320

AC ВN,

AC SN АBC ВNS ,

NM NKна

клон

ная

накл

онна

я

OO

SS

BBAA

CC

KKпроекцияпроекция

1010

Угол между наклонной и плоскостью равен углу между наклонной и ее проекцией. N N M ?

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC сторона основания равна 6 , а боковое ребро равно 10. Найдите угол между плоскостью ABC прямой MN , где N – середина ребра AC , а точка M делит ребро BS так, что BM : MS = 2 :1.

3

1010

3366

22 части

части

1 1 часть

часть3

10 Докажем, что плоскости ABC и SBN перпендикулярны.

AC BNS,

MK BNСтроим

M K

AC AC перпендикулярна к двум перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим пересекающимся прямым, лежащим в плоскости в плоскости BNSBNS, значит, , значит, ACAC перпендикулярна плоскости перпендикулярна плоскости BNS.BNS.

NN

MM

3333

9

;81

;27108

;3336

;

:

2

222

222

BN

BN

BN

BN

NCBNBC

BNCИз

О – точка пересечения медиан. Применим свойство медиан: медианы треугольника пересекаются в отношении 2 к 1, считая от вершины BO : ON = 2 : 1. Вся медиана BN – это 3 части.NО = 9 : 3 = 3 (это 1 часть)ВО = 9 : 3 * 2 = 6 (это 2 части)

33 66

11частьчасть22 части

части

2244

Плоскость АПлоскость АBC BC проходит через проходит через перпендикуляр перпендикуляр ACAC к плоскости В к плоскости ВNSNS.. Значит, плоскости перпендикулярныЗначит, плоскости перпендикулярныBN BN –– линия пересечения плоскостейлиния пересечения плоскостей

ВО = 6 – это составляет 3 части.КО = 6 : 3 = 2 (это 1 часть)ВК = 6 : 3 * 2 = 4 (это 2 части)

BS = 10 – это составляет 3 части.

SM = 10 : 3 = (это 1 часть)

MB = 10 : 3 * 2 = (это 2 части) 3

10

320

Тогда по теореме Фалеса: если SM : MB = 1 : 2, тогда OK : KB = 1 : 2.

MK BN SO BN SO II MK

320

OO

SS

BBAA

CC

KK

1010

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC сторона основания равна 6 , а боковое ребро равно 10. Найдите угол между плоскостью ABC прямой MN , где N – середина ребра AC , а точка M делит ребро BS так, что BM : MS = 2 :1.

3

1010

3366

22 части

части

1 1 часть

часть3

10

NN

MM

3333

33 6611частьчасть

22 частичасти

2244

33

3

16

;9

256

;169

400

;43

20

;

:

2

222

222

MK

MK

MK

MK

BKMKMB

MBKИз

316

15

16

;5:3

16

;

tg

tg

NK

MKtg

MKNИз

Мы знаем катеты треугольникаМы знаем катеты треугольника KMN KMN, , значит, вычислим отношение тангенс: значит, вычислим отношение тангенс: отношение противолежащего катета к отношение противолежащего катета к прилежащему катету. прилежащему катету.

.15

16arctg