ความสมพนธและฟงกชน

1. ความสมพนธ

สงหนงทเปนพนฐานส าคญในเรองของความสมพนธ คอ

คอนดบ การเปนคอนดบกคอจะตองเปนคและมอนดบ ในคณตศาสตรจะเขยนคอนดบ

ในรป (a, b) โดยท a เปนสมาชกตวหนาและ b เปนสมาชกตวหลง (a, b) และ (b, a) จะ

ไมเทากน นอกจาก a = b เทาน น หรอ (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d

1.1ผลคณคารทเซยน

บทนยาม ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B คอคอนดบ (a, b) ทงหมด

โดยท a เปนสมาชกของเซต A และ b เปนสมาชกของเซต B

ผลคณคารทเซยนของ A และ B เขยนแทนดวย AB

AB อานวา เอ คณ บ

เขยน AB ในรปเซตแบบบอกเงอนไขไดดงน

AB = {(a, b)‌ | a A และ b B}

ตวอยาง

ก าหนด จงหา และ 1,2,3 , ,A B a b A B B A

1, , 1, , 2, , 2,b , 3, , 3,bA B a b a a

,1 , ,2 , ,3 , b,1 , ,2 , b,3B A a a a b

จะเหนวา A B B A

บทนยาม r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ AB

1.2 ความสมพนธ

ตวอยาง

1.3 โดเมนและเรนจของความสมพนธ

บทนยาม ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B โดเมนของ r คอเซตของสมาชกตวหนาของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Dr

เรนจของ r คอเซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Rr

เขยน Dr และ Rr ในรปเซตแบบบอกเงอนไข ไดดงน

Dr = {x A |‌ ม y B ซง (x, y) r} Rr = {y B | ‌ม x A ซง (x, y) r}

2. ตวผกผนของความสมพนธ

บทนยาม ตวผกผนของความสมพนธ r คอความสมพนธซงเกดจากการสลบทของสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงในแตละคอนดบทเปนสมาชกของ r

ตวผกผนของความสมพนธ r เขยนแทนดวย r-1

เขยน r-1 ในรปเซตแบบบอกเงอนไข ไดดงน

r-1 = {(y, x)|‌ (x, y) r} จากบทนยาม ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป B แลว r-1 จะเปนความสมพนธจาก B ไป A

ความหมายของฟงกชน

บทนยาม ฟงกชน คอความสมพนธซงส าหรบคอนดบสองคใด ๆ

ของความสมพนธนน ถามสมาชกตวหนาเทากนแลว สมาชกตวหลง

ตองเทากน

จากบทนยามกลาวไดวา ฟงกชน f คอ ความสมพนธ

ซงส าหรบ x, y และ z ใดๆ ถา (x, y) f และ (x, z) f แลว y = z

ดงนน ถาม x, y และ z ซง (x, y) f และ (x, z) f

แต y ≠ z จะไดวา f ไมเปนฟงกชน

ขอตกลงเกยวกบสญลกษณ ในกรณทความสมพนธ f เปนฟงกชนเราจะเขยน y = f(x) แทน (x, y) f และเรยก f(x) วาเปน คาของฟงกชน f ท x อานวา เอฟของเอกซ หรอ เอฟทเอกซ หรอ เอฟเอกซ

บทนยาม f เปนฟงกชนจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชนทมโดเมน คอ A และมเรนจเปนสบเซตของ B f เปนฟงกชนจาก A ไป B เขยนแทนดวย f : A B

บทนยาม f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B กตอเมอ f เปนฟงกชนทมโดเมน คอ A และมเรนจเปนสบเซตของ B f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B เขยนแทนดวย f : A B

ทวถง

บทนยาม f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชน

จาก A ไป B ท ส าหรบ x1, x2 ใด ๆ ใน A ถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2

f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B เขยนแทนดวย

f : A B

จากบทนยาม f : AB ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง กตอเมอ

ม x1, x2 ใน A ท x1x2 และ f(x1) = f(x2)

เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B (one-to-one

function from A onto B หรอ one-to-one correspondence) เขยนแทนดวย

f : A B หมายถง f เปนฟงกชนหนงตอหนงและเปนฟงกชนทวถง

1-1

ทวถง

1-1

ฟงกชนเพมและฟงกชนลด บทนยาม ให f เปนฟงกชนซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตของจ านวนจรง และ A เปนสบเซตของโดเมน

1. f เปน ฟงกชนเพม (increasing function) บน A กตอเมอ ส าหรบ x1 และ x2 ใด ๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) < f(x2)

2. f เปน ฟงกชนลด (decreasing function) บน A กตอเมอ ส าหรบ x1 และ x2 ใด ๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) > f(x2)

ฟงกชนเพม

Y

f(x)2

f(x)1

0 x1 x2X

f

Y

f(x)2

f(x)1

0 x1 x2X

f

ฟงกชนลด

การด าเนนการของฟงกชน บทนยาม ให f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของ R ผลบวก (sum)

ผลตาง (difference) ผลคณ (product) และผลหาร (quotient) ของ f และ g เขยนแทน

ดวย f + g , f – g , fg และ ตามล าดบ เปนฟงกชนซงก าหนดคาโดย

(f + g)(x) = f(x) + g(x) (f - g) (x) = f(x) – g(x) (fg) (x) = f(x)g(x)

( )(x) = เมอ g(x) ≠ 0

โดเมนของ f + g , f - g และ fg คอเซตของจ านวนจรง x ทงหมดทอยทง ใน

โดเมนของ f และโดเมนของ g ซงกคอ Df Dg ส าหรบโดเมนของ คอเซตของ

จ านวนจรง x ทงหมดทอยทงในโดเมนของ f และโดเมนของ g โดยท g(x) ตองไมเทากบ

0 ดวย ซงกคอ { x‌|x Df Dg และ g(x) ≠ 0 }

gf

gf

)x(g)x(f

gf

ฟงกชนประกอบ

A B C

g(x)

z=g (y)=g f(x)

gof

x f g

จากแผนภาพ ส าหรบแตละ x ในเซต A ถาม y=f(x) ในเซต B และ ม z = g(y)

ในเซต c จะหาคา gf(x) ได ซงเทากบ z เรากลาววาเกดฟงกชนประกอบ gof

ฟงกชนประกอบ บทนยาม ให f และ g เปนฟงกชน และ Df Dg ≠ Ø

ฟงกชนประกอบของ f และ g เขยนแทนดวย g○f คอฟงกชนทมโดเมนคอ

Dgof = {x Df ‌| f(x) Dg }

และก าหนดคาโดย

g○f(x) = g(f(x)) ส าหรบทก x ใน Dgof

ฟงกชนผกผน ทฤษฎบท ให r เปนฟงกชน

f มฟงกชนผกผน กตอเมอ f เปนฟงกชน 1-1

(นนคอ f-1 เปนฟงกชน)

เทคนคการเขยนกราฟ การเลอนกราฟในแนวตง (Vertical Shifts of Grsphs)

การเลอนกราฟในแนวนอน (Horizontal Shifts of Grsphs)

1. จงหาคา x และ y เมอ 1.1 (22 , x) = (y , 6) ……………………………………………… 1.2 (2x , 6y) = (4 , x+4) ……………………………………………… 1.3 (3x-y , 5) = (5 , x+3y) ………………………………………………

2. ก าหนด A = {2,3,4} , B = {1,3} , C = {1,2,5} จงหา 2.1 A x B ……………………………………………… 2.2 A x (B C) ……………………………………………… 2.3 (A x B) (B x B) …………………………………………….... 2.4 (A x B) (A x C) ……………………………………………....

3. ก าหนดให A , B , C , A B และ B C มสมาชกเทากบ 4 , 7 ,8 ,2 และ 3 ตวตามล าดบ จงหาจ านวนสมาชกของ 3.1 A x B ……………………………………………… 3.2 C x A ……………………………………………… 3.3 (A B) x (B C) ……………………………………………....

ใบงานท 1

ใหนกเรยนท าโจทยทก าหนดใหตอไปน

1. ก าหนด A = {2,3,4} และ B = {2,8,9} จงเขยนความสมพนธตอไปน 1.1 r1 แทนความสมพนธ “นอยกวา”จาก Aไป B

……………………………………………………………………… 1.2 r2 แทนความสมพนธ “สองเทา” จาก BไปA

……………………………………………………………………… 1.3 r3 แทนความสมพนธ “x + y 10” ใน B

……………………………………………………………………… 2. จงเขยนความสมพนธ r แบบแจกแจงสมาชก 2.1 ให A = {0,1,2} , B = {1,2,3} และ r = {(x,y) A x B |x > y}

............................................................................................................... 2.2 r = {(x,y) I x N | y = }

……………………………………………………………………… 3x

ใบงานท 2

3. จงค านวณหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน 3.1 [(x,y)|y = x-2] …………………………………………………….. 3.2 [(x,y)|y = ] …………………………………………………….. 3.3 [(x,y)|y = x2+1] ……………………………………………………..

4. จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน 4.1 r = {(x,y) R x R |y = 2x-1}

4.2 r = {(x,y) A x A |y = x+1} เมอ A= {-3,-2,-1,0,1,2,3}