โมเมนตมัและการชน

อ.สพุรรณา มีมขุ

โมเมนตมัคืออะไรอ่ะ

โมเมนตมั (Momentum)

คือ ปรมิาณที่บอกสภาพการเคลื่อนที่ของวตัถ ุซึ่ง

พยายามทําใหว้ตัถพุ ุ่งตวัไปขา้งหนา้ในทิศทางของความเรว็

เป็นปรมิาณเวกเตอรม์ีทิศตามทิศของความเรว็

ปรมิาณโมเมนตมั หาไดจ้ากผลคณูของความเรว็กบัมวล

จากความหมายของโมเมนตมัจะเขียนสมการไดว้่า

เมื่อ m คือ มวลของวตัถ ุ

v คือ ความเรว็ของวตัถ ุ

P คือ โมเมนตมัของวตัถ ุ

vmP rr=

โมเมนตมัมีหน่วยเป็นกิโลกรมั.เมตรต่อวินาที (kg .m/s) หรอื N.s.

จากกฎการเคลื่อนที่ขอ้หนึ่งของนิวตนั ที่เรยีกว่า กฎของ

ความเฉื่อย ซึ่งอาจเขียนในรปูของโมเมนตมัไดว้่า ในกรณีที่วตัถ ุ

มีความเรว็คงตวั โมเมนตมัของวตัถคุงตวัเสมอ

หมายเหต ุ

แรงและการเปลีย่นแปลงโมเมนตมั

เมือ่วตัถุมวล m เคลือ่นทีด่้วยความเร็ว u มแีรงคงตวั F

กระทําต่อวตัถุในช่วงเวลาทีเ่ปลีย่นแปลงไป วตัถุเปลีย่นเป็น v

ดงัรูปที่ 1

จากกฎการเคลื่อนที่ขอ้ที่สองของนิวตนั

amF rr=

tuva

Δ−

=rr

r

( )t

uvmFΔ−

=rrr

tumvmF

Δ−

=rrr

และ

ดงันัน้

dtvdr

หรือ

dtvdmr

หรือ

( )vmdtd rหรือ

Fr

umr

vmr

umvm rr−

Pv

Δ

จากสมการ

คือ แรงลพัธค์งตวัที่กระทาํตอ่วตัถมุวล m

คือ โมเมนตมัของวตัถกุอ่นถกูแรงกระทาํ

คือ โมเมนตมัของวตัถภุายหลงัถกูแรงกระทาํ

คือ โมเมนตมัของวตัถทุี่เปลี่ยนไปในชว่งเวลา Δt

อาจเขยีนยอ่ๆว่า

tumvmF

Δ−

=rrr

อาจเขียนไดใ้หมว่่า

tPFΔΔ

=r

r

dtPdr

หรือ

แรงดล

tΔ

ถา้แรงคงตวัที่กระทาํตอ่วตัถ ุเพื่อเปลี่ยนแปลงโมเมนตมั

ของวตัถใุนชว่งเวลาสัน้ๆ ( นอ้ยๆ )

เราจะเรียก ว่า แรงดล (Impulsive Force)

โดยแรงที่ใชใ้นการเปลี่ยนสภาพการเคลื่อนที่ของวตัถ ุจะมากหรือ

นอ้ย นอกจากจะขึน้อยูก่บัมวลและความเร็วของวตัถ ุแลว้ ยงัขึน้อยู่

กบัชว่งเวลาที่ออกแรงกระทาํดว้ย

dtPd

tPF

rrr

=ΔΔ

=

การดล

ผลคณูของแรง กบั เวลาที่เปลี่ยนแปลง ( ) เรียกว่า การดล (Impluse) สญัลกัษณ ์“ I ”

จากสมการ การดล ก็คือ โมเมนตมัที่เปลี่ยนแปลง ( )นัน่เอง แต่จะตอ้งเป็นการพิจารณาในชว่งเวลาสัน้ๆ

การดล (I )เป็นปริมาณเวกเตอร์มีทิศเดียวกบัแรงลพัธ์ ที่กระทาํกบัวตัถุ และมีหน่วยเป็นนิวตนั.วนิาท(ีN.s)

tF Δ.r

Pr

Δ

umvmtF rrv−=Δ.

umvmI rr−= หรอื

หรอื PddtFrv

=PI Δ=

การหาการดลและโมเมนตมัที่เปลี่ยนไปจากกราฟระหว่าง F

กบั t

1.การดลเมื่อแรงคงตวั

การหาการดล หาไดจ้าก

หรือจากพื้นที่ใตก้ราฟ หาไดจ้าก

tFP Δ=Δ .

tF Δ= .

พื้นที่ใตก้ราฟระหว่าง F และ t คือการดล (I) หรอื ΔP

2. การดลเมื่อแรงไมค่งตวั

เราอาจทาํใหแ้รงคงตวัได ้โดยการหา

คา่เฉลี่ยของแรง F ดงักราฟรปู (b)

โดยพื้นที่ใตก้ราฟรปู (1) และรปู (3)

ตอ้งมขีนาดเทา่กนั

จากรปู (3) จะแทนขนาดของแรง F

ในสมการ

mumvtF −=Δ.

หรอืเราสามารถหาพื้นที่ใตก้ราฟ โดยใชส้มการอินทิเกรต

ดงันัน้ ∫=−=Δ=f

i

t

tif FdtPPPI

การหาการดลจากการเปลี่ยนแปลงโมเมนตมั ( )

การหาการเปลี่ยนแปลงโมเมนตมั แยกคิดได ้2 แบบ คือ

(1)เมือ่ความเร็วกอ่นเปลี่ยนและหลงัเปลี่ยนอยูใ่นแนวเดยีวกนั

(2) เมือ่ความเร็วกอ่นเปลี่ยนและความเร็วหลงัเปลี่ยนอยูค่น

ละแนวกนั

Pv

Δ

เมื่อความเรว็กอ่นเปลี่ยนและหลงัเปลี่ยนอย ูใ่นแนวเดียวกนั

1.1 วาดรปูแสดงการเคลื่อนที่ ณ ตาํแหนง่กอ่นเปลี่ยนและหลงัเปลี่ยน

1.2 กาํหนดทิศทางของ u และ v โดยใหท้ิศของ v เป็นบวก (+) เสมอถา้

ไปในทางเดยีวกบั มทีิศเป็นบวก (+) แตถ่า้ สวนทางกบั

มทีิศเป็นลบ (-)

uv vv uv vv

ตวัอยา่งเช่น วตัถมุวล m กาํลงัเคลือ่นที่ดว้ยความเร็ว แลว้ถกู

แรง กระทาํเป็นเวลา t ทาํใหค้วามเร็วเปลี่ยนเป็น จะหาการ

เปลี่ยนแปลงโมเมนตมั และแรง ที่กระทาํดงัรปูที่ 6

รูป6 ( ก) แสดงเมื่ อแรง อยู่ในแนวเดยีวกับ

จาก ; ( v > u )และ

uv

vvFv

Fv

Fv

uv

umvmP vvr−=Δ

tPFΔΔ

=r

vและ

tumvm

Δ−

=rr

(มทีิศ ) →

(มทีิศ ) →

dtvdmr

=

รูปที่ 6 (ข) เมื่อแรง มีทิศทางตรงขา้มกับFv

uv

umvmP vvr−=Δ

( )ummvP −−=Δr

umvmP rrr+=Δ ;( มีทิศ )←

tPFΔΔ

=v

v

dtvdm

tumvmF

rrrr=

Δ+

= ;( มีทิศ )←

และ

รูปที่ 6 (ค) เมื่อวัตถุตกในแนวดิ่ ง

tPFΔΔ

=v

v

tmumvmgF +

=−

mgt

mumvF ++

=

จาก

เมื่อความเรว็กอ่นเปลี่ยนและความเรว็หลงัเปลี่ยนอย ูค่นละแนวกนั

2.1 หาขนาดและทิศทางของ และ กอ่น

2.2 ใชว้ิธีการทางเวกเตอรห์า , ตามสมการ

และ

um v vmv

Pv

Δ Fv

umvmP vvv−=Δ

tPFΔΔ

=v

v

ตวัอยา่งเช่น วตัถมุวล m กาํลงัเคลือ่นที่ดว้ยความเร็ว แลว้ถกู

แรง กระทาํในทิศทาํมมุกบัการเคลื่อนที่ ทาํใหค้วามเร็วเปลี่ยนเป็น

ในทิศทาํมมุ กบั จะหาการเปลี่ยนแปลงโมเมนตมั ไดด้งัรปูที่ 7

จากรปูที่ 7 สามารถหา ไดโ้ดยวิธีการวาดรปูสี่เหลี่ยมดา้น

ขนาน แลว้ใชส้ตูรคาํนวณ

uv

Fv

vv α uv

umvmP vvv−=Δ

( ) ( ) ( )( ) θcos222 mumvmumvP ++=Δv

Pv

Δ

ฝึกสมองประลองปัญญา

1.ปลอ่ยวตัถมุวล 1 กิโลกรมั ลงในแนวดิ่ง เมี่อเวลาผา่นไป 2 วินาที

โมเมนตมัของวตัถเุปลี่ยนแปลงไปเท่าใด

2.ปาวตัถมุวล 0.5 กิโลกรมั ขึ้นในแนวดิ่งดว้ยความเรว็ 20 เมตรต่อ

วินาทีเมื่อเวลาผา่นไป 3 วินาที จงหา

ก. โมเมนตมัเริม่ตน้ ข. โมเมนตมัสดุทา้ย ค. โมเมนตมัที่เปลี่ยนไป

3.ขวา้งลกูบอล 0.2 กิโลกรมั ดว้ยความเรว็ 10 เมตรต่อวินาที ในแนว

ระดบัเขา้ชนกบักาํแพงในทิศตัง้ฉากกบักาํแพงแลว้สะทอ้นกลบั

ออกมาในแนวเดิมดว้ยความเรว็ 10 เมตรต่อวินาที จงหา

ก. โมเมนตมักอ่นชนกาํแพง

ข. โมเมนตมัหลงัชนกาํแพง

ค. การดลของลกูบอล

4.นกับอลเตะลกูบอลมวล 0.5 กิโลกรมั ทําใหล้กูบอลเคลื่อนที่ดว้ย

อตัราเรว็ 20 เมตรต่อวินาที เขา้ชนฝาผนงัในแนวตัง้ฉาก แลว้

สะทอ้นกลบัออกมาในแนวเดิมดว้ย อตัราเรว็ 20 เมตรต่อวินาที

เท่ากนั ถา้ลกูบอลกระทบฝาผนงันาน 0.05 วินาที จงหา

ก. การดลของลกูบอล

ข.แรงเฉลี่ยที่ฝาผนงักระทําต่อลกูบอล

5.กลอ่งใบหนึ่งอย ูบ่นรถ ซึ่งกาํลงัเคลื่อนที่ในแนวระดบัดว้ย

ความเรว็ 30 เมตร/วินาที รถจะตอ้งเบรกจนหยดุนิ่งในเวลา

นอ้ยที่สดุเท่าใด กลอ่งจึงจะไมไ่ถลไปบนรถ ถา้สมัประสิทธิ์

ความเสียดทานระหว่างกลอ่งกบัรถเป็น 0.5

6.นํ้าพ ุ่งออกจากท่อฉีดซึ่งมีพื้นที่หนา้ตดั 2 x 10-3 เมตร2 ดว้ย

ความเรว็ 40 เมตร/วินาที เขา้กระทบฝาผนงัในแนวตัง้ฉาก

ถา้ไมม่ีนํ้ากระเด็นกลบั จงคํานวณหาแรงที่ลาํนํ้ากระทบต่อฝา

ผนงั กาํหนดใหน้ํ้า 1 ลบ.เมตร มีมวล 103 กิโลกรมั

7.ปลอ่ยลกูบอลมวล 0.4 กิโลกรมั จากที่สงู 5 เมตร ตกลงใน

แนวดิ่ง กระทบพื้นนาน 0.02 วินาที ปรากฏว่าลกูบอล

กระดอนสงู 3.2 เมตร จงหา ก. การดลของลกูบอล ข. แรง

ดลที่กระทําต่อลกูบอล

8.ปาลกูบอล 0.2 กิโลกรมั ทํามมุ 30 องศา กบักาํแพงดว้ย

ความเรว็ 10 เมตรต่อวินาที โดยไมม่ีการสญูเสียพลงังาน จง

หาโมเมนตมัที่เปลี่ยนไปของลกูบอลในการชนกาํแพง

9.ขวา้งลกูบอลมวล 100 กรมั ลงบนพื้นดว้ยอตัราเรว็ 20 เมตร/

วินาที และทํามมุ 30 ๐ กบัพื้นราบ ถา้ลกูบอลสะทอ้นดว้ยอตัราเรว็

เท่าเดิม และเวลาของการกระทบเท่ากบั 0.02 วินาที จงหา

ก. โมเมนตมัของลกูบอลที่เปลี่ยนไป

ข. แรงเฉลี่ยที่พื้นกระทําต่อลกูบอล

10.ลกูเทนนิสมีมวล 0.2 กิโลกรมั เคลื่อนที่ดว้ยความเรว็ 20 เมตร/

วินาที เมื่อตีดว้ยไมเ้ทนนิส ปรากฎว่าลกูเทนนิสเคลื่อนที่ดว้ย

ความเรว็ 40 เมตร/วินาที ทํามมุ 60 ๐ ดงัรปู จงหาขนาดของ

การดล

11.ลกูเทนนสิมวล 0.2 กโิลกรมั ถกูปาใหเ้คลือ่นที่ในแนวระดบัชัว่ขณะดว้ย

ความเร็ว 40 เมตร/วินาที แลว้ถกูไมต้เีป็นเวลา 0.02 วินาที ทาํให้

เคลื่อนที่สะทอ้นกลบัออกมาทาํมมุ 37๐ กบัแนวระดบัดว้ยความเร็ว 60

เมตร/วินาที จงหาแรงเฉลี่ยที่ไมก้ระทาํตอ่ลกูเทนนสิ

12.วตัถมุวล 5 กโิลกรมั มแีรงลพัทท์ี่มขีนาดเปลี่ยนแปลงตามเวลาตาม

กราฟที่แสดง ทาํใหว้ตัถเุคลื่อนที่โดยมคีวามเร่งไมค่งที่ เมือ่เวลา

เริ่มตน้ t = 0 วตัถมุคีวามเร็ว10 เมตร/วินาที ในทิศทางเดยีวกบัแรง

ลพัธจ์งหา

ก.อตัราเร็วของวตัถเุมือ่เวลา t = 4 วินาที

ข.ขนาดของความเร่งเมือ่เวลา t = 1 วินาที

13.กลอ่งมวล 20 กิโลกรมั วางอย ูบ่นพื้น เมื่อมีแรงF ดึงในแนวระดบั

ดงัรปู จงหาความเรว็ของกลอ่ง เมื่อเวลา 10 วินาที ถา้แรงเสียด

ทานจลนร์ะหว่างกลอ่งกบัพื้นมีคา่ 20 นิวตนั

14.กลอ่งมวล 20 กิโลกรมั วางอย ูบ่นพื้นราบที่มีค่าสมัประสิทธิ์ของ

ความเสียดทานจลนแ์ละสมัประสิทธิ์ของความเสียดทานสถิต

เป็น 0.4 และ 0.5 ตามลาํดบั เมื่อใชแ้รง Fซึ่งเปลี่ยนตามเวลา ดงั

กราฟกระทําต่อกลอ่งนาน 12 นาที จงหาอตัราเรว็ของกลอ่ง

กฎการอนรุกัษโ์มเมนตมั (Law of conservation of momentum)

“ ถา้วตัถเุคลื่อนที่โดยไมม่ีแรงภายนอกมากระทํา ซึ่งเป็นไป

ตามกฎการเคลื่อนที่ขอ้ที่หนึ่งของนิวตนั วตัถจุะเคลื่อนที่ดว้ย

ความเรว็คงตวัตลอดไป หรอืกลา่วไดว้่า วตัถนุัน้มีโมเมนตมัคง

ตวัทัง้ขนาดและทิศทาง ตลอดการเคลื่อนที่ ”

vmP vv= = คงที่

ก่อนกระทบ = หลงักระทบPv

∑

∴สตูรคือ

Pv

∑

พจิารณาสมการ จากรูปที่ 8

กอ่นการชน วตัถAุ เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว uA

วตัถBุ เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว uB

หลงัการชน วตัถ ุA เคลือ่นที่ดว้ยความเร็ว vA

วตัถBุ เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว vB

ขณะวตัถ ุAและวตัถ ุB ชนกนัไมม่แีรงภายนอกใดๆกระทาํ จะไดว้่า

ขณะวตัถทุัง้สองชนกนั จะมแีรงคูก่ริิยา-ปฏิกริิยาระหว่างวตัถทุัง้สอง

เกดิขึน้ โดยมขีนาดเทา่กนั ดงัรปู

BAAB FFvv

−=

tumvmF AAAA

AB Δ−

=vvv

tumvmF BBBB

BA Δ−

=vvv

ซึ่ง และ

……(1)

ABFv

BAFv

แทน และ ลงในสมการที่ 1 จะได้

tumvm BBBB

Δ− vv

)(t

umvm AAAA

Δ−

−=vv

AAAABBBB vmumumvm vvvv −=−

BBAABBAA vmvmumum vvvv +=+หรอื

นัน่คือ ผลรวมโมเมนตมักอ่นชนเท่ากบัผลรวมของโมเมนตมัหลงัชน

ก่อนกระทบ = หลงักระทบPv

∑ Pv

∑เขียนสมการไดว้่า

การชน (Collision)

หมายถึงการที่วตัถหุนึง่กระทบกบัอีกวตัถหุนึง่ในชว่งเวลาสัน้ๆ

หรือในบางครัง้วตัถอุาจไมต่อ้งการกระทบกนัแตม่แีรงมากระทาํตอ่

วตัถแุลว้ใหผ้ลเหมอืนกบัการชนก็ถือว่าเป็นการชนกนั

อาทิเชน่

การชนกนัของรถ , การกระทบกนัของลกูตุม้กบัเสาเข็ม , การตเีทนนสิ

, ตปีิงปอง , ตกีอลฟ์ , การเตะลกูฟุตบอล , การระเบิดของวตัถรุะเบิด ,

การยิงปืน เป็นตน้

การชนของวตัถโุดยมากมกัจะมแีรงภายนอกมากระทาํตอ่วตัถ ุ

ซึ่งขนาดของแรงจะมากหรือนอ้ยขึน้อยูก่บัลกัษณะการชนกนัของ

วตัถ ุและในการชนอาจมกีารสญูเสียคา่โมเมนตมัมากหรือนอ้ย

หรือไมส่ญูเสียเลยก็ได ้

เราอาจแยกการชนได ้2 ลกัษณะ ดงันี้

1. เมือ่โมเมนตมัของระบบมคีา่คงตวั เป็นการชนที่ขณะชนมแีรง

ภายนอกมากระทาํนอ้ยมาก เมือ่เทียบกบัขนาดของแรงดล ที่เกดิ

กบัวตัถขุณะชนกนั หรือแรงภายนอกเป็นศนูย ์เชน่ การชนของลกู

บิลเลียด การชนกนัของรถยนต ์การยิงปืน เป็นตน้

2. เมือ่โมเมนตมัของระบบไมค่งที่ เป็นการชนที่ขณะชนมแีรงภายนอก

มากระทาํมากกว่าแรงดลที่เกดิกบัวตัถขุณะชนกนั เชน่ ลกูบอลตก

กระทบพื้น รถยนตช์นกบัตน้ไม ้เป็นตน้

สามารถแยกลกัษณะการชนได ้ 3 แบบ

1. การชนกนัแบบยืดหย ุน่ ( Elastic collision )

- การชนแบบยืดหยุ่นสมบรูณ ์

- การชนแบบยืดหยุ่นไมส่มบรูณ ์

2. การชนแบบไมย่ดืหย ุน่ (Inelatic collision)

3.การดีดตวัของวตัถ ุ หรอืการระเบิด

การชนแบบยดืหย ุน่สมบรูณ ์(Perfectly elastic collision)

ผลรวมของการชนแบบยืดหยุน่สมบรูณพ์บว่า

1. ผลรวมของโมเมนตมักอ่นชน = ผลรวมของโมเมนตมัหลงัชน

∑ กอ่นชน = ∑ หลงัชน

2. ผลรวมของพลงังานจลนก์อ่นชน = ผลรวมของพลงังานจลนห์ลงัชน

∑Ekกอ่นชน = ∑Ekหลงัชน

Pv

Pv

พิจารณาการชนกนัของวตัถ ุ2 กอ้น ที่มีความเรว็อย ูใ่น

แนวผา่นจดุศนูยก์ลางมวล (C.M.)

วตัถมุวล m1 เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว เขา้ชนวตัถมุวล m2

ซึ่งกาํลงัเคลือ่นที่ดว้ยความเร็ว ในทิศทางเดยีวกนั โดย

มากกว่า ดงัรปู ถา้เป็นการชนแบบยืดหยุน่สมบรูณ ์ ภายหลงั

การชนมวล m1 มคีวามเร็ว มวล m2 มคีวามเร็ว จะได้

ความสมัพนัธข์องการชน ดงันี ้

2uv1uv

1uv

2uv

1vv 2vv

1. จาก ∑ กอ่นชน = ∑ หลงัชน

เนือ่งจากเป็นการชนในแนวตรงเดยีวกนั อาจเขยีนสมการใหมไ่ดว้่า

…(1)

2. จาก ∑Ekกอ่นชน = ∑Ekหลงัชน

…(2)

Pv

Pv

22112211 vmvmumum vvvv +=+

22221111 umvmvmum −=−

( ) ( )222111 uvmvum −=−

222

211

222

211 2

121

21

21 vmvmumum +=+

222

222

211

211 umvmvmum −=−

( ) ( )22

222

21

211 uvmvum −=−

( ) ( )12 ÷ ( )( ) =−

−

111

21

211

vumvum ( )

( )222

22

222

uvmuvm

−−

( )( )( ) =

−+−

11

1111

vuvuvu ( )( )

( )22

2222

uvuvuv

−+−

u1 + v1 = u2 + v2

ในการแกป้ัญหาการชนแบบยืดหยุน่สมบรูณ ์

โจทยม์กัจะถามหาความเร็วหลงัการชนของมวลทัง้สอง (v1

, v2)

เราจะใชส้มการ 2 สมการ คือ

1. ∑ กอ่นชน = ∑ หลงัชน

2. u1 + v1 = u2 + v2

Pv

Pv

m1u

1+ m

2u

2= m

1v

1+ m

2v

2

โดยไม่ตอ้งใส่เครื่องหมายเวกเตอร์ แต่จะใชเ้ครื่องหมาย ( + ) และลบ ( -) แสดงทิศทาง

การเคลื่อนที่ของวตัถุทั้งสอง หนา้ u หรือ v แลว้แทนค่าในสมการทั้งสอง

เพิ่มรอยหยกัของสมอง

กนัดีกว่า

1. วตัถมุวล 2 กโิลกรมั วิ่งดว้ยความเร็ว 4 เมตร / วินาที เขา้ชน

วตัถมุวล 1 กโิลกรมัซึ่งกาํลงัเคลื่อนที่ดวัยความเร็ว 2 เมตร /

วินาที ไปในทิศทางเดยีวกนั ถา้การชนไมม่กีารสญูเสียพลงังาน

ความเร็วของมวลทัง้สองหลงัชนเป็นเทา่ใด

2. มวล 2m วิ่งดว้ยความเร็ว 10 เมตร / วินาที เขา้ชนมวล 3m

ซึ่งกาํลงัวิ่งดว้ยความเร็ว 4 เมตร / วินาที ในทิศทางเดยีวกนั

ถา้ในการชนไมม่กีารสญูเสียพลงังานจลน ์ จงหาความเร็วของ

มวลทัง้สองหลงัชนกนั

3. วตัถ ุ A มวล 4 กโิลกรมั เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว 6 เมตร /

วินาที เขา้ชนวตัถ ุB มวล 2 กโิลกรมั ซึ่งอยูน่ิง่ในแนวเสน้ตรง

ถา้การชนเป็นแบบยืดหยุน่สมบรูณ ์ จงหาความเร็วหลงัชนของ

มวลทัง้สองและหาโมเมนตมัของวตัถ ุ A ที่เปลี่ยนไป

การชนเป็นแบบยดืหย ุน่สมบรูณ ์ในแนวเสน้ตรง

เมื่อวตัถทุี่ถกูชนอย ูน่ิ่ง

ใหว้ตัถมุวล m1 เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว u1 เขา้ชนวตัถมุวล m2 ซึ่ง

อยูน่ิง่ๆในแนวจดุศนูยก์ลางของมวลทัง้สองแบบยืดหยุน่สมบรูณ์

ภายหลงัการชนวตัถ ุ m1 ที่มคีวามเร็ว v1 และวตัถมุวล m 2 มคีวามเร็ว

v2 ดงัรปู

การหา v1 และ v2 ทาํไดด้งันี้

จาก กอ่นชน = หลงัชน

m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2

m1u1 + m2(0) = m1v1 + m2v2

m1u1 = m1v1 + m2v2 …(1)

จาก u1 + v1 = u2 + v2

u1 + v1 = v2

นาํ m1 คณูตลอดไดว้่า; m1u1 + m1v1 = m1v2 …(2)

(1)+(2); 2m1u1 + m1v1 = m1v1 + m2v2 + m1v2

2m1u1 = (m1 + m2) v2

ดงันัน้

Pv

∑Pv

∑

21

112

2mmumv

+=

ดงันัน้ ในการชนแบบยดืหย ุน่สมบรูณ ์ในแนวเสน้ตรง

ถา้มวลถกูชนอย ูน่ิ่ง สามารถหา v2 และ v1 ได ้

จากสมการ และ u1 + v1 = u2 + v221

112

2mmumv

+=

1. วตัถ ุ A เคลื่อนที่ดว้ยความเรว็ 10 เมตร/วินาที เขา้ชนวตัถ ุB

ซึ่งอย ูน่ิ่งๆ ในแนวผา่นจดุศนูย ์กลางของมวลทัง้สองแบบ

ยดืหย ุน่สมบรูณ ์ จงหาความเรว็ของวตัถ ุA และ B หลงัชนกนั

เมื่อ

ก. m A = 4 กิโลกรมั , m B = 1 กิโลกรมั

ข. m A = 4 กิโลกรมั , m B = 4 กิโลกรมั

ค. m A = 1 กิโลกรมั , m B = 4 กิโลกรมั

***สรปุลกัษณะการชนของวตัถใุนเสน้ตรง (ผา่นจดุศนูยก์ลางมวล)

แบบยดืหย ุน่สมบรูณ ์ โดยวตัถทุี่ถกูชนอย ูน่ิ่ง จะไดว้่า

1. มวลมากชนมวลนอ้ย ( m1 > m2 ) หลงัชนวตัถทุัง้สองจะ

เคลือ่นที่ไปทางเดยีวกนัโดย ( v2> v1 )

2. มวลเท่ากนัชนกนั ( m1 = m2 ) หลงัชนวตัถทุี่เขา้ชนจะหยดุนิง่

( v1 = 0 ) สว่นวตัถทุี่ถกูชนเคลือ่นที่ไปดว้ยความเร็วเทา่กบั

ความเร็วกอ่นชนของวตัถทุี่ชน ( v2 = u1)

3. มวลนอ้ยชนมวลมาก ( m1 < m2 ) หลงัชนวตัถทุี่ชนจะสะทอ้น

กลบัสว่นวตัถทุี่ถกูชนเคลื่อนที่ไปในแนวเดยีวกบัความเร็วกอ่นชน

ของวตัถทุี่เขา้ชน

การชนแบบไมย่ดืหย ุน่ (Inelatic collision)

เป็นการชนของวตัถแุลว้รปูร่างมกีารเปลี่ยนแปลง หรือมกีาร

เคลื่อนที่ตดิกนัไป จากการทดลองพบว่าการชนกนัแบบนีพ้ลงังาน

จลนไ์มค่งที่ พลงังานจลนห์ลงัชนมคีา่นอ้ยกว่าพลงังานจลนก์อ่น

ชน เพราะว่าพลงังานจลนบ์างสว่นนาํไปใชใ้นการเปลี่ยนแปลง

รปูร่างวตัถทุาํใหบ้บุ, ยบุ และเปลี่ยนรปูเป็นพลงังานเสียง ฯลฯ

แตโ่มเมนตมัรวม กอ่นการชนเทา่กบัโมเมนตมัหลงัการชน

ใหว้ตัถมุวล m1 เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว u1 เขา้ชนมวล m2

ซึ่งเคลือ่นที่ดว้ยความเร็ว u2 ในแนวเสน้ตรงผา่นจดุศนูยก์ลางของ

มวลทัง้สองปรากฏว่าหลงัชนมวล m1 และ m2 เคลื่อนที่ตดิกนัไป

ดว้ยความเร็ว v ดงัรปูที่

ผลของการชนแบบไมย่ดืหย ุน่ ไดว้่า

(1) กอ่นชน = หลงัชน

เมือ่ ไดว้่า

m1u1 + m2u2 = (m1 +m2)v

(2) กอ่นชน > หลงัชน

Pv

∑ Pv

∑

22112211 vmvmumum vvvv +=+

vvv vvv == 21

kE∑kE∑

1. มวล m1 เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว u1 เขา้ชนมวล m2 ซึ่งวางอยู่

นิง่ๆ ตรงๆ แลว้ตดิไปดว้ยกนั จงแสดงว่าการชนแบบนีม้กีาร

สญูเสยีพลงังานจลน์

2. รถขนหินมวล 400 กโิลกรมั วิ่งดว้ยความเร็ว 1 เมตร/วินาที

เขา้รองรบักอ้นหินมวล100 กโิลกรมั ซึ่งมคีวามเร็ว 4 เมตร/

วินาที ดงัรปู จงหาความเร็วของรถขนหินเมือ่กอ้นหินตกลงสูร่ถ

3. วตัถมุวล 2 กโิลกรมั เคลือ่นที่ดว้ยความเร็ว 10 เมตร/วินาที เขา้

ชนมวล 3 กโิลกรมั ซึ่งอยูน่ิง่ในแนวผา่นจดุศนูยก์ลาง หลงัชนวตัถุ

ทัง้สองเคลื่อนที่ตดิกนัไป จงหาความเร็วของวตัถทุัง้สองหลงัชนกนั

4. รถบรรทกุมวล 6000 kg เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว 15 m/s เขา้ชนรถ

โดยสารมวล 4000 kg ซึ่งเคลือ่นที่สวนทางมาดว้ยความเร็ว 20

m/s ในแนวเสน้ตรงเดยีวกนัหลงัชน ปรากฏว่ารถทัง้สองตดิกนัไป

จงหาความเร็วหลงัชนของรถทัง้สอง

5.ลกูปืนมวล 40 กรมั ถกูยิงออกไปในแนวระดบัดว้ยความเร็ว 800

เมตร/วินาที เขา้ชนแทง่ไมม้วล 10 กโิลกรมั ซึ่งวางนิง่อยูบ่นพื้น

แลว้ทะลผุา่นแทง่ไมอ้อกไปในทนัทีทาํใหแ้ทง่ไมม้คีวามเร็ว 2 เมตร/

วินาที จงหาความเร็วของลกูปืนเมือ่ทะลผุา่นแทง่ไมอ้อกไป

6. มวล 4 กโิลกรมั เคลื่อนที่ดว้นความเร็ว 10 เมตร/วินาที เขา้ชน

มวล 6 กโิลกรมั ซึ่งวิ่งสวนทางมาดว้ยความเร็ว 5 เมตร/วินาที

ในแนวผา่นจดุศนูยก์ลางมวล ปรากฏว่ามวลทัง้สองตดิกนัไป จงหา

ก. ความเร็วมวลทัง้สอง

ข. พลงังานจลนท์ี่หายไปในการชน

7. วตัถมุวล 10 กโิลกรมั เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว 5 เมตร/วินาที เขา้

ชนมวล 15 กโิลกรมั ซึ่งอยูน่ิง่ภายหลงัการชนมวล 10 กโิลกรมั

อยูน่ิง่ จงหา

ก.ความเร็วหลงัชนของมวล 15 กโิลกรมั

ข.พลงังานจลนเ์ปลี่ยนแปลงหรือไม ่อยา่งไร

การดดีตวัของวตัถุ / การระเบิด

การดีดตวัของวตัถ ุ หรอืการระเบิด

คือ การที่วตัถแุยกหรือแตกออกจากกนั โดยไมม่แีรงภายนอก

มากระทาํ ซึ่งเดมิวตัถจุะอยูด่ว้ยกนั โดยมเีงือ่นไขเหมอืนกบั

การชน 2 ลกัษณะที่กลา่วมาแลว้ คือ

กอ่นระเบิด = หลงัระเบิด

สว่นพลงังานจลนข์องวตัถใุนการระเบิด พบว่าผลรวม

พลงังานจลนห์ลงัการระเบิด จะมคีา่มากกว่าผลรวมของพลงังาน

จลนก์อ่นระเบิด เนือ่งในการระเบิดมกีารเปลี่ยนรปูพลงังานรปู

ตา่งๆเป็นพลงังานจลน ์ จึงไดว้า่

∑Ek กอ่นระเบิด < ∑Ek หลงัระเบิด

Pv

∑Pv

∑

ลกัษณะของการระเบิดแยกออกได ้ 2 ลกัษณะ

1. การระเบิดแบบแยกออกจากกนัอยา่งอิสระ การระเบิด

ของวตัถลุกัษณะนีว้ตัถจุะแยกออก จากกนัเป็นสว่น ๆ เชน่ การยิง

ปืน , มวลอดัสปริง , คนกระโดดจากเรือ , คนกระโดดจากเรือซึ่ง

กาํลงัเคลื่อนที่

2. การระเบิดแบบสมัพทัธ ์โดยภายหลงัการระเบิดวตัถยุงั

อยูด่ว้ยกนั การคาํนวณความเร็วของวตัถแุตล่ะกอ้น ใหค้ิดเทียบ

กบัพื้นโลก เชน่ คนเดนิบนเรือซึ่งอยูน่ิง่ , คนเดนิบนเรือซึ่งกาํลงั

เคลื่อนที่

การระเบิดแบบแยกออกจากกนัอยา่งอิสระ

การยงิปืน

เดมิกระสนุปืนและปืนอยูด่ว้ยกนั ตวัปืนมมีวล M ลกูปืนมวล m

หลงัยิงลกูปืนมคีวามเร็ว v ตวัปืนมคีวามเร็ว V ถอยหลงั

กอ่นยิงปืน โมเมนตมัของระบบ = 0

หลงัยิงปืน โมเมนตมัของระบบ = mv – MV

จาก โมเมนตมักอ่นยิง = โมเมนตมัหลงัยิง

0 = m1v1 + m2v2

= M(-V) + mv

จะไดว้่า MV = mv

หรอืกลา่วไดว้่า โมเมนตมัของตวัปืน = โมเมนตมัของลกูปืน

มวลอดัสปรงิ

วตัถมุมีวล M และ m ผกูตดิกนัดว้ยเชอืกและมสีปริงตดิอยูท่ี่

มวลกอ้นใดกอ้นหนึง่ เมือ่ตดัเชอืกขาด มวล M และ m จะ

เคลื่อนที่ออกจากกนัดว้ยความเร็ว V และ v ตามลาํดบั

กอ่นระเบิด = หลงัระเบิด

0 = m1v1 + m2v2

= M(-V) + mv

จะไดว้่า mv = MV

หรอืกลา่วไดว้่า โมเมนตมัของมวล m = โมเมนตมัของมวล M

Pv

∑Pv

∑

คนกระโดดจากเรอื

เดมิคนมมีวล m อยูบ่นเรือ ซึ่งเรือมมีวล M เมือ่คนกระโดดออก

จากเรือดว้ยความเร็ว v เรือจะเคลื่อนที่ถอยหลงัดว้ยความเร็ว V

กอ่นระเบิด = หลงัระเบิด

0 = m1v1 + m2v2

= M(-V) + mv

จะไดว้่า mv = MV

หรอืกลา่วไดว้่า โมเมนตมัของคนมวล m = โมเมนตมัของเรอืมวล M

Pv

∑Pv

∑

***สรปุ จากตวัอยา่งการระเบิดแบบแยกออกจากกนัอยา่งอิสระ

ไดส้มการดงันี้

กอ่นระเบิด = หลงัระเบิด

0 = m1v1 + m2v2

= M(-V) + mv

mv = MV

Pv

∑ Pv

∑

คนกระโดดจากเรอืซึ่งกาํลงัเคลื่อนที่

เดมิคนมมีวล m ยืนอยูบ่นเรือ M ซึ่งกาํลงัเคลือ่นที่ดว้ยความเร็ว

u แลว้คนกระโดดออกจากเรือดว้ยความเร็วทางดา้นหนา้ดว้ย

ความเร็ว v ทาํใหเ้รือมคีวามเร็ว V

เมือ่คนกระโดดออกจากเรือ จะไดว้่า

กอ่นระเบิด = หลงัระเบิด.

(m + M) u = mv + MV

mu + Mu - mv = MV

m(u - v) + Mu = MV

Pv

∑Pv

∑

( )M

MuvumV +−=

การระเบิดแบบสมัพทัธ ์

คนเดินบนเรอืซึ่งอย ูน่ิ่ง

ใหค้นมมีวล m อยูน่ิง่บนเรือมวล M เมือ่คนเดนิดว้ยความเร็ว v

จะทาํใหเ้รือเคลื่อนที่ในทิศทางตรงขา้มดว้ยความเร็ว V ขณะที่คน

เดนิดว้ยความเร็ว v เรือจะเคลื่อนที่ถอยหลงัจากคนดว้ยความเร็ว

V เมือ่เทียบกบัพื้นโลก ดงันัน้คนจะมคีวามเร็ว (v - V) เมือ่เทียบ

กบัโลก

กอ่นระเบิด = หลงัระเบิด.

0 = m (v - V) + M(-V)

0 = m (v - V) - MV

m (v - V) = MV

mv - mV = MV

mv = (m + M)V

Pv

∑Pv

∑

MmmvV+

=

คนเดินบนเรอืซึ่งกาํลงัเคลื่อนที่

ใหค้นมมีวล m ยืนนิง่อยูบ่นเรือมวล M ซึ่งมคีวามเร็ว

u เมือ่คนเริ่มเดนิดว้ยความเร็ว v เรือจะมคีวามเร็ว V ขณะที่คน

เดนิดว้ย v ความเร็วของเรือเป็น V ความเร็วของคนที่สมัพทัธก์บั

พื้นโลกจะเทา่กบั v + V

กอ่นระเบิด = หลงัระเบิด

(m + M)u = m(v + V) + MV

mu + Mu = mv + mV + MV

mu - mv + Mu = (m + M)V

Pv

∑ Pv

∑

( ) VMm

Muvum=

++−

( )Mm

MuvumV++−

=

***สรปุ ***

1. การชนกนัหรอืการระเบิดทกุกรณี จะอา้งหลกัคงที่โมเมนตมัได้

เสมอว่า

กอ่น = หลงั

2. การชนกนัแบบยดืหย ุน่จะไมม่ีการสญูเสียพลงังานจลนแ์ละตัง้

สมการได ้2 สมการคือ

2.1. กอ่น = หลงั

2.2 ∑Ek กอ่นชน = ∑Ekหลงัชน

หรอืสตูรลดั

Pv

∑Pv

∑

Pv

∑Pv

∑

2211 vuvu vvvv +=+

3. การชนกนัแบบไมย่ดืหย ุน่ จะมีการสญูเสียพลงังานจลน ์จะตัง้

สมการได ้2 สมการคือ

3.1. กอ่น = หลงั

3.2 Ek ที่หาย = Ek กอ่นชน – Ek หลงัชน

4. การระเบิดจะมีพลงังานจลนต์อนหลงัระเบิดมากกว่า

พลงังานจลนต์อนกอ่นระเบิดเสมอ

โดยพลงังานสว่นที่เพิ่มมานี้มาจากการเผาไหมข้องดิน

ปืน และตัง้สมการได ้2 สมการ

4.1 กอ่น = หลงั

4.2 ΣEk ที่เพิ่ม = Ek หลงัระเบิด – Ek กอ่นระเบิด

Pv

∑Pv

∑

Pv

∑Pv

∑

1. ชายคนหนึง่มวล 60 กโิลกรมั ยืนอยูบ่นลอ้เลื่อนมวล 20

กโิลกรมั แลว้ขวา้งวตัถมุวล 2 กโิลกรมัออกไปตรงๆในแนว

ระดบัดว้ยความเร็ว 10 เมตร/วินาที จงหาความเร็วของ

ลอ้เลื่อน

2. ปืนใหญ่กระบอกหนึง่มมีวล 2000 กโิลกรมั ลกูปืนมมีวล 10

กโิลกรมั หลงัยิงแลว้ปรากฏว่าลกูปืนมคีวามเร็ว 50 เมตร/

วินาที จงหาว่าตวัปืนจะถอยหลงัดว้ยความเร็วเทา่ไร

3. รถทดลอง 2 คนั คนัหนึง่มวล m มสีปริงตดิอยูห่นา้รถ อีกคนัหนึง่

มมีวล 2m นาํมากดอดัสปริงหนา้รถคนัแรก แลว้ใชเ้ชอืกผกูหนา้รถ

2 คนั ไวด้ว้ยกนัดงัรปู เมือ่ตดัเชอืกออก รถคนัแรกเคลือ่นทีทนัที

ดว้ยความเร็ว 4 เมตร/วินาที จงหาความเร็วของรถคนัที่สองหลงั

ตดัเชอืก

4. ชายคนหนึง่มมีวล 50 กโิลกรมั ยืนอยูบ่นหวัเรือมวล 75 กโิลกรมั

ถา้ชายคนนีพ้ ุง่ตวัลงนํา้ดว้ยความเร็ว 6 เมตร/วินาที จงหา

ความเร็วของเรือหลงัจากชายคนนีพ้ ุง่ตวัลงนํา้

5. ชายคนหนึง่มวล 60 กโิลกรมั ยืนอยูบ่นเรือมวล 40 กโิลกรมั

ซึ่งกาํลงัแลน่ดว้ยความเร็ว 4 เมตร/วินาที ชายคนนีอ้อกเดนิจาก

ทา้ยเรือดว้ยความ 2 เมตร/วินาที ( เทียบกบัเรือ ) จงหา

ความเร็วเรือขณะชายออกเดนิ

6. จากตวัอยา่งที่ 5 ถา้ชายคนนีอ้อกเดนิจากหวัเรือไปทา้ยเรือดว้ย

ความเร็ว 2 เมตร/วินาที เทียบกบัเรือ จงหาความเร็วของเรือ

7. ปืนใหญ่มวล 2,000 กโิลกรมั ตัง้ใหป้ากกระบอกปืนทาํมมุ 60๐

กบัแนวราบแลว้ยิงลกูปืนมวล 10 กโิลกรมั ออกไปดว้ยความเร็ว

100 เมตร/วินาที อยากทราบว่าตวัปืนจะเคลื่อนที่ถอยหลงัดว้ย

ความเร็วเทา่ใด

8. ชายคนหนึง่มมีวล 60 กโิลกรมั ยืนอยูบ่นแพ ซึ่งมมีวล 40

กโิลกรมั ลอยนิง่ โดยชายคนนีห้่างจากฝัง่ 10 เมตร ถา้ชายคนนี้

เดนิบนแพในทิศทางเขา้หาฝัง่เป็นระยะ 4 เมตร ชายคนนีจ้ะอยู่

ห่างจากฝัง่เทา่ไร

ไม่ยากเลยใช่ไหม

Ballistic  pendulum

Ballistic pendulum เป็นการแกว่งของวตัถแุบบลกูตุม้นาฬิกา

เมือ่ถกูกระทบดว้ยวตัถอุื่น เชน่ การยิงลกูปืนใหช้นถงุทราย หรือ

แทง่ไมซ้ึ่งแขวนดว้ยเชอืกในแนวดิง่ ทาํใหว้ตัถแุกว่งสงูขึน้จากเดมิ

ประโยชนใ์ชว้ดัความเร็วของลกูปืนขณะถกูยิงออกจากปืน

กาํหนดใหล้กูปืนมวล m ถกูยิงออกจากปืนดว้ยความเร็ว เขา้ชน

แทง่ไมม้วล M แลว้ฝังชนแทง่ไมท้าํใหแ้ทง่ไมแ้กวง่สงูจากเดมิ h

ความเร็วของลกูปืนขณะออกจากลาํกลอ้งปืน

uv

จากกฎอนรุกัษโ์มเมนตมั (ลกูปืนชนแทง่ไม)้

กอ่น = หลงั

m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2

m1u1 + 0 = (m1 +m2)v

mu1 = (m + M)v ….(1)

เมือ่ v คือ ความเร็วของแทง่ไมห้ลงัถกูลกูปืนชน

Pv

∑ Pv

∑

จากกฎอนรุกัษโ์มเมนตมั (คิดที่แทง่ไม)้

Ek ที่ A = E p ที่ B

= mgh

แทนใน (1)

mu1 = (m + M)

2

21 mv

ghv 2=

gh2

ghm

Mmu 21 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

***สรปุ ในการหาความเรว็ของลกูปืน

ถา้ร ูค้วามสงู h ของถงุทรายที่แกว่ง ก็จะหาความเรว็ของ

ลกูปืนไดเ้ลย โดยตอ้งร ู ้ m , M กอ่น

1. ลกูปืนมวล 400 กรมั วิ่งเขา้ชนแท่งไมม้วล 20 กิโลกรมั ซึ่ง

แขวนดว้ยเชือก วางตวันิ่งในแนวดิ่ง ภายหลงัการชนทําให้

แท่งไมแ้กว่งสงูจากเดิมวดัตามแนวดิ่งได ้10 เซนติเมตร จง

หาความเรว็ของลกูปืนตอนถกูยงิออกจากกระบอกปืน

2. ยิงลกูปืนมวก 10 กรมั ออกไปดว้ยความเร็ว 500 เมตร/วินาที

เขา้ฝังในแทง่ไมม้วล10 กโิลกรมั ซึ่งแขวนไวใ้นแนวดิง่อยากทราบ

ว่าแทง่ไมจ้ะแกว่งสงูขึน้จากเดมิเทา่ไร

3. ลกูปืนมวล 50 กรมั ถกูยิงออกไปดว้ยความเร็ว 400 เมตร/วินาที

เขา้ชนเป้ามวล 5 กิโลกรมั แลว้ลกูปืนทะลผุา่นเป้าออกไปดว้ย

ความเร็ว 100 เมตร/วินาที จงหาว่าเป้าแกว่งไดส้งูสดุเทา่ไร

4. ลกูปืนมวล 20 กรมั ถกูยิงออกไปดว้ยความเร็ว 1000 เมตร/

วินาที เขา้ชนแทง่ไมม้วล 2 กโิลกรมั ที่แขวนในแนวดิง่ ปรากฏว่า

ลกูปืนทะลผุา่นแทง่ไมอ้อกไปทนัที โดยแทง่ไมจ้ะแกว่งขึน้ไปไดส้งูสดุ

20 เซนตเิมตร จงหาความเร็วของลกูปืนที่ทะลอุอกจากแทง่ไม้

5. ลกูปืนมวล 20 กรมั ถกูยิงออกไปดว้ยความเร็ว 400 เมตร/วินาที

ชนทะลผุา่นแทง่ไมม้วล 5 กโิลกรมั ออกไปดว้ยความเร็ว 50 เมตร/

วินาที จงหา ก. แทง่ไมแ้กว่งสงูขึน้จากเดมิมากที่สดุเทา่ไร

ข. พลงังานของระบบสญูหายไปหรือไมอ่ยา่งไร

6. มวล 4 กิโลกรมั และ 6 กโิลกรมั เคลื่อนที่ตามกนับนพื้นราบ ซึ่ง

ปราศจากแรงเสียดทานดว้ยความเร็ว 5 เมตร/วินาที และ 2

เมตร/วินาที ตามลาํดบัดงัรปู เมือ่ชนกนัจะทาํใหส้ปริงหดสัน้ที่สดุ

เทา่ไร เมือ่คา่นจิของสปริงเป็น 8640 นวิตนั/เมตร

7.จากรปูสปริงอยูใ่นแนวระดบั มคีา่นจิ 600 นวิตนั/เมตร ปลายหนึง่

ตรึงอยูก่บัฝาผนงั อีกปลายหนึง่มมีวล 1.5 กโิลกรมั ตดิอยูแ่ละวาง

บนพื้น ซึ่งไมม่คีวามฝืด เริ่มตน้สปริงยงัไมย่ืดหรือหดเลย เมือ่มี

มวล 0.5 กโิลกรมั เลื่อนที่เขา้ชนมวล 1.5 กโิลกรมัตรงๆ โดยไมม่ี

การสญูเสียพลงังาน ปรากฏว่าสปริงหดเขา้ไป 10 เซนตเิมตร จง

หาความเร็วของมวล 0.5 กโิลกรมั

8.วตัถมุวล 6 กโิลกรมั เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว 8 เมตร/วินาที เขา้ชนวตัถุ

อีกกอ้นหนึง่มวล 4 กโิลกรมั ซึ่งวางอยูน่ิง่บนพื้นราบ หลงัชนวตัถมุวล

6 กโิลกรมั หยดุนิง่ จงหาว่ามวล 4 กโิลกรมั จะเคลื่อนที่ไปไดไ้กลเทา่ไร

ถา้สมัประสิทธิ์ของความเสียดทานระหว่างมวล 4 กโิลกรมัและพื้น มคีา่

0.4

9.ลกูปืนมวล 10 กรมั ถกูยิงดว้ยความเร็ว 800 เมตร/วินาที เขา้ไปฝังใน

แทง่ไมม้วล 5 กโิลกรมั ที่วางอยูบ่นโตะ๊ ถา้สมัประสิทธิ์ความเสียดทาน

ระหว่างแทง่ไมก้บัโตะ๊มคีา่เทา่กบั 0.4 แทง่ไมจ้ะไถลไปไดไ้กลเทา่ไร

10.กระสนุมวล 15 กรมั เคลือ่นที่ในแนวราบดว้ยความเร็ว 400 เมตร/

วินาที เขา้ฝันในแทง่ไมม้วล 4 กิโลกรมั ซึ่งวางนิง่บนพื้น ถา้แทง่ไม้

เคลื่อนที่ไปตามพื้นไดไ้กล 0.25 เมตร จงหาคา่สมัประสิทธิ์ของความ

เสียดทานระหว่างแทง่ไมก้บัพื้น

11.วางวตัถมุวล 4 กโิลกรมั ทบัรบูนโตะ๊ ถา้ยิงลกูปืนมวล 20 กรมั

ผา่นรเูขา้ฝังในวตัถ ุทาํใหว้ตัถกุระเด็นขึน้ไดส้งูสดุ 1.25 เมตร จง

หาความเร็วของลกูปืนกอ่นกระทบวตัถุ

12. ปลอ่ยลกูเหล็กมวล 4 กโิลกรมั ลงตามทางโคง้เกลี้ยง AB ดงัรปู

โดยลกูเหล็กอยูส่งูจากพื้นราบในแนวดิง่ 20 เมตร ลกูเหล็กเขา้ชน

มวล 6 กโิลกรมั ซึ่งวางอยูน่ิง่ ณ จดุ B หลงัจากการชน วตัถทุัง้

สองเคลื่อนที่ไปดว้ยกนั จงหาว่าวตัถทุัง้สองจะเคลื่อนที่ไปได้

ระยะทางเทา่ไร กอ่นจะหยดุนิง่ ถา้พื้นราบมคีา่สมัประสิทธิ์ของ

ความเสียดทาน 0.4

13. วตัถมุวล 1 กโิลกรมั ผกูตดิกบัเชอืกยาว 1.25 เมตร ถกูดงึขึน้จน

เชอืกและวตัถอุยูใ่นแนวระดบัแลว้ปลอ่ยลงมาใหช้นวตัถกุอ้นหนึง่ซึ่ง

มมีวล 4 กโิลกรมั วางอยูบ่นพื้นที่จดุตํา่สดุของเชอืก การชนเป็น

แบบไมส่ญูเสียพลงังาน จงหา

ก. ความเร็วหลงัชนของวตัถทุัง้สอง

ข. ถา้มวล 4 กิโลกรมั เคลื่อนที่ไปไดไ้กล 1 เมตร จึงหยดุ

สมัประสิทธิ์ความเสียดทานเป็นเทา่ใด

14. จากรปู ยิงลกูปืนมวล m มคีวามเร็ว เขา้ไปฝันในลิ่มมวล แลว้ลิ่มจะ

เคลื่อนที่ไปตามพื้นเอียงลื่น ไดท้าง จงหาความเร็ว

15.ลกูปืนมวล m ถกูยิงใหเ้คลือ่นที่ในแนวระดบัดว้ยความเร็ว v0 เขา้ชน

มวล M ซึ่งแขวนกบัเชอืกยาว แลว้ฝังลงในมวล M จงหา

ความเร็ว v0 ที่นอ้ยที่สดุที่ทาํใหม้วล M แกว่งเป็นวงกลมครบรอบ

พอดี

l

l

การชนใน 2 มิติ

เป็นการชนของวตัถใุนแนวไมผ่า่นจดุศนูยก์ลางมวล ทาํใหท้ิศ

ทางการเคลือ่นที่ของวตัถไุมอ่ยูใ่นแนวเสน้ตรงเดยีวกนั เรียกการชน

ในลกัษณะนีว้่า การชนในสองมติ ิซึ่งแบง่ลกัษณะการชนได ้3 แบบ

เหมอืนการชนในแนวเสน้ตรง (ชนใน 1 มติ)ิ

การชนแบบยดืหยุ่นสมบูรณ์

เมื่อมวลทัง้สองกอ้นเท่ากนั

กาํหนดใหม้วล m มคีวามเร็ว 1 เขา้ชนมวล m อีกกอ้นหนึง่ ซึ่งอยู่

นิง่ไมผ่า่นแนวศนูยก์ลางมวล ทาํใหม้วลทัง้สองแยกออกจากกนัทาํ

มมุ มคีวามเร็ว v1 และ v2 ตามลาํดบั ดงัรปูที่

uv

θ

ผลของการชนจะไดว้่า

(1) กอ่นชน = หลงัชน

=

=

= ….(1)

(2) Ek กอ่นชน = Ek หลงัชน

=

= .…(2)

Pv

∑Pv

∑

11 2 2m u m u+v v1 1 2 2m v m v+v v

1uv 1 2v v+v v

21u 2 2

1 2 1 22 cosv v v v θ+ +

1

2 21 2 2

1 12 2

m u m u+1

2 21 2 2

1 12 2

m v m v+

2 21 2v v+2

1u

(1)= (2) ไดว้่า = 0

= 0

= 90๐

ขอ้สรปุยอ่มอา้งไดว้่า ถา้มวลเท่ากนัชนกนัแบบยดืหย ุน่สมบรูณ์

ในแนวไมผ่า่นจดุ C.M.และมวลที่ถกูชนอย ูน่ิ่ง หลงัจากชนกนั

มวลทัง้สองจะแยกออกจากกนัทํามมุ 90˚ เสมอ

1 22 cosv v θ

cosθ

θ

เมื่อมวลทัง้สองกอ้นไมเ่ท่ากนั ชนกนัแบบยืดหยุน่สมบรูณโ์ดย

มวลถกูชนอยูน่ิง่ มวลทัง้สองจะแยกออกจากกนัไมเ่ป็นมมุฉาก

กาํหนดใหม้วล m1เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว เขา้ชนมวล m2ซึ่ง

อยูน่ิง่ ในแนวไมผ่า่นจดุ C.M. ทาํใหม้วล m1และ m2แยกออกจากกนั

ทาํมมุ และ กบัแนวการเคลือ่นที่เดมิของ ดว้ยความเร็ว

และ ดงัรปูที่

1uv

α β 1vv

1uv

2vv

การหา และ ทาํได ้2 วิธี

วิธีที่ 1 โดยการแยก ใหเ้ป็น และ

กอ่นชน = หลงัชน

=

=

1v 2v1 1m uv 1 1m vv 2 2m vv

Pv

∑Pv

∑

11 2 2m u m u+v v1 1 2 2m v m v+v v

1 1m uv 1 1 2 2m v m v+v v

จากสมการโมเมนตมัแสดงว่า = หรือกลา่วอีกแบบ

ไดว้่า สามารถแยกไดเ้ป็น และ ตามหลกัการแยกเวคเตอร์

แบบไมต่ัง้ฉากไดว้า่

1 1m uv 1 1 2 2m v m v+v v

1 1m uv 1 1m vv 2 2m vv

1 1 sinsin( )m u β

α β+1 1m v =

1 1 sinsin( )m u α

α β+=22vm

( )α β+ ปัญหาอยูท่ี่ว่า sin ของมมุ ในบางครัง้ไมส่ามารถหาคา่ไดง้า่ยนกั

เชน่ sin75◦, sin105◦ เป็นตน้

วิธีที่ 2 การหาโมเมนตมัลพัธใ์นแนว และในแนวตัง้ฉากกบั

จากฎการอนรุกัษโ์มเมนตมั

กอ่นชน = หลงัชน

=

=

เราจะอาศยัการแยกเวคเตอรข์อง และ ใหอ้ยูใ่นแนวขนาน และตัง้ฉากกบัแนว ดงัรปูที่

1 1m uv1 1m uv

Pv

∑ Pv

∑

11 2 2m u m u+v v1 1 2 2m v m v+v v

1 1m uv1 1 2 2m v m v+v v

1 1m vv 2 2m vv

พิจารณาในแนวตัง้ฉากกบั พบว่า

P = 0

ดงันัน้ = …..(1)

พิจารณาในแนวขนานกบั

=

ดงันัน้ + = ….(2)

จาก (1) และ (2) ถา้ร ู ้m1, m2 , u1 , , ก็สามารถหา v1 และ v2ได้

1 1 sinm v α

1 1m uv

2 2 sinm v β

11um

p∑ v

β ααcos11vm βcos22vm

1. ลกูกลมขนาดเทา่กนั 2 ลกู A และ B โดยลกู A วิ่งเขา้ชนลกู B ซึ่งอยู่

นิง่ในแนวไมผ่า่นจดุศนูยก์ลางทาํใหล้กู A กระเด็นเบี่ยงไปจากแนว

เดมิ 60 องศา กอ่นชนลกูกลม A มคีวามเร็ว 10 เมตร/วินาที และ

เป็นการชนแบบยืดหยุน่สมบรูณห์ลงัชนลกูกลม A และ B

จะมคีวามเร็วเทา่ใด

2. โมเลกลุของกา๊ซตวัที่ 1 มคีวามเร็ว 200 เมตร/วินาที ชนโมเลกลุของ

กา๊ซตวัที่ 2 ซึ่งเดมิอยูน่ิง่ และมมีวลเทา่กนัภายหลงัการชนโมเลกลุ

ตวัที่ 1 เบนออกจากแนวเดมิ จงหาอตัราของโมเลกลุทัง้สอง

ภายหลงัการชน

3. ลกูกลม A และ B ขนาดเทา่กนั มมีวลลกูละ 0.5 กโิลกรมั ใหล้กู

กลม A เขา้ชนลกูกลม B ซึ่งอยูน่ิง่ หลงัชนปรากฏว่าลกูกลม A

และ B กระเด็นทาํมมุ 30˚ และ 60˚ กบัแนวการชนของลกูกลม A

ตามลาํดบั ถา้อตัราเร็วของลกูกลม B เป็น 4 เมตร/วินาที

พลงังานจลนข์องลกูกลม A เปลี่ยนไปเทา่ไร ในการชนถา้ลกูกลม

ทัง้สองอยูบ่นพื้นลืน่

4. วตัถ ุ3 กโิลกรมั เคลื่อนที่เขา้ชนวตัถมุวล 2 กโิลกรมั ซึ่งอยูน่ิง่ดว้ย

ความเร็ว 20 เมตร/วินาที ในแนวไมผ่า่นจดุศนูยก์ลางของมวล ทาํให้

ภายหนงัการชนมวลกอ้นแรกทาํมมุ 30˚ กบัแนวเดมิ และมวล 2

กโิลกรมั เคลือ่นที่ในแนวทาํมมุ 45˚ กบัแนวการเคลื่อนที่ของมวล 3

กโิลกรมั กอ่นชน จงหาอตัราเร็วของมวลทัง้สองภายหลงัการชน

การชน 2 มิติแบบไมย่ดืหย ุน่

ใหม้วล m1 เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว เขา้ชน มวล m2 ซึ่ง

เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว ในแนวทาํมมุ ตอ่กนัหลงัชนกนัแลว้ทัง้

สองเคลื่อนที่ตดิกนัไปดงัรปู ดว้ยความเร็ว

1uv

2uv θvv

จากกฎการอนรุกัษโ์มเมนตมั

กอ่นชน = หลงัชน

= ( m1 + m2 )v

หรือ ( m1 + m2 ) v =

เมื่อร ู ้m 1 , m2 , u 1 , u 2 และ ก็สามารถ v ได้

Pv

∑ Pv

∑

2211 umum vv +

2 21 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) 2( )( )cosm u m u m u m u θ+ +

θ

1. มวล 6 กโิลกรมั เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว 5 เมตร/วินาที ในทิศ

ตะวนัออกเขา้ชนกบัมวล 4 กโิลกรมัเคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว 10 เมตร/

วินาที ในทิศทางเหนอื หลงัชนปรากฏว่ามวลทัง้สองตดิกนัไป จง

หาความเร็วของมวลทัง้สองหลงัชนกนั

2. ลกูกลมมวล 4m เคลื่อนที่บนพื้นราบที่ไมม่แีรงเสียดทานดว้ย

ความเร็ว v0 เขา้ชนลกูกลมมวล m ซึ่งวางชดิกนัสองลกู ดงัรปู

หลงัการชนลกูกลม m ทัง้สองตา่งเคลื่อนที่ในทิศทาํมมุ 45๐ กบั

แนวการเขา้ชนของมวล 4m ดว้ยความเร็ว ดงัรปู โดยมวล 4m

ยงัคงเคลื่อนที่ตอ่ไปในทิศทางเดมิ จงหาความเร็วของมวล 4m

ภายหลงัการชน

02v

การระเบิด หรอืการดีดตวั

ใหว้ตัถมุวล m เดมิอยูน่ิง่ แลว้ระเบิดแยกออกเป็น 3 สว่น แต่

ละสว่นมมีวล m1 , m2และ m3 ตามลาํดบั และมคีวามเร็ว

และ ตามลาํดบั ดงัรปูที่

1 2,v vv v

3vv

จากกฎการอนรุกัษโ์มเมนตมั

กอ่นชน = หลงัชน

0 =

=

หรือ =

หรือ =

หรือ =

เมื่อร ู ้มมุ และ ร ูค้่า v 2 ค่า สามารถหา v ที่เหลือได้

Pv

∑ Pv

∑

1 1 2 2 3 3m v m v m v+ +v v v

3 3m v− v1 1 2 2m v m v+v v

3 3m v 2 21 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) 2( )( )cosm v m v m v m v θ+ +

1 1m v 2 22 2 3 3 2 2 3 3( ) ( ) 2( )( )cosm v m v m v m v β+ +

2 2m v 2 21 1 3 3 1 1 3 3( ) ( ) 2( )( )cosm v m v m v m v α+ +

1. มวลกอ้นหนึง่วางอยูน่ิง่ แลว้ระเบิดออกเป็น 3 สว่น สองสว่นแรก

มมีวลเทา่กนั กระจายออกตัง้ฉากซึ่งกนัและกนั และมอีตัราเร็ว 40

เมตร/วินาที สว่นที่สามมมีวลเป็น 2 เทา่ของมวลสองสว่นแรกแตล่ะ

สว่น จงหาอตัราเร็วของสว่นที่สามภายหลงัการระเบิดทนัที

การเคลื่อนที่ของจดุศนูยก์ลางมวล

เมือ่มวีตัถมุกีารเคลือ่นที่ จดุศนูยก์ลางมวล (C.M.) จะมกีาร

เคลื่อนที่ดว้ย สาํหรบัการชนกนัของวตัถทุี่ไมม่แีรงภายนอกมา

เกีย่วขอ้ง จดุศนูยก์ลางมวล (C.M.) จะมกีารเคลื่อนที่ดว้ย คงที่

ทัง้กอ่นและหลงัชน โดยหาไดจ้ากกฎการอนรุกัษโ์มเมนตมั

ทัง้ระบบ = กอ่นชน = หลงัชน

= =

= =

ดงันัน้

( )cmvv

( )cmvv

Pv

∑Pv

∑Pv

∑

1 2( ) CMm m v+ v1 1 2 2m u m u+v v

1 1 2 2m v m v+v v

CMvv 1 1 2 2

1 2

m u m um m

++

v v1 1 2 2

1 2

m v m vm m

++

v v

CMPvm

∑=∑

vv

เมื่อ คือ ความเรว็จดุ C.M. ของระบบ

คือ ผลรวมของโมเมนตมั กอ่นชนหรอืหลงัชน

คือ ผลรวมของมวลวตัถทุัง้ระบบ

CMvv

m∑Pv

∑

1. มวล m เคลื่อนที่ดว้ยความเรว็ 20 เมตร/วินาที เขา้ชนมวล

3m ซึ่งเคลื่อนที่มาดว้ยความเรว็ 10 เมตร/วินาที ในทิศทาง

ทํามมุ 60๐ ต่อกนั บนพื้นราบเกลี้ยง จงหาขนาดและทิศทาง

ของความเรว็ของจดุศนูยก์ลางมวล