หน่วยการเรียนรู้ที่ 1...

มอ. 4

หนวยการเรยนรท 1

เซตและการด าเนนการ

ขอบขายเนอหา

ความหมายของเซต สมาชกของเซต การเขยนเซต ชนดของเซต เซตทเทากน

สบเซต เพาเวอรเซต แผนภาพเวนน-ออยเลอร การด าเนนการของเซต การหาสมาชกของเซต

จ ากด

1.1 ความหมายของเซต

เซต (Sets) เปนค าอนยาม น ามาใชเพอบงบอกกลมของจ านวนหรอสงตางๆ ทมลกษณะบางอยางเหมอนกน ตวอยาง เซตของประเทศทประชากรพดภาษาองกฤษ เซตของปลาทะเล เซตของเดอนใน 1 ป เซตของจ านวนค เปนตน 1.2 สมาชกของเซต

สงทอยในแตเซตแตละเซต เรยกวา สมาชก (element) ของเซต เชน ปลาท ปลาฉลาม อาศยในทะเลจงเปนสมาชกของเซตปลาทะเล แตถาเปนปลากด ปลาหางนกยง เปนปลาน าจด จงกลาววา ปลากด ปลาหางนกยง ไมเปนสมาชกของเซตปลาทะเล เขยนแทนค าวา “การเปนสมาชกของ” ดวยสญลกษณ “” และ แทนค าวา “ไมเปนสมาชกของ” ดวยสญลกษณ “” 1.3 การเขยนเซต มอย 2 วธ

1) วธแจกแจงสมาชก

เขยนสมาชกทกตวลงในเครองหมายปกกา “{ }” และใชเครองหมายจลภาค “ , ” คนระหวางสมาชกแตละตว และใชสญลกษณ “…” เขยนตอทายสมาชกตวสดทายเพอแสดงวายงมสมาชกตวอนๆ อก หรอใชเขยนยอสมาชกทมจ านวนจ ากดแตมมากๆ ตวอยาง A = {1 , 2 , 3} B = {ก , ข , ค , ง}

2) วธบอกเงอนไขของสมาชกในเซต

เปนการเขยนตวแปรแทนสมาชกในเซต เพอบอกวามสงใดเปนสมาชกของเซต โดยการเขยนเงอนไขในลกษณะของตวแปร

ตวอยาง A = {x | x เปนสระในอกษรภาษาไทย} อานวา A เปนเซตทประกอบดวยสมาชก x โดยท x เปนสระในอกษรภาษาไทย “ | ” เปนสญลกษณแทนค าวา “โดยท” B = {y | y เปนจ านวนคและ 1 < y < 10}

1.4 ชนดของเซต

1) เซตวาง (Empty Sets or Null sets) คอ เซตทไมมสมาชก ใชสญลกษณ อานวา ฟ (Phi) หรอใชสญลกษณ { } แทนเซตวางได 2) เซตจ ากด (Finite Sets) คอ เซตทมจ านวนสมาชกเปนจ านวนเตมบวกใดๆ หรอศนย จ านวนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวย n(A) เชน A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 } นบสมาชกได 5 ตว ดงนน n(A) = 5 3) เซตอนนต (Infinite Sets) คอ เซตทไมใชเซตจ ากด ซงไมสามารถนบจ านวนสมาชกไดแนนอน เชน C = {s | s เปนจ านวนประชากรของประเทศไทย} 4) เอกภพสมพทธ (Relative Universe) คอ เซตทก าหนดขอบเขตของสงทเราจะศกษา โดยมขอตกลงวาจะไมกลาวถงสงใดนอกเหนอจากสมาชกของเซตทก าหนด ใชสญลกษณ “U” 1.5 เซตทเทากน (Equal Sets or Identical Sets)

เซตสองเซตจะเทากน กตอเมอ สมาชกทกตวของเซตทงสองเหมอนกน และเทากน เชน A = {1 , 2 , 3} และ B = {x | xI และ 0 < x < 4} เซตทงสองเทากนหรอไม เทากน

แบบฝกทกษะ 1.1-1.5

1. จงเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก 1) เซตทมสมาชกประกอบดวยตวเลข 1, 2, 3 ,4 ,5 2) เซตทมสมาชกประกอบดวยตวอกษร a , b , c , d , e 3) เซตของวนใน 1 สปดาห 4) เซตของเดอนทลงทายดวย “คม” 5) เซตของสระในภาษาองกฤษ 6) เซตของจ านวนเตมบวกทมคานอยกวาหรอเทากบ 100 7) เซตของจ านวนเตมลบทมคามากกวา – 10 8) เซตของจ านวนเตมบวกสองหลก 9) เซตของจ านวนเตมบวกทมคามากกวา 10

10) เซตของจ านวนเตมบวก 11) เซตของจ านวนเตมลบ 12) เซตของจ านวนเตม 13) เซตของจ านวนจรงทสอดคลองกบสมการ x2 – 5x = 0 14) เซตของจ านวนเตมทสอดคลองกบสมการ x2 – 2x – 8 = 0 15) เซตของจ านวนบวกทสอดคลองกบสมการ x2 – 3x – 10 = 0 16) เซตของจ านวนตรรกยะทสอดคลองกบสมการ 2x2 – 5x + 2 = 0 17) เซตของจ านวนเฉพาะทสอดคลองกบสมการ x2 – 7x + 10 = 0 18) เซตของจ านวนเฉพาะบวกทเปนจ านวนค 19) เซตของจ านวนเฉพาะบวกทสอดคลองกบสมการ x2 – 11x + 28 = 0 20) เซตของจ านวนเตมบวกทมคามากกวา – 100 2. จงเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

เฉลยแบบฝกทกษะ 1.1-1.5

1.6 สบเซต (Subsets)

บทนยาม เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอ สมาชกทกตวของเซต A เปน สมาชกของเซต B

A เปนสบเซตของ B เขยนแทนดวย A B และถาสมาชกบางตวในเซต A ไมอยในเซต B จะไดวา A ไมเปนสบเซตของ B เขยนแทนดวย A B ขอสงเกต เซตทกเซตเปนสบเซตของตวเอง เชน X = {2 , 3} จะไดวา X X และกรณท A B และ B A เราจะไดวา A = B การหาสบเซตของเซตทก าหนดให ก าหนด A = {1 , 2} สบเซตทงหมดของเซต A เรมตนจาก เซตทไมมสมาชก คอ { } เซตทมสมาชก 1 ตว คอ {1} , {2} เซตทมสมาชก 2 ตว คอ {1 , 2} ซงเราพบวา สมาชกทกตวในสบเซต A ทกตวอยในเซต A กลาวไดวา เซตทกเซตเปนสบเซตของเซตตวเอง และเซตวางเปนสบเซตของทกเซต

บทนยามสบเซตแท เซต A เปนสบเซตแทของเซต B เมอ A B และ A ≠ B

เชน ถา A = {1 , 2} สบเซตแทของ A คอ {1} , {2} และ

1.7 เพาเวอรเซต (Power Sets)

เมอก าหนดเซตใดๆ ให เราสามารถหาสบเซตของเซตนนๆ เชน ก าหนดเซต A = {1 , 2 , 3} เซต A มจ านวนสมาชก 3 ตว สบเซตทงหมดม 8 เซต ดงน , {1} , {2} , {3} , {1 , 2} , {1 , 3} , {2 , 3} , {1 , 2 , 3} จ านวนสบเซตของเซต A เราหาไดจาก n2 เมอ n แทนจ านวนสมาชกของเซต เมอเขยนเซตใหมโดยน าสบเซตดงกลาวขางตนมาเปนสมาชกของเซตใหม จะได { , {1} , {2} , {3} , {1 , 2} , {1 , 3} , {2 , 3} , {1 , 2 , 3} } เรยกเซตของสบเซตนวา “เพาเวอรเซตของ A ” บทนยาม ให A เปนเซตใดๆ เพาเวอรเซตของ A คอ เซตของสบเซตทงหมดของ A P(A) = {x | x A}

ตวอยาง ถาก าหนดให A = {a , b , 5} จงหา P(A)


1.8 แผนภาพเวนน-ออยเลอร (Venn-Euler Diagram)

Leonhard Euler นกคณตศาสตรชาวสวสไดแนะน าวธการเขยนรปภาพเพอแสดงความสมพนธของเซต และนกคณตศาสตรชาวองกฤษ ชอ John Venn ไดน าวธดงกลาวมาพฒนาตอ ซงเปนการเขยนรปปดทางเรขาคณต โดยใชรปสเหลยมผนผาแทนเอกภพสมพทธ และนยมใชวงกลม หรอวงรแทนเซตตางๆ ลกษณะการเขยนภาพ

1. สรปไดวา A และ B ไมมสมาชกรวมกน 2. สรปไดวา A และ B มสมาชกรวมกน 3. สรปไดวาสมาชกทกตวในเซต A เปนของเซต B แตสมาชกบางตวใน B ไมอยในเซต A 4. สรปไดวา A = B

A B

U

A B

U

A B

U

A B

U

1.9 การด าเนนการของเซต (Operation of Sets)

เราสามารถน าเซตตงแตสองเซตขนไปมาด าเนนการในลกษณะทคลายกบการบวก ลบ ในระบบจ านวนจรงได 1) ยเนยน (Union)

บทนยาม ยเนยนของเซต A กบ เซต B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกทอยในเซต A หรออยในเซต B หรอ อยทงเซต A และเซต B แทนดวย A B เชน 1) A = {1 , 2 , 3 } B = {2 , 3 , 4} A B = {1 , 2 , 3 , 4 } 2) A = {1 , 2 } B = { 3 , 4} A B = {1 , 2 , 3 , 4 } นกเรยนลองอธบายความหมายของแผนภาพเวนน-ออยเลอร โดยใชการยเนยน 2) อนเตอรเซกชน (Intersection)

บทนยาม อนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกทเปน

สมาชกของทงเซต A และ เซต B แทนดวย A B เชน 1) A = {1 , 2 , 3 } B = {2 , 3 , 4} จะได A B = {2 , 3 } 2) A = {1 , 2 } B = { 3 , 4} จะได A B = { }

A B

U

A

B

U

A B

U

B

A U

นกเรยนลองอธบายความหมายของแผนภาพเวนน-ออยเลอร จากการอนเตอรเซกชน 3) คอมพลเมนต (Complement)

บทนยาม คอมพลเมนตของเซต A คอ เซตทประกอบดวยสมาชกของเอกภพ สมพทธ (U) แตไมเปนสมาชกของ A เขยนแทนดวย A’

เชน U = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} A = {1 , 2 , 3}

ดงนน A = {4 , 5 , 6} ผลตางของเซต

บทนยาม ผลตางระหวางเซต A และเซต B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกของ เซต A แตไมเปนสมาชกของเซต B เขยนแทนดวย A – B

A B

U

A

B

U

B A

U

B

U

A

A 1 , 2 , 3

4 , 5 , 6 U

U

เชน U = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } A = {1 , 2 , 3} B = {2 , 3 , 4} A – B = {1} B – A = {4} นกเรยนลองอธบายความหมายของแผนภาพเวนน-ออยเลอร จากผลตางของเซต ในการเขยนแผนภาพของเวนน-ออยเลอรของเซต 3 เซต โดยไมมเซตคใดอนเตอรเซกแลวไดเซตวาง จะไดรปปดทมพนท 8 สวนดงรป สวนท 1 คอ ............................................................................ สวนท 2 คอ ............................................................................. สวนท 3 คอ ............................................................................. สวนท 4 คอ ............................................................................ สวนท 5 คอ ............................................................ ................. สวนท 6 คอ ............................................................................. สวนท 7 คอ ............................................................................. สวนท 8 คอ ............................ .................................................

A B

U

A B

U

A

U

B

B

U

A

U

A B

C

1 2

3 4

5 6

7 8


1. 2.

1.10 การหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากด

การหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากดทเกดจากการด าเนนการของเซตนน เราแทนจ านวนสมาชกของเซต A และ B ดวย n(A) และ n(B) ตามล าดบ ซงหาได 2 วธ คอ 1) การใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร 2) การใชสตร ตวอยางท 1 ก าหนดให n(A) = 10 n(B) = 5 และ n(AB) = 2 จงหาจ านวนของเซตตอไปน 1) n(A – B) 2) n(B – A ) 3) n(AB) ตวอยางท 2 นกเรยนหองหนงม 50 คน ปรากฏวาชอบเลนเทนนส 30 คน ชอบเลนแบตมนตน 10 คน ไมชอบเลนอะไรเลย 12 คน จงหา 1) จ านวนนกเรยนทชอบเลนเทนนสอยางเดยว 2) จ านวนนกเรยนทชอบเลนแบตมนตนอยางเดยว 3) จ านวนนกเรยนทชอบเลนทงเทนนสและแบตมนตน

ตวอยางท 3 ก าหนดให n(A) = 45, n(B) = 40 , n(C) = 35 n(AB) = 10 , n(BC) = 12 n(CA) = 14 และ n(ABC) = 85 จงหา 1.จ านวนสมาชกทมอยในเซตเดยว 2.จ านวนสมาชกทมอยในสองเซต 3.จ านวนสมาชกทมอยในทงสามเซต ตวอยางท 4 นกเรยนชายในโรงเรยนแหงหนงม 120 คน ม 80 คนเลนบาสเกตบอล 85 คนเลนฟตบอล 60 คน เลนเทนนส 50 คนเลนทงบาสเกตบอลและฟตบอล 45 คนเลนเทนนสและฟตบอล 40 คนเลนเทนนสและบาสเกตบอล นกเรยนชายทกคนจะตองเลนกฬาอยางนอย 1 อยาง จงหา 1.จ านวนนกเรยนทเลนกฬาทงสามอยาง 2.จ านวนนกเรยนทเลนบาสเกตบอลเพยงอยางเดยว 3.จ านวนนกเรยนทเลนฟตบอลอยางเดยว 4.จ านวนนกเรยนทเลนเทนนสอยางเดยว

แบบฝกทกษะ 1.10

เฉลยแบบฝกทกษะ 1.10

แบบทดสอบ เรอง เซตและการด าเนนการ

ดานความร

ผลการเรยนรทคาดหวง 1 สรปความคดรวบยอดเกยวกบเซต สามารถหายเนยน อนเตอรเซกชน

คอมพลเมนต และผลตางของเซตได

ค ำชแจง จงเลอกขอทถกตองทสด

1. ถา A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} และ B = {1 , 2} แลวสมาชกของเซต C ซง C B A เทากบขอใด ก. 4 ข. 15 ค. 16 ง. 30

2. ถา A = {x | x = n

21 และ n N} และ B = {0 , 1 , ,...

4

1,

3

1,

2

1 } และ C = {-1 , }5

1,

4

1,

3

1{

2

1 }

แลว ( AC ) - B เปนจรงตามขอใด ก. เปนเซตอนนต ข. เปนเซตวาง ค. เปนเซตทมสมาชกตวเดยว ง. เปนเซตทมสมาชกมากกวาหนงตว 3. ถา A = {a, {a} , {b} , {b , c}} ขอใดถกตอง

ก. (A - {a , b}) {b} = A

ข. (A - {b , c}) {b} = {a, {a} , {b , c}}

ค. (A - {b}) a = {a, {a} , {b}}

ง. (A - {b}) {a} = {a, {a} , {b , c}}

4. ถา A , B , C และ D เปนเซตใดๆ (A - B) (C - D) เทากบเซตในขอใด

ก. (A C) - (B D) ข. (A - B) (C D)

ค. (B - A) (D - C) ง. (B C) (A D) จงใชขอมลตอบค าถามขอ 5-10 ก าหนดให A = {1, 3 , 5 , 6 , 8} B = {2 , 3 , 5 , 8 , 10} C = {1 , 5 , 9 , 10} และ U = {1 , 2 , 3 ,..., 10}

5. A B C เทากบขอใด ก. A ข. C ค. B ง. U

6. A B C เทากบขอใด ก. {2 , 3} ข. {5 , 6} ค. {1 , 4} ง. {5} 7. (A - C)’ มคาเทากบขอใด ก. {3 , 6 , 8} ข. {2 , 4 , 6 , 8 , 10} ค. {1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 9 , 10 } ง. U

8. (A’ C’)’ มคาเทากบขอใด ก. {1 , 2} ข. {1 , 5} ค. {3 , 8 , 10} ง. {5, 6, 9, 10}

9. (A B)’ (C - C ') มคาเทากบขอใด ก. {9} ข. {1 , 2 , 3 , 9 , 10} ค. {2, 3, 5, 8, 10} ง. {1, 2, 3,..., 10}

10. [B (C - A)]’ มคาเทากบขอใด ก. {1 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9} ข. {2 , 7 , 8 , 9} ค. {1 , 4 , 6 , 7} ง. {1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 10} ผลการเรยนรทคาดหวง 2 เขยนแผนภาพแทนเซต (Venn-Euler diagram) และน าไปใชแกปญหาท

เกยวกบการหาสมาชกเซตได

จงแรเงาค าตอบของการด าเนนการตอไปน

11. (A B)’ C 13. (A - B)’ (C - B)’

12. (A - B) C 14. ((A B) C)’

ตอนท 2 จงเลอกขอทถกตองทสด 15. ถา A หมายถง จ านวนคร B หมายถง จ านวนนกเรยน C หมายถง จ านวนนกการภารโรง สวนทแรเงา หมายถง อะไร

ก. จ านวนครและจ านวนนกเรยนไมรวมนกการภารโรง ข. จ านวนครและจ านวนนกการภารโรง ค. จ านวนนกเรยนหรอจ านวนคร ง. จ านวนนกการภารโรงและจ านวนครหรอจ านวน

นกเรยน

A B

C U

A B

C U

A B

C U

A B

C U

A B

C U

16. มนกเรยน 150 คน ฉดวคซนแกโรคหดเยอรมน 100 คน ฉดวคซนโรคคอตบ 50 คน ฉดวคซนโรคหดเยอรมนและโรคคอตบ 30 คน ขอใดไมถกตอง ก. มนกเรยนฉดวคซนโรคคอตบอยางเดยว 20 คน ข. มนกเรยนฉดวคซนโรคหดเยอรมนอยางเดยว 70 คน ค. มนกเรยนทไมไดฉดวคซน 30 คน ง. ไมมนกเรยนคนใดทไมฉดวคซน

นกเรยนหองหนงม 30 คน ชอบวายน า 18 คน ชอบวง 14 คน ไมชอบเลนอะไรเลย 4 คน

จงใชสถานการณนตอบค าถามขอ 17-18 17. นกเรยนทชอบวายน าและวงมกคน ก. 4 คน ข. 5 คน ค. 6 คน ง. 7 คน 18. นกเรยนทวายน าอยางเดยวมากกวานกเรยนทวงอยางเดยวกคน ก. 4 คน ข. 5 คน ค. 6 คน ง. 7 คน จงใชสถานการณนตอบค าถามขอ 19-21 จากการส ารวจผชมโทรทศน 80 คน พบวา มผชอบขาว 20 คน ชอบดละคร 30 คน ชอบสารคด 35 คน ชอบสารคดและขาว 10 คน ชอบสารคดและละคร 20 คน ชอบละครและขาว 10 คน ชอบทงสามอยาง 5 คน 19. มผชมทชอบชมละครอยางเดยวกคน ก. 3 คน ข. 5 คน ค. 7 คน ง. 10 คน 20. มผทไมชอบดทงสามรายการกคน ก. 10 คน ข. 20 คน ค. 30 คน ง. 40 คน 21. ขอใดกลาวไดถกตอง ก. มผดขาวอยางเดยว 6 คน ค. มผดสารคดนอยกวาผทดขาว ข. มผดสารคดอยางเดยว 9 คน ง. มผทดโทรทศนทงหมด 50 คน จงใชสถานการณนตอบค าถามขอ 22 - 24 โรงเรยนแหงหนงมนกเรยน 60 คน และมชมรม 3 ชมรม คอ ฟตบอล กรฑา และวายน า ทกคนจะเปนสมาชกของชมรมอยางนอย 1 ชมรม ถามนกเรยนทอยชมรมฟตบอล 36 คน อยชมรมฟตบอลอยางเดยว 15 คน อยชมรมกรฑาอยางเดยว 7 คน อยชมรมวายน าและชมรมกรฑา 16 คน อยชมรมฟตบอลและชมรมกรฑาแตไมอยชมรมวายน า 2 คน เปนสมาชกของทง 3 ชมรม 9 คน

22. มนกเรยนทอยชมรมวายน าทงหมดกคน ก. 41 คน ข. 36 คน ค. 37 คน ง. 35 คน 23. มนกเรยนอยชมรมกรฑาทงหมดกคน ก. 39 คน ข. 27 คน ค. 25 คน ง. 20 คน 24. มนกเรยนทอยชมรมฟตบอลและชมรมวายน ากคน ก. 9 คน ข. 11 คน ค. 15 คน ง. 19 คน 25. ในการส ารวจความนยมทมตอนาย A นาย B และ นาย C จากประชาชน 100 คน โดยทกคนตองแสดงความนยมอยางนอยหนงคน ซงปรากฏวา นาย A ไดรบความนยามมากกวานาย B อย 6 คะแนน และเขยนเปนแผนภาพไดดงรป ขอใดตอไปนกลาวผด ก. นาย A ไดรบความนยมมากทสด ข. นาย B ไดรบความนยมนอยทสด ค. ผทลงคะแนนใหนาย B คนเดยวม 4 คน ง. ผทลงคะแนนใหนาย A มจ านวน 70 คน

A B

C U

20

23 11 22

9 = 100

หน่วยการเรียนรู้ที่ 1...

Documents