ตรรกศาสตร์

ตรรกศาสตร ์ คือ หลักเกณฑ์การคิดหาเหตุผล เป็นสาขาหนึ่งของวิชาปรัชญา มีมาต้ังแต่สมัยอริสโตเติล เพื่อท าให้ศึกษาตรรกศาสตร์ได้ง่ายขึ้น จึงใช้สัญลักษณ์ (Symbol) แทนข้อความ (Statement)

ซึ่งประโยคดังกล่าวอาจจะอยู่ในประโยคบอกเล่า หรือในประโยคปฏิเสธก็ได้

บทนิยาม

ประโยคเปิด เป็นประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร และยังไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ถ้าแทนค่าตัวแปรด้วยค่าใดค่าหนึ่งแลว้ ประโยคเปิดจะกลายเป็นประพจน์

ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง

ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเป็นเท็จ เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง

- เรียกข้อความที่เป็นจริงว่า ข้อความที่มีค่าความจริงเป็นจริง และใช้ T แทนค่าความจริงที่เป็นจริง

- เรียกข้อความที่เป็นเท็จว่า ข้อความที่มคี่าความจริงเป็นเท็จ และใช้F แทนค่าความจริงที่เป็นเท็จ

การแจกแจงค่าความจริง

ในการเชื่อมประโยคโดยส่วนมากจะใชค้ าเชื่อมดังนี้

และ ^

หรือ V ถ้า...แล้ว →ก็ต่อเมื่อ ↔

นิเสธ ~

ตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชือ่ม

ประพจน์ที่สมมูลกัน

ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย

สัจนิรันดร์

•

สัจจะแปลว่าจริง ส่วน นิรันดร์แปลว่าตลอดกาล ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณีของประพจน์ย่อย

ตัวอย่าง ให้ประพจน์ จงแสดงว่า (p ^ q) → (p v q) เป็นสัจนิรันดร์

วิธีท า สร้างตารางค่าความจริงของ (p ^ q) → (p v q)

p q p ^ q p v q (p ^ q)

(p v q)

T T T T T

T F F T T

F T F T T

F F F F T

จะเห็นว่ารูปแบบประพจน์ (p ^ q) → (p v q) เป็นจริงทุกกรณี

นั่นคือ (p ^ q) → (p v q) เป็นสัจนริันดร์

การอ้างเหตุผลการอ้างเหตุผล คือ เมื่อมีข้อความ P1,P2,...,Pn และผลสรุปหรือข้อสรุปคือC การอ้างเหตุผลจะสมเหตุสมผลหรือไม่สมเหตุสมผลก็ได้ สามารถตรวจสอบได้โดยใช้ตัวเชื่อม ^ เชื่อมเหตุทั้งหมดเข้าด้วยกัน และ ใช้ตัวเชื่อม → เชื่อมส่วนที่เป็นเหตุกับผล ดังนี้

[P1^P2^…^Pn]

ถ้าเป็นสัจนริันดร์ ก็ สมเหตุสมผลถ้าไม่เป็นสัจนิรันดร์ ก็ ไม่สมเหตุสมผลดังนั้น ในการตรวจสอบสมเหตุสมผลจึงใช้วิธีเดียวกันใน

การตรวจสัจนิรันดร์

C

ประโยคเปิดประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรือ ประโยคปฏิเสธ ซึ่งมีตัวแปร และเมื่อ

แทนตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ สัญลักษณ์แทนประโยคเปิดใดๆที่มี x เป็นตัวแปร เขียนแทนด้วย P(x) หรือ Px

ตัวอย่างข้อความใดที่ประโยคเปิดหรือไม่เป็นประโยคเปิด

1. เขาเป็นนักคณิตศาสตร์ ตอบ เป็นประโยคเปิด เพราะ มีค าว่า “เขา” เป็นตัวแปร2. 3x-4ตอบ ไม่เป็นประโยคเปิด เพราะ เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกสัมพัทธ์แล้วไม่สามารถ

บอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

แบบฝึกหัดเรื่องตรรกศาสตร์

P(x) แทน x2 > 8P(-1) แทน 12 > 8 เป็นเท็จP(0) แทน 02 > 8 เป็นเท็จP(2) แทน 22 > 8 เป็นเท็จ

ดังนั้น มีค่าความจริงเป็น เท็จ

1.

2.

P(x) แทน x < 0

P(0) แทน 0 < 0 เป็นเท็จP(4) แทน 4 < 0 เป็นเท็จP(7) แทน 7 < 0 เป็นเท็จ

ดังนั้น มีค่าความจริงเป็น เท็จ

3.

P(x) แทน x2 ≥0

P(1) แทน 1 ≥ 0 เป็นจริง

ดังนั้น มีค่าความจริงเป็น จริง

4.

P(x) แทน x > 0P(1) แทน 1 > 0 เป็นจริง

ดังนั้น มีค่าความจริงเป็น จริง

5.P(x) แทน x+1 = 4P(1) แทน 1+1 = 4 เป็นเท็จ

ดังนั้น. มีค่าความจริงเป็น เท็จ

6.

P(x) แทน x+x = x•xP(0) แทน 0+0 = 0×0P(2) แทน 2+2 = 2 ×2

ดังนั้น มีค่าความจริงเป็น จริง

7.

P(x) แทน x = x2

P(0) แทน 0 = 02 เป็นจริง

ดังนั้น มีค่าความจริงเป็น จริง

2. ถ้าค่าความจริงของ (A → B) → (A → (B /\ C)) เป็นเท็จประพจน์ในขอ้ใดต่อไปนี ้มีค่าเป็นจริงก. (A /\ B) /\ Cข. (A /\ ~B) /\ ~Cค. ~(A /\ B) V Cง. (A /\ ~B) V ~C

เฉลย ง.

3. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้และสรุป(1) ก าหนด ~p /\ q เป็นจริง แล้ว (~p /\ q) → (~p V q) มีค่าความจริงเป็นจริง(2) ก าหนด p /\ q เป็นจริง และ q → r เปน็เท็จ แล้ว [(p /\ q) → (q → r)] ↔ (q ↔ r) มีค่าความจริงเป็นจริง(3) ถ้า p /\ q เป็นจริง และ p → (r V s) เปน็เท็จ แล้ว [(~p /\ q) → t] ↔ (r V ~s) มีค่าเป็นจริงก. ถกู 1 ข้อข. ถูก 2 ข้อค. ถูก 3 ข้อง. ผิดทกุข้อ

เฉลย ค.

4. ข้อใดเป็นนิเสธของข้อความถ้าวันนี้ฝนไม่ตก แล้วนายแดงจะไปเท่ียวก. วันนี้ฝนตก หรือนายแดงไปเที่ยวข. วันนี้ฝนไม่ตก และนายแดงไม่ไปเทีย่วค. วันนี้ฝนไม่ตก หรือนายแดงไปเทีย่วง. วันนี้ฝนตก และนายแดงไปเที่ยว

เฉลย ข.

5. จงพิจารณาข้อความ(1) (p → ~p) ↔ ~(p /\ q) เป็นสัจนริันดร์(2) [(p /\ ~q) → ~p] → (p → q) เป็นสัจนิรันดร์ข้อใดถกูก. (1) ถกูเพียงข้อเดียวข. (2) ถกูเพียงข้อเดียวค. (1) และ (2) ถูกง. (1) และ (2) ผิด

เฉลย ข.

6. ข้อใดต่อไปนี้ไม่เป็นสัจนิรันดร์ก. [~p V (q /\ r)] ↔ [p → (q → r)]ข. [p /\ (~q /\ ~r)] V [(p → q) V r]ค. [(p → q) /\ (p → r)] ↔ [p → (q /\ r)]ง. (p → q) /\ (r V ~p) → [p → (q → r)]

เฉลย ก.

7. ประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์ก. (p → q) ↔ (p /\ ~q)ข. (p ↔ q) ↔ (~p → q)ค. [(p /\ q) → r] ↔ [p → (q → r)]ง. [~p /\ ~q] ↔ [~p V ~q]

เฉลย ค.

8. ประพจน์ใดมีค่าความจริงเป็นเท็จทุกกรณีก. (p → q) → (~q → ~p)ข. [(p → r) /\ (q → r)] ↔ [(p V q) → r]ค. (~p → ~q) → (p → q)ง. [p /\ (p V q)] → p

เฉลย ง.

9. ถ้าประโยคนกมีหู หรือ หนูมีปีกมีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วข้อใดเป็นเท็จก. นกมีหู และ หนูมีปีกข. นกมีหู ก็ต่อเมื่อ หนูมีปีกค. ถ้านกมีหู แล้วหนูมีปีกง. ถ้านกมีหู แล้วหนูไม่มีปีก

เฉลย ก.

10. ข้อใดต่อไปนี้ไม่สมมูลกันก. p → q : ~p V qข. ~ (~p) : pค. p ↔ q : (p → q) /\ (q → p)ง. p → q : ~p /\ q

เฉลย ง.