑ (40 คะแนน)

ผลการประเมิน ผาน ไมผาน

ระดับคะแนน 4 3 2 1

ระดับคุณภาพ ดีมาก ดี พอใช ปรับปรุง

ชวงคะแนน ระดับคะแนน ระดับคุณภาพ

40 – 50 4 ดีมาก

30 - 39 3 ด ี

20 - 29 2 พอใช

0 - 19 1 ปรับปรุง



บรรณานุกรม

กนกวลี อุษณกรกุล และรณชัย มาเจริญทรัพย.(2548).คณิตศาสตรพื้นฐานและเพิ่มเติมเรื่อง ลําดับ

และอนุกรม ชวงชั้นที่ 4 (4-6). กรุงเทพฯ : สํานักพิมพเดอะบุคส.(2554).แบบฝกหัดและ

ประเมินผลการเรียนรูคณิตศาสตรเพิ่มเติมชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4-6 เลม 6. กรุงเทพฯ :

สํานักพิมพเดอะบุคส.

กมล เอกไทยเจริญ.(ม.ป.ป.).คณิตศาสตร ม.6 เลม 5 ค 015 . กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชซิ่ง.

กวิยา เนาวประทีป.(2555).เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร ลําดับและอนุกรม.นครปฐม : สํานักพิมพ

ฟสิกสเซ็นเตอร.

ณรงค ปนนิ่ม และคณะ.(2551).คูมือเตรียมสอบคณิตศาสตร ม.4-5-6.กรุงเทพฯ : ภูมิบัณฑิต.

ศึกษาธิการ,กระทรวง.(2553).คูมือครูรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร เลม 3 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4-6 ตาม

หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ สกสค.

ลาดพราว.

ศุภกิจ เฉลิมวิสุตมกุล.(2550).เทคนิคคณิตศาสตรพื้นฐานชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1. กรุงเทพฯ :

เอเชียแปซิฟคสพริ้นติ้ง.

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี.(2552).หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร

เลม 3 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4-6. กรุงเทพฯ : โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว.

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี.(2560).หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มคณิตศาสตร เลม 6

ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4-6. กรุงเทพฯ : โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว.

สําราญ มีแจง และคณะ.(2549).คณิตศาสตรพื้นฐาน มัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 สมบูรณแบบ.กรุงเทพฯ

: โรงพิมพวัฒนาพานิช.



ประวัติผูจัดทํา

ชื่อ-สกุล นายสุทิน สุทธิสิน

ภูมิลําเนาเดิม เกิดท่ีอําเภอวิภาวดี จังหวัดสุราษฎรธานี

ที่อยูปจจุบัน 520/21 หมู 4 ตําบลวังตะกอ อําเภอหลังสวน จังหวัดชุมพร 86110

โทรศัพทมือถือ 096-2894947

สถานที่ทํางาน โรงเรียนสวนศรีวิทยา 280 ตําบลหลังสวน อําเภอหลังสวน จังหวัดชุมพร 86110

ประวัติการศึกษา

- พ.ศ. 2535 – พ.ศ. 2538 ระดับประถมศึกษาปที่ 4 โรงเรียนบานปากเฒา จังหวัดสุราษฎรธานี

- พ.ศ. 2539 – พ.ศ. 2540 ระดับประถมศึกษาปที่ 6 โรงเรียนวัดโพธิ์นอย จังหวัดสุราษฎรธานี

- พ.ศ. 2540 – พ.ศ. 2543 ระดับมัธยมศึกษาตอนตน (ม.3) โรงเรียนตะกุกใตศึกษา จังหวัดสุ

ราษฎรธาน ี

- พ.ศ. 2543 – พ.ศ. 2546 ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย (ม.6) โรงเรียนตะกุกใตศึกษา จังหวัดสุ

ราษฎรธาน ี

- พ.ศ. 2546 – พ.ศ. 2549 ระดับปริญาตรี ครุศาสตรบัณฑิต สาขาวิชาคณิตศาสตร มหาวิทยาลัย

ราชภัฏสุราษฎรธานี

- พ.ศ. 2553 – พ.ศ. 2555 ระดับปริญญาโท ศึกษาศาสตรมหาบัณฑิต สาขาวิชา การบริหาร

การศึกษา มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร

ผลงานและความภาคภูมิใจ

1. ปฏิบัติหนาที่ครูผูสอนคณิตศาสตร ตั้งแตป พ.ศ. 2554

2. ไดรับการคัดเลือกเปน “ครูดีที่หนูรัก” ประจําปการศึกษา 2555 , 2556

3. ครูผูสอนนักเรียน รางวัลเกียรติบัตรระดับเหรียญทองแดง กิจกรรมการประกวดโครงงาน

คณิตศาสตร (ประเภท 1) ระดับชั้น ม.1-ม.3 งานศิลปหัตถกรรมนักเรียน ระดับภาคใต ครั้งที่

64 จังหวัดกระบี่ ประจําปการศึกษา 2557

4. ทําหนาที่ครูที่ปรึกษาดูแลชวยเหลือนักเรียน ตามโครงการเยี่ยมบานนักเรียน 100% (ป

การศึกษา 2559 , 25560 , 25561)

5. ไดรับเครื่องหมายเชิดชูเกียรติ “หนึ่งแสนครูด”ี ประจําปการศึกษา 2558

6. ไดรับพระราชทานเครื่องราชอิสริยาภรณอันมีเกียรติอันมีเกียรติยศยิ่งมงกุฎไทยชั้นต่ํากวา

สายสะพาย ประจําป 2560

โดยคุณครูสุทิน สุทธิสิน กลุ...

Documents