actualmente la matemática no es muy visible en nuestra cultura cotidiana
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Actualmente la matemática no es muy visible en nuestra cultura cotidiana.
Trisección de un ánguloTrisección de un ángulo
Medios de comunicaciónMedios de comunicación
Otro ejemplo lo encontramos en la película “Pi”.
En principio puede considerarse una película de ciencia ficción más, pero la curiosidad de esta película es que al principio aparecen en la pantalla algunos decimales del número y es curioso que a partir de la NOVENA cifra decimal los números están equivocados.
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. Arquímedes diseñó varias máquinas de gerra basadas en palancas y “politges” que dificultaron enormemente al ejército de Roma la conquista de Grecia.
“Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”, con esta frase anunció la Ley de la Palanca.
La Ley de la Palanca sirve como base para muchos objetos cotidianos, como por ejemplo las tenazas, las tijeras, los abrelatas, los cascanueces o las pinzas. La diferencia entre ellos está en la situación del punto de apoyo.
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En el siglo III a. C., Herón, rey de Siracusa, mandó construir una corona de oro a un joyero de la ciudad. Cuando finalizó el encargo, el monarca sospechaba que había sido engañado por el artesano, que sustituyó parte del metal precioso por plata. Pero no podía demostrarlo, así que acudió a Arquímedes.
Un día mientras se bañaba, se dio cuenta de que el agua se derramaba por el borde al meterse dentro.
Eureka!!
Su experimento demostró que el agua permite el cálculo exacto del volumen de cuerpo, puesto que el peso del volumen del agua desplazada coincide con la pérdida de peso que experimenta el cuerpo cuando se ha sumergido.
De esta forma, Arquímedes descubrió el engaño del joyero.
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RAMÓN LLULL Y LA NAVEGACIÓN s. XIII
¿Cómo podía navegar Colón sin cartas náuticas, sin información meteorológica, y sin los modernos instrumentos de navegación que disponemos hoy en día?
Ramon Llull fue el autor del libro “El arte de navegar”
En un principio, los telescopios se usaron únicamente con fines comerciales y militares.
Aunque Galileo no inventó el telescopio, su innovación fue usarlo para estudiar el cielo.
Observó los cráteres de la luna, descubrió los anillos de Saturno, verificó las fases de Venus, también descubrió las cuatro lunas de Júpiter y las denominó los cuatro hermanos Medici. G
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Estudió principalmente los planos inclinados y el péndulo, formuló correctamente la ley de la caída de los cuerpos y descubrió que los proyectiles en movimiento siguen trayectorias parabólicas.
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En 1846 el joven astrónomo alemán Johann Galle sacó del anonimato al hasta entonces desconocido Neptuno.
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Pero Galileo ya estuvo cerca de descubrir verdaderamente a Neptuno. Si Galileo no le hubiera perdido el rastro, el octavo planeta del Sistema Solar habría sido encontrado antes que el séptimo (Urano).
NEWTON Y EL CÁLCULO DIFERENCIAL
Newton en una carta a Leibniz le presenta el enunciado de su teorema y le explica con detalle como ha descubierto la serie binòmica.
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La primera información publicada sobre su cálculo diferencial e integral aparece indirectamente en sus famosos Philosophiae naturalis principia mathematica, de 1687.
NEWTON Y EL CÁLCULO DIFERENCIAL
Aplica su método para obtener el área comprendida bajo varias curvas y para resolver numerosos problemas que requieren sumas infinitas. Enuncia y utiliza también la regla moderna: la integral indefinida de una suma de funciones es la suma de las integrales de cada una de las funciones.
NEWTON Y EL CÁLCULO DIFERENCIAL
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Georg Riemann (1826-1866) dió a conocer su nueva geometría.
La utilización del espacio multidimensional para simplificar las leyes de la naturaleza. La electricidad, el magnetismo y la gravedad no serían más que efectos causados por la distorsión del hiperespacio. La fuerza, según Riemann, sería una consecuencia de la geometría del espacio.
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Fue Einstein quien enunció que la curvatura del espacio está determinada por la cantidad de matéria y energía que contiene.
E = m·c2
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La popularización de las ideas de Riemann llegaron a Inglaterra a través de la literatura, con obras como Alicia en el país de las maravillas de Carroll y La Máquina del Tiempo de Wells.
La popularización de las ideas de Riemann llegaron a Inglaterra a través de la literatura, con obras como Alicia en el país de las maravillas de Carroll y La Máquina del Tiempo de Wells.
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Los escandinavos utilitzaron una figura con triángulos com un símbolo asociado al dios Odín, que sigue el mismo patrón de los anillos de Borromeo.
Shinto es una religión indígena de Japón. En su mitología coexisten tres reinos: el cielo (la tierra de Dios), tierra (la tierra de los hombres), y el mundo terrenal (la tierra de los muertos).
Francesco Sforza autorizó incluir en el escudo el símbolo de los anillos, en reconocimiento a la ayuda recibida por la familia Borromeo para defender Milán.
Palacio de Borromeo en Palacio de Borromeo en MilánMilán
Uno de los descendientes de la familia Borromeo, el Cardenal Carles, representó a la Santísima Trinidad con los anillos, símbolo de la familia en la época en que el protestantismo tomaba fuerza en Europa.
La tumba de Michelangelo
Empresas o instituciones que han utilitzado como logotipo estos anillos entrelazados.
En el año 1991, durante la Olimpiada Cultural, John Robinson presentaba su última obra Creation en el Symposium on the Current State and Propsects in Mathematics en Barcelona.
Estos anillos están relacionados con la teoría de Nudos, una rama de las matemáticas llamada Topología.
Un nudo puede pensarse como una circunferencia en el espacio tridimensional. La unión de uno o más nudos se llama enlace. A parte de la propia circunferencia, el nudo más simple es el trébol, que sólo tiene tres cruces.
La serie de televisión Embrujadas utiliza el trébol como símbolo de la bruijería.
El desarrollo de la teoría de nudos alrededor de los siglos XIX y XX, está intimamente ligado al de la química.
A partir de entonces y durante todo el siglo XX la teoría de nudos se desarrolló como una rama propia de la topología, estrechamente vinculada al estudio de las variedades de dimensión 3 y a otras ramas de la matemática como la geometría y el álgebra.
En su objetivo de clasificar las moléculas Peter Tait intentó clasificar los nudos.
Pero la relación con la química aparece nuevamente, cuando en el año 1989 Dietrich-Buchecker y Sauvage sintetizaron por primera vez un nudo molecular en forma de trébol constituido por 124 átomos. Este resultado se perseguía desde hacía más de treinta años.
Y Linag y Mislov, en 1994 y 1995, descubrieron que los nudos y los enlaces aparecen de forma natural en las proteinas, resultado que ha llevado a biólogos moleculares a encontrar moléculas de ADN anudadas y enlazadas en la naturaleza, y que pueden manipularse en el laboratorio.
Hace pocos años los químicos, farmacéuticos y biólogos moleculares descubrieron la importancia de la quiralidad de las moléculas, un hecho que tiene que ver con la geometría y los enlaces de la molécula. Hace unos años un fármaco para a embarazadas, que servía per mitigar los mareos durante el embarazo, produjo graves deformaciones en algunos fetos. ¡Se había utilizado en la fabricación del fármaco la molécula simétrica buena!
Hasta hace pocos años, el único laboratorio de experimentación que tenía un matemàtico era su propia mente.
Se decía que para hacer matemáticas era suficiente un lápiz y un papel.
Con los ordenadores la mayoría de cálculos que se plantean se reducen a operaciones.
Con los ordenadores e internet ha llegado la era de la información.
La criptografía y la teoría de códigos son especialidades propias de la teoría de la información y de la comunicación, una área de la matemática desarrollada en la segunda mitad del siglo XX.
Cuando se transmite información nos interesa conseguir:
Un alto grado de fiabilidad
Un alto grado de confidencialidad
Un alto grado de fiabilidad
Teoría de códigos
EJEMPLO: ¿para qué sirve la letra del NIF?
Si el número de tu DNI es el 46459533, ¿qué letra le corresponde?
0=T 4=G 8=P 12=N 16=Q20=C
1=R 5=M 9=D 13=J 17=V21=K
2=W 6=Y 10=X 14=Z 18=H22=E
3=A 7=F 11=B 15=S 19=L
La letra será la Q
Un alto grado de fiabilidad
El ADN también tiene un dispositivo propio para controlar los errores denominado “código de control”; ésta es la explicación de por qué las mutaciones o malformaciones aparecen generalmente después de muchas generaciones.
Un alto grado de confidencialidad
Criptografía: ciencia que se encarga del diseño de sistemas de escrituras secretas.
Criptoanálisis: ciencia que estudia los procedimientos para descubrir los secretos de estos sistemas de escritura.
En la antigüedad la criptografía se utilizó especialmente en la adivinación (s. VIII a.C.), un ejemplo es la tabla de Esagil.
Un alto grado de confidencialidad
El uso de la criptografía se reducía hasta épocas relativamente recientes al ámbito militar y al espionaje.
Un alto grado de confidencialidad
Debido a la existencia de ordenadores con potencia de cálculo cada vez mayor y, en segundo lugar, quizá más determinate, la generalización de las comunicaciones y otras transacciones telemáticas, se ha hecho necesario el uso de la criptografíia por parte de un número cada vez mayor de usuarios.
Un alto grado de confidencialidad
EJEMPLO: ¿como se codifican los mensajes?
Supongamos que queremos comunicar a nuestros compañeros de clase el siguiente mensaje para que el profesor no se entere:
demà farem campana i anirem a esquiar(Mañana haremos campana e iremos a esquiar)
Un alto grado de confidencialidad
Nos inventamos un “lenguaje” secreto:
•La primera letra (d) la cambiaremos por la letra del alfabeto que está 5 lugares más adelante (i).
•La segunda letra (e) la cambiaremos por la letra del alfabeto que está 7 lugares más adelante (l).
•La tercera letra la cambiaremos, otra vez, por la que está 5 lugares más adelante, la cuarta letra por la que está 7 lugares más adelante ...
demà farem campana i anirem a esquiarilrh khwlr jftwhsh n hspwlr h jzvbnhw, 35
Un alto grado de confidencialidad
Con el 5 y el 7 es posible que alguien Con el 5 y el 7 es posible que alguien descifre el mensaje en poco tiempo. descifre el mensaje en poco tiempo.
Si en lugar de utilizar el 5 y el 7, que al Si en lugar de utilizar el 5 y el 7, que al multiplicarse dan 35, hubiésemos utilizado multiplicarse dan 35, hubiésemos utilizado el 102.197 y el 104.729, que multiplicados el 102.197 y el 104.729, que multiplicados dandan 10.70210.702..989.613, nunca habrían 989.613, nunca habrían descrifado la clave.descrifado la clave.
Maria Estuard fue decapitada en 1587.Un lingüista descifró las cartas enviadas en código secreto por unos conspiradores católicos.
VERDIAl día siguiente del estreno de una ópera de Verdi, las calles estaban repletas de pintadas que decían “Viva Verdi”. Aquí se utilitzaba VERDI como acrónimo de Vitorio Emmanuelle Re De Italia (el candidato para ocupar el trono a la futura monarquía italiana).
Primera guerra mundialEn 1917 los servicios de inteligencia británico descifraron el “telegrama Zimmermann”, enviado desde Alemania a su embajador en Méjico, en el que se negociaba la entrada de Méjico en la guerra del lado de los alemanes, a cambio de los estados norteamericanos de Texas, New Mexico y Arizona. Esto propició la entrada en la guerra de los EEUU y la derrota de Alemania.
Los BeatlesEn 1970, en uno de los últimos discos de los Beatles, Sergeant Pepper’s Lonely Hearts Club Band, se incluyó la canción Lucy en the Sky with Diamonds, una apología de la droga alucinógena LSD (Cellophane flowers of yellow and green towering over your head... Everyone smiles as you drift past the flowers that grow so incredibly high ...”)
Mensajes GSM, televisión digital, internet3 casos de comunicación entre individuos o empresas e individuos en los cuáles existe una operadora “central”.El mensaje (enviado por una persona o por una televisión) se codifica (con 0 y 1), pasa por la “central” (que conoce el código del emisor), lo descodifica y lo vuelve a codificar con el código del receptor.Los mensajes tienen que distorsionarse lo suficiente para que una persona no autorizada no pueda entenderlos.
ConfidencialidadGarantizar que el mensaje sólo es comprensible por su destinatario.
CUATRO PROBLEMAS BÁSICOS
Integridad = FiabilidadAsegurar que el mensaje no puede alterarse por error.
No repudiaciónEl remitente no puede negar que lo ha enviado.
AutenticidadEvitar la suplantación de personalidad (firma digital).
Por permutaciónPermutando las letras del texto
Por substituciónSubstituyendo unas letras por otras (como en el mensaje para ir a esquiar). Ya utilitzado por Julio Cesar.Es una función del tipo f(x) = x + nEn el caso del mensaje para ir a esquiar era f(x) = x + 5, si x ocupa una posición impar y f(x) = x + 7, si x ocupa una posición par.
Per bloquesDividir el texto en bloques de n letras (p.e., 5), reordenar los números del 1 al n (p.e., 3,1,5,2,4) y permutar las letras de cada bloque.
Por cajasUna mezcla del método por bloques y los otros.Utilizado por el ejercito español hasta 1970.
En el siglo XVI los gobiernos europeos reclutaban a matemáticos para descifrar los mensajes de sus enemigos. Francia había contratado a François Viète, que descifraba todos los mensajes enviados por España. Felipe II quiso que el Papa Gregorio XIII lo juzgara por actividades satánicas, pero resultaba que el Vaticano ¡también interceptaba los mensajes de los españoles!
Un código moderno: el código ASCIIEs el que usan todos los ordenadores. 256 códigos de 8 cifras (sólo 0 y 1), que codifican todos los posibles caracteres (mayúsculas, minúsculas, puntos, interrogantes, letras con tildes, espacios en blanco, etc) Cada ordenador codifica primero, y descodifica después.
La frecuencia del uso de las letrasEn un texto en catalán (en castellano se dan porcentajes parecidos), la E sale un 13,89% de veces, la A un 12,55%, la S un 8,43%, la R un 7,74%, etc. Se puede estudiar con qué frecuencia salen las diferentes letras en un texto encriptado. Si una letra sale más de un 10% de veces, tiene que representar en el texto original la E o la A, etc.
Las características de la lengua:En castellano la Q siempre va seguida de una U. Si en el texto encriptado hay dos signos que aparecen seguidos con mucha frecuencia, representarán una Q y una U muy probablemente.
Estas técnicas las utilizan los ordenadores para enzipar.
La máquina del secreto perfecto
Teoría desarrollada por Claude Shannon en el año 1948 (todavía no es realmente perfecta).
Se basa en funciones del tipo f(x) = ax + b (mod n).
¿Qué significa esto?
Se basa en la seguridad limitada: todo mensaje acabará siendo descifrado, pero hace falta que el espía tarde bastante tiempo hasta que ya no tenga interés.
Recordar el mensaje secreto de ir a esquiar.
Matemáticas que se utilizan:
Teoría de grafos.
Geometrías finitas.
Matemática discreta.
Combinatoria.
Teoría de números.
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Es muy difícil encontrar una área de la vida cotidiana en la que no haya detrás un apartado matemático y en la que las matemáticas no hayan aportado su visión de la realidad.
•Neurociencias•Seguridad de datos digitales•Optimitzación de recursos•Genómica•Riesgos financieros
•El FBI utiliza un sistema matemático para almacenar huellas digitales.
•Consultoria matemática
Estudiar matemáticas me ha aportado la capacidad de encontrar soluciones innovadoras y eficientes en cualquier situación, tanto en la vida profesional com en la personal.
•Riesgo financiero (Bancos y Cajas)
Diariamente, como director del departamento cuantitativo de la Tesorería del Grupo BS, aplico les Matemáticas para construir modélos de valoración de instrumentos financieros derivados exóticos.
AlbertBanc de Sabadell
•Instituto Catalán de Oncología
Mi trabajo se basa en describir la genética del cáncer, aplicando las matemáticas que he aprendido.
•Investigación en matemáticas
A la hora de escoger una carrera pensaba que si estudiaba informàtica lo tendría más fácil para encontrar trabajo. Cuando me licencié en Matemáticas en la UAB comprobé que esta idea era equivocada.
Campos profesionales para matemáticos:Administración de sistemas, informáticos avanzados,
análisis de aplicaciones informáticas, análisis de datos, análisis financieros, aseguradoras, auditorías, cálculo y control de riesgos, cartografíia, codificación, consultoría, control de patentes, control de cantidad, criptografía, dirección de empresas, dirección de proyectos informáticos, diseño arquitectónico, diseño industrial, economía, ingeniería aeronáutica y espacial, ingeniería civil, ingeniería industrial, ingeneiría de telecomunicaciones, enseñanza, epidemiología, geomática, inteligencia artificial, investigación científica, investigación de mercados, juegos y apuestas, visión por ordenador, robótica.....