Actividad 4

Expresiones Algebraicas G. Edgar Mata Ortiz

Expresiones algebraicas, operaciones fundamentales y lenguaje algebraico.

Expresiones algebraicas.

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El álgebra es un lenguaje, específicamente es el lenguaje en el que está escrita la ciencia. Cualquier libro de física, química o cualquier otra ciencia, contiene leyes que describen y predicen el comportamiento de la naturaleza, estas leyes se sintetizan en forma de expresiones que contienen signos, constantes, variables y las operaciones aritméticas que las relacionan, es decir, expresiones algebraicas.

En el presente material se aborda el tema de las expresiones algebraicas, las operaciones básicas entre ellas y la forma en la que el lenguaje natural es expresado algebraicamente.

Contenido Introducción. ............................................................................................................................................................3

Conceptos fundamentales del álgebra. ....................................................................................................................4

Término Algebraico. .............................................................................................................................................5

Lenguaje algebraico ..............................................................................................................................................6

Operaciones algebraicas. ..........................................................................................................................................9

Modelos matemáticos. ...................................................................................................................................... 10

Importancia de las operaciones algebraicas en la resolución de problemas. ................................................... 10

Reducción de términos semejantes. ................................................................................................................. 11

Suma y resta de polinomios. ............................................................................................................................. 11

Multiplicación de polinomios. ........................................................................................................................... 13

División de polinomio entre monomio .............................................................................................................. 13

División de polinomio entre polinomio. ............................................................................................................ 15

El uso de Excel en la comprensión y resolución de problemas del álgebra. ......................................................... 17

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Introducción. El álgebra, como cualquier lenguaje, fue desarrollándose a lo largo del tiempo. Desde los matemáticos babilónicos, egipcios y chinos, quienes eran capaces de resolver ecuaciones y despejar incógnitas fue evidente la necesidad de una forma de notación que simplificara la representación de estos procesos; la notación algebraica.

En el siglo IX, los matemáticos árabes lograron grandes avances al aplicar las propiedades de la igualdad como estrategia para la resolución de ecuaciones, aunque con una notación todavía no desarrollada por completo.

Uno de los mayores adelantos en el estudio del álgebra ocurrió en el siglo XVI: el uso de símbolos para representar las variables, incógnitas, y operaciones algebraicas. La mayor parte de la notación algebraica moderna, proviene de esta época.

En el siguiente enlace se encuentra una línea del tiempo señalando las etapas más importantes del desarrollo del álgebra:

http://timemapper.okfnlabs.org/hanakham/historyofalgebra#0

Elabora un ensayo de 600 palabras acerca de una de las etapas del desarrollo del álgebra. No olvides agregar, al menos, tres fuentes bibliográficas y tres referencias en línea.

Fotografía del papiro Rhind.

Es un rollo que, al extenderlo, mide 30 cm x 2 metros, fue encontrado en una tumba en la ciudad de Tebas y es la fuente de información más valiosa de la que disponemos acerca de la matemática egipcia.

Este papiro fue comprado en un mercado en la ciudad de Luxor por un joven escocés de 25 años, Henry Rhind, que fue a Egipto por razones de salud y se interesó por la arqueología.

Imagen tomada de:

http://www.daviddarling.info/encyclopedia/R/Rhind_papyrus.html

El Lenguaje de la ciencia.

La matemática en general, y el álgebra en particular, son importantes porque es la forma en la que se expresa la ciencia. Los libros de cualquier disciplina científica están llenos de ecuaciones y otras expresiones algebraicas.

Si entendemos la matemática como un lenguaje, entonces una buena parte del trabajo de aprenderla debe estar centrada en las reglas de dicho lenguaje; la sintaxis algebraica. Pero otro aspecto que también es muy importante tiene que ver con la traducción entre el lenguaje natural y el algebraico.

La mayor parte de los problemas que deberemos resolver contienen expresiones como; “el doble”, “la mitad”, “el producto”, “el cociente”, “la semisuma” entre otras. Lo que debemos aprender es a escribir dichas expresiones en forma de símbolos algebraicos, sin perder de vista su significado y la relación que tiene con la situación original.

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Conceptos fundamentales del álgebra. Al estudiar una disciplina científica es necesario definir sus conceptos fundamentales, con la finalidad de comprenderla y aplicarla adecuadamente en la resolución de problemas. Sin embargo, estas definiciones deben ser comprendidas y no simplemente memorizadas. A continuación, vamos a realizar un ejercicio de análisis y comprensión de la información. Investiga al menos tres definiciones de cada uno de los conceptos siguientes en fuentes bibliográficas, no páginas de internet, anótalas en tu cuaderno y, a partir de esta información, construye su definición y escríbela en las siguientes líneas. No olvides anotar la bibliografía.

Álgebra.

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Teorema fundamental del álgebra.

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Expresión algebraica.

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Término algebraico.

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Monomio

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Binomio

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Trinomio

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Polinomio

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Bibliografía.

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Término Algebraico. Tomando como base la información contenida en la presentación: “Término Algebraico” que se encuentra en la siguiente dirección:

http://licmata-math.blogspot.mx/2015/10/algebraic-language-part-1.html

Completa la información indicada en la siguiente imagen:

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Clasifica como monomio, binomio, trinomio o polinomio las siguientes expresiones algebraicas y determina su grado.

Expresión algebraica Clasificación Grado

47z

1762 245 ��� xxx

yyy 958 34 ���

224 43 xwxw ��

yzzyxzxy �� 324 28

Lenguaje algebraico Como se mencionó anteriormente, el álgebra es una forma de comunicación, y como cualquier otro lenguaje, es necesario aprender: vocabulario, gramática, pronunciación, convenciones, abreviaturas, y, sobre todo, semántica.

Es un lenguaje simbólico, no instintivo, convencional, sintético y preciso; características que no facilitan su aprendizaje. Por ejemplo: Si escribimos un par de números separados por comas y entre paréntesis, tienen diferentes significados, dependiendo del contexto.

(5, 6) Pueden ser las coordenadas de un punto en el plano cartesiano, pero también pueden interpretarse como un intervalo abierto. ¿Y si los paréntesis son rectangulares? [5, 6], ¿o llaves? {5, 6}

Es evidente que, para aprender matemáticas, es necesario leer cuidadosamente los conceptos teóricos, de otra forma, el aprendizaje carece de sentido y solamente se memoriza para resolver exámenes. Es muy común que, cuando estudiamos álgebra, pasamos por alto todos estos conceptos básicos. Muchos estudiantes jamás leen un libro, por lo que dependen casi por completo, de lo que explica el profesor en el pizarrón.

Una actividad fundamental es practicar la lectura de expresiones matemáticas y su “traducción al lenguaje natural” y viceversa.

La ley de Boyle - Mariotte puede expresarse como:

“La presión de un gas, en un recipiente cerrado, es inversamente proporcional al volumen del recipiente, cuando la temperatura permanece constante.”

Si la decimos así, verbalmente, es probable que no resulte muy clara, en cambio, si la representamos con símbolos matemáticos obtenemos:

𝑷 =𝒌𝑽

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Completa la tabla siguiente tomando como base los ejemplos que se encuentran en la misma.

Lenguaje común Lenguaje

algebraico Expresión inversa o relacionada

con la original Lenguaje

algebraico

1 El doble de un número cualquiera

2x La mitad de un número cualquiera

12 2

xx ó

2

3x

3 Un número aumentado en tres unidades

4 Juan es 15 cm más alto que Luis

5 y = x + 5

6 La suma de dos números es igual a 150

7 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°

8 La suma de dos ángulos suplementarios es igual a 180°

9 La semisuma de dos números es igual a 18

10 El área de un triángulo es igual al semi producto de la base por la altura

11 El semi perímetro de un triángulo es igual a 24

12 El área de un cuadrado es igual a 25

13 El volumen de un cubo es igual a 8

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(Continuación)

Lenguaje común Lenguaje

algebraico Expresión inversa o

relacionada con la original Lenguaje

algebraico

14 El 6 % de los alumnos de la Universidad tienen automóvil propio

0.06x

15 El libro cuesta un 50% más que el juego de escuadras

16 La inflación este año ha sido un 12 % menor que el año pasado

17

El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

18

El cubo de la suma de dos números es igual a:

19

La diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de:

20

La diferencia de los cubos de dos números es igual a:

No siempre es posible encontrar una expresión que sea exactamente lo contrario de la que se indica, escribe alguna expresión que se relacione con ella de alguna forma, sólo se trata de practicar la traducción entre lenguaje natural y algebraico.

En el reverso de esta hoja o en hoja aparte, indica qué representan las incógnitas en cada ejercicio.

Algunas de las expresiones algebraicas escritas en el ejercicio 2 contienen el signo de igual; reciben el nombre de ecuaciones, las que no lo contienen son solamente monomios, binomios, trinomios o polinomios.

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Operaciones algebraicas. Al obtener una expresión algebraica a partir de un problema, puede ser que dicha expresión resulte poco clara y sea necesario simplificarla para una mejor comprensión y facilitar la resolución del problema, para ello, es necesario efectuar operaciones; suma, resta, multiplicación y división.

Ejemplo:

El ingeniero Rodríguez es dueño de una fundición cuyos costos fijos son de $25,000 mensuales. Está fabricando piezas cuyo costo unitario es de $60, incluyendo materia prima y mano de obra. Escribe una expresión algebraica para el costo total de operación de la fundición, por mes.

Solución:

El costo fijo debe pagarse mensualmente, seguramente corresponde a renta y pago de servicios como electricidad, agua, teléfono, entre otros.

Costo fijo = $25,000

El costo de fabricación no es constante, depende del número de piezas fabricadas por mes, pero esta cantidad varía cada mes, de modo que la identificaremos como una variable: x. Este costo recibe el nombre de costo variable y se obtiene multiplicando el costo unitario de fabricación por el número de piezas fabricadas.

Costo variable = Costo unitario × número de piezas fabricadas en el mes.

CV = $60 × x

Para evitar confusiones, no escribimos el signo de multiplicación, es una convención que al poner juntas dos variables, o una constante y una variable, indica una multiplicación.

CV = $60x

Entonces el costo mensual es la suma de los costos fijos y los costos variables.

Costo Total = Costo fijo + Costo variable

CT = 25000 + 60x

Desde el punto de vista del álgebra, es preferible usar las últimas letras del alfabeto como variables, por lo que se representará el costo total como y.

y = 25000 + 60x

Los términos 25000 y 60x no se pueden sumar porque no son términos semejantes, solamente se ordenan colocando primero el que tenga la variable con mayor exponente.

y = 60x + 25000

Esta expresión algebraica es una ecuación que permite calcular los costos totales de operación de la fundición y puede ser empleada para determinar los costos de un mes cualquiera (y), tomando como dato la cantidad de piezas producidas durante ese mes (x). Por ejemplo:

Si en el mes de enero se fabrican 560 piezas, determina el costo total de producción.

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Solución:

La expresión algebraica que desarrollamos para el costo total es:

y = 60x + 25000

El valor que nos proporcionan en los datos es: x = 560 piezas.

y = 60(560) + 25000

Efectuando operaciones:

y = 33600 + 25000 → y = 58600

El resultado obtenido es:

El costo total al fabricar 560 piezas es de $58600

¿Qué ocurre si un mes no se fabrica ninguna pieza? ¿El costo es igual a cero?

Al sustituir cero en la ecuación obtenemos:

y = 60(0) + 25000 → y = 0 + 25000 → y = 25000

Como podemos observar, a pesar de que no se fabrica ninguna pieza, el costo no es igual a cero; los costos fijos deben pagarse, independientemente del número de piezas fabricadas.

Modelos matemáticos. Esta forma de resolver problemas utilizando herramientas matemáticas recibe el nombre de modelado matemático. Consiste en abstraer la complejidad del mundo real y representarlo simbólicamente, en forma más simple para resolver alguna situación problemática.

Cuando se usa un modelo matemático debemos estar, constantemente, interpretando la información matemática que se produce al efectuar operaciones algebraicas.

Es un constante ir y venir entre la teoría matemática y la aplicación práctica que se está modelando: los valores de variables, resultados numéricos y operaciones algebraicas que pertenecen al modelo matemático, tienen un significado en la realidad.

Importancia de las operaciones algebraicas en la resolución de problemas. Al representar matemáticamente la realidad en un modelo, podemos estudiar el comportamiento de la situación real sin afectarla, cambiando valores de variables o parámetros en el modelo y observando su comportamiento. Para ello, es necesario efectuar operaciones algebraicas. A continuación, estudiaremos los procedimientos para efectuar operaciones algebraicas.

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Reducción de términos semejantes. Las reglas para la reducción de términos semejantes son sencillas; solamente se pueden sumar o restar aquellos términos que contengan las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. El resultado final se ordena comenzando por las variables con mayor exponente hasta las de menor exponente.

Siguiendo estas reglas, simplifica las siguientes expresiones algebraicas:

1. 2𝑥2 + 3𝑥 − 6 − 5𝑥 − 7𝑥2 + 8𝑥 − 1 =

2. −5𝑦3 + 4𝑦2 + 6𝑦 − 9 + 7𝑦3 + 5𝑦 + 13 =

3. 2𝑎𝑏 + 3𝑏𝑐 − 5𝑎𝑐 + 7𝑏𝑐 − 9𝑎𝑏 + 8𝑐𝑎 =

4. −9𝑥𝑦 + 8𝑦𝑧 − 5𝑥𝑧 + 6𝑦𝑥 − 9𝑧𝑦 + 12𝑥𝑧 =

5. 2𝜋𝑟2 − 4𝜋𝑟 + 𝜋𝑟2 + 9𝑟 + 8 =

6. 4𝜋𝑟3 − 3𝜋𝑟2 + 2𝜋 − 6𝑟2 + 𝜋𝑟3 − 9𝑟 + 4 =

7. −6𝑥𝑦 + 7𝑥2𝑦 − 8𝑥𝑦2 + 9𝑥 − 4𝑥2𝑦 + 6𝑦2𝑥 − 7𝑦 + 4𝑥 =

8. 𝑎2𝑏 − 3𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 5𝑎2𝑏2 + 2𝑎𝑏 − 9𝑏𝑎2 + 7𝑏𝑎2 =

9. 12

𝑥 + 𝑦 − 23

𝑦 + 4𝑥 − 56

+ 𝑦 − 2 =

10. 2𝑎 − 78

𝑏 + 5 − 34

𝑎 + 𝑏 − 15

=

Suma y resta de polinomios. Estas operaciones se resuelven siguiendo las mismas reglas, por lo que se le da el nombre de suma algebraica y suele contener tanto sumas como restas en la misma operación. El procedimiento para resolver estas operaciones se explica en la presentación que se encuentra en el siguiente enlace:

http://licmata-math.blogspot.mx/2015/10/algebraic-operations-polynomial-addition.html

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Siguiendo las instrucciones que ahí se describen, resuelve las siguientes operaciones:

1. (−2𝑥2 + 4𝑥 − 8) − (5𝑥 − 4𝑥2) + (3𝑥2 − 8𝑥 − 1) =

2. −(5𝑦3 + 4𝑦2 + 6𝑦 − 9) + (7𝑦3 + 6𝑦 + 13) =

3. (2𝑎𝑏 + 3𝑏𝑐 − 5𝑎𝑐) − (7𝑏𝑐 − 9𝑎𝑏 + 8𝑐𝑎) + (5𝑎𝑏 − 6𝑐𝑏 + 7𝑐𝑎) =

4. (−9𝑥𝑦 + 8𝑦𝑧 − 5𝑥𝑧) − (6𝑦𝑥 − 9𝑧𝑦 + 12𝑥𝑧) + (2𝑧𝑦 − 5𝑧𝑥) =

5. −(2𝜋𝑟2 − 4𝜋𝑟) + (𝜋𝑟2 + 9𝑟 + 8) − (7 + 𝜋𝑟) =

6. −(4𝜋𝑟3 − 2𝜋𝑟2 + 3𝜋) − (3𝑟2 + 𝜋𝑟3) + (𝜋𝑟2 − 9𝑟 + 5) =

7. −(3𝑥𝑦 + 5𝑥2𝑦 − 6𝑥𝑦2 + 8𝑥) − (2𝑥2𝑦 − 5𝑦2𝑥 − 9𝑦 + 4𝑥) =

8. (𝑎2𝑏 − 3𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 5𝑎2𝑏2) − (2𝑏2𝑎2 + 2𝑎𝑏 − 9𝑏𝑎2 + 7𝑏𝑎2) =

9. (12

𝑥 + 3𝑦 − 4) − (23

𝑦 + 7𝑥) − (56

+ 𝑦 − 2) =

10. (2𝑎 − 78

𝑏 + 5) − (34

𝑎 + 𝑏 − 15) + (1

8𝑎 − 2𝑏 + 6) =

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Multiplicación de polinomios. El procedimiento para efectuar esta operación se explica en la presentación que se encuentra en el siguiente enlace:

http://licmata-math.blogspot.mx/2015/10/algebraic-operations-polynomial.html

Siguiendo las instrucciones que ahí se describen, resuelve las siguientes operaciones:

1. (3𝑥 − 6)(5𝑥 + 3) =

2. (−5𝑥2 + 3𝑥 − 6)(−7𝑥2 + 8𝑥) =

3. (3𝑦3 + 2𝑦2 − 5𝑦 − 1)(+7𝑦3 + 5𝑦 + 13) =

4. (2𝑎 + 3𝑏 − 5𝑐)(−5𝑎 + 6𝑏 − 4𝑐) =

5. (2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧)(4𝑥 − 9𝑦 + 𝑧) =

6. (2𝜋𝑟2 − 4𝜋𝑟 + 2)(+𝜋𝑟2 + 9𝑟) =

7. (4𝜋𝑟3 − 3𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟)(−6𝜋𝑟2 + 𝜋𝑟3 − 9𝜋 + 4) =

8. (7𝑥2𝑦 − 8𝑥𝑦2 + 9𝑥 − 4𝑥2𝑦)(−7𝑦 + 4𝑥 + 2) =

9. (𝑎2𝑏 − 3𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏2)(2𝑎 + 3𝑏 − 5) =

10. (12

𝑥 + 𝑦) (− 23

𝑦 + 4𝑥) (− 56

+ 𝑦 − 2) =

División de polinomio entre monomio Esta operación, y la división de monomio entre monomio, se emplean bajo diferentes circunstancias, una de ellas es la conversión de unidades. Por ejemplo:

El hombre más rápido del mundo puede recorrer una distancia de 100 metros en poco menos de 10 segundos, su velocidad es de aproximadamente 10 metros por segundo.

𝒗 = 𝒅𝒕

= 𝟏𝟎𝟎 𝒎𝟏𝟎 𝒔

= 𝟏𝟎 𝒎𝒔

¿Cuál es su velocidad en kilómetros por hora?

𝒗 = 𝟏𝟎 𝒎𝒔 ×

𝟏 𝒌𝒎𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎 ×

𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔𝟏 𝒉 =

𝟏𝟎 × 𝟏 × 𝟑𝟔𝟎𝟎𝟏 × 𝟏𝟎𝟎𝟎 × 𝟏

𝒎 𝑲𝒎 𝒔𝒔 𝒎 𝒉 = 𝟑𝟔

𝑲𝒎𝒉

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Consulta el procedimiento empleado para resolver la división de monomio entre monomio y la de polinomio entre monomio y resuelve las siguientes operaciones.

1. 6𝑥2𝑦3𝑧−2𝑥𝑦2𝑧

=

2. −9𝑎4𝑏3𝑐𝑑2

3𝑎𝑏2𝑐𝑑=

3. −9𝑥3𝑦3𝑧3+12𝑤2𝑥𝑦2+15𝑤3𝑥4𝑧

3𝑤𝑥𝑦2𝑧=

4. 4𝑎2𝑏3𝑑5+16𝑏2𝑐𝑑3−8𝑎3𝑐4𝑑

−4𝑎𝑏3𝑐2𝑑4 =

5. 3𝑚3𝑛4𝑝𝑞+12𝑛2𝑝𝑞4−18𝑚3𝑛4𝑞+6𝑛3𝑝𝑞4

−6𝑚𝑛2𝑝3𝑞2 =

6. 10𝑝3𝑞2𝑟−15𝑞2𝑟𝑠3−5𝑝4𝑞3𝑠+20𝑝3𝑟𝑠2

10𝑝3𝑞2𝑟𝑠2 =

7. 3𝑤3𝑦2𝑧+18𝑥2𝑦𝑧4−12𝑤4𝑥4𝑦𝑧+24𝑤5𝑥𝑧3

12𝑤2𝑥3𝑦2𝑧=

8. −14𝑛3𝑝2𝑞+7𝑚2𝑝𝑞3−21𝑚3𝑛3𝑞+28𝑚𝑛3𝑝𝑞2

−14𝑚𝑛2𝑝2𝑞4 =

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División de polinomio entre polinomio. La operación algebraica básica que, probablemente, resulta más laboriosa, es la división de polinomio entre polinomio. El procedimiento que se sigue para resolverla es muy parecido al de la división en aritmética elemental.

En el siguiente ejemplo, ve anotando, del lado derecho, la explicación del procedimiento que se sigue para efectuar la operación indicada.

Ejemplo: Dividir (𝑥3 + 𝑥2 − 7𝑥 − 1) entre (𝑥 − 2)

Primer paso: Identifica dividendo, divisor, cociente y residuo. Explica brevemente cada uno de estos conceptos.

Segundo paso: Divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.

En el recuadro de la izquierda, efectúa la división de monomio entre monomio y escribe el resultado.

El resultado de esta división se escribe en el cociente, de forma tal, que quede alineado con el término del mismo grado que se encuentra en el dividendo.

Tercer paso: Multiplica el resultado de la división efectuada en el paso 2, por el divisor; al resultado se le cambian los signos porque se resta del dividendo. Anota los resultados en los dos lugares correspondientes (recuadros rojos).

Cuarto paso: Efectúa la suma algebraica de 𝑥3 + 𝑥2 que se encuentra en el dividendo, y el resultado del tercer paso. Escribe la respuesta en el óvalo color azul de la derecha.

Quinto paso: “Se baja” el – 7x del dividendo y se coloca junto al resultado de la suma algebraica del cuarto paso y el procedimiento se repite hasta terminar de “bajar” todos los términos del dividendo.

Último paso: Termina de efectuar la división y elabora una presentación en la que expliques, paso a paso, el procedimiento para dividir polinomio entre polinomio.

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Efectúa las siguientes divisiones y anota las explicaciones, en los recuadros de la derecha, acerca del procedimiento que se siguió.

1.

2.

3.

4.

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El uso de Excel en la comprensión y resolución de problemas del álgebra. Una excelente herramienta para entender y aprender álgebra es la hoja de cálculo. Debido a que es una herramienta que puede efectuar operaciones fácilmente y en la es posible utilizar fórmulas, es sencillo registrar la información general de un problema como una colección de fórmulas y, posteriormente, introducir diferentes valores y observar el comportamiento general del modelo.

Ejemplo:

Con referencia al problema de la fundición:

El costo fijo es de $25000

El costo variable es de $60 por pieza

El costo total se obtiene sumando costos fijos y variables.

Podemos elaborar una hoja de cálculo con la información que se muestra a la derecha.

Los datos sencillamente se introducen en cada celda.

Para calcular el costo total se escribe, en la celda C8 la fórmula: =C4*C6+C3

Al escribir la fórmula y presionar la tecla <Intro>, se calculan los resultados y obtenemos la imagen que se muestra en seguida.

La ventaja del uso de Excel es que podemos modificar cualquiera de los valores de las celdas y, automáticamente, Excel nos muestra el resultado de la fórmula; el costo total.

Incluso es posible plantear escenarios con diferentes valores para el número de piezas y luego trazar una gráfica que muestre el comportamiento del costo según diferentes niveles de producción.

Lecturas recomendadas.