เอกสารประกอบการเรียนรู - gya: group for ......8....

เอกสารประกอบการเรียนรู� โครงการพัฒนาศักยภาพทางด�านคณิตศาสตร�ของนักเรียนระดับมัธยมศึกษา

ผ$านทางงานวิจัยของนิสิตสาขาวิชาคณิตศาสตร� คร้ังท่ี 2

เร่ือง

ความสวยงามวางนัยท่ัวไป: จํานวนเศษเหลือ

จัดโดย สาขาวิชาคณิตศาสตร� คณะวิทยาศาสตร� มหาวิทยาลัยพะเยา

วันอังคารท่ี 28 มกราคม 2557 ณ โรงเรียนพะเยาประสาธน�วิทย� วันพฤหัสบดีท่ี 6 กุมภาพันธ� 2557 ณ โรงเรียนฟากกว8านวิทยาคม

ช่ือ-สกุล................................................................................ระดับช้ัน.............. โรงเรียน...........................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียนรู� โดยกลุ�มวจัิย: กรุปนักพีชคณติรุ�นใหม�แห�งมหาวทิยาลัยพะเยา (GYA) โครงการพัฒนาศักยภาพทางด�านคณติศาสตร-ของนักเรียนระดับมธัยมศึกษาผ�านทางงานวิจัยของนิสิตสาขาวชิาคณิตศาสตร- ครั้งที ่2

จัดโดย สาขาวชิาคณติศาสตร- คณะวทิยาศาสตร- มหาวิทยาลยัพะเยา

วันอังคารที่ 28 มกราคม 2557 ณ โรงเรียนพะเยาประสาธน-วิทย- วันพฤหัสบดีที่ 6 กุมภาพันธ- 2557 ณ โรงเรียนฟากกว<านวิทยาคม 1

รายช่ือวิทยากร 1. ผู�ช�วยศาสตราจารย- ดร.อัยเรศ เอ่ียมพันธ- (อ.อัย) 2. นางสาวอรุโณทัย กัลยา (พ่ีบิ๋ม) 3. นางสาวสุภารัตน- ใบยา (พ่ีออย) 4. นายพชร ใจโลกา (พ่ีโฟร-) 5. นายสุทิน ทองรักษ- (พ่ีเม�น) 6. นายปฏิภาน พรหมรักษ- (พ่ีปาล-ม) 7. นางสาวศิริกานต- หยดย�อย (พ่ีอาย) 8. นางสาวแก�วตา เสวิกา (พ่ีแก�ว) 9. นางสาวอโรชา แก�ววะศรี (พ่ีมิ้น)

วัตถุประสงค- 1. เพ่ือให�นักเรียนมีความรู�และความเข�าใจเกี่ยวกับจํานวนเศษเหลือ 2. เพ่ือให�นักเรียนสามารถประยุกต-ใช�ทฤษฎีบทของจํานวนเศษเหลือได� 3. เพ่ือให�นักเรียนมีแรงบันดาลใจและทัศนคติที่ดีต�อการเรียนและทําวิจัยสําหรับวิชา

คณิตศาสตร- 4. เพ่ือเผยแพร�งานวิจัยของนิสิตสาขาวิชาคณิตศาสตร-ของมหาวิทยาลัยพะเยาสู�

นักเรียนระดับมัธยมศึกษา

“ขอให�นักเรียนทุกคนสนุกกับจํานวนเศษเหลือ”




ความสวยงามวางนัยท่ัวไป: จํานวนเศษเหลือ Generalized Beauty: Remainder Numbers

1. แนวคิดของจํานวนเศษเหลือ

ทฤษฎีบท 1 ข้ันตอนวิธีการหาร (The Division Algorithm) (Clark, 2002) ถ�า a และ b เป!นจํานวนเต็ม โดยท่ี 0b ≠ แล�วมีจํานวนเต็ม q (ผลหาร) และ r (เศษเหลือ) เพียงชุดเดียวเท:านั้น ซ่ึง

a b q r= ⋅ + และ 0 | |r b≤ <

เช:น ถ�า 20a = และ 3b = แล�ว 6q = และ 2r = โดยท่ี 0 2 3r≤ = < ถ�า 43a = และ 10b = แล�ว 4q = และ 3r = โดยท่ี 0 3 10r≤ = < ถ�า 52a = − และ 10b = แล�ว 6q = − และ 8r = โดยท่ี 0 8 10r≤ = <

ตัวอย�าง 1 จงหาค:าต:อไปนี้ให�สอดคล�องกับข้ันตอนวิธีการหาร

ถ�า 32a = และ 8b = แล�ว q = และ r = โดยท่ี 0 8r≤ = <



ถ�า 22a = − และ 4b = แล�ว q = และ r = โดยท่ี 0 4r≤ = <

ถ�า 99a = − และ 10b = แล�ว q = และ r = โดยท่ี 0 10r≤ = <

จากข้ันตอนวิธีการหาร อัยเรศ (2554) และ ณัฐวุฒิ และ อัยเรศ (2556) ได�นิยามจํานวนเศษเหลือไว�ดังนี้ กําหนดให� a เป!นจํานวนเต็มใด ๆ และ 10b = จะได�ว:ามีจํานวนเต็ม q (ผลหาร) และ r (เศษเหลือ) ซ่ึง 10a q r= ⋅ + และ 0 10r≤ < ฉะนั้น r เป!นจํานวนหนึ่งหลักหรือเลขโดดนั่นเอง นิยามจํานวนเศษเหลือสําหรับจํานวนเต็ม a โดย

: qa r= (I)




เช:น

13 1 0 0 1 13

14 2 1 0 1 13

14 2 1 0 1 13

14 2 1 0 1 13

130 0 10 0 0 0 0 0 10 0 130 0

131 9 11 9 1 9 1 1 11 1 131 1

132 8 12 8 2 8 2 2 12 2 132 2

139 1 19 1 9 1 9 9 19 9 139 9

− −

− − −

− − −

− − −

− = − = = = = =

− = − = − = = = =

− = − = − = = = =

− = − = − = = = =

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

เพ่ือความสะดวก เราเขียนจํานวนเศษเหลือ 0 r ด�วย r สําหรับทุกจํานวนเต็ม 0 10r≤ < เช:น

0 01 1, 5 5= = และ 09 9=

ณัฐวุฒิ และ อัยเรศ (2556) ได�นิยามเซตของจํานวนใน (I) ดังบทนิยามต:อไปนี้ บทนิยาม 1 (ณัฐวุฒิ และ อัยเรศ, 2556) กําหนดให�

ZR แทนเซตของจํานวนใน (I) ท้ังหมด นั่นคือ

{ | , 0 10}q r q r r= ∈ ≤ <Z

ZR และ (II)

และเราจะเรียกสมาชิกของ ZR ว:า จํานวนเศษเหลือ (remainder number)

การแปลงจํานวนเต็มบวกเป!นจํานวนเศษเหลือนั้นจะสังเกตเห็นว:าทําได�ง:าย แต:หากจะแปลงจํานวนเต็มลบเป!นจํานวนเศษเหลือนั้นทําได�ไม:ง:ายนัก ดังนั้นบทต้ัง 1 (ณัฐวุฒิ และ อัยเรศ, 2556) มีประโยชนUอย:างมากสําหรับการแปลงจํานวนเต็มลบเป!นจํานวนเศษเหลือ โดยได�แสดงให�เห็นถึงลักษณะของจํานวนเศษเหลือของจํานวนเต็มลบด�วย

ทฤษฎีบท 2 (ณัฐวุฒิ และ อัยเรศ, 2556) กําหนดให� n∈N ซ่ึง qn r= แล�ว

( 1)

0 ; 0

(10 ) ; 0

q

q

rn

r r

−

− +

=− =

− ≠

(III)

ตัวอย�าง 2 จงหาจํานวนเศษเหลือสําหรับจํานวนเต็มต:อไปนี้

220 0−− = 220 0= 170− = 170 =

321 9−− = 221 1= 171− = 171=

322 8−− = 222 2= 172− = 172 =

323 7−− = 223 3= 173− = 173 =

324 6−− = 224 4= 174− = 174 =

325 5−− = 225 5= 175− = 175 =




326 4−− = 226 6= 176− = 176 =

327 3−− = 227 7= 177− = 177 =

328 2−− = 228 8= 178− = 178 =

329 1−− = 229 9= 179− = 179 =

ตัวอย�าง 3 จงหาจํานวนเศษเหลือสําหรับจํานวนเต็มต:อไปนี้

350− = 30− = 30 = 350 =

351− = 31− = 31= 351=

352− = 32− = 32 = 352 =

353− = 33− = 33 = 353 =

354− = 34− = 34 = 354 =

355− = 35− = 35 = 355 =

356− = 36− = 36 = 356 =

357− = 37− = 37 = 357 =

358− = 38− = 38 = 358 =

359− = 39− = 39 = 359 =

เพ่ือให�เข�าใจในผลลัพธUของการประยุกตUใช�ทฤษฎีบทในหัวข�อต:อไป จะแนะนําการแปลงจํานวนเศษเหลือท่ีได�จาก (I) กลับเป!นเลขฐานสิบปกติ เนื่องจากจํานวนเศษเหลือเป!นจํานวนท่ีเลขในแต:ละหลักอาจจะไม:ใช:เลขโดด ซ่ึงมีค:ามากกว:าหรือเท:ากับสิบ แต:จํานวนในระบบเลขฐานสิบเป!นจํานวนท่ีเลขในแต:ละหลักเป!นเลขโดด และจากหลักการบวกเลขปกติ หากผลบวกมีค:ามากกว:าหรือเท:ากับสิบและเขียนเป!นจํานวนเศษเหลือ q r เม่ือ q คือผลหาร และ r คือเศษเหลือ (เลขโดด) จากการหารด�วยเลข 10 แล�วนําผลหาร q ไปทดท่ีหลักหน�า ฉะนั้นจึงสรุปเป!นวิธีการแปลงจํานวนเศษเหลือกลับเป!นเลขฐานสิบปกติได�โดยการบวกทแยงจากเศษเหลือตัวขวากับผลหารตัวซ�าย ซ่ึงก็คือการทดเลขปกตินั่นเอง เพ่ือให�เข�าใจได�ง:ายขอยกตัวอย:างการแปลงจํานวน 14 2 25 4317 6 4 509 ท่ีได�จากการเรียงกันของจํานวนเศษเหลือกลับเป!นเลขฐานสิบ ดังนี้




14 2 25 4 14 2 25 4

1 3

1

317 6 4 509 0 317 6 4 509

(0 14)31(7 2)(6 25)(4 4)509

(14)319(31)8509

0 4319 18509

(0 1)431(9 3)18509

1431(12)18509

1431 218509

143(1 1)218509

1432218509

=

= + + + +

=

=

= + +

=

=

= +

=

ทฤษฎีบท 3 กําหนดให� 1 2 3, , , , ,ns s s s m∈… Z ซ่ึง 0 9is≤ ≤ จะได�ว:า

1 2 3 1 2 3#(0)

1000 0m n nn

s s s s m s s s s=

= ⋅ +… … …�� (IV)

ตัวอย�าง 4 จงแปลงจํานวนเศษเหลือต:อไปนี้เป!นเลขฐานสิบ

187 ( 1) 100 87

100 87

13

− = − ⋅ +

= − +

= −

18766 ( 1) 10000 8766

10000 8766

1234

− = − ⋅ +

= − +

= −

2 465− =

2 7 340 06 5− =

3 386 5− − =

6 12 4 357 4 6 9− − =




ตัวอย�าง 5 จงแปลงจํานวนเศษเหลือต:อไปนี้เป!นเลขฐานสิบ

12 37 46 5 =

23 1 18 208 77 9 9 745 =

1 347 77− =

4 18 7297 9 4 601− =




200 1 18 2 188 47 9 9 742 5 =

200 1 18 2 1889 47 9 9 742 5− − =

23 1 18 27 48 48 9 90 74 6− − =

23 1 58 27 1455 68 9 990 74 6− − =




2. การประยุกต-ของจํานวนเศษเหลือ 2.1 ผลการยกกําลังสองของจํานวนท่ีทุกหลักเป\นเลข 1

เพ่ือความสะดวกสําหรับการศึกษา เราจะใช�สัญลักษณU #( )m แทนจํานวนของ m ท่ีเรียงติดกัน สําหรับทุกจํานวนเต็ม m เช:น

#(9) 7 #(9) 7

1999 98 199999998= =

=…�� หรือ #(1) 10 #(1) 10

111 1 1,111,111,111= =

=…��

เป!นต�น

ทฤษฎีบท 4 (อัยเรศ, 2554) กําหนดให� n เป!นจํานวนเต็มบวก โดยท่ี qn r= เม่ือ q และ r เป!นจํานวนเต็ม ซ่ึง 0 10r≤ < จะได�ว:า

2

1 1 1 1#(1)

111 1 123 9 0 1 ( 1) ( 1) 1 09 321q q qn

r r r=

= − −

… … … … …�� (V)

ตัวอย�าง 6 จงหาค:าของ 2

#(1) 10

111 1=

…��

วิธีทํา โดยทฤษฎีบท 4 จะได�ว:า 2

1#(1) 10

111 1 123 9 09 321=

=

… … …��

และจากการแปลงจํานวนเศษเหลือเป!นเลขฐานสิบ จะได�ว:า 2

1#(1) 10

1

111 1 123 9 09 321

12345678 00987654321

1234567900987654321

=

=

=

=

… … …��

ตรวจคําตอบด�วยโปรแกรมคอมพิวเตอร-

รูปท่ี 1: 2

#(1) 10

111 1=

…��




ตัวอย�าง 7 จงหาค:าต:อไปนี้ 2

#(1) 9

111 1=

=

…��

2

#(1) 11

111 1=

=

…��




2

#(1) 15

111 1=

=

…��

2

#(1) 21

111 1=

=

…��




2.2 จํานวนหลายหลักท่ีประกอบด�วยเลขโดด 0, 1 และ 9

ทฤษฎีบท 5 (อรุโณทัย และ อัยเรศ, 2557) สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก 2n ≥ จะได�ว:า

#(1) #(0) 1 #(0) 1 #(0) 2 #(0) 3 2

(111 1 9000 09000 0) 1000 01 1000 01n n n n n= = − = − = − = ⋅ −

× + =… … … … …�� (VI)

ตัวอย�าง 8 จงหาผลลัพธUของ � � � �#(1) 5 #(0) 4 #(0) 4 #(0) 3

(11111 9000090000) 1 000 1= = = =

× +

วิธีทํา โดยทฤษฎีบท 5 จะได�ว:า � � � �

#(1) 5 #(0) 4 #(0) 4 #(0) 3 #(0) 13

(11111 9000090000) 1 000 1 1000 01= = = = =

× + = …��


รูปท่ี 2: � � � �

#(1) 5 #(0) 4 #(0) 4 #(0) 3

(11111 9000090000) 1 000 1= = = =

× +

ตัวอย�าง 9 จงหาผลลัพธUของ #(1) 20 #(0) 19 #(0) 19 #(0) 18

(111 1 9000 09000 0) 1000 01= = = =

× +… … … …��

วิธีทํา โดยทฤษฎีบท 5 จะได�ว:า

#(1) 20 #(0) 19 #(0) 19 #(0) 18 #(0) 58

(111 1 9000 09000 0) 1000 01 1000 01= = = = =

× + =… … … … …��


รูปท่ี 3:

#(1) 20 #(0) 19 #(0) 19 #(0) 18

(111 1 9000 09000 0) 1000 01= = = =

× +… … … …��




ตัวอย�าง 10 จงหาผลลัพธUต:อไปนี้ (11 9090) 11× + =

#(1) 15 #(0) 14 #(0) 14 #(0) 13

(111 1 9000 09000 0) 1000 01= = = =

× + =… … … …��

#(1) 9 #(0) 8 #(0) 8 #(0) 7

(111 1 9000 09000 0) 1000 01= = = =

× + =… … … …��

#(1) 100 #(0) 99 #(0) 99 #(0) 98

(111 1 9000 09000 0) 1000 01= = = =

× + =… … … …��




2.3 ผลคูณของจํานวน 135 กับจํานวนท่ีเลขเรียงกันเพ่ิมข้ึนจากเลข 1 ไปทางขวาหรือซ�าย

ทฤษฎีบท 6 (พชร และ อัยเรศ, 2557) สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก n จะได�ว:า

#(6) 1

135 123 ( 1) 1666 63(5 ( 1) 15)n

n n n= −

× − = − − ⋅… …�� (VII)

ทฤษฎีบท 7 (พชร และ อัยเรศ, 2557) สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก n จะได�ว:า

#(3) 1

135 ( 1) 321 (13 ( 1) 15)333 35n

n n n= −

× − = + − ⋅… …�� (VIII)

ตัวอย�าง 11 จงหาผลลัพธUของ 135 123456790123456788× วิธีทํา เนื่องจาก

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

123456790123456788 12345678 00 1 2 3 4 5 6 7 8

12345678(10)0 1 2 3 4 5 6 7 8

123456789 0 1 2 3 4 5 6 7 8

123456789(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)

=

=

=

=

โดยทฤษฎีบท 6 จะได�ว:า

#(6) 18 1 17

#(6) 17

#(6) 17

25#(6) 17

#(6)

135 123456790123456788 135 123456789(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)

1 666 6 3(5 (18 1) 15)

1666 63(5 17 15)

1666 63( 250)

1666 63 0

1666 6

= − =

=

=

−

=

× = ×

= − − ⋅

= − ⋅

= −

=

=

…��

…��

…��

…��

…17

3#(6) 17

#(6) 16

( 22)0

1666 6 80

1666 6380

=

−

=

=

−

=

=

��

…��

…��





รูปท่ี 4: 135 123456790123456788×

ตัวอย�าง 12 จงหาผลลัพธUของ 135 1654320987654321× วิธีทํา เนื่องจาก

1 1 1 1 11654320987654321 15 4 3 2 1 0987654321

(15)(14)(13)(12)(11)(10)987654321

=

=

โดยทฤษฎีบท 7 จะได�ว:า

#(3) 15 1 14

#(3) 14

#(3) 14

#(3) 15

135 1654320987654321 135 (15)(14)(13)(12)(11)(10)987654321

(13 (15 1) 15) 333 3 5

(13 14 15)333 35

(13 210)333 35

22333 35

= − =

=

=

=

× = ×

= + − ⋅

= + ⋅

= +

=

…��

…��

…��

…��


รูปท่ี 5: 135 1654320987654321×




ตัวอย�าง 13 จงหาผลคูณต:อไปนี้

135 123456789× =

135 123456789(10) (15)× =…

135 987654321× =

135 (15)(14)(13) 321× =…




135 123456789(10) (20)× =…

135 (20)(19)(18) 321× =…




135 123456789(10) (100)× =…

135 (100)(99)(98) 321× =…




2.4 พหุคูณของจํานวนท่ีทุกหลักเป\นจํานวนเต็มเดียวกัน ยกเว�นหลักแรกและหลักสุดท�ายเป\นเลขโดด 1

ทฤษฎีบท 8 (สุภารัตนU และ อัยเรศ, 2557) สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก m และ n และสําหรับทุกจํานวนเศษเหลือ q r จะได�ว:า

#( ) #( )

1 1 ( )( )( ) ( )

q q

q q q q q q q q

r m r n m

r r r r n n r n r n r n r n n

= ⋅ =

× = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅… …��

(IX)

ตัวอย�าง 14 จงหาผลลัพธUของ #(9) 50

1999 91 123=

×…��

วิธีทํา โดยทฤษฎีบท 8 จะได�ว:า

110

#(9) 50 #(9 123) 50

#(1107) 50

12 110 110 110 110 12

#( 7) 50

1999 91 123 (123) (9 123)(9 123)(9 123) (9 123) (123)

(123) (1107)(1107)(1107) (1107) (123)

3 7 7 7 7 3

(12)(3 1

= ⋅ =

=

=

× = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

=

= +

… …��

…��

…��

11

#(7 110) 49

#(117) 49

1 11 11 11 11 11 1

#( 7) 49

10) (7 110)(7 110)(7 110) (7 110) (7 12)3

(12)(113) (117)(117)(117) (117) (19)3

2 3 7 7 7 7 93

1(2 11)(3 11) (7 11)(7 11)(7 11) (7 11)

+ =

=

=

+ + + + +

=

=

= + + + + + +

…��

…��

…��

…

1

#(7 11) 48

#(18) 48

1 1 1 1 1 1

#( 8) 48

#(8 1) 47

#(9) 47

(7 1)93

1(13)(14) (18)(18)(18) (18)893

1 3 4 8 8 8... 8893

(1 1)(3 1)(4 1) (8 1)(8 1)(8 1)...(8 1)8893

245999...98893

+ =

=

=

+ =

=

+

=

=

= + + + + + + +

=

��

…��

��

��

��

ดังนั้น #(9) 50 #(9) 47

1999 91 123 245999...98893= =

× =…��





�� 6: #(9) 50

1999 91 123=

×…��

ตัวอย�าง 15 จงหาผลคูณต:อไปนี้

1555551 78× =

#(7) 25

1777 71 987=

×…��

#(8) 10

1888 81 123=

×…��

#(3) 30

1333 31 12345=

×…��




#(4) 100

1444 41 135=

×…��

#(2) 111

1222 21 333=

×…��

#(6) 99

1666 61 9000=

×…��

#(4) 200

1444 41 5678=

×…��




เอกสารอ�างอิง

ณัฐวุฒิ พลอาสา และ อัยเรศ เอ่ียมพันธU. (2556). ความสวยงามวางนัยท่ัวไป : การเริ่มต�นของกรุปของจํานวนเศษเหลือ. วารสารนเรศวรพะเยา. 6(1). 25-30.

พชร ใจโลกา และ อัยเรศ เอ่ียมพันธU. (2557). ความสวยงามวางนัยท่ัวไป : ผลคูณของจํานวน 135 กับจํานวนท่ีเลขเรียงกันเพ่ิมข้ึนจากเลข 1 ไปทางขวาหรือซ�าย. วารสารวิทยาศาสตร- มข. อยู:ระหว:างการตีพิมพU.

สุภารัตนU ใบยา และ อัยเรศ เอ่ียมพันธU. (2557). ความสวยงามวางนัยท่ัวไป : พหุคูณของจํานวนท่ีทุกหลักเป!นจํานวนเต็มเดียวกัน ยกเว�นหลักแรกและหลักสุดท�ายเป!นเลขโดด 1. วารสารวิทยาศาสตร- มศว. 30(1). อยู:ระหว:างการตีพิมพU.

อภิสิทธิ์ เมืองมา และ อัยเรศ เอ่ียมพันธU. ความสวยงามวางนัยท่ัวไป : การนิยามจํานวนหลายหลักท่ีแต:ละหลักเป!นจํานวนเต็ม. วารสารวิชาการ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุตรดิตถ-. 8(2). 49-60.

อรุโณทัย กัลยา และ อัยเรศ เอ่ียมพันธU. (2556). ความสวยงามวางนัยท่ัวไป : จํานวนหลายหลักท่ีประกอบด�วยเลขโดด 0, 1 และ 9. วารสารวิจัยรําไพพรรณี. 8(1). 97-104.

อัยเรศ เอ่ียมพันธU. (2554). ความสวยงามวางนัยท่ัวไป : การยกกําลังสองของจํานวนท่ีทุกหลักเป!นเลข 1. วารสารนเรศวรพะเยา. 4(2). 29-35.

Clark, W. E. (2002). Elementary Number Theory. Department of Mathematics, University of South Florida. USA.

“ขอขอบคุณสําหรับการเรียนรู�จํานวนเศษเหลือ” กลุ�มวิจัย: กรุปนักพีชคณิตรุ�นใหม�แห�งมหาวิทยาลัยพะเยา (GYA)

http://gyainup.weebly.com

ติดต�อเรา: ผู�ช�วยศาสตราจารย- ดร.อัยเรศ เอ่ียมพันธ- สาขาวิชาคณิตศาสตร- คณะวิทยาศาสตร- มหาวิทยาลัยพะเยา จ.พะเยา ห�องทํางาน: SC4209, โทรศัพท-: 0 5446 6666 ต�อ 1792 E-mail: [email protected]

เอกสารประกอบการเรียนรู - gya: group for ......8....

Documents