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L’obiettivo di questo seminario è quello di discutere la Transizione di FaseQuantistica del Modello di Dicke utilizzando concetti e metodi differenti chepossono mettere in luce alcuni aspetti peculiari della natura quantistica dellecorrelazioni e del comportamento collettivo dei sistemi a molti corpi.

Per raggiungere questo obiettivo, dopo aver brevemente discusso il modello diDicke, deriveremo le principali caratteristiche della QPT nel DM, ovvero gliesponenti critici e le correzioni di taglia finita, nel limite adiabatico.

Mostrerò come il formalismo dell’entanglement, ovvero la misura dellecorrelazioni quantistiche non locali tra I componenti del sistema, possa rivelare lanatura puramente quantistica di determinati aspetti della criticalità.

Vedremo infine come la fase di Berry, una proprietà peculiare della geometriadello spazio di Hilbert del sistema, possa essere utilizzata come criterio percaratterizzare la transizione di fase.

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L’Hamiltoniana di Dicke descrive l’interazione collettiva tra N sistemi a due livellied un singolo modo bosonico in approssimazione di dipolo. ∆ è la frequenza ditransizione tra I due livelli, ω è la frequenza dell’oscillatore mentre il fattore 1/√Npermette di assorbire la densità nella costante di accoppiamento λ e di poterlavorare così a densità costante. Le matrici S sono operatori si spin collettivi lacui algebra è sopra descritta. Gli operatori di creazione e distruzione del modobosonico obbediscono alle usuali relazioni di commutazione.

Tale Hamiltoniana venne originariamente introdotta da Dicke per studiare ildecadimento collettivo di un sistema di N atomi eccitati dovuto all’emissionespontanea di fotoni.

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La transizione di fase nel modello di Dicke venne derivata nei primi anni ‘70 dadiversi autori. In figura è rappresentato il diagramma di fase di tale transizione.La curva, che esprime la dipendenza della temperatura critica dalla costante diaccoppiamento critica, identifica il confine tra due fasi, quella cosiddetta“normale” in cui l’occupazione bosonica per spin è nulla e quella “superradiante”,che ha un occupazione bosonica macroscopica. A temperatura nulla la costantedi accoppiamento critica è λc=(ω∆/2)½ .

Il modello di Dicke è stato recentemente riscoperto anche in contesti diversi daquello dell’Ottica Quantistica. Esso è stato infatti usato per investigare alcunecaratteristiche di sistemi artificiali a scala nanometrica, quali i quantum dots o legiunzioni josephson, utilizzati nello sviluppo dei processi di informazione ecomunicazione quantistica. Un’ulteriore applicazione è quella delle PhotonicBand Gap.

PBG: strutture artificiali caratterizzate da una disposizione periodica di materialedielettrico che porta alla formazione di una struttura a bande per le ondeelettromagnetiche che si propagano all’interno e che quindi rappresentanol’analogo ottico di un semiconduttore.

QUANTUM DOTS: Quantum dots, also known as nanocrystals, are a specialclass of materials known as semiconductors. The electrons in quantum dots havea range of discrete energies. Quantum dots are unique class of semiconductorbecause they are so small, ranging from 2-10 nanometers (10-50 atoms).

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Prima di affrontare il problema specifico della QPT nel modello di Dicke,descriviamo brevemente le proprietà essenziali di una QPT.

Una QPT è un cambiamento qualitativo e drastico delle proprietà di un sistemafisico che avviene a temperatura nulla al variare di un parametro di controllo nontermico come, ad esempio, una costante di accoppiamento.

Un modo di caratterizzare una QPT è attraverso lo studio delle proprietà dellostato fondamentale del sistema in funzione del parametro di controllo.

In una transizione di fase del primo ordine è presente un “level crossing” quandouno stato eccitato diviene lo stato fondamentale nel punto critico. In questo casosi crea un punto di non analiticità nell’energia dello stato fondamentale.

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Nello spettro dell’energia di una QPT del secondo ordine si può identificare unascala di energia (un gap) nello spettro delle fluttuazioni quantistiche attorno allostato fondamentale. Nel limite termodinamico questa scala si annulla generandoun punto di non-analiticità.

In molti casi, quando λ si avvicina al punto critico, il gap si annulla come (vedisopra), dove Γ è una costante di proporzionalità mentre a è un esponente criticoche è (usualmente) universale, ovvero non dipende dai dettagli microscopicidell’Hamiltoniana. Questo comportamento è presente sia per λ>λc che per λ<λccon lo stesso esponente critico ma differenti costanti di proporzionalità non-universali.

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Nei pressi di una QPT del secondo ordine, sia a temperatura nulla cha atemperatura finita, non solo il gap ma molte altre osservabili fisiche (ad es. Ilparametro d’ordine) presentano un comportamento non-analitico o divergenteche è caratterizzato da determinati esponenti critici.

Quando N è grande, ma non infinito, per sistemi che presentano una QPT alsecondo ordine nel limite termodinamico, vi è uno “scaling” delle osservabilifisiche con N.

Questa proprietà può essere derivata introducendo “l’ipotesi di scaling” chepostula l’esistenza di una funzione regolare F(x) definita come sopra.

L’esponente critico υ cosi ottenuto non dipende dall’osservabile e può essere ilmedesimo per sistemi descritti da Hamiltoniane molto diverse (che sonoassociate a gruppi differenti). In questo caso si dice che tali Hamiltonianeappartengono alla medesima classe di universalità.

Il nostro primo obiettivo è quello di determinare gli esponenti critici nel modello diDicke.

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Malgrado sia possibile determinare esattamente gli esponenti critici di alcuneosservabili fisiche nel DM nel limite termodinamico, la derivazione delle correzionidi taglia finita è piuttosto complicata poiché l’Hamiltoniana di Dicke non èesattamente risolubile (integrabile).

Per semplificarne lo studio, guidati dall’universalità del comportamento critico,abbiamo scelto di analizzare il caso di N qubits accoppiati ad un oscillatore difrequenza molto più piccola della frequenza di transizione tra i due livelli.

Passando alla rappresentazione delle coordinate, ridefinendo per convenienzadue nuovi parametri dell’Hamiltoniana D ed L al posto di ∆ e λ, il vettore di statodel sistema si può scrivere in maniera del tutto generale come |ψ> , che contieneil prodotto diretto tra gli autostati dell’oscillatore e dei qubit.

Nel limite adiabatico (D>>1) è conveniente scegliere lo stato dei qubit comel’autostato dell’equazione adiabatica soprascritta. Gli autovalori di questaequazione vengono così reintrodotti nell’Hamiltoniana generale per ottenere unequazione agli autovalori per l’oscillatore che ora è confinato in un “potenzialeadiabatico efficace”.

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Vediamo come si traduce questa procedura nel semplice caso di un solo qubit.L’Hamiltoniana per N=1 prende il nome di hamiltoniana di Rabi. L’equazione agliautovalori adiabatica ha due soluzioni (vedi sopra) che generano due potenzialiadiabatici efficaci che vediamo rappresentati nel lucido successivo.

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In figura sono rappresentati i potenziali in funzione di Q e del parametro α. Perα=0 abbiamo due semplici potenziali armonici. Al crescere di α il potenzialesuperiore diviene un potenziale armonico “squeezed”. Il potenziale dello statofondamentale ha un comportamento differente nelle due regioni α<1 e α>1: nelprimo caso otteniamo un potenziale armonico “allargato”; nel secondo, divieneuna doppia buca simmetrica con minimi a Q=±Q0.

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In figura vi sono le autofunzioni dello stato fondamentale dell’oscillatore nelpotenziale adiabatico inferiore per due differenti costanti di accoppiamentoottenute dalla soluzione numerica dell’equazione agli autovalori.

Per piccoli , la funzione d’onda è approssimativamente una funzione gaussianacentrata a Q=0. L’effetto della presenza degli spin è nella rinormalizzazione delvalore della frequenza dell’oscillatore di un fattore k.

Per grandi , la funzione d’onda si trova in regioni spaziali molto lontane da Q=0 epuò essere approssimata come la sovrapposizione simmetrica di due gaussianecentrate a Q=±Q0 . Anche in questo caso la presenza degli spin è nellarinormalizzazione del valore della frequenza dell’oscillatore di un fattore k’.

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Per N>1 le soluzioni dell’equazione adiabatica sono 2N+1 e si possono scriverein funzione dei cosiddetti stati di Dicke (autostati della componente z deglioperatori di spin collettivi). Lo stato più basso risulta essere il prodotto direttosoprascritto.

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In figura sono rappresentati i potenziali in funzione di Q quando N=10 e α>1.Ciascun potenziale è separato dal successivo di una quantità D a Q=0.

A questo punto abbiamo tutti gli elementi per poter studiare lo stato fondamentaledel sistema e determinate il comportamento critico delle osservabili fisiche (nellimite adiabatico).

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In figura è riportata la magnetizzazione per spin al variare di α al crescere di N.

La magnetizzazione per spin cresce in maniera monotona da -1 (dove lo stato deiqubit è l’autostato più basso di Sx) a 0 (dove lo stato dei qubit è l’autostato piùbasso di Sz) al crescere di α. Questo comportamento si può anche determinareosservando l’integrale soprascritto. Per piccoli α ,l’integrale si riduce allacondizione di normalizzazione per la funzione d’onda dello stato fondamentale,mentre, per grandi α, la funzione d’onda è sistemata in regioni spaziali moltolontane da Q=0 e l’integrale del prodotto di questa funzione con una lorentzianacentrata a Q=0 è pressoché nullo. Tra questi due casi estremi è presente un“crossover” che diviene una transizione netta quando N diviene infinito.

Lo scaling di taglia finita è rappresentato in un grafico log2-log2 dove l’esponentecritico non è altro che il coefficiente angolare della retta.

Per l’esponente critico caratteristico del numero di correlazione si ottiene il valoredi 3/2.

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In figura è riportata l’occupazione bosonica per spin al variare di α al crescere diN.

L’occupazione bosonica per spin ha lo stesso comportamento qualitativo dellamagnetizzazione al variare di N. Nel limite termodinamico, nella fase normale ènulla mentre nella fase superradiante, tale occupazione cresce pressochélinearmente al crescere di α.

Anche in questo caso, come ci attendiamo per una QPT, υ= 3/2.

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Nel grafico riporto l’energia dell’oscillatore al variare di α al crescere di N.

Nel limite termodinamico il modo bosonico diviene, per α<1, un oscillatorearmonico semplice con frequenza rinormalizzata di un fattore k e, per α>1 , unoscillatore armonico “displaced” (o “shifted”) con frequenza rinormalizzata di unfattore k’. L’annullarsi di e0 al punto critico rivela che questa è una transizione difase del secondo ordine.

Si può ottenere una misura della localizzazione della funzione d’ondadell’oscillatore attraverso un quantità chiamata “rapporto di partecipazioneinversa” che mostra come la funzione d’onda sia enormemente delocalizzata nelpunto critico.

L’esponente di scaling (1/3) e l’esponente critico (1/2) sono in accordo leproprietà di universalità del comportamento critico.

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Lo scaling di taglia finita può essere determinato analiticamente attraversol’utilizzo di un unico parametro di scala ζ. Tutte le osservabili fisiche risultanodipendenti dai coefficienti β che sono i coefficienti dell’espansione perturbativadell’energia e0 nei pressi del punto critico.

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In questo lucido ho riassunto tutti I risultati per le osservabili fisiche mettendo inevidenza l’universalità del comportamento critico delle stesse.

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L’interazione tra oggetti quantistici porta a correlazioni non locali che non hannoun analogo classico. L’entanglement è una misura del grado di correlazione nonlocale tra oggetti quantistici, ovvero di quanto lo stato complessivo del sistemasia “non separabile”, ovvero non fattorizzabile in stati degli oggetti individuali.

Poichè le transizioni di fase presentano un drastico cambiamento della naturadelle correlazioni dello stato fondamentale, ci si può aspettare che l’entanglementnello stato fondamentale possa subire non solo un cambiamento sostanziale neipressi del punto critico ma anche rivelare un comportamento che scala con lataglia del sistema.

Così, concetti e formalismo usati per descrivere l’entanglement possono essereusati per rivelare la natura puramente quantistica di determinati aspetti dellacriticalità.

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Esistono varie misure del contenuto di entanglement di un sistema e queste sonoconnesse alla matrice densità. Questo perchè gli autovalori della matrice densitàsono probabilità nella base dei proiettori ortogonali e la distribuzione di questeprobabilità fornisce una misura della (im-)predicibiltà di una misura.

Il tangle, che nel nostro caso misura l’entanglement tra un solo qubit ed il restodel sistema, è una di queste misure. Tale misura varia da 0 (nessunentanglement, lo stato del sistema è uno stato puro e fattorizzabile) ad 1(massimo entanglement).

In figura è riportato il tangle al variare di α e al crescere di N. Il massimoentanglement si ha per grandi α . In questo caso, infatti, la funzione d’onda totaledello stato fondamentale del sistema raggiunge la “massima sovrapposizione” tragli stati dell’oscillatore e quelli del qubit. Questa la correlazione tipica tra due partifisiche distanti del sistema complessivo ovvero, in altre parole, è possibile predireil risultato della misura su una parte del sistema “guardando” alla parte lontana.

Anche il tangle ha un comportamento critico che risponde ai requisiti diuniversalità.

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Per valutare l’entanglement tra l’oscillatore e l’insieme degli N qubit abbiamousato una misura chiamata entropia lineare. Tale osservabile è la misuradell’intervallo di variabilità (lo spread) della matrice densità nella sua basediagonale.

In figura è riportata tale misura al variare di α e al crescere di N. E’ presente uncomportamento non analitico nel limite termodinamico nel punto critico ed ilmassimo entanglement si ha proprio nel punto critico.

Questo risultato è in stretta relazione con la misura dello spread della funzioned’onda dell’oscillatore che si calcola attraverso il rapporto di partecipazioneinversa. L’entropia lineare (che si può ottenere allo stesso modo tracciando sullostato dei qubit) assume dunque il suo massimo valore nel punto critico, dove lafunzione d’onda dell’oscillatore presenta la sua massima delocalizzazione.

Anche l’ entropia lineare ha un comportamento critico che risponde ai requisiti diuniversalità.

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La fase di Berry venne scoperta da M. Berry nell’ambito del teorema adiabatico,ovvero nel caso in cui l’evoluzione lenta nel tempo di un Hamiltoniana assicurache il sistema permanga negli autostati dell’Hamiltoniana medesima.Consideriamo dunque un Hamiltoniana che evolve ciclicamente nel temponell’intervallo (0,T). In questo caso il suo vettore di stato acquista una fase che èla somma di due contributi: l’usuale fattore di fase dinamico e quello notoappunto come fase di Berry.Il problema può essere riformulato considerando degli opportuni parametriindipendenti e supponendo che la variazione dell’Hamiltoniana sia indottaesclusivamente dalla variazione di tali parametri. La fase di Berry si può cosiesprimere come un integrale su una traiettoria chiusa nella varietà dei parametri.Tale fase dipende così solo dalla traiettoria della curva C percorsa e non dalmodo in cui questa viene percorsa, ovvero è indipendente dalla dinamica delsistema. Questi sono aspetti inerenti alle proprietà geometriche e topologicheintrinseche dello spazio dei parametri e per questo motivo γ viene detta fasegeometrica. Una proprietà fondamentale della fase di Berry è che è gauge-invariante e quindi potenzialmente misurabile. La BP è stata testata ad esempiocon esperimenti di diffrazione e di interferometria neutronica.Una questione aperta è se e come tale fase possa essere usata per investigareil comportamento dei sistemi a molti corpi ed in particolare le QPT.Il drastico cambiamento nelle proprietà dello stato fondamentale è associato allapresenza di singolarità nell’energia e tale comportamento si deve riflettere nellageometria dello spazio di Hilbert. La BP è in grado di catturare I comportamentisingolari della funzione d’onda e pertanto ci attendiamo che possa segnalare lapresenza di una QPT.

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Se applichiamo una rotazione di un angolo ϕ attorno alla direzione x ad ogni spin,otteniamo un’ Hamiltoniana che è parametrizzata da ϕ medesimo e che èchiaramente isospettrale (e dunque il comportamento critico non dipende da ϕ).

Variando ϕ da 0 a 2π, gli autostati del sistema acquistano una fase geometricache è direttamente proporzionale alla magnetizzazione.

Nello spazio dei parametri il punto critico corrisponde ad un paraboloide L2=2D edunque, quando la regione di criticalità è racchiusa dalla curva C1, si ottiene unafase di Berry non banale. In C2 la fase di Berry è nulla.

Un importante, ma non ovvio, risultato è che la BP possiede uno scaling di tagliafinita.

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