ทฤษฎีการไหลซึม (seepage theory) · ปฐพีกลศาสตร์...

ปฐพกลศาสตร (Soil mechanics) บทท 5 การไหลของนำในดน

ดงนน

◀

► ตวอยางท 5.8 (Das and sobhan, 2013) ลกษณะของชนดน 3

ชนมคณสมบตดงน

- ดนชนท 1 ความหนา D1 = 1.5 m และ k1 = 10-4 cm/s

- ดนชนท 2 ความหนา D2 = 3.0 m และ k2 = 3.2 x 10-2 cm/s

- ดนชนท 3 ความหนา D3 = 2.0 m และ k3 = 4.1 x 10-5 cm/s

ใหคำนวณหาคาอตราสวนของคาสมประสทธการไหลซมผานไดของนำเฉลยในแนวราบตอคาสมประสทธการไหลซมผานไดของนำเฉลยในแนวดง (kH / kv)

วธทำ

เราจะสามารถคำนวณหาคาสมประสทธการไหลซมผานไดของนำในแนวราบเฉลย (kH) ไดจากสมการ 5.19

"

"

"

คำนวณหาคาสมประสทธการไหลซมผานไดของนำในแนวดง

เฉลย (kv) ไดจากสมการ 5.20

"

"

"

ดงนน

◀

► ตวอยางท 5.9 (Das and sobhan, 2013) ในการทดสอบการไหลซมผานของนำผานมวลดนในอปกรณการทดลองทมพนทหนาตดขนาด 100 x 100 มลลเมตรแบบสเหลยมจตรส (รปท 5.10) โดยระหวางการทดลองมการรกษาระดบนำใหคงท (เฮดคงท) ทความตางเทากบ 300 มลลเมตร กำหนดใหคาสมประสทธการไหลซมผานไดของนำของดนแตละชนเปนดงน

- ชนดน A มคา k = 10-2 cm/s

- ชนดน B มคา k = 3 x 10-3 cm/s

- ชนดน C มคา k = 4.9 x 10-4 cm/s

ใหคำนวณหาคาอตราการไหลของนำ (หนวย cm3/hr)

วธทำ

จากรปจะพบวา นำจะไหลซมผานชนดนในแนวตงฉาก (vertical

flow) กบชนดน ดงนนสมการทจะใชในการคำนวณหาคาสมประสทธการไหลซมผานไดของนำในแนวดงเฉลย (kv) จะสามารถคำนวณไดจากสมการท 5.20

"

"

"

และในการคำนวณหาคาอตราการไหลของนำจะสามารถคำนวณไดจากสมการท 5.3

"

"

◀

5.10 ทฤษฎการไหลซม (Seepage theory)

ในกรณโดยทวไป เราจะพจารณาการไหลมของนาผาน

มวลดนในระนาบ 2 มต เน การไหลมของนาผานมวลดน

ใตเอน (รปท 5.11) โดยมวลดนทเราพจารณานนจะถก

สมมตใหมความเปนเนอเดยวกน (homogeneous) รวมถง

มคามประทธการไหลมผานไดของนาในมวลดนเทากน

ท กท ศทาง ( i so t rop ic w i th respect to

permeability, k) หากเราพจารณาระนาบของดนใน

ระนาบแกน x - z จากกฎของดาร (Darcy’s law) เราจะ

สามารถเขยนสมการการหาคาความเรวของการไหลของนา

(flow velocity, ) ตามแนวแกน x และแนวแกน z (รปท

5.11) ไดดงสมการท 5.21 และสมการท 5.22 ตามลาดบ

ดงน

kHkv

= 185

kH =D1k1 +D2k2 +D3k3

D1 +D2 +D3

kH =(150)(10�4) + (300)(3.2⇥ 10�2) + (200)(4.1⇥ 10�5)

150 + 300 + 200

kH = 1.48⇥ 10�2 cm/s

kv =D1 +D2 +D3

D1/k1 +D2/k2 +D3/k3

kv =150 + 300 + 200

(150/10�4) + (300/3.2⇥ 10�2) + (200/4.1⇥ 10�5)

kv = 1.02⇥ 10�4 cm/s

kHkv

= 145

kv =D1 +D2 +D3

D1/k1 +D2/k2 +D3/k3

kv =150 + 150 + 150

(150/10�2) + (150/3⇥ 10�3) + (150/4.9⇥ 10�4)

kv = 1.21⇥ 10�3 cm/s

q = kviA

q = (1.21⇥ 10�3)

✓300

450

◆(10⇥ 10)

q = 0.0809 cm3/s = 291.24 cm3/hr

v

- - 89


งสมการท 5.21 และ 5.22 มคาเปนลบเนองจากความ

สงเฮดทงหมดของนา (total head, h) ในการไหลมมคา

ลดลงในทศทาง และ เปนผลใหความความเรวในการ

ไหลมลดลง

หากเราพจารณาวนของดน (soil element) ใตเขอน

เพอการวเคราะหการไหลของนาผานมวลดนแบบ 2 มต ดง

รปท 5.12 โดยวนของดนอมตว (saturated soil) งม

ขนาด dx, dy และ dz ในทศทาง x, y และ z ตามลาดบ

กาหนดใหการไหลของนาผานมวลดนใตเขอนเปนการไหล

แบบ 2 มตในระนาบแกน x - z เท านน (ไมมการไหลใน

ทศทางแนวแกน y ) หรอ

ดงนนคาความเรวในการไหลของนา (discharge

velocity) ทไหลเขา (inflow) วนของดนจะมคาเทากบ

และ ตามลาดบ และอตราการเปลยนแปลงคา

ความเรวในการไหลของนา (rate of change of

discharge velocity) ในแนวแกน x และ z จะมคาเทากบ

และ ตามลาดบ เราจะสามารถคานวณ

คาปรมาณการไหลเขาของนา (volume of inflow

water, qinflow) ผานวนของดนตอหนงหนวยเวลาไดจาก

กฎของดาร ( )

ดงนนคาปรมาณการไหลเขาของนา (volume of

inflow water, qinflow) ผานวนของดนตอหนงหนวยเวลา

จะมคาเทากบ

เราจะสามารถคานวณคาปรมาณการไหลออกของนา

(volume of outflow water, qoutflow) ผานวนของดน

ตอหนงหนวยเวลาไดจากกฎของดาร ( )

[5.21]!vx = kH ix = �k

@h

@x

[5.22]!vz = kviz = �k

@h

@z

vx vz

vy = 0

vx vz

@vx/@x @vz/@z

q = Av

[5.23]

[5.24]

!q inflow x = Avx = dydz vx = vx dydz

พนทหนาตดของวนพนผว F ตามรปท 5.12A =

q inflow z = Avz = dxdy vz = vz dxdy

พนทหนาตดของวนพนผว B ตามรปท 5.12A =

q inflow = q inflow x + q inflow z

q inflow = vx dydz + vz dxdy

q = Av

[5.25]

!q outflow x = A(vx +

@vx@x

dx)

พนทหนาตดของวนพนผว C ตามรปท 5.12A =

!= (vx +

@vx@x

dx)dydz

�= dydz(vx +@vx@x

dx)

- - 90

รปท 5.11 การไหลของนำผานมวลดนแบบ 2 มต


ดงนนคาปรมาณการไหลออกของนา (volume of

outflow water, qoutflow) ผานวนของดนต อหนงหนวย

เวลาจะมคาเทากบ

หากวนของมวลดน (soil element) อมตวนไมมการ

เปลยนแปลงปรมาตร และนาไมสามารถยบอดตวได

(incompressible) ความแตกตางของปรมาณนาทไหล

เขาและปรมาณนาทไหลออกในวนของมวลดนตอหนง

หนวยเวลาจะมคาเทากบศนย หรอปรมาณนาทไหลเขาใน

วนของมวลดนและปรมาณนาทไหลออกจากวนของมวล

ดนจะมปรมาณนาทเทากน ดงนน

[5.26]

!q outflow z = A(vz +

@vz@z

dz)

พนทหนาตดของวนพนผว E ตามรปท 5.12A =

!= (vz +

@vz@z

dz)dxdy

�= dxdy(vz +@vz@z

dz)

q outflow = q outflow x + q outflow z

q outflow = (vx +@vx@x

dx)dydz + (vz +@vz@z

dz)dxdy

- - 91

รปท 5.12 การไหลของนำผานสวนของมวลดน (soil element) แบบ 2 มต


ดงนน เราจะไดสมการขนใหม เรยกวา สมการความตอ

เนองในการไหล (flow continuity equation) แบบ 2 มต

จากกฎของดาร ดงสมการท 5.21 และ 5.22

แทนคาสมการขางตนลงในสมการท 5.27 จะไดสมการ

ใหมดงน

หรอ

จากสมมตฐานของทฤษฎการไหลม คามประทธการ

ไหลมผานไดของน า ในมวลดน เท ากนทกทศทาง

(isotropic with respect to permeability, k) เพราะ

ฉะนน

ดงนน

โดยสมการท 5.28 จะเรยกวา สมการของลาปลาซ

(Laplace's equation) ในรปของเฮด (h)

สมการของลาปลาซในการวเคราะหปญหาการไหลม

ของนาผานดนมสมมตฐานทาคญดงน

1. การไหลของนาผานดนเปนแบบ 2 มต

2. น า แ ล ะ ม ว ล ด น ไ ม ส า ม า ร ถ ย บ อ ด ต ว ไ ด

(incompressible)

3. มวลดนมลกษณะสมาเสมอและเปนเนอเดยวกน

(isotropic and homogeneous)

4. มวลดนม ลกษณะอมตวโดยสมบรณ (fully

saturated)

5. การไหลของนาคงท (steady) ไมเปลนแปลงไปตาม

เวลา

6. การไหลของนาผานดนเปนไปตามกฎของดาร

อยางไรกตาม สมการของลาปลาซยงสามารถแสดงคา

กยภาพของความเรว (velocity potential) ในการไหล

ม หรอฟงกน หรอเรยกวาเปน potential function

ดงน

กาหนดให

ดงนน

แทนคา และ ลงในสมการท 5.27

สมการท 5.29 เรยกวา สมการของลาปลาซ (Laplace

equation) ในรปของคากยภาพของความเรว (velocity

potential) ในการไหลม

งฟงกน หรอ หรอ potential

function เปนคาคงทหรอฟงกนสเกลาร (scalar

scalar) ดงนน หากเรายกตวอยางโดยกาหนดใหคาฟงกน

มคาเทากบ ค านจะเปนคาท แสดงเนโคงตาม

แนวคาเฮดทงหมด (total head, h1) ทมคาเทากนตลอดทง

เน (เฮดคงทตลอดทงเนโคงทงเน) และหากคาฟงกน

มคาเทากบชดของคา ค าแสดง

ชดเนโคงเหลานกจะเปนคาทแสดงเนโคงตามแนวคาเฮด

ทงหมดทมคาเทากนตลอดทงเนดวยเนกน (โดยมคาแตก

q inflow = q outflow

vx dydz + vz dxdy = (vx +@vx@x

dx)dydz

+ (vz +@vz@z

dz)dxdy

[5.27]!@vx@x

+@vz@z

= 0

vx = kH ix = �k@h

@x= �kx

@h

@x

vz = kviz = �k@h

@z= �kz

@h

@z

�kx@2h

@x2� kz

@2h

@z2= 0

kx@2h

@x2+ kz

@2h

@z2= 0

kx = kz

[5.28]!@2h

@x2+

@2h

@z2= 0

�

� = �kh

@�

@x= vx = �k

@h

@x

@�

@z= vz = �k

@h

@z

vx vz

[5.29]!@2�

@x2+

@2�

@z2= 0

� �(x, z)

�(x, z) �1

�(x, z) �1,�2,�3, ....

- - 92


ตางกนในเนโคงแตละเน) งเนโคงเหลานจะถกเรยกวา

เนโคงกยภาพเทยบเทา (equipotential lines)

ฟงกนทสองตามทฤษฎของลาปลาซทสามารถแสดง

คาฟงกนในการไหล (flow function) ไดแก ฟงกน

หรอเรยกอกอยางไดวา stream function งฟงกน

นเปนคาคงทหรอฟงกนสเกลาร (scalar scalar) ตาม

พกด x, z โดยอนพนธยอยจะเปนไปตามสมการ

าหรบสภาวะการไหลมแบบไมหมนวน (irrotational

flows) จะเปนไปตามสมการการไหลแบบไมหมนวนดงน

แทนคา และ ลงในสมการท 5.30 จะได

สมการใหมดงน

โดย

potential function เน

( อานวา Phi - ฟ, ฟาย)

stream function

( อานวา Psi - พ, ซาย)

หากเราเปรยบเทยบนยามของคา potential function

( ) และ stream function ( ) จะสามารถแสดงไดดงน

ผลตางเงอนพนธรวม (total differential) ของ

ฟงกน มคาเทากบ

�@

@x= vz = �k

@h

@z

@

@z= vx = �k

@h

@x

[5.30]!@vz@x

�@vx@z

= 0

vx vz

[5.31]!@2

@x2+

@2

@z2= 0

�(x,z) = � = �kh

�

(x,z) =

�

�(x,z)

!�(x,z) : d(�) =

@�

@xdx+

@�

@zdz

!= vxdx+ vzdz

- - 93

รปท 5.13 ภาพแสดงลกษณะของเสนโคงศกยภาพเทยบเทา (equipotential lines) และเสนโคงการไหล (flow lines)


งจากทไดกลาวมาแลวขางตนฟงกน หรอ

หรอ potential function เป นคาคงท

(constant) ดงนน

และ

[5.32]

ผลตางเงอนพนธรวม (total differential) ของ

ฟงกน มคาเทากบ

งจากทไดกลาวมาแลวขางตน ฟงกน หรอเรยกอก

อยางไดวา stream function งฟงกน นเปนคาคงท

(constant) ดงนน

และ [5.33]

ดงนน จดมผสทจดใด ๆ บนเนโคงจะสามารถแสดง

คาไดโดย

กาหนดใหคาฟงกน มคาเทากบ คานจะ

เปนคาทแสดงเนโคงตามแนวเนทางการไหล (flow

path) และหากคาฟงกน มคาเทากบชดของคา

คงท คาแสดงชดเนโคงเหลานกจะเปน

คาทแสดงเนโคงตามแนวเนทางการไหลทงหมดทมคาเทา

กนตลอดทงเนดวยเนกน งเนโคงเหลานจะถกเรยกวา

เนโคงการไหล (flow lines)

หากเราเปรยบเทยบสมการท 5.32 และสมการท 5.33

จะพบวาเนโคงการไหล (flow lines) หรอเนโคงแสดง

คาคงทของคาฟงกน จะตดกบเนโคงกยภาพ

เทยบเทา (equipotential lines) หรอเนโค งแสดงคา

คงทของคาฟงกน หรอคาคงทของคาเฮด (h) ท

มม 90 องศา (right angles) ดงนน จดมผสกบเนโคง

ของเนทางการไหลจะแสดงทศทางของคาผลลพธของ

ความเรวในการไหลม (resultant seepage velocity)

ดงรปท 5.13

ดงนนสรปไดวา สมการของลาปลาซ สามารถอธบาย

เนโคงสองเนทตดกนทมม 90 องศา โดยเนโคงทแสดง

ค าคงท เร ยกวา เ น โคงกยภาพเทยบเท า

(equipotential lines) และเนโคงทแสดงคาคงท

เรยกวา เนโคงการไหล (flow lines) การสรางภาพ

กราฟฟก (graphical construction) ของเนโคงทงสอง

นจะถกเรยกวา ตาขายการไหลมของนาผานมวลดน (flow

net)

5.11 ตาขายการไหลของนำผานมวลดน (Flow nets)

ตามหลกการาหรบการแกไขปญหาของการไหลม

ผานไดของนาผานมวลดน เราตองมการคานวณคาฟงกน

และคาฟงกน ในเงอนไขขอบเขตท

เกยวของ โดยผลเฉลยของการแกปญหาดงกลาวจะสามารถ

แสดงกลมของเนโคงการไหลและเนโคงกยภาพเทยบ

เทา งกลมของเนโคงการไหลและเนโคงกยภาพเทยบ

เทาเหลานจะถกเรยกวา ตาขายการไหลของนาผานมวลดน

(Flow nets)

หลกการพนฐานในการวาดตาขายการไหลของนาผาน

มวลดน คอ ทจดตดกนของเนโคงการไหลและเนโคง

กยภาพเทยบเทาจะตองตดกนทมม 90 องศา งคณสมบต

ทาคญของเนโคงทงสองชนดจากการวาดตาขายการไหล

ของนาผานมวลดน คอ วงหางระหวางเนโคงกยภาพ

เทยบเทาสองเนทตดกนจะแสดงคาความแตกตางของเฮด

คงท (∆H) และวงหางระหว างเนโคงการไหลสองเนท

ตดกนจะแสดงคาความแตกตางของปรมาณการไหลคงท

(∆q) ดงรปท 5.13 โดยเมอตาขายการไหลของนาผานมวล

ดนถกสรางหรอวาดขนแลว คณสมบตของภาพกราฟฟกท

ไดวาดขนนนจะถกใาหรบการแกไขปญหาการไหลมของ

นาผานมวลดนใตโครงสรางตาง ๆ เน เขอน กาแพงกนดน

เปนตน โดยเราจะสามารถคานวณคาของปรมาณการไหล

ม (seepage quantities) รวมถ ง ความดนในการไหล

�

�(x, z)

d� = 0

dz

dx= �vx

vz

(x,z)

! (x,z) : d( ) =

@

@xdx+

@

@zdz

!= �vzdx+ vxdz

d = 0

dz

dx=

vzvx

(x,z) = 1

(x, z) 1

(x, z)

1, 2, 3, ....

(x, z)

�(x, z)

�

�(x, z) (x, z)

- - 94


ม (seepage pressures) ไดจากภาพกราฟฟกของชด

เนโคงทงสองชนดไดตอไป

ดงนนเราจะสามารถคานวณคาการสญเยเฮดทงหมด

(total head lost, H) ไดจากสมการท 5.34 ดงน

คานวณคาการไหลมทงหมด (total seepage flow,

q) ไดจากสมการท 5.35 ดงน

จากสมการท 5.3 ตามกฎของดาร กาหนดให พนท

การไหลของนาผานดนมความกวางเทากบ a ความลกใน

แนวแกน y เทากบ 1 และความยาวหรอเนทางในการไหล

เทากบ b ตามรปท 5.13 ดงนน

[5.36]

พนททนาไหลผานมวลดนตามแนวเนโคงการไหล

(flow lines) ตามรปท 5.13 จะไหลผานพนท A งม คา

เทากบ a x 1 = a โดยทค ามประทธในการไหลมคา

เทากบ k และมคาความลาดนทางชลศาสตรเทากบ i =

โดยคา ∆H คอ ความแตกตางของเฮดหรอค า

ค ว า ม แตกต า ง ข อ ง เ น โ ค ง ก ยภ าพ เท ย บ เท า

(equipotential lines) ระหวางดานตนทางนาไหล

(headwater) และปลายทางนาไหล (tailwater) งมคา

เทากบ

ดงนน

[5.37]

อยางไรกตาม ในการวาดภาพกราฟฟกของเนโคงทง

สองหรอการวาดตาขายการไหลมของนาผานมวลดน

(flow net) นน เราควรทจะตองวาดใหมาตราวน (scale)

ของตาขายมอตราวน 1:1 หรอ ท a/b = 1 งขนาดรป

รางของตาขาย (จดตดกนระหวางเนโคงการไหลและเน

โคงกยภาพเทยบเทา) ควรเปนรปทใกลเคยงกบรปเหลยม

จตรส (square) ใหมากทสดเทาทจะเปนไปได

ดงนน การไหลมทงหมดของนาผานมวลดนโดยการ

คานวณโดยใตาขายการไหลมของนาผานมวลดนจะ

สามารถคานวณไดจาก สมการท 5.34, 5.35 และ 5.37

ดงน

แทนคาลงในสมการท 5.35 เพอคานวณคาการไหลม

ทงหมด (total seepage flow, q)

และจากสมการท 5.34 ดงนน

โดย Nf = จานวนองของเนทางการไหลของนา

Nd = จานวนองของวงเนกยภาพเทยบเทา

H = การสญเยเฮดทเกดขนทงหมดระหวาง

ตนทางนาไหล (headwater) และปลายทางนาไหล

(tailwater)

เพอใหการคานวณคาปรมาณการไหลมทงหมดของนา

ทจะเกดขนผานมวลดน (q) เปนไปอยางถกตองมากท สด

การวาดตาขายการไหลมของนาผานมวลดนหรอ flow

net ตองเปนไปตามกฎทาคญดงตอไปน (รปท 5.14)

1. อาณาเขตจตรส (square field) เปนบรเวณพนทท

ลอมรอบดวยวนของเนโคงกยภาพเทยบเทาและ

วนของเนโคงการไหล โดยพนทอาณาเขตแตละ

องนควรมลกษณะเปนเหลยมจตรสใหมากทสดเทา

ทจะเปนไปได (สามารถเขยนวงกลมในพนทไดพอด)

2. การตดกนของเนโคงกยภาพเทยบเทาและเนโคง

การไหลตองตดกนเปนมมเทากบ 90 องศา

3. ขอบเขตมผานไมได (impermeable boundary)

เปนขอบเขตทนาจะไมสามารถไหลมผานไปได งม

คา เปนคาคงท ดงนนของเขตมผานไมไดนจะเปน

[5.34]

!H = �H x no. of equipotential drops

H = �H x Nd

[5.35]

!q = �q x no. of flow intervals

q = �q x Nf

q = Av = Aki

� = �q = �Aki

�H/b

��

� = �q = ak�H

b=

a

bk�H

�q =a

bk�H = (1)k�H = k�H

q = k�HNf

�H = H/Nd

[5.38] q = kH

Nf

Nd

- - 95


เน (โคง) การไหลเนหนงทอยขอบนอกสดของชด

เนโคงการไหล (เน AB และ DEF)

4. ขอบเขตมผานได (permeable boundary) เปน

ขอบเขตทนาจะไหลมผานไปได งมคาเฮดคงท ดง

นนของเขตมผานไดนจะเปนเน (โคง) กยภาพ

เทยบเทาเนหนงทอยขอบนอกสดของชดเนโคง

กยภาพเทยบเทา (เน CD และ FG)

5. ทงเนโคงการไหลและเนโคงกยภาพเทยบเทาจะ

ไมตดกนเองแตจะมลกษณะทขนานกนไป

ขนแรกของการวาดตาขายการไหลมของนาผานมวล

ดนนน หรอ flow net เราตองวาดโครงสรางเขอน กาแพง

กนดน เขมตอก หรอโครงสรางกนนาอน ๆ ตามมาตรวนท

ถกตอง โดยตองมการกาหนดขอบเขตหรออาณาเขตของ

โครงสราง นดนรวมถงระดบนาตนนา (upstream) และ

ระดบนาปลายนา (downstream) ตามความเปนจรงเพอ

ใหการคานวณมความถกตองมากทสด เมอเราวาดรป

โครงสรางและนดน รวมถงระดบนาตามมาตรวนทถก

ตองแลว การวาด flow net จะเปนไปตามกฎทไดกล าวมา

แลวขางตน ดงรปท 5.14 โดยกฎทาคญทสดมอย 2 ขอ

ไดแก การวาดเนโคงการไหล (flow line) และเนโคง

กยภาพเทยบเทา (equipotential line) ตดกนท 90

องศา และใหตาขายแตละองมลกษณะอาณาเขตแบบ

จตรส (square field)

ในครงแรกของการวาด flow net เราอาจใดนสอใน

การวาดเพอการลองผดลองถก (trial and errors) ในการ

วาดเนโคงการไหล (flow line) และเนโคงกยภาพเทยบ

เทา (equipotential line) เพอใหไดอาณาเขตจตรส

(square field) หรอ จตรสเ นโคง (curvilinear

square) รวมถงใหเนโคงทงสองชนดตดกนท 90 องศา

ใหมากทสดเทาทจะเปนไปได

าหรบผทยงไมมประสบการณหรอมประสบการณใน

การวาด flow net นอย อาจตองใการลองผดลองถกอย

หลายครงเพอใหการวาด flow net เปนไปตามกฎทไดกลาว

ไว งหากมการฝกฝนในการวาด flow net หลาย ๆ ครง

หรอหลาย ๆ รปแบบ เราจะสามารถตดนใจไดวารป flow

net รปแบบใดหรอลกษณะไหนทจะทาใหการคานวณ

ปรมาณการไหลมของนาผานดนเปนไปอยางถกตองมาก

ทสด โดย flow net ทดทสดาหรบปญหาการไหลมใด ๆ

จะเกดจากการวาดทตรงกบกฎทงสองขอทกาหนดไวมาก

ทสด โดยมอาณาเขตจตรส หรอจตรสเนโคงครบทกอง

- - 96

รปท 5.14 การวาดตาขายการไหลซมของนำผานมวลดน (flow net) และนยามของเสนโคงศกยภาพเทยบเทา (equipotential lines) และเสนโคงการไหล (flow lines)


ภายใน flow net งการตรวจสอบความเปนจตรสในแตละ

อง อาจทาไดโดยงายโดยการวาดวงกลมใน อาณาเขต

จตรส หรอจตรสเนโคง หากวงกลมมผสกบขอบเนโคง

จตรสทงดานพอดกแสดงวา flow net ทกาลงสรางขนนน

มความถกตอง

ตามทฤษฎ เราสามารถทจะวาดเนโคงการไหล หรอ

flow line ไดมากเทาใดกไดตามทเราตองการ โดยยงมการ

วาดเนโคงการไหลมากเทาใด จะยงทาใหการคานวณคา

ปรมาณการไหลมของนาผานมวลดนเปนไปอยางถกตอง

มากยงขน แตอยางไรกตามในทางปฏบตแนะนาวาเพอ

ใหการวาด flow net เปนไปอยางงายและประหยดเวลาใน

การวาด เราอาจจะวาดเนโคงการไหลจานวนแคเพยง 2 -

3 เน งโดยปกตทวไปเนโคงการไหลทจาเปนในการ

คานวณไดอยางถกตองมจานวนไมเกน 5 - 6 เนกเพยง

พอแลว

► ตวอยางท 5.10 การกอสราง ณ สถานทแหงหนง มการกอสรางโดยการใชเขมพด (sheet plie) เพอปองกนนำไหลเขามา ณ สถานทกอสราง โดยวศวกรไดคำนวณใหเขมพดถกตองลงในดนทราย

(sandy soil) ลกเทากบ 8 เมตร (z = 8 m) โดยดนทรายเปนดนทมลกษณะเปนเนอเดยวกน (homogeneous) มความหนาเทากบ 15

เมตรและตงอยบนชนทบนำ (impermeable layer) หากระดบนำทถก

กนไวดานหนงมความสงของระดบนำเทากบ 6 เมตร และระดบนำอกดานหนงถกสบออกไปอยางตอเนองทำใหระดบลดลงเหลอ 1 เมตร (รปท 5.15) กำหนดใหคาสมประสทธการไหลซมไดของนำผานดนมคาเทากบ 9 x 10-3 มลลเมตรตอวนาท

ใหนสต 1) วาดรป flow net สำหรบการไหลซมของนำผานชนดนทราย และคำนวณคาปรมาณนำทไหลซมผานชนดนทรายใตเขมพดน 2) หากวศวกรเปลยนระดบความลกในการตอกเขมพดลงไปในชนดนทรายใหมากขน โดยลกเทากบ 10 เมตร และ 12 เมตร (z =

10, 12 m) ใหนสตวาดรป flow net สำหรบการไหลซมของนำผานชนดนทราย และคำนวณคาปรมาณนำทไหลซมผานชนดนทรายใตเขมพดน และเปรยบเทยบกนวาหากระดบการตอกเขมพดใหมความลกเพมขนจาก 8 เมตรเปน 10 และ 12 เมตรน ปรมาณนำทไหลซมผานชนดนทรายใตเขมพดนจะมปรมาณนำไหลซมมากขนหรอลดลง

วธทำ

จากรปเราสามารถนยามขอบเขตการไหลซมของนำไดดงน

- ขอบเขตซมผานไมได (impermeable boundary) ตามแนวเขมพด BCD และตามแนวชนทบนำ GG´โดยเสน(โคง) ตามแนวขอบเขตทงสอง คอ เสนโคงในการไหล (flow lines)

- ขอบเขตซมผานได (permeable boundary) ตามแนว BB´ จะมคาเฮดคงท (เทากบ 6 เมตร) และตามแนว DD´ มคาเฮดคงท

(เทากบ 1 เมตร) ดงนนแนว BB´ และ DD´ จะเปนเสน (โคง) ศกยภาพเทยบเทา (equipotential lines) ทมคาเฮดคงท เทากบ 5

เมตรและ 1 เมตร ตามลำดบ

- - 97

รปท 5.15 รปการกอสราง ณ สถานทแหงหนงทมการตอกเขมพดลงไปชนดนทรายทมความหนาของชนดนเทากบ 15 เมตร และมระดบนำตางกนระหวางเขมพดทงสองดานเทากบ 5 เมตร

k = 9x 10�3 mm/s


1) รปท 5.16 แสดงการวาด f low net ของเขมพด

ทถกตอกลงในดนทรายระยะความลกเทากบ 8 เมตร (z = 8 m) โดยมสวนตางเฮดระดบนำทงสองขางเทากบ 5 เมตร ซงจากรป flow net

เราจะสามารถหาคา Nf = 5 และ Nd = 10

ดงนนเราจะสามารถคำนวณคาปรมาณนำทไหลซมผานชนดนทรายใตเขมพดไดจากสมการท 5.38

"

หรอ

"

หรอ

q = kHNf

Nd

q = (9 x 10�3 x 10�3)(5)5

10= 22.5 x 10�6 m3/s per m

q = 22.5 x 10�6 (3, 600) = 0.81m3/hour per m

q = 0.81(24) = 1.94 m3/day per m

- - 98

รปท 5.17 การวาดรป flow net หรอตาขายการไหลของนำผานมวลดนของ เขมพดทถกตอกลงในดนทรายระยะความลกเทากบ 10 เมตร



2) รปท 5.17 flow net ของเขมพดทถกตอกลงในดนทรายทระยะความลกเทากบ 10 เมตร (z = 10 m) โดยมสวนตางเฮดระดบนำทงสองขางเทากบ 5 เมตร ซงจากรป flow net ในรปท 5.17 เราจะสามารถหาคา Nf = 4 และ Nd = 10

ดงนนเราจะสามารถคำนวณคาปรมาณนำทไหลซมผานชนดนทรายใตเขมพดไดจากสมการท 5.38

"

"

หรอ

"

รปท 5 . 18 แสดงการวาด f l ow ne t ของ เขมพด

ทถกตอกลงในดนทรายทระยะความลกเทากบ 12 เมตร (z = 12 m)

โดยมสวนตางเฮดระดบนำทงสองขางเทากบ 5 เมตร ซงจากรป flow

net ในรปท 5.18 เราจะสามารถหาคา Nf = 3 และ Nd = 10

!

!

หรอ

!

ผลการวาดรป flow net และการคำนวณคาปรมาณนำทไหลซมผานชนดนทรายใตเขมพดของเขมพดทถกตอกลงในดนทรายทระยะ

ความลกเทากบ 8, 10 และ 12 เมตร มคาปรมาณนำทไหลซมเทากบ

1.94, 1.55 และ 1.16 ลกบาศกเมตรตอวนตอเมตร ตามลำดบ ซงแสดงใหเหนวา หากเราตอกเขมพดใหเขาใกลกบชนทบนำมากเทาใด นำกไหลซมผานชนดนทรายไดนอยลงเทานน

นอกจากนจากการวาดรป flow net ทงรปท 5.16, 5.17 และ 5.18 ทำใหเราทราบวา หากระดบความตางของเฮดทงหมดหรอการสญเสยเฮดทเกดขนทงหมดระหวางตนทางนำไหล (headwater) และปลายทางนำไหล (tailwater) มคาเทาเดม (H = 5 m) จำนวนชองของชวงเสนศกยภาพเทยบเทา หรอ equipotential lines กจะมจำนวนเทาเดม

◀

เมอเราสามารถเขยนตาขายการไหลของนาผานมวลดน

ใตเขอนหรอเขมพดไดแลว นอกจากจะสามารถคานวณหาคา

ปรมาณการไหลของนาผานมวลดนใตเขอนหรอเขมพด ทจด

ใด ๆ ใตเขอนหรอเขมพด เราสามารถคานวณหาคาเฮด

ทงหมดทจดใด ๆ (total head, Hi) รวมถงสามารถ

คานวณคาความดนนาในโพรงดนทจดใด ๆ (pore

pressure, ui) ในแตละจดภายในมวลดนใตเขอนหรอเขม

พดไดดวยเนกน โดยจากสมการท 5.34

q = kHNf

Nd

q = (9 x 10�3 x 10�3)(5)4

10= 18.0 x 10�6 m3/s per m

q = 1.55m3/day per m

q = kHNf

Nd

q = (9 x 10�3 x 10�3)(5)3

10= 13.5 x 10�6 m3/s per m

q = 1.16m3/day per m �H =H

Nd

- - 99



H = คาการสญเยเฮดทงหมด (total head lost)

Nd = จานวนองของวงเนกยภาพเทยบเทา

จากทไดกลาวมาแลวขางตน สมการของเบอรนล

(Bernoulli’s equation) นยามคาความสงของนาจาก

การไหลของนาผานมวลดนเอาไว 3 คา ดงสมการท 5.1 ง

ผลรวมของตวแปรทง 3 คานจะทาใหสามารถคานวณคา

ความสงของนาทงหมดหรอเฮดทงหมด (total head, h) ท

จะทาใหเกดการไหลของนาในมวลดนได ดงน

�

แตอยางไรกตาม ตวแปรหรอคาองคประกอบตวสดทาย

ในสมการของเบอรนลนนโดยทวไปแลวจะไมถกนามา

พจารณาในการคานวณหาคาการไหลของนาในมวลดน

เนองจากคาความเรว (v) ในการไหลของนาในมวลดนจะมคา

นอยมาก ดงนนเราจะสามารถคานวณคาเฮดทงหมด (จาก

ระดบอางอง AA´) ไดจากคา position head และ

pressure head ดงสมการ (รปท 5.19)

[5.39]

โดย

จากรปท 5.19 หากเราพจาณาจด B ภายในมวลดนอม

ตวทมลกษณะเปนเนอเดยวกน กาหนดใหจด B มระดบความ

สงเทากบ hz จากระดบอางอง AA´ และความดนนาในโพรงดนทจด B มคาเทากบ u ดงนนตามหลกการสมดล ความดน

นาในโพรงดนจะมระดบความสงของเฮดเทากบ u / 𝛾w เหนอ

จด B ขนไป ดงนน ระดบความสงของเฮดทงหมดจะมคา

เทากบสมการท 5.39

ดงนนเราจะสามารถหาคาเฮดทงหมดของจดใด ๆ (จด

i) ภายในมวลดนใตเขอนหรอเขมพดและอยเหนอจดอางอง

(datum) จากสมการ

ทจดใด ๆ (จด i) ภายในมวลดนใตเขอนหรอเขมพด

[5.40]

h = hz +u

�w+

v2

2g

โดย hz = ตาแหนงหรอระดบความสงของนาหรอ เฮดระดบความสง (elevation head / position head)

= คาความดนจากระดบความสงของนา (pressure head) เนองจากความดนนาใน โพรงดน (u)

= คาเฮดความเรว (velocity head) เนองจากการไหลของนาในมวลดน (v)

v2

2g

! u

�w

h = hz + hu

hu =u

�w

Hi = hzi + hui

- - 100

รปท 5.19 แสดงลกษณะของระดบเฮดทงหมด (total head) เฮดระดบความสง (position head) และความดนจากระดบความสงของนำ

เนองจากความดนนำในโพรงดน (pressure head) ในการไหลของนำในมวลดนอมตว


หรอ Total head = position head + pressure head

โดย Hi = เฮดทงหมดทจดใด ๆ

hzi = เฮดระดบความสงทจดใด ๆ

hui = เฮดทเกดจากความดนนาในโพรงดน

ทจดใด ๆ

ดงนนจากรปท 5.20 ทจด P ในการคานวณหาคาเฮด

ทงหมด (total head at P, Hp) และการคานวณคาความ

ดนนาในโพรงดน (pore pressure at P ,up) เราจะ

สามารถคานวณไดจากสมการท 5.40 แตอยางไรกตาม ใน

ปญหาการไหลมผานไดของนาผานมวลดนใตเขอนหรอเขม

พดนนทจด P จะมการสญเยเฮดเกดขน งตามทฤษฎของ

flow net จด P อยบรเวณเน กยภาพเทยบเทา

(equipotential line) เนท 2 (n = 2) จากทงหมด 10

เน เพราะฉะนนทจด P เราสามารถคานวณการสญเย

เฮดไดจากสมการท 5.34 ดงน

กาหนดให การสญเยเฮดทเกดขนทงหมดระหวาง

ตนทางนาไหล (headwater) และปลายทางนาไหล

(tailwater) H = 6 เมตร และนดนทรายอมต วม ความ

หนา (D) เทากบ 15 เมตร และจด P อยเหลอระดบอางอง

(datum) เทากบ 3 เมตร (hzP = 3 m) โดยจากการวาด

ตาขายการไหลของนาผานมวลดนใตเขมพดไดคา Nf = 5

และคา Nd = 10

ทขอบเขตนาไหลเขา (B´B) คาเฮดทงหมดเหนอระดบ

อางอง (datum) มคาเทากบ

ภายในตาขายการไหลของนา (flow net) คาเฮด

ทงหมดบรเวณขอบเขตนาไหลเขา (ฝงายของเขมพด) จะ

ลดลงเทากบ ∆H ในแตละเนกยภาพเทยบเทาแตละเน

(ทงหมด 10 เน) ดงนนในแตละเนกยภาพเทยบเทาจะม

คาเฮดลดลงเนละ 0.6 เมตร งคานวณไดจาก

ดงนนทเนกยภาพเทยบเทาเนท 10 หรอขอบเขตนา

ไหลออก (DD´) (ฝงขวาของเขมพด) คาเฮดทงหมดจะลดลง

เหลอเทากบศนยพอด โดยคาเฮดในแตละเนของเน

กยภาพเทยบเทาสามารถคานวณไดจากสมการ

HB0B = H +D = 6 + 15 = 21m

�H =H

Nd=

6

10= 0.6m

- - 101

BB´ D D´

รปท 5.20 แสดงตวอยางลกษณะของระดบเฮดทงหมด (total head) เฮดระดบความสง (position head) และความดนจากระดบความสงของนำ เนองจากความดนนำในโพรงดน

(pressure head) ในการไหลซมของนำใตเขอนหรอเขมพด


โดย n = ลาดบของเนกยภาพเทยบเทา

(equipotential line) ภายใน flow net

โดยทเนกยภาพเทยบเทาเนเดยวกนจะมคา ∆H เทา

กน

จากรปท 5.20 หากเรานบลาดบเนกยภาพเทยบเทา

ของตาขายการไหลมของนาผานมวลดน จด P จะอยทเน

กยภาพเทยบเทาลาดบท 2 ดงนน n = 2 หรอ

ดงนน คาเฮดทงหมด (total head) ทจด P จะมคา

เทากบ

แตอยางไรกตามจากสมการท 5.40 เราจะได

ดงนน คาเฮดท เกดจากความดนนาในโพรงดน

(pressure head) ทจด P (huP) มคาเทากบ 16.8 เมตร

เราจะสามารถคานวณคาความดนนาในโพรงดน (pore

pressure) ทจด P ไดจาก

► ตวอยางท 5.11 เขอนคอนกรตแหงหนงกกเกบนำจนมระดบความสงของนำเหนอเขอนเทากบ 8 เมตร กำหนดใหชนดนใตเขอนมความหนาเทากบ 14 เมตรวางอยบนชนดนทบนำ (impermeable

stratum) โดยเขอนคอนกรตฝงอยในผวดนเทากบ 0.5 เมตร ดงรปท 5.21

1) ใหนสตคำนวณหาคาเฮดทงหมด (total head) ณ จด A และ จด B ใตเขอน

2) ใหนสตคำนวณหาคาเฮดทเกดจากความดนนำในโพรงดน

(pressure head) ณ จด A และ จด B ใตเขอน รวมถงคำนวณคาความดนนำในโพรงดนทเกดขนทจดทงสอง กำหนดใหจด A และจด

B อยเหนอระดบอางองเทากบ 7 เมตร (hzA = 7 m) และ 3 เมตร (hzB

= 3 m) ตามลำดบ

วธทำ

1) จากรปท 5.21 ทแสดงการวาดตาขายการไหลซมของนำผานมวลดนใตเขอน เราจะไดคาของ Nf = 4 และ Nd = 8 ดงนน

"

คาเฮดทงหมด (total head) เหนอระดบอางอง ทจด A โดยจด A

อยบนเสน equipotential line เสนท 5 (n = 5) เทากบ

"

�H = nH

Nd

�P = 2

HP = HB0B ��H

HP = 21� (2)(0.6) = 19.8m

HP = hzP + huP

19.8 = hzP + huP = 3 + huP

huP = 19.8� 3 = 16.8m

hu =u

�w

huP =u

�w=

u

9.81= 16.8 m

u = (16.8)(9.81) = 164.80 kN/m2

�H =H

Nd=

8

8= 1.0 m

HA = (8 + 14)� (5)(1) = 17.0m

- - 102

รปท 5.21 ตวอยางตาขายการไหลซมของนำผานมวลดนใตเขอนคอนกรต


คาเฮดทงหมด (total head) เหนอระดบอางอง ทจด B โดยจด B

อยบรเวณเสน equipotential line ท 3.5 (n = 3.5) เทากบ

"

2) เราสามารถคำนวณคาเฮดทเกดจากความดนนำในโพรงดน

(pressure head) ณ จด A และ จด B ใตเขอน รวมถงคำนวณคาความดนนำในโพรงดนทเกดขนทจดทงสอง ไดดงน

จากสมการท 5.40

ทจด A (hzA = 7 m)

"

"

"

คา pressure head ทจด A เทากบ 10 เมตร

ทจด A เราสามารถคำนวณคาความดนนำในโพรงดนไดจาก

"

"

ทจด B (hzB = 3 m)

"

"

"

คา pressure head ทจด B เทากบ 15.5 เมตร

ทจด B เราสามารถคำนวณคาความดนนำในโพรงดนไดจาก

"

"

◀

งการคานวณขางตนทาใหเราทราบคาความดนนาใน

โพรงดนทจดใด ๆ ภายในมวลดนอมตวใตเขอนหรอเขมพดได

และนอกจากนเมอเราวาดตาขายการไหลมของนาผานมวล

ดนไดแลวนน เรายงสามารถคานวณหาคาความดนยกตว

(uplift pressure) ณ จดใตฐานเขอนหรอฝาย (weir)

(จด a ถง f) โดยใหลกการคานวณค าความดนนาในโพรง

ดนทไดกลาวมาแลวดงน

จากรปท 5.22 กาหนดใหนาเหนอเขอนมความสงเทากบ

7 เมตร และนาใตเขอนอยทระดบผวดน ฐานเขอนตงอยลก

จากผวดนเทากบ 2 เมตร กาหนดใหดนใตเขอนลกเทากบ 9

เมตรตงอยบนนหนทบนางเปนระดบอางอง (datum)

และตวเขอนมความกวางเทากบ 10 เมตร เราสามารถวาด

ตาขายการไหลมของนาใตเขอนไดดงรป โดยมคา Nf = 2

และคา Nd = 7 ดงนนในแตละเนกยภาพเทยบเทาจะมคา

เฮดลดลงเนละ 1 เมตร งคานวณไดจาก

จากรปท 5.22 หากเรานบลาดบเนกยภาพเทยบเทา

ของตาขายการไหลมของนาผานมวลดน จด a จะอยทเน

กยภาพเทยบเทาลาดบท 1 ดงนน n = 1 หรอ

ดงนน คาเฮดทงหมด (total head) ท จด a จะมคา

เทากบ

แตอยางไรกตามจากสมการท 5.40 เราจะได

ดงนน คาเฮดท เกดจากความดนนาในโพรงดน

(pressure head) ทจด a (hua) มคาเทากบ 8 เมตร

เราจะสามารถคานวณคาความดนนาในโพรงดน (pore

pressure) ทจด a ไดจาก

ดงนนทจด a ใตฐานเขอนจะม ความดนยกตว (uplift

pressure) เทากบ

เราสามารถค านวณคาความดนยกตว (uplift

pressure) ของจด a, b, c, d, e และ f ไดดงตาราง

HB = (8 + 14)� (3.5)(1) = 18.5m

HA = hzA + huA

17 = 7 + huA

huA = 10 m

huA =uA

�w=

uA

9.81= 10

uA = 98.1 kN/m2

HB = hzB + huB

18.5 = 3 + huB

huB = 15.5 m

huB =uB

�w=

uB

9.81= 15.5

uB = 152.05 kN/m2

�H =H

Nd=

7

7= 1m

�P = 1

Ha = H ��H

Ha = (7 + 9)� (1)(1) = 15m

Ha = hza + hua

15 = (9� 2) + hua

hua = 8 m

hua =ua

�w=

ua

9.81= 8

ua = 8�w = 78.48 kN/m2

8�w

- - 103


เราสามารถเขยน uplift pressure ใตฐานเขอนไดดง

รปท 5.22 งแรงยกตว (uplift force) ตอหนงหนวย

ความยาวจะคานวณไดจากพนทใตแผนภาพความดนยกตว

ดงกลาว

คำถามทายบท

1. ในการทดสอบการไหลซมผานไดของนำในมวลดนในหองปฏบตการดวยวธความดนเปลยน (falling head method) โดยระดบนำเรมตนใหหลอดแกว (stand pipe) ดานบนกอนการทดสอบเทากบ 1.00 เมตร เมอปลอยใหนำไหลผานตวอยางดนเหนยว 3 ชวโมง ระดบนำในหลอดแกวลดลงเหลอ 35

เซนตเมตร กำหนดใหเสนผานศนยกลางของหลอดแกวเทากบ 5

มลลเมตร ตวอยางดนมความสง 200 มลลเมตรและมเสนผานศนยกลาง 100 มลลเมตร ใหนสตคำนวณหาคาสมประสทธการไหลซมผานไดของนำในดนเหนยวน

[k = 4.9 x 10-8 m/s] 2. ผลการทดสอบการไหลซมผานไดของนำในมวลดนในหอง

ปฏบตการดวยวธความดนคงท (constant head method)

สำหรบดนทราย โดยมขนาดเสนผานศนยกลางของกระบอกบรรจดดนทรายเทากบ 150 มลลเมตร ความยาวของตวอยางดนทราย 300 มลลเมตร โดยผลการทดสอบมดงน

• คาความตางระดบของระดบนำไหลเขาและนำไหลออกเทากบ 500 มลลเมตร

• ในเวลา 5 นาท นำไหลผานมวลดนทงสน 350 ลกบาศกเซนตเมตร

จดใต ฐานเขอน

H ∆H hz hu

(m) (m) (m) (m) (kN/m2)

a 16 1 7 8

b 16 2 7 7

c 16 3 7 6

d 16 4 7 5

e 16 5 7 4

f 16 6 7 3

�u

8�w

7�w

6�w

5�w

4�w

3�w

- - 104

รปท 5.22 การคำนวณคาความดนยกตว (uplift pressure) ใตฐานเขอน

ทฤษฎีการไหลซึม (seepage theory) · ปฐพีกลศาสตร์...

Documents