ACTIVIDADES RESUELTAS DE LOS CONTENIDOS DE LA INTERDISCIPLINAR:

Actividad 1.- Dadas las dimensiones de la Pirámide De Guiza:

De las pirámides de Guiza, la gran pirámide de Keops tiene las siguientes dimensiones:

1.-Se pide determinar el área y el volumen de la pirámide.

Vamos a trabajar con los datos del lado de la base que es de 230,36 metros y la altura 146,59 metros. El área total de la pirámide será la suma del área

lateral y el área de la base. El área de la base es la de un cuadrado de lado 230,36 metros:

273,5306536,230·36,230 mmmAbase

Y para calcular el área de los triángulos laterales, que son iguales, aplicaremos Pitágoras para determinar la altura de los triángulos laterales que están

inclinados:

2

2

2

2

2

662,214722

427,186·36,230

2

·

427,186347553475559,1462

36,230

73,5306536,230·36,230

mHbase

A

mHH

mmmA

t

base

Luego el área total de la pirámide será:

222 378,138956662,21472·473,530654 mmmAAA tbase

2.-Estimar, con los datos del artículo, el tiempo que se necesitó para construirla.

Vamos a realizar una estimación media del tiempo que tardaron en construirla. Esta estimación será bastante grosera pero nos dará una idea de las

dimensiones. Se usaron 2,3 millones de bloques y debieron poner un bloque cada 2,5 minutos, luego el tiempo total invertido será de:

añosdiashorasm

m

bloque

bloquest 94,10055,3993333,95833int5750000

int5,21

10·3,2 6

Trabajando ininterrumpidamente todo el día. Si parasen para descansar 8 horas entonces el tiempo necesario sería de 14,586 años.

3.- La belleza en matemáticas, el número “phi”.

Coge un segmento de longitud 1 y vamos a buscar el punto por el cuál tendríamos que dividirlo para que se mantenga la siguiente proporción: El segmento

menor es al mayor como el mayor es a la totalidad del segmento. ¿Cuál sería el punto por el cuál tendríamos que dividir el segmento?¿Qué relación

mantienen entonces la longitud del segmento mayor al menor? A esta relación se le denomina el número de oro. (phi)

Veamos cuál, según la definición es este número:

Cojamos el segmento y vamos a dividirlo en dos partes una pequeña de longitud x y la grande que será 1-x, según la definición:

1

1 x

x

x

Resolvamos esta ecuación:

2

51

1·2

)1·(1·411

010111

1 222

x

xxxxxxx

x

x

Ahora si nos quedamos con el resultado positivo entonces obtenemos cómo lo tenemos que dividir el segmento, y ahora veamos qué relación establece

esta división:

2

51

4

522

59

55353

)53)(53(

)53)(51(

53

51

2

511

2

51

Este número marca unas proporciones que se consideran armónicas. Ejemplos de las mismas son:

LAS DIMENSIONES DEL PARTEÓN:

También la siguen figuras geométricas que consideramos armónicas como:

Y pintores y arquitectos las mantienen en sus obras:

Volvamos a la pirámide de Guiza y vamos a ver la relación que se existe entre su apotema, la mitad de su lado y la altura con la mitad de su lado. ¿Qué se

observa?

Según el esquema que se adjunta para la pirámide de Giza la mitad de la base es 230,36 m/2=115,18m. Si aplicamos Pitágoras al triángulo de la figura de la

pirámide de la izquierda:

619774439,1118,115

59,1461

18,11518,115

59,146

18,115

18,115

18,11559,146

2

36,230

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

aaa

Donde el segundo término de la expresión es un número muy próximo a la razón dorada, y además la apotema de la pirámide de Giza vale:

ma 18,115·618033989,1619774439,11

Volvemos a ver que la apotema también está muy próximo a la razón dorada.

4.-Pero es ¿sólo cuestión de belleza? O las matemáticas y los diferentes materiales aportan algo más?

Calcula el área del museo basándote en estas dimensiones y estima el peso de la pirámide construida de hormigón, 2350 kg por metro cúbico, y de los

siguientes materiales con las densidades medias de diferentes materiales cristalinos:

Vidrio Borosilicato 3220

Vidrio Sosacalcio 2220

Vidrio Silicio (96% pureza) 2500

En kg por metro cúbico. Suponiendo el mismo espesor en la construcción de ambas pirámides.

Veamos como además, no solo, es una cuestión de estética sinó también de resistencia de los materiales:

El área de la pirámide será el área de su base, cuadrada de 35 m y de los cuatro triángulos que forman las caras:

25,17112

8,27·35·435·35 mA

El volumen de material necesario, suponiendo que está hueca, sería el producto del área por el espesor:

35,1711 emV

Finalmente la cantidad de material que necesitamos para construirlo sería el producto del volumen de material por la densidad del mismo:

M(kg)=1711,5ed

material densidad(kg/m^3) masa/e Tn/m

hormigón 2350 2753025 2753,025

borosilicato 3220 3772230 3772,23

sosacálcico 2220 2600730 2600,73

silíceo 2500 2928750 2928,75

Podemos ver que no es sólo una cuestión de estética también influye la cantidad de material que tenemos que utilizar, es decir influye el aprovechamiento

de los recursos tanto de materiales como económicos.

Actividad 2.-Transformaciones geométricas:

A partir de una determinada forma geométrica podemos obtener otras mediante o bien movimientos de la misma o acciones que cambien la forma y el

tamaño. A este tipo de acciones se les denomina transformaciones geométricas, que determinan patrones geométricos dentro de estructuras más grandes

como tapices, cerámicas….

Fíjate en la siguiente figura:

Tenemos el triángulo ABC que ha sido trasladado dentro del plano a otro lugar para generar el triángulo A’B’C’. Ha sido trasladado según la dirección del

vector v. Fíjate que Para llegar desde A hasta A’ nos desplazamos horizontalmente 6 unidades y una verticalmente, luego el vector usado es el (6,1)

comprueba que los otros puntos se han desplazado según la misma dirección. A esta trasformación se le denomina traslación. Fíjate que esta trasformación

no cambia la forma de la figura original sólo su posición en el plano.

Para generar una figura que mantenga la orientación de la original pero que sea más grande o pequeña que la original se utiliza una trasformación

denominada homotecia. En ella se escoge un centro, llamada centro de la homotecia, y se tiran desde el centro líneas que pasen por los vértices de la figura

original y sobre cada una de estas rectas se coloca los nuevos puntos. ¿Dónde se colocan? Aquí es donde reside el factor de escala. Si los localizamos a una

distancia dos veces cada punto de su respectivo a O entonces la figura obtenida será el doble de la original si los colocamos a la mitad será la mitad de la

original.

Fíjate como a medida que nos alejamos del centro de homotecia las figuras se hacen más grandes que la original y como a medida que nos acercamos

disminuyen. Así podemos controlar el factor de escala de la reproducción.

Podemos colocar el centro de homotecia en medio de ambas figuras, y entonces se obtiene lo que se conoce como la homotecia inversa, en ella no solo

conseguimos aumentar o disminuir un determinado factor de escala la figura sino que además la conseguimos girar:

También podemos duplicar la figura si realizamos una reflexión. Para realizar una reflexión necesitamos una recta que es la que hace de “espejo” y desde

cada punto de la figura trazamos una perpendicular a la recta y el nuevo punto estará en la perpendicular y a una distancia igual que su homólogo de la

recta. Fíjate en la figura:

Fíjate en la figura, se ha obtenido la reflexión del cuadrilátero ABCD a partir de la recta, eje, de la figura. Desde cada punto, A,B,C y D se ha trazado una

perpendicular a la recta y sobre esta se ha colocado A’, B’, C’ y D’ manteniendo las distancias, es decir, la distancia que hay de A al eje es la misma que A’ al

eje y así sucesivamente. Fíjate que el resultado final es una inversión de 180º de la figura original.

La última transformación geométrica que podemos realizar es el rotación. Una figura que se encuentre en el plano la podemos rotar un ángulo

comprendido entre 01 y 360º respecto a un punto del plano, llamado el centro de rotación. Para ello necesitamos un transportador y un compás. Veamos

como lo podemos hacer:

En la figura el triángulo de la izquierda se ha girado respecto al punto O un ángulo de 90º. Para ello se une O con cada vértice del triángulo y se trazan sobre

estas rectas ángulos de 90º. Luego con el compás y haciendo centro en O se trazan arcos desde los puntos A, B y C hasta las respectivas rectas que

determinaban los ángulos de 90º, los puntos de corte de estos arcos con las rectas determinan A’,B’ y C’ que si los unimos nos da el triángulo girado 90º.

Podemos realizar sobre la misma figura varias trasformaciones geométricas y así conseguiremos diferentes efectos ópticos en una determinada figura, esta

es la base para obtener los mosaicos que podemos apreciar en el arte islámico, en los tejidos incas o en el art déco.

Estudia estos tapices y descubre en ellos las trasformaciones geométricas que nos llevan de una figura original a la figura compuesta final. Patrones y

mosaicos de la actividad del material interdisciplinar.

http://isometricas.blogspot.com.es/2014/06/blog-post_25.html

https://www.google.com/search?q=simetrias+de+M.C.+Escher&safe=strict&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwimqq6Ns8PMAhVHnBoKHb_ADIU

Q_AUIBygB&biw=1366&bih=657#imgrc=8cDktjeTbc1OKM%3A

SIMETRIAS Y TESELACIONES DE M.C. ESCHER

Actividad 3: Busca información de la relación entre un tipo de arquitectura, por ejemplo la islámica, y como se utiliza como vehículo de expresión cultural.

LA ARQUITECTURA ISLÁMICA

“En verdad, que lo menos provechoso para un creyente y lo que devora su riqueza, es construir” (Mahoma)

LA ARQUITECTURA.

La arquitectura islámica es un síntesis de elementos bizantinos, cristianos, coptos, etc. La carencia, en un principio de un estilo propio, hace

que se dejen influir intensamente por los estilos de los pueblos conquistados. La amplitud geográfica del imperio explicará la variedad de

formas y soluciones que ellos acabarán sistematizando y universalizando.

Podemos destacar los siguientes rasgos:

Þ La altura de los edificios suele ser escasa, siendo una constante la armonía e integración del edificio en el paisaje circundante. Los orígenes

geográficos del islam y el sentido religioso de su arte condicionan este factor: el desierto impone la horizontalidad y el primitivo nomadismo de

los beduinos árabes, la preferencia por edificios de escasa envergadura (jaimas que se montan y transportan con suma facilidad).

Þ El edificio más importante es la mezquita, centro de reunión y oración de la comunidad de creyentes (Umma). También se construyen

palacios, mausoleos, medersas, etc.

Þ Los materiales que se usan con mayor frecuencia son el ladrillo o el mampuesto, el yeso, la madera y, en menor medida, la piedra por sus

mayores exigencias técnicas y constructivas.

Þ La arquitectura no muestra un gran interés por los problemas constructivos; los edificios suelen inscribirse en volúmenes cúbicos en los que

destacan las semiesferas de sus cúpulas y las altas torres o minaretes de sus mezquitas.

Þ la columna y el pilar mantienen su función como soporte, pero dada la ligereza de las techumbres de madera, generalmente son delgadas.

Þ Utilizan una gran variedad de cubiertas abovedadas: cúpulas, bóvedas de crucería, gallonadas, caladas, etc.

Þ Del arte visigótico español toman el arco de herradura que, más tarde, se extenderá por todo el mundo islámico. Otras variedades con un

marcado carácter decorativo son: arcos polilobulados, de herradura apuntados, etc. También es característica la dicromía de las dovelas.

Þ Destaca su profundo gusto por la decoración interior que, con frecuencia, no se talla en la piedra misma, sino en placas de piedra de escaso

grosor o de yeso, que se aplican después sobre el muro. El gusto por la policromía hace que las formas decorativas de los tableros de yeso se

realcen con vivos colores y que se conceda un papel muy importante a la cerámica vidriada. La madera es también un elemento valioso,

enriquecida con temas menudos y delicados.

Þ La decoración musulmana es de tipo anicónica y antinaturalista. Salvo en algunas escuelas, se excluyen los temas animados

(antropomórficos y zoomórficos), reduciéndose a los de carácter vegetal (ataurique) y geométrico (lacería). Predomina, pues, el aniconismo y la

abstracción. La decoración de tipo vegetal se denomina ataurique; la de carácter geométrico, de lazo o lacería; la de caligrafía, cúfica o nasjí.

El arabesco pasa por ser la máxima expresión de la calidad abstracta de la decoración musulmana.

Þ La decoración islámica, contra el efecto de fantasía desbordante que sus temas menudos y numerosos producen en un primer momento, es hija

del placer por la reiteración, y no de un deseo de variedad. Se trata de series que se repiten una y otra vez (como las suras del Corán) creando

una sensación de infinitud.

Actividad 4.- Resolvamos el siguiente problema:

Imaginemos que una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, y a partir de ese momento cada vez engendra otra pareja de conejos, que a

su vez (tras llegar a la edad de la fertilidad) engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de

meses?

Si contamos el número de conejos que se obtiene cada mes vemos que es la suma de la cantidad de conejos que había los dos meses anteriores a esta

sucesión se le denomina la sucesión de Fibonacci: 0,1,1,2,3,5,8,13…….. ¿cuál es el término general? Por recurrencia.

Si nos fijamos en el tercer término podemos ver que es la suma del primero más el segundo, el cuarto término es la suma del tercero más el segundo y así

sucesivamente, por lo tanto podemos escribir, siendo el término general :

21 nnn aaa

Ahora bién, recordemos que en el caso de sucesiones definidas por recurrencia había un término límite a partir del cual la fórmula funcionaba

correctamente y que los términos anteriores había que darlos para que quedase perfectamente definida la sucesión. En este caso vemos que el término

general es aplicable a partir del término tercero, luego tenemos que incluir la definición de los términos primero y segundo, así pues la definición correcta

del término general de la sucesión de Fibonacci es:

121

21

aa

aaa nnn

Pero veamos otro ejemplo: Fíjate en esta radiografía de la longitud de los huesos de los dedos de la mano ¿Qué se observa en las longitudes?

Fijemos nuestra atención en una hoja de la base del tallo y asignémosle el número cero. Luego, contemos cuántas hojas hay en el tallo hasta encontrarnos

directamente sobre la hoja "cero" ¿Qué se observa?

Podemos ver como en el caso de la planta, las hojas que quedan encima de la hoja numerada como cero, siguen la sucesión de los términos de Fibonacci. O

en el caso de las falanges de la mano vemos como la longitud relativa de una falange respecto de la primera sigue los términos de la sucesión de Fibonacci. A

veces la sucesión se empieza con el término cero, esto no cambia la regla, pero sí los valores de los términos primero y segundo, en este caso la definición

del término general debe ser:

1,0 21

21

aa

aaa nnn

¿Cómo es posible esto? Vamos a realizar la siguiente construcción:

1.-Dibujamos un cuadrado de lado 1. Y trazamos el arco que une los dos vértices opuestos.

2.-A continuación a la izquierda de estos dos cuadrados dibujamos otro que tendrá de lado 2 y volvemos a trazar el arco.

3.-A continuación anexionamos otro a este último, ahora el lado será de tres, y trazamos el arco.

4.-Continuamos la construcción y ahora el cuadrado que tenemos que trazar es de lado 3+2=5 y trazamos el arco.

¿Qué observamos en la longitud de los lados de los cuadrados? A la curva que obtenemos se le denomina la espiral logarítmica. ¿Sería posible determinar la

longitud de esta curva?

Podemos ver que la curva se construye a partir de cuadrados que se utilizan para describir arcos de circunferencia con centro que van cambiando de

ubicación. Podríamos obtener una estimación de longitud de la curva a partir de la ecuación trigonométrica que nos permite calcular la longitud de un arco

conocido el radio y el ángulo a partir del cuál ha sido construido:

)(· radRl

Para que la fórmula nos dé la longitud del arco en metros, el ángulo debe estar en radianes y el radio en metros.

Calculemos la longitud del primer arco:

Podemos ver que es un arco que se construye dentro de un cuadrado de lado 1, por lo tanto el radio será de 1m y ha sido construido girando un ángulo de

90º, que son pi medios de radian:

ml2

·11

La del segundo arco:

Ha sido trazada dentro de otro cuadrado de lado 1 y el ángulo girado vuelve a ser de 90º:

ml2

·12

La del tercer arco: En este caso el cuadrado es de lado 2.

ml2

·23

La del cuarto es un arco dentro de un círculo de radio 3:

ml2

·34

Y podríamos continuar con el cálculo de la misma forma. Ahora para calcular la longitud total de la espiral tenemos que sumar las longitudes parciales de los

arcos:

.......2

·82

·52

·32

·22

·12

·1

L

Lo primero que vemos es que es imposible el cálculo de la longitud entera de la espiral por que es una sucesión infinita. Además vemos que todos los

términos tienen repetido a pi medios por lo que si lo sacamos factor común:

.......]853211[2

L

Podemos reconocer que la sucesión que se encuentra dentro del paréntesis es la sucesión de Fibonacci. Por lo tanto la espiral logarítmica está relacionada

con la sucesión de Fibonacci.

Ejemplos:

Semillas en forma de 24 y 31 espirales.

Tallos en el crecimiento de una planta.

Forma de una borrasca.

La concha del nautilo.

Galaxias…..

Pero ¿por qué si dijimos que el número áureo es la proporcionalidad perfecta se presenta en la naturaleza esta forma íntimamente relacionada con la

sucesión de Fibonacci?

Para entenderlo realicemos la siguiente actividad: Determinemos, usando la calculadora el valor del número “phi” que determina la proporción aurea. A

continuación utilizando la regla obtenida por recurrencia para la sucesión de Fibonacci determina los primeros 10 términos de la sucesión y valuar la

proporción que existe entre el segundo y el primero, el tercero con el segundo y así sucesivamente….¿qué podemos observar?

La proporción aúrea es:

618033989,12

51

Queremos entender por qué, si esta proporción las matemáticas nos dicen que es la proporción que hace que los cuerpos presenten unas proporciones más

“bellas”, en la naturaleza encontramos tantos ejemplos de cuerpos que siguen una espiral logarítmica, a veces llamada espiral aúrea. Para ello vamos a

determinar términos de la sucesión de Fibonacci:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…..

Ahora vamos a determinar la relación que existe entre un término de la sucesión y su anterior dividiéndolos:

617647059,134

55

619047619,121

34

615384615,113

21

625,18

13

6,15

8

...6666666,13

5

5,12

3

21

2

11

1

11

10

8

9

7

8

6

7

5

6

4

5

3

4

2

3

1

2

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Podemos ver como la relación entre los términos de la sucesión de Fibonacci y el anterior tiende al número áureo, a medida que la relación es entre

términos más altos la división se ajusta más al valor del número áureo, se puede demostrar que en el infinito este valor es exactamente igual al número

áureo.

Otras dos propiedades interesantes de la sucesión de Fibonacci son las siguientes:

Si sumamos diez términos consecutivos de la sucesión y el resultados se divide entre 11 el resultado es un número entero, que además es igual al número

que ocupa la séptima posición en los diez seleccionados:

2111/231895534211385321

,1311

143

14355342113853211

111098765432

109876541321

aaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaa

Otra propiedad interesante es que si cogemos dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci y realizamos la suma de sus cuadrados obtenemos el

número que se encuentra en la posición 2n+1. Es decir:

713·2

22

4

3

2

12

2

1

2

1394323

2

aaa

a

aaa nnn

Actividad 4.- Realizar un estudio de las alturas y proporciones de una muestra de los alumnos de clase para constatar la veracidad de que las proporciones

del hombre de Vitruvio y si estas siguen la proporción áurea:

La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.

La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.

La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.

altura total altura ombl-suelo longitud hombro-dedos long codo-dedos

individuo 1 180 115 80 45 1,56521739 1,77777778

-0,05281651 0,15974379

individuo 2 176 112 78 43 1,57142857 1,81395349 -

0,04660533 0,1959195

individuo 3 171 110 71 42 1,55454545 1,69047619 -

0,06348845 0,0724422

individuo 4 162 100 60 40 1,62 1,5 0,0019661 -

0,11803399

individuo 5 180 111 80 42 1,62162162 1,9047619 0,00358772 0,28672791

individuo 6 174 108 70 44 1,61111111 1,59090909 -

0,00692279 -0,0271249

indiviudo 7 182 116 74 42 1,56896552 1,76190476 -

0,04906838 0,14387077

individuo 8 175 110 64 43 1,59090909 1,48837209 -

0,02712481 -0,1296619

individuo 9 166 100 63 40 1,66 1,575 0,0419661 -

0,04303399

individuo 10 183 117 74 46 1,56410256 1,60869565 -

0,05393134 -

0,00933834

1,59279013 1,6711851

-0,02524377 0,05315111

1,61803399

altura total altura ombl-suelo longitud hombro-dedos long codo-dedos

individuo 1 183 111 71 50 1,64864865 1,42 individuo 2 165 105 63 40 1,57142857 1,575 individuo 3 192 123 85 50 1,56097561 1,7 individuo 4 156 95 62 40 1,64210526 1,55 individuo 5 176 112 75 43 1,57142857 1,74418605

individuo 6 172 110 70 45 1,56363636 1,55555556 indiviudo 7 178 105 65 40 1,6952381 1,625 individuo 8 177 115 70 42 1,53913043 1,66666667 individuo 9 185 115 78 43 1,60869565 1,81395349 individuo 10 162 100 63 40 1,62 1,575

1,60212872 1,62253618 0,01590527

-0,00450219