คณตศาสตรพนฐาน (2000-1401)

โดย ครยพด นธภากร

หนวยท 4 การแปรผน

สาระส าคญ

การแปรผน เปนความสมพนธระหวางปรมาณตงแตสอง

ปรมาณขนไป เมอปรมาณหนงหรอมากกวาเปลยนแปลงไป

จะท าใหอกปรมาณหนงเปลยนแปลงตามไปดวยในทศทาง

เดยวกนหรอตรงกนขาม การแปรผนสามารถน าไปใชใน

งานอาชพและประยกตใชในชวตประจ าวน

สาระการเรยนร1. ความหมายของการแปรผน2. การแปรผนตรง3. การแปรผกผน4. การแปรผนเกยวเนอง

5. การน าความรเรองการแปรผนไปใชในวชาชพและ ในชวตประจ าวน

จดประสงคเชงพฤตกรรม1. อธบายความหมายของการแปรผนตรง การแปรผกผน และ

การแปรผนเกยวเนองได2. ยกตวอยางของการแปรผนตรง การแปรผกผน และ การแปรผน

เกยวเนองได 3. เขยนสมการแสดงความสมพนธของการแปรผนตรง การแปรผกผน และการแปรผนเกยวเนองได 4. ค านวณคาตางๆ ของการแปรผนตรง การแปรผกผน และการแปรผน เกยวเนองได

5. น าความรเรองการแปรผนไปใชในวชาชพและในชวตประจ าวนได

แบบทดสอบกอนเรยนจงเลอกค าตอบทถกตองทสด1. ถา y แปรผนตรงกบ x และ x = 8 เมอ y = 72 แลว y มคาเทาไร เมอ x = 20

1. 9 2. 903. 160 4. 180

2. ถา y แปรผกผนกบ x และ x = 4 เมอ y = 60 แลว x มคาเทาไรเมอ y = 30

1. 6 2. 83. 9 4. 10

3. ถา y แปรผนเกยวเนองกบ x และ z โดยท x = 6 , y = 48 และ z = 4 แลว y มคาเทาไร เมอ x = 10 และ z = 18

1. 288 2. 2943. 360 4. 390

การแปรผน

ความหมายของการแปรผน

การแปรผน การแปรผน คอความสมพนธระหวางปรมาณตงแตสองปรมาณขนไป โดยทปรมาณหนงหรอมากกวาเปลยนแปลงไป

ท าใหอกปรมาณหนงจะเปลยนแปลงตามไปดวยอยางเปนสดสวนกน เชน ตนทนแปรผนตามปรมาณทผลตสนคา ก าไรแปรผนตามยอดขาย เปนตน

ชนดของการแปรผน

การแปรผน แบงออกเปน 3 ชนด ดงน

1. การแปรผนตรง

2.การแปรผนแบบผกผน

3.การแปรผนเกยวเนอง

การแปรผนตรง

การแปรผนตรง

การแปรผนตรง คอความสมพนธระหวางสองสงหรอสองปรมาณ เมอสงหนงเพมหรอลด อกสงหนงกจะเพมหรอลดตามดวย อยางเปนสดสวนกน

นยาม ก าหนดให x และ y แทนปรมาณใดๆ

y แปรผนตรงกบ x เมอ y = kx โดยท k เปนคาคงตวและ k ≠ 0 เรยก k วาคาคงตวของการแปรผน

ตวอยาง ถา y แปรผนตรงกบ x และ x = 2 เมอ y = 18 จงหาคาของ y เมอ x = 16วธท า y แปรผนตรงกบ x จะได y = kx ; k ≠ 0x = 2 เมอ y = 18 ; แทนคา 18 = k(2) k = 9สมการความสมพนธระหวาง x และ y คอ y = 9xy = ? เมอ x = 16 ; แทนคา y = 9 ×16 = 144 ดงนน y = 144 เมอ x = 16

ตวอยาง ถา y แปรผนตรงกบ x + 1 และ x = 5 เมอ y = 24จงหาคาของ y เมอ x = 12วธท า y แปรผนตรงกบ x + 1 จะได y = k (x + 1 ) ; k ≠ 0x = 5 เมอ y = 24 ; แทนคา 24 = k(5 + 1) k = 4สมการความสมพนธระหวาง x และ y คอ y = 4 (x + 1 )y = ? เมอ x = 12 ; แทนคา y = 4 (12 + 1) = 52 ดงนน y= 52 เมอ x = 12

การแปรผกผน

การแปรผกผน

การแปรผกผน เปนความสมพนธระหวางปรมาณสองปรมาณ เมอปรมาณหนงเพมอกปรมาณหนงจะลดลง แตปรมาณหนงลดลงอกปรมาณหนงจะเพมขน

นยาม ก าหนดให x และ y แทนปรมาณใดๆ ทไมใชศนย

y แปรผกผนกบ x เมอ y = k

x

โดยท k เปนคาคงตวและ k ≠ 0 เรยก k วาคาคงตวของการแปรผน

ตวอยาง ถา y แปรผกผนกบ x และ x = 4 เมอ y = 60 จงหาคาของ y เมอ x = 12วธท า y แปรผกผนกบ x จะได y = k ; k ≠ 0

x x = 4 เมอ y = 60 ; แทนคา 60 = k 4 k = 240 สมการความสมพนธระหวาง x และ y คอ y = 240

x y = ? เมอ x = 12 ; แทนคา y = 240 ÷ 12 = 20 ดงนน y = 20 เมอ x = 12

การแปรผนเกยวเนอง

การแปรผนเกยวเนอง

การแปรผนเกยวเนอง เปนความสมพนธระหวางปรมาณตงแตสองปรมาณ ซงอาจสมพนธในลกษณะของการแปรผนตรงหรอการแปรผกผนกได เชน ระยะทางทเดนทางโดยรถยนตจะขนอยกบอตราความเรวเฉลยของรถยนตและเวลาทใชในการเดนทาง เปนตน

การแปรผนเกยวเนอง

นยาม ก าหนดให x1 , x2 , x 3 ,…, x n และ y แทนปรมาณใดๆ

y แปรผนเกยวเนองกบ x1 , x2 , x 3 ,…, x n หมายถง

y แปรผนโดนตรงกบผลคณของ x1 , x2 , x 3 ,…, x n

จะได y = k x1 x2 x 3 x n โดยท k เปนคาคงตวและ k ≠ 0 เรยก k วาคาคงตวของการแปรผน

ตวอยาง ถา y แปรผนเกยวเนองกบ x และ z โดยท x = 6 ,

y = 48 และ z = 4 จงหาคาของ y เมอ x = 10 และ z= 16

วธท า y แปรผนเกยวเนองกบ x และ z

จะได y = kxz ; k ≠ 0x = 6 , y = 48 และ z = 4 ; แทนคา 48 = k×6×4

k = 2

สมการความสมพนธระหวาง x และ y คอ y = 2xz

Y = ? เมอ x = 10 , y= 16 ; แทนคา y =2 ×10×16 = 320

ดงนน Y = 320 เมอ x = 10 และ z= 16

ตวอยาง ถา y แปรผนตรงกบ x และแปรผกผนกบ z

โดยท x = 2 , y = 6 และ z = 1 จงหาคาของ y

เมอ x = 10 และ z = 15

วธท า y แปรผนตรงกบ x และแปรผกผนกบ z

จะได y = kx ; k ≠ 0z

x = 2, y = 6 และ z = 1 ; แทนคา 6 = k×2

1

k = 3

สมการของการแปรผน คอ y = 3x

z

y = ? เมอ x = 10 , z = 15 ;

แทนคา y = 3 ×10

15

= 2

ดงนน y = 2 เมอ x = 10 และ z = 15

การน าความรเรองการแปรผน

ไปใชในวชาชพและในชวตประจ าวน

การน าความรเรองการแปรผนไปใชในวชาชพและในชวตประจ าวน

สามารถน าความรเรองการแปรผนไปใชในการค านวณหาก าไร , ราคาทน , ยอดขาย และดอกเบย เปนตน

ตวอยาง ในการจดงานวนเกดมคาใชจายในการจดงาน

แปรผนตรงกบจ านวนแขกทเชญมา ถาเชญแขกมา 60 คน

จะเสยคาใชจาย 12,000 บาท ถาเชญแขกมา 45 คน

จะเสยคาใชจายเทาไร

วธท า ให x แทนจ านวนแขกทเชญมา y แทนคาใชจายในการจดงาน

คาใชจายจดงานแปรผนตรงกบจ านวนแขกทเชญมา : y = kxเชญแขกมา 60 คน (x) เสยคาใชจาย 12,000 บาท (y)แทนคา 12,000 = k (60)

200 = kสมการของการแปรผนคอ y = 200xเชญแขกมา 45 คน (x) จะเสยคาใชจายเทาไร (y) : y = 200 (45) = 9,000 เชญแขกมา 45 คน จะเสยคาใชจาย 9,000 บาท

ตวอยาง ในการผลตสนคาอยางหนง ตนทนคงทตอหนวย

(y บาท) แปรผกผนกบจ านวนหนวยทผลต (x หนวย)

ถาผลตสนคาทงหมด 10,000 ชน ตนทนคงทเฉลยตอชน

เทากบ 20 บาท ถาผลตสนคาทงหมด 40,000 ชน ตนทน

คงทเฉลยตอชนเปนเทาไร

วธท าตนทนคงทตอหนวย(y) แปรผกผนกบจ านวนหนวยทผลต (x ) y = k

x ผลตสนคาทงหมด 10,000 ชน ตนทนคงทเฉลยตอชนเทากบ 20 บาทแทนคา 10,000 = k ÷ 20 จะได 200,000 = kสมการของการแปรผนคอ y = 200,000

xถาผลตสนคาทงหมด 40,000 ชน ( x ) ตนทนคงทเฉลยตอชนเปนเทาไร ( y ) y = 200,000 ÷ 40,000 = 5 ถาผลตสนคาทงหมด 40,000 ชน ตนทนคงทเฉลยตอชนเปน 5 บาท

แบบทดสอบหลงเรยนจงเลอกค าตอบทถกตองทสด1. ถา y แปรผนตรงกบ x และ x = 8 เมอ y = 72 แลว y มคาเทาไร เมอ x = 20

1. 9 2. 903. 160 4. 180

2. ถา y แปรผกผนกบ x และ x = 4 เมอ y = 60 แลว x มคาเทาไรเมอ y = 30

1. 6 2. 83. 9 4. 10

3. ถา y แปรผนเกยวเนองกบ x และ z โดยท x = 6 ,

y = 48 และ z = 4 แลว y มคาเทาไร เมอ x = 10 และ

z = 18

1. 288 2. 294

3. 360 4. 390

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน

1.) 4 2.) 2 3.) 3

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

1.) 4 2.) 2 3.) 3

ขอขอบคณภาพจากInternet