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Abiturvorbereitung Stochastik
neue friedländer gesamtschule
Klasse 12 GB
24.02.2014
Holger Wuschke B.Sc.
Siedler von Catan, Rühlow 2014
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Organisatorisches
10.04.2014 H. Wuschke
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0. Begriffe in der Stochastik
(1) Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen Ausgang ungewiss ist.
(2) Das (Versuchs-)Ergebnis ist das Resultat bzw. der Ausgang eines Zufallsexperimentes.
(3) Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird als Ergebnisraum Ω bezeichnet.
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0. Begriffe in der Stochastik
(4) Jedem Ergebnis wird eine Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet, die als Wahrscheinlichkeit bezeichnet wird, wobei alle Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben.
Symbolisch: P(E) = a, 0 ≤ a ≤ 1
(5) Ein (Versuchs-)Ereignis ist eine Zusammenfassung von (mehreren) möglichen Ergebnisse zu einem Ganzen.
Damit sind Ereignisse also auch ein Teil des Ergebnisraumes.
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0. Begriffe in der Stochastik
(6) Bernoulli-Experiment
Als Bernoulli-Experiment bezeichnet man ein Zufalls-experiment, bei dem sich genau zwei Elemente in der Ergebnismenge befinden.
(7) Bernoulli-Kette
Wiederholte Durchführung eines Bernoulli-Experimen-tes, die Wahrscheinlichkeiten bleiben unverändert.
Benannt nach Jakob Bernoulli (1654-1705), schweizer Mathematiker.
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1. Zufallsgrößen und Verteilung
(1) Eine Funktion X, die jedem Ergebnis eines Zufallsversuches eine reelle Zahl zuordnet, heißt Zufallsgröße.
Eine Zufallsgröße heißt:
• stetig, wenn sie alle möglichen reellen Zahlen als Wert annehmen kann (z.B. auf ein Intervall abbildet).
• diskret, wenn sie nur endlich viele (meist „runde“) Werte annehmen kann.
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1. Zufallsgrößen und Verteilung
(2) (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung
Die Verteilung ist eine Funktion, die jedem Wert einer Zufallsgröße ihre Wahrscheinlichkeit zuordnet.
Die Summe aller dieser Wahrscheinlichkeiten ist 1.
Symbolisch: 𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝑎, 0 ≤ 𝑎 ≤ 1
Sie heißt:
- Wahrscheinlichkeitsfunktion bei diskreten Zufallsgrö-ßen - Dichtefunktion bei stetigen Zufallsgrößen
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Abitur M-V 2010
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1. Zufallsgrößen und Verteilung
Zum Beispiel: Augensumme beim zweimaligen Würfeln
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W2 W1
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
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1. Zufallsgrößen und Verteilung
Zum Beispiel: Augensumme beim zweimaligen Würfeln
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k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X=k) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Wertetabelle (oben) Histogramm (links) Balkendiagramm (rechts) Beides sind Wahr-scheinlichkeits-funktionen
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1. Zufallsgrößen und Verteilung
(3) Erwartungswert einer Zufallsgröße
Eine Zufallsgröße X nehme die Werte 𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑛 mit den Wahrscheinlichkeiten 𝑃(𝑋 = 𝑘1), … , 𝑃(𝑋 = 𝑘𝑛) an.
Dann wird der zu erwartende Mittelwert der Verteilung als Erwartungswert der Zufallsgröße bezeichnet.
Symbolisch: E(X), μ (lies: „mü“), 𝑥
Es gilt: μ = 𝐸 𝑋 = 𝑘𝑖 ∙ 𝑃(𝑋 = 𝑘𝑖) 𝑛
𝑖=1
Bemerkungen:
i. Der Erwartungswert wird fast genauso berechnet, wie das arithmetische Mittel (der Durchschnitt).
ii. Ein Spiel (um Geld) wird als fair bezeichnet, wenn der Erwartungswert des Gewinns 0 ist.
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1. Zufallsgrößen und Verteilung
D. h. beim zweimaligen Würfeln:
𝐸 𝑋 = 2 ∙1
36+ 3 ∙
2
36+ 4 ∙
3
36+ 5 ∙
4
36+ 6 ∙
5
36+ 7 ∙
6
36+ 8 ∙
5
36
+ 9 ∙4
36+ 10 ∙
3
36+ 11 ∙
2
36+ 12 ∙
1
36
= 7
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1. Zufallsgrößen und Verteilung
(4) Varianz einer Zufallsgröße
Die Varianz misst, wie sehr die Zufallsgröße von ihrem Erwartungswert abweicht.
Symbolisch: V(X), Var(X), σ²x oder σ²
Es gilt: Var X = 𝜎²𝑥 = (𝑘𝑖 − μ𝑛𝑖=1 )² ∙ 𝑃(𝑋 = 𝑘𝑖)
D.h. beim Würfeln:
𝑉 𝑋 = 2 − 7 2 ∙1
36+ 3 − 7 2 ∙
2
36+ 4 − 7 2 ∙
3
36+ 5 − 7 2 ∙
4
36+ 6 − 7 2 ∙
5
36+ 7 − 7 2 ∙
6
36
+ 8 − 7 ² ∙5
36+ (9 − 7)² ∙
4
36+ (10 − 7)² ∙
3
36+ (11 − 7)² ∙
2
36+ (12 − 7)² ∙
1
36
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1. Zufallsgrößen und Verteilung
𝑉 𝑋 =35
6= 8, 3 Die Zufallsgrößen liegen im
Bereich 7 ± 8,3
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1. Zufallsgrößen und Verteilung
(5) Standardabweichung einer Zufallsgröße
Die Standardabweichung gibt den Bereich der häufig-sten Werte um den Erwartungswert an.
Symbolisch: σx oder σ
Es gilt: 𝜎 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋)
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1. Zufallsgrößen und Verteilung
D.h. beim Würfeln: σ =35
6= 2,42 Der Bereich der häufigsten
Werte ist 7±2,42
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1. Zufallsgrößen und Verteilung
(6) Normalverteilung von Zufallsgrößen
Eine Normalverteilung (Gauss-Verteilung) einer stetigen Zufallsgröße X liegt vor, wenn für deren Dichtefunktion f(x) gilt:
𝑓 𝑥 =1
2𝜋σ²∙ 𝑒− 1
2∙𝑥−𝜇
𝜎²
Für μ = 0 und σ = 1 heißt sie Standardnormalverteilung.
Benannt nach dem Mathematiker, Geodät, Physiker und Astronom Carl Friedrich Gauß (1777-1855), der sie im Zusammenhang mit der Fehlerrechnung entdeckte.
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1. Zufallsgrößen und Verteilung
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http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/binomialnormalverteilung/grenzwertsatz.html, zuletzt abgerufen am 20.02.14 um 19:24.
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1. Zufallsgrößen und Verteilung
Eigenschaften der Dichtefunktion/Normalverteilung:
Maximum bei 𝑥 = 𝜇
Symmetrieachse bei 𝑥 = 𝜇
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1∞
−∞
0 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 1, für alle 𝑥 ∈ ℝ
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1. Zufallsgrößen und Verteilung
10.04.2014 H. Wuschke
Aus: Vorlesung „Wahrscheinlich-keitslehre und Statistik“ von Prof. Dr. Thomas Adamek, Universität Stuttgart
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1. Zufallsgrößen und Verteilung
10.04.2014 H. Wuschke
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Standard_deviation_diagram.svg, zuletzt abgerufen am 20.02.14 um 18:51
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2. Binomialverteilung
(1) Eine Zufallsgröße X mit der Wertemenge {𝑘|𝑘 = 1,2, … , 𝑛} heißt binomialverteilt genau dann, wenn für die Wahrscheinlichkeit gilt:
𝑃 𝑋 = 𝑘 =𝑛
𝑘∙ 𝑝𝑘 ∙ 1 − 𝑝 𝑛−𝑘
Wobei p die Wahrscheinlichkeit eines „Treffers“ ist.
Symbolisch: Bn;p (k) oder P(X=k)
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