จุดผิดพลาดในหน ังสือ hi-speed math 1–2 - kanuay ·...

จดผดพลาดในหนงสอ Hi-Speed Math 1–2 นคอไฟลรวมจดผดพลาด และจดทปรบปรงคาอธบายใหดขน จากการตรวจทานใหมอยางละเอยด ขอบคณทานผอานทชวยแจง+ทกทวง+สอบถามนะครบ โดยเฉพาะคณครแทงค ชวยไวเยอะมากครบ

อปเดตลาสด – 9 กนยายน 2562

เลม 1

บทท 1 ขอสอบเขามหาวทยาลย หนา 21 ขอ 26. ตวเลอก 4. หลงคาวา กาหนดให เตมคาวา A =

เฉลยดานลาง ขอ 21. แกคาตอบจาก 2 เปน 3 หนา 28 ขอ 8. ตวเลอก 4. แกจาก B {c, d} {a, b, c, d} เปน B {a} {a, b} หนา 30 ขอ 21. แกจาก ขอ 2. ถก เปน ขอ 3. ถก

ขอ 24. แกจาก A B B C เปน A B A C หนา 34 ขอ 48. แกจาก 75 ทงหมดเปน 65

บทท 1 ขอสอบเสรมประสบการณ หนา 39 ขอ 72. ตวเลอก 3. หลงเครองหมาย = แกเปน (A C) (B D) หนา 42 ขอ 57. บรรทดท 7 แกจาก {m, r} เปน A = {m, r} หนา 45 ขอ 80. บรรทดท 2 แกจาก ของแกน เปน ขอนแกน

บทท 2 สรปเนอหาและตวอยาง หนา 48 ขอ 5. บรรทดท 2–3 แกจาก หาร 2 เปน หารดวย 2

เรองจานวนเฉพาะ จะกลาวถงจานวนเตมบวกเทานน (ตดเลข –1, –2, –3, –4, ... ออก) หนา 58 บรรทดท 3 แกจาก {2} เปน {–2} หนา 71 ตวอยางกรอบทสอง แกจาก 45] ทงหมดเปน 45) หนา 80 ตวอยางกรอบทสอง แกวธคดบรรทดท 1–3 เปนดงน

254 = –34(–7) + 16 16 = 14(1) + 2 –34 = 16(–3) + 14 14 = 2(7)

บทท 2 ขอสอบเขามหาวทยาลย หนา 89 ขอ 36. และหนา 94 ขอ 59. แกคาวา สมการ เปน อสมการ หนา 102 ขอ 11. บรรทดท 4–7 แกจาก +ab ทงหมดเปน –ab และแกจาก +1 เปน –1 หนา 105 ขอ 33. แกจาก –5 < –y < 1 เปน –5 < –y < –1 หนา 106 ขอ 38. และหนา 110 ขอ 63. แกคาวา สมการ เปน อสมการ หนา 109 ขอ 61. บรรทดท 3 ตวสดทาย แกจาก 2 เปน –2

บรรทดท 4–5 แกจาก –2x–2, x–4, (–1,4] เปน +2x+2, 5x, (–1,0] ตามลาดบ และแกจาก เพราะ S ไมมขอบเขตบน เปน เพราะ x+2 จะอยในชวง (1, 2] (3, )

หนา 110 ขอ 63. บรรทดท 1, 6 แกจาก 3/2 เปน 2/3 หนา 112 ขอ 80. บรรทดท 6 แกจาก m = 7 เปน m = 1, 7 บรรทดท 8 แกจาก 16 เปน 112 หนา 113–115 ขอ 82. ถง 89. และ 95. แกคาวา หาร ทงหมดเปน หารดวย

ขอ 92. แกจาก b และ c เปน m และ n ตามลาดบ

บทท 2 ขอสอบเสรมประสบการณ หนา 119 เฉลยดานลาง แกจาก 103. 2 และ 107. –6 เปน 103. 2, 4 และ 107. 4 ตามลาดบ หนา 124 ขอ 148. แกคาวา สมการ เปน อสมการ หนา 127 เฉลยดานลาง ขอ 168. แกคาตอบจาก 20 เปน 24 หนา 131 ขอ 107. แกวธคดบรรทดท 2–4 เปนดงน

P(–3) = 0 9a – 3b – 24 = 0 (–3)3 + a(–3)2 + b(–3) + 3 = 0 3a – b = 8 ____ (1) แกสองบรรทดสดทายเปน a = 3, b = 1 และ a + b = 4

หนา 134 ขอ 131. แกจาก (0, –2) และ (–1, –1) ทกจดเปน (2, –2) และ (1, –1) ตามลาดบ หนา 136 ขอ 143. แกคาวา สมการ เปน อสมการ

ขอ 144. สามบรรทดสดทาย แกจาก +ab เปน –ab แกจาก a2 + b2 > 0 เปน (a – b)2 > 0 บรรทดสดทายแกเปน เปนจรงแนนอนถาหาก a ไมเทากบ b

หนา 137 ขอ 146. แกจาก – {4} เปน – {–4} หนา 141 ขอ 168. บรรทดท 3 เตม 8 และแกจาก 10 ตว เปน 12 ตว

บรรทดสดทายแกจาก 10 2 = 20 เปน 12 2 = 24 หนา 143 ขอ 183. บรรทดท 8 พมพตก + 24m2 (แทรกลงไปกอน + 8m + 1)

บทท 3 สรปเนอหาและตวอยาง หนา 149 ตวอยางแรก บรรทดท 2 แกจาก คาความเปนจรง เปน คาความจรง

บทท 3 ขอสอบเขามหาวทยาลย หนา 181 ขอ 21. ตวเลอก 4. แกจาก ขวามอ เปน ขวามอ หนา 182 ขอ 32. ตารางบรรทดสดทายหายไป ใหเตม F F F F F หนา 185 ขอ 59. บรรทดท 7 แกจาก ถา –1 เปนจานวนคแลว 4/x เปนจานวนค เปน

ถา 4/–1 เปนจานวนคแลว x เปนจานวนค และแก P(–1) Q(x) เปน Q(–1) P(x) หนา 186 ขอ 61. ยายคาวา หรอ –1 จากบรรทดท 9 ไปอยบรรทดท 8

บทท 3 ขอสอบเสรมประสบการณ หนา 199 เฉลยดานลาง ขอ 123. แกคาตอบจาก 1 และ 3 เปน 3 หนา 205 ขอ 111. บรรทดท 13 แกจาก x = –3 เปน x = 1 หนา 207 ขอ 123. ตดคาวา x y [ ~ ~ ] หรอ และคาวา 1. และ ทงไป

บทท 4 ขอสอบเขามหาวทยาลย หนา 247 เฉลยดานลาง ขอ 121. แกคาตอบจาก 1 เปน 1 และ 4 หนา 254 ขอ 37. ในกราฟ จด A, B เขยนสลบทกน หนา 256 ขอ 48. บรรทดท 6 แกจาก (–x2) เปน (–x)2 หนา 258 ขอ 60. แกอกษร C ทกบรรทดเปน A รวมทงในรปดวย หนา 266 ขอ 97. ตวเลอก 3. แกจาก x กบ y เปน x2 กบ y2 หนา 271 ขอ 121. แกจาก ขอ 4. ถก เปน ขอ 4. ผด

บทท 4 ขอสอบเสรมประสบการณ หนา 281 เฉลยดานลาง แกจาก 168. 1.8 และ 177. 970 / 8

เปน 168. 4.5 และ 177. 2.5 ตามลาดบ หนา 287 ขอ 216. ตวเลอกทกขอ แกเครองหมายตรงกลางจาก + เปน –

หนา 292 ขอ 128. แกจาก ABCD เปน ADBC หนา 297–298 ขอ 168. แกจาก 22 เปน 12 และแกจาก 5 ทกบรรทดเปน 2

และแกคาตอบจาก 1.8 เปน 4.5 หนา 299 ขอ 177. แกบรรทดท 3 เปน 3a + b – 5 = 0 แกบรรทดท 7 เปน a = 1, b = 2

แกบรรทดท 9 เปน x2 + x + y2

+ 2y – 5 = 0 จดรปได r = 2.5 และตดสบรรทดลางสดทงไป

หนา 306 ขอ 211. แกจาก c – a เปน a – c หนา 307 ขอ 216. บรรทดสดทาย แกเครองหมายตรงกลางจาก + เปน – หนา 308 ขอ 217. แกจาก x + 1 ทกบรรทดเปน x – 1 และแกจาก (–1, 2) เปน (1, 2)

บทท 5 สรปเนอหาและตวอยาง หนา 322 ตวอยางท 2 บรรทดท 2 แกจาก ลงกวาเดม เปน ลดลงกวาเดม หนา 333 ตวอยางบรรทดท 2, 3 แกจาก 1 เปน –1 และบรรทดสดทายตด 1 ในเซตออก

บทท 5 ขอสอบเขามหาวทยาลย หนา 343 เฉลยดานลาง ขอ 36. แกคาตอบจาก 1 เปน 1 หรอ 5 หนา 349 เฉลยดานลาง ขอ 68. แกคาตอบจาก 4 เปน 5 หนา 360 ขอ 3. แกคาวา สมการ เปน อสมการ หนา 361 ขอ 8. บรรทดท 8 แกจาก –3/2 เปน –2/3

ขอ 10. กราฟรปท 3 และ 4 สวนทไมถกแรเงาตองเปลยนเปนเสนประ หนา 363 ขอ 21. แกจาก Rf ทงหมดเปน Rr หนา 364–365 ขอ 26. 27. และ 29. ในกราฟ สวนทไมถกแรเงาตองเปลยนเปนเสนประ

ขอ 27. แกคาวา ชวา เปน ขวา ขอ 27. และ 29. แกคาวา สมการ เปน อสมการ หนา 370 ขอ 68. เปลยนคาอธบายตวเลอก 4. และ 5. เปนดงน

โจทยถาม Rg คดไดจาก x = 1/y + 3 ดงนน g(x) 0 แสดงวาขอ 5. ถก และขอ 4. ผด หนา 371 ขอ 74. เปลยนคาอธบายตวเลอก 2. เปน กราฟของ f+g เปนรปตววหงาย จงไมเปน 1–1 หนา 377 ขอ 111. บรรทดท 3 แกจาก 2 เปน 2

บทท 5 ขอสอบเสรมประสบการณ หนา 381 เฉลยดานลาง ขอ 130. แกคาตอบจาก 3 เปน 4/3 หนา 383 ขอ 136. ตดคาวา จากขอทแลว และแกจาก f(x) เปน 2x – 3 หนา 384 ขอ 142. ตวเลอกทกขอ ฝงขวาแกจากตวหอย 1 เปนหอย 2 หนา 393 ขอ 197. แกจาก – 3n – 2 เปน + 3n + 2 หนา 394 ขอ 130. แกจาก 3/2 ทกตวเปน 2/3 และแกคาตอบจาก 3 เปน 4/3 หนา 398 ขอ 144. แกรปกราฟ จากทคลายพาราโบลาออมแกน Y ใหกลายเปนออมแกน X หนา 399 ขอ 150. บรรทดท 7 เตมคาวา – {–1} ตอทาย หนา 400 ขอ 156. บรรทดท 3 จากลาง แกเปน เนองจาก f(0) = 1 จงสรปวา B = Rf = [1/2, 3/2]

บรรทดสดทายแกจาก 1 เปน 2 ขอ 158. ในกราฟ สวนทไมถกแรเงาตองเปลยนเปนเสนประ

บทท 6 สรปเนอหาและตวอยาง หนา 424 ตวอยางแรก บรรทดท 4 แกจาก 54 เปน 34

และบรรทดท 4 จากลาง ตดคาวา และ tan ออก หนา 425 ตวอยางบรรทดสดทาย x = –1 ตรวจคาตอบแลวใชไมได ใหตดออก หนา 429 ตวอยางแรก แกคาตอบจาก C = 75˚ เปน C = 115˚

บทท 6 ขอสอบเขามหาวทยาลย หนา 433 เฉลยดานลาง ขอ 13. แกคาตอบจาก 1 เปน 2 หนา 443 ขอ 64. ตวเลอก 2. แกจาก x เปน

ขอ 67. เซต A แกคาวา สมการ เปน อสมการ หนา 453 ขอ 123. แกจาก เขอใด เปน ขอใด หนา 456 ขอ 13. ในรป เปลยนจาก มม เปน มม 2 และเพม ความยาว บนเสนรอบวง

และเปลยนคาอธบายเปนดงน ถายอลงเหลอวงกลม 1 หนวยโดยใหมมมขนาดเทาเดม จะไดวา 12 2x cos ดงนน 22 3 แสดงวาความยาว ในโจทยคอ 43 และจะตอบ 3 3

2 2 3 ขอ 14. ในรป มม จะอยใน Q2 เทานน (ใหตดชวง Q1 ออก) และเปลยนคาอธบายเปนดงน ความยาวสวนโคงรอบวง = รศม มมทรองรบโคง (ในหนวยเรเดยน) จะได 34( ) และ 64( ) ดงนน 2 13 2cos( ) cos( ) ขอ 16. แกจาก เขอนไข เปน เงอนไข

หนา 464 ขอ 64. เปลยนคาอธบาย 2 บรรทดสดทายเปนดงน แตเนองจากคา x และ y หามเกน จะพบวาเงอนไขฝงขวาเปนจรงไดเมอ x, y เปน พรอมกนเทานน นอกเหนอจากนน 2 x จะเกน เราจงตองปรบฝงขวาลงเหลอ

หนา 465 ขอ 69. บรรทดท 2–3 แกจาก sin2 เปน cos2

บทท 6 ขอสอบเสรมประสบการณ หนา 483 เฉลยดานลาง ขอ 165. แกคาตอบจาก 1 เปน 2 หนา 485 เฉลยดานลาง ขอ 185. แกคาตอบจาก 1 เปน 4 หนา 487 ขอ 199. แกจาก ทศะวนออก เปน ทศตะวนออก หนา 493 ขอ 126. บรรทดท 3 แกจาก AC เปน BC หนา 499–500 ขอ 165. บรรทดท 3 แกจาก 2[0, ] เปน 2 2[ , ]

และแกคาตอบเปน ขอ ข. เทจ เพราะ cos x, cos y, cos (x+y)/2 มโอกาสตดลบได เชน เมอ 2x , y จะทาใหฝงซายมคามากกวาฝงขวา

หนา 502 ขอ 179. บรรทดท 2 แกจาก 0 เปน หนา 503 ขอ 182. บรรทดกอนสดทาย ตดเครองหมาย – ออกทงสองจด

ขอ 185. เปลยนคาอธบายเปนดงน 2 31 (2)(3)tan(arctan2 arctan 3) 1

แต arctan ทงสองมคาในชวง 4 2( , ) เมอบวกกนจงตองอยใน Q2 ตอบ 34 หนา 509 ขอ 218. บรรทดท 8 แกจาก 24 เปน 8

และบรรทดกอนสดทาย แกจาก 16 24 3 เปน 8 3 16

บทท 7 ขอสอบเขามหาวทยาลย หนา 551 ขอ 12. บรรทดท 5–6 แกจาก 2 x เปน 4 x หนา 557 ขอ 59. บรรทดท 4 แกจาก 2 เปน 12 ทงสามจด หนา 562 ขอ 89. บรรทดท 3 จากลาง แกจาก 9/20 x 10

เปน 9/2 9/210 x 10 โดยท x 0

บทท 7 ขอสอบเสรมประสบการณ หนา 576 ขอ 188. เซต B แกคาวา สมการ เปน อสมการ หนา 582 ขอ 132. บรรทดท 7 แกจาก (a – 8) เปน (a – 8)2

หนา 588 ขอ 174. บรรทดท 2 แกจาก log2 2 เปน log2 4 หนา 591 ขอ 188. บรรทดท 4 แกจาก 19 เปนวงเลบเปด ( หนา 595 ขอ 210. บรรทดท 6 ตดคาวา = (1,024)3 ออก และแกจาก ถก เปน ผด

และตดสบรรทดลางสดทงไป เพราะตอบขอ 3. ไดทนท

บทท 8 ขอสอบเขามหาวทยาลย หนา 620 ขอ 16. ภายในเซต B แกสมาชกบนขวาจาก 1 เปน 0 หนา 633 เฉลยดานลาง ขอ 77. แกคาตอบจาก 2 เปน 3 หนา 637 ขอ 3. แกสมาชกแถวทสองหลกทสาม จาก 24 เปน 14

ขอ 6. บรรทดท 3 แกจาก 13 เปน 21 หนา 639 ขอ 16. วธคดเซต B แกสมาชกบนขวาจาก 1 เปน 0 ทกบรรทด หนา 644 ขอ 49. บรรทดท 7 แกจาก สรป เปน สรป

บทท 8 ขอสอบเสรมประสบการณ หนา 659 เฉลยดานลาง ขอ 145. แกจาก –12 เปน –2/3 หนา 665 ขอ 126. บรรทดท 4 แกจาก 2AI เปน I หนา 666 ขอ 129. แกเครองหมายหนา a32 จาก – เปน + ทกบรรทด หนา 669 ขอ 145. เตมวธคดตอทายดงน det(2B–1) = 23/det(B) = 8/–12 = –2/3

เลม 2

บทท 9 สรปเนอหาและตวอยาง หนา 15 ตวอยางสดทาย สองบรรทดลาง แกจาก 28 เปน 38 ทงสองจด และตอบ 1493 หนา 22 บรรทดสดทายเตมคาวา หรอเวกเตอรทงสามวางตวอยในระนาบเดยวกน

บทท 9 ขอสอบเขามหาวทยาลย หนา 29 เฉลยดานลาง ขอ 30. แกคาตอบจาก 2 เปน 2, 3 หนา 43 ขอ 30. แกจาก ขอ 3. ถก เปน ขอ 3. ผด

และเพมคาอธบายวา ในตวเลอกตองม cos ดวย มฉะนนจะถกเมอ 0 เทานน หนา 49 ขอ 68. บรรทดท 5 แกจาก AB ACV V เปน (AB AC)V V

บทท 9 ขอสอบเสรมประสบการณ หนา 55 เฉลยดานลาง ขอ 88. แกคาตอบจาก 60 เปน 120 หนา 63 ขอ 88. บรรทดท 2–3 แกเครองหมาย – เปน +

และจะได 12cos ตอบ 120˚ หนา 64 ขอ 95. บรรทดท 3 จากลาง แกจาก 345 5 i เปน 345 5i j หนา 67 ขอ 112. เพมคาอธบายวา คา a ตดลบทาใหสมการเปนเทจ ดงนน 8 5 3

11a เทานน

บทท 10 สรปเนอหาและตวอยาง หนา 75 ตวอยางลาง บรรทดแรกเตม z = หนาเศษสวน และบรรทดสดทายแกจาก 81 เปน 27

บทท 10 ขอสอบเขามหาวทยาลย หนา 97 ขอ 18. บรรทดกอนสดทาย แกจาก 2 21 1 เปน 2 21 1

ขอ 20. บรรทดท 2 แกจาก 271 z เปน 27i z

หนา 98 ขอ 26. บรรทดท 4 แกจาก 225˚ เปน 255˚ หนา 99 ขอ 34. บรรทดท 3 แกจาก 4 เปน 2

บทท 10 ขอสอบเสรมประสบการณ หนา 108 ขอ 78. ตดคาวา d, ออก หนา 115 ขอ 84. บรรทดท 2 แกจาก – เปน + และแกจาก + เปน –

และแกจาก 45˚ เปน –45˚ บรรทดท 3 แกจาก –45˚ เปน 45˚ หนา 116 ขอ 88. บรรทดสดทาย แกจาก 3

2 เปน 32 i ทงสองจด

หนา 121–122 ขอ 117. และ 122. มการปรบปรงวธคด (ดไดจากหนาเตมๆ ในไฟลน)

บทท 11 สรปเนอหาและตวอยาง หนา 125 บรรทดท 2 เตมขอความ (แตฐานสามารถตดลบ, เปน 0, หรอเปน 1 ได) หนา 126 ตวอยางลางสด บรรทดท 1–2 แกจาก พจนท 6 เปน พจนท 5 หนา 137 ตวอยางบน บรรทดท 4 แกจาก n2 เปน n 12 หนา 141 ตวอยางลาง บรรทดสดทาย แกคาตอบจาก 12 เปน 14

บทท 11 ขอสอบเขามหาวทยาลย หนา 160 ขอ 9. บรรทดท 1 และ 3 แกคาวา หาร เปน หารดวย หนา 168 ขอ 68. บรรทดท 2 แกจาก 113 เปน 53

บทท 11 ขอสอบเสรมประสบการณ หนา 177 ขอ 125. ยกกาลง 13 (ขดระหวางเศษสวนหายไป) หนา 190 ขอ 125. บรรทดท 3–4 แกจาก 1/ 3(x) และ 2/3(x) เปน x และ x2 ตามลาดบ

และบรรทดกอนสดทาย แกจาก 21/31

x( ) และ 22/31

x( ) เปน 1 ทงสองจด ขอ 127. ทง ก, ข, ค แกวงเลบ จากชวงเปด ( ) เปนชวงปด [ ] ทกจด

หนา 192 ขอ 140. บรรทดสดทาย แกเปน 2 2n (n 1)4

บทท 12 สรปเนอหาและตวอยาง หนา 200 ตวอยางท 2 แกคาตอบจาก ไมมลมต เปน 4 2 เพราะไมตองพจารณานอกโดเมน หนา 221 ตวอยางบรรทดท 3–4 แกจาก f(x) dx เปน f(t) dt

บทท 12 ขอสอบเขามหาวทยาลย หนา 239 ขอ 90. บรรทดท 4 ตดคาวา บาท คาสดทายออก หนา 257 ขอ 28. บรรทดท 2 แกจาก x 1> เปน x 2>

บทท 12 ขอสอบเสรมประสบการณ หนา 305 ขอ 181. แกคาตอบเปน ทกจดบนโดเมน (เนองจากจานวนอตรรกยะกเปนจดไมตอเนอง) หนา 311 ขอ 220. ในรป แกจาก (2, 0) เปน (2, 1) หนา 315 ขอ 239. บรรทดท 3 แกจาก 8002 เปน 800n หนา 322 ขอ 275. ในรป ตดคาวา (0, 2) ทงไป

บทท 13 สรปเนอหาและตวอยาง หนา 331 ตวอยางท 2 และหนา 334 ตวอยางท 4 แกโจทยจาก 4 ครง เปน 3 ครง หนา 338 ตวอยางสดทาย บรรทดท 5 แกจาก B ไปยง F เปน F ไปยง B

บทท 13 ขอสอบเขามหาวทยาลย หนา 378 ขอ 29. บรรทดกอนสดทาย ตดคาวา T-A-T-H ออก และจะได รวม 3 วธ หนา 383 ขอ 68. บรรทดท 5 แกจาก หาร เปน หารดวย หนา 392 ขอ 138. บรรทดท 4 แกจาก จะชนะได เปน จะไดสแดง

บทท 13 ขอสอบเสรมประสบการณ หนา 401 เฉลยดานลาง ขอ 192. แกคาตอบจาก 4 เปน 2 หนา 414 ขอ 182. บรรทดท 10 แกจาก หาร เปน หารดวย หนา 416 ขอ 192. สองบรรทดสดทาย แกจาก 2236 เปน 2036 และแกจาก 44 เปน 40

บทท 14 สรปเนอหาและตวอยาง หนา 429 ตวอยางแรก บรรทดท 3 แกจาก เทากบคะแนน เปน เทากบกคะแนน หนา 434 ตวอยางกลาง แกจาก ในการสอบครงหนง เปน จากผลคะแนนสอบแบบแจกแจงความถ

บทท 14 ขอสอบเขามหาวทยาลย หนา 493 ขอ 90. บรรทดท 4 แกจาก v เปน yi หนา 500 ขอ 118. บรรทดท 3 แกจาก 13 เปน 23 หนา 524 ขอ 35. บรรทดกอนสดทาย แกจาก 120 เปน 130 หนา 527 ขอ 52. เปลยนคาอธบายเปน Mode อยในชน 49–57 จงนอยกวา X แนนอน

บทท 14 ขอสอบเสรมประสบการณ หนา 553 เฉลยดานลาง ขอ 210. แกคาตอบจาก 2 เปน 18, 2 หนา 573 ขอ 205. บรรทดท 2–3 แกจาก 44.5 และ 41.8 เปน 34.5 และ 31.8 ตามลาดบ หนา 584 ขอ 268. บรรทดท 7 แกจาก 74 เปน 61

บทท 15 ขอสอบเสรมประสบการณ หนา 605 เฉลยดานลาง ขอ 36. เตมคาตอบ 10, 24 ดวย หนา 607 เฉลยดานลาง ขอ 43. เตมคาตอบ 20 ดวย หนา 610 ขอ 38. แกจาก 50 เปน 35 ทงสองจด หนา 611 ขอ 43. เตมคาตอบ และคาใชจายเทากบ 20 บาท ดวย

ขอ 44. บรรทดท 17 และ 20 แกจาก (6, 5) เปน (7, 5) ซงจะได P = 252 หนา 612 ขอ 46. ตงแตรปกราฟเปนตนไป แกจาก 4 เปน 3 ทกจด

และจดตดแกเปน 6 125 5( , ) ซงจะได 185P ดงนนตอบ 6 125 5v i j

A-NET 2549–2552 หนา 631 ขอ 2. บรรทดกอนสดทาย แกจาก ] ] เปน ] หนา 644 ขอ 2. บรรทดท 10 แกจาก 4. เปน 3. หนา 647 ขอ 14. บรรทดท 4 ขดระหวางเศษสวนหายไป หนา 648 ขอ 20. บรรทดท 9 แกจาก 12 เปน 32 หนา 649 ขอ 4. บรรทดแรก แกจาก 5x + 1 เปน 5x – 1 หนา 660 ขอ 16. บรรทดท 6 แกจาก ab + cd เปน ac + bd

รวมจดผดใน Hi-Speed Math 1–2 ตนฉบบทตพมพโดย Science Center ในชวงป 2552–62

อปเดตลาสด 09/09/62

ไฟลนรวบรวมหนาทมการแกไขจดผดทงหมด (เชน คดเลขผด พมพผด ตกหลน)

โดยตกรอบ “จดทแกไขแลว” ดวยสแดง

คณผอานสามารถ print ไปใชงานแทนหนาเดมจากหนงสอไดเลยครบ - ถาตองการเฉพาะหนาหนงสอ (ไมมกรอบสแดง) ใหสงพมพแบบ document only

- ถาตองการใหมกรอบสแดงดวย ใหสงพมพแบบ document and markup

ขอบคณทกทานทชวยอดหนน ชวยแจงจดผด และตดตามผลงานของผมเสมอมานะครบ และขอโทษทพลาดมองขามจดผดไปหลายจดเลย งานหลงจากนผมจะตรวจใหดยงขนคราบ

kanuay

Pencil

คณต มงคลพทกษสข เซต 21

24. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2522] ;Þ ให A, B และ C เปนเซตใดๆ ขอความในขอใดตอไปนถก 1. ถา A เปนเซตวาง เพาเวอรเซตของ A กเปนเซตวาง 2. (A B) (A B) 3. เราสามารถเขยนแจกแจงสมาชกเพาเวอรเซตของ A ไดเสมอ 4. ถา A B A C แลว B C A 5. (A B)' A' (A B) 25. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2524] กาหนดให A, B และ C เปนเซตใดๆ ขอใดตอไปนถกตองทสด 1. ถา A, B เปนเซตจากด และ A B แลว P(A B) (P(A) P(B)) 2. [(A B) (B C)]' B' (A ' C ') 3. ถา A B แลว A B 4. ถา A B' แลว A B' B' 5. ไมมคาตอบใดถก 26. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2528] * ขอนอาศยเนอหา “ระบบจานวนจรง” ดวย ขอความใดตอไปนเปนจรง 1. กาหนดให A, B และ C เปนเซตใดๆ ถา A B และ B C แลว A C

2. กาหนดให n1B [ , n 3)n 2

เมอ n เปนจานวนนบ จะได 3 4 2(B B ) B [5,6)

3. กาหนดให A {2, 4, 8} จะได {{2, 4}} P(A) {A} 4. กาหนดให A { x | x เปนจานวนเตมทนอยกวา 7 } และ B { x | x เปนจานวนจรงทมากกวาหรอเทากบ 4 } จะได A B [4, 7) 27. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2530] ขอใดตอไปนผด 1. { x | x เปนจานวนจรง และ 2x 1 0 } เปนเซตทไมมสบเซตแท 2. ให A, B, C เปนเซตใดๆ ถา A C แลว A (B C) B 3. { } { } 4. กาหนดให P(E) { , E, {a}, {c}} , E A , E B , P(A) มสมาชก 8 ตว, P(B) มสมาชก 16 ตว, และ b, d A B ถา b A แลว d B 28. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2541] ถา A { , 0, 1, {0}, {0, 1}} และ P(A) เปนเพาเวอรเซตของ A แลว เซต P(A) A มสมาชกกตว

เฉลย 17. 128 18. 384 19. 56 20. 5 21. 3 22. 4 23. 3 24. 5 25. 2 26. 3 27. 3 28. 29

kanuay

Pencil

บทท 1 ตะลยโจทยขอสอบคณตศาสตร 28

เฉลยวธคด (1) ขอ 1. ผด.. A B {1,2} ขอ 2. ผด.. A B {1,2, 3, {1,2}, {1,2, 3}} ขอ 3. ถก ขอ 4. ผด.. B A {{1,2}}

(2) A B {1,2, 3, 4,5} B A {{1,2}, {3, 4,5}} ตอบ 7 ตว

(3) ๏ ขอ 1. และ 2. จาก A {b, c} A (เพราะใน A ไมม b กบ c) (A {b, c}) {b} {a, b, {a}, {b}, {b, c}} ดงนน ขอ 1. ถก, ขอ 2. ผด ๏ ขอ 3. และ 4. จาก A {a, {b}} {{a}, {b, c}} (A {a, {b}}) {a} {{a}, {b, c}} ดงนน ขอ 3. และ 4. ผด

(4) 1 2 3A { 1, 0, , , , ...}3 4 5

จะได 1A C { 1, 0, }2 (เพราะ 1 22 4 )

ดงนน (A C) B { 1} ตอบ ขอ 3.

(5) (A C) (B D) (A C) (B D)'

A C B' D ' (A B') (C D ') (A B) (C D) ตอบ ขอ 2.

(6) ความหมายของ A B คอ “ถา a A แลว a B ดวยเสมอ” แตในตวเลอกไมมให เราจงแปลงขอความน ใหอยในรปทยงสมมลกน คอ “ถา a B แลว a A ” ตอบ ขอ 2.

(7) A B C หมายความวา มสมาชกของ A บางตว ซงไมเปนสมาชกของ B C ดงนน ตรงกบตวเลอกขอ 2. (สวนขอ 1. และ 3. ผด เพราะใชคาวา สาหรบสมาชก x ใดๆ ซงหมายถงสมาชกทกๆ ตวใน A ..แตทจรงเราพจารณาเพยงบางตวของ A กพอ)

หมายเหต ถาคดจากตรรกศาสตร จะเปนดงน.. A B C แปลวา x [ x A (x B x C)]

ดงนน A B C (นเสธ) ยอมแปลวา x [ x A x B x C ] ..ตรงกบขอ 2.

(8) ขอ 1. {A B} {{a}} M (ขอ 1. ผด) ขอ 2. {D A} D {{b, c, d}} D M (ขอ 2. ผด) ขอ 3. (D B) (D C) {c, d} {a} M ดงนน ขอ 3. ถก ขอ 4. B (D C) B {a} {a, b} M (ขอ 4. ผด)

(9) ขอ ก. ผด.. เชน A {1} , B {1,2} จะได C {{1}, {1,2}} ซงจะเหนวา A C ขอ ข. ถก.. เพราะ A B B เสมอ ขอ ค. ถก.. เพราะ A B A เสมอ ดงนน ตอบ ขอ 5.

(10) ขอ 1. สมการ 2x 3 0 x 3 ดงนน คาตอบทเปนจานวนตรรกยะไมมเลย { x | x A } (ขอ 1. ผด)

ขอ 2. A ' B' A ' B B A ประโยค A B หมายความวา A และ B ไมมสมาชกรวมกน ..ดงนน B A B ขอ 2. ถก

ขอ 3. ผด.. A B แปลวา A และ B ไมมสมาชกรวมกนเทานน เชน A {1,2} , B {3} (ไมจาเปนตองเปนเซตวาง)

kanuay

Pencil


A B

(18) วธท 1 คดโดยตรงดวยสตรยเนยนของเซต คอ (1 B) (9 B) (1 B และ 9 B)

8 8 72 2 2 384 ตอบ

วธท 2 มคาวา “หรอ” จงใชวธลบออกดวยนเสธ.. คอ วธทงหมด ลบดวยวธท (1 B และ 9 B)

9 72 2 384 ตอบ

(19) สมมตวา n(A B) m จาก n(A B) 40 จะได ab 40 .....(1) และจาก n (A B) (B A) 7 จะได (a m) (b m) 7 a b 2m 7 .....(2) โดยท a, b,m ตองเปนจานวนนบ และ m a,b<

..จากสมการแรกพบวาม a, b หลายค คอ 1, 40 2,20 4, 10 5,8 แตจากสมการทสองจะทราบวา a b ตองเปนจานวนคเทานน

๏ ถา a, b เปน 1, 40 จะได 41 7m 172

ซงเปนไปไมได เพราะ 17 มากกวา 1

๏ แสดงวา a, b เปน 5, 8 และ 13 7m 32

ทาให n(A B) 5 8 3 10 ..ดงนน จานวนสบเซตของ A B ซงมสมาชกไม

เกน 2 ตว คอ 10 1010 5610 2

ตอบ

(20) rR { 2, 0} rP(R ) { , { 2}, {0}, { 2, 0}} ตอบ ขอ 5.

(21) ขอ 1. {0, 1} P(B) เพราะใน B ไมม 1 ขอ 2. {1} P(A) P(B) เพราะใน P(B) ไมม {1} (เนองจากใน B ไมม 1) ขอ 3. A B {0} ดงนน 1n(P(A B)) 2 2 ..ขอ 3. ถก ขอ 4. A B {0, 1, {1}, {0, 1}} ดงนน 4n(P(A B)) 2 16

(22) ๏ ขอ 1. ผด n(P(A)) n(P(B)) แปลวา n(A) n(B)

แต “A B และ B A ” นนแปลวา A B ซงในขอน A ไมจาเปนตองเทากบ B กได ๏ ขอ 2. ผด การท A B นน A อาจจะเทากบ B ไดดวย และในกรณนนกจะทาให n(P(A)) n(P(B)) ๏ ขอ 3. ผด ไมสามารถทาได เพราะ n(A)n(P(A)) 2 เมอ n(A) เปนจานวนนบหรอ 0 เทานน แตไมมจานวนนบใดททาให n(A)2 25 ไดเลย ๏ ขอ 4. n(P(A)) n(P(B)) แปลวา n(A) n(B) ซงถา A กบ B มจานวนสมาชกเทากน จะเรยก A และ B วาเปนเซตท “เทยบเทากน” ..ขอ 4. ถก

(23) ขอ 1. ถก เชน S และ T { , 1} จะได S T และ S T ดวย ขอ 2. ถก เชน S {1} , T {2} , U {{1},2} จะได S T และ T U แต S U ขอ 3. ผด เนองจาก P( ) { } และ {P( )} {{ }} จงได P( ) {P( )} จรงๆ แตวา P( ) {P( )} ..จงทาใหขอนผด ขอ 4. ถก เพราะ P(S) มสมาชก n(S)2 ตว ขณะท S มสมาชก n(S) ตว และเราพบวา n(S)2 n(S) เสมอ สาหรบทกๆ n(S) 0, 1,2, ...

(24) ขอ 1. ผด เพราะ P( ) { } ไมใชเซตวาง! ขอ 2. ผด เพราะ A B กบ A B แยกกนอยคนละชนสวนกน (ไมมสวนซอนทบกน) ขอ 3. ผด ..ถงแม P(A) มอยจรงเสมอ แตกอาจเขยนแจกแจงสมาชกไมได เชน A { x | 1 x 3} < < ขอ 4. ผด เชน A {1, 2} , B {1, 3} , C {1, 3, 4} จะไดวา A B A C แต B C A เสมอ ขอ 5. ถก (ไดชนสวนดงทแรเงาในรป)

kanuay

Pencil


ฟตบอล

กรฑา 30

18

วายนา 20

x

ชาง

ลง 32 35

หม 20

ก

22 23 20

11

ค 9

x y ข

“1”

C D B

F

“3” G

A E “2”

H

45

35

35 30

A

x

C

B

ลกทง

x 30

45

ไทยเดม 80

50 70

ลกกรง

(45) ขอมลจากโจทย ใสลงในแผนภาพไดดงรป คา x ในรป หาไดโดยการลบออกดงน x 80 (30 18 20) 12 คน ตอบ

(46) ขอมลจากโจทย ใสลงในแผนภาพไดดงรป คา x ในรป หาไดโดยการลบออกดงน 300 (50 30 70 45 80) 25 คน ตอบ หมายเหต ขอมล “120 คน ชอบเพลงลกทง” ไมไดใชในคาถามน แตถาจะหาชองกลางจงคอยใช (โดยคดตอจากททราบคา x 25 แลว)

(47) จากแผนภาพ เมอใชขอมลทโจทยใหมาเพยง 3 ตว กจะหาคาตอบไดแลว (โดยการลบออก) ตอบ 100 (32 35 20) 13 คน

(48) “ทกคนตองแสดงความนยม อยางนอยหนงคน” 100 20 23 11 22 9 x y .....(1)

“นาย ก ไดคะแนนมากกวานาย ข อย 6 คะแนน” (x 20 23 22) (y 20 23 11) 6 .....(2) แกระบบสมการได x 5 และ y 10 ดงนน นาย ก ได 70 คะแนน, นาย ข ได 64 คะแนน และนาย ค ได 65 คะแนน ขอ 1. ถก, ขอ 2. 70 64 65 199 ถก ขอ 3. ผด ตองเปน 5 คน, ขอ 4. ถก

(49) ขอมลจากโจทย ใสลงในแผนภาพไดดงรป จากขอมล A B C D 65 แต C D 15 ดงนน A B 50 และจะไดวา (ยเนยนกนทง 3 เซตโดยการบวก) 200 H (A B) E (D F) G C

200 30 170 50 45 35 35 C C 5 ..จงได D 10 และได F 25

จาก B 90 35 45 10 จะได A 40

ขอ 1. ถก.. ดทงสามเรอง 10 0.05200

ขอ 2. ถก.. ดอยางนอยหนงเรอง 170 0.85200

ขอ 3. ถก.. ดเรองทหนงเทานน 40 0.2200

ขอ 4. ผด.. ดเรองทสาม 5 35 35 0.375200

(50) เขยนแผนภาพตาม เงอนไข A B B C นนคอสวนทแรเงาตองไมม สมาชก แทนคาลงในสตรยเนยนของ 3 เซตได ดงน 49 25 n(B) 23 x 7 10 x

n(B) 18 ตอบ

kanuay

Pencil


67. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2543] จงพจารณาขอความตอไปน ก. ถา 4 2A { x | x และ 2x x x 2 0} R แลว {{1}} P(P(A)) ข. ถา B {0, {0}} แลว P(B) B มสมาชก 2 ตว ขอใดตอไปนถกตอง 1. ขอ ก. และ ข. เปนจรง 2. ขอ ก. เทานนเปนจรง 3. ขอ ข. เทานนเปนจรง 4. ขอ ก. และ ข. เปนเทจ 68. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2543] กาหนดใหเซต A {ก, ข, {ก, ข}} จงหา P(A) A 69. [คดโอลมปก / 2547] ถา A { , 1, {3}, {1},2, {1,2}} แลว A P(A) มจานวนสมาชกเทากบขอใดตอไปน 1. 66 2. 67 3. 68 4. 69 70. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2542] กาหนด A {1, 2, 3, 4, 5,6} และ B {4,5,6, 7, 8, 9} จงหาจานวนของเซต X ตามเงอนไขทกาหนดให ก. X P(A B) แต X P(A B) ข. X A หรอ X B แต X A B 71. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2547] ให X และ A เปนเซต โดย (X A ') (X ' A) A จะทราบหรอไมวา X เปนเซตอะไร เพราะเหตใด 72. [คดโอลมปก / 2545] * ขอนอาศยเนอหา “ความสมพนธ” ดวย กาหนดให A, B, และ C เปนเซตใดๆ ขอใดตอไปนผด 1. (A B) (B A) 2. A C A C' 3. (A B) (C D) (A C) (B D) 4. (A' B' C')' A B C 73. [คดโอลมปก / 2535] บทนยาม กาหนดให A และ B ตางกเปนสบเซตของเอกภพสมพทธ U ให A B (A B) (B A) พจารณาขอความตอไปน ก. (A B)' (A B) (A' B') ข. (A B)' (A' B) (A B') ขอใดตอไปนถกตอง 1. ขอ ก. ถกตองเพยงขอเดยว 2. ขอ ข. ถกตองเพยงขอเดยว 3. ขอ ก. และขอ ข. ถกตองทง 2 ขอ 4. ขอ ก. และขอ ข. ผดทง 2 ขอ เฉลย 60. {8} 62. 15 63. 1 64. 1 65. 4 66. 2 67. 2 69. 2 70. 504, 112 71. 72. 4 73. 3

kanuay

Pencil


เฉลยวธคด (55) แพทย 10 แหง ..จากขอ ง. และ ก. จะทราบวามพยาบาล 5 แหง แสดงวามทสอนแพทยทไมมพยาบาลอก 5 แหง ..แตจากขอ จ. ทาใหทราบวา 5 แหงนตองสอนวศวะ ..จากขอ ข. ทาใหทราบวา วศวะกบแพทยม 5 แหง และวศวะกบพยาบาลไมมเลย ..จากขอ ค. จงไดวา วศวะทงหมดม 10 แหง ตอบ

(56) เนองจาก เปนสบเซตของเซตใดๆ ทกเซต ดงนน ตอบ ขอ 3.

(57) เงอนไข {m} A และ A C จะมเซต A ได 4 แบบ ดงน.. {m} , {m,n} , {m, r} , {m,n, r} แตมเงอนไขดวยวา A B ดงนน A ทเปนไปไดคอ {m, r} หรอ {m,n, r} เทานน ..จะเหนไดชดเจนวา ขอ 2. และ 4. ถก ..สวน ขอ 1. ผด เพราะถา A {m, r} จะได B A {n} ..และขอ 3. ถก เพราะ (C A) B อาจเปน {n} หรอ ซงไมวาจะแบบไหน กลวนเปนสบเซตของ {n, r}

(58) ขอ 1. ผด ตองแกเปน A B A B' หรอแกเปน B A A ' B ขอ 2. ผด ตองแกเปน P({a}) { , {a}} ขอ 3. ถก เพราะ 2{ x | x 29} Q ( 29 ไมเปนจานวนตรรกยะ) ..และ จรงๆ ขอ 4. ผด เพราะเซตนมสมาชกมากมายนบไมถวน

(59) จาก 2x 10x 21 (x 7)(x 3) 0 แสดงวา B {3, 7} โจทยถาม A (B' C) A B' C ' คอ “อยใน A แตไมอยใน B กบ C” ตอบ A (B' C) {2,8,9}

(60) พจารณาหาเซต C ถา x 4 จะได 4y 2 42

(ใชไมได เพราะไมอยใน U ) ถา x 2 จะได 2y 2 32

ถา x 8 จะได 8y 2 22

ดงนน C {3, 2} โจทยถาม (A C)' B A ' C ' B คอ “อยใน B แตไมอยใน A กบ C” พบวา -2 อยใน C และ -4 อยใน A จงตองตดออก ตอบ (A C)' B {8}

(61) A , B { } , C , { } { } และ D , { }, {{ }}, { , { }} { } ..ดงนน (C D) (D A) D D D ตอบ , { }, {{ }}, { , { }} { }

(62) A B {c, d, e, f} มสบเซตทงหมด 42 16 แบบ ดงนน จานวนสบเซตทไมใชเซตวาง เทากบ 15 แบบ

(63) แบบตางๆ ของ X คอ {1, สบเซตทกแบบของ 2,3,4,5} (มอย 42 16 แบบ) แบบตางๆ ของ Y คอ {5, สบเซตทกแบบของ 1,2,3,4} (มอย 42 16 แบบ)

5 5 5

พยาบาล

แพทย

วศวะ

kanuay

Pencil


A B

ง จ

ก ข ค

ฉ

C ช

(78) ชายไมชอบดชอง 3 หรอ 7 จานวน 21 คน แสดงวา ชายชอบดชอง 3 หรอ 7 จานวน 40 21 19 คน และจากสตรยเนยนของ 2 เซต จะได 19 13 9 x นนคอจานวนชายทชอบดทงชอง 3 และ 7 มอย x 3 คน

มคนชอบดชอง 3 และ 7 จานวน 7 คน แสดงวากลมนเปนหญง 7 3 4 คน และจากสตรยเนยนของ 2 เซต จะได y 4 9 4 นนคอจานวนหญงทชอบดชอง 3 หรอ 7 มอย y 9 คน

จานวนหญงทไมชอบดชอง 3 หรอ 7 มอย 20 9 11 คน

(79) จากแผนภาพของ 3 เซต จะได n(A B) 42 ก ง 42 ....(1) n(A C) 7 ก ข 7 ....(2) n(C A) 18 ฉ ช 18 ....(3) n(C B) 35 ง ช 35 ....(4) ตองการหา n((B C) A) ฉ สมการท (2) บวกกบ (4) จะได ก ข ง ช 42 พจารณาจากสมการท (1) จะสรปไดวา ข 0 และ ช 0 แทนคาลงในสมการท (3) กจะได ฉ 18 ตอบ

(80) ถาให A, B, C แทนเซตของคนทเคยไปเชยงใหม, ขอนแกน, ภเกต ตามลาดบ จะได n(A B C) 280 ดงนน n(B) 280 170 110 ตอบ นกทองเทยวทเคยไปขอนแกน ม 110 คน

จาก n(A) 280 150 130 และ n(C) 280 130 150 ดงนน จากสตรยเนยนของ 2 เซต จะได n(A C) 130 150 50 230 ตอบ นกทองเทยวทเคยไปเชยงใหมหรอภเกต ม 230 คน และจากสตรยเนยนของ 3 เซต จะได 280 130 110 150 30 50 40 n(A B C)

n(A B C) 10 ตอบ นกทองเทยวทเคยไปทง 3 จงหวด ม 10 คน นกทองเทยวทเคยไปเฉพาะภเกต ม n(C) n [(A C) (B C)] 150 (50 40 10) 70 คน ตอบ นกทองเทยวทเคยไปเฉพาะจงหวดเดยว ม n(A B C) n [(A B) (A C) (B C)] 280 (30 50 40 10 10) 180 คน ตอบ

(81) จาก n(A B) n(A C) 6 มจานวนเตมบวกทเปนไปได 4 กรณ ดงน

๏ ถา n(A) 6 และ n(B) n(C) 1 เปนไปไมได เพราะโจทยกาหนด n(B C) 2 (ซงมากกวา 1)

๏ ถา n(A) 1 และ n(B) n(C) 6 โจทยกาหนด n(B C) 2 แสดงวา n(B C) 6 6 2 10 แตโจทยกาหนด n(A B C) 6 ดวย กรณนจงเปนไปไมได (เพราะ 10 มากกวา 6)

๏ ถา n(A) 3 และ n(B) n(C) 2 โจทยกาหนด n(B C) 2 แสดงวาเซต B C พอด แตโจทยกาหนด n(A B C) 6 ดวย กรณนจงเปนไปไมได (เพราะ 6 มากกวา 3+2)

kanuay

Pencil


จานวนจรง

จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ (ทศนยมไมซา)

จานวนเตม

จานวนเตมลบ จานวนเตมศนย จานวนเตมบวก (จานวนนบ)

เศษสวนของจานวนเตม (ทศนยมซา)

จานวนเตม จานวนค 0, 2, 4, ...

จานวนค 1, 3, 5, ...

จานวนนบ

1

จานวนเฉพาะ 2, 3,5, 7, ...

จานวนประกอบ 4,6, 8, 9, ...

4. จานวนทกประเภททกลาวมา เรยกรวมกนวา “จานวนจรง” (ใชสญลกษณเปนเซต R ) • จานวนประเภทอนๆ ซงไมใชจานวนจรง ไดแก รากทค (รากทสอง, รากทส, ฯลฯ) ของจานวนตดลบ เชน 5 (เปนจานวนจนตภาพ) และ เศษสวนทมตวสวนเปน 0 (ซงในบางครงกคอ และบางครงกสรปไมได) 5. คาศพทเพมเตมเกยวกบจานวนเตม • จานวนค คอจานวนเตมทหารดวย 2 ลงตว (ไดแก 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6, …) จานวนเตมอนๆ เรยกวาจานวนค เปนจานวนเตมทหารดวย 2 ไมลงตว (ไดแก 1, -1, 3, -3, …) • จานวนเฉพาะ คอจานวนนบทไมใช 1 และมจานวนนบทไปหารลงตวเพยง 1 และตวมนเองเทานน • จานวนนบอนๆ ทไมใชจานวนเฉพาะและไมใช 1 จดเปนจานวนประกอบ (คอจานวนซงแยกตวประกอบในรปผลคณของจานวนเฉพาะได) 6. สมบตปด หมายความวา เมอนาสมาชกใดๆ ในเซตมาดาเนนการแลว ผลทไดยงคงเปนสมาชกของเซตนนอย เชน เซตจานวนนบมสมบตปดการบวกและคณ แตไมมสมบตปดการลบและการหาร (เนองจากผลลบและผลหารของจานวนนบบางค ไมเปนจานวนนบ)

kanuay

Pencil

2 58

ตวอยาง กาหนด A [ 2, ) และ B ( 2, 3] ใหหา A B และ B A จะได A B { 2} (3, ) ดงรป และได B A 22. ขอควรระวงในการแกอสมการใดๆ • การบวกหรอลบทงสองขาง (ยายขางบวกลบ) และการตดออกสาหรบการบวกหรอลบ ทาไดเสมอ a b a c b c เสมอ a c b c a b เสมอ • การคณหรอหารทงสองขาง (ยายขางคณหาร) จะตองระวงเรองการเปลยนเครองหมาย (ถาเลขทยายเปนคาตดลบ ตองพลกดานเครองหมาย)

a b a c b c เมอ c 0 a b a c b c เมอ c 0 a c b c a b เมอ c 0 a c b c a b เมอ c 0

• การยกกาลงสองทงสองขาง ทาไดเมอมนใจวาเปนบวกทงสองขาง หรอตดลบทงสองขางเทานน (โดยกรณตดลบตองพลกดานเครองหมายดวย)

2 2a b a b เมอ a, b 0 2 2a b a b เมอ a, b 0

ตวอยาง จากอสมการ 8 1 3x 13 นา 1 ลบออก ไดเปน 9 3x 12 จากนนหารดวย -3 จะได 3 x 4 ** ตองพลกเครองหมายเพราะคาทนามาหารเปนคาตดลบ ดงนนเซตคาตอบคอ { x 4 x 3 }| ..หรอเขยนเปนชวง [ 4, 3) 23. การแก (หรอหาคาตอบของ) อสมการกาลงสอง เพอความสะดวกควรใชเทคนคดงน • จดอสมการใหฝงหนงเปน 0 โดยทาใหสมประสทธหนา 2x ไมตดลบ (ถาตดลบใหนา -1 คณ และพลกดานเครองหมายกอน) • แยกตวประกอบ แลวกาหนดจด x ททาใหแตละวงเลบเปน 0 ลงบนเสนจานวน • ถาอสมการเปน 0 ใหตอบชวงเปด ซายและขวา, ถาอสมการเปน 0 ใหตอบชวงเปด ตรงกลาง • และถาอสมการมเครองหมาย 0 ดวย กใหตอบจดเหลานนดวย (กลายเปนชวงปด)

-2 1 3

kanuay

Pencil

คณต มงคลพทกษสข ระบบจานวนจรง 71

ตวอยาง ถา x ( 1, 3) และ y (2, 4) จะไดขอบเขตดงน.. x y มคาอยในชวง (( 1) 2, 3 4) (1, 7) x y มคาอยในชวง (( 1) 4, 3 2) ( 5, 1)

เนองจากผลคณทงสคอ 2, 4, 6, 12 ..ดงนน xy มคาอยในชวง ( 4, 12) และเนองจากผลหารทงสเปน 1/2, 1/4, 3/2, 3/4 ..ดงนน x/y มคาอยในชวง ( 1/2, 3/2) ตวอยาง ถา 2 x 3 < และ 1 y 5 < ใหหาขอบเขตทเปนไปไดทงหมดของ 2x y

คา 2x อยในชวง [0, 9] คา 2x y เลอกจากผลคณ 0, 0, 9, 45 ..ดงนนคา 2x y อยในชวง [ 9, 45) และจะไดวา คา 2x y อยในชวง [0, 45) 13. ทฤษฎเกยวกบคาสมบรณ (ชวยในการแกสมการ) • คาสมบรณตองไมนอยกวาศนย a 0> เสมอ • คาสมบรณไมคานงถงเครองหมายลบ a a และ a b b a • คาสมบรณกระจายได สาหรบการคณ ab a b และ nna a

• คาสมบรณกระจายได สาหรบการหาร aab b โดยท b 0

• ยกกาลงดวยเลขคไมตองใสคาสมบรณ 22 2a a a • คาสมบรณกระจายไมได สาหรบการบวกลบ a b a b < และ a b a b >

• นยามการถอดรากท n ของกาลง n nna , n จานวนค

a a , n จานวนค

14. การแกสมการหรออสมการทมคาสมบรณ โดยทตดตวแปร x ทงสองฝง • สาหรบสมการ ในรปแบบ f(x) g(x) หรอรปแบบ f(x) g(x) และสาหรบอสมการ ในรปแบบ f(x) g(x) หรอรปแบบ f(x) g(x) หรอรปแบบ f(x) g(x) ..เหลานลวนสามารถยกกาลงสองทงสองขางได (เพราะมนใจวาเปนบวกทงสองขาง) จากนนควรยายฝงมาลบกนเปนผลตางกาลงสอง (เพอจะไดไมตองแยกตวประกอบเอง) ** เมอไดคาตอบแลวตองตรวจคาตอบเสมอ

kanuay

Pencil


ตวอยาง ใหหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 252 กบ 312

จะได 312 252(1) 60 จากนน.. 252 60(4) 12 จากนน.. 60 12(5) การหารลงตวพอด และ 12 เปนตวหารตวสดทาย ..แสดงวา ห.ร.ม. ของ 252 กบ 312 เทากบ 12

..และ ค.ร.น. ของ 252 กบ 312 เทากบ 252 312 655212

ตวอยาง ใหหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ -34 กบ 254

จะได 254 34( 7) 16 จากนน.. 34 16( 3) 14 จากนน.. 16 14(1) 2 และจะได 14 2(7) การหารลงตวพอด และ 2 เปนตวหารตวสดทาย ..แสดงวา ห.ร.ม. ของ -34 กบ 254 เทากบ 2

..และ ค.ร.น. ของ -34 กบ 254 เทากบ 34 254 43182

(ห.ร.ม. และ ค.ร.น. จะตองเปนจานวนเตมบวกเสมอ) 27. โจทยปญหาเกยวกบ ห.ร.ม. มกจะเปนการแบงของออกเปนกอง จดคนเปนกลม ตดเสนลวดเปนทอน โดยการแบง/จด/ตด นนจะตองไดสงของทมปรมาณเทากน • โจทยปญหาเกยวกบ ค.ร.น. มกจะเปนการรวบรวมสงของหลายกองเขาดวยกน การรวมระยะทางหลายกาวเขาดวยกน โดยการรวมนนจะตองไดผลรวมทมปรมาณเทากน ตวอยาง มนกเรยนชายอย 252 คน และนกเรยนหญง 312 คน ตองการแบงนกเรยนชายเปนกลมยอยๆ และแบงนกเรยนหญงเปนกลมยอยๆ ใหมจานวนคนเทากนทกกลม จะแบงนกเรยนเปนกลมยอยไดขนาดใหญทสดกลมละกคน ตองการหาจานวนเตมทมากทสด ทหารทง 252 และ 312 ลงตว.. ซงกคอ ห.ร.ม. ของ 252 และ 312 นนเอง โดย ห.ร.ม. ของ 252 กบ 312 นนเทากบ 12 จงตอบวา แบงนกเรยนไดขนาดใหญทสดกลมละ 12 คน

ตวอยาง กลองรองเทาสงกลองละ 15 ซม. และกระปองนาอดลมสงกระปองละ 12 ซม. ตองการเรยงซอนกลองรองเทาเขาดวยกน และเรยงซอนกระปองนาอดลมเขาดวยกน ใหทงสองแถวมความสงเทากนพอด ความสงทนอยทสดทเปนไปไดเทากบก ซม. ตองการหาจานวนเตมทนอยทสด ทหารดวย 15 และ 12 ลงตว.. ซงกคอ ค.ร.น. ของ 15 และ 12 นนเอง โดย ค.ร.น. ของ 15 กบ 12 นนเทากบ 60 จงตอบวา ความสงทนอยทสดทเปนไปไดเทากบ 60 ซม.

kanuay

Pencil


32. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2533] ;Þ ถากาหนดชวง (a, b) และ (c, d) มจดรวมกนแลว ใหพจารณาวาขอใดตอไปนผด 1. ถา a c และ b d แลว c b 2. ถา a c และ d b แลว c b 3. ถา a c และ b c แลว d a 4. ถา a c และ b d แลว b c 33. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2523] ;Þ ถา 10 x 100 และ 1 y 5 แลว พจารณาขอความตอไปน

(1) x2 100y (2) 21 y 1

10 x 4

(3) 211 x y 125 (4) 9 x y 95 ขอใดตอไปนถกตองทสด 1. ขอ (1) เทานนทผด 2. ขอ (4) เทานนทผด 3. ขอ (2), (3) เทานนทถก 4. ขอ (1), (3) เทานนทถก 5. ขอ (3), (4) เทานนทถก 34. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2544] ;Þ * ขอนอาศยเนอหา “ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล” ดวย ถา 2 x 2 < < และ 8 y 13< < แลว

คามากทสดของ x(1/2) 1

y 2

เทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. 12 3. 1

3 4. 18

35. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2520] ;Þ จานวนนบ x ทนอยทสดททาให

211 2 x12 5 8< จะสอดคลองกบขอใดตอไปน

1. 5 3x 2 11 2. 17 3x 2 20 < 3. 7 2x 3 11 4. 11 2x 3 13 < 5. ไมมคาตอบทถกตองในขอ 1. ถงขอ 4. 36. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2520] ;Þ เซตคาตอบของอสมการ 24x 13x 4 1 เทากบขอใดตอไปน

1. (1, 3) 2. 1( , 3)4 3. 1{ , 3}4

4. {1, 3} 5. ไมมคาตอบทถกตองในขอ 1. ถงขอ 4.

เฉลย 26. 4 27. 5 28. 4 29. 3 30. 3 31. 4 32. 3 33. 4 34. 2 35. 3 36. 2

kanuay

Pencil


58. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2532] กาหนดให x 1A { x | 0 }x 2

<R

และ B { x | 1 x 3 } < <R เมอ R เปนเซตของจานวนจรง แลว A ' B คอเซตในขอใดตอไปน 1. [ 3, 1] [1, 3] 2. ( , 2] [2, ) 3. [ 3, 3] 4. ( , ) 59. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2521 และทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2548] :( คาของ x ทงหมดซงสอดคลองอสมการ 3 1 x xx 1

ตรงกบขอใดตอไปน

1. x 3 หรอ x 1 2. 3 x 1 3. x 1 4. x 3 5. ไมมคาตอบทถกตองในขอ 1. ถงขอ 4. 60. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2547] :( ให S เปนเซตคาตอบของอสมการ 3x 2 0x 1 1

>

เซต { x | x 0 และ x S } เปนสบเซตของชวงใดตอไปน

1. [0, 1] 2. 1 3[ , ]4 2 3. 1[ , 2]2 4. 3[ , 3]4

61. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2545] :( * ขอนอาศยเนอหา “ตรรกศาสตร” ดวย

ให S เปนเซตคาตอบของอสมการ 3x 2 2x 1

>

พจารณาขอความตอไปน ก. S ( 1, 0] (1, ) ข. x [x S (x 2) S] ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 62. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2530] :( ให A เปนเซตคาตอบของสมการ x 4 x 3 1 แลว A จะเทากบเซตในขอใด

1. {3, 4} 2. 7 1{ x | |x | }2 2 <R

3. ( , 4] 4. [3, )

kanuay

Pencil


(9) จาก 2 23(a b ) 10ab จะได 2 23a 10ab 3b 0

(3a b)(a 3b) 0 3a b หรอ 3b a แตโจทยบอกวา a b เทานน จงได 3a b

3a b( )a b

3a 3a( )a 3a

34a( ) 82a

(10) ขอ 1. ผด ถา z 0 จะได xz yz ขอ 2. ผด ถา n ตดลบ เชน x 3 , y 4 , n 1 จะไดวา 3 4 แต 1 12 3 ขอ 3. ..สวนกลางคอ

2 2 2 22 2(x 2xy y ) (x 2xy y ) x y2

สวนขวาคอ 2 2 2 2(x 2xy y ) 2xy x y

กลาง = ขวา เสมอ ..พจารณา ซายกบกลาง บาง จาก 2(x y) 0 > เสมอ จะได 2 2x 2xy y 0 > ..นนคอ 2 2x y 2xy > เสมอ ดงนน กลาง > ซาย เสมอ ขอ 3. จงถก ขอ 4. 2 x 1 2 1 x 3

x 31 2 22 เสมอ

..แต 3312 2 นอยลงกวา 32

จงอาจทาใหประโยคเปนเทจได ดงนน ขอ 4. ผด

(11) ขอ 1. ผด เชน a 1 , b 2 จะได a b 2.5b a

ขอ 2. ถก เพราะ 3 3

2 2 2 2a b a bb a a b

2 2

2 2(a b)(a ab b )

a b

.....(1)

และ 1 1 a ba b ab

.....(2)

สมการ 2 2(a ab b )(2) ab

สมการ (1)

ซง 2 2a ab b a b1ab b a

ยอมมากกวา 1 เสมอ

สมการ (1) > สมการ (2)

ขอ 3. ถก เพราะ 2 2 2a b (a b) 2ab 1 1 2ab 0 > เสมอ .....(1) และ 2 2 2c d (c d) 2cd 1 1 2cd 0 > เสมอ .....(2)

อสมการ (1) (2)2 ; จะได 1 ab cd 0 > เสมอ

ab cd 1 < เสมอ

ขอ 4. ถก

(12) ขอ 1. ผด มเอกลกษณ และทกตวมอนเวอรสการบวกดวย ขอ 2. ผด มเอกลกษณ แตวา 0 ไมมอนเวอรสการคณ ขอ 3. ถาให e เปนเอกลกษณ จะไดวา a e a ea e 2 2 2 a สมมต a 1 จะได 1 e2 1 e 1 สมมต a 4 จะได 4 e2 4 e 2 พบวาคา e ไมไดเปนคาเดยวกน แสดงวาไมมเอกลกษณ ขอ 3. ถก ขอ 4. ผด เพราะจานวนตรรกยะ บวกกบจานวน อตรรกยะ ยอมไดผลลพธเปนจานวนอตรรกยะเสมอ

(13) ขอ ก. จรง เพราะถา m, n เปนจานวนเตม ยอมไดวา m n m na a a และ m n กเปนจานวนเตมเสมอ ขอ ข. ไมจรง เพราะถา a 0 จะทาให ab 0 ซงไมใชจานวนอตรรกยะ ขอ ค. จรง ถาให e เปนเอกลกษณ จะได x e x x e x

e 1 (เพราะ x 0 แนนอน) และกไดผลเชนเดยวกนกบสมการ e x x แสดงวาเอกลกษณคอ 1 จรงๆ ขอ ง. ไมจรง เพราะ x y y x

(14) ขอ 1. จาก (2 3) 4 (2 3 8) 4 8 7 และ 2 (3 4) 2 (3 4 8) 8 7 ดงนน ขอ 1. ผด ขอ 2. ให a e a e 8 a ..จะได e 8 ดงนน ขอ 2. ถก

kanuay

Pencil


a c b d

a c d b

c a d b

c a b d

c a b d

+ – +

1/4 3

+ – +

–1 –2/3

+ – +

–1/2 3

(31) ถา x = 1 จะได 4 51 a 1 b นนคอ 5 b 51 a .....(1) ถา x = 2 จะได 9 89 4a นนคอ a 2 .....(2) แทนสมการ (2) ใน (1).. จะได b 2 ถา x = 3 จะได 16 139 9a 3 b ถาแทน a 2 ลงไปจะได b 2 เชนกน a และ b มอยางละหนงคา (ขอ 4. ถก)

(32) เขยนชวงบนเสนจานวนประกอบการพจารณา ขอ 1. ถก ขอ 2. ถก ขอ 3. หรอ ขอ 3. ผด d a ไมได เพราะจะทาใหสองชวงนไมมจดรวมกน ขอ 4. ถก

(33) ๏ xy มคาในชวง 10, 2, 100, 20

..นนคอ x2 100y

๏ จาก 21 y 25

จงไดวา 2yx มคาในชวง 1

10 , 1100 , 2510 , 25

100

..นนคอ 21 y 25

100 x 10

๏ 210 1 x y 100 25 ๏ 5 y 1 ดงนน 10 5 x y 100 1 ตอบ ขอ (1), (3) เทานนทถก

(34) จาก x12 x 2 2 44 < < < < x x1 1 5 14 1 54 2 4 2

< < < <

และจาก 8 y 13 10 y 2 15 < < < < ดงนนเมอนาปลายชวง มาหารกนทละค ผลทไดเปน 5 1 5 1 5 1 5 1, , ,40 8 60 12 10 2 15 3

พบวา คามากทสดทเปนไปไดคอ 12 ตอบ

(35) 2 211 2 x x 11 2

12 5 8 8 12 5 < > 2

2x 31 62x 4.138 60 15 > >

ดงนนจานวนนบ x ทนอยทสดคอ x 3 ตอบ สอดคลองกบขอ 3.

(36) จากอสมการ 24x 13x 3 0 แยกตวประกอบไดเปน (4x 1)(x 3) 0

เมอเขยนเสนจานวนจะทราบวา 1 x 34

..แสดงวาเซตคาตอบคอ ชวง 1( , 3)4 ตอบ

(37) เซต A; (3x 2)(x 1) 0

2A ( 1, )3

เซต B;

1B ( , ] (3, )2

kanuay

Pencil


จะได 1A B B ( , ] (3, )2

..และ 1(A B)' ( , 3]2 ตอบ

(38) เซตคาตอบจากโจทย คอ ( , 1) (1,5)

ขอ 1. (x 5)(x 1) 0 จะไดเซตคาตอบ ( , 1) (5, ) ขอ 2. 2x 1 1 หรอ 2x 1 1 x 1 หรอ x 0 จะไดเซตคาตอบ ( , 0) (1, ) ขอ 3. เซตคาตอบ ( 2, 1) (1,2) ขอ 4. เซตคาตอบ ( , 1) (1, 4) ขอ 5. (x 1)(x 1) 0 จะไดเซตคาตอบ ( 1, 1)

ดงนน ตอบขอ 2. เพราะคา x ทไดจากโจทยทงหมด สามารถใชกบอสมการในขอ 2. ได (คอเปนสบเซตนนเอง)

(39) x 1 2 0x 2

x 1 2x 4 0x 2

x 5 0x 2

x 5 0x 2

5 x 2 ขอบเขตบนทนอยทสดคอ 2 a ตอบ 2a 1 5

(40) จาก 2 2x 6 x 5x 65 0x x

< >

(x 6)(x 1) 0x

>

จะไดชวงคาตอบ [ 6, 0) [1, )

และจาก 2 2x 6 x x 61 0x x

< <

(x 3)(x 2) 0x

<

จะไดชวงคาตอบ ( , 2] (0, 3] ..อนเตอรเซคเขาดวยกน ได [ 6, 2] [1, 3] ตอบ มจานวนเตมทเปนคาตอบ 8 จานวน

(41) ขอ 1. และ 2. ถกตองแนนอน โดยไมตองพสจนเอง เพราะเปนทฤษฎทตองทราบ.. ขอ 3. ผด เชน สมมต 2P(x) x 2 จะได (x 2)(x 2) ซง 2 ไมใชจานวนตรรกยะ ขอ 4. ถก.. ประโยค P(a) b หมายความวา “P(x) หารดวย x a จะเหลอเศษ b” ดงนน P(x) b กยอมหารดวย x a ลงตว

(42) แกระบบสมการหาจดตด โดยแทนสมการพาราโบลาลงในสมการเสนตรง

..จะได 21x x 4k 2kx x 4k 2x kx 4k 0

2k k 16kx 2

จดตดเกดเพยงจดเดยว นนคอ มคาตอบ x เพยงคาเดยว ..ดงนนในรทตองเปน 0

2k 16k 0 k(k 16) 0 k 0 หรอ 16

แต k เปนจานวนเตมบวก แสดงวา k 16 ตอบ

(43) เสนตรง y mx ตดกบวงกลม

2 2x y 10x 16 0 แสดงวา จะตองสามารถแกระบบสมการเพอหาจดตดได

2 2x (mx) 10x 16 0 2 2(m 1)x 10x 16 0

22

10 100 64(m 1)x 2(m 1)

จะมคาตอบ (มจดตด) เมอ 2100 64(m 1) 0 > 2 2100 36m 1 m64 64 < <

6 6m8 8 < <

ดงนน ขอบเขตบนคานอยทสดคอ 6 38 4 ตอบ

(44) แกระบบสมการเพอหาจดตด;

2 2 2x (kx) 10x 25 k 0 2 2 2(k 1)x (10)x (25 k ) 0

2 22

10 100 4(k 1)(25 k )x 2k 2

kanuay

Pencil


+ – + 1 2

(56) เซต A; x 3 0 2 x 3x 2− → − <+

< <

(จากการเขยนเสนจานวน) ..สรปวา A ( 2, 3]= − เซต B; 1 x 12 2− < 1 x 2→ − <

x 1 2→ − < 2 x 1 2→ − −< <

1 x 3→ − < < ..สรปวา B [ 1, 3]= −

..ดงนน A B ( 2, 1)− = − −

และ (A B)' ( , 2] [ 1, )− = −∞ − ∪ − ∞ ตอบ

(57) เซต A; 2x x 12 0− − >(x 4)(x 3) 0 A ( , 3) (4, )→ − + > ∴ = −∞ − ∪ ∞

เซต B; 1 3 x 1 2 x 4− < − < → < <

B ( 4, 2) (2, 4)∴ = − − ∪

ดงนน A B ( 4, 3)∩ = − − เปนสบเซตของขอ 1.

(58) เซต A; ให a x= จะได a 1 0a 2−−

<

นนคอ 1 a 2<< 1 x 2→ <<

∴ A ( 2, 1] [1,2)= − − ∪

ดงนน A ' ( , 2] ( 1, 1) [2, )= −∞ − ∪ − ∪ ∞

เซต B; B [ 3, 1] [1, 3]= − − ∪

จงได A ' B ( , )∪ = −∞ ∞ ตอบ

(59) กรณ x > 1 จะได (x 1)3 xx 1− < −−

3 x x 3→ < − → < −

..นนคอชวงคาตอบกรณนเปน ∅

กรณ x < 1 จะได (1 x)3 xx 1− < −−

3 x x 3→ − < − → <

..นนคอชวงคาตอบกรณนเปน ( , 1)−∞

ตอบ ขอ 3.

(60) แยกชวงยอยคด เพอถอดคาสมบรณกรณแรก เมอ x 1<

จะไดอสมการกลายเปน 3x 2 01 x 1−

− −>

3x 2 0x−→ < ..เขยนเสนจานวนได (0,2/3]

นาไปอนเตอรเซคกบเงอนไข ได (0,2/3] เชนเดม

กรณทสอง เมอ x 1> จะไดอสมการกลายเปน 3x 2 0x 2

−−

>

..เขยนเสนจานวนได ( ,2/3] (2, )−∞ ∪ ∞ นาไปอนเตอรเซคกบเงอนไข เหลอเพยง (2, )∞

ดงนน ได S (0,2/3] (2, )= ∪ ∞ ซง {x 0> และ x S}∉ กคอคาในชวง 2( ,2]3เปนสบเซตของขอ 3.

(61) แยกชวงยอยคด เพอถอดคาสมบรณกรณแรก ถา x 0< จะไดอสมการกลายเปน

− −→ −

− − +3x 2 3x 22 2x 1 x 1

> <

− + +→ →

+ +3x 2 2x 2 5x0 0x 1 x 1

< <

นนคอ ชวงคาตอบเปน −( 1, 0] และนาไปอนเตอรเซคกบเงอนไข เหลอเพยง ( 1, 0)− กรณทสอง ถา x 0> จะไดอสมการกลายเปน 3x 2 3x 2 2x 22 0x 1 x 1

− − − +→

− −> >

x 0x 1→−> นนคอ ชวงคาตอบ ( , 0] (1, )−∞ ∪ ∞

อนเตอรเซคกบเงอนไข เหลอเพยง {0} (1, )∪ ∞ ดงนน S ( 1, 0] (1, )= − ∪ ∞ (ขอ ก. ถก) พจารณาขอ ข. “ม x บางตว ซง x S∈ แตวา (x 2) S+ ∉ ” ขอความนไมจรง เพราะคา x ในชวง −( 1, 0] บวกดวย 2 จะอยในชวง (1,2] สวนคา x ในชวง ∞(1, ) บวกดวย 2 กจะอยในชวง ∞(3, ) ดงนนไมวา x เปนจานวนเทาใด คาของ (x 2)+ ยอมอยใน S เสมอ (ขอ ข. ผด)

kanuay

Pencil

kanuay

Pencil

kanuay

Pencil


(62) กรณ x 4> จะได (x 4) (x 3) 1

2x 8 x 4 เซตคาตอบกรณนคอ {4}

กรณ 3 x 4< จะได ( x 4) (x 3) 1

1 1 เปนจรงเสมอ แสดงวา x ใชไดทกคา ..เซตคาตอบกรณนคอ [3, 4)

กรณ x 3 จะได ( x 4) ( x 3) 1

2x 6 x 3 แตคา x 3 ไมอยในเงอนไข เซตคาตอบกรณนคอ

เมอนามารวมกน จะไดเซตคาตอบของขอน [3, 4] ตรงกบ ขอ 2.

เพราะ 1 7 1x2 2 2 < < 3 x 4 < < นนเอง

(63) กรณ 2x 3>

จะไดอสมการ 3x 2 5x 1 1

3x 2 5x

3x 2 5x 0x

2x 2 0x

2(x 1) 0x

1 x 0

เซตคาตอบเปน

กรณ 21 x 3<


3x 2 5x

3x 2 5x 0x

2(4x 1) 0x

10 x 4 เซตคาตอบเปน 1(0, )4

กรณ x 1


3x 2 5x 2

3x 2 5x 10 0x 2

2(x 6) 0x 2

6 x 2 เซตคาตอบเปน ( 6, 2)

ตอบ 1( 6, 2) (0, )4 ขอ 1.

(64) จากโจทยสามารถยายสวนไปคณทางขวาได เนองจากสวนเปนคาบวกเสมอ จะได x 1 2x 4 (เมอ x 2 )

2 2(x 1) (2x 4) 2 2(x 1) (2x 4) 0

(x 1 2x 4)(x 1 2x 4) 0 ( x 3)(3x 5) 0

(x 3)(3x 5) 0 5x ( , 3)3

..แต x 2 เพราะมตวสวนในโจทย

ตอบ เซตคาตอบคอ 5( ,2) (2, 3)3

(65) จากโจทยสามารถยายสวนไปคณทางขวาได เนองจากสวนเปนคาบวกเสมอ จะได 3 2x 8 4x (เมอ x 2 )

2 2(3 2x) (8 4x) (3 2x 8 4x)(3 2x 8 4x) 0 ( 6x 5)(2x 11) 0 (6x 5)(2x 11) 0

เซตคาตอบในขอนคอ 11 5( , ) ( , )2 6

(66) จากโจทยสามารถยายสวนไปคณทางขวาได เนองจากสวนเปนคาบวกเสมอ จะได 2x 3 4x 8 (เมอ x 2 )

2 2(2x 3) (4x 8) (2x 3 4x 8)(2x 3 4x 8) 0 ( 2x 11)(6x 5) 0 (2x 11)(6x 5) 0

ดงนน 11 5A ( , ) ( , )2 6

ขอ ก. ผด ..เชน a 6 , b 0

จะได a b 32

ซงไมอยใน A

ขอ ข. ถก เพราะคา x มตงแต 0 เปนตนไปดวย เมอยกกาลงสองจงไดคาตงแต 0 ไปจนถง

kanuay

Pencil


(73) ยกกาลงสองทงสองขางและคณไขวได เพราะมนใจวาเปนบวกทงสองขางแนนอน

2 (2x 1)(x 2) 22 2x 5x 2 22x 5x 0 x(2x 5) 0

ดงนนเซตคาตอบคอ 5( , ) (0, )2

แต ยงมเงอนไขของรท และตวสวนดวย นนคอ x 2 0 x 2

และ 12x 1 0 x 2 > >

รวมเงอนไขและคาตอบเขาดวยกน (อนเตอรเซค) จะไดคาตอบเปนชวง (0, ) เทานน ตอบ ขอ 2.

(74) อสมการคอ 22x 2 4 x < ฝงซายอาจเปนบวกหรอตดลบกได จงตองแยกคด

กรณ 2x 2 ตดลบ ..นนคอ 2x 2 0 x 1 จะไดวาอสมการเปนจรงเสมอ ทกคา x ทใชในรทได นนคอ 24 x 0 > (x 2)(x 2) 0 <

2 x 2 < < ดงนนกรณนมชวงคาตอบเปน [ 2, 1)

กรณ 2x 2 เปน 0 หรอบวก ..นนคอ 2x 2 0 > x 1 > จะยกกาลงสองทง 2 ขางได เปน 2 2(2x 2) 4 x < 25x 8x 0 <

x(5x 8) 0 < 8 x 05 < <

และมเงอนไขของรทวา 2 x 2 < < ดวย เมออนเตอรเซคชวงคาตอบกบเงอนไขทงหมด จะไดวา กรณนมชวงคาตอบเปน [ 1, 0]

ชวงคาตอบรวมกนทงสองกรณคอ [ 2, 0] ตอบ a b 2 0 2

(75) จากโจทย จะได 1 / x 1 / y y x( )(x y)1 /(x y) xy

2 x y(x y)

xy xy

จะเปนจานวนจรงเมอผลคณ xy มคาตดลบเทานน ตอบ ขอ 2.

(76) คาของ x, y, z จะอยในรป x, x+2, x+4 ดงนน x (x 2) (x 4) 57 นนคอ 3x 6 57 x 17 แสดงวาจานวนเตมค x ทมากทสดทใชได คอ 15

(77) ให x, y, z เปน y-1, y, y+1

3 33 x y z (y 1) y (y 1) 3y หาคา y ทนอยทสดท 3 3y เปนจานวนเตมบวก

..ลองแทนคาด 3y 1 3 ใชไมได, 3y 2 6 ใชไมได, y 3 ...ไปเรอยๆ

จนถง y 9 3 27 3 พบวาใชไดเปนคาแรก ตอบ 9

(78) ก. ผด เพราะวา 6 1 0, 7 1 1 ข. ถก เพราะ 4 0 0, 4 1 4, 4 2 2 4 3 0, 4 4 4, 4 5 2 4 6 0, 4 7 4 ตอบ ขอ 3.

(79) n หาร 90 เหลอเศษ 6 แปลวาหาร 84 ลงตว n หาร 150 เหลอเศษ 3 แปลวาหาร 147 ลงตว ..แตวาจานวน n ตองมคา “มากทสด” ดวย แสดงวา n คอ “ห.ร.ม.” ของ 84 กบ 147 นนเอง ..เนองจาก 84 2 2 3 7 และ 147 3 7 7 ดงนน ห.ร.ม. n 3 7 21 ตอบ n หาร 41 เหลอเศษเทากบ 20

(80) จากบทนยามของการหาร จะได

1777 mq n และ 2910 mq n ..นามาลบกนกลายเปน 2 1133 m(q q ) นนคอ “m ตองหาร 133 ลงตว” พจารณา 133 7 19 ถา m 1 หรอ 7 จะไดเศษ n 0 ซงผดเงอนไข ถา m 19 จะไดเศษ n 17 ..กรณนถกเงอนไข ถา m 133 จะไดเศษ n 112 ซงผดเงอนไข ตอบ m n 19 17 2

kanuay

Pencil


A หารดวย8ลงตว

B หารดวย12ลงตว

หารดวย2 หารดวย5

400 100 100 n

(81) เนองจาก 45 และ 75 หาร n ลงตว และหา ค.ร.น. ของ 45, 75 ไดเปน 225 แสดงวา n อาจเปน 225, 225 2, 225 3, หรอ 225 4 กได (คอมคาเปน 225, 450, 675, หรอ 900) แตมเงอนไข 7 หาร n แลวตองเหลอเศษ 3 จงพบวา n ตองเปน 675 เทานน ตอบ

(82) ให m 49 a เมอ a 1,2, 3, ,51 เราพบวา 3 3 2 2 3(49 a) 49 3(49) a 3(49)a a สามพจนแรกหารดวย 7 ลงตว (เพราะม 49 คณอย) แสดงวา เศษเกดจากพจนสดทาย 3(a ) เทานน ดงนนขอนเราสามารถนบจานวนคาตอบไดจากการหาร 3 3 3 3 31 ,2 , 3 , 4 , ,51 (ลดทอนตวเลขลง)

ซงเรมไลจาก 31 7 เหลอเศษ 1 32 7 เหลอเศษ 1 33 7 เหลอเศษ 6 34 7 เหลอเศษ 1 35 7 เหลอเศษ 6 36 7 เหลอเศษ 6

และ 37 7 ลงตว (เศษ 0)

สาหรบ 3 3 38 ,9 , ,51 นน สามารถลดทอนลงได ดวยเหตเดมคอ 3 38 (7 1) จงไดเศษเหมอน 31 ... 3 39 (7 2) จงไดเศษเหมอน 32 ... ฯลฯ วนไปจนถง 3 351 (49 2)

จะพบวาไดเศษเปน 6 อยชดละ 3 ตว รวม 7 ชด ตอบ 21 จานวน

(83) จากการกระจาย

3 3 2 2 3(980 p) 980 3(980) (p) 3(980)(p) p พบวาสามพจนหลงยอมหารดวย p ลงตวเสมอ (เพราะม p คณอยในนน)

3p | (980 p) กตอเมอ 3p | 980 ซง 3 6 3 6980 2 5 7 แสดงวาจานวนเฉพาะทหาร 3980 ลงตว มอย 3 จานวน คอ 2, 5, 7 ..นนคอ A {2,5, 7} ตอบ ผลบวกสมาชกเทากบ 14

(84) คดเหมอนสตรยเนยนของสองเซต นนคอ “จานวนท 3 หารลงตว” + “จานวนท 5 หารลงตว” – “จานวนทหารดวยทง 3 และ 5 ลงตว” (กคอหารดวย 15 ลงตว)

n{3,6,9, ..., 498} n{5, 10, 15, ...,500} n{15, 30, 45, ..., 495}

166 100 33 233 จานวน

(85) ..ภายใน A มสมาชก 104, 112, 120, ..., 600 คอเรมจาก 8x13 ถง 8x75 รวม 63 ตว ..ภายใน B มสมาชก 108, 120, 132, ..., 600 คอเรมจาก 12x9 ถง 12x50 รวม 42 ตว ..และภายใน A B (คอหารดวย ค.ร.น. 24 ลงตว) มสมาชกเปน 120, 144, ..., 600 เรมจาก 24x5 ถง 24x25 รวม 21 ตว

ตอบ n(A B) 63 42 21 84

(86) ห.ร.ม. ของจานวนนน กบ 15 ไมเทากบ 1 แสดงวาจานวนนนตองหารดวย 3 หรอ 5 ลงตว คดจาก n (หารดวย3ลงตว) + n (หารดวย5ลงตว) – n (หารดวยทง3และ5ลงตว) = n {0,3,6,9,…,99} + n {0,5,10,15,…,100} – n {0,15,30,…,90}

34 21 7 48 จานวน

(87) จาก 100 2 2 5 5 แสดงวาขอนใหหาจานวนทหารดวย 2 ไมลงตวและ 5 ไมลงตว

..เนองจากจานวนทหารดวย 2 ลงตว ม 500 จานวน, หารดวย 5 ลงตว ม 200 จานวน, และหารดวยทง 2 และ 5 ลงตว (คอหารดวย 10 ลงตว) ม 100 จานวน

จะไดวา n ทตองการ มอย 1,000 (500 200 100) 400 จานวน

kanuay

Pencil


(88) จาก 340 2 5 ห.ร.ม. ของ x กบ 40 เทากบ 5 แสดงวา ตวประกอบของ x ตองม 5 อย และตองไมม 2 อย ..สรปวา x เปนเลขค ท หารดวย 5 ลงตว นนเอง ไดแก 5, 15, 25, 35, ..., 395 รวม 40 จานวน ตอบ หมายเหต วธคดแบบละเอยดเปนดงน “หรม. ของ x กบ 40 เปน 5” แปลวา x หารดวย 5 ลงตว แตหารดวย 2 ไมลงตว นบจาก n (หารดวย5ลงตว) – n (หารดวยทง5และ2ลงตว)

n{5, 10, 15, ..., 400} n{10,20, 30, ...400} 80 40 40 จานวน

(89) ในขอน นบจานวนเตมบวกในชวงตงแต 1 ถง 100 แลวคอยคณ 2 กได (เพราะจานวนบวกกบจานวนลบ มลกษณะการหารลงตวทเหมอนๆ กน)

“หรม. ของ x กบ 21 เปน 3” แปลวา x หารดวย 3 ลงตว แตหารดวย 7 ไมลงตว นบจาก n (หารดวย3ลงตว) – n (หารดวยทง3และ7ลงตว)

n{3,6,9, ..., 99} n{21, 42,63,84} 33 4 29 จานวน

และเมอรวมกบจานวนเตมลบดวย จะได n(A) 58

(90) ขอ ก. เนองจาก 4 3 2a 2a a 2a (a 1)(a)(a 1)(a 2) เปนผลคณของจานวนเตมเรยงตดกน 4 ตว เสมอ ดงนนตองมอยางนอย 1 วงเลบทหารดวย 3 ลงตวแนนอน ขอ ก. ถก

ขอ ข. (x 1)(3x 1)(2x 3) 0 > จากการเขยนเสนจานวน จะพบวาชวงคาตอบ เปน [ 1.5, 1] [ 0.33, ) ดงนน มจานวนเตมลบทใชไดเพยงตวเดยว คอ 1 เซตในขอ ข. คอ { 1} ขอ ข. ถก

(91) ก. จาก a (2b c) .....(1)

และ 2a (b c) .....(2)

ประโยค (2) แสดงวา a (b c) a (2b 2c)

นาไปลบกบ (1) เพอกาจด b ทงไป จะไดวา a [(2b 2c) (2b c)] a 3c ก. ถก

ข. เซต A; 2x 2x 2 x 2 0x 2

2x 3x 4 0 x 2 0x 2

(เพราะ 2x 3x 4 แยกเปนจานวนจรงไมได) ดงนน A ( ,2) เซต B; จาก 2x (x 2) 0 เขยนเสนจานวนโดยใหมเลข 0 สองครงดวย จะได B ( ,2) {0} ข. ผด ตอบ ขอ 2.

(92) ขอ 1, 2, 4 ถกแลว (และเปนสงทควรทราบ) สวนขอ 3. ผด ..เชน a 6, m 2, n 3 จะได 6 (2 3) แตวา 6 หาร 2 หรอ 3 ไมลงตว

(93) จาก 165 5 3 11 แต a 5 ______ , b 3 _______ a, b เปนจานวนเฉพาะสมพทธ แปลวา a กบ b ตองไมมตวประกอบรวมกน (ห.ร.ม. เปน 1) และเนองจาก a b ดงนน a 5 และ b 3 11 33 ตอบ “a หาร b” คอ 33

5 จะเหลอเศษ 3

หมายเหต “a หาร b” ตางจาก “a หารดวย b”

(94) ห.ร.ม. ของ x, y คอ 1 และ ค.ร.น. ของ x, y คอ 15015 แสดงวาผลคณ xy 15015 3 5 7 11 13 ..แต x มตวประกอบ 2 ตว และ 80 x 200

x 13 7 หรอ 13 11 (เปนไปไดสองแบบ) ซงจะไดวา y 3 5 11 165 หรอ y 3 5 7 105 ตอบ ผลบวกของคา y 165 105 270

kanuay

Pencil


(95) ห.ร.ม. 9 3 3 ค.ร.น. 28215 3 3 3 5 11 19 ทง x และ y ตองหารดวย 9 ลงตว นนคอ x 3 3 ?? และ y 3 3 จานวนทเหลอ จะพบวา ใน x ม 5 กบ 11 เทานน จงจะทาใหมตวประกอบเปนจานวนเฉพาะ 3 ตว และนอยกวา y

ดงนน x 3 3 5 11 495 และ y 3 3 3 19 513 ตอบ y x 18

(96) สมการทโจทยใหมาคอขนตอนการหา ห.ร.ม. ของ 42 กบ n ดวยวธของยคลด โจทยบอกวา ห.ร.ม. เปน 6 แสดงวา 1r 6 จะได 0 1r 2r 12 และ 0 1n 2r r 30 ดงนน เมอใชหลกทวา ค.ร.น. ห.ร.ม. ผลคณของสองจานวนนน

จะได ค.ร.น. (42)(30) 210(6) ตอบ

(97) การหา ห.ร.ม. ดวยวธของยคลด จาก 1216 b q 106 .....(1) และ 2b 106 q 4 .....(2) ทาตอไป 106 4(26) 2 และ 4 2 (2) ดงนน ห.ร.ม. a 2

สวนคา b ไดจากการพจารณาสมการท (1) คอ 1bq 216 106 110 โดย 1q เปนจานวนนบ และ b 106 (คอตวหารจะตองมากกวาเศษเสมอ)

b 110 เทานน 1(q 1) (ไมสามารถเปน 55 2 ได เพราะ 55 106 )

3 2f(x) x 2x 110x 36 หารดวย x 2 ไดเศษ f(2) 8 8 220 36 200 ตอบ

kanuay

Pencil


108. [โควตา มช. / 2547] * ขอนอาศยเนอหา “เรขาคณตวเคราะห” ดวย ให 3 2f(x) x kx kx t เมอ k, t เปนคาคงตว ถา 1 เปนคาตอบของ f(x) 0 และ x 2 หาร f(x) เหลอเศษ 5 แลว จงหาความชนของเสนตรงทตงฉากกบ y (t k)x 109. [โควตา มช. / 2544] กาหนด 3 2f(x) x ax bx 5c เมอ a, b, c R ถา 2x 4 เปนตวประกอบของ f(x) และเศษทไดจากการหาร f(x) ดวย x 1 คอ 0 จงหาคา c 110. [คดโอลมปก / 2538] ถา 23x 13x 4 เปนตวประกอบของ 3 23x ax bx 8 คาของ a b ตรงกบขอใดตอไปน 1. 49 2. 11 3. 11 4. 49 111. [คดโอลมปก / 2541] จานวนจรง a, b, c เปนรากของสมการ 3 2x px 3x 10 0 ถา c b b a 0 จะได p มคาเทาใด 112. [คดโอลมปก / 2543] กาหนดให 2p(x) x bx c โดยท b, c I ถา p(x) เปนตวประกอบของพหนาม f(x) และ g(x) โดยท 4 2f(x) x 6x 25 และ 4 2g(x) 3x 4x 28x 5 แลว p(1) จะเทากบขอใด 1. 0 2. 1 3. 2 4. 4 113. [คดโอลมปก / 2545] ถา x c เปน ห.ร.ม. ของ 3 2x 9x 26x 24 และ 3 2x 6x 11x 6 แลว ผลบวกของ c ทเปนไปไดทงหมดเทากบขอใด 1. 5 2. 1 3. 1 4. 5 114. [พนฐานวศวะฯ / 2539] ถา

3 2y 4y 9 3y 3

และ 3f (x) x 2x 5

อยากทราบวา f (y) จะมคาเทาไรบาง ก. 16 ข. 9 ค. 26

1. ขอ ก. ถก 2. ขอ ข. ถก 3. ขอ ค. ถก 4. ขอ ก. และขอ ข. ถก

เฉลย 102. 29 103. 2 และ 4 104. 4 105. 1 106. 1 107. 4 108. 0.2 109. 0.8 110. 3 111. 6 112. 4 113. 1 114. 2

kanuay

Pencil


146. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2539] ให A เปนเซตคาตอบของอสมการ (x 6)(x 1) 0 และ B เปนเซตคาตอบของอสมการ 3 4(x 3) (x 4) 0 จงเขยน A B ในรปของชวงหรอยเนยนของชวง 147. [คดโอลมปก / 2534] เซตในขอใดเปนเซตคาตอบของอสมการ

3 22

2x x 2x 1 0x 2x 3 >

1. 1( 3, 1] [ , 1) (1, )2 2.

1( 3, 1] [ , )2

3. 1( , 3) [ 1, ] (1, )2 4.

1( 3, 1] [ , 1)2

148. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2543] จงหาเซตคาตอบของอสมการ

4 35

x x 2x 0x 1

<

149. [คดโอลมปก / 2539] กาหนดให

3 2 23

a a 5a b 6abA { | 0}b (a b)

>R

แลว A เทากบสบเซตใดของ R (เขยนตอบในรปชวง) 150. [โควตา มช. / 2548] กาหนดให x 3 หาร 3 2x 4x tx 6 ลงตว พจารณาขอความตอไปน

ก. t เปนสมาชกของเซตคาตอบของอสมการ 3 2x 4x tx 6 0x 1

<

ข. t เปนสมาชกของเซตคาตอบของอสมการ 3 2x 4x tx 6 0x 2

<

ขอใดถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 151. [โควตา มช. / 2548] กาหนดให

22 xA { x | x }1 x

<R และ x 2B { x | 0 }x 3

<R

จงหาจานวนเตมทนอยทสดทเปนสมาชกของ A B 152. [คดโอลมปก / 2534] อนเตอรเซกชนระหวางเซตคาตอบของอสมการ 8 3 xx 1

< กบเซตในขอใดเปนเซตวาง

1. [1, 5] 2. [1, 5) 3. ( , 5) 4. [ 1, 1) (5, )

kanuay

Pencil


168. [โควตา มช. / 2547] * ขอนอาศยเนอหา “ความสมพนธ” ดวย กาหนดให A { x | x 8 } <R , B { x | 3 | x } I และ 3 2C { x | x 3x 4 0 } R จงหาจานวนสมาชกของ (A B) C 169. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2549] ขอใดตอไปนผด

1. เซตคาตอบของอสมการ 2x 1 x 3 > คอ 2( , ] [4, )3

2. เซตคาตอบของอสมการ 2 4x 2 x

> คอ ( , 0] [3, 4)

3. ให a, b, c เปนจานวนเตม ถา a b และ a c แลว 2a bc

4. 33 (a a) เมอ a เปนจานวนเตมใดๆ 170. [พนฐานวศวะฯ / ม.ค.2545] หองเรยน A และหองเรยน B มนกเรยนรวมกนทงสนเทากบ 55 คน เมอทาการจดหองเรยนพบวาหองเรยน A สามารถจดใหนกเรยนนงไดแถวละ 5 คนพอด สวนหองเรยน B กสามารถจดใหนกเรยนนงไดแถวละ 6 คนพอด ขอใดสรปไดถกตอง เกยวกบจานวนแถวของหองเรยน A และหองเรยน B 1. จานวนแถวของหองเรยน A จานวนแถวของหองเรยน B 2. จานวนแถวของหองเรยน A จานวนแถวของหองเรยน B 3. จานวนแถวของหองเรยน A จานวนแถวของหองเรยน B 4. สรปไมได 171. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2544] ถา x y2 5 157 โดยท x และ y เปนจานวนเตมบวก แลว คาทเปนไปไดทงหมดของ x y อยในขอใดตอไปน 1. {4,5,6} 2. {6, 7, 9} 3. {7, 8, 10} 4. {5,9, 11} 172. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2548] จงหาจานวนเตมบวกสามหลกทงหมด ซงมคาเปน 30 เทาของผลบวกของเลขทงสามหลก 173. [คดโอลมปก / 2547] ถามเงนอย 1,000 บาท จะแลกธนบตรฉบบละ 20 บาท และฉบบละ 50 บาท จงหาจานวนวธทงหมดทจะแลกธนบตรใหไดทงสองชนด โดยแลกทง 1,000 บาทนน 174. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2545] คอนดบ (m, n) ของจานวนเตมบวกทงหมด ซง 1 1 1

m n 15 มจานวนเทากบเทาใด

เฉลย 159. -3 161. 2 163. 23 164. 7 165. 1320 166. 1 167. 11 168. 24 169. 2 170. 2 171. 3 172. 270 173. 9 174. 9

kanuay

Pencil


(106) หาร x 2 กบ x 1 ลงตว แสดงวา p(x) (x 2)(x 1)(x c) หาคา c โดย “หาร x แลวเหลอเศษ 8” นนคอ p(0) 8 8 ( 2)(1)( c) c 4 ตอบ p(x) (x 2)(x 1)(x 4)

(107) 3 เปนรากหนงของ P(x) แสดงวา P( 3) 0

3 2( 3) a( 3) b( 3) 3 0 9a 3b 24 0 3a b 8 .....(1)

เศษทไดจากการหาร P(x) ดวย x 1 เทากบ 4 แสดงวา P( 1) 4

3 2( 1) a( 1) b( 1) 3 4 a b 2 .....(2)

แกระบบสมการได a 3 และ b 1 ตอบ a b 4

(108) 1 เปนคาตอบ แสดงวา f( 1) 0

3 2( 1) k( 1) k( 1) t 0 1 t 0 t 1

x 2 หาร f(x) เหลอเศษ 5 แสดงวา f( 2) 5 3 2( 2) k( 2) k( 2) 1 5

2k 12 k 6 แสดงวาสมการเสนตรงนนคอ y 5 x

ตอบ เสนตงฉากจะมความชนเทากบ 1 0.25

(109) เนองจาก f(x) หารดวย x 1 ไดเศษ 0 แสดงวา x 1 กเปนตวประกอบของ f(x) ..และจากโจทยกาหนด f(x) มดกร 3 และสมประสทธตวหนาสดเปน 1 แสดงวา 2f(x) (x 4)(x 1) นนเอง ..เมอคณกนแลว พจนสดทายของ f(x) ตองเปน 4 แนนอน ..จาก 5c 4 จงได c 0.8 ตอบ

(110) พหนาม 3 23x ax bx 8 เกดจาก 2(3x 13x 4)(Ax B) (นา Ax+B มาคณเพอใหดกรเพมจาก 2 เปน 3)

เมอพจารณาสมประสทธของ 3x (คอ 3) และพจนทไมม x (คอ 8 ) จะทราบวา

3 2 23x ax bx 8 (3x 13x 4)(x 2) แนนอน 3 2 3 23x ax bx 8 3x 19x 30x 8

ตอบ a b 19 30 11

(111) เนองจาก

3 2x px 3x 10 (x a)(x b)(x c) ดงนนผลคณ abc ตองมคาเทากบพจนสดทาย คอ 10 แตระยะหางจาก a ไป b และจาก b ไป c ตองเทากน ..นนคอ a, b, c มคาเทากบ 5 , 2 , 1 (ตามลาดบ) และจะได

3 2x px 3x 10 (x 5)(x 2)(x 1) 3 2x 6x 3x 10

p 6 ตอบ

(112) เนองจาก p(x) หาร f(x) และ g(x) ลงตว ดงนน p(x) ยอมไปหาร 3 f(x) g(x) ลงตวดวย (นา 3 คณแลวตงลบ เพอกาจดพจนกาลง 4 ทง)

ซงจะได 23 f(x) g(x) 14x 28x 70 แต p(x) ตองขนตนดวย 2x ดงนน 2p(x) x 2x 5 (นา 14 ไปหารออก) ตอบ p(1) 1 2 5 4


3 2x 9x 26x 24 (x 2)(x 3)(x 4) และ 3 2x 6x 11x 6 (x 1)(x 2)(x 3) ดงนน x c อาจเปน x 2 หรอเปน x 3

และผลบวกของ c ทเปนไปไดทงหมด เทากบ ( 2) ( 3) 5 ตอบ

kanuay

Pencil


1 2 3 4 + – + – +

(128) จากโจทย จะได 2 2(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) (Ax Bx C) 1

(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 2 2(Ax Bx C 1)(Ax Bx C 1) สงเกตไดวาฝงขวามสมประสทธ A, B เทากนในสองวงเลบ ดงนนเราจงเลอกคณฝงซายเปน (x 1)(x 4) กบ (x 2)(x 3) เพอใหคา B เทากบ 5 เหมอนกน

2 2(x 5x 4)(x 5x 6) 2 2(Ax Bx C 1)(Ax Bx C 1) ..จากการเทยบสมประสทธ จะได A 1 , B 5 , C 5

2 2 2A B C 1 25 25 51 ตอบ

(129) จากโจทย แยกตวประกอบไดเปน

1 1 1 0(x 1)(x 2) (x 3)(x 4) (x 1)(x 3)

รวมเศษสวนเขาดวยกน โดยทาสวนใหเทากน (x 3)(x 4) (x 1)(x 2) (x 2)(x 4) 0(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)

แจกแจงตวเศษ 2 2 2(x 7x 12) (x 3x 2) (x 6x 8) 0(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)

2x 4x 6 0(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)

เศษคอ 2x 4x 6 แยกตวประกอบเปนจานวนจรงไมได แสดงวาเปนบวกเสมอ (ไมวา x มคาเทาใด) จงเขยนเสนจานวนหาคาตอบจากตวสวนเทานน

ตอบ x (1,2) (3, 4)

(130) จากโจทย

2 2 21 1 2

x 15x 19 x 15x 39 x 15x 49

ถาให 2A x 15x 39

จะไดสมการกลายเปน 1 1 2A 20 A A 10

22A 20 2

A 10A 20A

คณไขวตวสวน จะได 2 2A 100 A 20A A 5

(ซงพบวาใชได ไมมปญหาวาเกดสวนเปน 0) ..ดงนน 2x 15x 39 5

(x 17)(x 2) 0 ตอบ เซตคาตอบคอ {17, 2}

(131) จดรปสมการ;

3 2 3 2(x 3x 3x 1) (y 6y 12y 8)

6 1 8 3 3(x 1) (y 2) 1

เงอนไขในโจทยคอ x และ y เปนจานวนเตมเทานน เราทราบวา จานวนเตมทยกกาลงสามแลวบวกกน ได 1 มเพยงชดเดยว คอ 1 กบ 0 เทานน นนคอ.. x 1 1 และ y 2 0 (x, y) (2, 2) หรอ x 1 0 และ y 2 1 (x, y) (1, 1) ตอบ A {(2, 2),(1, 1)}

(132) ให 2a x 3x 4 และ 2b 2x x 1 สมการจะกลายเปน 3 3 3a b (a b) ดงนน 3 3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b

2 23a b 3ab 0 3 a b(a b) 0 จะได a 0 ..นนคอ 2x 3x 4 0 (x 4)(x 1) 0 ดงนน x 4 หรอ 1 หรอ b 0 ..นนคอ 22x x 1 0

(2x 1)(x 1) 0 ดงนน 1x 2 หรอ 1

หรอ a b 0 ..นนคอ 23x 2x 5 0

(3x 5)(x 1) 0 ดงนน 5x 3 หรอ 1

1 5A { 4, 1, , }2 3 มผลคณเทากบ 103

(133) จากโจทย สมมตให

3a x 3 , 3b x 1 , 3c x 2 จะแทนคาในสมการ 3 3 3a b c 3abc 2 2 2(a b c)(a b c ab bc ca) ไดเปน

3(x 3 x 1 x 2) 3 (x 3)(x 1)(x 2) 0

kanuay

Pencil


(140) คดจากแผนภาพของสองเซต จะได (A B) (A B) B ..ดงนน B [1,8] และจากแผนภาพยงไดวา B C B (B C) ..ดงนน B C [1, 3] ตอบ b a 3 1 2

(141) จากโจทย จะได A ( , 0) , B [ 2, ) และ C ( 1, 1) ขอ 1. ผด เพราะ A B C ( 1, 0) ซงในชวงนมสมาชกอยมากมายนบไมถวน ขอ 2. ผด เพราะ A B R ไมเปนสบเซตของ C ขอ 3. ถก เพราะ A B ( , 2) จงทาให (A B) C ' ( , 2) ดวย ขอ 4. ผด เพราะ (B C)' ( , 2) แต B' C ' ( , 1] [1, )

(142) เนองจาก s t และเปนบวกทงค

จงไดวา 1 1s t แนนอน

และ s t1 1 1D D (0, ) (0, ) (0, )s t s

ตอบ ขอ 2.

(143) สมมตสเหลยมผนผากวาง a หนวย, ยาว b หนวย ..เชอกยาว 18 หนวย จะได 2(a b) 18 a b 9 .....(1) ..เสนทแยงมมสนกวา 53 หนวย จะได

2 2 2 2a b 53 a b 53 .....(2)

จากสมการ (1) ได b 9 a แทนลงในอสมการ (2) จะได 2 2a (9 a) 53

2 2a 81 18a a 53 0 2a 9a 14 0 (a 7)(a 2) 0

ดงนน 2 a 7 (ซงจะไดวา 7 b 2 ตามลาดบ) ..แต a เปนดานทสนกวา b แสดงวา a ตองไมถง 4.5 หนวย ตอบ A (2, 4.5)

(144) ขอ 1. ให 2a x 5x 3

จะไดสมการเปน 2(2a 1) 4a 31 2(a 5)(a 3) 0

..ดงนน 2x 5x 3 3 เทานน 2x 5x 3 9 (x 6)(x 1) 0

จะได A {6, 1} มผลบวกเปน 5 ดงนน ขอ 1. ถก

ขอ 2. เนองจาก 2 2x 4x 3 (x 2) 1

จงมวธคดดงน.. จาก 4x 11 5 <

จะได 5 4x 11 5 < < 3 x 42 < <

ดงนน 1 x 2 22 < < 20 (x 2) 4 < < 21 (x 2) 1 3 < <

สรปวา 2x 4x 3 3 < เสมอ

ประโยค 2x 4x 3 a < จะเปนจรงเมอ a มคา

ตงแต 3 ขนไป และเนองจาก 3 กเปนคาตอบของ 2x 5x 6 0 ดวย ..ดงนนขอ 2. ถก

ขอ 3. ผด เชนเมอ x 0 และ y 0

ขอ 4. ถก สามารถพสจนไดดงน..

จาก 2 2a b 1 1

a bb a 3 3

2 2a b a b

aba b

เนองจาก a และ b เปนบวกทงค จงได 3 3a b ab(a b)

2 2(a b)(a ab b ) ab(a b) 2 2a ab b ab 2(a b) 0

..เปนจรงแนนอนถาหาก a ไมเทากบ b

(145) สมการแรกคณดวย 3 จะได 23a 3bc 24a 21 0 นาไปบวกกบสมการทสอง จะได 2 2 2b c 2bc 3a 30a 27 0 นนคอ 2(b c) 3(a 9)(a 1) 0 แตเนองจาก 2(b c) 0 > เสมอ จงไดวา 3(a 9)(a 1) 0 < เสมอดวย ตอบ a [1, 9]

kanuay

Pencil


-6 1 + – +

-4 -4 3 – + – +

-3 -1 -1/2 1 1 – + – + – + 0 1 2 3

+ – + – +

(146) จากเสนจานวน จะได A ( 6, 1)

จากเสนจานวน จะได B ( , 3) { 4} ดงนน A B ( 6, 4) ( 4, 1) ตอบ

(147) แยกตวประกอบได (x 1)(2x 1)(x 1) 0(x 3)(x 1)

>

เขยนเสนจานวนเพอหาชวงคาตอบไดดงน

ดงนนชวงคาตอบคอ 1( 3, 1] [ , 1) (1, )2

หมายเหต ไมควรนาพจน x 1 ทเศษและสวน ตดกนหายไป เพราะอาจทาใหลมวาคา x เปน 1 ไมได และจะทาใหอสมการเกดมสวนเปน 0

(148) แยกตวประกอบได 3 25

x(x x 2) 0x 1

<

25

x(x 1)(x 2x 2) 0x 1

< 2

4 3 2x(x 1)(x 2x 2) 0(x 1)(x x x x 1)

<

ซง 2x 2x 2 แยกตวประกอบเปนจานวนจรงไมได (ใชสตรแลวพบวาในรทตดลบ) และ 4 3 2x x x x 1 กแยกเปนจานวนจรงไมได จงเขยนเสนจานวนดวย 1, 0, 1 เทานน และไดชวงคาตอบเปน ( , 1) [0, 1] ตอบ

หมายเหต เราทราบวา 4 3 2x x x x 1 ไมมรากเปนจานวนจรง เพราะเปนคาตอบของสมการ

5x 1 อก 4 คาตอบทไมใช 1 (เรองนจะไดศกษาในบทท 11 จานวนเชงซอน)

(149) จาก 3 2 2

3a 5a b 6ab 0(a b)

>

จะได 2 2

3a (a 5ab 6b ) 0(a b)

>

3

a (a 3b)(a 2b) 0(a b)

>

นา 3b หารทงเศษและสวน จะได

3

a a ab b bab( 3)( 2) 0( 1)

>

มองตวแปรเปน ab แลวเขยนเสนจานวนหาชวง

คาตอบไดดงน (มเลข 1 อยจานวนสามครง จงกาหนดจดลงไปเพยง 1 จด)

ชวงคาตอบคอ a ( , 0] (1,2] [3, )b

หรอกลาววา A ( , 0] (1,2] [3, ) นนเอง

(150) x 3 หาร 3 2x 4x tx 6 ลงตว.. แทน 3 ลงไปจะตองได 3 2(3) 4(3) t(3) 6 0

3t 3 0 t 1 แสดงวา 3 2x 4x tx 6 คอ 3 2x 4x x 6 แยกตวประกอบไดเปน (x 3)(x 2)(x 1)

ขอ ก. อสมการ (x 3)(x 2)(x 1) 0x 1

<

จะกลายเปน (x 3)(x 2) 0 < โดยท x 1 ชวงคาตอบคอ [2, 3] ..ดงนนขอ ก. ผด

ขอ ข. อสมการ (x 3)(x 2)(x 1) 0x 2

<

จะกลายเปน (x 3)(x 1) 0 < โดยท x 2 ชวงคาตอบคอ [ 1,2) (2, 3] ..ดงนนขอ ข. ถก

kanuay

Pencil


(166) คาตอบคอ 0 จานวน เพราะเราไมสามารถหาจานวน n ทหาร m ใดๆ ไมลงตวเลยสกจานวนได ..เชน เมอม n (ทนอยกวา 2542) อยคาหนง อยางไรกยอมหาร 2n, 3n, 4n, … ลงตวแนนอน (และตงแตคาหนงเปนตนไป จะมากกวา 2542)

(167) เนองจาก 6 6 610 2 5 แสดงวา a และ b ม “2 และ/หรอ 5” เปนตวประกอบเทานน ..แต 10 หาร a ไมลงตวดวย แสดงวา a ตองไมม 2 กบ 5 เปนตวประกอบพรอมๆ กน ..และโจทยยงตองการ a นอยกวา b ดงนน a ตองมคาไมถง 610 1000

กรณ a มเฉพาะ 2 เปนตวประกอบ จะม a ทเปนไปไดทงหมด 7 แบบ ( 0 1 2 62 ,2 ,2 , ..., 2 ) กรณ a มเฉพาะ 5 เปนตวประกอบ จะม a ทเปนไปไดทงหมด 4 แบบ ( 1 2 3 45 ,5 ,5 ,5 ) (ไมนบ 05 เพราะเปนจานวนเดยวกบ 02 , และไมนบ 5 65 ,5 เพราะมคาเกน 1000)

จานวนสมาชกของ B เทากบ 7 4 11

(168) A [ 8,8] และ B { 1, 2, 4, 5, 7, 8, ...}

A B { 1, 2, 4, 5, 7, 8} มสมาชก 12 ตว

และจากสมการของ C คอ 3 2x 3x 4 0 แยกตวประกอบไดเปน 2(x 1)(x 2) 0 ดงนน C { 2, 1} มสมาชก 2 ตว ตอบ n [(A B) C] 12 2 24

(169) ขอ 1. ถก กรณ x 1/2> จะได 2x 1 x 3 > x 4 >

กรณ x 1/2 ได 22x 1 x 3 x 3 > <

..ดงนน เซตคาตอบรวมคอ 2( , ] [4, )3

ขอ 2. ผด 2 4x 2 x

> 2 4 0x 2 x

>

2x 4x 8 0(x 2)(x)

> 2x 8 0(x 2)(x)

>

x 4 0(x 2)(x)

<

เขยนเสนจานวน ไดชวงคาตอบ ( , 0) (2, 4]

หมายเหต ขอนไมตองคานวณกได เพราะ x เปน 0 ไมไดอยแลว เนองจากในอสมการมสวนเปน x

ขอ 3. ถก จาก a b แสดงวามจานวนเตม m ซง b am

และ a c แสดงวามจานวนเตม n ซง c an

จงไดวา 2bc a mn ซง mn ยอมเปนจานวนเตม ..แสดงวา 2a bc

ขอ 4. ถก ..เนองจาก 3(a a) (a 1)(a)(a 1) ซงเปนผลคณของจานวนเตม 3 จานวนตดกน ดงนนยอมมจานวนใดจานวนหนงทหารดวย 3 ลงตวแนนอน ..จงทาให 3(a a) หารดวย 3 ลงตว

(170) สมมตหอง A ม a แถว แถวละ 5 คน, หอง B ม b แถว แถวละ 6 คน

5a 6b 55 โดยท a, b เปนจานวนนบ

จะไดวา 55 6b 6ba a 115 5

6b ตองหาร 5 ลงตว ..พบวา b 5 เทานน (ถา b 10 จะไดหอง B ม 60 คน ซงเกน 55) สรปวา a 5, b 5 ตอบ ขอ 2.

(171) จากสมการ x y2 5 157 เมอ x, y เปนจานวนเตมบวก จะไดวา y อาจมคาเปน 1, 2, หรอ 3 เทานน (เกนนไมได เพราะผลบวกจะเกน 157) ถา y 1 จะได x2 157 5 152 ..ไมมคาตอบทเปนจานวนเตม ถา y 2 จะได x2 157 25 132 ..ไมมคาตอบทเปนจานวนเตม ถา y 3 จะได x2 157 125 32 นนคอ x 5 ..สรปวามคาตอบทเปนจานวนเตมบวกเพยงชดเดยว คอ (5,3) และทาให x y 5 3 8 ตอบ ขอ 3.

kanuay

Pencil


ขอ 1. และ 3. ไมถก เพราะ b คอผลหาร ไมมความสาคญหรอเกยวของใดๆ กบ ห.ร.ม. ขอ 4. ไมถก เพราะเครองหมายเปนมากกวา (ถาเขยนเปน (1998, r) 6 ขอนกจะถกตองดวย)

(178) a หารดวย 7 แลวเหลอเศษ 6 ..แสดงวา a 1 หารดวย 7 ลงตว a หารดวย 9 แลวเหลอเศษ 8 ..แสดงวา a 1 หารดวย 9 ลงตว a หารดวย 12 แลวเหลอเศษ 11 ..แสดงวา a 1 หารดวย 12 ลงตว แต a เปนจานวนเตมบวกทนอยทสด กแสดงวา a 1 เปน ค.ร.น. ของ 7, 9, 12 นนเอง ซง ค.ร.น. ของ 7, 9, 12 หาไดเทากบ 252

a 1 252 a 251 ตอบ

(179) x 1 หาร 3 2P(x) 3x 4ax 6bx 5 เหลอเศษ 4 ..นนคอ

3 2P( 1) 3( 1) 4a( 1) 6b( 1) 5 4 4a 6b 2 2a 3b 1

ห.ร.ม. ของ a, b จะตองหาร a และหาร b ลงตว ดงนน ห.ร.ม. นตองหาร 2a 3b 1 ลงตวดวย (จากสมบตของการหารผลรวมเชงเสนลงตว) ..จงสรปไดวา ห.ร.ม. ตองเปน 1 เทานน ตอบ

(180) จากสมบตทวา ผลคณของสองจานวนนเทากบ ห.ร.ม. คณดวย ค.ร.น. เสมอ แสดงวาสองจานวนนคณกนไดเทากบ 3 30 90 ซงอาจเปน (1,90), (2,45), (3,30), (5,18), (6,15), หรอ (9,10) แตผลตางตองเทากบ 9 ดวย.. จะมแบบเดยวคอ 6 กบ 15 ตอบ ผลบวกสองจานวนนเทากบ 21

(181) หาคา s; ตวตงในโจทยถาหากบวกดวย 191 และบวกอก 1 จะเปนกาลงสามสมบรณ ดงนน ตวตงทใหมาคอ 3(192) (192) ซง 192 หารดวย 3 ลงตว ..ดงนน s 0

หาคา r; สมมต 1777771 คอ a จะแจกแจงตวตงในโจทยไดเปน a(a 3)(a 3)(a 2)(a 2)(a 1)(a 1) ซงพบวาเปนผลคณของจานวนนบ 7 จานวนเรยงกน และยอมมอยจานวนหนงทหารดวย 7 ไดลงตว ..ดงนน r 0 ตอบ s r 0

(182) p, q เปนจานวนเฉพาะใดๆ ซงมากกวา 2 แสดงวา p, q เปนจานวนคแนนอน จงสมมตให p 2a 1 และ q 2b 1 (โดยท a, b เปนจานวนนบ)

..จะได 2 2 2 2p q (2a 1) (2b 1) 2 24a 4a 1 4b 4b 1 2 24(a a b b) 2

ตอบ 4 หาร 2 2(p q ) แลวเหลอเศษ 2 และ 2 2(p q ) ไมเปนจานวนเฉพาะ เพราะเปนจานวนค ทมคามากกวา 2

(183) พจารณาเฉพาะการหาร 4a ดวย 8 กอน

ถา a เปนจานวนค จะสามารถเขยนไดวา a 2m โดยท m เปนจานวนเตม ดงนน 4 4 4a (2m) 16m ซงจะหารดวย 8 ลงตวเสมอ (เศษ 0)

ถา a เปนจานวนค จะสามารถเขยนไดวา a 2m 1 โดยท m เปนจานวนเตม

4 4 4 3 2a (2m 1) 16m 32m 24m 8m 1 แสดงวาหารดวย 8 แลวเหลอเศษ 1

การหาร 4b ดวย 8 กอาจเหลอเศษ 0 หรอ 1 เชนกน (ขนอยกบวา b เปนจานวนคหรอค) ดงนน การหาร 4 4a b ดวย 8 เหลอเศษได 3 แบบคอ 0, 1, 2 ตอบ (นาเศษทเหลอจาก 4a และ 4b มาบวกกน)

kanuay

Pencil

คณต มงคลพทกษสข ตรรกศาสตร 149

ตวอยาง กาหนดใหประพจน p มคาความจรงเปนจรง และประพจน q มคาความจรงเปนเทจ ใหหาคาความจรงของรปแบบประพจนตอไปน • [(q s) r] [(q s) t] ถงแมไมทราบคาความจรงของ r, s, t กยงคดได เพราะเมอ q เปนเทจจะได (q s) เปนจรงเสมอ ดงนนจะไดคาความจรงเปน [T r] [(q s) t] จากนนพจารณาไดวา “จรงหรออะไร” ยอมเปนจรงเสมอ จะได [T] [(q s) t] ซงกคอ T นนเอง.. ดงนนรปแบบในขอนมคาความจรงเปน “จรง” • [q (s r)] [p (q ~ s)] ถงแมไมทราบคาความจรงของ r, s กยงคดได ดงน [F (.....)] [T (F ....)] นนคอ [T] [T (F)] นนคอ [T] [F] ..เปน F ดงนนรปแบบในขอนมคาความจรงเปน “เทจ” ตวอยาง ถาประพจน (p q) (r ~ s) มคาความจรงเปนเทจ ใหแสดงวาคาความจรงของประพจนยอยๆ แตละประพจนเปนอยางไร และรปแบบประพจน [(~ p r) (q ~ s)] มคาความจรงเปนอยางไร ตวเชอมหลกคอ “ถา-แลว” ใหผลเปนเทจ แสดงวาเกดจากรปแบบ T F เทานน นนคอ (p q) มคาเปนจรง และ (r ~ s) มคาเปนเทจ

ซง (p q) มคาเปนจรงแสดงวา p กบ q มคาความจรงเปนอยางไรกได แตตองมคาเหมอนกน ..สวน (r ~ s) มคาเปนเทจแสดงวา r กบ ~s เปนเทจทงค.. สรปวา r เปนเทจ, s เปนจรง พจารณารปแบบ (~ p r) (q ~ s) จะมคาความจรงเปน (.... F) (....) นนคอ F (....) เปน T เสมอ ดงนนรปแบบนมคาความจรงเปน “จรง” 6. รปแบบประพจน 2 รปแบบใดๆ ทใหคาความจรงตรงกนทกๆ กรณ จะกลาววา “สมมลกน” (แปลวา สามารถใชแทนกนได) • สญลกษณทใชแสดงการสมมลกน คอ

kanuay

Pencil


(20) ขอ 1. สมมลกน ตามหลกการแจกแจงนเสธ ขอ 2. สมมลกน เพราะ ~(p ~ q) ~p q p q ~ q ~p ขอ 3. ไมสมมล ซายมอ p (~ q p) ~ q p q p จะพบวา ไมเหมอนกบขวามอ ขอ 4. สมมลกน เพราะ คอ ( ) ( )

(21) ขอ 1. ผด ..ขวามอ (p ~ q) r ดงนนจงสมมลกบซายมอ ขอ 2. ผด ..(~p q) r (p q) r ขอ 3. ถก [ q T ] [F ] q F q ขอ 4. ผด ..ซายมอ ~ r ~(p q) ขวามอ ขอ 5. ผด ..เพราะ (p q) r r (p q) (เนองจาก )

(22) จากโจทย (~p r) (~ q r) (~p ~ q) r ~(p q) r ขอ 3.

(23) จากโจทย x (y z) ~ x (~ y z) ~ y (~ x z) y (x z) ขอ 2.

(24) จากโจทย p ~(q p) p (q ~p) ~p (q ~p) ขอ 1.

(25) จากโจทย ~p (q (r p)) p (~ q (r p)) p (~ q) r ขอ 2.

(26) จากโจทย ~ [~(p q) ~q r] (p q) q ~r p q (~r) ซงจากขอ 1. นน p ~(q r) p (q ~r) ตอบ ขอทสมมลคอ ขอ 1.

(27) จากตาราง มเพยง F F เทานนทใหผลเปนจรง (นอกนนเปนเทจ) ..มลกษณะคลายๆ ตวเชอม “หรอ” แตใหผลตรงกนขามทงหมด

p q ~(p q) ตอบ ขอ 1. เพราะ ~(~p q) ~(p q)

(28) “เปนจรงเสมอ” กคอ เปนสจนรนดร ขอทถกคอ ขอ 2. (เพราะ p q ~p q )

ขอ 1. เปนเทจได หาก p เปนเทจ, q เปนจรง ขอ 3. ไมจรงเพราะ ~((p q) r) ~(p q) ~ r (ฝงซายกบขวาไมสมมลกน) ขอ 4. ไมจรงเพราะ (p r) (q r) (p q) r (ฝงซายกบขวาไมสมมลกน) ขอ 5. เปนเทจได หาก p เปนจรง, สวน q กบ r มประพจนหนงเปนจรง อกประพจนเปนเทจ

(29) ตรวจสอบสจนรนดรโดยพยายามทาใหเปนเทจ พบวาทกขออยในรป (x y) ซงจะเปนเทจไดกรณเดยว คอ เปนจรง และ x y เปนเทจ (คอ x จรง, y เทจ) เทานน

ดงนนนาคาความจรงของ x, y ไปแทนใน พบวา ขอ 1, 2, 3, 5 ได เปนจรงพอด แสดงวาขอนนเปนเทจได และไมใชสจนรนดร

สวนขอ 4. (ใน เปนเทจ) แสดงวาไมมกรณใดทจะทาใหขอนเปนเทจไดเลย ตอบ ขอ 4. เปนจรงเสมอ

(30) สามารถเปนเทจได กคอ “ไมเปนสจนรนดร”

ขอ 1. (p q) ~p (p ~p) (q ~p) F (q ~p) q ~p ดงนน ซายและขวาสมมลกน (เปนสจนรนดร)

ขอ 2. ~ ~ ดงนน ซายและขวาสมมลกน (เปนสจนรนดร)

ขอ 3. ~(p q) ~p ~ q ดงนน ขอนไมใชสจนรนดร ตอบขอ 3.

kanuay

Pencil


p q r p (q r) (p q) r T T T T F F F F

T T F F T T F F

T F T F T F T F

T F F T F T T F

T F F T F T T F

ขอ 4. ไมสามารถทาใหเปนเทจไดเลย เพราะถาใหดานหนาเปนจรง คอ p, q เปนจรง ดานหลงกจะเปนจรงตามไปดวย กจะไมเกดผลเปนเทจอยด.. ดงนน ขอนเปนสจนรนดร

ขอ 5. ~ (p q) p ~ q ดงนน ขอนเปนสจนรนดร

(31) ขอ 1. ซายมอ ขวามอ จงเปนสจนรนดร ขอ 2. อยในรปแบบ ~ ซงตองมฝงหนงจรงเสมอ จงเปนสจนรนดร ขอ 3. ซายมอ ~ r ~(p q) ขวามอ จงเปนสจนรนดร ขอ 4. ถา p เปนจรง และ q เปนเทจ ขอนจะมคาความจรงเปนเทจ ไมเปนสจนรนดร

(32) ขอ 1. ใชวธพยายามทาใหเปนเทจ [((p q) r) (p q)] (p r) T T F T F T F F T T พบวาคา q ขดแยงกน นนคอ ไมสามารถทาเปนเทจไดเลย ..ดงนนขอนเปนสจนรนดร

ขอ 2. (คดเชนเดยวกบขอ 1.) [(p q) (q r)] (p r) T T F T F T T F F พบวาคา q ขดแยงกน นนคอขอนเปนสจนรนดร

ขอ 3. ใชวธตรวจสอบความสมมลของฝงซายกบขวา ซายมอ ~p (~ q r) ~p ~ q r ขวามอ ~(~p q) r (p ~ q) r ไมสมมลกน ดงนน ขอ 3. ไมเปนสจนรนดร

ขอ 4. ถาคดแบบขอ 3. จะยาก เพราะกระจายประพจนออกมายาวมาก จงใชวธตรวจสอบโดยเขยนตารางใหครบทกกรณ

พบวาซายและขวามคาความจรงเหมอนกนทกกรณ นนคอ สมมลกน ..ดงนน ขอนเปนสจนรนดร

(33) ขอ ก. เหต (1) กบ (2) รวมกนได p s ซงเขยนอกแบบไดวา ~ s ~p นาไปรวมกบเหต (3) จะไดผลเปน ~p และผลทใหมาคอ ~p s สมเหตสมผล (เพราะถา ~p เปนจรง ~p s กยอมเปนจรง) ขอ ข. สมเหตสมผล เพราะเหตกบผลเปนรปแบบประพจนทสมมลกน (ไมมทางทเหตเปนจรงแตผลเปนเทจ)

(34) ขอ ก. เหต (2) เขยนไดเปน ~ q r นาไปรวมกบขอ (1) ไดผลเปน p r นนคอ ~ r ~p นาไปรวมกบขอ (3) กจะไดผลเปน ~p แตโจทยใหผลมาเปน p (ซงตรงขามกบ ~p เสมอ) ขอ ก. ไมสมเหตสมผล

ขอ ข. เหต (3) เขยนไดเปน r s นาไปรวมกบขอ (2) ไดผลเปน q s แตเหตขอ (1) เราม p และ q (เปนจรงทงค) จงสามารถนา q ไปรวมกบ q s จะไดผลเปน s ขอ ข. สมเหตสมผล

kanuay

Pencil


(53) ขอ ก. ผด เพราะ p ~ q นนคอ q p ซงไมไดสมมลกบ p q ขอ ข. ผด นเสธของ P Q คอ P ~Q ดงนนจะตองไดเปน x [ x 6 ] x [ x 8 ] <

(54) ขอ ก. กาหนดให ~ q (F q) เปนจรง นนคอ ~ q q เปนจรง ..แสดงวา q ตองเปนจรง ดงนน ก. ถก ขอ ข. นเสธคอ x P(x) ~Q(x) R(x) x Q(x) (P(x) R(x)) ข. ถก

(55) ขอ ก. [p (q r)] (r s) F T F F F T F F จะไดวา (p q) s (T F) F T ดงนน ขอ ก. ผด

ข. เนองจาก ~(P(x) Q(x)) ~P(x) ~Q(x) P(x) ~Q(x) ดงนน นเสธของ x y [P(x, y) Q(x, y)] คอ x y [P(x, y) ~ Q(x, y)] ขอ ข. ถก

(56) จาก x P(x) x ~Q(x) เปนเทจ แสดงวา x P(x) ตองเปนจรง และ x ~Q(x) ตองเปนเทจ เทานน (นนคอ x Q(x) เปนจรง)

พจารณาวาตวเลอกในขอใดเปนจรง โดยยดหลกวา x P(x) จรง, x Q(x) จรง ขอ 1. มบาง x ซง P จรง และ Q เทจ ...ไมใช ขอ 2. มบาง x ซง P เทจ หรอ Q เทจ ...ไมใช ขอ 3. ทกๆ x ถา P จรง แลว Q เทจ ...ไมใช ขอ 4. ทกๆ x ถา P จรง แลว Q จรง ... ใช ดงนน ตอบ ขอ 4.

(57) ขอ 1. ถก ถงแมคาวา “x ทกตว” ใหผลเปนเทจ แตถาเปลยน เปนคาวา “x บางตว” อาจใหผลเปนจรงกได

ขอ 2. ผด ..เปนประพจน เพราะมคาความจรงอยเพยงแบบเดยว และสามารถบอกได (เพยงแตเราไมทราบในทนท, ตองไปกดเครองคดเลขเอาจงทราบ)

ขอ 3. ถก (~p s) [.....] (F ?) [.....] T เสมอ

ขอ 4. ถก เพราะประโยคนตดตวแปร x และไมมตวบงปรมาณ (x ทกตว, x บางตว) กากบ

ขอ 5. ถก เพราะนเสธของ x [ ] คอ x [ ~ ]

(58) ขอ 1. สาหรบ x แตละคน จะเปนผแทนของจงหวด y บางจงหวด ..จรง ขอ 2. สาหรบทกๆ จงหวด y แตละจงหวดจะม x บางคนเปนผแทนของจงหวดนน ..จรง ขอ 3. ม x บางคน ทเปนผแทนของจงหวด y ทกๆ จงหวด ..ขอ 3. เปนเทจ ขอ 4. มจงหวด y บางจงหวด ทม x บางคนเปนผแทนของจงหวดนน ..จรง

(59) ประพจน A; ทกๆ คา x จะได x เปนจานวนคหรอ 4

x เปนจานวนค ..เปนเทจ หาก x 0 จะ

ไดวา x ไมใชจานวนค และ 4x กไมใชจานวนค

ประพจน B; ม x บางตวซง ถา x เปนจานวนคแลว 40 เปนจานวนค ..เปนจรง เชน x 2 จะได

P(x) Q(0) มคาเปน F F T

ประพจน C; ทกๆ คา x ถา 41 เปนจานวนคแลว

x เปนจานวนค ..เปนเทจ เชน x 0 จะได Q( 1) P(x) มคาเปน T F F ตอบ ขอ 4.

(60) P(x) มคาความจรงเปนจรงเสมอ (เพราะม x ซง 2x 1 จรงๆ เชน x 2 ) Q(x) คอ x 2> ดงนน Q( 2) เปนเทจ R(.01) เปนจรง, และ S( ) เปนจรง (เพราะจานวนจรงทงหมดถอเปนจานวนเชงซอนดวย)

ขอ 1. (T ~ T) (~F T) F T F

kanuay

Pencil


ขอ 2. (~ T F) ~(T T) F F T ขอ 3. (~ T (F T)) F T F F ขอ 4. (T ~(T T)) F T F F

(61) ขอ 1. ทก x คกบทก y ได 2 2x y y x ..ไมจรง เชน x 0 และ y 1 ใชคกนไมได ขอ 2. ทก x คกบทก y ได 2 2x y y x ..ไมจรง เชน x 0 และ y 0 ใชคกนไมได ขอ 3. ทกๆ x จะใช y ไดบางตว 2 2x y y x เปนจรง อยางนอยกคอเลอกใช y ทมคาเทากบ x ขอ 4. ม x บางตวซงใช y ไดครบ 2 2x y y x ..ไมจรง ถา x 0 หรอ 1 ใช y 1 ไมได ถา x 1 ใช y 0 ไมได ขอ 5. ม x บางตวซงใช y ไดครบ 2 2x y y x ..ไมจรง เพราะอยางนอย x แตละตวกใช y ทมคาเทากบ x ไมได

(62) ขอ 1. T (F F) T F F ขอ 2. (T T) F T F F ขอ 3. T (T F) T F F ขอ 4. T (F F) T T T

(63) เนองจาก x 1 2 < คอ 2 x 1 2 < <

1 x 3 < < ดงนน [ 1, 3] U

ขอ 1. 2x [x 9] เปนเทจ (เทจท x 3 ) ขอ 2. x [ 1 x 3] เปนเทจ (เทจท x 3 ) ขอ 3. จรง เชนเมอ x 1 จะไดอสมการเปนจรง ขอ 4. x [x 4] เปนเทจ หมายเหต วธแกอสมการ x 2 2 x (ยกกาลงสองไดเพราะเปนบวกทง 2 ขาง)

2 2(x 2) (2 x) 2 2(x 2) (2 x) 0 (x 2 2 x)(x 2 2 x) 0 (2x)(4) 0 x 0

แตเงอนไขคอ 2 x 0 ดวย นนคอ x 2 คาตอบของอสมการคอ x 0

(64) ขอ 1. ถก เพราะซายมอ ~p r ~ q ขวามอ ~ q r ~p สมมลกน ขอ 2. ผด [(F T) ~ r] r (T ~ r) r T r สรปไมได ขอ 3. ถก เพราะเมอลองแทนคา 0, 1, 2, 3 ลงไป ใน 3 x 0 > แลว พบวาเปนจรงทงหมด ขอ 4. 2x [ 0 ] Fx (เชน x 1 )

x [ x 1 0 ] T > (เพราะ x เปนจานวนนบ) 2x [ x 1 เปนจานวนนบ ] T (เชน x 2 )

ดงนนคาความจรงขอนเปนเทจ ขอ 4. ถก

(65) ขอ 1. เทจ x [ x Q และ x 2 ] จรง เชน x 3

2x [x 9 x 3 ] เทจ เชน x 4 คาความจรงของขอน T F F ขอ 2. เทจ เชน x 0.5 ขอ 3. จานวนตรรกยะในรป 0

a มคาเปน 0 เสมอ

ดงนนเซตทโจทยกลาวถงกคอ {0} ซงไมใชเซตอนนต (ซกซายมคาเปนเทจ)

2x [ x x < หรอ 2x x 1 0 ] จรง เชน x 0 คาความจรงของขอน F T F ขอ 3. เทจ ขอ 4. จรง 3x [x 5x 1 4 ] จรง เชน x 0

2x [ x 1 0 x 2 ] > จรง (เพราะ 2x 1 0 เปนเทจเสมอ) คาความจรงของขอน T T T

(66) ขอ ก. จาก 21 1(x ) 02 4

1 1 1 1(x )(x ) 02 2 2 2

(x 1)(x) 0 ไดชวงคาตอบเปน (0, 1) จาก 2(x 1) 1 0 (x 1 1)(x 1 1) 0

(x 2)(x) 0 ไดชวงคาตอบ ( , 0) (2, ) ..ดงนน ประพจนทใหมาในโจทย กคอ x [ 0 x 1 หรอ x 0 หรอ x 2 ]

ซงพบวาทกคาใน U สอดคลองทงหมด ก. ถก ขอ ข. p (q r) ~p (q r)

(~p q) (~p r) (p q) (p r) ข. ผด

kanuay

Pencil


ประเทศ X ประเทศ Y

ประเทศ Z

ดาน X ดาน Y

127. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2548] พจารณาการอางเหตผลในขอ ก. และ ข. ตอไปน ก. คนเรยนหนงสอเกงทกคนเปนคนฉลาด นายรฐภมเปนคนฉลาด เขาจงเปนคนทเรยนหนงสอเกง ข. พอคาทกคนเปนคนโลภ และคนโลภทกคนเปนคนเลว ดงนนพอคาทกคนเปนคนเลว ขอใดตอไปนถกตอง 1. ขอ ก. และ ข. ไมสมเหตสมผล 2. ขอ ก. และ ข. สมเหตสมผล 3. ขอ ก. สมเหตสมผล แตขอ ข. ไมสมเหตสมผล 4. ขอ ก. ไมสมเหตสมผล แตขอ ข. สมเหตสมผล 128. [พนฐานวศวะฯ / ต.ค.2544] บนเกาะแหงหนงมคนอย 2 ประเภท ประเภทแรกเปนคนทพดความจรงเสมอ สวนประเภทสองเปนคนทพดโกหกเสมอ เมอทานขนไปบนเกาะไดยนคนบนเกาะ 2 คน คอ A และ B พด ดงน A พดวา “B เปนคนทพดความจรงเสมอ”

B พดวา “ฉนและ A เปนคนคนละประเภทกน” ทานคดวา A และ B เปนคนประเภทไหน 1. A และ B เปนคนทพดความจรงเสมอ 2. A และ B เปนคนทพดโกหกเสมอ 3. A เปนคนทพดความจรงเสมอ สวน B เปนคนทพดโกหกเสมอ 4. A เปนคนทพดโกหกเสมอ สวน B เปนคนทพดความจรงเสมอ 129. [พนฐานวศวะฯ / ต.ค.2544] ประเทศ 3 ประเทศ ไดแกประเทศ X, ประเทศ Y, และประเทศ Z เปนประเทศเพอนบาน มชายแดนตดกนดงแสดงในภาพ

นาย x เปนพลเมองประเทศ X ทางานทดานตรวจคนเขาเมองของประเทศ X มนสย “พดจรง” เสมอ นาย y เปนพลเมองประเทศ Y ทางานทดานตรวจคนเขาเมองของประเทศ Y มนสย “พดเทจ” เสมอ เนองจากงานคอนขางนาเบอ นาย x และนาย y จงชอบเปลยนดานททางาน บางวนนาย x จะยายไปทางานทดานของประเทศ Y สวนนาย y จะยายไปทางานแทนทประเทศ X แตบางวนทงคกอยประจาดานของประเทศตนเอง ขนอยกบอารมณและสถานการณในแตละวน

หากนาย z ซงเปนพลเมองประเทศ Z ตองการเดนทางเขาประเทศ X และไดศกษาจากคมอทองเทยวซงไดกลาวถงพฤตกรรมของนาย x และนาย y ไวอยางชดเจน ดงนนเมอนาย z ไปถงดานตรวจคนเขาเมอง คาถามใดทนาย z ควรใช เพอตดสนใจวาดานใดคอดานเขาประเทศ X ทแทจรง (โดยนาย z มโอกาสถามไดเพยง 1 ครงเทานน) 1. “ทานเปนเพศชาย ใชไหม”

2. “ทานเปนพลเมองของประเทศน ใชไหม” 3. “ทานพดความจรงเสมอ ใชไหม” 4. การถามเพยง 1 คาถาม ไมเพยงพอตอการหาขอสรป

เฉลย 123. 3 124. 4 125. 2 126. 2 127. 4 128. 2 129. 2

kanuay

Pencil


(109) ขอ 1. สาหรบ x ใดกตาม ถา x ไมมากกวา 2 กยอมนอยกวา 3 เสมอ ดงนนขอนเปนจรง

ขอ 2. จากการแยกตวประกอบจะทราบวา มคาตอบทเหมอนกนอยหนงคา คอ 2 ดงนนขอนเปนจรง

ขอ 3. 2x [ x x 1 0 ] เปนจรง

(นนคอ 1 5x 2

)

และ 2x [ x 4x 4 0 ] เปนเทจ (เมอ x 2 ) ดงนนขอนไดผลเปน T F F ตอบ ขอ 3.

ขอ 4. 2x [ x x 1 0 ] เปนเทจ เพราะสมการนไมมคาตอบทเปนจานวนจรง ดงนนขอนไดผลเปน F ? T เสมอ

(110) ขอ ก. ถก เพราะ q r สมมลกบ ~ r ~ q ขอ ข. ถก แสดงวธคดไดดงน ถา x 1< จะได 1 x 1 < <

2 2x 2 < < 1 2x 1 3 < < ดงนน 2x 1 3 < จรงๆ.. ตอบ ขอ 1.

(111) จากอสมการในโจทย กรณ x 1> จะได x 1 x x 1 x 2 ชวงคาตอบในกรณนคอ [1,2) กรณ 1 x 1 < จะได x 1 x x 1 x 0 ชวงคาตอบในกรณนคอ (0, 1) กรณ x 1 จะได x 1 x x 1 x 2 ชวงคาตอบในกรณนคอ ( , 2) เซตคาตอบรวมทกกรณ คอ A ( , 2) (0,2)

ขอ 1. เทจ เชน x 1 ขอ 2. เทจ เชน x 1 ขอ 3. เทจ เชน x 3

ขอ 4. จรง (เพราะสมาชกในเซต A ทาให x 5 ตดลบเสมอ และทาให x เปนบวกเสมอ เมอคณกนแลวจงตองมคาตดลบ)

(112) จากอสมการ

2(x 1) 1x 5

จะได 2x 2x 1 1 0x 5

2x 3x 4 0x 5

(x 4)(x 1) 0x 5

เขยนเสนจานวนไดชวงคาตอบ ( , 5) ( 1, 4) แสดงวาเอกภพสมพทธคอ ( , 5) ( 1, 4) U

x [ P(x)] เปนเทจ เพราะม x บางคาซง x 5 เชน x 6 x [ P(x) ] เปนจรง

เพราะม x บางคาซง x 5 เชน x 2 x [ Q(x)] เปนเทจ

เพราะม x บางคาซง 21 x 16 เชน x 6 x [ Q(x)] เปนจรง

เพราะม x บางคาซง 21 x 16 เชน x 2 ตอบ ขอทเปนเทจคอ ขอ 4.

(113) จากอสมการ 22 2x xx 3x 2 < มากกวาหรอเทากบ 0 ทงสองขาง (เพราะฝงขวามากกวาหรอเทากบฝงซาย) จงยกกาลงสองได ..ไดดงน 2 2 2 2(x 3x 2) (2x x ) < แกไดโดยยายขาง และแจกแจงผลตางกาลงสอง

2 2 2 2(x 3x 2) (2x x ) 0 < 2(2x 5x 2)( x 2) 0 <

(2x 1)(x 2)(x 2) 0 > เขยนเสนจานวนไดชวงคาตอบเปน x 1/2>

แตในอสมการโจทย มเงอนไข 22x x 0 > นนคอ x(x 2) 0 < เขยนเสนจานวนได 0 x 2< < อนเตอรเซคกบชวงคาตอบ ไดเปน 1/2 x 2< < ประพจนในโจทยคอ x [ 1/2 x 2 ] < < จงไดขอทสอดคลองคอ ขอ 3. ตอบ

kanuay

Pencil


คน เรยนเกง

คนฉลาด

รฐภม

คนโลภ คนเลว

พอคา

(120) ตอบ ก. x y [ ~P(x, y) ~Q(x, y)] ข. x y [ ~P(x, y) ~ Q(x, y)] ค. x y [ P(x, y) ~ Q(x, y)] ง. 3 3 3x y [(y x) y x ] และ จ. 2 2x y [ x y (x y)(x y)]

(121) ตอบ ขอ 2. x y z [ P(x, y) ~ Q(x, z)]

(122) ขอ ก. ถก ..จาก [(p q) q] ~ p [(T F) F] F F F T ขอ ข. ผด เพราะรปแบบ P(x) Q(x) กบ ~P(x) ~Q(x) ไมใชนเสธกน ..ถาจะใหถกอาจเปลยนเปน x [ ~ Q(x) ~P(x)] x [ ~R(x)]

(หรอนเสธแบบอนๆ ของ P(x) Q(x) กได) ตอบ ขอ 2.

(123) นเสธของ x y [ ] คอ x y [ ~ ] ดงนนขอทถกคอ ขอ 3.

(124) ขอ 1. ผด [~ p (q ~ q)] (p q)

[~ p F] (p q) พบวา รปแบบนจะเปนเทจไดเมอ p เปนจรงและ q เปนเทจ ..ดงนน รปแบบนไมใชสจนรนดร

ขอ 2. ผด เพราะรปแบบซายมอ ~(p ~ q) r ~(p ~ q) r p q r ซงไมสมมลกบรปแบบขวามอ

ขอ 3. ผด นเสธของ 2 2x y [ x y 0 x y 0 ] > คอ 2 2x y [ x y 0 x y 0 ]

ขอ 4. ถก ๏ จากเหต (3) คอ p นาไปรวมกบเหต (1) จะได q r ..ซงเหต (3) กม q ดวย จงไดผลเปน r ๏ เหต (4) คอ s นาไปรวมกบเหต (2) จะได t u ..ซงเหต (4) กม t ดวย จงไดผลเปน u ๏ ผลสรปทไดกคอ r u สมเหตสมผล

(125) ขอความ “สาหรบจานวนค x ใดๆ 3x x เปนจานวนค” เขยนเปนสญลกษณไดวา.. x [ x เปนจานวนค 3x x เปนจานวนค ]

..ซงนเสธของรปแบบ x [ P(x) Q(x)] คอ x [ P(x) ~ Q(x)] ดงนนนเสธของขอความในโจทย กคอ x [ x เปนจานวนค 3x x ไมเปนจานวนค ]

“มจานวนค x บางตว ซง 3x x ไมเปนจานวนค” ตอบ ขอ 2.

(126) ขอความในโจทย 1x n [ x 0 x ]n

ดงนนนเสธกคอ 1x n [ x 0 และ x ]n >

ตอบ ขอ 2.

(127) ขอ ก. ไมสมเหตสมผล เพราะอาจมคนฉลาดทเรยนหนงสอไมเกงกได ดงแผนภาพน ขอ ข. สมเหตสมผล ดงแผนภาพน (วาดไดแบบเดยว และไดผลเปนจรงเสมอ) ตอบ ขอ 4.

kanuay

Pencil

คณต มงคลพทกษสข เรขาคณตวเคราะห 247

119. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2529] กาหนดให a, b เปนจานวนจรงบวก และ a b สมการในขอใดตอไปนททาใหเราสรปไดวา x a< และ y b<

1. x y 1a b 2. x y 1a b

3. 2 22 2

x y 1a b 4. 2 22 2

x y 1a b

120. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2523] กาหนดสมการของเสนโคงคอ 2 2qx py 2qx 4py 4p q pq 0 เมอ p และ q เปนจานวนจรง ซง p q 0 กราฟของเสนโคงจะมลกษณะอยางใด 1. วงร มจดโฟกสทงสองอยบนเสนทขนานกบแกน y 2. วงร มจดโฟกสทงสองอยบนเสนทขนานกบแกน x 3. ไฮเพอรโบลา มจดโฟกสทงสองอยบนเสนทขนานกบแกน y 4. ไฮเพอรโบลา มจดโฟกสทงสองอยบนเสนทขนานกบแกน x 5. ไมมคาตอบทถกตอง 121. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2523] * ขอนอาศยเนอหา “ความสมพนธ” ดวย กาหนดความสมพนธ 2 2{(x, y) | 2x by x 1 เมอ x, y และ b เปนจานวนจรง } ขอความตอไปนขอใดไมถกตอง 1. ถา b 1 กราฟของความสมพนธเปนรปวงกลม 2. ถา b 0 กราฟของความสมพนธเปนรปไฮเพอรโบลา 3. ถา b 0 กราฟของความสมพนธเปนรปวงรหรอวงกลม 4. ถา b 0 กราฟของความสมพนธเปนเสนตรงสองเสนทขนานกบแกน x 5. ถกตองหมดทกขอ 122. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2526] * ขอนอาศยเนอหา “ความสมพนธ” ดวย

2 2{(x, y) | x y 2xy 1 0 } R R มกราฟเปนรปใด 1. วงกลม 2. เสนตรงสองเสนซงมความชนไมเทากน 3. เสนตรงสองเสนซงมความชนเทากน 4. วงร 123. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2530] :( กาหนดให P เปนจดทเคลอนทบนระนาบ โดยมเงอนไขวาระยะทางจากจด P ไปยงจด (6, 0) จะเปนสองเทาของระยะทางจาก P ไปยงแกน y เสมอ ทางเดนของจด P จะเปนขอใด 1. เสนตรง 2. วงกลม 3. วงร 4. ไฮเพอรโบลา 124. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2532] :( เซตของจดซงมผลคณของระยะตงฉากจากจดนนถงเสนตรง 3x 4y 1 0

และเสนตรง 3x 4y 7 0 มคา 14425 เสมอ คอภาคตดกรวยในขอใดตอไปน

1. วงกลม 2. พาราโบลา 3. วงร 4. ไฮเพอรโบลา

เฉลย 115. 4 116. 1 117. 4 118. 5 119. 4 120. 2 121. 1 และ 4 122. 3 123. 4 124. 4

kanuay

Pencil


p

2p F 2p B A

(33) แทนคาจดทงสองลงในสมการพาราโบลา จะได (x, y) (t,2) t a(4)

และ 21 1(x, y) ( , t) at4 4

แกระบบสมการโดย 21 1a(16a ) a4 4

ดงนน t 1 ..แสดงวา P(1,2) และ 1Q( , 1)4

เสนตรง PQ มสมการเปน 14

2 1y 2 (x 1)1

4y 2 (x 1) 4x 3y 2 03 ตอบ

(34) สมการพาราโบลาคอ 21x y4

จดรปไดเปน 2y 4(1)(x) ขอ 1. ผด ..ไดเรกตรกซคอ x 1 ขอ 2. ผด ..แกนสมมาตรคอแกน x ขอ 3. ถก ..เพราะระยะจาก S ไปยงไดเรกตรกซเทากบระยะ PS พอด (คอ 2 หนวย) ขอ 4. ผด ..เสนตรง PS อยในแนวดง ไมตดแกน y ขอ 5. ผด ..เสนตรง QS เปนเสนเฉยงๆ

(35) แทนคาจดทงสองลงในสมการพาราโบลา จะได 21 at9 และ t 9a

..ดงนน 3t 1 t 1 และจะได a 1/9

ขอ 1. จากพกดจด 1M(1, )9 และ N(3, 1) จะไดสมการเสนตรง MN เปน

1 1/9y 1 ( )(x 3)3 1

4y 1 (x 3)9 4x 9y 3 0

..ดงนน ขอ 1. ไมจรง

ขอ 2. (ผลจากขอ 1.) จดตดแกน x คอ 3x 4

นนคอพกด 3( , 0)4 ..ดงนน ขอ 2. ไมจรง

ขอ 3. พาราโบลามสมการเปน 2 21 9y x 4( )y x9 4

เปนพาราโบลาหงาย จดยอดอยท (0,0)

ไดเรกตรกซคอ 9y 4 ..ดงนน ขอ 3. ไมจรง

ขอ 4. (ผลจากขอ 3.) โฟกสอยทจด 9(0, )4 จรงๆ


2x 2x 1 8y a 1 2 a 1(x 1) 4( 2)(y )8

..เปนพาราโบลาควา จดยอด a 1V(h, k) ( 1, )8

และระยะโฟกสเทากบ 2 หนวย แตโจทยบอกวา y 4 เปนไดเรกตรกซ แสดงวาจดยอด ตองเปน V( 1,2)

จงไดวา a 12 a 158

ดงนน สมการพาราโบลาคอ 2x 8y 2x 15 0

หาจดตดแกน x โดยแทน y 0 2x 2x 15 0 x 5 หรอ 3

แตโจทยจะใชจดทตดแกน x ทางลบ A( 5, 0)

ความชนระหวาง A กบ V 2 0 0.51 5

ตอบ

(37) เสนตรงลากผาน A, B และจดโฟกสได แสดงวา A และ B เปนจดปลายของเลตสเรคตม A และ B มพกด ( 2p, p)

สมมตจด C มพกด 2a(a, )4p

จะได CA

2a4p p

m a 2p

2 2a 4p a 2p

4p(a 2p) 4p

และ CB

2a4p p

m a 2p

2 2a 4p a 2p

4p(a 2p) 4p

CA CB4pm m 14p เสมอ ตอบ

directrix

0 S(1,0)

P(1,2) Q

kanuay

Pencil


1.

2.

4. 3. (1,2)

จดศนยกลางของวงกลมจะตองอยบนเสนตรงเสนน ..แตโจทยบอกวาจดศนยกลางอยบน x y 9 ดวย จงแกสมการหาจดตดไดเปน (x, y) (6, 3)

ดงนนจดศนยกลางวงกลมคอ (6,3) และรศมวงกลมยาว 2 2(6 2) (3 5) 20 สมการวงกลมคอ 2 2 2(x 6) (y 3) ( 20)

2 2x y 12x 6y 25 0 ตอบ

(45) จดศนยกลางวงกลม คอจดบนเสนตรง 2x y 1 0 ทอยหางจาก P(2, 1) และ Q( 2, 0) เปนระยะทางเทากน ..สมมตวาจดนนคอ C(h,2h 1) จะไดวา

2 2 2 2(h 2) (2h 1 1) (h 2) (2h 1 0) 2 2 2 2h 4h 4 4h h 4h 4 4h 4h 1

0 4h 1 1h 4

ดงนน จดศนยกลางนนกคอ 1 3C( , )4 2

..และระยะทางทเทากนนนเปนรศม 2 21 3 85 85( 2) ( )4 2 16 4 หนวย

ขอ 1. ผด ..ตองเปน 2h k 1 0 (แทน x, y ในสมการโจทย ดวย h, k ตามลาดบ) ขอ 2. ผด ..ตองเปน 85/4

ขอ 3. ผด ..ตองเปน 3214

( 1) 292

ขอ 4. ถก ..เพราะ CP รศมวงกลม

(46) เสนตรง PQ ตองตงฉากกบเสนตรง y x ซงมความชนเปน 1 ..ดงนน PQ มความชน 1 และผานจด P( 1,5) จงไดสมการเปนดงน y 5 (x 1) y x 4

แกระบบสมการ พบวาตดกบ y x ทจด (2,2) ดงนนจงไดพกดจด Q(2,2) และไดจด 1 2 5 2 1 7R( , ) ( , )2 2 2 2

รศมวงกลม 2 25 50 ( )2 2

สมการวงกลมคอ 2 2 21 5(x ) (y 1) ( )2 2

หรอแจกแจงไดวา 2 2x x y 2y 5 0 ตอบ

(47) สมการ L คอ

3y 4 (x 1) 4y 3x 13 04

เสนตรง L สมผสวงกลม C ซงมศนยกลางท (1,2) แสดงวารศม r เทากบระยะจากจด (1,2) ไปยง L นนคอ 2 2

4(2) 3(1) 13 8r 54 3

ดในตวเลอก ม x 1 กบ y 2 จะสงเกตวา ไมตองสรางสมการวงกลมกได เพราะ x, y ทใหมา อยในแนวเดยวกบจดศนยกลาง

จด 1. 8 2(1,2 ) (1, )5 5

จด 2. 8 18(1,2 ) (1, )5 5

จด 3. 8 3(1 ,2) ( ,2)5 5

จด 4. 8 13(1 ,2) ( ,2)5 5

ตอบ ขอ 1.

(48) พกดจด M คอ 1 1 2 4M( , ) (0, 3)2 2

จะได สมการวงกลม 2 2 2x (y 3) ( 8) .....(1)

เสนตรง AB มสมการเปน 4 2y 2 (x 1)1 1

y x 3 .....(2) แกระบบสมการเพอหาจดตด โดยแทน (2) ใน (1); จะได 2 2x ( x) 8 x 2 หรอ 2 y 1 หรอ 5 ตามลาดบ นนคอ จดตดไดแก (2, 1) กบ ( 2,5) ตอบ ขอ 1.

(49) จดรปสมการวงกลม;

2 2(x 2x 1) (y 4y 4) 20 1 4

2 2 2(x 1) (y 2) 5 (h, k) (1,2) และ r 5

หาพาราโบลาทมจดยอดอยท (1,2) และมไดเรกตรกซเปน x 5

kanuay

Pencil


C(-2,3) A

F(6,-5)

จดศนยกลางอยท ( 2, 3) , รศม 2 หนวย

จากรป ระยะ 2 2AF CF CA ( 8 8 ) ( 2)

8 2 2 7 2 หนวย ตอบ

(56) จดรปสมการพาราโบลา;

23(x 6x 9) y 30 27

23(x 3) (y 3) ..จดยอดคอ (3, 3)

..หาสมการวงกลม ซงมจดศนยกลางท (3, 3) รศมวงกลม = ครงของระยะจาก (3, 3) ถง ( 1, 1)

2 21 4 4 2 22 หนวย

..นนคอ 2 2 2(x 3) (y 3) (2 2) หรอแจกแจงได 2 2x y 6x 6y 10 0 ตอบ


2x 4x 4 8y 4 4 2(x 2) 4(2)(y 1)

เปนพาราโบลาหงาย จดยอดอยท V(2, 1) และจดโฟกสอยท F(2, 1 2) (2, 1)

..หาสมการวงกลม ซงมจดศนยกลางท C(2, 1) รศม = ครงของระยะจาก ( 4, 3) ถง C(2, 1) 2 21 ( 6) (2)2 1 40 102 หนวย

สมการวงกลมคอ 2 2 2(x 2) (y 1) ( 10) หรอแจกแจงได 2 2x y 4x 2y 5 0 ตอบ


2y 4y 4 8x 20 4 2(y 2) 4( 2)(x 3)

เปนพาราโบลาเปดซาย, V(3,2) , F(1,2) ไดเรกตรกซ x 5 ดงนนจดตดคอ P(5,2)

ตองการหาวงกลมทผาน (0, 0) , (1,2) , (5,2) สมมตวาสมการวงกลมคอ

2 2x y Dx Ey F 0

แทนแตละจดทกราฟวงกลมผาน ลงไป.. จะได F 0 .....(1) และ 2 21 2 D 2E F 0 D 2E 5 .....(2) และ 2 25 2 5D 2E F 0 5D 2E 29 .....(3)

แกระบบสมการได D 6 , 1E 2

สมการวงกลมคอ 2 2 1x y 6x y 02

2 2 1 1 1(x 6x 9) (y y ) 0 92 16 16

กาลงสองของรศมคอ 19 16 14516 ตอบ

(59) จดรปสมการวงกลม;

2 2(x 14x 49) (y 4y 4) 49 49 4

2 2 2(x 7) (y 2) 2 จดศนยกลางอยท (7, 2) และรศมยาว 2 หนวย

จด (7, 2) ตองอยหางจากเสนสมผส คอ ax 12y 15 0 เปนระยะ 2 หนวย

นนคอ 2 2a(7) 12( 2) 15 2

a 12

27a 9 2 a 144

..ยกกาลงสองทงสองขาง ไดเปน 2 249a 126a 81 4a 576

245a 126a 495 0 9(5a 11)(a 5) 0

แตโจทยบอกวา a เปนจานวนจรงบวก a 5 ตอบ ขอ 2.

(60) สงเกตจากรป พบวา ควรคดดวยตรโกณมต

รศม 2 AQ AP และจาก Lm 1 ดงนน ˆQAP 45

..หาระยะ PQ ไดจากกฎของ cos นนคอ 2 2PQ 2 2 2(2)(2)cos 45 หนวย ดงนน 2PQ 8 4 2 หนวย ตอบ

A(-1,2)

P

Q

L

2 2

kanuay

Pencil


(97) ขอ 1.

2 2(x 2x 1) 2(y 2y 1) 1 1 2 2 2(x 1) 2(y 1) 0

ไมใชไฮเพอรโบลา แตเปนเสนตรง 2 เสน ตดกนทจด (1, 1) (ขอ 1. ผด)

ขอ 2. 2 24x y 36 2 2y x 136 9

เปนไฮเพอรโบลาเปดบนลาง ดงนนจดโฟกสตองอยในรป (0, c) (ขอ 2. ผด)

ขอ 3. ถก เพราะสมประสทธหนา 2x กบ 2y มขนาดเทากน จงทาใหแกนตามขวางและแกนสงยคยาวเทากน อยางแนนอน

ขอ 4. เปนไฮเพอรโบลาเปดบนลาง c 3 , a 2 ..ดงนน 2 2b 3 2 5

สมการคอ 2 2(y 5) (x 4) 14 5

2 25(y 10y 25) 4(x 8x 16) 20 2 25y 4x 32x 50y 41 0 (ขอ 4. ผด)

(98) จดรปสมการวงร;

2 24(x 2x 1) (y 4y 4) 8 4 4

2 24(x 1) (y 2) 16 2 2

2 2(x 1) (y 2) 12 4

..ดงนน 1k a 4

จดรปสมการไฮเพอรโบลา;

2 23(y 10y 25) (x 4x 4) 68 75 4 2 23(y 5) (x 2) 3

2 22 2

(y 5) (x 2) 11 ( 3)

..ดงนน 2k a 1

ตอบ ขอ 3. 1 2k 4k

(99) จดรปสมการวงร;

2 22(x 2x 1) 11(y 4y 4) 24 2 44

2 22(x 1) 11(y 2) 22 2 2(x 1) (y 2) 111 2

เปนวงรแนวนอน มจดศนยกลางอยท ( 1,2) a 11 , b 2 ..ดงนน c 11 2 3


2 22(x 2x 1) 7(y 4y 4) 40 2 28 2 22(x 1) 7(y 2) 14

2 2(x 1) (y 2) 17 2

เปนไฮเพอรโบลาเปดซายขวา มจดศนยกลางท (1,2) a 7 , b 2 ..ดงนน c 7 2 3 ดงนน ขอ 1. ผด, ขอ 3. ผด, ขอ 4. ถก ขอ 2. ผด ตดกน 2 จดในลกษณะดงรป

(100) จดรปสมการไฮเพอรโบลา;

2 24(x 2x 1) 5(y 4y 4) 36 4 20

2 2(x 1) (y 2) 15 4

เปนไฮเพอรโบลาเปดซายขวา จดศนยกลางคอ (1,2) คา c 5 4 3 ..นนคอจดโฟกส (1 3,2) ดงนน จด F ทโจทยกลาวถง มพกดเปน (4,2)

วงกลมทมจดศนยกลางท (4,2) และสมผสแกน x ยอมมรศมยาว 2 หนวย สมการวงกลมนคอ 2 2 2(x 4) (y 2) 2 หรอแจกแจงได 2 2x y 8x 4y 16 0 ตอบ

(101) แกระบบสมการหาจด A ไดเปน (7,5)


2 24(y 4y 4) 9(x 2x 1) 29 16 9 2 2

2 2(y 2) (x 1) 13 2

เปนไฮเพอรโบลาเปดบนลาง จดยอดอยท (1,2 3) (1,5) กบ (1, 1) เมอเขยนกราฟพบวา ABC เปนสามเหลยมมมฉาก

พนท 1ABC (7 1)(5 ( 1))2

= 18 ตร.หนวย ตอบ

-1 1 ( 1 11, 2)

(1 7, 2)

kanuay

Pencil


ขอ 4. ผด จาก 22x x 1 (2x 1)(x 1) 0 นนคอ 2x 1 0 หรอ x 1 0 เปนกราฟเสนตรงแนวดงสองเสน (ไมขนานแกน x)

(122) จดรปสมการเปน 2(x y) 1 0

(x y 1)(x y 1) 0 นนคอ x y 1 0 หรอ x y 1 0

ตอบ เปนเสนตรง 2 เสน ซงมความชนเทากน (ความชนคอ 1 )

(123) ให P มพกด (x,y) ดงนนระยะจากจดนไปยงแกน y เทากบ x หนวย ไดสมการวา 2 2(x 6) (y 0) 2(x)

2 2 2x 12x 36 y 4x 2 23x y 12x 36 0

2 23(x 4x 4) y 36 12

2 2(x 2) y 116 48

เปนสมการไฮเพอรโบลา

(124) ใหจดนนมพกดเปน P(x, y)

จะไดวา 2 2 2 23x 4y 1 3x 4y 7 144

253 4 3 4

3x 4y 1 3x 4y 7 144 2 29x 16y 18x 32y 7 144

เปนสมการไฮเพอรโบลา

(125) ขอ 1. และ 2. จดรปสมการวงรได

2 2x y 11 1a b

พจารณากรณ a b จะได 1 1a b ..จงเปนวงรตง

ขอ 1. ผด เพราะกรณ a b ทใหมาเปนวงรนอน

ระยะโฟกส 1 1c b a a bab

จดโฟกสคอ a b(0, )ab

ดงนน ขอ 2. กผด

ขอ 3. และ 4.

จดรปสมการไฮเพอรโบลาได 2 2y x 11 1( )ab

แสดงวาคา a ตดลบ (ให y อยหนาเพราะจดยอดอยท (0, 3)

นนคอ 1 13 b 9b )

ระยะโฟกส 1 1c ( )b a 19 a

จดโฟกส คอ 1(0, 9 )a

ดงนน ขอ 3. ถก และขอ 4. ผด ขอ 5. 2x ay c เปนพาราโบลาหงายหรอควา ดงนนไดเรกตรกซจะขนานกบแกน x จรงๆ ขอ 5. ถก

(126) กรณ y 0 ..จะได y y

และสมการกลายเปน 2 20 (x x ) 4

ซงเปนไปไมได กรณ y 0 ไมมกราฟ (ขอ 3, 4 ผด)

กรณ y 0 และ x 0 ..จะได y y และ x x

และสมการกลายเปน 2 2(2y) 0 4 2y 1 y 1 เทานน

(เปนกราฟเสนตรงแนวนอนท y 1 )

กรณ y 0 และ x 0 ..จะได y y และ x x

และสมการกลายเปน 2 2(2y) (2x) 4 2 2y x 1

เปนไฮเพอรโบลาหงาย จดยอดอยท (0, 1)

ตอบ ขอ 1.

kanuay

Pencil


y

x B

A

C

D

20 21

A

B D E C

F

175. [คดโอลมปก / 2547] ถาวงกลมวงหนงผานจด (1, 3) และมจดศนยกลางอยทจดโฟกสของพาราโบลา ซงมสมการ 2x 8x 8y 8 0 แลวสมการของวงกลมนคอขอใดตอไปน 1. 2 2(x 4) (y 3) 45 2. 2 2(x 4) (y 1) 25 3. 2 2(x 4) (y 1) 13 4. 2 2(x 4) (y 3) 9 176. [คดโอลมปก / 2546] จงหาสมการของวงกลมซงผานจด ( 2, 4) และมจดศนยกลางอยทจดโฟกสของพาราโบลา 2x 4x 12y 44 0 177. [โควตา มช. / 2545] กาหนดใหวงกลม C มสมการเปน 2 2x ax y by 5 0

ถากราฟของวงกลม C ผานจด 3 1( , )2 2 และผานจดยอดของพาราโบลา 2y 1 4(x 1)

แลว จงหารศมของวงกลม C 178. [คดโอลมปก / 2541] จากรป BD DE รศมของวงกลมทลอมรอบรปสามเหลยม ABC เปนเทาใด 1. 9.5 2. 10 3. 10.5 4. 14.5 179. [พนฐานวศวะฯ / 2536] เสยว 1/4 ของวงกลมดงรป แสดงตาแหนงของจดโคออรดเนตดงน A(3, 11) , B(3, 2) , C(16, 2) และ D(8, 10) สมการของเสนตรงทสมผสกบเสยววงกลมทจด D คอ 1. 5x 12y 148 2. 12x 5y 146 3. 5x 12y 160 4. 6x 11y 158 180. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2547] วงกลมวงหนงสมผสกบเสนตรง y 2x 1 ทจด (1, 1) และสมผสกบแกน x ถา (h, k) เปนจดศนยกลางของวงกลมวงน โดยท h 1 ขอใดตอไปนถกตอง 1. 2h 4k 3 2. 2k 5 4h 3. 2 24h k 5 4. 2hk 3

เฉลย 168. 4.5 170. 10 171. 4 173. 5 13 175. 2 177. 2.5 178. 4 179. 3 180. 3

kanuay

Pencil


211. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2549] กาหนดใหวงรวงหนงมสมการ 2 23x 4y 6x 8y 5 0 ถา P เปนจดบนวงรซงมระยะหางจากโฟกสจดหนง เปนสองเทาของระยะระหวางโฟกสกบจดยอด จงหาระยะทางระหวางจด P กบจดยอดของวงร 212. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2546] กาหนดใหวงร E มจดศนยกลางทจด (1, 1) จดโฟกสจดหนงอยทจด (3, 1) และความยาวแกนโทเทากบ 2 หนวย ถา y x c , c 0 เปนเสนตรงซงสมผสวงร E แลว c มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 213. [คดโอลมปก / 2549] สามเหลยมดานเทารปหนงแนบในวงรซงมสมการคอ 2 2x 5y 5 จดยอดจดหนงของรปสามเหลยมนคอจด (0, 1) และสวนสงหนงของรปสามเหลยมนอยบนแกน y ดานของรปสามเหลยมนยาวเทากบเทาใด

1. 4 33 หนวย 2. 5 34 หนวย 3. 6 35 หนวย 4. 10 3 หนวย

214. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2547] ให 1A , 2A , 3A และ 4A เปนพนทของวงร

2 2(x 25) (y 47) 200425 47

ในควอดรนตท 1, 2, 3 และ 4 ตามลาดบ จงหาวา 1 2 3 4A A A A เทากบกตารางหนวย 215. [คดโอลมปก / 2535] * ขอนอาศยเนอหา “ความสมพนธ และตรโกณมต” ดวย บทนยาม ถา r และ s เปนความสมพนธทมกราฟเปนวงกลม และวงรตามลาดบ วงกลม r เปนวงกลมแนบในวงร s กตอเมอ r sD D และ r sR R และ n(r s) 2 ถาวงกลมทใหญทสดทแนบในวงรซงมสมการ 2 2121x 256y 242x 512y 107 0 มเสนรอบวงยาว หนวย แลว ขอใดตอไปนถกตอง 1. tan( ) 1 2. cos( ) sin( ) 3. cos sin( ) 4. tan( ) 2 sin 216. [โควตา มช. / 2543] ถาเลอนรปไฮเพอรโบลาทมสมการเปน 2 24x 8x y 6y 21 ลงมาในแนวดง 2 หนวย และไปทางขวา 5 หนวย แลว สมการใหมของไฮเพอรโบลาคอขอใด

1. 2 2x 4 y 5 12 4

2.

2 2x 3 y 2 12 4

3. 2 2x 6 y 1 12 4

4.

2 2x 4 y 1 12 4

เฉลย 205. 4 206. 26 208. 6 209. 1 210. 1 211. 7 212. 2 213. 2 214. 4700 215. 3 216. 1

kanuay

Pencil


2

3

เฉลยวธคด (127) นาย ก; ระยะทาง 10 5 5 ก.ม.

เวลาทใช 5 125 ชม.

นาย ข; ระยะทาง 2 21 6 37 ก.ม.

เวลาทใช 37 138 ชม.

นาย ค; ใชเวลา 50 149 ชม.

และนาย ง; 65 164 ชม.

ดงนนตองเปรยบเทยบระหวาง นาย ค กบนาย ง

พบวา 50 6549 64 นาย ค ถงหลงสด ตอบ

(128) อาศยความสมมาตรของรป ADBC ทวางตะแคงอย จาก B Cx x 3 2.268 0.732 ดงนน D Ax x 0.732 ดวย

Dx 5.732 ตอบ ขอ 2.

(129)

2 21 2PP 2 3 13

ตอบ

(130) จาก 2 2PQ 1 1 2 ,

2 2QR 3 1 10 , และ 2 2PR 2 2 2 2 ..เมอเขยนรปคราวๆ จะพบวา AQ QC PR , AR RB PQ , และ BP PC QR ..ดงนน ความยาวรอบรปสามเหลยม ABC เปน 2 เทาของความยาวรอบรปสามเหลยม PQR จงไดคาตอบเปน 2(3 2 10) 6 2 2 10

(131) จาก AE : EB 2 : 1

จะไดจด 2(8) 1(6) 2( 2) 1(6) 22 2E( , ) ( , )2 1 2 1 3 3

และจาก AF : FC 1 : 2

จะไดจด 1(2) 2(6) 1(1) 2(6) 14 13F( , ) ( , )1 2 1 2 3 3

ดงนนจด P (จดกงกลาง) มพกด (a, b) (6,2.5) ตอบ a 2b 6 5 11

(132) จด A คอ (3,0) และจด B คอ (0,3) ดงนนจด P คอ 3(0) 1(3) 3(3) 1(0) 3 9( , ) ( , )3 1 3 1 4 4

และจากสมการ y m(x 1) 3 0

จะได y 3 (9 / 4) 3m 3x 1 (3 / 4) 1

ตอบ

(133) ขอ 1. ถก เพราะ 1 ( 1) 3 1( , ) (0,2)2 2

ขอ 2. ถก เพราะจากการคานวณความชน พบวา ABm 1 และ BCm 1 ดงนนมม B เปนมมฉาก ..และจด D ทโจทยพดถงกคอจด B(-1,1) ซงทาให a b 2 จรงๆ ขอ 3. ถก เพราะ 2 2AB BC ( 2 2 8) หนวย และ BC กคานวณไดเทากน ตอบ ขอ 4. (ถกทกขอ)

(134) จด 1P คอ 20( , 0)3 และ 2P คอ (0,5)

ขอ 1. ผด .. 2 21 2

20 625 25PP ( ) 53 9 3

ขอ 2. ถก ..คดจาก 203 0 0 5( , )2 2

ขอ 3. ผด ..ตองได 2 23(0) 4(0) 20 20 453 4

ขอ 4. ผด ..เพราะ L3m 4 ดงนน ตงฉาก

4m 3

kanuay

Pencil


F B

5

A

V

(162) พาราโบลาหงาย มจดยอดท (2, 1) 2(x 2) 4c(y 1)

หาคา c กอน โดยกราฟผานจด (0,0) 2( 2) 4c(1) c 1

ดงนน สมการทไดคอ 2(x 2) 4(y 1) หรอ 2x 4x 4 4y 4

จดรปไดวา 2xy x4 ตอบ ไมมขอใดถก

(163) พาราโบลาหงาย มจดยอดท (5, 1) จะไดสมการเปน 2(x 5) 4c(y 1) ผานจด (0,0) ดงนน หาคา c ไดเปน 25 4c สมการทไดคอ 2(x 5) 25(y 1) โจทยถาม y เมอ x 2

169 25(y 1) y 25 ตอบ ขอ 3.

(164) จากการเขยนรป จด F และไดเรกตรกซ จะพบวาเปนพาราโบลาตะแคงเปดขวา มระยะจาก F ถงไดเรกตรกซ เปน 1 ( 5) 6 2c ..และเนองจาก ระยะ AB คอเลตสเรคตม ยาว 4c ระยะจากจด C มาตงฉากกบ AB คอระยะโฟกส เทากบ c

ดงนน พนท 21ABC 4c c 2 c2

22(3) 18 ตร.หนวย ตอบ

(165) จากขอมลในโจทย เขยนรปไดดงน

แสดงวาจด V และ F ตองมพกดเปน V(h, 4) และ F(h c, 4)

พนท 1ABV 5 (h ( 6)) 2.5 (h 6)2

1ABF 5 ((h c) ( 6)) 2.5(h c 6)2

ดงนน 2.5(h 6) 4 4c h 62.5(h c 6) 5

.....(1)

สมการพาราโบลาคอ 2(y 4) 4c(x h) .....(2)

แตจด A(4,9) อยบนพาราโบลาน แทนคาลงในสมการ (2) และนา (1) แทนลงไปดวย จะได 2(9 4) (h 6)(4 h)

2 2h 2h 1 0 (h 1) 0

ดงนน h 1 ..และจะได 5c 4

ตอบ สมการไดเรกตรกซคอ 9x h c 4

(166) สมการเสนตรง ผานจด (1,4)

22(y 4) (x 1)3

กระจายไดเปน 22x 3y 14 2 3 3 14x y 7 4( )(y )2 8 3

เปนพาราโบลาควา จดยอด 14V(h, k) (0, )3

จดโฟกส 14 3 103F(0, ) (0, )3 8 24 ไมมขอใดถก

(167) ระยะทางจากจดโฟกสไปยงไดเรกตรกซ เทากบ 2c เสมอ

ดงนน 2 2(2) ( 3) 12c 21 1

โจทยถามความยาวเลตสเรคตม ซงยาว 4c เสมอ

ดงนน 1d 4c 2( ) 22 หนวย

และคาตอบทถกคอ ขอ 2.

(168) ระยะทางจากจด F ไปถงเสนตรง L คอ 2c เสมอ

ดงนน 2 2

(1) ( 2) 3FL 2c21 1

แตเลตสเรคตมยาว 4c เสมอ 6AB2

.....(1)

P

L F

A

B

kanuay

Pencil


บงเอญจด P อยบนเสนตรง L พอด ดงนนระยะจากจด P ไปตงฉากกบแนวเสนตรง AB

จงเทากบ 32

ดวย .....(2)

พนท 1ABP AB (P AB)2

1 6 3( )( )2 2 2 4.5 ตร.หนวย

หมายเหต ไมวาจด P จะอยทใดบนเสนตรง L กจะไดคาตอบเทานเสมอ ..เพราะฐาน AB คงท และสวนสงของสามเหลยมมคาเทาเดม

(169) หาจดยอดของพาราโบลา.. สรางสมการเสนตรง L ตงฉากกบไดเรกตรกซ และผานจดโฟกส เนองจาก dirm 1 ..ดงนน Lm 1 และสมการ L คอ (y 0) 1(x 9)

y x 9 0 แกระบบสมการหาจดตดของ L กบไดเรกตรกซ ไดเปน (2, 7) ..จดยอดของพาราโบลา คอกงกลางระหวางสองจดน

นนคอ 2 9 7 0( , ) (5.5, 3.5)2 2

ตอบ

สมการของพาราโบลา หาไดจากนยามทวา “พาราโบลาคอ ทางเดนของจดซงระยะหางไปยงจดโฟกส และไปยงเสนไดเรกตรกซ มคาเทากน” นนคอ ถา P(x,y) เปนจดใดๆ บนพาราโบลา จะไดเงอนไขวา PF P Dir

2 22 2

x y 5(x 9) y1 1

2 2( 2)( x 18x 81 y ) x y 5

ยกกาลงสองทงสองขาง 2 22x 36x 162 2y

2 2x 2xy y 10x 10y 25 ตอบ 2 2x 2xy y 46x 10y 137 0


2 2(x 6x 9) (y 8y 16) 16 9 16

2 2(x 3) (y 4) 9 แสดงวาจดศนยกลางอยท ( 3, 4) ตอบ หางจาก (3, 4) อย 2 26 8 10 หนวย

(171) สมมตจด A มพกด (0, a) จะได สมการระยะทาง 2 2 2 22 (a 2) 1 (a 1)

2 2a 4a 8 a 2a 2 a 1 นนคอจด A มพกด (0, 1)

จดศนยกลางวงกลมอยทกงกลาง AB

คอ 0 4 1 5( , ) (2, 3)2 2

และจากระยะ 2 2AB 4 4 4 2 หนวย แสดงวาตองหาสมการวงกลมรศม 2 2 หนวย สมการวงกลมคอ 2 2 2(x 2) (y 3) (2 2) แจกแจงไดเปน 2 2x y 4x 6y 5 0 ตอบ

(172) พาราโบลา 2y 8x 4(2)(x) เปนพาราโบลาตะแคง เปดขวา จดโฟกสอยท (2, 0) ดงนนเสนตรง L ผานจดน จะมสมการ เปน y 2 2 x 4 2 และตดแกน y ทจด A(0, 4 2)

หาจดตดของเสนตรงกบพาราโบลา

โดย 2 y 4 2y 8( )2 2

2y 2 2y 16 0 (y 4 2)(y 2 2) 0

ดงนนจะได y 4 2 หรอ 2 2 และได x 4 หรอ 1 ตามลาดบ จด B(b, c) อยในควอดรนตท 1 จงไดวาจด B มพกด (4, 4 2) ..และจด C มพกดเปน (0, 4 2) จากการเขยนรปคราวๆ พบวามม C เปนมมฉาก ดงนน วงกลมทผานจด A, B, C จะตองม AB เปนเสนผานศนยกลาง ดงนน จดศนยกลางของวงกลมอยท 0 4 4 2 4 2( , ) (2, 0)2 2

และรศมวงกลม 2 24 (8 2) 12 62 2

หนวย

ตอบ สมการวงกลมคอ 2 2 2(x 2) y 6

kanuay

Pencil


(173) จดรปวงกลม;

2 2(x 2x 1) (y 8y 16) 15 1 16 2 2(x 1) (y 4) 2 ..จดศนยกลางคอ ( 1, 4)

จดรปพาราโบลา; 2(x 2x 1) 4y 7 1

2(x 1) 4y 8 4( 1)(y 2) จดโฟกสอยท (1,2 1) (1, 1)

..ดงนน 2 2a 2 3 13

และคา 2 22( 4) 3( 2) 3 5b 132 3

ตอบ 2 5a b 13 5 1313

(174) จดรปพาราโบลา;

2(y 8y 16) 6x 19 16

2(y 4) 6x 3 4(1.5)(x 0.5) เปนพาราโบลาเปดขวา จดยอดอยท (0.5, 4) และระยะโฟกส c 1.5 ดงนน “จดบนเสนไดเรกตรกซทจดโฟกสของพาราโบลาลากมาตงฉาก” กคอจด (0.5 1.5, 4) ( 1, 4)

ตอมาหาจดตด 2 จด ของวงกลมทงสองทใหมา แทนสมการ 2 2x y 12 ลงในอกสมการ จะได 12 8x 4 0 x 2 ดงนน y 2 2 ..จดตดคอ (2, 2 2)

หาระยะทาง 1d , 2d ไดเปน 2 2

1d 3 (4 2 2) 33 16 2 2 2

2d 3 (4 2 2) 33 16 2

ดงนน 1 2f(d , d ) (33 16 2) (66 32 2)

5 33 16 2 3

ตอบ (96 16 2) 5 33 16 2


2(x 8x 16) 8y 8 16 2(x 4) 8y 8 4( 2)(y 1)

เปนพาราโบลาควา จดยอด (4, 1) และคา c 2 ..แสดงวาจดโฟกสอยท (4, 1)

หาสมการวงกลม ทมจดศนยกลางท (4, 1) รศมเทากบระยะทางระหวางจดศนยกลางและ (1, 3) ดงนน รศม 2 23 4 5 ตอบ สมการวงกลมคอ 2 2(x 4) (y 1) 25

(176) จดรปพาราโบลา;

2(x 4x 4) 12y 44 4

2(x 2) 12y 48 2(x 2) 4( 3)(y 4)

เปนพาราโบลาควา, จดยอดอยท (2, 4) คา c 3 ..ดงนนจดโฟกสคอ (2, 1)

สรางสมการวงกลม จดศนยกลางท (2, 1) นนคอ 2 2 2(x 2) (y 1) r แตวงกลมนผานจด ( 2, 4) จงแทนคาลงไปท (x,y) ..ได 2r 25 สมการวงกลมคอ 2 2(x 2) (y 1) 25 หรอแจกแจงไดวา 2 2x y 4x 2y 20 0 ตอบ

(177) ..วงกลมผานจด 3 1( , )2 2

แสดงวา 2 23 3 1 1( ) a( ) ( ) b( ) 5 02 2 2 2

3a b 5 0 .....(1) ..วงกลมผานจดยอดของพาราโบลาคอ (1, 1) แสดงวา 2 2(1) a(1) (1) b(1) 5 0

a b 3 0 .....(2) แกระบบสมการได a 1 และ b 2 ดงนนวงกลม C มสมการเปน

2 2x x y 2y 5 0

จดรป 2 2(x 0.5) (y 1) 5 0.25 1 6.25 ดงนน รศมเทากบ 2.5 หนวย ตอบ

kanuay

Pencil



2 2(x 2x 1) 2(y 2y 1) k 1 2 2 2(x 1) 2(y 1) (3 k) 2 2(x 1) (y 1) 1(3 k) (3 k) / 2

แกนเอกยาว 6 หนวยแสดงวา a 3 และแกนเอกขนานแกน x แสดงวา 2(3 k) a 9 ดงนน k 6 .. ตอบ k 6

หมายเหต ทจรงสมการทใหมานน มแกนเอกขนานกบแกน x เสมออยแลว ..เพราะคา (3–k) ยอมมากกวา (3–k)/2 เสมอ ดงนนโจทยอาจไมจาเปนตองบอกวาแกนเอกขนานกบแกน x กได

(209) จด (a,b) อยบนวงร แสดงวา

2 22 2a b 1 4a 9b 369 4 .....(1)

จด (a,b) อยหางจดกาเนด 5/2 หนวย แสดงวา 2 2 2a b (5/2) .....(2) แกระบบสมการ โดยนา 4 คณสมการท (2) ไดเปน 2 24a 4b 25 แลวลบกบสมการท (1)

จะได 2 11b 5 และได 2 81a 20

โจทยกาหนดวาจด (a,b) อยใน Q1

ดงนน a, b เปนบวก 11 81 9 11ab 5 20 10 ตอบ

(210) ใหจด P มพกดเปน (c, y) จากสามเหลยมคลาย AOD กบ OFP

จะได y bc a cby a

แตสมการวงรในรปนคอ 2 22 2

x y 1a b

จงแทนคาไดเปน 22

2 2(cb/a)c 1a b

2 2 22 2 2c c b 1a a b

22c 1

2a

c 1 2a 22 ตอบ


2 23(x 2x 1) 4(y 2y 1) 5 3 4 2 23(x 1) 4(y 1) 12

2 2(x 1) (y 1) 14 3

เปนวงรแนวนอน มจดศนยกลางท (1, 1) คา a 2 และ b 3 ..ดงนน c 4 3 1 ระยะระหวางโฟกสกบจดยอด คอ a c 1 หนวย แสดงวาจด P ตองอยหางจากจดโฟกส 2 หนวย

เมอเขยนรปจะสงเกตเหนไดวา จด P คอจดปลายแกนโท (จด B) พอด (เพราะจากคา b 3 และ c 1 จะมระยะ BF เปน 2 พอด) ดงนน ระยะทางระหวางจด P กบจดยอดของวงร กคอ 2 2BV a b 4 3 7 หนวย ตอบ

(212) วงรเปนแบบนอน มคา c 2 และ b 1 ..ดงนน a 4 1 5

สมการวงรคอ 2 2(x 1) (y 1) 15 1

หรอแจกแจงไดเปน 2 2x 2x 1 5y 10y 0

เสนตรง y x c “สมผส” วงร แสดงวาเมอแกระบบสมการหาจดตด จะไดคาตอบเดยว แทนสมการเสนตรงลงในสมการวงร จะได

2 2x 2x 1 5(x c) 10(x c) 0 2 26 x (10c 12)x (5c 10c 1) 0

แตเนองจากจะตองมคาตอบเดยว แสดงวาในทน 2B 4AC 0

2 2(10c 12) 24(5c 10c 1) 0 2 2(5c 6) 6(5c 10c 1) 0

แจกแจงกาลงสองแลวจะหกลบกนได เหลอเพยง 25c 30 0 ..นนคอ 2c 6 ..แตโจทยกาหนด c 0 ดงนน ตอบ 6

C F V

B

3 1 1

2

kanuay

Pencil


(213) สมการวงรคอ 2 2x y 15 1

เปนวงรแนวนอน ทมจดศนยกลางอยท (0,0) ดงรป ความชนของ AB เทากบ tan60 3 ดงนนสมการเสนตรง AB คอ y 1 3 (x 0) แทนคาลงในสมการวงรเพอหาจดตดไดดงน..

2 2x 5( 3 x 1) 5 216 x 10 3 x 0

จะได x 0 (จด A) หรอ 5 3x 8 (จด B)

ดงนน.. ความยาวดานสามเหลยม หาไดจาก BC

นนคอ 5 3 52 38 4 ตอบ

(214) วงรทใหมาเปนวงรตง มจดศนยกลางอยท (25, 47)

พนท 1 2A A พนท 4 3A A โจทยถามพนท 1 2 4 3(A A ) (A A ) จะเหลอเปนพนท สเหลยมมมฉากดงรป มขนาดเทากบ 50 94 4700 ตารางหนวย ตอบ

(215) r sD D และ r sR R แปลวา วงกลมอยในขอบเขตกรอบสเหลยมของวงร n(r s) 2 แปลวา วงกลมกบวงรมจดรวมกน 2 จดเทานน

จากการวาดรปคราวๆ จะพบวาวงกลมแนบในวงร ตามนยามทโจทยกาหนด กคอวงกลมทอยภายในวงร และมขนาดใหญจนสมผสเสนรอบวงรสองดาน นนเอง ..และ “วงกลมทใหญทสด” ยอมมจดศนยกลางรวมกบวงร และมรศมเทากบครงแกนโท (b)

จดรปสมการวงร;

2 2121(x 2x 1) 256(y 2y 1) 107 121 256

2 2121(x 1) 256(y 1) 484 2 2(x 1) (y 1) 14 (121 / 64)

ซง 4 (121 / 64) ดงนน a 2 , b 11/8

เสนรอบวงกลมยาว 112 r 2 b 4

ดงนน 1sin( ) 2 (ตามลาดบ),

1cos( ) 2 และ tan( ) 1 (ตามลาดบ)

..ขอทถกคอ ขอ 3.

(216) จดรป;

2 24(x 2x 1) (y 6y 9) 21 4 9

2 24(x 1) (y 3) 16 2 2(x 1) (y 3) 14 16

เมอมการเลอนแกนลงลาง 2 หนวย และไปทางขวา 5 หนวย สมการจะกลายเปน

2 2(x 1 5) (y 3 2) 14 16

..นนคอ 2 2x 4 y 5 12 4

ตอบ

B C

A (0,1)

kanuay

Pencil


(217) จดรป; 2 216(y 4y 4) 25(x 2x 1) 439 64 25

2 216(y 2) 25(x 1) 400 2 2(x 1) (y 2) 116 25

เปนไฮเพอรโบลาเปดซายขวา a 4, b 5 เสนกากบตองผานจดยอด (1, 2) และมความชน (b/a)

ดงนน ตอบ 5y 2 (x 1)4 (คอขอ 4.)


2 29(x 6x 9) 16(y 4y 4) 161 81 64

2 29(x 3) 16(y 2) 144 2 2(y 2) (x 3) 19 16

เปนไฮเพอรโบลาเปดบนลาง จดศนยกลางอยท ( 3,2) คา c 9 16 5 จด F อยในควอดรนตท 2 และจด B อยในควอดรนตท 1 ดงนน FB ยอมมความชนตดลบ (จด F อยทางซายและสงกวาจด B)

และ FBc 5m b 4

(หมายเหต ถงขนตอนนสามารถเลอกตอบขอ 2. ไดเลยทนท โดยดจากความชน)

เสนตรง L มความชน 45 และผานจด (4,6)

จะมสมการเปน 4y 6 (x 4)5

หรอแจกแจงไดเปน 4x 5y 14 0 ตอบ

(219) จดโฟกสอยบนเสนตรง x 1 และผาน จด (1, 1) ..กแปลวาเปนไฮเพอรโบลาเปดบนลาง และมจดยอดท (1, 1) ดงนนสมมตใหจดศนยกลางเปน C(1, k) แกนตามขวางยาว 52 หนวย แสดงวา 5a 4

ไดสมการเปน 2 2

216(y k) (x 1) 125 b

แทนคาจด (1, 1) ลงไป จะได 216(1 k) 125

9k 4 หรอ 14

แทนจด (2, 3) ลงไป ได 2 2

216(3 k) (2 1) 125 b

พบวาจะแกสมการไดเมอ 1k 4 เทานน

และได 2 25b 144

สมการ H คอ 2 216(y 1/4) 144(x 1) 125 25

แจกแจงไดวา 2 2116(y ) 144(x 1) 254 ตอบ


2 24(x 2x 1) (y 2y 1) 1 4 1

2 24(x 1) (y 1) 4 2 2(x 1) (y 1) 11 4

มคา a 1 , b 2 , c 1 4 5

จากสมบตของไฮเพอรโบลา จะได 1 2FP F P 2a 2 .....(1) และ 1 2FPF เปนสามเหลยมมมฉาก

จงได 2 21 2(FP) (F P) 2c 2 5 .....(2)

แกระบบสมการได 1FP 4 หนวย และ 2F P 2 หนวย

..พนทสามเหลยม 1 (4)(2)2 4 ตร.หนวย ตอบ


2 29(x 2x 1) 4(y 4y 4) 43 9 16

2 29(x 1) 4(y 2) 36 2 2(x 1) (y 2) 14 9

เปนไฮเพอรโบลาเปดซายขวา จดศนยกลาง (1,2) คา a 2 ..ดงนนจดยอดคอ P(3,2) และ Q( 1,2)

ใชสตรหามมระหวางเสนตรง จากความชน

นนคอ OQ OP

OQ OP

m mˆtanO 1 m m

( 2) (2/3) 81 ( 2)(2/3)

ตอบ

(สตรนตองใชมมคามาก ลบดวยมมคานอย เทานน)

kanuay

Pencil

kanuay

Pencil


19. โจทยปญหาทเปนสมการเอกซโพเนนเชยล มกจะเกยวกบจานวนสงมชวต ปรมาณเงน หรอปรมาณสาร ซงจะเปลยนแปลงโดยการคณดวยคาคงทซาๆ ทกชวงเวลาทแนนอน (ไมวาจะเพมหรอลดกตาม) • สมการในรป xy a b ตวแปรแตละตวมความหมายดงน.. a คอปรมาณขณะเรมตน, b คอสดสวนการคณในแตละครง, x คอจานวนครงของการคณ, และ y คอปรมาณทเปนผลลพธ ตวอยาง ฝากเงน 500 บาท โดยไดรบดอกเบยไตรมาสละ 2% เมอเวลาผานไปหนงปครง (รบดอกเบย 6 ครง) จะมเงนเทากบ 6y 500(1.02) 563.08 บาท

** ถาคณใหเพมขน b ตองมากกวา 1 (เชนการไดรบดอกเบย, การขยายจานวนประชากร) แตถาคณใหลดลง b ตองนอยกวา 1 (เชนปรมาณสารลดลงเรอยๆ)

ตวอยาง สารเคมชนดหนงจะสลายตวอยตลอดเวลา โดยความเขมขนของสารจะลดลงกวาเดม 10% ในทกๆ วน ถาหากเวลาผานไป 3 วนสารลดความเขมขนลงเหลอ 50 หนวย แลว สารนมความเขมขนขณะเรมตนเทากบกหนวย

จากสมการ xy a b ..ในทนไมทราบคา a แตทราบวา b 1 0.1 0.9 (หรอคณ 90% นนเอง) และ x 3 วน, y 50 หนวย

จงแทนคาไดวา 350 a(0.9) ..ดงนน 350 50a 68.60.729(0.9) หนวย

แสดงวา สารนมความเขมขนขณะเรมตน 68.6 หนวย 20. ฟงกชนขนบนได เปนฟงกชนทประกอบขนจากสวนของเสนตรงในแนวนอน หลายๆ เสน (นนคอคา y จะมคาคงท ในชวง x แตละชวง) • พบในอตราคาธรรมเนยมของบรการตางๆ เชน ไปรษณย, รถโดยสารปรบอากาศ, รถไฟ, รถแทกซ ฯลฯ ..ซงเปนตารางทระบคา x เปนชวงๆ แตคา y เปนคาคงท ตวอยาง กาหนดตารางแสดงคาบรการไปรษณยภายในประเทศ (ประเภทสงตพมพ) ดงน

ถาให x แทนนาหนก และ y แทนอตราคาบรการ กราฟของฟงกชนนจะมลกษณะเปนขนบนได ดงตอไปน

พกดนาหนก (กรม) อตรา (บาท) ไมเกน 50 กรม เกน 50 แตไมเกน 100 เกน 100 แตไมเกน 250 เกน 250 แตไมเกน 500 เกน 500 แตไมเกน 1,000 เกน 1,000 แตไมเกน 2,000

2 3 4 6 10 16

kanuay

Pencil

คณต มงคลพทกษสข ความสมพนธและฟงกชน 333

13. โดเมนของฟงกชนพชคณตระหวาง f และ g ตองคดจาก f g f gD D D เทานน (โดยเครองหมาย หมายความถง , , , ) ซงในกรณหาร จะตองมเงอนไขวา g(x) 0 ดวย

ตวอยาง ถา x 3f (x) x 1

และ 2

2x 3x 2g(x) x 9

ใหหา fgD

เนองจาก fD { 1}R และ gD {3, 3} R ดงนน fg f gD D D { 1, 3, 3}R

** ไมควรคดโดยหา fg ออกมากอน เพราะเงอนไขอาจหกลางกนหายไปได

..เชนในตวอยางน 2

2x 3x 2x 3 x 2(fg)(x) x 1 x 3x 9

ถาคดเชนนจะไดโดเมนเปน { 3} R เทานน ซงผด! หมายเหต ในตวอยางนถาตองการหา f gD กบ f gD กไดคาตอบเหมอนกบ fgD ..แตถาตองการ f / gD จะมเงอนไขเพมเตมวา g(x) 0 ดวย

นนคอ x 1, 2 ดงนน f / gD {3, 3, 1, 2}R

kanuay

Pencil


34. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2523] ;Þ ถา A B เซตของจานวนจรง และ f {(x, y) A B | y x 2 } ขอความใดถกตองทสด 1. f เปนเพยงความสมพนธ ไมใชฟงกชน เพราะคา x มากกวาหนงคา ใหคา y เทากน 2. f เปนฟงกชน แตไมใชฟงกชน 1 1 เพราะเมอลากเสนขนานกบแกน x เสนนนจะตดกราฟของฟงกชนมากกวาหนงจด 3. f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B เพราะจานวนสมาชกของ A และ B เทากน 4. ถกทงขอ 2. และขอ 3. ดงนน f ไมใชฟงกชนชนด “หนงตอหนงทวถง” 5. ไมมคาตอบใดถกตอง 35. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2527] อนเวอรสของความสมพนธในขอใดตอไปนเปนฟงกชน 1. {(x, y) A A | y x } , A {1, 2, 3} 2. 2{(x, y) | x y 1} R R 3. {(x, y) | y x 2 } R R 4. {(x, y) B B | y x 2 } , B { 2, 1, 0, 1, 2} 36. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2522] ;Þ f เปนฟงกชน 1 1 จากเซต A ไปทวถงเซต B ขอความในขอใดตอไปนถก 1. A และ B มจานวนสมาชกเทากน 2. A มจานวนสมาชกมากกวา B 3. B มจานวนสมาชกมากกวา A 4. A B 5. จากขอมลทกาหนดให เปรยบเทยบกนไมไดระหวาง A และ B 37. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2526] ;Þ กาหนดให A {1, 2} ขอความในขอใดตอไปนถกตอง 1. จานวนของความสมพนธทงหมดจาก A ไป A เทากบ 4 2. จานวนของฟงกชนทงหมดจาก A ไป A เทากบ 4 3. จานวนฟงกชนคงทจาก A ไป A เทากบ 1 4. อนเวอรสของแตละฟงกชนจาก A ไป A ไมเปนฟงกชน 38. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2539] ;Þ ถาเซต A มสมาชก 10 ตว แลวจานวนทงหมดของความสมพนธจาก A A ไป A เทากบขอใดตอไปน 1. 1002 2. 10002 3. 2100 4. 21000

เฉลย 30. 2 31. 3, 4 32. 4 33. 4 34. 2 35. 3 36. 1 หรอ 5 37. 2 38. 2

kanuay

Pencil


69. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2521] ;Þ

กาหนดให f(x) 3x , 2g(x) x 1 และ 2x 2 เมอ x 0h(x) 2x 3 เมอ x 0

>

จะไดวา f (h g)(1) มคาเทากบเทาใด 1. 3 2. 5 3. 6 4. 10 70. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2541] ให 1f(x) x 1

โดยท x 1

ถา I เปนฟงกชนเอกลกษณ และ g (f f)(f I) แลว g(x) เทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. 2(x 1)

(x 2)

3. 2(x 1) x

(x 2)

4. 2(x 1) x

(x 2)

71. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2533] กาหนดให f และ g เปนฟงกชนจากเซตของจานวนจรง R ไปยง R

โดย xf(x) 2 และ 21 ถา x 1g(x) x 20 ถา x 1

<

ถา n เปนจานวนเตมบวกทมคานอยทสดททาให (g f)(n) 0 แลว n เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 72. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2524] กาหนด 2f {(x, y) | y x 1 } และ 2

1g {(x, y) | y }1 x

ขอตอไปนขอใดถกตอง

1. 12

y(f g) {(x, y) | x }1 y

2. 2xf g {(x, y) | y }

1 x

3. 1(g f)(x) x

4. 1 221g {(x, y) | x 1 }y

5. g/ fD [1, ) 73. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2523] พจารณาขอความตอไปน (1) ถา 3 3f(x) a x เมอ x 0 แลว ดงนน f f f f (x) x

(2) ถา 2xf(x) x และ g(x) x สาหรบ x R ดงนน f และ g เหมอนกนทกประการ

(3) ถา f(x) x สาหรบ x R ดงนน 1f เปนฟงกชน และ 1f f ขอความใดถกตองทสด 1. มขอทถกตองเพยงขอเดยว 2. มขอทถกตอง 2 ขอ คอ (1) และ (2) 3. มขอทถกตอง 2 ขอ คอ (1) และ (3) 4. มขอทถกตอง 2 ขอ คอ (2) และ (3) 5. ตงแตขอ (1) – ขอ (3) ถกตองทกขอ เฉลย 63. 1 64. 1 65. 3 66. 4 67. 1 68. 5 69. 1 70. 4 71. 3 72. 1 73. 3

kanuay

Pencil


x 2 O

y

(2,4) y = 2x

x = 2

A x 2 O

y

y = 4

x = 2

4

y/2 = x

B

x 3 O

y

3

y = x – 3

เฉลยวธคด (1) แยกกรณเพอถอดคาสมบรณออก.. ถา x 0, y 0> > จะไดสมการ x y a ถา x 0, y 0> จะไดสมการ x y a ถา x 0, y 0 > จะไดสมการ x y a และถา x 0, y 0 จะไดสมการ x y a ซงนามาประกอบกนทง 4 ควอดรนต ได ขอ 1.

(2) ขอนควรพจารณาดวยกราฟ พจารณาฟงกชน f; 2y 4 x

2 2y 4 x 2 2y x 4 เปนครงวงกลม (คา y หามตดลบ) รศม 2 หนวย เขยนกราฟรวมกบ g และ h ไดดงรป ขอ 1. (f g) {(2, 0)} ดงนน (f g) h ..ขอนเปนเซตวาง

ขอ 2. (f g) h {(2, 0)} h ..เปนฟงกชน และไมใชเซตวาง ตอบ ขอ 2.

ขอ 3. (f h) {( 2, 0)} (f h) g {( 2, 0)} g ..ไมเปนฟงกชน เพราะใน g ม ( 2, 4) ดวย

ขอ 4. (f g) h คอรปกราฟทงหมด ..ไมเปนฟงกชน เพราะในชวง x 2 จะใหคา y หลายคาพรอมๆ กน

(3) 1r มอสมการเปน 2 2x y 2 < นนคอวงกลมรศมนอยกวาหรอเทากบ 2 หนวย จดศนยกลางอยท (0,0) 2r มอสมการเปน y x> นนคอกราฟรปตววมมฉาก หงาย จดยอดอยท (0,0) และแรเงาดานใน พนท 1 2r r ตรงกบรปใน ขอ 4.

(4) ขอนควรพจารณาดวยกราฟ

ขอ 1. A (B C) A C {(0, 4)} ถก ขอ 2. A B ถก ขอ 3. (B A) C C เพราะใน B A ไมมจด (0, 4) อย ขอ 3. ผด ขอ 4. C B ถก

(5)

เมอเขยนกราฟกจะเหนวา A B ตอบ ขอ 1.

(6) เมอเขยนรปตามทโจทยอธบาย จะเปนดงน ตอบ ตรงกบความสมพนธในขอ 1.

2 -2

-2

f g h

B

0 4 -4

4 A 4

4 -4

-4

C

4 -4

4

kanuay

Pencil


1

-1 x y 1

2y x

(7) ขอ 1. ถก ..พจารณาจากกราฟไดดงน จากกราฟพบวา พนทไมซอนทบกน ดงนนเซตในขอน เปนเซตวาง

ขอ 2. ผด ..มจดรวมกน 1 จดคอ (0,2) (ไดจากการแกระบบสมการหาจดตดของ 2 เสนตรง) นนคอ เซตในขอนเทากบ {(0,2)}

ขอ 3. ผด ..เชนจด (0.49, 0.50) เปนจดทอยในทงสองเซต (เพราะ 0.50 0.49 และ 0.50 0.49 )

ขอ 4. ผด ..เชน (1, 2) เปนจดทอยในทงสองเซต

(8) จากสมการ 2 2x y 04 9

จะได 2 29x 4y 0 (3x 2y)(3x 2y) 0 นนคอ 3x 2y หรอ 3x 2y

(เปนสมการเสนตรง 3y x2 กบ 3y x2 )

ขอ 2. ถาเราเลอกให 23r {(x, y) | y x }2

กจะไดวา 2r r จรงๆ และเปนฟงกชนจาก R ไปทวถง R จรงๆ ..ดงนน ขอ 2. ถก

ขอ 1. 1r คอเสนตรง 2y x3 กบ 2y x3

ถาเราให 12r {(x, y) | y x }3 กจะได 1

1r r

และเปนฟงกชนจาก R ไป R จรงๆ ..ขอ 1. ถก

ขอ 3. ผด สามารถกาหนด 3r ทเหมาะสม เพอให 1

3r เปนฟงกชนได

เชน 33r {(x, y) | y x , 1 x 1}2 < <

ขอ 4. ถก ..เปนเสนตรงสองเสนตดกนท (0,0) ขอ 5. ถก ..เพราะสมการของ 4r ทใหมา

จะเปน 3232

x เมอ x 0y x เมอ x 0

>

(9) โดเมนของ 1r คอ x 3> โดเมนของ 2r คอ x 0< ดงนน 1 2r r และ 2 1r r แนนอน (ขอ 1. และ 2. ผด)

และพบวาโดเมนของ 11r คอ R

โดเมนของ 12r คอ x 3>

ดงนน ขอ 3. และ 4. อาจเปนไปไดทงค

แตขอนเขยนกราฟเพอพจารณาไมสะดวก จงใชวธเลอกจดมาตรวจสอบ เพอตดขอทผดทงไป พบวา 1(4, 0) r แต 1

2(4, 0) r แสดงวาขอ 3. ผด ..จงตอบ ขอ 4.

(10) เขยนกราฟของเซต A และ B ไดดงน ดงนนเซต A ' B และ A ' B มกราฟเปนดงน จากรปกราฟพบวา A ' B ไมมจดตาสดและสงสด ดงนน ขอ 1. และ 2. จงผด ..สวน A ' B มจดตาสดเปน (0, 3) ดงนนขอ 4. จงผด ตอบ ขอ 3.

หมายเหต การหาจดในขอ 3. ทาไดโดยแกระบบสมการเพอหาจดตดระหวาง พาราโบลา 2y x 3 และเสนตรง 2y x 3 ..หรออาจตรวจสอบโดยทดลองแทนคา 3 3( , )2 4 ท

ใหมา ลงในทงสองสมการ วาสอดคลองจรงหรอไม

-3 -3/2 3

B

A 33

kanuay

Pencil


(18) rD คดจาก 2 29 x 0 x 9 0 > < ..ดงนน rD [ 3, 3]

rR เรมคดจาก 2x 0> เสมอ 29 x 9 < 20 9 x 3 < < ..ดงนน rR [0, 3]

1sR คอ sD คดจาก 2x 9 0 (หามเปน 0)

..ดงนน 1sR ( , 3) (3, )

1sD คอ sR เรมคดจาก 2x 9 0 2

21x 9 0 0

x 9

..ดงนน 1sD (0, )

ขอ ก. จาก 1r sD R ก. ถก

ขอ ข. จาก 1r sR D [0, ) ข. ผด

(19) หา A; จาก 2 2y 1 x ดงนนมเงอนไขวา 21 x 0 > นนคอ 2x 1 1 x 1 < < < ..แสดงวา A [ 1, 1]

หา B; จาก 21y 1 x 1

2 1x 1 y 1

2 1x 1y 1

ดงนนมเงอนไขวา 1 1 0y 1 >

นนคอ y 0y 1

> y 0y 1

<

..แสดงวา B ( 1, 0]

A B { 1} (0, 1] ตอบ ขอ 2.

(20) จดรปสมการไดวา 24 2 y(x 1) 4

2 4(x 1) 42 y

ดงนนเงอนไขคอ 4 4 02 y

> เสมอ

4 8 4y 02 y

> 4(y 3) 0y 2

>

..นนคอ rR ( ,2) [3, ) ตอบ

(21) ความสมพนธในขอนมกราฟเปนรปวงร จงจดรปไดดงน..

2 29(x 2x 1) 4(y 4y 4) 11 9 16

2 2(x 1) (y 2) 14 9

..เปนวงรแนวตง

จดศนยกลางอยท (1, 2) , คา b 2 , คา a 3 ..ดงนน rD [1 2, 1 2] [ 1, 3] และ rR [ 2 3, 2 3] [ 5, 1]

ตอบ r rD R [ 1, 1]

(22) หาโดเมน จากสมการ 22

1 xy 1 x

จะไดเงอนไขภายในรท วา 21 x 0 > (เพราะตวสวน 21 x 0 เสมออยแลว) ดงนน 2x 1 1 x 1 < < < rD [ 1, 1]

หาเรนจ (เพราะ 1 rrD R นนเอง)

จดรป 2

2 2 2 2 22

1 xy y x y 1 x1 x

2

2 2 2 2 22

1 yx x y 1 y x 1 y

ดงนนเงอนไขคอ 2

22

1 y 0 1 y 01 y

> >

นนคอ 2y 1 1 y 1 < < < แตอยาลมวามการยกกาลงสองเอง ตองมองเงอนไขรทในโจทย คอ y 0> ดวย 1rD [0, 1]

ตอบ ขอ 2.

(23) ขอ ก. ให y 4 ดวามคา x หรอไม..

22x 44 4 x 8 x 4x 2

2x 4 x 4 0 ถา x A จะไดสมการเปน 4A 4A 4 0 ซงถาลองแยกตวประกอบ (ทเปนจานวนจรง) สมการนจะแยกไมได แสดงวาไมมคา x ทสอดคลอง ขอ ก. ผด

ขอ ข. เนองจาก 1 rrR D จงหาไดโดยเงอนไข

x 2 0 (ตวสวน) และ x 0> (ในรท) x 2 x 4 ..จะได [0, 4) (4, )

ขอ ข. ถก ตอบ ขอ 3.

kanuay

Pencil


(24) หา fR ; กรณ 2 x 3 < < จะได 0 x 3< < 0 f(x) 6< < และกรณ 3 x 8 จะได 2 f(x) 3 fR [0,6] ( 2, 3) ( 2,6]

หา 1 ggD R ;

กรณ 2 x 0 < จะได 4 g(x) 2 < กรณ 0 x 4 < จะได 0 4 x 4 < 0 g(x) 2< นนคอ 1 ggD R ( 4, 2] [0,2)

ตอบ A B' A B ( 2, 0) [2,6] (ขอ 1.)

(25) 2y x 2x 2 เปนสมการพาราโบลา ทมจดยอดเปนจดตาสด

อยท bx 12a

เขยนกราฟไดดงรป

ดงนน fR [ 3,6] ขอ (1) ถก, (2) ผด

..และถาเปลยนโดเมนเปน [ 1, 1) ฟงกชน h และ 1h จะเปนฟงกชน 1–1 จรง เพราะไมมการวกกลบแลว ขอ (3) ถก

ตอบ ขอ 4.

(26) เขยนกราฟของ r ไดดงน

ตอบ 1 rrR D ( , 0] [2, )

(27) 1r ; อสมการคอ 2x (y 2) < 2r ; อสมการคอ 2 0y x e 1 >

..นนคอ 2y x 1 > 2x y 1 < กบ 2y x 1 < 2x y 1 > ดงนนกราฟของ 1 2r r เปนดงรปดานขวาน..

แกระบบสมการหาพกดจด A, B ไดเปน 3 1( , )2 2

เรนจของ 1 2r r คอ 1( , ] [1,2]2 ตอบ

(28) จดรปสมการ 2 2y x 2x 3

2 2 2 23 x 2x y 3 1 (x 2x 1) y 2 2(x 1) y 14 4

เปนไฮเพอรโบลาทมจดศนยกลางท ( 1, 0) และ a b 2 (นนคอเสนกากบตงฉากกน) วาดกราฟไดดงรป แตโจทยบอกวา x y> ดวย จงม เพยงเสยวขวาเทานน ..จดตด (3/2,3/2) ในรป หาไดโดยแกระบบสมการ

ดงนน rD [1, ) และ r3R ( , ]2

ตอบ ก. ถก, ข. ผด

(-1,-3)

(-3,1) (2,6)

-1

r1 2

r2 1 -1

(1,0)

(3/2,3/2) (-1,0)

x=y

(0,0)

(2,4)

2y x y 2x

A 1 -1

2

B

kanuay

Pencil

kanuay

Pencil


O

2

3

5 (3,5)

(4,0)

4

x+y-4=0

x-y+2=0

(29) จดรปอสมการ 2 2x y 2x 6y 8 < 2 2(x 2x 1) (y 6y 9) 8 1 9 <

2 2(x 1) (y 3) 0 < ดานขวาเปน 0 จงไมใชไฮเพอรโบลา แตเปนเพยงเสนตรงสองเสนตงฉากกน คอ (x 1 y 3)(x 1 y 3) 0 <

(x y 2)(x y 4) 0 <

ในชวง 0 x, 0 y 5< < < จะเขยนกราฟแรเงาไดดงรป

rD [0, 4] ก. ผด

และถา (3, c) r แลว c ไมจาเปนตองเปน 5 กได ..ดงนน ข. ผด ตอบ ขอ 4.

(30) ก. rD ; (เงอนไขคาสมบรณ) 21 0x 1

>

1 0(x 1)(x 1)

>

ดงนน rD ( , 1) (1, ) ขอ ก. ถก

ข. 1 221 1r ; x y 1 xy 1

2 1 x1y 1 yx x

..ซงไมเหมอนกบ 1 xx

ขอ ข. ผด

[เพราะ x มไดทงคาบวกและลบ เชน ถา x 0.5 สองแบบนจะไดคาไมเทากน]

ตอบ ขอ 2.

(31) ขอ 1. คอ 1r {(1, 1),(4,2)} ขอ 2. คอ 2r {(1, 1),(2, 4)}

ตวเลอกทกขอถอเปนฟงกชน แตขอ 1, 2, และ 5. นน อนเวอรสกเปนฟงกชนดวย จงไมใชขอทถก..

ขอทเปนคาตอบคอ ขอ 3. และ 4. เพราะม (1,1) กบ (4,1) อยในเซตเดยวกน อนเวอรสจงไมเปนฟงกชน

(32) “อนเวอรสไมเปนฟงกชน” แปลวา ฟงกชนนไมเปนฟงกชน 1–1

ขอ 1. 1 3{(2, 1),(5, 0),(6, ),(7, ),(8, 1)}2 2

ขอ 2. {(2, 0),(5, 3),(6, 4),(7,5),(8,6)} ขอ 3. {(2, 4),(5,5),(6, 12),(7,21),(8, 32)} (ทงสามขอแรกลวนเปนฟงกชน 1–1)

ขอ 4. {(2,2),(5, 1),(6,2),(7, 3),(8, 0)} ไมเปนฟงกชน 1–1 ตอบ ขอ 4.

(33) เซต A; 28 x 2 8

26 x 10 ดงนน A { 3, 2, 1, 0, 1,2, 3}

เซต B; x 1 0x

ดงนน B ( , 1) (0, )

และจะได A B { 3, 2, 1,2, 3}

ฟงกชนจาก A B ไป B จะตองมโดเมนเปน A B (ขอ 2. กบ 4.) และจะตองมเรนจเปนสบเซตของ B ดวย นนคอ ขอ 4. เทานน

(34) ขอ 1. ไมใช เพราะการเปนฟงกชนนน.. x หลายคาให y เทากนกได ไมผดกฎแตอยางใด!

ขอ 2. ถก (ดรปประกอบ)

ขอ 3. ไมใช เพราะในขอน y 2 ไมได จงไมทวถง B (สวนเหตผลทวาจานวนสมาชกเทาหรอไมนน ไมเกยวกบการเปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B เลย..)

ขอ 4. ผด (เพราะขอ 3. ผด)

(35) ขอ 1. {(1,2),(1,3),(2,3)} อนเวอรสไมเปนฟงกชน เพราะอนเวอรสจะม (3,1) กบ (3,2) อย..

ขอ 2. อนเวอรสคอ 2y x 1 2 1y x ไมเปน

ฟงกชน เชน ม 1(4, )2 กบ 1(4, )2 อย..

x

y

2

kanuay

Pencil


(68) ขอ 1. ผด ..เพราะ 21(f g)(x) 6(x 3)

ซงไมเทากบทโจทยใหมา

ขอ 2. ผด

..เพราะ 2 21 1(g f)(x) (x 6) 3 x 3

ซงไมเทากบทโจทยใหมา

ขอ 3. ผด ..คดจาก 2x 0> เสมอ จงได f(x) 6> เสมอ ดงนน fR [6, )

ขอ 4. และ 5. ..หาเรนจไดจาก 1x 3y

ดงนน y 0 นนคอ gR {0} R

ตอบ ขอ 5. ถก

(69) จาก 2g(1) 1 1 2 ดงนน (h g)(1) h(g(1)) h(2) 2(2) 3 1 และ f (h g)(1) f(1) 3(1) 3 ตอบ

(70) I เปนฟงกชน “เอกลกษณ” หมายความวา I(x) x (คาทไดเทากบตวแปรตนทใสเขาไป)

1(f f)(x) 1( ) 1x 1

x 11 x 1

x 1

x 2

และ 1(f I)(x) xx 1

2x x 1x 1

จะได 2x 1 x x 1g(x) ( )( )x 2 x 1

2x x 1x 2

2(x 1) x

x 2

ตอบ

(71) ถา n เปนจานวนเตมบวก ยอมได

nf(n) 2 เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1 เสมอ ดงนน (g f)(n) จะพจารณาทเงอนไขลางของ g เทานน นนคอ 2n(g f)(n) 2 20

ตองการ (g f)(n) 0 ..จะได 2n2 20 0 2n2 20 พบวาคา n ทนอยทสดทใชไดคอ n 3 ตอบ

(72) ขอ 1. และขอ 2.

หา f g ; 21(f g)(x) 11 x

2 22 2 2

x1 1 x x1 x 1 x 1 x

ขอ 2. ผด

และ ขอ 1. ถก เพราะถา f g คอ 2xy

1 x

กยอมได 1(f g) เปน 2yx

1 y

ขอ 3. ผด 2 21 1(g f)(x)

1 (x 1) 2 x

ซงไมเทากบทใหมา

ขอ 4. ผด ตองเปน 12

1g {(x, y) | x }1 y

หรอจะไดวา 1 22

1g {(x, y) | x }1 y

ขอ 5. จาก g/ f g fD D D โดยท f(x) 0

หา gD ; 2 2g1 x 0 x 1 D ( 1, 1)

หา fD ; 2 2x 1 0 x 1 > > fD ( , 1] [1, ) พบวา g fD D (ขอ 5. ผด)

(73) ขอ (1) จาก 3 3f (x) a x

จะได 33 33f f (x) a (a x ) x x

3 3f f f (x) a x และ f f f f (x) x (ขอ (1) ถก)

ขอ (2) ไมเหมอนกน เพราะ f(x) x ไดเมอ x 0 เทานน ..สวนท x 0 นน f(x) ไมนยาม (ขอ (2) ผด)

ขอ (3) จาก y x จะไดอนเวอรสเปน y x เชนกน ..ดงนน 1f (x) x f(x) (ขอ (3) ถก) ตอบ ขอ 3.

kanuay

Pencil

371

(74) แยกกรณเพอถอดคาสมบรณ ถา x c จะได (f g)(x) x 2c ถา x c จะได (f g)(x) x เขยนกราฟเปนรปตววหงาย จดยอดอยท (c,-c) ในควอดรนตท 2 (เพราะกาหนดมาวา c ตดลบ) ขอ 1. (f g)(x) ไมมทางเปน x แนนอน เพราะกราฟนไมตดกบเสนตรง y x (ขอ 1. ถก)

ขอ 2. จากกราฟจะเหนชดเจนวา f+g ไมเปนฟงกชน 1–1 ขอ 2. ผด

ขอ 3.

f gD R (ขอ 3. ถก)

ขอ 4. เนองจาก f+g ไมเปนฟงกชน 1–1 ดงนนอนเวอรสของ f+g กยอมไมเปนฟงกชน (ขอ 4. ถก)

(75) หาคา 1(f g)(3) ; จาก g(3) 3 3 ดงนน 1 1(f g)(3) f (3)

ให x 3 32

จะได x 3 ..แสดงวา f(3) 3

1f (3) 3 ..ดงนน 1(f g)(3) 3

หาคา 1(f g)(2) ; จาก g(2) 2 2 ดงนน 1 1(f g)(2) f (2)

ให x 3 22

จะได x 1 แสดงวา f(1) 2

1f (2) 1 ..ดงนน 1(f g)(2) 1

ตอบ คาทตองการคอ 3 1 23 2

(76) f {(1, 1),(2, 3),(3, 4),(4,5)} ดงนน 1f {(1, 1),(3,2),(4, 3),(5, 4)}

ขอ 1. 1f f {(1, 1),(2,2),(3, 3),(4, 4)} ไมเปนฟงกชนจาก A ไป B (เพราะ 2 B ) ขอ 2. f f {(1, 1),(2, 4),(3,5)} ไมเปนฟงกชนจาก A ไป A (โดเมนใช A ไมครบ) ขอ 3. (ผลจากขอ 1.) เปนฟงกชนจาก A ไป A จรงๆ ..ดงนน ขอ 3. ถก ขอ 4. 1f f {(1, 1),(3, 3),(4, 4),(5,5)} ไมเปนฟงกชนจาก B ไป A (เพราะ 5 A )

(77) จาก (f g)(x) (g f)(x)

นนคอ 2 24 x 1 4x 1

8 2 8(4x 1) 2(x 1)x 1 4x 1

30x 6 ..ดงนน x 0.2 ตอบ

(78) จาก g(k) 5 f(k) 2 5 f(k) 3

และเนองจาก 22 , k 1

f(k) (k 1) , 1 k 2k 1 , k 2

ลองแทนคาจานวนเตม k ไลไปเรอยๆ กรณบน f(k)=2 เสมอ จงไมมากกวา 3 อยแลว กรณกลาง ถา k 0 ได f(0) 1 , ถา k 1 ได f(1) 0 แสดงวาไมม k ทใชไดเลย กรณลาง ถา k 2 ได f(2) 3 , ถา k 3 ได f(3) 4 จานวนเตม k ทนอยทสดททาให f(k)>3 คอ 3 และจะได (g f)(3) g(4) f(4) 2 7 ตอบ

(79) ถาให 3x 2 2 จะได 4x 3

นนคอ 4f( ) 23 ..ดงนน 1 4f (2) 3

ถาให 42x 7 3 จะได 17x 6

นนคอ 17 4g( )6 3 ..ดงนน 1 4 17g ( )3 6

ตอบ 1 1 1 4 17(g f )(2) g ( )3 6

(80) หา 1g (7) โดยให 3 2x 3x 3x 9 7

3(x 1) 8 7 3(x 1) 1 (x 1) 1 x 2

g( 2) 7 ..จะได 1g (7) 2 ตอบ 1(f g )(7) f( 2) 1

kanuay

Pencil


ขอ 2. ถก เพราะได gof fD D [0, ) แต fogD R

ขอ 3. ถก ..แสดงวธคดไดดงน

2 2(f g)(x) (g(x)) 4(g(x)) 3 (g(x) 2) 1 ซง g(x) 0> เสมอ 2(g(x) 2) 0 > เสมอ ดงนน fogR [ 1, )

(g f)(x) f(x) ซง 2f(x) (x 2) 1

f(x) 1 > เสมอ f(x) 0 > เสมอ

ดงนน gofR [0, )

ขอ 4. ถก เนองจาก f(1) 1 , g(1) 1 แสดงวา 1f (1) 1 , 1g (1) 1 ดวย จงทาให 1 1f g (1) 1 และ 1 1g f (1) 1 เทากน

(111) (g h)(x) 2 h(x)

ดงนนมเงอนไขวา h(x) 0> เทานน

..แสดงวา 2x 25 2x 0 >

ซงรทยอมมากกวาหรอเทากบ 0 เสมออยแลว goh hD D f gD D ไดเลย

fD คดจาก 2x 25 0 > fD ( , 5] [5, )

gD คดจาก 2x 0> gD [0, )

ตอบ gohD [5, ) (ขอ 1.)

(112) h gof fg gof f gD D D D D D

๏ fD R (เพราะ x เปนอะไรกได) ๏ gD { 1, 1} R (เพราะสวนหามเปน 0)

๏ gofD ..หาจาก 21(g f)(x) 1 (f(x))

f(x) 1 กบ 1 2x 2x 1 1 กบ 2x 2x 1 1

2(x 1) 1 (จรงอยแลว) กบ x(x 2) 0 ดงนน gofD {0, 2} R

ตอบ hD {0, 2, 1, 1} R (ขอ 4.)

(113) หา gofR โดยเรมคดจาก f; 2 2 2x 0 4 x 4 0 4 x 2 > < < <

20 f(x) 2 0 [f(x)] 4 < < < < 25 9 [f(x)] 9 < <

21 1 1

59 9 [f(x)]

< <

1 1(g f)(x) 59 < < ตอบ ขอ 3.

หมายเหต หามนา f ไปใสใน g เปน 21

9 4 x

แลวคอยคด ..เพราะจะทาใหเงอนไขใน f หายไป

(114) หา rD ; จาก g(x)(f g)(x) 10

พบวา g(x) เปนเทาไรกได ดงนน 21 x เปนเทาไรกได ..นนคอในรท 21 x 0 > 2x 1 <

rD [ 1, 1]

หา Rr; เรมจากเรนจของ g ..โดย 2x 0> เสมอ 21 x 1 < เสมอ 20 1 x 1 < <

นนคอ 0 g(x) 1< < แสดงวา 0 110 (f g)(x) 10< <

rR [1, 10] ตอบ ขอ 3.

(115) จาก 2(g f)(x) 100 3(f(x)) เรมคดโดย xf(x) 10 f(x) 0 เสมอ

2 2f(x) 0 3(f(x)) 0 2100 3(f(x)) 100

2gof0 100 3(f(x)) 10 R [0, 10) <

ตอบ จานวนเตมทมากทสด คอ 9

(116) หา fogD พจารณา 2f(x) (x 1)

พบวาโดเมน (x) ของ f เปนเทาไรกได 2(f g)(x) (g(x) 1) g(x) เปนอะไรกได

fogD จงหาไดจาก gD ทนท ..นนคอ fogD [0, )

หา gofR พจารณา f(x) พบวา f(x) 0> เสมอ

(g f)(x) f(x) 1 1 > เสมอ นนคอ gofR [1, ) ตอบ fog gofD R' [0, 1)

kanuay

Pencil

ขอสอบเสรมประสบการณ .. บทท 5

ความสมพนธและฟงกชน 126. [พนฐานวศวะฯ / ม.ค.2547] บรษทผลตกระเปาแหงหนง ถาขายใบละ 40 บาท จะขายได 4000 ใบ ถาขายใบละ 30 บาท จะขายได 8000 ใบ จงสรางฟงกชนเชงเสน f (x) เมอ f (x) เปนจานวนกระเปาทขายได และ x เปนราคาขายตอใบ 1. f (x) 400 x 12000 2. f (x) 200 x 4000 3. f (x) 400 x 20000 4. f (x) 200 x 12000 127. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2543] สามเหลยมรปหนงมพนทเทากบ 2 ตารางหนวย โดยมดานแตละดานยาว x, y และ y หนวย ซงจะไดวา y เปนฟงกชนของ x สมมตวา y f(x) ดงนน f( 8) f(2) f(4) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7 128. [คดโอลมปก / 2534] พนทของอาณาบรเวณทลอมรอบโดยกราฟของ x y 2 เทากบกตารางหนวย 129. [พนฐานวศวะฯ / 2538] จงหาพนททลอมรอบดวยเสนกราฟของสมการ y 1 x 2 และสมการ x 0 1. 2 ตร.หนวย 2. 4 ตร.หนวย

3. 8 ตร.หนวย 4. 16 ตร.หนวย 130. [คดโอลมปก / 2545] กาหนดให 1r {(x, y) | 2 x y 4 } <R R และ 2r {(x, y) | x y 1} >R R พนทของ 1 2r r มคาเทากบกตารางหนวย

เฉลย 126. 3 127. 4 128. 8 129. 2 130. 4/3

kanuay

Pencil


f(x)

x

18 16 14 12 10 8 6 4 2

0 1 2 3

135. [พนฐานวศวะฯ / ม.ค.2548] นกศกษาคณะวศวกรรมศาสตรระดบปรญญาโทคนหนง ตองการซอเลเซอรพรนเตอรสาหรบการพมพวทยานพนธ โดยเลเซอรพรนเตอรเครองนมราคา 15,000 บาท และตลบหมกมราคาตลบละ 2,000 บาท (หนงตลบสามารถพมพเอกสารได 1,000 หนา) แตถาไมซอเครองพรนเตอรจะตองไปจางรานพมพเอกสารในราคาหนาละ 8 บาท ถาหากนกศกษาคนนซอเครองพรนเตอรดงกลาวแลว เขาควรจะพมพเอกสารกหนาจงจะคมคากวาไปจางรานพมพเอกสาร 136. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2547] ให h เปนฟงกชนทเปนคาบ โดยทคาบของ h เทากบ 2 และ h(x) 2x 3 ทก x [ 1, 1) จงหา h(100) 137. [พนฐานวศวะฯ / 2536] ฟงกชน f (x) ของกราฟตอไปน คออะไร 1. xf (x) 2 x 2. 2f (x) 2x 1 3. 2f (x) x x 1 4. 3 2f (x) x 2x 3x 1 138. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2538] ถา 0 p 1< < คาสงสดของ p(1 p) เทากบเทาใด 1. 0 2. 1

3. 12 4. 1

4

5. ไมมคาตอบทถกใหไวในขอ 1. ถง 4. ขางบน 139. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2543] คาสงสดของ 2 2

2 1 2 1(11 )(7 )x x2x 2x เทากบเทาไร และเกดขน ณ จดใด

140. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2547] จากรป จด P มพกดเปน (t, 0) เมอ 110 t 3

เสนตรง PBA ขนานกบแกน y จงหาคาของ t ททาใหสวนของเสนตรง AB มความยาวมากทสด

เฉลย 131. 4 132. 3 133. 100 134. 3 135. 2625 136. -3 137. 4 138. 4 140. 11/6

t p O

B

A y=x(4–x)

y=x/3

x

y

kanuay

Pencil


141. [คดโอลมปก / 2535] ให 2f(x) x 4x 3 คาในขอใดตอไปนมคามากทสด 1. คาตาสดของฟงกชน g(x) f(x) f(x) 2. คาตาสดของฟงกชน h(x) 2f(x) 3. คาสงสดของฟงกชน k(x) f(x) f(x) 4. คาสงสดของฟงกชน p(x) 1 f(x) 142. [คดโอลมปก / 2535] ฟงกชนตอไปน คใดเปนฟงกชนเดยวกน 1. 1f {(x, y) | x y 2 } และ 2

2f {(x, y) | y (x 2) }

2. 2

1x x 1g {(x, y) | y }x 1

และ

32 2

x 1g {(x, y) | y }x 1

3. 1h {(x, y) | xy x 1} และ 21h {(x, y) | x }y 1

4. 11F {(x, y) | y }1 x

และ 2

1 xF {(x, y) | y }1 x

143. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2544] * ขอนอาศยเนอหา “ฟงกชนลอการทม” ดวย ความสมพนธในขอใดตอไปนเปนฟงกชน 1. 1r {(x, y) | x y } R R 2. 2r {(x, y) | xy 0 } R R 3. 2

3r {(x, y) | x ln y } R R 4. 4r {(x, y) | x y 1} R R 144. [คดโอลมปก / 2534] อนเวอรสของความสมพนธใดไมเปนฟงกชน

1. 11r {(x, y) | y x }x R R

2. 22

2r {(x, y) | x 5 8 2y y }3 R R

3. 2 2

3x yr {(x, y) | 1 , xy 0 }4 9 R R

4. 4r {(x, y) | y x x } R R 145. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2546] ให 2 2r {(x, y) | 9y 4x 8x 36y 4 0 } R R จงพจารณาขอความตอไปน ก. r rD R ( , 4) ข. r เปนฟงกชน ขอใดตอไปนถกตอง 1. ขอ ก. และ ข. เปนจรง 2. ขอ ก. เทานนเปนจรง 3. ขอ ข. เทานนเปนจรง 4. ขอ ก. และ ข. เปนเทจ

kanuay

Pencil


f(x)

x

f(x)

x

f(x)

x

f(x)

x

197. [คดโอลมปก / 2549] ถา f : I I เปนฟงกชนทสอดคลองกบ f( 100) 15,000 และ f(n) f(n 1) 3n 2 สาหรบทกจานวนเตม n คาของ f(0) เทากบเทาใด 198. [คดโอลมปก / 2534] กาหนดให

11f(x) 1 x และ n n n 1(f f f )(x) 1 เมอ n เปนจานวนเตมทมากกวา 1

แลว 8 2f (1) f (3) เทากบขอใด 1. 2

11 2. 0 3. 15 4. 1

199. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2544] สาหรบจานวนเตมบวก n กาหนดให n n 1 n 2 n 3 3 2f(n) 1 2 3 4 ... (n 2) (n 1) n

จงหาคาตาสดของ f(n 1)f(n) สาหรบ n 6>

200. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2549] กาหนดฟงกชน f ทนยามบนเซตของจานวนนบดงน

n เมอ n เปนจานวนค2f(n)2n 3 เมอ n เปนจานวนค

จงหาเซตคาตอบของสมการ f(f(n)) 37 201. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2542] กาหนดให f : R R เปนฟงกชน นยามโดย f(a b) f(a) f(b) ทกๆ a, b R และ f(2) 4 จงหา f(0) , f(1) , f( 1) 202. [พนฐานวศวะฯ / ม.ค.2544] ฟงกชน f เปนสบเซตจาก R ไป R นยามวาเปน “ฟงกชนเชงเสน (linear function)” ถามคณสมบตตอไปน (i) f (x y) f (x) f (y) (ii) f (x) f ( x) โดยท เปนคาคงทจานวนจรงใดๆ ขอใดตอไปนเปนฟงกชนเชงเสน 1. 2. 3. 4. เฉลย 190. -29/3 192. 3 193. 702 194. 4 195. 53 196. 3.5 197. 50 198. 1 199. 732/209 200. {7, 34, 148} 201. 0, 2, -2 202. 3

kanuay

Pencil


ส

x

y y

เฉลยวธคด (126) ความชน 8000 4000m 40030 40

(พจารณาจากความชน เลอกตอบขอ 3. ไดทนท)

สรางสมการไดดงน.. y 4000 400(x 40) f(x) y 400x 20000 ตอบ ขอ 3.

(127)

จากทฤษฎบทปทาโกรส จะได 2 2ส y (x/2)

ดงนนพนทสามเหลยม 2 21 (x) y (x/2) 22

ซงถา x 8 จะได 2 22 y ( 2) 2 y 2

ถา x 2 จะได 2 21 y (1) 2 y 5

ถา x 4 จะได 2 22 y (2) 2 y 5

ดงนน f( 8) f(2) f(4) 2 5 5 7 ตอบ

(128) ถอดคาสมบรณโดยพจารณาเครองหมายของ x กบ y ในแตละควอดรนต

ควอดรนตท 1 ไดสมการเปน x y 2 ควอดรนตท 2 ไดสมการเปน x y 2 ควอดรนตท 3 ไดสมการเปน x y 2 ควอดรนตท 4 ไดสมการเปน x y 2

เมอเขยนกราฟ จะไดเปนรป สเหลยมจตรสดงน

และมพนทเทากบ 1 4 42 8 ตารางหนวย

(129) สมการ y 1 x 2 ไดแก (y 1) (x 2) และ (y 1) (x 2) เปนเสนตรงสองเสนกากบาท ผานจด (2, 1) ดงรป

พนท 1 4 22

4 ตารางหนวย ตอบ

(130) เขยนกราฟของ 1r และ 2r ไดดงน

ดงนนกราฟของ 1 2r r เปนดงน

แกระบบสมการหาจดตดทงส ไดเปน 5 2( , )3 3

ดงนนพนทแรเงาเทากบ 4 เทาของสามเหลยมเลกๆ 1 2 44 ( 1 )2 3 3 ตารางหนวย ตอบ

(131) ประเดนสาคญของขอนคอ การถอดคาสมบรณในกรณตางๆ ใหถกตอง ๏ ควอดรนตท 1; x และ y เปนบวกทงค จะไดอสมการเปน (x) (y) (x y) 2 <

x y 1 <

๏ ควอดรนตท 3; x และ y ตดลบทงค จะไดอสมการเปน (x) (y) (x y) 2 <

x y 1 >

O 2

2

-2

-2

2

3

-1

2 -2

4

-4

1 -1

r1 r2

kanuay

Pencil


และตองไมมกราฟบนแกน x, แกน y (เพราะจะทาให xy 0 ) ..ขอนจงสรปไดวา เปนฟงกชน

ขอ 4. อนเวอรสคอ x y y

นนคอ

22

y เมอ y 0x y เมอ y 0

>

เขยนกราฟไดดงรป และถอวาเปนฟงกชน


2 29(y 4y 4) 4(x 2x 1) 4 36 4

2 29(y 2) 4(x 1) 36 2 2(y 2) (x 1) 14 9

เปนไฮเพอรโบลาเปดบนลาง จดศนยกลางอยท (1,2) จดยอด (1, 4) กบ (1, 0) แตโจทยบอกวาเปนความสมพนธจาก R ไป R ดงนนกราฟของความสมพนธนมเพยงโคงบนเทานน (โคงลางไมมจดใดใชไดเลย เพราะ y ทโคงลางไมมากกวา 0)

ขอ ก. r rD R [4, ) ( , 4) R ..จรง ขอ ข. r เปนฟงกชน (เพราะกราฟมเพยงโคงบนเทานน) ..จรง


4 2 2(16x 8x ) (16y 16y) 5 4 2 2116(x x ) 16(y y) 52

4 2 21 1 116(x x ) 16(y y ) 5 1 42 16 4

2 2 21 116(x ) 16(y ) 04 2

2 2 21 1(x ) (y ) 04 2

เปนไปไดเมอทงสองวงเลบเปน 0 พรอมกนเทานน

นนคอ 2 1x 4 และ 1y 2

จะได 1 1 1 1r {( , ),( , )}2 2 2 2

..พบวาเปนฟงกชนซงโดเมนกบเรนจไมเทากน ตอบ ขอ ก. จรง และขอ ข. จรง

(147) พจารณาการหาร x ดวย 9 ..ถา x 3 จะไดเศษ (y) เทากบ 3 ..ถา x 12 จะไดเศษ (y) เทากบ 3 ..ถา x 36 จะไดเศษ (y) เทากบ 0 ดงนน r {(3, 3),(12, 3),(36, 0)} ตอบ อนเวอรสของ r คอ {(3, 3),(3, 12),(0, 36)}

(148) A [ 1, 1] และ B ( , 3] [3, ) ดงนน A B ( , 3] [ 1, 1] [3, )

ขอ 1. หาโดเมนจากเงอนไข x 1 0 x 1 > > และ x 1 0 x 1 ดงนน fD [ 1, 1) (1, ) ..ขอ 1. ผด

ขอ 2. หาเรนจจากสมการ 2y 3 x จะไดเงอนไขวา y 3 0 y 3 > > ดงนน gR [ 3, ) ..ขอ 2. ผด

ขอ 3. แยกตวประกอบได 2 2(x 9)(x 1) 0 > (x 3)(x 3)(x 1)(x 1) 0 >

เขยนเสนจานวนไดชวงคาตอบเปน ( , 3] [ 1, 1] [3, ) .. ขอ 3. ถก

ขอ 4. แยกตวประกอบได x(x 3)(x 1) 0 > เขยนเสนจานวนไดชวงคาตอบเปน [ 1, 0] [3, ) ..ขอ 4. ผด

(149) จากสมการในโจทยคอ 2x 5x 6y x 1

ดงนนจะมเงอนไข 2 สวน คอ (1) 2x 5x 6 0 (x 2)(x 3) 0 > >

x ( ,2] [3, ) และ (2) x 1 0 x { 1} R นาสองเงอนไขทไดมารวมกน (อนเตอรเซค) จะไดโดเมนเปน ( , 1) ( 1,2] [3, ) ตอบ

kanuay

Pencil


(150) จากสมการ 2y x 1

มเงอนไขวา x 1 0 ..นนคอ x 1 และ 1

แสดงวา fD { 1, 1} R

..จดรปสมการไดเปน 2x 1y

จงไดเงอนไขวา 2 1 0y > 2 y 0y

>

แสดงวา fR ( , 2] (0, ) ..ดงนน f fD R ( 2, 0] { 1}

และเนองจากใน f fD R ไมมจานวนเตมบวกเลย จงได A ตอบ จานวนสมาชกของ A เทากบ 0

(151) จากสมการ xy x 1

กรณ x 0> จะได xy x 1

yxy y x x y 1

ดงนน y y0 0y 1 y 1

> <

จงไดเรนจในกรณนคอ f1R [0, 1)

กรณ x 0 จะได xy x 1

yxy y x x y 1

ดงนน y y0 0y 1 y 1

จงไดเรนจในกรณนคอ f2R ( , 1) (0, )

f1 f2A R R ( , 1) [0, ) คาตอบทถกคอขอ 3.

(152) เนองจาก x เปนเทาใดกได ไมมขอหาม (เพราะสวนไมมทางเปน 0 อยแลว) ดงนน fD R

และหาเรนจโดยแยก 2 กรณดงน

กรณ x 0> จะไดสมการเปน xy 1 x

ยายขางไดเปน yx 1 y

ดงนน y y0 0 y [0, 1)1 y y 1

<>

กรณ x 0 จะไดสมการเปน xy 1 x

ยายขางไดเปน yx y 1

ดงนน y 0 y ( 1, 0)y 1

..สรปรวมกน (ยเนยน) ทงสองกรณ จะได fR ( 1, 1)

ตอบ f fD R ( 1, 1)

(153) 1rD กคอ rR ซงหาไดดงน..

กรณ y 0 สมการจะกลายเปน 1 0 ซงเปนเทจ แสดงวา y เทากบ 0 เปนไปไมได

กรณ y 0 จะไดสมการกาลงสอง

ใชสตรชวยในการจดรปไดเปน 2y y 4yx 2y

แสดงวาเงอนไขคอ 2y 4y 0 > y ( , 4] (0, )

1r rR ( , 4] (0, ) D

และ 1rD A { 5, 4, 1,2, 3, 4,5}

มจานวนสมาชกเทากบ 7 ตว

(154) ขอ 2. จดรปสมการเปน 2yx y 4

จะพบวาหา x ไดเสมอไมวา y จะมคาเทาใด (สวนไมมทางเปน 0) ดงนน เรนจของ r คอ R (ขอ 2. ผด) ..จากสมการ 2(x)y (1)y (4x) 0 ถาหาก x 0 จะได y 0 ดวย แสดงวา (0, 0) เปนสมาชกของ r (ขอ 3. ผด)

และถาหาก x 0 จะเปนสมการกาลงสอง

ใชสตรสาเรจชวยจดรป จะได 21 1 16xy 2x

(ดงนน ขอ 4. ผด)

kanuay

Pencil

5 400

หาโดเมนคาอนๆ (นอกจาก 0) ไดจาก

สมการ 21 1 16xy 2x

ในรทตองไมตดลบ.. นนคอ 21 16x 0 216x 1 0 (4x 1)(4x 1) 0

จะได 1 1x4 4 ..ดงนน ขอ 1. ถก

(155) จากโจทย จะได 2xy y x x 1

20 x (y 1)x (y 1)

ใชสตร; 2(y 1) (y 1) 4(y 1)x 2

พบวามเงอนไขรท ดงนนขอบเขตของ y หาไดจาก 2(y 1) 4(y 1) 0

2y 2y 1 4y 4 0 2y 2y 3 0 (y 3)(y 1) 0 fR ( , 1] [3, )

(156) เซต A; จาก xg(x) log( 2 2 ) จะไดเงอนไขวา x2 2 0

x2 2 1x 2

สรปวา g1 1A D ( , )2 2

เซต B; จาก

2

2 2x x 1 xf(x) 1x 1 x 1

กรณ x 0 จะได f(x) 1 กรณ x 0 จะได

1f(x) 1 1x x

ซง 1x x มคาอยในชวง ( , 2] [2, ) เสมอ (เปน 2 เมอ x 1 และมากขนเมอ x เปนจานวนจรงบวกอนๆ, เปน 2 เมอ x 1 และนอยลงเมอ x เปนจานวนจรงลบอนๆ) ดงนน สวนกลบ 1 1 1[ , 0) (0, ]1 2 2x x

และ 1 1 3f(x) 1 [ , 1) (1, ]1 2 2x x

สรปรวมสองกรณ f1 3B R [ , ]2 2

ตอบ ขอทผดคอขอ 3. เพราะใน A' B' มสมาชกชวง 3( ,2]2 อยดวย

(157) 1 1r sx D D กคอ r sx R R หาเรนจของ r; เนองจาก 21 x 1 เสมอ จะได 20 1 x 1

ดงนน 21 x1 10 10 rR [1, 10]

หาเรนจของ s; เศษสวนเทากบ 0 แปลวาเศษเปน 0 จะได 2x 4x y 2 0

2 2y 2 x 4x 4 (x 2) แสดงวา y 2 0 เสมอ.. y 2 ..แตในโจทยมสวนเปน x 2 ดวย แสดงวา x 2 จงได 2y 2 4(2) 2 14

sR ( ,2] { 14}

ดงนน r sx R R [1,2] จะไดพกดจด A และ B เปน (1, 3) กบ (2, 1) ตอบ ระยะ 2 2AB 1 2 5 หนวย

(158) ในขอนเปนอสมการ จงควรพจารณาจากกราฟ

จะได A B มกราฟดงน แกระบบสมการหาจดตดไดเปน

2x x 6 (x 3)(x 2) 0 ดงนนจดตดจดบน จะมคา x 3 นนคอจด (3, 3) จงไดเรนจของ A B เทากบ [ 6, 3] ตอบ เปนสบเซตของขอ 2.

-6

A B

-6

kanuay

Pencil

kanuay

Pencil


ตวอยาง ถงแมวา 33 2sin และ 32

3 2sin (และมมอนๆ อก)

แตคาของ 32 3arcsin เทานน

ถงแมวา 3 14 2cos และ 5 1

4 2cos (และมมอนๆ อก)

แตคา 3142arccos ( ) เทานน

ถงแมวา tan 0 0 และ tan 0 (และมมอนๆ อก) แตคาของ arctan 0 0 เทานน

• การกาหนดชวงของมมดงกลาวใชหลกการวา ฟงกชน arcsin (กบ arctan) จะอยในชวงทคา cos เปนบวกเสมอ สวนฟงกชน arccos จะอยในชวงทคา sin เปนบวกเสมอ.. ตวอยาง คาของ 4 4

5 5sin(arcsin ( ))

เพราะคาวา arcsin(-4/5) หมายความถงมมซงมคา sin เทากบ -4/5 ..ดงนนคา sin ของมมนกตองเปน -4/5

ตวอยาง คาของ 345 5cos(arcsin )

เพราะ arcsin(4/5) กคอขนาดมมซงม sin เทากบ 4/5 ..แมเราไมทราบวาเปนมมขนาดกองศา แตกทราบวาคา cos ของมมนเปน 3/5 แนนอน (คดจากสามเหลยมมมฉาก หรอคดจากเอกลกษณ 2 2sin cos 1 กได)

ตวอยาง คาของ 345 5cos(arcsin ( )) เชนกน

เพราะไมวาจะเปน arcsin อะไร ยอมไดคา cos เปนบวกเสมอ (ฟงกชน arcsin นยามทมมซง cos เปนบวก)

ตวอยาง คาของ 4 45 3tan(arcsin ( ))

(ตดลบเพราะมม arcsin ตดลบนนเปนมมในควอดรนตท 4 ซงคา tan กตองตดลบดวย ..สวนขนาดกคดจากรปสามเหลยมมมฉากนนเอง)

** สรปงายๆ วาสาหรบมม arcsin และ arctan ใดๆ กตาม คา cos ยอมเปนบวกเสมอ (สวนคา sin กบคา tan จะมเครองหมายตามนน) และสาหรบมม arccos ใดๆ กตาม คา sin ยอมเปนบวกเสมอ ตวอยาง ใหหาคาของ 2

3cos (2 arcsin )

เนองจาก 2cos (2A) 1 2 sin A ดงนนถามอง 2

3A arcsin กจะไดวา 22 2 13 3 9cos (2 arcsin ) 1 2( )

kanuay

Pencil

kanuay

Pencil

คณต มงคลพทกษสข ฟงกชนตรโกณมต 425

ตวอยาง ใหหาคาของ 5 4513sin (arccos arcsin( ))

ถาให 513A arccos และ 4

5B arcsin( ) จะไดวา โจทยถามคาของ sin(A B)

ซง sin(A B) sin A cos B cos A sin B ..แทนคาลงไปไดเปน 3 5 1612 4

5 513 13 65( )( ) ( )( )

14. การแกสมการทม arc- มวธการอย 2 แบบ (1) ใสฟงกชน sin, cos, หรอ tan ทงสองขาง (2) ใชสตรของ arctan คอ x y

1 xyarctan x arctan y arctan

(แตบางครงจะใชวธ arctan ไมได คอเมอม arccos ของคาตดลบ เพราะนยามไวคนละควอดรนตกนกบ arctan จงไมสามารถแปลงเปน arctan ได)

** ไมวาจะแกดวยวธใด เมอไดคาตอบแลวจะตองตรวจสอบเสมอ เพราะคาทไดอาจไมใชมมทอยในชวงมาตรฐานของ arc- หรออาจจะทาใหสมการเปนเทจกได ตวอยาง ใหหาคาตอบของสมการ 34

5 5arccos arcsin ( ) arccos x

วธท 1 ใส cos ทงสองขางของสมการ จะได 34

5 5cos (arccos arcsin ( )) x

(จากนนใช cos ( ) cos cos sin sin ) นนคอ 3 34 4

5 5 5 5( ) x ..ดงนนคาตอบของสมการคอ 725x

วธท 2 แปลงเปน arctan เพอใชสตร จะได 3 3

4 4arctan arctan( ) arccos x

นนคอ 3 34 4

3 34 4

( ) ( )arctan arccos x1 ( )( )

คดเลขไดเปน 247arctan arccos x

ดงนน (จากสามเหลยมมมฉาก) จะไดคาตอบ 725x

ตวอยาง ใหหาคาตอบของสมการ 1

5arctan (2x 1) arctan (2x 1) arccos ( )

ขอนเปน arctan อยแลวจงใชสตรไดทนท (จากสามเหลยมทาใหทราบวา 1

5arccos arctan 2 )

นนคอ 2(2x 1) (2x 1)1 (4x 1)arctan arctan 2

คดเลขไดเปน 22x

1 2xarctan arctan 2

..ดงนน 22x

1 2x 2

แกสมการได 12x หรอ -1 แตตรวจสอบคาตอบแลวพบวาใชไดเฉพาะ 1

2x เทานน

kanuay

Pencil


ตวอยาง ABC มมม A ขนาด 45 และความยาว a 2 2 , b 2 ใหหาขนาดของมม C จากกฎของ sin คอ sin B sin Aab

แทนคาได sin B sin 452 2 2

..นนคอ 12sinB

ดงนน B 30 หรอ B 150

- กรณท B 30 จะได C 115 - กรณท B 150 เปนไปไมได (เพราะ B A 180 ) สรปวาขนาดของมม C เทากบ 115 เทานน 17. กฎของโคไซน (คอส) “เราสามารถหาความยาวดานทเหลอ ไดจากความยาวดานสองดานและขนาดมมตรงกลาง”

โดยมสตรวา 2 2 2a b c 2bc cos A

(ถามมตรงกลางนนเปน A 90 กฎนจะกลายเปนทฤษฎบทปทาโกรส) ตวอยาง ABC มมม B 45 , ความยาวดาน a 4 นว, c 5 นว ใหหาความยาวดาน b

จากกฎของ cos คอ 2 2 2b a c 2ac cos B จะได 2 2 2 1

2b 4 5 2(4)(5)( ) 12.72

นนคอ b 3.57 ..ดงนนความยาวดาน b มคาประมาณ 3.57 นว ตวอยาง ABC มดาน a 2 , b 3 และ c 4 หนวย ใหหาคา C

2sin ( )

จากกฎของ cos คอ 2 2 2c a b 2ab cos C จะได 2 2 24 2 3 2(2)(3) cos C นนคอ 1

4cos C (แสดงวา C เปนมมปาน)

จากสตร 2 C2cos C 1 2 sin ( )

จะไดวา 2 C14 21 2 sin ( ) ..นนคอ 2 C 5

2 8sin ( )

ดงนนคาตอบคอ C 52 8sin ( ) 0.79

(ตองเปนคาบวกเทานน เพราะมม C2 เปนมมแหลม)

kanuay

Pencil


10. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2520] ขอความตอไปนขอใดถกตอง 1. คาของ 2

5 7sec cosec3 3 มคาเปนลบ

2. คาของ cos มคาลดลงเมอ อยระหวาง 32 เรเดยน และ 2 เรเดยน

3. คาของ 2 2 2 2 44 1 2 13 tan cos cot sin sec6 3 6 2 4 3 3 8 3

มคาเทากบ 2tan 3

4. คาของ sin มคาเพมขน เมอ อยระหวาง 2 เรเดยน และ 3

2 เรเดยน

5. sec A cosec(90 A) tan A tan(90 A) 11. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2520] ขอความตอไปน ขอใดเปนไปไมได 1. sec 2.375 2.

2 2a bcosec 2ab

3. คาของ 23 7 15cot sec sin4 3 4 มคาเทากบ 7tan cos4 4

4. ถามม A อยระหวาง 180 และ 270 และ 3 tan A 4 ดงนนคาของ 2 cot A 5 cos A sin A จะมคาเปนบวก 5. 24 sin 5 12. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2527] ;Þ ขอใดตอไปนถก 1. sin cos > เมอ 3 22

< <

2. ถา 0 2

< < และ cos 0.8 แลว 35sec cosec 12

3. ถา cos 0.56 แลว จดปลายสวนโคงทยาว หนวยจะอยในควอดรนตท 1 และ 2 4. cos sin sin4 4 2

13. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2529] วงกลมวงหนงมรศม 2 หนวย และมจดศนยกลางอยทจดกาเนด วดระยะทางไปตามสวนโคงในทศทางทวนเขมนาฬกา จากจด (2, 0) ไปยาว หนวย จดปลายของสวนโคงนอยบนเสนตรง x 1 ในควอดรนตทสอง คาของ sin sin2 เทากบเทาใด 1. 3 2. 3 3. 3

2 4. 32

เฉลย 5. 4 6. 4 7. 3 8. 3 9. 2 10. 3 11. 5 12. 2 13. 2

kanuay

Pencil


64. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2537] :( ถา A {(x, y) | 0 x < , 0 y < , cos(x y) 0 > , sin(x y) 0 } < แลว A คอเซตในขอใดตอไปน 1. 3{(x, y) | x y 2 x , x }2

< < <

2. 3{(x, y) | x y , x }2 < < <

3. {(x, y) | 0 y 2 x , x 0 } < 4. 3 3{(x, y) | x , y }4 4

< < < < 65. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2533] เซตคาตอบของอสมการ 3 cos x sin x 0 เมอ x < < คอขอใดตอไปน 1. { x | x 3

< หรอ 2 x }3 < 2. 2{ x | x }3 3

3. 2{ x | x }3 3 4. { x | x }3 3

66. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2544] * ขอนอาศยเนอหา “ลอการทม” ดวย ถา 0 x 4

แลว

เซตคาตอบของ 0.5 0.5 0.5 0.5log (sin x) log (sin2x) log (cos x) log (cos 2x) คอเซตในขอใดตอไปน 1. 2. (0, )6

3. ( , )12 6 4. ( , )6 4

67. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2531] ถา A เปนเซตคาตอบของอสมการ sin 2x 2 cos x และ B เปนเซตคาตอบของสมการ 4 4cos x sin x 1 โดยท x [0, 2 ] แลว A B เทากบเซตในขอใดตอไปน 1. 3( , )2 2

2. 3( , ]2 2

3. 3( , ) ( , )2 2 4. 3( , ] ( , ]2 2

68. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2544] พจารณาขอความตอไปน เมอเอกภพสมพทธคอเซตของจานวนจรง ก. x [cot 2x cot x 0 ] ข. 4 4 21x [sin x cos x 1 sin 2x ]2

คาความจรงของขอความ ก. และขอความ ข. เปนไปตามขอใดตอไปน 1. ก. เปนจรง และ ข. เปนจรง 2. ก. เปนจรง และ ข. เปนเทจ 3. ก. เปนเทจ และ ข. เปนจรง 4. ก. เปนเทจ และ ข. เปนเทจ เฉลย 58. 4 59. 3 60. 1 61. 4 62. 3 63. 1 64. 2 65. 2 66. 4 67. 3 68. 3

kanuay

Pencil


120. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2532] ;Þ กาหนดใหวงกลมหนงหนวยมจดศนยกลางอยทจดกาเนด ถา เปนความยาวของสวนโคง PQ ดงรป แลวความยาวของคอรด PQ เทากบขอใดตอไปน 1. 2 2 cos 2. 2 2 cos 3. 2 2 sin 4. 2 2 sin

121. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2526] A และ B เปนจดสองจดทอยตรงขามขอบบงแหงหนง ถา CA และ CB ยาว 2 และ 1 ไมล ตามลาดบ และ วดมม ACB ได 22 30 ความกวางของบงตามแนว AB เทากบขอใดตอไปน 1. 5 2 2 2 2. 5 2 2 3 3. 5 2 2 2 4. 5 2 2 3

122. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2529] สามเหลยมรปหนงมพนทเทากบ 450 3 ตารางนว มมมมมหนงเทากบ 60 องศา และดานตรงขามกบมมนยาว 30 3 นว ความยาวของดานทสนทสดของรปสามเหลยมนเทากบเทาใด 1. 20 นว 2. 25 นว 3. 30 นว 4. 40 นว 123. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2527] ABCD เปนทดนรปสเหลยม มดาน AD DC , มม ADC เปนมมฉาก, มม ABC 30 ดาน AB 40 วา, ดาน CB 20 วา พนทสเหลยม ABCD เทากบขอใดตอไปน 1. 700 200 3 ตารางวา 2. 500 200 3 ตารางวา 3. 700 100 3 ตารางวา 4. 500 100 3 ตารางวา 124. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2522] ถามม A ของ ABC เทากบ 60 และพนทของ ABC เทากบพนทของสามเหลยมดานเทา ซงยาวดานละ p แลว ประโยคในขอใดตอไปนเปนจรง 1. ABC เปนสามเหลยมดานเทา 2. พนท 23ABC p8

3. 2pbc 2 4. 2 2 2b c a 2bc

5. 2 2 2 2b c a p

เฉลย 114. 25 115. 1 116. 2 117. 1 118. 3 119. 4 120. 1 121. 1 122. 3 123. 1 124. 5

C

1 ไมล 452

B A

2 ไมล

C

A B

D

40 วา

20 วา 30°

Q

P y

x

kanuay

Pencil


(12) ขอ 1. ผด ..เพราะ อยในควอดรนตท 4 จะได sin ตดลบ และ cos เปนบวก

ขอ 2. 4cos 0.8 5

จะได sec cosec 5 5 35

4 3 12

ขอ 2. ถก

ขอ 3. ผด ..จาก cos เปนคาบวก แสดงวา อยในควอดรนตท 1 และ 4

ขอ 4. ผด เพราะ 2 2 12 2

(13) ถายอลงเหลอวงกลม 1 หนวย โดยใหมมมขนาด เทาเดม ..จะไดวา

1x cos2 2 ดงนน 22 3

แสดงวาความยาว ในโจทยคอ 43 (ไมใชมม)

ตอบ 3 34 8sin sin 33 3 2 2

(14) ความยาวโคง คดจากรศมคณกบมมทรองรบโคง

..ในขอนรศมวงกลมเทากบ 4 หนวย และหามมไดจากสมการเสนตรง ซงมความชนเปน 1 tan 30

3

แสดงวาเสนตรงนทามมกบแกน x ทางลบอย 30

ดงนน 4 3 และ 24 ( )6 3

ตอบ 4 2 2 1cos( ) cos( )3 3 3 2

(15) A { , , , , ...}2 3 4 5

ขอ 1. จรง เชน sin 12 และ 1sin 6 2

แสดงวา f( ) 2 f( )2 6

ขอ 2. เทจ ..เพราะมมใน A อยในควอดรนตท 1 และ sin 0 0 แตสมาชกในเซต A ไปไมถง 0 (เพยงแคเขาใกล 0 มากๆ เทานน)

ขอ 3. จรง ..เพราะสมาชกของ A ลวนอยใน ควอดรนตท 1 ซงคา sin x ของแตละตาแหนงยอมมคาไมเทากนเลย

ขอ 4. จรง ..เพราะสมาชกของ A ลวนอยใน ควอดรนตท 1 ซงคา sin x เปนบวกเสมอ

(16) จาก 2 2(f g)(x) (g(x)) 7 sin x 7 ดงนนขอ 3. ถก และ ขอ 1. ผด

ขอ 2. ผด ..ตองแกเงอนไขเปน x 7>

ขอ 4. ผด ..เพราะอนเวอรสของ sin x จะไมเปนฟงกชน จงไมสามารถเขยนในรป 1g (x) ได (นอกจากน ทเงอนไขกควรเปน 1 x 1 < < ดวย)

ขอ 5. ผด ..ตองแกเงอนไขเปน 0 x 2 < เพราะเปนชวงทกาหนดมาสาหรบ g(x)

(17) ขอ 1. ผด ..เพราะใน 3Q ถา มากขนแลว คา sin จะลดลง ขอ 2. ถก ..เพราะ sin sin( ) เสมอ ดงนน f( ) f( ) จรงๆ ขอ 3. ผด ..เชน k 1 จะได 3sin 02

(ทถกตองเปน k ) ขอ 4. ผด ..แอมพลจดจะวดจากแกนกลางไปยงจดทไกลทสด จงมคาเทากบ 1

5 3

4

x = -1

(2,0) /2

kanuay

Pencil

kanuay

Pencil


(60) จากโจทย นา cos คณ ..จะได (cos sin )(1 sin 2 ) (cos sin )(1 cos 2 ) ยกกาลงสอง จะได

2 2 2(cos 2 sin cos sin )(1 sin2 ) 2 2 2(cos 2 sin cos sin )(1 cos 2 )

2 2(1 sin2 )(1 sin2 ) (1 sin2 )(1 cos 2 )

ยายขางและดงตวรวมไดเปน 2 2(1 sin2 )(1 sin 2 1 2 cos 2 cos 2 ) 0

(1 sin2 )(2 cos 2 1) 0 sin2 1 หรอ 1cos 2 2

(ตรวจคาตอบแลวพบวาใชไดทงค)

..ตวเลอกอยในรปสมการ จงกระจายเปน 2 cos 2 2 cos 2 sin2 sin2 1 0 2 cos2 sin 4 sin2 1 0 ตรงกบสมการในขอ 1.

(61) จาก 1 3( sin x cos x)(sin 4x) 12 2

(cos sin x sin cos x)(sin 4x) 13 3

sin(x )sin(4x) 13

แต sin คณกนเปน 1 มอยเพยง 2 กรณ คอเปน 1 พรอมกน หรอเปน 1 พรอมกน ซงเปนไปไมไดในขอน ตอบ ขอ 4.

(62) จาก cos x 3 3 sin x

cos x 3 sin x 3 1 3 3cos x sin x2 2 2

3cos cos x sin sin x3 3 2

3cos(x )3 2

จากเงอนไข 11x [ , ]3 3 3 จะไดวา

x 3 6

, 6 , 11

6 , 13

6

13 5x { , , , }6 2 6 2 ตอบ

(63) ถาให sin x Y และ cos x X เพอพจารณาในวงกลมหนงหนวย 2 2(X Y 1) จะไดชวงคาตอบดงรป

นนคอ 3x [0, ] [ ,2 ]2 ตอบ ขอ 1.

(64) เงอนไขคอ 0 x y 2 < โดย cos 0> และ sin 0< แสดงวา 3 x y 22

< <

(ควอดรนตท 4 ดงรป) นนคอ 3 x y 2 x2

< <

แต ถา x มคาไมถง จะทาใหขอบเขตขวาของคา y ทไดนมากกวา ..ขดแยงกบทโจทยกาหนดไววา y ตองมคาไมเกน ดวย

ดงนนเราจะพบวา สาหรบคา x ใดๆ เงอนไขทางขวาจะมากเกนไปเสมอ (นอกจากกรณท x เปน ซงทาให y เปน พรอมกนดวยเทานน) จงจาเปน ตองปรบขอบเขตขวาลงเหลอ ..และ ตอบ ขอ 2.

(65) จาก 3 1cos x sin x 02 2

(sin )cos x (cos )sin x 03 3

sin(x ) 03

จากเงอนไขทใหมา คอ 2 4x3 3 3 < <

จะไดวา.. ถา sin(x ) 03 แลว

x 3 มคาอยระหวาง 0 ถง เทานน

ตอบ 2x3 3

X Y 1 >

kanuay

Pencil


(66) 0.5 0.5log (sin x sin2x) log (cos x cos 2x) sin x sin2x cos x cos 2x

(พลกดานเครองหมาย เพราะฐานเปน 0.5) 0 cos x cos2x sin x sin2x 0 cos 3x

เงอนไขทใหมาคอ 30 3x 4

จากรป ถา cos 3x 0 จะได 33x2 4

x6 4

ตรวจสอบเงอนไขสงทอยภายใน log ไดแก sin x 0, sin2x 0, cos x 0, cos 2x 0 พบวาชวงคาตอบนใชไดทงหมด ตอบ ( , )6 4

(67) เซต A; จาก 2 sin x cos x 2 cos x

2 cos x(sin x 1) 0

กรณท 1 cos x 0 และ sin x 1 0 ..เปนไปไมได เพราะ sin x 1 ไมได

กรณท 2 cos x 0 และ sin x 1 0 ..ใชวงกลมหนงหนวย พจารณาหาชวงคาตอบ ได 3A ( , )2 2

เซต B; จากโจทย จะได 2 2 2 2(c s )(c s ) 1

2 2c s 1 cos 2x 1 เนองจากมเงอนไข 0 2x 4< < จงไดวา 2x 0 หรอ 2 หรอ 4 B {0, ,2 } ตอบ 3A B ( , ) ( , )2 2

(68) ขอ ก. cot 2x cot x 0

cos 2x cos x 0sin2x sin x sin x cos 2x cos x sin2x 0sin2x sin x

sin( x) 10 0sin2x sin x sin2x

..เปนไปไมได ดงนน ขอ ก. เทจ ขอ ข. จาก 4 4sin x cos x

4 2 2 4 2 2[sin x 2 sin x cos x cos x] 2 sin x cos x 2 2 2 2 2(sin x cos x) 2 sin x cos x

22 2(2 sin x cos x) 11 1 sin 2x2 2

ดงนน ขอ ข. จรง

(69) ขอ 1. ซายมอ 1 cos x

sin x sin x

1 cos xsin x

22

2 2

x1 (2 cos 1)x x2 sin cos

22

2 2

x2 cosx x2 sin cos xcot 2 ขวามอ

ดงนน ขอ 1. ไมเปนเอกลกษณ

ขอ 2. ซายมอ 1 sin xcos x cos x

1 sin xcos x

2 22 2

2 2

x x1 2 sin cosx xcos sin

2

2 22 22 2

x x(sin cos )x xcos sin

2 22 2

x xsin cosx xcos sin

และ ขวามอ 4242

xtan tanx1 tan tan

22

xtan 1x1 tan

2 2

2 2

x xsin cosx xcos sin

ดงนน ขอ 2. ถก

ขอ 3. ขวามอ 21 x(1 (2 cos 1))2 2 21 x(2 2 cos )2 2 2 x1 cos 2 ซายมอ


ขอ 4. ขวามอ 21 x(1 (1 2 sin ))2 2 21 x(2 2 sin )2 2 2 x1 sin 2 ซายมอ


kanuay

Pencil


165. [คดโอลมปก / 2543] พจารณาขอความตอไปน

ก. 1 x y(sin x sin y) sin( )2 2

< ทกๆ x, y [0, ]

ข. 1 x y(cos x cos y) cos( )2 2

< ทกๆ x, y [0, ]

ขอความใดตอไปนถกตอง 1. ขอ ก. และขอ ข. เปนจรง 2. ขอ ก. เปนจรง ขอ ข. เปนเทจ 3. ขอ ข. เปนเทจ ขอ ก. เปนจรง 4. ขอ ก. และขอ ข. เปนเทจ 166. [โควตา มช. / 2545] ถา 0 4

และ 2tan 4 tan 1 0

แลว sin 2 จะมคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0.25 2. 0.50 3. 0.75 4. 1.00 167. [คดโอลมปก / 2534] ถา

1sin x cos x 5 และ 3 x4 < < แลว cos 2x เทากบเทาใด

1. 725 2. 7

25 3. 2425 4. 2425

168. [คดโอลมปก / 2535] จงหาตาแหนงของจานวนจรง บนวงกลมหนงหนวย ซง 4 4sin cos 1 1. อยบนเสนตรง y x 2. อยบนแกน x 3. อยบนแกน y 4. อยบนกราฟของพาราโบลา 2y x 169. [โควตา มช. / 2548] ให A เปนผลบวกของคาตอบของสมการ 2 2sin 6x 8 sin 3x 0 เมอ 0 x 2< <

จงหาคาของ A

170. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2544] กาหนดให 2 2A { x [0, 2 ] | sin 2x sec x sin x 2 cos x tan x } ผลบวกของสมาชกทงหมดใน A มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 2. 32 3. 2 4. 52

171. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2544] กาหนดให x เปนจานวนจรงในชวง (0, )2

ซงทาให 2 23x 3xcos sin2 2

และ 2sin x cos 3x cos x sin 3x 2 จงหาคาของ 4x 4xcos sin3 3

เฉลย 159. 0.5 160. 2 162. – 163. 4 164. 1 165. 2 166. 2 167. 1 168. 3 169. 7 170. 3

kanuay

Pencil


179. [คดโอลมปก / 2547] จงหาคาตอบทงหมดของระบบสมการ sin(x y) 0 และ sin(x y) 0 เมอ x และ y สอดคลองเงอนไข 0 x < < และ 0 y < < 180. [คดโอลมปก / 2540] กาหนดให x y 3 cos 4 และ x y 4 sin2 จะได 1/2 1/2x y มคาเทาใด 1. 1 2 2. 2 3. 2 4. 1 181. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2549] จงหาคาของ x และ y ทงหมด ทสอดคลองกบสมการ

2 2 2tan (x y) cot (x y) 1 2x x 182. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2545] ถา tan และ tan เปนรากของสมการ 2x x 2 0 แลว จงหาคาของ 2 2sin ( ) sin( )cos( ) 2 cos ( ) 183. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2549] * ขอนอาศยเนอหา “แคลคลส (ปรพนธ)” ดวย จงหาจานวนจรงบวก a คานอยทสด ททาให 2

0 sin(x 2549a) sin(x 2006a) dx มคาสงสด

184. [พนฐานวศวะฯ / 2538] กาหนดให arctan(3/4) จงหาคาของ cos 2 1. 0.28 2. 0.48 3. 0.56 4. 0.96 185. [คดโอลมปก / 2538]

1 1tan 2 tan 3 มคาตรงกบขอใดตอไปน

1. 4 2. 3

4 3. 4

4. 34

186. [คดโอลมปก / 2538] ให 1 1a 2 arctan arctan3 7 จงหาคาของ 180 a

187. [คดโอลมปก / 2543] คาของ 1 1cos [tan (sin(cot 7))] เทากบขอใดตอไปน

1. 83 2. 8

9 3. 865 4. 8

65

เฉลย 173. 2 175. 2 176. 1 177. 4 178. 2 180. 3 184. 1 185. 4 186. 45 187. 1

kanuay

Pencil


30

z

A

O

B y

x 12 เมตร

9 เมตร

196. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2545] ให 1A { x | arctan arcsin x arccos x }2x

ผลบวกของสมาชกทงหมดใน A มคาเทากบเทาใด 197. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2548] ให A เปนเซตคาตอบของสมการ 3xarccos(1 x) arccos( )2 4

และ B เปนเซตคาตอบของสมการ 3xarccos(1 x) arccos( )2 4

ขอใดตอไปนถกตอง 1. A B 2. A B แต B A 3. B A แต A B 4. A B และ B A 198. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2547] ให C เปนเซตคาตอบของสมการ arctan(2x 1) arctan(2x 1) arctan2 และ D เปนเซตคาตอบของสมการ tan sec 3 , [0, 2 ] แลว C D คอเซตใด 199. [พนฐานวศวะฯ / ม.ค.2542] เมอง A และ B อยหางกน 20 กม. ดาออกเดนทางจากเมอง A ในแนวทศตะวนออกเฉยง เหนอ แดงออกเดนทางจากเมอง B ในแนวทศตะวนตกเฉยงเหนอ เมอง C อย

ระหวางทางในแนวทางเดนของดากบแดง เมอง C อยหางจากเมอง A เทาไร 1. 10.00 กม. 2. 10 2 กม. 3. 10 3 กม. 4. 20.00 กม. 200. [พนฐานวศวะฯ / 2533] ตองการเดนทอจากตาแหนง B ไปยง O ในแนว เสนทแยงมม OB ของรปปรซม ทอจะมความยาวเทาไร กาหนดให AB ทามม 30 กบ OB 1. 17.319 เมตร 2. 17.414 เมตร 3. 17.732 เมตร 4. 17.886 เมตร 201. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2546] พระมดมฐานเปนรปสเหลยมจตรสยาวดานละ 200 เมตร ดานขางแตละดานเปนสามเหลยมหนาจว โดยมมทฐานสามเหลยมเปน 75 จงหาความสงของพระมดน (ตอบในรปของกรณฑ ไมตองคานวณในรปทศนยม)

เฉลย 188. 1 189. 0.7 190. 0.28 191. 1 192. 1 193. 4 194. 3 197. 4 199. 2 200. 1

20 กม.

A B

N

kanuay

Pencil


เฉลยวธคด (125) วงกลมเสนผานศนยกลาง 8 เมตร แสดงวา AC 4 เมตร (เพราะจด A อยทศนยกลางพอด) ..สเหลยมมมฉากมเสนทแยงมมยาวเทากน ดงนน BD 4 เมตรดวย ตอบ

(126) พนท 1ABC 2 1 BC2

BC 4

คลาย; AB BE 1 0.8BC BD 4 BD

BD 3.2 หนวย ตอบ

(127) รป n เหลยม จะแบง เปน ภายในได n รป มมทเกดขนคดจาก = มมรวมใน ทงหมด - มมรอบจดยอดตรงกลาง

180n 360 องศา ดงนน ตอบ 180(20) 360 3240 องศา

(128) จากการสงเกต พบวา จานวนดานยงนอย ดานจะยงยาวขน ดงนน ดานทยาวทสดคอ ดานของรปสามเหลยม

พจารณา ดานเทา ยาวดานละ x หนวย มวงกลมรศม r แนบใน

สมบตของเสนมธยฐานทาใหทราบวา เสนมธยฐานยาว r 2r 3r

2 2 2x( ) (3r) x2 (ทฤษฎบทปทาโกรส)

จะได 2

2 3x9r x 12 r 2 3 r4 ตอบ

(129) เนองจากมม 2 อยในควอดรนตท 1 ดงนน sin2 จงมคาบวก.. และเนองจากมม 2 เรเดยน อยในควอดรนตท 2

(เพราะคา 22 )

ดงนน cos 2 และ tan2 จงตดลบ.. สวน sin2 เปนคาบวก ซงมากกวา sin2 แนนอน (พจารณาจากตาแหนงความสงของ 2 จดน) ตอบ ขอ 2.

(130) จดปลายสวนโคงในวงกลมหนงหนวย กคอมม เรเดยน นนเอง จงได a cos 1.87 0.3 และ 2b sin 1.87 1 ( 0.3) 0.91 (คา b เปนบวกเพราะ 1.87 อยในควอดรนตท 2)

(131) ระยะทางทแมลงไตไดรวมคอ

22 2 5 2 5( ) ( ) ...3 3 7 3 7

เปนอนกรมเรขาคณตอนนต

มผลบวกเปน 2 /3 71 5/7 3

แสดงวาแมลงไตไปตามความยาวโคง

เกอบถง 73 หนวย

วงกลมนมรศม 2 หนวย จงไดวา แมลงไตไปเปนสวนโคงทมมมรองรบขนาด 7 723 6 เรเดยน

และแมลงเรมไตทวนเขมจากตาแหนงมม 0 พอด (จากพกด (2,0)) ..ดงนนจดสนสดกคอ

7 7(2 cos ,2 sin ) ( 3, 1)6 6 ตอบ

r

x/2 x

2r

kanuay

Pencil


(161) จากสตร 22 tan Atan2A 1 tan A

แทนคา A ดวยมม 2 จะได 2

2 ttan 1 t

(ในทนขอเขยนยอ tan 2 เปน t)

22

4 2 t 2t 3t 2 03 1 t

(2t 1)(t 2) 0

ตอบ 1tan 2 2 หรอ tan 22

..หาคา sin 2 ไดโดย นาคา tan 2

ไปเขยน

สามเหลยมมมฉาก เพอหาอกดานทเหลอ

กรณ 1tan 2 2 ( 4tan 3 แสดงวาอยใน 1Q )

จะได 1sin 2 5

กรณ tan 22 ( 4tan 3 แสดงวาอยใน 2Q )

จะได 2sin 2 5

ตอบ 1sin 2 5 หรอ 2sin 2 5

(162) tan 160 tan 100 tan(160 100 )1 tan 160 tan 100

tan(60 ) 3 (ยงไมตรงกบขอ 1. และ 2. จงจดรปตอ) tan(3 20 )

พสจน หาสตร tan 3A ไดดงน tan2A tan Atan 3A tan(2A A) 1 tan2A tan A

2

2

2 tanA1 tan A

2 tanA1 tan A

tan A1 tan A

3

23 tan A tan A

1 3 tan A

ดงนน คาตอบคอ 3 2

2 33/a 1/a 3a 11 3/a a 3a

ตอบ ไมมขอใดถก

(163) ขอ 1. ..จาก tan sin cos 2sin coscos

2 2sin coscos

1 seccos


ขอ 2. ..จากเอกลกษณ 2 2tan sec 1 และ 2 2cot csc 1 เชนกน ดงนน ขอ 2. ถก

ขอ 3. ..จาก 2cos 2 1 2 sin

จะยายขางไดเปน 2 1 1sin cos 22 2


ขอ 4. ผด ..ตองเปน 2 2(1 cos )(1 cot ) 1 จงจะถก เพราะ 2 2(1 cos ) sin และ 2 2(1 cot ) csc จงคณกนไดเทากบ 1 เสมอ..

(164) ตอบ ขอ 1. ถก ..พสจนไดดงน จาก [sin2A sin2B] sin2C

[2 sin(A B)cos(A B)] sin(360 2A 2B) [2 sin(A B)cos(A B)] sin( 2A 2B) [2 sin(A B)cos(A B)] sin2(A B) [2 sin(A B)cos(A B)] [2 sin(A B)cos(A B)] 2 sin(A B) [cos(A B) cos(A B)] 2 sin(180 C) [2 sin A sinB] 2 sin C [2 sin A sinB] 4 sin A sinB sin C

(165) ก. x y x ysin x sin y 2 sin( )cos( )2 2

แตในขอน x, y [0, ] จงได x y [ , ]2 2 2

ซงทาให x y0 cos( ) 12

< <

ดงนน x ysin x sin y 2 sin( )2 < เสมอ..

ขอ ก. จรง ข. x y x ycos x cos y 2 cos( )cos( )2 2

และเราทราบวา x y0 cos( ) 12

< < (เชนเดยวกบ

ขอ ก.) แต cos x , cos y , x ycos( )2 อาจเปน

kanuay

Pencil


บวกหรอตดลบกได ดงนน cos x cos y มโอกาสมากกวา x y2 cos( )2

ได เชน x 2 , y , x y 342 จะไดโจทยฝงซาย 12 ฝงขวา 2

2

ขอ ข. เทจ

(166) จากสมการ 2tan 4 tan 1 0

จะได 4 16 4tan 2 32

แตจากเงอนไข 0 4

..แสดงวา 0 tan 1 จงไดคาตอบเปน tan 2 3 เทานน

เมอเขยนสามเหลยมมมฉากใหมดานประกอบมมฉาก ยาว 2 3 กบ 1 หนวย จะหาความยาวดานตรงขามมมฉากได เทากบ 2 2(2 3) 1 8 4 3 หนวย

ดงนน โจทยถาม sin2 ..จงคานวณไดเปน sin2 2 sin cos

2 3 128 4 3 8 4 3

2(2 3) 1 0.5028 4 3

ตอบ

(167) ให s แทน sin x และให c แทน cos x

จะไดสมการโจทยกลายเปน 1s c 5

ยกกาลงสองไดเปน 2 2 1s 2sc c 25

แต 2 2s c 1 ..ดงนน 11 2sc 25

นนคอ 242sc 25 24sin2x 25

จากสามเหลยมมมฉากความยาวดาน 7, 24, 25

ทาใหทราบวา 7cos2x 25

แตโจทยกาหนด 3 x4 < <

นนคอ 3 2x 22 < < แสดงวา cos 2x เปนบวก

ตอบ 7cos 2x 25

(168) จากสมการ 4 4sin cos 1 จะได 2 2 2 2(sin cos )(sin cos ) 1

..แตเนองจาก 2 2cos 2 cos sin และ 2 2sin cos 1 เสมอ จงไดสมการกลายเปน ( cos 2 )(1) 1 cos 2 1

ตองการคา ในชวง 0 2 < < แสดงวา 0 2 4 < <

นนคอ 2 , 3 ..ดงนน 3,2 2

คาตอบทถกคอ ขอ 3.

(169) สมมต 3x จะไดเงอนไขเปน 0 6 < < และสมการกลายเปน 2 2sin 2 8 sin 0

2 2 24 sin cos 8 sin 0 2 24(sin ) (cos 2) 0

จะได sin 0 เทานน (เพราะ 2cos 2 แนนอน)

0, ,2 , 3 , 4 ,5 ,6

ดงนน 2 4 5x 0, , , , , ,23 3 3 3

ผลบวกของคาตอบ A 7

ตอบ A 7

(170) เนองจาก 2 2sec x tan x 1 เสมอ สมการจงกลายเปน sin2x 1 sin x 2 cos x

2 sin x cos x 1 sin x 2 cos x (2 sin x cos x 2 cos x) (sin x 1) 0 (2 cos x 1)(sin x 1) 0

ดงนน 1cos x 2 หรอ sin x 1

แตในโจทยมคาวา sec x และ tan x จงมเงอนไขวา cos x 0 ทาให sin x 1 ใชไมได..

จะใชไดแค 1cos x 2 เทานน

จงได 5A { , }3 3 และมผลบวกเปน 2 ตอบ

kanuay

Pencil


(176) พจารณาเฉพาะ sin(A B) sin(B C) sin(C A)cos A cosB cosB cos C cos C cos A

เมอรวมเศษสวนกนจะไดเปน sin(A B)cos C sin(B C)cos A sin(C A)cos B

cos A cos B cos C

(แตเนองจาก A B C จงไดวา cos C cos(A B) ..ฯลฯ)

..สมการในโจทยจงกลายเปน cos 2x 3 sin x 2 21 2 sin x 3 sin x 2

(2 sin x 1)(sin x 1) 0

ดงนน 1sin x 2 หรอ sin x 1

..จากเงอนไข x2 2 < <

จะไดเซตคาตอบคอ { , }6 2 ตอบ

(177) จาก 5 tan A tan(A B) จะได

tan A tanB5 tan A 1 tan A tanB

25 tan A 5 tan A tanB tan A tanB

24 tan AtanB 1 5 tan A

.....(1)

โจทยถามคาของ sin(2A B)sinB

sin2A cosB cos 2A sinBsinB

22 sin A cos A cosB (1 2 sin A)sinB

sinB

22 sin A cos A cot B (1 2 sin A)

แทนคา cot B ดวยสวนกลบของสมการท (1) (เนองจากเหลอเพยงมม A ลวน จงขอเขยนยอดงน)

221 5t2 s c 1 2 s4t

2 2 21 c (1 5t ) 1 2 s2

2 2 21 5c s 1 2 s2 2

2 21 1 3c s 12 2 2 ตอบ

(178) จาก sin A sinB 1

จะได A B A B2 sin( )cos( ) 12 2

จาก 3cos A cosB 2

จะได A B A B 32 cos( )cos( )2 2 2

นาสองสมการหารกน จะได A B 2tan( )2 3

แตจากสตร tan ครงมม..

จะไดวา A B 1 cos(A B)tan( )2 1 cos(A B)

ดงนน 1 cos(A B)23 1 cos(A B)

4(1 cos(A B)) 9(1 cos(A B)) 5cos(A B) 13 ตอบ

(179) จากเงอนไขทใหมา คา x y เปนไปไดตงแต ถง สมการ sin(x y) 0 จงมคาตอบไดกรณเดยว คอ x y 0 ..นนคอ x y

และจากเงอนไขทใหมา คา x y เปนไปไดตงแต 0 ถง 2 สมการ sin(x y) 0 จงมคาตอบได 2 กรณ ไดแก กรณ x y 0 ..จะได x y 0 กรณ x y 2 ..จะได x y

ตอบ (x, y) (0, 0) หรอ ( , )

(180) จาก x y 3 cos 4 2 23 (1 2 sin 2 ) 2 2 sin 2 .....(1) และ x y 4 sin2 .....(2)

สมการ (1)+(2) หารดวย 2; 2 2x sin 2 2 sin2 1 (sin2 1)

สมการ (1)–(2) หารดวย 2; 2 2y sin 2 2 sin2 1 (sin2 1)

sin(A B)cos(A B) sin(B C)cos(B C) sin(C A)cos(C A)cos A cos B cos C

1 sin 2A sin 2B sin 2B sin 2C sin 2C sin 2A2 cos A cos B cos C

0

kanuay

Pencil


ดงนน 1/2 1/2x y sin2 1 sin2 1

แต sin2 1 0 > เสมอ และ sin2 1 0 < เสมอ

1/2 1/2x y (sin2 1) (1 sin2 ) 2

(181) พจารณาฝงซายของสมการ คอ 2 2tan (x y) cot (x y)

ถาให 2A tan (x y) จะไดฝงซายเปน 1A A

ซงรปแบบจานวนจรง 1A A นนจะมคาเทากบ 2

ขนไปเสมอ (จะเปน 2 เมอ A 1 และมากกวา 2 เมอ A เปนคาอนๆ)

..แสดงวาฝงขวามเงอนไข 21 2x x 2 > ไปดวย โดยปรยาย

2x 2x 1 0 < 2(x 1) 0 < ซงมโอกาสจะเปนจรงไดเมอ x 1 เทานน

..ลองแทนคา x 1 ลงในสมการ เพอหาคา y ทสอดคลอง

จะไดสมการเปน 1A 2A

แสดงวา 2A tan (x y) 1 เทานน 2tan ( 1 y) 1

tan( 1 y) 1 หรอ 1

นนคอ ค (2n 1)1 y 4 4

(2n 1)y 14

..เมอ n เปนจานวนเตมใดๆ

ตอบ x 1

และ (2n 1)y 14

เมอ n เปนจานวนเตมใดๆ

(182) tan และ tan เปนรากของ 2x x 2 0 ..แสดงวา

2x x 2 (x tan )(x tan ) .....(1) ..และจะได tan tan 2 และ tan tan

โจทยถาม 2 2sin ( ) sin( ) cos( ) 2 cos ( )

จะเหนวา แยกตวประกอบไดตามสมการท (1) ดวย [sin( ) tan cos( )]

[sin( ) tan cos( )] [cos sin( ) sin cos( )]

cos

[cos sin( ) sin cos( )]cos

sin sincos cos

tan tan 2 ตอบ

(183) เนองจาก sin(x 2549a) sin(x 2006a) เปนบวกเสมอ

คาสงสดของปรพนธยอมเกดเมอ sin(x 2549a) กบ sin(x 2006a) มคาตางกนมากทสด

ดงนนผลตางมมคอ 543a ตองเทากบ ค เพอจะทาใหคา sin(x 2549a) อยตรงขามกบมม sin(x 2006a) ตลอดเวลา

..สรปวา

ค543a ค a 543

ตอบ จานวนจรงบวก a คานอยทสดคอ 543

(184) ให 3 3arctan sin4 5

2 18cos 2 1 2 sin 1 0.2825 ตอบ

(185) เนองจาก tan(arctan2 arctan 3)

2 3 11 (2)(3)

โดยมม arctan ทงสองมคาในชวง ( , )4 2

เมอบวกกนจงมคาในชวง ( , )2

คาตอบจงเปน 34 ตอบ

kanuay

Pencil

kanuay

Pencil


r

h

(213) จากรป 1h r2

h 1r 2

ดงนน 60

พนทสวนโคงมม 1120 3 ของวงกลม 21 r3

และพนททตองการ คดเหมอนยเนยนของเซต คอ + -

2 21 1 1r r 4( h r sin60 )3 3 2

22 1 1 3r 4 r r3 2 2 2

2 22 3 r 1.23 r3 2

ตอบ

(214) หกเหลยมดานเทาในวงกลม สามารถตดแบงเปนสามเหลยม 6 รป (ซงมจดยอดอยทศนยกลางวงกลม) แตละรปมดานประกอบมมยอดยาว r, และมมยอดมขนาด 60

พนทสามเหลยมแตละรป

เทากบ 21 3r r sin60 r2 4

ตอบ พนทหกเหลยม 2 23 3 36 r r4 2

(215) รศมวงกลมทลากเชอมจดศนยกลางกบจดยอดมมแตละจด จะตดแบงรป 12 เหลยม ออกเปนสามเหลยมหนาจว 12 รป

แตละรปมมมยอดขนาด 212 6 เรเดยน

พนทสามเหลยมแตละรป

เทากบ 1 (6)(6)(sin ) 92 6 ตารางหนวย

..ดงนน พนทรป 12 เหลยม เทากบ 12 9 108 ตารางหนวย ตอบ

(216) พนทหกเหลยม 6 1 147 36( 7 7 sin60 ) 127.32 2

พนทวงกลม 2 222(7) 7 1547

ตอบ 154 127.3 26.7 cm2

(217) พนทแรเงาคดจาก พนทสามเหลยมฐานโคง ลบดวยพนทสามเหลยมฐานตรง

มมยอดของสามเหลยม 360 210 150 แสดงวาสามเหลยมฐานโคง มขนาด

เปน 150 5360 12 ของวงกลม

พนทสามเหลยมฐานโคง 25 5( 2 )12 3

พนทสามเหลยมฐานตรง 1 (2)(2)(sin 150 ) 12

ตอบ 5 1 4.233 ตารางหนวย

(218) เปรยบเทยบไดดงน ขอ 1. ผนผา ไมตองคด เพราะพนทนอยกวา จตรสอยแลว (ความรจากเรองอนพนธ)

ขอ 2. จตรส พนท = ดาน2

แต 4ดาน = L พนท2 2L L

4 16

ขอ 3. หกเหลยมดานเทา พนท 6 รป ดานเทา

6 ( 12 ดาน ดาน sin60 ) 3 3

2 ดาน2

แต 6ดาน = L พนท2 23 3 LL

2 6 8 3

(คดพนทสามเหลยมจากสตร 1 [ab sin C]2 )

ขอ 4. วงกลม พนท รศม2

แต L 2 รศม พนท2 2LL

42

เมอเปรยบเทยบกน พบวา 4 8 3 16 ดงนน วงกลมมพนทมากทสด ตอบ

kanuay

Pencil

คณต มงคลพทกษสข ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอการทม 551

(9) 4 2 9 3 6 2 3 3 10 2 6 32 3 6 2 5 3 4 3 6 2 3

2 2(10 2 6 3)(6 2 3)

(6 2) ( 3)

120 36 6 10 6 1869

138 46 669

6 2 63

ตอบ ขอ 2.

(10) 2 2 2 2x 4xy y (x 2xy y ) 2xy 2(x y) 2xy ..ในขอน xy 1

และ 2 2( 6 3) ( 6 3)x y 6 3

(ใชผลตางกาลงสองชวยคดทตวเศษ) (2 3)(2 6) 4 26 3

2 2 2x 4xy y (4 2) 2(1) 32 2 30 ตอบ

(11) ยกกาลงสองทงสองขาง ไดเปน 15 x 2 15x 22 2 105 ตอบ x 7 (เพราะ 15 7 22 และ 15(7) 105 พอด)

(12) ขอ 1. x 1 x 2 ยกกาลงสองเปน x 1 x 2 x 4

3 2 x ไมมคาตอบในระบบจานวนจรง

ขอ 2. x 12 2 x ยกกาลงสองไดเปน x 12 4 4 x x

8 4 x ไมมคาตอบในระบบจานวนจรง

ขอ 3. x 8 2 x 4 ยกกาลงสองเปน x 8 4 4 x 4 x 4

8 4 x 4 x 4 2 x 4 4 x 8

ตรวจคาตอบพบวาใชได ..ดงนน ขอ 3. ถก

ขอ 4. ยกกาลงสองเปน x 3 x 6 x 9 12 6 x 2 x

x 4 แตเมอตรวจคาตอบ พบวาใชไมได ไมมคาตอบในระบบจานวนจรง

(13) เซต A; 2x 1 2 x 3 2x 1 4 4 x 3 x 3 x 4 x 3 2x 16x 48 (x 4)(x 12) 0 x 4 หรอ 12

ตรวจคาตอบพบวาใชไดทงค A {4, 12}

เซต B; ให 14x a จะได 2a a 6 0

(a 3)(a 2) 0 a 3 หรอ 2 14x 3 เทานน (รากทสเปนคาตดลบไมได)

4x 3 81 ..นนคอ B {81}

ตอบ A B {85,93}

(14) ยกกาลงสองทงสองขาง จะได x 16 2 (x 16)(x 11) x 11 x 5

22 x 27x 176 x 32 ยกกาลงสองอกครง ไดเปน

2 24(x 27x 176) x 64x 1024 23x 44x 320 0

16(3x 16)(x 20) 0 x ,203

แตมเงอนไขของรทในโจทย จงได x 20 เทานน (ถา x 16/3 ในรทจะตดลบ)

(15) ให 2x 3x 5 A ..ซงจะได 2 22A 2x 6x 10 ดงนน สมการจะกลายเปน 22A 1 2A 25

22A 2A 24 0 2(A 4)(A 3) 0

2A x 3x 5 3 เทานน (เพราะรทมคาเทากบตดลบไมได)

2x 3x 5 9 2x 3x 4 0 (x 4)(x 1) 0 x 4 หรอ 1

ตอบ ผลบวกคาตอบคอ 4 ( 1) 3

(16) เนองจาก 25(x 2) (2x 3)

5 2x 4x 4 2x 3 5 2x 2x 1 25(x 1)

kanuay

Pencil


(53) จาก 1

2 4 3x log((3 )(3 )) 2log(3 ) 2 log 3 และ 225 3 24y log(( ) ( ) ( )) log 38 5 9

ดงนน x 2 log 3 2y log 3

ตอบ

(54) 1 210 10 10log 28 log 325 log 91

10 10 101log 28 log 325 log 912

10 1028 325 9100log ( ) log ( )91 91

10log 10 1 ตอบ

(55) 1 1f(1) f( ) ... f( )2 n

3 4 n 1log(2) log( ) log( ) ... log( )2 3 n

3 4 n 1log(2 ... )2 3 n

log(n 1) f(n) ตอบ

(56) 3/4 3/ 43 3 27 3 3(3 ) 3(1 3 ) และ 3 5 3 6 ( 3 2)( 3 3) 1/ 4 1/ 4 1/ 4 3/ 4 1/ 4(3 2)(3 3) (3 2)(1 3 )(3 )

ดงนน จากโจทย 3/4

33 (1 3 )log

1/ 4 3/4(3 2)(1 3 ) 1/ 4(3 )

3/41/ 4

3 31/43 3log log (3 2)43 2

ตอบ

(57) ให x2 A จะได 2

21y A 2A

21 1y (A ) AA A

(ถอดรทไดเชนน เพราะคา A และ y เปนบวก) 2A yA 1 0

2y y 4A 2

..แตคาของ xA 2 ตองเปนบวกเสมอ

..จาก 221 1y A 2 A AA

จะได 2 221 1y 4 A 2 A AA

ปรากฏวาคา 2y 4 y จงยงไมสามารถตดคาตอบใดทงได เพราะใหคาเปนบวกเหมอนกน ตองทดลองแทนคา (ตรวจคาตอบ) ดงน..

กรณ 2 1 1(A ) (A )y y 4 A AA 2 2

..ถก

กรณ 2 1 1(A ) (A )y y 4 A AA 2 2

..ผด

..ดงนนจงสรปวา 2

xy y 4A 22

ตอบ 2

2y y 4x log ( )2

(ขอ 1.)

(58) นา x(log2) คณทงเศษและสวน

จะได 2x

2x7(log2) 5y 5 14(log2)

ให 2x(log2) A จะได 7A 5y 5 14A

จดรปไดดงน; 5y 14yA 7A 5 5y 55y 5 7A 14yA A 7 14y

2x 5(y 1)(log2) 7(1 2y)

x 5(y 1)(log2) 7(1 2y)

ตอบ log 25(y 1)x log 7(1 2y)

(ขอ 1.)

(59) ขอ 1. ผด ..ซายมอ log(log x log y) แตขวามอ log(log x log y) ขอ 2. ผด ..ขวามอ log x1 10x

log(1 x)10

ขอ 3. ผด ..11 122 2log 3 log(3 ) 110 10 3

3

ขอ 4. ถก ..ซายมอ 10 log elog [(ab) ] 10 log(ab)log e ขวามอ

kanuay

Pencil


1(2A 1)(A 4) 0 A 2 หรอ 4

a 1 หรอ 2 แตโจทยให a 0 ดงนน a 2 เทานน จงไดอสมการ 2 2 22 log (x 2) log (x 1) log 16

2 2(x 2) (x 4x 4) 16x 1616 0x 1 x 1

2x 12x 20 (x 10)(x 2)0 0x 1 x 1

ไดชวงคาตอบเปน ( , 1) (2, 10) แตมเงอนไข log คอ x 2 และ x 1 ดวย ..ดงนน x (2, 10) ตอบ เปนสบเซตของขอ 4.

(89) จากอสมการ 2log(log x (9 log x )) 1 >

2log x (9 log x ) 10 > ..ถาให log x A จะไดอสมการกลายเปน

2A(9 2A) 10 2A 9A 10 0 > < (2A 5)(A 2) 0 2 A 5/2 < < <

5/222 log x 5/2 10 x 10 < < < <

..พจารณาเงอนไขของ log ในโจทย ซงไดแก (1) log x 0 x 1 และ (2) 2 29 log x 0 log x 9 9/2 9/210 x 10 (โดยท x 0 ) พบวาชวงคาตอบทคานวณไว ใชไดทงหมด.. ตอบ 5/2 9/22ab 10 10 10

(90) จากเงอนไขของ log จะได x 3 0x 1

เสมอ

คอ x ( , 3) (1, ) แตคา x เปนฐานดวย x 1 เทานน ..แสดงวาเปนฟงกชนเพม

2

1x 3 x 3 x xx 0x 1 x 1

> > 2x 2x 3 (x 3)(x 1)0 0x 1 x 1

< <

ไดชวงคาตอบเปน ( , 1] (1, 3] แตจากเงอนไข x 1 จงสรปไดวา S (1, 3] ดงนน 3 3T (log 1, log 3] (0,2] ตอบ เปนสบเซตของขอ 1.

(91) log2 log 3 log 4 log 10... 1log x log x log x log x <

log(2 3 4 ... 10) 1log x

<

ถา log x 0 (คอ x 1 ) จะยายขางได log(10!) log x< x 10! > ชวงคาตอบกรณนคอ [10!, )

ถา log x 0 (คอ 0 x 1 ) จะยายขางได log(10!) log x> x 10! < ชวงคาตอบกรณนคอ (0, 1)

ตอบ เซตคาตอบรวมคอ (0, 1) [10!, )

(92) จาก log x log 10 12 log x4 2 9 2 2 0 < ถาให log x2 A จะไดอสมการเปน 24A 9A 2 0 <

1(4A 1)(A 2) 0 A 24 < < < log x1 2 2 2 log x 14 < < < <

1 ax 10 1,000100 b < < ตอบ

(93) เซต A; ใส 3log ทงสองขาง

33 3 3 3log x log x log 9 log x

23 33(log x) (log x) 2 0 3 3(3 log x 2)(log x 1) 0

2/33

2log x , 1 x 3 , 33

เซต B; นา 3 ไปยกกาลงทงสองขาง x

x 3 xx 3 x log x log 33 1x(log x log 3) 03

x 0 หรอ 1/ 3x 3 ..ซงคา 0 ใชไมได เพราะ x อยใน log ดวย

1/ 3x 3 เทานน

ตอบ 1 43 3C {3 , 3 }

kanuay

Pencil


188. [คดโอลมปก / 2539] กาหนดให A เปนเซตคาตอบของอสมการ 1 log(3 x) 3

และ B เปนเซตคาตอบของอสมการ 2y 11 1( )9 2187 <

จะได A B เทากบเซตใด

1. 5( 997, ]4 2. 5 29[ , )4 10 3. 29( , )10 4. ( 997, )

189. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2547] เซตคาตอบของอสมการ 3 3log x log 4 14 x 2 เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน

1. 1 2( , )3 3 2. 1(0, )6 3. 1( , 1)6 4. 2( ,2)3

190. [คดโอลมปก / 2540] กาหนดใหชวง (a, b) เปนเซตคาตอบของอสมการ log x log 43(2 ) 2 x แลว a b มคาเทาใด 1. 8 2. 11 3. 13 4. 16 191. [โควตา มช. / 2543] กาหนดอสมการ 2 2

100(log x) 3 log x 0 ถาเซตคาตอบของอสมการคอ m n{ x | 10 x 10 } จงหาคาของ m n 192. [คดโอลมปก / 2540] พจารณาขอความตอไปน ก. มจานวนเตม a ททาให ln a2 a ข. อสมการ x

2log (4 1255) x 8 มคาตอบทเปนจานวนเตมอย 4 จานวน ขอใดตอไปนถกตอง 1. ขอ ก. และขอ ข. เปนจรง 2. ขอ ก. เปนจรง แตขอ ข. เปนเทจ 3. ขอ ข. เปนเทจ แตขอ ก. เปนจรง 4. ขอ ก. และขอ ข. เปนเทจ 193. [คดโอลมปก / 2543] กาหนดให x x 1 4

2 2S { x | 2 log x 8 2 log x } R เซต S มจานวนสมาชกทเปนจานวนเตมซงนอยกวา 20 เทากบขอใดตอไปน 1. 14 2. 15 3. 16 4. 17 194. [คดโอลมปก / 2546] เซตคาตอบของอสมการ log xx 100x เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน

1. (0, 90) 2. 1( , 120)2 3. 1( , 110)20 4. [1, 130]

kanuay

Pencil


x x3 3 4 หรอ 4 แตเนองจาก x เปนคาบวก ทาให x3 มคามากกวา

x3 แนนอน ..ดงนน x x3 3 4 ตอบ

(129) ให 2xA 2 จากโจทยจะได 3 2 34A 5A A 2A <

3 23A 5A 2A 0 < A(3A 1)(A 2) 0 <

..เขยนเสนจานวน ไดชวงคาตอบเปน 1A 3< หรอ 0 A 2< <

..แต 2x 12 3< เปนไปไมได

เพราะเอกซโพเนนเชยลมคาเปนบวกเสมอ ดงนน 2x0 2 2< < เทานน

2x 1 1 x 1 < < < แสดงวา เซตคาตอบคอชวงปด [ 1, 1] ตอบ

(130) ให xA 2 และ xB 3 จะไดสมการเปน 2 22(A A ) B AB B บวกดวย 2AB ทงสองขาง จะได 2 22(A A AB) B AB B ดงตวรวม.. 2A(1 A B) B(1 A B) (2A B)(1 A B) 0

..ดงนน 2A B เทานน (กรณ A B 1 เปนไปไมได เพราะเอกซโพเนนเชยลมคาเปนบวกเสมอ)

x x2 2 3 log2 x log2 x log 3 log2 0.301x 1.7log 3 log2 0.176

ตอบ ขอ 3.

(131) ให xA 2 4 และ xB 4 2 สมการจะกลายเปน 3 3 3A B (A B) ดงนน 3 3 3 2 2 3A B A 3A B 3AB B

2 23A B 3AB 0 3 AB(A B) 0 จะได A 0 ..นนคอ x2 4 0 x 2 หรอ B 0 ..นนคอ x4 2 0 x 1/2 หรอ A B 0 ..นนคอ x x4 2 6 0

x x(2 3)(2 2) 0 x2 2 0 x 1

(กรณ x2 3 เปนไปไมได เพราะเอกซโพเนนเชยลไมมทางตดลบ)

S {2, 1/2, 1} และมผลบวกเทากบ 7/2

(132) ให xa 2 จะได 2 2 2 3 2(a 1) 81(a 1) 18(a a a 1) <

2 2 2 2(a 1) (a 1) 81(a 1) 18(a 1)(a 1) < ยายขางมาลบและดงตวรวมคอ 2(a 1) ออก ..จะได 2 2(a 1) [(a 1) 81 18(a 1)] 0 <

2 2(a 1) [(a 1 9) ] 0 < 2 2(a 1) (a 8) 0 <

เปนไปไดเมอ a 1 หรอ a 8 เทานน ..นนคอ x 0 หรอ x 3 ดงนน เซตคาตอบของอสมการคอ {0, 3} ตอบ

(133) ถาให xA 3 และ xB 2 สมการในโจทยจะกลายเปน

2 2 2 2A B 4A B AB 2AB 24A 6B 24 0 2 2 2 2(A B 4A B) (AB 4AB)

(6AB 24A) (6B 24) 0 2A B(B 4) AB(B 4)

6A(B 4) 6(B 4) 0 2(B 4)[A B AB 6A 6] 0 2(B 4)[(A B AB) (6A 6)] 0

(B 4)[AB(A 1) 6(A 1)] 0 (B 4)(A 1)(AB 6) 0

ดงนน B 4 หรอ A 1 หรอ AB 6 นนคอ x2 4 หรอ x3 1 หรอ x6 6 ตอบ 2, 0, 1 (ขอ 1.)

(134) จากอสมการในโจทย จะได

3x 2x x x 2x 3x2(5 ) 3(5 )(2 ) 9(5 )(2 ) 10(2 ) 0 < นา 3x2 (ซงเปนบวกเสมอ) หารตลอดทงอสมการ

จะได 3x 2x x5 5 52( ) 3( ) 9( ) 10 02 2 2 <

kanuay

Pencil


..กรณ 25log (x 2x 3) 1

จะได 2x 2x 3 5 2x 2x 8 0 (x 4)(x 2) 0

ดงนน x 4 หรอ x 2

..สวนกรณ x 0 กบกรณ x 1 ใชไมได เพราะจะทาใหภายใน log มคาตดลบ

A { 4,2} และมผลบวกของคาสมบรณเปน 4 2 6

(173) จากโจทยจะได xx10

9 11log 23 2

x2

x9 11 ( 10) 103 2

สมมตให xA 3 จะไดสมการเปน 2A 11 10A 2

2A 11 10A 20 2A 10A 9 0 (A 9)(A 1) 0

ดงนน xA 3 9 หรอ 1 นนคอ x 2 หรอ 0

..ตรวจคาตอบพบวา x 2 ใชได แต x 0 ใชไมได (เพราะจะทาใหในโจทยเกด log ของจานวนตดลบ) ตอบ 2

(174) ให x 1A 3 จะไดสมการเปน

22 2 2log (A 7) log 4 log (A 1)

2A 7 4(A 1) 2A 4A 3 0 (A 3)(A 1) 0

ดงนน A 3 หรอ 1 แทนคาใน log แลวพบวาใชไดทงค

..กรณ x 13 3 จะได x 2

..กรณ x 13 1 จะได x 1 ตอบ ผลบวกคาตอบของสมการเทากบ 3

(175) x 2 x 23 3 3log (4 17) log (2 1) log 9

ถอด log ออก จะได x 2 x 24 17 9(2 1)

..ถาให x 2A 2 สมการจะกลายเปน 2A 17 9(A 1)

2A 9A 26 0 9 81 104A 2

ในรทตดลบ จงเปนไปไมได (คาตอบไมใชจานวนจรง) ตอบ ไมมขอใดถก

(176) ให xA 3 จะไดสมการเปน

22 2log (9A 15) 2 log (61A 3)

22 2 2log (9A 15) log 4 log (61A 3) 29A 15 4(61A 3) 29A 244A 27 0

(9A 1)(A 27) 0

นนคอ 1A 9 หรอ 27

(ตรวจสอบใน log แลวใชไดทงสองคา) จะได x 2 หรอ 3 ตอบ ขอ 4.

(177) จากโจทยจะได x 3y ylog( ) log( )3x 7y x y

นา y ไปหารทงเศษและสวน และเขยน x/y ดวย A เพอใหสะดวก ดงน..

A 3 1log( ) log( )3A 7 A 1

A 3 13A 7 A 1

(A 3)(A 1) 3A 7

2A 7A 10 0 (A 5)(A 2) 0

ดงนน A 5 หรอ 2 x 5y หรอ 2

..นาไปตรวจสอบกบโจทย ภายใน log ตองมากกวา 0 เสมอ พบวา x 2y ใชไมได เพราะจะเกด log(ตดลบ) สวน x 5y ใชได..

ดงนน ตอบ x 5y

kanuay

Pencil


เซต B;

จาก 2 22log (x x 2) log (x 1)1 1( ) ( )3 3

จะได 22 2log (x x 2) log (x 1)

(พลกเครองหมายเพราะฐาน 1/3 นอยกวา 1) 2x x 2 x 1 2x 1 0

(x 1)(x 1) 0 ..นนคอ 1 x 1

แตยงมเงอนไขของ log ดวย ไดแก 2x x 2 0 และ x 1 0 ซงพบวาเงอนไข x 1 0 x 1 อนเตอรเซคกนกบคาตอบทไดแลว จะได B

..โจทยถาม (A B') (A B') A B U แต B จงไดคาตอบเปนเซต A

คอ 6 15( , ) {2}7 8 ตอบ

(188) เซต A; นา 10 ยกกาลงจะได 1 (3 x) 100010

นนคอ 29997 x 10 29A ( 997, )10

เซต B; จาก 4y 2 71 1( ) ( )3 3 <

จะได 54y 2 7 y 4 > >

(พลกเครองหมาย เพราะฐานคอ 1/3 นอยกวา 1) 5B [ , )4 ตอบ ขอ 2.

(189) จากหลกทวา b blog c log aa c (สามารถพสจนไดโดยใส log ฐาน b ทงสองขาง) อสมการในโจทยจงกลายเปน 3 3log x log x 14 4 2

3log x 12 4 2 3log x 14 4

3log x 1 1x 3 แตเนองจาก x อยใน log และเปนฐานดวย

ดงนนคาตอบคอ 10 x 3

ตอบ เปนสบเซตของขอ 1.

(190) จากโจทยจะได log x log x3(2 ) 2 4 ..ถาให log xA 2 อสมการจะกลายเปน

23A 2 A (A 2)(A 1) 0 1 A 2 log x1 2 2 0 log x 1 1 x 10

ดงนนชวงคาตอบคอ (1, 10) และจะได a b 11

(191) จาก 2 2

100(log x) 3 log x 0 จดรปไดเปน 2(log x) 3 log x 0 (โยนกาลงสองของ x และของ 100 ออกมาเปนสมประสทธ ตดกน)

(log x)(log x 3) 0 0 log x 3 ..ดงนน 0 310 x 10

ตอบ m n 0 3 3

(192) ขอ ก. จาก ln a2 a ใส log ฐาน 2 ทงสองขาง จะได 2ln a log a นนคอ e 2log a log a จะเปนจรงเมอ a นอยกวา 1 เทานน (0 a 1 ) ดงนน ไมมจานวนเตมใดทาใหขอนเปนจรงได ขอ ก. เทจ

ขอ ข. จาก x2log (4 1255) x 8

จะได x x 84 1255 2 ให xA 2 อสมการจะเปน 2A 1255 256A

(A 251)(A 5) 0 5 A 251 x5 2 251

ดงนนคาตอบทเปนจานวนเตมไดแก 3, 4, 5, 6, 7 รวม 5 จานวน ขอ ข. เทจ

(193) ให xA 2 และ 2B log x จะไดอสมการกลายเปน AB 8 2A 4B

AB 2A 4B 8 A(B 2) 4(B 2) (A 4)(B 2) 0

นนคอ A 4 กบ B 2 เปนบวกทงค, หรอตดลบทงคกได

กรณ A 4 กบ B 2 เปนบวกทงค จะได x2 4 และ 2log x 2 นนคอ x 2 และ x 4

kanuay

Pencil


โจทยถาม k nm k

1 1logk logn2 1

logm logk

logm ( )log m log m2 log n log n logn ( )

แทนคาจากสมการ (1) และ (2) ทเศษและสวน ตามลาดบ

จะได 2

logm1

logn

logm ( ) 2 21logn ( ) ตอบ

(208) หาโดเมนของ f จากเงอนไข 22x x 1 0 >

(2x 1)(x 1) 0 >

เขยนเสนจานวนจะไดวา f1D ( , 1] [ , )2

หาโดเมนของ g

จากเงอนไข 2x 01 x

x 0(x 1)(x 1)

(พลกเครองหมาย เพราะมการสลบบวกลบทสวน) เขยนเสนจานวนจะไดวา gD ( , 1) (0, 1)

ตอบ f g f g1D D D ( , 1) [ , 1)2

(209) ขอ 1. ถาแทน y ดวย 0 จะได 1/ x 1/ x0 e e

2/ x1/ x

e 10 e

2/ x 2e 1 0x

ไมมคา x ใดททาใหสมการเปนจรง ดงนนขอ 1. ถก

ขอ 2. ถาแทน y ดวย 0 จะได x 1 x3 2 x log 3 log 3 x log2

2 23 3

log 3 log 3 ln 3x log2 log 3 log ln

(เปลยนฐาน log ทงเศษและสวนใหเปนฐาน e ไดทนท) ดงนน ขอ 2. ผด

ขอ 3. ถาแทน y ดวย 0 จะได 2x xe 4 e 2 x ln2 ดงนน ขอ 3. ถก

ขอ 4. ถาแทน y ดวย 0 จะได 0 ln(tan x) tan x 1

ในชวง 0 x 2 จะได x 4

เทานน


(210) ตรวจสอบโดยแทนคา n เชน แทน 6n 10 ขอ 1. 6t 10 ดกวา t 100 ผด (t นอยดกวา) ขอ 2. t 1,000 ดกวา t 12 ผด ขอ 3. 8t 10 5 ดกวา 12t 10 ถก ขอ 4. 1,000t 2 ดกวา 12t 10 ผด

ดงนน ตอบ ขอ 3.

(211) เนองจากม x ดงนน x ตดลบไมได ..เหลอเพยงขอ 2. กบ 4. ทเปนไปได

ลองแทนคา x 1 y 2 , x 2 y 3.414 , x 3 y 4.732 , x 4 y 6 พบวามลกษณะการโคงแบบขอ 4. ตอบ

(212) 0lnN t lnN ถาใหแกน y คอ lnN และแกน x คอ t สมการจะอยในรป 0Y X lnN ..ดงนน กราฟจะเปนเสนตรง และเนองจาก 0 แสดงวาความชนตดลบ ตอบ ขอ 2.

kanuay

Pencil


13. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2534] ให a และ b เปนจานวนจรงใดๆ ทไมเปนศนยพรอมกน

กาหนดเมทรกซ aA b

และ cos 2 sin 2B sin2 cos 2

คาของมม ในชวง [0, ]2 ทจะทาใหผลคณ tA BA เปนเมทรกซศนย คอคาในขอใดตอไปน

1. 6 2. 3

3. 4 4. 2

14. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2525] :( กาหนดให cos sinA sin cos

ถา 4A I 0 แลว ในชวง [0 , 90 ] มคาเทากบกองศา 1. 0 2. 30 3. 45 4. 90 5. ไมมขอใดใน 1. ถง 4. ทถก 15. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2529] :( ให cos sinA sin cos

คา 0 ทเลกทสดททาให 16A I และ 16A I คอ 1 และ 2 ตามลาดบ แลวคา 1 2( , ) จะเทากบขอใดตอไปน

1. ( , 0)16 2. (0, )16

3. ( , )16 16 4. ขอ 1, 2 และ 3 ไมมขอใดถก

16. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2532] ถา A และ B เปนเซตของเมทรกซ กาหนดโดย

n1 1A { | n0 1

เปนจานวนเตมบวก }

n1 0B { | n0 1

เปนจานวนเตมบวก }

แลวขอใดตอไปนเปนจรง 1. A เปนเซตจากด และ B เปนเซตจากด 2. A เปนเซตจากด และ B เปนเซตอนนต 3. A เปนเซตอนนต และ B เปนเซตจากด 4. A เปนเซตอนนต และ B เปนเซตอนนต 17. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2528] ;Þ กาหนดให A, B และ C เปนเมทรกซ 2 2 ใดๆ ถานยาม 12A B (AB BA) แลวขอสรปใดตอไปนไมจรง

1. 2A A A 2. A B B A 3. (A B) C A (B C) 4. A (B C) (A B) (A C)

kanuay

Pencil

คณต มงคลพทกษสข เมทรกซ 633

80. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2539] :(

กาหนดให 1 2 1

A 2 1 11 1 0

และ 1 0 0

I 0 1 00 0 1

ถา B เปนเมทรกซททาให AB BA I แลวคาของ 1det (adj B ) เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 16 3. 25 4. 36 81. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2544] :( กาหนดให ij 3 3A [a ] โดยท

i 1ij

2 , i ja 2 , i j

tadj(A )4det det(A)

เทากบขอใดตอไปน

1. 16 2. 4 3. 4 4. 16 82. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2547] :( ให A, B เปนเมทรกซมต 3 3 ถา AB 3I โดยท I เปนเมทรกซเอกลกษณ

และ 1adj B A3 แลว det(A) มคาเทากบเทาใด 83. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2537] :( ให A, B เปนเมทรกซจตรสมต 3 3 และ I เปนเมทรกซเอกลกษณมต 3 3

ถา AB BA I และ 1 1 1

A 2 1 31 0 1

แลวเมทรกซผกพนของ B (หรอ adj B ) เทากบขอใดตอไปน

1. 1 A3 2. 3A 3. t1 A3 4. t3A

84. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2538] :( ให A และ B เปนเมทรกซจตรสมต 4 4 และ I เปนเมทรกซเอกลกษณมต 4 4 โดยท A(adj A) BA I ถา det(B) 0 แลว det(A) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 0 3. 1 4. 2 85. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2540] :(

กาหนดให 1 2 3

A 0 1 02 1 0

และ p

X qr

ถา 21

A (adj A)X 60

แลว p มคาเทากบเทาไร

เฉลย 74. 2 75. 3 76. 3 77. 3 78. 3 79. 3 80. 4 81. 1 82. 27 83. 1 84. 3 85. 0.5

kanuay

Pencil


เฉลยวธคด (1) ให a bA c d

ถา tA A จะได a c a bb d c d

นนคอ a 0 , d 0 และ b c ตอบ ขอ 3.

(2) 2

t 22

x y 3A 1 1 x

x 3 y

ดงนน จะได 2 2

t 2 22 2

2x y 1 x 3A A y 1 2 x 3

x 3 x 3 2y

ซงโจทยบอกวาเทากบ 2 0 40 2 44 4 2

2x 2 x 1 (คดจากตาแหนง 11) และ 2y 2 y 1 (คดจากตาแหนง 33) นาไปแทนคาในตาแหนงอนทเหลอ พบวาใชไดถกตอง.. ดงนน ตอบขอ 2. x y 2

(3) จาก 3 1 1 3 3 3A B (AB) แสดงวาขอ 1. ถง 3. ไมใชแนนอน

..หาผลคณไดเปน 3 18 212 12 144 24 28

(ขอ 5.)

(4) ขอ 1, 2, 3 ถกตองแลว ขอ 5. ถก ..เพราะ A เปนเมทรกซ 2 1 ไมใชเมทรกซจตรส จงไมสามารถหาคา det ได และทาให ขอ 4. ผด

(5) เนองจาก 11 11 12 21 11 12 12 2221 11 22 21 21 12 22 22a b a b a b a bAB a b a b a b a b

ดงนน t 11 11 12 21 21 11 22 2111 12 12 22 21 12 22 22a b a b a b a bC (AB) a b a b a b a b

ij j1 1i j2 2ic a b a b ตอบ ขอ 1.

(6) ตาแหนง 11; 2(x y) 4 1 .....(1) ตาแหนง 12; (x y)(y) 2y a .....(2) ตาแหนง 21; 6 2z 0 z 3 .....(3) ตาแหนง 22; 3y zy 1 .....(4)

แทนสมการ (3) ใน (4) จะไดวา 1y 6

จากสมการ (1) คอ 5x y 2 แทนลงใน (2)

กจะได 3a 4 ตอบ ขอ 2.

(7) BA 3x 7y 7x 4y

ดงนน t 2 2BAB 3x 7xy 7xy 4y 12

..ถาหาก tBAB 12 กแสดงวา

2 23x 4y 12 2 2x y 14 3

ตอบ เปนไฮเพอรโบลาซงมแกนตามขวางทบแกน x

(8) ให t a ca bA A b dc d

จะได 2 2t

2 2a b ac bdAA ac bd c d

และ t 2a b cA A b c 2d

เงอนไขททาให t tAA A A ไดแก 2 2a b 2a ..... (1) ac bd b c ..... (2) 2 2c d 2d ..... (3)

ขอนแกระบบสมการไมออก ดงนนใชวธนาตวเลอกแตละขอไปแทนคาในสมการโจทยเลย จะงายทสด

..เมอนาตวเลอกแตละขอมาตรวจสอบ พบวาใชไดอย 2 ขอ คอขอ 1. และขอ 4. ตอบ ขอ 5.

(9) ขอ 1. ถก ..เพราะลองคณแลวได 1A A I

หมายเหต การหาอนเวอรสโดยตรงจะไดผลดงน

kanuay

Pencil

kanuay

Pencil


(15) ผลจากขอทแลว จะสรปไดวา 16 cos 16 sin 16A sin 16 cos 16

ถา 16A I ..จะได 1cos 16 1 และ 1sin 16 0 คา 116 ทนอยทสดทมากกวา 0 คอ 2

1216 8

ถา 16A I ..จะได 2cos 16 1 และ 2sin 16 0 คา 216 ทนอยทสดทมากกวา 0 คอ

2 16

..ดงนน 1 2( , ) ( , )8 16 ตอบ ขอ 4.

(16) เซต A; 11 1 1 1

0 1 0 1

21 1 1 1 1 1 1 20 1 0 1 0 1 0 1

31 1 1 11 2 1 30 1 0 10 1 0 1

..ฯลฯ

ดงนน 1 nA { เมอ n } 0 1 I เปนเซตอนนต

เซต B; 11 0 1 0

0 1 0 1

21 0 1 0 1 0 1 0 I0 1 0 1 0 1 0 1

31 0 1 0 1 0I0 1 0 1 0 1

และ 41 0

0 1

จะได I อกครง, ..ฯลฯ

ดงนน 1 0 1 0B { , }0 1 0 1

เปนเซตจากด

(17) ขอ 1. 1A A (AA AA)2

21 (2AA) AA A2 (จรง)

ขอ 2. 1A B (AB BA)2

และ 1B A (BA AB)2 ..ซงเทากน (จรง)

ขอ 3. 1(A B) C ( (AB BA)) C2

1 1 1( (AB BA)C C (AB BA))2 2 2

1 (ABC BAC CAB CBA)4

และ 1A (B C) A ( (BC CB))2

1 1 1(A (BC CB) (BC CB)A)2 2 2

1 (ABC ACB BCA CBA)4

จะเหนวาไมไดเทากนเสมอไป ขอ 3. ไมจรง

ขอ 4. 1A (B C) (A(B C) (B C)A)2

1 (AB AC BA CA)2

และ 1 1(A B) (A C) (AB BA) (AC CA)2 2

1 (AB BA AC CA)2

..ซงเทากน (จรง)

(18) ขอ 1. และ 2. และ 5. ถกแลว

ขอ 3. ผด ..ทถกคอ 33 0 3 1 0 10 0 3 3 0 0 10 3 0 0 1 0

ขอ 4. ถก เพราะ 4 5 0 2 5 0 2 5 02 1 0 2 1 1 0 4 1 1 04 2 4 2 2 4 1 1 2

(19) ขอ 1. 2 1 1 3 1 3A 3 1 3 14

1 2 2 32 3 24

ขอ 1. ผด

ขอ 2. 1 0AB 0 1

, 1 0BA 0 1

ขอ 2. ผด

ขอ 3. จาก 2332

43 499 2

ขอ 3. ถก

ขอ 4. ผด ..เพราะ det ทงสองขางนนเทากน (จากสมบตของ det)

kanuay

Pencil


(46) จากเงอนไข “เมทรกซเอกฐาน” แสดงวา 2x (x 1) x(x 4) 0

3x 4x 0 x 0 หรอ 2 หรอ 2

ตองนาคา x มาจาก {0, 1,2, 3, 4} จงมเลข 0 กบ 2 ทใชได

..ดงนน ความนาจะเปน 2 0.45 ตอบ

(47) จากเงอนไข “เมทรกซเอกฐาน” แสดงวา 2(x 1)(2 x) 0

x 1 หรอ 1 หรอ 2

ดงนน เลอก x ได 3 แบบ และ y เปนอะไรกได (เลอกไดทง 5 แบบ)

..ความนาจะเปน 3 5 35 5 5

ตอบ

(48) จากเงอนไข “เมทรกซเอกฐาน” แสดงวา 2 35 6x x 0

2(x 1)(x 5x 5) 0

..นนคอ x 1

หรอ 5 25 20 5 3 5x 2 2

ตอบ ขอ 1.

(49) ขอ 1. ผด ..ทถกคอ 2det( A) ( 1) det(A) det(A)

ขอ 2. ผด ..เชน 1 3A 1 3

, 1 1B 2 2

จะได A, B เปนเมทรกซเอกฐาน

แต 2 4A B 3 5

ไมเปนเมทรกซเอกฐาน

(ในขอนตองเปลยนเปนผลคณ AB จงจะถก)

ขอ 3. ผด ..จะสรปวา A กบ B เปนอนเวอรสของกนกได ..หรอ A 0 กได ..หรอ B 0 กได

ขอ 4. ผด ..จาก A (1 i)B ดงนน 1 1 1 1 11 1 i 1A ( )B ( )B (B iB )1 i 2 2

ตอบ ขอ 5.

(50) ขอ 1. ผด ..AB กบ BA ไมจาเปนตองเทากน

ขอ 2. ถก (เปนสมบตทควรทราบ)

ขอ 3. ผด ..ไมจาเปนตองเปนแบบนน

เชน 1 1A 2 2 6 1B 0 8

2 3C 4 6

พบวา AB AC แต B C

(หรอยกตวอยางเปน 0 0A 0 0

กไดเชนกน)

ขอ 4. ผด ..ไมจาเปนตองเปนแบบนน

เชน 2 3A 2 3

3 6B 2 4

กพบวา AB 0

แม A กบ B จะไมมเมทรกซใดเปน 0 เลย

(51) จาก 2A A I 0 จะได 2I A A ..นา 1A คณทงสองขางของสมการ จะไดเปน 1 2 1 1IA A A AA

1A A I ตอบ ขอ 2.

หมายเหต เนองจากเราหา 1A ได แสดงวา A เปนเมทรกซไมเอกฐาน

(52) โจทยกาหนด 4 16 4 0A 36 64 0 4

นา 14 คณทงสองขาง; 1 4 1 0A I9 16 0 1

1 1 4A 9 16 นนเอง ตอบ

(53) จากสมการในโจทย ยาย A ไปฝงขวา

ไดเปน 1 0 2 1x

y AB 2 1 1 2z 5 1 2 0

y (2)(1) ( 1)(2) (1)(0) 0 ตอบ ขอ 1.

(54) จากโจทย คอ 1AB AC I2

1A(B C) I2 12(B C) A

1 2 0 4A 0 2 2

4 2 2

ตอบ

kanuay

Pencil


144. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2537] เมอ A คอดเทอรมนนตของเมทรกซจตรส A

ตอไปนขอใดเทากบ a b 12 4 11 2 1

1. a b 10 0 10 0 1

2. a b 10 0 11 2 1

3. a b 10 0 11 2 0

4. a b 10 0 10 0 1

145. [โควตา มช. / 2537]

กาหนด x y z

A p q rs t u

, p q r

B 3x 3y 3z2s 2t 2u

และ det(A) 2

จงหาคาของ 1det (2B ) 146. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2548]

กาหนดให

1 2 1 31 1 1 3A 1 2 0 32 4 2 7

ดงนน สมาชกของ 1A ทมคามากทสดเทากบขอใดตอไปน 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6 147. [โควตา มช. / 2538] ขอใดตอไปนผด 1. ถา A, B เปนเมทรกซทมมตเดยวกน และ k เปนจานวนจรง จะไดวา t t tk (A B ) kA kB 2. ถา ad bc 0 แลว จะไดวาคาตอบของระบบสมการ ax by m , cx dy n จะมเพยงคาตอบเดยว

3. 1sin cos sin cos

cos sin cos sin

4. 1 2 3 1 1 11 2 3 2 2 21 2 3 3 3 3

a a a c b ab b b c b ac c c c b a

148. [พนฐานวศวะฯ / 2539] จงหาคา k ททาใหระบบสมการเชงเสนตอไปน ไมสามารถหาคาตอบได 2x y 3z 1 x ky z 3 และ x y z 2 1. 2 2. 1 3. 0 4. 1

เฉลย 137. 16 138. 2 139. 3 140. 2 141. 2 142. 10 143. 0.25 144. 3 145. -2/3 146. 2 147. 4 148. 4

kanuay

Pencil


วธท 2 (แกหา x และหา B กอน) จาก 12B I 2A นา A คณเขาทางขวา จะได 2BA A 2I

12A A 2I x

x1 0 2 2 02 22( ) 0 21 2 1 02

xx

2 0 2 00 20 2

..จะได x 1

และจะทราบ B ไดจาก 1 1 2BA A B (A ) 1 1 10 2 0 2 2 4B 1 2 1 2 2 22 2 4

2 2 2 4det(A 4B) 21 2 0 2 ตอบ

(126) จาก 1 t t[(A B)C(B A)] (det 2A)I ทรานสโพสทงสองขาง จะได 1 t(A B)C(B A) (det 2A)I (เพราะ I ทรานสโพสแลวไดผลเหมอนเดม)

ยาย 1A และ A ไปคณทางขวา (สามารถยายไดเพราะคณอยชนนอกสด) ไดเปน t 1B CB (det 2A)A A (det 2A)I เชนเดม

ดงนนยาย B และ tB ไปทางขวา ไดเปน 1 t 1 t 1C (det 2A)B (B ) (det 2A)(B B)

หาอนเวอรสทงสองขาง จะได 1 t1C ( )B Bdet 2A

..คานวณ det A 4 36 24 15 1 ดงนน 3det 2A 2 (det A) 8

และ t 1 0 1 1 1 0 2 1 3B B 1 2 2 0 2 1 1 9 4

0 1 3 1 2 3 3 4 10

ตอบ ขอ 2.

(127) ๏ จาก 2

1 t 1 t BBC B B C B 4C

แทนคา C 2 ลงไป จะได B 2 2 (มคาเปนบวก ตามทโจทยกาหนดไว)

๏ จาก 1 t t 1 t tB (B C )C B B C C

t tB C C 3B

แทนคา B กบ C ลงไป จะได t tB C 3 2 .....(1)

๏ และจาก AC B 2

เมอนา 1C คณทงสองขาง จะได

1 1 2AC B C A BC 1C .....(2)

๏ โจทยถาม t t 1 t tA(B C ) BC (B C ) 1 t t 1 t t(A BC )(B C ) A BC B C

แทนคาทคานวณไวจากสมการ (1) และ (2) ( 1)(3 2) 3 2 ตอบ

(128) สมมต a bB c d

..แต 111C (B) 3 จงไดวา 1d 3

และ 21C (B) 1 จงไดวา b 1

ดงนน a 1B c 1/3

โจทยบอกวา 2 2(A B)(A B) A B แสดงวา AB BA (จงทาใหสมการนเปนจรงได)

นนคอ a 1 a 11 3 1 3c 1/3 c 1/31 2 1 2

ตาแหนง 12; 0 3a 2 a 2/3 ตาแหนง 22; 5/3 3c 2/3 c 1/3 ซงตรวจสอบแลวคาทไดนสอดคลองกบตาแหนง 11 กบ 21 ดวย

ตอบ 2/3 1B 1/3 1/3

kanuay

Pencil


(129) หา det ทโจทยถามโดยเลอกใชโคแฟกเตอรของแถวท 3 ..จะไดเปน

31 31 32 32 33 33a [2C (A)] a [2C (A)] (a k)[2C (A)]

31 31 32 32 33 3333

det(A)2 [a C (A) a C (A) (a )C (A)]C (A)

31 31 32 32 33 332 [a C (A) a C (A) a C (A) det(A)]

..แต 31 31 32 32 33 33a C (A) a C (A) a C (A) นน

คอคาของ det(A) พอด ดงนนจงลบกนหมดไป ตอบ 0

(130) จาก 2A A I จะได 2A A I

A(A I) I ..นนคอ 2A(A ) I

ใส det ทงสองขาง.. 3 3A I ( 1)

ดงนน A 1

จาก 2A A I ..นา adj A คณ จะได 2A adj A A adj A adj A ..แตเนองจาก A adj A A I

จงไดเปน A A A I adj A A I adj A A adj A I ขอ ก. ถก

เนองจาก 2(A I)(A 2I) A A 2I 3I (จากทโจทยกาหนดในขอน)

จงได 3IA I A 2I

ซงไมมทางเทากบ 0 แนนอน ขอ ข. ถก

(131) ขอ 1. จาก 3A 0 จะได 3 3 3A I I I นนคอ 2(A I)(A A I) I

2 2I 1A I A A I A A I

พบวา A I ไมมทางเทากบ 0

จงสรปไดวา A I เปนเมทรกซไมเอกฐาน ขอ 2. จาก 3A I จะได 3 3 3A I I I 2I นนคอ 2(A I)(A A I) 2I

3

2 22I 2A I A A I A A I


จงสรปไดวา A I เปนเมทรกซไมเอกฐาน ขอ 3. จาก 3A A แตเนองจาก 3 3A [(A I) I] 3 2(A I) 3(A I) 3(A I) I จงไดวา 3 2(A I) 3(A I) 3(A I) I A

3 2(A I) 3(A I) 4(A I) 2I 2(A I)[(A I) 3(A I) 4I] 2I

2(A I)(A A 2I) 2I 3

2 22I 2A I A A 2I A A 2I


จงสรปไดวา A I เปนเมทรกซไมเอกฐาน ขอ 4. จาก 3A A จะได 3A A 0 (A)(A I)(A I) 0

A A I A I 0

พบวา A I มโอกาสเทากบ 0 ได

ถาหากวา A 0 และ A I 0

ดงนน ขอ 4. ไมจรง ตอบ

(132) 4det(2A) 2 det(A) 64 ดงนน det(A) 4

ขอ 1. 4det( A) ( 1) det(A) 4 ..ถก ขอ 2. tdet(AA ) det(A)det(A) 16 ..ถก

ขอ 3. 4

1 2det(2A ) 4det(A) ..ขอ 3. ผด

ขอ 4. 4 1det(adj A) (det(A)) 64 ..ถก

(133) จาก t x 0 xB A y y y

7z 14z 7z

ดงนน 2

t 22

2x 0 0B AB 0 3y 0

0 0 42z

ตอบ x 2 , y 3 , และ z 1

kanuay

Pencil


(144) จากการดาเนนการตามแถว;

2 3a b 1 a b 12 4 1 0 0 1 (R 2R )1 2 1 1 2 1

3 2a b 10 0 1 (R R )1 2 0

ดงนน ตอบ ขอ 3.

หมายเหต จะใชวธคานวณ det ออกมาตรงๆ เลยกไดเชนกน เพราะในขอนตวเลขทใหมาไมยงยาก

(145) จาก x y z

A p q r 2s t u

จะได p q rx y z 2s t u

(สลบแถว 1 ครง)

จากนน นาคาคงทไปคณแตละแถว ..ซงคา det จะถกคณดวย

p q rB 3x 3y 3z ( 2)( 1)( 3)(2) 122s 2t 2u

และจะได 3

1 2 8 22B 12 3B

ตอบ

(146) หาอนเวอรสโดยการดาเนนการตามแถว ไดดงน (เปนเพยงวธหนง ลาดบขนตอนอาจตางจากนไดหลายแบบ)

..เรมจาก 1 2 1 3 1 0 0 01 1 1 3 0 1 0 01 2 0 3 0 0 1 02 4 2 7 0 0 0 1

1 22 34 3

R RR RR 2R

0 1 0 0 1 1 0 00 1 1 0 0 1 1 01 2 0 3 0 0 1 00 0 2 1 0 0 2 1

~

2 13 1

R RR 2R

0 1 0 0 1 1 0 00 0 1 0 1 0 1 01 0 0 3 2 2 1 00 0 2 1 0 0 2 1

~

4 2R 2R

0 1 0 0 1 1 0 00 0 1 0 1 0 1 01 0 0 3 2 2 1 00 0 0 1 2 0 0 1

~

3 4R 3R

0 1 0 0 1 1 0 00 0 1 0 1 0 1 01 0 0 0 4 2 1 30 0 0 1 2 0 0 1

~

สลบแถว

1 0 0 0 4 2 1 30 1 0 0 1 1 0 00 0 1 0 1 0 1 00 0 0 1 2 0 0 1

~

ดงนน 14 2 1 31 1 0 0A 1 0 1 02 0 0 1

ตอบ ขอ 2.

(147) ขอ 1. ถก (จากสมบตการแจกแจงทรานสโพส) ขอ 2. ถก (ถา det ของเมทรกซสมประสทธไมเปน 0 ระบบสมการจะมคาตอบเสมอ และมคาตอบเพยงชดเดยว) ขอ 3. ถก

..เพราะ 1 1sin cos sin cos

cos sin cos sin1

ขอ 4. ผด ..จะตองเปนตดลบของกนและกน เพราะนอกจากเมทรกซถกทรานสโพสแลว ยงถกสลบหลก 1 ครงดวย

(148) พจารณาสมการ x ky z 3 กบ x y z 2 พบวา สมประสทธของ x และของ z ถกคณ -1 ดงนนจะไมมคาตอบเมอ k 1 ตอบ

หมายเหต จะคานวณจาก det 0 กได

(149) แปลงระบบสมการ เปนสมการเมทรกซในรป AX B ไดดงน

1 2 0 1x1 1 k y 2

z0 k 4 6

ระบบสมการจะมคาตอบชดเดยวเมอ det(A) 0 นนคอ 2 24 k 8 0 k 4 ตอบ มคาตอบชดเดยวเมอ k เปนจานวนจรงใดๆ ทไมใช 2 กบ -2

ถา det(A) 0 ระบบสมการอาจจะ.. (1) ไมมคาตอบ ถาพบสมการทขดแยงกน (2) มคาตอบหลายชด ถาพบสมการทซากน

(ยงมตอ ในหนาถดไป)

kanuay

Pencil


เมอ k 2 จะไดระบบสมการเปน x 2y 1 .....(1) x y 2z 2 .....(2) 2y 4z 6 .....(3) สมการท (2) ลบดวย (1) จะได y 2z 1 ซงขดแยงกบสมการท (3) แสดงวาระบบสมการนไมมคาตอบ

เมอ k 2 จะไดระบบสมการเปน x 2y 1 .....(1) x y 2z 2 .....(2) 2y 4z 6 .....(3) สมการท (1) ลบดวย (2) จะได y 2z 1 ซงขดแยงกบสมการท (3) แสดงวาระบบสมการนกไมมคาตอบ

ตอบ ไมมคาตอบเมอ k 2 หรอ 2 (และไมมคา k ใด ททาใหมคาตอบหลายชด)

(150) พจารณาสองสมการหลง เปนสมการทมสองตวแปรคอ y, z เราสามารถแกระบบสมการเฉพาะ 2 ตวแปรนกอน แลวจงคอยนาคา y, z ไปใสในสมการแรก เพอใหทราบคา x ทสอดคลองได..

เขยนเปนสมการเมทรกซไดดงน

y 32 7z1 c 3

กฎของคราเมอร; 32 3 2 7z 1 c1 3 2c 7

โจทยตองการให z เปนจานวนเตม จะเปนไปไดเมอ 2c 7 {3, 1, 1, 3} เทานน นนคอ c 2 หรอ 3 หรอ 4 หรอ 5

ตอบ มจานวนเตม c อย 4 จานวน

(151) แปลงระบบสมการเปนสมการเมทรกซ

ไดดงน 2

1 1 1 2x1 2 1 y 3

z a1 1 a 5

ระบบสมการจะไมมคาตอบ หรอมหลายชด

เมอ 2

1 1 11 2 1 01 1 a 5

2a 4 0

..นนคอ a 2 หรอ 2

ถา a 2 สมการ (3) กบ (1) จะขดแยงกน จงไมมคาตอบ แตถา a 2 สมการ (3) กบ (1) จะซากน จงมคาตอบไดหลายชด สรปวา a 2 เทานน.. b 1

พจารณา jkC c

โดยกาหนด jkc 0 เมอ j k

แสดงวาสมาชกเปน 0 ทงหมดทสามเหลยมลาง จงทาให det(C) ผลคณสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก

2 2 2 2(1 ) (2 ) (3 ) (25 )det(C) e e e ...e 2 2 2 2(1 2 3 ... 25 )e

ซง 2 2 2 2 25 26 51(1 2 3 ... 25 ) 55256

ตอบ 5525det(C) e

(152) เขยนระบบสมการในรปเมทรกซไดเปน

111 12 1321 22 23 231 32 33 3

1 ba a aa a a 2 ba a a b3

จากกฎของคราเมอร จะได 11 1 13 11 12 1321 2 23 21 22 23

31 32 3331 3 33

a b a a a a2 a b a a a a

a a aa b a

แตโจทยกาหนด 11 12 1321 22 2331 32 33

a a aa a a 5a a a

ดงนน 11 1 1321 2 2331 3 33

a b aa b a 2 5 10a b a

โจทยถามคาของ 11 21 311 2 313 23 33

a a ab b ba a a

ซงเกดจากการทรานสโพส คา det ไมเปลยนแปลง จงไดคาตอบเปน 10 ตอบ

kanuay

Pencil

คณต มงคลพทกษสข เวกเตอร 15

ตวอยาง กาหนดให 3 2 3u , v , w4 2 4

ใหหาคา 2u 3v w และ 2u 3v w

เนองจาก 6 6 3 32u 3v w 8 6 4 2

..ดงนน 2 22u 3v w 3 2 13

แตเนองจาก 2 2u 3 4 5 และ 2 2v 2 2 2 2 และ 2 2w 3 4 5 ..ดงนน 2u 3v w 2(5) 3(2 2) 5 15 6 2

ตวอยาง กาหนดให 13 2u , v , w 24 1

ใหเขยน w ในรป au bv

ถาให w au bv กจะได 1 3 2a b2 4 1

แสดงวา 1 3a 2b และ 2 4a b แกระบบสมการได 3

11a และ 1011b ..ดงนนคาตอบคอ 3 10

11 11w u v

13. เวกเตอรหนงหนวย คอเวกเตอรทมขนาดเทากบ 1 • เวกเตอรหนงหนวยทสาคญในระบบพกดฉากสองมต มอย 2 ตว ไดแก i กบ j โดย i แทนเวกเตอรหนงหนวยในทศทาง +x ..นนคอ 1i 0

และ j แทนเวกเตอรหนงหนวยในทศทาง +y ..นนคอ 0j 1

• จะไดวาเวกเตอร a a i b jb

(โดยทวไปนยมเขยนเวกเตอรเปนรปแบบ a i b j มากกวารปแบบ ab

)

ตวอยาง กาหนดคอนดบ A(-1,2), B(5,3), C(6,-4), และ D(-4,1) ใหเขยน 3 AB 2 CD ˜˜ ในรป i กบ j และหาขนาดดวย

เนองจาก 5 ( 1) 63 2 1AB 6 i j

˜

และ ( 4) 6 101 ( 4) 5CD 10 i 5 j

˜

..ดงนน 3 AB 2 CD (18 i 3 j) ( 20 i 10 j) ˜˜ 38 i 7 j

และ 2 23 AB 2 CD 38 7 1493 38.64| | ˜ ˜ หนวย

kanuay

Pencil


ตวอยาง ใหหาพนทของรปสามเหลยมทมจดยอดดงน P(1, 2, 3) , Q( 1, 3, 5) และ R(3, 1, 0)

สตรพนทสามเหลยม 1 12 2|PQ||PR | sin |PQ PR | ˜ ˜˜ ˜

..เนองจาก PQ 2 i j 2k ˜ และ PR 2 i 3 j 3k ˜

จงไดวา i j k

PQ PR 2 1 2 3 i 2 j 4k2 3 3

˜ ˜

ดงนนพนทสามเหลยม 2 2 2 2912 23 2 4 ตารางหนวย

หมายเหต จะใช QP QR˜ ˜ หรอ RP RQ˜˜ กไดเชนกน

ตวอยาง จากตวอยางทแลว ถาใหหาพนทสเหลยมดานขนาน ทมดานประกอบเปน PQ กบ PR ..จะไดคาตอบเปน 29 ตารางหนวย

หมายเหต จะใช QP QR˜ ˜ หรอ RP RQ˜˜ กไดขนาดเทากน (ถงแมวาจะเกดสเหลยมดานขนานคนละตาแหนงกนกตาม)

27. ปรมาตรทรงสเหลยมหนาขนาน ทมดานประชดเปนเวกเตอร u , v , w

คอ 1 2 31 2 31 2 3

u u uu (v w) v v v

w w w

(คดคาสมบรณของ det, เพราะปรมาตรไมมทางตดลบ) ตวอยาง ใหหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนาน ทมดานประชดเปนเวกเตอรดงน u i 2 j 3k , v 3 i 4 j 2k และ w i 4 j k

เนองจาก 1 2 3

u (v w) 3 4 2 21 4 1

ดงนนปรมาตรทตองการเทากบ 2 2 ลบ.หนวย

** แตถาคานวณปรมาตรไดเปน 0 จะหมายความวา ไมเกดรปทรงสเหลยมขน (เชนกรณทมเวกเตอรบางคขนานกนอย หรอกรณทเวกเตอรทงสามวางตวอยในระนาบเดยวกน)

kanuay

Pencil

kanuay

Pencil


29. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2524] กาหนดให u , v และ w แตละตวเปนเวกเตอรในระนาบ และ a, b แตละตวเปนจานวนจรงใดๆ ขอความตอไปนขอใดไมถกตอง

1. ถา 1u 4

และ 5v 1

แลว

เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางตรงกนขามกบ 1 (u v)u คอ 4535

2. ถา 1 1u 2w w 2v2 2 แลว w u ขนานกบ w v

3. ถา u 0 และ au bu แลว a b 4. ถา u 0 และ u v u w แลว v w

5. ถา 12u 2

และ 12

2v

แลว

จะสามารถเขยนเวกเตอร ab

ไดในรปของ u และ v เสมอ

30. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2522] ขอความใดตอไปนผด 1. ถา A, B, C, D, E, F เปนจดใดๆ ในระนาบ แลว AB BC CD DE EF FA 0 ˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜ 2. ถา i (1, 0) , j (0, 1) เวกเตอร (a, b) แตละเวกเตอรยอมเขยนไดในรป (a, b) a i b j ถา 1v (1, 2) , 2v (1, 1) เวกเตอร (a, b) จะเขยนไดในรป 1 2(a, b) (b a) v (2a b) v ในทานองเดยวกน ถา 1 1( , ) และ 2 2( , ) เปนเวกเตอรสองเวกเตอร เราจะสามารถหาคาของจานวนจรง 1c และ 2c ได ซงจะทาให 1 1 1 2 2 2(a, b) c ( , ) c ( , ) 3. ขนาดเวกเตอร ซงมจดตงตนท A มจดปลายท B เทากบ 2 2|AB| (OA) (OB) 2(OA)(OB) ˜

4. ถา ABCD เปนสเหลยมดานขนาน ดงรป แลว 1 1AB (AD AB) AC2 2 ˜˜ ˜ ˜

5. 2(A B ) (A A)(B B ) <˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ เสมอ

เฉลย 26. 2 27. 5 28. 2 29. 4 30. 2 และ 3

D

A B

C

kanuay

Pencil


P Q

R

60˚ 120˚

ขอ 2. ไมจรง เพราะทใหมา u ขนานกบ v จงไมสามารถเขยนเวกเตอรใดๆ ในรป u กบ v ไดทงหมด

ขอ 3. เนองจาก u กบ v ทใหมา ไมขนานกน และไมใชเวกเตอร 0 ..ดงนนจงไดวา x y 0 (ขอ 3. จรง)

ขอ 4. เนองจาก 2 2 2u v u v 2(u v)

และในขอน u v 0 พอด ดงนนขอ 4. จรง

(29) ขอ 1. ถก ..จาก u v คอ 43

มขนาดเทากบ 2 24 3 5 ..ดงนน

เวกเตอรทศตรงขามและมขนาด 1 หนวย คอ 4535

ขอ 2. ยายขางสมการเปน 1 12w 2v w u2 2

นนคอ 4(w v) (w u) แสดงวา w u ขนานกบ w v (ขอ 2. ถก)

ขอ 3. จากสมการ au bu (a b)u 0 แต u 0 ดงนนจงได a b 0 a b (ขอ 3. ถก)

ขอ 4. ไมจาเปน

..เชน 1u 2 , 3v 4

, 11w 0

กจะได u v u w แตวา v w ขอ 4. ผด

ขอ 5. ถก ..เพราะ u กบ v เปนสองเวกเตอร ซงไมขนานกน

(30) ขอ 1. ถก ..เพราะเปนผลรวมเวกเตอรทตอเนองกนและวนกลบมายงจดเรมตน

ขอ 2. ผด จะเขยน (a,b) ในรปของ 1 1 1 2 2 2c ( , ) c ( , ) ไมไดเสมอไป ถาหากวา 1 1( , ) กบ 2 2( , ) ขนานกน

ขอ 3. ผด ..เพราะ AB OB OA ˜ ˜˜ ดงนน ในตวเลอกจะตองม cos คณอยในรทดวย (มฉะนนจะถกเมอ 0 เทานน)

ขอ 4. ถก ..เนองจาก AD AB BD ˜ ˜ ˜ และ

พจารณาจากรปจะได 1 1AB BD AC2 2 ˜˜ ˜ จรงๆ

ขอ 5. ถก เพราะ 2 2 2 2( A B ) | A | | B | cos ˜ ˜ ˜ ˜

(เมอ เปนมมระหวาง A กบ B ) และ 2 2(A A )( B B ) | A | | B | ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

เราทราบวา 2cos จะมคาในชวง 0 ถง 1 เทานน ..ดงนน 2cos ยอมทาให 2(A B )˜ ˜ มคา

นอยกวาหรอเทากบ (A A )( B B ) ˜ ˜ ˜ ˜ จรงๆ

(31) AB 4 i 3 j ˜ จากสมบตของวงกลม ทาให ทราบวามม C เปนมมฉาก ขอ 1. |AC| |AB| cos 30 ˜ ˜

2 2 3 5 34 3 ( )2 2 (ถก)

ขอ 2. |BC| |AB| sin 30 ˜ ˜

2 2 1 54 3 ( )2 2 (ถก)

ขอ 3. AC BC 0 ˜ ˜ ..ถก เพราะตงฉากกน

ขอ 4. AB BC BA BC ˜ ˜˜ ˜

|BA||BC| cosB ˜˜

5 1 25(5)( )( )2 2 4

ตอบ ขอ 4. ผด

(32) PQ RQ PQ (RP PQ) ˜ ˜ ˜ ˜˜

2PQ RP |PQ| ˜ ˜˜

PQ RP 1 ˜ ˜

ซง 3|RP| 3 sin60 2 ˜

และ PQ กบ RP ทามมกน 120 ดงรป

ตอบ 3(1)( )cos 120 12

3 1(1)( )( ) 1 0.252 2

A C

B

30°

kanuay

Pencil


3

1 O

B

A

C

2

1 A

C

B

D

O

R Q A 1 2 P

2

1 A

B

C

D

O B

A

D

O A

B

C

(65) ใชสตรการแบงเวกเตอร 1OB 3 OAOC 4

˜ ˜˜

(2 i 4 j) 3 ( 10 i)4

7 i j

ดงนน OC OBcos|OC||OB|

˜ ˜˜ ˜

( 7)(2) (1)(4) 150 20 10

ตอบ

(66) ขอ ก. ใชสตรแบงเวกเตอร

2 AB 1 ACAD 3

˜˜˜

3 AD 2 AB 1 AC ˜˜ ˜ ดงนน ขอ ก. ผด (เพราะในโจทยใหมาเปน BC )

ขอ ข. ใชผลจากขอ ก. จะได 2 1AD BC [ AB AC] BC3 3 ˜ ˜ ˜˜ ˜

2 1AB BC AC BC3 3 ˜ ˜ ˜˜

สมมตทกดานยาว a จะไดผลเปน

22 1 1(a)(a)cos 120 (a)(a)cos60 a3 3 6

ดงนน ขอ ข. ถก ตอบ ขอ 3.

(67) ใชสตรแบงเวกเตอร

2 OP 1OROQ 3

˜ ˜˜

2 11 3 1/32 3 7/33 3

มความชนเปน 7 ..แสดงวาความชน OA คอ -1/7

OA˜ ตองมทศเดยวกบ 71

แตยาว 5 หนวย

..นนคอ ( 7 i j) 7 1OA 5 i j50 2 2

˜

ตอบ 6x y 2

(68) ใชสตรแบงเวกเตอร คอ 1 2AD AB AC3 3 ˜˜ ˜

จากนน ยกกาลงสองทงสองขาง (นาตวเองมาดอท) ไดดงน

2 2 21 4 4|AD| |AB| (AB AC) |AC|9 9 9 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

..จากการเทยบสมประสทธ จะได 2 2 2 2 2 21 4 4 11a b c ( ) ( ) ( )9 9 9 27 ตอบ

(69) จากรป จะได

|OD| |OA|cos ˜ ˜ ซงหาคาไดจาก OB OA |OB||OA| cos ˜ ˜ ˜ ˜

จะได (5)(3) ( 2)(4) 29 |OA| cos ˜

|OA| cos 7/ 29 ˜

ดงนน OD คอเวกเตอรขนาด 7/ 29 หนวย

ในทศเดยวกบ OB

ตอบ 7 5 i 2 j 7OD ( ) (5 i 2 j)2929 29

˜

(70) ขนาดของ OC คอ |OB| cos ˜ ซงหาคาไดจาก OA OB |OA||OB| cos ˜ ˜ ˜ ˜

36 20 (5)|OB| cos ˜

16|OB| cos 5 ˜

ดงนน OC คอเวกเตอรขนาด 165 หนวย

ในทศเดยวกบ OA

ตอบ 16 3 i 4 j 16OC ( ) (3 i 4 j)5 5 25

˜

kanuay

Pencil


89. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2543] ให u และ v เปนเวกเตอรททามมกนเทากบ 6

ถา u 3 , v 1 แลว มมระหวางเวกเตอร u v กบ u v คอขอใดตอไปน

1. 1arccos 5 2. 2arccos 7 3. 1arcsin 5 4. 2arcsin 7

90. [โควตา มช. / 2543] ถา e a i b j เปนเวกเตอรหนงหนวยททามม 120 กบแกน x ทางบวก แลว b มคาเทากบขอใด

1. 32 2. 1

2 3. 13 4. 1

2

91. [โควตา มช. / 2541] กาหนด u i 2 j และ v i 3 j จงหาเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางตรงขามกบเวกเตอร 3u v 92. [โควตา มช. / 2537] กาหนด A 3i 4 j จงหาเวกเตอรหนงหนวยทตงฉากกบ A 93. [พนฐานวศวะฯ / 2537] จงหาผลคณเชงสเกลาร u n ระหวางเวกเตอร u จากจด A(6, 4) ไปยงจด B( 2, 2) กบเวกเตอร n ซงเปนเวกเตอรหนงหนวย (unit vector) ทมทศทางเดยวกบเวกเตอรจากจด C( 1, 2) ไปยงจด D(2,6) 1. 4.8 2. 48 3. 9.6 4. 9.6 94. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2537] จงหาเวกเตอรทมขนาด 3 หนวย และมทศทางเดยวกนกบ AB เมอ B มพกด (6, 1) A เปนจดตดของเสนตรง x 4y 11 0 กบเสนตรงซงมความชนเทากบ 23 และผานจด (6, 0)

95. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2537] PQ เปนเวกเตอรทตงฉากกบเสนตรง 12x 9y 20 ขนาดของ PQ เทากบระยะหางทสนทสดระหวางจด (2, 4) กบจดยอดจดหนงของภาคตดกรวย ทมสมการเปน 2 29y 36y mx 24x 36 เมอ m เปนคาคงตว ถาจด (3, 0) เปนจดๆ หนงบนกราฟของภาคตดกรวยน จงหาเวกเตอร PQ

เฉลย 83. 2 84. 4 85. 4 87. ไมม 88. 120 89. 2 90. 1 93. 3

kanuay

Pencil


O

Q P

(85) P2m 4 , Q

2m 1

P˜ กบ Q ตงฉากกน ทาให 90 ดงรป

สมมต P มขนาดเปน p, และ Q มขนาดเปน q คดทแกน x; p cos q sin 21 .....(1) คดทแกน y; p sin q cos 18 .....(2)

แตจด (4,2) ซงหางจากจดกาเนดอย 20 หนวย และทามม กบแกน x ..ทาใหเราทราบวา

2 1sin 520 และ 4 2cos 520

สมการท (1) กบ (2) จงกลายเปน 2p 1q 215 5 และ 1p 2q 185 5

..แกระบบสมการได p 12 5 ตอบ

(86) จาก 2u v u 2v ..ยายขางไดเปน u 3 v

อาศยสมบตทวา “ถา u a v โดยไมมเวกเตอรใดเปน 0 จะสรปไดวาสองเวกเตอรนขนานกน และขนาดเปน a เทาของกน”

ตอบ (1) เวกเตอรทงสองนขนานกน โดยมทศทางตรงกนขาม (2) เวกเตอร u มความยาวเปน 3 เทาของ v

(87) จากเงอนไข (2) จะได 2 3 4 1v v v v และจากเงอนไข (3) จะได 2 3 1 4v v v v ..แสดงวา 4 1 1 4v v v v 4 12v 2v 4 1v v แตเงอนไขกาหนดวาตองไมมเวกเตอรใดขนานกน ดงนน ไมสามารถหาเวกเตอรชดใดๆ ทสอดคลองเงอนไขดงกลาวได ตอบ “ไมม”

(88) จากสตรขนาดผลบวกเวกเตอร จะได 2 2u v 7 2 3 2(2)(3)cos

17 13 12 cos cos 2

ตอบ 120

(89) การหามมระหวาง u v กบ u v ทาไดโดยการดอทกน ดงนนจงตองรคา u v กบ u v กอน..

2 2uvu v u v 2 u v cos

3 1 2( 3)(1)( 3/ 2) 7 2 2

uvu v u v 2 u v cos

3 1 2( 3)(1)( 3/ 2) 1

จะได (u v) (u v) u v u v cos

..นนคอ 2 2u v u v u v cos 3 1 ( 7)(1)cos

ตอบ 2arccos 7

(90) โจทยกาหนด e ทามม 120 กบแกน x แสดงวาทามม 120 กบเวกเตอร i นนเอง จงดอทกนไดดงน..

e i a (1)(1)(cos 120 ) 1a 2

แต e เปนเวกเตอรหนงหนวย จงได 2 2a b 1

แทนคา a ลงไป และแกสมการได 2 3b 4

ตอบ 3b 2

หมายเหต ขอนคดโดยวาดรปวงกลมหนงหนวยแบบตรโกณมตกได ..ซงเวกเตอร e ทกาหนดมา กคอเวกเตอรทชไปยงตาแหนง 120 หรอ 120

kanuay

Pencil


C B

D

A

E

2

(91) 3u v ( 3 i 6 j) (i 3 j) 4 i 3 j

ซงเวกเตอรนมขนาด 2 24 3 5 หนวย

..ดงนน เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางตรงขาม

คอ 4 i 3 j 4 3( ) i j5 5 5

ตอบ

(92) สมมตเวกเตอรหนงหนวยทตงฉากกบ A คอ a i b j ..จะมเงอนไข 2 อยางไดแก (1) ขนาดเทากบ 1 .. 2 2a b 1 (2) ดอทกนได 0 .. 3a 4b 0

แกระบบสมการ ไดคาตอบเปน 4a 5 และ 3b 5 (ตามลาดบ)

ตอบ 4 3( i j)5 5

(93) 2 6 8u 2 4 6

CD2 ( 1) 3/53CD n46 2 4/5|CD|

˜˜˜

3 4u n ( 8)( ) ( 6)( )5 5

48 9.65 ตอบ

(94) สมการเสนตรงความชน 23 ผานจด (6, 0)

คอ 2y (x 6) x 1.5 y 6 03

แกระบบสมการ หาจดตดไดเปน A(3, 2)

..จงได AB (6 3)i (1 ( 2))j 3 i 3 j ˜ ซงมขนาด 3 2 หนวย

ดงนนเวกเตอร 3 หนวยกคอ 3 3i j2 2 ตอบ

(95) แทนคา (3, 0) ลงใน 2 29y 36y mx 24x 36 จะได 0 9m 36 m 4 แสดงวา ภาคตดกรวยมสมการเปน

2 29y 36y 4x 24x 36

..จดรปสมการไดดงน;

2 29(y 4y 4) 4(x 6x 9) 36 36 36 2 29(y 2) 4(x 3) 36

2 2(y 2) (x 3) 14 9

เปนวงรนอน จดศนยกลางอยท (3, 2) และคา a 3 แสดงวาจดยอดคอ (0, 2) กบ (6, 2)

..จากการเขยนกราฟคราวๆ จะพบวา ระยะหางทสนทสดระหวาง (2, 4) กบจดยอด คอระยะไปยงจด (0, 2) ซงเทากบ 2 22 6 40 2 10

สรปแลว เราตองหาเวกเตอรขนาด 40 2 10 และตงฉากกบเสนตรงทมความชน 12/9 นนคอ เวกเตอรนตองมความชน 9/12 3/4 ซงเวกเตอรหนงหนวยทขนานเสนตรงน

คอ 4 3( i j)5 5

..ดงนน 4 3PQ 2 10 ( i j)5 5 ˜

ตอบ 8 10 6 10( i j)5 5

(96)

1 1BE DC (BC CA) ( AB BC)3 3 ˜ ˜ ˜ ˜˜ ˜

12 BC (CA AB)3 ˜ ˜ ˜

12 BC CB3 ˜ ˜ 5 BC3 ˜

ดงนน 5 10|BE DC| |BC |3 3 ˜ ˜˜ ตอบ

kanuay

Pencil


(107) จด M มพกดเปน 6 4 3 1( , ) ( 1, 1)2 2

ดงนน MA 3i 4 j ˜ และ MB 5i 2j ˜

หาขนาดมม ˆAMB ไดโดยการดอท ดงน.. ˆMA MB |MA||MB| cos(AMB) ˜ ˜ ˜ ˜

ˆ15 8 (5)( 29)cos(AMB) 7ˆcos(AMB) 5 29 ตอบ ขอ 1.

(108) 46AC , AD 38

˜ ˜

หามม โดยการดอท; 6(4) 8(3) (10)(5)cos

148 24cos cos50 25 ตอบ

(109) เนองจาก AB AD AC ˜˜ ˜ ดงนน AD AC AB 4 i 2 j ˜˜ ˜ หามมระหวาง AB กบ AD โดยการดอท

24 6 ( 45)( 20)cos 18 3cos 30 5 ..แสดงวา 4sin 5

ตอบ 1sin cos 0.25

(110) หาพกดจด O ได 3 1 1 1( , ) ( 1, 1)2 2

ดงนน OB 2 i˜ และ OC i 3 j ˜ ขนาดมม COB หาไดโดยการดอท ..ดงน OB OC 2 0 (2)(2)cos ˜ ˜

1cos 2 ตอบ 60

(111) จาก 2 2|AB| 4 3 5 ˜ จะได (AB) (AC) |AB||AC| cos ˜ ˜˜ ˜ (5)(1)cos 60 2.5 ตอบ

(112) อาศยการดอทเวกเตอร ดงน uvu v u v cos

จะได 2 1(1)(1) (2)(a) ( 5)( 1 a )( )2

22(1 2a) ( 5)( 1 a )

..ยกกาลงสองทงสองขาง ไดเปน 2 24 16a 16a 5 5a

211a 16a 1 0

จะได 216 16 4(11)( 1) 8 5 3a 2(11) 11

แตคา a ทตดลบจะทาใหสมการเปนเทจ

ดงนน ตอบ 8 5 3a 11

(113) จาก uvu v u v cos จะได

2 3(2y 3)(6) (3)( 2) ( (2y 3) 9)( 40)( )5

2 6 1012y 24 ( 4y 12y 18)( )5

210 (2 y) 4y 12y 18 .....(1)

ยกกาลงสองทงสองขาง 2 210(4 4y y ) 4y 12y 18

23y 14y 11 0 (3y 11)(y 1) 0

..แตเนองจาก สมการท (1) มเงอนไขวา 2 y ตองเปนคาบวกเทานน ตอบ y 1

(114) จาก u 2v (k i j) ( 2 j) k i 3 j โจทยกาหนด u 2v ทามม 120 กบแกน x แสดงวาทามม 120 กบเวกเตอร i นนเอง

จงดอทกนไดดงน.. 2 2(u 2v) i k ( k 3 )(1)(cos 120 )

2 2 21k (k 9)( ) k 34

ตอบ k 3

kanuay

Pencil

คณต มงคลพทกษสข จานวนเชงซอน 75

O

z (a,b)

re

r

im

a

b

ตวอยาง คาสมบรณของ 2 3 i คอ 2 22 3 13 (ระยะทางจากจด (2,3) ไปยงจดกาเนด)

คาสมบรณของ 3 4 i คอ 2 23 ( 4) 5 (ระยะทางจากจด (3,-4) ไปยงจดกาเนด)

คาสมบรณของ 1 i คอ 2 2( 1) ( 1) 2 (ระยะทางจากจด (-1,-1) ไปยงจดกาเนด) ..เขยนเปนสญลกษณไดวา 2 3 i 13 , 3 4 i 5 , และ 1 i 2

9. สมบตของคาสมบรณ (1) z 0> เสมอ (2) 2zz z เสมอ (มคาเปน 2 2a b เชนเดยวกน)

(3) z z z เสมอ (มคาเปน 2 2a b เชนเดยวกน)

(4) แจกแจงเขาภายในเลขยกกาลงได 11 zz และ nn zz เมอ n เปนจานวนนบ (5) แจกแจงเขาระหวางการคณหารได 1 2 1 2z z z z และ 1 2 1 2z z z z

** ทสาคญคอคาสมบรณแจกแจงเมอมการบวกลบไมได

ตวอยาง คาของ z เมอ 3

2(2 2 3 i)(3 4 i)z (2 i) (1 i)

คดไดดงน

1/2 31/2 3

2 22 2 3 i 3 4 i(2 2 3 i) (3 4 i)

(2 i) (1 i) 2 i 1 i

1/2 32

(4) (5) 25 2( 5) ( 2)

ตวอยาง คาของ z เมอ 5

62 i(1 3 i)z(1 2 i)

คดไดดงน

5566

2 i 1 3 i2 i(1 3 i)(1 2 i) 1 2 i

5

6(2)(2) 64

27( 3)

10. การอางถงพกด (a, b) ของจานวนเชงซอน อาจจะกลาวไดอกแบบเปน (r, ) โดยท r แทน “ระยะหางจากจดกาเนด หรอคาสมบรณ” และ แทน “ทศทาง หรออารกวเมนต” (มมวดทวนเขมนาฬกาจากแกน +x) เรยกรปแบบ (r, ) นวา “รปเชงขว”

kanuay

Pencil


(16) จาก 1 3z i2 2 1 60

ดงนน 5 5z 1 (60 5) 1 31 300 i2 2

และจะได 51 1

31 z 3 i2 2

2 2

33 i2 233( ) ( )2 2

33 i2 2

3

1 3 i2 6

ตอบ สวนจรงเทากบ 12

(17) จากโจทย จะได 1 2z 1 12 , z 1 16

15 15151

2

z 1 (12 16 ) ( 1 ( 4 ))z 1

1 ( 60 ) cos( 60 ) i sin( 60 )

1 3 icos 60 i sin60 2

ตอบ

(18) 4 4

1z (1 ( /16)) 1 (( /16) 4)

1 ( /4) 1 1 i2 2 1 (1 i)2

ดงนน 21

2z 2 i z 22 i 1 (1 i)2

2 22(1 i)2 i 2 i (1 i) 11 1

ตอบ 1

(19) 6 61

6z (1 ) 1 118 18 3

1 3 i2 2

และ จากสมการ 1 2 22 z z 1 z ยายขางเพอดงตวรวม.. 1 2 22 z z z 1

2 21 1

1 1z z2z 1 2z 1

..กลบเศษสวน ไดเปน 1

2 11 3z 2 z 1 2( i) 1 3 i2 2

ตอบ

(20) จาก 3 1 3z i 1 ( )2 2 3

ดงนน

6

18

27 9

1 ( )3 1 2zi 1 3i z

i 1 ( )3

1 1 1 ii ( 1) i 1 2

ตอบ 1 1a b 02 2

(21) โจทยกาหนด A 1 x

..ดงนน 1B 1 ( x)A

นนคอ B cos( x) i sin( x) cos x i sin x

ขอ ก. จาก 2 2A B 0 จะได (cos 2x i sin2x) (cos 2x i sin2x) 0

2 cos2x 0 32x ,2 2

(อยาลมขยายชวงเปน 2x [0,2 ] ) ..นนคอ x 4

หรอ 34 ขอ ก. ถก

ขอ ข. จาก 2 2A B 0 จะได (cos 2x i sin 2x) (cos 2x i sin 2x) 0

2 sin2x 0 2x 0, ,2

..นนคอ x 0 หรอ 2 หรอ ขอ ข. ผด

(22) ขอ 1.

1a b i (1 2i)(2 i)

12 i 4i 2

2 24 3i1 4 3 i4 3i 25 254 3

..ดงนน ขอ 1. จรง

ขอ 2. ถา z a bi จะได z a bi และ 2 2 2z a b 2abi ดงนนจาก 2z z จะไดวา 2 2a b a .....(1) และ 2ab b .....(2)

จากสมการ (2) จะได (b)(2a 1) 0

นนคอ b 0 หรอ 1a 2

kanuay

Pencil

kanuay

Pencil


แทน b 0 ในสมการ (1) จะได 2a a (a)(a 1) 0

a 0 หรอ 1

แทน 1a 2 ในสมการ (1)

จะได 21 1b4 2 2 3b 4 3b 2

ดงนนคา z ทงหมดทสอดคลองเงอนไข ไดแก

(0, 0) , (1, 0), 1 3( , )2 2 , 1 3( , )2 2

ขอ 2. ไมจรง ขอ 3. จาก 3z 1 1 180

..จะได 1 3z 1 60 i2 2

หรอ z 1 (60 120 ) 1 180 1

หรอ 1 3z 1 (60 240 ) 1 300 i2 2

..ดงนน ขอ 3. จรง ขอ 4. จรง ..เซต B มคณสมบตครบทง 4 อยาง ๏ มสมบตปด เพราะสมาชกตวใดกตามคณกน แลวผลลพธจะยงคงอยในเซตนเสมอ ๏ เปลยนกลมการคณได เพราะเปนสบเซตของจานวนเชงซอน ซงมสมบตเปลยนกลมการคณ ๏ เอกลกษณการคณคอ 1 อยในเซตน ๏ อนเวอรสการคณของแตละสมาชกกอยในเซตน

(23) เราทราบวา 3( 1) 1 ..แสดงวารากท 3 รากหนงของ 1 คอ 1

สวนอก 2 คาตอบหาไดจากการ แบงวงกลมทม ( 1, 0) เปนคาตอบ ออกเปน 3 สวนเทาๆ กน ..ดงนนอก 2 คาตอบคอ 1 60 และ 1 ( 60 )

นนคอ 1 3( , )2 2 กบ 1 3( , )2 2 ตอบ ขอ 1.

(24) เนองจาก i 1(cos 90 i sin90 ) ดงนน รากทสองของ i

คอ 1 i1(cos 45 i sin 45 ) 2

และ 1 i1(cos 135 i sin 135 ) 2

ตอบ ขอ 1.

(25) เนองจาก 64 64 180 ดงนน รากทหกของ 64 รากหนง คอ 6 64 (180 /6) 2 30

และมรากทงหมดเปนดงรป (วงกลมมรศม 2 หนวย และ

อยหางกนจดละ 360 606 )

..คาตอบไดแก 2i , 3 i ตอบ ขอ 4.

(26) จากโจทย 3 1 1z i2 2 1 45

แสดงวา z ไดแก 3 1 (45 /3) 1 15 1(Q ) หรอ 1 (15 120 ) 1 135 2(Q ) หรอ 1 (15 240 ) 1 255 3(Q )

..และจะได คาของ 4 4 44 2 4 (15 4) 1 (135 4) 2 (255 4) 4 60 1 540 2 1020 4 60 1 180 2 300 (2 2 3 i) ( 1) (1 3 i) 4 3 i ตอบ

(27) จาก 3 2 2 0z 1 ( 315 )1 i 2 315

จะได z 1 ( 105 ) 3Q หรอ 1 15 1Q หรอ 1 135 2Q ดงนน 2

1 3 2z z z 1 ( 90 ) 1 270 i i 2 i ตอบ

2

kanuay

Pencil


(28) z 2 3 คอรากทสามของ 8 i ..ซง 8 i 8 270 มรากทสามไดแก 2 90 2 i , 2 210 3 i , และ 2 330 3 i

..ดงนน z 2 3 2 i , 3 i , 3 3 i ตวทมขนาดเปนจานวนเตมคอ 2 3 2 i (ขนาด=4) กบ 3 i (ขนาด=2) ตอบ (2 3 2 i) ( 3 i) 3 3 i

(29) 5 5z ( 1 3 i) (2 120 ) 32 600 32 240

ดงนน รากทสองของ z ไดแก 32 120 กบ 32 (120 180 )

..นนคอ 1 332( i)2 2 กบ 1 332( i)2 2

ตอบ 2 2( 1 3 i) และ 2 2(1 3 i)

(30) a และ b เปนรากท 6 ของ 1 นนคอ 6a 1 , 6b 1 ดงนน 3 2(a ) 1 , 3 2(b ) 1 แสดงวา 3a และ 3b ยอมเปนรากทสองของ 1

..แต 3 3a b แสดงวามตวหนงเปน 1 และอกตวหนงเปน 1 (เพราะรากท 2 ของ 1 มเพยงสองคานเทานน) ทามมกน 180

cos cos 180 1 ตอบ

(31) แกระบบสมการ 22z i และ 14z i โดยนาสมการมาหารกน ไดเปน 8z 1 (ทหารกนไดเพราะทราบวา z 0 แนนอน)

นา 8z 1 หารออกจาก 14z i จะได 6z i และนา 6z i หารออกจาก 8z 1 อกครง

จะได 2 1z i 1 270i

z 1 135 หรอ 1 315 ตอบ 2 คาตอบ

หมายเหต การหารซาๆ เพอลดทอนกาลงลง (นากาลงมาลบกนเรอยๆ) กเหมอนวธหา ห.ร.ม. ของ 14 กบ 22 นนเอง ..จงไดกาลงสดทายเปน 2 แสดงวาตองม 2 คาตอบ

(32) ขอ ก. ถก ถา z a bi จะได z a bi ซง 2 2z z a b เสมอ

ขอ ข. ผด ..เชน 1z 1 i , 2z 1 i จะได 1 2z z 2i 2

แตวา 1 2z z 2 2 2 2

ขอ ค. ถก (เปนสมบตทควรทราบ)

(33) ขอ 1. ถง 4. ถกหมดทกขอ และเปนสงทควรทราบอยแลว

ขอ 5. ผด ..เพราะ z เปนจานวนจรง แต z เปนจานวนเชงซอน ..ซงจานวนเชงซอนจะไมสามารถเปรยบเทยบมากกวา, นอยกวา ได

(34) จาก 2x 2 2 3 i

จะได 2 2 2x 2 2 3 i (2) (2 3) 4

หมายความวา ทกรากของสมการจะมขนาดเปน 2

ตอบ 2 21 2z z 4 4 8

(35) 22 2 2 2

(2 i)(2 i) (3 4i)(1 2i)z 2 1 1 2

4 4i 1 3 2i 8 14 2 i5 5 5

ดงนน 2 2 214 2z ( ) ( ) 8 2 25 5

ตอบ z 2 2

kanuay

Pencil


76. [พนฐานวศวะฯ / 2534] สมการจานวนเชงซอน 213 x 4 y i 2(cos i sin )4 42

โดยท i 1

คาของ x จากสมการนจะเทากบเทาใด

1. 2 23 2 2. 2

3 2 3. 1 22 3 2 4. 1

6

77. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2540] ให 2B { | i cot sin cot 0, 0 2 }4

< <

จงเขยน B แบบแจกแจงสมาชก 78. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2544] กาหนดให a, b, c, x และ y เปนจานวนเตมบวกทสอดคลองกบ

2x 1 (a b i) i (a b i) 0

47 (x 3y)i 0 1 47 c i

เมอ i 1

จงหาคา x และ y 79. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2540] จงหาคาสมบรณของจานวนเชงซอน x จากสมการ

22 i 3 4 i x2 i 1 2 i

80. [โควตา มช. / 2538] ถา

5i (3i 1)w 3 i

แลว จานวนเชงซอน w คอขอใด

1. 3 4i 2. 3 4i 3. 4 3i 4. 4 3i 81. [โควตา มช. / 2541]

จงหาสวนจนตภาพของจานวนเชงซอน 4 i (3 4i)z 1 i

82. [โควตา มช. / 2537] สวนจนตภาพของ (2 i) (3 4i)

3 4i

มคาเทากบขอใด

1. 115 2. 115 3. 11 i

5 4. 11 i5

83. [พนฐานวศวะฯ / 2535] กาหนดให A 1 2 i , B 2 3 i , C 3 4 i

จงหาคาของ (B C) CA

โดยท B คอสงยคของ B และ C คอคาสมบรณของ C

1. 6 8 i 2. 7 9 i 3. 6 8 i 4. 7 9 i

kanuay

Pencil


(77) จาก 2i cot sin cot 04

2(cot )(i sin 1) 04

..กรณ 2i sin 14

เปนไปไมได

เนองจาก 2sin 4 เปนจานวนจรง

..ดงนน cot 0 เทานน

นนคอ 3B { , }2 2 ตอบ

(78) จากสมการเมทรกซในโจทย จะได..

(ตาแหนง 11) 3x (a b i) 47 i นนคอ 3 2 2 3x a 3a b i 3ab b i 47 i

3 2x a 3ab .....(1) และ 2 30 3a b b 47 .....(2)

(ตาแหนง 12) 1 c (ตาแหนง 21) 47 47 (ตาแหนง 22) c i (x 3y)i ..แสดงวา x 3y 1 ....(3)

แกระบบสมการไดดงน;

จากสมการท (2) ได 3 2

2 b 47 b 47a 3b 3 3b

โจทยกาหนดวา a และ b เปนจานวนเตมบวก พบวาม b ทใชไดเพยงตวเดยว คอ b 1 และได a 4

..แทน a, b ในสมการ (1) จะได x 64 12 52 แทน x ในสมการ (3) จะได y 17 ตอบ x 52 และ y 17

(79)

2 2 i 3 4 ix 2 i 1 2 i

2 2 2 2(2 i)(2 i) (3 4i)(1 2i)2 1 2 1

(3 4i) (3 4i)(1 2i)5

(3 4i)(2i)

5

..ดงนน 2 (3 4i)(2i) 5 2x 25 5

2x 2 x 2 ตอบ

(80) 5i (3 i 1) 5 ( 3 i 1)w 3 i 3 i

5 ( 3 i 1)(3 i) 3 4i10 ตอบ

(81) จากโจทย 2(3 4i)z 1 i

2(3 4i)(1 i)2 1 7i

ดงนน สวนจนตภาพเทากบ 7 ตอบ

(82) จาก (2 i) (3 4i) (2 i) (3 4i)3 4i 3 4i

2(2 i) (3 4i)

25

(2 i) ( 7 24i)25

(10 55i)25

2 11 i5 5

ดงนน สวนจนตภาพเทากบ 115 ตอบ

(83) (B C) (2 3 i) (3 4 i) 5 i ,

2 2C 3 4 5

..ดงนน หาคาของ 2 2(5 i)(5) (5 i)(1 2 i)(5)1 2i 1 2

(5 i)(1 2 i) 7 9 i ตอบ

(84) A i 1 i 3 i 5 i 7 ... i 13 i 15

i

8i 8i

8 8i 8 2 ( 45 )

ดงนน A 8 2 45 ..และ 8 8 8 8A (A) (8 2) ( 45 8) (8 2) (45 8)

8 8(8 2) ( 360 ) (8 2) (360 ) 8 8(8 2) (8 2) 7/2 8 292 (2 ) 2 ตอบ

kanuay

Pencil


(85) ขอ 1, 2. เปนสมบตทถกตองและควรทราบ ขอ 3. ถกตอง เชนเดยวกบสมบตของจานวนจรง ขอ 4. ผด ..เพราะวา 1 2 1 2z z z z เสมอ

(86) ขอ 1. ซายมอ af(z z) f(2a) 2a 2

ขวามอ a ab bf(z) f(z) a b2 2 ไดคาไมเทากน ..ดงนน ขอ 1. ผด

ขอ 2. ซายมอ 2 2 2 2 2 2f(z z) f(a b ) a b a b

ขวามอ a ab bf(z) f(z) ( )( ) 2 2 aba b 2 ไดคาไมเทากน ..ดงนน ขอ 2. ผด

ขอ 3.

ซายมอ 2 2 2 2 2 2a b i1 a bf( ) f( )z a b a b a b

2 2a ba b

ขวามอ 2 2a bf(z)

z z a b

เทากนพอด ..ดงนน ขอ 3. ถก

ขอ 4. ซายมอ 2 2 2 2a b ab[f(z)] ( ) a b 2 ขวามอ 2 2 2 2 2f(z ) f(a 2abi b ) a b 2 ab

ไดคาไมเทากน ..ดงนน ขอ 4. ผด

(87) จะได 4 2 i 10 10 i2 z 1 i3 i 10

z 2 (1 i) 1 i

ดงนน 2 2z 1 1 2 ตอบ

(88) สมมต z a b i จาก 2z z จะได 2 2a b i (a b ) 2ab i เทยบสวนจรงเทากน และสวนจนตภาพเทากน ไดเงอนไขวา 2 2a a b .....(1) และ b 2ab .....(2)

จากสมการท (2) จะได 0 b(2a 1)

นนคอ b 0 หรอ 1a 2

นาไปแทนในสมการท (1).. ๏ ถา b 0 จะได 2a a 0 a(a 1) นนคอ a 0 หรอ 1

๏ ถา 1a 2 จะได 2 1 1 3b b4 2 2

ตอบ z 0 หรอ 1

หรอ 1 3 i2 2 หรอ 1 3 i2 2

(89) ให z a b i

จะไดสมการเปน a bi 2 4i 2a bi i

a bi 2 4i 2a 2bi 2i เทยบสวนจรงเทากน และสวนจนตภาพเทากน ไดเปน a 2 2a a 2 และ b 4 2b 2 b 2 ดงนนคาตอบของสมการคอ z 2 2 i

ขอ 1. ซายมอ z z ( 2 2 i) ( 2 2 i) 4i ขวามอ i(z z) i(( 2 2 i) ( 2 2 i)) 4i ไมเทากน ..ดงนน ขอ 1. ผด

ขอ 2. z 1 3 2i 13

..ดงนน ขอ 2. ผด

ขอ 3. 2 2z ( 2 2 i) 8i ..ดงนน ขอ 3. ถก

ขอ 4. ซายมอ 3 4( 2 2i)(1 i) 8 ( 2)(1 i) 8 2( 2)(2i) 8 ( 2)( 4) 8 16 ไมเทากบ 0 ..ดงนน ขอ 4. ผด

(90) จดรปสมการในโจทยไดดงน

2 21 z i(1 z ) 2 21 z i i z 2 2z i z i 1 2z (1 i) i 1 2 i 1z 1 i

ดงนน 22 2

2 i(i 1)(1 i)z i21 1

kanuay

Pencil

121

(116) เซต B; จาก 3 2z 3z 3z 2 0 หารสงเคราะหไดเปน 2(z 2)(z z 1) 0 ดงนน z 2 หรอ 1 1 4 1 3z i2 2 2

1 3B { 2 , i}2 2 สมาชกของ A B กคอสมาชกของ B ซงสอดคลองกบ z i 1 ดวย ..พจารณา กรณ z 2 จะไดวา 2 i 5 ..มากกวา 1

กรณ 1 3z i2 2 มขนาดเปน 1

แตถาถกลบดวย i กจะทาใหขนาดไมถง 1 กรณ 1 3z i2 2 มขนาดเปน 1

และถาถกลบดวย i ขนาดกจะมากกวา 1

ดงนน 1 3A B { i}2 2

มสมาชกเพยง 1 ตว ตอบ หมายเหต อาจแกสมการของเซต B ไดอกวธ ..จาก 3 2z 3z 3z 1 1 3(z 1) 1 และเนองจาก 1 1 180

..ดงนน 1 3z 1 1 60 i2 2

1 3z i2 2

หรอ z 1 1 180 1 z 2

หรอ 1 3z 1 1 300 i2 2

1 3z i2 2

(117) จาก 1z 1z

ยกกาลงสองไดเปน 221z 2 1z

ดงนน 221z 1 2 1z

ตอบ 221z 1z

หมายเหต แกสมการกอนกได จากโจทย 1z 1z

คณดวย z ไดเปน 2z 1 z 2z z 1 0

ดงนน 1 1 4 1 3z i2 2 2

แลวนาไปคดเปน 2z และ 21z

เพอหาคาตอบตอไป

(118) จาก 2 2

21 1z (z ) 2 3 2 1zz

จะได 3 23 21 1 1 1z (z )(z ) (z )z zz z

(1)( 3) ( 3) 0 ..ดงนน 7 4 3

7 4 31 1 1 1z (z )(z ) (z )z z zz

10 (z ) 3z ตอบ

(119) จาก 2

21z 1z ..จะได 4 2z z 1 0

2 1 1 4 1 3z i2 2 2

ดงนน 2 1 3z i 12 2

..จงไดวา z 1 ดวย

และได 2 1 3 i 1z 1 2 2

ตอบ 2z 1 1 2z 1

(120) 1 i 3 เปนคาตอบ แสดงวา สงยคคอ 1 i 3 ตองเปนคาตอบดวย จาก 2(x 1 i 3)(x 1 i 3) x 2x 4 นาไปหารยาวออกจาก f(x) ไดผลเปน

2 3 2(x 2x 4)(x 2x 9x 18) 0 แยกตวประกอบ

2 2(x 2x 4)(x 2)(x 9) 0 ดงนนคาตอบคอ 1 3 i, 1 3 i, 2, 3i, 3i และผลบวกคาตอบ เทากบ 0 ตอบ

kanuay

Pencil

kanuay

Pencil

10 122

(121) ถา z a b i เปนรากท 3 ของ 1 กแสดงวา 3z 1 นนคอ 3z 1 0 2(z 1)(z z 1) 0 แตโจทยบอกวา z 1 ..จงไดวา z เปนรากของสมการ 2z z 1 0

ตอบ 1 1 4 1 3z a b i i2 2 2

สมการ 4 3 2 2f(z) z mz nz rz p 0 มสมประสทธเปนจานวนจรงลวน และ f(a b i) 0 ..แสดงวา f(a b i) 0 ดวย

นนคอ 4 3 2 2z mz nz rz p ม 2z z 1 เปน ตวประกอบ ..หรอเขยนไดในรป 4 3 2 2 2 2z mz nz rz p (z z 1)(dz ez f)

จากการพจารณาสมประสทธ จะได d 1 และ 2f p อยางแนนอน 4 3 2 2 2 2 2z mz nz rz p (z z 1)(z ez p ) แต f(1) 48 จงไดวา 2(3)(1 e p ) 48

2e p 15 .....(1)

โจทยกาหนดวา 2 2z ez p 0 ตองมคาตอบ เปนจานวนจรง

ถาคาตอบคอ 2 2e e 4pz 2

เปนจานวนจรง

กแสดงวา 2 2e 4p 0 แทนคาจากสมการท (1) ลงไป ไดเปน 2e 4e 60 0

(e 10)(e 6) 0 e 6 หรอ e 10

นนคอ 2p 9 หรอ 2p 25

ตอบ คา p ทเปนไปไดคอจานวนเฉพาะบวกทงหมด

(122) คา z แตละคาในขอนมขนาดหนงหนวย ทาให

2z z z 1 แสดงวา 1z z

ให 2 3 5 11 2

3 4 2

z z z zz zA ...z z z

จะได

2 3 5 11 2

3 4 2

1 1 1 11 1 z z z zz zA ...1 1 1z z z

3 3 4 4 2 2

1 2 2 3 5 1

z z z z z z...z z z z z z

2 3 4 5 1 2 3 4

1 5

z z z z z z z zA A ...z z

51

1 5

zz ... 1 ... 1 5z z

โจทยถามสวนจรงของ A คดไดจาก

A A 5Re(A) 2 2 ตอบ

kanuay

Pencil

คณต มงคลพทกษสข ลาดบและอนกรม 125

4. ลาดบเลขคณต จะมสมการเปนฟงกชนเสนตรง มความชนเทากบ d สวนลาดบเรขาคณต จะมสมการคลายฟงกชนเอกซโพเนนเชยล มฐานเทากบ r (แตฐานสามารถตดลบ, เปน 0, หรอเปน 1 ได)

ตวอยาง ถามวาลาดบตอไปนเปนลาดบเลขคณตหรอเรขาคณต และใหบอกคา d หรอ r ดวย

na 8n 5 เปนลาดบเลขคณต d 8 na 4n เปนลาดบเลขคณต d 4 na 8 3n เปนลาดบเลขคณต d 3 na 8 3n เปนลาดบเลขคณต d 3 na 2 n เปนลาดบเลขคณต d 1

n4n 2a 3

เปนลาดบเลขคณต 4d 3

n

na 5 เปนลาดบเรขาคณต r 5 n 1

na 8 5 เปนลาดบเรขาคณต r 5 n 2

na 8 ( 5) เปนลาดบเรขาคณต r 5 n

na 8 5 เปนลาดบเรขาคณต 1 1r 5 5

n n5a 2 เปนลาดบเรขาคณต 1r 2

nn n 4

5 2a 3

เปนลาดบเรขาคณต 2r 3

5. พจนทวไปของลาดบเลขคณต คอ n 1a a (n 1)d

ตวอยาง ใหหาพจนทวไปของลาดบเลขคณต 2,5, 8, 11, 14, ... คดจากสมการ n 1a a (n 1)d จะได na (2) (n 1)(3) 3n 1 ตวอยาง ใหหาพจนท 6 และพจนท 23 ของลาดบเลขคณต 2,5, 8, 11, 14, ... ในทน d 3 ดงนนพจนท 6 เทากบ 14 3 17 และพจนท 23 คดจากสมการ 23 1a a 22 d จะได 23a (2) 22(3) 68

หรอหาจากพจนทวไป (ซงคดไวในตวอยางทแลว) กได โดยแทนคา 23a 3(23) 1 68

kanuay

Pencil


ตวอยาง ลาดบเลขคณต 2,5, 8, 11, 14, ... มพจนทมคาเทากบ 68 หรอไม ถามใหตอบดวยวาเปนพจนทเทาใด หาพจนทวไปได na (2) (n 1)(3) 3n 1 ถาพจนนนมคา 68 จะได 3n 1 68 n 23 แสดงวาคา 68 อยในลาดบน และเปนพจนท 23 (แตถาคานวณแลวได n ไมใชจานวนนบ กแสดงวาคานนไมไดอยในลาดบ) ตวอยาง ใหหาพจนท 20 ของลาดบเลขคณตซงมพจนท 11 เทากบ 22 และพจนท 18 เทากบ -6 “พจนท 11 เทากบ 22” จะได 1a 10 d 22 “พจนท 18 เทากบ -6” จะได 1a 17 d 6 แกระบบสมการ (โดยนาสมการมาลบกน) ได d 4 และ 1a 62 ดงนน พจนท 20 มวธคดหลายแบบ เชน 20 18a a d d 6 4 4 14 หรอ 20 1a a 19 d 62 19( 4) 14 หรอหาพจนทวไป.. na 62 (n 1)( 4) 66 4 n จากนนจงแทนคา 20a 66 4(20) 14 กได 6. พจนทวไปของลาดบเรขาคณต คอ (n 1)

n 1a a r

ตวอยาง ใหหาพจนทวไปของลาดบเรขาคณต 5, 10, 20, 40, ... คดจากสมการ (n 1)

n 1a a r จะได (n 1) n

n5a (5) (2) 22

ตวอยาง ใหหาพจนท 5 และพจนท 11 ของลาดบเรขาคณต 5, 10, 20, 40, ... ในทน r 2 ดงนนพจนท 5 เทากบ 40 2 80 และพจนท 11 คดจากสมการ 10

11 1a a r จะได 10

11a (5) (2) 5120 (หรอหาจากพจนทวไป ซงคดไวในตวอยางทแลวกได)

kanuay

Pencil


** ลาดบลเขาหรอออก พจารณาทคา nnlim a

(ลาดบลเขาคอหา “คาของพจนอนนต” ได) สวนอนกรมลเขาหรอออก พจารณาทคา nn

lim S

(S ) (อนกรมลเขาคอหา “ผลบวกไปจนถงพจนอนนต” ได) • อนกรมซงลเขา (หาคา S ได) จะมลกษณะเบองตนดงน (ถาไมตรงตามเงอนไขขอใดขอหนง อนกรมจะลออกทนท)

(1) nnlim a 0

(ลาดบลเขาส 0)

และ (2) nnlim r 1

(r คออตราสวนของพจนตดกน)

ตวอยาง อนกรมตอไปนเปนอนกรมลออก (ไมสามารถหาผลบวกถงพจนทอนนตได) เพราะลมตของพจนทวไปไมเปน 0 ( nn

lim a 0

)

• 1 2 3 4 5 ... n ... • n 11 2 4 8 16 ... 2 ... • 1 4 7 10 ... (3n 2) ... • 1 2 2 3 3 4 4 5 ... n(n 1) ... • 3 5 62 4 n 1n1 4 52 3 ... ...

• 22

3 6 1811 27 n 2442 10 24 70 3n n... ...

ตวอยาง อนกรมตอไปนเปนอนกรมลออก (ไมสามารถหาผลบวกถงพจนทอนนตได) เพราะอตราสวนของพจนตดกนทพจนอนนต ไมไดนอยกวา 1 ( nn

lim r 1

)

• 1 1 1 1 14 52 3 6 ...

(ลาดบ nr คอ 3 52 44 53 6, , , , ... ดงนน nn

lim r 1

)

** ถาอนกรมลเขา แสดงวาลาดบตองลเขาส 0 แนนอน แตลาดบทลเขาส 0 อนกรมอาจจะลออกกได 10. อนกรมเลขคณตและเรขาคณตอนนต • อนกรมเลขคณต .. S หาคาไมไดเสมอ (ยกเวนอนกรม 0 0 0 0 ... ) • อนกรมเรขาคณต .. S หาคาไดกเมอ 1 r 1 เทานน และคาทไดคอ 1aS 1 r

(ถาอนกรมลออก แตใชสตรนคานวณ กจะไดตวเลขทผด)

kanuay

Pencil


12. สรปอนกรมรปแบบตางๆ เกยวกบ “เรขาคณต” • ถาพจนทวไปเปนเลขยกกาลง จะเปนอนกรมเรขาคณต (คานวณโดยเขยนแจกแจงออกมา แลวใชสตรเรขาคณต) • ถาพจนทวไปเปน 1 เรขาคณต , “เรขาคณต เรขาคณต”, หรอ 1

เรขาคณต เรขาคณต

กยงคงเปนอนกรมเรขาคณตเหมอนเดม • ถาพจนทวไปเปน “เรขาคณต + เรขาคณต” ใหแยก คดทละสวน (เพราะซกมาแจกแจงผลบวกได) ตวอยาง ใหหาคาของ i 2

i 1i 223( )

พจนทวไปเปนเลขยกกาลง แสดงวาเปนอนกรมเรขาคณต ..เมอเขยนพจนตางๆ ออกมา จะไดผลดงน

i 2i 1i 2

23

1 2 4( ) ...27 81 243

(ใชสตรอนกรมเรขาคณตอนนต, คา r เทากบ 2/3)

1/27 11 2/3 9

ตวอยาง ใหหาคาของ n n 2

n 112(2 (0.2) ( ) )

จากสมบตของซกมาซงสามารถแจกแจงผลบวก, ผลลบ จะได n n 2 n n 2

n 1 n 1 n 11 12 2(2 (0.2) ( ) ) 2 (0.2) ( )

เมอเขยนพจนตางๆ ออกมา จะไดอนกรมเรขาคณตดงน n 2 3

n 10.2 1(0.2) 0.2 (0.2) (0.2) ... 41 0.2

และ n 2 3 4 5n 1

1 1 1 12 2 2 2

1/8 1( ) ( ) ( ) ( ) ... 41 1/2

สรปคาตอบ n n 2n 1

12 1 1 1(2 (0.2) ( ) ) 2( )4 4 4

kanuay

Pencil


(9) คดจาก “ผลบวกจานวนทหารดวย 8 ลงตวทงหมด” ลบออกดวย “ผลบวกจานวนทหารดวย 8 และ 12 ลงตวทงค” (แปลวา หารดวย ค.ร.น. คอ 24 ลงตว)

(200 208 216 ... 400) (216 240 264 ... 384)

..เนองจาก 200 8(25) และ 400 8(50) ดงนนวงเลบแรกม 26 พจน และเนองจาก 216 24(9) และ 384 24(16) ดงนนวงเลบหลงม 8 พจน ใชสตรอนกรมเลขคณตคานวณผลบวก ไดเปน 26 8(200 400) (216 384)2 2

7800 2400 5400 ตอบ

(10) จากเงอนไข 10 1 10

10S (a a ) 4302

ยายขางไดเปน 1 10a a 86 ..แตโจทยบอกวา 10a 79 ดงนน 1a 86 79 7 และ 79 7 9d d 8 ตอบ ผลบวกสามพจนแรกคอ 7 15 23 45

(11) เงอนไขของลาดบเลขคณต คอ log(x 2) log x log(x 16) log(x 2)

2 2x 2 x 16 x 4x 4 x 16xx x 2

1x 3

11a log( )3 และ 7 1d log( ) log( ) log 73 3

..จงได 101a log( ) 9 log 7 9 log 7 log 33

และ 1010 1S (log( ) (9 log 7 log 3))2 3

5(9 log 7 2 log 3) ตอบ ขอ 4.

(12) จากสตร n 1 nnS (a a )2

จะได n n217 (7 7 (n 1)(8)) (8n 6)2 2 2 314n 3n 217 0 n 7, 4

แต n ตองเปนจานวนนบ n 7 เทานน ..แสดงวาโจทยถาม 7 8 9 14 8(2 2 2 2 ) 2

7 8 7 88

82 (2 1) 2 (2 1)22 1 2

82 12

127.5 ตอบ

(13) รปทวไปทาใหทราบวา เปนอนกรมเลขคณต เพราะอยในรปแบบ n ดกร 1 เทานน.. พบวาคา xd 1 x

(จากสมประสทธของ n)

และคา 11 xa 1 x

(จากการแทนคา n ดวย 1)

..ดงนน nn 1 x 1 (n 2) xS 2 1 x 1 x

n 2 (n 3) x2 1 x

ตอบ (ขอ 1.)

(14) ในวงเลบนเปนอนกรมเรขาคณตอนนต 0.2 (0.067 0.00067 0.0000067 ...)

1 0.0675 1 0.01

1 67

5 1000 10

1 67 535 990 198 ตอบ

(15) ใชสตรอนกรมเรขาคณตอนนต จะได A

1S 1 m

, B 21S 1 m

แตโจทยกาหนด A BS 2S ดงนน 2

1 21 m 1 m

..ซง m 1 แนนอน จงนา 1 m คณทงสองขาง ไดเปน 21 1 m

m 1 ซงเปนไปไมได

..ดงนน ตอบ ขอ 4.

kanuay

Pencil


ขอ 3. 1 1 1 1 ... nS 1, 0, 1, 0, ... เปนลาดบไดเวอรเจนต

ขอ 4. 1 1 1 1 ...2 4 8 16

n1 3 7 15S , , , , ...2 4 8 16

เปนลาดบคอนเวอรเจนต (ลเขาส 1) ตอบ ขอ 4.

(61) ขอ ก. ผด ..นา n 1 หารทงเศษและสวน จะได n 1

n 1

1a1

ดงนน nnlim a 1

ขอ ข. ถก ..เพราะคา nr จะลเขาเมอ 1 r 1 เทานน ขอ ค. ถก ..เพราะเปนอนกรมเรขาคณต ซงมคา 1r 10 อยในชวง 1 r 1 พอด

ตอบ ขอ 3.

(62) n

1 1a ( )(n 1) (n)( )n n

n 1 1n

12 n

nnlim a 2 0 2

ตอบ

(63) n n n n

1 1z z (1 3i)(1 3i)2 2

2 2n1(1 ) (3)2

n n nn nlim a lim z z

2 2nn1lim((1 ) 3 )2

2(1 0) 9 10 ตอบ

(64) nn

lim a

เมอ n เปนจานวนค คอ 1 nn

lim a

เมอ n เปนจานวนค คอ 0

(คดจาก 2n

1n1n

lim 1

0 00 1

)

ลมตของลาดบยอยมคาไมเทากน ดงนน na ไมมลมต ตอบ ขอ 5.

(65) เนองจาก 2n

523 n na 86

ดงนน nn3 0 0 17lim a 86 2

ตอบ

(66) จาก 2n

2

1 11 n na 13 n

..ดงนน nn

1lim a 3

จาก n

nn

2( ) 15b 91 5

..ดงนน nn

1lim b 11

ตอบ n n n nnlim (a b a b )

1 1( ) ( 1) ( )( 1) 13 3

(67) ให

n 1 n 1n n 1 n 1

5 3a 2 5

นา n5 หารเศษและสวน จะได n

n n

3153

2 15 5

5 ( )a 2( )

ดงนน nn 15

5 0lim a 250

ตอบ

(68) นา 4n หารทงเศษและสวน

จะได 2 3 2n

4

53

103

31 1( )( n )n n na

5 n 1n

ดงนน nn(0 0)(0 0)lim a 0 0 1

0 01

ตอบ

(69) นา n หารทงเศษและสวน

จะได 1 16 2

1 12 4n

1 n na5n n 3 2

ดงนน nn1 0 0 1lim a 0 0 3 2 3 2

ตอบ

kanuay

Pencil


124. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2548] กาหนดให ลาดบ

n n nna 9 3 1 3

ขอใดตอไปนถกตอง 1. ลาดบ na ไมมลมต 2. ลาดบ na มลมตเทากบ 0 3. ลาดบ na มลมตเทากบ 1

2 4. ลาดบ na มลมตเทากบ 1

125. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2549]

13n n n

nlim (8 4 ) 2

มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 13 3. 1

4 4. 18

126. [โควตา มช. / 2546] ให n{ S } เปนลาดบของจานวนจรงทกาหนดโดย n 1

n n 1S S 4 สาหรบ n 1,2, 3, ... และ 0

1S 3

จงหาคาของ n2nn

6Slim 3 5 2

127. [พนฐานวศวะฯ / 2538] นยาม

ni 1 2 n

i 1A A A ... A

และ

ni 1 2 n

i 1A A A ... A

กาหนดให n8n 210A [ , ], nn 2n 1

I

จงพจารณาขอความตอไปน ก. i

i n

10A [ , 4]n

ข. i

i n

8n 2A [0, ]2n 1

ค. i ii 1 i n i 1 i n

A A

ขอใดตอไปนถกตอง 1. มขอความทถก 1 ขอ 2. มขอความทถก 2 ขอ 3. ถก 3 ทงขอความ 4. ผดทกขอ 128. [โควตา มช. / 2540] กาหนดให 1 2 na a ... a ... เปนอนกรมเรขาคณตซงม 2

9a 5 และ 327a 25

จงหาผลบวกของอนกรมน

เฉลย 116. 3 118. -2 119. 3 120. 0.25 121. 3 122. 0.2 123. 0.5 124. 3 125. 2 126. 0.4 127. 3 128. 7.5

kanuay

Pencil


(125) ให nx 2 จะไดวา 1 13 3n n n 3 2

n xlim (8 4 ) 2 lim (x x ) x

2 13 3

3 2 3

x 3 2 3 2 2

(x x ) xlim(x x ) (x x ) (x) (x)

2 13 3

2

x 3 2 3 2 2xlim

(x x ) (x x ) (x) (x)

จากนนนา 2x หารทงเศษและสวน

(โดยท 2

2 3 3x (x ) และ 1

3 3x (x ) )

2 13 3x

1lim(1 1/x) (1 1/x) (1) (1)

1 11 1 1 3

ตอบ

(126) จาก n 1

n n 1S S 4

จะได 01 0

1S S 4 13 1

2 11S S 4 1 43

23 2

1S S 4 1 4 163 ..ฯลฯ

ดงนน n n

n1(4 1)1 4S 3 4 1 3

..โจทยถาม n2nn

6Slim 3 5 2

n

n2nn n2 4 2lim lim (3/4 ) 53 5 2

2 0.40 5

ตอบ

(127) 1A [ 10,2] ,

214A [ 5, ]5 , 3

10 22A [ , ]3 7 , ...

n n10 8n 2A [ lim( ), lim( )] [0, 4]n 2n 1

(เปนชวงทไมเกดขนจรงเพราะเกดทอนนต)

ก. n n 1 n 210A A A A [ , 4]n

ถก

ข. n n 1 n 28n 2A A A A [0, ]2n 1

ถก

ค. i 1 i 1

10 8n 2[ , 4] [0, ]n 2n 1

[0, 4] [0, 4] ถก ..ดงนน ตอบ ถก 3 ขอ

(128) หาคา 3

2

27/25a 3r a 9/5 5

ดงนน 21

9/5aa 3r 3/5

ผลบวกอนกรมน 1a 3 7.51 r 1 3/5

ตอบ

(129) จะได 2 3 31 2(x x x ...) 2

x 31 2( )1 x 2

x 1

1 x 4

4x 1 x

ตอบ 1x 5

หมายเหต คา x ตองอยในชวงเปด ( 1, 1) เทานน

(130) นา 2 หาร จะได x 2x 3x

1 1 1 1...3 83 3

ใชสตรอนกรมเรขาคณตอนนต ไดดงน x

x1/3 1

1 1/3 8

อาจมอง x1 A3 เพอแกสมการงายขน

เมอแกสมการเรยบรอย จะได x1 13 9

(ซงตรวจสอบแลวใชได ไมผดเงอนไขของอนกรมเรขาคณตอนนต) ..ดงนน x 2 ตอบ

kanuay

Pencil

kanuay

Pencil

kanuay

Pencil


(137) จากโจทย แจกแจงซกมาไดดงน

2 31 1 11 ( cos cos 2 cos 3 ...)3 3 3

2 31 1 11 ( ...)3 3 3 1/3 11 ( ) 1 0.751 ( 1/3) 4

ตอบ

(138) แจกแจงซกมาได

1 2 3 4e e e e ...1 3 9 27

พบวาเปนอนกรมเรขาคณตอนนต (คา er 3 อยในชวง ( 1, 1) จงหาคาอนกรมได)

ตอบ e 3e1 ( e/3) 3 e

(139) จากโจทยจะไดคาเปน

n nnn 1

2 36

สามารถแยกเปนอนกรมเรขาคณตบวกกน ดงน

n nn nn 1 n 1

2 36 6

n nn 1 n 1

1 13 2

1/3 1/2 1 1 1.51 1/3 1 1/2 2

ตอบ

(140) ขอ 1. ผด ..มลมตเปนจานวนจรงใดกได (ไมจาเปนตองเปน 0)

ขอ 2. ผด ..อาจเปนลาดบทกวดแกวงคงท หรอแกวงกวางขนกได (ขอเพยงไมไดมแนวโนมเขาหาคาใดเปนพเศษ)

ขอ 3. ถก (เขยนเปนสญลกษณไดวา nn

S lim S

)

ขอ 4. ผด ..จะเปนจรงเมอ 1 r 1 เทานน (ลาดบเรขาคณตอนนต) แตถา r ไมอยในชวงน จะหาคาลมตไมได

ขอ 5. ผด ..ตองเปน 2 2n (n 1)

4

(141) ขอ 1. จาก n nn 1 n 1

1 12 3

เมอแจกแจงแลวจะไดอนกรมเรขาคณตอนนต 1 1 1 1 1 1( ...) ( ...)2 4 8 3 9 27

1/2 1/3 11 1.51 1/2 1 1/3 2

ดงนน ขอ 1. ถก ขอ 2. 2

1

a 6 3a 2 , 32

a 24 4a 6 ,

43

a 120 5a 24

ถาเราใชหลกการอปนย กยอมไดวา 9998

a 100a

ดงนน ขอ 2. ถก ขอ 3. S {105, 112, 119, ..., 497} ซง 105 7 15 และ 497 7 71 ดงนน S มสมาชก 57 ตว เปนลาดบเลขคณต ผลบวกเทากบ 57 (105 497) 171572

ดงนน ขอ 3. ถก ขอ 4.

20 202 2i 1 i 1

(2i 1) (4i 4i 1)

24 i 4 i 1 20(21)(41) 20(21)4 4 206 2 10660 ดงนน ขอ 4. ผด

(142) จากโจทย

n n

n i 1 i 1

1 3lim ( 1 i)n n

n

n(n 1)1 3lim (n )n n 2

n

n 13lim (1 )2 n

31 (1) 2.52 ตอบ

kanuay

Pencil


3. ทฤษฎบทเกยวกบลมต (1) ลมตของคาคงท เทากบคาคงทนน

x alim c c

(2) ลมตของฟงกชนทยกกาลงใดๆ สามารถแทนคาไดเลย

x alim x a

และ n nx alim x a

(3) ดงสมประสทธได

x a x alim c f (x) c lim f (x)

(4) แจกแจงเขาภายในการยกกาลงและการถอดรทได n n

x a x alim [f (x)] [ lim f (x)]

n n

x a x alim f (x) lim f (x)

(5) แจกแจงเขาระหวางการบวกลบได

x a x a x alim [f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x)

(6) แจกแจงเขาระหวางการคณหารได



ตวอยาง ใหหาคาลมตในแตละขอตอไปน • 2

x 1lim (x x 1)

ลมตของพหนาม สามารถแทนคา x 1 ลงไปไดเลย จะไดคาตอบเทากบ 1

• 3

x 0x 8lim x 2

หากแทนคา x 0 (หรอมากกวา 0 เลกนอย) จะไดคาลมตขวาเทากบ 8 4 22

เมอ x 0 (x นอยกวา 0 เลกนอย) จะทาให x ไมเปนจานวนจรง แสดงวาไมมลมตซาย แตในการหาลมต เราจะไมพจารณาคา x นอกโดเมน ขอนจงตอบวาลมตเทากบ 4 2

• 2

x 3x 9lim 3 x

เมอลองแทนคา x 3 จะเกดรปแบบ 00 ขน ทาใหไมทราบคาตอบ จงตองแยกคดลมตซายและลมตขวา เพอใหถอดคาสมบรณออกได (ตามนยามของคาสมบรณ) ลมตซาย ทดลองแทนเลขทนอยกวา 3 เลกนอยลงไปเพอดเครองหมาย และถอดคาสมบรณ

ไดเปน.. 2 2

x 3 x 3x 9 x 9lim lim3 x 3 x

x 3lim ( (x 3)) 6

ตอมาลมตขวา ทดลองแทนเลขทมากกวา 3 เลกนอยลงไป เพอถอดคาสมบรณ

ไดเปน 2 2

x 3 x 3 x 3x 9 x 9lim lim lim (x 3) 63 x x 3

..พบวาลมตซายกบขวามคาไมเทากน ดงนนขอน ไมมลมต

kanuay

Pencil

คณต มงคลพทกษสข แคลคลส 221

ตวอยาง จากกราฟของฟงกชน f (t) ในรป ใหหา 30 f (t)dt

ไมจาเปนตองสรางสมการเพอหาปรพนธ แตคดจากพนทสามเหลยมไดเลย นนคอ 2

0 f (t)dt 2 5 512

และ 32 f (t)dt ( 1 5) 2.512 (ตดลบเพราะกราฟอยใตแกน x)

คาตอบจงเปน 5 2.5 2.5

f(t)

t

5

-5 O 1 2 3 4

kanuay

Pencil


88. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2537] กาหนดใหรถขนสงสนคาชนดหนงมการเผาไหมของนามนเปน 1 1,600( x)400 x ลตร/กโลเมตร

เมอ x เปนความเรว มหนวยเปนกโลเมตร/ชวโมง ถาตองการขบรถเปนระยะทาง 600 กโลเมตร โดยจายคานามนนอยทสด ขณะทนามนราคาลตรละ 10 บาท แลวจะตองจายคานามนกบาท 89. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2528] ในการประมาณการปลกมนสาปะหลง พบวาถาขดมนสาปะหลงขณะนไดมนสาปะหลง 100 กโลกรม และขายไดกโลกรมละ 1.50 บาท ถายงไมขดและรอตอไปจะไดมนสาปะหลงเพมขนสปดาหละ 10 กโลกรม แตราคาขายจะลดลงไปสปดาหละ 0.05 บาทตอกโลกรม ดงนนควรขายมนสาปะหลงเมอใดจงจะมรายไดจากการขายมากทสด 1. ขายทนท 2. ขายเมอสนสปดาหทหา 3. ขายเมอสนสปดาหทสบ 4. ขายเมอสนสปดาหทสบหา 90. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2526] โรงกลนนามนแหงหนง มกาลงผลตอยระหวาง 5,000 ถง 10,000 บารเรลตอวน ถากลนนามนวนละ 5,000 บารเรล จะไดกาไรบารเรลละ 75 บาท แตถากลนนามนเกนวนละ 5,000 บารเรล ผลกาไรคดเปนบาทจะลดลงบารเรลละ 0.01 คณกบจานวนบารเรลทเพมขนจาก 5,000 เพอใหไดกาไรสงสด โรงกลนแหงนควรจะกลนนามนวนละเทาใด 1. 6,250 บารเรล 2. 7,500 บารเรล 3. 10,000 บารเรล 4. ไมมคาตอบในขอใดถก 91. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2527] ;Þ นายแดงตองการจะกนรวรอบทดนรปสเหลยมผนผาไวปลกสม โดยใชรวบานเปนรวดานหนงของทดนแปลงน ถาเขามลวดหนามยาว 400 เมตร และตองการปลกสมหนงตนตอทดนทกๆ 5 ตารางเมตร เขาจะปลกสมไดมากทสดกตน 1. 100 ตน 2. 200 ตน 3. 4,000 ตน 4. 2,000 ตน 92. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2522] ;Þ ชายคนหนงมไมระแนงสาหรบทารวไดยาว 80 เมตร เขาตองการ ลอมบรเวณสเหลยมผนผาพรอมทงกนเปน 4 ชองเทาๆ กน ดงรป พนทมากทสดทเขาจะลอมไดรวมทง 4 ชอง เทากบเทาใด 1. 46146 49 ตารางเมตร

2. 81151 169 ตารางเมตร

3. 160 ตารางเมตร 4. 180 ตารางเมตร 5. 200 ตารางเมตร

เฉลย 82. 4 83. 2 84. 4 85. 1 86. 2 87. 1 88. 1200 89. 3 90. 1 91. 3 92. 3

kanuay

Pencil


(20) จาก f ตดเสนตรง y x 1 ทคา x 4 แสดงวา f(4) 4 1 5

..และจาก g ตอเนองท x 4 จงไดเงอนไขวา

x 4lim g(x) g(4)

2f(4) ( 4 2) 4 k(4)

5 4 4 16k k 1 ตอบ ขอ 2.

(21)

32x 1 x 1

x 1lim f(x) lim x 1

2

x 1x x 1 3lim x 1 2

และ x 1 x 1lim f(x) lim g(x)

แต f ตอเนองท x 1 ..แสดงวา x 1

3 lim g(x)2

ตอบ x 1

3lim (x 3)g(x) (1 3)( ) 62

(22)

2

2(x 4)(x 1)f(x) x 14 x

เมอ x 2

..ถาจะใหเปนฟงกชนตอเนอง จะตองให

x 2f(2) lim f(x) 2 1 1

และ x 2

f( 2) lim f(x) ( 2) 1 3

ตอบ ขอ 4.

(23)

22

(x 1)(x 2)f(x) x 2x 1

เมอ x 1

..ถาจะใหเปนฟงกชนตอเนอง จะตองให

x 1f( 1) lim f(x) 1 2 3

และ x 1

f(1) lim f(x) 1 2 1

ตอบ ขอ 2.

(24) 1 1xx hy f(x h) f(x)

x h h

x x h 1(h)(x h)(x) (x h)(x)

ตอบ ขอ 2.

(25) คา h 0

f(x h) f(x)lim h

กคอ f (x) นนเอง

แสดงวาในขอน โจทยถามคาของ f(8)

..จากโจทย 1 1 23 3 3f(x) 3x 12x 24x

จะได 2 4 53 3 3f(x) x 4x 16x

2 4 51 1 1f(8) ( ) 4( ) 16( )2 2 2

1 1 1 14 4 2 ตอบ


2 23 3x xln x e ln x ln e

2 23 x 3 xln x ln e ln x2 2 2 2

..ดงนน 23 xd(ln x e ) 3 xdx 2x ตอบ

(27) จากโจทย 2f(x) 5x ln2 4x ln 3 จะได f(x) 5 ln2 8x ln 3 f (1) 5 ln2 8 ln 3 และจะได f (x) 8 ln 3 f (1) 8 ln 3 ตอบ f(1) f (1) 5 ln2

(28) จากโจทย จะได F(x) x 1 ดงนน 1 2F (x) (x 1) (เมอ x 2> เทานน) 1(F ) (x) 2(x 1) ตอบ 1(F ) (2) 2(2 1) 2

(29) แกระบบสมการหาจดตดทโจทยกลาวถง..

26 9x 2x 8x 5 (x 1)(2x 1) 0 x 1 หรอ 1

2

แสดงวาจดตดมสองจด ในรป 1( 1, y ) กบ 21( , y )2

..ความชนของเสนสมผส คอ dy 4x 8dx

ตอบ 4( 1) 8 12 และ 14( ) 8 62

kanuay

Pencil

305

x 1

y

-1

(180) แยกกรณเพอถอดคาสมบรณออก

จะได x/x 1 , x 0

f(x) ไมนยาม , x 0 x/x 1 , x 0

และเขยนกราฟไดดงน ตอบ f เปนฟงกชนไมตอเนอง เพราะทจด x 0 ไมนยาม (และนอกจากนน ลมตซายและขวาทจด x 0 ยงไมเทากนอกดวย)

(181) ฟงกชนจะมคาเปลยนจาก 0 เปน 1 หรอเปลยนจาก 1 เปน 0 ณ จดรอยตอระหวางคา x ทเปนจานวนตรรกยะกบอตรรกยะ เนองจากจานวนตรรกยะเปนจดไมตอเนองบนเสนจานวน (สามารถหาจานวนอตรรกยะทมคาอยระหวางสองจานวนตรรกยะใดๆ ไดเสมอ) และจานวนอตรรกยะกเปนจดไมตอเนองเชนกน (สามารถหาจานวนตรรกยะทมคาอยระหวางสองจานวนอตรรกยะใดๆ ไดเสมอ)

จงสรปไดวา ฟงกชน f ไมตอเนองเลยในทกจด เพราะคาฟงกชน ณ จดใดกตาม จะไมเทากบลมตซายและขวาเลย

ตอบ ทกจดบนโดเมน

(182) f มความตอเนองทจด x 2 แสดงวา

x 2 x 2lim f(x) f(2) lim f(x)

จงได 24A (1 A)2 24A 2A 2 0

2(2A 1)(A 1) 0 ตอบ 1A 2 หรอ 1

(183) ขอ ก.

2x 1 x 12x 1 xlim f(x) lim x 1x 3x 2

x 1

2x 1 xlim (x 2)(x 1) x 1

x 1

2x 1 x(x 2)lim (x 2)(x 1)

2

x 11 xlim (x 2)(x 1)

x 1

1 xlim x 2

2 21

..ดงนน ขอ ก. ผด ขอ ข. หาลมตซายดงน

2

2x 1 x 11 xlim f(x) lim x x

x 1

(1 x)(1 x)lim x(x 1)

x 1

1 x 2lim 2x 1

พบวาลมตซายและขวา ณ ตาแหนงนมคาไมเทากน ดงนนไมวา c จะเปนเทาใด กไมมทางทาใหฟงกชนตอเนองได ..ขอ ข. ผด

(184) ตอเนองท x 1 แสดงวา

x 1f(1) lim f(x)

1 6 1A B 1 5 6 2

.....(1)

ตอเนองท x 6 แสดงวา x 6

f(6) lim f(x)

x 6

x (x 6)6B A lim

(x 1)(x 6)

67 .....(2)

นา 2 คณสมการท (1) และนา 7 คณสมการท (2) จะไดเปน 2A 2B 1 และ 42B 7A 6 ..ดงนน จะบวกกนไดคาตอบ 9A 44B 7 ตอบ

kanuay

Pencil


0 1 + – +

1 2 3 – + – +

(217) จาก 2f(x) x 6x 8 พบวา 2f(1) 1 6 8 3 ไมเทากบ 5 ..ดงนน ขอ 1. ผด

จาก 2f(x) x 6x 8 (x 2)(x 4) คาวกฤตคอ 2 กบ 4 และไมมคาวกฤตซากน แสดงวาทจด 2 กบ 4 ตองเปนจดสงสด/ตาสดสมพทธ แนนอน

..หาคา 8 14f(2) 12 16 23 3

และคา 64 10f(4) 48 32 23 3

ดงนนคาสงสดสมพทธของ f คอ 143

และคาตาสดสมพทธคอ 103

และ f เปนฟงกชนลดลง บนชวง (2, 4) ..สรปวา ขอ 2, 3. ผด และ ขอ 4. ถก

(218) จาก 2f(x) 6x 6x 6 x(x 1) เขยนเสนจานวนไดดงน

ตอบ f(x) เปนฟงกชนเพมในชวง ( , 0] [1, ) และเปนฟงกชนลดในชวง [0, 1]

หมายเหต เรองฟงกชนเพม/ฟงกชนลด น โดยมากใหตอบเปนชวงเปด แตบางตารากตอบเปนชวงปด ..ขนอยกบวาเรานยามความหมาย คาวา เพม/ลด ไวอยางไร

(219) 2 2f (x) 2(x 1)(x 3) (x 1) 2(x 3) 2(x 1)(x 3)(x 3 x 1) 4(x 1)(x 3)(x 2) เขยนเสนจานวนไดดงน ตอบ f เปนฟงกชนเพมขนในชวง (1,2) (3, ) และลดลงในชวง ( , 1) (2, 3)

(220) เนองจาก f(1) f(3) 0 และ f(2) 1

ตอบ คาสงสดสมพทธ เทากบ 1 คาสงสดสมบรณ หาคาไมได คาตาสดสมพทธและตาสดสมบรณ เทากบ 0 เขยนกราฟของ f ไดดงน

(221) อตราของปฏกรยากคอ dvdx

จาก 2v(x) kax kx

จะได dv ka 2kxdx

อตราของปฏกรยาเพมขนเมอ ka 2kx 0

ka 2kx ax 2

และอตราของปฏกรยาลดลงเมอ ka 2kx 0

ka 2kx ax 2

หมายเหต ตด k ทงสองขางทงไดโดยไมตองพลกเครองหมาย เพราะโจทยกาหนดวา k เปนบวก

ตอบ เพมขนเมอ a0 x 2<

และลดลงเมอ a x a2 <

(3,0) (1,0)

(2,1)

kanuay

Pencil


A P

B

x ม.

15 ม. 100-x

(237) จากรป จะไดความสมพนธวา L r 2r 2h

นนคอ L ( 2)rh 2

ดงนนพนทกระจก 2rA 2r h2

2 L ( 2)rr 2r ( )2 2

2

2r rL ( 2)r2

..ตองการพนทมากทสด คดจาก dA 0dr

r L 2( 2)r 0

L ( 4)r Lr 4 ตอบ

(238) ระยะทาง 500 กม. ความเรว v กม./ชม. แสดงวาใชเวลาวง 500v ชม.

จะได คาใชจาย 2v 500f(v) ( 40)( )5 v

20,000100v v

ตองการคาใชจายนอยทสด คดจาก f(v) 0

..นนคอ 22

20,000100 0 v 200v

v 200 10 2 กม./ชม. ตอบ

(239) สมมตสราง n ชน คาใชจายเฉลย 800 (1 2 3 ... n)y n

(n)(n 1)2800

n n

800 n 1n 2

..ตองการคาใชจายเฉลยนอยทสด คดจาก y 0

นนคอ 22

800 1 0 n 1,6002n

n 40 ชน ตอบ

(240) สมมตชนแรกเสย a บาท และสราง x ชน จะได คากอสรางเฉลย;

450a (a 2a 3a 4a .... xa)y x

x(x 1)450a a 450a a2 (x 1)x x 2

..ตองการคากอสรางเฉลยนอยทสด คดจาก y 0

นนคอ 2450a a 02x 2x 900

x 30 ชน ตอบ

(241) ให y = คาใชจาย ดงนน 2 2y 100(100 x) 200( 15 x )

..ตองการคาใชจายเฉลยนอยทสด คดจาก y 0

นนคอ 2 21100 200 2x 0

2 15 x

จะได 2 22 2x 1 2x 15 x215 x

2 2 24x 225 x x 75 x 8.6

ตอบ ระยะ AP ประมาณ 91.4 เมตร

h

2r

h

r r

kanuay

Pencil


(274) เนองจาก 2f(x) x x 2 (x 2)(x 1) แสดงวาโคงนตดแกน x ทจด 2 และ 1 สองจดนไมไดอยในชวง -2 ถง -1 และชวง 0 ถง 1 ..ดงนนสามารถอนทเกรตหา A และ B ไดเลย โดยไมตองแยกชวงยอยๆ

13 212

2

x xf(x)dx 2x3 2

1 1 8 11( 2) ( 2 4)3 2 3 6 13 21

00

x xf(x)dx 2x3 2

1 1 13( 2)3 2 6

(ตดลบเพราะพนทอยใตแกน x)

..นนคอ 11A 6 และ 13B 6

ตอบ 11 13 24A B 6 6

(275) เสนโคงนผานจด (2,3) แสดงวา 3 2a 4b .....(1)

เสนสมผสของโคงนมความชน dy a 2bxdx

ความชนเสนสมผส ณ จด (2,3) ขนานกบ เสนตรงซงมความชนเปน 3 แสดงวา 3 a 4b .....(2)

..แกระบบสมการได a 0 และ 3b 4

ดงนนเสนโคงนมสมการเปน 23y x4

เขยนกราฟแสดงพนท ปดลอมทตองการหา ไดดงน

หาพนท A ไดโดย A 2 (พนทในควอดรนตท 1) 2 (พนทสเหลยมกวาง 2 สง 3 ลบดวยพนทใตโคงชวง 0 ถง 2)

2 20

32 (2 3 ( x )dx)4

322 (6 ) 84 ตารางหนวย ตอบ

(276) ประเดนของขอนคอ คา 2

0 f(x)dx จะเปนพนทใตโคง

เมอคา f(x) 0> ตลอดชวง [0,2] เทานน (คอกราฟของ f(x) ตองไมอยใตแกน x)

ขอ 1. 2f(x) x 4 ตดแกน x ท x 2, 2 ลองแทนคา x ดวย 0 จะได f(x) 4 แสดงวากราฟอยใตแกน x ตลอดทงชวง ..ขอนจงผด

ขอ 2. 3f(x) 1x 3

ตดแกน x ท x 0

ลองแทนคา x ดวย 1 จะได f(x) 0.5 แสดงวากราฟอยใตแกน x ตลอดทงชวง ..ขอนจงผด

ขอ 3. xf(x) x2 ตดแกน x ท x 0, 4

ลองแทนคา x ดวย 1 จะได f(x) 0.5 แสดงวากราฟอยใตแกน x ตลอดทงชวง ..ขอนจงผด

ขอ 4. 3f(x) 4x x ตดแกน x ท x 2, 0, 2 ลองแทนคา x ดวย 1 จะได f(x) 3 แสดงวากราฟอยเหนอแกน x ตลอดทงชวง ..ขอ 4. ถก

(277) สมการของวงรทกลาวถงในโจทย คอ

2 22 2

x y 1a b 2 2 2 2 2 2b x a y a b

2 2 2 2 22 2 2

2 2a b b x by b xa a

เพอความสะดวก ควรหาพนทสวนของวงรใน ควอดรนตท 1 แลวคณดวย 4

..ซงสมการครงวงรสวนบนคอ 2

2 22

by b xa

พนทวงรเทากบ 2a 2 220

b4 b x dxa ตอบ

หมายเหต ผลการอนทเกรตคอ ab ตร.หนวย แตวธการอนทเกรตรปแบบน ยงไมไดศกษาในระดบ ม.ปลาย

O 2

3

kanuay

Pencil

คณต มงคลพทกษสข ความนาจะเปน 331

ตวอยาง การจดสลบทตวอกษรในคาวา teaching โดยทพยญชนะอยตาแหนงใดกได แตสระตองอยตดกนทงหมด จะสามารถทาไดกแบบ ในคาทโจทยใหมา มสระไดแก e, a, i ..รวม 3 ตว และพยญชนะไดแก t, c, h, n, g ..รวม 5 ตว

หลกการคดคอ มองสระ 3 ตวถกมดตดกนเปนสงของชนเดยว สวนพยญชนะแยกกนอสระ เปนสงของ 5 ชน - ขนตอนแรก เรยงสบเปลยนสงของตางกน 6 ชน ไดแก “eai”, t, c, h, n, g จะทาไดทงหมด 6! 720 แบบ - ขนทสอง ไมวาในขนแรกจะเกดผลแบบใด ยงสามารถจดสลบทระหวางสระภายในกลม ได 3! 6 แบบ เสมอ (นนคอ eai, eia, iea, iae, aei, aie)

..ดงนน จะเกดผลไดทงหมด 720 6 4320 แบบ 4. เทคนคการนบ • บางครงถาพบวาจานวนกรณมมาก ควรลองคดมมกลบ คอใชวธทเปนไปไดทงหมดลบดวยวธทไมตองการ การคดแบบนอาจชวยใหคานวณงายขน

ตวอยาง ในถงมบอล 8 ลก เปนสขาว 3 ลก นอกนนเปนสอนๆ ตองการหยบลกบอลออกมาทละลกเปนจานวน 3 ครงใหไดสขาวอยางนอย 1 ครง จะเปนไปไดกแบบ

ถาคานวณโดยตรง จะตองแยกกรณหลากหลายมากๆ (คอกรณทไดสขาวครงเดยว, ไดสขาวสองครง, และไดสขาวสามครง ..ซงในแตละกรณยงตองแยกยอยไปอกดวยวา ไดสขาวในครงทเทาใดบาง)

จงเปลยนมาคานวณจาก “วธทงหมด” ลบดวย “วธทไมไดสขาวเลย” - วธทงหมดทเกดขนได เทากบ 8 7 6 336 แบบ - วธทไมไดสขาวเลย คอหยบเฉพาะสอนๆ เทานน เทากบ 5 4 3 60 แบบ

..ดงนน จานวนวธทตองการ (หยบไดสขาวอยางนอย 1 ครง) จะมอย 336 60 276 แบบ ตวอยาง การสรางจานวน 4 หลกจากเลขโดด 0 ถง 9 โดยแตละหลกจะตองมการใชตวเลขซากน (คอซากน 2 หลกขนไป) จะสรางไดทงหมดกจานวน คานวณจาก “วธทงหมด” ลบดวย “วธทไมมเลขซาเลย” - วธทงหมดทเกดขนได (หลกพนตองไมเปนเลข 0) เทากบ 9 10 10 10 9000 แบบ - วธทไมมเลขซาเลย เทากบ 9 9 8 7 4536 แบบ

ดงนน จานวนวธทตองการ (มการใชตวเลขซากน) จะมอย 9000 4536 4464 แบบ

kanuay

Pencil


8. วธคานวณแบบทกลาวมาน ใชไดเฉพาะเหตการณทเปนการทดลองสม ซงมโอกาสเกดผลลพธแตละแบบเทากนเทานน ตวอยาง การแขงฟตบอลและสนใจผลการแพชนะ กถอวาเปนการทดลองสมเชนกน เพราะเราทราบแซมเปลสเปซ คอ {ชนะ, เสมอ, แพ} แตเนองจากผลลพธแตละแบบมโอกาสเกดขนไมเทากนอยางแนนอน เราจงไมสามารถนามาคานวณความนาจะเปนดวยวธ n(A) / n(S) ตวอยาง ถาเรามองแซมเปลสเปซของผลบวกแตมลกเตา 2 ลก เปน {2, 3, 4, 5, ..., 12} จะไมสามารถคานวณความนาจะเปนดวยวธ n(A) / n(S) เพราะผลลพธแตละแบบมโอกาสเกดขนไมเทากน (เชน ผลบวกเปน 2 หรอ 12 ยอมเกดขนไดยากกวาผลบวกเปน 6) 9. การคานวณความนาจะเปน สามารถใชวธลบออกได โดยใหความนาจะเปนของวธทงหมดเทากบ 1 P(A') 1 P(A) และ P(A) 1 P(A') ตวอยาง ถาโอกาสทวนนฝนไมตก เทากบ 0.3 กแสดงวาโอกาสทวนนฝนจะตก เทากบ 1 0.3 0.7 ตวอยาง ในถงมบอล 8 ลก เปนสขาว 3 ลก นอกนนเปนสอนๆ สมหยบลกบอลออกมาทละลกเปนจานวน 3 ครง ความนาจะเปนทไดสขาวอยางนอย 1 ครง เทากบเทาใด

คานวณจาก “วธทงหมด” ลบดวย “วธทไมไดสขาวเลย” P{ไดสขาวอยางนอย 1 ลก} 1 P{ไมไดสขาวเลย}

5 4 3 51 1 0.828 7 6 28

(หรอ 82%)

(หรออาจจะคานวณหาจานวนแบบทเปนไปได แลวคอยหารกน เชนในตวอยางนจะไดเปน 276/336 0.82 )

ตวอยาง การสรางจานวน 4 หลกจากเลขโดด 0 ถง 9 โดยการสมทละหลก (หลกพนหามเปนเลข 0) ความนาจะเปนทมการใชเลขซากน เทากบเทาใด คานวณจาก “วธทงหมด” ลบดวย “วธทไมมเลขซาเลย” P{มเลขซากน} 1 P{ไมมเลขซากน}

9 9 8 7 631 1 0.4969 10 10 10 125

(49.6%)

(หรออาจจะคานวณหาจานวนแบบทเปนไปได แลวคอยหารกน เชนในตวอยางนจะไดเปน 4464/9000 0.496 )

kanuay

Pencil


ตวอยาง การจดสลบทตวอกษรในคาวา receiver (โดยไมคานงถงความหมาย) สามารถทาไดทงหมดกแบบ

มตวอกษรอย 8 ตว แตในจานวนนมตวทเหมอนกน ไดแก r 2 ตว และ e 3 ตว จงเปรยบเสมอนการเรยงสบเปลยนสงของ 8 สง ซงมของทเหมอนกนอยสองชด ชดละ 2 และ 3 สง

จะสามารถทาไดทงหมด 8! 3360(2!)(3!) แบบ

ตวอยาง มหลอดไฟ 12 หลอด ประกอบดวย หลอดสขาว 3 หลอด สแดง 3 หลอด และสนาเงน 6 หลอด นาหลอดไฟทงหมดใสลงในขวหลอด ซงเรยงกนอยในแนวตรง จะมวธสลบไดทงหมดกแบบ

เปนการเรยงสบเปลยนสงของ 12 สง ซงมของทเหมอนกนอยชดละ 3, 3, 6 สง

จะสามารถทาไดทงหมด 12! 18480(3!)(3!)(6!) แบบ

ตวอยาง ถาใหเดนทางไดตามเสนตารางทกาหนด และเดนทางไปไดเฉพาะทศเหนอ กบทศตะวนออกเทานน จะมเสนทางจาก A ไป B ในแบบตางๆ กนทงหมดกแบบ (เสนหนาในรป เปนตวอยางเสนทางแบบหนง)

ถาลองเขยนเสนทางจาก A ไป B หลายๆ แบบ เชน E-E-E-E-N-N-N, E-N-E-N-N-E-E, N-N-E-E-N-E-E, ฯลฯ จะพบวา ทกๆ แบบจะตองเดนทางไปทางเหนอ (N) เปนจานวน 3 ครง และไปทางตะวนออก (E) เปนจานวน 4 ครง เสมอ

ดงนนวธทเลอกเดนทางได กเปรยบเสมอนวธสลบทตวอกษรในคาวา EEEENNN นนเอง

จงไดจานวนเสนทางทงหมด 7! 35(4!)(3!) แบบ

ตวอยาง ดวยเงอนไขในขอทแลว หากเสนทางจาก A ไปยง B ถกสมเลอกมาใช ใหหาความนาจะเปนทเสนทางทเลอกใชนน ผานจด F ดวย

เสนทางจาก A ไปยง F เปรยบเสมอนการสลบทตวอกษร

ในคาวา EENN จงไดเสนทาง 4! 6(2!)(2!) แบบ

เสนทางจาก F ไปยง B เปรยบเสมอนการสลบทตวอกษร

ในคาวา EEN จงไดเสนทาง 3! 32! แบบ

ดงนนจานวนเสนทางทงหมดจาก A ไป B โดยผานจด F มอย 6 3 18 แบบ

และความนาจะเปนทเสนทางจาก A ไป B จะผานจด F ดวย เทากบ 18 0.51435

A

B N

A

B F

kanuay

Pencil


(21) ..จดแถวตรง ได 5!2! 240 วธ (5! คอสลบภายนอก และ 2! คอสลบกนเองภายใน)

..จดวงกลม ได 4! 24 วธ (สองคนวางตรงขามกนตรงไหนกได จดเฉพาะคนอนทเหลอเปนเสนตรง)

..ดงนน ตางกนอย 216 วธ ตอบ

(22) ขอ ก. จดได 5!5! วธ ..ถกตอง

ขอ ข. โตะสองตววางตดกน ตาแหนงของทนงแตละทจงถอวาตางกน (คลายกบวามหมายเลขประจาเกาอแลว) จงไมใชการจดแบบวงกลม ..และจะจดตาแหนงคนในแตละโตะไดเปน 6!6! (ชายโตะหนง หญงอกโตะหนง) และโตะตางกนจงสลบไดอก 2! ..ขอนจงตองเปน 6!6!2!

ตอบ ก. ถก และ ข. ผด

(23) สลบ ก, ข ได 2! วธ และวางตาแหนงของ ก กบ ข นไวทใดกได จากนน สลบคนอนๆ ลงนง ในรปแบบ ช ญ ช ญ ... (8 คน) ไดเทากบ 4!4! วธ

ตอบ จานวนวธทงหมด 2!(4!4!) 1152 วธ

(24) สามภรรยาคทกาหนดใหตดกน สลบได 2! คนอนๆ วางสลบชายหญง ได 5!5! วธ ตอบ (5!5!)(2) วธ (ขอ 2.)

(25) คสามภรรยาคทกาหนดใหตดกน สลบได 2! คนอนๆ วางตาแหนงตามเพศทระบไว ได 5!5! วธ ตอบ (5!5!)(2) วธ (ขอ 4.)

หมายเหต ขอ (25) ไดคาตอบเทากบขอ (24) เพราะอนทจรงแลว การระบตาแหนงของ 10 คนทเหลอ วาเพศใดนงตรงไหนนน จะใหผลเปน 5!5! เสมอ ..ไมวาจะกาหนดใหสลบกนรปแบบใดกตาม

(26) วางลกแกว 3 ลกกอน โดยใหสนาเงนอยตรงกลาง ..จะสลบระหวางสขาวกบแดง ได 2! แบบ

สวนสอนๆ อก 4 ลก จะสลบในแนวตรง 4! แบบ ตอบ 2!4! 48 วธ

(27) คดจาก “วธทงหมดทลกสแดงตดกบสขาว” ลบดวย “วธทลกสแดงตดกบสขาวและสนาเงนดวย” (กหมายความวา ลกสแดงตองอยตรงกลาง) ตอบ 2!5! 2!4! 240 48 192 วธ

(28) ได 4 วธ ดงรป (สงเกตความแตกตางไดจากระยะหางระหวางชองสขาว)

(29) ขอ ก. ในทนจานสเดยวกนถอวาเหมอนกน ..จงได 8! 2,5202!2!2!2! วธ ขอ ก. ถก

ขอ ข. หลกพนตองเปน 1 เทานน หลกรอยตองเปน 3 หรอ 4 เทานน หลกสบกบหลกหนวยเปนอะไรกได (ใน 0 ถง 7) ..จงได 1 2 8 8 128 รหส ขอ ข. ถก

ขอ ค. วธเลอกผาและโบว 5 4 20

วธเลอกของสองสง 5 102

ขอ ค. ถก

ขอ ง. เรยงวงกลมแตมของซา จะตองเขยนแจงวธเพอนบ ดงน T-T-A-H, T-T-H-A, T-H-T-A รวม 3 วธ ขอ ง. ผด ตอบ ขอ 4.

(30) ตอบ 10! 10 9 810 1203 7!3! 3 2

วธ

kanuay

Pencil


ขอ 3. เมอ n เปนจานวนค จะไดวา

n n 0 n 1 1n n(x y) x y x y ...10

2 n 2 1 n 1 0 nn n nx y x y x ynn 1n 2

และ n n 0 n 1 1n n(x y) x y x y ...10

2 n 2 1 n 1 0 nn n nx y x y x ynn 1n 2

..ดงนน n n(x y) (x y) จะไมมพจน 2 n 2x y เพราะลบกนหายไปพอด (ขอ 3. ผด) ขอ 4. (ผลจากขอ 3.) พจนทเหลออย คอพจนทมสมประสทธทวนามเปน

n1 , n3 , ...จนถง nn 1 รวมแลวม n

2 พจน

ขอ 4. ถก

(67) พจนทวไปคอ 8 r 3 r8 (xy) (2y )r

กาลงของ x คอ 8 r กาลงของ y คอ 8 r 3r

และสมประสทธ คอ r8 (2 )r

ตองการกาลงรวมเทากบ 4 จงให (8 r) (8 r 3r) 4 r 4

ตอบ สมประสทธคอ 48 (2 ) (70)(16) 11204

(68) อนกรมเรขาคณต มคาเทากบ

2 51n1

21((1 x ) 1)a (r 1)

r 1 1 x 1

2 51

2(x 1) 1

x

ตองการพจนทม 54x แสดงวา ในการกระจาย 2 51(x 1) พจนนนตองมคา 56x (เพอใหหารดวย 2x แลวเหลอ 54x พอด)

..พจนทวไปของ 2 51(x 1) คอ 2 51 r r51 (x ) (1)r

จงใหกาลง 2(51 r) 56 r 23

ตอบ สมประสทธของพจนนนคอ 5123

ซงมคาเทากบ 5128

ดวย นนเอง (ขอ 4.)

(69) แกสมการ 3x 5 x 2 23x 5 x 4x 4

2 1 5x x 1 0 x 2 2

ดงนน 1 5a, b 2 2

..จากทฤษฎบททวนาม สงทโจทยถามกคอ 8(a b) ซงมคาเทากบ 8( 5) 625 ตอบ

(70) ๏ การกระจาย 2n(1 2x)

จะมพจนทวไปเปน 2n r r2n (1) (2x)r

..นนคอ กาลงของ x เปน r

และสมประสทธเปน r2n (2 )r

..ตองการ n 2x ดงนน r n 2

สมประสทธคอ n 2n

2n (2 ) an 2

๏ การกระจาย 2n(2 3x)

จะมพจนทวไปเปน 2n r r2n (2) (3x)r

..นนคอ กาลงของ x เปน r

และสมประสทธเปน 2n r r2n (2 )(3 )r

..ตองการ nx ดงนน r n

สมประสทธคอ 2n n n nn

2n 2n(2 )(3 ) (6 ) bn n

๏ ลาดบ

n n 2n n

nn

2n3 (2 )n 2a3 2nb (6 )n

2n4 n 22nn

4 (2n)! n! (2n n)!

(n 2)! (2n (n 2))! (2n)!

4 (2n)! n! n!(n 2)! (n 2)! (2n)!

4n(n 1)(n 1)(n 2)

ตอบ ลมต (n เขาใกลอนนต) ของลาดบนเปน 4

kanuay

Pencil


(136) สมมตมลกแกวรวมทงหมด n ลก

จะไดสมการวา 422n15 2

6 15n 452 2

n 10 ลก

..แสดงวา มลกแกวสแดงกบเขยว อยางละ 3 ลก สงทโจทยถาม ควรคดดวยวธลบออก นนคอ.. ความนาจะเปนท “ไดสเขยว 1 ลก” ลบดวย ความนาจะเปนท “ไดสเขยว 1 ลกและไมไดสแดงเลย (แปลวาไดสขาวอก 3 ลก)”

ตอบ 7 43 3

1 3 1 3 3(35) 3(4) 3110 210 704

(137) ความนาจะเปนทจะหยบได “ค, ค” เทากบ 3 3 1

6 6 4

ความนาจะเปนทจะหยบได “ค, ค”

เทากบ 3 3 36 5 10

ตอบ ความนาจะเปนรวม เทากบ 1 3 0.554 10

(138) ความนาจะเปนทได “ก แดง ทนท” 58

ความนาจะเปนทได “ก ขาว, ข ขาว, แลว ก แดง”

3 2 5 58 7 6 56

(นอกจากนไมมวธใดท ก จะไดสแดงอกแลว)

ตอบ ความนาจะเปนรวม เทากบ 5 5 58 56 7

** หมายเหต ขอ 137 กบ 138 ใชหลกการทวา ความนาจะเปนของเหตการณทเกดหลายขนตอนตอเนองกน (โดยแตละขนตอนไมขนตอกน) หาไดจากผลคณของความนาจะเปนของแตละขนตอนยอยๆ นน

(139) วธสรางเมทรกซทงหมด เทากบ 2 2 2 2 16 แบบ

..โจทยตองการวธท det(A) 0 หรอ 1 จะใชวธนบเอาตามปกตกได แตในทนถาลองสงเกตวา det(A) สามารถเปนไดเพยง 0, 1, -1 เทานน กจะคานวณไดโดยวธลบออก..

นนคอ วธทงหมด ลบดวยวธท det เปน -1 ..ไดแก (0 0 1 1), (0 1 1 1), (1 0 1 1) รวม 3 กรณ

ตอบ ความนาจะเปนเทากบ 3 131 16 16

(140) ในขอนคดโดยลบออกจะยาก เพราะกรณทไมตรงเลยสกซอง จะตองเขยนแจกแจงวธใหครบ เพอนบเอาเองเทานน (ซงเขยนใหครบยาก) ..จงควรคดแยกคดแตละกรณไปเลยโดยตรง

กรณแรก ตรง 3 ซอง

เลอกวาซองใดจะตรง ได 5 103

วธ

และอก 2 ซองสลบใหไมตรง ไดเพยง 1 วธ

กรณทสอง ตรง 2 ซอง


วธ

และอก 3 ซอง สลบใหไมตรงได 2 วธ (ไลเขยนเพอนบ)

กรณทสาม ตรง 1 ซอง


วธ

และอก 4 ซอง สลบใหไมตรงได 9 วธ (ไลเขยนเพอนบ)

ตอบ (10 1) (10 2) (5 9) 755! 120

(141) ขอ ก. ผด ..สถานการณนคดดวย n(E)P(E) n(S) ไมได

เพราะผลลพธแตละแบบใน S นนมโอกาสเกดไมเทากน (เชนผลรวมเปน 2 ยอมเกดขนยากกวาผลรวมเปน 7 ซงมไดหลากหลายลกษณะ)

kanuay

Pencil


195. [โควตา มช. / 2538] ชายผหนงมเหรยญขนาดเดยวกนจานวน 3 เหรยญ เหรยญทหนงมดานหนงเปนหว อกดานหนงเปนกอย เหรยญทสองมดานทงสองเปนหว และเหรยญทสามมดานทงสองเปนกอย ถาหยบเหรยญมาอยางสม 1 เหรยญ ทดลองโยนเหรยญนน และผลการโยนไดดานทเปนหว แลว ความนาจะเปนทอกดานหนงของเหรยญนนจะเปนหวดวย เทากบขอใด

1. 16 2. 1

3 3. 12 4. 23

196. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2547] บรษททาความสะอาดแหงหนงตองการมอบหมายใหพนกงาน 2 คน จากพนกงาน 5 คนไปทาความสะอาดอาคารหลงหนง ซงม 2 ชนๆ ละ 1 คน ถานางสาวสมศรและนางสาวสมหญงเปนพนกงานของบรษทนแลว ความนาจะเปนทบคคลทงสองอยางนอย 1 คนจะถกมอบหมายใหไปทาความสะอาดอาคารหลงนเทากบขอใดตอไปน

1. 910 2. 7

10 3. 1520 4. 13

20

197. [พนฐานวศวะฯ / ม.ค.2547] กลองใบหนงมลกแกวขนาดเดยวกน 6 ลก เปนลกสแดง 3 ลก สเขยว 2 ลก สเหลอง 1 ลก เดกคนหนงหยบลกแกวออกจากกลองนมา 1 ลกโดยวธสม เมอดสของลกแกวแลวกโยนกลบลงในกลอง แลวทาการหยบครงท 2 โอกาสทเดกคนนจะหยบไดลกแกวสแดงและสเหลองอยางละลก เทากบขอใด

1. 13 2. 1

6 3. 23 4. 112

198. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2543] เมอทอดลกเตา 6 ลกพรอมกน ความนาจะเปนทแตมทขนของแตละลกจะไมซากนเลย มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 1324 2. 5

324 3. 1162 4. 5

162

199. [พนฐานวศวะฯ / ม.ค.2547] ถาเชญแขกมารบประทานอาหาร 6 คน โดยเปนผชาย 3 คน ผหญง 3 คน โดยเชญใหแขกนงรอบโตะกลมซงม 6 ทนง อยากทราบวาความนาจะเปนทจะจดแขกใหนงสลบชาย-หญง เปนเทาใด

1. 12 2. 1

5 3. 110 4. 1

60

200. [โควตา มช. / 2547] มลกแกวขนาดเทาๆ กน 9 ลก เปนสแดง 4 ลก สดา 3 ลก และสขาว 2 ลก ถานาลกแกวเหลานมาเรยงเปนแถวยาว ความนาจะเปนทลกแกวสแดงอยหวและทายแถวเทากบขอใด

1. 221 2. 3

18 3. 49 4. 5

18

เฉลย 190. 4 191. 3 192. 2 193. 2 194. 4 195. 3 196. 2 197. 2 198. 2 199. 3 200. 2

kanuay

Pencil


หมายเหต ในขอนมวธคดใหงายขน โดยไมตองเลอกเดอนในขนแรก แตใหแบงเพอนเปนกลมๆ ได 6 6

30!(2!) 6!(3!) 6! วธ

แลวสลบวากลมใดจะใหเกดเดอนไหน ..ได 12! วธ ..นนคอ คาตอบเทากบ 6 6

30! 12!(2!) 6!(3!) 6!

(180) ขอนอาศยหลกทวา เมอ a, b, c เปนจานวนเฉพาะทไมซากน จะมจานวนนบทหาร z y xa b c ลงตว อย (z 1)(y 1)(x 1) จานวน (ผลคณนเกดจากการ “เลอก” กาลงของ a, b, c เปนคาตางๆ โดยทเลอกเปน 0 ไดดวย)

..เนองจาก 2 1 12540 2 5 127 จานวนเตมบวกทหาร 2540 ลงตว จงมอย 3 2 2 12 จานวน

(181) เนองจาก 6 3 18640 2 3 5 ดงนนจานวนเตมบวกทหาร 8640 ลงตว มทงหมด 7 4 2 56 จานวน (เกดจากการ “เลอก” กาลงของ 2, 3, 5 เปนคาตางๆ โดยทเลอกเปน 0 ไดดวย)

..นนคอม x ทเปนไปได 56 แบบ และในแตละแบบกจะหา y มาคกนไดเพยงคาเดยว ตอบ 56

(182) เงอนไขแรก จานวนเตม n มตวหารทงหมด 30 จานวน

..แตเนองจาก 30 2 3 5 แสดงวา n ตองแยกตวประกอบเปนจานวนเฉพาะได 3 ตวทแตกตางกน ..แลวแตละตวกจะตองยกกาลงดวย 1, 2 และ 4 เทานน (เพอใหมตวหารอย (1 1)(2 1)(4 1) 30 ตว)

เงอนไขทสอง จานวนเตม n หารดวย 30 ลงตว

แสดงวา n จะตองหารดวย 2 และ 3 และ 5 ลงตว เมอพจารณารวมกบเงอนไขแรกแลว จะพบวาตวประกอบของ n เปน 2, 3, 5 เทานน

(จะมจานวนเฉพาะอนๆ ไมไดแลว เพราะบงคบวาตองมเพยง 3 ตว)

สรปวาจานวนเตมบวก n ทเปนไปไดทงหมด ไดแก.. 1 2 42 3 5 11250 , 1 4 22 3 5 4050 , 2 1 42 3 5 7500 , 2 4 12 3 5 1620 , 4 1 22 3 5 1200 , 4 2 12 3 5 720

ตอบ 720, 1200, 1620, 4050, 7500, 11250

(183) ถาคดจากหลกพนกอนจะยาก ควรคดจากหลกหนวยและหลกสบ เพราะเมอเราเลอก 2 หลกนแลว หลกรอยกบหลกพนจะถกบงคบเปนแบบเดยวไปโดยปรยาย

สมมตคอนดบ (a,b) แทน (หลกหนวย,หลกสบ) จะสรปวา คาทเปนไปได (ทาใหเลขโดดแตละหลกไมเกน 9) ไดแก (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (2,0) (2,1) (2,2) (3,0) (3,1) (4,0) รวมทงสน 14 กรณ

..นนคอสรางจานวนสหลกได 14 จานวน ตอบ หมายเหต 14 จานวนนน (ตามลาดบทแสดงไวในเฉลยขางบนน) ไดแก 2110, 4220, 6330, 8440, 2101, 4211, 6321, 8431, 4202, 6312, 8422, 6303, 8413, 8404

(184) สเหลยมจตรสขนาด 1 1 เลอกเสนในแนวดง 2 เสน ได 7 แบบ (คอ 01, 12, 23, 34, 45, 56, 67) ในแตละแบบเลอกเสนในแนวนอนได 7 แบบเชนเดยวกน ..ดงนนมสเหลยมจตรสขนาด 1 1 ทงหมด 7 7 49 รป สเหลยมจตรสขนาด 2 2 เลอกเสนในแนวดง 2 เสน ได 6 แบบ (คอ 02, 13, 24, 35, 46, 57) ในแตละแบบเลอกเสนในแนวนอนได 6 แบบเชนเดยวกน ..ดงนนมสเหลยมจตรสขนาด 2 2 ทงหมด 6 6 36 รป

kanuay

Pencil


พบวาพหนามทงสองนจะคณกนเกดพจน 19 1x y

เมอ 10 0(2x) y คณกบ 9 1x(10)( ) ( y)2

และเมอ 10 0x( ) ( y)2 คณกบ 9 1(10)(2x) y เทานน

..ไดผลลพธพจนนนเปน 19 1 19 120x y 5x y 19 115x y ดงนน 1a 15 ตอบ

(190) A {HHH,HHT,HTH,HTT} B {HHH,HHT, THH, THT} C {HHH,HHT, THH} D {HTT, TTH, TTT} ตอบ เหตการณทไมเกดรวมกนคอ C กบ D (เพราะ C D )

(191) สมมตมธนบตร 500 บาทอย x ใบ และมธนบตร 100 บาทอย y ใบ

จะไดวา x y7 x y 1758 25 x y

.....(1)

และ 25 y3 3x y 254 25 x y

.....(2)

แกระบบสมการได x 50 และ y 125 ตอบ 25000 25000 12500 62500 บาท

(192) แตมรวมกนเปน 4 ไดแก (1,3), (3,1), (2,2) แตมรวมกนเปน 7 ไดแก (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) ..ดงนน จานวนแบบทสมบตชนะคอ 9 แบบ

แตมรวมกนเปน 6 ไดแก (1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3) แตมรวมกนเปน 11 ไดแก (5,6), (6,5) ..ดงนน จานวนแบบทสมชาตชนะคอ 7 แบบ

ความนาจะเปนทมผชนะ เทากบ 9 7 166 6 36

แสดงวาความนาจะเปนทเสมอกน เทากบ 2036

ตอบ ถาโยน 72 ครง คาดวาจะเสมอกน 40 ครง

(193) คของธนบตรทบวกกนแลวหารดวย 4 ลงตว มดงน.. (10,10), (10,50), (50,10), (20,20), (20,100), (100,20), (20,500), (500,20), (20,1000), (1000,20), (50,50), (100,100), (100,500), (500,100), (100,1000), (1000,100), (500,500), (500,1000), (1000,500), (1000,1000) รวมทงหมด 20 แบบ

ตอบ ความนาจะเปนเทากบ 20 56 6 9

(194) จานวนวธทงหมดเทากบ 999 วธ

จานวนวธทตองการ ตองหาโดยการเขยนแจกแจงวธออกมาใหครบ โดยเมอเราเลอกหลกรอยและหลกหนวยแลว ตวเลขหลกสบจะถกบงคบไปโดยปรยาย

กรณ 1xx หลกหนวยเปนไปได 1 วธ (0 เทานน) กรณ 2xx หลกหนวยเปนไปได 2 วธ (0, 1) กรณ 3xx หลกหนวยเปนไปได 3 วธ (0, 1, 2) กรณ 4xx หลกหนวยเปนไปได 4 วธ (0, 1, 2, 3) กรณ 5xx หลกหนวยเปนไปได 5 วธ (0, 1, 2, 3, 4) กรณ 6xx หลกหนวยเปนไปได 5 วธ (0, 1, 2, 3, 4) กรณ 7xx หลกหนวยเปนไปได 4 วธ (0, 1, 2, 3) กรณ 8xx หลกหนวยเปนไปได 3 วธ (0, 1, 2) รวมวธทตองการทงหมดเทากบ 27 วธ

..ดงนน ความนาจะเปนเทากบ 27 3999 111 ตอบ

(195) ในขอนมเงอนไขวาตองมหวอยางนอยหนงดาน (เหรยญทมกอยทงสองดาน จะไมอยในแซมเปลสเปซ) ..ดงนน ความนาจะเปนทอกดานหนงจะเปนหวดวย

คดไดจาก n{HH} 1n{HH,HT} 2 ตอบ

kanuay

Pencil

คณต มงคลพทกษสข สถต 429

ตวอยาง ถาสมชายไดคะแนนจากการสอบสครงเปน 70, 63, 70, และ x คะแนน โดยการสอบแตละครงมนาหนกเปน 40%, 30%, 10%, และ 20% ตามลาดบ และไดคะแนนเฉลยเปน 68 คะแนน แสดงวา x เทากบกคะแนน

จาก 0.4(70) 0.3(63) 0.1(70) 0.2(x)X 680.4 0.3 0.1 0.2

คะแนน

แกสมการได x 70.5 คะแนน

• ขอมลทแจกแจงความถแลว fx fxX f N

(ให x เปนคากงกลางชน แลวคดแบบถวงนาหนก โดยใชความถเปนนาหนกนนเอง)

ตวอยาง สวนสงของนกเรยน 40 คนซงแจกแจงความถแลว เปนดงน

คานวณคาเฉลยเลขคณตไดจาก fx fxX f N

จะได 6(152) 9(157) 10(162) ... 2(177)X 6 9 10 ... 2

6495 162.37540 ซม.

(คลาดเคลอนไปจากขอมลทยงไมแจกแจงความถเลกนอย เนองจากขอมลทแจกแจงความถแลวจะสญเสยความละเอยดไป)

14. มธยฐาน (Med)• คอคาทมตาแหนงอยกงกลางของขอมลทงหมด (เมอเรยงลาดบมากนอยของขอมลแลว)• เปนคากลางทใหความสาคญกบลาดบขอมล

(บอกวามขอมลทมคามากกวานและนอยกวาน อยเปนปรมาณเทากน) จงยงคงใชไดดกบขอมลชดทมบางคาสงหรอตากวาคาอนอยางผดปกต

• ขอมลทยงไมแจกแจงความถ Med คอขอมลในตาแหนงท (N+1)/2(ขอควรระวงคอ (N+1)/2 นนเปนเพยงตาแหนงของมธยฐาน และยงไมใชคาของมธยฐาน)

ตวอยาง ขอมลชดหนงม 9 จานวน ไดแก 2, 3, -4, 1, -1, -2, 3, 0, -1 บาท

เรยงลาดบขอมลจากคานอยไปมาก ไดดงน -4, -2, -1, -1, 0, 1, 2, 3, 3 มธยฐานอยในตาแหนงท (9+1)/2 คอตาแหนงท 5 ดงนน มธยฐานเทากบ 0 บาท

สวนสง (ซม.) จานวนนกเรยน 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174 175 – 179

6 9 10 8 5 2

kanuay

Pencil


- ควอรไทลท 3 อยในตาแหนงท 3 (40 1) 30.754

ดงนน ควอรไทลท 3 มคาระหวาง 167 และ 168 แตไมใชคากงกลาง เพราะตาแหนงเปน 30.75 วธคานวณคอ บวกจากขอมลตวซาย 0.75 ของระยะหาง ซงเราทราบวา 167 และ 168 หางกนอย 1 ..ดงนน ควอรไทลท 3 เทากบ 167 (0.75 1) 167.75 ซม.

- เดไซลท 1.5 อยในตาแหนงท 1.5 (40 1) 6.1510

ดงนน เดไซลท 1.5 มคาระหวาง 153 และ 155 แตไมใชคากงกลาง เพราะตาแหนงเปน 6.15 วธคานวณคอ บวกจากขอมลตวซายไป 0.15 ของระยะหาง ซงเราทราบวา 153 และ 155 หางกนอย 2 ..ดงนน เดไซลท 1.5 เทากบ 153 (0.15 2) 153.30 ซม. ตวอยาง จากผลคะแนนสอบแบบแจกแจงความถ เปอรเซนไทลท 70 เทากบ 57 คะแนน ถามผสอบทไดมากกวา 57 คะแนนอย 45 คน แสดงวามผเขาสอบครงนประมาณกคน เปอรเซนไทลท 70 คอคาซงแบงขอมลเปนสดสวน 70/100 (ฝงนอย) กบ 30/100 (ฝงมาก) ..โจทยบอกวามผทสอบไดมากกวาคานอย 45 คน แสดงวา 30

100 จานวนคนทงหมด 45

ดงนน จานวนคน (ผเขาสอบ) ทงหมด 150 คน 20. คาการกระจายของขอมล (มหนวยเหมอนกบขอมล) • เนองจากคากลางไมสามารถบอกลกษณะขอมลไดอยางสมบรณ จงตองใชคาการกระจายควบคกนดวย ถาคาการกระจายยงมาก หมายความวาคาขอมลมความแตกตางกน ไมเกาะกลมกน • คาการกระจายจะตองเปนบวกหรอศนยเสมอ ไมมทางตดลบ เพราะคานวณจากผลตาง (คาการกระจายจะเปนศนยเมอขอมลทกคาเหมอนกนหมด) ตวอยาง กาหนดขอมลสองชดซงมจานวนขอมลและคาเฉลยเลขคณตเทากน (เทากบ 8) ดงน ชด A; 1, 2, 2, 8, 14, 14, 15 ชด B; 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10 จะพบวา ขอมลแตละตวของชด A คอนขางอยหางจากคาเฉลยมากกวาขอมลชด B ..แบบนเรากลาววา ขอมลชด A มคาการกระจายมากกวาชด B 21. พสย • เปนคาการกระจายทวดไดรวดเรวทสด แตจะผดพลาดมากหากขอมลบางจานวน มคาสงหรอตาผดปกต ..และไมสามารถเทยบการกระจายของขอมลสองชดทมพสยเทากน

kanuay

Pencil


89. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2529] :( คะแนนสอบแววแพทยของนกเรยน 2 กลม กลมแรกมผเขาสอบจานวน 10 คน ไดคะแนนดงน 25, 31, 28, 25, 34, 28, 28, 31, 34 และ 36 กลมทสองมผเขาสอบจานวน 5 คน ไดคะแนนดงน 14, 13, 12, 11 และ 10 (ผลบวกกาลงสองของขอมลกลมแรกและกลมทสองเปน 9132 และ 730 ตามลาดบ) ถากาหนดให ix ผลบวกของความแปรปรวนกลมท i กบกาลงสองของความแตกตาง ระหวางคาเฉลยเลขคณตกลมท i กบคาเฉลยเลขคณตรวม และความแปรปรวนรวม 2

รวม(s ) คาเฉลยเลขคณตถวงนาหนกของ ix (i 1, 2) แลว คาความแปรปรวนรวมจะเทากบเทาใด 1. 1.72 2. 7.60 3. 9.47 4. 81.47 90. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2530] ;Þ กาหนดให 1x , 2x , ..., nx เปนขอมลชดท 1 และ 1y , 2y , ..., ny เปนขอมลชดท 2 โดยท i iy x b , i 1, 2, ..., n; b เปนคาคงทไมใชศนย พจารณาขอความตอไปน ก. สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลทงสองชดเทากน ข. ถาขอมลชดท 1 มฐานนยม 1 คา และมคณสมบตวา คาเฉลยเลขคณต = มธยฐาน = ฐานนยม แลว ขอมลชดท 2 กจะมคณสมบตขางตนเชนเดยวกน ค. พสยของขอมลทงสองชดเทากน ขอใดตอไปนถก 1. ถกเฉพาะขอ ก. และ ข. 2. ถกเฉพาะขอ ก. และ ค. 3. ถกเฉพาะขอ ข. และ ค. 4. ถกทงขอ ก. ข. และ ค. 91. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / 2533] ;Þ กาหนดให 2 , 3, 2 , 1 , 6, 4, 5 , 7 เปนขอมลชดท 1 1Y , 2Y , ... ..., 8Y เปนขอมลชดท 2 และ i iY aX เมอ iX เปนขอมลในชดท 1 i 1, 2, ..., 8 และ a 1 ขอใดตอไปนผด 1. มธยฐานของขอมลชดท 1 มากกวาของขอมลชดท 2 2. คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 มากกวาของขอมลชดท 2 3. สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดท 1 มากกวาของขอมลชดท 2 4. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลชดท 1 มากกวาของขอมลชดท 2

เฉลย 85. 1 86. 5 87. – 88. 96 89. 4 90. 4 91. 3

kanuay

Pencil


115. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2545] ;Þ ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนง ซงมคะแนนเตม 70 คะแนน มสมประสทธของการแปรผนของคะแนนเทากบ 2/7 ถานายบณฑตสอบได 65 คะแนน ซงคดเปนคะแนนมาตรฐานเทากบ 3 และนางสาวบงอรสอบไดคะแนนซงคดเปนคามาตรฐานเทากบ 1.9 แลว นางสาวบงอรสอบไดคะแนนเทากบขอใดตอไปน 1. 50 คะแนน 2. 52 คะแนน 3. 54 คะแนน 4. 56 คะแนน 116. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2547] คะแนนการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชนหนงซงมสองหอง มคาเฉลยเลขคณตรวมเทากบ 54 คะแนน โดยทหอง ก และหอง ข มนกเรยน 30 และ 20 คนตามลาดบ ถาคะแนนเฉลยของนกเรยนหอง ก เทากบ 50 คะแนน เมอแยกพจารณาผลสอบแตละหอง พบวานกเรยนหอง ก ผไดคะแนน 55 คดเปนคามาตรฐาน 1.0 เทากบคามาตรฐานของนกเรยนหอง ข ผทไดคะแนน 66 พจารณาขอความตอไปน ก. ความแปรปรวนของคะแนนของนกเรยนหอง ก เทากบ 25 ข. สมประสทธของการแปรผนของคะแนนของนกเรยนหอง ก มากกวาสมประสทธของการแปรผนของคะแนนหอง ข ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 117. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ม.ค.2546] ในการสอบครงหนง มผเขาสอบจานวนหนงซงมนายคณตและนายวทยารวมอยดวย โดยทคาเฉลยเลขคณตของผลการสอบเทากบ 60 คะแนน และสมประสทธของการแปรผนเทากบ 0.25 นายคณตสอบไดมากกวานายวทยา 9 คะแนน และผลบวกของคามาตรฐานของคะแนนของคนทงสองเทากบ 1.5 ถาให A คามาตรฐานของคะแนนของนายคณต และ B คะแนนของนายวทยา แลว A และ B เปนจรงตามขอใดตอไปน 1. A 0.45 , B 65.75 คะแนน 2. A 0.45 , B 66 คะแนน 3. A 1.05 , B 66.75 คะแนน 4. A 1.05 , B 68 คะแนน 118. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / ต.ค.2546] โรงงานแหงหนงคดเลอกคนงานจากผสมครเขาทางานทงหมด โดยมเงอนไขวาผทจะไดรบการพจารณาคดเลอกเขาทางานตองมคามาตรฐานของอายไมนอยกวา 1.5 และไมเกน 3.5 ถาคาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนของอายของผสมครทงหมดเปน 23 ป และ a ป2 ตามลาดบ และถานาคามาตรฐานของอายของผสมครทงหมดมาหาความแปรปรวนไดความแปรปรวนเทากบ a/4 แลว ผสมครทอยในขายทจะไดรบการคดเลอกเขาทางานจะตองมอายตามขอใดตอไปน 1. ไมนอยกวา 26 ป และไมเกน 37 ป 2. ไมนอยกวา 29 ป และไมเกน 37 ป 3. ไมนอยกวา 26 ป และไมเกน 30 ป 4. ไมนอยกวา 29 ป และไมเกน 30 ป

kanuay

Pencil


(28) ขอ ก. จากสมการในโจทย แจกแจงไดเปน x y 9 .....(1) x y 7 .....(2)

นาสมการ (1) (2)2 ..จะไดผลเปน x 8

ดงนน x 8X 3 3

..และจากสมบตของ X จะสรปไดวา 2(x a) มคาตาสดเมอ 8a 3 (ก. ผด)

ขอ ข. คาเฉลยเลขคณตของลาดบเลขคณต

สามารถคดจาก 1 na a2 ได

..นนคอ 3 43 46X 232 2

(ข. ถก)

(29) พสย 12 และ a 15 ดงนน a 3

2i(x b) นอยสด ดงนน b X 8

ix c นอยสด ดงนน xc Med 8

(จากสมบตของ X และ Med) ตอบ a b c 3 8 8 19

(30) ขอมล 1 2 3 13x , x , x , , x ทใหมา ไดแก 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, ..., 8 ตามลาดบ

คาของ nx a นอยทสด เกดเมอ a Med

..เรยงขอมลไดเปน 0, 1, 1,2,2, 3, 3 , 4, 4,5,6, 7,8 ดงนน ตอบ a Med 3

(31) ขอ 1. ผด ..เนองจาก มธยฐาน = 60 ดงนนคาของ x a จะนอยทสดเมอ a 60

ขอ 2. ผด ..เนองจาก X 70 ดงนนคาของ 2(x a) จะนอยทสดเมอ a 70

ขอ 3. ถก ..เพราะ X Med Mo เปนลกษณะของโคงเบลาดทางขวา

ขอ 4. ผด ..คะแนน 60 คอมธยฐาน ดงนน มจานวนนกเรยนทไดประมาณ 60 คะแนนขนไป อยครงหนงของจานวนทงหมด คอ 50 คน

(32) ฐานนยม คอ 2 และ 4 (รวมกนทงสองคา) จงตอบ ขอ 5.

(33) ฐานนยมอยในชนทมความถสงสดเสมอ นนคอชน 1.75 ถง 1.94 ..แตในตวเลอกถกตดเปน “1.75 ถง 1.85” กบ “1.85 ถง 1.94”

ตองพจารณาจาก ความถชนกอนหนา และชนถดไป ..พบวาชนกอนหนานนมความถสงกวาชนถดไป จงฉดใหฐานนยมมคาตากวาจดกงกลางชน (ดงรป)

ตอบ 1.75 ถง 1.85

หมายเหต จะคานวณคาดวยสตรกได (แตเนองจากในขอนไมไดถามคาเจาะจง จงไมจาเปนตองคานวณ)

(34) เรยงลาดบขอมลไดเปน 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9 ..จงไดวา X 4.5 , Med 4 , Mo 3

และเนองจากขอมลสวนมากมคานอย การแจกแจงจงเปนแบบเบขวา (หรอดจาก Mo Med X กได) ตอบ ขอทเปนจรงคอขอ 2.

(35) จาก 10, 20, 30, 30, a, b, 60, 60, 90, 120

ม “30” กบ “60” อยางละสองตว แตเนองจาก ฐานนยมเปน 30 ดงนนตองมขอมล “30” อยมากกวาสองตว ..แสดงวา a 30 แนนอน

และจากมธยฐาน a b40 2

ดงนน b 50

ตอบ

11 22 33 34 ... 130X 10

500 55 55.510

ฐ

30

25 22

kanuay

Pencil


(51) ขอทผดคอ ขอ 3. เพราะ X เปนคากลางของขอมล ไมสามารถบงบอกลกษณะการแจกแจงได

..ขอมลทม X เทากนอาจมการแจกแจงตางกน เชน ขอมล 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4 (เบขวา) กบขอมล 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 (แจกแจงปกต) มการแจกแจงตางกน แตมคา X 2.5 เหมอนกน

(52) ขอ ก. การแจกแจงเปนแบบโคงเบขวา ดงนน X Mode ขอ ก. ถก

หรอ คานวณไดดงน

6 6 5 3 4 3X a ID 62 (9) 20

62 3.15 58.85 คะแนน แต Mo อยในชน 49-57 (เพราะมความถสงสด) ..ดงนน X Mode แนนอน ขอ ข. หา 1Q กบ 3Q ไดดงน

1Q อยตาแหนงท 1 20 54

1Q 48.5 คะแนน (เปนขอบบนของชนพอด)

3Q อยตาแหนงท 3 20 154

315 14Q 66.5 9 69.53

คะแนน

จงได 69.5 48.5QD 10.52

ขอ ข. ถก

(53) ขอ ก. การแจกแจงเปนแบบโคงเบขวา ดงนน Mo Med ขอ ก. ผด

(หรอคดอกแบบคอ.. Mo อยในชน 23 26 แต Med อยในชน 27 30 ดงนนคาของ Mo Med แนนอน)

ขอ ข. 3Q อยทตาแหนง 150 ..เปนขอบบนพอด

1Q อยทตาแหนง 50 ..เปนกงกลางชนพอด

3Q 34.5 และ 1Q 24.5

จะได สมประสทธ QD 34.5 24.5 0.1734.5 24.5

ขอ ข. ผด

(54) ขอ ก. สมประสทธ QD 3 13 1

Q Q 2Q Q 3

และคา 3 1Q QQD 22

จะแกระบบสมการได 3Q 5 , 1Q 1 แสดงวาขอมลทมคาระหวาง 1 กบ 5 มอย 50% (ไมใช 75%) ..ดงนน ขอ ก. ผด

ขอ ข. สมประสทธของพสย max minmax min

x x 1x x

ดงนน max min max minx x x x min2x 0 minx 0

และ maxx ตองเปนคาอนทไมใช 0 (มฉะนนจะเกดสวนเปน 0 ซงไมเปนจานวนจรง)

จากสมบตทวา min maxx X x จงสรปไดวา X 0 แนนอน ..ดงนน ขอ ข. ถก

(55) จาก 3 1Q QQD 242

.....(1)

และ “สมประสทธ QD” 3 13 1

Q Q 0.2Q Q

.....(2)

แกระบบสมการไดดงน; จากสมการ (1); 3 1Q Q 48 แทนในสมการ (2); จะได 3 1Q Q 240 ดงนน 3Q 144 และ 1Q 96

..จากความรทวา 25P คอ 1Q และ 75P คอ 3Q จงไดคาตอบเปน 96 และ 144 ตามลาดบ

x f d 31 - 39 40 - 48 49 - 57 58 - 66 67 - 75 76 - 84 85 - 93

2 3 5 4 3 2 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

kanuay

Pencil


208. [คดโอลมปก / 2534] ชายคนหนงขมอเตอรไซคขนเขาดวยความเรว 40 กม./ชม. จากนนขลงเขาไปยงจดเรมตนดวยความเรว 80 กม./ชม. อยากทราบวาเขาขมอเตอรไซคดวยความเรวก กม./ชม. 1. 120 กม./ชม. 2. 60 กม./ชม.

3. 153 3 กม./ชม. 4. 163 3 กม./ชม.

209. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2538] ขอมลตอไปนเปนคะแนนวชาสถตของนกเรยน 7 คน ซงมคะแนนเตม 20 คะแนน 10, 3, 19, 17, 5, 9, 15 นกเรยนคนทสอบไดคะแนน 10 คะแนน มตาแหนงเปนควอรไทลทเทาใด 210. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2537] ตารางขางลางนเปนตารางแจกแจงความถแสดงคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนง

คะแนนสอบ ความถ (คน) 5 – 9 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29

5 a 7 8 3

มนกเรยนกคนทไดคะแนนมากกวาหรอเทากบ 14.5 คะแนน และถาคะแนนทเปนเปอรเซนไทลท 24 เทากบ 12 คะแนน จงหาคา a 211. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2540] คะแนนสอบของนกเรยน 40 คน มเสนโคงของความถเปนเสนโคงเบลาดทางขวา โดยทคาเฉลยของคะแนนสอบเทากบเปอรเซนไทลท 55 สมชายเปนนกเรยนคนหนงทเขาสอบครงน คะแนนสอบของสมชายเปนคาฐานนยม ซงคะแนนทสมชายสอบไดแตกตางจากคาเฉลยอย 6 คะแนน ถาทราบวานกเรยนทสอบไดท 18 ไดคะแนน 68 คะแนน และนกเรยนทสอบไดท 19 ไดคะแนน 62 คะแนน จงหาคะแนนทสมชายสอบได 212. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2547] นองนดซอผาเชดหนามา 8 ผน มราคาเทากนอย 2 ผน อก 6 ผนราคาตางกนทงหมด ราคาของผาเชดหนามมธยฐานเทากบ 36 บาท และคาเฉลยเลขคณตเทากบ 36.50 บาท ผาเชดหนา 4 ผนราคาถกกวาฐานนยม โดยทมราคาเรยงกนเปนลาดบเลขคณตทมพจนทหนงเปน 18 และมผลตางรวมเปน 4 สวนผาเชดหนา 2 ผนทราคาแพงกวาฐานนยมมราคาตางกน 10 บาท จากขอมลทใหมา จงหาสวนเบยงเบนควอรไทลของราคาผาเชดหนา 1. 10.375 2. 10.875 3. 12.375 4. 12.875

เฉลย 204. 4 205. 3 206. 4 207. 2 208. 3 209. 2 210. 18, 2 211. 59.3 212. 4

kanuay

Pencil


(200) ลาดบเลขคณต มพจนแรกเปน 3 และผลรวมเปน 18 จะไดสมการ (3) (3 d) (3 2d) 18 ดงนน d 3 , และสามพจนนไดแก 3, 6, 9

จากขอมลทใหมา จงไดตารางในลกษณะดงน

อนตรภาคชน ความถ 0.80 – 0.99 1.00 – 1.19 1.20 – 1.39 1.40 – 1.59 1.60 – 1.79 1.80 – 1.99 2.00 – 2.19

1 3 6 9 0 1 a

แกสมการหาความถชนสดทาย (a) จากสตรมธยฐาน

20 a2 101.417 1.395 0.2 9

20 a2 100.11 9

20 a11 2

a 2

ตอบ ตารางแจกแจงความถทสมบรณเปนดงตอไปน

อนตรภาคชน ความถ 0.80 – 0.99 1.00 – 1.19 1.20 – 1.39 1.40 – 1.59 1.60 – 1.79 1.80 – 1.99 2.00 – 2.19

1 3 6 9 0 1 2

และคานวณคาเฉลยเลขคณตไดดงน (ใชสตรลดทอน โดยในทนขอเลอกกงกลางเปน 1.495)

3 6 6 2 6X 1.495 0.2 22

1.495 0.0636 1.431

(201) กลม 1; พสย 7 1 6 กลม 2; พสย 6 2 4 ฐานนยม = 6 กลม 3; พสย 7 2 5 กลม 4; พสย 7 3 4 ฐานนยม = 7 ตอบ กลมท 4

(202) เนองจากมขอมลตวทสงผดปกตคอ 124 ดงนนถาใชคาเฉลยเลขคณต จะไดคากลางทสง

3 6 4 ... 1X 13.610

นาท

และคากลางทควรใช เพอไมใหไดคาสงเกนไป กคอมธยฐาน ..เรยงขอมลไดดงน –4, –3, –3, –1, 1, 2, 4, 6, 10, 124 ซงพบวาคามธยฐานเทากบ 1.5 นาท

ตอบ ถาถกวาจางโดยการรถไฟ ควรใชมธยฐาน (1.5 นาท) และถาถกวาจางโดยสถานโทรทศน ควรใชคาเฉลยเลขคณต (13.6 นาท)

(203) ขอ ก. ฐานนยม < มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต เปนโคงแบบเบลาดทางขวา ..ขอ ก. ถก

ขอ ข. คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม < มธยฐาน แบบนจะสรปลกษณะโคงไมได ..ขอ ข. ผด

(204) ในขอนไมจาเปนตองคานวณ เพราะโจทยเพยงใหเปรยบเทยบวาคาใดมากนอยกวากน พจารณาจากความถในตาราง พบวาขอมลเปน โคงเบลาดทางขวา ..ดงนน ฐานนยม < มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต ตอบ ขอ 4.

(205) คานวณ X โดยเลอกกงกลางชน 30-39

45 20 20 10 10 15 12 5 6X 34.5 (10)( )100

31.8

คานวณ Med ..อยในชน 30-39

จะได 50 45Med 29.5 (10)( ) 31.1630

คานวณ Mo ..อยในชน 30-39

จะได 10Mo 29.5 (10)( ) 32.8310 20

ตอบ ขอ 3.

kanuay

Pencil


(268) พจารณาทคะแนน 74 มพนทไปยงแกนกลางเทากบ 0.4 (คดจาก 900 คนใน 1000 คน)

จงได 74 Xz 1.3 X 6110

คะแนน

..ดงนน ขอ 1. ถก พจารณาทคะแนน 48

จะได 48 61z 1.310

..ดงนน ขอ 2. ถก

และอยทางซายของโคง มพนทไปยงแกนกลาง 0.4 คดเปนเปอรเซนไทลท 10 ..ดงนน ขอ 3. ถก ระหวาง 48 ถง 74 มพนท 0.4 0.4 0.8 จงมผไดคะแนนในชวงน 800 คน ..ขอ 4. ผด

(269) พจารณาท 60 คะแนน พนท A 0.3413 z 1 ท 70 คะแนน พนท A 0.3413 0.1360 0.4773 z 2

60 X1 s

และ 70 X2 s

จะได s 10 , X 50 ตอบ ขอ 3.

(270) วธท 1 คดดวย “สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล”

..จากรป เราสรปไดชดเจนวา 3Q 60 และ 1Q 20

ดงนน 60 20สปส.QD 0.5060 20

ตอบ

วธท 2 คดดวย “สมประสทธการแปรผน”

..เนองจาก x 40 อยกงกลางโคงพอด แสดงวา X 40 และจากการเปดตาราง ทราบวา A 0.25 ตรงกบคา z 0.675 จงนาไปคานวณคา s ไดดงน..

60 400.675 s 29.63s

สรปวา s 29.63 0.7440X ตอบ

หมายเหต ควรเลอกตอบขอ 3. (คอ 0.50) เพราะขอสอบไมไดใหตารางคา z กบพนทใตโคงมา ..เขาใจวาผออกขอสอบตงใจจะใหคดดวย “สมประสทธของ QD”

(271) จากความสมมาตรซายขวาของโคงปกต จงทาใหคา 5,000 k กบ 5,000 k มพนทวดไปยงแกนกลางเทากน (คา z เปนตดลบของกนและกน) ..เราจงคดเฉพาะซกขวาซกเดยวกได

และไดพนทเปน 0.95 2 0.475 จากตารางไดคา z 1.96

..ดงนน (5000 k) 50001.96 100

k 196 กรม ตอบ

(272) ขอ 1. ผด ..ตองสลบกนคอ หามธยฐานได แตหาคาเฉลยเลขคณตไมได เนองจากไมทราบจดกงกลางของชนทเปด และหาฐานนยมไมได เนองจากความกวางชนไมไดเทากนทงหมด

ขอ 2. ผด ..ตองสลบกนคอ ฐานนยม < มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต

ขอ 3. พนทใตโคงระหวาง z 2.575 ถง z 2.575 เทากบ 0.99 แสดงวาพนทใตโคงระหวาง z 0 ถง z 2.575

เทากบ 0.99 0.4952

..พจารณาท x 903

คดเปน 903 800z 2.57540

ดงนนพนททางซายทงหมดของคาน มขนาดเทากบ 0.5 0.495 0.995 ..หมายความวา มหลอดไฟทใชไดนานนอยกวา 903 ชวโมง อย 99.5% ..ดงนน ขอ 3. ผด

ขอ 4. ถก

รวม15(160) 20(152) 10(155) 15(150)X 15 20 10 15

154 ซม.

60 70

kanuay

Pencil

คณต มงคลพทกษสข กาหนดการเชงเสน 605

34. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2541] จงหาคาสงสด และคาตาสดของ 1 2z 3x x ภายใตเงอนไขตอไปน

1 2x x 1 < , 1 2x x 7 > , 1x 0> และ 2x 0> 35. [โควตา มช. / 2544] จงหาคาสงสดของ P 2x y 5 ตามเงอนไขขอจากดตอไปน x 3y 7 0 , 3x 2y 1 0 > , 4x y 17 0 < , x 0> , y 0> 36. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2537] บรษทรตนเทค เปนบรษทสรางไมโครคอมพวเตอร 2 แบบ คอ แบบรตน 1 และแบบรตน 2 บรษทมชาง 5 คน แตละคนทางาน 160 ชวโมงตอเดอนในการประกอบเครองไมโครคอมพวเตอร ฝายบรหารของบรษทสงใหชางทง 5 คนทางานเตมเวลาในเดอนหนา เครอง แบบรตน 1 ใชเวลาประกอบเครองละ 20 ชวโมง และเครอง แบบรตน 2 ใชเวลาประกอบเครองละ 25 ชวโมง ในเดอนหนานบรษทตองผลตแบบรตน 1 อยางนอย 10 เครอง และแบบรตน 2 อยางนอย 15 เครอง บรษทไดกาไรจากแบบรตน 1 เครองละ 12,000 บาท และจากแบบรตน 2 เครองละ 18,000 บาท อยากทราบวา บรษทควรผลตเครองไมโครคอมพวเตอรอยางไรในเดอนหนา จงจะมกาไรสงทสด และจะไดกาไรเทาไร 37. [โควตา มช. / 2537] บรษทผลตโตะเกาอแหงหนง การผลตจะตองผานขนตอนสองขนตอน คอการประกอบและการตกแตง แผนกประกอบมชวโมงทางาน 60 ชวโมงตอสปดาห แผนกตกแตงมชวโมงทางาน 48 ชวโมงตอสปดาห การผลตโตะหนงตวตองใชเวลาประกอบ 4 ชวโมง เวลาตกแตง 2 ชวโมง การผลตเกาอหนงตวตองใชเวลาประกอบ 2 ชวโมง เวลาตกแตง 4 ชวโมง ถากาไรทไดจากการขายโตะเปน 320 บาทตอตว และเกาอเปน 240 บาทตอตว ตามลาดบ จงหากาไรสงสดในหนงสปดาห 38. [พนฐานวศวะฯ / ม.ค.2546] รานเบเกอรแหงหนงตองใชแปงสาลและนาตาลเปนวตถดบหลกในการทาขนมเคกและขนมพาย ถาในการทาขนมเคก 1 ชน จะตองใชแปงสาล 400 กรม และนาตาล 200 กรม สวนขนมพาย 1 ชนจะตองใชแปงสาล 200 กรม และนาตาล 400 กรม ทางรานจะไดกาไรจากขนมเคกชนละ 80 บาท และขนมพายชนละ 100 บาท ถาในแตละวนทางรานตองสงแปงสาล 10 กโลกรม และนาตาล 14 กโลกรม ทางรานจะตองผลตขนมเคกและขนมพายอยางละกชนตอวนเพอใหมกาไรสงสด และจะไดกาไรเปนเทาใด ถาหากขนมทผลตออกมาขายไดหมด 1. ขนมเคก 20 ชน ขนมพาย 20 ชน กาไร 3,600 บาท 2. ขนมเคก 10 ชน ขนมพาย 20 ชน กาไร 2,800 บาท 3. ขนมเคก 10 ชน ขนมพาย 30 ชน กาไร 3,800 บาท 4. ขนมเคก 20 ชน ขนมพาย 10 ชน กาไร 2,600 บาท

เฉลย 26. 20 27. 3 28. 160000 29. -8 30. 3 31. 3600 32. 6 33. 17 34. หาคาไมได, 7 35. 14 36. 10, 24, 552000 37. 5280 38. 3

kanuay

Pencil


43. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2543] บรษทผลตอาหารแหงหนงไดรบการวาจางจากสมาคมกฬา ใหผลตอาหารพเศษสาหรบนกกฬาของสมาคม โดยอาหารชนดนตองประกอบดวยวตามน A อยางนอย 40 มลลกรม และวตามน B อยางนอย 30 มลลกรม บรษทวางแผนผลตอาหารพเศษนจากอาหาร 2 ชนดคอ ก และ ข โดยทอาหารชนด ก มราคาปอนดละ 4 บาท และมวตามน A 8 มลลกรม วตามน B 3 มลลกรม, อาหารชนด ข มราคาปอนดละ 5 บาท และมวตามน A 10 มลลกรม วตามน B 10 มลลกรม ในการผลต บรษทตดสนใจใชอาหารชนด ข ไมเกน 3.2 ปอนด จงเสนอทางเลอกวาบรษทควรใชอาหารชนด ก และ ข ชนดละเทาใด จงจะผลตอาหารพเศษใหมวตามนตามทตองการ โดยมคาใชจายนอยทสด และคาใชจายเปนเทาใด 44. [สมาคมคณตศาสตรฯ / 2549] บรษทแหงหนงขายแผนซดไดกาไรแผนละ 6 บาท และขายแผนดวดไดกาไรแผนละ 42 บาท ถาบรษทขายแผนซดได x แผน และขายแผนดวดได y แผน โดยมเงอนไขดงน 2x 16y 99 < และ 2x y 19 < จงหาวาบรษทมกาไรสงสดเทากบกบาท 45. [พนฐานวศวะฯ / ม.ค.2546] บรษทผลตรถยนตแหงหนงทาการผลตรถยนต 3 รน โดยแตละรนใชวสดตามตาราง

รน เหลก (kg) อะลมเนยม (kg) พลาสตก (kg) A B C

200 250 200

300 300 250

400 400 300

ปรากฏวาในวนนมวสดในโกดงดงน เหลก 1,000 kg อะลมเนยม 1,500 kg พลาสตก 1,600 kg เพอใหวนนผลตรถยนตใหไดจานวนมากทสด วศวกรโรงงานควรเลอกปฏบตตามขอใด ก. ไมผลตรถยนตรน A และ B เลย เพราะวาใชวสดมาก ข. ตดสนใจโดยพจารณาปรมาณการใชเหลกและพลาสตกเปนหลก ค. ผลตรถยนตรน C รนเดยว เพราะวาสามารถไดจานวนมากถง 5 คน 1. ก และ ข 2. ก ข และ ค 3. ข และ ค 4. ก และ ค 46. [ทนเลาเรยนหลวง (กพ.) / 2549] เวกเตอร v ททาให v (i j) มคามากทสด และสอดคลองเงอนไขทกเงอนไขตอไปน คอเวกเตอรใด (1) v 2 j v (4 i 6 j) <

(2) v (4 i 2 j) v (8 i 2 j) <

(3) v (4 i j) v (4 i 9 j) <

เฉลย 39. 30, 10 40. 2, 6, 36000 41. 3, 9, C2 42. 220 43. 1, 3.2, 20 44. 258 45. 3

kanuay

Pencil


O

(10,15) (21.25,15)

(10,24)

O 15

12 (12,6)

O 25

35 (10,30)

O 30

(30,10) 20

(10,20)

O

6

(4,3)

(2,6)

4

(36) สมมตใน 1 เดอน ผลตแบบรตน 1 จานวน x เครอง และแบบรตน 2 จานวน y เครอง ..จะไดสมการจดประสงค (กาไร) P 12x 18y พนบาท

และมเงอนไข (ขอจากด) ดงน (เวลาประกอบ) 20x 25y 160 5 < (จานวนเครอง) x 10> และ y 15> ซงเขยนกราฟและหา จดยอดมม ไดผลดงรป (10, 15) P 390 (10,24) P 552 (21.25, 15) P 525

ตอบ ในเดอนหนาควรผลตแบบรตน 1 จานวน 10 เครอง และแบบรตน 2 จานวน 24 เครอง เพอใหไดกาไรสงทสด เทากบ 552,000 บาท

(37) ถาในหนงสปดาหขายโตะ x ตว, เกาอ y ตว จะไดสมการจดประสงค (กาไร) P 320x 240y

และมเงอนไข (ขอจากด) ดงน (เวลาประกอบ) 4x 2y 60 < (เวลาตกแตง) 2x 4y 48 < และคา x, y ตองเปนจานวนเตมบวกเทานน

ซงเขยนกราฟและหา จดยอดมม ไดผลดงรป

(15, 0) P 4800 (0, 12) P 2880 (12,6) P 5280

ตอบ กาไรสงสดในหนงสปดาหคอ 5,280 บาท

(38) สมการจดประสงค P 80x 100y โดยท x จานวนเคก และ y จานวนพาย ..มเงอนไขดงน 0.4x 0.2y 10 < 0.2x 0.4y 14 < และ x 0, y 0> >

ไดจดยอดมมเปน (0, 35), (25, 0) และ (10, 30) ตอบ ขอ 3. ไดทนท

(39) สมมตใน 1 สปดาห ผลตโตะ x ตว และ เกาอ y ตว จะไดเงอนไขดงน จานวนโตะ 0 x 30< < จานวนเกาอ 0 y 20< < ชวโมงคนงาน 10x 20y 500 < ซงเขยนกราฟและหา จดยอดมม ไดผลดงรป ๏ ถากาไรจากโตะเทากบเกาอ คอตวละ a บาท จะไดสมการจดประสงค (กาไร) P ax ay จดททาใหได P สงสดคอจด (30,10) (ไดคา P เทากบ 40a)

๏ ถากาไรจากโตะเทากบ 3 เทาของเกาอ คอตวละ 3a, a บาท ตามลาดบ จะไดสมการจดประสงค (กาไร) P 3ax ay จดททาใหได P สงสดกคอจด (30,10) เชนเดยวกน (ไดคา P เทากบ 100a)

ตอบ (ทงสองกรณ) จะตองผลตโตะสปดาหละ 30 ตว และเกาอสปดาหละ 10 ตว

(40) สมมตผลตชนด A วนละ x ตน และชนด B วนละ y ตน จะไดสมการจดประสงค (กาไร) P 3x 5y พนบาท

และมเงอนไขดงน (เวลาผลต) 3x 2y 18 < (ปรมาณผลต) 0 x 4< < และ 0 y 6< < ซงเขยนกราฟและหา จดยอดมม ไดผลดงรป

P(4, 0) P(4, 3) P(0,6) P(2,6) (4, 3) P 27 (2,6) P 36

ตอบ ควรผลตชนด A วนละ 2 ตน และชนด B วนละ 6 ตน เพอใหไดกาไรมากทสด เทากบ 36,000 บาท

kanuay

Pencil


O 5 7.5 12

12 (3,9)

(5,5)

15

O

(6,1) (2,3)

(1,6)

O

(1,3.2)

10

(2,2.4)

O 9.5

6.1875 (6.83, 5.33)

(41) สมมตผลตสนคาชนดท 1 จานวน x ชน, ชนดท 2 จานวน y ชน จะไดสมการจดประสงค (รายได) P 1.5 x y บาท

และเงอนไขขอจากดคอ (วตถดบ A) 2x y 15 < (วตถดบ B) x y 12 < (วตถดบ C) x 5< และ x 0, y 0> > เสมอ ซงเขยนกราฟและหา จดยอดมม ไดผลดงรป

(0, 12) P 12 (5, 0) P 7.5 (3,9) P 13.5 (5,5) P 12.5

ตอบ ควรผลตสนคาชนดท 1 จานวน 3 ชน, ชนดท 2 จานวน 9 ชน และจะมวตถดบ C เหลออย 2 หนวย

(42) ถาในหนงสปดาหเขาซอปยชนดท 1 x ถง และชนดท 2 y ถง จะไดสมการจดประสงค (รายจาย) C 50x 40y

และมขอจากดถงปรมาณสวนผสมดงน 3x y 9 > x 2y 8 > x y 7 < x 0 , y 0> > ซงเขยนกราฟและหา จดยอดมม ไดผลดงรป

(2, 3) C 220 (1,6) C 290 (6, 1) C 340

ตอบ คาใชจายทนอยทสดเทากบ 220 บาท

(43) ถาใชอาหารชนด ก x ปอนด และใชอาหารชนด ข y ปอนด จะไดสมการจดประสงค (คาใชจาย) C 4x 5y บาท

และมอสมการเงอนไขไดแก (วตามน A) 8x 10y 40 > (วตามน B) 3x 10y 30 > นอกจากนน x 0> และ 0 y 3.2< <

ซงเขยนกราฟและหา จดยอดมม ไดผลดงรป

(1, 3.2) C 20 (2,2.4) C 20 (10, 0) C 40

พบวาคาใชจายนอยทสดคอ 20 บาท ทจด (1, 3.2) และ (2,2.4) (หรอทจรงเกดคา C เปน 20 ทกๆ จดบนเสนตรงเสนนน เพราะมความชนเทากบสมการจดประสงคพอด)

แตถาตองเลอกตอบเพยงจดเดยว ควรเลอก (1, 3.2) เนองจากเสยคาใชจาย 20 บาทเทากน แตไดวตามน B มากทสด ตอบ ควรใชอาหารชนด ก 1 ปอนด และชนด ข 3.2 ปอนด และคาใชจายเทากบ 20 บาท

(44) สมการจดประสงคคอ P 6x 42y นาเงอนไขทงสองมาเขยน กราฟ และหาจดยอดมม ไดดงรป โดยตองม เงอนไขเพมเตมวา x, y 0> ดวย)

จด (0,6.1875) P 259.875 บาท จด (9.5, 0) P 57 บาท จด (6.83,5.33) P 265 บาท พบวาจดยอดมมทใหคา P สงสดคอ (6.83,5.33)

** แตจานวนแผนซดและดวด ตองเปนจานวนเตมเทานน จงตองเลอกจดทอยในพนทแรเงา ทเปนจานวนเตม ..แตละคาของ y ทอยในพนทแรเงานน ถาคา x ยงมากกจะยงไดคา P มาก ดงนน จดทมโอกาสใหคา P สงสด (ในแตละคาของ y) ไดแก (1,6), (7,5), (7,4), (8,3), (8,2), (9,1), (9,0) เมอเปรยบเทยบกนแลวพบวา จด (1,6) P 258 บาท จด (7,5) P 252 บาท จด (7, 4) P 210 บาท ..ฯลฯ (จดอนๆ จะไดคานอยกวานแลว)

ตอบ ไดกาไรสงสด 258 บาท

kanuay

Pencil


O 2 5 6

6 4 3 (6/5,12/5)

(45) มองโดยรวมพบวา รน C ใชวสดนอยทสดทง 3 อยาง ถาผลตรน C รนเดยว จะไดจานวน 5 คน (เหลกหมดกอน) ถาผลตรน A หรอ B รนเดยวจะไดเพยง 4 คน (พลาสตกหมดกอน) ดงนน ค. ถก

แตหากมองตอไปถงการผลต 2 รนรวมกน จะพบวา หากผลตรน C 4 คน รน A 1 คน กยงไดจานวน 5 คนเชนเดม (เหลกหมด และพลาสตกหมดพอด) ดงนน ก. ผด, ข. ถก

ตอบ ขอ 3.

(46) สมมต v x i y j จะไดวา.. โจทยตองการคา v (i j) x y ทมากทสด โดยมเงอนไขดงน (1) 2 2 2 2x (y 2) (x 4) (y 6) <

2 2 2 2x y 4y 4 x 8x 16 y 12y 36 < 8x 16y 48 < x 2y 6 <

(2) 2 2 2 2(x 4) (y 2) (x 8) (y 2) <

ยกกาลงสองแลวแจกแจง จะได 3x y 6 <

(3) 2 2 2 2(x 4) (y 1) (x 4) (y 9) <

ยกกาลงสองแลวแจกแจง จะได 4x 5y 20 <

ปญหาอยในรปแบบกาหนดการเชงเสน ซงมสมการจดประสงคเปน P x y และอสมการเงอนไข ไดแก x 2y 6 < และ 3x y 6 < และ 4x 5y 20 <

เขยนกราฟแสดงบรเวณ ทเปนคาตอบ และหาจด ยอดมมไดดงรป (0, 3) P 3 (2, 0) P 2 6 1812( , ) P5 5 5 (มากทสด)

ตอบ 6 12v i j5 5

kanuay

Pencil

คณต มงคลพทกษสข A-NET 2550 631

เฉลยวธคด ตอนท 1 (1) เซต A; 22x x 1 2

22x x 3 0 (2x 3)(x 1) 0

เขยนเสนจานวนไดชวงคาตอบเปน 3A ( 1, )2

เซต B; 29x 16 0 (3x 4)(3x 4) 0

เขยนเสนจานวนไดชวงคาตอบเปน 4 4B ( , )3 3

4A B ( 1, )3 ..เปนสบเซตของขอ 2. ตอบ

(2) ขอ ก. ผด ..เชน x 13 จะตองได y 183 ซงไมอยในเอกภพสมพทธ (แสดงวาไมใช x ทกคา ทจะม y ทใชได)

ขอ ข. นเสธของ x [ P(x) [Q(x) R(x)] ] คอ x [ P(x) ~ [Q(x) R(x)] ] x [ P(x) ~ Q(x) ~R(x)] ขอ ข. ถก ตอบ ขอ 3.

(3) คาถามขอนคอ “ถาเหตทกขอเปนจรงแลว ผลทใหมาในตวเลอกใดทจะเปนจรงเสมอ”

จากเหต (3) เปนจรง ..แสดงวา x ทกๆ ตวใน เอกภพสมพทธ ทาให Q(x) R(x) เปนจรง แตจากเหต (4) เปนจรง ..กแสดงวา ม x บางตวใน เอกภพสมพทธ ททาให R(x) เปนเทจ

..จงสรปไดวา คา x ทกลาวถงในเหต (4) นน ตองทาให Q(x) เปนจรง (มฉะนนเหต (3) จะไมจรง) ตอบ ขอ 2. x [ Q(x)]

(4) เซต r; สมการมกราฟเปนรปวงกลม รศม 4 หนวย จดศนยกลาง (0,0) ..ดงนน rD [ 4, 4]

เซต s; จดรปสมการไดเปน 2 x 2y x 3

แสดงวาเงอนไขคอ x 2 x 20 0x 3 x 3

> <

..ดงนน sD ( 3, 2]

r sD D [ 4, 3] ( 2, 4] ตอบ ขอ 4.

(5) จาก 1g(f (a)) 0 จะได 1 1 2f (a) g (0) 0 1 1 ดงนน 3a f( 1) ( 1 1) 3 5 ตอบ 2a 25 อยในเซตขอ 1.

(6) จากสมการในโจทย คอ

2 2 2 2(A AB BA B ) 2AB A B AB BA 0 AB BA

จงไดวา 2a 1 3a 3 2 a 3b2b 1 3b 3 5 2a 3b

แกสมการทตาแหนง 11, 21 ..ได a 1.5 และ b 2 (แทนคาทตาแหนงทเหลอ พบวาสอดคลอง)

ตอบ 1 1.5det(A) 3.51 2

(7) จากสมการ 2 272 24k(x x) l(y y) mk l

“จดศนยกลางอยท (4,3)” แสดงวา 72/k 8 k 9 และ 24/l 6 l 4 “สมผสแกน y” แสดงวาผานจด (0,3) ..นนคอ 20 4((3) 6(3)) m m 36

จดรปสมการวงร; 2 29(x 8x) 4(y 6y) 36 2 29(x 8x 16) 4(y 6y 9) 36 144 36

2 29(x 4) 4(y 3) 144 2 2(x 4) (y 3) 116 36

เปนวงรตง, a 6 , b 4 ..จงได c 20 ขอ 1. ถง 3. ถก (คดจาก 2a, 2b, 2c ตามลาดบ) ขอ 4. ผด ..เพราะแทน (2,6) ลงไปแลวไมเปนจรง

kanuay

Pencil

A-NET 2551 ตะลยโจทยขอสอบคณตศาสตร

A

B

4C

เฉลยวธคด ตอนท 1 (2) I(a) มคาเทากบพนทแรเงาในรป โดยนาขนาดพนทสวนท อยเหนอแกน x ลบดวย พนทสวนทอยใตแกน x

..เมอคานวณขนาดพนท เฉพาะซกขวา ทอยใตแกน

จะได 131 2

00

xA (x 1)dx ( x) 2/33

ขอ 1. ผด ..ถา a มคานอยๆ จะได I(a) ตดลบ(เชนเมอ a 1 )

ขอ 3. ผด ..ทดลองคานวณพนทเหนอแกน จาก 1 ถง 2 จะไดเปน 2 2

1B (x 1)dx 4/3 พบวาพนทสวนนใหญกวาสวนทอยใตแกน ดงนนถา a 2 กจะยงไดคา I(a) 0 เสมอ

ขอ 2. ผด ..ไมจาเปนทถา I(a) 0 แลว a จะตองเปน 0 เทานน เพราะยงม a อกคา ททาให I(a) 0 ได เมอขนาดพนท B A พอด

..จากเหตผลเดยวกนน จงทาใหขอ 4. ถก ตอบ

(14) เขยนรปเวกเตอรทงสาม และสมมตชอมมดงรป โจทยถามคา A B B C C A

ab cos(180 ) bc cos(180 ) ca cos(180 ) ab cos bc cos ca cos .....(1)

๏ จากกฎของ cos .. 2 2 2(4c) a b 2ab cos

จะได 2 2 2 2 2 2(4c) a b 4 3 2 3abcos 2 2 2

๏ จาก 2 2 2a b (4c) 2b(4c)cos

จะได 2 2 2 2 2 2a b (4c) 3 2 4 11bccos 2(4) 8 8

๏ และจาก 2 2 2b (4c) a 2(4c)a cos

จะได 2 2 2 2 2 2b (4c) a 2 4 3 21cacos 2(4) 8 8

..นาทงสามคานแทนลงในสมการ (1) กจะไดคาตอบ

ตอบ 3 11 21 52 8 8 2

(20) f(x) เปนพหนามกาลงสาม ดงนน f (x) ยอมเปนพหนามกาลงสอง ซงสามารถเขยนไดในลกษณะ f (x) k(x a)(x b) ..โจทยกาหนดคาวกฤต x 1 และ 1 ซงจะเปนคาททาให f (x) 0 ดงนน 2f (x) k(x 1)(x 1) kx k

และทาให 3kxf(x) kx C3

..แทนคา f(0) 1 , f(1) 0 จะแกระบบสมการได C 1 และ k 3 / 2

3x 3xf(x) 12 2

จงได f(2) 2 , f( 1) 2 , f( 2) 0 (ดรปประกอบ) ตอบ ถกทงขอ ก. และ ข.

ตอนท 2 (4) จาก 22

2 1C 4x 1 x 5x 11 x 2x

แตกาหนด 22C 14 ..ดงนน x 3

และจะได 2 3 1

A 1 0 1 6 2 18 4 62 2 6

พสจน จาก 1adj A A A

..ดงนน n n 11adj A A A A

ตอบ 3 1 2adj A A 6 36

-a -1 1 a 0

A B

2 –2 –1

(0,1)

(1,0)

kanuay

Pencil

kanuay

Pencil

kanuay

Pencil

A-NET 2552 ตะลยโจทยขอสอบคณตศาสตร

เฉลยวธคด ตอนท 1 (16) ให 1z a bi และ 2z c di จะไดสมการ 2 2(a c) (b d) 3 2 2 2 2a 2ac c b 2bd d 9 .....(1) และสมการ 2 2(a c) ( b d) 3 2 2 2 2a 2ac c b 2bd d 9 .....(2)

(1)–(2); ac bd 0 (1)+(2); 2 2 2 2a b c d 9 แตโจทยกาหนด 2z มาให คอ 2 2c d 4 ..จงได 2 2a b 5

โจทยถามคา 2 2(a 2c) (b 2d) 2 2 2 2a 4ac 4c b 4bd 4d 2 2 2 2(a b ) 4(c d ) 4(ac bd)

5 4(4) 4(0) 21 ขอ 4.

หมายเหต เฉลยขอสอบ A-NET 2551–52 ผมไมไดเกบตนฉบบทเหมอนในหนงสอไวครบ ขอใหผอานชวยขดแกเองนะครบ ขอบคณคราบ

kanuay

Pencil

จุดผิดพลาดในหน ังสือ hi-speed math 1–2 - kanuay ·...

Documents