บทเรียนคอมพิวเตอร์ วิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนมวกเหล็กวิทยา

เรื่อง เวกเตอร์

ความหมายของเวกเตอร์

เวกเตอร์ คือปริมาณที่บอกทั้งขนาดและทิศทาง เราเขียนส่วนของเส้นตรงแทนขนาดของเวกเตอร์และหัวลุกศรแทนทิศทาง

A

B

D

C

เป็นเวกเตอร์ จาก A ไป B หรือ มขีนาด =

เป็นเวกเตอร์ จาก C ไป D หรือ มขีนาด =

เวกเตอร์ที่เท่ากัน

A

B D

C

E

F H

G

=

1. 2. และ มีทิศทางเดียวกัน

จากรูป

AB = CD หรือ u = v

EF = GH หรือ a = b =

เมื่อ

นิยาม

เวกเตอร์ u เท่ากับ v ก็ต่อเมื่อ เวกเตอร์ทั้งสองมีขนาดเท่ากัน และมีทิศทางเดียวกัน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ u = v

เวกเตอร์ที่เป็นนิเสธกัน

A

B D

C

u และ v เป็นนิเสธกัน เมื่อ 1. =

2. u และ v มีทิศทางตรงกันข้ามกัน

นั่นคือ u = - v หรือ v = -u และ u กับ -u เป็นนิเสธกัน

นิยาม

นิเสธของ u คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ u แต่มีทิศทางตรงข้ามกัน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ -u

แบบฝึกหดั

A B

C D

1.จากรูปABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานให้นักเรียนเขียนเวกเตอร์ที่เท่ากับเวกเตอร์ต่อไปนี้

1) AB 5) BA 2) AD 6) CB 3) AO 7) OA 4) BO 8) OB

O

A B

C D

2. จากรูปABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานให้นักเรียนเขียนนิเสธของเวกเตอร์ต่อไปนี้

1) AB คือ 5) BA คือ 2) BC คือ 6) DA คือ 3) AO คือ 7) OA คือ 4) BO คือ 8) OB คือ

O

การใช้เวกเตอร์แทนการเคลื่อนที่ของวัตถุ

ทิศทางของการเคลื่อนที่ของวัตถุ ก าหนดโดยบอกค่าของมุมที่วัดจากทิศเหนือตามเข็มนาฬิกาไปยังทิศเหนือที่ต้องการ ค่าของมุมจะอยู่ระหว่าง 0 องศาถึง 360 องศา ในกรณีที่มุมนั้นมีค่าน้อยกว่า 100 องศา ให้เติมเลข 0 ลงข้างหน้าให้ครบ 3 หลัก เช่น 045 องศา หมายถึงมุมที่วัดจากทิศเหนือไปตามเข็มนาฬิกาเป็นมุม 45 องศา ระบบที่ใช้บอกค่าของ มุมแบบนี้เรียกว่า ระบบเลขสามตัว ( three figure system )

ทิศเหนือ

ทิศตะวันออก

u ขนาด 25 กิโลเมตร ทิศทาง 1500

150๐ 25 km

แบบฝึกหัด

1. จงเขียนส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางแทนปริมาณของเวกเตอร์ต่อไปนี้

1.1) 120 เมตร ไปทางทิศเหนือ

1.2) 100 เมตร ไปทางทิศ 1500

1.3) 75 กิโลเมตร ไปทางทิศ 0600

1.4) 50 เมตร ไปทางทิศ 3200

2 . หน่อยเดินทางไปทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือเป็นระยะทาง 5 กิโลเมตร แล้วเดินทางต่อไปทางทิศตะวันตกเฉียงเหนือเป็นระยะทาง 5 กิโลเมตร ดังนั้นหน่อยจะอยู่ห่างจากจุดตั้งต้นเท่าใดและอยู่ทางทิศใดของจุดเริ่มต้น

5 km

5 km

x

x2 = 5 + 5 = 25 + 25 = 50x = 5 2

3. ชายคนหนึ่งออกเดินทางไปทางทิศ 030๐ เป็นระยะทาง 6 กิโลเมตร แล้วออกเดินทางต่อไปในทิศ 150๐ เป็นระยะทาง 3 กิโลเมตร เขาจะอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นเป็นระยะทางเท่าใดและอยู่ในทิศใดของจุดตั้งต้น

การบวกเวกเตอร ์

นิยาม

ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ที่ก าหนดให้ สามารถหา u + v ได้ดังนี้

1. เลือกจุด A จุดใดจุดหนึ่งเป็นจุดเริ่มต้น

2. หาจุด B ที่ท าให้ u = AB

3. หาจุด C ที่ท าให้ v = BC

4. จะได้ w = AC ซึ่งนิยามว่าเป็นผลบวกของ u กับ v เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ w = u + v หรือ AC = AB + BC

w = u + v

การลบเวกเตอร์ ส าหรับการลบเวกเตอร์ เรานิยามด้วยการบวกเวกเตอร์กับนิเสธของเวกเตอร์ตัวลบ

นิยาม

ก าหนดให้ u และ v เปน็เวกเตอร์ใดๆ ในระนาบ ผลลบของเวกเตอร์ u

กับ v เขียนแทนด้วยสญัลักษณ์ u - v = u + (-v )

-v

v

u

w=u -v

เวกเตอร์ศูนย์ (Zero vector)

บทนิยาม เวกเตอร์ศูนย์คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับศูนย์ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 0

จากรูป

AB+BC +CA = 0

A

B

C

สมบัติการบวกเวกเตอร์

ก าหนดให้ u , v และ w เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ใน ระนาบ

1. u + v เป็นเวกเตอร์ ระนาบ (สมบัติปิด)

2. u + v = v + u (สมบัติการสลับที่)

3. ( u + v ) + w = u + ( v + w ) (สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม)

4. มี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก โดยที่ 0 + u = u = u + 0 (สมบัติการมีเอกลักษณ์)

5. มี – u ที่ท าให้ u + -u = 0 = - u + u (สมบัติการมีอินเวอร์ส) 6. ถ้า u = v แล้ว u + w = v + w (สมบัติการบวกด้วยเวกเตอร์ที่เท่ากัน)

แบบฝึกหดั 1. ก าหนดเวกเตอร์ให้ดังรูป

A B

CD

1) AB + BC =........

2) AD + DC =........

3) AB + BC + AD +AC =........

4) AB - CB =..........

5) BC - AC =..........

6) CD - BC =..........

จงหา

A

F

E

D

C

B

ก าหนดรูปหกเหล่ียม ABCDEF เป็นรูปหกเหล่ียมดา้นเท่ามุมเท่า ดงัรูป

จงหา

1) OA + OB + BA

2) OB + DB + BC

3) AB + BO + OC

2.

4) AO + AB + CD

5) OA + OB + OC + OD + OE + OF

o

F

E D

C

B

O

A

3. จากรูป กำหนด ABCDEF เปน็รูปหกเหลี่ยมด้านเทา่ มุมเทา่

และ AB = u , AF = v , BC = w

ข้อใดต่อไปน้ีเปน็จริง และขอ้ใดเปน็เทจ็

.........1) AC = u + v

.........2) AD = u + v + w

.........3) AE = v + w

.........4) FC = v + u + w u

v w

F

E D

C

B

O

A

.........5) BF = v - u

.........6) AO = ( u + v + w )

.........7) BO = ( v + w - u )

.........8) (AO + DO + OF +OC) = 0

4. จากรูป ABCDE เปน็รูปห้าเหลีย่มด้านเทา่มุมเทา่

E

D

C

BA

ข้อใดต่อไปน้ีเปน็จริง และขอ้ใดเปน็เทจ็

.......1) AB + BC + CD = AE + ED

.......2) EA + AB + BC = ED + DC

.......3) AE + ED + DC = AB + BC

.......4) AB + CD + EA + BC + DE = AB + DA + BD

5. จากรูป ABCD เปน็รูปส่ีเหลีย่มด้านขนาน และ AB = u และ AD = v D

u

v O

C

BA

ข้อใดต่อไปน้ีเปน็จริง และขอ้ใดเปน็เทจ็

.....1) AC = u + v

.....2) DB = u - v

.....3) OC = (u + v )

.....4) BO = (v - u )

.....5) DO = (u + v )

.....6) DO + OC = u

D

u

v O

C

BA

.....7) CO + OB= v

.....8) OA + OB = u

.....9)AB + BO + OA = 0

.....10) BO + OC + CB = 0

.....11) OC + OD +CD =0

.....12) AB + BC + CD + DA = 0