ACTIVITATS:PROPORCIONALITAT

NUMÈRICA iSEMBLANÇA

MAGNITUDS DIRECTAMENT I INVERSAMENT PROPORCIONALS

Dues magnituds són directament proporcionals quan la raó entre dues quantitats corresponents d'ambdues és constant:

a

a'=

b

b'=k

Esta constant k s’anomena constant de proporcionalitat directa.

Dues magnituds són inversament proporcionals si el producte de dos valors corresponents d'ambdues és constant:

a ∙a'=b ∙b'

=k

Esta constant k s’anomena constant de proporcionalitat directa.

I. PROPORCIONALITAT.

1. LAS AVENTURAS DE TRONCHO Y PONCHO.

URL: https://www.youtube.com/watch?v=MTWIW8E2TcU

ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 1

1.1. Completa les següents frases

Una__________________ és una propietat d'un objecte que podem

mesurar, per exemple, la longitud d'un front o la temperatura d'una oïda.

Si dues magnituds són directament proporcionals, en duplicar una,

l'altra es té que _________________.

Si amb 2 kg de pintura podem pintar 6 parets iguals, amb 4 kg

pintarem ____ parets iguals.

Perquè dues magnituds siguen _____________ proporcionals si

dupliquem una, l'altra es fa la meitat, si la tripliquem, l'altra es fa la

tercera part.

El __________________ de dues magnituds inversament proporcionals

sempre és constant.

1.2. La pel·lícula comença amb la frase: “La raó per la qual hem fet aquesta

pel·lícula és cinc mitjans”. Quins significats pot tindre la paraula raó en

aquesta frase?

1.3. Enumera cinc magnituds que es nomenen en el vídeo. Dóna altres cinc

que no apareguen en el vídeo.

1.4. Series capaç de donar tres exemples de coses que no siguen magnituds?

1.5. Per a explicar les magnituds directament proporcionals, poncho posa

l'exemple dels quilograms de pintura i el nombre de parets iguals que es

poden pintar amb ells. Completa la taula que vam mostrar a continuació

extreta de la pel·lícula:

1.6. En la primera Batalla de magnituds que guanya Troncho es mostra la

relació entre els kg de creïlles i el seu preu. Emplena la taula que

trobàvem allí:

ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 2

1.7. La segona Batalla de magnituds la perd Troncho perquè diu que l'edat

d'una persona és directament proporcional al nombre de dents que té.

Per què no són magnituds directament proporcionals?

1.8. La Megabatalla de magnituds planteja la relació entre la velocitat d'un

caragol i el temps que tarda a arribar a Conca. Podries completar la

següent taula?

Saps a quina distancia de Conca estaba el caragol?

1.9. Prepara la teua pròpia Megabatalla de Magnituds. Cerca deu parelles de

magnituds proporcionals. Fes cartes amb les magnituds que has triat

escrivint cadascuna de les magnituds en una carta diferent. Per

exemple:

1.10. Prepara a casa una Megabatalla de magnituds, d'una manera similar a

com s'explica en l'exercici 1.9, però aquesta vegada amb magnituds

inversament proporcionals

ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 3

II. PROPORCIONALITAT SIMPLE: DIRECTA I INVERSA

2. ÓRBITA LAIKA: UNA DE MATES EN EL SUPERMERCADO

URL: http://www.rtve.es/alacarta/videos/orbita-laika/orbita-laika-mates-matematicas-

supermercado/2891564/

2.1. Ofertes. Comprem 1 paquet de café que costa 2,45 euros i conté 250

g. Quant costarà el quilo de café?

Imaginem les següents dues ofertes:

Oferta 1. Ens donen el 25% gratis. Quina quantitat de café ens

donaran per 2,45 euros? I quant ens costaria el quilo de café?

Oferta 2. Pague 2 i emporte's 3. Calcula a quant t'ix el quilo de

café amb l'oferta de 3x2.

2.2. Malbaratament alimentari vs consum responsable: Quina oferta

és la millor? Quin triaries tu? Saps el que significa el consum responsable?

Has sentit parlar del malbaratament alimentari?

2.3. Les cues en el supermercat. Hem comprat menys de 10 productes

i no sabem que cua triar per a pagar, si la de caixa ràpida (per a menys de

10 productes) o la de la caixa normal. Sabent que es tarden 48 segons de

mitjana a pagar i 2,8 segons a passar un producte, respon a les següents

preguntes:

ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 4

Quant tardaran a passar 6 persones amb un únic producte en

una caixa ràpida?

Quant tardaran 2 persones que porten 30 productes cadascuna

i estan fent la cua en una caixa normal?

Quina cua triaràs?

2.4. El nombre d'empleats del supermercat. En un super hi ha 5

empleats que atenen 2500 persones al dia. L'amo del super li agradaria

ampliar el negoci i poder vendre a unes 3500 persones al dia, Quants

empleats necessitarà?

2.5. Compres En un forn de pa han pagat 42 € per 70 barres de pa. Quant

haurien de pagar si hagueren comprat 85 barres?

3. Per a construir una nau d'un supermercat en 60 dies són necessàries 30

persones. Si passats 24 dies s'incorporen 12 persones més, en quants dies

acabaran?

4. El pròxim estiu tinc planejat un viatge als Estats Units, per la qual cosa

necessitaré comprar dòlars. Actualment el banc em fa un canvi d'1 dòlar per 1,20

€. Quants dòlars em donaran per 1.500 €?

5. Dues rodes estan unides per una corretja transmissora. La primera té un radi

de 25 cm i la segona de 75 cm. Quan la primera ha donat 300 voltes, quantes

voltes haurà donat la segona?

ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 5

III. PROPORCIONALITAT COMPOSTA

6. TU CASA A JUICIO: ¿REFORMAR O VENDER?

URL: https://www.youtube.com/watch?v=5KwtPP70Rpo

6.1. Mur de la façana. Hilary, l'arquitecta de la teua Casa a judici, vol

realitzar una reforma espectacular per a aconseguir que els propietaris

estimen la seua casa, Ho aconseguirà…? Per a això en primer lloc

decideix construir un mur en la façana per a evitar el problema que

tenen de ser vistos per tot el veïnat. Per aquesta raó, haurà de

plantejar-se quants obrers haurà de contractar per a realitzar alçar el

mur.

Sabent que cinc obrers, treballant 6 hores diàries, han necessitat 12

dies per a alçar un mur d'una façana. Quants obrers necessitem per a

construir aqueix mur en 9 dies, treballant jornades de 10 hores?

6.2. Demolició de l'antic estable. Un altre problema que tenen els

propietaris de l'habitatge és que en la seua finca se situa un estable

antic que ocupa més de la meitat de la parcel·la i és fins i tot més gran

que el seu habitatge. Per això, un altre dels objectius que es planteja

Hilary és la seua demolició. Per a realitzar qualsevol demolició ha de

realitzar uns tràmits administratius respecte a la gestió de l'abocament

dels residus de la demolició i ha de saber quant tardarà a realitzar-ho:

ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 6

Sabent que cinc camions, fent 6 viatges al dia, aconsegueixen evacuar

600 m³ de residus en 4 dies. Quants dies tardaran 7 camions a moure

els 3500 m³ de l'estable si verteixen en un abocador més pròxim, la qual

cosa permet a cada camió realitzar 10 viatges al dia?

6.3. Pintar tota la casa. Per a donar-li un aspecte renovat i diàfan Hilary

decideix pintar tota la casa de blanc. I una vegada més es troba amb la

limitació del temps.

Si quatre obrers pinten 15 metres quadrats en 9 dies. Quants metres

quadrats pintaran 6 obrers en 15 dies?

6.4. Si Hilary vol realitzar totes les reformes anteriors i ha de contractar

obreres per a construir el mur i uns altres per a pintar la casa, a més de

transportar els 3500 m³ de l'estable demolit

a) quant temps com a mínim tardarà a dur a terme tota la reforma?

Quants empleats creus què haurà de contractar? Per què?

b) Si cada empleat costa 120 euros el dia, cada metre cúbic transportat

són 17 euros i el material de pintura en total val 2500 euros. Quin serà

el pressupost de la reforma?

6.5. L'agent immobiliari, David, els ha trobat una casa nova que s'ajusta a les

seues necessitats per 130.000 euros. Els propietaris no volen perdre

diners, així que hauran de vendre la seua casa per aqueix preu com a

mínim, a més li hauran d'afegir el preu de la reforma. Per quants diners

hauran de vendre la seua casa per a poder-se comprar una nova?

ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 7

7. Prepára’t per ser EL PROFESSOR PER UN DIA

En una cadena de muntatge de mòbils, 17 operaris, treballant 8 hores al

dia, assemblen 850 mòbils a la setmana. Quantes hores diàries han de

treballar la setmana vinent, per a atendre una comanda de 1000 aparells,

tenint en compte que s'afegirà un reforç de tres treballadors?

8. Tres molinets durant 5 hores molen 60 kg de café Quant moldran 8 molinets

durant 3 hores?

ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 8

IV. REPARTIMENTS PROPORCIONALS

Per a realitzar el repartiment d'una quantitat n de forma directament

proporcional a unes quantitats a, b, c…:

Se sumen les quantitats que cal repartir: a + b + c + ….

Es divideix la quantitat n entre aqueixa suma. Aquest quocient és la

constant de proporcionalitat.

K=n

a+b+c+…

Per a calcular cada part n'hi ha prou amb multiplicar cada quantitat a, b,

c… per aqueixa constant.

9. La Unió Europea ha concedit una subvenció de 15.000 € per a tres pobles. El

poble A té 1.800 habitants; el B, 700, i el C, 500. Com ha de repartir-se els

diners?

Repartir una quantitat n de forma inversament proporcional a altres quantitats

a, b, c…és equivalent a repartir-la de forma directament proporcional als

inversos de les quantitats a, b, c…

Cada part s'obté dividint la constant de proporcionalitat R entre la seua

quantitat corresponent a, b, c…

R=n

1/a+1 /b+1/c+…

ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 9

10. El premi d'una carrera és de 550 € i es repartirà entre els tres primers

corredors a acabar la prova de forma inversament proporcional a l'ordre

d'arribada, és a dir, inversament proporcional a 1, 2 i 3. Quina quantitat li

correspon a cada corredor?

11. LA LOTERIA DE NADAL: JOC

12. Vicente i José obrin una llibreta d'estalvis en el banc. Vicente ingressa 400 € i

José ingressa 800 €. Al cap d'uns anys els retornen 1.380 €. Com li'ls han de

repartir?

13. Prepara't per a ser el PROFESSOR PER UN DIA

Un pare acudeix amb els seus dos fills a una fira i en la tómbola guanya 50

caramels que els reparteix de forma inversament proporcional a les seues

edats, que són 9 i 6 anys. Quants caramels li dóna a cadascun?

ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 10

V. VARIACIONS PERCENTUALS

Per a augmentar o disminuir un percentatge r% a una quantitat, es pot calcular

el r% de Qi i sumar o restar aquesta quantitat a la quantitat inicial Qi.

Es pot calcular directament la quantitat final Qf calculant la variació

corresponent a cada unitat, anomenada índex de variació, i multiplicar-ho per

la quantitat inicial.

Qf =Qi∗ IV

Per a un augment: I.V = 1+r

100

Per a una disminució:I.V.= 1−r

100

Per a un encadenament d'augments i/o disminucions:

I.V.= I.V.1*I.V.2*…

14. Sara ha comprat un jersei que costava 35 €, però li han fet una rebaixa del

15%. Quant ha pagat?

15. Roberto ha pagat 29,75 € per uns pantalons que estaven rebaixats un 15%.

Quant costaven els pantalons sense rebaixar?

16. Adelaida ha pagat 34,40 € per una brusa que costava 43 €.Quin tant per cent

li han rebaixat?

17. He anat a comprar una pilota que costava 45 €, però m'han fet una rebaixa

del 12%. Quant he pagat per la pilota?

18. La paga mensual d'Andrea és de 25 € i li han promés un augment del 20%

per a el mes vinent. Quina serà la seua nova assignació mensual?

19. En l'aparador d'una botiga es mostren una jaqueta (156 €), un abric (380 €),

una falda (80 €) i uns guants (18 €). Però hi ha un gran rètol en el qual es pot

llegir “REBAIXES 15%!”. Calcula a quant ix cada peça.

ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 11

VI. SEMBLANÇA

20. Estudia la semblança dels polígons següents. En cas que siguen semblants,

calcula’n la raó de semblança:

a) b)

21. Calcula les mesures desconegudes:

22. Indica la raó de semblança entre els costats, els perímetres i les àrees

respectives dels polígons següents:

23. Una piscina té una capacitat de 200 000 L. Se n’ha construït una altra de

semblant però amb costats tres vegades més grans. Quants litres d’aigua

caben a la nova piscina?

ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 12

24. Un depòsit amb forma de prisma triangular té una capacitat de 500 cm3.

Volem construir-ne un altre de semblant amb una capacitat de 2000 cm3.

Quina és la raó de semblança entre els costats dels prismes?

25. L’escala d’un mapa és 1:15 000 000. Dues ciutats disten 5 cm en el mapa.

Quant disten en la realitat?

26. En el plànol d’una casa un dormitori té 6cm2 de superfície. Si l’escala és

1:150, quina és la superfície real del dormitori?

ACTIVITATS: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA 13