บทท 4 เมตรกซในการวเคราะหการถดถอย

ในบททผานมานนกลาวถงการวเคราะหขอมลทตวแปรอสระเพยงตวเดยวแตในบทถดๆ ไปนนจะกลาวถงตวแปรอสระทมมากกวา 1 ตว การค านวณส าหรบขอมลทมตวแปรอสระมากกวา 1 ตวโดยใชสตรในบททผานมาจะยงยากและเสยเวลาดงนนการใชเวคเตอรและเมตรกซจะชวยใหการค านวณท าไดงายและรวดเรวขน ในบทนจะกลาวถงแนวคดพนฐานในการค านวณเมตรกซ ทจ าเปนในการวเคราะหการถดถอย

4.1 เมตรกซ เมตรกซ (matrix) คอกลมของขอมลทเรยงกนทงแนวแถว (row) และแนวหลก (column) โดยตวเลขแตละตวเรยกวาสมาชก (element) ขนาดของเมตรกซบอกโดยการระบจ านวนแถวและจ านวนหลก โดยทวไปเมตรกซจะประกอบดวย m แถวและ n หลกตวอยางเชน

A =

15

20

31

B =

100

010

001

เมตรกซ A เปนเมตรกซทมขนาด 3 X 2 คอมจ านวน 3 แถวและ 2 หลกและ A มจ านวนสมาชกเทากบ 6 สามารถเขยน A อยในรป A3 X 2 เมตรกซ B เปนเมตรกซทมขนาด 3 X 3 คอมจ านวน 3 แถวและ 3 หลกและ B มจ านวนสมาชกเทากบ 9 สามารถเขยน B อยในรป B3 X 3 การเขยนเมตรกซอาจเขยนในรปของอกษรตวเอยงหรออกษรตวหนาเพอแสดงความแตกตางจากอกษรภาษาองกฤษทวไป สญลกษณทใชในการเรยกสมาชกในเมตรกซคอ

84

j = 1 j = 2 j = 3 … j = n

mnmmm

ij

n

n

n

aaaa

a

aaaa

aaaa

aaaa

mi

i

i

i

321

3333231

2232221

1131211

3

2

1

ในแตละสมาชกจะม subscript 2 ตวโดยตวแรกคอแถวทสมาชกอยและตวหลงคอหลกท

สมาชกอย เชน ในกรณของเมตรกซ A นน a12 = 3 หรอสมาชกในแถวท 1 หลกท 2 มคาเทากบ 3 และ a31 = 5 หรอสมาชกในแถวท 3 หลกท 1 มคาเทากบ 5 เปนตน

4.2 ชนดของเมตรกซ Neter et al (1996) หนา 186-188 กลาวถงเมตรกซวามดวยกนหลายรปแบบดงน

4.2.1 เมตรกซจตรส เมตรกซจตรส (square matrix) เปนเมตรกทมจ านวนแถวและหลกเทากนหรอเมตรกซทมขนาด n X n ตวอยางเชนเมตรกซ B ในหวขอ 4.1 เปนตน

4.2.2 เมตรกซเฉยง เมตรกซเฉยง (diagonal matrix) เปนเมตรกซทมสมาชกในแนวเฉยง (diagonal element) มคาไมเทากบ 0 แตสมาชกนอกแนวเฉยง (off diagonal element) มคาเปน 0 ทงหมด เชน

100

010

005

C

4.2.3 เมตรกซเอกลกษณ เมตรกซเอกลกษณ (identity matrix) เปนเมตรกซรปแบบหนงของเมตรกเฉยงแตม

คาของสมาชกในแนวเฉยงมคาเปน 1 ทงหมด เชน เมตรกซ B เปนตน โดยทวไปใชสญลกษณแทนเมตรกซเอกลกษณเปน I

4.2.4 สเกลารเมตรกซ สเกลารเมตรกซ (scalar matrix) เปนเมตรกซเฉยงทมคาของสมาชกในแนวเฉยงมคา

เทากนหมดเชน

85

200

020

002

D

4.2.5 เมตรกหนง เมตรกซหนง (unity matrix) เปนเมตรกซจตรสทมสมาชกทกตวมคาเทากบ 1

โดยทวไปมกใชสญลกษณแทนเมตรกชนดนวา J เชน

111

111

111

j

4.2.6 เมตรกซสมมาตร เมตรกซสมมาตร (symmetric matrix) เปนเมตรกซจตรสทมคาของสมาชกนอกแนว

เฉยงทอยตรงขามกนมคาเทากนหรอ aij = aji เชน

301

054

142

E

หมายเหต 1. หากเมตรกซมจ านวนแถวเทากบ 1 เรยกเวกเตอรแถว (row vector) หรอเรยกสนๆ วา

เวกเตอรโดยเวกเตอรมขนาดเปน m X 1 เชน F = 035 2. หากเมตรกซมจ านวนหลกเทากบ 1 เรยกเวกเตอรหลก (column vector) หรอเรยกสนๆ

วาเวกเตอรโดยเวกเตอรมขนาดเปน 1 X n เชน

G =

4

3

2

1

e

e

e

e

3. เวกเตอรหนง (unity vector) เปนเวกเตอรหลกทสมาชกทกตวมคาเปน 1 มกใชสญลกษณคอ 1r x 1 เชน

14x1 =

1

1

1

1

4. เวกเตอรศนย (zero vector) เปนเวกเตอรหลกทสมาชกทกตวมคาเปน 0 มกใชสญลกษณคอ 0r x 1 เชน

86

03x1 =

0

0

0

4.3 การด าเนนการของเมตรกซ การด าเนนการของเมตรกซทส าคญและใชบอยในการวเคราะหการถดถอยมดงนคอ

4.3.1 การสลบเปลยนของเมตรกซ การสลบเปลยนของเมตรกซ (transpose of matrix) ท าไดโดยการสลบแถวเปนหลก

และหลกเปนแถว การสลบเปลยนของ A สามารถเขยนไดเปน A' หากให A = [aij]m x n แลว A' = [aji]n x m

ตวอยางท 4.1 ก าหนดให A3 X 2 =

14

53

12

จงสลบเปลยนเมตรกซ A

วธท า การสลบเปลยนท าโดยสลบหลกท 1 เปนแถวท 1 และสลบหลกท 2 เปนแถวท 2 ท าเชนนเรอยไปจนครบทกหลก

A'2 X 3 =

151

432

หมายเหต 1. หากเมตรกซใดมคาเทากบเมตรกซทสลบเปลยนแลวเมตรกซน นจะเปนเมตรกซสมมาตรหรอ A = A′ นนคอเมตรกซ A เปนเมตรกซสมมาตรเชน

821

262

123

A

821

262

123

A

2. เวกเตอรหลกเมอท าการสลบเปลยนแลวจะกลายเปนเวกเตอรแถว ในท านองเดยวกนเวกเตอรแถวจะกลายเปนเวกเตอรหลก

4.3.2 การเทากนของเมตรกซ เมตรกซสองเมตรกซจะเทากนกตอเมอเมตรกซทงสองมขนาดเทากนและสมาชกในต าแหนงเดยวกนมคาเทากน เชน

87

A =

15

20

31

B =

3231

2221

1211

bb

bb

bb

หาก A = B แลว b11 = 1 b21 = 0 b31 = 5 b12 = 3 b22 = 2 b32 = 1

4.3.3 การบวกและลบเมตรกซ เมตรกซสองเมตรกซจะท าการบวกและลบไดกตอเมอทงสองเมตรกซมขนาดเทากน การบวกเมตรกซจะน าสมาชกในต าแหนงเดยวกนมาบวกกน ในท านองเดยวกนการลบท าโดยน าสมาชกในต าแหนงเดยวกนมาลบออกจากกน สามารถเขยนไดในรปทวไปดงน A + B = [ aij + bij] และ A - B = [ aij - bij]

ตวอยางท 4.2 ให A =

654

321 , B =

654

321 จงหา A + B และ A - B

วธท า

A + B =

262524

131211 =

876

453

และ

A - B =

262524

131211 =

432

210

4.3.4 การคณเมตรกซดวยสเกลาร สเกลาร (scalar) เปนคาคงทใดๆ โดยทวไปใชสญลกษณแทนสเกลารวา การคณเมตรกซดวยสเกลารนนท าไดโดยคณสมาชกในเมตรกซทกคาดวยสเกลารนนๆ หากให A = [ aij ] แลวสามารถเขยนอยในรปทวไปดงน A = A = [ aij ]

88

ตวอยางท 4.3 ให A =

654

321 และ = 2 แลว จงหา 2A

วธท า

2A = 2

654

321 =

12108

642

หมายเหต สเกลารเมตรกซเกดจากการคณเมตรกซเอกลกษณดวยคาคงท เชน

200

020

002

=

100

010

001

2 = 2I

4.3.5 การคณเมตรกซดวยเมตรกซ การคณ 2 เมตรกซเขาดวยกนนนจ านวนหลกของเมตรกซแรกจะตองเทากบจ านวนแถวของเมตรกซหลงจงจะคณกนไดหรอ Am x p Bp x n = Cm x n การคณท าโดยน าเอาแถวแรกของเมตรกซแรกคณดวยหลกแรกของเมตรกซหลงจะไดเปนสมาชกในแถวท 1 หลกท 1 ของเมตรกซผลคณ การหาคาสมาชกของสมาชกในแถวท 1 หลกท 2 นนท าโดยการคณแถวแรกของเมตรกซแรกกบหลกทสองของเมตรกซหลง ท าเชนนเรอยไปจนครบไดครบทกสมาชกในเมตรกซใหมหรอสามารถเขยนไดในรปทวไปดงน

A B = C

mpmm

p

p

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

pnpp

n

n

bbb

bbb

bbb

21

22221

11211

=

mnmm

n

n

ccc

ccc

ccc

21

22221

11211

โดยท cij = ai1b1j + ai2b2j + …+ aipbpj ในกรณของเมตรกซ 2 X 2 สามารถเขยนไดดงน

ให A =

2221

1211

aa

aa , B =

2221

1211

bb

bb

ดงนน AB =

2222122121221121

2212121121121111

babababa

babababa

89

ตวอยางท 4.4 ให A =

12

34 , B =

25

21 จงหา AB

วธท า

AB =

12

34

25

21

=

)2(1)2(2)5(1)1(2

)2(3)2(4)5(3)1(4

=

23

211

ตวอยางท 4.5 ให A =

12

34 , C =

532

101 จงหา AC

วธท า

AC =

12

34

532

101

=

)5(2)1(2)3(2)0(2)2(2)1(2

)5(3)1(4)3(3)0(4)2(3)1(4

=

866

11910

หมายเหต 1. การสลบทของการคณเมตรกซนนไมเปนจรงหรอ AB ≠ BA 2. เมตรกซจตรสใดๆ คณกบเมตรกซเอกลกษณจะไดเมตรกซจตรสนนหรอ AI = A = IA 3. การคณเมตรกจตรสทสลบเปลยนแลวดวยเมตรกจตรสนนจะไดเมตรกซสมมาตรหรอ A′ A = B โดย B เปนเมตรกซสมมาตร เชน

504

232

311

A

523

031

421

A

ดงนน B = A′A =

504

232

311

523

031

421

=

38913

9107

13721

4. การคณเวกเตอรหนงทสลบเปลยนแลวกบเวกเตอรหนงจะไดเวกเตอรทมสมาชกเพยง ตวเดยวและมคาเทากบจ านวนแถวของเวกเตอรหนงนนหรอ 1′1xn1nx1 = n เชน

90

44

1

1

1

1

1111

5. การคณเวกเตอรหนงกบเวกเตอรหนงทสลบเปลยนแลวจะไดเทากบเมตรกซหนงทมขนาดเทากบจ านวนแถวของเวกเตอรหนงนนหรอ 1nx11′1xn = Jnxn เชน

1111

1111

1111

1111

1111

1

1

1

1

4.4 ตวก าหนด ก าหนดให A เปนเมตรกซจตรสใดๆ ตวก าหนด (determinant) ของ A สามารถเขยนเปน |A| หรอ det A

4.4.1 กรณ A2X2

การหาตวก าหนดส าหรบเมตรกซขนาด 2 X 2 นนท าไดดงน

det A = 2221

1211

aa

aa = a11a22 – a12a21

ตวอยางท 4.6 จงหาตวก าหนดของเมตรกซ A =

12

51

วธท า

det A = 12

51

= 1(-1) – 2(5) = -11

4.4.2 กรณ A3X3

การหาตวก าหนดส าหรบเมตรกซขนาด 3 X 3 นนท าไดดงน

det A = 333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

= a11a22 a33 + a12a23 a31 + a13a21 a32 - a31a22 a13 – a32a23 a11 – a33a21 a12

91

ตวอยางท 4.7 จงหาตวก าหนดของเมตรกซ A =

143

162

521

วธท า

det A = 143

162

521

= 1(6)(-1) + 2(1)(3) + 5(-2)(4) – 3(6)(5) – 4(1)(1) – (-1)(-2)(2) = -138

4.4.3 กรณทวไป การหาตวก าหนดส าหรบเมตรกซจตรสโดยทวไปไมวาจะมขนาดเทาใดกตามสามารถท าไดดงน (1) ค านวณไมเนอร (minor) ของเมตรกซโดยไมเนอรของ aij หรอMij คอตวก าหนดของเมตรกซทเกดจากการตดแถวท i และหลกท j ของเมตรกซ A ออก (2) ค านวณโคแฟกเตอร (cofactor) ของ aij หรอ cij ดงน cij = (-1)i+jMij

(3) ค านวณตวก าหนดของ A โดย det A เทากบผลบวกของผลคณของสมาชกในแถวใดแถวหนง (หรอหลกใดหลกหนง) กบโคแฟกเตอรของสมาชกตวนนดงน เลอกแถวท i ; det A = ai1ci1 + ai2ci2 + …+ aijcij +…+ aincin เลอกหลกท j ; det A = a1jc1j + a2jc2j + …+ aijcij +…+ anjcnj

ตวอยางท 4.8 จงหาตวก าหนดของเมตรกซ A =

143

162

521

วธท า หา det A โดยเลอกแถวท 1

c11 = (-1)1+1M11 = 14

16

= 6(-1) – 4(1) = -10

c12 = (-1)1+2M12 = - 13

12

= -{-2(-1) – 3(1)} = 1

92

c13 = (-1)1+3M13 = 43

62 = -2(4) – 3(6) = -26

ดงนน det A = a11c11 + a12c12 + a13c13 = 1(-10) + 2(1) + 5(-26) = -138

ตวอยางท 4.9 จงหาตวก าหนดของเมตรกซ A =

4131

2502

1300

4211

วธท า หา det A โดยเลอกหลกท 2

c12 = (-1)1+2M12 = - 411

252

130

= 37

c22 = (-1)2+2M22 = 411

252

421

= -30

c32 = (-1)3+2M32 = - 411

130

421

= -3

c42 = (-1)4+2M42 = 252

130

421

= 39

ดงนน det A = a12c12 + a22c22 + a32c32 + a42c42 = -1(37) + 0(-30) + 0(-3) – 3(39) = -154

4.5 เมตรกซผกผน เมตรกซผกผน (inversed Matrix) คอเมตรกซทคณกบเมตรกซใดแลวไดเปนเมตรกซเอกลกษณ เมตรกซผกผนของ A สามารถเขยนแทนดวย A-1 โดยท

93

A-1A = AA-1 = I เมตรกซผกผนเปนเมตรกซจตรส เมตรกซจตรสทกเมตรกซไมจ าเปนตองมเมตรกซผกผน หากเมตรกซใดมเมตรกซผกผนแลวเมตรกซนนเรยกวา เมตรกซไมใชเอกฐาน (non-singular matrix) และเมตรกซทไมมเมตรกผกผนเรยกวา เมตรกซเอกฐาน (singular matrix) เมตรกซทตวก าหนดมคาเปน 0 จะไมมเมตรกซผกผน

4.5.1 กรณ A2X2 การหาเมตรกซผกผนของเมตรกซขนาด 2 X 2 ท าไดดงน

D

a

D

cD

b

D

d

dc

ba1

1A

โดย D คอตวก าหนดหรอ D = ad – bc

ตวอยางท 4.10 จากตวอยางท 4.6 จงหาเมตรกซผกผนของเมตรกซ A =

12

51

วธท า จากตวอยางท 4.6 ไดคา D = -11 ดงนน

11

1

11

211

5

11

1

1A

=

11

1

11

211

5

11

1

4.5.2 กรณทวไป การหาเมตรกซผกผนส าหรบเมตรกซทวไปท าไดดงน (1) ค านวณเมตรกซผกพน (adjoint matrix) ของ A หรอ adj A โดยเมตรกซผกพนเปนเมตรกซสลบเปลยนของเมตรกซทมสมาชกประกอบดวยโคแฟกเตอรของสมาชก A หรอ adj A

= nnijc

(2) ค านวณเมตรกซผกผนโดย

AA

A adjdet

11

94

โดย det A ≠ 0

ตวอยางท 4.11 จากตวอยางท 4.7 จงหาเมตรกซผกผนของเมตรกซ A =

143

162

521

วธท า จากตวอยางท 4.7 ได det A = -138

adjA =

333231

232221

131211

ccc

ccc

ccc

=

62

21

12

51

16

52

43

21

13

51

14

52

43

62

13

12

14

16

=

101128

21622

26110

=

10226

11161

282210

ดงนน

A-1 =

10226

11161

282210

138

1

=

138

10

138

2

138

26138

11

138

16

138

1138

28

138

22

138

10

95

4.6 สมการถดถอยในรปของเมตรกซ จากบทท 2 สมการถดถอยคอ Yi = 0 + 1Xi + i สามารถเขยนอยในรปเมตรกซของขอมลแตละคาไดดงน Y = X + หรอ

nY

Y

Y

2

1

=

nX

X

X

1

1

1

2

1

1

0

+

n

2

1

เนองจาก

nY

Y

Y

2

1

=

nX

X

X

10

210

110

+

n

2

1

=

nnX

X

X

10

2210

1110

โดยท Y เปนเวกเตอรมขนาดเปน n X 1 ของคาตวแปรตาม X เปนเมตรกซทมขนาด 2 X n ทมหลกแรกเปน 1 และหลกท 2 เปนคาตวแปรอสระ เปนเวกเตอรมขนาดเปน 2 X 1 ของสมประสทธการถดถอย 0 และ 1

เปนเวกเตอรมขนาดเปน n X 1 ของคาความคลาดเคลอน เชน จากขอมลในตวอยางท 1.1 สามารถเขยนไดเปน

40.141

90.114

60.77

=

40.211

75.141

01.101

1

0

+

n

2

1

จากขอตกลงของสมการถดถอยคอความแปรปรวนของความคลาดเคลอนมคาคงทเทากบ

2 และความคลาดเคลอนแตละตวเปนอสระตอกนหรอความแปรปรวนรวม (covariance) ทกตว

มคาเปน 0 จากขอตกลงนสามารถเขยนเมตรกซของความแปรปรวนของความคลาดเคลอนไดดงนคอ

2 =

2

2

2

00

00

00

= 2I

96

4.6.1 สมการถดถอย สมการปกตของการวเคราะหการถดถอยเชงเสนอยางงายในบทท 2 (2.5) และ (2.6) คอ

n

i

i

n

i

i YXbnb11

10

และ

n

i

ii

n

i

i

n

i

i YXXbXb11

21

1

0

สามารถเขยนใหอยในรปของเมตรกซดงน (X'X) b = X' Y (4.1) เนองจาก

n

ii

n

ii

n

i

i

XbXb

Xbnb

1

21

10

1

10

=

n

i

ii

n

i

i

YX

Y

1

1

หรอ

n

i

i

n

i

i

n

i

i

XX

Xn

1

2

1

1

1

0

b

b =

n

i

ii

n

i

i

YX

Y

1

1

โดยท b =

1

0

b

b

X'X =

n

i

i

n

i

i

n

i

i

XX

Xn

1

2

1

1 (4.2)

X' Y =

n

i

ii

n

i

i

YX

Y

1

1 (4.3)

จากสมการท (4.1) สามารถหาเวกเตอร b ไดดงน b = (X'X)-1 X' Y (4.4) โดยท X'X ตองสามารถหาเมตรกซผกผนได

97

ตวอยางท 4.12 จากตวอยางท 1.1 จงหาคาสมประสทธการถดถอยโดยการใชเมตรกซ วธท า

จากตวอยางท 4.11 ได Y =

40.141

90.114

60.77

และ X =

40.211

75.141

01.101

ดงนน

X'X =

402175140110

111

...

40.211

75.141

01.101

=

41.773341.299

41.29913

(X'X)-1 =

0012.00275.0

0275.071027.0

และ X' Y =

402175140110

111

...

40.141

90.114

60.77

=

59.62978

50.2435

ดงนน b = (X'X)-1 X' Y

=

0012.00275.0

0275.071027.0

59.62978

50.2435

=

22.8

99.1

หรอ b0 = -1.99 และ b1 = 8.22 จะเหนวาผลทไดจากการใชเมตรกซเหมอนกบตวอยางท 2.1

4.6.2 คาพยากรณ คาพยากรณทไดจากสมการถดถอย ( Y ) สามารถเขยนอยในรปเมตรกซดงน

98

Y =

nY

Y

Y

ˆ

ˆ

ˆ

2

1

โดยสามารถค านวณคาพยากรณโดยใชเมตรกซไดดงน Y = X b (4.5) เนองจาก

nY

Y

Y

ˆ

ˆ

ˆ

2

1

=

nX

X

X

1

1

1

2

1

1

0

b

b

=

nXbb

Xbb

Xbb

10

210

110

นอกจากนยงสามารถเขยน Y อยในรปของ X และ Y คอ Y = X(X'X)-1 X' Y (4.6) หรอ Y = HY (4.7) โดยก าหนดให H = X(X'X)-1 X' (4.8) จะเหนวา H เปนเมตรกซทเกดจากคาของตวแปรอสระเทานน H เมตรกซเรยกวา hat matrix เปนเมตรกซจตรสและสมมาตรทมขนาด n X n เมตรกซนมความส าคญในการวเคราะหคาทผดปกตในตวแปรอสระและตวแปรตามรวมถงการวเคราะหคาทมอทธพลโดยจะกลาวตอไปในบทท 9 ตวอยางท 4.13 จากตวอยางท 1.1 จงหาคาพยากรณโดยการใชเมตรกซ วธท า

Y = X b

=

40.211

75.141

01.101

22.8

99.1

99

=

93.173

26.119

30.80

จะเหนวาคาพยากรณทไดโดยการใชเมตรกซในการค านวณมคาไมแตกตางจากตวอยางท 2.1

4.6.3 สวนเหลอ สวนเหลอ (e) เปนคาความแตกตางระหวางคาจรงกบคาพยากรณหรอ ii YY ˆ

สามารถเขยนไดอยในรปเวกเตอรหลกทมขนาด 1 X n ดงน

e =

ne

e

e

2

1

หากเขยนสวนเหลอในรปของเวกเตอรสามารถเขยนไดดงน e = Y - Y = Y - Xb หรอเขยนอยในรปของ H ไดดงน

e = Y - HY = (I - H)Y (4.9)

และสามารถเขยนเมตรกซความแปรปรวนของสวนเหลอไดดงน 2(e) = 2(I - H) (4.10) เนองเมตรกซความแปรปรวนนเปนของพารามเตอรซงสามารถประมาณไดโดยการใชความแปรปรวนทไดจากตวอยางคอ s2(e) = MSE(I - H) (4.11) ตวอยางท 4.14 จากตวอยางท 1.1 จงหาสวนเหลอโดยการใชเมตรกซ วธท า

e = Y - Y

=

40.141

90.114

60.77

-

93.173

26.119

30.80

100

=

07.11

36.4

70.2

จะเหนวาสวนเหลอทไดโดยการใชเมตรกซในการค านวณมคาไมแตกตางจากตวอยางท 2.1

4.7 การวเคราะหความแปรปรวน นอกจากการสรางสมการถดถอยโดยใชเมตรกซแลวการวเคราะหความแปรปรวนสามารถค านวณในรปของเมตรกซโดยในทนจะกลาวถงการค านวณของผลรวมก าลงสองไดดงน

4.7.1 ผลรวมก าลงสองทงหมด ผลรวมก าลงสองทงหมด (SST) เขยนในรปของเมตรกซไดดงน

SST = JYY - YY

n

1 (4.12)

เนองจาก

SST = n

Y

YYY

n

i

in

i

i

n

i

i

2

1

1

2

1

2)(

(4.13)

โดย

YY =

n

i

iY1

2 (4.14)

และ

JYY

n

1 = n

Yn

i

i

2

1

(4.15)

4.7.2 ผลรวมก าลงสองความคลาดเคลอน ผลรวมก าลงสองความคลาดเคลอน (SSE) เขยนในรปของเมตรกซไดดงน

SSE = YXb - YY (4.16) เนองจาก SSE = ee = Xb)-(Y)Xb-(Y (4.17)

101

4.7.3 ผลรวมก าลงสองถดถอย ผลรวมก าลงสองถดถอย (SSR) เขยนในรปของเมตรกซไดดงน

SSR = JYY - YXb

n

1 (4.18)

เนองจาก SSR = SST - SSE

= JYY - YY

n

1 - ( YXb - YY ) (4.19)

ตวอยางท 4.15 จากตวอยางท 1.1 จงค านวณคา SST SSR และ SSE โดยการใชเมตรกซ วธท า

เนองจาก YY =

40.141

90.114

60.77

40.14190.11460.77

= 516,468.79

JYY

n

1 =

40.141

90.114

60.77

111

111

111

40.14190.11460.7713

1

= 456,281.56

YXb = 22.899.1

59.62978

50.2435

= 512,837.36

ดงนน SST = JYY - YY

n

1

= 516,468.79 - 456,281.56 = 60,187.23 SSE = YXb - YY = 516,468.79 - 512,837.36 = 3,631.43

SSR = SST - SSE = 60,187.23 - 3,631.43 = 56,555.80

102

4.8 การประมาณคาความแปรปรวนและการพยากรณ การประมาณคาความแปรปรวนของสมประสทธการถดถอยและคาพยากรณสามารถใชเมตรกซในการค านวณไดดงน

4.8.1 คาความแปรปรวนของสมประสทธการถดถอย การค านวณคาความแปรปรวนและความแปรปรวนรวมของคาสมประสทธการถดถอยนนสามารถเขยนในรปเมตรกซดงน

12

01

1002

2

,

,

bbb

bbbb

(4.20)

หรอ

-1

22

XXb (4.21)

หากแทน (X'X)-1 จาก (4.2) ไดดงน

xxxx

xxxx

SS

X

S

X

S

X

nb

222

2222

2

1

(4.22)

โดยท 2)( XXS ixx เนองจาก 2 สามารถประมาณไดโดยการใช MSE ดงนนเมตรกซของความแปรปรวนคอ 12 )( XXMSEbS (4.23)

xxxx

xxxx

S

MSE

S

XMSE

S

XMSE

S

X

nMSE

b2

22

2

1

S (4.24)

ตวอยางท 4.16 จากตวอยางท 1.1 จงค านวณคาความแปรปรวนของคาสมประสทธการถดถอยโดยการใชเมตรกซ วธท า จากตวอยางท 4.15 ได SSE = 3,631.43 ดงนน MSE = 3,631.43 / 11 = 330.13 และ 12 )( XXMSEbS

103

= 330.13

0012.00275.0

0275.071027.0

=

396.0079.9

079.9481.234

4.8.2 ความแปรปรวนของคาพยากรณของคาคาดหวงของตวแปรตามและ คาพยากรณของตวแปรตาม

ก าหนดให x0 คอคาทสนใจเราสามารถเขยน x0 ในรปของเมตรกซไดดงน

X0 =

0

1

x หรอ 01 x0X (4.25)

คาพยากรณท x0 สามารถเขยนในรปของเมตรกซไดดงน bXY 00 ˆ (4.26)

เนองจาก

0

1

0

0ˆ1 YbX

b

bx0

คาความแปรปรวนของคาพยากรณของคาคาดหวงของตวแปรตามท x0 สามารถเขยนในรปเมตรกซดงน

0

-1

02

02 ˆ XXXX

y (4.27)

จาก (4.21) ท -1

22

XXb ดงนน

0002 2ˆ XX b y (4.28)

คาประมาณของคาความแปรปรวนของคาพยากรณของคาคาดหวงของตวแปรตามท x0 สามารถเขยนในรปเมตรกซดงน

)( 1-) 0002 (ˆ XXXXS MSEy (4.29)

หรอ 0

200

2 ˆ XSXS by (4.30) คาความแปรปรวนของคาพยากรณของตวแปรตามท x0 โดย x0 เปนคาทไมไดอยในขอมลสามารถเขยนในรปเมตรกซดงน

)( 1-) 0002 1(ˆ XXXXS MSEy (4.31)

จะเหนวา (4.28) และ (4.29) สอดคลองกบความแปรปรวนในหวขอ 3.1 ของบทท 3

104

ตวอยางท 4.17 จากตวอยางท 1.1 จงค านวณคาความแปรปรวนของคาคาดหวงของคาพยากรณท

x0 = 40 โดยการใชเมตรกซ วธท า

0002 2ˆ XSX byS

40

1

396.0079.9

079.9481.234401ˆ

02 yS

= 141.761

สรป การน าเมตรกซเขามาชวยน าการวเคราะหการถดถอยท าใหการวเคราะหงายและรวดเรวขนโดยเฉพาะอยางยงในกรณทตวแปรมจ านวนมากและ/หรอขอมลมจ านวนมาก การสรางเมตรกซของตวแปรอสระนนตองเพมคอลมน ของคา 1 เขาไปทางขวาเพอใหสามารถค านวณคา b0 ได นอกจากนยงสามารถใชเมตรกซในการวเคราะหตวแบบไดอกดวย

ค าถามทายบท

4.1 ให

119

213

651

A จงหา

(1) A (2) AA

(3) 1-A)A( (4) 3A

(5) AA 1-

4.2 ให

111

103

212

A และ

410

225

106

B จงหา

(1) A - B (2) AB (3) BA (4) det A

105

4.3 ให

4010

2010A จงหา

(1) 1-A

(2) 1-AA และ AA 1-

4.4 ให

2000

0100

0080

0005

A

7

34

20

15

B จงหา

(1) AB

(2) B (3) A-1

(4) det A (5) ABB

4.5 ให 91250X และ

2000

0100

0080

0005

1-X)X( จงหา

(1) 1-X)X(0X

(2) 0XX)X( 1-

(3) 0XX)X(0X 1-

4.6 ให 232710X ,

1.00000

03.0000

00100

0002.00

00001.0

1-X)X( และ

45

30

56

18

20

YX จงหา

(1) 1-X)X(0X

(2) YXX)X( 1-

(3) 0XX)X(0X 1-

106

4.7 ให 0.310X ,

10

21

7

12

Y และ

0.21

0.11

5.01

5.11

X จงหา

(1) XX

(2) 1-X)X(

(3) 1-X)X(0X

(4) YX

(5) YXX)X( 1-

(6) 0XX)X(0X 1-

(7) XX)XX( 1- 4.8 จากขอ 4.6 หาก 24211 0X จงหา

(1) 1-X)X(0X

(2) 0XX)X( 1-

(3) 0XX)X(0X 1-

4.9 จากขอมลใน 3.1 จงหา (1) YY

(2) 1-X)X(

(3) YX

(4) b (5) Y (6) H (7) ใหเปรยบเทยบสมการถดถอยและคาพยากรณทไดจากขอนกบขอ 3.1 4.10 จากขอมลในขอ 3.2 จงหา (1) b (2) Y (3) e (4) SST (5) SSR

107

(6) SSE 4.11 จากขอมลในขอ 3.6 จงหา (1) b (2) Y (3) e (4) b2

S (5) พยากรณจ านวนเชอทเหลออยเมอใชเวลาในการฆาเชอเทากบ 65 นาท (6) 0

2 yS ของคาคาดหวงของคาพยากรณท 65 นาท 4.12 จากขอมลในขอ 3.7 จงหา (1) b (2) Y (3) e (4) b2

S (5) พยากรณคา Y ท X เทากบ 4 และ 5 (6) 0

2 yS ท X เทากบ 4 และ 5