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Achtung! Kapitel ist relevant für Computergrafik 2! CG – 5.1.1

Computergrafik – InhaltAchtung! Kapitel ist relevant für CG-2!

§0 Historie, Überblick, Beispiele

§1 Begriffe und Grundlagen

§2 Objekttransformationen

§3 Objektrepräsentation und -Modellierung

§4 Sichttransformationen

§5 Kurven und Flächen

§6 Rendering und Visibilität

§7 Mapping-Techniken

Literatur

G. Farin: Curves and Surfaces for CAGD, Academic Press, 1992

J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung, Teubner, 1992

H. Prautzsch, W. Boehm, M. Paluszny: Bézier and B-Spline Techniques, Springer, 2002



Einordnung

5.1.1 Motivation


5.1.2 Interpolationsproblem

Gegeben: n+1 Paare reeller Zahlen (ti, fi) für i = 0,…,n mit

paarweise disjunkten Stützstellen ti,ti ≠ tj für i ≠ j

Gesucht: Ein Polynom p vom Grad ≤ n,

(1)

mit reellen Koeffizienten cj heißt Interpolationspolynom zu (ti, fi), wenn

(2)


0

( )n

jj

j

c tp t

( ) 0,...,i if it np


Fragestellungen Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung Algorithmische Lösungsverfahren (Effizienz) Qualität der Lösung(en): Entspricht die Lösung den

Erwartungen/Anforderungen des Anwenders?

Satz 1: Die Interpolationsaufgabe hat eine eindeutig

bestimmte Lösung.



Beweis: Einsetzen von (1) in (2) liefert

(3)

oder kurz Ac = f. A heißt Vandermonde-Matrix mit

Da ti ≠ tj für i ≠ j, ist A regulär und die Behauptung

folgt. □


, 0

( )detn

i ji ji j

A t t

5.1.3 Lagrange-Interpolation

Lagrange-Interpolation Die Lösung eines Gleichungssystems hat im

Allgemeinen Komplexität O(n³). Gesucht ist eine optimale polynomiale Basis

{Li(t)}i=0,…,n, sodass

(4)

Dadurch wird die Matrix des Systems (3) zur Einheitsmatrix, d.h. ci = fi, i = 0,…,n, und das

Interpolationspolynom hat die Darstellung:

(5)

0,:

1,( )i j ij

i jL

i jt

0

( () )n

i ii

p f L tt


Satz 2: Die Lagrange-Polynome

(6)

erfüllen die Eigenschaft (4): Li(tj) = δij

Beweis:

Und für □

0

( )n

ki

i kkk i

Lt t

tt t

0

( ) 1n

i ki i

i kkk i

t t

tL t

t

( ) 0: j ji j

i j

tj i L

tt

t t


Lagrange-Polynome


Beispiele n = 1, d.h. lineare Interpolation

Interpolationsstellen: (x0,y0),(x1,y1) (Stützstellen in x)

Von einer reellen Funktion f seien die folgenden Wertepaare bekannt:

10

0 1

( )Lx x

xx x

0

1

1 0

( )Lx x

xx x

0 0 1 1 00 1

0 1 1 0 0 1

( )( ) ( )1 x x y x x y x xx x

yx x x

p x yx x x

i xi yi

0 0 1

1 1 0.5

2 2 0.2


Fortsetzung

21 20

0 1 0 2

( )·( ) ( 1)·( 2) 1( ) ·(

( )·( ) (0 1)·(0 2)3

22)

x x x x x xx x

x x xL x

x

20 21

1 0 1 2

( )·( ) ( 0)·( 2)( ) 2

( )·( (1 0)·(1 2))

x x x x x xx x x

x xL

x x

20 12

2 0 2 1

( )·( ) ( 0)·( 1) 1( ) ·( )

( )·( ) (2 0)·(2 1) 2

x x x x x xx x x

x x x xL

2 2 2

2

1 1( 3 2)·1 (2 )·0.5 ( )·0.2

2 2

( )

0.0.1· 6· 1

x x x x x xx

x

p

x

5.1.4 Newton-Interpolation

Nachteil der Lagrange-Darstellung: Neuberechnung aller Basisfunktionen bei

Hinzunahme neuer Stützstellen Nicht dynamisch

Newton-Darstellung: Hinzunahme neuer Stützstellen in beliebiger

Reihenfolge möglich. Neuberechnung ist nicht notwendig.

Als Basis dient

(7)

mit der Eigenschaft Ni(tj) = 0 für i > j

und Ni(tj) ≠ 0 sonst

1

0

( )i

i kk

t t tN


Fortsetzung Die Koeffizienten ai für

(8)

werden rekursiv aus den k-ten dividierten Differenzen

f[tj,…,tj+k] ermittelt:

(9)1 1

0

] :

[ ,..., ] [ ,..., ],..., ] :

[ ,..

[ ( 0,..., )

. ]

[

,

j j

j j k j j kj j k

j k j

i i

f

f t t f t tt

t t

a

f t j n

f t

f t t

0

(( ))n

i ii

a N tp t


Daraus ergibt sich folgendes Schema:

k = 0 1 2 3


Die Koeffizienten ai können auch analog zur (3)

über ein lineares Gleichungssystem bestimmt werden.

Da die Matrix hier eine untere Dreiecksmatrix ist, entspricht Vorwärtseinsetzen dem Schema der dividierten Differenzen.

Beispiel: (ti,fi) {(0,1); (2,3); (4,5)}∈

ti fi

0 1 = a0

1 = a1

2 3 0 = a2

1

4 5

0 1 0 2 0 1( ) ( ) 1) (( )a x t ap x t xa tx x


Achtung: Das Interpolationspolynom zu n+1 Interpolations-

stellen ist nicht unbedingt n-ten Grades, es ist höchstens n-ten Grades.

Bemerkungen: Die Reihenfolge der Stützstellen bei der Newton-

Interpolation ist unerheblich.

Interpoliert man eine auf dem Intervall [a,b] stetige Funktion f in n Punkten, so konvergiert die entstehende Folge von Interpolationspolynomen auf [a,b] für n→∞ nicht notwendig (glm.) gegen f.

Durch mehr Punkte erreicht man nicht unbedingt

höhere Qualität!


Runge-Funktion:

Interpolant vom Grad 5


2

1

1 x


Runge-Funktion:



2

1

1 x

5.1.5 Nachteile der Polynominterpolation

Nachteile im Hinblick auf CAD/CAM-Technologie

Jeder Interpolationspunkt hat globalen Einfluss auf die Kurve. Basisfunktionen mit lokalem Träger

Auch die Parametrisierung (Wahl der Stützstellen) hat einen entscheidenden Einfluss auf die Qualität der Kurve.

Interpolationspolynome mit einem Grad n ≥ 5 weisen oft sehr welliges Verhalten auf. Zusatzbedingungen wie „minimale Biegeenergie“

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