ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ที่ 4...

zzzzzzzz

ชดกจกรรมการเรยนรโดยใชเทคนคการสอนแบบกลมรวมมอ TAI (Team Assisted Individualization) เรอง ความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5 จดท าขนเพอใชเปนแนวทางในการศกษา และพฒนาการเรยนการสอนในรายวชาคณตศาสตรพนฐาน รหสวชา ค32102 หนวยการเรยนรท 2 เรอง ความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ซงชวยใหผเรยนสามารถเกด การเรยนรเปนไปตามล าดบขนตอนอยางมประสทธภาพ ไดท าการคนควาความรทเกยวของจากต าราและเอกสารทางวชาการหลายเลม เพอใหเกดความชดเจนถกตองตามหลกวชาการ แลวเรยบเรยงเนอหาจากงายไปยากตามล าดบ ในแตละชดกจกรรมการเรยนรโดยใชเทคนคการสอนแบบกลมรวมมอ TAI (Team Assisted Individualization) เรอง ความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5 ผเรยนสามารถน าไปศกษาไดดวยตนเอง ทบทวนเนอหาหรอสามารถน าไปศกษาเพมเตมในกรณทเรยนรไมทนเพอน รวมถงสามารถน าไปใชในการเรยน ซอมเสรมในกรณทเรยนแลวสอบไมผาน ซงไดพยายามน าเสนอรายละเอยดส าคญทจ าเปน เนนตวอยางโจทย ทหลากหลาย ชดกจกรรมการเรยนรโดยใชเทคนคการสอนแบบกลมรวมมอ TAI (Team Assisted Individualization) เรอง ความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5 ทกเลมไดผานการตรวจสอบจากผเชยวชาญ และไดน าไปใชเพอทดลองหาประสทธภาพแลว จงสามารถน ามาใชแกปญหาและพฒนาการเรยนการสอนไดเปนอยางด ผจดท าหวงเปนอยางยงวาชดกจกรรมการเรยนรโดยใชเทคนคการสอนแบบกลมรวมมอ TAI (Team Assisted Individualization) เรอง ความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5 ทจดท าขนชดนสามารถน าไปใชประโยชนตอการเรยนรไดจรงและเปนตวอยางแกผทสนใจตอไป มกดา ใจรกษา

ค ำน ำ

ก

เรอง หนำ ค าน า ก สารบญ ข สารบญ (ตอ) ค ค าชแจงการใชชดกจกรรมการเรยนร 1 เนอหาหลก 2 ผงมโนทศนความนาจะเปน 3 ค าแนะน าส าหรบครผสอนในการใชชดกจกรรมการเรยนร 4 ค าแนะน าส าหรบนกเรยนในการใชชดกจกรรมการเรยนร 8 ตวชวด / จดประสงคการเรยนร 9 บตรค าสงท 4.1 10แบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event ) 11 บตรเนอหาท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ 15 บตรกจกรรมท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ 19 บตรงานท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ 23 บตรแบบฝกเสรมกจกรรมการเรยนรท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ 27 บตรค าสงท 4.2 30 บตรเนอหาท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 31 บตรกจกรรมท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 38 บตรงานท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 42 บตรแบบฝกเสรมกจกรรมการเรยนรท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณโดยใชกฎเกณฑ เบองตนเกยวกบการนบ 46 บตรค าสงท 4.3 49 บตรเนอหาท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน 50 บตรกจกรรมท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน 56 บตรงานท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน 60 บตรแบบฝกเสรมกจกรรมการเรยนรท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน 64

สำรบญสำรบญ

ข

เรอง หนำ แบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event ) 68 แบบทดสอบตลยโจทย O – NET คณตศาสตร 72 บรรณานกรม 74 ภาคผนวก 76 เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event) 77 เฉลยบตรกจกรรมท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ 78 เฉลยบตรงานท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ 84 เฉลยบตรแบบฝกเสรมกจกรรมการเรยนรท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ 91 เฉลยบตรกจกรรมท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 96 เฉลยบตรงานท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 102 เฉลยบตรแบบฝกเสรมกจกรรมการเรยนรท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณโดยใช กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 108 เฉลยบตรกจกรรมท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน 114 เฉลยบตรงานท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน 120 เฉลยบตรแบบฝกเสรมกจกรรมการเรยนรท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน 126 เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event) 132 แบบทดสอบตลยโจทย O – NET คณตศาสตร 133 แบบประเมนดานความร 135 แบบประเมนดานทกษะ / กระบวนการ 136 แบบประเมนดานคณลกษณะอนพงประสงค 138

สำรบญ (ตอ)สำรบญ

ค

ชดกจกรรมการเรยนรโดยใชเทคนคการสอนแบบกลมรวมมอ TAI (Team Assisted Individualization) เรอง ความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5 สรางขนเพอใหครน าไปใชเปนสอนวตกรรม ในการจดกจกรรมการเรยนการสอน โดยใหนกเรยนไดศกษาและปฏบตกจกรรมรวมกนเปนกลมยดหลก การท างานรวมกน ใหความชวยเหลอซงกนและกน มงานทเปนรายบคคลเพอฝกใหนกเรยนไดพงพาตนเอง ฉะนนครผสอนจะตองใหนกเรยนปฏบตตามขนตอนอยางเครงครดจงจะท าใหการเรยนการสอนบงเกดผลด ชดกจกรรมการเรยนรโดยใชเทคนคการสอนแบบกลมรวมมอ TAI (Team Assisted Individualization) เรอง ความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5 ประกอบดวย ค าชแจงเกยวกบชดกจกรรมการเรยนร เนอหา หลก ผงมโนทศนความนาจะเปน ค าแนะน าส าหรบครในการใชชดกจกรรมการเรยนร ค าแนะน าส าหรบนกเรยน ในการใชชดกจกรรมการเรยนร ตวชวด / จดประสงคการเรยนร แบบทดสอบกอนเรยน บตรค าสง บตรเนอหา บตรกจกรรม บตรงาน บตรแบบฝกเสรมกจกรรมการเรยนร แบบทดสอบหลงเรยน แบบทดสอบ ตลยโจทย O – NET คณตศาสตร เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน เฉลยบตรกจกรรม เฉลยบตรงาน เฉลยบตร แบบเสรมกจกรรมการเรยนร เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน และเฉลยแบบทดสอบตลยโจทย O – NET คณตศาสตร

ชดกจกรรมการเรยนรโดยใชเทคนคการสอนแบบกลมรวมมอ TAI (Team Assisted Individualization) เรอง ความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5 แบงเนอหาออกเปน 5 ชดกจกรรม

การเรยนร ดงน

ชดกจกรรมการเรยนรท 1 เรอง การทดลองสม (Random Experiment ) ใชเวลาเรยน 2 ชวโมง

ชดกจกรรมการเรยนรท 2 เรอง แซมเปลสเปซ (Sample Space) ใชเวลาเรยน 4 ชวโมง

ชดกจกรรมการเรยนรท 3 เรอง เหตการณ (Event) ใชเวลาเรยน 5 ชวโมง

ชดกจกรรมการเรยนรท 4 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event) ใชเวลาเรยน 5 ชวโมง

ชดกจกรรมการเรยนรท 5 เรอง ความนาจะเปนกบการตดสนใจ (Probability and Decision) ใชเวลาเรยน 2 ชวโมง

ค ำชแจงเกยวกบชดกจกรรมกำรเรยนร

1

ชดกจกรรมกำรเรยนรโดยใชเทคนคกำรสอนแบบกลมรวมมอ TAI เรอง ควำมนำจะเปน

ชดกจกรรมกำรเรยนรท ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ (Probability of Event)

4

เนอหำหลก

มำตรฐำนกำรเรยนร มาตรฐาน ค 5.2 ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปนชวยในการตดสนใจและแกปญหา มาตรฐาน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมาย

ทางคณตศาสตร และการน าเสนอ การเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตร และเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอน ๆ และมความคดรเรมสรางสรรค

ตวชวด ค 5.2 ม.4–6/2 อธบายการทดลองสม เหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณ และน าผลทไดไปใช คาดการณในสถานการณทก าหนดให ค 6.1 ม.4–6/1 ใชวธการทหลากหลายแกปญหา

ม.4–6/2 อธบายการทดลองสม เหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณ และน าผลทไดไปใช คาดการณในสถานการณทก าหนดให

ม.4–6/3 ใหเหตผลประกอบการตดสนใจและสรปผลไดอยางเหมาะสม ม.4–6/4 ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอความหมาย และ

การน าเสนอไดอยางถกตองและชดเจน ม.4-6/5 เชอมโยงความรตาง ๆ ในคณตศาสตร และน าความร หลกการ กระบวนการ ทางคณตศาสตรไปเชอมโยงกบศาสตรอน ๆ

ม.4–6/6 มความคดรเรมสรางสรรค



สำระส ำคญของชดกจกรรมกำรเรยนรคณตศำสตร ชนมธยมศกษำปท 5

เรอง ควำมนำจะเปน (Probability)

2

4

ผงมโนทศนควำมนำจะเปน

3



4

ควำมนำจะเปน

กำรทดลองสม

ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ ควำมนำจะเปนกบกำรตดสนใจ

กฎบำงประกำรของควำมนำจะเปน

คำคำดหมำย ผลตอบแทน

แซมเปลสเปซ เหตกำรณ

แผนภำพตนไม กฎเกณฑเบองตนเกยวกบกำรนบ

กำรด ำเนนกำร บนเซต

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบกำรนบ

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบกำรนบ

ชดกจกรรมการเรยนรโดยใชเทคนคการสอนแบบกลมรวมมอ TAI (Team Assisted Individualization) เรอง ความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5 สรางขนเพอใชในการจดกจกรรมการเรยน การสอนวชาคณตศาสตรโดยการเปดโอกาสใหนกเรยนไดลงมอปฏบตกจกรรมรวมกนเปนกลมในการแสดง ความคดเหนเพอวางแผนในการแกปญหาอยางเปนระบบโดยการจดกจกรรมการเรยนการสอนของชดกจกรรม การเรยนร แบงเปน 4 ขนตอนดงน

1.1 ครและนกเรยนรวมกนแบงกลมแบบคละกน กลมละ 4 คน โดยมนกเรยนเกง ปานกลาง ออน ในอตราสวน 1 : 2 : 1 1.2 นกเรยนก าหนดบทบาทของสมาชกในกลม

2.1 ใหนกเรยนทกคนท าแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event ) 2.2 ครผสอนน าเขาสบทเรยน / ทบทวนความรเดมและแจกอปกรณการเรยน

3.1 นกเรยนแตละกลมศกษาบตรเนอหาท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ และรวมกนท าบตรกจกรรมท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ โดยมค าชแจงใหนกเรยนปฏบตตาม นกเรยนแตละกลมจะตองชวยกนปฏบตกจกรรมใหเสรจตามเวลาทก าหนด สมาชกทกคนรวมมอกนอภปราย หาขอสรป แลวตรวจค าตอบจากเฉลยบตรกจกรรมท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ และเลขานการกลมบนทกคะแนนไวในตารางบนทกผล

ค ำแนะน ำส ำหรบครในกำรใชชดกจกรรมกำรเรยนร

ขนท 1 ขนเตรยม

ขนท 2 ขนน ำเขำสบทเรยน

ขนท 3 ขนสอน

4



4

3.2 นกเรยนแตละคนท าบตรงานท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ (รายบคคล) 3.3 นกเรยนจบคกนภายในกลมของตนเองและเปลยนกนตรวจบตรงานท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ และอธบายขอสงสยกนภายในกลมของตนเอง แลวบนทกผลคะแนน ไวในตารางบนทกผล

3.4 นกเรยนคนใดทท าบตรงานท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ ไดต ากวา รอยละ 80 ใหกลบไปศกษาบตรเนอหาท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ และทบทวนการท า บตรกจกรรมท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ โดยมเพอนชวยอธบายและครใหค าปรกษา สอนเสรมใหเขาใจ แลวท าบตรแบบฝกเสรมกจกรรมการเรยนรท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ จนผานรอยละ 80

3.5 นกเรยนแตละกลมศกษาบตรเนอหาท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณโดยใช กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ และรวมกนท าบตรกจกรรมท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ โดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ โดยมค าชแจงใหนกเรยนปฏบตตาม นกเรยนแตละกลมจะตองชวยกนปฏบตกจกรรมใหเสรจตามเวลาทก าหนด สมาชกทกคนรวมมอกนอภปรายหาขอสรป แลวตรวจค าตอบจาก เฉลยบตรกจกรรมท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ และเลขานการกลมบนทกคะแนนไวในตารางบนทกผล

3.6 นกเรยนแตละคนท าบตรงานท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณโดยใช กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (รายบคคล)

3.7 นกเรยนจบคกนภายในกลมของตนเองและเปลยนกนตรวจบตรงานท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ และอธบายขอสงสยกนภายในกลม ของตนเอง แลวบนทกผลคะแนนไวในตารางบนทกผล 3.8 นกเรยนคนใดทท าบตรงานท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ไดต ากวารอยละ 80 ใหกลบไปศกษาบตรเนอหาท 4.2 เรอง ความนาจะเปน ของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ และทบทวนการท าบตรกจกรรมท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ โดยมเพอนชวยอธบายและครให ค าปรกษา สอนเสรมใหเขาใจ แลวท าบตรแบบฝกเสรมกจกรรมการเรยนรท 4.2 เรอง ความนาจะเปน ของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ จนผานรอยละ 80

ค ำแนะน ำส ำหรบครในกำรใชชดกจกรรมกำรเรยนร (ตอ)

5



4

3.9 นกเรยนแตละกลมศกษาบตรเนอหาท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน และรวมกนท าบตรกจกรรมท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน โดยมค าชแจงใหนกเรยน ปฏบตตาม นกเรยนแตละกลมจะตองชวยกนปฏบตกจกรรมใหเสรจตามเวลาทก าหนด สมาชกทกคนรวมมอกนอภปรายหาขอสรป แลวตรวจค าตอบจากเฉลยบตรกจกรรมท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน และเลขานการกลมบนทกคะแนนไวในตารางบนทกผล

3.10 นกเรยนแตละคนท าบตรงานท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน (รายบคคล) 3.11 นกเรยนจบคกนภายในกลมของตนเองและเปลยนกนตรวจบตรงานท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน และอธบายขอสงสยกนภายในกลมของตนเอง แลวบนทกผลคะแนน ไวในตารางบนทกผล 3.12 นกเรยนคนใดทท าบตรงานท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน ไดต ากวา รอยละ 80 ใหกลบไปศกษาบตรเนอหาท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน และทบทวนการท า บตรกจกรรมท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน โดยมเพอนชวยอธบายและครใหค าปรกษา สอนเสรมใหเขาใจ แลวท าบตรแบบฝกเสรมกจกรรมการเรยนรท 4.3 เรอง กฎบางประการของ ความนาจะเปน จนผานรอยละ 80

4.1 ครและนกเรยนรวมกนสรปเนอหาบทเรยน เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event ) บนทกเปนองคความรของตนเอง 4.2 นกเรยนทกคนท าแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event) และตรวจค าตอบในเฉลยแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความนาจะเปน ของเหตการณ (Probability of Event) แลวบนทกคะแนนของแตละบคคลไวในตารางบนทกผล

4.3 เลขานการกลม บนทกผลคะแนนจากการทดสอบหลงเรยน เรอง ความนาจะเปน ของเหตการณ (Probability of Event) มารวมกนภายในกลมหาคาคะแนนเฉลยของกลม และน าเสนอ หนาชนเรยน


6



4

ขนท 4 ขนสรป

4.4 ครสรปผลคะแนนใหขอเสนอแนะ ยกยองกลมทไดคะแนนสงสด และใหก าลงใจ กลมทยงตองปรบปรง กลมทไดคะแนนสงสดจะตดประกาศคะแนนไวหนาชนเรยน ตามเกณฑดงน กลมทไดคะแนนสงสด จะเรยกวา “ Super – Team ” คอ กลม “ ยอดเยยม ” กลมทไดคะแนนปานกลาง จะเรยกวา “ Great – Team ” คอ กลม “ ดมาก ”

กลมทไดคะแนนต า จะเรยกวา “ Good – Team ” คอ กลม “ ด ” 4.5 นกเรยนทกคนท าแบบทดสอบตลยโจทย O – NET คณตศาสตร


7



4

ในการเรยนรจากชดกจกรรมการเรยนรโดยใชเทคนคการสอนแบบกลมรวมมอ TAI (Team Assisted Individualization) เรอง ความนาจะเปน ชนมธยมศกษาปท 5 นกเรยนตองท า ความเขาใจบทบาทของตนเองเพอด าเนนกจกรรมการเรยนการสอนใหบรรลจดประสงคการเรยนรและ มประสทธภาพดงน

1. ศกษาค าชแจงการใชชดกจกรรมการเรยนรใหเขาใจกอนทจะลงมอปฏบตกจกรรมในชดกจกรรม การเรยนรและปฏบตกจกรรมตามล าดบขนตอน

2. ศกษาท าความเขาใจตวชวดและจดประสงคการเรยนร 3. ศกษาและปฏบตตามบตรค าสง 4. ท าแบบทดสอบกอนเรยน 5. ศกษาท าความเขาใจและปฏบตกจกรรมตาง ๆ ใหครบทกกจกรรม 6. ในระหวางทปฏบตกจกรรมตาง ๆ หากมขอสงสยสามารถปรกษาหารอสอบถามจากเพอนในกลม

หรอครผสอนในระหวางเรยนได 7. เมอเรยนจบแตละชดกจกรรมการเรยนรใหท าแบบทดสอบหลงเรยนเปนรายบคคลเพอประเมนผล

การเรยนร และตรวจค าตอบจากแบบเฉลยแบบทดสอบหลงเรยน 8. แจงคะแนนใหเลขากลมทราบเพอหาคะแนนเฉลยของกลม และน าเสนอคะแนนของแตละกลม

หนาชนเรยน (กลมทไดคะแนนมากทสดไดรบรางวล) 9. หลงจากท ากจกรรมเสรจแลวใหท าแบบทดสอบตลยโจทย O – NET คณตศาสตร

ค ำแนะน ำส ำหรบนกเรยนในกำรใชชดกจกรรมกำรเรยนร

8



4

ค 5.2 ม.4–6/2 อธบายการทดลองสม เหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณ และน าผลทไดไปใช คาดการณในสถานการณทก าหนดให ค 6.1 ม.4–6/1 ใชวธการทหลากหลายแกปญหา

ม.4–6/2 อธบายการทดลองสม เหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณ และน าผลทไดไปใช คาดการณในสถานการณทก าหนดให ม.4–6/3 ใหเหตผลประกอบการตดสนใจและสรปผลไดอยางเหมาะสม

ม.4–6/4 ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอความหมาย และ การน าเสนอไดอยางถกตองและชดเจน

ม.4-6/5 เชอมโยงความรตาง ๆ ในคณตศาสตร และน าความร หลกการ กระบวนการทาง คณตศาสตรไปเชอมโยงกบศาสตรอน ๆ

ม.4–6/6 มความคดรเรมสรางสรรค

ดำนควำมร : นกเรยนสำมำรถ

1. หาความนาจะเปนของเหตการณจากการทดลองสมทผลลพธแตละตวมโอกาสเกดขน เทา ๆ กนได 2. หาความนาจะเปนของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบได 3. หาความนาจะเปนของเหตการณโดยใชกฎบางประการของความนาจะเปนได

ดำนทกษะ / กระบวนกำร : นกเรยนมควำมสำมำรถใน 1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตร และการน าเสนอ 4. การเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตร

ดำนคณลกษณะ : นกเรยน 1. มความรบผดชอบ 2. มระเบยบวนย 3. ท างานเปนระบบ รอบคอบ 4. มความตรงตอเวลา

ตวชวด

จดประสงคกำรเรยนร

9



4

1. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event) (ใชเวลา 20 นาท) 2. ครและนกเรยนรวมกนแบงกลมแบบคละกน กลมละ 4 คน โดยมนกเรยนเกง ปานกลาง ออน ในอตราสวน 1 : 2 : 1 นกเรยนก าหนดบทบาทของสมาชกในกลม ไดแก ประธาน รองประธาน เลขานการ และสมาชก

3. ประธานกลมใหสมาชกในกลมทกคนศกษาบตรเนอหาท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event) (ใชเวลา 20 นาท)

4. ประธานกลมตรวจสอบวาสมาชกในกลมด าเนนกจกรรมเสรจแลวและเปนไปตามเวลาท ก าหนดหรอไม จากนนสมาชกในกลมชวยกนปฏบตตามค าชแจงในบตรกจกรรมท 4.1 เรอง ความนาจะเปน ของเหตการณ (Probability of Event) และอภปรายเพอหาขอสรปแลวตรวจค าตอบจากเฉลยบตรกจกรรม ท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event) และบนทกคะแนนไวในตาราง บนทกผล (ใชเวลา 20 นาท)

5. นกเรยนท าบตรงานท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event) เมอเสรจแลวใหนกเรยนเปลยนกนตรวจบตรงานท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event) ภายในกลมของตนเองและอธบายขอสงสยกนภายในกลมของตนเองใหเขาใจ แลวตรวจจาก เฉลยบตรงานท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event) และบนทกคะแนน ไวในตารางบนทกผล (ใชเวลา 20 นาท)

6. นกเรยนคนใดทไดคะแนนต ากวารอยละ 80 ตองศกษาบตรเนอหาท 4.1 เรอง ความนาจะเปน ของเหตการณ (Probability of Event) และทบทวนบตรกจกรรมท 4.1 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event) ใหมและท าบตรแบบฝกเสรมกจกรรมการเรยนรท 4.1 เรอง ความนาจะเปน ของเหตการณ (Probability of Event) จนผานรอยละ 80 7. ครและนกเรยนรวมกนอภปรายเกยวกบความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event) บนทกเปนองคความรของตนเอง

บตรค ำสงท 4.1

10



4

รำยวชำคณตศำสตรพนฐำน รหสวชำ ค32102 เรอง ควำมนำจะเปน ชนมธยมศกษำปท 5 ชดกจกรรมกำรเรยนรท 4 เรอง ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ (Probability of Event)

ค ำชแจง : ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกทสดเพยงขอเดยว และท าเครองหมาย X ลงในกระดาษค าตอบ (ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน ) ใชเวลา 20 นาท

1. ในการสมเลอกตวเลขทอยระหวาง 1 – 50 จงหาความนาจะเปนทจะไดจ านวนเฉพาะ

ก. 1350

ข. 1450

ค.

1550

ง. 1650

2. ครอบครวหนงวางแผนทจะมบตร 4 คน จงหาความนาจะเปนทไดบตรชาย 2 คน และหญง 2 คน

ก. 38

ข. 58

ค.

516

ง. 716

3. โยนลกเตา 3 ลก ความนาจะเปนทลกเตาจะขนแตมคอยางนอย 1 ลก เทากบขอใด (ขอสอบ O – NET ปการศกษา 2549/2550)

ก.

23

ข. 58

ค.

34

ง. 78

4. ความนาจะเปนทรางวลเลขทายสองตวจะมผลรวมของเลขแตละหลกเปนจ านวนเฉพาะทนอยกวำ 11 เทกบขอใด

ก. 15

ข. 950

ค.

21100

ง. 29100

แบบทดสอบกอนเรยน

11



4

5. ทาสเหรยญสามเหรยญดงน เหรยญแรกดานหนงทาสขาว อกดานหนงทาสแดง เหรยญทสองดานหนง ทาสแดง อกดานหนงทาสฟา เหรยญทสามดานหนงทาสฟา อกดานหนงทาสขาว โยนเหรยญทงสาม ขนพรอมกน ความนาจะเปนทเหรยญจะขนหนาตางกนทงหมดเปนดงขอใด (ขอสอบ O – NET ปการศกษา 2552/2553)

ก.

12

ข. 14

ค.

18

ง. 116

6. สมเลอกจ านวนสามหลกจาก 200 ถง 999 มา 1 จ านวน ความนาจะเปนทจะสมไดเลขค และแตละหลกไมซ ำกนเทากบขอใด

ก. 63100

ข. 1950

ค.

920

ง. 925

7. กลองใบหนงบรรจสลากหมายเลข 1 – 10 หมายเลขละ 1 ใบ ถาสมหยบสลากจ านวนสองใบ โดยหยบทละใบแบบไมใสคน ความนาจะเปนทจะหยบไดสลากหมายเลขต ากวา 5 เพยงหนงใบเทานน เทากบขอใด (ขอสอบ O – NET ปการศกษา 2552/2553)

ก. 29

ข. 815

ค. 235

ง. 11156

8. บรษทเอกชนแหงหนงมรถรบสงพนกงาน 3 คน พนกงาน 12 คน ก าลงเดนไปขนรถของบรษท เพอเดนทางกลบบานอยางสม ความนาจะเปนทรถคนท 3 ไมมพนกงานขนเลยเทากบขอใดตอไปน

ก.

1213

ข.

1223

ค.

1219

ง.

1229

12



4

9. ให A และ B เปนเหตการณใด ๆ โดยท P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 และ P(

A

B ) = 0.2

แลว P( A B ) เทากบขอใดตอไปน

ก. 0.8 ข. 0.7 ค. 0.3 ง. 0.2

10. จากการส ารวจนกเรยนหองหนง จ านวน 30 คน พบวา มนกเรยนไมชอบรบประทานปลา 12 คน และชอบรบประทานปลาหรอกง 23 คน ถาสมนกเรยนมา 1 คน ความนาจะเปนทจะไดนกเรยน

ทชอบรบประทานกงเพยงอยางเดยวมคาเทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ O – NET ปการศกษา 2549/2550)

ก. 16

ข. 15

ค. 25

ง. 35

13



4

แบบทดสอบกอนเรยน รำยวชำคณตศำสตรพนฐำน รหสวชำ ค32102

เรอง ควำมนำจะเปน ชนมธยมศกษำปท 5 ชดกจกรรมกำรเรยนรท 4 เรอง ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ (Probability of Event)

ชอ..........................................................................ชน......................เลขท............... .

วนท................เดอน......................................พ.ศ.................. ........

****************************************************

ขอ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนน

เตม 10 ได

กระดำษค ำตอบ

14



4

ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ ในการทดลองสมทกลาวตอไปน เปนการทดลองสมทก าหนดวาแตละผลลพธทอาจจะเกดขนในการทดลองสม มโอกาสเกดขนไดเทาๆ กน ซงเปนผลจากการทดลองสมดวยอปกรณทมความเทยงตรงและยตธรรม ความนาจะเปนของเหตการณใดๆ หาไดจากสตร ความนาจะเปนของเหตการณ = จ านวนผลลพธของเหตการณ

จ านวนผลลพธทงหมดทอาจจะเกดขนได ถาให P(E) = ความนาจะเปนของเหตการณ n(E) = จ านวนผลทเกดขนในเหตการณ n(S) = จ านวนของผลลพธทงหมดทอาจจะเกดขนได

ดงนน

n EP E =n S

สมบตของควำมนำจะเปน

1. เมอ E เปนเหตการณใดๆ 0 P E 1 2. เมอ E เปนเหตการณทเปนไปไมได P E = 0 3. เมอ E เปนเหตการณทเกดขนอยางแนนอน P E =1

4. เมอ E เปนเหตการณทไมเกดเหตการณ E จะได P E =1-P E

5. P S =1 ตวอยำงท 1 โยนเหรยญเทยงตรง 2 อน 1 ครง จงหาความนาจะเปนท

1. เหรยญออกหวทงค 2. เหรยญออกกอยอยางนอย 1 เหรยญ

ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ บตรเนอหำท 4.1

15



4

วธท ำ โยนเหรยญเทยงตรง 2 อน 1 ครง ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน

S = { HH, HT, TH, TT }

n(S) = 4 1. เหตการณทเหรยญออกหวทงค คอ

1E = { HH }

n( 1E ) = 1

ดงนน

11

n E 1P E = = n S 4

2. เหตการณทเหรยญออกกอยอยางนอย 1 เหรยญ คอ

2E = { HT, TH, TT }

n( 2E ) = 3

ดงนน

22

n E 3P E = = n S 4

ตวอยำงท 2 ทอดลกเตา 2 ลก 1 ครง ใหหาความนาจะเปนท

1. ผลรวมของแตมเปน 10 2. ผลตางของแตมเปน 2 3. ลกเตาออกแตมตางกน

วธท ำ ทอดลกเตา 2 ลก 1 ครง ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }

n(S) = 36

16



4

1. ผลรวมของแตมเปน 10 คอ

1E = { (4, 6), (5, 5), (6, 4) }

n( 1E ) = 3

ดงนน

11

n E 3 1P E = = = n S 36 12

2. ผลตางของแตมเปน 2 คอ

2E = { (1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4) }

n( 2E ) = 8

ดงนน

22

n E 8 2P E = = = n S 36 9

3. ลกเตาออกแตมตางกน คอ

3E = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)

(2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6) (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6) (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) }

n( 3E ) = 30

ดงนน

33

n E 30 5P E = = = n S 36 6

ตวอยำงท 3 ถงใบหนงบรรจลกปงปองขนาดเทาๆ กน 10 ลก เปนลกปงปองสขาว 7 ลก สสม 2 ลก และสเหลอง 1 ลก ถาสมหยบลกปงปองออกมาจากถง 1 ลก ใหหาความนาจะเปนท

1. ไดลกปงปองสขาว 2. ไดลกปงปองสเหลองหรอสสม 3. ไดลกปงปองสเขยว

วธท ำ หยบลกปงปอง 1 ลกจากถงทบรรจปงปอง 10 ลก ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน S = { 1ข , 2ข , 3ข , 4ข , 5ข , 6ข , 7ข , 1ส , 2ส , ห }

n(S) = 10

17



4

1. ไดลกปงปองสขาว

1E = { 1ข , 2ข , 3ข , 4ข , 5ข , 6ข , 7ข }

n( 1E ) = 7

ดงนน

11

n E 7P E = = n S 10

2. ไดลกปงปองสเหลองหรอสสม

2E = { 1ส , 2ส , ห }

n( 2E ) = 3

ดงนน

22

n E 3P E = = n S 10

3. ไดลกปงปองสเขยว

3E = { }

n( 3E ) = 0

ดงนน

33

n E 0P E = = = 0n S 10

ตวอยำงท 4 ถาสมเลอกตวอกษร จากค าวา “MATHS” จงหาความนาจะเปนทสมเลอกไดพยญชนะ วธท ำ สมเลอกตวอกษร จากค าวา “MATHS” ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน

S = { M, A, T, H, S } n(S) = 5

E = { M, T, H, S } n(E ) = 4

ดงนน ความนาจะเปน

n E 4P E = =n S 5

18



4

ชอกลม……………..……………………….…………..…………กลมท...................ชน.............. สมำชกกลม

1.....................................................เลขท............. 2......................................................เลขท............ 3.....................................................เลขท............. 4......................................................เลขท............

ค ำชแจง : จงตอบค าถามตอไปน 1. ในการโยนเหรยญหนงบาท 1 เหรยญ 1 ครง จงหาความนาจะเปนทเหรยญจะขนหว

............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ..................................................................... .................................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... .......................................................................... ............................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................... ........................................................................................ ............................................................................................................................. ..........................................

2. ในการโยนเหรยญหนงบาท 1 เหรยญ 2 ครง จงหาความนาจะเปนทเหรยญจะขนหว 1 เหรยญ และขนกอย 1 เหรยญ

............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................... ........................................................................................................ ............................................................................................................................. ..........................................

ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ บตรกจกรรมท 4.1

19



4

3. มลกบอลขนาดเดยวกน 3 ลก คอ ลกบอลสแดง สขาว และสด าอยในกลองทบ สมหยบลกบอล

ออกมาจากกลอง 1 ลก จงหาความนาจะเปนทจะไดลกบอลสแดง .......................................................................... ............................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................... ........................................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................... ...................................................................................

4. มลกแกวขนาดเดยวกน 5 ลก อยในกลองทบเปนลกแกวสแดง สขาว สเหลอง สชมพ และสมวง สมหยบลกแกวจากกลองมา 2 ลกพรอมกน จงหาความนาจะเปนทจะไดลกแกวสแดง 1 ลกเสมอ

............................................................................................................................. .......................................... ................................................................ ....................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ..................................................................... .................................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... .......................................................................... .............................................................................................

5. มบตรสเหลยมจตรสขนาดเดยวกน 5 ใบ แตละใบมหมายเลขก ากบอยบตรละหนงหมายเลขคอ 1, 2, 3, 4 และ 5 บรรจอยในกลองทบ สมหยบขนมาจากกลอง 2 ใบพรอมกน จงหาความนาจะเปนทจะไดบตรทง 2 ใบ มหมายเลขเรยงกน

............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................ ............................... .................................................................................................. ..................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................. .......................... ...................................................................................................... ................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................. ...................... ........................................................................................................... ............................................................ ............................................................................................................................. ..........................................

20



4

6. กลองทบใบหนงบรรจบตรรปสเหลยมจตรสทมขนาดเดยวกน 10 ใบ บตรแตละใบมหมายเลขก ากบ บตรละหนงหมายเลข คอ 1, 2, 3, ... , 10 สมหยบบตรจากกลองทบใบนมา 1 ใบ จงหาความนาจะเปน 6.1 ไดบตรทมหมายเลขเปนเลขค 6.2 ไดบตรทมหมายเลขทมคามากกวา 5 6.3 ไดหมายเลขทมรากทสองเปนจ านวนเตม

............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................ ....................... .......................................................................................................... ............................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ..................................................................................................................................................... .................. ............................................................................................................... ........................................................ ............................................................................................................................. .......................................... .......................................................................................................................................................... .............

7. ในกลองทบใบหนงมลกบอล 3 ลก คอ ลกบอลสแดง, สขาว และสน าเงน อยางละ 1 ลก สมหยบลกบอลจากกลองนมา 1 ลก แลววางไว แลวสมหยบลกบอลจากกลองนมาอก 1 ลก จงหาความนาจะเปนของการหยบลกบอล 2 ครงแลวได 7.1 สแดงและสขาว ตามล าดบ 7.2 สแดงหนงลก สน าเงนหนงลก

................................................................... .................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................ ............................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................. .......................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................. ...................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ...................................................................................... ................................................................................. ............................................................................................................................. ..........................................

21



4

8. ในการสอบยอยวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.5 หองหนง ขอสอบทงหมด 10 ขอ ถาตอบถก ได 1 คะแนน ถาตอบผดได 0 คะแนน นกเรยนทสอบไดคะแนนต ากวา 5 ถอวาสอบไมผาน ยาใจเปนนกเรยนคนหนงในหองนทสอบวชาน จงหาความนาจะเปนทยาใจจะสอบผานวชาน

............................................................................................................................. .......................................... .................................................................... ................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ......................................................................... .............................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. ..........................................

9. ในกลองทบใบหนงมลกบอลสแดง 3 ลก และลกบอลสขาว 2 ลก ลกบอลทกลกมขนาดเดยวกน สมหยบลกบอลจากกลองใบนขนมา 2 ลกพรอมกน จงหาความนาจะเปนทไดลกบอลสแดง 1 ลก และสขาว 1 ลก

....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................... ............................................................................................................ 10. ทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 ครง จงหาความนาจะเปนท

10.1 ลกเตาทงสองมแตมเหมอนกน 10.2 ลกเตาทงสองมแตมรวมกนเปน 7 10.3 ลกเตาทงสองมแตมรวมมากกวา 12

............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ..........................................

22



4

ชอ....................................................................................ชน.................เลขท...............

ค ำชแจง : จงตอบค าถามตอไปน 1. ในการโยนเหรยญ 2 อน 1 ครง จงหาความนาจะเปนท

1.1 เหรยญขนหวทง 2 เหรยญ 1.2 เหรยญขนหวอยางนอย 1 ครง

............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................ ............................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................. .......................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................. ..................................................................................................... ............................................................................................................................. ..........................................

2. ในการโยนเหรยญ 1 อน 3 ครง จงหาความนาจะเปนท 2.1 เหรยญขนกอยอยางนอย 2 ครง 2.2 เหรยญขนกอย 2 ครง หว 1 ครง

.................................................................................................................... ................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................... ........ ......................................................................................................................... .............................................. ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................................... .... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. ..........................................

ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ บตรงำนท 4.1

23



4

3. ถาสมครอบครวทมบตร 2 คนมาครอบครวหนง จงหาความนาจะเปนของเหตการณทครอบครวนน 3.1 มบตรชายอยางนอย 1 คน 3.2 ไมมบตรชายเลย

............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................ ....................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ..................................................................... .................................................................................................. ............................................................................................................................. ..........................................

4. โยนลกเตา 1 ลก จงหาความนาจะเปนตอไปน 4.1 ลกเตาขนแตมค 4.2 ลกเตาขนแตมทเปนจ านวนเฉพาะ

............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................ ............................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. ..........................................

5. ในการทอดลกเตา 2 ลก 1 ครง จงหาความนาจะเปนตอไปน 5.1 ไดแตมเหมอนกน 5.2 ผลรวมของแตมเปน 5

............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... .......................................................................................................................................................................

24



4

6. ครอบครวหนงมบตร 2 คน จงหาความนาจะเปนท 6.1 มบตรคนโตเปนชาย 6.2 มบตรชายอยางนอย 1 คน

....................................................................................................................................................... ................ ................................................................................................................. ...................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................ ........... ...................................................................................................................... ................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................................. ...... ........................................................................................................................... ............................................

7. ครอบครวหนงมบตร 3 คน จงหาความนาจะเปนท 7.1 เปนชาย 2 คน หญง 1 คน 7.2 เปนชายอยางนอย 1 คน

............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................ ............................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................. .......................................................................................... ............................................................................................................................. ..........................................

8. โยนเหรยญ 1 อน แลวทอดลกเตา 1 ลก จงหาความนาจะเปนท 8.1 เหรยญขนหนากอย แตมเปนจ านวนค 8.2 เหรยญขนหนาอะไรกได แตมเปนจ านวนค

............................................................................................................ ........................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................... ................ ................................................................................................................ ....................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................................... ............ ..................................................................................................................... ..................................................

25



4

9. ถงใบหนงมลกปงปองขนาดเทากน เปนสเขยว 4 ลก สด า 3 ลก สสม 2 ลก และสมวง 1 ลก จงหาความนาจะเปนท 9.1 ไดลกปงปองสมวง 9.2 ไดลกปงปองสเขยวหรอสด า

............................................................................................................................................ ........................... ...................................................................................................... ................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................. ...................... ........................................................................................................... ............................................................ ............................................................................................................................. .......................................... ...................................................................................................................................................... ................. ................................................................................................................ ....................................................... ............................................................................................................................. ..........................................

10. ในการหยบลกบอล 2 ลก โดยหยบครงละ 1 ลก จ านวน 2 ครง จากกลองทมลกบอลสแดง 3 ลก และสขาว 2 ลก จงหาความนาจะเปนในการหยบลกบอลสขาวทงคเมอ 10.1 หยบลกบอลลกแรกแลวใสคน 10.2 หยบลกบอลลกแรกแลวไมใสคน

...................................................................................................................................................... ................. ................................................................................................................ ....................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................................... ............ ..................................................................................................................... .................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................... ........ ......................................................................................................................... .............................................. ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................................................... ... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. ..........................................

26



4

ชอ......................................................................................ชน.................เลขท...............

ค ำชแจง : จงตอบค าถามตอไปน 1. ในการโยนเหรยญบาท 1 อน 1 ครง จงหาความนาจะเปนทเหรยญขนหนากอย

......................................................................................................................................... .............................. ................................................................................................... .................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... .............................................................................................................................................. .........................

2. ถงใบหนงบรรจลกแกวสแดง 1 ลก สขาว 1 ลก และสน าเงน 1 ลก ถาเขยาถงแลวหยบลกแกว ออกมา 2 ลกพรอมกน จงหาความนาจะเปนทจะหยบไดลกแกวสแดง 1 ลก ............................................................................................................................. .......................................... ..................................................................................................................................... .................................. ............................................................................................... ........................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... .......................................................................................................................................... .............................

3. โยนเหรยญบาท 3 เหรยญ 1 ครง จงหาความนาจะเปนท 3.1 เหรยญจะออกหวอยางนอย 2 เหรยญ 3.2 เหรยญขนหนาเหมอนกน

............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................ ............................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................. .......................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................. ...................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. ..........................................

ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ บตรแบบฝกเสรมกจกรรมกำรเรยนรท 4.1

27



4

4. ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง จงหาความนาจะเปนท 4.1 ลกเตาขนแตมทเปนพหคณของ 3 4.2 ลกเตาขนแตมท 2 เปนตวประกอบ

.......................................................................................................................... ............................................. ............................................................................................................................. .......................................... ..................................................................................................................................................................... .. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ..........................................

5. การส ารวจเพศของบตรในครอบครวทมบตร 3 คน จงหาความนาจะเปนท 5.1 มบตรคนโตเปนหญง 5.2 มบตรทเปนชายทงสามคน

................................................................................................ ....................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................... ............................ .................................................................................................... ................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... .............................................................................................................................................. ......................... ....................................................................................................... ................................................................

6. ถงใบหนงมลกบอลขนาดเดยวกน 12 ลก เปนลกบอลสขาว 3 ลก สแดง 4 ลก และสฟา 5 ลก ถาสมหยบลกบอลในถงขนมา 1 ลก จงหาความนาจะเปนท 6.1 ไดลกบอลสแดง 6.2 ไดลกบอลสขาวหรอสแดง

............................................................................................................................. .......................................... .............................................................................. ......................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................. ..................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................... ................................................................................

28



4

7. โยนเหรยญ 1 อน แลวทอดลกเตา 1 ลก จงหาความนาจะเปนตอไปน 7.1 เหรยญขนหนากอย แตมเปนจ านวนเฉพาะ 7.2 เหรยญขนหนาอะไรกได แตมตองเทากบ 2

...................................................................................................................................... ................................. ................................................................................................ ....................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................... ............................ ..................................................................................................... .................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................ ....................... .......................................................................................................... .............................................................

8. กลองใบหนงมลกบอลสแดง ขาว น าเงน และสม อยางละ 1 ลก หยบลกบอลออกจากกลอง 2 ใบ โดยหยบทละลกและใสคนกอนหยบลกทสอง จงหาความนาจะเปนทจะหยบลกบอลแลวไมไดสขาว

..................................................................... .................................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... .......................................................................... ............................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. ..........................................

9. สมหยบตวอกษร 1 ตว จากค าวา “Spider Man” จงหาความนาจะเปนทสมเลอกไดสระ ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ...................................................................................... ................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................. ...................................... ........................................................................................... ............................................................................

10. ถาน านาย A, B และ C มาเขาแถวเปนเสนตรง จงหาความนาจะเปนทนาย B จะยนอยหวแถวเสมอ

............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... .............................................................................. ......................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................... ....................................................................................

29



4

1. ประธานกลมใหสมาชกในกลมทกคนศกษาบตรเนอหาท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ โดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ (ใชเวลา 20 นาท)

2. ประธานกลมตรวจสอบวาสมาชกในกลมด าเนนกจกรรมเสรจแลวและเปนไปตามเวลาทก าหนดหรอไม จากนนสมาชกในกลมชวยกนปฏบตตามค าชแจงในบตรกจกรรมท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ โดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ และอภปรายเพอหาขอสรปรวมกน แลวตรวจค าตอบจากเฉลย บตรกจกรรมท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ และบนทกคะแนนไวในตารางบนทกผล (ใชเวลา 20 นาท)

3. นกเรยนท าบตรงานท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบ

การนบ เมอเสรจแลวใหนกเรยนเปลยนกนตรวจบตรงานท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ภายในกลมของตนเอง และอธบายขอสงสยกนภายในกลมของตนเองใหเขาใจ แลวตรวจจากเฉลยบตรงานท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ และบนทกคะแนนไวในตารางบนทกผล (ใชเวลา 20 นาท)

4. นกเรยนคนใดทไดคะแนนต ากวารอยละ 80 ตองศกษาบตรเนอหาท 4.2 เรอง ความนาจะเปน ของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ และทบทวนบตรกจกรรมท 4.2 เรอง ความนาจะเปน ของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบใหม และท าบตรแบบฝกเสรมกจกรรมการเรยนรท 4.2 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ จนผานรอยละ 80 5. ครและนกเรยนรวมกนสรปเนอหาบทเรยนเกยวกบความนาจะเปนของเหตการณโดยใชกฎเกณฑ เบองตนเกยวกบการนบ บนทกเปนองคความรของตนเอง


30



4

ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ (Probability of Event) บทนยำม ถา S เปนแซมเปลสเปซทเปนเซตจ ากด และผลลพธทจะเกดขนมโอกาสเกดขนไดเทา ๆ กน E เปนเหตการณ ใชสญลกษณ P(E) แทนความนาจะเปนของเหตการณ E P(E) เทากบ อตราสวนของจ านวนผลลพธของ E ตอจ านวนผลลพธของ S

ดงนน P E = n(E)n(S)

ขอสงเกตเกยวกบควำมนำจะเปน ถา E เปนเหตการณใด ๆ แลว 0 P(E) 1 P(E) = 0 กตอเมอ E = หมายความวา เหตการณทกลาวถงไมมโอกาสเกดขนได P(E) = 1 กตอเมอ E = S หมายความวา เหตการณทกลาวถงเกดขนอยางแนนอน

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบกำรนบ จากการนบจ านวนวธโดยอาศยแผนภาพตนไมทแตกกงออกเปนระเบยบ สามารถสรปกฎการนบเบองตน ไดดงน 1. กฎกำรคณ ในการท างานอยางหนงตงแตเรมตนจนงานเสรจม k ขนตอนตอเนองกน โดยท ขนตอนทหนงมวธท างานได 1n วธ

ในแตละวธของขนตอนทหนง มวธท างานขนตอนทสองได 2n วธ

ในแตละวธของขนตอนทหนง มวธท างานขนตอนทสองได 3n วธ

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ในแตละวธของขนตอนท k – 1 มวธท างานขนตอนท k ได kn วธ

จ ำนวนวธท ำงำนทง k ขนตอน = k1 2 3n × n × n ×...× n วธ

ควำมนำจะเปนของเหตกำรณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบกำรนบ บตรเนอหำท 4.2

31



4

2. กฎกำรบวก ในการท างานอยางหนงมวธการท างานได k แบบ (แตละแบบงานเสรจโดยไมตอเนอง กบแบบอน) แบบท 1 มวธท างานได 1n วธ

แบบท 2 มวธท างานได 2n วธ

แบบท 3 มวธท างานได 3n วธ .

.

.

.

.

.

แบบท k มวธท างานได kn วธ

จ ำนวนวธท ำงำนทง k ขนตอน = + + + k1 2 3n n n ...+ n วธ

ตวอยำงท 1 สรางจ านวนทม 3 หลก โดยเลขแตละหลกตองไมซ ากน จากเลขโดด 6 ตว คอ 2, 3, 5, 6, 7 และ 9 จงหาความนาจะเปนของเหตการณทไดจ านวนค วธท ำ สรางจ านวนทม 3 หลก โดยเลขแตละหลกตองไมซ ากน จากเลขโดด 6 ตว คอ 2, 3, 5, 6, 7 และ 9 จะได หลกรอย มวธสรางได 6 วธ หลกสบ มวธสรางหามซ ากบหลกรอยได 5 วธ หลกหนวย มวธสรางหามซ ากบหลกรอยกบหลกสบได 4 วธ จะได n(S) = 6×5×4 = 120 ให E แทนเหตการณทไดจ านวนค จะได หลกหนวย มวธสรางเลขคได 2 วธ หลกรอย มวธสรางหามซ ากบหลกหนวย 5 วธ หลกสบ มวธสรางหามซ ากบหลกรอยกบหลกหนวยได 4 วธ จะได n(E) = 2×5×4 = 40


=

40120

= 13

32



4

ตวอยำงท 2 สงจดหมาย 5 ฉบบ ลงในตไปรษณย 6 ต ความนาจะเปนทจดหมายทกฉบบถกสงลงต เดยวกนเทากบเทาใด วธท ำ จ านวนวธทสงจดหมาย 5 ฉบบ ลงในต 6 ต จะได จดหมายฉบบท 1 มวธเลอกลงตได 6 วธ จดหมายฉบบท 2 มวธเลอกลงตได 6 วธ จดหมายฉบบท 3 มวธเลอกลงตได 6 วธ จดหมายฉบบท 4 มวธเลอกลงตได 6 วธ จดหมายฉบบท 5 มวธเลอกลงตได 6 วธ จะได n(S) = 56 วธ จ านวนวธของเหตการณทสงจดหมายลงตเดยวกน จะได จดหมายฉบบท 1 มวธเลอกลงตได 6 วธ จดหมายฉบบท 2 มวธเลอกลงตเหมอนกบจดหมายฉบบท 1 ได 1 วธ จดหมายฉบบท 3 มวธเลอกลงตเหมอนกบจดหมายฉบบท 1 ได 1 วธ จดหมายฉบบท 4 มวธเลอกลงตเหมอนกบจดหมายฉบบท 1 ได 1 วธ จดหมายฉบบท 5 มวธเลอกลงตเหมอนกบจดหมายฉบบท 1 ได 1 วธ จะได n(E) = 6 วธ

ดงนน ความนาจะเปนทจดหมายทกฉบบถกสงลงตเดยวกน ; P E = n(E)n(S)

=

656

= 146

วธ

ตวอยำงท 3 ในการออกรางวลแตละงวดของกองสลาก ความนาจะเปนทรางวลเลขทาย 2 ตว จะออก หมายเลขทมหลกหนวยเปนเลขคและหลกสบมากกวาหลกหนวยอย 1 เทากบเทาใด (ขอสอบ O – NET ปการศกษา 2548/2549) วธท ำ ในทน S = { 00, 01, 02, 03, … , 99 } n(S) = 100 E = { 21, 43, 65, 87 } n(E) = 4


= 4100

= 125

= 0.04

33



4

ตวอยำงท 4 มกลอง 2 ใบ แตละใบมลกบอลหมายเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 อยอยางละลก ถาสมหยบ ลกบอล 2 ลก จากกลองทงสองใบน กลองละลก แลวความนาจะเปนทจะไดลกบอล หมายเลขตางกนเทากบเทาใด (ขอสอบ O – NET ปการศกษา 2548/2549) วธท ำ หยบลกบอลจากกลองใบท 1 มวธการหยบได 5 วธ หยบลกบอลจากกลองใบท 2 มวธการหยบได 5 วธ จะได n(S) = 5×5 = 25 วธ หยบลกบอลทมหมายเลขตางกนจะได หยบลกบอลจากกลองใบท 1 มวธการหยบได 5 วธ หยบลกบอลจากกลองใบท 2 มวธการหยบได 4 วธ จะได n(E) = 5×4 = 20 วธ


= 2025

= 45

= 0.80

ตวอยำงท 5 จากการส ารวจนกเรยนกลมหนงจ านวน 100 คน ไดขอมลวามนกเรยนทสวมรองเทาขนาด ตาง ๆ ดงน

เบอรรองเทำ จ ำนวนนกเรยน 5 6 7 8 9 10

3 12 35 27 16 7

รวม 100

เมอเลอกนกเรยน 1 คน จากนกเรยนกลมน ความนาจะเปนทจะเลอกไดนกเรยนสวมรองเทา เบอร 6 หรอเบอร 7 เทากบเทาใด (ขอสอบ O – NET ปการศกษา 2548/2549) วธท ำ n(S) = 100 n(E) = 12 + 35 = 47

ดงนน

P E = n(E)n(S)

= 47100

= 0.47

34



4

ตวอยำงท 6 โรงแรมแหงหนงมหองวางชนทหนง 15 หอง ชนทสอง 10 หอง ชนทสาม 25 หอง ถาครสมใจตองงการเขาพกในโรงแรมแหงนโดยวธสมแลว ความนาจะเปนทครสมใจจะได เขาพกหองชนทสองของโรงแรมเทากบเทาใด (ขอสอบ O – NET ปการศกษา 2551/2552) วธท ำ การสมเขาพกโรงแรมในทน พจารณาจาก ชนท 1 มหองวางท 15 หอง มวธเลอกหองได 15 วธ ชนท 2 มหองวางท 10 หอง มวธเลอกหองได 10 วธ ชนท 3 มหองวางท 25 หอง มวธเลอกหองได 25 วธ จะได n(S) = 15 + 10 + 25 = 50 สมเลอกเขาพกหองชนท 2 ของโรงแรม จะได n(E) = 10


= 1050

= 15

= 0.20

ตวอยำงท 7 ในการหยบบตรสามใบ โดยหยบทละใบจากบตรสใบ ซงมหมายเลข 0, 1, 2 และ 3 ก ากบ ความนาจะเปนทจะไดผลรวมของตวเลขบนบตรสองใบแรกนอยกวาตวเลขบนบตร ใบทสามเทากบเทาใด (ขอสอบ O – NET ปการศกษา 2551/2552) วธท ำ หยบบตร 3 ใบ โดยหยบทละ 1 ใบ จากบตร 4 ใบ ซงมหมายเลข 0, 1, 2 และ 3 ก ากบ n(S) = P(4,3)

= !4 = 24 ไดผลรวมของตวเลขบนบตรสองใบแรกนอยกวา ตวเลขบนบตรใบท 3 E = { (0, 1, 2), (1, 0, 2), (0, 1, 3), (1, 0, 3), (0, 2, 3), (2, 0, 3) } n(E) = 6


= 624

= 14

= 0.25

35



4

ตวอยำงท 8 กลอง 12 ใบ มหมายเลขก ากบเปนเลข 1, 2, 3, ... , 12 และกลองแตละใบบรรจลกบอล 4 ลก เปนลกบอลสด า สแดง สขาว และสเขยว ถาสมหยบลกบอลจากกลองแตละใบ ใบละ 1 ลก แลวความนาจะเปนทจะหยบไดลกบอลสแดงจากกลองหมายเลขค และไดลกบอล สด าจากกลองหมายเลขคเทากบเทาใด (ขอสอบ O – NET ปการศกษา 2550/2551) วธท ำ ความนาจะเปนทจะหยบไดลกบอลสแดงจากกลอง 1 ใบ จะได S = { ด า, แดง, ขาว, เขยว } n(S) = 4 E = { แดง } n(E) = 1


= 14

ความนาจะเปนทจะหยบไดลกบอลสแดงจากกลองหมายเลขค =

614

ความนาจะเปนทจะหยบไดลกบอลสด าจากกลอง 1 ใบ จะได S = { ด า, แดง, ขาว, เขยว } n(S) = 4 E = { ด า } n(E) = 1

ดงนน P E = n(E)

n(S) = 1

4

ความนาจะเปนทจะหยบไดลกบอลสด าจากกลองหมายเลขค =

614

ดงนน ความนาจะเปนทจะหยบไดลกบอลสแดงจากกลองหมายเลขค และไดลกบอลสด าจากกลองหมายเลขค

=

614

614

=

1214

ตวอยำงท 9 ในการเลอกคณะกรรมการชดหนง ซงประกอบดวย ประธาน รองประธาน และเลขานการ อยางละ 1 คน จากหญง 6 คน และชาย 4 คน ความนาจะเปนทคณะกรรมการชดน จะมประธานและรองประธานเปนหญงเทากบเทาใด (ขอสอบ O – NET ปการศกษา 2552/2553)

36



4

วธท ำ จ านวนวธเลอกประธาน รองประธาน และเลขานการ จากหญง 6 คน และชาย 4 คน จะได n(S) =

P10,3

= 10!7!

= 10×9×8 = 720 จ านวนวธเลอกประธานและรองประธานจากหญง 6 คน ส าหรบเลขานการเลอก 1 คน จาก 8 คนทเหลอ จะได n(E) =

P ×86,2

= 6! ×84!

= 6×5×8 = 240


= 240

720

= 13

ตวอยำงท 10 โรงเรยนแหงหนงมรถโรงเรยน 3 คน นกเรยน 9 คน ก าลงเดนไปขนรถโรงเรยนโดยสม ความนาจะเปนทไมมนกเรยนคนใดขนรถคนแรกเทากบเทาใด (ขอสอบ O – NET ปการศกษา 2551/2552) วธท ำ นกเรยนแตละคนเลอกขนรถโรงเรยนได 3 วธ ดงนน นกเรยน 9 คน เลอกขนรถโรงเรยนได 93 วธ ; n(S) = 93 ถานกเรยนไมขนรถคนแรก นกเรยนแตละคนเลอกคนรถโรงเรยนทเหลอได 2 วธ ดงนน นกเรยน 9 คน เลอกขนรถโรงเรยนได 92 วธ ; n(E) = 92

P E = n(E)n(S)

= 9293

=

923

37



4



ค ำชแจง : จงตอบค าถามตอไปน 1. ขอสอบแบบถกผดชดหนงมจ านวน 8 ขอ นกเรยนคนหนงเดาค าตอบส าหรบขอสอบแตละขอ จงหาความนาจะเปนของเหตการณเดาค าตอบของขอสอบ 6 ขอแรกไดเปนค าตอบทถกตอง ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... 2. มเรอโดยสารขามฟากระหวางทาคลองสานกบทาสพระยา 2 ขนาดคอ เรอขนาดใหญ 2 ล า และเรอขนาดเลก 6 ล า ถานายรหสลบซงพกอยทางฝงสพระยาตองใชเรอขามฟากจากสพระยาไป คลองสานทงไปและกลบทกวน จงหาความนาจะเปนของเหตการณทนายรหสลบจะไปดวยเรอขนาดใหญ และกลบดวยเรอขนาดเลก ................................................................................. ...................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ...................................................................................... ................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................ ....................................... .......................................................................................... ............................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ..................................................................................................................................... ..................................

ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ โดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบกำรนบ

บตรกจกรรมท 4.2

38



4

3. สรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว จาก a, b, c, d, e และ f โดยไมสนใจความหมาย จงหาความนาจะเปนของเหตการณค านนขนตนดวยอกษร ab ............................................................................................................................................... ........................ ......................................................................................................... .............................................................. ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................................... ................... .............................................................................................................. ......................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ......................................................................................................................................................... .............. ................................................................................................................... .................................................... 4. เดกคนหนงหมนหมายเลขโทรศพท 7 ตว อยางสม จงหาความนาจะเปนทหมายเลขโทรศพท ทหมนจะขนตนดวย 566 ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................... ............................................................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................ ....................................................................................................... 5. หองประชมหองหนงมประต 8 ประต เดกคนหนงเดนเขาและออกจากหองประชมน จงหาความนาจะเปนของเหตการณทเดกคนนจะเดนเขาและออกดวยประตเดยวกน ........................................................................................ ............................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................... .................................... ............................................................................................. .......................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................... ................................ ................................................................................................. ...................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................ ........................... ...................................................................................................... .................................................................

39



4

6. เลอกตวเลข 3 ตว อยางไมเจาะจงจาก 1, 2, 3, 4 โดยเลอกทละตว และไมซ ากน มาสรางเปน จ านวนทมสามหลก จงหาความนาจะเปนทจะไดตวเลขสามตวมผลบวกไมมากกวา 8 ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................ ....................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ..................................................................................... .................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................ ....................................... .......................................................................................... ............................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... 7. ตองการสรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว ซงเอามาจากค าวา “BEAUTY” โดยค าทสราง ไมจ าเปนตองมความหมาย จงหาความนาจะเปนของเหตการณค าทสรางตองมตวอกษร Y ....................................................................................... ................................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................. ..................................... ............................................................................................ ........................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................... ................................ ................................................................................................. ...................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................ ........................... 8. ก าหนด A = { a, b, c } และ B = { 4, 5 } ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป B จงหาความนาจะเปนท r จะเปนฟงกชนจาก A ไป B ...................................................................................................... ................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................. ...................... .......................................................................................................... ............................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ..................................................................................................................................................... .................. ............................................................................................................... ........................................................

............................................................................................................................. ..........................................

............................................................................................................................................................ ...........

40



4

9. ครคนหนง นกเรยนชาย 2 คน และนกเรยนหญง 2 คน มาถายรปรวมกบคร โดยยนเปนแถวยาว จงหาความนาจะเปนของเหตการณทครยนรม ................................................................................................................. ...................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................ ........... ...................................................................................................................... ................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................................ ....... .......................................................................................................................... ............................................. 10. โยนลกเตา 1 ลก และหยบไพ 1 ใบจากส ารบอยางสม จงหาความนาจะเปนของเหตการณทลกเตา หงายแตม 4 หรอหยบไพได 10 โพด า ................................................................. ...................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ...................................................................... ................................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................... ............................................................................................

41



4

ชอ....................................................................................ชน.................เลขท...............

ค ำชแจง : จงตอบค าถามตอไปน 1. หองประชมหองหนงมประต 8 ประต เดกคนหนงเดนเขาและออกจากหองประชมน จงหาความนาจะเปนของเหตการณทเดกคนน เมอเดนเขาประตใดแลวจะออกประตนนไมได ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ......................................................... .............................................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... .............................................................. ......................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................... .................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................ ............................................................................................... 2. ครคนหนง นกเรยนชาย 3 คน และนกเรยนหญง 3 คน มาถายรปรวมกบคร โดยยนเปนแถวยาว จงหาความนาจะเปนของเหตการณทครยนรม ............................................................................................................................................. .......................... ....................................................................................................... ................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................................. ..................... ............................................................................................................ ........................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ...................................................................................................................................................... ................. ................................................................................................................ ....................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................................... ............ ..................................................................................................................... .................................................. ............................................................................................................................. ..........................................


บตรงำนท 4.2

42



4

3. ขอสอบแบบถกผดชดหนงมจ านวน 5 ขอ นกเรยนคนหนงเดาค าตอบส าหรบขอสอบแตละขอ จงหาความนาจะเปนของเหตการณเดาค าตอบของขอสอบ 5 ไดเปนค าตอบทถกตอง ........................................................................................ ............................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................... .................................... ............................................................................................. .......................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................ ............................... .................................................................................................. ..................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................. .......................... 4. โยนลกเตา 1 ลก และหยบไพ 1 ใบจากส ารบอยางสม จงหาความนาจะเปนของเหตการณทลกเตา หงายแตม 6 หรอหยบไพไดคงโพแดง ..................................................................................................................... .................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................................ ....... ......................................................................................................................... .............................................. ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................................................... ... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... 5. ตองการสรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว ซงเอามาจากค าวา “PROBABILITY” โดยค าทสราง ไมจ าเปนตองมความหมาย จงหาความนาจะเปนของเหตการณค าทสรางตองมตวอกษร Y ................................................................................................................................................................. ...... ........................................................................................................................... ............................................ ............................................................................................................................. .......................................... ..................................................................................................................................................................... .. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ..........................................

43



4

6. มเรอโดยสารขามฟากระหวางทาคลองสานกบทาสพระยา 2 ขนาดคอ เรอขนาดใหญ 2 ล า และ เรอขนาดเลก 6 ล า ถานายรหสลบซงพกอยทางฝงสพระยาตองใชเรอขามฟากจากสพระยาไป คลองสานทงไปและกลบทกวน จงหาความนาจะเปนของเหตการณทนายรหสลบจะไปและกลบดวย เรอขนาดเลก ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................... ........ ......................................................................................................................... .............................................. ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................................................... ... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... 7. สรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว จาก a, b, c, d, e และ f โดยไมสนใจความหมาย จงหาความนาจะเปนของเหตการณค านนขนตนดวยอกษร a ......................................................................................................... .............................................................. ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................................... ................... .............................................................................................................. ......................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ......................................................................................................................................................... .............. ................................................................................................................... .................................................... ............................................................................................................................. .......................................... 8. สรางจ านวนเตมทม 4 หลก จากตวเลข 1, 2, 3 และ 4 จงหาความนาจะเปนของเหตการณ ของจ านวนทสรางมคามากกวา 2,000 ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ......................................................................... .............................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................. .......................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. ..........................................

44



4

9. จดผหญง 5 คน นงถายรปในแนวเสนตรง ในจ านวนนมนองตนหอมอยดวย จงหาความนาจะเปน ทจะจดใหนองตนหอมนงอยหวแถวเสมอ ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................... ............................ ..................................................................................................... .................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................ ....................... .......................................................................................................... ............................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ..................................................................................................................................................... .................. ............................................................................................................... ........................................................

10. ก าหนด A = { 1, 2 }, B = { 3, 4, 5 } ถา f เปนฟงกชนจาก A ไป B จงหาความนาจะเปนท f เปนฟงกชน 1 – 1 จาก A ไป B ........................................................................................................ ............................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................... .................... ............................................................................................................. .......................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................................ ............... .................................................................................................................. ..................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................. .......... ....................................................................................................................... ................................................ ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................................................. .....

45



4

ชอ......................................................................................ชน.................เลขท...............

ค ำชแจง : จงตอบค าถามตอไปน 1. สรางจ านวนเตมทม 4 หลก จากตวเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 จงหาความนาจะเปนของเหตการณ ของจ านวนทสรางมคามากกวา 2,000 ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................................... .... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... 2. จดผหญง 4 คน นงถายรปในแนวเสนตรง ในจ านวนนมนองน าเพชรอยดวย จงหาความนาจะเปน ทจะจดใหนองน าเพชรนงอยหวแถวเสมอ .................................................................................................................. ..................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................. .......... ....................................................................................................................... ................................................ ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................................................. ..... ............................................................................................................................ ........................................... 3. สรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว จาก a, b, c, d, e และ f โดยไมสนใจความหมาย จงหาความนาจะเปนของเหตการณค านนขนตนดวยอกษร c ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................ ....................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. ..........................................

ควำมนำจะเปนของเหตกำรณโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบกำรนบ

บตรแบบฝกเสรมกจกรรมกำรเรยนรท 4.2

46



4

4. ขอสอบแบบถกผดชดหนงมจ านวน 8 ขอ นกเรยนคนหนงเดาค าตอบส าหรบขอสอบแตละขอ จงหาความนาจะเปนของเหตการณเดาค าตอบของขอสอบ 8 ขอไดเปนค าตอบทถกตอง ...................................................................................... ................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................. ...................................... ........................................................................................... ............................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... ...................................................................................................................................... ................................. ............................................................................................... ........................................................................ 5. ตองการสรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว ซงเอามาจากค าวา “BEAUTY” โดยค าทสราง ไมจ าเปนตองมความหมาย จงหาความนาจะเปนของเหตการณค าทสรางขนตองขนตนและลงทาย ดวยพยญชนะ ............................................................................................................................. .......................................... ..................................................................... .................................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ......................................................................... .............................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... 6. โยนลกเตา 1 ลก และหยบไพ 1 ใบจากส ารบอยางสม จงหาความนาจะเปนของเหตการณทลกเตา หงายแตม 3 หรอ 5 หรอหยบไพไดคงโพด า ............................................................................................................. .......................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................................ ............... ................................................................................................................. ...................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................ ........... ...................................................................................................................... ................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................................ ....... .......................................................................................................................... ............................................. ............................................................................................................................. ..........................................

47



4

7. มเรอโดยสารขามฟากระหวางทาคลองสานกบทาสพระยา 2 ขนาดคอ เรอขนาดใหญ 2 ล า และเรอ ขนาดเลก 6 ล า ถานายรหสลบซงพกอยทางฝงสพระยาตองใชเรอขามฟากจากสพระยาไปคลองสาน ทงไปและกลบทกวน จงหาความนาจะเปนของเหตการณทนายรหสลบจะไปและกลบดวยเรอขนาดใหญ ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................... ................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................... ........................................ ......................................................................................... .............................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... 8. ครคนหนง นกเรยนชาย 3 คน และนกเรยนหญง 3 คน มาถายรปรวมกบคร โดยยนเปนแถวยาว จงหาความนาจะเปนของเหตการณทครยนตรงกลาง .................................................................................................................. ..................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................. .......... ....................................................................................................................... ................................................ ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................................................. ..... 9. ก าหนด A = { 1, 2, 3, 4 } และ B = { 5, 6, 7 } ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป B จงหาความนาจะเปนท r จะเปนฟงกชนจาก A ไป B ................................................................................................. ...................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................ ........................... ...................................................................................................... ................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................. ...................... 10. มจดหมายทแตกตางกน 4 ฉบบ ตองการทงจดหมายทงหมดในตไปรษณยซงมทงหมด 6 ต จงหาความนาจะเปนทจดหมายแตละฉบบไมทงซ าตกน ............................................................................................. .......................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................... ................................ ................................................................................................. ...................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................ ...........................

48



4

1. ประธานกลมใหสมาชกในกลมทกคนศกษาบตรเนอหาท 4.3 เรอง กฎบางประการของ ความนาจะเปน (ใชเวลา 20 นาท)

2. ประธานกลมตรวจสอบวาสมาชกในกลมด าเนนกจกรรมเสรจแลวและเปนไปตามเวลาทก าหนดหรอไม จากนนสมาชกในกลมชวยกนปฏบตตามค าชแจงในบตรกจกรรมท 4.3 เรอง กฎบางประการ ของความนาจะเปน และอภปรายเพอหาขอสรปรวมกน แลวตรวจค าตอบจากเฉลยบตรกจกรรมท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน และบนทกคะแนนไวในตารางบนทกผล (ใชเวลา 20 นาท)

3. นกเรยนท าบตรงานท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน เมอเสรจแลวใหนกเรยน เปลยนกนตรวจบตรงานท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน ภายในกลมของตนเอง และอธบาย ขอสงสยกนภายในกลมของตนเองใหเขาใจ แลวตรวจจากเฉลยบตรงานท 4.3 เรอง กฎบางประการของ ความนาจะเปน และบนทกคะแนนไวในตารางบนทกผล (ใชเวลา 20 นาท)

4. นกเรยนคนใดทไดคะแนนต ากวารอยละ 80 ตองศกษาบตรเนอหาท 4.3 เรอง กฎบางประการ ของความนาจะเปน และทบทวนบตรกจกรรมท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปนใหม และท าบตรแบบฝกเสรมกจกรรมการเรยนรท 4.3 เรอง กฎบางประการของความนาจะเปน จนผานรอยละ 80

5. นกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event) เปนรายบคคลเสรจแลวตรวจค าตอบกบเฉลยแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event) แจงผลคะแนนใหเลขานการกลมทราบหาคะแนนเฉลยของกลม เลขานการกลม บนทกผลคะแนน และน าเสนอคะแนนกลมหนาชนเรยน (ใชเวลา 30 นาท)

6. ครและนกเรยนรวมกนสรปเนอหาบทเรยนเกยวกบกฎบางประการของความนาจะเปน บนทก เปนองคความรของตนเอง (ใชเวลา 15 นาท)

7. นกเรยนท าแบบทดสอบตลยโจทย O – NET คณตศาสตร จ านวน 2 ขอ เมอหมดเวลาเรยน เกบอปกรณตาง ๆ ใหเรยบรอย (ใชเวลา 15 นาท)


49



4

เนองจากในขอตกลงก าหนดแซมเปลสเปซ S เปนเซต และถา E เปนเหตการณในแซมเปลสเปซ S จะไดวา E กเปนเซตดวย

กฎขอท 1 ถาก าหนดให S เปนแซมเปลสเปซ 1E และ

2E เปนเหตการณทเปนสบเซตของ แซมเปลสเปซ S แลว P( 1E 2E ) = P( 1E ) + P( 2E ) - P( 1E 2E )

พสจน จากความรเรองการหาจ านวนสมาชกของเซต จะได n( 1E 2E ) = n( 1E ) + n( 2E ) - n( 1E 2E ) ……………….(1) สมการ (1) หารดวย n(S) จะได

1 2n(E E )n(S)

= 1n(E )n(S)

+ 2n(E )n(S)

- 1 2n(E E )n(S)

จากบทนยามความนาจะเปนจะได ดงนน P( 1E 2E ) = P( 1E ) + P( 2E ) - P( 1E 2E )

กฎขอท 2 ถา 1E และ 2E เปนเหตการณทเปนสบเซตของแซมเปลสเปซ S ทไมเกด รวมกนแลว P( 1E 2E ) = P( 1E ) + P( 2E )

พสจน เนองจาก 1E และ 2E เปนเหตการณทไมเกดรวมกน จะได 1E 2E = จากกฎขอท 1 P( 1E 2E ) = P( 1E ) + P( 2E ) - P( 1E 2E ) จะได P( 1E 2E ) = P( 1E ) + P( 2E ) - 0 ดงนน P( 1E 2E ) = P( 1E ) + P( 2E ) เมอ 1E 2E =

กฎขอท 3 ถา E เปนเหตการณใด ๆ ทเปนสบเซตของแซมเปลสเปซ S แลว P( E ) = 1 - P(E )

พสจน จาก E E = S และ E E = จะได P(E E ) = P(S) = 1 P(E ) + P( E ) = 1 (จากกฎขอท 2) ดงนน P( E ) = 1 - P(E )

กฎบำงประกำรของควำมนำจะเปน บตรเนอหำท 4.3

50



4

ตวอยำงท 1 ก าหนด 1E และ 2E เปนเหตการณทเปนสบเซตของแซมเปลสเปซ S ม P( 1E ) = 0.4 P( 2E ) = 0.25 และ P( 1E 2E ) = 0.1 จงหาคาของ 1) P( 1E 2E )

2) P( 1E )

3) P( 2E ) 4) P 1 2((E E ) )

วธท ำ 1) จาก P( 1E 2E ) = P( 1E ) + P( 2E ) - P( 1E 2E ) P( 1E 2E ) = 0.4 + 0.25 - 0.1 ดงนน P( 1E 2E ) = 0.55 2) จาก P(

1E ) = 1 - P(

1E )

P( 1

E ) = 1 - 0.4

ดงนน P( 1

E ) = 0.6

3) จาก P(

2E ) = 1 - P(

2E )

P( 2

E ) = 1 - 0.25

ดงนน P( 2

E ) = 0.75

4) จาก P 1 2((E E ) ) = 1 - P 1 2(E E ) = 1 - 0.55 = 0.45 ดงนน P 1 2((E E ) ) = 0.45

51



4

ตวอยำงท 2 ในการประชมครงหนง มบคคลอาชพตาง ๆ เขารวมประชม 300 คน ในจ านวนนมอาชพ พนกงานขายตรง 180 คน มอาชพขายประกน 96 คน มอาชพพนกงานขายตรงและ ขายประกน 54 คน จงหาความนาจะเปนทสมเลอกตวแทน 1 คน แลวไดบคคลทไมม อาชพเปนพนกงานขายตรงหรอขายประกน วธท ำ ให S แทนแซมเปลสเปซ ม n(S) = 300 P(S) เปนความนาจะเปนทสมบคคลอาชพตาง ๆ ในกลมน จะได P(S) = 1 A แทนเหตการณทบคคลมอาชพพนกงานขายตรง ม n(A) = 180 P(A) เปนความนาจะเปนทสมบคคลมอาชพพนกงานขายตรงในกลมน

จะได P(A) = 180300

B แทนเหตการณทบคคลมอาชพขายประกน ม n(B) = 96

P(B) เปนความนาจะเปนทสมบคคลมอาชพขายประกนในกลมน จะได P(B) = 96300

A B เปนเซตของอาชพพนกงานขายตรงและขายประกน ม n(A B) = 54 P(A B) เปนความนาจะเปนทสมไดอาชพพนกงานขายตรงและขายประกน

จะได P(A B) = 54300

A B เปนเซตของบคคลทมอาชพพนกงานขายตรงหรอขายประกน P(A B) เปนความนาจะเปนทสมไดพนกงานขายตรงหรอขายประกน จาก P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

= 180300

+ 96300

- 54300

= 222300

จะได P (A B) = 1 - P(A B)

= 1 - 222300

= 78300

= 1350

ดงนน ความนาจะเปนทจะสมเลอกตวแทน 1 คน แลวจะไดบคคลทไมมอาชพ

เปนพนกงานขายตรงหรอขายประกน เทากบ 1350

52



4

ตวอยำงท 3 จากการส ารวจการชอบสแดง, ขาว และน าเงนของคนกลมหนง จ านวน 120 คน พบวาม คนทชอบสแดง 60 คน ชอบสขาว 42 คน ชอบสน าเงน 36 คน ชอบสแดงและสขาว 28 คน ชอบสแดงและสน าเงน 15 คน ชอบสขาวและสน าเงน 12 คน และมคนทชอบ ทงสามส 5 คน สมเลอกคนกลมนมา 1 คน จงหาความนาจะเปนท 1) ไดคนทชอบสเหลานอยางนอย 1 ส 2) ไดคนทชอบสเหลานเพยงสเดยว 3) ไดคนทไมชอบสเหลานเลย วธท ำ ให S แทนแซมเปลสเปซ ม n(S) = 120 A แทนเหตการณทคนกลมนชอบสแดง ม n(A) = 60 B แทนเหตการณทคนกลมนชอบสขาว ม n(B) = 42 C แทนเหตการณทคนกลมนชอบสน าเงน ม n(C) = 36 A B แทนเหตการณทคนกลมนชอบสแดงและสขาว ม n(A B) = 28 A C แทนเหตการณทคนกลมนชอบสแดงและสน าเงน ม n(A C) = 15 B C แทนเหตการณทคนกลมนชอบสขาวและสน าเงน ม n(B C) = 12 A B C แทนเหตการณทคนกลมนชอบทงสามส ม n(A B C) = 5 จากทก าหนด เขยนจ านวนคนในแตละเซตในแผนภาพเวนน – ออยเลอร ไดดงน

1) จ านวนคนทชอบสเหลานอยางนอย 1 ส เทากบ 120 - 32 = 88 คน ดงนน ความนาจะเปนทสมเลอกคนกลมนมา 1 คน

แลวไดคนทชอบสเหลานอยางนอย 1 ส = 88120

= 1115

53



4

A B

C

22 23 7

5 10 7

14

32

S

2) จ านวนคนทชอบสเหลานเพยงสเดยว เทากบ 22 + 7 + 14 = 43 คน ดงนน ความนาจะเปนทสมเลอกคนกลมนมา 1 คน

แลวไดคนทชอบสเหลานเพยงสเดยว = 43120

3) จ านวนคนทไมชอบสเหลานเลย เทากบ 32 คน ดงนน ความนาจะเปนทสมเลอกคนกลมนมา 1 คน

แลวไดคนทไมชอบสเหลานเลย = 32120

= 415

ตวอยำงท 4 ก าหนดใหเซต A และเซต B เปนเหตการณใด ๆ ทเปนสบเซตของแซมเปลสเปซ S

ซง P(A) = 38

, P(B) = 12

และ P(A B) = 14

จงหา

1) P(A B) 2) P (A B ) 3) P (A B ) 4) P (B A ) วธท ำ 1) จาก P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

จะได P(A B) = 38

+ 12

- 14

= 3+4 - 28

= 58

ดงนน P(A B) เทากบ 58

2) จาก (A B ) = (A B) P (A B ) = P[ (A B) ] = 1 - P(A B)

= 1 - 58

= 38

ดงนน P (A B ) เทากบ 38

54



4

3) จาก P (A B ) = P(A) - P(A B)

= 38

- 14

= 18


4) จาก P (B A ) = P(B) - P(B A)

= 12

- 14

= 14

ดงนน P (B A ) เทากบ 14

ตวอยำงท 5 ถาแตละวนในเดอนสงหาคม มความนาจะเปนทจะมฝนตกตอนเชาหรอตอนเยนเทากบ 0.86 ความนาจะเปนทจะมฝนตกตอนเยนเทากบ 0.67 และความนาจะเปนทจะมฝนตก ทงตอนเชาและตอนเยนเทากบ 0.35 แลวความนาจะเปนทจะมฝนตกในตอนเชามคาเทา กบเทาใด (ขอสอบ O – NET ปการศกษา 2556/2557) วธท ำ ความนาจะเปนทจะมฝนตกตอนเชา ; P(A) = ? ความนาจะเปนทจะมฝนตกตอนเยน ; P(B) = 0.67 ความนาจะเปนทจะมฝนตกตอนเชาหรอตอนเยน ; P(A B) = 0.86 ความนาจะเปนทจะมฝนตกตอนเชาและตอนเยน ; P(A B) = 0.35 จาก P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) 0.86 = P(A) + 0.67 - 0.35 0.86 = P(A) + 0.32 P(A) = 0.86 - 0.32 P(A) = 0.54 ดงนน ความนาจะเปนทจะมฝนตกในตอนเชามคาเทากบ 0.54

55



4



1. ให A และ B เปนเหตการณใด ๆ ในแซมเปลสเปซ S ซง P(A) = 12

, P(B) = 12


จงหาคาของ

1) P(A B) 2) P (A ) 3) P (B ) 4) P (A B ) 5) P (A B ) 6) P (B A )

...................................................................................................................................................................... . ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................ ............................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................. .......................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................. ..................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ...................................................................... ................................................................................................. ............................................................................................................................. ..........................................


บตรกจกรรมท 4.3

56



4

2. จากประวตผปวยของคลนกแหงหนง ทปวยเปนโรคภมแพหรอโรคความดนโลหตสง จ านวน 60 คน พบวามผปวยโรคภมแพ 26 คน มผปวยโรคภมแพและโรคความดนโลหตสง 18 คน ถาสมประวต ผปวย 1 ราย จงหาความนาจะเปนทจะได 1) ผปวยเปนโรคภมแพเพยงอยางเดยว 2) ผปวยเปนโรคความดนโลหตสงเพยงอยางเดยว ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ...................................................................................... ................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................. ...................................... ........................................................................................... ............................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... ..................................................................................................................................... .................................. ............................................................................................... ........................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... .......................................................................................................................................... ............................. .................................................................................................... ................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................... ........................ ......................................................................................................... .............................................................. ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................................... ................... .............................................................................................................. ......................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ......................................................................................................................................................... .............. ................................................................................................................... .................................................... ............................................................................................................................. .......................................... .............................................................................................................................................................. ......... ........................................................................................................................ ............................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................................. ...... ........................................................................................................................... ............................................ ............................................................................................................................. ..........................................

57



4

3. จากการส ารวจนกเรยนกลมหนงจ านวน 40 คน พบวาม 18 คน ดหนงสอวนศกร 22 คน ดหนงสอวนเสาร 14 คน ดหนงสอวนอาทตย 11 คน ดหนงสอวนศกรและวนเสาร 8 คน ดหนงสอวนเสารและวนอาทตย 5 คน ดหนงสอวนศกรและวนอาทตย 3 คน ดหนงสอวนศกร วนเสาร และวนอาทตย ถาสมนกเรยนในกลมนมา 1 คน จงหาความนาจะเปนทจะได 1) นกเรยนทดหนงสอวนศกร หรอวนเสาร หรอวนอาทตย 2) นกเรยนทไมไดดหนงสอวนใดเลยจากวนทกลาวมาทงหมด 3) นกเรยนทดหนงสอเพยงวนเดยว 4) นกเรยนทดหนงสอเพยง 2 วน ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................... .................................... ............................................................................................. .......................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................ ............................... .................................................................................................. ..................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................. .......................... ....................................................................................................... ................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................................. ..................... ............................................................................................................ ........................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ...................................................................................................................................................... ................. ................................................................................................................ ....................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................................... ............ .................................................................................................................... ................................................... ............................................................................................................................. ..........................................

58



4

.................................................................................................................................................. ..................... ............................................................................................................ ........................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................... ................ ................................................................................................................. ...................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................................... ............ ..................................................................................................................... .................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................................ ....... .......................................................................................................................... ............................................. ............................................................................................................................. .......................................... ..................................................................................................................................................................... .. ............................................................................................................................. ..........................................

............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................. ......................................................................................................

............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................... .................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. ..........................................

59



4

ชอ....................................................................................ชน.................เลขท...............


, P(B) = 12




............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................................... .... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................... ........................................................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................... ....................................................................................................

............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ...................................................................... .................................................................................................



60



4

2. ผลการสอบปลายภาคเรยนของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 จ านวน 120 คน พบวาสอบผาน วชาคณตศาสตร 75 คน สอบผานวชาเคม 85 คน สอบตกวชาคณตศาสตรและวชาเคม 10 คน ถาสมนกเรยนในกลมนมา 1 คน จงหาความนาจะเปนทจะได 1) นกเรยนทสอบผานทงสองวชา 2) นกเรยนทสอบผานเพยงวชาเดยว 3) นกเรยนทสอบผานวชาคณตศาสตรหรอวชาเคม ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................. ...................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ...................................................................... ................................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... .......................................................................... ............................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................... ........................................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................... ................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................... ........................................ ......................................................................................... .............................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................... ................................... .............................................................................................. ......................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................ ............................... .................................................................................................. ..................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................ ........................... ...................................................................................................... .................................................................

61



4

3. จากการส ารวจนกเรยนจ านวน 50 คน พบวาม 20 คน ชวยพอแมกวาดบาน 20 คน ชวยพอแมปรงอาหาร 18 คน ชวยพอแมลางจาน 7 คน ชวยพอแมกวาดบานและปรงอาหาร 8 คน ชวยพอแมปรงอาหารและลางจาน 9 คน ชวยพอแมกวาดบานและลางจาน 5 คน ชวยพอแมท าทงสามอยาง ถาสมนกเรยนมา 1 คน จากนกเรยนในกลมน จงหาความนาจะเปนทจะได 1) นกเรยนทไมไดชวยพอแมท างานอยางใดอยางหนงทกลาวมาเลย 2) นกเรยนทชวยพอแมท างานอยางเดยว 3) นกเรยนทชวยพอแมท างานสองอยาง ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................ ............................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................. .......................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................. ..................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................... ................................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................. ..................................... ............................................................................................ ........................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ...................................................................................................................................... ................................. ................................................................................................ ....................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... .......................................................................................................................................... ............................. .................................................................................................... ...................................................................

62



4

............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................. ..................................... ............................................................................................ ........................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................... ................................ ................................................................................................ ....................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................... ............................ ..................................................................................................... .................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................ ....................... .......................................................................................................... ............................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ..................................................................................................................................................... ..................

................................................................................................................ ....................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................................... ............ ..................................................................................................................... .................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................... ........ ......................................................................................................................... .............................................. ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................................................... ... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. ..........................................

....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ..........................................

63



4

ชอ......................................................................................ชน.................เลขท...............


, P(B) = 13




............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................ ............................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................. .......................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................. ..................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................... ................................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................. ..................................... ............................................................................................ ........................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ...................................................................................................................................... ................................. ................................................................................................ ....................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................... ............................

................................................................................................... .................................................................... ............................................................................................................................. ..........................................

กฎบำงประกำรของควำมนำจะเปน บตรแบบฝกเสรมกจกรรมกำรเรยนรท 4.3

64



4

2. จากการส ารวจความเปนอยของครอบครวในชมชนแหงหนงจ านวน 100 ครอบครว พบวาม 10 ครอบครวมทงบานและรถยนต 40 ครอบครวมบานแตไมมรถยนต 20 ครอบครวมรถยนตแตไมมบาน ถาสมครอบครวมา 1 ครอบครว จากชมชนน จงหาความนาจะเปนทจะได 1) ครอบครวทมรถยนต 2) ครอบครวทมบาน 3) ครอบครวทมรถยนตหรอมบาน 4) ครอบครวทไมมบานและไมมรถยนต .......................................................................................................................... ............................................. ............................................................................................................................. .......................................... ..................................................................................................................................................................... .. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................... ............................................................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................... ........................................................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................... ................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. ..........................................

65



4

3. นกศกษาชนปท 1 ของสถาบนแหงหนงจ านวน 100 คน เลอกเรยนวชาคณตศาสตร 42 คน วชา วทยาศาสตร 68 คน วชาประวตศาสตร 54 คน เรยนทงวชาคณตศาสตรและวชาประวตศาสตร 22 คนเรยนทงวชาคณตศาสตรและวชาวทยาศาสตร 25 คน เรยนวชาประวตศาสตรแตไมเรยน วชาวทยาศาสตรและวชาคณตศาสตร 7 คน เรยนทงสามวชา 10 คน สวนอก 8 คน ไมไดเรยน วชาใดเลย ถาสมนกศกษามา 1 คน จากนกศกษาในกลมน จงหาความนาจะเปนทจะได 1) นกศกษาทเรยนวชาประวตศาสตรและวชาวทยาศาสตรแตไมเรยนวชาคณตศาสตร 2) นกศกษาทเรยนวชาคณตศาสตรเพยงวชาเดยว ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................ ............................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................. .......................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................. ..................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................... ................................................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................ ........................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................... ........................................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................... .................................................................................... ............................................................................................................................. ..........................................

66



4

............................................................................................................................. .......................................... .......................................................................... ............................................................................................. ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................... ........................................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................... .................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... .............................................................................................................................. ......................................... ........................................................................................ ............................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................... .................................... ............................................................................................. ..........................................................................

............................................................................................................................. .......................................... ......................................................................................................................................... .............................. ................................................................................................... .................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... .............................................................................................................................................. ......................... ....................................................................................................... ................................................................ ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................................. ..................... ............................................................................................................ ........................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................... ................ ................................................................................................................. ...................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................................... ............

................................................................................................................... .................................................... ............................................................................................................................. .......................................... .............................................................................................................................................................. ......... ........................................................................................................................ ............................................... ............................................................................................................................. ..........................................

67



4

รำยวชำคณตศำสตรพนฐำน รหสวชำ ค32102 เรอง ควำมนำจะเปน ชนมธยมศกษำปท 5 ชดกจกรรมกำรเรยนรท 4 เรอง ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ (Probability of Event)

ค ำชแจง : ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกทสดเพยงขอเดยว และท าเครองหมาย X ลงในกระดาษค าตอบ (ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน ) ใชเวลา 20 นาท

1. จากการส ารวจนกเรยนหองหนง จ านวน 30 คน พบวา มนกเรยนไมชอบรบประทานปลา 12 คน และชอบรบประทานปลาหรอกง 23 คน ถาสมนกเรยนมา 1 คน ความนาจะเปนทจะไดนกเรยน

ทชอบรบประทานกงเพยงอยางเดยวมคาเทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ O-NET ปการศกษา 2549/2550)

ก. 16

ข. 15

ค. 25

ง. 35

2. บรษทเอกชนแหงหนงมรถรบสงพนกงาน 3 คน พนกงาน 12 คน ก าลงเดนไปขนรถของบรษท เพอเดนทางกลบบานอยางสม ความนาจะเปนทรถคนท 3 ไมมพนกงานขนเลยเทากบขอใดตอไปน

ก.

1213

ข.

1223

ค.

1219

ง.

1229

3. ความนาจะเปนทรางวลเลขทายสองตวจะมผลรวมของเลขแตละหลกเปนจ านวนเฉพาะทนอยกวำ 11 เทากบขอใด

ก. 15

ข. 950

ค.

21100

ง. 29100

แบบทดสอบหลงเรยน

68



4

4. กลองใบหนงบรรจสลากหมายเลข 1 – 10 หมายเลขละ 1 ใบ ถาสมหยบสลากจ านวนสองใบ โดยหยบทละใบแบบไมใสคน ความนาจะเปนทจะหยบไดสลากหมายเลขต ากวา 5 เพยงหนงใบเทานน เทากบขอใด (ขอสอบ O – NET ปการศกษา 2552/2553)

ก. 29

ข. 815

ค. 235

ง. 11156

5. ให A และ B เปนเหตการณใด ๆ โดยท P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 และ P( A

B ) = 0.2

แลว P( A B ) เทากบขอใดตอไปน

ก. 0.8 ข. 0.7 ค. 0.3 ง. 0.2

6. ครอบครวหนงวางแผนทจะมบตร 4 คน จงหาความนาจะเปนทไดบตรชาย 2 คน และหญง 2 คน

ก. 38

ข. 58

ค.

516

ง. 716

7. สมเลอกจ านวนสามหลกจาก 200 ถง 999 มา 1 จ านวน ความนาจะเปนทจะสมไดเลขค และแตละหลกไมซ ำกนเทากบขอใด

ก. 63100

ข. 1950

ค.

920

ง. 925

8. ในการสมเลอกตวเลขทอยระหวาง 1 – 50 จงหาความนาจะเปนทจะไดจ านวนเฉพาะ

ก. 1350

ข. 1450

ค.

1550

ง. 1650

69



4

9. โยนลกเตา 3 ลก ความนาจะเปนทลกเตาจะขนแตมคอยางนอย 1 ลก เทากบขอใด (ขอสอบ O – NET ปการศกษา 2549/2550)

ก.

23

ข. 58

ค.

34

ง. 78

10. ทาสเหรยญสามเหรยญดงน เหรยญแรกดานหนงทาสขาว อกดานหนงทาสแดง เหรยญทสองดานหนง ทาสแดง อกดานหนงทาสฟา เหรยญทสามดานหนงทาสฟา อกดานหนงทาสขาว โยนเหรยญทงสาม ขนพรอมกน ความนาจะเปนทเหรยญจะขนหนาตางกนทงหมดเปนดงขอใด (ขอสอบ O – NET ปการศกษา 2552/2553)

ก.

12

ข. 14

ค.

18

ง. 116

70



4

แบบทดสอบหลงเรยน รำยวชำคณตศำสตรพนฐำน รหสวชำ ค32102 เรอง ควำมนำจะเปน ชนมธยมศกษำปท 5

ชดกจกรรมกำรเรยนรท 4 เรอง ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ (Probability of Event)

ชอ..........................................................................ชน......................เลขท............... . วนท................เดอน......................................พ.ศ..........................

****************************************************

ขอ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนน เตม 10 ได


71



4

ค ำชแจง : จงเลอกค าตอบทถกตองทสดเพยงค าตอบเดยว 1. กลองใบหนงมลกบอล 10 ลก เปนสแดง 1 ลก สน าเงน 2 ลก และสขาว 2 ลก นอกนนเปนสอน ๆ ความนาจะเปนทจะหยบลกบอล 3 ลก จากกลองใบนใหไดสแดง 1 ลก และสน าเงน 1 ลก และไมได สขาว เทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ O – NET ปการศกษา 2553/2554)

1. 112

2. 110

3. 760

4. 215

2. ในป พ.ศ. 2557 ประเทศไทยมความนาจะเปนทจะประสบภาวะน าทวมเทากบ 311

และความนาจะเปน

ทจะประสบภยแลงเทากบ 13

ถาความนาจะเปนทจะประสบภาวะน าทวมหรอภยแลงเทากบ 611

แลวความนาจะเปนทประเทศไทยจะประสบภาวะน าทวมและภยแลงในป พ.ศ. 2557 เทากบขอใด (ขอสอบ O – NET ปการศกษา 2555/2556)

1. 133

2. 233

3. 111

4. 211

5. 311

แบบทดสอบตลยโจทย O – NET คณตศำสตร

72



4

แบบทดสอบตลยโจทย O – NET คณตศำสตร ชอ..........................................................................ชน......................เลขท............... .

วนท................เดอน......................................พ.ศ ..........................

****************************************************

ขอ 1 2 3 4 5 1 2

บนทกแนวคด ............................................................................................................................. ................................................ ............................................................................................................................. ................................................ ...................................................................................................................................................................... ....... ........................................................................................................................... .................................................. ............................................................................................................................. ................................................ ............................................................................................................................................................ ................. ................................................................................................................. ............................................................ ............................................................................................................................. ................................................ .................................................................................................................................................. ........................... ....................................................................................................... ...................................................................... ............................................................................................................................. ................................................ ....................................................................................................................................... ...................................... ............................................................................................ ................................................................................. ............................................................................................................................. ................................................ ............................................................................................................................. ................................................ .................................................................................. ...........................................................................................


73



4

บรรณำนกรม

กนกวล อษณกรกล และรณชย มาเจรญทรพย. (2553). แบบฝกหดและประเมนกำรเรยนร คณตศำสตรพนฐำน ชนมธยมศกษำปท 4 – 6 เลม 2. กรงเทพมหานคร : โรงพมพส านกพมพเดอะบคส จ ากด. กมล เอกไทยเจรญ. (2537). คณตศำสตร ม.5 เลม 1 กลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร

ตรงตำมหลกสตรกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551. กรงเทพมหานคร : โรงพมพอมรการพมพ.

กระทรวงศกษาธการ. (2554). หนงสอเรยนรำยวชำพนฐำนคณตศำสตร เลม 2 ชนมธยมศกษำ ปท 4 – 6 กลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน

พทธศกรำช 2551. กรงเทพมหานคร : โรงพมพ สกสค. ลาดพราว. โชคชย สรหาญอดม. (2552). แบบทดสอบคณตศำสตร ม.3 เลม 2 สำระกำรเรยนรพนฐำน

และเพมเตมตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551. กรงเทพมหานคร : โรงพมพส านกพมพเดอะบคส จ ากด.

โชคชย สรหาญอดม. (2555). แบบฝกหดคณตศำสตร ม.3 เลม 2 รำยวชำพนฐำน ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551. กรงเทพมหานคร :

โรงพมพส านกพมพเดอะบคส จ ากด. นพพร แหยมแสง. (2548). หนงสอเรยนสำระกำรเรยนรพนฐำน คณตศำสตร กลมสำระกำร เรยนรคณตศำสตร ชนมธยมศกษำปท 6 ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551. กรงเทพมหานคร : โรงพมพ ส านกพมพ บรษทพฒนาคณภาพ วชาการ (พว.) จ ากด. พรรณ ศลปะวฒนานนท. (2551). แบบฝกหดคณตศำสตรพนฐำน 3 เลม 2 กลมสำระกำรเรยนร

คณตศำสตร ชนมธยมศกษำปท 3. กรงเทพมหานคร : โรงพมพ หจก. ส านกพมพ ฟสกสเซนเตอร. พพฒนพงศ ศรวศร และพสมย ศรวศร. (2548). คมอประกอบกำรเรยนรคณตศำสตรพนฐำน ม.5

เลม 1. กรงเทพมหานคร : โรงพมพส านกพมพเดอะบคส จ ากด. วาสนา ทองการณ. (2555). คณตศำสตร ม.3 เลม 2 รำยวชำพนฐำน ตำมหลกสตรแกนกลำง

กำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551. กรงเทพมหานคร : โรงพมพส านกพมพ เดอะบคส จ ากด.

74



4

บรรณำนกรม (ตอ)

ส านกงานบณฑตแนะแนว. (ม.ป..ป.). SEARCH ขอสอบจรง O – NET ม.6 ป 49 – 53. กรงเทพมหานคร : โรงพมพหางหนสวนจ ากดรงเรองสาสนการพมพ.

สถาบนทดสอบทางการศกษาแหงชาต. (2552). O – NET 52 รหสวชำ 04 วชำคณตศำสตร สอบวนเสำรท 21 กมภำพนธ 2552 เวลำ 11.30 – 13.30 น. [ออนไลน]. เขาถงไดจาก : http://forum.02dual.com/examfile/178topic/ 073895c6ba690bdd833ec8ce2065c415.pdf. (30 เมษายน 2556)

สเทพ จนทรสมบรณกล, ชลธศ พทยงกร และอภชญา ชนะ. (2551). สอเสรมสำระกำรเรยนร พนฐำนคณตศำสตร ม.3 เลม 2 ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551. กรงเทพมหานคร : โรงพมพส านกพมพเดอะบคส จ ากด. อดลย วมลสนตรงส. (2548). สอเสรมสำระกำรเรยนรคณตศำสตรพนฐำน ม.5 เลม 1 กลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตรชวงชนท 4 ตำมหลกสตรกำรศกษำขนพนฐำน

พทธศกรำช 2544. กรงเทพมหานคร : โรงพมพส านกพมพเดอะบคส จ ากด.

75



4

http://forum.02dual.com/examfile/178topic/

- เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน

- เฉลยบตรกจกรรมท 4.1

- เฉลยบตรงำนท 4.1 - เฉลยบตรแบบฝกเสรมกจกรรมกำรเรยนรท 4.1





- เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

- เฉลยแบบทดสอบตลยโจทย O – NET คณตศำสตร

- แบบประเมนดำนควำมร - แบบประเมนดำนทกษะ / กระบวนกำร - แบบประเมนดำนคณลกษณะอนพงประสงค

ภำคผนวก

ขอ เฉลยค ำตอบ 1 ค 2 ก 3 ง 4 ค 5 ข 6 ง 7 ข 8 ข 9 ค 10 ก

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน

77



4

ค ำชแจง : จงตอบค าถามตอไปน 1. ในการโยนเหรยญหนงบาท 1 เหรยญ 1 ครง จงหาความนาจะเปนทเหรยญจะขนหว

วธท ำ โยนเหรยญหนงบาท 1 เหรยญ 1 ครง ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน

S = { H, T }

n(S) = 2 E = { T } n(E) = 1

ดงนน

n E 1P E = = n S 2

2. ในการโยนเหรยญหนงบาท 1 เหรยญ 2 ครง จงหาความนาจะเปนทเหรยญจะขนหว 1 เหรยญ และขนกอย 1 เหรยญ

วธท ำ โยนเหรยญหนงบาท 1 เหรยญ 2 ครง ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน


n(S) = 4 E = { HT, TH } n(E) = 2

ดงนน

n E 2 1P E = = = n S 4 2

3. มลกบอลขนาดเดยวกน 3 ลก คอ ลกบอลสแดง สขาว และสด าอยในกลองทบ สมหยบลกบอล ออกมาจากกลอง 1 ลก จงหาความนาจะเปนทจะไดลกบอลสแดง

วธท ำ S = { แดง, ขาว, ด า } n(S) = 3 E = { แดง } n(E) = 1

ดงนน

n E 1P E = = n S 3

ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ เฉลยบตรกจกรรมท 4.1

78



4

4. มลกแกวขนาดเดยวกน 5 ลก อยในกลองทบเปนลกแกวสแดง สขาว สเหลอง สชมพ และสมวง สมหยบลกแกวจากกลองมา 2 ลกพรอมกน จงหาความนาจะเปนทจะไดลกแกวสแดง 1 ลกเสมอ

วธท ำ ให ด แทน สแดง, ข แทน สขาว, ห แทน สเหลอง, ช แทน สชมพ S = { (ด, ข), (ด, ห), (ด, ช), (ข, ห), (ข, ช), (ห, ช) } n(S) = 6 E = { (ด, ข), (ด, ห), (ด, ช) } n(E) = 3

ดงนน

n E 3 1P E = = = n S 6 2

5. มบตรสเหลยมจตรสขนาดเดยวกน 5 ใบ แตละใบมหมายเลขก ากบอยบตรละหนงหมายเลขคอ 1, 2, 3, 4 และ 5 บรรจอยในกลองทบ สมหยบขนมาจากกลอง 2 ใบพรอมกน จงหาความนาจะเปน ทจะไดบตรทง 2 ใบ มหมายเลขเรยงกน

วธท ำ S = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5) } n(S) = 10 E = { (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5) } n(E) = 4

ดงนน

n E 4 2P E = = = n S 10 5

6. กลองทบใบหนงบรรจบตรรปสเหลยมจตรสทมขนาดเดยวกน 10 ใบ บตรแตละใบมหมายเลขก ากบ บตรละหนงหมายเลข คอ 1, 2, 3, ... , 10 สมหยบบตรจากกลองทบใบนมา 1 ใบ จงหา ความนาจะเปน 6.1 ไดบตรทมหมายเลขเปนเลขค 6.2 ไดบตรทมหมายเลขทมคามากกวา 5 6.3 ไดหมายเลขทมรากทสองเปนจ านวนเตม

วธท ำ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } n(S) = 10

ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ เฉลยบตรกจกรรมท 4.1 (ตอ)

79



4

6.1 ไดบตรทมหมายเลขเปนเลขค คอ 1E = { 2, 4, 6, 8, 10 }

n( 1E ) = 5

ดงนน

11

n E 5 1P E = = = n S 10 2

6.2 ไดบตรทมหมายเลขทมคามากกวา 5 คอ 2E = { 6, 7, 8, 9, 10 }

n( 2E ) = 10

ดงนน

22

n E 5 1P E = = = n S 10 2

6.3 ไดหมายเลขทมรากทสองเปนจ านวนเตม คอ

3E = { 1, 4, 9 }

n( 3E ) = 3

ดงนน

33

n E 3P E = = n S 10

7. ในกลองทบใบหนงมลกบอล 3 ลก คอ ลกบอลสแดง, สขาว และสน าเงน อยางละ 1 ลก สมหยบลกบอลจากกลองนมา 1 ลก แลววางไว แลวสมหยบลกบอลจากกลองนมาอก 1 ลก จงหาความนาจะเปนของการหยบลกบอล 2 ครงแลวได 7.1 สแดง และสขาว ตามล าดบ 7.2 สแดงหนงลก สน าเงนหนงลก

วธท ำ ให ด แทน สแดง, ข แทน สขาว, น แทน สน าเงน S = { (ด, ข), (ด, น), (ข, ด), (ข, น), (น, ด), (น, ข) } n(S) = 6


80



4

7.1 สแดง และสขาว ตามล าดบ คอ

1E = { (ด, ข) }

n( 1E ) = 1

ดงนน

11

n E 1P E = = n S 6

7.2 สแดงหนงลก สน าเงนหนงลก คอ

2E = { (ด, น), (น, ด) }

n( 2E ) = 2

ดงนน

22

n E 2 1P E = = = n S 6 3

8. ในการสอบยอยวชาคณตศาสตร ของนกเรยนชน ม.5 หองหนง ขอสอบทงหมด 10 ขอ ถาตอบถก ได 1 คะแนน ถาตอบผดได 0 คะแนน นกเรยนทสอบไดคะแนนต ากวา 5 ถอวาสอบไมผาน ยาใจเปนนกเรยนคนหนงในหองนทสอบวชาน จงหาความนาจะเปนทยาใจจะสอบผานวชาน

วธท ำ S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } n(S) = 11

E = { 5, 6, 7, 8, 9, 10 } n(E) = 6

ดงนน

n E 6P E = = n S 11

9. ในกลองทบใบหนงมลกบอลสแดง 3 ลก และลกบอลสขาว 2 ลก ลกบอลทกลกมขนาดเดยวกน สมหยบลกบอลจากกลองใบนขนมา 2 ลกพรอมกน จงหาความนาจะเปนทไดลกบอลสแดง 1 ลก และสขาว 1 ลก

วธท ำ ให 1ด แทน สแดงลกท 1 2ด แทน สแดงลกท 2 3ด แทน สแดงลกท 3

1ข แทน สขาวลกท 1

2ข แทน สขาวลกท 2 S = { ( 1ด , 2ด ), ( 1ด , 3ด ), ( 1ด , 1ข ), ( 1ด , 2ข ), ( 2ด , 3ด ) ( 2ด , 1ข ), ( 2ด , 2ข ), ( 3ด , 1ข ), ( 3ด , 2ข ), ( 1ข , 2ข ) }


81



4

n(S) = 10

E = { ( 1ด , 1ข ), ( 1ด , 2ข ), ( 2ด , 1ข ), ( 2ด , 2ข ), ( 3ด , 1ข ), ( 3ด , 2ข ) } n(E) = 6

ดงนน

n E 6 3P E = = = n S 10 5

10. ทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 ครง จงหาความนาจะเปนท 10.1 ลกเตาทงสองมแตมเหมอนกน 10.2 ลกเตาทงสองมแตมรวมกนเปน 7 10.3 ลกเตาทงสองมแตมรวมมากกวา 12 วธท ำ S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } n(S) = 36 10.1 ลกเตาทงสองมแตมเหมอนกน 1E = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) } n( 1E ) = 6

ดงนน

11

n E 6 1P E = = = n S 36 6

10.2 ลกเตาทงสองมแตมรวมกนเปน 7 2E = { (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) } n( 2E ) = 6

ดงนน

22

n E 6 1P E = = = n S 36 6


82



4

10.3 ลกเตาทงสองมแตมรวมมากกวา 12

3E = { } n( 3E ) = 0

ดงนน

33

n E 0P E = = = 0n S 36


83



4

ค ำชแจง : จงตอบค าถามตอไปน 1. ในการโยนเหรยญ 2 อน 1 ครง จงหาความนาจะเปนท

1.1 เหรยญขนหวทง 2 เหรยญ 1.2 เหรยญขนหวอยางนอย 1 ครง

วธท ำ โยนเหรยญ 2 อน 1 ครง ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน


n(S) = 4 1.1 เหรยญขนหวทง 2 เหรยญ 1E = { HH } n( 1E ) = 1

ดงนน

11

n E 1P E = = n S 4

1.2 เหรยญขนหวอยางนอย 1 ครง 2E = { HH, HT, TH } n( 2E ) = 3

ดงนน

22

n E 3P E = = n S 4

2. ในการโยนเหรยญ 1 อน 3 ครง จงหาความนาจะเปนท 2.1 เหรยญขนกอยอยางนอย 2 ครง 2.2 เหรยญขนกอย 2 ครง หว 1 ครง

วธท ำ โยนเหรยญ 1 อน 3 ครง ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน

S = { HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT }

n(S) = 8 2.1 เหรยญขนกอยอยางนอย 2 ครง 1E = { HTT, THT, TTH, TTT } n( 1E ) = 4

ดงนน

11

n E 4 1P E = = = n S 8 2

ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ เฉลยบตรงำนท 4.1

84



4

2.2 เหรยญขนกอย 2 ครง หว 1 ครง 2E = { HTT, THT, TTH } n( 2E ) = 3

ดงนน

22

n E 3P E = = n S 8

3. ถาสมครอบครวทมบตร 2 คนมาครอบครวหนง จงหาความนาจะเปนของเหตการณทครอบครวนน 3.1 มบตรชายอยางนอย 1 คน 3.2 ไมมบตรชายเลย

วธท ำ ครอบครวทมบตร 2 คน ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน

S = { (ช, ช), (ช, ญ), (ญ, ช), (ญ, ญ) }

n(S) = 4 3.1 มบตรชายอยางนอย 1 คน 1E = { (ช, ช), (ช, ญ), (ญ, ช) } n( 1E ) = 3

ดงนน

11

n E 3P E = = n S 4

3.2 ไมมบตรชายเลย 2E = { (ญ, ญ) } n( 2E ) = 1

ดงนน

22

n E 1P E = = n S 4

4. โยนลกเตา 1 ลก จงหาความนาจะเปนตอไปน 4.1 ลกเตาขนแตมค 4.2 ลกเตาขนแตมทเปนจ านวนเฉพาะ

วธท ำ โยนลกเตา 1 ลก ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

n(S) = 6

ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ เฉลยบตรงำนท 4.1 (ตอ)

85



4

4.1 ลกเตาขนแตมค 1E = { 2, 4, 6 } n( 1E ) = 3

ดงนน

11

n E 3 1P E = = = n S 6 2

4.2 ลกเตาขนแตมทเปนจ านวนเฉพาะ 2E = { 2, 3, 5 } n( 2E ) = 3

ดงนน

22

n E 3 1P E = = = n S 6 2

5. ในการทอดลกเตา 2 ลก 1 ครง จงหาความนาจะเปนตอไปน 5.1 ไดแตมเหมอนกน 5.2 ผลรวมของแตมเปน 5 วธท ำ ทอดลกเตา 2 ลก 1 ครง ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน

S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } n(S) = 36 5.1 ไดแตมเหมอนกน 1E = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) } n( 1E ) = 6

ดงนน

11

n E 6 1P E = = = n S 36 6

5.2 ผลรวมของแตมเปน 5 2E = { (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (5, 2) } n( 2E ) = 4


86



4

ดงนน

22

n E 4 1P E = = = n S 36 9

6. ครอบครวหนงมบตร 2 คน จงหาความนาจะเปนตอไปน 6.1 มบตรคนโตเปนชาย 6.2 มบตรชายอยางนอย 1 คน

วธท ำ ครอบครวหนงมบตร 2 คน ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน S = { (ช, ช), (ช, ญ), (ญ, ช), (ญ, ญ) } n(S) = 4 6.1 มบตรคนโตเปนชาย

1E = { (ช, ช), (ช, ญ) } n( 1E ) = 2

ดงนน

11

n E 2P E = = n S 4

=

12

6.2 มบตรชายอยางนอย 1 คน 2E = { (ช,ช), (ช,ญ), (ญ,ช) } n( 2E ) = 3

ดงนน

22

n E 3P E = = n S 4

7. ครอบครวหนงมบตร 3 คน จงหาความนาจะเปนตอไปน 7.1 เปนชาย 2 คน หญง 1 คน 7.2 เปนชายอยางนอย 1 คน วธท ำ ครอบครวหนงมบตร 3 คน ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน S = { (ช,ช,ช), (ช,ช,ญ), (ช,ญ,ช), (ช,ญ,ญ), (ญ,ช,ช), (ญ,ช,ญ), (ญ,ญ,ช), (ญ,ญ,ญ) } n(S) = 8 7.1 เปนชาย 2 คน หญง 1 คน

1E = { (ช,ช,ญ), (ช,ญ,ช), (ญ,ช,ช) } n( 1E ) = 3

ดงนน

11

n E 3P E = = n S 8


87



4

7.2 เปนชายอยางนอย 1 คน 2E = { (ช,ช,ช), (ช,ช,ญ), (ช,ญ,ช), (ช,ญ,ญ), (ญ,ช,ช), (ญ,ช,ญ), (ญ,ญ,ช) } n( 2E ) = 7

ดงนน

22

n E 7P E = = n S 8

8. โยนเหรยญ 1 อน แลวทอดลกเตา 1 ลก จงหาความนาจะเปนท 8.1 เหรยญขนหนากอย แตมเปนจ านวนค 8.2 เหรยญขนหนาอะไรกได แตมเปนจ านวนค วธท ำ โยนเหรยญ 1 อน แลวทอดลกเตา 1 ลก ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน S = { (H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6) } n(S) = 12 8.1 เหรยญขนหนากอย แตมเปนจ านวนค

1E = { (T, 1), (T, 3), (T, 5) } n( 1E ) = 3

ดงนน

11

n E 3 1P E = = = n S 12 4

8.2 เหรยญขนหนาอะไรกได แตมเปนจ านวนค 2E = { (H, 2), (H, 4), (H, 6), (T, 2), (T, 4), (T, 6) } n( 2E ) = 6

ดงนน

22

n E 6 1P E = = = n S 12 2

9. ถงใบหนงมลกปงปองขนาดเทากน เปนสเขยว 4 ลก สด า 3 ลก สสม 2 ลก และสมวง 1 ลก จงหาความนาจะเปนท

9.1 ไดลกปงปองสมวง 9.2 ไดลกปงปองสเขยวหรอสด า


88



4

วธท ำ ให สเขยวทง 4 ลก แทนดวย 1ข , 2ข , 3ข , 4ข สด าทง 3 ลก แทนดวย 1ด , 2ด , 3ด สสมทง 2 ลก แทนดวย 1ส , 2ส สมวง แทนดวย ม S = { 1ข , 2ข , 3ข , 4ข , 1ด , 2ด , 3ด , 1ส , 2ส , ม } n(S) = 10 9.1 ไดลกปงปองสเขยว

1E = { ม } n( 1E ) = 1

ดงนน

11

n E 1P E = = n S 10

9.2 ไดลกปงปองสเขยวหรอสด า 2E = { 1ข , 2ข , 3ข , 4ข , 1ด , 2ด , 3ด } n( 2E ) = 7

ดงนน

22

n E 7P E = = n S 10

10. ในการหยบลกบอล 2 ลก โดยหยบครงละ 1 ลก จ านวน 2 ครง จากกลองทมลกบอลสแดง 3 ลก และสขาว 2 ลก จงหาความนาจะเปนในการหยบลกบอลสขาวทงคเมอ 10.1 หยบลกบอลลกแรกแลวใสคน 10.2 หยบลกบอลลกแรกแลวไมใสคน

วธท ำ ให สแดงทง 3 ลก แทนดวย 1ด , 2ด , 3ด สขาวทง 2 ลก แทนดวย 1ข , 2ข 10.1 หยบลกบอลลกแรกแลวใสคน S = { ( 1ด , 1ด ), ( 1ด , 2ด ), ( 1ด , 3ด ), ( 1ด , 1ข ), ( 1ด , 2ข ) ( 2ด , 1ด ), ( 2ด , 2ด ), ( 2ด , 3ด ), ( 2ด , 1ข ), ( 2ด , 2ข ) ( 3ด , 1ด ), ( 3ด , 2ด ), ( 3ด , 3ด ), ( 3ด , 1ข ), ( 3ด , 2ข ) ( 1ข , 1ด ), ( 1ข , 2ด ), ( 1ข , 3ด ), ( 1ข , 1ข ), ( 1ข , 2ข ) ( 2ข , 1ด ), ( 2ข , 2ด ), ( 2ข , 3ด ), ( 2ข , 1ข ), ( 2ข , 2ข ) }


89



4

n(S) = 25 E = { ( 1ข , 1ข ), ( 1ข , 2ข ), ( 2ข , 1ข ), ( 2ข , 2ข ) } n(E) = 4

ดงนน

n E 4 2P E = = = n S 10 5

10.2 หยบลกบอลลกแรกแลวไมใสคน S = { ( 1ด , 2ด ), ( 1ด , 3ด ), ( 1ด , 1ข ), ( 1ด , 2ข ) ( 2ด , 1ด ), ( 2ด , 3ด ), ( 2ด , 1ข ), ( 2ด , 2ข ) ( 3ด , 1ด ), ( 3ด , 2ด ), ( 3ด , 1ข ), ( 3ด , 2ข ) ( 1ข , 1ด ), ( 1ข , 2ด ), ( 1ข , 3ด ), ( 1ข , 2ข ) ( 2ข , 1ด ), ( 2ข , 2ด ), ( 2ข , 3ด ), ( 2ข , 1ข ) } n(S) = 20 E = { ( 1ข , 2ข ), ( 2ข , 1ข ) } n(E) = 2

ดงนน

n E 2 1P E = = = n S 20 10


90



4

ค ำชแจง : จงตอบค าถามตอไปน 1. ในการโยนเหรยญบาท 1 อน 1 ครง จงหาความนาจะเปนทเหรยญขนหนากอย

วธท ำ โยนเหรยญบาท 1 อน 1 ครง ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน S = { H, T } n(S) = 2 E = { T } n(E) = 1

ดงนน

n E 1P E = = n S 2

2. ถงใบหนงบรรจลกแกวสแดง 1 ลก สขาว 1 ลก และสน าเงน 1 ลก ถาเขยาถงแลวหยบลกแกว ออกมา 2 ลกพรอมกน จงหาความนาจะเปนทจะหยบไดลกแกวสแดง 1 ลก วธท ำ S = { (ด, ข), (ด, น), (ข, น) } n(S) = 3 E = { (ด, ข), (ด, น) } n(E) = 2

ดงนน

n E 2P E = = n S 3

3. โยนเหรยญบาท 3 เหรยญ 1 ครง จงหาความนาจะเปนท 3.1 เหรยญจะออกหวอยางนอย 2 เหรยญ 3.2 เหรยญขนหนาเหมอนกน

วธท ำ โยนเหรยญบาท 3 เหรยญ 1 ครง ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน S = { (H,H,H), (H,H,T), (H,T,H), (H,T,T), (T,H,H), (T,H,T), (T,T,H), (T,T,T) } n(S) = 8 3.1 เหรยญจะออกหวอยางนอย 2 เหรยญ

1E = { (H,H,H), (H,H,T), (H,T,H), (T,H,H) } n( 1E ) = 4

ดงนน

11

n E 4 1P E = = = n S 8 2

ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ

91

เฉลยบตรแบบฝกเสรมกจกรรมกำรเรยนรท 4.1



4

3.2 เหรยญขนหนาเหมอนกน

2E = { (H,H,H), (T,T,T) } n( 2E ) = 2

ดงนน

22

n E 2 1P E = = = n S 8 4

4. ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง จงหาความนาจะเปนท 4.1 ลกเตาขนแตมทเปนพหคณของ 3 4.2 ลกเตาขนแตมท 2 เปนตวประกอบ

วธท ำ ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n(S) = 6 4.1 ลกเตาขนแตมทเปนพหคณของ 3

1E = { 3, 6 } n( 1E ) = 2

ดงนน

11

n E 2 1P E = = = n S 6 3

4.2 ลกเตาขนแตมท 2 เปนตวประกอบ 2E = { 2, 4, 6} n( 2E ) = 3

ดงนน

22

n E 3 1P E = = = n S 6 2

5. การส ารวจเพศของบตรในครอบครวทมบตร 3 คน จงหาความนาจะเปนท 5.1 มบตรคนโตเปนหญง 5.2 มบตรทเปนชายทงสามคน

วธท ำ ครอบครวทมบตร 3 คน ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน S = { (ช,ช,ช), (ช,ช,ญ), (ช,ญ,ช), (ช,ญ,ญ), (ญ,ช,ช), (ญ,ช,ญ), (ญ,ญ,ช), (ญ,ญ,ญ) } n(S) = 8

92

ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ เฉลยบตรแบบฝกเสรมกจกรรมกำรเรยนรท 4.1 (ตอ)



4

5.1 มบตรคนโตเปนหญง

1E = { (ญ,ช,ช), (ญ,ช,ญ), (ญ,ญ,ช), (ญ,ญ,ญ) } n( 1E ) = 4

ดงนน

11

n E 4 1P E = = = n S 8 2

5.2 มบตรทเปนชายทงสามคน 2E = { (ช,ช,ช) } n( 2E ) = 1

ดงนน

22

n E 1P E = = n S 8

6. หนงมลกบอลขนาดเดยวกน 12 ลก เปนลกบอลสขาว 3 ลก สแดง 4 ลก และสฟา 5 ลก ถาสมหยบลกบอลในถงขนมา 1 ลก จงหาความนาจะเปนท 6.1 ไดลกบอลสแดง 6.2 ไดลกบอลสขาวหรอสแดง วธท ำ S = { 1ข , 2ข , 3ข , 1ด , 2ด , 3ด , 4ด , 1ฟ , 2ฟ , 3ฟ , 4ฟ , 5ฟ } n(S) = 12 6.1 ไดลกบอลสแดง

1E = { 1ด , 2ด , 3ด , 4ด } n( 1E ) = 4

ดงนน

11

n E 4 1P E = = = n S 12 3

6.2 ไดลกบอลสขาวหรอสแดง 2E = { 1ข , 2ข , 3ข , 1ด , 2ด , 3ด , 4ด } n( 2E ) = 7

ดงนน

22

n E 7P E = = n S 12

93




4

7. โยนเหรยญ 1 อน แลวทอดลกเตา 1 ลก จงหาความนาจะเปนตอไปน 7.1 เหรยญขนหนากอย แตมเปนจ านวนเฉพาะ 7.2 เหรยญขนหนาอะไรกได แตมตองเทากบ 2 วธท ำ โยนเหรยญ 1 อน แลวทอดลกเตา 1 ลก ผลลพธทเกดขนไดทงหมดมคาดงน S = { (H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6) } n(S) = 12 7.1 เหรยญขนหนากอย แตมเปนจ านวนเฉพาะ

1E = { (T, 2), (T, 3), (T, 5) } n( 1E ) = 3

ดงนน

11

n E 3 1P E = = = n S 12 4

7.2 เหรยญขนหนาอะไรกได แตมตองเทากบ 2 2E = { (H, 2), (T, 2) }

n( 2E ) = 2

ดงนน

22

n E 2 1P E = = = n S 12 6

8. กลองใบหนงมลกบอลสแดง ขาว น าเงน และสม อยางละ 1 ลก หยบลกบอลออกจากกลอง 2 ใบ โดยหยบทละลกและใสคนกอนหยบลกทสอง จงหาความนาจะเปนทจะหยบลกบอลแลวไมไดสขาว วธท ำ S = { (ด, ด), (ด, ข), (ด, น), (ด, ส), (ข, ด), (ข, ข), (ข, น), (ข, ส), (น, ด), (น, ข), (น, น), (น, ส), (ส, ด), (ส, ข), (ส, น), (ส, ส) } n(S) = 16 E = { (ด, ด), (ด, น), (ด, ส), (น, ด), (น, น), (น, ส), (ส, ด), (ส, น), (ส, ส) } n(E) = 9

ดงนน

n E 9P E = = n S 16

94




4

9. สมหยบตวอกษร 1 ตว จากค าวา “Spider Man” จงหาความนาจะเปนทสมเลอกไดสระ วธท ำ S = { a, d, e, i, m, n, p, r, s } n(S) = 9 E = { a, e, I } n(E) = 3

ดงนน

n E 3 1P E = = = n S 9 3

10. ถาน านาย A, B และ C มาเขาแถวเปนเสนตรง จงหาความนาจะเปนทนาย B จะยนอย

หวแถวเสมอ วธท ำ S = { (A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (B, C, A), (C, A, B), (C, B, A) } n(S) = 6 E = { (B, A, C), (B, C, A) } n(E) = 2

ดงนน

n E 2 1P E = = = n S 6 3

95




4

ค ำชแจง : จงตอบค าถามตอไปน 1. ขอสอบแบบถกผดชดหนงมจ านวน 8 ขอ นกเรยนคนหนงเดาค าตอบส าหรบขอสอบแตละขอ จงหา ความนาจะเปนของเหตการณเดาค าตอบของขอสอบ 6 ขอแรกไดเปนค าตอบทถกตอง วธท ำ ขอสอบแบบถกผดชดหนงมจ านวน 8 ขอ นกเรยนคนหนงเดาค าตอบส าหรบ ขอสอบแตละขอ จะได ขอท 1 มวธเลอกตอบได 2 วธ ขอท 2 มวธเลอกตอบได 2 วธ ขอท 3 มวธเลอกตอบได 2 วธ ขอท 4 มวธเลอกตอบได 2 วธ ขอท 5 มวธเลอกตอบได 2 วธ ขอท 6 มวธเลอกตอบได 2 วธ ขอท 7 มวธเลอกตอบได 2 วธ ขอท 8 มวธเลอกตอบได 2 วธ ดงนน n(S) = 2×2×2×2×2×2×2×2 = 82 = 256 วธ เหตการณเดาค าตอบของขอสอบ 6 ขอแรกไดเปนค าตอบทถกตอง จะได ขอท 1 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ขอท 2 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ขอท 3 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ขอท 4 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ขอท 5 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ขอท 6 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ขอท 7 มวธทตอบถกตองได 2 วธ ขอท 8 มวธทตอบถกตองได 2 วธ ดงนน n(E) = 1×1×1×1×1×1×2×2 = 4 วธ

P E = n(E)n(S)

= 4256

= 164


96



4

เฉลยบตรกจกรรมท 4.2 (ตอ)

2. มเรอโดยสารขามฟากระหวางทาคลองสานกบทาสพระยา 2 ขนาดคอ เรอขนาดใหญ 2 ล า และเรอ ขนาดเลก 6 ล า ถานายรหสลบซงพกอยทางฝงสพระยาตองใชเรอขามฟากจากสพระยาไปคลองสาน ทงไปและกลบทกวน จงหาความนาจะเปนของเหตการณทนายรหสลบจะไปดวยเรอขนาดใหญ และ กลบดวยเรอขนาดเลก วธท ำ มเรอขนาดใหญ 2 ล า และเรอขนาดเลก 6 ล า รวมเปน 8 ล า จะได ขามฟากไป มวธเลอกได 8 วธ ขามฟากกลบ มวธเลอกได 8 วธ ดงนน n(S) = 8×8 = 64 วธ เหตการณทนายรหสลบจะไปและกลบดวยเรอขนาดใหญ จะได ขามฟากไป ดวยเรอขนาดใหญมวธเลอกได 2 วธ ขามฟากกลบ ดวยเรอขนาดเลกมวธเลอกได 6 วธ ดงนน n(E) = 2×6 = 12 วธ

P E = n(E)n(S)

= 1264

= 316

3. สรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว จาก a, b, c, d, e และ f โดยไมสนใจความหมาย จงหาความนาจะเปนของเหตการณค านนขนตนดวยอกษร ab วธท ำ สรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว จาก a, b, c, d, e และ f จะได ตวท 1 มวธเลอกได 6 วธ ตวท 2 มวธเลอกได 5 วธ ตวท 3 มวธเลอกได 4 วธ ตวท 4 มวธเลอกได 3 วธ ดงนน n(S) = 6×5×4×3 = 360 วธ สรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว จาก a, b, c, d, e และ f และค านนขนตนดวยอกษร ab จะได ตวท 1 มวธเลอกได 1 วธ คอ a ตวท 2 มวธเลอกได 1 วธ คอ b ตวท 3 มวธเลอกได 4 วธ ตวท 4 มวธเลอกได 3 วธ ดงนน n(E) = 1×1×4×3 = 12 วธ

P E = n(E)n(S)

= 12360

= 130


97



4


4. เดกคนหนงหมนหมายเลขโทรศพท 7 ตว อยางสม จงหาความนาจะเปนทหมายเลขโทรศพททหมน จะขนตนดวย 566 วธท ำ จ านวนวธทงหมดทจะหมนหมายเลขโทรศพท 7 ตว จะได ต าแหนงท 1 มวธเลอกได 10 วธ ต าแหนงท 2 มวธเลอกได 10 วธ ต าแหนงท 3 มวธเลอกได 10 วธ ต าแหนงท 4 มวธเลอกได 10 วธ ต าแหนงท 5 มวธเลอกได 10 วธ ต าแหนงท 6 มวธเลอกได 10 วธ ต าแหนงท 7 มวธเลอกได 10 วธ ดงนน n(S) = 10×10×10×10×10×10×10 = 710 วธ จ านวนวธทจะหมนหมายเลขโทรศพททขนตนดวย 566 และทเหลออก 4 หมายเลข จะได ต าแหนงท 1 มวธเลอกได 1 วธ ต าแหนงท 2 มวธเลอกได 1 วธ ต าแหนงท 3 มวธเลอกได 1 วธ ต าแหนงท 4 มวธเลอกได 10 วธ ต าแหนงท 5 มวธเลอกได 10 วธ ต าแหนงท 6 มวธเลอกได 10 วธ ต าแหนงท 7 มวธเลอกได 10 วธ ดงนน n(E) = 1×1×1×10×10×10×10 = 410 วธ

P E = n(E)n(S)

= 410710

= 1310

= 11000


98



4


5. หองประชมหองหนงมประต 8 ประต เดกคนหนงเดนเขาและออกจากหองประชมน จงหาความนาจะเปนของเหตการณทเดกคนนจะเดนเขาและออกดวยประตเดยวกน วธท ำ จ านวนวธทงหมดทจะเขาและออกประตใดกได จะได เขาประต มวธเลอกได 8 วธ ออกประต มวธเลอกได 8 วธ ดงนน n(S) = 8×8 = 64 วธ จ านวนวธทงหมดทจะเขาและออกดวยประตเดยวกน จะได เขาประต มวธเลอกได 8 วธ ออกประต มวธเลอกใหซ ากบประตเขาได 1 วธ ดงนน n(E) = 8×1 = 8 วธ

P E = n(E)n(S)

= 864

= 18

6. เลอกตวอยาง 3 ตว อยางไมเจาะจง { 1, 2, 3, 4 } โดยเลอกทละตว และไมซ ากน มาสราง เปนจ านวนทมสามหลก ความนาจะเปนทจะไดตวเลขสามตวมผลบวกไมมากกวา 8 วธท ำ เลอกตวอยาง 3 ตว จาก 1, 2, 3, 4 จะได ตวท 1 มวธเลอกได 4 วธ ตวท 2 มวธเลอกทไมซ ากบตวท 1 ได 3 วธ ตวท 3 มวธเลอกทไมซ ากบตวท 1 และตวท 2 ได 2 วธ ดงนน n(S) = 4×3×2 = 24 วธ ตวเลขสามตวทมผลบวกไมมากกวา 8 จะได ผลบวกเทากบ 8 ไดจากเลอกตวเลข 1, 3, 4 มจ านวนวธทไดผลบวก 8 = 3! = 6 วธ ผลบวกเทากบ 7 ไดจากเลอกตวเลข 1, 2, 4 มจ านวนวธทไดผลบวก 7 = 3! = 6 วธ ผลบวกเทากบ 6 ไดจากเลอกตวเลข 1, 2, 3 มจ านวนวธทไดผลบวก 6 = 3! = 6 วธ ดงนน n(E) = 6 + 6 + 6 = 18 วธ

P E = n(E)n(S)

= 1824

= 34

99



4



7. ตองการสรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว ซงเอามาจากค าวา “BEAUTY” โดยค าทสราง ไมจ าเปนตองมความหมาย จงหาความนาจะเปนของเหตการณค าทสรางตองมตวอกษร Y วธท ำ ตองการสรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว ซงเอามาจากค าวา “BEAUTY” โดยค าทสรางไมจ าเปนตองมความหมาย จะได ตวท 1 มวธเลอกได 6 วธ ตวท 2 มวธเลอกได 5 วธ ตวท 3 มวธเลอกได 4 วธ ตวท 4 มวธเลอกได 3 วธ ดงนน n(S) = 6×5×4×3 = 360 วธ เหตการณค าทสรางไมมตวอกษร Y จะได ตวท 1 มวธเลอกได 5 วธ ตวท 2 มวธเลอกได 4 วธ ตวท 3 มวธเลอกได 3 วธ ตวท 4 มวธเลอกได 2 วธ ดงนน เหตการณค าทสรางไมมตวอกษร Y = 5×4×3×2 = 120 วธ ดงนน n(E) = จ านวนวธทสรางค าไดทงหมด - จ านวนวธทค าทสรางไมมตวอกษร Y = 360 - 120 = 240 วธ

P E = n(E)n(S)

= 240360

= 23

8. ก าหนด A = { a, b, c } และ B = { 4, 5 } ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป B จงหา ความนาจะเปนท r จะเปนฟงกชนจาก A ไป B วธท ำ ก าหนด A = { a, b, c } และ B = { 4, 5 } ; n(A×B) = 3×2 = 6 จ านวนความสมพนธจาก A ไป B เทากบ 62 = 64 ดงนน n(S) = 64 จ านวนฟงกชนจาก A ไป B เทากบ 32 = 8 ดงนน n(E) = 8

P E = n(E)n(S)

= 864

= 18

100



4



9. ครคนหนง นกเรยนชาย 2 คน และนกเรยนหญง 2 คน มาถายรปรวมกบคร โดยยนเปนแถวยาว จงหาความนาจะเปนของเหตการณทครยนรม วธท ำ ครคนหนง นกเรยนชาย 2 คน และนกเรยนหญง 2 คน รวมเปน 5 คน น ามายนเปนแถวยาว จะได

5! = 5×4×3×2×1 = 120 วธ

ดงนน n(S) = 120 วธ เหตการณทครยนรม จะได ครยนรมได 2 วธ คนอนทเหลออก 4 คน มวธยนได 4! = 4×3×2×1 = 24 วธ ดงนน n(E) = 2×24 = 48 วธ

P E = n(E)n(S)

= 48120

= 25

10. โยนลกเตา 1 ลก และหยบไพ 1 ใบจากส ารบอยางสม จงหาความนาจะเปนของเหตการณทลกเตา หงายแตม 4 หรอหยบไพได 10 โพด า วธท ำ จ านวนทงหมดจากการโยนลกเตา 1 ลก และหยบไพ 1 ใบจากส ารบอยางสม จะได โยนลกเตา 1 ลก มวธเลอกได 6 วธ หยบไพ 1 ใบ จากส ารบ มวธเลอกได 52 วธ ดงนน n(S) = 6×52 = 312 วธ จ านวนของเหตการณทลกเตาหงายแตม 4 หรอหยบไพได 10 โพด า จะได โยนลกเตา 1 ลก ลกเตาหงายแตม 4 มวธเลอกได 1 วธ หยบไพ 1 ใบ จากส ารบ ได 10 โพด า มวธเลอกได 1 วธ ดงนน n(E) = 1×1 = 1 วธ

P E = n(E)n(S)

= 1312

101



4



ค ำชแจง : จงตอบค าถามตอไปน

1. หองประชมหองหนงมประต 8 ประต เดกคนหนงเดนเขาและออกจากหองประชมน จงหาความนาจะเปนของเหตการณทเดกคนนเมอเดนเขาประตใดแลวจะออกประตนนไมได

วธท ำ จ านวนวธทงหมดทจะเขาและออกประตใดกได จะได เขาประต มวธเลอกได 8 วธ ออกประต มวธเลอกได 8 วธ ดงนน n(S) = 8×8 = 64 วธ จ านวนวธทงหมดทจะเขาและออกดวยประตเดยวกนไมได จะได เขาประต มวธเลอกได 8 วธ ออกประต มวธเลอกหามออกประตทเขาได 7 วธ ดงนน n(E) = 8×7 = 56 วธ

P E = n(E)n(S)

= 5664

= 78

2. ครคนหนง นกเรยนชาย 3 คน และนกเรยนหญง 3 คน มาถายรปรวมกบคร โดยยนเปนแถวยาว จงหาความนาจะเปนของเหตการณทครยนรม วธท ำ ครคนหนง นกเรยนชาย 3 คน และนกเรยนหญง 3 คน รวมเปน 7 คน น ามายนเปนแถวยาว จะได

7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5,040

ดงนน n(S) = 5,040 วธ เหตการณทครยนรม จะได ครยนรมได 2 วธ คนอนทเหลออก 6 คน มวธยนได 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720 วธ ดงนน n(E) = 2×720 = 1,440 วธ

P E = n(E)n(S)

= 1,4405,040

= 27


102



4

เฉลยบตรงำนท 4.2

3. ขอสอบแบบถกผดชดหนงมจ านวน 5 ขอ นกเรยนคนหนงเดาค าตอบส าหรบขอสอบแตละขอ จงหาความนาจะเปนของเหตการณเดาค าตอบของขอสอบ 5 ไดเปนค าตอบทถกตอง วธท ำ ขอสอบแบบถกผดชดหนงมจ านวน 5 ขอ นกเรยนคนหนงเดาค าตอบส าหรบ ขอสอบแตละขอ จะได ขอท 1 มวธเลอกตอบได 2 วธ ขอท 2 มวธเลอกตอบได 2 วธ ขอท 3 มวธเลอกตอบได 2 วธ ขอท 4 มวธเลอกตอบได 2 วธ ขอท 5 มวธเลอกตอบได 2 วธ ดงนน n(S) = 2×2×2×2×2 = 52 = 32 วธ เหตการณเดาค าตอบของขอสอบ 5 ขอไดเปนค าตอบทถกตอง จะได ขอท 1 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ขอท 2 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ขอท 3 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ขอท 4 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ขอท 5 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ดงนน n(E) = 1×1×1×1×1 = 1 วธ

P E = n(E)n(S)

= 132

4. โยนลกเตา 1 ลก และหยบไพ 1 ใบจากส ารบอยางสม จงหาความนาจะเปนของเหตการณทลกเตา หงายแตม 6 หรอหยบไพไดคงโพแดง วธท ำ จ านวนทงหมดจากการโยนลกเตา 1 ลก และหยบไพ 1 ใบจากส ารบอยางสม จะได โยนลกเตา 1 ลก มวธเลอกได 6 วธ หยบไพ 1 ใบ จากส ารบ มวธเลอกได 52 วธ ดงนน n(S) = 6×52 = 312 วธ จ านวนของเหตการณทลกเตาหงายแตม 6 หรอหยบไพไดคงโพแดง จะได โยนลกเตา 1 ลก ลกเตาหงายแตม 6 มวธเลอกได 1 วธ หยบไพ 1 ใบ จากส ารบ ไดคงโพแดง มวธเลอกได 1 วธ ดงนน n(E) = 1×1 = 1 วธ

P E = n(E)n(S)

= 1312

103



4


เฉลยบตรงำนท 4.2 (ตอ)

5. ตองการสรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว ซงเอามาจากค าวา “PROBABILITY” โดยค าทสราง ไมจ าเปนตองมความหมาย จงหาความนาจะเปนของเหตการณค าทสรางตองมตวอกษร Y วธท ำ ตองการสรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว ซงเอามาจากค าวา “PROBABILITY” โดยค าทสรางไมจ าเปนตองมความหมาย จะได ตวท 1 มวธเลอกได 11 วธ ตวท 2 มวธเลอกได 10 วธ ตวท 3 มวธเลอกได 9 วธ ตวท 4 มวธเลอกได 8 วธ ดงนน n(S) = 11×10×9×8 = 7,920 วธ เหตการณค าทสรางไมมตวอกษร Y จะได ตวท 1 มวธเลอกได 10 วธ ตวท 2 มวธเลอกได 9 วธ ตวท 3 มวธเลอกได 8 วธ ตวท 4 มวธเลอกได 7 วธ ดงนน เหตการณค าทสรางไมมตวอกษร Y = 10×9×8×7 = 5,040 วธ ดงนน n(E) = จ านวนวธทสรางค าไดทงหมด - จ านวนวธทค าทสรางไมมตวอกษร Y = 7,920 – 5,040 = 2,880 วธ

P E = n(E)n(S)

= 2,8807,920

= 711

6. มเรอโดยสารขามฟากระหวางทาคลองสานกบทาสพระยา 2 ขนาดคอ เรอขนาดใหญ 2 ล า และเรอ ขนาดเลก 6 ล า ถานายรหสลบซงพกอยทางฝงสพระยาตองใชเรอขามฟากจากสพระยาไปคลองสาน ทงไปและกลบทกวน จงหาความนาจะเปนของเหตการณทนายรหสลบจะไปและกลบดวยเรอขนาดเลก วธท ำ มเรอขนาดใหญ 2 ล า และเรอขนาดเลก 6 ล า รวมเปน 8 ล า จะได ขามฟากไป มวธเลอกได 8 วธ ขามฟากกลบ มวธเลอกได 8 วธ ดงนน n(S) = 8×8 = 64 วธ

104



4



เหตการณทนายรหสลบจะไปและกลบดวยเรอขนาดใหญ จะได ขามฟากไป ดวยเรอขนาดเลกมวธเลอกได 6 วธ ขามฟากกลบ ดวยเรอขนาดเลกมวธเลอกได 6 วธ ดงนน n(E) = 6×6 = 36 วธ

P E = n(E)n(S)

= 3664

= 916

7. สรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว จาก a, b, c, d, e และ f โดยไมสนใจความหมาย จงหาความนาจะเปนของเหตการณค านนขนตนดวยอกษร a วธท ำ สรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว จาก a, b, c, d, e และ f จะได ตวท 1 มวธเลอกได 6 วธ ตวท 2 มวธเลอกได 5 วธ ตวท 3 มวธเลอกได 4 วธ ตวท 4 มวธเลอกได 3 วธ ดงนน n(S) = 6×5×4×3 = 360 วธ สรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว จาก a, b, c, d, e และ f และค านนขนตนดวยอกษร a จะได ตวท 1 มวธเลอกได 1 วธ ตวท 2 มวธเลอกได 5 วธ ตวท 3 มวธเลอกได 4 วธ ตวท 4 มวธเลอกได 3 วธ ดงนน n(E) = 1×5×4×3 = 60 วธ

P E = n(E)n(S)

= 60360

= 16

8. สรางจ านวนเตมทม 4 หลก จากตวเลข 1, 2, 3 และ 4 จงหาความนาจะเปนของเหตการณ ทจ านวนทสรางมคามากกวา 2,000 วธท ำ สรางจ านวนเตมทม 4 หลก จากตวเลข 1, 2, 3 และ 4 จะได หลกพน มวธเลอกได 4 วธ คอ 1, 2, 3, 4 หลกรอย มวธเลอกได 4 วธ คอ 1, 2, 3, 4 หลกสบ มวธเลอกได 4 วธ คอ 1, 2, 3, 4 หลกหนวย มวธเลอกได 4 วธ คอ 1, 2, 3, 4 ดงนน n(S) = 4×4×4×4 = 256 วธ

105



4



เหตการณทจ านวนทสรางมคามากกวา 2,000 จะได หลกพน มวธเลอกได 3 วธ คอ 2, 3, 4 หลกรอย มวธเลอกได 4 วธ คอ 1, 2, 3, 4 หลกสบ มวธเลอกได 4 วธ คอ 1, 2, 3, 4 หลกหนวย มวธเลอกได 4 วธ คอ 1, 2, 3, 4 ดงนน n(E) = 3×4×4×4 = 192 วธ

P E = n(E)n(S)

= 192256

= 34

9. จดผหญง 5 คน นงถายรปในแนวเสนตรง ในจ านวนนมนองตนหอมอยดวย จงหาความนาจะเปน ทจะจดใหนองตนหอมนงอยหวแถวเสมอ วธท ำ จดผหญง 5 คน นงถายรปในแนวเสนตรง จะได ผหญงคนท 1 มวธเลอกนงได 5 วธ ผหญงคนท 2 มวธเลอกนงได 4 วธ ผหญงคนท 3 มวธเลอกนงได 3 วธ ผหญงคนท 4 มวธเลอกนงได 2 วธ ผหญงคนท 5 มวธเลอกนงได 1 วธ ดงนน n(S) = 5×4×3×2×1 = 120 วธ จดใหนองตนหอมนงอยหวแถวเสมอ จะได ผหญงคนท 1 มวธเลอกนงได 1 วธ คอ นองตนหอม ผหญงคนท 2 มวธเลอกนงได 4 วธ ผหญงคนท 3 มวธเลอกนงได 3 วธ ผหญงคนท 4 มวธเลอกนงได 2 วธ ผหญงคนท 5 มวธเลอกนงได 1 วธ ดงนน n(E) = 1×4×3×2×1 = 24 วธ

P E = n(E)n(S)

= 24120

= 15

106



4



10. ก าหนด A = { 1, 2 }, B = { 3, 4, 5 } ถา f เปนฟงกชนจาก A ไป B จงหาความนาจะเปนท f เปนฟงกชน 1 – 1 จาก A ไป B วธท ำ ก าหนด A = { 1, 2 }, B = { 3, 4, 5 } จ านวนฟงกชนจาก A ไป B เทากบ 23 = 9 ดงนน n(S) = 9 จ านวนฟงกชน 1 – 1 A ไป B เทากบ 3×2 = 6 ดงนน n(E) = 6

P E = n(E)n(S)

= 69

= 23

107



4



ค ำชแจง : จงตอบค าถามตอไปน 1. สรางจ านวนเตมทม 4 หลก จากตวเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 จงหาความนาจะเปนของเหตการณ ทจ านวนทสรางมคามากกวา 2,000 วธท ำ สรางจ านวนเตมทม 4 หลก จากตวเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 จะได หลกพน มวธเลอกได 5 วธ คอ 1, 2, 3, 4, 5 หลกรอย มวธเลอกได 5 วธ คอ 1, 2, 3, 4, 5 หลกสบ มวธเลอกได 5 วธ คอ 1, 2, 3, 4, 5 หลกหนวย มวธเลอกได 5 วธ คอ 1, 2, 3, 4, 5 ดงนน n(S) = 5×5×5×5 = 625 วธ เหตการณทจ านวนทสรางมคามากกวา 2,000 จะได หลกพน มวธเลอกได 4 วธ คอ 2, 3, 4, 5 หลกรอย มวธเลอกได 5 วธ คอ 1, 2, 3, 4, 5 หลกสบ มวธเลอกได 5 วธ คอ 1, 2, 3, 4, 5 หลกหนวย มวธเลอกได 5 วธ คอ 1, 2, 3, 4, 5 ดงนน n(E) = 4×5×5×5 = 500 วธ

P E = n(E)n(S)

= 500625

= 45

2. จดผหญง 4 คน นงถายรปในแนวเสนตรง ในจ านวนนมนองน าเพชรอยดวย จงหาความนาจะเปน ทจะจดใหนองน าเพชรนงอยหวแถวเสมอ วธท ำ จดผหญง 5 คน นงถายรปในแนวเสนตรง จะได ผหญงคนท 1 มวธเลอกนงได 4 วธ ผหญงคนท 2 มวธเลอกนงได 3 วธ ผหญงคนท 3 มวธเลอกนงได 2 วธ ผหญงคนท 4 มวธเลอกนงได 1 วธ ดงนน n(S) = 4×3×2×1 = 24 วธ


บตรแบบฝกเสรมกจกรรมกำรเรยนรท 4.2

108



4

จดใหนองน าเพชรนงอยหวแถวเสมอ จะได ผหญงคนท 1 มวธเลอกนงได 1 วธ คอ นองน าเพชร ผหญงคนท 2 มวธเลอกนงได 3 วธ ผหญงคนท 3 มวธเลอกนงได 2 วธ ผหญงคนท 4 มวธเลอกนงได 1 วธ ดงนน n(E) = 1×3×2×1 = 6 วธ

P E = n(E)n(S)

= 624

= 14

3. สรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว จาก a, b, c, d, e และ f โดยไมสนใจความหมาย จงหาความนาจะเปนของเหตการณค านนขนตนดวยอกษร c วธท ำ สรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว จาก a, b, c, d, e และ f จะได ตวท 1 มวธเลอกได 6 วธ ตวท 2 มวธเลอกได 5 วธ ตวท 3 มวธเลอกได 4 วธ ตวท 4 มวธเลอกได 3 วธ ดงนน n(S) = 6×5×4×3 = 360 วธ สรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว จาก a, b, c, d, e และ f และค านนขนตนดวยอกษร c จะได ตวท 1 มวธเลอกได 1 วธ ตวท 2 มวธเลอกได 5 วธ ตวท 3 มวธเลอกได 4 วธ ตวท 4 มวธเลอกได 3 วธ ดงนน n(E) = 1×5×4×3 = 60 วธ

P E = n(E)n(S)

= 60360

= 16

109



4


เฉลยบตรแบบฝกเสรมกจกรรมกำรเรยนรท 4.2 (ตอ)

4. ขอสอบแบบถกผดชดหนงมจ านวน 8 ขอ นกเรยนคนหนงเดาค าตอบส าหรบขอสอบแตละขอ จงหาความนาจะเปนของเหตการณเดาค าตอบของขอสอบ 8 ขอไดเปนค าตอบทถกตอง วธท ำ ขอสอบแบบถกผดชดหนงมจ านวน 8 ขอ นกเรยนคนหนงเดาค าตอบส าหรบ ขอสอบแตละขอ จะได ขอท 1 มวธเลอกตอบได 2 วธ ขอท 2 มวธเลอกตอบได 2 วธ ขอท 3 มวธเลอกตอบได 2 วธ ขอท 4 มวธเลอกตอบได 2 วธ ขอท 5 มวธเลอกตอบได 2 วธ ขอท 6 มวธเลอกตอบได 2 วธ ขอท 7 มวธเลอกตอบได 2 วธ ขอท 8 มวธเลอกตอบได 2 วธ ดงนน n(S) = 2×2×2×2×2×2×2×2 = 82 = 256 วธ เหตการณเดาค าตอบของขอสอบ 8 ขอไดเปนค าตอบทถกตอง จะได ขอท 1 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ขอท 2 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ขอท 3 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ขอท 4 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ขอท 5 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ขอท 6 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ขอท 7 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ขอท 8 มวธทตอบถกตองได 1 วธ ดงนน n(E) = 1×1×1×1×1×1×1×1 = 1 วธ

P E = n(E)n(S)

= 1256

110



4



5. ตองการสรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว ซงเอามาจากค าวา “BEAUTY” โดยค าทสราง ไมจ าเปนตองมความหมาย จงหาความนาจะเปนของเหตการณค าทสรางขนตองขนตนและลงทาย ดวยพยญชนะ วธท ำ ตองการสรางค าทประกอบดวยตวอกษร 4 ตว ซงเอามาจากค าวา “BEAUTY” โดยค าทสรางไมจ าเปนตองมความหมาย จะได ตวท 1 มวธเลอกได 6 วธ ตวท 2 มวธเลอกได 5 วธ ตวท 3 มวธเลอกได 4 วธ ตวท 4 มวธเลอกได 3 วธ ดงนน n(S) = 6×5×4×3 = 360 วธ เหตการณค าทสรางขนตองขนตนและลงทายดวยพยญชนะ จะได ตวท 1 ค าทตองขนตนดวยพยญชนะเลอกได 3 วธ ตวท 4 ค าทตองลงทายดวยพยญชนะเลอกได 2 วธ ตวท 2 มวธเลอกได 4 วธ ตวท 3 มวธเลอกได 3 วธ ดงนน n(E) = 3×2×4×3 = 72 วธ

P E = n(E)n(S)

= 72360

= 15

6. โยนลกเตา 1 ลก และหยบไพ 1 ใบจากส ารบอยางสม จงหาความนาจะเปนของเหตการณทลกเตา หงายแตม 3 หรอ 5 หรอหยบไพไดคงโพด า วธท ำ จ านวนทงหมดจากการโยนลกเตา 1 ลก และหยบไพ 1 ใบจากส ารบอยางสม จะได โยนลกเตา 1 ลก มวธเลอกได 6 วธ หยบไพ 1 ใบ จากส ารบ มวธเลอกได 52 วธ ดงนน n(S) = 6×52 = 312 วธ จ านวนของเหตการณทลกเตาหงายแตม 3 หรอ 5 หรอหยบไพไดคงโพด า จะได โยนลกเตา 1 ลก ลกเตาหงายแตม 3 หรอ 5 มวธเลอกได 2 วธ หยบไพ 1 ใบ จากส ารบ ไดคงโพด า มวธเลอกได 1 วธ ดงนน n(E) = 2×1 = 2 วธ

P E = n(E)n(S)

= 2312

= 1156

111



4



7. มเรอโดยสารขามฟากระหวางทาคลองสานกบทาสพระยา 2 ขนาดคอ เรอขนาดใหญ 2 ล า และเรอ ขนาดเลก 6 ล า ถานายรหสลบซงพกอยทางฝงสพระยาตองใชเรอขามฟากจากสพระยาไปคลองสาน ทงไปและกลบทกวน จงหาความนาจะเปนของเหตการณทนายรหสลบจะไปและกลบดวยเรอขนาดใหญ วธท ำ มเรอขนาดใหญ 2 ล า และเรอขนาดเลก 6 ล า รวมเปน 8 ล า จะได ขามฟากไป มวธเลอกได 8 วธ ขามฟากกลบ มวธเลอกได 8 วธ ดงนน n(S) = 8×8 = 64 วธ เหตการณทนายรหสลบจะไปและกลบดวยเรอขนาดใหญ จะได ขามฟากไป ดวยเรอขนาดใหญมวธเลอกได 2 วธ ขามฟากกลบ ดวยเรอขนาดใหญมวธเลอกได 2 วธ ดงนน n(E) = 2×2 = 4 วธ

P E = n(E)n(S)

= 464

= 116

8. ครคนหนง นกเรยนชาย 3 คน และนกเรยนหญง 3 คน มาถายรปรวมกบคร โดยยนเปนแถวยาว จงหาความนาจะเปนของเหตการณทครยนตรงกลาง วธท ำ ครคนหนง นกเรยนชาย 3 คน และนกเรยนหญง 3 คน รวมเปน 7 คน น ามายนเปนแถวยาว จะได

7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5,040

ดงนน n(S) = 5,040 วธ เหตการณทครยนตรงกลาง จะได ครยนตรงกลางได 1 วธ คนอนทเหลออก 6 คน มวธยนได 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720 วธ ดงนน n(E) = 1×720 = 720 วธ

P E = n(E)n(S)

= 7205,040

= 17

112



4



9. ก าหนด A = { 1, 2, 3, 4 } และ B = { 5, 6, 7 } ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป B จงหาความนาจะเปนท r จะเปนฟงกชนจาก A ไป B วธท ำ ก าหนด A = { 1, 2, 3, 4 } และ B = { 5, 6, 7 } ; n(A×B) = 3×4 = 12 จ านวนความสมพนธจาก A ไป B เทากบ 123 ดงนน n(S) = 64 จ านวนฟงกชนจาก A ไป B เทากบ 43 ดงนน n(E) = 8

P E = n(E)n(S)

= 43123

= 183

= 16,561

10. มจดหมายทแตกตางกน 4 ฉบบ ตองการทงจดหมายทงหมดในตไปรษณยซงมทงหมด 6 ต จงหาความนาจะเปนทจดหมายแตละฉบบไมทงซ าตกน วธท ำ จดหมายฉบบท 1 มวธการเลอกทงได 6 วธ จดหมายฉบบท 2 มวธการเลอกทงได 6 วธ จดหมายฉบบท 3 มวธการเลอกทงได 6 วธ จดหมายฉบบท 4 มวธการเลอกทงได 6 วธ ดงนน n(S) = 6×6×6×6 = 1,296 จดหมายฉบบท 1 มวธการเลอกทงได 6 วธ จดหมายฉบบท 2 มวธการเลอกทงได 5 วธ จดหมายฉบบท 3 มวธการเลอกทงได 4 วธ จดหมายฉบบท 4 มวธการเลอกทงได 3 วธ ดงนน n(E) = 6×5×4×3 = 360

P E = n(E)n(S)

= 3601,296

= 518

113



4




, P(B) = 12




วธท ำ 1) จาก P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

23

= 12

+ 12

- P(A B)

P(A B) = 1 - 23

= 3 - 23

= 13


2) จาก P (A ) = 1 - P(A)

= 1 - 12

= 12

ดงนน P (A ) เทากบ 12

3) จาก P (B ) = 1 - P(B)

= 1 - 12

= 12

ดงนน P (B ) เทากบ 12

กฎบำงประกำรของควำมนำจะเปน เฉลยบตรกจกรรมท 4.3

114



4

4) จาก A B = (A B) จะได P (A B ) = P (A B) = 1 - P(A B)

= 1 - 23

= 13


5) จาก P (A B ) = P (A) - P (A B)

= 12

- 13

= 16


6) จาก P (B A ) = P (B) - P (B A)

= 12

- 13

= 16




115



4

g

2. จากประวตผปวยของคลนกแหงหนงทปวยเปนโรคภมแพ หรอโรคความดนโลหตสง จ านวน 60 คน พบวามผปวยโรคภมแพ 26 คน มผปวยโรคภมแพและโรคความดนโลหตสง 18 คน ถาสมประวต ผปวย 1 ราย จงหาความนาจะเปนทจะได 1) ผปวยเปนโรคภมแพเพยงอยางเดยว 2) ผปวยโรคความดนโลหตสงเพยงอยางเดยว วธท ำ ให S แทนแซมเปลสเปซ ม n(S) = 60 P(S) เปนความนาจะเปนทสมจากผปวยของคลนกแหงหนง จะได P(S) = 1 A แทนเหตการณผปวยโรคภมแพ ม n(A) = 26

P(A) เปนความนาจะเปนทสมผปวยโรคภมแพ จะได P(A) =

2660

B แทนเหตการณผปวยโรคความดนโรหตสง ม n(B) = ? P(B) เปนความนาจะเปนทสมบผปวยโรคความดนโรหตสง จะได P(B) = ? A B เปนเซตของผปวยโรคภมแพและโรคความดนโลหตสง ม n(A B) = 18 P(A B) เปนความนาจะเปนทสมไดผปวยโรคภมแพและโรคความดนโลหตสง

จะได P(A B) =

1860

A B เปนเซตของผปวยโรคภมแพหรอโรคความดนโลหตสง ม P(A B) = 60 P(A B) เปนความนาจะเปนทสมไดผปวยโรคภมแพหรอโรคความดนโลหตสง

จะได P(A B) = 6060

จาก P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

6060

= 2660

+ P(B) - 1860

P(B) = 6060

- 2660

+ 1860

= 60 - 26+1860

= 5260

116



4



1) ผปวยเปนโรคภมแพเพยงอยางเดยว

วธท ำ ความนาจะเปนทจะไดผปวยเปนโรคภมแพเพยงอยางเดยว = P(A -B)P(S)

= 860

= 215

2) ผปวยโรคความดนโลหตสงเพยงอยางเดยว

วธท ำ ความนาจะเปนทจะไดผปวยโรคความดนโลหตสงเพยงอยางเดยว = P(B - A)P(S)

= 3460

= 1730

117



4



A B

8 18 34

S

3. จากการส ารวจนกเรยนกลมหนงจ านวน 40 คน พบวาม 18 คน ดหนงสอวนศกร 22 คน ดหนงสอวนเสาร 14 คน ดหนงสอวนอาทตย 11 คน ดหนงสอวนศกรและวนเสาร 8 คน ดหนงสอวนเสารและวนอาทตย 5 คน ดหนงสอวนศกรและวนอาทตย 3 คน ดหนงสอวนศกร วนเสาร และวนอาทตย ถาสมนกเรยนในกลมนมา 1 คน จงหาความนาจะเปนทจะได 1) นกเรยนทดหนงสอวนศกร หรอวนเสาร หรอวนอาทตย 2) นกเรยนทไมไดดหนงสอวนใดเลยจากวนทกลาวมาทงหมด 3) นกเรยนทดหนงสอเพยงวนเดยว 4) นกเรยนทดหนงสอเพยง 2 วน

วธท ำ ให S แทนแซมเปลสเปซ ม n(S) = 40 A แทนเหตการณทคนกลมนชอบสแดง ม n(A) = 18 B แทนเหตการณทคนกลมนชอบสขาว ม n(B) = 22 C แทนเหตการณทคนกลมนชอบสน าเงน ม n(C) = 14 A B แทนเหตการณทคนกลมนชอบสแดงและสขาว ม n(A B) = 11 A C แทนเหตการณทคนกลมนชอบสแดงและสน าเงน ม n(A C) = 8 B C แทนเหตการณทคนกลมนชอบสขาวและสน าเงน ม n(B C) = 5 A B C แทนเหตการณทคนกลมนชอบทงสามส ม n(A B C) = 3

118



4



จากทก าหนด เขยนจ านวนคนในแตละเซตในแผนภาพเวนน – ออยเลอร ไดดงน 1) จ านวนนกเรยนทดหนงสอวนศกร หรอวนเสาร หรอวนอาทตย เทากบ 33 คน

ดงนน ความนาจะเปนทสมนกเรยนในกลมนมา 1 คน

จะไดนกเรยนทดหนงสอวนศกร หรอวนเสาร หรอวนอาทตย = 3340

2) จ านวนนกเรยนทไมไดดหนงสอวนใดเลยจากวนทกลาวมาทงหมด เทากบ 7 คน ดงนน ความนาจะเปนทสมนกเรยนในกลมนมา 1 คน

จะไดนกเรยนทไมไดดหนงสอวนใดเลยจากวนทกลาวมาทงหมด = 740

3) จ านวนนกเรยนทดหนงสอเพยงวนเดยว เทากบ 2 + 9 + 4 = 15 คน ดงนน ความนาจะเปนทสมนกเรยนในกลมนมา 1 คน

จะไดนกเรยนทดหนงสอเพยงวนเดยว = 1540

= 38

4) จ านวนนกเรยนทดหนงสอเพยง 2 วน เทากบ 8 + 2 + 5 = 15 คน ดงนน ความนาจะเปนทสมนกเรยนในกลมนมา 1 คน

จะไดนกเรยนทดหนงสอเพยง 2 วน =

1540

= 38

A B

C

2 8 9

3 5 2

4

7

S

119



4




, P(B) = 12





P(A B) = 13

+ 12

- 14

P(A B) = 4 +6 - 312

= 712


2) จาก P (A ) = 1 - P(A)

= 1 - 13

= 23


3) จาก P (B ) = 1 - P(B)

= 1 - 12

= 12




120



4


= 1 - 712

= 512


5) จาก P (A B ) = P (A) - P (A B)

= 13

- 14

= 112


6) จาก P (B A ) = P (B) - P (B A)

= 12

- 14

= 14


121



4



2. ผลการสอบปลายภาคเรยนของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 จ านวน 120 คน พบวาสอบผาน วชาคณตศาสตร 75 คน สอบผานวชาเคม 85 คน สอบตกวชาคณตศาสตรและวชาเคม 10 คน ถาสมนกเรยนในกลมนมา 1 คน จงหาความนาจะเปนทจะได 1) นกเรยนทสอบผานทงสองวชา 2) นกเรยนทสอบผานเพยงวชาเดยว 3) นกเรยนทสอบผานวชาคณตศาสตรหรอวชาเคม วธท ำ ให S แทนแซมเปลสเปซ ม n(S) = 120 A แทนเหตการณสอบผานวชาคณตศาสตร ม n(A) = 75 B แทนเหตการณสอบผานวชาเคม ม n(B) = 85 (A B) แทนเหตการณสอบตกวชาคณตศาสตรและวชาเคม ม n (A B) = 10 (A B) แทนเหตการณสอบตกวชาคณตศาสตรและวชาเคม ม n (A B) = 110 จาก (A B) = A + B - A B 110 = 75 + 85 - A B A B = 160 - 110 A B = 50 จากทก าหนด เขยนจ านวนคนในแตละเซตในแผนภาพเวนน – ออยเลอร ไดดงน

122



4



A B

25 50 35

S

10

1) จ านวนนกเรยนทสอบผานทงสองวชา เทากบ 50 คน


จะไดนกเรยนทสอบผานทงสองวชา = 50120

= 512

2) จ านวนนกเรยนทสอบผานเพยงวชาเดยว เทากบ 25 + 35 = 60 คน ดงนน ความนาจะเปนทสมนกเรยนในกลมนมา 1 คน

จะไดนกเรยนทสอบผานเพยงวชาเดยว = 60120

= 12

3) จ านวนนกเรยนทสอบผานวชาคณตศาสตรหรอวชาเคม เทากบ 25 + 50 + 35 = 110 คน ดงนน ความนาจะเปนทสมนกเรยนในกลมนมา 1 คน

นกเรยนทสอบผานวชาคณตศาสตรหรอวชาเคม = 110120

= 1112

3. จากการส ารวจนกเรยนจ านวน 50 คน พบวาม 20 คน ชวยพอแมกวาดบาน 20 คน ชวยพอแมปรงอาหาร 18 คน ชวยพอแมลางจาน 7 คน ชวยพอแมกวาดบานและปรงอาหาร 8 คน ชวยพอแมปรงอาหารและลางจาน 9 คน ชวยพอแมกวาดบานและลางจาน 5 คน ชวยพอแมท าทงสามอยาง ถาสมนกเรยนมา 1 คน จากนกเรยนในกลมน จงหาความนาจะเปนทจะได 1) นกเรยนทไมไดชวยพอแมท างานอยางใดอยางหนงทกลาวมาเลย 2) นกเรยนทชวยพอแมท างานอยางเดยว 3) นกเรยนทชวยพอแมท างานสองอยาง

123



4



วธท ำ ให S แทนแซมเปลสเปซ ม n(S) = 50 A แทนเหตการณทคนกลมนชวยพอแมกวาดบานม n(A) = 20 B แทนเหตการณทคนกลมนชวยพอแมปรงอาหารม n(B) = 20 C แทนเหตการณทคนกลมนชวยพอแมลางจานม n(C) = 18 A B แทนเหตการณทคนกลมนชวยพอแมกวาดบานและปรงอาหารม n(A B) = 7 A C แทนเหตการณทคนกลมนชวยพอแมกวาดบานและลางจานม n(A C) = 9 B C แทนเหตการณทคนกลมนชวยพอแมปรงอาหารและลางจานม n(B C) = 8 A B C แทนเหตการณทคนกลมนชวยพอแมท าทงสามอยางม n(A B C) = 5 จากทก าหนด เขยนจ านวนคนในแตละเซตในแผนภาพเวนน – ออยเลอร ไดดงน 1) จ านวนนกเรยนทไมไดชวยพอแมท างานอยางใดอยางหนงทกลาวมาเลย เทากบ 7 คน


จะไดนกเรยนทไมไดชวยพอแมท างานอยางใดอยางหนงทกลาวมาเลย = 750

124



4



A B

C

13 2 10

5 0 3

10

7

S

2) จ านวนนกเรยนทชวยพอแมท างานอยางเดยว เทากบ 13 + 10 + 10 = 33 คน ดงนน ความนาจะเปนทสมนกเรยนในกลมนมา 1 คน

จะไดนกเรยนทชวยพอแมท างานอยางเดยว = 3350

3) จ านวนนกเรยนทชวยพอแมท างานสองอยาง เทากบ 2 + 3 + 0 = 5 คน ดงนน ความนาจะเปนทสมนกเรยนในกลมนมา 1 คน

นกเรยนทชวยพอแมท างานสองอยาง = 550

= 110

125



4




, P(B) = 13





23

= 12

+ 13

- P(A B)

P(A B) = 56

- 23

= 5 - 46

= 16


2) จาก P (A ) = 1 - P(A)

= 1 - 12

= 12


3) จาก P (B ) = 1 - P(B)

= 1 - 13

= 23


กฎบำงประกำรของควำมนำจะเปน เฉลยบตรแบบฝกเสรมกจกรรมกำรเรยนรท 4.3

126



4


= 1 - 23

= 13


5) จาก P (A B ) = P (A) - P (A B)

= 12

- 16

= 3 - 16

= 2

6

= 13


6) จาก P (B A ) = P (B) - P (B A)

= 13

- 16

= 2 - 16

= 16


127



4


เฉลยบตรแบบฝกเสรมกจกรรมกำรเรยนรท 4.3 (ตอ) (ตอ)

2. จากการส ารวจความเปนอยของครอบครวในชมชนแหงหนงจ านวน 100 ครอบครว พบวาม 10 ครอบครวมทงบานและรถยนต 40 ครอบครวมบานแตไมมรถยนต 20 ครอบครวมรถยนตแตไมมบาน ถาสมครอบครวมา 1 ครอบครว จากชมชนน จงหาความนาจะเปนทจะได 1) ครอบครวทมรถยนต 2) ครอบครวทมบาน 3) ครอบครวทมรถยนตหรอมบาน 4) ครอบครวทไมมบานและไมมรถยนต

วธท ำ ให S แทนแซมเปลสเปซ ม n(S) = 100 A แทนเหตการณครอบครวทมบาน B แทนเหตการณครอบครวทมรถยนต A – B แทนเหตการณครอบครวทมบานแตไมมรถยนต n(A – B) = 40 B – A แทนเหตการณครอบครวทมรถยนตแตไมมบาน n(B – A) = 20 (A B) แทนเหตการณสอบตกวชาคณตศาสตรและวชาเคม ม n (A B) = 10 จากทก าหนด เขยนจ านวนคนในแตละเซตในแผนภาพเวนน – ออยเลอร ไดดงน

128



4

A B

40 10 20

S

30


เฉลยบตรแบบฝกเสรมกจกรรมกำรเรยนรท 4.3 (ตอ)(ตอ)

1) จ านวนครอบครวทมรถยนต เทากบ 10 + 20 = 30 คน ดงนน ความนาจะเปนทสมนกเรยนในกลมนมา 1 คน

จะไดครอบครวทมรถยนต =

30100

= 310

2) จ านวนครอบครวทมบาน เทากบ 40 + 10 = 50 คน ดงนน ความนาจะเปนทสมนกเรยนในกลมนมา 1 คน

จะไดครอบครวทมบาน =

50100

= 12

3) จ านวนครอบครวทมรถยนตหรอมบาน เทากบ 40 + 10 + 20 = 70 คน ดงนน ความนาจะเปนทสมนกเรยนในกลมนมา 1 คน

จะไดครอบครวทมรถยนตหรอมบาน =

70100

= 710

4) จ านวนครอบครวทไมมบานและไมมรถยนต เทากบ 30 คน ดงนน ความนาจะเปนทสมนกเรยนในกลมนมา 1 คน

จะไดครอบครวทไมมบานและไมมรถยนต =

30100

= 310

3. นกศกษาชนปท 1 ของสถาบนแหงหนงจ านวน 100 คน เลอกเรยนวชาคณตศาสตร 42 คน วชา วทยาศาสตร 68 คน วชาประวตศาสตร 54 คน เรยนทงวชาคณตศาสตรและวชาประวตศาสตร 22 คน เรยนทงวชาคณตศาสตรและวชาวทยาศาสตร 25 คน เรยนวชาประวตศาสตรแตไมเรยน วชาวทยาศาสตรและวชาคณตศาสตร 7 คน เรยนทงสามวชา 10 คน สวนอก 8 คน ไมไดเรยน วชาใดเลย ถาสมนกศกษามา 1 คน จากนกศกษาในกลมน จงหาความนาจะเปนทจะได 1) นกศกษาทเรยนวชาประวตศาสตรและวชาวทยาศาสตรแตไมเรยนวชาคณตศาสตร 2) นกศกษาทเรยนวชาคณตศาสตรเพยงวชาเดยว

129



4



วธท ำ ให S แทนแซมเปลสเปซ ม n(S) = 100 A แทนเหตการณทเลอกเรยนวชาคณตศาสตร ม n(A) = 42 B แทนเหตการณทเลอกเรยนวชาวทยาศาสตร ม n(B) = 68 C แทนเหตการณทเลอกเรยนวชาประวตศาสตร ม n(C) = 54 A B แทนเหตการณทเรยนทงวชาคณตศาสตรและวชาวทยาศาสตร ม n(A B) = 25 A C แทนเหตการณทเรยนทงวชาคณตศาสตรและวชาประวตศาสตรม n(A C) = 22 B C แทนเหตการณทเรยนทงวชาวทยาศาสตรและวชาประวตศาสตรม n(B C) = ? A B C แทนเหตการณทเรยนทงสามวชา ม n(A B C) = 10 (A B C) แทนเหตการณทเรยนทงสามวชา ม n (A B C) = 8 A B C แทนเหตการณทเรยนทงสามวชา ม n(A B C) = 92 จาก A B C = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(A C) – n(B C) + n(A B C) 92 = 42 + 68 + 54 – 25 – 22 – n(B C) + 10 92 = 127 – n(B C) n(B C) = 127 – 92 n(B C) = 35

จากทก าหนด เขยนจ านวนคนในแตละเซตใน แผนภาพเวนน – ออยเลอร ไดดงน

130



4

A B

C

5 15 18

10 12 25

7

8

S



1) จ านวนนกศกษาทเรยนวชาประวตศาสตรและวชาวทยาศาสตรแตไมเรยนวชาคณตศาสตร เทากบ 25 คน ดงนน ความนาจะเปนทสมนกเรยนในกลมนมา 1 คน จะไดนกศกษาทเรยน

วชาประวตศาสตรและวชาวทยาศาสตรแตไมเรยนวชาคณตศาสตร = 25100

= 14

2) จ านวนนกศกษาทเรยนวชาคณตศาสตรเพยงวชาเดยว เทากบ 5 คน ดงนน ความนาจะเปนทสมนกเรยนในกลมนมา 1 คน

จะไดนกศกษาทเรยนวชาคณตศาสตรเพยงวชาเดยว = 5100

= 120

131



4



ขอ เฉลยค ำตอบ 1 ก 2 ข 3 ค 4 ข 5 ค 6 ก 7 ง 8 ค 9 ง 10 ข

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

132



4

เฉลยพรอมค ำอธบำย 1. ตอบขอ 1

อธบำย ตองการหา P(E) = n(E)n(S)

เนองจากตองการหยบลกบอล 3 ลกจากกลองใบนใหได สแดง 1 ลก จากลกบอลสแดง 1 ลก เทากบ 1

1C = 1 วธ ส าน าเงน 1 ลก จากลกบอลสน าเงน 2 ลก เทากบ 2

1C = 2 วธ และไมไดสขาวอก 1 ลก จากลกบอลทไมใชสขาว 5 ลก เทากบ 5

1C = 5 วธ

ดงนน จะได n(E) = 1×2×5 = 10 n(S) = 10

3C

= 10!3!7!

= 120

P(E) = 10120

= 112

2. ตอบขอ 2 อธบำย ให A แทน น าทวม B แทน ภยแลง

ดงนน P(A) = 311

, P(B) = 13

, P(AB) = 611

, P(AB) = ?

ขอ เฉลยค ำตอบ 1 1 2 2

เฉลยแบบทดสอบตลยโจทย O – NET คณตศำสตร

133



4

จาก P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

611

= 311

+ 13

- P(A B)

P(A B) = 311

+ 13

- 611

= 9+11-1833

= 233

ดงนน ความนาจะเปนทประเทศไทยจะประสบทงภาวะน าทวมและภยแลงในป พ.ศ. 2557 เทากบ 233

เฉลยแบบทดสอบตลยโจทย O – NET คณตศำสตร (ตอ)

134



4

แบบประเมนดำนควำมร

ชดกจกรรมกำรเรยนรท 4 เรอง ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ (Probability of Event) ชอ.....................................................................................ชน....................เลขท......................

ชดกจกรรมกำรเรยนรท 4 รวม ระดบ

คณภำพ สรปผล

ผำน ไมผำน แบบทดสอบกอนเรยน (10 คะแนน) บตรกจกรรมท 4.1 (15 คะแนน) บตรงำนท 4.1 (20 คะแนน) บตรแบบฝกเสรมทกษะกำรเรยนรท 4.1 (15 คะแนน) บตรกจกรรมท 4.2 (10 คะแนน) บตรงำนท 4.2 (10 คะแนน) บตรแบบฝกเสรมทกษะกำรเรยนรท 4.2 (10 คะแนน) บตรกจกรรมท 4.3 (12 คะแนน) บตรงำนท 4.3 (12 คะแนน) บตรแบบฝกเสรมทกษะกำรเรยนรท 4.3 (12 คะแนน) แบบทดสอบหลงเรยน (10 คะแนน)

หมำยเหต : นกเรยนไดคะแนนรอยละ 80 ขนไป ถอวา ผานเกณฑการประเมน เกณฑกำรประเมน : คะแนน 80 – 100 ระดบคณภาพ ดมาก คะแนน 70 – 79 ระดบคณภาพ ด คะแนน 60 – 69 ระดบคณภาพ ปานกลาง คะแนน 50 – 59 ระดบคณภาพ พอใช คะแนน 0 – 49 ระดบคณภาพ ปรบปรง

4

135



แบบประเมนผลกำรเรยนรดำนทกษะ/กระบวนกำร

ชดกจกรรมกำรเรยนรโดยใชเทคนคกำรสอนแบบกลมรวมมอ TAI (Team Assisted Individualization) เรอง ควำมนำจะเปน ชนมธยมศกษำปท 5

ชดกจกรรมกำรเรยนรท 4 เรอง ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ (Probability of Event)

เลขท

ชอ – สกล

กำรแ

กปญ

หำ

กำรใ

หเหต

ผล

กำรส

อสำร

ฯ

กำรเช

อมโย

ง

รวม รวมเฉลย

สรปผล

3 3 3 3 12 3 ผำน ไมผำน

หมำยเหต : นกเรยนไดคะแนนระดบคณภาพ 2 ขนไป ถอวา ผานเกณฑการประเมน เกณฑกำรประเมน : คะแนน 2.51 – 3.00 ระดบคณภาพ 3 ด

คะแนน 1.51 – 2.50 ระดบคณภาพ 2 พอใช คะแนน 1.00 – 1.50 ระดบคณภาพ 1 ปรบปรง

136



4

รำยละเอยดเกณฑกำรใหคะแนนแบบสงเกตพฤตกรรมดำนทกษะ/กระบวนกำร ชดกจกรรมกำรเรยนรโดยใชเทคนคกำรสอนแบบกลมรวมมอ TAI (Team Assisted Individualization)


ประเดนกำรประเมน เกณฑกำรใหคะแนน

3 2 1 1. การแกปญหาอยางมเหตผล

- ใชวธการแกปญหาส าเรจอยางมประสทธภาพ อธบายทงเหตผลในการใชวธการดงกลาวใหเขาใจ ชดเจน

- มวธด าเนนการแกปญหาส าเรจเปนบางสวน อธบายถงเหตผลในการใชวธการดงกลาวไดบางสวน

- มรองรอยการด าเนนการแกปญหาบางสวน อธบายเหตผลในการใชวธการดงกลาวไดบาง แกปญหาไมส าเรจ

2. ใหเหตผลและสรปไดเหมาะสม

- สรปความรทเรยนไดถกตอง อธบายเหตผลไดชดเจน

- สรปความรทเรยนไดบาง อธบายเหตผลไดบางสวน

- สรปความรทเรยนไดนอย ตองคอยแนะน าชวยเหลอเสมอ

3. การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตร และการน าเสนอ

- ใชภาษาในการสอความหมายทางคณตศาสตรไดด - แปลความหมายในภาษาคณตศาสตรไดชดเจนถกตอง - ซกถาม ตอบค าถามในเรองทเรยนดวยความกระตอรอรน

- ใชภาษาในการสอความหมายทางคณตศาสตรไดเปนสวนมาก - แปลความหมายในภาษาคณตศาสตรไดบางสวน - ซกถาม ในเรองทเรยนบางเปนสวนใหญ

- ใชภาษาในการสอความหมายทางคณตศาสตรได - แปลความหมายในภาษาคณตศาสตรไดบาง - ซกถาม ตอบค าถามในบทเรยนนอย

4. การเชอมโยงศาสตรเดยวกน

- มการน าความรเดมมาใชเปนพนฐานกบความรใหมไดอยางรวดเรว - ตอบค าถามหรอท าบตรงานไดรวดเรวเรยบรอย และถกตองมาก

- มการน าความรเดมมาใชเปนพนฐานกบความรใหมไดด ท าความเขาใจเนอหาใหม ไดเปนสวนใหญ - ตอบค าถามหรอท า บตรงานไดถกตอง

- มการน าความรเดมมาใชเปนพนฐานกบความรใหมไดนอย ครตองเนนย าเอาใจใสอยางมาก - การตอบค าถามหรอท าบตรงานไดชา

137



4

แบบประเมนผลกำรเรยนรดำนคณลกษณะอนพงประสงค ชดกจกรรมกำรเรยนรโดยใชเทคนคกำรสอนแบบกลมรวมมอ TAI (Team Assisted Individualization)


เลขท

ชอ – สกล

รบผด

ชอบ

มระเบ

ยบวน

ย

ระบบ

รอบค

อบฯ

ตรงต

อเวล

ำ

รวม รวมเฉลย

สรปผล

3 3 3 3 12 3 ผำน ไมผำน

หมำยเหต : นกเรยนไดคะแนนระดบคณภาพ 2 ขนไป ถอวา ผานเกณฑการประเมน เกณฑกำรประเมน : คะแนน 2.51 – 3.00 ระดบคณภาพ 3 ด

คะแนน 1.51 – 2.50 ระดบคณภาพ 2 พอใช คะแนน 1.00 – 1.50 ระดบคณภาพ 1 ปรบปรง

138



4

รำยละเอยดเกณฑกำรใหคะแนนแบบสงเกตพฤตกรรมดำนคณลกษณะอนพงประสงค ชดกจกรรมกำรเรยนรโดยใชเทคนคกำรสอนแบบกลมรวมมอ TAI (Team Assisted Individualization)


ประเดนกำรประเมน เกณฑกำรใหคะแนน

3 2 1 1. มความรบผดชอบ - ท างานทไดรบ

มอบหมายเปนอยางด - ตงใจเรยน มความกระตอรอรนในการเรยน

- ท างานทไดรบมอบหมายเปนสวนใหญ - ตงใจเรยน มความกระตอรอรนในการเรยนบาง

- ไมคอยรบผดชอบงานทไดรบมอบหมาย - ตงใจเรยนแตขาดความกระตอรอรน

2. มระเบยบวนย - ชนงาน สะอาดเรยบรอย - ปฏบตตนอยในขอตกลงทก าหนดให รวมกนทกครง

- ชนงาน สวนใหญสะอาดเรยบรอย - ปฏบตตนอยในขอตกลงทก าหนดให รวมกนเปนสวนใหญ

- ชนงาน ไมคอยเรยบรอย - ปฏบตตนอยในขอตกลงทก าหนดใหรวมกนเปนบางครง ตองอาศยการแนะน า

3. มการท างานเปนระบบ รอบคอบ

- มการวางแผนการด าเนนงานเปนระบบ - การท างานมครบทกขนตอน ตดขนตอนทไมส าคญออก - จดเรยงล าดบความส าคญกอนหลง ถกตองครบถวน

- มการวางแผนการด าเนนงาน - การท างานไมครบทกขนตอน และผดพลาดบาง - จดเรยงล าดบความส าคญกอนหลง ไดเปนบางสวน

- ไมมการวางแผนการด าเนนงาน - การท างานไมมขนตอน มความผดพลาดตองแกไข - ไมจดเรยงล าดบความส าคญ

4. มความตรงตอเวลา - สงงานตามก าหนดเวลาทกครง

- สงงานตามก าหนดเวลาเปนสวนใหญ

- สงงานไมคอยตรงตามก าหนดเวลา

139



4

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ที่ 4...

Documents