ÀÒ⁄˙Ô“Ò⁄‡Ôµ¨Ò˚µˆìƯ—˚¶ÔµÔ ⁄‡—˙Ô•´Ò¨Ò˚µˆì...
TRANSCRIPT
ภาควิชาคณิตศาสตร์และสถิติคณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์
การสอบกลางภาค ภาคการศึกษาที่ 2 ปีการศึกษา 2556 วันที่ 5 มกราคม 2557
วิชา 322− 172 คณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์กายภาพ 2 เวลา 13:30− 16:30 น.
สำหรับนักศึกษาคณะวิศวกรรมศาสตร์. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ชื่อ-สกุล รหัส 1 0 1 1 0 ตอน 0
คำสั่ง
1. ข้อสอบฉบับนี้มี 4 หน้า โดยแบ่งเป็น 2 ตอน คือตอนที่ 1 เป็นข้อสอบแบบเลือกคำตอบ มี 12 ข้อตอนที่ 2 เป็นข้อสอบแบบเขียน มี 11 ข้อ ให้แสดงวิธีทำทุกข้อ ยกเว้นข้อที่ให้เติมเฉพาะคำตอบ
โดยใช้ปากกาดำหรือน้ำเงินทำข้อสอบเท่านั้นคะแนนรวมทั้งหมดคือ 93 คะแนน คิดเป็น 50% ของคะแนนทั้งวิชา
2. ให้เขียนรหัสประจำตัวนักศึกษาลงบนกระดาษคำตอบทุกแผ่น
3. ถ้ากระดาษคำตอบที่เว้นไว้ไม่เพียงพอ ให้เขียนคำตอบต่อด้านหลังของกระดาษแผ่นนั้นเท่านั้น
4. ห้ามใช้เครื่องคำนวณทุกชนิดและไม้บรรทัดที่มีสูตร
5. ให้เขียนด้วยลายมือที่อ่านง่าย และชัดเจน หากอาจารย์ผู้ตรวจอ่านไม่ออก นักศึกษาจะไม่ได้
คะแนนข้อนั้นทันที
6. ทุจริต ถูกลงโทษตามระเบียบมหาวิทยาลัย
********** สำหรับผู้ตรวจเท่านั้น **********
หน้า 1 2 3 4 5 6 7 8 9
คะแนน
รวม
322− 172 รหัส 1 0 1 1 0 หน้า 1 / 4
ตอนที่ 1 (24 คะแนน) ในการตอบคำถามแต่ละข้อ จงเลือกคำตอบที่ถูกต้องเพียงตัวเลือกเดียว
สำหรับข้อ 1− 5 ให้วงกลมคำตอบที่ถูกต้อง (ข้อละ 2 คะแนน)
ข้อ 1. ค่าของ limn→∞
n∑k=1
(1
k− 1
2k
)มีค่าเท่ากับเท่าใด
(ก) 0 (ข) 1 (ค) 2 (ง) 4 (จ) ∞
ข้อ 2. ค่าของ∞∑k=1
(1
k− 1
2 + k
)มีค่าเท่ากับเท่าใด
(ก)1
2(ข) 1 (ค)
3
2(ง) 2 (จ) ∞
ข้อ 3. ถ้ารัศมีการลู่เข้าของอนุกรม∞∑n=0
cnxn มีค่าเท่ากับ 10 แล้ว รัศมีการลู่เข้าของอนุกรม
∞∑n=0
cn2nxn
มีค่าเท่ากับเท่าใด
(ก) 2 (ข) 5 (ค) 10 (ง) 20 (จ) 40
ข้อ 4. ถ้ารัศมีการลู่เข้าของอนุกรม∞∑n=0
c2n+1x2n+1 มีค่าเท่ากับ 10 แล้ว รัศมีการลู่เข้าของอนุกรม
∞∑n=0
2nc2n+1x2n+1 มีค่าเท่ากับเท่าใด
(ก) 5 (ข) 5√2 (ค) 10 (ง) 10
√2 (จ) 20
ข้อ 5. ฟังก์ชัน f(x, y) ในข้อใดที่ทำให้ lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) หาค่าไม่ได้
(ก) f(x, y) =x3 + y3
x− y(ข) f(x, y) =
x3 + y3
x+ y
(ค) f(x, y) =x2 − y2
x− y(ง) f(x, y) =
x2 − y2
x+ y
(จ) f(x, y) = x5 + y5
322− 172 รหัส 1 0 1 1 0 หน้า 2 / 4
สำหรับข้อ 6− 12 ให้เลือกสมการจากกรอบสี่เหลี่ยมทางด้านขวาที่สอดคล้องกับรูปภาพในแต่ละข้อโดยเขียนเฉพาะหมายเลขของสมการ แต่ละข้อมีเพียงคำตอบเดียว (ข้อละ 2 คะแนน)(อัตราส่วนของ แกน X:แกน Y :แกน Z ในรูปเท่ากับ 1 : 1 : 1)
(1) 9x2 + 4y2 + z2 = 1
(2) y2 + 3z2 = 1
(3) x2 + y2 − z2 = 1
(4) y = x2 − z2
(5) x2 + y2 + z2 = 1
(6) y = 2x2 + z2
(7) y2 = 2x2 + 2z2
(8) −x2 + y2 − z2 = 1
(9) x = y2 + z2
(10) x+ 2y + 3z = 4
(11) 2x2 + y2 = 1
(12) z = x2 − y2
(13) 4x2 + z2 = 1
(14) x2 − y2 + z2 = 1
(15) z2 = x2 + y2
ข้อ 6. สมการ
ข้อ 7. สมการ
ข้อ 8. สมการ
ข้อ 9. สมการ
ข้อ 10. สมการ
ข้อ 11. สมการ
ข้อ 12. สมการ
322− 172 รหัส 1 0 1 1 0 หน้า 3 / 4
ตอนที่ 2 (69 คะแนน) ให้แสดงวิธีทำทุกข้อ ยกเว้นข้อที่ให้เติมเฉพาะคำตอบ
ข้อ 1. (13 คะแนน) จงทดสอบว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก
ข้อ 1.1)∞∑n=1
1
n3 + 1(3 คะแนน)
ข้อ 1.2)∞∑n=1
n2013
n2014 + 1(5 คะแนน)
ข้อ 1.3)∞∑n=1
ln(n2 + 3)
nn(5 คะแนน)
ข้อ 2. (10 คะแนน) จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ ลู่เข้าอย่างมีเงื่อนไข หรือลู่ออก
ข้อ 2.1)∞∑n=1
(−1)nnen
(4 คะแนน)
ข้อ 2.2)∞∑n=2
cos(nπ)√n ln(n)
(6 คะแนน)
ข้อ 3. (2 คะแนน) เราสามารถใช้การทดสอบแบบปริพันธ์เพื่อทดสอบการลู่เข้าของอนุกรม∞∑n=2
1
n lnnได้
หรือไม่ ตอบ......................เพราะเหตุใด
ข้อ 4. (5 คะแนน) จงหาช่วงของการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง∞∑n=1
(x− 1)n
n3 + 1
(สามารถใช้ผลลัพธ์จากข้อ 1 ได้)ข้อ 5. (8 คะแนน)
ข้อ 5.1) จงแสดงการหาอนุกรมเทย์เลอร์ของ f(x) =1
(1 + x)2รอบจุด x = 1 (4 คะแนน)
ข้อ 5.2) จงพิจารณาว่าอนุกรมเทย์เลอร์ในข้อ 5.1) เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออกเมื่อ x = 3
(2 คะแนน)จงเติมเฉพาะคำตอบสำหรับข้อ 5.3) และข้อ 5.4)
ข้อ 5.3)1
22− 2
23+
3
24− 4
25+
5
26− · · · = (1 คะแนน)
ข้อ 5.4) อนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน f(x) = (1 + x)2 รอบจุด x = 1 คือ (1 คะแนน)
322− 172 รหัส 1 0 1 1 0 หน้า 4 / 4
0x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3ข้อ 6. (3 คะแนน) กำหนดให้
f(x, y) =
√x+ y
x2 + y2 − 1
จงหา Df พร้อมทั้งวาดรูป แสดงบริเวณที่เป็น Df
ในระนาบ xy
Df ={
...........................................................................................
}ข้อ 7. (8 คะแนน) จงหาจุดที่ให้ค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ
f(x, y) = x2 + y2
ภายใต้เงื่อนไขxy = 1
ข้อ 8. (6 คะแนน) กำหนดให้
w = u sin v, u = 2ts, v = s− t
t = ln y, s = 2xy
8.1) จงเขียนแผนภาพแสดงความสัมพันธ์ของ 8.2) โดยกฎลูกโซ่ จงเขียนสูตรของ∂w
∂xตัวแปร (1 คะแนน) (2.5 คะแนน)
∂w
∂x=
8.3) จงหา∂w
∂xโดยใช้สูตรจากข้อ 8.2) (2.5 คะแนน)
ข้อ 9. (5 คะแนน) กำหนดให้ z cos(x
y) + 2xz = 5 จงแสดงวิธีทำเพื่อหา
∂z
∂xข้อ 10. (4 คะแนน) กำหนดให้ f(x, y) = ex sin(2y) + eyx lnx จงหา
fxx = fxy =
fyy = fyxx =
ข้อ 11. (5 คะแนน) กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันของ x และ y โดยที่
fx = 3− 3x2 และ fy = 4y3 − 4y
จงหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์ (ถ้ามี) จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ (ถ้ามี) หรือจุดอานม้า (ถ้ามี) ของ f