academia auge aritmÉtica teoria... · 2020. 8. 22. · con símbolos que indiquen superioridad y...

ACADEMIA AUGE ARITMÉTICA

http://www.academiaauge.com CUESTIONARIO DESARROLLADO



OBJETIVOS: • Establecer correctamente la noción de conjunto y su notación.

• Utilizar adecuadamente los símbolos de pertenencia e inclusión y representar los conjuntos adecuadamente.

• Reconocer los conjuntos especiales y determinar su correspondiente cardinal.

• Resolver problemas utilizando los Diagramas de Veen-Euler y Lewis Carroll.

Noción de Conjunto Concepto no definido del cual se tiene una idea subjetiva y se le asocian

ciertos sinónimos tales como colección, agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos denominados

“integrantes” u elementos susceptibles de ser comparados.

Ejemplos:

• Los días de la semana • Los países del continente

americano. • Los jugadores de un equipo de

fútbol.

Notación Generalmente se denota a un conjunto

con símbolos que indiquen superioridad y a sus integrantes u elementos mediante variables o letras minúsculas separadas

por comas y encerrados con llaves.

Ejemplo: A = los días de la semana

B = a, e, i, o, u

Relación de Pertenencia () Se establece esta relación sólo de

“integrante” a conjunto y expresa si el integrante indicado forma parte o no del

conjunto considerado.

“....pertenece a .....” :

“... no pertenece a ..”:

Esto quiere decir que dado un “integrante u elemento” y un conjunto Integrante conjunto

u elemento

Ejemplo: C = 1,2, 1,2, 5, 16

• 2 C

• 8 C

• 1,2 C

• 5 C

incorrecto

Determinación de un Conjunto Consiste en precisar correctamente que “elementos” forman parte del conjunto.

Puede hacerse de 2 formas:

a) Por Extensión o forma tabular. Cuando se indica generalmente a

todos y cada uno de los integrantes

Ejemplo: A = a, e, i, o, u

C = 2,4,6,8

Es evidente que el orden en el cual son listados los “elementos” del conjunto no afecta el hecho de

que pertenece a él.

De este modo en el conjunto A = a,e,i,o,u = a,o,u,i,e

No todos los conjuntos pueden ser

expresados por extensión, entonces se recurre a otra forma

de determinación.

b) Por Comprensión o forma constructiva

Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal

manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al

conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada.

Esquema / (se lee “tal que”)

A = ..........................

Regla de Restricción Correspondencia y/o característica o forma general (propiedad común) del elemento

B = n/n es una vocal

C = n²-1 / n ZZ ,1 n 7

CONJUNTOS NUMERICOS 1. Conjunto de los números

naturales IN = 1,2,3,4.... EJM 17 IN

IN O = IN* = 0,1,2,3,....

Observación Cero (0) es natural

2. Conjunto de los Números Enteros

ZZ = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

8

3 ZZ , - 24 ZZ

3. Conjunto de los Números

Racionales

Q = a/b / a ZZ b ZZ b 0

3 Q porque : 3 = 1

3

0,5 Q porque 0,5 = 10

5

0,333... Q porque 0,333... = 3

1

= 3,141592... Q porque b

a

Aplicación I

Dado el conjunto B = 1, , , 2 1, 1,2,3

Indicar que proposiciones son

verdaderas o falsas * B * 1 B

* 1 B * 3 B

* 1,2 B * B

Aplicación II

Determinar por extensión y comprensión los siguientes conjuntos

P = 2, 6, 12, 20,..., 10100

Q = 3x+1/x ZZ - 3 < x < 3

Cardinal de un Conjunto Se llama Número Cardinal de un

conjunto A a la clase de los conjuntos coordinables con A (es decir el número cardinal es una

clase de equivalencia). Vulgarmente se acostumbra a

señalar que el número cardinal, es el número de elementos del conjunto A y se denota como n (A)

ó card (A)

Ejemplo: A = 3, 6, 9, 12, 15 entonces n (A) = 5

P = 2,2,3,3,3,5,7 entonces n (P) = 4

Número Ordinal

Teniendo en cuenta una

disposición de los elementos dentro del conjunto del cual

forman parte, cada uno determina su número ordinal como el lugar que ocupa en el orden establecido.

Notación:

Ord (x) : número ordinal de x S = 7, a, , 13 → ord (a) = 2,

ord () = 3

Cuantificadores

a) Universal: Se denota por “” y se

lee “para todo” o “para cualquier”

Si P(x) es una función proposicional, , “ x A; P(x)” es

una proposición que será

verdadera cuando para todos los valores de x a se cumpla P(x)

Ejemplo: Si A = 2,4,6,8

P(x) = x es un número par P(y) = 3y – 2 > 4 Luego x A: x es un par (V)

y A: 3y – 2>4 (F)

b. Existencial. Se denota por “” y

se lee “existe por lo menos un” Si P(x) es una función proposicional,



“ x A/P(x)” es una proposición

que será verdadera si existe por lo

menos un elemento de A, que cumple P (x)

Ejemplo Si: B = 7,5,4,1

P(x) = x es un número impar P(y) = (y-4)² = 4 Luego:

x B/x es impar (V)

y B/(y-4)² = 4 (F)

Negación de los Cuantificadores

(xA : P(x)) x A/ P(x)

(xA / P(x)) x A: P(x)

Diagramas de Venn – Euler Es la representación geométrica de un

conjunto mediante una región de plano limitado por una figura geométrica

cerrada en cuyo interior se indican los “elementos” que forman el conjunto

Ejemplo: A a,b,c,d,e

A

. a . b . c . d . e

Diagrama (Lewis – Carroll) Su verdadero nombre es Charles-Dogston autor de “Alicia en el país de

las Maravillas” utilizando un lenguaje lógico – matemático utiliza el Diagrama

en conjuntos disjuntos haciendo partición del universo.

Ejemplo:

H : Hombres M : Mujeres S : Solteros

C : Casados F : Fuman

Diagrama Lineal – Hasse Utiliza segmentos de línea y es utilizado en conjuntos transfinitos

e infinitos

Ejemplo:

Diagrama Lineal Diagrama Hasse Relación de Inclusión ()

Subconjunto Conjunto

Conjunto Conjunto

Se dice que un conjunto está incluido en un segundo conjunto, cuando todos los “elementos” del

primero forman parte del segundo conjunto.

: “incluido o contenido”

A B: “A esta contenido en B”

“A es subconjunto en B” “B contiene a A”

A B x A : x A → x B

Observación:

El vacío está incluído en cualquier conjunto.

H M

S

C

F

C

IR

Q Q́

ZZ

IN

P

C

IR

Q Q́

ZZ

IN

P

IIm

A

B

IIm

Conjuntos comparables Se dice que dos conjuntos son

comparables cuando por lo menos uno de ellos está incluido en el

otro.

A B (A B A B) v (B A B A)

Ejemplo: Dados los conjuntos: A = 3,5 B = 1,2,3,4,5,6,7

C = 2,4,6,7 D = 4,7

Son conjuntos comparables: A y B

B y C; B y D; C y D

Conjuntos Iguales Se dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los

mismos “elementos”.

A = B A B B A

Ejemplo:

A = 3n + 2/n ZZ, 1 n 4

B = 5,14,8,11

Se observa A = B

Aplicación

Dados los conjuntos A y B guales y C y D iguales donde A = a+2, a+1 C = b+1, c+1

B = 7-a, 8-a D = b+2, 4

Hallar: a+b+c

Conjuntos Disjuntos o Ajenos Dos conjuntos se denominan

disjuntos cuando no poseen ningún elemento en común Ejemplo:

C = x / x es un hombre

D = x / x es una mujer

C y D son disjuntos

- Si dos conjuntos son disjuntos ambos serán diferentes.

- Si dos conjuntos son diferentes entonces no siempre serán disjuntos.

Ejemplo: E = 5,2,a,b , F = 4,3,c,d

E y F son disjuntos → E F

G = 1,3,c,d,7, H = 2,8,e,f,c

G H pero G y H no son disjuntos

Conjuntos Coordinables o

Equipotentes Dos conjuntos serán coordinables cuando se pueda establecer una correspondencia uno a uno entre

todos y cada uno de los elementos del primer conjunto con los del

segundo conjunto. A dicha correspondencia se le denomina

biunívoca y como consecuencia de estos se tiene que las cardinales de estos conjuntos son iguales (si

son finitos). Ejemplo

A = Lima, Caracas, Bogota, Santiago

B = Perú, Venezuela, Colombia, Chile

Se observa que es posible establecer la correspondencia biunívoca:

“.... es capital de ....” De ahí que A y B son coordinables,

luego: n (A) = n (B)

Clases de Conjuntos Los conjuntos se clasifican

teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen

según esto tenemos: Finito: Si posee una cantidad

limitada de “elementos” es decir el proceso de contar sus diferentes

elementos termina en algún momento.

Ejemplo: N = 3n + 2 / n ZZ 1 n 4

N es finito pues n (N) =4

P = x/x es un día de la semana

P es finito pues n (U) = 7

Infinito: Si posee una cantidad ilimitada de “elementos”. Ejm: M = x/x Q 1 < x 2

M es infinito pues n (M) = ...?

Conjuntos Especiales

1. Vacío o Nulo. Es aquel conjunto que carece de “elementos”.

Notación ; .

Ejm.: A = x/o < x < 5 x² = 100 = =

* A : A

*

*

2. Unitario o Singleton (singular) Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. B = x/x > 0 x² = 9 = 3

Aplicación: Si los siguientes

conjuntos son unitarios e iguales, calcule a + b + c. A = (2a + b); c

B = (2c - 7); (5b + 2)

3. Universal: Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a

todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal

absoluto y se le denota generalmente por U.

Ejemplo: A = 2,6,10,12

B = x+3/x es impar 0

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Unión (U): La unión de 2 o más conjuntos es aquel conjunto conformado

por la agrupación de todos los elementos de los conjuntos que intervienen. A U B = x/x A x B

Ejemplo: A = 2,3,5, B = 1,7,5

A U B = 2,3,5,1,7

Si: A B → A U B = B

Intersección () La intersección de los

conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a “A” y “B” a la vez.

A B = x/x A x B

Ejemplo: A = 2,3,4,5,6

B = 4,6,7,9

A B = 4,6

Si A B → A B = A

Si A y B son disjuntos, A B =

Diferencia (-) El conjunto diferencia (A-

B) es aquel que esta formado únicamente por los elementos que

pertenecen a A pero no pertenecen a B.

A – B = x/x A x B

Ejemplo A = 2,4,5,6,7,8

B = 1,3,6,7,9

A – B = 2,4,5,8

B – A = 1,3,9

Si A B → A B = B – A

Si A y B disjuntos, A B = A U B

Diferencia Simétrica

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o B

pero no a ambos.

A B = x/x (A U B) x (A B)

Ejemplo: A = 8,7,6,5,4,2

B = 9,7,6,3,1

A B = 2,4,5,8,1,3,9

Si A B → A B = B – A

Si A y B disjuntos, A B = A U B

Complemento de A (CA, Ac, A , A´) El complemento de A es el conjunto formado por los elementos que

pertenecen al conjunto universal U pero no al conjunto A.

Ac = A´ = x/x U x A = U –A

Ejemplo U = x/x IN , x < 8

A = 1,3,4

Ac = 0,2,5,6,7

Conjunto Producto o Producto

Cartesiano (X) Dados dos conjuntos A y B se define el

conjunto producto como:

A x B = (a,b)/a A b B

Leyes del Algebra de Conjuntos 1. Idempotencia

A U A = A

A A = A

2. Conmutativa A U B = B U A

U

A B

A B

A B



A B = B A

3. Asociativa (A U B) UC = A U (B U C) (A B) C = A (B C)

4. Distributiva

A U (B C) = (A U B) (A U C)

A (B U C) = (A B) U (A C)

5. De Morgán (A U B)´ = A´ B´

(A B)´ = A´ U B´

6. Del Complemento

A U A´ = U

A A´ =

(A´)´ = A

7. De la Unidad A U = U A U = A

A = A A =

8. De Absorción

A U (A B) = A

A (A U B) = A

A U (A´ B) = A U B

A (A´ U B) = A B

9. Diferencia

A – B = A B´

10. Adicional

(U)´ =

()´ = U

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Dados los conjuntos unitarios A = 90, a.b

B = a+b, 23

Hallar la diferencia entre a y b

Resolución Dados que los conjuntos A y B

Son unitarios se debe cumplir: A = 90, a.b a.b = 90 ....(1)

B = 23, a+b a+b = 23 ...(2)

Resolviendo: a = 18 ; b = 5 ; a – b = 3

2. Hallar el cardinal de A si

A = 0,1,1,2,3,5,8,.... 55

Resolución

Observamos en los elementos del conjunto A Se verificará la suma de 2

términos consecutivos da como resultado el tercer término.

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 n (A) = 10

3. Dado el conjunto A = 5,3 3, 7, 9,11, 14

¿Cuántas proposiciones son

verdaderas? I. 5 A IV. 3 A

II. 3 A V. 9,11 A

III. 7,14 A VI. A

Resolución

I. 5 a (V)

II. 3 = A (V)

III. 7,14 A (F) ya que la

relación se da sólo entre

integrante (singular y su

conjunto) IV. 3 A (V)

V. 9,11 A (F)

Puesto que 9,11 es un

integrante para A y la relación integrante conjunto

se da solo en pertenencia VI. A (V)

Puesto que el conjunto vacío

está incluido en cualquier conjunto

4. Si A = B

Calcular ab A = 3a-8, 44

B = 10, ba - 20

Resolución

Si A = B 3a – 8, 44 = 10, ba - 20

3a – 8 = 10 → 3a = 18 → a = 6

44 = ba – 20 → ba = 64

Reemplazando: b6 = 64 =26 a = 6 b = 2

ab = 6² = 36 Rpta.

5. ¿Cuántos subconjuntos propios

tiene el conjunto M? M = x/x ZZ ; -7 < 4 x + 1 < 21

Resolución -7 < 4x + 1 < 21

-8 < 4x < 20

-2 < x < 5 → x = -1, 0, 1, 2, 3, 4

M = -1,0,1,2,3,4 → n (M) = 6

Nº sub conjuntos = 2n(M)–1 = 26-1 = 63 Rpta.

propios de

M 6. Indicar el cardinal del conjunto

+

= + 17x,3

1x/xR Zε

Resolución Para calcular el cardinal del conjunto

R. Habrá que saber cuantos valores

toma x de acuerdo a las restricciones

dadas en el conjunto R.

Para x < 17 y que verifique que

++ Zε 3

1x entonces x = 2, 11

solamente Luego R = 2,11 → n(R) = 2 Rpta.

7. Dados el conjunto A = a a,

, cuántas de las siguientes

proposiciones son verdaderas. I. a A a A

II. a A a A

III. A A

IV. A A

V. a, A a, A

Resolución

I. a A a A ; pq (V)

P q VV

II. a A a A ; pq (F)

P q VF

III. A A ; pq (F)

P q VF

IV. A A ; pq (V)

P q VV

V. a, A a, A pq (V)

VV

Rpta. 3 son verdaderas

8. En un salón de clase de 100

alumnos, hay diez hombres provincianos, hay 40 mujeres

limeñas y el número de mujeres provincianas excede en 10 a número de hombre limeños.

¿Cuántos hombre hay en el

aula?

Resolución

Utilizando diagrama CARROLL

Provincianos Limeños

10 X Hombres

X+10 40 Mujeres

U: 100

Del Total

10 + x + x +10 + 40 = 100 2x+60 = 100 → x = 20

nº hombres = 10 + x = 30 Rpta



9. Un conjunto tiene 1024 subconjunto en total. ¿Cuántos

subconjuntos de 6 elementos tendrá?

Resolución

Sabemos que:

Nº subconjuntos de A = 2n(A)

Por datos: 1024 = 2n(A)

210 = 2n(A) entonces n (A) = 10

Nº Subconjuntos

de 6 elementos

!6!4

!10

!6)!610(

!10C106 =

−=

)A(n

6C



OBJETIVOS: • Realizar correctamente operaciones entre conjuntos

• Utilizar de manera eficaz las leyes del álgebra de conjuntos. • Resolver problemas utilizando los diagramas de Veen-Eulery Lewis Carroll.

Operaciones con Conjuntos

I. Unión o Reunión La unión de dos conjuntos “A” y

“B” es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos

de “A” con todos los elementos de “B”.

Notación A B, (A B)

Simbólicamente se define

A B = x/x A v x B

Posiciones relativas para 2 conjuntos A y B

→ A B

Observación: Si B A → A B = A

Propiedades:

• A B = B A (Conmutativa)

• A (B C) = (A B) C

(Asociativa) • A A = A (Idempotencia)

• A U = U

• A = A (Elemento Neutro)

II. Intersección La intersección de 2 conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los

dos conjuntos a la vez.

Notación: A B, (A B)

Simbólicamente se define: A B = x/x A x B

Observación: equivale y:

Intersección

Posiciones relativas para 2

conjuntos “A” y “B”

A B =

A B

Observación:

* Si B A → A B = B

* Si A y B son conjuntos disjuntos →

A B =

U

A B

B

A

U

A B

U

A B

U

B

A

U

A B

U



Propiedades: • A B = B A (Conmutativa)

• A (B C) = (A B) C

(Asociativa) • A A = A (Idempotencia)

• A U = A

• A = (Elemento Neutro)

Propiedades Complementarias Distributiva

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

Absorción

A (A B) = A

A (A B) = A

A (A´ B) = A B

A (A´ B) = A B

(A B) C A C y B C

Si: A B y C D (A C) (B D)

III. Diferencia La diferencia de 2 conjuntos A y B

(en ese orden) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” pero no a “B”

Notación: A – B

Se lee: “A pero no B” (solo A) Simbólicamente A – B x/x A x B

Observación: Si A B → A – B B – A

Si A = B → A – B = B – A =

Posiciones Relativas para 2 conjuntos A y B

→ A – B

Observación: • Si B A → B – A =

• Si A y B son disjuntos

A – B = A ; B – A = B

Ejm: A = 2,3,4 A – B = 2

B = 3,4,5,6 B – A = 5,6

IV. Diferencia Simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los

elementos a “A” o “B” pero no a ambos. Notación: A B

Simbólicamente se define:

A B = x/x (A - B) X (B - A)

ó

A B = x/x A X B X A B

Observación:

Si B A → A B = A – B

Si A y B son conjuntos disjuntos A B = A B

Propiedades

• A B = (A - B) (B - A)

• A B = (A B) - (A B)

• A A =

• A = A

Ejm: A = 2,3,4

B = 4,5,3 A B = 2,5

V. Complemento El complemento de A es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal U pero

no a “A”.

Notación: A´, A , Ac, C A Simbólicamente: A´ = x/x U x A = U – A

Diagrama

A B

B

A

U

A B

U A A´´



Observación:

C AB = B – A

Propiedades

1. (A´)´ = A Involución

2. ´ = U

U´ =

3. A – B = A B´

4. A A´ = U

A A´ =

5. Leyes de Morgan

(A B)´ = A´ B´

(A B)´ = A´ B´

6. Caso particular de la Absorción

A´ (A B) = A´ B

A´ (A B) = A´ B

Observación 1. n () = 0

2. n(AB) = n(A) + n(B)–n(AB)

3. Si A y B son conjuntos disjuntos n(AB) = n(A)+ n(B)

4. n (A B C) = n(A) + n(B)+

n(C)–n(A B)–n(A C)–n(BC)

+ n(A B C)

Par Ordenado Es un conjunto que tiene dos elementos (no necesariamente diferentes), en la

cual interesa el ordenamiento de estos elementos llamados también

componentes (a, b) Segunda Componente

Primera Componente

Propiedad: Dos pares ordenados son iguales si y

solo si sus respectivos elementos son iguales.

Es decir:

(a,b) = (c,d) a = c b = d

Ejemplo: Aplicación Si (x + y, 13) = (31, x-y)

Hallar: y

x

Resolución Si (x + y; 13) = (31; x - y)

x + y = 31 x – y = 13

x = 222

1331=

+

y = 92

1331=

−

Luego: 9

22

y

x= Rpta.

Producto Cartesiano Dados 2 conjuntos A y B no nulos se denomina producto cartesiano de A y B

(A x B) en ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados

(a,b) tal que las primeras componentes pertenecen al conjunto a y las segundas componentes al conjunto B.

A x B = a,b/a A b B

Ejemplo: Dados los conjuntos A y B

A = a, b

B = c,d

Forma Tabular:

B A

c d

A B

a b

a (a,c) (a,d) c (c,a) (c,b)

b (b,c) (b,d) d (d,a) (d,b)

A x B = (a,c), (a,d), (b,c), (b,d)

B x A = (c,a), (c,b), (d,a), (d,b)



Observamos que: 1. A x B B x A en general

2. A x B = B x A A = B

3. n (A x B) = n (A) x n (B) A y B son conjuntos finitos

4. n AxB–BxA=n AxB-nAxBBx A

Propiedades a. A x (B C) = (A x B) (A x C)

b. A x (B C) = (A x B) (A x C)

c. A x (B - C) = (A x B) - (A x C) d. Si: A B A x C B x C , C

e. Si: A B y C D

Interpretación de Regiones Sombreadas

“Sólo A”, “exclusivamente A”

o “únicamente A”. (A - B)

“Ocurre A o B”; A B

“Al menos uno de ellos” o “Por lo menos uno de ellos”

A B, “ocurre A y B”

“Ocurre ambos sucesos a la vez”

“Tanto A como B”

“Ocurre solo uno de ellos” “Únicamente uno de ellos”

“Exactamente uno de ellos”

“Ocurre exactamente dos de ellos” “Sucede únicamente dos de ellos”

(B C) – A

(ocurre B o C pero no A)

A B

A B

A B

A B

C

A B

C

A B

C



PROBLEMAS RESUELTOS

1. Dados los conjuntos A = 6,2, y

B = , , 2, 6

Hallar P(A) B

Resolución Como A = 6,2,

P (A) = 6, 2,

6,2,6,,2,

A,

Además B = , , 2, 6

Luego: P(A) B = , 2, 6 Rpta.

2. Dado el conjunto A

A = 1,2,2, 1,2

Indicar el valor de verdad de las

siguientes afirmaciones I. 1,2 A

II. 1,2 P (P(A))

III. , 2 P (A)

a) VVV b) VFV c) VFF

d) FVV e) VVF Resolución Analizando cada caso

I. 1,2 A

1 A 2 A = Verdadero

V V II. 1,2 P(P(A))

1,2 P(A)

1, 2 P(A)

1, 2 P(A)

1, 2 A

1 A 2 A = Verdadero

V V

III. , 2 P(A)

, 2 A

A 2 A Falso Rpta. E

F V

3. De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de Aritmética, 53 no llevan álgebra y 27 no

llevan álgebra ni aritmética. ¿Cuántos alumnos llevan uno de

los cursos?

a) 56 b) 54 c) 52 d) 50 e) 48

Resolución Sea A : Aritmética X : Algebra

n(A´) = 49 → n (A) = 100 – 49 = 51

n(X´) = 53 → n (B) = 100 – 53 = 47

Gráficamente

Llevan un solo curso

Por dato:

c + 27 = 49 → c = 22

a + 27 = 53 → a = 26

Luego a + c = 48 Rpta. E

4. Durante un examen se observó en

un aula que 15 alumnos miraban al techo y no usaban lentes, 10 usaban lentes y resolvían el

examen. El número de alumnos que usaban lentes y miraban al

techo era el doble de los que resolvían el examen y no usaban lentes. Si en el salón había 85

alumnos. ¿Cuántos resolvían su examen? (considere que los que

no resolvían su examen miraban al techo)

a) 20 b) 25 c) 24 d) 30 e) 36

Resolución: Gráficamente:

En total:

3a + 25 = 85 3a = 60

a = 20 Resuelven el examen 30 Rpta. D

A (51) x (47)

27

a b c

10 2a

lentes

a

15

Resuelven examen Miran al techo

5. Dados los conjuntos A, B y C

A = 1,2,3,4,5,6,....,21,22

B = x A / x es un número primo

C = x A/ x es un número impar

Y las proposiciones:

I. B C = 1,2,9,15,21

II (B C) tiene “7 elementos”

III n (C – B) – n (B - C) = 2

IV. n A – (B C) = 9

Son verdaderas: a) I, II y III b) I, III, IV c) II, III y IV d) I, II y IV

e) I y II

Resolución A = 1,2,3,4,5,6,....,21,22

B = 2,3,5,7,11,13,17,19

C = 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21

Graficando

A

Luego: I. B C = 1,2,9,15,21 (V)

II n(B C) = 7 (V)

III. n (C - B) – n (B - c) = 2 4 1 = 3 (F)

IV. n(A – (B - C)) = 9 (F)

n(A – (B C)) = 10 Rpta. E

6. Si A = x es impar /6 < x 11

B =

−

7n0/Z2

1n3

Calcular n P(A x B) – (B x A)

a) 220 b) 222 c) 224

d) 226 e) 228

Resolución: A = 7,9,11

B =

−

−−

102

1n3

2

1/Z

2

1n3

B = 0,1,2,3,....,9

nAxB – BxA = nAxB - n AxB B x A

nAxB – BxA = 3 x 10 – 2 x 2 = 26

nPAxB – BxA = 226

7. De 308 personas interrogadas, se

determinó que el número de los que leen solamente “EL AMAUTA”

y “EL VOCERO” es:

* 3

1 de los que leen solo “EL AMAUTA”

* 4

1de los que leen solo “EL MERCURIO”

* 7

1 de los que leen solo “EL VOCERO”

* 3

1 de los que leen “EL AMAUTA” y “EL

VOCERO”

* 6

1 de los que leen “EL VOCERO” y el

“MERCURIO” solamente.

* 12

1 de los que leen “EL AMAUTA” o “EL

MERCURIO” pero no “EL VOCERO”

Si todas las personas interrogadas leen al menos uno de estos

diarios. ¿Cuántas de estas personas leen o bien “EL AMAUTA” o bien “EL VOCERO”?

a) 110 b) 121 c) 132 d) 99 e) 120

Resolución: Gráficamente:

B C

.3

.5.7.11 13.17

.19

.2

.1

.21

.9

.15

.20

.18

.16

.14

.8 .10 .12

.22

.4 .6

A V

M

308

7a 3a a

4a

6a 5a 2a



28a = 308 a = 11

11

Nos piden 3a + 7a = 10a = 110

Rpta. A

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Si: A = 5,6,5,6,8

¿Cuántas proposiciones son verdaderas?

- 5 A - 6 A

- 6 A - 7 A

- 5 A - 6 A

- 5,6 A - 6,8 A

- 8 A - A

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Todas

2. Dados los conjuntos: A = 1,2, 1,2,3

B = 2,1, 1,3,3

Hallar el conjunto: [(A-B) B] (B-A)

a) 1 b) 3 c) 1,3

d) 2,3 e) 1,2,3

3. De un grupo de 100 estudiantes se

obtuvo la siguiente información: 28 estudian Inglés; 30 estudian

alemán, 42 estudian francés; 8 inglés y alemán; 10 inglés y

francés: 5 alemán y francés; 3 los tres idiomas. ¿Cuántos estudiantes no estudian ningún

idioma? a) 15 b) 25 c) 10 d) 30 e) 20

4. Una persona come pan con

mantequilla o mermelada cada

mañana durante el mes de febrero; si 22 días comió pan con

mermelada y 12 días con mantequilla. ¿Cuántos días comió pan con mermelada y mantequilla?

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 5

5. En una competencia atlética con 12 pruebas participaron 42

atletas, siendo los resultados: 4 conquistaron medalla de oro plata y bronce; 6 de oro y plata, 8 de

plata y bronce; 7 de oro y bronce. ¿Cuántos atletas no conquistaron

medalla? a) 18 b) 20 c) 23 d) 24 e) 25

6. De una reunión de 100 personas

se sabe de ellas que 40 no tienen hijos, 60 son hombres, 10 mujeres están casadas, 25 personas

casadas tienen hijos, hay 5 madres solteras. ¿Cuántos

hombres son padres solteros? a) 30 b) 35 c) 40 d) 20 e) 25

7. ¿Cuántas de las siguientes

proposiciones, para conjunto, son correctas?

* A-B = A B´

* AB = (A B) (A B)

* (AB)´ = A´ B´

* n(A- B) = n(A) -n(B)

* n[(A B)]´ = n()-n(A B)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Para los conjunto A y B se tienen que: A B tiene 128

subconjuntos, A-B tiene 64

subconjuntos y A x B tiene 182 elementos. Determinar el cardinal

de A B.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

9. Durante el mes de febrero, Juan

visitó a su enamorada, fue a la Universidad o trabajo. Si no hubo

día en que se dedicara a sólo dos actividades y además visitó 12 días a su enamorada, fue a la

universidad 18 días y trabajó 20 días ¿Durante cuántos días sólo

trabajó?

a) 1 b) 7 c) 9 d) 11 e) 6



10. Considere 3 conjuntos A,B y C contenidos en U, tales que:

* B A = B

* n(C- A) =50 * n(A C) = 2n(B-C)

* n[(A B)C - C] = n(c) = 90

Hallar: n[U]

a) 120 b) 150 c) 180 d) 200 e) 100

11. En una reunión hay 150 personas.

Un grupo de ellos se retiran con sus respectivas parejas, de los que quedan los 2/9 son mujeres y los

3/14 son varones solteros. ¿Cuántas mujeres asistieron en

total?

a) 28 b) 30 c) 36 d) 40 e) 48

12. En una tienda se observó que el total de personas era 50, de las cuales:

* 6 vendedores usaban bigotes * 4 vendedores usan mandil

* 32 vendedores no usan mandil * 8 personas usan bigotes * 9 personas usan mandil

¿Cuántos no son vendedores, ni usan mandil, ni bigotes?

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

13. Sean los conjuntos:

−+

+= Zx;10x7;Z2

3x/x3xA 4

+−= Zx;5

3

2x02x/x1B 23

Calcular n [P(A B)]

a) 216 b) 29 c) 212

d) 219 e) 221

14. En el distrito de Bellavista – Callao se realizó una encuesta a 140 familias sobre el uso de algunos

de los siguientes artefactos: TV, radio, refrigeradora. Se obtuvo la

siguiente información: 85 familias

tiene por lo menos 2 artefactos y 10 familias no disponen de ningún

artefacto. ¿Cuántas familias tienen exactamente un sólo artefacto? a) 35 b) 40 c) 45 d) 50 e) 55

15. A y B son dos conjuntos tales que:

n(A B) = 12; n(A B) = 7;

n(A) = n(B) + 1; sabiendo que: n(A - B) = n([A B)´ ].

Calcular ¿Cuántos subconjuntos propios tiene A? a) 3 b) 7 c) 15 d) 31 e) 63

16. ¿Cuántos de los 1600 alumnos

están inscritos en teatro pero no en canto, sabiendo que: 600 están inscrito en teatro, 650 en canto,

250 en teatro y baile, 350 en canto y baile, 200 en teatro y

canto; 950 en baile, 150 llevan los 3 cursos? a) 400 b) 450 c) 500

d) 550 e) 600

17. Simplificar la expresión conjuntista: [A (CA)][BC)CA)][B(ABC)]

a) A b) B c) BC d) A BC e) A B

18. En un vagón de tren se realizan una encuesta sobre el uso de

cigarrillos. De los 41 pasajeros, 21 personas están sentadas y hay 16

mujeres en total; de los que fuman 5 hombres están sentados y 2 mujeres están paradas; de los

que no fuman 8 mujeres están sentadas y 10 hombres están

parados. Hallar cuántas mujeres que están paradas no fuman si los que fuman en el total suman 19.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

NUMERACIÓN: Conjunto de reglas y principios que hacen posible la correcta lectura y

escritura de los números.

Numeral: Representación de un número en forma simbólica, jeroglífica, gráfica u

pictográfica. HINDO-ARABIGO:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ROMANO: I,V,X,L,C,M,D BABILONIA: Y = 1 = 10

EGIPCIOS: l=1, = 10, =100 MAYAS: • ••

0 1 2 5 6 10 11

Actualmente: 104n 153,ab3,abc

Ejemplo de numerales 5, IIII, , cinco, five

PRINCIPIOS 1. DEL ORDEN Toda cifra en el numeral tiene un orden,

por convención se enumera de derecha a izquierda.

Ejemplo:

Lugar 1º 2º 3º 4º

Número 1 9 9 9

Orden 4 3 2 1

Ejemplo: 4 8 3 6 orden

1 (unidades)

2 (decenas)

3 (centenas)

4 (millares)

OBSERVACIÓN

Algunos autores consideran a la cifra de

las unidades simples como la cifra de orden cero.

2. DE LA BASE Es un número referencial que nos indica

como se agrupan las unidades de un orden cualquiera para formar la unidad

colectiva del orden inmediato superior. Sea “B” una base

B Z

Base: 2,3,4,5,6...

B > 1 Base 10

Un grupo de 10 Base 5 22(5)

Convención Referencial

(subíndice) Base 4 30(4) no sobra

nada

3 grupo de 4

REGLA DE SIGNOS En una igualdad de 2 numerales a mayor

numeral aparente le corresponde menor base. - +

a1) Ejm: 32(x) = 120(z) + -

Se cumple: Z < x

• •

.....

Sobran

2

12

- +

a2) Ejm: OPTIMUS(E) = INGRESO 99(F)

+ - Se cumple: F < E - +

a3)Ejm: CEPREUNAC(P) =INGRESO2001(F)

+ - Se cumple: F < P 3. DE LAS CIFRAS Las cifras son números naturales inclusive el cero, que siempre son menores que la base en la cual son empleadas o utilizadas.

cifras en base “n” 0, 1,2,3,4, . . .,(n-2),(n-1)

cifra cifras significativas no significativa CIFRA MAXIMA: n-1 CIFRA MINIMA: 0

• El cero no tiene valor por si mismo sino únicamente valor posicional es decir por el orden que ocupa.

• Así pues, cada cifra dentro de un numeral tiene un valor digital o valor absoluto y un valor de posición o valor relativo.

VALOR ABSOLUTO (VA) Es el valor que tiene la cifra por su apariencia o figura. VAPOR RELATIVO (VR) Es el valor que tiene una cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un numeral.

VA(2) = 2 VA(4) = 4

VA(5) = 5 VA(3) = 3

2453 VR(3)=3x1 = 3 unidades VR(5)=5x101=50 unidades=5 decenas VR(4)=4x102=400 unidades=4 centenas VR(2)=2x103=2000 unidades=2 millares

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA Viene a ser la suma de los valores relativos de cada una de sus cifras. 2453 = VR(2)+VR(4)+VR(5)+VR(3) D.P. 3796 = 3x103 + 7x102+9x101+6

abba = ax103+ bx102+bx101+a

nabcd = an3+bn2+cn+d

DESCOMPOSICIÓN POLINOMICA POR

BLOQUES

abab = ab x 102 +ab = 101 ab

abcabc=abc x 103+abc =abc(1001)

103 1

nabab = nab .2n +abn.1 = nab (n2+1)

n2 1

CAMBIOS DE BASE 1) DE BASE N A BASE 10 (N 10)

* Expresar 3576(8) en base 10 Usando Ruffini 3 5 7 6 8 24 232 1912 3 29 239 1918

⎯>35768 = 191810

* Expresar 13234 en base 10 por descomposición polinómica 13234 = 1.43 +3.42+2.41+3 = 123

2) De Base 10 a Base n(n 10) * Expresar 2437 en base 5 Usando División Sucesiva 2437 5 487 5 97 5 19 5

2437 = 34222

2 2

2 4 3

* Expresar 8476 en base 12 Usando división sucesiva 8476 12 706 12 58 12

8476 = 4 4(12)

OBS:

= Diez = 10 = A

= once = 11 = B

= Gamma = 12 = C

NUMERAL CAPICUA Es aquel número que visto y leído de derecha a izquierda y viceversa nos representa el mismo numeral. Ejemplo:

abba,ana A los numerales

,Radar,Somos capicúas que

expresan alguna

oso;reconocer palabra con

sentido se le

denomina

PALINDROMAS

Numeral capicúa de 2 cifra, aa

Numeral capicúa de 3 cifra, aba ,aaa

Numeral capicúa de 4 cifra, abba ,aaa

PROPIEDADES Propiedad (1)

1x)1x()1x(N k

)x(

−=−−=

k cifra

Problema Resueltos 1. Calculo “x” si:

255)1x)(1x)(1x)(1x()x(=−−−−

a) 2 b)3 c)4 d)5 e)6

Resolución

2551x)1x)(1x)(1x)(1x( 4)x(

=−=−−−−

k = 4 cifras x4 = 256 = 28 = (22)4 = 44

x = 4 2. Sabiendo que los numerales están

correctamente escritos

842C , 43a; b5a ; c42b Hallar a+b+c a) 15 b)16 c)17 d)18 e)19

Resolución

43a → 4 < a

b5a → a < b 4 < a < b < c < 8

c42b → b < c

842C → c < 8 5 6 7

a + b + c = 18 Rpta.

Propiedad (2)

a1 = b+Ka

a1

a1

“K numerales”

a1

(b)

3. Si

13 = 2445 13 13

“20 numerales” 13 (x)

Hallar “x”

4

10

4

10

Resolución

Aplicando Propiedad (2) y descomponiendo polinomicamente

x + 20(3) = 2445

5251 x+60=50+20+4 x = 14 Rpta

4. Calcular a+b+n si: + -

n5ab = 74n1

- → +

5 < n < 7

se deduce n = 6

65ab = 1647 65ab

7271

= 49 + 42 + 4 → 65ab = 9510

Por división sucesiva 95 6

15 6 2

2356 = 65ab a=2 b=3

a+b+n = 11 Rpta.

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Si las siguientes numerales

)a()c()4(c2,bb,a está bien

representados. Calcular a + b + c

a) 5 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8

2. Hallar (a + b) si:

221aba )7( =

a) 5 b) 6 c) 4 d) 7 e) 9

3. Si ( ) 1a11a1a1 )4( =+ Hallar a²

a) 9 b) 4 c) 8 d) 16 e) 1

4. Hallar a + b si se cumple:

8aba = 1106n

a) 5 b) 6 c) 4 d) 7 e) 8

5. Al escribir el número 4235 en base 10 obtenemos

a) 103 b) 108 c) 113 d) 118 e) 123

6. Cuántos números enteros son mayores que 234 pero menores

que 326. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

7. Sean los numerales

213(m), )7()p()n( mnp,4n2,m10

Calcular m + n + p

a) 12 b) 14 c) 15 d) 17 e) 18

8. Si 11223 = )n(abcdef

Hallar a + b + c + d + e + f + n

a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e) 2

9. Dado el número

N = )2a(2)1a(a)1a(a)1a( ++++

Calcular: P(a) si P(x) = x² + x + 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7

9. Si bb2

ab)a2(a

)ba(

=

+

Hallar a x b

a) 4 b) 5 c) 12 d) 7 e) 8

10. Si n5 pbo2abc4 =

y 97 bn7bpnb = Calcular a + b + c + n + p

5

3 2



a) 17 b) 18 c) 32 d) 24 e) 16

11. Si se cumple que:

12)1b2(nm)1b2(a)6a)(5a2)(2a( ++=−−+

Calcular L = a + b + m + n

a) 25 b) 27 c) 26 d) 24 e) 28

12. Sabiendo que: 210)m1(14abm ++=

ab

ab

“m” numerales ab

. .

ab (3)

Calcular a + b + m

a) 5 b) 7 c) 8 d) 6 e) 4

13. Si mn bcnaba =

Hallar “c” sabiendo que b > 4,

m



n 1 2 3 4 5 ... 50

f(n) 3 2 5/3 3/2 7/5 ... 26/25

También se dice que en una sucesión es el ordenamiento de

números o cantidad que tienen una regla de formación.

* Serie. Es la suma de los términos de una sucesión

Ejemplo:

P=3+2+5/3+3/2+7/5+...+26/25 * Progresión Aritmética (P.A) de

1º Orden Es una sucesión donde la

diferencia de 2 términos consecutivos es un valor constante llamado razón.

Ejemplo:

P.A. 4,6,8,10,12.......... (CRECIENTE) P.A.: ½,1,3/2,2,5/2,.....(CRECIENTE) P.A.:25,23,21,19 ......(DECRECIENTE)

NOTACION:

P.A.: a1, a2, a3,... an a1 = 1º término an = último término

n : términos

r : razón

En general: an = a1 + (n-1) r

CONTEO DE NUMEROS Fórmula para hallar el número de

términos en una progresión aritmética.

razón

primeroalanterioromintérúltimoomintérºN

−=

Ejemplo: Determinar el número de términos en:

a) 24, 27, 30, ..., 726

→ término = 2353

705

3

21726==

−

2) Cuántos términos tiene la

progresión aritmética

a) 7,9,11,...,421

Rpta. 208 b) 12,17,22,...527 Rpta. 104

Observación

1r

aan 1n +

−=

r

)ra(an 1n

−−=

Dada la P.A. P.A. a1,a2,a3,.....ap,....aq,.......an

p términos q términos

Siempre se cumple:

i) La suma de los términos

equidistantes de los extremos siempre es constante

a1 + an = ap + aq

ii) Término Central (ac)

* Si n es impar

2

1 nc

aaa

+=

* Si n es par y no hay término

central

a1+an = ap + aq

n2

)aa(S n1

+=

SUMA DE UNA PROGRESION ARITMETICA

* Progresión Aritmética 2º Orden

Sea la Sucesión: C → a0, a1, a2, a3, a4,......an

B → b0, b1, b2, b3, ......bn

A → c1, c1, c1, .........c1

Pivot Principal Pivot Secundario



Cn2

ABn

2

AT 2 +

−+

=

S = n31

n

21

n

11 CcCbCa ++

Cantidad de cifras en una serie

natural Dada la sucesión 1,2,3,4,5,....(N-1), N

N numeral de “k” cifras entonces

Nº cifras = (N + 1)k – 111....1

K cifras

Ejemplo:

Cuantas cifras se usan en la numeración

de un libro de 350 hojas. Resolución:

350 hojas = 700 páginas

La numeración es: 1,2,3,4,...,700

Nº cifras = 701 x 3 – 111 = 2103 – 111 Nº cifras = 1992

Ejemplo: Determinar la cantidad de cifras

a) Del 1 al 38 b) Del 1 al 324

c) Del 1 al 3999 Análisis Combinatorio

Se reconoce del siguiente modo: ¿Cuántos numerales de esta forman

existen? a) ¿Cuántos números de 3 cifras

existen?

Sea N = 10

cba a 0

1 0 0

2 1 1 . . .

. . . 9 9 9 9x10x10 = 900 números

b) Cuántos numerales de esta forma existen

( ) ( )192c2

b1b

3

1a2a −

−

+

Rpta. 1026 números

Método Combinatorio a) ¿Cuántos números pares de 3

cifras existen? b) ¿Cuántos números capicúas de 5

cifras tienen un sólo “6” en su

escritura? c) ¿Cuántos números de la forma

)1b)(2b)(3a(a +−+ existen?

Resolución:

a) cba b) abcba

1 0 0 1 0 6

2 1 2 2 1 3 2 4 3 2

. . 6 . . . . 8 . . 9 9 6 6 se excluyen

9.10.5=450 . . . .

. . 9 9 8. 9.1 = 72

c) )1b)(2b)(3a(a +−+

1 2 2 3

3 4 . . . .

. . 6 8

6 x 7 = 42

d) ¿Cuántos números de 3 cifras,

se escriben con un 8, con 9 y algunas otra cifra diferente de

los anteriores?

Resolución:



CASOS 8 9 a 8 a 9 a 8 9 0 0 1 1 1 2

2 2 . . . .

. . . . . . 7 7 7

Permutando 8x 8x 7x 8 y 9 2 2 2

16 16 14 Cantidad de números = 46

PROBLEMAS PARA

RESOLVER EN CLASE

1. Calcular cuantas cifras tiene el

término de lugar 77 de la siguiente progresión

42(6); 45(6); 52(6);........

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

2. ¿Cuántos términos tiene la siguiente secuencia 8(60); 9(59); (58); (57) :.....

a) 17 b) 18 c) 19 d) 25 e) 26

3. Hallar el término de lugar ba de la

siguiente progresión aritmética

5ba;04b;93a;b8a ;......

a) 302 b) 303 c) 352

d) 402 e) 403

4. ¿Cuántos términos tiene la

siguiente progresión aritmética?

9)2n()1n(n )1n(64;.....,88;ba;ab +++

a) 14 b) 18 c) 23 d) 24 e) 72

5. ¿Cuántos términos tiene la

siguiente secuencia?

100111; 111122; 122133; ..,0bb

abba

a) 70 b) 80 c) 90 d) 101 e) 110

6. Si los términos “a” y “a + 1” de

una progresión aritmética son 251

y 259 respectivamente. Hallar la suma del primer y último término

de la serie sabiendo que antes del término del lugar “a” hay 30

términos y después del término de lugar “a+1” hay 45 términos.

a) 330 b) 339 c) 397 d) 630 e) 679

7. En la siguiente sucesión

13x; 24(x+1); 35(x+2);....... Se cumple que la diferencia entre el 18avo y décimo término es 264.

Calcular la suma de cifras correspondientes a la base duodecimal.

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

8. Hallar el máximo valor que puede

tomar el último término de la siguiente progresión aritmética

9554 ......;;)1)(1(;; mnabbaab ++

a) 859 b) 869 c) 879 d) 889 e) N.A.

9. Si la siguiente progresión aritmética

nnnnn ma2,........,0b,7a,5a,3a

Tiene 57 términos. Hallar a+b+m+n

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 25

10. Los siguientes números se llaman “números triangulares”

1;3;6;10; ....... Cuál es el vigésimo número triangular?

a) 180 b)210 c) 215 d) 220 e) 246



11. Determinar el número de términos

de la siguiente progresión 8;18;38;68; ......., 1908

a) 16 b)17 c)18 d)19 e)20

12. Cuando tipos de imprenta se

emplearon para imprimir la siguiente secuencia.

10077; 10078;10079;....;100300

a) 941 cifras b)1321 cifras

c) 1426 cifras d) 1584 cifras

e) 2403 cifras

13. Si se escribe la serie de los

números naturales a partir del 1, sin separar las cifras. ¿Cuál es en

esta serie la cifra que ocupa el 1992º lugar?

a) 0 b)1 c) 2 d) 5 e)6



OBJETIVOS: • Deducir las operaciones de adición y sustracción como una relación binaria. • Establecer Relaciones Binarias con los elementos de dos conjuntos.

• Deducir las propiedades que cumplen los elementos que forman parte de la adición y sustracción.

• Aplicar las propiedades en situaciones concretas.

ADICIÓN

La adición es una operación binaria, la cual es representada mediante la ayuda del símbolo + y asigna a cada pareja de

elementos un tercer número como resultado de la operación.

2 y 3 + 2 + 3

Pareja de Operación Número elementos Asignado como Resultados

Si utilizamos el concepto de par

ordenado podemos expresar la noción anterior de la siguiente forma. 2 , 3 (+) 2 + 3

Par Ordenado Operación

Resultado de adición (Considere el orden)

Sin embargo es usual que la expresemos así:

2 + 3 = 5 1º elemento 2º elemento Resultado

Operador elemento

de la adición Definición:

Dados dos números naturales a y b se llama suma de “a” y “b” y se denota

(a+b) al número natural S tal que a+b=S. Se llama “adición” a la operación que

hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a, b) su suma (a+b).

Ejemplo: 1

8 + 5 = 13 Ejemplo: 2

3 + 5 + 11 = 19

Sumandos Suma

Ejemplo:3 7 + 8 + 12 = 27

Sumandos Suma

Al realizar la operación ADICION de dos o más sumandos se efectúa de la

siguiente forma:

475 + 321 89

885

Los sumandos se colocan uno debajo del otro, haciendo coincidir las cifras de menor orden de cada sumando en una

misma columna. Para hallar el resultado, se suman los

valores de una misma columna de derecha a izquierda, colocando debajo de cada una, la cifra de menor orden del

resultado obtenido y las cifras restantes (si hubiera) se suman a la siguiente

columna.

Esquemáticamente S = S1+S2+....+Sn

Suma Sumandos

Leyes Formales 1. Clausura o Cerradura: La suma de

dos o más números enteros

resulta otro número a, b, c, ZZ → a + b = C → CZ

2. Asociativa: Dadas ciertas

cantidades de sumandos la suma total también resulta al hacer

grupos de sumandos. a + b + c = a +(b+c)=(a+b) + c 3. Conmutativa: El orden de los

sumandos no altera la suma total a + b = b + a

4. Modulativa: Para todo número entero existirá su elemento neutro o módulo de la suma denotada por

cero, talque se cumpla que a+0=a 5. Uniformidad: Si se tienen varias

igualdades, estas se pueden sumar miembro a miembro resultando otra igualdad

a = b c = d

a + c = b + d 6. Monotonía:

a = b a b c < d c < d c < d

a+c



5. Suma de los números impares

2n

1i

1n2 n)1n2(...1531)1i2(S =−++++=−==

−

6. Suma de los cuadrados de los n

primeros números pares.

)1n2)(1n(n3

2

)n2(....642)i2(S 2222n

1i

2

)n2( 2

++=

++++===

7. Suma de los productos de 2 números

consecutivos

3

)2n)(1n(n

)1n(n...4.33.22.1)1i(in

1i

++=

+++++=+=

8. S = a + a² + a3... + an = an+1 - 1a

a

−

9. Suma de términos en Progresión Aritmética

S = t1 + t2 + t3 + .... + tn

S = )tt(2

nn1 +

Donde: n = número de términos

t1 = primer término

tn = ultimo término

Ejemplo (1) Calcular el valor de “S”

S = 2 + 4 + 6 + .... + 98

Resolución

Se tiene que: n = 492

098=

−

Luego S = 2450)982(2

49=+

Ejemplo (2)

Hallar “A”

Si A = 1 + 2 + 3 + ... + 10

Resolución

Utilizando (1) Suma de los n primeros

números

A = 552

)11(10= Rpta.

Ejemplo (3)

Hallar B

Si B = 1² + 2² + 3² + ... + 10²

Resolución: Utilizando (2)

B = 6

1)10(2)110(10 ++

B = 3856

)21)(11(10=

Ejemplo 4 Hallar el valor de C Si C = 13+ 23 + 33 + ...+103

Resolución Utilizando (3)

C = 30252

11.102

=

La Adición en otros Sistemas de Numeración

Ejemplo I Halle la suma de: 4357., 1647., 4167 Resolución

Los sumandos son colocados en forma vertical para efectuar la operación de

acuerdo al orden que ocupa sus cifras.

Suma ¿ ........................?

Orden Procedimiento

1 5 + 4 + 6 = 15 = 2.7 + 1 queda

Se lleva

2 3 + 6 + 1 + 2 = 12 = 1.7 + 5

queda

Se lleva

3 4 + 1 + 4 + 1 = 10 = 1.7 + 3

queda

3 2 1 Orden

4

1

4

3

6

1

5(7)

4(7)

6(7)

+



Se lleva

1

4 3 5(7) + 1 6 4(7)

4 1 6(7) 1 3 5 1(7) Ejemplos para que practiques

1) Efectuar

25368 + 65758 + 7658 2) Dado que a +b + c = 9 Calcule el valor de:

S = 555 cabbcaabc ++

3) Sabiendo que:

2143n + 3541n = n26cba -6512n

Calcule a + b + c + n

Suma de Numerales Condicionados Hallar la suma de todos los números

pares de 3 cifras que empiezan en cifra impar.

Resolución Si el número es de 3 cifras será de la

forma abc donde a toma los valores

1,3,5,7,9 por ser cifras impares (según condición) como los números son pares entonces su cifra terminal es decir C

tomará valores pares 0,2,4,6,8 y dado que no hay restricciones para la cifra

central tomará todos los valores menores que 10.

cba

1 0 0

3 1 2 5 2 4

7 . 6 . .

9 9 8 5 x 10 x 5 = 250 números

Luego para calcular la suma de estos 250 números se procede del siguiente modo.

En las unidades: Se divide la cantidad de números entre la cantidad de valores

que toma la cifra de unidades y se multiplica por la suma de todos los

valores que toma la cifra de sus unidades.

En forma análoga se hace para las decenas, centenas etc y luego se aplica una suma abreviada cuyo resultado final

será efectivamente la suma de todos estos 250 numerales de esta forma.

U : 1000)86420(5

250=++++

D: 1125)9...3210(10

250=+++++

C = 1250)97531(5

250=++++

Suma total:

1000 1125

1250 Rpta. → 137250

Ejemplo de Aplicación Hallar la suma de todos los números

capicúas de 3 cifras que se pueden formar con las cifras 0,1,3,7,8 y 9.

Resolución:

Sean los números de la forma:

aba Obs.: a 0

0 1

1 3 3 7

7 8 8 9 9

6 . 5 = 30 números

U : 168)98731(5

30=++++

Por ser “a” cifra significativa



D: 140)987310(6

30=+++++

Suma : 168 → U

Total : 140 → D

168 → C

Rpta.: 18368 Problemas Tipo

1. Hallar “C” en la siguiente suma

68bbaa7c2ba5b74a =++

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

Resolución

Ordenando en columna

68bba

a7c

2ba5

b74a +

De los millares llevo “1”

En las unidades 1 + 2 + a = 8

En las decenas: 4 + 5 + 7 = 16 llevo “1”

En las centenas 1+ 7 + 1 + c = .5

el valor de c = 6 Rpta.

2. Hallar la suma de cifras de la siguiente adición

8 + 98 + 998 + ..... 999...98

50 cifras

a) 47 b) 48 c) 49 d) 50 e) 51

Resolución Como los sumando son cercanos a

potencias de 10 entonces

8 = 101 – 2

98 = 10² - 2 998 = 103 – 2

. . . . . . . . .

999...998 = 1050 – 2

S = 1111....1110–50(2)

S = 1111....1010

51 cifras

cifras de S = 49 Rpta.

SUSTRACCIÓN Símbolo (-) menos

Parámetros

M : minuendo S : Sustraendo D : Diferencia

Definición.

Dados dos números a y b se llama diferencia de a y b y se denota (a-b) al número natural D, si existe a – b = D

Se denomina “Sustracción” a la operación que hace corresponder a

ciertos pares de números naturales (a,b) su diferencia (a-b).

En general se cumple que:

1) M – S = D

2) M + S + D = 2M

3) S + D = M

Ejemplo 1

27 – 11 = 16

Ejemplo 2 Diferencia

34 – 18 = 18

Sustraendo

Minuendo

b = 1

a = 5

Observación • Las cantidades que intervienen

en una sustracción deben de ser homogéneas.

20 mesas–6 mesas = 14 mesas • Toda sustracción puede ser

expresada como una adición 12 – 5 = 7 → 5 + 7 = 12

• abcxyznnpxyznnpabc =+→=−

• También definen a la

sustracción como la operación aritmética inversa a la adición que consiste en dada dos

cantidades minuendo y sustraendo, se debe hallar una

tercera que nos indique el exceso de la primera con respecto a la segunda, la cual

se llamará “diferencia”.

Leyes Formales 1. Clausura. En naturales es

restrictiva. En enteros, la diferencia de 2 números enteros es otro número entero.

2. Ley del Inverso Aditivo. Si se tiene un número “a” existirá uno y

sólo un número denominado (-a) tal que: a + (-a) = 0

3. Uniformidad. Dadas 2 igualdades

estas se podrán restar miembro a miembro, dando como resultado

otra igualdad. a = b c = d

a-c = b-d

4. Monotonía

a = b a b-d a-c < b-d

a > b a b-d a-c ? b-d

? (El resultado no se puede

anticipar pudiendo ser >, c

Se cumple:

mnp)ca(99

mnpcbaabc

=−

=−

donde: m + p = 9 n = 9

a –c = m + 1 Ejm:

341 - 672- 993- 143 276 399 198 396 594



3) Sea N = abcd donde a > d

a) Si b c : abcd - mnpqdcba =

→ m +n + p + q = 18

b) Si b = c: abbd - mnpqdbba =

→ m + q = 9

n = p = 9

Así:

4781 - 7552- 1847 2557 2907 4995

Problemas de Aplicación 1. Sabiendo que:

5175cba22abc =−

además b + c = 10 Calcular el minuendo

Resolución

Incógnita: cba2

Toda sustracción se convierte en adición

5175cba22abc +−

2abc

5175

cba2 +

De las unidades: a + 5 = 2.

Se deduce a = 7

Se lleva 1

En las decenas: 1 + b + 7 = c1 = 10 + c

8 + b = 10 + c b – c = 2 b = 6

Dato: b + c = 10 c = 4

Luego minuendo: 2467cba2 = Rpta.

La sustracción en otros sistemas de numeración Ejm. 1 Halle la diferencia de los

siguientes números 432(5) y 143(5)

Resolución

Se disponen los términos de manera vertical para trabajar de acuerdo al

orden.

3º 2º 1º orden

Minuendo → 4 3 2(5)

Sustraendo → 1 4 3(5)

Diferencia → ¿ ..............?

Orden Procedimiento

1

Como a “2” no se le puede disminuir

“3” lo que se hace es regresar del

orden 2 una vez a la base (es decir 5)

Luego 5 + 2 – 3 = 4 queda

2

Como se ha regresado una vez la

base, quiere decir que en este orden

se tiene ahora 3-1 = 2 pero a 2 no le

podemos disminuir en 4, luego del

orden 3 regresamos una vez la base

(es decir 5)

5 + 2 – 4 = 3 queda

3

Aquí se tenía 4 veces la base, pero

regresamos al orden anterior luego

aquí quedo

4-1 = 3, entonces

3 – 1 = 2 queda

Al final se tiene que: 4 3 2(5) -

1 4 3(5) 2 3 4(5)

Practicando: Realizar las siguientes sustracciones

6438 - 5326- 7469- 3468 - 2356- 6479-

____ ____ ____ Se llega a la siguiente conclusión:

)k(

)k(

)k(

xyz

cba

abc −

x + z = y = k -1



Aplicación:

1) Si 88 cba2abc =

Calcule a x b x c

2) Si 777 mn4cbaabc =−

Hallar a – c + m + n

3) Efectuar las siguientes sustracciones

5413 - 7241- 6113- 3145 1427 3116

6524(7) - 4132(5)- 1786(9)- 4526(7) 2314(5) 586(9)

Complemento Aritmético (C.A.)

Se denomina complemento aritmético de un número natural a la cantidad que le falta a dicho número para ser igual a una

unidad del orden inmediato superior, a su cifra de mayor orden.

Ejemplo: Hallar el C.A. de 24

CA (24) = 10² - 24 = 76

Ejemplo: Hallar el C.A. de 327 CA(327)=1000 – 327 = 673

En general:

C.A. (N) = 10k – N

Siendo k el número de cifras que tiene

N.

Método Práctico para calcular el

C.A. de los números A partir del menor orden se observa la primera cifra significativa, la cual va a

disminuir a la base y las demás cifras disminuyen a la base menos 1.

Ejemplo:

9 9 10

CA (7 4 8) = 252

9 9 9 10

CA (5 1 3 6)= 4864 9 9 10

CA (7 0 4 0)= 2960

8 8 9

CA (2 1 89) = 671(9)

Excedencia de un número Se denomina excedencia de un número a

la diferencia entre el número dado y una unidad de su orden más elevado.

Ejemplo:

Excedencia de 18= 18-10 = 8

Excedencia de 326 = 326 – 100 = 226 Excedencia de 4753=4753–1000= 3753

En general:

Ex(N) = N – 10K-1

Siendo k el número de cifras que tiene

N.



OBJETIVOS:

• Realizar la multiplicación y división en diferentes sistemas de numeración.

• Deducir las propiedades de la división inexacta. • Aplicar la multiplicación y división en la solución de problemas concretos.

MULTIPLICACIÓN ORIGEN: En una operación de adición, en donde todos los sumandos son

iguales, tal como la siguiente, P= M + M + M + M + ... + M (m veces)

Se puede realizar una operación abreviada:

P = M x m

a esta operación se denomina multiplicación, donde:

M multiplicando

m multiplicador x Símbolo

(por) P Producto

M y m son denominados “factores”

DEFINICIÓN

Es decir la multiplicación es una operación directa cuyo origen proviene de la adición y consiste en dadas 2

cantidades, multiplicando y multiplicador se debe hallar una tercera

cantidad llamada “producto” que contenga al multiplicando las mismas veces que el multiplicador contenga a la

unidad.

Se cumple: 1

m

M

P=

En el campo de los naturales, se

denomina “multiplicación” a la operación que hace corresponder a

ciertos pares de números naturales (a,b) su producto a . b.

Ejemplo 1 Símbolo (por)

15 x 12 = 180

Producto

Multiplicador Multiplicando

Ejemplo 2

Símbolo (por)

Multiplicando 5 2 4 x Multiplicador 6 7

3 6 6 8 1er Producto Parcial 3 1 4 4 2do Producto Parcial

3 5 1 0 8 Producto Final

Leyes Formales

1. Clausura. El producto de 2 números enteros es otro número

entero.

2. Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto.

a x b = b x a

3. Asociativa: El producto de

varios números no varía si se reemplaza dos o más factores por su producto parcial.

a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c) 4. Distributiva. El producto de un

número por una suma o resta es igual a la suma o resta de los productos del número dado por

cada uno de los términos

Si P = a (b + c - d) P = a x b + a x c – a x d

5. Uniformidad. Multiplicando

miembro a miembro varias

igualdades resulta otra igualdad.

Si: a = b c = d a x c = b x d

6. Modulativa. Existe uno y sólo un

elemento que se denota por 1 (denominado elemento neutro multiplicativo o módulo de la

multiplicación) tal que siempre se cumple:

a x 1 = 1 x a = a

7. Monotonía: a) Multiplicando miembro a

miembro desigualdades (relación

de orden), todas del mismo sentido, con términos positivos y

también multiplicando igualdades, resulta una igualdad del mismo sentido que las dadas.

*) Si: a > b *) Si: a d c = d e = f e < f

a.c.e>b.d.f. a.c.e. b c < d c > d

a x c b. d

Escolio. Si se multiplica miembro a miembro desigualdades de sentido contrario, el resultado no puede

anticiparse, pudiendo ser una desigualdad o una igualdad.

Si a d

Puede ocurrir que:

a x c b x d

Determinación de la cantidad de

cifras de un producto La cantidad de cifras de un producto de “n” factores será máxima cuando sea

igual a la suma de la cantidades de cifras de cada factor y como mínimo

dicha suma disminuida en (n-1)

Sea: P = A1 . A2 . A3 ...... An

a1 cifras

a2 cifras

a3 cifras

an cifras

Cuantas cifras como máximo y como mínimo puede tener P.

Máximo: a1 + a2 + a3 + .... + an = S

Mínimo: S – (n-1) Ejemplo (1)

P = A . B . C . D

6 cifras 8 cifras 3 cifras

4 cifras

donde n = 4 (Nº factores) Máximo : 6 + 8 + 4 + 3 = 21 Mínimo = 21 – (4-1) = 18

Ejemplo (2)

Dos números enteros escritos en el sistema decimal tienen 5 y 8 cifras respectivamente ¿Cuántas cifras tendrá

el producto del cuadrado del primero por el cubo del segundo?



Resolución

Sea A → tiene 5 cifras

B → tiene 8 cifras

A² . B3 = A . A . B . B . B Producto de 5 factores

Entonces:

Nº de cifras Máximo: 5+5+8+8+8=34

de A²B3 Mínimo: 34-(5-1) = 30 Conclusión

Cuando se multipliquen potencias enteras de números enteros se

procederá del modo siguiente:

Para determinar el máximo número de cifras de su producto se suma todos los

productos parciales de los exponentes por sus respectivas cantidades de cifras.

En el ejemplo dado:

Máximo = 2(5) + 3(8) = 34

Para determinar la menor cantidad de cifras que acepta el producto, al

máximo número de cifras se le sustraerá la suma de los exponentes de las potencias aumentándose la unidad.

En el ejm. Min= 34 – (2 + 3) + 1 = 30

Ejemplo (3) Se dispone de 4 números enteros, los

cuales se representan como A, B, C, D en el sistema decimal admitiendo 4,6,8

y 5 cifras. ¿Cuántas cifras tendrá E?

Siendo E = A4 . B² . C1 . D32 Resolución

Sabemos que:

A → 4 cifras C → 8 cifras

B → 6 cifras D → 5 cifras

E = A8 . B4 . C² . D6 Entonces Nº de Cifras de E:

Máximo = 8.4 + 4.6 + 2.8 + 6.5 = 102 Mínimo = 102 – (8 + 4 + 2 + 6)+1=83

MULTIPLICACION EN

OTROS SISTEMAS DE NUMERACION

Ejm.: Efectuar 2437 . 367 Procedimiento. Los términos son

colocados en la forma siguiente, para efectuar la operación de acuerdo al

orden que ocupan sus cifras.

3 2 1 orden

2 4 3(7) x multiplicando 3 6(7) multiplicador

¿........?

* Para la cifra de orden 1 del multiplicador:

6 x 3 = 18 = 2 x 7 + 4 queda

Se lleva 6 x 4 + 2 = 26 = 3 x 7 + 5 queda

Se lleva

6 x 2 + 3 = 15 = 2 x 7 + 1 queda

Se lleva * Para la cifra de orden 2 del

multiplicador:

3 x 3 = 9 = 1 x 7 + 2 queda

Se lleva

3 x 4 + 1 = 13 = 1 x 7 + 6 queda

Se lleva

3 x 2 + 1 = 7 = 1 x 7 + 0 queda

Se lleva



Al final se tiene que:

Multiplicando 2 4 3(7) x Multiplicador 3 6(7)

Productos 2 1 5 4(7)

Parciales 1 0 6 2(7) Producto Final 1 3 1 0 4(7)

Aplicación 1

Al multiplicar abc por 137 se observó

que la suma de los productos parciales

fue 3157. Calcule a + b + c Resolución

OBS: P.P. (Producto Parcial)

abc x

137

7 x abc → 1º P.P.



Condición en el problema

7abc + 3abc + 1abc = 3157

11abc = 3157

abc = 287

a = 2

b = 8 c = 7

a + b + c = 17 Rpta Aplicación 2

Disminuyendo en 3 a los términos de la

multiplicación, el producto disminuye en 231. Halle los factores si la

diferencia de ellos es 36. Resolución

Sean M y N los términos de la

multiplicación

Sabemos que M x N = P

Condición del problema

(M - 3) (N - 3) = P – 231

M.N –3M – 3N + 9 = M.N – 231

231 + 9 = 3M + 3N

240 = 3(M + N) 80 = M + N ....... (1)

DATO: 36 = M – N ....... (2) Resolviendo (1) y (2)

2

3680M

+= M = 58

2

3680N

−= N = 22

Los factores son 58 y 22 Rpta.

Aplicación 3

Si 973dd237xabc =

Calcule la suma de los productos parciales. Rpta. 3948

Aplicación 4

Calcule (a + b + c + d) si:

dddcd.ab =

Rpta. 21 Aplicación 5

Efectuar 4132(5) . 234(5)

Rpta. 21440435 Aplicación 6

¿Cuál es la suma de cifras de:

xmyn.abcd , sabiendo que:

xoy.abcd = 1782312

mon.abcd = 2353344



Resolución

Dando forma al numeral xmyn para

aprovechar los datos.

xmyn = xoyo + mon = 10. monxoy +

Luego:

abcd . xmyn = abcd . monxoy.10 + efectuando :

abcd . xmyn =10abcd . xoy +abcd .mon

al reemplazar los datos se tendrá que:

abcd . xmyn =10(1782312)+ 2353344

Finalmente: abcd . xmyn = 20176464

Suma de cifras:

2+0+1+7+6+4+6+4 = 30 Rpta.

Aplicación 7

Si se cumple que:

abcde . 99 = ...47253

Calcular a+b+c+d+e Resolución

Transformamos la multiplicación de

abcde .99 en una sustracción

abcde .99 = abcde (100 -1)

abcde .99 = abcdeoo -abcde

Luego: abcdeoo -

abcde ..47253 Al tratar de restar se deduce que: a = 9, b = 7, c = 4, d = 4, e = 7

Con lo cual a + b + c + d + e = 31 Rpta. 31

FORMAS CURIOSAS DE

MULTIPLICAR

MULTIPLICACIÓN EGIPCIA El método de multiplicación egipcia sobrevivió durante siglos esparciéndose

en muchas civilizaciones. En las escuelas de la Antigua Grecia se lo

enseñaba con el nombre de “Cálculo Egipcio”. En la Edad Media se enseñaban sus técnicas bajo el nombre

de “DUPLATIO” para la duplicación y de “MEDIATIO” para la división en

mitades. La multiplicación era considerada una operación muy difícil y hasta el siglo XVI sólo se enseñaba en

las universidades.

1 12

2 24

4 48

+ 144

8 96 12 144

12 x 12 = 144

He aquí un ejemplo tomado del papiro

Rhind, de como un escriba egipcio hubiera multiplicado 12 x 12. Se

empieza con 12. Después se duplica para que de 24, que a su vez es duplicado para dar 48 y otra vez

duplicado para dar 96. Se dibujan tildes junto al 4 y al 8, para indicar que

suman 12. Luego se suman sus cifras correspondientes, lo que nos da la respuesta 144.

El Método Egipcio de Multiplicación

eliminaba la necesidad de memorizar las tablas, ya que se basaba fundamentalmente en la adición.

* Los Romanos también utilizaron

el método de duplicar y sumar.



Ej. 342 x 25 = 8550

342 25 342 1

684 2 + 1368 4 1+8 + 16= 25 + 2736 8

+ 5472 16

MULTIPLICACIÓN COSACA O “A LA

RUSA”

El conocimiento de la tabla de multiplicación no es muy extendida en

la Estepa, se dice que los Mujic los más instruidos saben apenas más que una columna, la de los múltiplos de 2. Esto

les basta sin embargo para efectuar el producto de dos números cualesquiera.

Ellos emplean para esto un proceso muy curioso: ellos toman la mitad de uno de los factores con la unidad

tomada por defecto y escriben al lado el doble del otro factor. Si esta mitad es

un número impar, ellos marcan de un signo * el factor doblado. Continúan así, dividiendo por 2 los números de

una columna, y doblando aquellos de la otra, la operación termina cuando se

llega a 1 en la primera columna. La suma de los números inscritos en la

columna de los dobles, y que, son marcados del signo * es igual al

producto buscado veamos tres ejemplos de este cálculo.

38 x 25 45 x 57 * 19 50 * 22 114

9 100 * 11 228 * 4 200 5 456 *

2 400 2 912 1 800 * 1 1824 *

38 x 25 = 950 45 x 27 = 2565

42 x 36

21 72 * 10 144 5 288 *

2 576 1 1152 *

42 x 36 = 1512 Será suficiente escribir las operaciones

para comprender el principio del método:

38 x 25 = 2 x 19 x 25 = 19 x 50 = (2 x 9 + 1) 50 = 9 x 100 + 50*

9 x 100 = (2 x 4 + 1) 100 = 4 x 200 + 100*

4 x 200 = 800 *

MULTIPLICACIÓN DE INAUDI

El famoso calculista Inaudi se sirve para la multiplicación de un método

particular. Este consiste del modo siguiente. Multipliquemos 532 x 468

500 x 400 = 200000 500 x 68 = 34000

468 x 30 = 14040 468 x 2 = 936 TOTAL = 248976

Para probar que el método seguido es

exacto, bastará observar que: 532 x 468 = (500 + 32) x 468 532 x 468 = 500 x 468 + 32 x 468

532 x 468 = 500 x 400 + 500 x 68 + 30 x 468 + 2 x 468

MULTIPLICACIÓN CHINA

Los chinos multiplicaban con varillas. Se cuentan los puntos de intersección en una misma diagonal empezando por

los de abajo a la derecha. Después, se suman las unidades, las decenas, ......,

empezando por la derecha.

342 x 25 = 8550

8550

243

2

5

6

23 24 10

0558



Multiplicación Musulmana (Arabe) Los árabes utilizaban una cuadrícula

con diagonales

Ejemplo: Multiplicar 23456 x 789

El multiplicando tiene 5 cifras y el multiplicador 3, formemos como en la

figura un rectángulo conteniendo 5 x 3= 15 casilleros iguales, cada una

de estas casillas siendo dividida en dos triángulos por una diagonal. Escribamos de izquierda a derecha cada cifra del

multiplicando sobre cada una de las casillas de la línea horizontal superior y

de abajo hacia arriba, cada una de las cifras del multiplicador en frente de cada una de las casillas de la línea

vertical izquierda.

Multipliquemos ahora cada cifra del multiplicando por cada cifra del multiplicador y escribamos el resultado

en la casilla colocada en la intersección de la hilera vertical y de la hilera

horizontal relativas a las dos cifras consideradas y de tal modo que la cifra

de las decenas del producto se halle en el triángulo inferior y la de las unidades en el triángulo superior.

Se observará que con este

procedimiento es indiferente comenzar la multiplicación por la derecha o por la izquierda.

A continuación para tener el producto

buscado, se suma a partir de la derecha las cifras comprendidas entre dos transversales consecutivas, cifras que

representan unidades del mismo orden. Así se pone primeramente 4 . 5 más 5

más 8 dan 18, se pone 8 y se retiene 1 etc. Se halla así que el producto es

18506784.

DIVISIÓN

DEFINICIÓN. Dado los números naturales D y d 0 se llama cociente de

D y d. Se denota d

D, si al número

natural q, si existe tal que D = dq

Se llama “división” a la operación que hace corresponder a ciertos pares (D,d)

de números naturales su cociente d

D.

En otras palabras la división es una operación aritmética inversa a la

multiplicación que tiene por objeto en dadas 2 cantidades llamadas dividendo y divisor, hallar una tercera cantidad

llamada cociente que ponga en manifiesto las veces que el dividendo

contiene al divisor. PARÁMETROS Dividendo (D)

Divisor (d)

Cociente por defecto (q) Cociente por exceso (q´)

Residuo por defecto (r) Residuo por exceso (r´)

CLASIFICACIÓN

a) División Exacta. Es cuando no

existe presencia de resto

Esquemáticamente D d D = dq

- q

b) División Inexacta. Es cuando existe presencia de resto y a su vez se sub clasifican en:

8

1

7

2

6

3

5

4

6

1

4

2

2

3

0

44

1

1

2

8

2

5

3

4

5

8

42

4

9

8

7

2 3 4 5 6

1 8 5 0 6 7 8 4

1) Por defecto

D d q

+r D = dq + r

Ejm. Dividir 84 entre 9.

84 9 9

3 84 = 9.9 + 3

2) Por exceso

D d

- r´ q´ = q + 1

D = dq´ - r´

Ejm. Dividir 59 entre 7

59 7 -4 8 + 1 x 59 = 7 (8 + 1) –4

Ejm. Dividir 85 entre 4

85 4 22 x

-3 85 = 4.22 - 3

Propiedades

1) 0 < r < d 2) r + r´ = d

3) q´ = q + 1 4) rmin = 1

5) rmax = d-1 Leyes

1) Ley de Uniformidad. Si se

dividen miembro a miembro dos igualdades (con la segunda

igualdad diferente de cero), el resultado es otra igualdad

Si a = b c = d

a:c = b:d

2) Ley del Inverso Multiplicativo. Para todo número N diferente de cero, existe uno y sólo un

elemento denominado inverso multiplicativo denotado por N-1 ó

N

1 tal que:

N x N-1 = 1

3) Ley Distributiva. El cociente de

una suma o resta entre un número es igual a la suma o resta de los cocientes de cada

uno de los términos entre el número dado

Si: q = (a + b - c) : d

q = d

c

d

b

d

a−+

A) Ley de Monotonía

a) Si : a b

c = d c = d a : c b : d b) Si : a = b Si a = b

c < d c > d a : c > b : d a : c b

c > d c < d a : c b : d ESCOLIO

Si se dividen miembro a miembro

desigualdades del mismo sentido, el resultado no puede anticiparse,

pudiendo ser una desigualdad o una igualdad.

Si : a b:d



ALTERACIONES EN LA DIVISIÓN I. ALTERACIÓN DEL COCIENTE

1. Si el dividendo de una división exacta se le multiplica (o divide)

por un mismo valor entero el cociente queda multiplicado (o

dividido) por el mismo valor entero

2. Si al divisor de una división inexacta se le multiplica (o

divide) por un valor entero, el cociente queda dividido (o multiplicado) por el mismo valor

entero

3. Si al dividendo y al divisor de una división exacta se les multiplica

(o divide) por un mismo valor entero, el cociente no varía (INALTERABILIDAD DEL

COCIENTE)

II. ALTERACIÓN EN LA DIVISIÓN INEXACTA

a) Por Adición de Unidades al

Dividendo Al sumarle un cierto valor al

dividendo este mismo valor se suma al residuo. Si el nuevo residuo no es menor al divisor, se

divide entre él, el cociente que se obtenga, será el número de

unidades que aumente el cociente de la divisi�

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