Öabt lİse matematİk konu set... · komisyon Öabt lise matematik analiz diferansiyel denklemler...

ANALİZDİFERANSİYEL DENKLEMLER

2020 KPSS

ÖABT

LİSEMATEMATİK

KONU ANLATIMLI

VİDEO DERSLERÜCRETSİZDİR.

Uygulamasını indir

VİDEO DERSLERİ HEMEN İZLELütfen detaylı bilgi için ön sözü okuyunuz.

5575

Komisyon

ÖABT Lise Matematik Analiz Diferansiyel Denklemler Konu Anlatımlı

ISBN 978-605-241-894-9

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. AŞ’ye aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür ve Turizm Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

7. Baskı: Eylül 2019, Ankara

Proje-Yayın: Nilay Balin

Dizgi-Grafik Tasarım: Gülnur Öcalan

Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı

Baskı: Sage Yayıncılık Reklam Matbacılık San Tic. Ltd.Şti.Kazımkarabekir Cad. No:97/24 İskitler - Ankara

0312 341 00 02

Yayıncı Sertifika No: 36306Matbaa Sertifika No: 14721

İletişim–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay/ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60İnternet: www.pegem.netE-ileti: [email protected]

WhatsApp Hattı: 0538 594 92 40

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Adayları,

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği 1. Kitap" adlı yayınımız Analiz ve Diferansiyel Denklemler bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin sorularınızı [email protected] adresine e-posta yoluyla ya da 0538 594 92 40 numarasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede ekibimiz tarafından cevaplandırılacaktır.

Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...

Başarılar...

QR kodlar ile ilgili bilgiler bir sonraki sayfada yer almaktadır.

Aktivasyon Kodu kitabınızın ilk sayfasında yer almaktadır.Aktivasyon Kodu ile aktif ettiğiniz video dersler 31 Temmuz 2020 tarihine kadar geçerlidir.

Aktivasyonunu yapmış olduğunuz kitabınızı

“Aktif Kitaplar” sekmesinden görüntüleyebilir ve

videolarınızı izlemeye başlayabilirsiniz.

4. AdımAktif

Kitaplar

Pegem Kampüs Uygulamasını Kullanabilmeniz İçinAşağıdaki Adımları Takip Ediniz:

Pegem Kampüs Web Sitesi Üzerinden VideolarınızaErişebilmek İçin Aşağıdaki Adımları Takip Ediniz:

Üye girişi yaptıktan sonra açılan pencerede sağ altta bulunan aktivasyon menüsünden kitabınız ile birlikte size iletilen aktivasyon kodu ile aktivasyon işlemlerini yapabilirsiniz.

3. AdımAktivasyon

Kitabınızda bulunan QR kodları uygulamamızdaki kamera simgesini ( ) kullanarak kolaylıkla okutabilirsiniz. Kitap kapaklarında bulunan QR kodu okutarak “Pegem Kampüs” uygulamasının indirme linkine, kitapların iç kapaklarında bulunan QR kod ile kitap içeriğindeki ünitelere, ünite başlarında bulunan QR kodları okutarak ünite ile ilgili videolara ulaşabilirsiniz.

5. AdımQR Kod Okutma

Mevcut tarayıcınıza pegemkampus.com yazarak web sitemiz üzerinden erişim sağlayabilirsiniz.

Pegem Kampüs üyeliğiniz yoksa “Kayıt Ol” butonuna tıkladıktan sonra formu doldurarak üyelik işlemlerinizi gerçekleştirebilirsiniz.

Üyelik bilgileriniz ile giriş yaptıktan sonra sağ üst köşede yer alan “ad-soyad” bilgilerinize tıklayarak “aktivasyonlarım” sekmesinden kitabınız ile birlikte size iletilen aktivasyon kodu ile aktivasyon işlemlerini yapabilirsiniz.

Aktivasyon işleminizi tamamladıktan sonra video derslerinizi aynı menü üzerinde yer alan “Aldığım Eğitimler” sekmesinden görüntüleyebilirsiniz.

1

2

3

4

Uygulamamızı

mağazalarından “Pegem Kampüs”yazarak indirebilirsiniz.

1. AdımUygulama

İndirme

2. AdımÜyelik

Üyelik ekranına erişebilmek için;“Hesabın yok mu? Hemen Üye Ol” butonuna tıklayarak, üyelik formunu

eksiksiz doldurduktan sonrauygulamayı kullanmaya

başlayabilirsiniz.

v

İÇİNDEKİLER

1. BÖLÜMÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARPARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR .................................................................................................................... 1MUTLAK DEĞER FONKSİYONU .......................................................................................................................... 2MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER VE DENKLEMLER ...................................................................................... 4SİGNUM (İŞARET) FONKSİYONU ........................................................................................................................ 6İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ .................................................................................................................. 7TAM DEĞER VE TAM DEĞER FONKSİYONU ...................................................................................................... 8TAM DEĞER FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ .................................................................................................. 8TAM DEĞER FONKSİYONUNUN GRAFİKLERİ ................................................................................................... 11FONKSİYONLARIN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ ................................................................................................... 12

LİMİTLİMİT ...................................................................................................................................................................... 18SAĞ – SOL LİMİT................................................................................................................................................... 18GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİ ........................................................................................................... 20LİMİT İLE İLGİLİ TEOREMLER .............................................................................................................................. 21ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTİ ........................................................................................................... 22MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ ...................................................................................................... 23SİGNUM FONKSİYONUNUN LİMİTİ ..................................................................................................................... 24TAM DEĞER FONKSİYONLARININ LİMİTİ ........................................................................................................... 25BELİRSİZ DURUMLAR 0/0 BELİRSİZLİĞİ ............................................................................................................ 27TRİGONOMETRİK 0/0 BELİRSİZLİĞİ ................................................................................................................... 28∞/∞ BELİRSİZLİĞİ .................................................................................................................................................. 29∞–∞ BELİRSİZLİĞİ ................................................................................................................................................. 310 · ∞ BELİRSİZLİĞİ ............................................................................................................................................... 32ÜSLÜ, ÜSTEL BELİRSİZLİKLERİN ∞/∞ FORMU .................................................................................................. 33SÜREKLİLİK ........................................................................................................................................................... 34SÜREKLİLİK TEOREMLERİ .................................................................................................................................. 34SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ..................................................................................................................................... 35 Kaldırılabilir Süreksizlik ................................................................................................................................. 35 Sıçrama Süreksizliği ..................................................................................................................................... 35 Sonsuz Süreksizliği ....................................................................................................................................... 35 Balzano Teoremi ........................................................................................................................................... 35DÜZGÜN SÜREKLİLİK .......................................................................................................................................... 37

TÜREVTÜREV ................................................................................................................................................................... 44SAĞ–SOL TÜREV.................................................................................................................................................. 45LİMİT – SÜREKLİLİK – TÜREV İLİŞKİSİ ............................................................................................................... 45TÜREV ALMA KURALLARI.................................................................................................................................... 46YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER ................................................................................................................... 60ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ ........................................................................................................ 62 Parçalı Fonksiyonların Türevi ....................................................................................................................... 62MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ .................................................................................................... 63SİGNUM FONKSİYONUNUN TÜREVİ .................................................................................................................. 64TAM DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ ............................................................................................................ 64TÜREVİN UYGULAMALARI................................................................................................................................... 74 L’Hospital Kuralı ............................................................................................................................................ 74

vi

ÜSTEL BELİRSİZLİKLER....................................................................................................................................... 77 1∞, 00, ∞0 Belirsizlikleri ................................................................................................................................ 77TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU .............................................................................................................................. 79POLİNOM – TÜREV İLİŞKİSİ................................................................................................................................. 80DİFERANSİYEL UYGULAMALARI ........................................................................................................................ 80MAKSİMUM – MİNİMUM PROBLEMLERİ ............................................................................................................. 81 Maksimum – Minimum Problemlerinde Kullanılabilecek Kısayollar .............................................................. 84TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ........................................................................................................................ 88 Teğet – Eğim – Türev İlişkisi ......................................................................................................................... 88ARTAN – AZALAN FONKSİYONLAR .................................................................................................................... 93YEREL EKSTREMUM DEĞERLER ....................................................................................................................... 96 Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum Noktası ............................................................................................ 97TÜREV – EKSTREMUM İLİŞKİSİ .......................................................................................................................... 97 Grafikte Maksimum ve Minimum Nokta Yorumu ........................................................................................... 99TÜREVLENEBİLİR BİR FONKSİYONUN EĞRİLİK YÖNÜ .................................................................................... 100ASİMPTOT KAVRAMI ............................................................................................................................................ 105 Düşey Asimptot ............................................................................................................................................. 105 Yatay Asimptot .............................................................................................................................................. 106 Eğik-Eğri Asimptot ........................................................................................................................................ 107FONKSİYONUN GRAFİKLERİ ............................................................................................................................... 109TÜREVLE İLGİLİ TEOREMLER ............................................................................................................................. 109

İNTEGRALBELİRSİZ İNTEGRAL............................................................................................................................................. 125TEMEL İNTEGRAL ALMA KURALLARI ................................................................................................................. 126İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ .......................................................................................................................... 131 A) Değişken Değiştirme Yöntemi .................................................................................................................. 131ÖZEL DÖNÜŞÜMLER ............................................................................................................................................ 134

a x2 2- İfadesini İçeren İntegraller ............................................................................................................ 134

x a2 2- İfadesini İçeren İntegraller ............................................................................................................. 135

x2 + a2 ve x a2 2+ İfadesini İçeren İntegraller ............................................................................................. 135

RASYONEL (KESİRLİ) İFADELERİN İNTEGRALİ ................................................................................................. 136TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ ............................................................................................ 140 İndirgeme Bağıntıları..................................................................................................................................... 142 B) Kısmi İntegrasyon Yöntemi ...................................................................................................................... 142BELİRLİ İNTEGRAL ............................................................................................................................................... 148 Riemann İntegrali .......................................................................................................................................... 148İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMLERİ ....................................................................................................... 150 Belirli İntegrallerin Özellikleri ......................................................................................................................... 150ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ .................................................................................................. 155İNTEGRALDE ALAN .............................................................................................................................................. 157İNTEGRALDE HACİM ............................................................................................................................................ 158 Kabuk Yöntemi.............................................................................................................................................. 163 Eğri Uzunluğu Hesabı ................................................................................................................................... 166 Dönel Yüzeyin Alanı...................................................................................................................................... 168 Pappus – Guldin Teoremi.............................................................................................................................. 169

ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARTANIM VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ ............................................................................................................................. 172 Seviye Eğrileri ............................................................................................................................................... 175 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Limit ve Süreklilik ........................................................................................ 175 Süreklilik........................................................................................................................................................ 178 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Türev (Kısmi Türev) .................................................................................... 178

vii

Çok Değişkenli Fonksiyonların 2. Türevi....................................................................................................... 180 Zincir Kuralı ................................................................................................................................................... 181 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Teğet Düzlem Denklemi.............................................................................. 181ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA MAKSİMUM–MİNİMUM ........................................................................ 182 Yerel Maksimum ........................................................................................................................................... 182 Yerel Minimum .............................................................................................................................................. 182 Kritik Nokta – Eyer Nokta .............................................................................................................................. 183 Kritik Nokta İçin 2. Türev Testi ...................................................................................................................... 183 Maksimum–Minimum Problemleri ................................................................................................................. 185 Kapalı Fonksiyonun Türevi ........................................................................................................................... 185ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA İNTEGRAL ............................................................................................ 186 Çift Katlı İntegral ........................................................................................................................................... 186 Sınır Değiştirme ............................................................................................................................................ 188 Bölge Değiştirme........................................................................................................................................... 189 Dönüşüm Jakobiyeni (Fonksiyonel Determinantı) ........................................................................................ 189 Kutupsal Koordinatlara Geçiş ....................................................................................................................... 189 İki Katlı İntegralin Uygulamaları .................................................................................................................... 191 Alan Hesabı .................................................................................................................................................. 191 Hacim Hesabı ............................................................................................................................................... 193ORTALAMA DEĞER TEOREMİ ............................................................................................................................. 195 Kütle Hesabı ................................................................................................................................................. 196AĞIRLIK MERKEZİ ................................................................................................................................................ 196ÜÇ KATLI İNTEGRALLER ...................................................................................................................................... 196

KUTUPSAL KOORDİNATLARKUTUPSAL KOORDİNATLAR ............................................................................................................................... 202 Kutupsal Koordinatlardaki Denklemi Verilen Eğrinin Çizimi .......................................................................... 204KARDİYOİD EĞRİSİ............................................................................................................................................... 204 Gül Eğrilerinin Çizimi..................................................................................................................................... 210 Kutupsal Koordinatlarda Alan ....................................................................................................................... 215 Kutupsal Koordinatlarda Uzunluk Hesabı ..................................................................................................... 216

DİZİLER – SERİLERDİZİ ...................................................................................................................................................................... 218 Sonlu Dizi ...................................................................................................................................................... 218 Sabit Dizi ....................................................................................................................................................... 218EŞİT DİZİLER ......................................................................................................................................................... 219ALT DİZİ ................................................................................................................................................................. 219DİZİLERDE DÖRT İŞLEM ...................................................................................................................................... 220DİZİLERDE SINIRLILIK .......................................................................................................................................... 221DİZİLERDE MONOTONLUK .................................................................................................................................. 221ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER ................................................................................................................. 222 Aritmetik Dizi ................................................................................................................................................. 222 Geometrik Dizi .............................................................................................................................................. 223DİZİLERDE LİMİT ................................................................................................................................................... 224 Dizilerde Limit ile İlgili Özellikler .................................................................................................................... 226 Dizilerde En Büyük Alt Sınır (Ebas) – En Küçük Üst Sınır (Eküs) Kavramları .............................................. 227SERİLER ................................................................................................................................................................ 228 Geometrik Seri .............................................................................................................................................. 230 Pozitif Terimli Seriler İçin Yakınsaklık Testleri ............................................................................................... 233 Genel Terim Testi .......................................................................................................................................... 233 İntegral Testi.................................................................................................................................................. 233 p – Testi......................................................................................................................................................... 234 Karşılaştırma Testi ........................................................................................................................................ 234 Karşılaştırma Testinin Limit Formu................................................................................................................ 234 Cauchy – Kök Testi ....................................................................................................................................... 235

viii

D’alambert Oran Testi ................................................................................................................................... 236 Limit Testi ...................................................................................................................................................... 237 Alterne Seriler ............................................................................................................................................... 237 Mutlak Yakınsaklık – Yakınsaklık İlişkisi ....................................................................................................... 237KUVVET SERİLERİ ................................................................................................................................................ 238 Yakınsaklık Yarıçapı ...................................................................................................................................... 238 Yakınsaklık Aralığında Türevlenebilme ve İntegrasyon ................................................................................ 239 Taylor ve Maclaurin Serileri ........................................................................................................................... 240 Önemli Maclaurin Seri Açılımları................................................................................................................... 241ÇÖZÜMLÜ TESTLER ............................................................................................................................................. 256

2. BÖLÜMDİFERANSİYEL DENKLEMLERDİFERANSİYEL DENKLEMLER ............................................................................................................................ 361 Diferansiyel Denklemlerin Çözümü ............................................................................................................... 362 Genel ve Özel Çözümler ............................................................................................................................... 363 Varlık ve Teklik Teoremi ................................................................................................................................ 364 Bir Eğri Ailesinin Diferansiyel Denkleminin Oluşturulması ............................................................................ 365

DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLERDEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER ................................................................................................ 367DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR HÂLE GETİRİLEBİLEN DENKLEMLER .......................................................... 369HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ......................................................................................................... 370 Homojen Diferansiyel Denklemlerin Çözümü ............................................................................................... 370HOMOJEN HÂLE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLİR DİFERANSİYEL DENKLEMLER ......................................................... 371TAM DİFERANSİYEL DENKLEMLER .................................................................................................................... 373İNTEGRASYON ÇARPANI YARDIMI İLE DİFERANSİYEL DENKLEM ÇÖZÜMÜ ................................................ 375 İntegrasyon Çarpanını Bulma ....................................................................................................................... 375LİNEER DENKLEMLER ......................................................................................................................................... 377 Lineer Diferansiyel Denklemin Çözüm Yöntemi............................................................................................ 377BERNOULLİ DENKLEMLERİ ................................................................................................................................. 379RİCCATİ DENKLEMİ .............................................................................................................................................. 380

BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERBİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ........................................................ 385 Türeve, x’e veya y’ye Göre Çözülebilen Denklemler .................................................................................... 385 Türeve Göre Çözülebilen Denklemler ........................................................................................................... 385 x’e Göre Çözülebilen Denklemler ................................................................................................................. 386 y’ye Göre Çözülebilen Denklemler................................................................................................................ 386CLAİRAUT DENKLEMİ .......................................................................................................................................... 387LAGRANGE DENKLEMİ ........................................................................................................................................ 388İNDİRGENEBİLİR 2. MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ................................................................ 389

YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLERYÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER ..................................................................... 391 3. Mertebeden Homojen Olmayan Lineer Denklem ...................................................................................... 391 Mertebe İndirgeme ........................................................................................................................................ 392 Sabit Katsayılı Denklemler ............................................................................................................................ 393 Farklı Reel Kökler ......................................................................................................................................... 393 Katlı Reel Kökler ........................................................................................................................................... 394 Kompleks Kök ............................................................................................................................................... 394 Homojen Olmayan (2. Yanlı) Lineer Diferansiyel Denklemler ....................................................................... 397 Belirsiz Katsayılar Yöntemi ........................................................................................................................... 397PARAMETRELERİN DEĞİŞİM YÖNTEMİ ............................................................................................................. 401CAUCHY – EULER DENKLEMİ ............................................................................................................................. 403ÇÖZÜMLÜ TESTLER ............................................................................................................................................. 409

1

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR1.BÖLÜM

PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR

Bir fonksiyonun tanım kümesi alt kümelere ayrılarak o kümelerde farklı kuralları olan fonksiyonlara parçalı ta-nımlı fonksiyon denir.

( )

( ),

( ),

( ),

f x

f x x a

f x a x b

f x b x

<

1

2

3

1

#

#

=

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]

şeklinde yazılabilen f(x) parçalı tanımlı fonksiyondur. b > a olmak üzere; x = a ve x = b değerlerine f’nin kritik noktaları adı verilir. Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken alt aralıklara ait kuralların grafikleri çizilir ve sadece o aralıktaki kısımları alınır.

Uyarı !, ,y f x k k y f x02= + =^ ^h h in y ekseninde k birim pozitif yönde ötelenmişidir.

, ,y f x k k y f x02= - =^ ^h h in y ekseninde k birim negatif yönde ötelenmişidir.

,y f x k k ise y f x02= + =^ ^h h in x ekseninde k birim sola ötelen-mişidir.

,y f x k k ise y f x01= + =^ ^h h in x ekseninde k birim sağa ötelenmi-şidir.

,y f x y f x=- =^ ^h h x eksenine göre simetriğidir.

,y f x y f x= - =^ ^h h in y eksenine göre simetriğidir.

x

y

y=f(x)

3

2

-1

y f x= ^ h in grafiği verilmiştir. Buna göre y f x 1=- +^ hfonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm

;y f x f x1= +^ ^h h in x ekseninde 1 birim sola ötelenmiştir.

x

x

y

y

2

2

-2

2

-2

-2

-1

-1

y=-f(x+1)

y=f(x+1)

elde edilir.

Buradan

2

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR1.BÖLÜM

Tek - Çift Fonksiyonlar

f A B"| için x A iken x A! !- olsun.

• f x f x- =^ ^h h eşitliğini sağlayan fonksiyonlara çift fonksiyon adı verilir.

• f x f x- =-^ ^h h eşitliğini sağlayan fonksiyonlara tek fonksiyon adı verilir.

Uyarı !Tek fonksiyonlar orijin noktasına göre simetriktir.

Çift fonksiyonlar y eksenine göre simetriktir.

NOTHem tek, hem de çift olan sadece sıfır fonksiyondur.

İki tek fonksiyonun çarpımı veya bö-lümü çift fonksiyondur.

Bir fonksiyon çift veya tek olmak zo-runda değildir.

tanf xx

x x

1 2 3

2$

=

-

^^

hh

fonksiyonu için;

tan tanf xx

x x

x

x x f x1 12 3

2

2 3

2$ $ $

- =- -

- -=

-

-=-^ ^

_ ^^

^^h h

h ih

hh

olduğundan f x^ h tektir.

cosg xx

x x

1 2

3 4$

=+

^ h fonksiyonu için;

cos cosg xx

x x

x

x x g x1 12

3 4

2

3 4$ $

- =+ -

- -=

+=^ ^

^^ ^h hh

h h

olduğundan g x^ h çifttir.

MUTLAK DEĞER FONKSİYONU;;;

f xf x f x

f xf x f x

00 0

0

2

1

= =

-

^^

^^^

^h

h

hhh

h

Z

[

\

]]]]]]]]]]

şekilde tanımlanan fonksiyonlara mutlak değer fonksiyo-nu adı verilir.

NOTMutlak değer fonksiyonlarının gra-fikleri çizilirken, önce mutlak değer yokmuş gibi fonksiyonun grafiği çizi-lir ve daha sonra x ekseninin altın-da kalan grafiklerin x eksenine göre simetriği alınarak çizim tamamlanır.

f x x2 3= -^ h fonksiyonunun grafiğini çizelim:

y x2 3= - için .x y ve y x olur0 3 0 23

& &= =- = =

x

y

y

x

y=2x-3

-3

3

23

23

f x x2 3= -^ h

Bu grafikten

grafiği elde edilir.

SOYUT CEBİRLİNEER CEBİR

2020 KPSS

ÖABT

LİSEMATEMATİK

KONU ANLATIMLI




5575

Komisyon ÖABT Lise Matematik Soyut Cebir - Lineer Cebir Konu Anlatımlı

ISBN 978-605-241-894-9











0312 341 00 02


İletişim–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––




ÖN SÖZ


ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Soyut Cebir - Lineer Cebir 2. Kitap" adlı yayınımız Soyut Cebir - Lineer Cebir bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlan-mıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanya-zın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek haya-tınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve de-taylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çö-zümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekil-miştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin soru-larınızı [email protected] adresine e-posta yoluyla ya da 0538 594 92 40 numa-rasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede ekibimiz tarafından cevaplandırılacaktır.


Başarılar...


iv





4. AdımAktif

Kitaplar




3. AdımAktivasyon







1

2

3

4

Uygulamamızı


1. AdımUygulama

İndirme

2. AdımÜyelik



başlayabilirsiniz.

v

SOYUT CEBİR

Sayılar ve Özellikleri ��1

Rakam ��1

Sayma Sayıları ��1

Doğal Sayılar ��1

Tam Sayılar��1

Aralarında Asallık��1

Rasyonel Sayılar ��1

İrrasyonel Sayılar��1

Reel Sayılar ��1

Tek ve Çift Sayılar��1

Ardışık Sayılar ��2

Negatif ve Pozitif Sayılar ile İlgili Özellikler ��2

Tam Sayılarda Bölünebilme ��2

En Büyük Ortak Bölen ��4

En Küçük Ortak Kat ��4

Euler {-Fonksiyonu ��7

{-Fonksiyonunun Bazı Özellikleri ��7

Kongrüanslar ��9

Tam Sayılar ve Modüler Aritmetik ��9

Gruplar ��19

Tek İşlemli Cebirsel Yapı Türleri ��19

Mertebe ��21

Alt Gruplar ��22

Normal Alt Gruplar ��24

Simetrik (Permütasyon) ve Alterne Gruplar ��25

Gruplarda Homomorfizm ve İzomorfizm ��26

Homomorfizma ��26

İzomorfizma ��26

Bölüm Grupları ��29

Devirli Gruplar��30

Devirli Grupların Alt Grupları ��31

Üreteç Sayısı ��32

Çarpım Grupları ��32

İzomorf olmayan Abelyan Gruplar ��33

Halka, Cisim ve Tamlık Bölgesi ��33

Alt Halka ��35

Sıfır Bölenler ve Tamlık Bölgesi ��35

Bölüm Halkası ��36

İdeal ��36

Nilpotent Eleman ��36

Polinom Halkası��36

Cisim ��37

Cebirsel Sayı ��37

Transandant Sayı ��37

Sayılabilir Küme ��37

Çözümlü Test 1 ��43




İÇİNDEKİLER

vi

LİNEER CEBİR

Hatırlatma: İç İşlem��59

Dış İşlem ��59

Grup��59

Alt Grup ��59

Halka ��59

Vektör Uzayları ��60

Alt Vektör Uzayı ��62

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık �� 66

Taban (Baz) �� 67

İç Çarpım Uzayları ��68

İç Çarpım ��68

Norm ��70

Ortonormal Baz ��75

Direkt Toplam Uzayı ��80

İç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları��81

Lineer Dönüşümler ��83

Matrisler ve Matris Uzayları ��90

Matris Toplamı ��91

Skaler ile Matris Çarpımı ��92

Matris Çarpımı ��92

Bir Matrisin Transpozu ��93

Kare Matrisler ��94

Bir Matrisin Tersi ��94

Elemanter Operasyonlar (Basit İşlemler)�� 104

Determinantlar ��105

Sarrus Kuralı ��106

Minör ve Kofaktör �� 108

Alterne ve Çok Lineer Fonksiyonlar��115

n-Lineer Fonksiyonlar ��115

Bir Lineer Dönüşümün Determinantı ve İzi ��116

Determinantlarda Alan ve Hacim Hesabı ��116

Matrislerin Polinomu ��117

Karakteristik Değerler ve Karakteristik

Vektörler ��118

Karakteristik Uzay ��119

Karakteristik Polinom ve Karakteristik

Denklem ��120






1

SOYUT CEBİR

SOYUT CEBİR

1. Sayılar ve ÖzellikleriRakam Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Kullandığımız onluk sistemdeki rakamların kümesi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dur.

Rakamlarla oluşturulan ifadelere sayı denir.

Sayma Sayıları{1, 2, 3, 4, ...} kümesi sayma sayılar kümesidir.

Doğal Sayılar N = {0, 1, 2, 3, ...} kümesidir. N+ = {1, 2, 3, ...} pozitif doğal sayılar kümesini ifade eder.

Tam Sayılar Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} kümesidir.Tam sayılar kümesi üç ana bölümden oluşur. Negatif tam sayılar (Z–), pozitif tam sayılar (Z+) ve {0} kümesidir. Ayrıca Z = Z– ∪ {0} ∪ Z+ dır.

Aralarında Asallıkp ve q sıfırdan farklı iki pozitif tam sayı olsun. p ve q sayı-larını ortak olarak bölen en büyük pozitif tam sayı 1 ise p ve q aralarında asaldır denir.

Rasyonel Sayılar Q = {

qp : p ve q aralarında asal, q ≠ 0} kümesidir.

İrrasyonel Sayılar I = Q´ sembolleriyle gösterilir yukarıda tanımlanan

qp

tipinde yazılamayan sayılardan oluşur. Yani rasyonel ol-mayan reel sayılara irrasyonel sayı denir.

Reel SayılarRasyonel ve irrasyonel sayıların birleşim kümesidir. R ile gösterilir. R = Q ∪ Q´ dür.

x, y, z ∈ Z olmak üzere,

x·y = 12, y . z = 4 ve x·z = 3eşitliklerini sağlayan x, y, z sayılarının en büyük top-lamı en küçük toplamından kaç fazladır?

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

y zx y

zx x z4

12 3 3& &$

$$= = = bulunur.

Bu ifade x·z = 3 eşitliğinde yerine yazılırsa3z2 = 3 ⇒ z = "1 bulunur.z = 1 için x = 3 ve y = 4 olup x + y + z = 8z = –1 için x = –3 ve y = –4 olup x + y + z = –8 bulunur.8 – (–8) = 16 dır. Doğru seçenek C olarak elde edilir.

a, b, c ∈ N olmak üzere

3a + 6b – c = 24 eşitliğini sağlayan a, b ve c değerle-ri için a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

Katsayısı büyük olana büyük değer verilir. Sayılar aynı olabileceğinden a = 0 = c seçilirse b = 4 bulunur.a + b + c = 4 olur.

a ve b doğal sayılardır.

56·a = b3

eşitliğini sağlayan en küçük b değeri kaçtır?

Önce sayı asal çarpanlarına ayrılır. 56 = 23·756·a = 23·7·a = b3 tür.Buradan a = 72 seçilirse b = 2·7 = 14 bulunur.

Tek ve Çift Sayılar2 ile kalansız bölünebilen tam sayılara çift tam sayı, 2 ile tam bölünemeyen tam sayılara tek tam sayı denir. Çift sayılar 2n, tek tam sayılar 2n – 1 ile gösterilir (n ∈ Z).

Tek ve Çift Tam Sayılar İle İlgili Özellikler

1) T " T = Ç 5) Ç·Ç = Ç

2) Ç " Ç = Ç 6) T·T = T

3) T " Ç = T 7) n ∈ N olmak üzere Tn = T

4) T·Ç = Ç 8) n ∈ N+ olmak üzere Çn = Ç dir.

NOTTek ve çift sayılarda bölme işlemine ait kural tanımlanamaz. Örneğin 60, 40 ve 2 sayıları çift sayıdır.

Ç, ,T240

4040

6040

= = sayısı ne tek ne de

çifttir.

2

SOYUT CEBİR

Ardışık Sayılarn ∈ Z olmak üzere n, n + 1, n + 2, ... sayılarına ardışık tam sayılar denir.

Kural:n ∈ Z+ için

... nn n

1 2 21$

+ + + =+` j

dir.

n ∈ Z olmak üzere 2n – 1, 2n + 1, 2n + 3, ... sayılarına

ardışık tek sayılar denir.

Kural: n ∈ Z+ için

1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1 = n2 dir.

n ∈ Z olmak üzere 2n, 2n + 2, 2n + 4, ... sayılarına ardışık çift sayılar denir.

Kural: n ∈ Z+ için

2 + 4 + ... + 2n = n(n + 1) dir.

Kural:Ardışık terimleri arasındaki artış miktarı eşit olan dizide

Terim Sayısı = + 1Son Terim – İlk Terim

Artış miktarı

ve

Terim Toplamı = Terim Sayısı·(Son terim + İlk terim)

2dir.

Negatif ve Pozitif Sayılar İle İlgili Özellikler1) (–)·(–) = (+) 5) (–) / (–) = (+)

2) (–)·(+) = (–) 6) (–) / (+) = (–)

3) (+)·(+) = (+) 7) (+) / (+) = (+)

4) (+)·(–) = (–) 8) (+) / (–) = (–)

9) n ∈ N olmak üzere (–)2n = (+) dır.

10) n ∈ N olmak üzere (–)2n–1 = (–) dir.

11) n ∈ N olmak üzere (+)n = (+) dır.

Tam Sayılarda Bölünebilmem, n, r ∈ Z olmak üzere m·n = r olsun. Bu durumda m ve n ye r nin bölenleri (çarpanları) r ye de m ve n nin bir katı denir. m, r nin bir böleni ise bu durum m | r ile, aksi takdirde m ) r ile gösterilir.

2 ile bölünebilme: Çift tam sayılar 2 ile tam bölünür.

3 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 3 veya 3 ün katı ise sayı 3 ile tam bölünür.

4 ile bölünebilme: Verilen sayının son iki basamağı (bir-ler ve onlar basamağı) 4 ile tam bölünebiliyor ise verilen sayı 4 ile tam bölünür.

5 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basamağı 0 veya 5 ise sayı 5 ile tam bölünür.

7 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları altına sağ-dan sola doğru sırasıyla 3, 2, 1 sayıları yazılır. Bu rakam-lar altlarına yazdığımız sayılar ile çarpılır. Daha sonra sağdan sola üçerli gruplar hâlinde alınıp bu gruplar (+), (–) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 7 veya 7'nin katı ise verilen sayı 7 ile tam bölünür.

8 ile bölünebilme: Verilen sayının son üç basamağı (bir-ler, onlar ve yüzler basamağı) 8 ile bölünebiliyor ise sayı 8'e tam bölünür.

9 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 9 veya 9 un katı ise sayı 9 ile tam bölünür.

10 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basamağı 0 ise verilen sayı 10 ile tam bölünür.

11 ile bölünebilme: Verilen sayı sağdan sola doğru sıra-sı ile (+), (–) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 11 veya 11 in katı ise verilen sayı 11 ile tam bölünür.

Hangi n doğal sayıları için (n + 1)u(n2 + 1) dir.

n2 – 1 = (n – 1)(n + 1) olduğundan ∀ n ∈ N için(n + 1)u(n2 – 1) dir.(n + 1)u (n2 + 1) ve (n + 1)u(n2 – 1) olduğundann + 1 u[(n2 + 1) – (n2 – 1)] ⇒ n + 1u2 olur. n ∈ N olduğundan ve n + 1 ≤ 2 olması gerektiğinden n = 0, 1 elde edilir.

Kural:[1, x] aralığında n ile bölünebilen doğal sayıların sayısı

nx& 0 dir.

Kural:a ∈ Z ve m, n ∈ N olsun.

n < m için a

a

2 1

2 1

n

m

+

− dir.

Kural:n ≥ 2 olmak üzere n ve k iki doğal sayı olsun.n – 1unk – 1 dir.

2020 KPSS

ÖABT

LİSEMATEMATİK

GEOMETRİİSTATİSTİK VE OLASILIK

KONU ANLATIMLI




5575

Komisyon ÖABT Lise Matematik Geometri - İstatistik ve Olasılık Konu Anlatımlı

ISBN 978-605-241-894-9











0312 341 00 02


İletişim–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––




ÖN SÖZ


ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Geometri-İstatistik ve Ola-sılık 3. Kitap" adlı yayınımız Geometri - İstatistik ve Olasılık bölümünü kapsamak-tadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanya-zın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek haya-tınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve de-taylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çö-zümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekil-miştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin soru-larınızı [email protected] adresine e-posta yoluyla ya da 0538 594 92 40 numa-rasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede ekibimiz tarafından cevaplandırılacaktır.


Başarılar...


iv





4. AdımAktif

Kitaplar




3. AdımAktivasyon







1

2

3

4

Uygulamamızı


1. AdımUygulama

İndirme

2. AdımÜyelik



başlayabilirsiniz.

v

1. BÖLÜM

UZAYDA VEKTÖRLER

UZAYDA VEKTÖRLER ................................................ 1

İki Vektörün Paralelliği ........................................... 2

Vektörlerin Lineer Bileşimi ..................................... 2

Lineer Bağımlılık – Lineer Bağımsızlık .................. 2

Standart Birim Vektörleri ........................................ 2

Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı .............................. 2

İki Vektör Arasındaki Açı ........................................ 3

Dik İzdüşüm Vektörü.............................................. 3

Vektörel (Çapraz) Çarpım ...................................... 4

Paralelkenarın Alanı .............................................. 5

Paralelyüzün Hacmi............................................... 6

Çözümlü Test ............................................................... 9

Çözümler ................................................................... 11

UZAYDA DOĞRU ve DÜZLEM DENKLEMİ

UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM DENKLEMİ ............. 13

İki Noktası Belli Olan Doğru Denklemi................. 13

Düzlem ................................................................ 14

Çözümlü Sorular - I.............................................. 16

Bir Noktanın Düzleme Uzaklığı............................ 19

Çözümlü Sorular - II............................................. 19

Uzayda İki Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları ve Kesişme Noktasının Bulunması........................... 22

Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı .............. 23

Aykırı İki Doğru Arasındaki En Kısa Uzaklık ve Ortak Dikme ve Dikme Ayaklarının Bulunması .............. 24

Çözümlü Sorular .................................................. 24

İki Düzlemin Birbirlerine Göre Konumu ve İki Düzlem Arasındaki Açı...................................................... 28

Bir Düzlem ile Bir Doğru Arasındaki Açı .............. 28

İki Düzlemin Açıortay Düzlemi ............................. 28

Çözümlü Sorular .................................................. 28

Bir Doğrudan Geçen Düzlem Demeti .................. 30

Uzayda Simetri .................................................... 31

Çözümlü Sorular .................................................. 32

Çözümlü Test - 1 ........................................................ 37

Çözümler ................................................................... 39

Çözümlü Test - 2 ........................................................ 41

Çözümler ................................................................... 43

YÜZEYLER

E3 DE YÜZEY ............................................................ 46

KÜRE......................................................................... 46

Küre Olma Koşulları ............................................ 47

Kürenin Parametrik Denklemi .............................. 48

Kürenin Teğet Düzlemi ........................................ 48

SİLİNDİR ................................................................... 48

KONİ .......................................................................... 50

Bazı Kuadratik Yüzeyler ...................................... 54

Çözümlü Sorular .................................................. 54

Silindirin İsimlendirilmesi ..................................... 55

Dönel Yüzeyler .................................................... 57

SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR ................................... 59

KÜRESEL KOORDİNATLAR ..................................... 59

Çözümlü Test ............................................................. 60

Çözümler ................................................................... 62

KONİKLERTANIM ........................................................................ 64

Genel Konik Denkleminde x.y– li Terimi YokEtme .................................................................... 64

ELİPS - HİPERBOL - PARABOLELİPS ........................................................................ 66

Elipsin Denklemi .................................................. 66

Elipsin Teğet ve Normal Denklemleri ................... 67

Elipsin Parametrik Denklemi................................ 68

HİPERBOL ................................................................ 70

Hiperbolün Denklemi ........................................... 70

PARABOL .................................................................. 73

Parabolün Denklemi ............................................ 73

Çözümlü Test ............................................................. 82

Çözümler ................................................................... 84

Karma Test - 1 ........................................................... 86

Çözümler ................................................................... 88

Karma Test - 2 ........................................................... 90

Çözümler ................................................................... 92

İÇİNDEKİLER

vi

2. BÖLÜM

İSTATİSTİK VE OLASILIK

TEMEL KAVRAMLAR ................................................ 94

Sayısal Bilgi, Veri, Ölçüm .................................... 94

Değişken ve Türleri .............................................. 94

Fonksiyon ............................................................ 94

Evren ve Örneklem .............................................. 96

İstatistik ve Parametre ......................................... 96

Çözümlü Test ............................................................. 97

Çözümler ................................................................... 99

VERİNİN DÜZENLENMESİ VE MERKEZE EĞİLME ÖLÇÜLERİ

VERİNİN DÜZENLENMESİ ..................................... 100

Grafik Çizme ...................................................... 100

Merkeze Eğilme (Yığılma) Ölçüleri .................... 101

Mod (Tepe Değer).............................................. 101

Medyan (Ortanca).............................................. 101

Aritmetik Ortalama ............................................. 102

Mod, Medyan ve Ortalamanın Karşılaştırılması 103

Ağırlıklı Ortalama ............................................... 104

DEĞİŞME (DAĞILMA) ÖLÇÜLERİ ......................... 105

Ranj (Açıklık) ..................................................... 105

Mutlak Kayma .................................................... 105

Varyans ve Standart Kayma .............................. 105

Bağıl Değişkenlik Katsayısı ............................... 107

STANDARTLAŞTIRMA (z ve T PUANLARI) ............ 107

z Puanı .............................................................. 107

T Puanı .............................................................. 107

Çözümlü Test ........................................................... 109

Çözümler ................................................................. 112

OLASILIK

TEMEL KAVRAMLAR .............................................. 114

Olasılık............................................................... 115

Birleşik Olayların Olasılığı ................................. 116

Ayrık İki Olayın Birleşiminin Olasılığı ................. 116

Olaylar Arasındaki Bağıntılar ............................. 117

Şartlı Olaylar ve Olasılıklar ................................ 117

Bağımsız Olaylar ............................................... 118

Çözümlü Sorular ...................................................... 119

TESADÜFÎ DEĞİŞKEN, OLASILIK FONKSİYONU VE BEKLENEN DEĞER................................................ 121

Tesadüfî Değişkenin Beklenen Değeri............... 127

Varyans Hesabı ................................................. 130

Momentler.......................................................... 133

Moment Çıkaran Fonksiyon............................... 133

Birleşik Olasılık Dağılımı.................................... 135

Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu .................. 135

Marjinal Olasılık Fonksiyonları........................... 136

Kovaryans ve Korelasyon .................................. 138

Çözümlü Test ........................................................... 145

Çözümler ................................................................. 148

OLASILIK DAĞILIMLARI

OLASILIK................................................................. 150

Binom Olasılık Dağılımı ..................................... 150

Poisson Olasılık Dağılımı .................................. 152

Hipergeometrik Olasılık Dağılımı ....................... 153

Normal Olasılık Dağılımı.................................... 160

Standart Normal Olasılık Dağılımı ..................... 161

Çözümlü Test ........................................................... 163

Çözümler ................................................................. 166

Çözümlü Deneme - 1 .............................................. 168

Çözümler ................................................................. 171

Çözümlü Deneme - 2............................................... 174

Çözümler ................................................................. 177

1

UZAYDA VEKTÖRLER1.BÖLÜM

UZAYDA VEKTÖRLER

R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} kümesine 3 boyutlu vektör uza-yı denir. Vektörlerin başlangıç noktası orijin olmak üzere, R3 ün her noktasına bir vektör karşılık gelir.

z

y

P(a, b, c)

0

x

, ,a b cOP = ^ h ise a, b, c sayılarına OP yer vektörünün bileşenleri denir. P noktasının orijine olan uzaklığına,

OP vektörünün normu (uzunluğu) denir ve OP ile gösterilir.

, , .a b c a b c dirOP OP P 2 2 2&= = = + +^ h

AB vektörüne eş, başlangıç noktası orijin olan OP vek-

törüne, AB vektörünün yer vektörü denir.

A(x1, y

1, z

1) ve B(x

2, y

2, z

2) ise;

, ,x x y y z z

x x y y z z

AB

OP AB

2 1 2 1 2 1

2 12

2 12

2 12

= - - -

= = - + - + -

^

^ ^ ^h

h

h hNormu 1 olan vektöre birim vektör denir.

z

y0

x

A(x1, y1,z1) B(x2, y2,z2)

P(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

Çıkmış Sorular

Uzayda A(1, 2, 3), B(2, -1, -4) ve C(m, 2, -1) noktaları veriliyor.

AB AC= olduğuna göre, m kaçtır?

A) -27 B) -29 C) 14 D) 29 E) 27

, , , ,mAB AC1 3 7 1 0 4= - - = - -^ ^h h.

.

d rm

mm olur

AB AC AB AC 01 1 3 0 7 4 0

27 027

ı& $

$

= =

- + - + - - =

+ =

=-

^ ^ ^ ^h h h h

Cevap A

ÖrnekA(1, –1, 1) ve B(2, a, –3) noktaları veriliyor.

AB 26= br olduğuna göre a sayısının alabileceği değerleri bulunuz.

, ,a

a

a

aa a veya a

AB

AB

1 1 4

26 1 1 4 26

1 17 26

1 91 3 2 4

2 2 2

2

2

&

&

&

& &

= + -

= + + + - =

+ + =

+ =

+ = = =-

^

^^

^ ^

h

hh

h h

Çıkmış Sorular

Dik koordinat düzleminde verilen u ve v vektörleri

için u v 8$ = , u v u v 16+ + - = olduğuna göre,

u v+ değeri kaçtır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13

.

u v u v u v

u v u v u v

u v u v u v olur

2

2

4

2 2 2

2 2 2

2 2&

$ $

$ $

$ $

+ = + +

- = + +

+ - - =

Buna göre;

u v u v u v u v 4 816

$ $+ + - + - - =a ak k1 2 3444444444444 444444444444

·

u v u v

u v u v

u v u v

2

16

2 18 9&

+ - - =

+ + + + =+

+ + = .olur=

Cevap B

2

UZAYDA VEKTÖRLER1.BÖLÜM

İki Vektörün Paralelliği

, , 0, ,a b aR k b 003d ! !! olmak üzere,

//a k b a b+$= dir.

, , , ,a x y z ve b x y z olmak zereü1 1 1 2 2 2= =` `j j

//a bxx

yy

zz

2

1

2

1

2

1+ = = dir.

Örnek

A(2, 4, 2) ve B(6, 2, 4) noktaları ile

, ,v x y x y2 1= − +` j vektörü veriliyor.

// vAB olduğuna göre, (x, y) ikilisini bulunuz.

Çözüm

2

, ,

, ,

//

, , .

v

v

x yx y

x y x y

x y x y

x y olur

AB

AB

2 1

4 2 2

2 1

4 22

21

1 1

&

&− =

+ =−

= −

= − +

−=

−

+=

= −

`

`

` `

j

j

j j4

Vektörlerin Lineer Bileşimi

, , , ...,, , , ..., R ve k k k k RV V V Vn n1 2 33

1 2 3d d

olmak üzere,

...u k k k kV V V Vn n1 1 2 2 3 3$ $ $ $= + + + + vektörüne,

, , , ...,V V V Vn1 2 3 vektörlerinin lineer bileşimi denir.

Lineer Bağımlılık – Lineer Bağımsızlık

, , , ...IR de V V V Vn3

1 2 3 vektörleri verilsin.

...c c c cV V V V 0n n1 1 2 2 3 3$ $ $ $+ + + + = denklemi yalnız

c1 = c

2 = c

3 ... = c

n = 0 için sağlanırsa bu vektörlere lineer

bağımsız; c1 = c

2 = c

3 ... = c

n = 0 değerlerinden en az

biri sıfırdan farklı olacak şekilde sağlanırsa bu vektörlere lineer bağımlı denir.

Uyarı, , ...V V V V1 2 n= & 0, IR3 uzayının bir alt kü-

mesi olmak üzere , , ...det AV V Vn1 2 =b l

olsun.

I. A = 0 ⇔ V kümesi lineer bağımlı,

II. A ≠ 0 ⇔ V kümesi lineer bağımsızdır denir.

Standart Birim Vektörleri

z

y0

x

e3 = 0,0,1` j

e1 = 1,0,0` j

e2 = 0,1,0` j

R3 vektör uzayında üzerinde bulunduğu eksen ile pozitif yönlü birim vektörlere, standart birim vektörler denir.

, ,

, ,

, ,

e i

e j

e k

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

2

3

=

= =

= =

= `

`

`

j

j

j

Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı

Her , RA B 3! için;

, , , ,x y z ve x y zA B1 1 1 2 2 2= =` `j j olmak üzere,

, x x y y z zA B A B< > 1 2 1 2 1 2$ $ $$ = = + +

şeklinde tanımlanan işleme, "R3 de Öklid iç çarpım işle-mi" denir.

Özellikleri

1. ,A A A A A A2

$ $= =

2. A B B A$ $= (değişme özelliği)

3. A B C A B A C$ $ $+ = +` j (çarpmanın toplama üzeri-ne dağılma özelliği)

ALAN EĞİTİMİ

2020 KPSS

ÖABT

LİSEMATEMATİK

KONU ANLATIMLI




5575

Komisyon

ÖABT Lise Matematik Alan Eğitimi Konu Anlatımlı

ISBN 978-605-241-894-9











0312 341 00 02


İletişim–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––




ÖN SÖZ


ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi 4. Kitap" adlı yayınımız Alan Eğitimi bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin sorularınızı [email protected] adresine e-posta yoluyla ya da 0538 594 92 40 numarasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede ekibimiz tarafından cevaplandırılacaktır.


Başarılar...






4. AdımAktif

Kitaplar




3. AdımAktivasyon







1

2

3

4

Uygulamamızı


1. AdımUygulama

İndirme

2. AdımÜyelik



başlayabilirsiniz.

v

1. BÖLÜM: MATEMATİK NEDİR?Matematik Nedir?��1

Mutlakçılar ��1Yarı Deneyselciler ��2Teorik-Uygulamalı Matematik ��2Klasik-Modern Matematik ��2Akademik-Okul Matematiği��2Çözümlü Test ��5Çözümler ��7

2. BÖLÜM: MATEMATİĞİ ÖĞRENME VE ÖĞRETME

Matematiği Öğrenme ve Öğretme ��8Bilişsel Öğrenme Alanı ��8Duyuşsal Öğrenme Alanı��8Devinişsel Öğrenme Alanı ��8Davranışçı Yaklaşım ��8

Klasik Koşullanma ��8Edimsel Koşullanma ��9

Bütünlükçü (Gestaltçı) Yaklaşım ��9Fonksiyonalist Yaklaşım ��9Bilişsel Gelişmeci Yaklaşım ��9Yapılandırmacı Yaklaşım ��9Buluş Yoluyla Öğrenme ��10Okulda Öğrenme (Tam Öğrenme) ��11Bilgi-İşlem Yaklaşımı ��11Anlamlı Öğrenme (Sunuş Yoluyla Öğretim) ��11Gerçekçi Matematik Eğitimi ��11Çoklu Zekâ Kuramı ��12Öğrenme Stilleri ��12Matematik Öğretimi Yöntemleri ��12

Düz Anlatım Yöntemi ��12Tanımlar Yardımıyla Öğretim ��12Buluş Yoluyla Öğretim ��12Analizle Öğretim ��13Senaryo ile Öğretim ��13Gösterip Yaptırma Yöntemiyle Öğretim ��13Kurallar Yardımıyla Öğretim ��13Deneysel Etkinliklerle Öğretim��13Oyunlarla Öğretim ��13

Çözümlü Test ��14Çözümler ��15

3. BÖLÜM: MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI

Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı ��16

2006 Programın Özellikleri ��164+4+4 Eğitim Sistemi��16Öğretim Programının Genel Amaçları ��17Öğretim Programının Öğrenme-Öğretme Yaklaşımı ��18Öğretim Programının Ölçme ve Değerlendirme Yaklaşımı ��18Öğretim Programında Yeterlilik ve Beceriler ��18Öğretim Programında Değerler Eğitimi ��19Öğretim Programının Uygulanmasında Dikkat Edilecek Hususlar ��20Öğretim Programının Yapısı ��20Çözümlü Test ��26Çözümler ��27

4. BÖLÜM: PROBLEM ÇÖZMEProblem Çözme ��28

Problem Nedir?��28Problem Çözme ��28

Problemi Anlama ��28Çözüm İçin Plan Yapma ��28Planın Uygulanması ��28Değerlendirme ��28

Problem Çözme Öğretimi ��30Sistematik Liste Yapma ��30Tahmin ve Kontrol ��30Diyagram Çizme ��30Bağıntı Bulma ��31Değişken Kullanma��31Benzer Problemlerin Çözümünden Yararlanma ��31Geriye Doğru Çalışma ��31Eleme ��31Tablo Yapma ��31Muhakeme etme ��31

Problem Kurma��32Matematiksel İfadeye Uygun Problem Kurma ��32Şekil veya Tabloya Uygun Problem Kurma ��32Cevabı Zihinde Tutarak Problem Kurma ��33

İÇİNDEKİLER

vi

Matematik Eğitiminde Problem Çözme ��33Problem Çözme İçin Öğretim ��33Problem Çözmeye İlişkin Öğretim ��33Problem Çözme ile Öğretim ��33


5. BÖLÜM: MANTIK ÖĞRETİMİ Mantık Öğretimi ��37

Temel Kavramların Öğretimi ��37Önerme Kavramı ��37Önermenin Olumsuzu (Değili) ��38

Bileşik Önermeler ��38Veya Bağlacı (∨) (Dahili Birleşim) ��39Ve Bağlacı (∧) ��39Koşullu Önerme (⇒) ��39İki Yönlü Koşullu Önerme (⇔) ��39

Bileşik Önermelerin Özellikleri ��40Tek Kuvvet Özelliği ��40Değişme Özelliği��40Birleşme Özelliği ��40Dağılma Özelliği ��40

Totoloji ve Çelişki ��41Açık Önermeler��41Evrensel ve Varlıksal Niceleyiciler ��41İspat Teknikleri ��42İspat Çeşitleri ��42Çözümlü Test ��47Çözümler ��49

6. BÖLÜM: KÜMELER ÖĞRETİMİ Kümeler Öğretimi ��50

Temel Kavramların Öğretimi ��50Kümeler Arasındaki İlişkilerin Öğretimi ��51Kümelerle İşlemlerin Öğretimi ��52

Birleşim İşlemi ��52Kesişim İşlemi��52Fark İşlemi ��52Kartezyen Çarpım��52


7. BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİ

Gerçek Sayılar Öğretimi ��57Karekök Kavramı ��58Toplama ve Çıkarma İşlemi Öğretimi��59

İşlem Özelliklerinin Öğretimi ��59Çarpma İşlemi Öğretimi ��59

İşlem Özelliklerinin Öğretimi ��60Bölme İşlemi Öğretimi ��60Gerçek Sayılar ��61Eşitlik Özellikleri��61Eşitsizlik Özellikleri ��62Asal Sayılar ��63Bölünebilme Kuralları ��64En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) ��66Aralıklar ��66Denklem Çözümü ��67Çözümlü Test ��68Çözümler ��71

8. BÖLÜM: ÜSLÜ VE KÖKLÜ İFADELER ÖĞRETİMİ

Üslü ve Köklü İfadeler Öğretimi ��73Üslü İfadeler Öğretimi ��73Üslü Denklemler ��74Köklü İfadeler Öğretimi ��74Çözümlü Test ��77Çözümler ��79

9. BÖLÜM: POLİNOMLAR ÖĞRETİMİPolinomlar Öğretimi ��80

Polinomlar Kümesinde İşlemler Öğretimi ��81Toplama ve Çıkarma Öğretimi ��81Çarpma Öğretimi ��82Bölme Öğretimi ��82

Çarpanlara Ayırma Öğretimi ��84Ortak Çarpan Parantezine Alma��84Gruplandırma��84Tam Kare İfadelerin Çarpanlara Ayrılması ��84a2 + 2ab + b2 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ��85a2 - 2ab + b2 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ��85

vii

a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ��86a2 - b2 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ��86a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ��87x3 - a3 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ��87ax2 + bx + c Polinomunun Çarpanlara Ayrılması ��87

Rasyonel İfadeler ve Denklemler Öğretimi ��89Çözümlü Test ��91Çözümler ��93

10. BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER,, EŞİTSİZLİKLER VE

FONKSİYONLAR ÖĞRETİMİİkinci Dereceden Denklemler, Eşitsizlikler ve Fonksiyonlar Öğretimi ��94

İkinci Dereceden Denklemler Öğretimi ��95Eşitsizlikler Öğretimi ��98İkinci Dereceden Fonksiyonlar Öğretimi ��101


11. BÖLÜM: OLASILIK VE İSTATİSTİK ÖĞRETİMİ

Olasılık ve İstatistik Öğretimi ��106Olasılık Öğretimi ��107

Toplama Yoluyla Sayma İlkesi ��107Çarpma Yoluyla Sayma İlkesi ��107Permütasyon ��107

Tekrarlı Permütasyon��108Kombinasyon ��108Binom Açılımı ��109Olasılıkla İlgili Temel Kavramlar��109Olay Çeşitleri ��110

Kesin ve İmkânsız Olaylar ��110Tümleyen Olay �� 111Ayrık ve Ayrık Olmayan Olaylar �� 111Bağımlı ve Bağımsız Olaylar �� 111

Koşullu Olasılık ��112Olasılık Çeşitleri��112

İstatistik Öğretimi ��115Veri Toplama ��115Tablo ve Grafikler��116Merkezî Eğilim ve Yayılma Ölçüleri ��117

Aritmetik Ortalama ��117Tepe Değer (Mod)��117Ortanca (Medyan)��118Açıklık (Ranj) ��118Standart Sapma��118


12. BÖLÜM: TRİGONOMETRİ ÖĞRETİMİTrigonometri Öğretimi ��124

Yönlü Açılar Öğretimi��124Trigonometrik Fonksiyonlar Öğretimi ��126Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ��126Ters Trigonometrik Fonksiyonların Öğretimi ��128Üçgende Trigonometrik Bağıntıların Öğretimi ��128Toplam ve Fark Formüllerinin Öğretimi��130Yarım Açı Formüllerinin Öğretimi ��130Trigonometrik Denklemlerin Öğretimi ��131Çözümlü Test ��133Çözümler ��135

13. BÖLÜM: KARMAŞIK SAYILAR ÖĞRETİMİ

Karmaşık Sayılar Öğretimi ��136Karmaşık Sayılar Öğretimi��137Karmaşık Kökler ��137Çözümlü Test ��138Çözümler ��139

14. BÖLÜM: ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA ÖĞRETİMİ

Üstel Fonksiyon ve Logaritma Öğretimi��140Üstel Fonksiyon ��141Logaritma Fonksiyonu ��141Onluk ve Doğal Logaritma ��142Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri��143Üslü ve Logaritmalı Denklemler ve Eşitsizlikler ��143Çözümlü Test ��144Çözümler ��146

viii

15. BÖLÜM: DİZİLER ÖĞRETİMİDiziler Öğretimi ��147

Toplam Sembolü ��147Diziler ��148Monoton Diziler ��148Aritmetik Dizi ��149 Geometrik Dizi ��149Çözümlü Test ��151Çözümler ��153

16. BÖLÜM: FONKSİYON ÖĞRETİMİFonksiyon Öğretimi ��154

Fonksiyon Kavramı ��155Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi��155

Venn Şeması ile Gösterim ��156Liste Biçiminde Gösterim ��156Grafiklerle Gösterim��156Cebirsel Gösterim ��157

Fonksiyonların Grafiği��157Fonksiyon Türleri ��158Ters Fonksiyon ��159Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyonlar��159Çift ve Tek Fonksiyon ��160Fonksiyonlarda İşlemler��160

Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi ��161Fonksiyonların En Geniş Tanım Kümesi��162Parçalı Fonksiyonlar ��162Mutlak Değer Fonksiyonu ��162Çözümlü Test ��164Çözümler ��166

17. BÖLÜM: LİMİT VE SÜREKLİLİK ÖĞRETİMİ

Limit ve Süreklilik Öğretimi ��167Limit ��167Süreklilik ��169Çözümlü Test ��171Çözümler ��173

18. BÖLÜM: TÜREV VE İNTEGRAL ÖĞRETİMİ

Türev ve İntegral Öğretimi ��174Türev��175Türevin Uygulamaları��176Belirli İntegral ��178Belirsiz İntegral ��179Belirli İntegralin Uygulamaları ��179Çözümlü Test ��181Çözümler ��183

19. BÖLÜM: GEOMETRİ ÖĞRETİMİGeometri Öğretimi ��184

Çocuklarda Geometrik Düşünmenin Gelişimi ��185Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik Öğretimi��190Üçgenin Yardımcı Elemanları ��192Pisagor Bağıntısı ��192Trigonometrik Oranlar ��192Analitik Geometri ��193Çember ve Daire��193Geometrik Cisimler ��194Dönüşüm Geometrisi ��196Çözümlü Test ��200Çözümler ��201

Kaynakça ��202

1

MATEMATİK NEDİR?1.BÖLÜM

MATEMATİK NEDİR?Matematik, kimilerine göre genel ölçü ve düzen bilimi, kimilerine göre evrensel bir dil, kimilerine göre ise mede-niyetten medeniyete zenginleşerek aktarılan sayılar, şe-killer, uzaylar gibi soyut varlıkları ve aralarındaki ilişkileri inceleyen bilim dalıdır. Ortak bir tanıma ulaşamamakla birlikte her tanımlamanın ya da betimlemenin doğruluk payının olduğu söylenebilir. Tanımlamaların büyük bir kısmında matematiğin konusunun sayılar, şekiller, fonk-siyonlar vb. soyut varlıklar olduğu ve düşünme yapısının da tümdengelim olduğu ifade edilmektedir.

Örnek

“İki çift sayının çarpımı, çifttir.” önermesinde matematik-sel düşüncenin hangi işletim yolu kullanılmaktadır?A) İndirgeme

B) Genelleme

C) Soyutlama

D) Tümevarım

E) Tümdengelim

Çözüm

“İki çift sayının çarpımı çifttir.” önermesinin doğruluğu gösterilirken 2n ve 2k gibi iki çift sayı alınıp çarpılarak ispat yapılır. Yani en genel durum için önermenin doğru-luğu gösterilmiş olur ve bilinir ki önerme her özel durum için de doğrudur. “Genelden özele” şeklinde özetlenebi-len bu düşünce yapısı tümdengelimdir.

Cevap E

Bugünkü matematik bilginin ortaya çıkışı ile ilgili olarak iki yaklaşımdan söz edilmektedir:

1. Matematiği insanoğlu kendi icat etti.

2. Matematik evrende vardı, insanoğlu bunu yaşarken fark etti.

Her iki ekolün de savunanları kendi yaklaşımlarını haklı çı-karacak bazı kanıtlar ortaya koymaktadır. Bunlardan ikinci yaklaşımı benimseyen grubun sunduğu örneklerden belki de en önemlisi Fibonacci Sayıları ve Altın Oran’dır. İtalyan Matematikçi Leonardo Fibonacci’nin meşhur tavşan prob-leminden yola çıkarak ulaştığı Fibonacci Dizisi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … şeklinde olup bu dizideki her bir terimin kendinden önceki terime oranlanmasıyla oluşan yeni dizinin yakınsa-dığı 1,618 değeri de Altın Oran olarak bilinmektedir. Gerek ardışık Fibonacci sayıları ve gerekse Altın Oran sayısı do-ğada, resimde, müzikte, mimaride ve daha pek çok yerde şaşırtıcı bir şekilde insanoğlunun karşısına çıkmaktadır.

Matematik yeni bilgilerin üretimi konusunda “kendi kendi-ne yeterlik” özelliği ile diğer bilim dallarından farklılaşmak-tadır. Yani matematiğin bilgi üretmek için geçmiş bilgilerin yanında dil ve mantık dışında bir şeye ihtiyaç yoktur.

Matematik, belli bir düzen ve mantıksal sıralamaya sahip kavram ve işlemler üzerine kurulu bir bilimdir. Bu düzen veya intizamı bulmak ve keşfetmek ve sonrasında anlam-landırmak, tam anlamıyla “matematik yapmak” demektir.

Mevcut matematik bilgisinin oluşmasına yönelik teorik matematikçiler “amaç olarak matematik” görüşünü sa-vunurken uygulamalı matematikçiler ise “araç olarak matematik” görüşünü desteklemektedir. Genel inanış ise, bugünkü bilgilerin büyük kısmının matematik yapma amacıyla ve bir kısmının da günlük yaşam problemlerine çözüm ararken ortaya çıktığı yönündedir.

Örnek

Matematiksel bilginin türeyişinde katkısı olan bilim dalları hangileridir?

A) Sosyoloji-Psikoloji

B) Dil-Mantık

C) Fizik-Kimya

D) Tıp-Biyoloji

E) Tarih-Edebiyat

Çözüm

Matematiğin “kendi kendine yeterlik” özelliği olduğu ha-tırlanırsa yeni bilgi üretmek için geçmiş bilgilerin yanında katkısı olan bilim dalları sadece dil ve mantıktır.

Cevap B

Matematik bilgisinin doğasına bakış farklılaşabilmek-tedir. Matematik felsefesine bakıldığında bu farklı algı-lamalardan dolayı ortaya mutlakçı, kesinlikçi ve öznelci felsefeler çıkmıştır.

Mutlakçılar

Eflatuncular, matematiğin nesne ve yapılarının insandan bağımsız olarak var olduğunu iddia etmektedirler. Onlara göre matematik yapmak, bizden önce var olan bu nesne ve yapıların keşfedilmesidir.

Matematiğin doğasına deneysel olarak bakan görüş, matematiksel doğruların deneysel yollarla genellenebile-ceğini söyler. Deneyselcilik, matematiği sağlam temel-ler üzerinde inşa etmeyi amaçlamış ve bunu deneysel kanıtlamalarla yapmaya çalışmıştır.

Matematiği kendi içinde tutarlı bir yapıya kavuşturmak amacıyla onu mantıksal önermelere indirgemeye çalışan mantıkçılar olmuştur. Onlara göre matematik, mantık-tan başka bir şey değildir. Mantığı kullanmaktaki amaç, matematiği kesin biçimde tanımlanmış çıkarsama kural-larına ve aksiyomlara dayandırmaktır. Bu görüşü savu-nanların başında Frege, Russell ve Peano gelmektedir.

2

MATEMATİK NEDİR?1.BÖLÜM

Formalistlere göre matematik, soyut nesne ve ilişkileri konu alan simgesel bir sistemdir. Sistemi oluşturan terim-ler anlamsız birer simge, ilişkileri dile getiren ifadeler içe-rikten yoksun birer önerme kalıbıdırlar. Formalistler ma-tematiği, aritmetik ve mantık aksiyomlarıyla sınırlayarak tutarlılık ve tamlık özelliğine sahip simgesel bir sisteme dönüştürmeye çalışmışlardır. Bu görüşü savunanların başında Hilbert gelmektedir.

Sezgi, matematikçinin formül, sembol veya ispat kullan-madan bir problemin çözümünü ve bir teoremin doğru-luğunu görebilmesi, hissedebilmesidir. Sezgiciler de mantıkçılar ve formalistler gibi matematikte kesinlik arar. Onlar matematiksel kesinliği, insanın matematiksel tü-mevarım yeteneğine bağlamaktadır. Bildiğimiz en meş-hur sezgiciler Brouwer ile Poincare’dir.

Yarı Deneyselciler

Lakatos’a göre, matematik felsefesi tarih, yöntem ve yanlışlanabilir bilgi kuramı boyutlarında ele alınmalıdır. Sosyal ve kültürel bir ürün olması nedeniyle matematik-çiler yanılabilir ve ürünleri de mükemmel olmayabilir. Yarı deneyselci yaklaşım yanlışlanabilirlik kavramına vurgu yapar ve bu sistemde kuramlar ispatlanmaz, açıklanır ve doğrulukları onaylanır. Onlara göre, matematiksel doğru-lar her zaman yanlışlanabilirlik aşamasında kalmaktadır ve sürekli gelişmeye ve değişmeye açıktır, dinamik bir yapıya sahiptir.

Mutlakçılardan ve yarı deneyselcilerden farklı olarak ge-lenekselcilere göre, matematiğin bilgileri ve doğrulukla-rı, dilbilim geleneklerinden etkilenir ve onlar tarafından şekillenir. Wittgenstein’a göre, matematiksel ve mantık-sal doğrular, dilin kabul edilen kurallarına ve gramerine bağlıysa ve bu durumda doğrular dilin kurallarını ve gra-merini bozuyorsa yanlışlanabilirlikleri söz konusudur.

Örnek

Matematiği soyut nesne ve ilişkiler olarak ele alan ve sistemi oluşturan terimleri anlamsız birer simge, ilişkileri dile getiren ifadeleri içerikten yoksun birer önerme kalıbı olarak görenler hangi yaklaşımın savunucularıdır?

A) Sezgici yaklaşım

B) Deneyselci yaklaşım

C) Mutlakçı yaklaşım

D) Formalist yaklaşım

E) Mantıkçı yaklaşım

Çözüm

Formalist yaklaşımı savunanlar, matematiği soyut nes-ne ve ilişkileri konu alan bir sistem olarak görmektedirler.

Cevap D

Matematiği kendi içinde farklı açılardan sınıflandırmak mümkündür. Teorik-uygulamalı matematik, klasik-mo-dern matematik, akademik-okul matematiği gibi.

Teorik-Uygulamalı Matematik

Matematiğin güzellik ve zihni uyandırması boyutuyla teo-rik (pür) matematikçiler ilgilenmektedir. Onlar için önemli olan yapılanın estetik olması ve bu durumun kişiyi en-telektüel doyuma ulaştırmasıdır. Hardy’nin dediği gibi, "Teorik matematikçinin üzerinde uğraştığı sorunların, problemlerin uygulama alanı bulması, işe yaraması veya faydalı olması gibi bir endişesi yoktur."

Teorik matematikçilerin ortaya koyduğu matematiksel bilgilerin diğer bilim dallarında ve günlük yaşamda nasıl kullanılabileceğini araştırmak ise uygulamalı matema-tikçilerin işidir. Biliyoruz ki çoğu teorik matematik ürünü daha sonraları pratik uygulama alanı bulmuştur.

Klasik-Modern Matematik

Klasik matematik daha çok aritmetik ağırlıklı, cebirsel iş-lemlerin yürütülerek problemlerin çözüldüğü ve Euclid’in tanımladığı geometrik nesnelerin üzerine kurulan bir ge-ometrinin ele alındığı matematiktir.

1960’lı yıllarda ABD’de başlatılan eğitim reformlarının sonucunda modern matematik kavramı ortaya çıkmıştır. Modern matematik, küme ve grup kavramlarını kullanarak matematiksel yapıları yeniden tanımlamaktadır. Modern matematik ile birlikte, belli semboller ve formüller kullanı-larak yapılan soyutlamalar ve birbirinden bağımsız gibi gö-rünen işlem ve algoritmalar kendi içinde tutarlı ve bağlan-tılı hâle gelmiştir. Modern matematik müfredatı ülkemizde 1970’li yılların başında uygulanmaya başlanmıştır.

Akademik-Okul Matematiği

Akademik matematik, teorik matematikçilerin uğraştığı ma-tematik olarak tanımlanabilir. Akademik matematiğin ama-cı, matematiğin ulaşmış olduğu birikimi kullanarak teorik ve pratik alanda matematiğe bilimsel katkıda bulunmaktır.

Okul matematiği “Toplum için nasıl bir insan yetiştirmek istiyoruz?” sorusuna cevap ararken matematik ile ilgili “Ne öğretelim?” ve “Nasıl öğretelim?” konusu ile ilgilenir. Akademik matematik ürünü bilgilerin genç nesillere akta-rılması, okul matematiğinin işidir.

Okullarda öğretilen matematiğin amacı her düzeyde bazı farklılıklar göstermektedir. İlköğretim ve ortaöğretim düze-yinde okul matematiğinin amacı, öğrenciye istenilen ma-tematik kültürü vermek ve temel matematiksel beceriler yanında matematiksel düşünme yeteneğini geliştirmektir. Yükseköğretim düzeyindeki okul matematiğinin amacı ise öğrenim görülen alana göre farklılaşmaktadır. Örneğin, Fen Fakültesi Matematik bölümünde okutulan matema-

Öabt lİse matematİk konu set... · komisyon Öabt lise matematik analiz diferansiyel denklemler...

Documents