โรงเรียนสอาดเผดิมวิทยา 15 2....

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 15

2. ฟงกชน (Function)

พจารณาแผนภาพแสดงความสมพนธตอไปน 1r 2r

A B A B 3r 4r

A B A B นนคอ ),(,),(,),( 635241r1 เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน ),(,),(,),( 535241r2 เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน ),(,),(,),(,),( 63525141r3 เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน ),(,),(,),( 434241r4 เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน

วธการตรวจสอบฟงกชน ม 3 แบบ ดงน ความสมพนธแบบแจกแจงสมาชก ** ดทสมาชก ตวหนา ของคอนดบ ** - ถาตวหนาซ า ตวหลงตองซ าดวยจงจะเปนฟงกชน แตถาตวหลงไมซ าดวยไมเปนฟงกชน - ถาตวหนาไมซ า เปนฟงกชนแนนอน ความสมพนธแบบบอกเงอนไข ** จดรปสมการ y ในเทอม x ** แลวแทนคา x หนงคาลงในสมการ ถา - ได y หนงคาเทานน เปนฟงกชน - ได y มากกวาหนงคา ไมเปนฟงกชน ความสมพนธแบบกราฟ ** ลากเสนตรงขนานแกน Y แลวดการตดของกราฟ ** - ถาตดกราฟ 1 จด เปนฟงกชน - ถาตดกราฟมากกวา 1 จด ไมเปนฟงกชน

นยาม ฟงกชน คอ ความสมพนธซงในสองคอนดบใด ๆ ของความสมพนธนน ถามสมาชกตวหนาเหมอนกนแลว สมาชกตวหลงตองไมตางกน

1 2 3

4 5 6

1 2 3

4 5 6

1 2 3

4 5 6

1 2 3

5

4

6


ตวอยางท 21 จงพจารณาความสมพนธตอไปนวาความสมพนธใดเปนฟงกชน 1. 2. 3. 4. 5. 5r 1,2 , 3,4 , 1,5 , 4,7 6. 6r 1,7 , 2,4 , 3,5 , 2,4

7. 7r (x, y) y 2 8. 8r (x, y) y x

9. 2

9r (x, y) y 3x 10. 10r (x, y) y x , x 0

11. 2

11r (x, y) y x, x 0 12. 12r (x, y) y x

ตวอยางท 22 จงพจารณากราฟของความสมพนธตอไปนวากราฟใดเปนฟงกชน 1. Y 2. Y

เปนฟงกชน ไมเปนฟงกชน




1r 2r

3r 4r



r r

X X


3. Y 4. Y

5. Y 6. 7. 8. 9. 10.

แบบฝกหดท 1.4 1. จงหาวาแผนภาพทก าหนดตอไปนแผนภาพใดแสดงความสมพนธทเปนฟงกชน 2. จงพจารณาวาความสมพนธแตละขอตอไปน เปนฟงกชนหรอไม 1. 0}15y10x|y) {(x,r 2. 0}52x|y) {(x,r


r

X


r

X


r

X







3. 0}43y|y) {(x,r 4. }yx|y) {(x,r 4

5. 16}4y2x|y) {(x,r 22 6. 1}xy|y) {(x,r

7. 16}4y2x|y) {(x,r 22 8. 164y2x|y) {(x,r 22 และ 0}x

9. 164y2x|y) {(x,r 22 และ 0}y 10. 1}yx|y) {(x,r

ขอตกลงเกยวกบสญลกษณของฟงกชน ถา f เปนฟงกชนและ fyx, แลว เรากลาววา y เปนคาของฟงกชน f ท x และคาของ ฟงกชน f ท x เขยนแทนดวย f(x) อานวา เอฟของเอกซ ดงนน y = f(x) ซงเขยนแสดงดวยแผนภาพ ไดดงน การเขยนแทนฟงกชนทเขยนในรปของเซตแบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซต สามารถเขยนเฉพาะเงอนไขของฟงกชนซงอยในรปสมการ โดยก าหนด คา y ในรป x หรอก าหนด f(x) แทน y เชน ฟงกชน f ทเขยนแทนดวย 3x}y|y){(x, ยงสามารถเขยนแทนดวย 3xy หรอ 3xxf

x xfy

f


ตวอยางท 23 ก าหนดให 5xxf 2 จงหาคาของฟงกชน f ท x = 0, 1, 4

ตวอยางท 24 ก าหนดให 5x2xxf 2 จงหาคาของ xf เมอ 1,0,1}{x

ตวอยางท 25 ก าหนดให 5x

32xxf

จงหาคาของ f(0), f(a) และ f(a+1)

Note : ในกรณทไมไดก าหนดโดเมนของฟงกชนให จะถอวา โดเมนของฟงกชนเปนสบเซตของจ านวนจรง

ตวอยางท 26 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชนตอไปน 1. f (x,y)|y 2x 2. f (x,y)|y 2x 1

3. 1f (x,y)|y

2

4. 2f (x,y)|y x 2

5. 2f (x,y)|y x 1 6. f (x,y)|y x 2

7. f (x,y)|y x 1 8. f (x,y)|y x 1


แบบฝกหดท 1.5 1. ก าหนดให f แทนฟงกชนทม 1,0,1,2}2,{Df จงเขยนเซตของคอนดบทแทนฟงกชน f เมอก าหนดให

1) 1xxf 2 2) 1x

3xxf

2

3) 2xxf 4) 4xxf 2. จากแผนภาพทก าหนดให จงหา df ,cf ,bf ,af 1) 2) 3. จงหาคาของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน 1. 2xxxg 2 1) 2g 2) 3g

2. 1s

1sf

1) 4f 2) 1f


4. จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชนตอไปน 1) 12xy 5) 3xy 2

2) 2x5

3y

6) 25xy 2

3) 4xy 7) 23xy

4) y4y 8) 2

1y

5. จงหาโดเมนและเรนจ จากกราฟของฟงกชนตอไปน

6. จงหาคาประมาณของฟงกชนท x ทก าหนดใหจากกราฟตอไปน


ชนดของฟงกชน (Kinds of Functions) ฟงกชนและกราฟของฟงกชนสามารถน าไปใชแกปญหาทใชตวแปร และปญหาทเกยวกบ

ชวตประจ าวนได ดงนนเราจงไดน าบางฟงกชนมาเรยนในบทน 3.ฟงกชนเชงเสน (Linear Function) คอ ฟงกชนทอยในรป baxy เมอ ba, เปนจ านวนจรง และ 0a กราฟของฟงกชนเชงเสนจะเปนเสนตรง เชน

1) y = x 2) y = 2x + 1 3) y = -3x

หมายเหต

เพมเตม ในกรณทฟงกชน baxy เมอ 0a จะไดฟงกชนทอยในรป by ซงเราจะเรยกวา “ฟงกชนคงตว” (Constant Function) กราฟของฟงกชนคงตวจะเปนเสนตรงทขนานแกน X เชน

1y = 5 และ

2y = -5

X -1 0 1 Y

X 0 Y 0

X -1 0 1 Y

ฟงกชนทอยในรป baxy เมอ ba, เปนจ านวนจรง และ 0a กราฟของฟงกชนเชงเสนจะเปนเสนตรง ซงแบงออกไดเปน 2 ลกษณะคอ 1) ถา a > 0 กราฟเสนตรงจะท า มมแหลม กบแกน X 2) ถา a < 0 กราฟเสนตรงจะท า มมปาน กบแกน X

1. ฟงกชนทอยในรป baxy เมอ ba, เปนจ านวนจรง และ 0a แต b = 0 กราฟจะผานจด (0,0) เสมอ และเพอความรวดเรวในการวาดกราฟ เลอกคา X อยางนอย 3 จด เชน เลอกเปน -1, 0 และ 1 2. การวาดกราฟของฟงกชนทอยในรป baxy เมอ ba, เปนจ านวนจรง และ 0a ใหเลอกจดตดแกน X (y = 0) เลอกจดตดแกน Y (x = 0) แลวลากเสนตรงผานสองจดดงกลาว

1. ถา b > 0 กราฟจะอย เหนอ แกน X 2. ถา b < 0 กราฟจะอย ใต แกน X


ตวอยางท 27 จงเขยนกราฟของฟงกชนเชงเสนตอไปนบนระนาบเดยวกน 1. 5xy,3x y,x y 321

จะสงเกตเหนวา คา a ยงมาก กราฟยงชน ตวอยางท 28 จงเขยนกราฟของฟงกชนเชงเสนตอไปน พรอมทงหาจดตดแกน X 1. 3xy 2. x5y

จดตดแกน X คอ จดตดแกน X คอ ตวอยางท 29 จงเขยนกราฟของฟงกชนเชงเสนตอไปน บนระนาบเดยวกน 1. y1 = x + 1 , y2 = x + 2 , y3 = x + 4 2. y1 = x - 1 , y2 = x - 2 , y3 = x - 4

x -1 0 1

1y

2y

3y

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X


ตวอยางท 30 จงเขยนกราฟของ 52xy และหาวาจด (1, 3) และ (-1, 4) อยบนกราฟหรอไม ตวอยางท 31 พนกงานขายเครองส าอางไดรบเงนเดอนจากบรษทเดอนละ 10,000 บาท และเขาไดรบเงนอก 10 % ของยอดขายทเขาขายได

1. จงเขยนความสมพนธของรายไดของพนกงานผนกบยอดขายสนคา พรอมทงเขยนกราฟของความสมพนธดงกลาว

2. จงหาวา ถาในเดอนทเขามยอดขาย 30,000 บาท เขาจะไดรบเงนในเดอนนนเทาใด วธท า 1. ให x แทน ยอดขายเครองส าอาง f(x) แทน เงนเดอนทไดรบจากบรษทในแตละเดอน จะได f(x) =

2. ถาในเดอนทเขามยอดขาย 30,000 บาท เขาจะไดรบเงนในเดอน f(30,000)

ยอดขาย (บาท) (x)

จ านวนเงนเดอนทไดรบ (บาท) f(x)

10,000 20,000 30,000

40,000 50,000

Y

X


แบบฝกหดท 1.6

1. จงเขยนกราฟของฟงกชนตอไปนบนระนาบเดยวกน 1) 34xy3,4xy 21 2) 5xy5,xy 21 3) x3yx,3y 21 4) 1xy1,xy 21 2. จงหาวาจดทก าหนดใหตอไปนอยบนกราฟของความสมพนธทก าหนดใหหรอไม

1) จด (7, 5) เมอ 1x7

3y 2) จด (-4, 5) เมอ 3y2x

3) จด (4, 5) เมอ 4y 4) จด (4, -5) เมอ y 1

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X


3. ในปแรกยอดขายสนคาชนดใหมของบรษทอยท 20,000 ชน/ป ถาบรษทตองการใหยอดขายสนคา แตละปเพมขนปละ 10% ของยอดขายในปแรก

1) จงเขยนสมการแทนยอดขายสนคาของแตละป 2) อก 5 ปถดไป บรษทนควรจะมยอดขายสนคาเทาใด 4. คาขนสงสนคาคดตามน าหนก กโลกรมละ 10 บาท โดยมคาใชจายในการขนสงเบองตน 150 บาท 1) จงเขยนสมการแสดงความสมพนธระหวางคาใชจายในการขนสงสนคา กบน าหนกสนคา 2) ถาตองการขนสงสนคาซงมน าหนก 75 กโลกรม จะเสยคาใชจายในการขนสงเทาไร …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. ฟงกชนก าลงสอง (Quadratic Function)

ฟงกชนก าลงสอง คอ ฟงกชนทอยในรป cbxaxy 2 เมอ Rcb,a, และ 0a

ลกษณะของกราฟจะขนอยกบคา cb,a, และเมอ 0a กราฟจะหงาย หรอ 0a กราฟจะคว า

หากเปนกราฟของ พาราโบลาหงาย จดวกกลบ จะถกเรยกวา “จดต าสด” และมคาต าสด เทากบ y สวนจดวกกลบของ พาราโบลาคว า จะถกเรยกวา “จดสงสด” และมคาสงสด เทากบ y

โดยกราฟของ 0ac,bxaxy 2 จะมจดวกกลบทจด

4a

b4ac,

2a

b 2


ตวอยางท 32 จงรางกราฟคราว ๆ ของฟงกชนตอไปน พรอมทงบอกจดต าสดหรอจดสงสด และคาต าสดและคาสงสดของฟงกชนดงกลาว 1) 2y x 2x 15 วธท า เมอเทยบกบสมการ 2y ax bx c จะได 1a , 2b และ 15c ดงนน จะไดกราฟพาราโบลา หงาย

และมจดสงสด หาไดจาก b 2x 1

2a 2(1)

2 24ac b 4(1)( 15) ( 2)

y 164a 4(1)

หรอสามารถหาคา y ไดโดยการน า x = 1 แทนลงไปในฟงกชน ดงน 2y f (x) f (1) (1) 2(1) 15 16

ดงนนมจดต าสด คอ (1, 16) และมคาต าสด เทากบ 16 2) 22 4 3y x x

วธท า เมอเทยบกบสมการ 2y ax bx c จะได a , b และ c ดงนน จะไดกราฟพาราโบลา

และมจด......... หาไดจาก y

ดงนนมจด คอ และมคา เทากบ

ฟงกชนก าลงสอง สามารถเขยนไดในอกรปหนงคอ 2y a(x h) k, a 0

ถา 0a เปนสมการพาราโบลาหงาย ถา 0a เปนสมการพาราโบลาคว า มจดวกกลบ หรอ จดต าสดทจด ( , )h k มจดวกกลบ หรอ จดต าสดทจด ( , )h k และมคาต าสด เทากบ ( )f h k และมคาต าสด เทากบ ( )f h k

ตวอยางท 33 จงรางกราฟคราว ๆ ของฟงกชนตอไปน พรอมทงบอกจดต าสดหรอจดสงสด และคาต าสดและคาสงสดของฟงกชนดงกลาว 1) 2f (x) (x 3) 3 วธท า เมอเทยบกบสมการ 2y a(x h) k จะได 1a , 3h และ 3k ดงนน จะไดกราฟพาราโบลา หงาย

ซงมจดสงสด เทากบ (3, 3) และมคาต าสด เทากบ (3) 3f

X

Y

X

Y

X

Y


2) 2f (x) (x 2) 3 วธท า เมอเทยบกบสมการ 2y a(x h) k จะได a , h และ k ดงนน จะไดกราฟพาราโบลา

ซงมจด เทากบ และมคา เทากบ

3) 2f (x) x วธท า เมอเทยบกบสมการ 2y a(x h) k จะได a , h และ k ดงนน จะไดกราฟพาราโบลา

ซงมจด เทากบ และมคา เทากบ 4) 2f (x) x 2 วธท า เมอเทยบกบสมการ 2y a(x h) k จะได a , h และ k ดงนน จะไดกราฟพาราโบลา

ซงมจด เทากบ และมคา เทากบ ลกษณะของกราฟ ไมวาจะเปนสมการในรป 2y ax bx c หรอ

2( )y a x h k ความกวางและแคบของกราฟขนอยกบคา a คอ ถา a ยงมากกราฟยงแคบ ตวอยาง 34 จงเขยนกราฟสมการตอไปนบนระนาบเดยวกน

1) 2

1y x 2) 2

2 3y x 3) 2

3 5y x

4) 2

4

1

2y x 5) 2

5

1

4y x 6) 2

6

1

10y x

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y


ตวอยาง 35 จงเขยนกราฟสมการตอไปนบนระนาบเดยวกน

1) 2

1y x 2) 2

2 3y x 3) 2

3

1

2y x 4) 2

4

1

10y x

ตวอยาง 36 จงจบคกราฟและสมการตอไปน

1) 2

1 5y x

2) 2

2

1

2y x

3) 2

3 3y x 4) 2

4y x

5) 2

5

1

4y x

ตวอยางท 37 จงวาดกราฟฟงกชนก าลงสองตอไปนอยางคราว ๆ พรอมทงบอกจดต าสดหรอจดสงสด และคาต าสดหรอคาสงสดดวย

1) 22y x จด คอ และคา คอ .

2) 22y x จด คอ และคา คอ .

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y


3) 22 1y x จด คอ และคา คอ .




7) 2( 1)y x จด คอ และคา คอ .

8) 2( 1)y x จด คอ และคา คอ .

9) 2( 1) 1y x จด คอ และคา คอ .

10) 2( 1) 1y x จด คอ และคา คอ .

11) 23 6 3y x x จด คอ และคา คอ .

12) 22 4y x x จด คอ และคา คอ .

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y


13) 22 4 2y x x จด คอ และคา คอ .

14) 22 4 5 y x x จด คอ และคา คอ .

ตวอยางท 38 จงจบคสมการ และกราฟทก าหนดให 1) 2( 4) 3y x คกบ 2) 2( 4) 3y x คกบ

3) 2( 4) 3y x คกบ 4) 2( 4) 3y x คกบ

5) 22( 2)y x คกบ 6) 2( 3) 4y x คกบ

7) 21( 1) 3

2y x คกบ 8) 22( 3) 2y x คกบ

9) 2 2 3y x x คกบ 10) 22 4 5y x x คกบ

X

Y

X

Y

(1)

(10) (9)

(8) (7) (6) (5)

(4) (3) (2)

โรงเรียนสอาดเผดิมวิทยา 15 2....

Documents