DE

VELOCITATE PROPAGATIQNIS SONI IN LIQUIDUM

DISSERTATIO

quam

VENIA AMPL. FACULT. PHILOS. ÜPSAL.

p. P.

MAG. ADOLPHUS FERDINANDUS SVANBERGad Scholain Militär. Mariaeberg. Mathem. Docehs,

Beg. Acad. Scientiar. Holm., Reg. Societ. Scieuliar.Ups. ncc non Societ. Physiogr. Lumleus,

Membrum

et

DAN. GEORGIUS LINDHAGENOstrogotbus

IN AUDIT. GUSTAV. DIE VI NOV. MDCCCXXXIX

H. A. m. s.

U P s A L I A E

EXCUDEBANT REGIME ACADEMI^I TYPOGRAPHI.

HÖGÅDLA ENKEFRU »OCTOMNNAN

ULRICA AURORA CARLSTRÖMfödd TEUCHLER

vöfdnadsfullt och tacksaml,

samt

De Huldaste För&ldraroch

Älskade Syskon

med sonlig vördnad och broderlig kärlek

helg ad t

af

Georg.

DE VELOCITATE PHOPAGATIONIS SOMIN LIQUID1S.

Illx sequentibus duabus gequationibus leges propagationismotuum parvorum in fluidisj ut cognitum est, pendent

/± + 5=o, o^ q dtdtp dp dtp

±+dJ±+tl±+tl±-o, (,)dt ~ dx dy dzsi quidem variatio densitatis cum profunditate non respi-citur, et ubi sequentes notationes usitat® suntx, y, z coordonatae orthogonales puncti cujuslibet in fluido,t tempus, cujus originena in raomento generationis vibra-tionuni capiamus,B, pressio externa,B-\-p pressio ^ puncto (x, y, 2) ad tempus t,

C densitas )

<P variabilis auxiliaris, cujus coéfficientes differentiales, re-

spectu ipsorum x, y et z sumti, sequales sint velocitati-

3

bus puncti (x, y, 2»), secundum axes cootdonatas aesti-inatis, sive

d(p dxdx dt

do dydy ~~~* dtdo dzdz dt

Stafuamns porro,D esse densitatem fluid! in puncto (x, y% z) in statu se-

quilibrii, / condensationem, ex motu ortam, in hoc eo-

dem puncto ad tempus t; erit quidera

(4)

f= D(z+4, -(5)ubi ™ coefficiens constana est, ex natura fluidi pendens,

nr

cujus valör per experiments, quae de hac re Oersted at-

que Coli ad o n et Sturm instituerunt, pro variis liquidiscognitus et pro omnibus perparvus iuventus est.

Ex aequationibus (4) et (5) obiinemusp~h2D.r, unde dpzz:h2D.dj

ex quo, si valorem ipsius £ ex formula (5) substituimus,fiet

t I+S8eu, neglectis superioribu9 ipsius x dignitatibus,

—— h*dt.«

Si jam bunc valorem in formula (i) substituerimus, fietdtp

(6)^dt w

unde ex aequatione (5) adipiscemur

h2 dt *

Hic valör ipsius g9 in aequatione (2) portata, ad de-terminandum tp aequationem sequentem dabit, neglectissc i licet terminis, qui parvi secundi ordinis sunt,

. .... (7)dt2 \dx2 dy2 dz2} K7)

Designemus nunc per f(x,y,z) et F(*$yy z) valöresdtp

lpsorum tp et — pro tempore * uz o, ut sequentes simul-dt

taneas habeamus aequationesdtp

*= O, <£=/(*,#,*), ~=zF{x,y1z); - - - (8)

erit integrale completum asquationis (7)

/1 \3 rrrrrr Cos * (*~x) (y~p)Cos v ü\ /n\Q v*/JJJJJJ • dm dß dY d\ dp dt ](omnia integralia inträ limites— oo et -|- oc stimi debent),ubi V functio ipsius t est, ex sequente aequatione diffen-tio-diffarentiali determinanda

d-^- -f Å2(a2+i3a-f y2)Uz=z o, (10)~at* - ••• - -

gaudens insuper proprietate, ut pro tzno fiat ')dU

£/=/(A, ix,v), —z=F(h,ix,v).

iEquatio (10) per substitutionem valoris (9) pro <p assum-ti in aequatione (7) prodit; ex cujus integratioue, si bre»vitatis causa faciamus

A2(a2+/33+y2)=s3, (1*)colligitur

U=/(A, [A, v) Cos st + F(å, [A, v)£

seu, quod idem est,

U=/(A, fA, v) Cos et 4"J F(A, (A, v) Cos et.dto

1) Hoc quidem directe sequitur ex oognita, quam Fourier de«dit, formula

Co9(*(x-A) Cos,2(f~p) Cosy(z~t)d» dfi dy d\ dp dv

Si hunc ipsius U valorem in formula (9) substituimus,obtinebitur

/ 1 \3 r r/~ rPf* Cos oc(x+\)Cosß(y •p)Cosy (*-») Cos t*V **'jJJJJJ , f(X,p, v) dm dß dy d\ dp. di

. x 1 r*rrrrrr c°sK(x~^)cosß(.y''p)cosy(z-v)costt^ JJJJJJ . F(\, p, 1) d* dß dy dX dp dl

Est autem, ut ex formula, quam Cauchy 9) dedit,sequitur, si brevitatis causa faciamus

r='/'(*-A)I+(y-f<)2+(a-v)2, ------- (is)

Hoc postreramn integrale reverå indeterminatum est;ut autem sensum, quo heic sumi debet, obtineamus, hu-jus loco considerare debemus integrale s)

a) Vide: Memoire sur Vintégration des équations linéairesaux différencfs partielles et ä coefjiciens constans; par M. Au¬gustin Cauchy. Journal de Vécole Polytechnique Tome XJI,dix-neuoiérne cahiert page 5u5, formule (60),

3) Vide eandem ipsius Cauchy dissertationen!, de qua men-tionem antea fecijnua.

6

et postea statuatur Arno; sie quidem obtinetur

fffCor a(x-å)Co!ß(y-p)Cos y(z-v)Cof st. da dß dy27? ( k \ 27? ( k ^

= rf-U'+ (r-At)3J =Ä7dr dt

unde fiet

<p=_i- rrr—L—j F^-"ä+-i_ —[ff—• KK*'X\ dX du dv^47J2h dtJJJk2+(r-hty r Hlutroducanras jam loco ipsomm A,/^,v novas quan-

titates variabiles, quaruro una quidem hic idem r sit, quiper formulam (12) datus est, atque reliquas duo 9 et 00

sequentibus determinandse séquationibus

A-s = r Sin9 Cosa, fA-y~r SinQSinoo, \-z-=.rCosa.

quo quidem casu (ut ex theoria transformationis integra-lium multiplorum cognitum est), loco ipsius dX dp dv sub-stituere debemus r2 SinQ dr d9 doo ; substitutione peracta fiet

?=4?Ä ffL+Ur •F(Å- v-v) r Sin 6 dT M dx

+ irjffr+{r-h,y .f(K^)rS

ubi limites integrationum suntr = o et r — co , ö = o et ö = ?r, oo so a> = it: .

Consideremus jam integrale

/ • F(ht f*,v)rdr tJ k*+(y-ht)*%ubi & quantitas evanescens est, qua peracta integrationenihil o ee.jnaüs statualur. Ex hoc scilicet perspicuum fit,sola integralis elementa, quae, cum r inde ab r=o usquead r= oc successive crescit, facto £=ö non evanescebunt,ea esse, ubi r in confinio ipsius r = ht variat. Si itaqueper /.»i, n valöres ipsorum respondentes designe¬mus, quaB pro Ts=.ht locum babent, seu

/= * + ht Sind Cosa,m—y ht Sind Sin 03,

n=2 -f" htCorQterit

rz iiht F(l\ m,») runde tandem adipiseimur

0 — //>(!. wi, n) / Sjh d doo*7jJJ- - (i5)

8

Cogitemus jam, ad tempus /=0 coudensationem etmotum in puncto massse fluid®, cujus coordinatse sunt*=a, y=b et z=f, excitatum esse. Ex mquationibus (3),(6) et (8) sequitur, functiones f{x, y, 2) et F(x,y,z) hacproprietate praeditas esse debere, scilicet ut pro omnibusaliis valoribus ipsorum x,y et a evanescant, excepto x=n,

y=b et z—c; unde ex praecedente pro Q expressione vi-detur, post tempus t <p nihilo cequalem pro omnibus fluidipunctis esse, iliis solummodo exceptis, pro quibus est

Si ex his tribus aequationibus 9 et 00 eliminemus, adipiscimur

Puncta itaque, qu® post tempus t in motu sunt, in su-

perficie sphar« Sita erunt, cujus centri coordinatas sunty—b, ZmC et radius =Ä/; unde porro sequitur, ve-

locitatem propagationis vibrationum constantem et » h esse.

Ex sequatione (4) colligitur

l=a, y~b, z=zc, seu

a=zx + ht Sin 3 Cos 00,b=y -\- htSinQSinoo,c =2 + ht CojQ .

(a—xy+ (b—#)2-h («—zf= h2t\

Si itaque experimenta pro data guadam pressione« , p-D

pzzP dederunt -■^ ■ =:p,

erit quidem'=V^- - (U)

Haec formula cum illa, quam Celeberr. Poissondedit, congruit et velocitatem propagationis soni in liqui-dis exprimit, siquidem calorem non respicimus, quae com-

pressione liquidi generatur 4).

Comparemus jam hane, quam theoria dedit, veloci¬tatem cum experimentis, quae de velocitate propagationissoni in aqua laeus ad urbem Gentve Colladon et Sturm

instituerunt 5),Ad tempus experimentorum temperaturs media aquae

in lacu fuit 8°, i Cels, Si densitatem aquae destillatse ad4° Cels. sumitur = i, ad temperaturam 8°, i invenerunt

fractionem adeo parvam, ut hujus neglectio nullacausa sensibilis erroris e-sse potuit:

4) Quantitas hujus caloris eecundum experimenta, qu® de hacre Colladon et Sturm instituerunt, pro variis liquidis varia est.Pro aqua adeo fuit parva, ut, pro subita etiam compressione 4 at-mosph»rarum, observari non potuit.

5) Vide: Annales de Chimie et de Physique T. XXXVI p. 236.i b.

/u obtinuerunt = 0,00004785 6) pro pressione columnasmercurii, altitudinem 0^,76 habentis, thermometrocentesimali temperaturam indicante -fio°; unde erit

Pzzz{om,j6). 2g, D1denotante videlicet g spatium, quod corpus quodlibet vigravitatis unice sollicitatum tempore iimus minuti secundipercurreret, quod spatium pro loco observationis fuitzs 4m,9o44:Dl densitatem mercurii ad temperaturam io°Gels»zsi3,544-

His substitutis valoribus obtinebitur

-1/ o,76X9»8oS8Xi3,544A = v —— i455m-0,0000*78o

Ex observatione directa temporis, quod ad propaga-tionem soni in aqua pro distantia 13487"» necessarium

6) In dissertalioue sua {Memoire sur la compression des li¬quides par M. M. Colladon et Sturm. Vide: Annales de Chi-mie et de Physique Tome XXXTl) ex experimentis conclude-runt fore = 0,00004948. Ex eadem autem causa, quaj necessari¬um fecit, omnes alias, quas dederunt, compressibilitatis coéfficientescorrigere, etiam hanc corrigere necesse est. Credidernnt scilicet adobservatam addendam esse coéfficientem compressibilitatis vitri line-rem per 3 multiplicatam*, Poisson autem oslendit hanc, per \ so-lummodo multiplicatam, addi debere. Ita correclum valorem ipsinsy> heic attulimus, quia hzec revera est, quem experimenta dederunt.

fuit, hoc per medium 17 observationum obtinuerunt7); unde velocitas observata erit

i5,487h ==—=z 145 6«.

9,265

7) Hoc tempus est, quäle directe obtinetnr, si medium arithme-ticum ex observationibus sumitur. Observatores quidem crediderunt,nimis parvum ex observationibus tempus obtineri, ideoque arbitra¬to omuino hoc =9",4 posuerunt; 11t fere videlur, quia hasc suppo-sitio majorem inter observatam et illam, quam ipsi computaverant,velocitatem soui consensum dedit. Hac scilicet süppositione fit

13487Ä = -L = i435 ,

9;4atque concedendum etiam est, neque computatam neque observatamvelocitatem soni in aqua adhuc desideratam habere certitudinem prodifierentia i456—i435 = 2iOT. Ad hoc enim necessarium fit, novaet ad /* determinandum et ad velocitatem directe observandam exrperimenta instituere.

-