Clculo diferencial Unidad 1. Nmeros reales y funciones

Actividad 3. Mximo y mnimos y grfica de una funcin

Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas de mximos y mnimos, as como su representacin grfica de una funcin.

1. Se desea inscribir un cilindro circular recto de volumen mximo dentro de un cono como lo muestra la siguiente figura:

Hallar las dimensiones de dicho cilindro.

El volumen del cilindro se calcula con la formula Sin embargo, para poner el volumen en funcin de una sola variable, relacionamos r y h, por semejanza de tringulos:

Segn el grafico se tiene que por lo que tenemos que Adems y

De este modo, se escogi la relacin entre la altura y el radio; para que al final eso influya en el volumen. Esto es clave en las derivadas, ya que encadenas una relacin, con otra.Por lo que se sustituye en la frmula de V

Entonces

Para optimizar

Para determinar h sustituimos la frmula de h

Para conocer los valores, nicamente se sustituyen las variables

Esto muestra que la el cilindro mximo que quepa dentro del cono, deber tener un radio de .

2.

Dada la funcin y el punto hallar el punto sobre la grfica de que est ms cerca de .3. Hallar dos nmeros cuya suma de cuadrados es igual a y cuyo producto sea mximo.4.

En un ro de de ancho estn ubicados dos puntos y uno frente a otro y del mismo lado de hay un tercer punto ubicado a de tal forma que el segmento es perpendicular a . Una compaa de energa elctrica quiere tender un cable desde hasta parando por el punto , como lo muestra a figura:

Si el costo por metro del cable bajo tierra es ms barato que el cable bajo el agua. Cmo se debe tender el cable para que el costo sea mnimo?

Primeramente hay que establecer que y Luego tenemos que el segmento

Ahora realizaremos una pequea suposicin: El construir el cableado bajo el agua cuesta 200000, mientras que en tierra cuesta 140000 (30% menos)

Entonces, la razn est dada por mientras que el costo de construir 500-x, est dado en Por tal motivo, el costo total estara dado con la ecuacin

Como el problema plantea una minimizacin, hay que realizar la derivada y detectar los puntos crticos.

Por tal motivo, el costo mnimo se da cuando 5. Utilizando el mtodo presentado en esta unidad, grafica la curva .

Debido a que la funcin es un polinomio, su dominio es R Tomando la funcin e igualndola a 0 tenemos que

Esto indica que

Para se tiene que y Cuando f(x)=0; significa que con lo que se tiene que Para se tiene Luego para la funcin tiene un mximo = 0 Para se tiene que y Se tiene entonces que cuando , (0.0), (

Evaluando la funcin original se tiene que Entonces resulta que el punto de inflexin es (0,0)

Esta es la imagen aproximada de la funcin, considerando su punto de inflexin, sus mximos y mnimos locales; as como los puntos crecientes y decrecientes.