เรขาคณิตวิเคราะห · 1. ระยะระหว างจุด p1...

เรขาคณิตวิเคราะห วิชาคณิตศาสตรเพ่ิมเติม 6 ค 20206 หนา 1

เรขาคณิตวิเคราะหเรขาคณิตวิเคราะห

ระบบพิกัดฉากระบบพิกัดฉาก ((RReeccttaanngguullaarr CCoooorrddiinnaattee SSyysstteemm)) ในระบบพิกัดฉาก จะประกอบไปดวยเสนจํานวน 2 เสนที่ตั้งฉากบนระนาบเดียวกันที่จุด O เสนจํานวน 2 เสนนั้น เรียกวา แกนโคออรดิเนต (Coordinate Axis)

เสนที่อยูในแนวนอน เรียกวา แกน X หรอืแกนนอน เสนที่อยูในแนวตั้ง เรียกวา แกน Y หรือแกนตั้ง จุดที่แกน X และแกน Y ตัดกันเรียกวา จุดกําเนิด (Origin Point) เขียนแทนดวย O การบอกตําแหนงของจุดในระบบพิกัดฉาก จะเขียนในรูปคูอันดับหรือพิกัด (Coordinate)

เชนจุด P มีพิกัดเปน (a,b) หรือ P(a,b) สําหรับพิกัด x ของทุกจุดบนแกน เปน 0 และพิกัด Y ของทุกจุดบนแกน เปน 0 จุดกําเนิดคือจุด (0,0)

YYYY

PPPP(a,b)(a,b)(a,b)(a,b)

XXXX

จุดกําเนิด

b

a (0, 0)

แกน YYYY ดานบวก

แกน XXXX ดานบวก แกน YYYY ดานลบ

แกน X ดานลบ


ลองทําดหูนอยลองทําดหูนอย......

โปรเจกชันของจุด (2,3) บนแกน X คือ ………………… โปรเจกชันของจุด (2,3) บนแกน Y คือ …………………. โปรเจกชันของจุด (-3,-1) บนแกน X คือ …………………. โปรเจกชันของจุด (-3,-1) บนแกน Y คือ …………………. โปรเจกชันของจุด (x,y) บนแกน X คือ ………………. โปรเจกชันของจุด (x,y) บนแกน Y คือ ……………….

จตุภาค จตุภาค ((QQuuaaddrraannttss)) แกน X และ แกน Y นี ้จะแบงออกเปน 4 สวน เรียกวา ดังรูป ในตัวอยางที่ 1

ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่1111 จงเขียนพิกัดจุดตอไปนี้ ลงบนระนาบ A(3,4), B(-2,3), C(-4,-3), D(2,-4), E(4,-1), F(1,2) และ G(0,5)

####

จตภุาคที ่จตภุาคที ่จตภุาคที ่จตภุาคที ่2222 ( ( ( ( ---- , , , , + ) + ) + ) + )

จตภุาคที ่จตภุาคที ่จตภุาคที ่จตภุาคที ่1111 ( + ( + ( + ( + , , , , + ) + ) + ) + )

จตภุาคที ่จตภุาคที ่จตภุาคที ่จตภุาคที ่3333 ( ( ( ( ---- , , , , ---- ) ) ) )

จตภุาคที ่จตภุาคที ่จตภุาคที ่จตภุาคที ่4444 ( + ( + ( + ( + , , , , ---- ) ) ) )

XXXX

YYYY


การหาระยะทางระหวางจุด การหาระยะทางระหวางจุด 2 2 จดุจดุ ((DDiissttaannccee BBeettwweeeenn TTwwoo PPooiinnttss)) ระยะทางระหวางจุด 2 จุด หรือความยาวของเสนตรงที่ตอจุด 2 จุด

ทฤษฎบีทที ่ทฤษฎบีทที ่ทฤษฎบีทที ่ทฤษฎบีทที ่1111 ถา )y,x(P 111 และ )y,x(P 222 เปนจุดใด ๆ บนระนาบระยะระหวาง

1P และ 2P เทากัเทากัเทากัเทากับบบบ ( ) ( )2122

12 yyxx −+−

122121 yyQP,xxQP −=−=

21QPP∠ เปนมุมฉาก จากทฤษฎีบทปทาฏกรัส จะไดวา

( ) ( )

( ) ( ) 212

21221

212

212

212

212

221

yyxxPP

yyxx

yyxxPP

−+−=∴

−+−=

−+−=

นั่นคือ ( ) ( )212

21221 yyxxPP −+−=

หมายเหตุ เนื่องจาก ( ) ( )2212

12 xxxx −=−

และ ( ) ( ) 22112 yyyy

2−=−

ดังนั้น สูตรการหาระยะทางระหวางจุด 21 และ PP อาจเขียนใหมไดดังนี ้

( ) ( ) 221

22121 yyxxPP −+−=

XXXX

YYYY


( ) ( )221

22121 yyxxPP d −+−==

212121 xxxxPP d −=−==

212121 d yyyyPP −=−==

22

21 d yxPP +==

yd =

xd =

ความจริงจากสูตรการหาระยะทางระหวางจุด ความจริงจากสูตรการหาระยะทางระหวางจุด 22 จุด จุด

1. ระยะระหวางจุด P1 กับจุด P2 ที่อยูบนเสนตรงที่ขนานกับแกน x

2. ระยะระหวางจุด P1 กับจุด P2 ที่อยูบนเสนตรงที่ขนานกับแกน y

3. ระยะระหวางจุด P1(x, y) กับจุดเริ่มตน P2(0, 0)

4. ระยะระหวางระหวางแกน x กับ จุด P1(x, y) ใด ๆ

5. ระยะระหวางระหวางแกน y กับ จุด P1(x, y) ใด ๆ

ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่2222 จงหาระยะทางระหวางจุด )1,7(A และ )9,1(B วิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํ จาก )1,7(A และ )9,1(B

( ) ( )

( ) ( )

( )101006436

86

9117

yyxxAB

22

22

212

212

==+=

−+=

−+−=

−+−=∴

ดังนั้น ระยะทางระหวางจุด )1,7(A และ )9,1(B เทากับ 10 หนวย #

ตัวอยางที่ตัวอยางที่ตัวอยางที่ตัวอยางที่ 3333 ใหจุด P(-4, 5) และจุด Q(2, -3) เปนจดุปลายของเสนผานศูนยกลาง ของวงกลม จงหาความยาวของเสนผานศูนยกลางและรัศมีของวงกลม วิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํ ให d เปนระยะระหวางจุดปลายทั้งสองของเสนผานศูนยกลางของวงกลม จะไดวา

d = 212

212 )yy()xx( −+−

= = = = 22 )53()]4(2[ −−+−− = 22 )8()42( −++

= 6436 + = 100 = 10

จะได เสนผานศูนยกลางยาว 10 หนวย ดังนั้นรัศมียาว 5 หนวย #


แบบฝกทักษะที่ แบบฝกทักษะที่ 11

1. จงหาระยะทางระหวางจุดตอไปนี้กับจุดกําเนิด (0, 0) (1) (3, 4) ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... (2) (0, 3) ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... (3) (-1, -3) ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................

(4) (s, t) ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................


2. จงหาระยะทางระหวางจุดแตละคูตอไปนี ้ (1) (2, 5) และ (9, 5) ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... (2) (-4, 7) และ (6, 7) ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... (3) (-5, 6) และ (-5, -3) ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... (4) (-4, -8) และ (-4, -2) ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................


3. จงหาระยะหางระหวางจดุ (-3, -4) กับแกน X ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... 4. จงหาความยาวของเสนรอบรูปของรูปสามเหล่ียม ABC ซ่ึง Aมีพิกัดเปน (3, 4) B มีพิกัดเปน (7, 8) และ C มีพิกัดเปน (-1, -2) ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... 5. รูปวงกลมรูปหนึ่งมีจุดศูนยกลางที่จุด (-3, 2) และผานจุด (7, 4) จงหารัศมีของวงกลมนี้ ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................


6. รูปวงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนยกลางที่จุด (4, -3) และมีแกน X เปนเสนสัมผัส จงหาจุดสัมผัส และ ความยาวของเสนผานศูนยกลาง ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................

7. จงแสดงใหเห็นวา จุด A(-7,6), B(3,2) และ C(5,7) เปนจุดยอดมุมของสามเหล่ียมมุมฉาก และหาพ้ืนที่ของสามเหล่ียม ABC ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................


จดุกึง่กลางระหวางจดุ จดุกึง่กลางระหวางจดุ จดุกึง่กลางระหวางจดุ จดุกึง่กลางระหวางจดุ จดุกึง่กลางระหวางจดุ จดุกึง่กลางระหวางจดุ จดุกึง่กลางระหวางจดุ จดุกึง่กลางระหวางจดุ 2 2 2 2 2 2 2 2 จดุจดุจดุจดุจดุจดุจดุจดุ ((((((((TTTTTTTThhhhhhhheeeeeeee MMMMMMMMiiiiiiiiddddddddppppppppooooooooiiiiiiiinnnnnnnntttttttt)))))))) จุดกึ่งกลางระหวางจุด 2 จุด หรือจุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรงที่ตอจุด 2 จุด จะตองใช หรือคํานวณหาอยูบอย ๆ เพ่ือนําไปใชแกปญหา ซ่ึงสามารถหาไดตามทฤษฎีบท ตอไปนี ้

ทฤษฎบีทที ่ทฤษฎบีทที ่ทฤษฎบีทที ่ทฤษฎบีทที ่2222 ถา ( )y,xP เปนจุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรงที่เชื่อมระหวางจุด ( )11 y,x

และ จุด ( )22 y,x แลวจะได ( )

++=

2

yy,

2

xxPy,xP 2121

ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่4444 จงหาจุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรงที่เชื่อมระหวางจุด (3,-4) และ (9,-2)

วิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํ ใหจุด ( )y,xP เปนจุดกึ่งกลางระหวางจุด (3,-4) และ (9,-2)

จาก ( )

++=

2

yy,

2

xxPy,xP 2121

จากโจทยกําหนด ( ) ( )4,3y,x 11 −= และ ( ) ( )2,9y,x 22 −=

จะไดวา ( ) ( ) ( )3,62

6,

2

12

2

24,

2

93y,xP −=

−=

−+−+=

ดังนั้น จุดกึ่งกลาง คือ จุด (6,-3) #### ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่5555 จงหาจุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรงที่เชื่อมระหวางจุด (-5,4) และ (-9, 7) วิธีทํา ใหจุด ( )y,xP เปนจุดกึ่งกลางระหวางจุด (-5,4) และ (-9, 7)

จากสูตร ( )

++=

2

yy,

2

xxPy,xP 2121

จากโจทยกําหนด ( ) ( )4,5y,x 11 −= และ ( ) ( )7,9y,x 22 −=

จะไดวา ( ) ( )5.5,72

11,

2

14

2

74,

2

)9(5y,xP −=

−=

+−+−=

ดังนั้น จุดกึ่งกลาง คือ จุด (-7, 5.5) ####


ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ 6666 จุด ( )5,4P − เปนจุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรง AB ถาพิกัดที่จุด A

เปน ( )1,3 − จงหาพิกัดที่จุด B วิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํ ใหพิกัดที่จุดB เปน ( )22 y,xB , พิกัดที่จุดA เปน ( )1,3A − จุดกึ่งกลาง คือ ( )54P −

จากสูตร ( )

++=

2

yy,

2

xxPy,xP 2121

∴ จะได 2

xxx 21 += และ

2

yyy 21 +=

แทนคาได 2

x34 2+

= และ 2

y15 2+−

=−

2x324 +=× และ 2y125 +−=×− 2x38 += และ 2y110 +−=− 5x2 = และ 9y2 −=

ดังนั้น พิกัดที่จุด P คือ (5, -9) #


แบบฝกทักษะที่ แบบฝกทักษะที่ 22

1. จงหาจุดกึ่งกลางระหวาง (-3, 5) และ (4, -1) ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... 2. จุด P เปนจุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรง P1P2 ถา P มีพิกัด (2, 3) และ P1 มีพิกัด (5, 4) จงหาพิกัดของจุด P2 ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... 3. จงแสดงวาจุดกึ่งกลางของเสนทแยงมุมของรูปส่ีเหล่ียมซ่ึงมีจุดยอดที่ A(2, 1), B(7, 1), C(9, 3) และ D(4, 3) เปนจุดเดียวกัน ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................


4. จงหาความยาวของสวนของเสนตรงซ่ึงเชื่อมจุด A(8, 2) กับจุดกึ่งกลางระหวาง P(2, 1) และ Q (6, 5) ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... 5. ถาจุดปลายของเสนผานศูนยกลางของวงกลมวงหนึ่งเปน (1, 3) และ (7, 11) จงหาพิกัดของ จุดศูนยกลาง และความยาวของรัศมีของวงกลมนี้ ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................


6. จงหาพิกัดของจุดปลายเสนมัธยฐานของรูปสามเหล่ียมที่มีจุดยอดท่ี A(4, 9), B(3, 8) และ C(-1, 2) ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................


ความชนัของเสนตรงความชนัของเสนตรงความชนัของเสนตรงความชนัของเสนตรง (The Slope of Lin(The Slope of Lin(The Slope of Lin(The Slope of Line)e)e)e) ความชันของเสนตรง เปนส่ิงทีบ่อกลักษณะหรือความเอียงของเสนตรง

การหาความชนัเมื่อกําหนดจดุให การหาความชนัเมื่อกําหนดจดุให การหาความชนัเมื่อกําหนดจดุให การหาความชนัเมื่อกําหนดจดุให 2 2 2 2 จดุจดุจดุจดุ ในบางครั้งเราไมทราบมุมเอียงของสวนของเสนตรง แตทราบและสามารถหาจุด 2 จุดที่อยูบนสวนของเสนตรงนั้นได เราสามารถหาความชันไดจากทฤษฎีบทตอไปนี ้

ทฤษฎบีทที ่ทฤษฎบีทที ่ทฤษฎบีทที ่ทฤษฎบีทที ่3333 ถา ( )111 y,xP และ ( )222 y,xP เปนจุดที่อยูบนเสนตรง L และ

ให m เปนความชันของเสนตรง L จะได 21

21

xx

yym

−−

=

จากรูป จะได |yy||QP| 122 −= และ |xx||QP| 121 −= ในที่นี้มุม θ มีขนาดเทากับมุมเอียงของสวนของเสนตรง L ให m แทนความชัน จะได θ= tanm

12

12

1

2

xx

yy

QP

QPm

−

−==

ดังนั้น ความชันของสวนของเสนตรงที่ผานจุด ( )11 y,x และ ( )22 y,x

คือ 12

12

xx

yym

−

−=

เนื่องจาก |yy||yy| 2112 −=− และ |xx||xx| 2112 −=− ดังนั้นถาสลับจุดความชันยังคงเทากัน

นั้นคือ 21

21

12

12

xx

yy

xx

yym −

−=−

−=


ภาพตอไปน้ีแสดงความชันของเสนตรงกรณีตาง ๆ

เสนตรงเสนตรงเสนตรงเสนตรง คคคความชันวามชันวามชันวามชัน ตัวอยางตัวอยางตัวอยางตัวอยาง

ขึ้นบนขึ้นบนขึ้นบนขึ้นบนขณะที่ x บวก เคล่ือนจากซายไปขวา

ลงลางลงลางลงลางลงลางขณะที่ x ลบ

เคล่ือนจากซายไปขวา เสนนอน 0 เสนยืน ไมนิยาม

ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่7777 จงหาความชันของสวนของเสนตรงที่ผานจุด 1. (4, 3) และ (-2, 3) 2. (4, 3) และ (4, -2) 2. (-1, -2) และ (4, 3) 4. (-1, 5) และ (4, -1)

1111. . . . วธิทีาํวธิทีาํวธิทีาํวธิทีาํ จาก 12

12

xx

yym

−−

=

6

0

42

33m

−=

−−

−=

นั่นคือ 0m =

2222.... วิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํ จาก 12

12

xx

yym

−

−=

( )0

5

44

23m =

−

−−=

นั่นคือ ความชันหาคาไมได


3333. . . . วิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํ จาก 12

12

xx

yym

−

−=

( )( ) 5

5

14

23m =

−−

−−=

นั่นคือ 1m =

4444. . . . วธิทีาํวธิทีาํวธิทีาํวธิทีาํ จาก 12

12

xx

yym

−

−=

( )5

6

41

15m

−=

−−−−

=

นั่นคือ 5

6m −=

สรปุ สรปุ สรปุ สรปุ ลักษณะของสวนของเสนตรงกบัคาของความชนัลักษณะของสวนของเสนตรงกบัคาของความชนัลักษณะของสวนของเสนตรงกบัคาของความชนัลักษณะของสวนของเสนตรงกบัคาของความชนั แยกได 4 ลักษณะ คือ 1. สวนของเสนตรงที่มีมุมเอียงเปนมุมแหลม o900 <θ< จะมีความชันเปนบวก

2. สวนของเสนตรงที่มีมุมเอียงเปนมุมปาน oo 18090 <θ< จะมีความชันเปนลบ 3. สวนของเสนตรงที่อยูในแนวนอน(ขนานกับแกน X) จะมีความชันเปนศูนย 4. สวนของเสนตรงที่อยูในแนวตั้ง(ขนานกับแกน Y) ความชันจะหาคาไมได

หมายเหตุหมายเหตุหมายเหตุหมายเหต ุ 1. กราฟตะแคงขวา 0m >

2. กราฟตะแคงซาย 0m < 3. กราฟขนานหรืออยูบนแกน X 0m = 4. กราฟขนานหรืออยูบนแกน Y m หาคาไมได


ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่8888 จงหาคา y ที่ทําใหสวนของเสนตรงที่ผานจุด (4, y) และ (-3, 1)

มีความชัน 2

1

วิธีทํา จากสูตร 12

12

xx

yym

−−

=

ให จุด (4, y) เปนจุด ( )11 y,x และจุด (-3, 1) เปนจุด ( )22 y,x

13y

14y1

27y1

y1

7

2

1

y1

43

2

1

=

−=−

×−=−

−−

=

−−−

=∴

????????????????????


แบบฝกทกัษะที ่ แบบฝกทกัษะที ่ แบบฝกทกัษะที ่ แบบฝกทกัษะที ่ 3333

1. จงหาความชันของเสนตรงที่ผานจุดตอไปนี ้1.1 (1, 3) และ (4, 2)

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................... 1.2 (3, 0) และ (-1, -5) ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... 1.3 (2, 3) และ (8, 3) ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... 2. จงหาคา x ที่ทําใหเสนตรงที่ผานจุด P และ Q มีความชันเทากับ m ตามที่กําหนดให 2.1 P (5, 2) และ Q (x, 6) ; m = 4 ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................


2.2 P (4, x) และ Q (-3, 1) ; m = 2

1

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

3. กําหนดให P(-6, 4), Q(1, 4), R(-1, -1) และ S(-8, -1) เปนจุดยอดของรูปส่ีเหล่ียมรูปหนึ่ง จงหาความชันของเสนตรงแตละเสนซ่ึงแบงรูปส่ีเหล่ียมนี้ออกเปนรูปสามเหล่ียมสองรูปที่มี พ้ืนที่เทากัน ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................


เสนขนานและเสนตัง้ฉากเสนขนานและเสนตัง้ฉากเสนขนานและเสนตัง้ฉากเสนขนานและเสนตัง้ฉากเสนขนานและเสนตัง้ฉากเสนขนานและเสนตัง้ฉากเสนขนานและเสนตัง้ฉากเสนขนานและเสนตัง้ฉาก ((PPaarraalllleell aanndd PPeerrppeennddiiccuullaarr LLiinneess)) ความชันของเสนตรง เปนส่ิงที่บอกลักษณะหรือความเอียงของเสนตรง ซ่ึงมีสมบัติดังนี ้

เสนขนานเสนขนานเสนขนานเสนขนาน (Parallel(Parallel(Parallel(Parallel Lines)Lines)Lines)Lines)

บทนิยามที่บทนิยามที่บทนิยามที่บทนิยามที่ 1111 ให 1L และ 2L เปนเสนตรงที่มีมุมเอียง 1 2 และ θ θ ตามลําดับ ถา

1 2θ θ=

เราจะกลาวไดวา เสนตรง 1L ขนานกับ 212 หรือ L//LL

ทฤษฎบีทที ่ทฤษฎบีทที ่ทฤษฎบีทที ่ทฤษฎบีทที ่4444 ถา 1L และ 2L เปนเสนตรงที่มีมุมเอียง ,1 2θ θ และมีความชัน 21 m,m

ตามลําดับ โดยที่

1 2 และ 90θ θ ≠ o จะได

1. ถา 21 mm = จะได 1L ขนานกับขนานกับ 212 หรือ L//LL

2. ถา 1L ขนานกับขนานกับ 212 หรือ L//LL แลว 21 mm =

บทนิยามที่ บทนิยามที่ บทนิยามที่ บทนิยามที่ 2222 ให 1L และ 2L เปนเสนตรงที่มีมุมเอียง 1 2 และ θ θ ตามลําดับ ถา

1 2θ θ=

และมีความชัน 21 m,m ตามลําดับ ถา 1 2θ θ= (หรือ 21 mm = ) และ

1L กับ 2L มีจุดรวมกนหนึ่งจุด เรากลาววา 1L และ 2L เปนเสนตรงเดียวกัน


ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่9999 กําหนดให 1L เปนเสนตรงที่ผานจุด ( ) ( )7,8,4,5

2L เปนเสนตรงที่ผานจุด ( ) ( )3,5,4,4 −− 3L เปนเสนตรงที่ผานจุด ( ) ( )1,2,4,5 จงตรวจสอบดูวา มีเสนตรงใดขนานกัน และเสนตรงใดเปนเสนตรงเดียวกัน วิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํ ให 21 m,m และ 3m เปนความชันของเสนตรง 21 L,L และ 3L ตามลําดับ

จากสูตร 12

12

xx

yym

−

−= 1

58

47m1 =

−−

=∴

( )

145

43m2 =

−−−−

=∴

125

14m3 =

−

−=∴

นั่นคือ เสนตรง 32 LL และ เปนเสนตรงที่ขนานกัน เพราะมีความชันเทากัน ( )31 mm =

และเสนตรง 31 LL และ เปนเสนตรงเดียวกัน เพราะตางผานจุด ( )4,5 เหมือนกัน ####

ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่10101010 จงแสดงวาจุด ( ) ( ) ( )3,5Q5,1P,1,4R และ − เปนจุดที่อยูบนเสนตรงเดียวกัน

วิธีทํา เสนตรง 2 เสนจะขนานกันก็ตอเม่ือมีความชันเทากัน และ ถาเสนตรงทั้งสองมีจุดรวมกัน จะสรุปไดวาเสนตรงทั้งสองคือเสนตรงเดียวกัน

ให 1L เปนเสนตรงที่ผานจุด ( ) ( ) 1m5,1P1,4R ทา่กบัมีความชนัเ และ −

23

6

41

15m1 =

−−

=−−−

=∴

และ 2L เปนเสนตรงที่ผานจุด ( ) ( ) 2m3,5Q5,1P ทา่กบัมีความชนัเ และ− ( )

24

8

15

53m1 ==

−−−

=∴

เนื่องจาก 21 mm = จะไดวา 21 L//L และ RP คือเสนตรงเดียวกันกับ PQ เพราะมีจุด P รวมกัน

ดังนั้น จะไดวา จุด R , จุด P , และ จุด Q เปนจุดที่อยูบนเสนตรงเดียวกัน ####

�� ...


แบบฝกทกัษะที ่แบบฝกทกัษะที ่แบบฝกทกัษะที ่แบบฝกทกัษะที ่4444

1. จงแสดงวา เสนตรงที่ผานจุด A(4, 5) และ B(1, 2) ขนานกับเสนตรงที่ผานจุด C(2, 8) และ D (-2, 4) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จงแสดงวาเสนตรงซ่ึงผานจุด (-2, -4) และ (3, 3) ขนานกับเสนตรงซ่ึงผานจุด (1, -2) และ (6, 5) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. จงแสดงวา (-2, -1), (1, 0), (4, 3) และ (1, 2) เปนจุดยอดของรูปส่ีเหล่ียมดานขนาน ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………


4. จงแสดงวาจุด A(-6, 6), B (6, 6), C (12, 0) และ D (6, -6) เปนจุดยอดของรูป ส่ีเหล่ียมคางหมู ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. กําหนดให P (-3, 2), Q (1, 6), R (5, 4) และ S (3, 0) เปนจุดยอดของรูปส่ีเหล่ียม PQRS จงแสดงวาจุดกึ่งกลางของดานทั้งส่ีของรูปส่ีเหล่ียมนี้เปนจุดยอดของรูปส่ีเหล่ียมดานขนาน ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………


เสนตัง้ฉากเสนตัง้ฉากเสนตัง้ฉากเสนตัง้ฉาก (Perpendicular Lines)(Perpendicular Lines)(Perpendicular Lines)(Perpendicular Lines)

ทฤษฎบีทที ่ทฤษฎบีทที ่ทฤษฎบีทที ่ทฤษฎบีทที ่5555 ให 1L และ 2L เปนเสนตรงที่มีความชัน 1m และ 2m ตามลําดับ 1L ตั้งฉากกับ 2L ( )21 LL ⊥ ก็ตอเม่ือ 1m 2m = -1

ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่11111111 จงแสดงวา เสนตรงที่ผานจุด ( )1,5A − และ ( )2,3B − ตั้งฉากกับเสนตรงที่ผานจุด ( )1,3P − และ ( )9,0Q วิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํ ให 1L เปนเสนตรงที่ผานจุด ( )1,5A − และ ( )2,3B − มีความชันเทากับ 1m

( ) 8

3

35

21m1 −=

−−−−

=∴

และ 2L เปนเสนตรงที่ผานจุด ( )1,3P − และ ( )9,0Q มีความชันเทากับ 2m

3

8

03

91m2 =

−−

−=∴

จะได 13

8

8

3mm 21 −=×

−=

นั่นคือ เสนตรง AB ตั้งฉากกับเสนตรง PQ #

ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่12121212 จงแสดงวา เสนตรงที่ผานจุด ( )2,0A และ ( )2,3B −− ตั้งฉากกับเสนตรงที่ผานจุด ( )1,7P − และ ( )5,1Q −

วิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................



1. จงแสดงวาจุด A(-4, 3), B (-1, 2) และ C (2, 11) เปนจุดยอดของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... 2. เสนตรงซ่ึงผานจุด (4, 3) และ (-3, -5) ตั้งฉากกับเสนตรงซ่ึงผานจุด (-2, -3) และ (-8, 2) หรือไม ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................


3. จุด (1, 6), (8, 8) และ (-7, 2) เปนจุดยอดของรูปสามเหล่ียมมุมฉากหรือไม ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... 4. ถาเสนตรงซ่ึงผานจุด (k, 7) และ (-3, -2) ตั้งฉากกับเสนตรงซ่ึงผานจุด (3, 2) และ (1, 4) จงหาคาของ k ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................


5. จงแสดงวาจุด (2, 1), (6, 4), (3, 8) และ (-1, 5) เปนจุดยอดของรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส และหาพ้ืนที่ของรูปส่ีเหล่ียม ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................


ความสัมพนัธซึง่มกีราฟเปนเสนตรงความสัมพนัธซึง่มกีราฟเปนเสนตรงความสัมพนัธซึง่มกีราฟเปนเสนตรงความสัมพนัธซึง่มกีราฟเปนเสนตรง ในการเขียนความสัมพันธซ่ึงมีกราฟเปนเสนตรงในลักษณะตางๆนิยมเขียนเฉพาะสมการที่ระบุ

เงื่อนไขของความสัมพันธเทานั้น ซ่ึงสมการเสนตรงมีดังนี้

1111. . . . ความสมัพนัธซึง่มกีราฟเปนเสนตรงขนานกบัแกนความสมัพนัธซึง่มกีราฟเปนเสนตรงขนานกบัแกนความสมัพนัธซึง่มกีราฟเปนเสนตรงขนานกบัแกนความสมัพนัธซึง่มกีราฟเปนเสนตรงขนานกบัแกน XXXX คือ }by|RR)y,x{( =×∈

ซ่ึงนิยมเขียน by = เปนเสนตั้งฉากกับแกน Y และตัดแกน Y ที่จุด )b,0(

1.1 ถา 0b > ( b เปนจํานวนจริงบวก) เปนเสนตรงอยูเหนือแกน X และหางจากแกน X

เปนระยะ b หนวย

1.2 ถา 0b < ( b เปนจํานวนจริงลบ) เปนเสนตรงอยูใตแกน X และหางจากแกน X

เปนระยะ |b| หนวย

1.3 ถา 0b = จะไดสมการ 0y = คือแกน X

ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่13131313 จงเขียนกราฟ ของ y = 3 และ y = -2


2222. . . . ความสัมพันธซึง่มกีราฟเปนเสนตรงขนานกบัแกนความสัมพันธซึง่มกีราฟเปนเสนตรงขนานกบัแกนความสัมพันธซึง่มกีราฟเปนเสนตรงขนานกบัแกนความสัมพันธซึง่มกีราฟเปนเสนตรงขนานกบัแกน Y คือ }ax|RR)y,x{( =×∈

ซ่ึงนิยมเขียน ax = เปนเสนตั้งฉากกับแกน X และตัดแกน X ที่จุด )0,a(

1.1 ถา 0a > ( a เปนจํานวนจริงบวก) เปนเสนตรงอยูทางขวาแกน Y และหางจากแกน Y

เปนระยะ a หนวย

1.2 ถา 0a < ( a เปนจํานวนจริงลบ) เปนเสนตรงอยูทางซายแกน Y และหางจากแกน Y

เปนระยะ |a| หนวย

1.3 ถา 0a = จะไดสมการ 0x = คือแกน Y

ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่11114 4 4 4 จงเขียนกราฟ ของ x = 4 และ x = -3


3333. . . . ความสมัพนัธซึง่มีกราฟเปนเสนตรงความสมัพนัธซึง่มีกราฟเปนเสนตรงความสมัพนัธซึง่มีกราฟเปนเสนตรงความสมัพนัธซึง่มีกราฟเปนเสนตรงไมไมไมไมขนานกบัแกนขนานกบัแกนขนานกบัแกนขนานกบัแกน X X X X และไมและไมและไมและไมขนานกบัแกนขนานกบัแกนขนานกบัแกนขนานกบัแกน YYYY ให L เปนเสนตรงที่ไมขนานกับแกน X และไมขนานกับแกน Y มีความชัน m และผานจุด( 1x , 1y ) ดังรูป

ถา (x, y) เปนจุดอื่น ๆ บนเสนตรง L จะได m = 1

1

xx

yy

−−

จะไดความสัมพันธซ่ึงมีกราฟเปนเสนตรงที่มีความชัน m และผานจุด ( 1x , 1y ) คือ )}xx(myy|RR)y,x{( 11 −=−×∈ นิยมเขียน )xx(myy 11 −=−

ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่11115 5 5 5 จงหาสมการเสนตรงที่ผานจุด (5, -2) และมีความชัน m = 3

2

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................


4444. . . . ถาเสนตรงผานจุด 2 จุด คือ ( 1x , 1y ) และ ( 2x , 2y ) เม่ือ (x, y) เปนจุดอื่น ๆ บนเสนตรงนี ้

จะไดสมการเสนตรงคือ 1

1

xx

yy

−− =

12

12

xx

yy

−−

ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่11116 6 6 6 จงหาสมการเสนตรงที่ผานจุด (3, 4) และ จุด (-3, 5)

วิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํ สมการเสนตรงคือ 1

1

xx

yy

−− =

12

12

xx

yy

−−

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................


5555. . . . ถาเสนตรงมีความชัน m และมีระยะตัดแกน Y (Y-intercept) เทากับ c (ตัดแกน Y ที(่0, c) จะไดสมการเสนตรงคือ y = mx+c

ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่11117 7 7 7 จากสมการเสนตรง 2x-3y = 4 จงหาความชัน, หาจุดตัดแกน X และ หาจุดตัดแกนY

วิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํวิธทีาํ จากสมการเสนตรง 2x-3y = 4 จัดใหอยูในรูป y = mx+c จะได 3y = 2x – 4

y = 3

4x

3

2−

หาจุดตัดแกน X ซ่ึงเสนตรงตัดแกน X เม่ือ y = 0 จะได 2x = 4 x = 2

ดังนั้น เสนตรงนี้มีความชัน 3

2 ตัดแกน X ที่จุด (2, 0) และตัดแกน Y ที่จุด (0, 3

4− ) #

6. รูปทั่วไป (Generral Form) ของเสนตรง Ax + By +c = 0 เม่ือ A, B, และ C เปนคาคงตัว

และ A, B ไมเปนศูนยพรอมกัน จะไดความชัน m = B

A−

ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่11118888 จงหาความชันเสนตรง 2x – 3y = 4 วธิทีํา วธิทีํา วธิทีํา วธิทีํา จากสมการเสนตรง 2x – 3y = 4 หรือ 2x – 3y -4 = 0 จะได A = 2 และ B = -3

จาก ความชัน m = B

A−

m = 3

2

−−

m = 3

2 #

แบบฝกแบบฝก....รออยูครับรออยูครับ......


แบบแบบแบบแบบฝกทกัษะที ่ฝกทกัษะที ่ฝกทกัษะที ่ฝกทกัษะที ่6666

1. จงหาความชันของเสนตรงที่มีสมการเปน 2x – 3y = 4 และ จุดที่เสนตรงนี้ตัดแกน X และแกน Y ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2. จงหาความสัมพันธซ่ึงมีกราฟเปนเสนตรงตามสมบัติที่กําหนดใหตอไปนี ้

2.1 ขนานกับแกน X และอยูเหนือแกน (0, 3) เปนระยะ 4 หนวย ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2.2 ขนานกับแกน Y และอยูเหนือแกน (-2, 0) เปนระยะ 5 หนวย ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………….


3.จงบอกความชันและระยะตัดแกน X แกน Y

สมการ ความชัน ระยะตัดแกน X ระยะตัดแกน Y

(1) 2x – 3y = 7

(2) 5x + 4y – 2 = 0

(3) x – 4y + 5 = 0

(4) 3x + 2y + 7 = 0

(5) 5x – y – 11 = 0

(6) 4

3 x –3

4 y = 24

(7) x – y = 0

(8) 2y + 3 = 0

(9) x = 4

(10) 3(y-1) = 2(x – 2)

4. จงหาสมการของเสนตรงที่ผานจุด (7, 5) และขนานกับเสนตรง x + 2y + 12 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ยากไหมครบั?


5. จงหาสมการของเสนตรงที่ผานจุด (3, 2) และตั้งฉากกับเสนตรง 3x – 2y + 12 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. 6. จงเขียนกราฟของเสนตรง 2x – 3y + 1 = 0 และเสนตรง x + y – 2 = 0 และหาพิกัดของ จุดตัดของเสนตรงทั้งสองโดยการแกสมการ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………….


ระยะระหวางเสนตรงกบัจดุ ระยะระหวางเสนตรงกบัจดุ ระยะระหวางเสนตรงกบัจดุ ระยะระหวางเสนตรงกบัจดุ

( 1x , 1y )

Ax+By+c = 0Ax+By+c = 0Ax+By+c = 0Ax+By+c = 0


ระยะหางระหวางเสนคูขนานระยะหางระหวางเสนคูขนานระยะหางระหวางเสนคูขนานระยะหางระหวางเสนคูขนาน

หรอืใชสตูรกไ็ดครบัหรอืใชสตูรกไ็ดครบัหรอืใชสตูรกไ็ดครบัหรอืใชสตูรกไ็ดครบั........


หมายเหตุ ระยะระหวางเสนตรง Ax+By+C1 = 0 กับเสนตรง Ax+By+C2 = 0 จะไดวา

เสนตรงทั้งสองมีคา C1 และ C2 ตางกัน (C1 ไมเทากับ C2) แตถา C1 = C2 แลว เสนตรงทั้งสองเสน เปนเสนตรงเดียวกนั

ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่21212121 จงหาระยะหางระหวางเสนตรง 3x-4y+2 = 0 กับจุด (2, -3) ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................

สีท่อน หรอื สีท่อน หรอื สีท่อน หรอื สีท่อน หรอื สามทอนจาสามทอนจาสามทอนจาสามทอนจา............


ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่22222222 จงหาระยะหางระหวางเสนตรง 3x+4y = 5 กับจุด (0, 0) ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................

ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่23232323 จงหาระยะหางระหวางเสนตรง 6x+8y-5 = 0 กับ เสนตรง 3x+4y+10 = 0

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................


ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่24242424 จงหาสมการเสนตรง ที่ขนานกับเสนตรง 3x-4y+9 = 0 และอยูหาง จากจุด (2, -1) เปนระยะ 3 หนวย

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................


ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่ตัวอยางที ่22225555 จงหาสมการเสนตรง ที่ขนานกับเสนตรง 4x+3y-5 = 0 และอยูหาง จากจุด (-2, 1) เปนระยะ 1 หนวย

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................



1. ให L เปนเสนตรงที่มีสมการเปน 3x + 4y = 0 จงหาระยะหางระหวางเสนตรง L กับ จุด P(-8, 1) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จงหาระยะหางระหวางเสนตรง 3x + 4y = 10 กับจุด

2.1 (0, 0) 2.2 (-2, -1)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………


3. จงหาระยะหางระหวางเสนคูขนานตอไปนี ้3.1 3x + 4y – 7 – 0, 3x +4y + 3 = 0

……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.2 3x – 4y – 7 = 0, 6x – 8y + 16 = 0

……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.3 5x + 12y -15 = 0, 10x + 24y + 9 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………


4. จงหาสมการของเสนตรงที่ขนานกับเสนตรง 4x – 3y + 26 = 0 และอยูหางจาก จุด (8, 8) เปนระยะ 2 หนวย ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………


5. จงหาสมการของเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนตรง 12y = 5x – 7 และอยูหางจากจุด (-1, 2) เปนระยะ 3 หนวย ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………


��

วงกลมวงกลมวงกลมวงกลม วงกลม (circle) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่หางจากจุด ๆ หนึ่งที่ตรึงอยูกับที่เปน ระยะทางคงตัว จุดที่ตรึงอยูกับที่นี้เรียกวา จุดศูนยกลาง (center) ของวงกลม และระยะทางคงตัว ดังกลาวเรียกวา รัศมี (radius) ของวงกลม รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม สมการของวงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูท่ี (h, k) และ รัศมีเทากับ r คือ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 สมการนี้เรียกวา รูปแบบมาตรฐาน ของสมการวงกลม


วงรีวงรีวงรีวงรี วงรี (ellipse) คือเซตของจุดทั้งมดในระนาบซ่ึงผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอยูกับที่มีคาคงตัว โดยคาคงตัวนี้มีคามากกวาระยะหางระหวางจุดที่ตรีงอยูกับที่ ทั้งสองจุดสองจุดที่ตรึงอยูกับทีน่ี้เรียกวา โฟกัส (focus) ของวงรี


พาราโบลาพาราโบลาพาราโบลาพาราโบลา พาราโบลา (parabola) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซ่ึงหางจากจุด F ที่ตรึงอยูกับที ่จุดหนึ่งและเสนตรงทีต่รึงอยูกับที่เสนหนึ่งเปนระยะทางเทากัน จุดที่ตรึงอยูกับที่นี้ เรียกวา โฟกัส และเสนตรงที่ตรึงอยูกับที่นี้เรียกวา เสนบังคับหรอืไดเรกตริกซ (directrix) ของพาราโบลา

เสนตรงที่ลากผานจุดโฟกัส จุดยอด และตั้งฉากกับเสนไดเรกตริกซ เรียกวา แกนของพาราโบลา หรือแกนสมมาตร จุดยอดจะอยูกึ่งกลางระหวางจุดโฟกัสกับเสนไดเรกตรกิซ


ไฮเพอรโบลาไฮเพอรโบลาไฮเพอรโบลาไฮเพอรโบลา ไฮเพอรโบลา (hyperbola) คือเซตจองจุดทั้งหมดในระนาบซ่ึง ผลตาง ของระยะทางจากจดุ ใด ๆ ไปยังจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอยูกับที่มีคาคงตัว โดยคาคงตัวนอยกวาระยะหางระหวางจุดคงที ่ที่ตรึงอยูกับที่ท้ังสอง จุด F1 และ F2 ดังกลาวนี้เรียกวา โฟกัส ของไฮเพอรโบลา



คําสัง่คําสัง่คําสัง่คําสัง่ ใหนักเรียนเขียนเครื่องหมาย �� ในตารางใหตรงกับสมการที่กําหนดให

ขอที่ขอที่ขอที่ขอที่ สมการสมการสมการสมการ วงกลมวงกลมวงกลมวงกลม วงรีวงรีวงรีวงร ี พาราโบลาพาราโบลาพาราโบลาพาราโบลา ไฮเพอรโบลาไฮเพอรโบลาไฮเพอรโบลาไฮเพอรโบลา

1 x8y2 −=

2 03y4x6yx 22 =−+−+

3 20x8y4y2 =+−

4 1

16

x

25

y 22

=+

5 144x16y9 22 =−

6 1

40

y

40

x 22

=−

7 4yx 22 =+

8 160y10x16 22 =+

9 ( ) ( )6y162x 2 +=+

10 0199y64x18y16x9 22 =−−−−


ประโยชนของภาคตดักรวยประโยชนของภาคตดักรวยประโยชนของภาคตดักรวยประโยชนของภาคตดักรวย

ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic) ในทางคณิตศาสตร หมายถึง เสนโคงที่ไดจากการตัดพ้ืนผิวกรวยกลม ดวยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนี้ถูกตั้งเปนหัวขอศึกษาตั้งแตสมัย 200 ปกอนคริสตศักราชโดย อพอลโลเนียส แหง เพอรกา ผูซ่ึงศึกษาภาคตัดกรวยและคนพบสมบัติหลายประการของภาคตัดกรวย ตอมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูกนําไปใชประโยชนหลายแบบ ไดแก ในป พ.ศ. 2133 (ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบวาขีปนาวุธที่ยิงข้ึนไปในมุมที่กําหนดมีวิถีการเคล่ือนที่โคงแบบพาราโบลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส เคปเลอร พบวาวงโคจรของดาวเคราะหรอบนอกเปนรูปวงรี เปนตน ในกรณี ดีเจนเนอเรต ระนาบจะตัดผานจุดยอดของกรวย และไดผลของการตัดเปน จุด เสนตรง หรือ เสนตรงสองเสนตัดกัน กรณีเหลานี้ไมไดถูกรวมไวในภาคตัดกรวย

ในเรขาคณิตเชิงภาพฉาย (projective geometry) นั้น ภาพฉายบนระนาบ ของภาคตัดกรวยแตละชนิดนั้นจะเหมือนกัน ข้ึนอยูกับลักษณะการฉาย หรือที่เรียกวา การแปลงเชิงภาพฉาย (projective transformation)

วงกลมวงกลมวงกลมวงกลม ในทางคณิตศาสตร ถือวาวงกลมเปนเสนโคงที่สมบูรณ เครื่องใชตางๆ ของเรามักมีลักษณะ

เปนวงกลม เชน ขันตักน้ํา หนาปดนาฬิกา จานขาว ถาด กระโถน เงินเหรียญ แกวน้ํา ลองตรวจด ูของใชรอบ ๆ กาย และทั่ว ๆ ไป จะเห็นวาการใชของที่มีลักษณะเปนวงกลมนั้นใหความสะดวกมากที่สุด ลองนึกดูวาถาลอเกวียน ลอจักรยานยนต ลอรถยนต ไมมีลักษณะ เปนวงกลมแลว การเคล่ือนที่จะลําบากสักเพียงใด


วงรีวงรีวงรีวงรี ยามค่ําคืนถาไดมีโอกาสสังเกตบนฟากฟาจะพบเห็นดาวที่สุกสวางมีแสงเจิดจา ซ่ึงไดแกดาว

เคราะห และหากสังเกตตอเนื่องไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคล่ือนที่ผานกลุมดาวฤกษ ในทางดาราศาสตร พบวาทางเดินของโลกและดาวเคราะหตาง ๆ ที่เดินรอบดวงอาทิตยตางก็ลวนมีเสนทางเปนรูปวงร ี โดยมีดวงอาทิตยอยูที่จุดโฟกัสของวงรีแตละวง ดวงจันทรซ่ึงเปนดาวบริวารของดาวเคราะหก็เดิน ทางรอบดาวเคราะหเปนวงร ีแมดาวเทียมที่มนุษยประดิษฐข้ึนก็หมุนรอบโลก เปนวงรี

กฎขอที่กฎขอที่กฎขอที่กฎขอที่ 1 1 1 1 ของเคปเลอรของเคปเลอรของเคปเลอรของเคปเลอร ดาวเคราะหโคจรรอบดวงอาทิตยเปนวงร ีโดยมีดวงอาทิตยอยูท่ีโฟกัสจุดหนึ่ง

นักวิทยาศาสตร ยังไดพบวาแมแตในปรมาณูของธาตุตาง ๆ เชน อิเล็กตรอนก็เดินทางเปนวงรีรอบนิวเคลียสของปรมาณูนั้น ๆ เราอาจนําเสนโคงแบบวงรีไปออกแบบเปนเครื่องใชก็ได เชน จานเปล ถังเปล เปนตน เราจะสังเกตวารถบรรทุกน้ํามันมักจะมีตัวถัง เปนรูปทรงกระบอกซ่ึงมีหนาตัดเปนรูปวงร ีสนามกีฬาที่มีลูแขงขันกันก็มีลักษณะ เกือบเปนวงร ี

อิเล็กตรอน ทางเดินของโลกและดวงดาวตางๆ ถังเปล


พพพพาราโบลาาราโบลาาราโบลาาราโบลา เทคโนโลยีการส่ือสารดาวเทียมประกอบดวยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผิวโคง

เพ่ือรับสัญญาณที่สงตรงมาจากดาวเทียม และสะทอนรวมกันที่จุดรับสัญญาณ เพ่ือใหมีสัญญาณที่ แรงข้ึน น้ําพุท่ีมนุษยประดิษฐข้ึน เปนเสนโคงพาราโบลา หรือเม่ือเราใชไฟฉายสองเดินทาง สังเกต วามีกระจกสะทอนแสงเพ่ือรวมลําแสงใหพุงเปนลําตรง โดยหลักการตามกฎการสะทอนของแสง มุมตกกระทบยอมเทากับมุมสะทอน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโคงนี้เรียกวาจุดโฟกัส ผิวโคงที่ทําใหมุมตกกระทบและสะทอนมารวมกันที่จุดโฟกัส เรียกวา ผิวโคงพาราโบลา

จานรับสัญญาณ น้ําพุ

โคมไฟฉาย การนําโคงพาราโบลาไปใชในการการออกแบบ

การนําโคงพาราโบลาไปใชในการการออกแบบ


ไฮเปอรโบลาไฮเปอรโบลาไฮเปอรโบลาไฮเปอรโบลา ภาคตัดกรวยนั้นไดมีความสําคัญตอดาราศาสตร โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซ่ึงมีแรงดึงดูด

กระทําตอกัน ตามกฏของนิวตัน นั้นจะมีรูปรางเปนภาคตัดกรวย หากจุดศูนยกลางมวล (center of mass) รวมของทั้งสองวัตถุนั้นอยูนิ่ง หากทั้งสองนั้นถูกดึงดูดอยูดวยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเปนรูปวงรีวงรีวงรีวงร ีหากวัตถุท้ังสองว่ิงออกจากกัน ทางเดินจะเปนรปูพาราโบลา หรอื ไฮเปอรโพาราโบลา หรอื ไฮเปอรโพาราโบลา หรอื ไฮเปอรโพาราโบลา หรอื ไฮเปอรโบลา บลา บลา บลา

ลักษณะที่พบ

Flashlight Hyperbola Flashlight Parabola


หลังคาเปนโคงไฮเพอรโบลา

ไฮเพอรโบลา เสนโคงและผิวโคงทางคณิตศาสตรยังมีอีกมาก และเปนศาสตรท่ีสามารถนํามาใชในการ

ออกแบบผลิตภัณฑตาง ๆ ไดมากมาย ลองคนหาจากเอกสารตาง ๆ ดูวา เสนโคงทางคณิตศาสตร ที่นาสนใจเหลานี้มีลักษณะอยางไร cycloid, cardioid Ephicycloid Hypocycloid spiral ฯลฯ ประโยชนของเสนโคงหรือผิวโคงจึงมีมากมายและเกี่ยวของกับชีวิตประจําวันอยางมาก เชน ขณะขับรถไปในทองถนน ถาวิศวกรออกแบบถนนใหมีสวนโคงของผิวถนนขณะข้ึนสะพาน และ ลงระนาบพอดี

เรขาคณิตวิเคราะห · 1. ระยะระหว างจุด p1...

Documents