คณิตศาสตร์วิศวกรรม 2 mathematics engineering iiล...
TRANSCRIPT
คณตศาสตรวศวกรรม 2 Mathematics Engineering II
1
2
ค าอธบายรายวชา สมการเชงอนพนธสามญอนดบหนงและอนดบสอง ผลเฉลยของสมการเชงอนพนธสามญอนดบหนงและอนดบสอง สมการเชงอนพนธยอย จ านวนเชงซอน การด าเนนการจ านวนเชงซอน เมทรกซ ตวก าหนด การด าเนนการเมทรกซ การประยกตใชทางเทคโนโลยไฟฟา
สมการเชงอนพนธ (Differential Equations)
3
4
บทท 1 บทน า (Introduction)
นยาม 1.1 สมการทมอนพนธของตวแปรตาม (Dependent Variables) หนงตวหรอมากกวา เทยบกบตวแปรตน (Independent Variables)หนงตวหรอมากกวา ปรากฏในสมการ เราเรยกสมการนวา สมการเชงอนพนธ (Differential Equation)
ตวอยาง
4
บทท 1 บทน า (Introduction)
สมการเชงอนพนธ (Differential Equations)
สมการเชงอนพนธสามญ (Ordinary differential Equation; ODE)
สมการเชงอนพนธยอย (Partial Differential Equation: PDE)
5
6
นยาม 1.1.1 สมการเชงอนพนธสามญ (Ordinary differential Equation; ODE) คอสมการทประกอบดวยอนพนธของตวแปรตามเทากบหนงตวหรอมากกวา เทยบกบตวแปรอสระหรอตวแปรตนเพยงหนงตวแปรเทานน
บทท 1 บทน า (Introduction)
ตวอยาง
6
นยาม 1.1.2 สมการเชงอนพนธยอย (Partial Differential Equation: PDE) คอ สมการทประกอบดวยอนพนธของตวแปรตามหนงตวหรอมากกวาเทยบกบตวแปรตน มากกวาหนงตวแปร
บทท 1 บทน า (Introduction)
02
2
y
u
x
uv
t
v
s
v
ตวอยาง
0
z
A
y
A
x
A zyx
7
นยาม 1.1.3 อนดบ (Order) ของอนพนธ คอ อนดบสงสดของอนพนธใน สมการเชงอนพนธ
02
2
xydx
dy
dx
yd
02
2
3
3
xydx
dy
dx
yd
dx
yd
สมการอนดบท 2
สมการอนดบท 3
บทท 1 บทน า (Introduction)
02
2
3
3
4
4
xydx
yd
dx
yd
dx
yd สมการอนดบท 4
ตวอยาง
8
นยาม 1.4 ดกร (Degree) ของสมการเชงอนพนธ คอ จ านวนเตมบวกซงเปนก าลงสงสดของอนพนธอนดบสงสดในสมการเชงอนพนธ
บทท 1 บทน า (Introduction)
ตวอยาง 0
2
2
xydx
dy
dx
yd
02
2
3
3
xydx
dy
dx
yd
dx
yd
02
2
3
3
4
4
xydx
yd
dx
yd
dx
yd
9
บทท 1 บทน ำ (Introduction)
สมการทวไปของสมการเชงอนพนธอนดบท n แทนดวยสญลกษณ
0,...,,,
dx
yd
dx
dyyxF
n
0,...,,,, nyyyyxFหรอ
นยำม 1.5 สมการอนพนธแบบเชงเสนเขยนอยในรป
xaxaxaxa nn 011 ,...,,, สมประสทธ และ เปน ฟงกชนของ และ
xg
0xan
x
x g y x a dx
dy x a
dx
y d x a
dx
y d x a
n
n
n n
n
n
0 1 1
1
1 ...
10
ลกษณะของสมการเชงเสน คอ
xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
011
1
1 ...
บทท 1 บทน า (Introduction)
สมการอนพนธแบบเชงเสน
• ตวแปรตามและอนพนธของตวแปรตามมเลขชก าลงเปน 1 • สมประสทธแตละตวเปนตวแปรอสระ x เทานน • ตวแปรตามหรออนพนธของตวแปรตามของสมการ ไมอยในรปฟงกชนอดศย
11
เลขท 1-7
เลขท 8-14
เลขท 15-21
เลขท 22-28
เลขท 29-35
เลขท 36-43 12
13 13
บทท 2 สมการเชงอนพนธ (First-Order Differential Equations)
2.1 สมการเชงอนพนธอนดบหนงและระดบขนหนง เขยนในรปทวไป
yxfdx
dy,
หรอ
0,, dyyxNdxyxM
เมอ และ เปนฟงกชนของตวแปร x และ y yxM , yxN ,
083 32 dyxydxyx
เชน สามารถเขยนในรป คอ 3
2
8
3
xy
yx
dx
dy
0,, dyyxNdxyxM
13
2.1 สมการเชงอนพนธแบบแยกตวแปรได (Separable Variable Equation)
นยาม สมการเชงอนพนธทอยในรป เรยกวาสมการเชงอนพนธ แบบแยกตวแปรได กตอเมอสามารถจดอยในรป
0,, dyyxNdxyxM
0 dyyBdxxA
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
014)2 2 dyxxydx
0)3 dyyxydxxxy
0)4 2222 dyyxyxdxxxy
yyx
x
dx
dy
3
2
)5
0)6 22
ydyxdxe y
0sinsincoscos)1 dyyxdxyx
32
เลขท 1-7
เลขท 8-14
เลขท 15-21
เลขท 22-28
เลขท 29-35
เลขท 36-43
นยาม 2.2.1 ฟงกชน จะเรยกวาเปนฟงกชนเอกพนธ (Homogeneous Function) ระดบขน k ใน x และ y ทท าให ทกๆจ านวนจรง
yxf ,
yxfttytxf k ,, 0t
2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)
บทท 2 สมการเชงอนพนธ (First-Order Differential Equations)
ตวอยาง
33
34
35
36
37
38
วธแกสมการเชงอนพนเอกพนธกระท าโดยการเปลยนตวแปร เรยกวาการแปลงรป (transformation) ดวยการก าหนดให หรอ น าไปแทนในสมการ ซงจะกลายเปนสมการแบบแยกตวแปร สามารถแกสมการไดงายขน
vxy vyx
2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)
ทฤษฎ 2.2.1 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ สามารถแปลงใหเปนสมการเชงอนพนธ แบบแยกตวแปรไดดวยการเปลยนตวแปร หรอ vxy vyx
39
40
41
42
ตวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการดงตอไปน 2 24 3 2 0x y dx xy dy
43
44
45
46
สอบยอยครงท 3 ใหนกศกษาพสจนวาสมการดงตอไปนเปนสมการเชงอนพนธแบบเอกพนธหรอไม และมระดบขนใด (แบงกลมละ 3 คน)
3 2 3 22 3 tan 4 0x
x y x dx x xy dyy
47
เลขท 1-5
เลขท 6-10
เลขท 11-15
เลขท 16-20
เลขท 21-25
เลขท 26-33 48
นยาม 2.2.1 ฟงกชน จะเรยกวาเปนฟงกชนเอกพนธ (Homogeneous Function) ระดบขน k ใน x และ y ทท าให ทกๆจ านวนจรง
yxf ,
yxfttytxf k ,, 0t
2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)
บทท 2 สมการเชงอนพนธ (First-Order Differential Equations)
ตวอยาง
49
2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)
50
51
52
53
นยาม 2.2.2 สมการเชงอนพนธอนดบหนงและระดบหนง จะเรยกวาเปนสมการเชงอนพนเอกพนธ ถา และ เปนฟงกชนเอกพนธระดบขนเดยวกนเทานน
0,, dyyxNdxyxM
yxM , yxN ,
ตวอยาง
2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)
54
2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)
55
วธแกสมการเชงอนพนเอกพนธกระท าโดยการเปลยนตวแปร เรยกวาการแปลงรป (transformation) ดวยการก าหนดให หรอ น าไปแทนในสมการ ซงจะกลายเปนสมการแบบแยกตวแปร สามารถแกสมการไดงายขน
vxy vyx
2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)
ทฤษฎ 2.2.1 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ สามารถแปลงใหเปนสมการเชงอนพนธ แบบแยกตวแปรไดดวยการเปลยนตวแปร หรอ vxy vyx
56
2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)
57
2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)
58
2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)
59
2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)
60
2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)
61
62
2.2 สมการเชงอนพนธแบบเอกพนธ (Homogeneous differential Equations)
62
เลขท 1-5
เลขท 6-10
เลขท 11-15
เลขท 16-20
เลขท 21-25
เลขท 26-33 63
2.3 สมการเชงอนพนธแบบแมนตรง (Exact differential Equations)
นยาม 2.3.1 สมการเชงอนพนธ เรยกวาเปนสมการเชงอนพนธแบบแมนตรงไดกตอเมอมฟงกชน บางฟงกชนทท าให เปนผลตางอนพนธแมนตรงของ นนคอ
0,, dyyxNdxyxM
yxF , dyyxNdxyxM ,,
yxF , dyyxNdxyxMyxFd ,,),(
0),( yxFd
จากนยามสงเกตวา
cyxFd ),(
ท าการอนทเกรต
cyxF ,จะได
ซงเปนผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ 0,, dyyxNdxyxM
dyyxNdxyxMyxFd ,,),(
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
ตวอยาง จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธแบบแมนตรง 02
2
dy
y
xdx
y
x
79
ตวอยาง จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธแบบแมนตรง 02
2
dy
y
xdx
y
x
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธแบบแมนตรง
1. ทดสอบดวา เปนสมการเชงอนพนธแบบแมนตรง หรอไม โดยการพจารณาวา หรอไม
0,, dyyxNdxyxM
x
N
y
M
2. ด าเนนการหาผลเฉลย
91
วธมาตรฐาน
จากสมการ จะม เปนผลเฉลยทวไป 0,, dyyxNdxyxM cyxF ,
แสดงวา dyyxNdxyxMyxdF ,,,
dyy
Fdx
x
FdF
0
dy
y
Fdx
x
Fและ
นนคอ
yxMx
F,
xyxMF ,
ท าการอนทเกรตยอย จะได
ygxyxMF ,
)1.......(, ygxyxMF
เทยบสมประสทธของ จะได dx
92
เทยบสมประสทธของ จะได dy
yxNy
F,
yyxNF ,
ท าการอนทเกรตยอย จะได
xhyyxNF ,
)2.......(, xhyyxNF
ผลเฉลยไดจากการน าสมการ (1)และ (2) มารวมกน โดยมหลกการดงน 1. ถาพจนในฟงกชนทงสองเหมอนกน พจนตอพจน ใหลอกมาหนงพจน 2. ลอกพจนทไมเหมอนกนมาทงหมด
ตวอยาง
xhyyxyxF
ygyyxyxF
932,
52,
23
23
09532, 21
223 ccyyyxyxF
21
223 432 ccyyyx
cyyyx 432 223
ดงนนผลเฉลยทวไป คอ
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
เลขท 1-5
เลขท 6-10
เลขท 11-15
เลขท 16-20
เลขท 21-25
เลขท 26-33 104
2.4 ตวประกอบเพออนทเกรต (Integrating Factors)
นยาม ถาสมการเชงอนพนธ ไมเปนสมการเชงอนพนธแบบแมนตรง แตถาสามารถหาฟงกชน มาคณสมการแลวท าใหเปนสมการเชงอนพนธแบบแมนตรงได เรยกฟงกชน วาตวประกอบเพออนทเกรตของสมการเชงอนพนธ
0,, dyyxNdxyxM
0, yxu
yxu ,
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
2.4 ตวประกอบเพออนทเกรต (Integrating Factors)
นยาม ถาสมการเชงอนพนธ ไมเปนสมการเชงอนพนธแบบแมนตรง แตถาสามารถฟงกชน มาคณสมการแลวท าใหเปนสมการเชงอนพนธแบบแมนตรงได เรยกฟงกชน วาตวประกอบเพออนทเกรตของสมการเชงอนพนธ
0,, dyyxNdxyxM
0, yxu
yxu ,
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
เลขท 1-9
เลขท 10-18
เลขท 19-27
เลขท 28-36
เลขท 37-45
เลขท 46-53
ลกษณะของสมการเชงเสน คอ
xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
011
1
1 ...
สมการอนพนธแบบเชงเสน
• ตวแปรตามและอนพนธของตวแปรตามมเลขชก าลงเปน 1 • สมประสทธแตละตวเปนตวแปรอสระ x เทานน • ตวแปรตามหรออนพนธของตวแปรตามของสมการ ไมอยในรปฟงกชนอดศย
2.5 สมการเชงอนพนธเชงเสน (Linear differential equation of first order)
133
2.5 สมการเชงอนพนธเชงเสน (Linear differential equation of first order)
นยาม สมการเชงอนพนธสามญอนดบหนงเรยกวาสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบหนง กตอเมอสามารถจดอยในรป
xQyxPdx
dy yQxyP
dy
dxหรอ
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
2.5 สมการเชงอนพนธเชงเสน (Linear differential equation of first order)
นยาม สมการเชงอนพนธสามญอนดบหนงเรยกวาสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบหนง กตอเมอสามารถจดอยในรป
xQyxPdx
dy yQxyP
dy
dxหรอ
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
การบาน เลขท 1-9
เลขท 10-18
เลขท 19-27
เลขท 28-36
เลขท 37-45
เลขท 46-53 159