แบบแผนในการแกไขปญหาทางคณิตศาสตร...

ฝ�ายวิชาการคณิตศาสตร� SE-ED Learning Center Tel. 0-2739-8191 e-mail: [email protected]

หน3าที่ 1 / 23

แบบแผนในการแกไขป ญหาทางคณิตศาสตร� (Heuristics)

จากการวิเคราะห�โจทย�ป=ญหาทางคณิตศาสตร�ในระดับประถมศึกษาจากทั่วโลก จนทําให3หลักสูตรคณิตศาสตร�เพ่ือพัฒนาทักษะการคิด และการแก3ป=ญหา “Fan Math” (Fan Math - Problem Solving Heuristics Mathematics Enrichment Course) สามารถสรุปแบบแผนในการแก3ไขป=ญหาทางคณิตศาสตร� (Heuristics) ได3ทัง้สิ้น 12 วิธี โดยมีหลักคิดในการแก3ไขป=ญหาในรูปที่ 1

รูปที่ 1: แนวทางในการแก3ไขป=ญหาทางคณิตศาสตร�แบบ FAN Math

เร่ิมต3น

ทําความเข3าใจกับโจทย�ป=ญหา และข3อมูล และความสัมพันธ�ตcางๆ ที่โจทย�กาํหนดให3

ดําเนินการแก3ป=ญหาตามแบบแผนที่เลือก

ตรวจสอบคําตอบที่ได3

ใชc

กําหนดวิธใีนการแก3ป=ญหาตามแบบแผน (Problem Solving Heuristics)

ต้องปรับปรุง แก้ไข หรือเปลี�ยน

วิธีการแก้ปัญหาหรือไม ่

คําตอบท่ีได3สมเหตุสมผล สอดคล3องกับข3อเท็จจริงหรือไมc

กระบวนการเรียนรู3ตcอเน่ือง � การปรับปรุงวธีิการแก3ป=ญหา � การหาวิธีในการแก3ไขป=ญหาอ่ืนๆ หรือพิจารณาวcา

มีคําตอบอ่ืนๆ อีกหรือไมc � การนําเอาคําตอบที่ได3 เชื่อมโยงสูcบทเรียนตcอไป

ใชc

ไมcใชc

ไมcใชc


หน3าที่ 2 / 23

แบบแผนที่ 1 – ใชแผนภาพ (Use a Diagram / Model)

เปfนการใช3แผนภาพ (Diagram) ในการชcวยตีความโจทย� อธิบายข3อมูลเพ่ือชcวยให3สามารถทําความเข3าใจกับป=ญหาได3งcายข้ึน จนนําไปสูcการแก3ป=ญหาได3อยcางถูกต3อง ซ่ึงสามารถอธิบายได3ดังรูปที่ 2

รูปที่ 2: แบบแผนการใช3แผนภาพในการแก3ป=ญหา (Use a Diagram / Model)

ตัวอยcางโจทย�: เสา 10 ต3นป=กเปfนแนวเส3นตรง โดยระยะหcางระหวcางเสาเทcาๆ กัน เสาต3นที่ 3 และต3นที่ 6 หcางกันเปfนระยะทาง 36 เมตร จงหาวcาระยะหcางระหวcางเสาต3นแรกกับต3นสุดท3ายหcางกันก่ีเมตร

แบบแผนที่ใช3: “ใช3แผนภาพ (Use a Diagram / Model)”

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

จากแผนภาพ ระยะหcางระหวcางเสาต3นที่ 3 และเสาต3นที่ 6 น้ันมี 3 ชcวง ซ่ึงมีระยะหcางทัง้สิ้น 36 เมตร

ดังน้ันแตcละชcวงมีระยะหcาง = 36 ÷ 3 = 12 เมตร

ระยะหcางระหวcางเสาต3นแรก กับเสาต3นสุดท3ายมีระยะหcางทัง้สิ้น 9 ชcวง ดังน้ันจึงมีระยะหcาง = 9 × 12= 108 เมตร

การวาดภาพประกอบ (Pictorial Model)

การใช3พีชคณิต (Algebraic Equation)

โจทย�ป=ญหา (Word Problem)

คําตอบ (Solution)

36 เมตร


หน3าที่ 3 / 23

นอกจากน้ีตามแนวคิดในการใช3ภาพ 2 มิติ หรือโมเดล 3 มิติในการแก3ไขป=ญหา (Spatial Visualization) หลักสูตรฯ Fan Math ยังได3กําหนดแบบแผนในการแก3ไขป=ญหาโดยใช3โมเดลรูปแทcง (Bar Modeling หรือ Model Approach) ในการชcวยแก3ป=ญหาในโจทย�ประเภท “โจทย�ป=ญหา (Word Problem)” อีกด3วย โดยแบcงออกเปfน 2 แบบแผนยcอย ดังน้ี

1. โมเดลสcวน และทั้งหมด (The Part – Whole Model) เปfนรูปแบบที่ใช3ในโจทย�ป=ญหาที่ให3ข3อมูลทัง้หมด หรือข3อมูลบางสcวนมา จากน้ันจึงถามคําถามให3แก3ป=ญหา

ตัวอยcางโจทย�: ในการแขcงขันตอบคําถามคณิตศาสตร�คร้ังหน่ึงมีนักเรียนเข3ารcวมแขcงขันทั้งสิ้น 253 คน ถ3าในจํานวนน้ีเปfนนักเรียนชาย 134 คน จงหาวcามีนักเรียนหญิงเข3ารcวมการแขcงขันตอบคําถามคณิตศาสตร�ก่ีคน

แบบแผนที่ใช3: “ใช3แผนภาพ (Use a Diagram / Model) โมเดลรูปแทcง (Bar Modeling)”

จํานวนนักเรียนหญิง = 253 – 134 = 119

ตัวอยcางโจทย�: นักเรียน 5 คนหุ3นกันซ้ือของขวัญ โดยแตcละคนออกเงินคนละเทcาๆ กัน ถ3าพบวcานักเรียนคนหน่ึงต3องออกเงิน 6 บาท จงหาราคาของของขวัญวcามีราคาเทcาไหรc


นักเรียนชาย นักเรียนหญิง

253

134 ?


หน3าที่ 4 / 23

ราคาของขวัญเทcากับ = 5 × 6 = 30 บาท

ตัวอยcางโจทย�: นักเรียน 48 คนเดินทางไปเที่ยวสวนสนุก 3

8 ของนักเรียนทั้งหมดเปfน

นักเรียนผู3หญิง จงหาวcามีนักเรียนผู3ชายที่ไปเที่ยวสวนสนุกก่ีคน

แบบแผนที่ใช3: “การใช3แผนภาพ (Use a Diagram / Model) โมเดลรูปแทcง (Bar Modeling)”

8 หนcวย = 48

ดังน้ัน 1 หนcวย = ��

� = 6

5 หนcวย = 5 × 6 = 30

ดังน้ัน มีนักเรียนชายไปเที่ยวสวนสนุกทั้งสิ้น 30 คน

2. โมเดลเปรียบเทียบ (The Comparison Model) เปfนรูปแบบที่ใช3ในโจทย�ป=ญหาที่ให3ข3อมูลมาต้ังแตc 2 ข3อมูลข้ึนไป โดยมีเงื่อนไขความสัมพันธ�ระหวcางชุดข3อมูลที่โจทย�กําหนดมาให3 จากน้ันจึงถามคําถามให3แก3ป=ญหา

?

6

48

นักเรียนหญิง นักเรียนชาย

1 หนcวย


หน3าที่ 5 / 23

ตัวอยcางโจทย�: ธวัชชัยออมเงินได3 184 บาท ธนาวุธออมเงินได3น3อยกวcาธวัชชัยอยูc 63 บาท จงหาวcาธนาวุธออมเงินได3เทcาไหรc


ธนาวุธออมเงิน = 184 – 63 = 121 บาท

ตัวอยcางโจทย�: เกษตรกรเล้ียงไกcอยูc 35 ตัว เขาเล้ียงไกcเปfนจํานวน 5 เทcาของเปfด จงหาวcาเขาเล้ียงเปfดไว3ทั้งสิ้นก่ีตัว


มีจํานวนเปfด = 35 ÷ 5 = 7 ตัว

184

?

63

ธวัช

ธนาวุธ

35

?

ไกc

เปfด


หน3าที่ 6 / 23

ตัวอยcางโจทย�: พรประภาเก็บสะสมแสตมปyไว3ทั้งหมด 1170 ดวง เขามีแสตมปyของประเทศไทยเปfน 4 เทcาของแสตมปyตcางประเทศ จงหาวcาพระประภาเก็บสะสมแสตมปyของประเทศไทยไว3ทั้งสิ้นก่ีดวง


แสตมปyทั้งหมด = 5 หนcวย

1 หนcวย = ��

� = 234

4 หนcวย = 4 × 234 = 936

ดังน้ันพรประภาเก็บสะสมแสตมปyของประเทศไทยไว3ทั้งสิ้น 936 ดวง

แบบแผน – ใช3แผนภาพ (Use a Model / Diagram) หรือโมเดลรูปแทcง (Bar Modeling) ยังสามารถนําไปประยุกต�ใช3กับโจทย�ป=ญหาคณิตศาสตร�ในระดับประถมศึกษาในอีกหลายๆ เร่ือง อาทิ เศษสcวน อัตราสcวน ร3อยละ สมการ และพีชคณิตตcางๆ ซ่ึงหากนักเรียนสามารถเรียนรู3ได3อยcางเข3าใจ และนําไปประยุกต�ใช3กับการเรียนคณิตศาสตร�ในโรงเรียน ก็จะทําให3นักเรียนสามารถเรียนคณิตศาสตร�ได3เข3าใจมากข้ึน สนุกมากข้ึน สามารถนําเอาวิชาคณิตศาสตร�มาประยุกต�ใช3ในชีวิตประจําวัน เพ่ือพัฒนาทักษะการคิดวิเคราะห�อยcางเปfนระบบ (Critical Thinking) ได3ดียิ่งข้ึน

ตัวอยcางโจทย�ประเภทอัตราสcวน: อัตราสcวนระหวcางจํานวนเงินที่วิชชุดามีกับจํานวนเงินที่วิทยามีอยูcที่ 3 : 5 ในตอนแรก ตcอมาวิชชุดาได3เงินจากคุณพcอมาเพ่ิมอีก 250 บาท

?

แสตมปyตcางประเทศ

แสตมปyประเทศไทย 1170


หน3าที่ 7 / 23

ในขณะที่วิทยาใช3เงิน 350 บาทไปซ้ือของเลcน ทําให3ทั้งสองคนมีเงินเทcากัน จงหาวcาวิชชุดามีเงินเทcาไหรcในตอนแรกกcอนได3รับเงินจากคุณพcอ

แบบแผนที่ใช3:

- “ใช3แผนภาพ (Use a Diagram / Model) โมเดลรูปแทcง (Bar Modeling)”

- “ใช3หลักการกcอนและหลัง (Use Before – After Concept)” (ซ่ึงจะอธิบายหลักการน้ีเพ่ิมเติมในภายหลัง)

จากโมเดลรูปแทcง (Bar Modeling) จะพบวcา

2 หนcวย = 250 + 350 = 600

ดังน้ัน 1 หนcวย = ��

� = 300

ในตอนแรกกcอนที่วิชชุดาจะได3รับเงินเพ่ิมจากคุณพcอ วิชชุดามีเงิน = 3 หนcวย

ดังน้ัน 3 หนcวย = 3 × 300 = 900

ดังน้ัน วิชชุดามีเงินอยูc 900 บาท ในตอนแรกกcอนได3รับเงินเพ่ิมจากคุณพcอ

1

วิชชุดา

วิทยา

กcอน:

วิชชุดา

วิทยา

หลัง:

250

350 บาท


หน3าที่ 8 / 23

ตัวอยcางโจทย�ประเภทร3อยละ: ชัยวัฒน� และสุทธิชาติมีแสตมปyรวมกัน 836 ดวง ชัยวัฒน�มีแสตมปyมากกวcาสุทธิชาติอยูc 20% จงหาวcาชัยวัฒน�มีแสตมปyมากกวcาสุทธิชาติอยูcก่ีดวง


220% � 836

20% � ��

�� × 20 = 76

ดังน้ันชัยวัฒน�มีแสตมปyมากกวcาสุทธิชาติอยูcทั้งสิ้น 76 ดวง

ตัวอยcางโจทย�ประเภทสมการเบ้ืองต3น: ฐิติมามีเงินเปfน 3 เทcาของชลธาร และชลธารมีเงินน3อยกวcาศักด์ิชายอยูc 200 บาท ในขณะที่ศักด์ิชายมีเงินมากกวcาฐิติมาอยูc 50 บาท จงหาวcาฐิติมา ชลธาร และศักด์ิชายมีเงินรวมกันเปfนเทcาไร


100%

ชัยวัฒน�

สุทธิชาติ 836

100% 120% 0%

ฐิติมา

ชลธาร

ศักด์ิชาย

200

50

x


หน3าที่ 9 / 23

กําหนดให3 ชลธารมีเงิน = x บาท

จากแผนภาพด3านบน ทําให3สามารถต้ังสมการ ได3ดังตcอไปน้ี

3x + 50 = x + 200

3x + 50 – 50 = x + 200 – 50

3x = x + 150

3x – x = x + 150 – x

2x = 150

x = ��

�

x = 75

ดังน้ันชลธารมีเงิน 75 บาท

ฐิติมามีเงิน = 3x = 3 × 75 = 225 บาท

ศักด์ิชายมีเงิน = x + 200 = 75 + 200 = 275 บาท

ทั้ง 3 คนมีเงินรวมกันทั้งสิ้น = 75 + 225 + 275 = 575 บาท

แบบแผนที่ 2 – ใชระบบตาราง (Make a Systematic List)

เปfนการจัดระเบียบข3อมูล โดยใช3เงื่อนไขที่โจทย�กําหนดมา ให3อยูcในรูปแบบของตาราง และใช3ข3อมูลในตาราง และความสัมพันธ�ตcางๆ ที่ได3จากตารางมาใช3ในการหาคําตอบ

ตัวอยcางโจทย�: จํานวนนับจํานวนหน่ึงเม่ือถูกหารด3วย 2 จะเหลือเศษ 1 และเม่ือถูกหารด3วย 3 จะเหลือเศษ 1 เชcนเดียวกัน จงหาวcาจํานวนนับจํานวนที่น3อยที่สุดที่มีคุณสมบัติน้ี คือจํานวนใด

แบบแผนที่ใช3: “ใช3ระบบตาราง (Make a Systematic List)”


หน3าที่ 10 / 23

ลําดับ (�) 1 2 3 4

จํานวนที่เปfนไปได3

คูณ 2 แล3วบวกด3วย 1:

(� � 2) + 1

3 5 7 9

คูณ 3 แล3วบวกด3วย 1:

(� � 3) + 1 4 7 10 13

จากตารางด3านบน จํานวนน3อยที่สุดที่มีคุณสมบัติน้ี คือ 7

แบบแผนที่ 3 – ลองเขียนตามเงือ่นไข (Act It Out)

เปfนวิธีการหาคําตอบ โดยพยายามที่จะวาดภาพ หรือเขียนข3อมูลตcางๆ ตามเงื่อนไขที่โจทย�กําหนด คcอยๆ ปรับเปล่ียนข3อมูลไปเร่ือยๆ จนในที่สุดก็จะสามารถหาคําตอบที่ตรงกับเงื่อนไขทีโ่จทย�กําหนดได3

ตัวอยcางโจทย�: มีกลcองอยูc 5 กลcองวางเรียงกันเปfนเส3นตรงในแนวขวาง โดยมีข3อมูลประกอบ ดังตcอไปน้ี

1. กลcองสีนํ้าเงินจะวางถัดจากกลcองสีส3ม 2. กลcองสีเหลืองจะอยูcระหวcางกลcองสีแดง และกลcองสีเขียว 3. กลcองใบแรกเปfนกลcองสีแดง 4. กลcองสีส3มจะต3องไมcอยูcถัดจากกลcองสีเขียว

แบบแผนที่ใช3: “ลองเขียนตามเงื่อนไข (Act It Out)”

ในลําดับแรกให3ลองเขียนภาพกลcองทั้ง 5 ใบ เรียงกันเปfนเส3นตรงในแนวขวางตามที่โจทย�กําหนด

จากข3อมูลเงื่อนไขที่ 3 ทําให3ทราบแนcๆ วcากลcองใบแรกเปfน “กลcองสีแดง”


หน3าที่ 11 / 23

จากข3อมูลเงื่อนไขที่ 2 ทําให3ทราบวcา “กลcองสีเหลือง” จะต3องวางอยูcเปfนกลcองใบที่สอง ถัดจาก “กลcองสีแดง” และทําให3ทราบทันทีวcากลcองใบที่สามจะเปfน “กลcองสีเขียว”

จากข3อมูลเงื่อนไขที่ 1 “กลcองสีนํ้าเงิน” จะอยูcถัดไปจาก “กลcองสีส3ม” สมมติให3ลองให3 “กลcองสีนํ้าเงิน” เปfนกลcองใบสุดท3าย และ “กลcองสีส3ม” เปfนกลcองใบที่สี ่

แตcเม่ือพิจารณาข3อมูลเงื่อนไขที่ 4 ซ่ึงระบุวcา “กลcองสีส3มจะต3องไมcอยูcถัดจากกลcองสีเขียว” ทําให3คําตอบที่ได3มาน้ันไมcสอดคล3องกับข3อมูลเงื่อนไขที่ 4 จึงปรับเปล่ียนโดยให3 “กลcองสีนํ้าเงิน” เปfนกลcองใบที่สี่ และให3 “กลcองสีส3ม” เปfนกลcองใบสุดท3าย จึงจะได3คําตอบที่ถูกต3อง

แบบแผนที่ 4 – สุGมคําตอบแลวตรวจสอบ (Guess and Check)

เปfนการใช3ตรรกะในการสุcมเลือกข3อมูล แล3วนําเอาข3อมูลดังกลcาวไปวิเคราะห�ตามเงื่อนไขที่โจทย�กําหนดมาให3 ซ่ึงในการสุcมข3อมูลในคร้ังแรกอาจจะไมcได3คําตอบที่ถูกต3อง แตcด3วยตรรกะที่เกิดข้ึนจากการสุcมจะทให3สามารถสุcมข3อมูลที่มากข้ึน หรือน3อยลงจนสามารถหาคําตอบที่ถูกต3องได3

ตัวอยcางโจทย�: อรุณีเล้ียงไกc และหมูในฟาร�มเล็กๆ ของเธอ ซ่ึงเม่ือเธอนับหัวของสัตว�ที่เธอเล้ียง เธอพบวcาสัตว�ที่เธอเล้ียงมีหัวรวมกัน 15 หัว และมีขารวมกัน 40 ขา จงหาวcาเธอเล้ียงไกcทั้งสิ้นก่ีตัว

แดง

แดง เหลือ เขียว

แดง เหลือง เขียว ส3ม นํ้าเงิน

แดง เหลือง เขียว นํ้าเงิน ส3ม


หน3าที่ 12 / 23

แบบแผนที่ใช3: “สุcมคําตอบแล3วตรวจสอบ (Guess and Check)”

สุcมคําตอบคร้ังที่ 1: อรุณมีเล้ียงไกc 8 ตัว และเล้ียงหมู 7 ตัว

ตรวจสอบคร้ังที่ 1: ไกc 8 ตัว มีขา = 8 � 2 = 16

หมู 7 ตัว มีขา = 7 � 4 = 28

รวม = 16 + 28 = 44 ขา มีขามากเกินไป!

ดังน้ัน อรุณีนcาจะเล้ียงหมูน3อยกวcา 7 ตัว

สุcมคําตอบคร้ังที่ 2: อรุณมีเล้ียงไกc 10 ตัว และเล้ียงหมู 5 ตัว

ตรวจสอบคร้ังที่ 2: ไกc 10 ตัว มีขา = 10 � 2 = 20

หมู 5 ตัว มีขา = 5 � 4 = 20

รวม = 20 + 20 = 40 ขา เปfนคําตอบที่ถูกต3อง!

แบบแผนที่ 5 – ตีโจทย�ใหงGายขึ้น (Simplify the Problem)

เปfนวิธีในการแก3ไขโจทย�ป=ญหาที่ถามคําถามที่มีตัวเลขมากๆ ที่ทําให3รู3สึกตกใจ เพราะเข3าใจวcาจะต3องใช3เวลานานมากๆ ในการหาคําตอบ แตcหากพิจารณาดีๆ แล3ว จะพบวcาโจทย�ป=ญหาน้ันมีรูปแบบเปfนวัฏจักร ซ่ึงหากสามารถหาคําตอบเบ้ืองต3นในวัฏจักรแรกได3 ก็จะสามารถใช3คําตอบที่ได3ในเบ้ืองต3นน้ีหาคําตอบสุดท3ายได3

ตัวอยcางโจทย�: หากวันน้ีเปfนวันพุธ จงหาวcาอีก 197 วันถัดไปจะเปfนวันอะไร

แบบแผนที่ใช3: “ตีโจทย�ให3งcายข้ึน (Simplify the Problem)”

ถ3าหากวันน้ีเปfนวันพุธ ถัดจากวันน้ีทุกๆ 7 วัน ก็จะเปfนวันพุธเสมอ

ดังน้ัน อีก 197 วันถัดไป จะเปfนวันอะไร จึงสามารถปรับคําถามให3งcายลงได3 โดยการ

197 ÷ 7 = 28 เศษ 1

จึงนับตcอจากวันพุธไปอีก 1 วัน จึงเปfนวันพฤหัสบดี ดังน้ัน อีก 197 วันถัดจากวันน้ีจึงเปfน “วันพฤหัสบดี”


หน3าที่ 13 / 23

ตัวอยcางโจทย�: จงหากวcา 1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 + 100 + 101 มีคcาเทcากับเทcาไร

แบบแผนที่ใช3: “ตีโจทย�ให3งcายข้ึน (Simplify the Problem)”

พิจารณาผลบวกของคูcตัวเลข ดังตcอไปน้ี

แตcละคูcมีผลบวกเทcากับ 101 โดยมีทั้งสิ้น 50 คูc และเหลือตัวสุดท3ายคือ 101 (ให3คิดเหมือนกับการจับคูcเด็ก 101 คน เด็กคนที่ 101 จะไมcมีคูc) โดย เร่ิมต้ังแตc 1 และ 101, 2 และ 99, 3 และ 98, … , 49 และ 53, 50 และ 51 (เปfนคูcสุดท3าย) โดยจะเหลือ 101 เปfนตัวสุดท3าย

ดังน้ัน 1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 + 100 + 101

= (50 � 101) + 101

= 5050 + 101

= 5151

แบบแผนที่ 6 – แกป ญหาทีละสGวน (Solve Part of the Problem)

เปfนการแยกป=ญหาออกเปfนสcวนๆ จากน้ันจึงคcอยๆ หาคําตอบของแตcละสcวน เม่ือได3คําตอบของแตcละสcวนแล3ว จึงนําเอาคําตอบที่ได3มารวมกันเพ่ือให3ได3คําตอบสุดท3าย

ตัวอยcางโจทย�: หนังสือเลcมหน่ึงมี 150 หน3า จงหาวcาเลข “8” ปรากฎตามเลขหน3าของหนังสือเลcมน้ีอยูcทัง้หมดก่ีตัว

แบบแผนที่ใช3: “แก3ป=ญหาทีละสcวน (Solve Part of the Problem)”

1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100

101

101

101

+ 101


หน3าที่ 14 / 23

แบcงป=ญหาออกเปfน 3 กรณี ดังตcอไปน้ี

- กรณีที่ 1: จํานวนเลข 8 ในหน3าที่ 1 – 9



ซ่ึงสามารถสรุปทัง้ 3 กรณี ให3อยูcในรูปแบบของตาราง ดังตcอไปน้ี

กรณี หน3าที่มีเลข 8 บนเลขหน3า จํานวนเลข 8 ที่พบ

หน3าที่ 1 – 9 8 1

หน3าที่ 10 – 99 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 98

19

หน3าที่ 100 – 150 108, 118, 128, 138, 148 5

จากตารางข3างต3นจึงสามารถสรุปได3วcาหนังสือ 150 หน3า จะมีเลข “8” ปรากฏบนเลขหน3าทั้งสิ้น

= 1 + 19 + 5 = 25 ตัว

แบบแผนที่ 7 – สังเกตรูปแบบ (Look for the Pattern)

เปfนการพิจารณารูปแบบของรูปภาพ หรืออนุกรมของชุดข3อมูลตcางๆ จนเข3าใจเงื่อนไข และความสัมพันธ�ของชุดรูปภาพ หรืออนุกรมของชุดข3อมูลน้ันๆ และใช3ความสัมพันธ�น้ันในการหารูปภาพ หรือข3อมูลถัดๆ ไปได3

ตัวอยcางโจทย�: พิจารณารูปภาพของโครงสร3างที่ตcอจากก3านไม3ขีดด3านลcางน้ี แล3วตอบคําถาม

รูปท่ี 1 รูปท่ี 2 รูปท่ี 3 รูปท่ี 4


หน3าที่ 15 / 23

1. จงหาจํานวนไม3ขีดไฟในรูปที่ 10

2. จงหาวcารูปที่เทcาไร จะเปfนรูปภาพที่ประกอบด3วยไม3ขีดไฟจํานวน 81 ก3าน

แบบแผนที่ใช3: “สังเกตรูปแบบ (Look for the Pattern)”

1. จงหาจํานวนไม3ขีดไปในรูปที่ 10

พิจารณารูปแบบของความสัมพันธ�ของจํานวนไม3ขีดไฟในรูปภาพหน่ึงๆ กับจํานวนไม3ขีดไฟในรูปภาพถัดไป จะพบวcาจํานวนไม3ขีดไฟจะเพ่ิมข้ึนในรูปถัดไปจํานวน 2 ก3านเสมอ

จากรูปแบบความสัมพันธ�ดังกลcาวข3างต3นน้ี สามารถสรุปได3เปfนตาราง ดังตcอไปน้ี

รูปที่ จํานวนไม3ขีดไฟ รูปแบบ

ความสัมพันธ�

1 3 3 + (0 × 2) = 3

2 3 + 2 = 5 3 + (1 × 2) = 5

3 3 + 2 + 2 = 7 3 + (2 × 2) = 7

4 3 + 2 + 2 + 2 =9 3 + (3 × 2) = 9

ดังน้ันจํานวนไม3ขีดไฟในรูปที่ 10 = 3 + (9 × 2) = 21 ก3าน

2. จงหาวcารูปที่เทcาไร จะเปfนรูปภาพที่ประกอบด3วยไม3ขีดไฟจํานวน 81 ก3าน

81 – 3 = 78

78 ÷ 2 = 39

รูปที่

จํานวนไม3ขีดไฟ

1 2 3 4

3 5 7 9 +2 +2 +2


หน3าที่ 16 / 23

หากพิจารณาจากรูปแบบความสัมพันธ� จะพบวcาจํานวนที่คูณกับ 2 จะมีคcาน3อยกวcาลําดับของรูปอยูcหน่ึงเสมอ ดังน้ันจากความสัมพันธ�น้ีจึงตอบได3วcารูปที่ 40 เปfนรูปที่มีจํานวนไม3ขีดไฟ 81 ก3าน

แบบแผนที่ 8 – ทําจากหลังมาหนา (Work Backwards)

เปfนการแก3โจทย�ป=ญหาที่โจทย�กําหนดข3อมูลให3ในตอนท3าย และถามหาข3อมูลในลําดับแรก โดยวิธี “ทําจากหลังมาหน3า (Work Backwards) จะเปfนวิธีการที่ใช3เงื่อนไข และข3อมูลที่โจทย�กําหนดในตอนท3าย คcอยๆ คํานวณถอยกลับไปจนได3คําตอบที่โจทย�ต3องการ

ตัวอยcางโจทย�: พรรําไพใช3เงิน �

� ของเงินที่คุณพcอให3ไปซ้ือดินสอกด จากน้ันเธอยังได3ใช3

เงิน �

ของที่เหลือไปซ้ือสมุด ปรากฏวcาเธอยังเหลือเงนิอีก 60 บาท จงหาวcาคุณพcอให3

เงินพรรําไพมาเทcาไหรcในตอนแรก

แบบแผนที่ใช3: “ทําจากหลังมาหน3า (Work Backwards)”

หลังจากที่พรรําไพใช3เงิน �

ของที่เหลือไปซ้ือสมุด และยังเหลือเงินอีก 60 บาท

แสดงวcา 60 บาท = �

ของเงินที่เหลือ

�

ของเงินที่เหลือ � 60

�

ของเงินที่เหลือ = เงินที่เหลือ �

��×�

�

= 60 ÷ �

= 60 ×

�

= ��×

� = 90 บาท

พรรําไพใช3เงิน �

ของที่เหลือไปซ้ือสมุด ดังน้ันพรรําไพใช3เงินซ้ือสมุด =

�

× 90

= 30 บาท

แสดงวcาพรรําไพเหลือเงินจากการซ้ือดินสอกด (กcอนซ้ือสมุด) = 90 บาท


� ของเงินที่คุณพcอให3ไปซ้ือดินสอกด ดังน้ัน

� ของเงินที่คุณพcอให3

= 90 บาท


หน3าที่ 17 / 23

� ของเงินที่คุณพcอให3 � 90

�

� ของเงินที่คุณพcอให3 = เงนิที่คุณพcอให3 �

��×�

�

�

= ��×�

�

= 90 ÷

�

= 90 × �

= ��×�

= 120 บาท


� ของเงินทีคุ่ณพcอให3ไปซ้ือดินสอกด ดังน้ันพรรําไพใช3เงินซ้ือ

ดินสอกด = �

� × 120 = 30 บาทและคุณพcอให3เงินพรรําไพในตอนแรกเปfนจํานวนเงิน

120 บาท

แบบแผนที่ 9 – กําหนดสมมติฐาน (Make a Supposition)

เปfนการกําหนดสมมติฐานเพ่ิมเติมข้ึนมาเพ่ือทําให3โจทย�งcายข้ึน จากน้ันจึงนําเอาสมติฐานประกอบน้ันมาใช3ในการหาคําตอบ และนําคําตอบที่ได3ไปตรวจสอบกับเงื่อนไขความสัมพันธ�อื่นๆ ที่โจทย�กําหนดมาให3วcามีความสอดคล3องหรือไมc หากคําตอบที่ได3ไมcสอดคล3องกับเงือ่นไข หรือความสัมพันธ�ตามที่โจทย�กําหนดมาให3 ก็คcอยๆ ปรับสมมติฐาน และดําเนินการหาคําตอบใหมcไปเร่ือยๆ จนได3คําตอบที่ถูกต3อง

ตัวอยcางโจทย�: มีลูกค3าเข3ามาเลือกซ้ือสินค3าในซุปเปอร�มาร�เก็ตแหcงหน่ึง มีลูกค3าซ้ือแอ�ปเป��ลจํานวน 7 คน มีลูกค3าซ้ือส3มจํานวน 5 คน และมีลูกค3า 4 คน ที่ไมcได3ซ้ืออะไรเลย จงหาวcามีลูกค3าก่ีคนที่ซ้ือทั้งแอ�ปเป��ล และส3ม

แบบแผนที่ใช3: “กําหนดสมมติฐาน (Make a Supposition)”

กําหนดสมมติฐานคร้ังที่ 1: สมมติให3มีลูกค3าที่ซ้ือทั้งแอ�ปเป��ล และส3ม จํานวน 1 คน

ดังน้ัน จะมีลูกค3าที่ซ้ือแอ�ปเป��ลอยcางเดียว 6 คน ลูกค3าที่ซ้ือส3มอยcางเดียว 4 คน ลูกค3าที่ซ้ือทั้งแอ�ปเป��ล และส3ม 1 คน (ตามสมมติฐาน) และมีลูกค3าที่ไมcซ้ืออะไรเลย 4 คน


หน3าที่ 18 / 23

ดังน้ัน จํานวนลูกค3าทั้งหมด = 6 + 4 + 1 + 4 = 15 คน ≠ 14

ดังน้ันลูกค3าที่ซ้ือทั้งแอ�ปเป��ล และส3มต3องมากกวcา 1 คนแนcๆ)

กําหนดสมมติฐานคร้ังที่ 2: สมมติให3มีลูกค3าที่ซ้ือทั้งแอ�ปเป��ล และส3ม จํานวน 2 คน

ดังน้ัน จะมีลูกค3าที่ซ้ือแอ�ปเป��ลอยcางเดียว 5 คน ลูกค3าที่ซ้ือส3มอยcางเดียว 3 คน ลูกค3าที่ซ้ือทั้งแอ�ปเป��ล และส3ม 2 คน (ตามสมมติฐาน) และมีลูกค3าที่ไมcซ้ืออะไรเลย 4 คน

ดังน้ัน จํานวนลูกค3าทั้งหมด = 5 + 3 + 2 + 4 = 14 คน = 14

ดังน้ันจึงมีลูกค3าที่ซ้ือทั้งแอ�ปเป��ล และส3ม จํานวน 2 คน

แบบแผนที่ 10 – แปลงขอมูล (Restate the Problem in Another Way)

เปfนการแปลงข3อมูลสcวนหน่ึงที่โจทย�กําหนดมาให3 ให3อยูcในรูปแบบที่สามารถนําเอาไปผนวกกับข3อมูลอื่นๆ เพ่ือใช3ในการคํานวณหาคําตอบ

ตัวอยcางโจทย�: ราคาของโต�ะ 1 ตัว และเก3าอี้ 1 ตัว เทcากับ 9800 บาท ราคาของโต�ะ 2 ตัว และเก3าอี้ 4 ตัว เทcากับ 26000 บาท จงหาวcาโต�ะ 1 ตัวราคาเทcาไร

แบบแผนที่ใช3: “แปลงข3อมูล (Restate the Problem in Another Way)”

โต�ะ 1 ตัว + เก3าอี้ 1 ตัว = 9800 บาท

แปลงข3อมูล:

ถ3าเราซ้ือ 2 ชุด จะได3 โต�ะ 2 ตัว + เก3าอี้ 2 ตัว = 2 × 9800 = 19600 บาท

โจทย�กําหนดวcา โต�ะ 2 ตัว + เก3าอี้ 4 ตัว = 26000 บาท

ดังน้ัน จะทราบวcา เก3าอี้ 2 ตัว ราคา = 26000 – 19600 = 6400 บาท

ดังน้ัน เก3าอี้ 1 ตัว ราคา = 6400 ÷ 2 = 3200 บาท

โต�ะ 1 ตัว + เก3าอี้ 1 ตัว = 9800 บาท

ดังน้ัน โต�ะ 1 ตัว ราคา = 9800 – 3200 = 6600 บาท


หน3าที่ 19 / 23

ตัวอยcางโจทย�: สี่เหล่ียมจัตุรัสตcอเรียงกัน ดังรูปด3านลcาง จงหาวcาพ้ืนที่แรเงาคิดเปfนเศษสcวนเทcาไรของพ้ืนที่ทั้งหมด

แบบแผนที่ใช3: “แปลงข3อมูล (Restate the Problem in Another Way)”

สัดสcวนของพ้ืนที่แรเงา = �

� = �÷�

�÷� = �

� ของพ้ืนที่ทั้งหมด

แบบแผนที่ 11 – ใชหลักการกGอน และหลัง (Use Before – After Concept)

เปfนแนวทางในการแก3ไขโจทย�ป=ญหา ทีโ่จทย�ระบุข3อมูลมาให3ในหลายๆ ชcวงเวลา ในรูปแบบกcอน และหลัง ซ่ึงจะต3องเข3าใจความสัมพันธ�ของสถานการณ�กcอน และหลัง เชcน ถ3าเปfนโจทย�ประเภทอายุ ก็ต3องเข3าใจวcาเม่ือเวลาผcานไปอีก 5 ป� ตัวละครทุกๆ ตัวในโจทย�ตcางก็ต3องมีอายุเพ่ิมข้ึน 5 ป�เทcาๆ กันทุกคน ถ3าเปfนโจทย�ประเภทที่มีการให3ของ ยืมของ แลกเปล่ียนของ ก็ต3องเข3าใจวcาเม่ือตัวละครตัวหน่ึงให3สิ่งของจํานวนหน่ึงแกcตัวละครอีกตัวหน่ึง จํานวนสิ่งของที่ตัวละครตัวแรกมีจะลดลงในปริมาณเทcาๆ กับ จํานวนสิ่งของที่ตัวละครตัวหลังมีเพ่ิมข้ึน แตcอยcางไรก็ตามผลรวมของจํานวนสิ่งของ


หน3าที่ 20 / 23

ของตัวละครตัวแรก และตัวละครตัวหลังมีจะยังคงมีเทcากันอยูcเสมอ เปfนต3น จากน้ันจึงใช3ความสัมพันธ�ของสถานการณ�กcอน และหลังเหลcาน้ีในการคํานวณหาคําตอบที่ถูกต3อง

ตัวอยcางโจทย�: สุวิภามีอายุ 9 ป� คุณแมcของสุวิภามีอายุ 37 ป� จงหาวcาอีกก่ีป�ที่จะทําให3อายุของคุณแมcของสุวิภามีอายุเปfน 3 เทcาของอายุสุวิภา

แบบแผนที่ใช3: “ใช3หลักการกcอนและหลัง (Use Before – After Model)”

ป=จจุบัน: อายุคุณแมcของสุวิภามากกวcาอายุสุวิภา = 37 – 9 = 28 ป�

อนาคต: อายุคุณแมcของสุวิภาเปfน 3 เทcาของอายุสุวิภา

จากแผนภาพข3างต3น

จะทราบวcาในอนาคต คุณแมcของสุวิภาจะมีอายุเปfน 3 หนcวย และสุวิภาจะมีอายุเปfน 1 หนcวย

2 หนcวย = 28

1 หนcวย = 28 ÷ 2 = 14 ป�

ดังน้ัน แสดงวcาเม่ือสุวิภาอายุเทcากับ 14 ป� คุณแมcของสุวิภาจะมีอายุ = 3 × 14 = 42 ป�

ป=จจุบันสุวิภาอายุ 9 ป� แสดงวcาอีก = 14 – 9 = 5 ป� อายุของคุณแมcสุวิภาจะเปfน 3 เทcาของอายุสุวิภา

ตัวอยcางโจทย�: ขนิษฐา และสมถวิลได3รับคcาขนมมาเทcาๆ กัน ขนิษฐาให3เงินซ้ือขนมไป 145 บาท ในขณะที่สมถวิลใช3เงินซ้ือขนมไปเพียง 64 บาท จากน้ันจึงพบวcาสมถวิลเหลือเงินเปfน 4 เทcาของขนิษฐา อยากทราบวcาทั้งคูcได3รับเงินคcาขนมเทcาไรในตอนแรก

แบบแผนที่ใช3: “ใช3หลักการกcอนและหลัง (Use Before – After Model)”

1

คุณแมcของสุวิภา

สุวิภา 28 ป�


หน3าที่ 21 / 23

จากแผนภาพข3างต3น

3 หนcวย = 145 – 64 = 81

1 หนcวย = 81 ÷ 3 = 27

ดังน้ันในตอนแรก

ขนิษฐาได3เงินคcาขนม = 1 หนcวย + 145 = 27 + 145 = 172 บาท

สมถวิลได3เงินคcาขนม = 4 หนcวย + 64 = (4 × 27) + 64 = 172 บาท

ขนิษฐา และสมถวิลได3เงินคcาขนมเทcากันในตอนแรกที่คนละ 172 บาท

แบบแผนที่ 12 – ใชสมการ (Use Equation)

เปfนแนวทางในการแก3ไขโจทย�ป=ญหา ที่มีการสมมติตัวที่ไมcทราบคcาเปfน “ตัวแปร (Variable)” และใช3ทักษะการตีความโจทย�ในการกําหนดความสัมพันธ�ของข3อมูลตcางๆ ให3อยูcในรูปของ “สมการ (Equation)” จากน้ันจึงใช3ทักษะทางพีชคณิตในการแก3สมการเพ่ือหาคําตอบ ซ่ึงแบบแผนที่ 12 น้ีจะเหมาะสําหรับนักเรียนในระดับประถมศึกษาตอนปลาย เตรียมเรียนตcอในชั้นมัธยมศึกษาตอนต3น ซ่ึงมีทักษะในการตีความโจทย� (Interpreting)( และการให3เหตุผลทางคณิตศาสตร� (Reasoning) ดีพอสมควรแล3ว

หลัง:

ขนิษฐา

สมถวิล

145

64

1

กcอน:

ขนิษฐา

สมถวิล


หน3าที่ 22 / 23

ตัวอยcางโจทย�: ทิวากรมีเงินเปfน 3 เทcาของธนกิจ ธนกิจมีเงินน3อยกวcาธิดารัตน�อยูc 200 บาท และธิดารัตน�มีเงินมากกวcาทิวากรอยูc 50 บาท จงหาวcาทิวากร ธนกิจ และธิดารัตน� ตcางมีเงินกันคนละเทcาไร

แบบแผนที่ใช3: “ใช3สมการ (Use Equation)”

กําหนดให3 ธนกิจมีเงินอยูc x บาท

ทิวากรมีเงินเปfน 3 เทcาของธนกิจ

ดังน้ัน ทิวากรมีเงินอยูc 3x บาท

ธนกิจมีเงินน3อยกวcาธิดารัตน�อยูc 200 บาท

ดังน้ัน ธิดารัตน�มีเงินอยูc x + 200 บาท

โจทย�กําหนดความสัมพันธ�วcา ธิดารัตน�มีเงินมากกวcาทิวากรอยูc 50 บาท

ดังน้ัน เงินที่ธิดารัตน�มีอยูc – เงินที่ทิวากรมีอยูc = 50 บาท

(x + 200) – 3x = 50

200 – 2x = 50

200 – 2x + 2x = 50 + 2x

200 = 50 + 2x

200 – 50 = 50 + 2x – 50

150 = 2x

2x = 150

2x ÷ 2 = 150 ÷ 2

x = 75

ดังน้ัน ธนกิจมีเงินอยูc x บาท = 75 บาท

ทิวากรมีเงินอยูc 3x บาท = 225 บาท

ธิดารัตน�มีเงินอยูc x + 200 = 275 บาท


หน3าที่ 23 / 23

เอกสารประกอบการเรียนรู

Kho Tek Hong and Yeo Shu Mei and James Lim (2009). The Singapore Model Method. Singapore: Ministry of Education.

Yeap Ban Har (2010). Bar Modeling A Problem – Solving Tool From Research to Practice An Effective Singapore Math Strategy. Singapore: Marshall Cavendish Education

กระทรวงศึกษาธิการ (2552). หลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551. สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธิการ

หนังสือเรียน และแบบฝ�กหัดของ Li Fanglan

- Fan – Math Model As A Tool Level 2 & Level 3. Fan – Math

- Fan – Math i-Excel Heuristic & Model Approach Level 1 to Level 6

- Fan – Math Process Skills In Problem Solving Level 1 to Level 4

- MathExpress – Speed Maths Strategies Level 1 to Level 6

- New Mathematics – Topic By Topic Level 1 to Level 6

- New Mathematics – CA & SA Papers Level 1 to Level 6

- Challenging Maths – Problem Solving Strategies Level 1 to Level 6

- Mathematics PSLE Preliminary Examinations

- Teacher Resource – Fun Games & Activities With Flash Cards

- FAN-IQ Child Intellectual Development Series (Ages 6 to 8)

แบบแผนในการแกไขปญหาทางคณิตศาสตร...

Documents