กลศาสตร์ของไหล - rmutphysics · v 1 v 2 p q...
TRANSCRIPT
กลศาสตรของไหล
อ.ดร. อรรถกฤต ฉตรภต
อทกพลศาสตร
อทกพลศาสตร เปนวชาทวาดวยการเคลอนทของของไหล
เราจะพจารณาของไหลทเปนอดมคต หรอ Ideal fluid ซงมคณสมบตสามอยางคอ
1. ตองมการไหลแบบคงตว (Steady flow)
2. การไหลตองเปนแบบไมหมน (Irrotational flow)
3. การไหลเปนแบบทอดไมได (Incompressible flow)
4. ไมมแรงเสยดทานภายในหรอไมมความหนด (Nonviscous flow)
สายกระแส
สาหรบการไหลทเปนการไหลแบบคงตว เรา
จะนยามสายกระแส หรอ Steam line ซงมวล
เลกๆของๆไหลทอยบนเสนนจะเคลอนท
ตามสายกระแส โดยมทศทางสมผสกบสาย
กระแส
สาหรบการไหลแบบคงตวสายกระแสจะไมตดกน
หลอดของการไหล
ในของไหลทกาลงเคลอนท เราสามารถ
ลากสายกรแสไดจานวนมาก ในกรณการ
ไหลแบบคงตว เราสามารถเลอกสาย
กระแสจานวนหนงหรอมดหนงซง
ประกอบกนเปนทอหรอหลอดดงรป เรา
เรยกทาหรอหลอดนวา หลอดของการไหล
หรอ tube of flow
สมการตอเนอง
v1
v2
P
Q
พจารณาหลอดการไหลดงรป ใหอนภาคทตาแหนง P และ Q มความเรว v1 และ v2ตามลาดบ ให A1 และ A2 เปนพนทหนาตดตงฉากกบสายกระแสทตาแหนง P และ Q
ในชวงเวลา Δt สวนของไหลเคลอนทไดระยะทางเทากบ vΔt ดงนนมวลของไหลท
ผานพนท A1 คอ
1 1 1 1 1 1m V A v tρ ρΔ = Δ = Δ
เมอ ρ1 คอความเขมขนทตาแหนง P ซง Δt จะตองมคานอยมากจนถอไดวา A1 และ v1 มคาคงท
v1
v2
P
Q
เมอ
1 11 1 1 1 1 10t
m dmA v A vt dt
ρ ρΔ →
Δ= ⎯⎯⎯→ =
Δ
0tΔ → ทตาแหนง P เราจะไดวา
และทตาแหนง Q เราจะไดวา2
2 2 2dm A vdt
ρ=
ปรมาณ และ
เรยกวา
ฟลกซมวล (Mass flux)
คอ มวลทผานพนท A1 และ A2 ตอเวลา 1
วนาท
1dm dt 2dm dt
v1
v2
P
Q
เนองจากเปนของไหลซงอดไมได 1 2ρ ρ ρ= =
และเนองจากไมมของไหลเขาหรออกจากหลอดของการไหล มวลของไหลทผาน
ภาคตดขวางใดๆตอหนงหนวยเวลา หรอ ฟลกซมวลจะมคาคงทเสมอ
นนคอ1 2dm dm
dt dt=
หรอ 1 1 2 2v A v Aρ ρ=
นนคอ Avρ = คาคงท
และ1 1 2 2A v A v=
ฟลกซมวล และ ฟลกซของปรมาตร
เราไดนยาม ฟลกซมวล (Mass flux) คอ มวลทผานพนท ตอเวลา 1 วนาท
mdmR Avdt
ρ= =
เราอาจจะนยามฟลกซของปรมาตรทไหลผานหรอ Volume flow rate ไดจาก
VdVR Avdt
= =
ทดสอบความเขาใจ
จากรป แสดงระบบทอสงนา พรอมทศทางและขนาดของอตราการไหลเขาและไหลออก
ของปรมาตรของๆไหลทตาแหนงตางๆ แสดงในหนวย (cm3/s) จงหาขนาดและทศทาง
ของ จงหาขนาดและทศทางของ x
x ?
การไหลมลกษณะคงตวไมมการสะสมของของไหลในทอ
( ) ( )4 8 4 5 2 6 021 8 0 13
xx x+ + + + − + =
+ − = → = − ไหลออกดวยอตรา 13 cm3/s
Daneil Bernoulli
เดเนยล แบรนล
ค.ศ. 1700 - 1782
ดาเนยล แบรนล นกคณตศาสตรซงเกดในฮอลแลนด
แตไปทางานอยในสวสเซอรแลนด ไดคดคนสมการท
ชอเดยวกบตวเขา คอ สมการแบรนล
หนงสอ Hydrodynamica
ซงแตงโดย แบรนล
ตพมพตงแตป ค.ศ. 1738
สมการของแบรนลล
พจารณาของไหลซงไมมความหนด ไหลแบบคงตวผาน
ทอ ซงทางซายมพนทหนาตด A1 และทางขวา A2โดยอยในระยะ y1 และ y2 ตามลาดบ และถอวาการ
ไหลอยในสถานะคงตว
กาหนดให
ของไหลท A1 มอตราเรว V1 และความดน p1
ของไหลท A2 มอตราเรว V2 และความดน p2
จากทฤษฎบทของงานและพลงงาน ผลทางของพลงงาน (จลนและศกย) จะเทากบงานททา
แรงทกระทาตอดานซายและดานขวามคาเทากบ p1A1 และ p2A2 ตามลาดบ เมอของไหล
เคลอนตว จากรป (a) ไปยง รป (b) งานททาทางดานซายและดานขวาคอ
1 1 1 1 2 2 2 2,W p A l W p A l= Δ = − Δ
1lΔ
2lΔ
งานลพธของการเคลอนทคอ
( )1 2 1 1 1 2 2 2W W W p A l p A l= + = Δ + − Δให
1 1 2 2V A l A lΔ = Δ = Δ
คอปรมาตรของของไหลทพจารณา ทางดานซายและขวา
ตามลาดบ ซงสามารถเขยนไดในรปของความหนาแนน
ของของไหล ρmVρ
Δ =
1lΔ
2lΔ
จากทฤษฎบทของงานและพลงงาน
( ) 2 21 1 1 2 2 2 2 2 1 1
1 12 2
p A l p A l mv mgy mv mgy⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ + − Δ = + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
จะได
( ) ( ) 2 21 2 2 1 2 1
1 12 2
mp p mg y y mv mvρ
− − − = −
หรอ
2 21 1 1 2 2 2
1 12 2
p v gy p v gyρ ρ ρ ρ+ + = + +
หรอ
21
12
p v gyρ ρ+ + = คงท
สมการแบรนล
สรปหลกการสาคญ
จากสมการตอเนอง1 1 2 2A v A v=
จะไดวา 12 1 1
2
Av v vA
= >
2 21 1 2 2
1 12 2
p v p vρ ρ+ = +
( )2 22 1 2 1 1
12
p p v v pρ= − − <
จากสมการแบรนล
จะไดวาพนทนอย (หรอ สายกระแสชดกน)
ความเรวจะมาก
ความดนจะนอย
แรงยกของปกเครองบน
F
v2
v1
ในการออกแบบปกเครองบนเราตองการใหเกด
แรงยกทปก จากรปจะเหนวาสายกระแสดานบน
ปกเครองบนจะอยชดกนมากกวาสายกระแส
ดานลางปก ซงหมายความวาความเรวลมเหนอ
ปกสงกวาความเรวลมใตปก
จากหลกของแบรนล แสดงวาความดนของ
อากาศใตปก จะสงกวาความดนอากาศเหนอปก
นนคอมแรงยกของปกเครองบนนนเอง
F
v2
v1
สมมตให v1 p1 และ v2 p2 เปนความเรวและแรงดนของอากาศ เหนอ และใต ปก
เครองบน ตามลาดบ จากสมการของแบรนล และ อนโลมวาปกเครองบนบางมากเราจะได
2 21 1 2 2
1 12 2
p v p vρ ρ+ = +
หรอ
( )2 22 1 1 2
1 02
p p v vρ− = − >
นนคอแรงดนใตปกเครองบนมคามากกวาเหนอ
ปกเครองบน ถาปกเครองบนมพนทใตปก
เทากบ A จะไดขนาดแรงยกขนทปกของ
เครองบนคอ
( ) ( )2 22 1 1 2
12
F p p A v vρ= − = −
โศกนาฏกรรมของยอดนกแขงรถ ไอตน เซนา
วนท 1 พฤษภาคม พ.ศ. 2537 ยอดนกแขงรถชาวบราซล ไอตน เซนา ประสบอบตเหตเสยชวต
ระหวางการแขงขน ซานมารโนกรงปร ณ. ประเทศอตาล
อบตเหต หรอ การฆาตวตาย ? เราจะใชฟสกสมาทาความเขาใจเหตการณครงนน
Down force กบรถยนต
air
2W
2W
sf
แรงกดหรอ Down force คอเคลดลบของรถแขงความเรวสง มนจะกดตวรถและยางรถยนต
เขากบพนถนน ทาใหรถแขงสามารถทจะเลยวเขาโคงไดดวยความเรวสง ถาสามารถ
ออกแบบรถ ทมแรงกดลงได มากถง 4 เทาของนาหนกรถ จะสามารถเขาโคงไดดวย
ความเรวทมากกวาถง 2 เทาตว ....
เชนกรณทรถจะเลยวซาย
2
s smvf N
rμ= =
แรงเขาส ศ.ก. แรงกด
Spoiler ผลกอากาศขนขางบน และอากาศกจะผลกรถให
ตดถนน ทาใหแรง N มคามากขน
Aerodynamics ของรถแขง F1
เพอทจะสรางแรงกด Downforce ใหกบรถแขง F1 วศวกรออกแบบใหใตทองรถ อยชด
กบพนถนนมากทสดเทาทจะทาได ซงอาจจะสงกวาพนถนนเพยงไมกมลลเมตร
เมอรถแขงวงดวยความเรว อากาศจะไหลผานรถทงดานบนและดานลาง
อากาศทไหลผานใตทองรถจะเทยบไดกบอากาศทไหลในทอซงพนทหนาตดลดลง
0A 1A
ความเรวของอากาศซงไหลผานใตทองรถ (พนทหนาตด A1) จะมคามากกวาทหนารถแขง ซง
จากสมการแบรนล เราจะพบวาความดนทใตทองรถจะมคาตากวาความดนบรรยากาศ
ทาใหมแรงกด down force เพมขน
แมวาการทาใหทองรถเตยลงใกลพนถนนจะทาใหรถวงเรวขน
แตมนกสามารถทาใหรถเสยการทรงตวไดเชนกน ในกรณทใตทองรถเตยเกนไป
จนมนไปแตะพนถนนเขา ...
ผเชยวชาญในวงการแขงรถ Formula 1 ตางเชอวา สาเหตททาใหรถของเซนาเสยการทรงตว
นาจะมาจากการทใตทองรถยนตต ากวาระยะปกตจนตดพนถนน ทาใหสญเสยแรงกดขณะท
เขาโคงดวยความเรวสง
ตวอยาง
เครองบนมมวล 6,000 กโลกรม และมพนทใตปก 60 ตารางเมตร ถาความดนใตปกเทากบ
ขณะบนในแนวระดบทความสง 4,000 เมตร จงหาความดนเหนอปก
เครองบน
50.60 10 Pa×
วธทา
แรงยกของปกเครองบนทงสองขางจะรบนาหนกของเครองบน
( )2 1F p p A= −แรงยกจากปกเครองบนหนงปกมคาเทากบ
( )( )
2 1
51
41
2 2
2 0.60 10 60 6,000 9.8
5.95 10 Pa
F p p A mg
p
p
= − =
× × − × = ×
= × ตอบ
Spoiler
air
2W
2W
sf
Spoiler ทาหนาทตรงกนขามกบปก
เครองบน (ปกเครองบนกลบหว) ผลกรถให
ตดถนน ทาใหแรง N มคามากขน
2
s smvf N
rμ= =
v นอย, p มาก
v มาก
p นอย
สาหรบรถแขงอาจจะเพม Down force ไดโดยใหใตทองรถอยใกลพนมากๆ อากาศจะ
ไหลผานรถทงดานบนและดานลาง อากาศทไหลผานใตทองรถจะเทยบไดกบอากาศท
ไหลในทอซงพนทหนาตดลดลง
0A 1A
ความเรวของอากาศซงไหลผานใตทองรถ (พนทหนาตด A1) จะมคามากกวาทหนารถแขง ซง
จากสมการแบรนล เราจะพบวาความดนทใตทองรถจะมคาตากวาความดนบรรยากาศ
ทาใหมแรงกด down force เพมขน
Venturi meter
มาตรเวนทร ดงทแสดงในรป เปน
เครองมอทใชวดอตราเรวของๆเหลว
ในทอ ถาของเหลวมความหนาแนน
ρ ไหลผานทอซงมพนทหนาตด Aและทคอคอดมพนทหนาตด a มมา
โนมเตอร รปตวยตดกบทอทาหนาทวดความดน
จากสมการแบรนลล ทจด 1 และ 2 จะได
ทาหนาทวดความดน
2 21 1 2 2
1 12 2
p v p vρ ρ+ = +
ดงนนผลตางของความดนจะได ( ) ( )2 2 2 21 2 2 1
1 12 2
p p v v v Vρ ρ− = − = −
จากสมการตอเนองเราสามารถหา
เขยน v ในรป V ได
AV av=
หรอ Av Va
=
ความดนทตางกนระหวางจด 2 และ 1 คอ
22
1 2 2
1 12
Ap p Va
ρ⎛ ⎞
− = −⎜ ⎟⎝ ⎠
นสตดรายละเอยดเพมเตมไดในหนงสอฟสกส ๑