aalborg university esbjerg, denmarkhomes.civil.aau.dk/shl/ansysc/b8km-fe09.pdf · 2004. 5. 3. ·...

Lecture in Nonlinear FEM

on

the Building- and Civil Engineering sectors 8.th. semester

for

the Building- and Civil Engineering, B8k, andMechanical Engineering, B8m

AALBORG UNIVERSITY ESBJERG, DENMARK

*****************

Theme:Design of marine constructions.

1

http://www.aue.auc.dk/education/m/b8km.html

http://www.aue.auc.dk/education/m/b8km.html

http://www.aue.auc.dk/

Nonlinear FEA, Dep. of Computational Mechanics, AAU Esbjerg, Denmark

Outline: Updated: 3. maj 2004

1. Introduction Notes2. Geometrical nonlinearity - strain measures Cook 17.1, 17.93. Geometrical nonlinearity - appl. in buckling analysis Cook 17.104. Stress stiffness Cook 18.1-18.45. Buckling Cook 18.5-18.66. Material nonlinearity - introduction Cook 17.3-17.47. Material nonlinearity - solution methods Cook 17.6, 17.28. Contact nonlinearity Cook 17.89. Nonlinear dynamic problems Cook 11.1-11.510. Nonlinear dynamic problems Cook 11.11-11.18

Literature:

Noter→ A. Kristensen: http://www.aue.auc.dk/education/m/m-tools.html

Cook→ Cook, R. D. 2002: Concepts and applications of finite element anal-ysis.John Wiley & Sons

2

http://www.aue.auc.dk/education/m/m-tools.html


10. Nonlinear dynamic problems

Outline:

Dynamiske systemer 4

Dynamisk ligevægt 8

Dynamiske problemer 14

Dæmpning 15

Løsningsmetoder 17

Direkte integration 18

Eksplicit integration 20

Implicit integration 23

Opsumering 24

Examples in FEM

Assignments

3


Dynamiske systemer

my+cy+ky= F0cosωt

Den naturlige egenfrekvens (udæmpet egenfrekvens) er givet ved:

ωn =

√km

4


Dynamiske systemerDæmpningsforhold:

ξ =ccc

=c

2mωn

Statisk udbøjning:

δstatisk=F0

k

Frekvensforhold:r =

ωωn

Generelt kan det siges - hvis belastningens påvirkningsfrekvens er mindreend 1/3 af strukturens laveste egenfrekvens, kan belastningen med en godtilnærmelse betegnes statisk, da x/δstatisk≤ 1,125 for disse tilfælde.

5


Dynamiske systemerStatisk belastning (kvasi-statisk):Belastningen er rent statisk, dvs. er kon-stant med tiden, eller varierer/flukturerer så langsomt at den regnes statisk.Med udgangspunkt i Newton’s anden lov ∑F = maskal accelerationerne i etsystem være meget små i forhold til de øvrige kræfter, der virker i systemetsåledes at ∑F = 0, dvs. der kan ses bort fra dæmpnings- og inertikræfterog man kan bruge den statiske ligevægt [K]{D}= {R}.Hvis belastningens påvirkningsfrekvens er mindre end 1/3 af strukturenslaveste egenfrekvens, kan belastningen betragtes statisk med en god tilnærmelse.

Statisk ligevægt: Man anvender virtuelt arbejdes princip: kræver ligevægtmellem indre kræfters arbejde og arbejdet udført af de ydre kræfter ved envirtuel, kinematisk tilladelig deformation (opfylder kompatibilitet og væsentligerandbetingelser):

Z

Vδεi j σi j dV

︸︷︷︸elastisk energi

=Z

VδuiFidV

︸︷︷︸volumen kræfter

+Z

SδuiΦidS

︸︷︷︸overflade kræfter

6


Dynamiske systemerDynamisk belastning:Dynamiske problemer kan ofte opdeles i følgende:

• Strukturelle dynamiske problemer:

a) Egensvingningsproblemer (frekvensdomæne analyse): Til situationerhvor en struktur kan påvirkes til resonans af en uspecificeret kraft i etgivet frekvensområde. Der søges den laveste egenfrekvens for at undgåresonans. Analysemetode: Egenfrekvensanalyse/modalanalyse (eigen-frequency analysis).

b) Exciterede svingninger (tidsdomæne/-historie analyse): Belastnin-gens variation med tiden er kendt og er virker med en frekvens forår-sagende dynamiske effekter, dvs. accelerationer, dæmpnings- og iner-tikræfter. Strukturens deformationer, spændinger, . . . (ofte under et benævntrespons) søges som en funktion af tiden over en forholdsvis lang tidspe-riode. Analysemetode: tidsintegration.

• Bølgeudbredelsesproblemer (tidsdomæne): Slag-/stødpåvirkning, dvs.meget kort tidsforløb, hvor spændingernes udbredelse som funktion aftiden σ(t) søges. Analysemetode: tidsintegration.

7


Dynamisk ligevægtMan anvender virtuelt arbejdes princip: kræver ligevægt mellem indre kræftersarbejde og arbejdet udført af de ydre kræfter ved en virtuel, kinematisktilladelig deformation (opfylder kompatibilitet og væsentlige randbetingelser):Z

Vδεi j σi j dV

︸︷︷︸elastisk energi

=Z

VδuiFidV

︸︷︷︸volumen kræfter

+Z

SδuiΦidS

︸︷︷︸overflade kræfter

−Z

VδuiρuidV

︸︷︷︸inertikræfter

−Z

VδuiκduidV

︸︷︷︸viskose kræfter

8


Dynamisk ligevægtDenne dynamiske ligevægtsligning omskrives til elementformuleringen:Z

Ve

{δε}T{σ}dV︸︷︷︸elastisk energi

=Z

Ve

{δu}T{F}dV︸︷︷︸

volumen kræfter

+Z

Se

{δu}T{Φ}dS︸︷︷︸

overflade kræfter

−Z

Ve

{δu}Tρ{u}dV︸︷︷︸

inertikræfter

−Z

Ve

{δu}κd{u}dV︸︷︷︸viskose kræfter

+n

∑i=1

{δu}Ti {p}i

︸︷︷︸knudekræfter

{F} - volumenkræfter{Φ} - overfladekræfter{p}i - koncentrerede knudekræfter{δu} - virtuel forskydning{δε} - virtuel tøjningρ - massefylde for et homogent materialeκd - viskos dæmpningsfaktor 1

9


Dynamisk ligevægtVed indførelse af elementformuleringen fås:

{u(x, t)} = [N(x)]{d(t)}{u(x, t)} = [N(x)]{d(t)}{u(x, t)} = [N(x)]{d(t)}

hvor {d(t)} er diskret i sted, men kontinuert i tiden (semi-diskret).

{δu(x, t)} = δ([N(x)]{d(t)}) = [N(x)]{δd(t)}{δε(x, t)} = δ([B(x)]{d(t)}) = [B(x)]{δd(t)}

10


Dynamisk ligevægtVed indsættelse i ligevægtsligningen og omrokering fås:

{δd}T

Z

Ve

{δu}Tρ{u}dV︸︷︷︸

massematrice [m]

{d}+Z

Ve

{δu}κd{u}dV︸︷︷︸

dæmpningsmatrice [c]

{d}+Z

Ve

{δε}T{σ}dV︸︷︷︸

{r indre}

=

{δd}T

Z

Ve

{δu}T{F}dV +Z

Se

{δu}T{Φ}dS+n

∑i=1

{δu}Ti {p}i

︸︷︷︸konsistent knudekraftvektor {rydre}

11


Dynamisk ligevægtMasse- og dæmpningsmatricer er formuleret konsistente, dvs. ved hjælp afde samme formfunktioner [N], der bruges til interpolation af forskydninger.Dette udtryk skal gælde for en vilkårlig, kinematisk tilladelig forskydningδd⇒

[m]{d}+[c]{d}+{r indre}= {rydre}For lineært elastisk materiale gælder at

{σ}= [E]([B]{d}−{ε0})+{σ0}hvorfor

{r indre}=Z

Ve

[B]T[E][B]{d}dV =Z

Ve

[B]T[E][B]dV{d}= [k]{d}Dermed haves dynamisk ligevægtsligning på globalt niveau for lineært elastiskmateriale

[M]{D}+[C]{D}+[K]{D}︸︷︷︸{Rindre}

= {Rydre}

hvor

[M] =Ne

∑n=1

[m] [C] =Ne

∑n=1

[c] [K] =Ne

∑n=1

[k] {Rydre}=Ne

∑n=1

{rydre}

12


Dynamisk ligevægtDynamisk ligevægt for et lineært elastisk materiale:

[M]{D}+[C]{D}+[K]{D}= {Rydre}En løsning til denne generelle ligevægtsligning kan findes ved hjælp af:

• modalanalysemetoder

• direkte tidsintegrationsmetoder:

Eksplicit integration - knudeforskydningerne extrapoleres i tiden på basisaf en tidligere beregning:{D}n+1 = f ({D}n,{D}n,{D}n,{D}n−1,{D}n−1,{D}n−1, . . .)

Implicit integration - knudeforskydningerne bestemmes til tiden (n+1)∆tudfra tidligere beregninger og hastigheder- og accelerationer til tiden(n+1)∆t:{D}n+1 = f ({D}n+1,{D}n+1,{D}n,{D}n,{D}n, . . .)

13


Dynamiske problemer• {Rydre}= 0 Egensvingningsproblem: egenfrekvenser og -vektorer findes.

•{Rydre}= 0{D}|t=0 = {D0}{D}|t=0 = {V0}

→ givne begyndelsesbetingeler.

Frie svingninger forårsaget af begyndelsesbetingelser, hvor bevægelser for t ∈ [0,T] søges.

• {Rydre}=[

cos(ωt +φ). . .

]{Rydre

0 }Steady-state harmoniske svingninger, hvor strukturens steady-state respons for t → ∞ søges.

• {Rydre} - givet som en funktion af tiden{D}|t=0 = {D0}{D}|t=0 = {V0}

}→ givne begyndelsesbetingeler.

Exciterede svingninger (tidshistorieanalyse), hvor det dynamiske respons af strukturen for t ∈ [0,T]søges.

• {Rydre} - givet som en funktion af tidenVilkårlige (random) svingninger, hvor middelværdien og spektralpotensfunktionen af steady-state re-sponset af strukturen søges.

14


DæmpningVed udledning af dynamisk ligevægtsligning antages viskos dæmpning.Dæmpning i strukturer er imidlertid ikke viskos, da den skyldes fænomenersåsom:

• hysterese i materialet

• friktion

• mikrorevner i materialet

Disse fænomener er normalt afhængige af frekvensen, stærkt ikke-lineære,meget svære at beskrive matematisk samt giver generelt komplekse løs-ninger ⇒ simplificeret viskos dæmpningsmodel anvendes ofte.

I mange tilfælde er dæmpningens indflydelse af lille betydning og dæmpn-ing kan dermed negligeres eksempelvis ved stålstrukturer.

15


DæmpningEn populær metode til at introducere dæmpning kaldes Rayleigh eller pro-portional dæmpning, hvor dæmpningsmatricen dannes som en linearkom-bination af stivhedsmatricen [K] og massematricen [M]:

[C] = α[K]+β[M]

Dette giver en orthogonal dæmpningsmatrice [C], idet man dermed kanafkoble systemet vha. egenvektorer for det udæmpede egen-værdiproblem(gennemgås efterfølgende i forbindelse med modal-analyse). Dermed for-bliver løsningen reel (f.eks. reelle egenværdier og egen-vektorer). Dæmp-ningskonstanterne α og β skal bestemmes for at dæmpningsmodellen erbeskrevet.

16


LøsningsmetoderDynamisk ligevægtsligning for lineært elastisk materiale:

[M]{D}+[C]{D}+[K]{D}= Rydre

Til løsning af den generelle dynamiske ligevægtsligning kan forskellige metoderanvendes:

• modalanalysemetoder

• direkte tidsintegrationsmetoder

Modalanalysemetoderne bygger meget på egenskaberne af samt løsnin-gen til det udæmpede frie svingningsproblem, mens de direkte integrations-metoder forsøger at løse den dynamiske ligevægtsligning direkte.

Ved evalueringen af en metodes duelighed til at løse et dynamisk problemer der generelt tre punkter, der skal vurderes:

• metodens nøjagtighed

• metodens numeriske effektivitet (tidsforbrug)

• metodens hukommelseskrav

17


Direkte integrationVed modalanalysemetoden opnår man et afkoblet differentialligningssys-tem, der beskriver ligevægten kontinuert som funktion af tiden. Ved di-rekte integrationsmetoder bestemmes ligevægten kun til et antal diskretetidspunkter 0,∆t,2∆t . . .n∆t De direkte integrationsmetoder viser sig i mangetilfælde at være mere anvendelige end de modale metoder, da de ikke stillerde samme krav til systemmatricerne (lineært materiale, orthogonal dæmp-ning) og belastningstypen (effektivitet).

18


Direkte integrationI de direkte integrationsmetoder er fremgangsmåden at udtrykke ligevægtentil et givet tidspunkt n∆t

[M]{D}n+[C]{D}n+[K]{D}n︸︷︷︸{Rindre

n }= {Rydre}n

og erstatte hastigheds- og accelerationsleddene ved differensudtryk i forskyd-ningerne:

[M]{D({D}n+1,{D}n,{D}n−1)}n+[C]{D({D}n+1,{D}n,{D}n−1)}n+[K]{D}n︸︷︷︸{Rindre

n }= {Rydre}n

Så vil der kunne bestemmes et udtryk til bestemmelse af {D}n+1, hvorefterman er i stand til at tage det næste step. Der vil ophobes en del fejl vedgentagne gange at basere accelerations- og hastighedsleddene på differ-ensudtryk, og det viser sig da også, at både effektiviteten og stabiliteten afmetoderne afhænger meget af, hvorledes diskretiseringen foretages.

19


Eksplicit integrationBemærkninger:

1. Det er et koblet lineært ligningssystem, der dog afkobles, hvis [M] og [C]er diagonale. Dermed kan metoden blive meget effektiv! Ofte bruges re-duceret integration for at reducere opstillingstiden og "hour-glass"kontrolbliver nødvendigt.

2. Højresiden kan beregnes pa elementniveau og derved meget lille kravtil hukommelseskapacitet (den globale stivhedsmatrice behøver ikke atblive lagret i hukommelsen).

3. For at starte algoritmen ved t = 0 skal forskydningerne til tiden t = −∆tvære kendt. Disse værdier findes ved en Taylor-udvikling om

{D}−1 = {D}0−∆t{D}0+∆t2

2{D}0+ . . .

hvor initialværdierne {D}0 og {D}0 er kendte, og accelerationerne findesaf ligevægtsligningen

{D}0 = [M]−1({Rydre}0− [C]{D}0− [K]{D}0︸︷︷︸{Rindre

0 })

20


Eksplicit integration

4. For ikke-lineære konstitutive materialelove er det let at beregne

{Rindre}=Ne

∑n=1

Z

Ve

[B]T{σ}dV

dvs. metoden kan umiddelbart bruges til materiale-ikke-lineariteter.

5. Metoden er kun betinget stabil - stabilitetskrav til tidsstep er: ∆t ≤ 2ωmax

hvor ωmax er strukturens største egenfrekvens.

6. Stabiliteten (tilladeligt tidsstep) er uafhængig af dæmpningen med denviste differensformulering.

Stabilitet: Den største egenfrekvens er opadtil begrænset af den størsteegen-frekvens af de enkelte elementer i strukturen. Til dette kan Gerschgorin’ssætning (Cook s. 401) bruges til at estimere en øvre grænseværdi for ωmax.

21


Eksplicit integrationTidssteppet kan også i nogen grad relateres til elementstørrelser og bøl-geudbredelsen i materialet for lavere ordens elementer:

∆t ≤ Lec

c =√

Eρ (uden tværkontraktionseffekt)

hvor Le er en effektiv elementlængde og c er bølgehastigheden i materialet.Dermed kræves et så lille tidsstep, at bølgeudbredelsen ikke kan passereet element i et enkelt tidsstep. Tidssteppet bestemmes altså af det mind-ste element i FE modellen! Derfor skal man i de explicitte metoder undgåat bruge unødvendigt små elementer. Tidssteppet i en explicit metode kanaltså blive meget afgørende for metodens stabilitet (nøjagtighed). Tidsstep-pets størrelse angives normalt ved et såkaldt Courant’s tal:

Cn =∆taktuel

∆tstabil

dvs. hvis Cn < 1 stabil eller hvis Cn > 1 ustabil. Tidssteppet vil altså væreafgørende for, hvor lang en tidsperiode der praktisk kan betragtes.

22


Implicit integrationDe fleste af de implicitte metoder er derimod ubetinget stabile, hvilket gør,at der kan vælges et meget større tidsstep bestemt udfra nøjagtighedskrav.De enkelte tidsstep er imidlertid også meget dyrere. En populær implicitmetode er trapez-metoden (middel-accelerations-metoden):

Bemærkninger:

1. Det er etkoblet lineært ligningssystem, som ikke kan afkobles!

2. De samme startbetingelser som fundet ved de explicitte metoder kanbenyttes.

3. Metoden er langsom og kan have konvergensproblemer ved materiale-ikke-lineariteter.

4. Der er ingen grund til at bruge en diagonal massematrice [M] for de im-plicitte metoder. En konsistent kræver samme lagerplads og giver somregel bedre resultater.

5. Tidssteppet kan vælges meget større ved de implicitte end ved de ex-plicitte metoder.

23


Opsumering1. Modalanalysemetoder kan være effektive specielt ved problemer, hvor

kun et lille antal lavfrekvente egensvingningsformer deltager i den glob-ale exciterede svingningsform og hvor tidsintervallet som betragtes er"langt". Er kun egnet til lineære problemer.

2. Direkte integrationsmetoder

a) Explicitte metoder er kendetegnet ved, at tidssteppet er lille for atsikre, at metoden er stabil. Tidssteppet skal være så lille, at informa-tionerne ikke udbredes over flere elementer per tidsstep. I forbindelsemed bølgeudbredelsesproblemer er man netop interesseret i at studere,hvorledes spændingsbølger mm. udbredes i strukturen, så her er et lilletidsstep ingen ulempe. Disse metoder er ikke så velegnede til problemer,hvor tidsintervallet, som betragtes, er stort. Meget velegnet til løsning afikke-lineære problemer.

b) Implicitte metoder er normalt bedre egnede til problemer, hvor tidsin-tervallet, som betragtes, er stort. Implicitte metoder er i stærk fremgangpga. nye effektive iterative løsere.

24

aalborg university esbjerg, denmarkhomes.civil.aau.dk/shl/ansysc/b8km-fe09.pdf · 2004. 5. 3. ·...

Documents