adjunta de una representación lineal ejemplos. propiedades

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

Adjunta de una representación linealEjemplos. Propiedades

Jana Rodriguez HertzGAL2

IMERL

12 de octubre de 2010


definición

definición: adjunta

definición (clase pasada)V ,W e.v. sobre K con producto interno

T : V →W transformación linealcualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si

〈T (v),w〉 = 〈v ,T ∗(w)〉 ∀v ∈ V w ∈W


definición


definición (clase pasada)V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación lineal

cualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si

〈T (v),w〉 = 〈v ,T ∗(w)〉 ∀v ∈ V w ∈W


definición


definición (clase pasada)V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación linealcualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si

〈T (v),w〉 = 〈v ,T ∗(w)〉 ∀v ∈ V w ∈W


existencia y unicidad de la adjunta

teorema de existencia y unicidad

teorema: ∃! adjunta (clase pasada)V ,W e.v. sobre K de dimensión finita

toda T : V →W tranformación linealtiene una única T ∗ : W → V transformación lineal adjunta




teorema: ∃! adjunta (clase pasada)V ,W e.v. sobre K de dimensión finitatoda T : V →W tranformación lineal

tiene una única T ∗ : W → V transformación lineal adjunta




teorema: ∃! adjunta (clase pasada)V ,W e.v. sobre K de dimensión finitatoda T : V →W tranformación linealtiene una única T ∗ : W → V transformación lineal adjunta


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramos

T (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3,

alcanza con base canónica

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)


alcanza con base canónica

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1


calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1


calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 =

〈T (x , y , z), (1,0,0)〉 =x − y + 2z = 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1


calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 = 〈T (x , y , z), (1,0,0)〉

=x − y + 2z = 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1


calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 = 〈T (x , y , z), (1,0,0)〉 =x − y + 2z

= 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1


calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 = 〈T (x , y , z), (1,0,0)〉 =x − y + 2z = 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1


calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 =

〈T (x , y , z), (0,1,0)〉 = 4x − 3z =〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 = 〈T (x , y , z), (0,1,0)〉

= 4x − 3z =〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 = 〈T (x , y , z), (0,1,0)〉 = 4x − 3z

=〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 = 〈T (x , y , z), (0,1,0)〉 = 4x − 3z =〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 =

〈T (x , y , z), (0,0,1)〉 =x + 5y + z = 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 = 〈T (x , y , z), (0,0,1)〉

=x + 5y + z = 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 = 〈T (x , y , z), (0,0,1)〉 =x + 5y + z

= 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 = 〈T (x , y , z), (0,0,1)〉 =x + 5y + z = 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1) =(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)

T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗

〈A,T ∗(B)〉 =

〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A

⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2


T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)

calculemos T ∗

〈A,T ∗(B)〉 =


⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2



〈A,T ∗(B)〉 =


⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2



〈A,T ∗(B)〉 =

〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2



〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉

= 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2



〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉

= tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2



〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A))

=tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2



〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A)

= tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2



〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA)

= 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2



〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A

⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2



〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 3

transformación sin adjunta

ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =

∫ 10 p(x)q(x) dx

consideramos D : V → V tal que Dp = p′

si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 =

〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes

⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)

⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta


ejemplo 3



∫ 10 p(x)q(x) dx


si D tuviera adjunta, entonces

〈p,D∗q〉 =

〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes

⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)



ejemplo 3



∫ 10 p(x)q(x) dx


si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 =

〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)



ejemplo 3



∫ 10 p(x)q(x) dx


si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉

= p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)



ejemplo 3



∫ 10 p(x)q(x) dx


si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉

porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)



ejemplo 3



∫ 10 p(x)q(x) dx


si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes

⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)



ejemplo 3



∫ 10 p(x)q(x) dx


si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)



ejemplo 3



∫ 10 p(x)q(x) dx



⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)

⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRiesz

la clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta


ejemplo 3



∫ 10 p(x)q(x) dx



⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)

⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene

⇒ D no tiene adjunta


ejemplo 3



∫ 10 p(x)q(x) dx



⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)



proposición 1

proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto interno

T1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces

1 (T1 + T2)∗ = T ∗

1 + T ∗2

2 (α.T )∗ = α.T ∗

3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗

4 Id∗ = Id


proposición 1

proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → U

entonces

1 (T1 + T2)∗ = T ∗

1 + T ∗2

2 (α.T )∗ = α.T ∗

3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗

4 Id∗ = Id


proposición 1

proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces

1 (T1 + T2)∗ = T ∗

1 + T ∗2

2 (α.T )∗ = α.T ∗

3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗

4 Id∗ = Id


demostración

ejercicio


proposición 2

proposición 2V ,W e.v. de dimensión finita

T : V →W transformación lineal⇒

(T ∗)∗ = T


proposición 2

proposición 2V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación lineal

⇒(T ∗)∗ = T


proposición 2

proposición 2V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación lineal⇒

(T ∗)∗ = T


demostración

Para todo x ∈W , y ∈ V

〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉

= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉

⇒ (T ∗)∗ = T


demostración


〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉

= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉

⇒ (T ∗)∗ = T


demostración


〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉

= 〈x ,Ty〉

⇒ (T ∗)∗ = T


demostración


〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉

⇒ (T ∗)∗ = T


proposición 3


sea T : V →W transformación linealentonces T invertible⇔ T ∗ invertibley

(T ∗)−1 = (T−1)∗


proposición 3

proposición 3V ,W e.v. de dimensión finitasea T : V →W transformación lineal

entonces T invertible⇔ T ∗ invertibley

(T ∗)−1 = (T−1)∗


proposición 3

proposición 3V ,W e.v. de dimensión finitasea T : V →W transformación linealentonces T invertible⇔ T ∗ invertible

y(T ∗)−1 = (T−1)∗


proposición 3

proposición 3V ,W e.v. de dimensión finitasea T : V →W transformación linealentonces T invertible⇔ T ∗ invertibley

(T ∗)−1 = (T−1)∗


demostración

Supongamos que T es invertible

〈v1, v2〉 =

〈T−1Tv1, v2〉= 〈v1,T ∗(T−1)∗v2〉

⇒ T ∗ invertible


demostración


〈v1, v2〉 = 〈T−1Tv1, v2〉

= 〈v1,T ∗(T−1)∗v2〉



demostración


〈v1, v2〉 = 〈T−1Tv1, v2〉= 〈v1,T ∗(T−1)∗v2〉



proposición 4


T : V →W transformación linealentonces

λ valor propio de T ⇐⇒ λ valor propio de T ∗


proposición 4

proposición 4V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación lineal

entonces



proposición 4

proposición 4V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación linealentonces



demostración

λ valor propio de T

⇔ T − λI no invertible⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible⇔ λ valor propio de T ∗


demostración

λ valor propio de T⇔ T − λI no invertible

⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible⇔ λ valor propio de T ∗


demostración

λ valor propio de T⇔ T − λI no invertible⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible

⇔ λ valor propio de T ∗


demostración

λ valor propio de T⇔ T − λI no invertible⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible⇔ λ valor propio de T ∗

adjunta de una representación lineal ejemplos. propiedades

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