402874 - Escola Secundária S. Pedro – Vila Real

Matemática - 8.º Ano

Nome:_________________________________________________________ N.º_____ Turma____ Janeiro 2009

Máximo Divisor Comum

Actividade 1:

A D. Zita, tem 100 rosas amarelas e 60 rosas vermelhas.

Pretende dividi-las por diversos ramos, contendo, cada um, o mesmo número de rosas de cada cor.

Claro que pretende fazer o maior número possível de ramos sem deixar nenhuma rosa de fora.

1. Para ajudar a D. Zita a resolver este problema, complete o seu raciocínio:

2. A D. Zita pode fazer 4 ramos? E 5 ramos? E 10 ramos?

3. Tendo em atenção as alíneas anteriores, risque o que não interessa:

“O número de ramos é múltiplo/divisor comum do número de rosas de cada cor.”

4. Calcule os divisores de 100 (D100).

5. Calcule os divisores de 60 (D60).

6. Copie e complete:

7. Escreva o conjunto dos divisores comuns de 100 e de 60 (D100∩D60).

8. Qual é o maior (máximo) divisor comum de 100 e 60 (m.d.c.(100, 60))?

9. Quantos ramos pode, no máximo, a D. Zita fazer e quantas rosas de cada cor deve ter cada um deles?

10. Decomponha 100, 60 e o m.d.c.(100, 60) em factores primos.

11. Escreva o produto dos factores primos comuns, de menor expoente, de 100 e 60. Compare com o m.d.c.(100,

60). Que conclui?

O máximo divisor comum (m.d.c.) entre dois ou mais números é o maior dos divisores comuns desses números.

O máximo divisor comum de dois ou mais números decompostos em factores primos é igual ao produto dos

factores primos comuns, cada um elevado ao menor expoente.

Dois ou mais números são primos entre si quando o seu máximo divisor comum é 1.

Exercício: Considere os pares de números:

36 e 24 8 e 15 4 e 22 12 e 21

1. Determine o máximo divisor comum de cada par de números

2. Quais dos pares de números anteriores são primos entre si?

Mínimo Múltiplo Comum

Actividade 2 (A situação criada nesta actividade não é real):

Os cometas Alei e Talei são visíveis a partir da Terra,

respectivamente de 20 em 20 anos e de 30 em 30 anos.

Os cientistas detectaram que em 2002 ambos foram avistados a partir da Terra e pretendem saber quantas vezes

essa coincidência voltará a acontecer até 2150.

1. Para resolver este problema preencheram o seguinte quadro. Copie-o e complete-o.

Aparições

Cometa Alei Cometa Talei

20 anos (2022) 30 anos (2032)

40 anos ( ) 60 anos ( )

2. Os valores que se encontram, à esquerda, na primeira coluna são múltiplos ou divisores de 20?

3. Os valores que se encontram, à esquerda, na segunda coluna são múltiplos ou divisores de 30?

4. Calcule os 10 primeiros múltiplos de 20 (M20).

5. Calcule os 10 primeiros múltiplos de 30 (M30).

6. Escreva o conjunto dos múltiplos comuns de 20 e 30 (M20∩M30).

7. Qual é o menor (mínimo) múltiplo comum de 20 e 30 (m.m.c.(20, 30))?

8. Depois de 2002, quando é que os dois cometas voltam a ser visíveis, simultaneamente, a partir da Terra?

9. Quantas vezes essa coincidência voltará a acontecer até 2150?

10. Decomponha 20, 30 e o m.m.c.(20, 30) em factores primos.

11. Escreva o produto dos factores primos de maior expoente, comuns e não comuns a 20 e 30. Compare-o com o

m.m.c.(20,30). O que conclui?

O mínimo múltiplo comum (m.m.c.) entre dois ou mais números é o menor dos múltiplos comuns desses números.

O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números decompostos em factores primos é igual ao produto dos

factores primos comuns e não comuns, cada um elevado ao maior expoente.

Exercício: Já sabia que para adicionar números representados por fracções é necessário que estas tenham o mesmo

denominador. Uma forma prática de o encontrar é calcular o mínimo múltiplo comum dos diferentes denominadores

envolvidos.

Calcule:

1.

2.

3.

4.

5.

Actividade 3:

Copie e complete a seguinte tabela:

a b m.m.c.(a, b) m.d.c.(a, b) m.m.c.(a, b)x m.d.c.(a, b) axb

6 15

12 16

24 72

Observe a quinta e a sexta colunas da tabela. O que conclui?

Bom Trabalho!