adv or 13902 chap3 integer programming

:: دکتر سلیمی فرد

http://faculty.pgu.ac.ir/salimifard

19/مه/12

1 برنامه ریزی پویا:: پژوهش عملیاتی

دکتر سلیوی فرد گش هذیشیت صؼتی، داطگب خلیح فبسس، ثضش

http://www.pgu.ac.ir/web/salimifard

ریسی عذد صحیح آضبیی بب بربه

سیضی خغی ػذد صحیح، ک دس آى ثشخی یب هسئل ثشبه چشا؟. و هتغیشبی تصوین، ػذد صحیح بهفی است

غیشاقؼی ثدى هقذاس اػطبسی دس ثسیبسی اص هسبئل اقؼی

گبی یبص ث تصوین گیشی ثب هتغیشبی د ضؼیتی

هذلسبصی اقؼی تش هسبئل دیبی اقؼی

اهب، دضاسی دس حل !!

4 2012/05/19شنبه،

Integer Linear Programming (ILP)

بی هسئل ILPگ

سیضی ػذد صحیح خبلص • ثشبه و هتغیشبی تصوین ػذد صحیح–

سیضی ػذد صحیح آهیخت • ثشبه ثشخی هتغیشبی تصوین ػذد صحیح–

سیضی صفش یک • (ددیی)ثشبه و هتغیشبی تصوین د ضؼیتی–

5 2012/05/19شنبه،

Pure Integer Programming (PIP) Mixed Integer Programming (MIP) 0-1 Integer Programming (BIP)

ریسی خطی (LP)هذل بربه

LPهذل •

ضکل هبتشیسی•

6 2012/05/19شنبه،

1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

max{ ... }

subject to:

...

...

...

0 ( 1, , )

n n

n n

n n

m m mn n m

j

c x c x c x

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

x j n

max

0

Tc x

Ax b

x

تبثغ ذف

هحذدیتب

هتغیشبهحذدیت

where: x, c: n-vector A: m,n-matrix b: m-vector

ریسی خطی هثبل بربه

7 2012/05/19شنبه،

1 2

1 2

1 2

max { }

subject to:

2 4

3 4 12

0 ( 1,2)j

x x

x x

x x

x j

0

0

x

x

12

4

x

x

43

12

:tosubject

x

x

1

1max

2

1

2

1

2

1

T

یا

ریسی خطی ترسیوی: حل هسئل بربه

8 2012/05/19شنبه،

)objective(

6xx 21

4xx2 21

12x4x3 21

1 2

1 2

1 2

max { }

subject to:

2 4

3 4 12

0 ( 1,2)j

x x

x x

x x

x j

1 2 3 4 5 6 x1

1

2

3

4

5

6 x2

0

هغق هخ



19/مه/12


ریسی خطی حل هسئل بربه

ضی بی حل• (دگبى)سش سیوپلکس –

(هبذ الگسیتن کبسهبسکبس)سضبی کبسآ –

ثست بی شم افضاسی•–LINDO www.lindo.com

–LINGO

–CPLEX

–XPRESS-MP

شم افضاسبی هذلسبصی•–AIMMS

–AMPL ،9 2012/05/19شنبه

ریسی عذد صحیح حل ترسیوی: هذل بربه

10 2012/05/19شنبه،

1 2

1 2

1 2

max { }

subject to:

2 4

3 4 12

( 1,2)j

x x

x x

x x

x Z j

پبسخ ثی 2 1 2 3 4 5 6

x1

1

2

3

4

5

6 x2

0

x1,x2 Z+

LPگرد کردى حل : ILPحل

پیطگیشی اص شصسفت قت•

LPگشد کشدى پبسخ کسشی • ثب ضوبس صیبد هتغیش، ضبیذ ثذ جبضذ–

!گبی پبسخ بضذی است–

11 2012/05/19شنبه،

LPگرد کردى حل : ILPحل

int 0,

2

32

2

3

23max

21

21

21

21

xx

xx

xx

xxZ

12 2012/05/19شنبه،

پح پبسخ صحیح• پبسخ ثب گشد کشدى•

x1

x2

Z=18

(3, 4.5)

(2,3), (1,2), (1,1), (0,1), (0,0)

(3,4), (3,5)

ILPالگریتوبی حل

است LPسبد تش اص ILPدس گب خست، حل • چى؛ ث خبی ثیبیت قغ، ضوبسی قغ صحیح–

خستدی هشصی LPاهب، دس • (گض ای)فقظ قبط فشیي –

خستدی دسی ILPلی دس • و قبط صحیح–

ILPجد سضی کبسآ وبذ سیوپلکس ثشای • د الگسیتن•

ضبخ کشاى– صفح ثشضی–

14 13 2012/05/19شنبه،



19/مه/12


الگریتن ضبخ کراى

(divide-and-conquer)! یک سیکشد تقسین کي، پیشص ض •

1960دس Land Doingث سیل •

1965دس Dakinسی هحبسجبتی ث سیل •

است LPدس اقغ یک ILPش • ثب هحذیتبیی افضدی ثشای صحیح ثدى هتغیشب–

است LPثخطی اص هغق هخ ILPهغق هخ –

*Zثبثشایي واس –ILP ≤ Z*

LP

15 2012/05/19شنبه،

Branch and Bound Algorithm


یک سی خستدی پی دس پی• بی کچکتش– تقسین هغق هخ ث هغق

بی کچکتش– ثشسسی اهکبى پبسخ دس هغق

هغق هخ کچکتش ثیبگش یک هسئل فشػی–

ILPحل یک • حل پی دس پی ضوبسی هسئل فشػی–

16 2012/05/19شنبه،

هسئل د هتغیر: الگریتن ضبخ کراى

حل هسئل ثذى تخ ث ضشط صحیح ثدى• RLPیبفتي پبسخ ثی هذل –

.، ػذد صحیح است، آگب پبیبىRLPاگش پبسخ • است ILPثذتشیي هقذاس تبثغ ذف -اگش ، – ZLایي حذ پبییي است، – ZLP، وبى ILPثتشیي هقذاس تبثغ ذف –

ش گب دس فشایذ حل، پبسخ هخ صحیح ثتش یبفت ضذ، خبیگضیي • هی ضد ZLهقذاس

دس ش گبم، تقسین هغق هخ ثب افضدى یک هحذدیت خذیذ• (branching variable) ثب کوک هتغیش ضبخ صی–

17 2012/05/19شنبه،

Relaxed Linear Programming (RLP)

ZL=-

ZLP

ZIL

P


ثشای ضبخ صی xjثب اتخبة • xj < Ljیک هسئل فشػی ثب افضدى هحذدیت –

xj ≥ Lj + 1یک هسئل فشػی ثب افضدى هحذدیت –

ثضسگتشیي ػذد صحیحی ک اص هقذاس ثی : Ljهقذاس ثبثت •xj

.کچکتش است *

•xj .الی ث دست هی آیذ LPاص پبسخ ثی هسئل *

18 2012/05/19شنبه،


int 0,

4595

6

85max

21

21

21

21

xx

xx

xx

xxZ

19 2012/05/19شنبه،

:هسئل صیش داد ضذ است•

آى ث صست صیش است RLPحل •

Z=41.25

X1=2.25

X2=3.75


چذ کت• هخ یست RLPپبسخ –

!ش چذ ک ثی است •

قغ صحیح هخ 25فقظ –*Zهقذاس –

LP ثیطی هقذاس ،Z*ILP است

اتخبة یکی اص د هتغیش ثشای ضبخ صی• اتخبة ضد x2=3.75اگش –

است x2بپزیشفتی ثشای 4 3ثیي x2توبهی قبط ثب • سا اصثیي وی ثشد x2حزف ایي داه، یچ هقذاس صحیحی اص •

20 2012/05/19شنبه،

Z=41.25

X1=2.25

X2=3.75



19/مه/12



int 0,

4

4595

6

85max

21

2

21

21

21

xx

x

xx

xx

xxZ

21 2012/05/19شنبه،

تؼشیف د هحذدیت خذیذ•x2 ≤ 3

x2 ≥ 3+1 x2 ≥ 4

(L=3)تقسین هغق هخ ث د قسوت • خاین داضت P1 P2د هسئل فشػی •

int 0,

3

4595

6

85max

21

2

21

21

21

xx

x

xx

xx

xxZ

X2 = 3.75


22 2012/05/19شنبه،

ZLP=39

(3,3)

ZLP=41

(1.8,4)


23 2012/05/19شنبه،

P0 Z=41.25

x1=2.25, x2=3.75

P1 Z=41

x1=1.8, x2=4 P2 Z=39

x1=3, x2=3

x2 ≥ 4 x2 ≤ 3

ZL = - 39

گبهبی الگریتن ضبخ کراى

(RLP)حل هسئل ثذى تخ ث هحذدیت صحیح ثدى هتغیشب . 1 .ثش 2ػذد صحیح ثبضذ ایست کیذ، گش ث گبم RLPاگش پبسخ –

ZLث –ثبضذ، تخصیص Maxاگش تبثغ ذف . 2 ضبخ صی. 3

(د هحذدیت خذیذ)اتخبة یک هتغیش غیش صحیح ثشای ضبخ صی –xj ≥ ||xj||+1 , xj ≤ ||xj||

کشاى یبثی. 4 بی فشػی گبم – 3حل هسئل خذیذ ZLتؼییي ثتشیي هقذاس تبثغ ذف د هسئل فشػی ث ػاى –

24 2012/05/19شنبه،

گبهبی الگریتن ضبخ کراى

(fathomed)طسفب یبثی . 5 (پبسخ ضذی صحیح)و هتغیشب صحیح ضذ ( الف– جد پبسخ ضذی ثشای هسئل فشػی ضبخ( ة– .ثبضذ ZLضبخ ثذتش اص Zهقذاس ( ح–

آصهى ایست. 6 ب ث طسفب ثشسذ، ایست کیذ– اگش و ضبخ ای ک تبثغ ذف آى ثب ثتشیي – ثشاثش است ZLاتخبة هسئل پبسخ ایي هسئل فشػی، پبسخ ثی هسئل اصلی است– ثش 3دس غیش ایصست ث گبم –

25 2012/05/19شنبه،


26 2012/05/19شنبه،

P0 Z=41.25

x1=2.25, x2=3.75

P1 Z=41

x1=1.8, x2=4 P2 Z=39

x1=3, x2=3

x2 ≥ 4 x2 ≤ 3

ZL = - 39

پبیبى ضبخ صی پبسخ بصحیح• شسیذى ث طسفب•

x1اداه الگسیتن ضبخ صی ثش سی •

x1 ≥ 2

x1 ≤ 1



19/مه/12



د هسئل فشػی خذیذ•

• P3

•P4

27 2012/05/19شنبه،

int 0,

2

4

4595

6

85max

21

1

2

21

21

21

xx

x

x

xx

xx

xxZ

int 0,

1

4

4595

6

85max

21

1

2

21

21

21

xx

x

x

xx

xx

xxZ


28 2012/05/19شنبه،

ZLP=40.55

نبود منطقه موجه (1,4.44)P3 P4


تفسیش ضبخ صی پیص• P3سسیذى ث طسفب دس –

تغییش وی کذ ZLغیش صحیح، پس P4پبسخ –

P4دس x2ضبخ صی ثش سی –

29 2012/05/19شنبه،


30 2012/05/19شنبه،

P0 Z=41.25

x1=2.25, x2=3.75

P1 Z=41

x1=1.8, x2=4 P2 Z=39

x1=3, x2=3

x2 ≥ 4 x2 ≤ 3

ZL = - 39

P4 Z=40.55 پبیبى ضبخ صی

x1=1, x2=4.44

P3 ثذى هغق هخ

سسیذى ث طسفب

x1 ≥ 2 x1 ≤ 1


د هسئل فشػی خذیذ•

• P5

•P6

31 2012/05/19شنبه،

int 0,

5

1

4

4595

6

85max

21

2

1

2

21

21

21

xx

x

x

x

xx

xx

xxZ

int 0,

4

1

4

4595

6

85max

21

2

1

2

21

21

21

xx

x

x

x

xx

xx

xxZ


32 2012/05/19شنبه،

ZLP=37

(1,4) ZLP= 40

(0,5)

P5 P6



19/مه/12



33 2012/05/19شنبه،

P0 Z=41.25

x1=2.25, x2=3.75

P1 Z=41

x1=1.8, x2=4 P2 Z=39

x1=3, x2=3

x2 ≥ 4 x2 ≤ 3

ZL = - 39

P4 Z=40.55 پبیبى ضبخ صی

x1=1, x2=4.44

P3 ثذى هغق هخ

سسیذى ث طسفب

x1 ≥ 2 x1 ≤ 1

P5 Z=40

x1=0, x2=5

P6 Z=37

x1=1, x2=4

x2 ≥ 5 x2 ≤ 4 سفب ط

ى ثیذ

سس

40 الگریتن ضبخ کراى

سش حل سیوپلکس• ش ضبخ صی ث هؼی یک هحذدیت خذیذ– هسئل بی فشػی P0ثکبسگیشی سیوپلکس دس حل – ثسیبس صهبجش–

سش حل تحلیل حسبسیت• P0ثکبسگیشی سیوپلکس دس حل – افضدى هحذیت اضبفی ث هذل– ثشای حل هسئل فشػی (RS)ثکبسگیشی سش تحلیل حسبسیت – کبص ضگشف صهبى حل، وچبى صهبجش دس هسبئل اقؼی–

35 2012/05/19شنبه،


سش تغییش هتغیش• ش هحذدیت ضبخ صی یک هحذدیت کشاى داس است–ثب تغییش هتغیش ثذى یبص ث حل هسبئل فشػی خذیذ، ثب ثبثت هبذى ضوبس –

هحذدیتب قبثل حل استدس خذل بیی هسئل پیص ث xj ≤ ujثشای هحذدیتبیی ث ضکل •

:صست صیش تغییش هتغیش هی دینxj =uj –yj

تغییش هتغیش دس خذل بیی xj ≥ ljثشای هحذدیتبیی ث ضکل • :هسئل پیص ث صست صیش است

xj = lj + yj

37 2012/05/19شنبه،

رش تغییر هتغیر: الگریتن ضبخ کراى

چگگی اتخبة ضبخ صی• (the best bound rule)قبػذ ثتشیي کشاى –

ای ثب ثتشیي کشاى • (ثتشیي هقذاس تبثغ ذف)اتخبة هسئل

ضبیذ ضبس ثیطتشی ثشای دستیبثی ث پبسخ ثیي•

ضبیذ کبص ضوبس تکشاسبی هسد یبص•

(the newest bound rule)قبػذ خذیذتشیي کشاى – اتخبة آخشیي هسئل فشػی•

ث ضشط ایک ث طسفب شسیذ ثبضذ•

38 2012/05/19شنبه،

: رش تغییر هتغیر : الگریتن ضبخ کراى هثبل

int 0,

4595

6

85max

21

21

21

21

xx

xx

xx

xxZ

39 2012/05/19شنبه،

BV x1 x2 s1 s2 RHS

Z 0 0 5/4 ¾ 41.25

x1 1 0 9/4 -1/4 2.25

x2 0 1 -5/4 ¼ 3.75

P0 : ZL = -



19/مه/12



پبسخ ثی لی ب هخ• x2ضبخ صی ثش سی •

x2 ≥ 4 x2 ≤ 3 تغییش هتغیش•

x2 = 4 + y2 x2 = 3 – y2 حل د هسئل فشػی ثب P0اػوبل تغییش هتغیش دس خذل •

(ثبی)سیوپلکس دگبى اداه کبس تب دستیبثی ث پبسخ ثی صحیح•

40 2012/05/19شنبه،

BV

x1 x2 s1 s2 RHS

Z 0 0 5/4 ¾ 41.25

x1 1 0 9/4 -1/4 2.25

x2 0 1 -5/4 ¼ 3.75


BV

x1 y2 s1 s2 RHS

Z 0 0 5/4 ¾ 41.2

5

x1 1 0 9/4 -

1/4 9/4

y2 0 1 -

5/4 ¼ -1/4

41 2012/05/19شنبه،

BV x1 y2 s1 s2 RHS

Z 0 0 5/4 ¾ 41.25

x1 1 0 9/4 -1/4 9/4

y2 0 1 5/4 -1/4 -3/4

P0 ZL= -

Z= 41.25 x1=2.25, x2=3.75

x2 ≥ 4 : x2 = 4 + y2 x2 ≤ 3 : x2 = 3 - y2


42 2012/05/19شنبه،

BV x1 y2 s1 s2 RHS

Z 0 1 0 1 41

x1 1 9/5 0 1/5 9/5

s1 0 -4/5 1 -1/5 1/5

BV x1 y2 s1 s2 RHS

Z 0 3 5 0 39

x1 1 0 1 0 3

s2 0 -4 -5 1 3

P2: Z=39, x1 = 3, y2=0

x2 = 3 - y2=3

P1: Z=41, x1 = 9/5, y2=0

x2 = 4 + y2=4

P2 :سسیذى ث طسفب 39ث ZLتغییش هقذاس

P1 :شسیذى ث طسفب ضبخ صی

P3: x1 ≥ 2 x1 = 2 + y1 P4: x1 ≤ 1 x1 = 1 - y1


43 2012/05/19شنبه،

BV x1 y2 s1 s2 RHS

Z 0 1 0 1 41

x1 1 9/5 0 1/5 9/5

s1 0 -4/5 1 -1/5 1/5

BV y1 y2 s1 s2 RHS

Z 0 1 0 1 41

y1 1 9/5 0 1/5 -1/5

s1 0 -4/5 1 -1/5 1/5

P3

سدیهتغیش جد • جد پبسخ هخ• دستیبثی ث طسفب•

P3: x1 ≥ 2 x1 = 2 + y1


44 2012/05/19شنبه،

BV x1 y2 s1 s2 RHS

Z 0 1 0 1 41

x1 1 9/5 0 1/5 9/5

s1 0 -4/5 1 -1/5 1/5

BV y1 y2 s1 s2 RHS

Z 0 1 0 1 41

y1 1 -9/5 0 -1/5 -4/5

s1 0 -4/5 1 -1/5 1/5

P4

اداه حل بب ضوب

P4: x1 ≤ 1 x1 = 1 - y1

برنامه ریزی عدد صحيح:: 3پژوهش عملياتي :: دكتر سليمي فرد 2012/05/19شنبه،

: رش تغییر هتغیر : الگریتن ضبخ کراى 45 هثبل

P0 ZL= -

Z= 41.25 x1=2.25, x2=3.75

x2 ≥ 4 x2 ≤ 3

P1 ZL= -

Z= 41 x1=9/5, x2=4

P2 ZL= 41

Z= 41 x1=3, x2=3

P3 ZL= 41 (هخ)جد پبسخ ضذی

P4

?

x1 ≥ 2 x1 ≤ 1



19/مه/12


چگگی عولکرد بتر الگریتن

سایب سشیؼتش. 1

سیضی خغی. 2 یبثی سشیؼتش ثشبه ثی

3 .ZLP کچکتش

4 .ZIP ثضسگتش صی ثجد یبفت. 5 ضبخ

ثشبه خغی کچکتش. 6

2012/05/19شنبه،

.بب رش ضبخ کراى حل کیذ: توریي

51 2012/05/19شنبه،

1 2 3

1 3

1 2 3

1 2 3

{4 2 5 }

. :

4 30

3 2 45

, ,

Max x x x

s to

x x

x x x

x x x

1 2

1 3

1 2

2

1 2

{4 2 }

. :

3 2 45

4 5 25

3 30

,

Max x x

s to

x x

x x

x

x x

1 2

NEW INTEGER SOLUTION OF 97.0000000 AT BRANCH 0 PIVOT 4

BOUND ON OPTIMUM: 97.00000

ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 4

LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND

RE-INSTALLING BEST SOLUTION...

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 97.00000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 0.000000 -4.000000

X2 31.000000 -2.000000

X3 7.000000 -5.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 2.000000 0.000000

3) 0.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 4

BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0

LINDOحل توریي بب 1

MAX 4x1+2x2+5x3

SUBJECT TO

x1 + 4x3 <30

3x1+ x2+ 2x3 <45

END

GIN 3

2012/05/19شنبه،

52

LINDOحل توریي بب

MAX 4x1+2x2

SUBJECT TO

3x1 +2x2<45

4x1 +5x2<25

3x2<30

END

GIN 2

NEW INTEGER SOLUTION OF 24.0000038 AT BRANCH 0 PIVOT 4

BOUND ON OPTIMUM: 24.00000

ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 4

LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND



1) 24.00000


X1 6.000000 -4.000000

X2 0.000000 -2.000000


2) 27.000000 0.000000

3) 1.000000 0.000000

4) 30.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 4

BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0

2

2012/05/19شنبه،

53

54

الگریتن صفح برضی

1958هؼشفی ث سیل گهسی دس • (دگبى)ثش پبی حل سیوپلکس •

افضدى هحذدیت ثشش• ثشش ثخطی اص هغق هخ–

جد حل صحیح دس هغق ثشش خسد–

صحیح ضذى یک هتغیش ثب ادبم ثشش–

یچ هقذاس ػذد صحیح هخ اص هغق ثشیذ وی ضد•

کبص پی دس پی تبثغ ذف ثب پبسخ صحیح ش ثشش•

55 2012/05/19شنبه،



19/مه/12


هطق حل

سیضی خغی آسد ضذ • ILPاص یک (RLP)حل یک ثشبه RLPثشسسی ػذد صحیح ثدى حل ثی •اگش یست، تضویي هی ضد ک یک بهؼبدل خغی خد داسد ک •

.خذا هی کذ( هدوػ ضذی)سا اص پست هحذة ILPحل ثی ای، یک هسئل خذاسبصی – (separation problem)یبفتي چیي بهؼبدل

است ای ثشش – بهیذ هی ضد (cut)چیي بهؼبدل

ثشای خذاسبصی حل کی بصحیح RLPافضدى ثشش ث • ILPتکشاس فشایذ تب یبفتي حل ثی •


56


BV Z w1 … wj … wn v1 … vi … vm RHS

Z 1 z1-c1 … z1-c1 … z1-c1 0 … 0 … 0 Y0

v1 0 a11 … a1j … a1m 1 … 0 … 0 b1

: : : : : : : : : : : : :

vi 0 ai1 … aij … ain 0 … 1 … 0 bi

: : : : : : : : : : : : :

vm 0 am1 … amj … amn 0 … 0 … 1 bm

57 برنامه ریزی عدد صحيح:: 3پژوهش عملياتي :: دكتر سليمي فرد 2012/05/19شنبه،

: LPثی پبسخ دس•

1

n

ij j i i

j

a w v b

پایهمتغیرهای

غیرپایهمتغیرهای

ai1w1+…+aijwj+…+ainwn+vi=bi

:ام خذلiهؼبدل

1


, i i i ij ij ijb b b a a a


:د ػذد صحیح کسشی است حبصل خوغ aij biش ػذد •

:هثبل•

i i ib b b

0 1ib

-3/5 – (-1) = 2/5 -1 -3/5

-2 – (-2) = 0 -2 -2

-3 ¾ - (-4) = 1/4 -4 -3 3/4

5 ¼ - 5 = 1/4 5 5 1/4

bi ||bi|| bi ثخص کسشی واس بهفی


ثشای اتخبة هحذدیت ثشش گهسی سغشی ثب ثضسگتشیي هقذاس • کسشی سوت ساست

سغش اتخبثی ثشای ثشش گهسی: سغش هجغ ثبصیسی • ث ثخص بی صحیح کسشی aij biتدضی –

تؼشیف ثشش گهسی• سا ثشآسد هی کذ ILPش قغ ضذی هسئل – !کی سا ثشآسد وی کذ RLPپبسخ ثیي –


1

n

ij j i i

j

a w sg b

1

n

ij ij j i i i

j

a a w v b b

1

n

ij j i i

j

a w v b

گبهب: الگریتن صفح برضی

PIPآغبص ثب یک هسئل 1. تجذیل ضشایت هقذاس سوت ساست هحذدیتب ث ػذد صحیح– کچکتشیي هضشة هطتشک هخشج کسشبدس ضشة کشدى هحذدیت –

RLPحل ثب سش سیوپلکس دس حبلت 2. ایست: اگش پبسخ ثی ػذد صحیح – هسئل ثذى پبسخ: اگش پبسخ بهخ – 3دس غیشایصست ث گبم –

اتخبة هتغیش پبی ثب هقذاس غیشصحیح تؼشیف هحذدیت ثشش3. 5/0ث ضدیکتشهقذاس اػطبس سوت ساست ثب سغشی–

افضدى هحذدیت ثشش ث خذل بیی هسئل اصلی4. حل ثب سش سیوپلکس ثبی– 3ثش ث گبم –


1

n

ij j i i

j

a w sg b

هثبل: الگریتن صفح برضی

1 2

1 2

1 2

1 2

min 2

2 5

4 4 5

, 0 int

Z x x

x x

x x

x x


.ثشای هسئل خذل بیی صیش، هقذاس صحیح هتغیشب سا تؼییي کیذ•

BV Z x1 x2 s1 s2 RHS

Z 1 0 0 1/3 5/12 15/4

x1 0 1 0 1/3 -1/12 1 ¼

x2 0 0 1 1/3 1/6 2 ½

1 12 1

2 4

منبع



19/مه/12


سغش هجغ•

هحذدیت ثشش•–V دس هحذدیت ثشش خد ذاسد

افضدى هحذدیت ثشش ث خذل بیی•


2 1 2

1 1 12

3 6 2x s s


1 2 1

1 1 1

3 6 2s s sg

V2 W1 W2


Z 1 0 0 1/3 5/12 15/4

x1 0 1 0 1/3 -1/12 1 ¼

x2 0 0 1 1/3 1/6 2 ½

خذل غیش هخ است• ثکبسگیشی سیوپلکس ثبی•

هثبل: الگریتن صفح برضی BV Z x1 x2 s1 s2 sg1 RHS

Z 1 0 0 1/3 5/12 0 15/4

x1 0 1 0 1/3 -1/12 0 1 ¼

x2 0 0 1 1/3 1/6 0 2 ½

sg1 0 0 0 -1/3 -1/6 1 -1/2


خذل پس اص خستیي ثشش•

پبسخ وچبى بصحیح• x1ثشش ثش سی – هحذدیت ثشش–

•x1 ،پبیs1 sg1 غیشپبی، پس هحذدیت ثشش:


BV Z x1 x2 s1 s2 sg1 RHS

Z 1 0 0 0 1/4 1 13/4

x1 0 1 0 0 -1/4 1 ¾

x2 0 0 1 0 0 1 2

s1 0 0 0 1 1/2 -3 3/2


1 2 1

1 3

4 4x s sg

2 2

3 3

4 4s sg

منبع


BV Z x1 x2 s1 s2 sg1 sg2 RHS

Z 1 0 0 0 1/4 1 0 13/4

x1 0 1 0 0 -1/4 1 0 ¾

x2 0 0 1 0 0 1 0 2

s1 0 0 0 1 1/2 -3 0 3/2

sg2 0 0 0 0 -3/4 0 1 -3/4


افضدى ثشش دم ث خذل بیی پیطیي•

خذل بهخ• ثکبسگیشی سیوپلکس ثبی–


BV Z x1 x2 s1 s2 sg1 sg2 RHS

Z 1 0 0 0 0 1 1/3 3

x1 0 1 0 0 0 1 -1/3 1

x2 0 0 1 0 0 1 0 2

s1 0 0 0 1 0 -3 2/3 1

s2 0 0 0 0 1 0 -4/3 1


خذل پس اص ثشش دم•

خذل ثی هخ صحیح•

وبیص ترسیوی: الگریتن برش


x1

x2

تببع ذفx1 = 5/4

x2 = 5/2

Z = 15/4



19/مه/12



72


x1

x2

برش ال


x2 = 5/2

Z = 15/4

x1 = 5/4

x2 = 2

Z = 13/4


73


x1

x2

برش ال


x2 = 2

Z = 13/4

x1 = 1

x2 = 2

Z = 3

.حل کیذ الگریتن برش گهریبب : توریي


74

1 2

1 2

1 2

1 2

{3 }

. :

5 12

2 8

,

Max x x

s to

x x

x x

x x

1

n

ij j i i

j

a w sg b

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2


1) 9.333333


X1 1.333333 0.000000

X2 5.333333 0.000000


2) 0.000000 0.333333

3) 0.000000 0.666667

75

ریسی خطی عذد صحیح !تبکى ..::.. بربه

ضی ثشش ثش هجبی حل ثبی•و خذلب تب خذل بیی ش ثشش داسای هقذاس غیش ػذد –

صحیح

ث ویي ضی تب پبسخ ثی ػذد صحیح هسئل–

!!جد پبسخ ثی صحیح دس صست ایست اخشای الگسیتن –

برنامه ریزی عدد صحيح:: 3پژوهش عملياتي :: دكتر سليمي فرد 2012/05/19شنبه، 76 برنامه ریزی عدد صحيح:: 3پژوهش عملياتي :: دكتر سليمي فرد 2012/05/19شنبه،

77

برش الی وگی عذد صحیح

a primal all integer)ثشش الی وگی ػذد صحیح •

cut) –R. D. Young, 1968 !و تکشاسب داسای پبسخ ػذد صحیح –

د ضشط ثشای ثکبسگیشی الگسیتن• خذل اثتذایی (aij)صحیح ثدى و ضشایت هتغیشبی تصوین –

خذل اثتذایی (bi)صحیح ثدى هقذاس سوت ساست –



19/مه/12



min 1,2,...,i r

ik rk

b bi m

a a


هتغیش سدی، تؼییي هتغیش خشخی xkهقذاس سوت ساست، biاگش •

aik ≥ 1پس aik چى • ، آگب ثکبسگیشی سی هؼول سیوپلکس ark = 1اگش • ، افضدى ثشش صیش ark > 1اگش •

rj r

j i

j rk rk

a bx s

a a

غیر پایهمتغیر

کمکی متغیر نامنفی صحیح


rj r

j i

j rk rk

a bx s

a a


.، پس ػصش هحس، ػذد یک هی ضد ark / ark = 1چى • .دس تید، ػذدبی خذل صحیح هی هبذ–

گبهب: برش الی وگی عذد صحیح

.ثب خذل اثتذایی ک و ػذدب صحیح ثبضذ، ضشع کیذ1.

.ایست کیذ: اگش خذل ثی است2. .ثشیذ 3اگش ث گبم –

.سا اتخبة کیذ xkهتغیش غیشپبی سدی 3. .هتغیش خشخی سا تؼییي کیذ– اداه سش هؼول سیوپلکس ark=1اگش – .گش، هؼبدل ثشش سا تؼشیف کیذ– هؼبدل ثشش سا ث خذل بیی ثیبفضاییذ– .ثشیذ 2ث گبم –


هثبل: برش الی وگی عذد صحیح

1 2

1 2

1 2

1 2

max 4

5 7 21

3 8

, 0 int

Z x x

x x

x x

x x


:هسئل صیش داد ضذ است•

•ark = 3 > 1 ثکبسگیشی ثشش–


Z 1 -1 -4 0 0 0

s1 0 5 7 1 0 21

s2 0 -1 3 0 1 8


1 2 23 8x x s


سغش هجغ•

هؼبدل ثشش•

افضدى هحذدیت الیي ثشش•

1 2 3

1 3 8

3 3 3x x s

1 2 3 2x x s

BV Z x1 x2 s1 s2 s3 RHS

Z 1 -1 -4 0 0 0 0

s1 0 5 7 1 0 0 21

s2 0 -1 3 0 1 0 8

s3 0 -1 1 0 0 1 2

ark = 1

ثکبسگیشی سیوپلکس


Z 1 -1 -4 0 0 0

s1 0 5 7 1 0 21

s2 0 -1 3 0 1 8 هثبل: برش الی وگی عذد صحیح

BV Z x1 x2 s1 s2 s3 RHS

Z 1 -5 0 0 0 4 8

s1 0 12 0 1 0 -7 7

s2 0 2 0 0 1 -3 2

x2 0 -1 1 0 0 1 2


:دس تید داسین•

•a11 = 12 دهیي ثشش ث صست صیش است ، سغش هجغ•

هحذدیت ثشش•

1 1 312 7 7x s S

1 3 4

12 7 7

12 12 12x S S

1 3 4 0x S S



19/مه/12



BV Z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS

Z 1 -5 0 0 0 4 0 8

s1 0 12 0 1 0 -7 0 7

s2 0 2 0 0 1 -3 0 2

x2 0 -1 1 0 0 1 0 2

s4 0 1 0 0 0 -1 1 0




BV Z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS

Z 1 0 0 0 0 -1 5 8

s1 0 0 0 1 0 5 -12 7

s2 0 0 0 0 1 -1 -2 2

x2 0 0 1 0 0 0 1 2

x1 0 1 0 0 0 -1 1 0


:دس سهیي ثشش داسین•

سغش هجغ•

هحذدیت ثشش•

1 2 45 12 7s s s

3 4 5

5 12 7

5 5 5s S S

3 4 5 3 1S S S


BV Z x1 x2 s1 s2 s3 s4 s5 RHS

Z 1 0 0 0 0 -1 5 0 8

s1 0 0 0 1 0 5 -12 0 7

s2 0 0 0 0 1 -1 -2 0 2

x2 0 0 1 0 0 0 1 0 2

x1 0 1 0 0 0 -1 1 0 0

s5 0 0 0 0 0 1 -3 1 1


:ثب افضدى هحذدیت سهیي ثشش داسین•


BV Z x1 x2 s1 s2 s3 s4 s5 RHS

Z 1 0 0 0 0 0 2 1 9

s1 0 0 0 1 0 0 3 -5 2

s2 0 0 0 0 1 0 -5 1 3

x2 0 0 1 0 0 0 1 0 2

x1 0 1 0 0 0 0 -2 1 1

s3 0 0 0 0 0 1 -4 1 1



پبسخ ثی ػذد صحیح•

جوع بذی: برش الی وگی عذد صحیح

ش تکشاس، پبسخ ػذد صحیح•

ثب ایست الگسیتن، پبسخ صحیح دس ش تکشاس•


Z = 0 , x1=0, x2=0

Z = 9 , x1=1, x2=2

Z = 8 , x1=0, x2=2

Z = 8 , x1=0, x2=2

Z = 8 , x1=0, x2=2

توریي

1 :هذل صیش سا ثب سش ثشش وگی صحیح حل کیذ• 2

1 2

1 2

1 2

2

2 5 16

6 5 30

, 0

Max Z x x

x x

x x

x x Z



1) 7.000000


X1 3.000000 -1.000000

X2 2.000000 -2.000000



19/مه/12


ریسی آهیخت عذد صحیح بربهMixed Integer Programming

90

ریسی آهیخت عذد صحیح بربه

ثشخی و هتغیشب، ػذد صحیح•

ثکبسگیشی الگسیتن ضبخ کشاى• کبسثشد دس هسبئل خبلص آهیخت–

ضبخ صی فقظ ثش سی هتغیشبی صحیح–

ثکبسگیشی الگسیتن صفح ثشضی• 1960ث سیل گهسی دس –

ثش هجبی حل هسبئل خبلص ػذد صحیح–


Mixed Integer Programming (MIP)

الگریتن برش برای هسبئل آهیخت

i iV b


ثب هقذاس غیش ػذد صحیح ضت ضذ LPهؼبدل صیش ثشای یک • :است

یب •

–Wj هی تاذ داسای هقذاس غیش ػذد صحیح ثبضذ

–aij هقذاسی هثجت یب هفی

:صحیح ثبضذ یکی اص د ضشط صیش الصم است Viثشای ایک –

1

n

i i i ij j

j

V b b a W

1i iV b

1

n

i i i ij j

j

V b b a W

1

n

i ij j i

j

V a W b


if 0

0

ij ij

ij

a aa

otherwise


:ن اسص ثب ضشعبی صیش است Vi ضشط صحیح ثدى– :سا تفکیک کین Wjحبل اگش ضشیت هتغیش غیش پبی –

:ضشط صحیح ثدى سا هی تاى ثبصیسی کشد–

0 if 0ij

ij

ij

aa

a otherwise

1

n

ij j i

j

a W b

1

1n

ij j i

j

a W b

1

n

ij j i

j

a W b

11

ni

ij j i

ji

ba W b

b


1 11

n ni

i ij j ij j i

j ji

bSg a W a W b

b


:هؼبدل ثشش آهیخت تؼشیف هی ضد Sgiثب هؼشفی هتغیش گهسی •

:پس Sgi ≥ 0 Wj = 0چى •

اداه حل ثب سیوپلکس ثبی•i iSg b

هثبل: الگریتن برش برای هسبئل آهیخت

1 2

1 2

1 2

1 2 1

max 7 9

3 6

7 35

, 0, int

Z x x

x x

x x

x x x


ثب سش ثشش آى . صیش دس دست است RLPهذل خذل ثیي • .سا حل کیذ

BV x1 x2 s1 s2 RHS

Z 0 0 28/11 15/11 63

x2 0 1 7/22 1/22 7/2

x1 1 0 -1/22 3/22 9/2

1 3 11 1 2 (4 )

22 22 2x s s



19/مه/12



1 3 11 1 2 (4 )

22 22 2x s s


:پس داسین•

ثبثشایي، ثشش آهیخت•

یب•

.هؼبدل سا ث خذل ثیي هی افضایین•

1

3 1 1, ,

22 22 2ij ija a b

1 2 1

3 1/ 2 1 1( )

22 (1/ 2) 1 22 2Sg S S

1 1 2

1 3 1

22 22 2Sg S S


BV x1 x2 s1 s2 Sg1 RHS

Z 0 0 28/11 15/11 0 63

x2 0 1 7/22 1/22 0 7/2

x1 1 0 -1/22 3/22 0 9/2

Sg1 0 0 -1/22 -3/22 1 -1/2


:پس داسین•

اداه ثب سیوپلکس ثبی•

1 1 2

1 3 1

22 22 2Sg S S


BV x1 x2 s1 s2 Sg1 RHS

Z 0 0 23/11 0 10 58

x2 0 1 10/33 0 -1/3 10/3

x1 1 0 -1/11 0 1 4

S2 0 0 1/3 -1 -22/3 11/3


:پس داسین•

پبسخ ثی هخ•–x1 تب هتغییش ػذد صحیح

توریي کالسی

ثب ثکبسگیشی . هذل صیش خذل بیی آى داد ضذ است•الگسیتن هبست پبسخ ثی سا، اگش خد داسد، ث دست

.آسیذ


1 2

1 2

1 2

1 2 1

max 4 2

2 4 8

3 6

, 0, int

Z x x

x x

x x

x x x

BV x1 x2 s1 s2 RHS

Z 0 0 1/5 6/5 44/5

x2 0 1 3/10 -1/5 3/5

x1 1 0 -1/10 2/5 19/5

1) 8.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2.000000 2.000000 X2 0.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 2.000000 0.000000 3) 0.000000 2.000000

توریي خبگی

.هذل صیش سا حل کیذ•


1 2

1 2

1 2

1 2 1

max 2 3

2 5 23

3 7 25

, 0 int

x x

x x

x x

x x x

توریي

هضک تاى سصهی (تي)صى

تذس 10 3

آرسخص 15 4

سوذس 17 5


فشهبذ صیشدسیبیی یس یشی دسیبیی ایشاى هبیل است ثذاذ •. ک چ تؼذاد اص س ع هضک سا دس صیشدسیبیی ثبسگزاسی وبیذ

ش یک اص ( 20تب 0دس هقیبس هقبیس ای )صى قذست خگی اگش صیشدسیبیی ثتاذ حذاکثش . آب دس خذل صیش داد ضذ است

تي هضک ثب خد حول وبیذ، تؼییي وبییذ ک اص ش 26هضک چ تؼذاد دس صیشدسیبیی ثبس ضد تب تاى سصهی آى ثیطی

گشدد؟



19/مه/12


ILPرم افساربی رایگبى Name Brief info

LP_Solve User-friendly linear and integer programming solver. Also provides DLL for program integration.

Cassowary an incremental constraint solving toolkit that efficiently solves systems of linear equalities and

inequalities.

CVXOPT general purpose convex optimization solver written in Python, with a C API, and calls external

routines (e.g. BLAS, LAPACK, FFTW) for numerical computations. Has its own solvers, but

can also call glpk or MOSEK if installed

glpk GNU Linear Programming Kit, a free LP/MILP solver

OpenOpt Universal cross-platform numerical optimization framework; see its LP page and other problems

involved

pulp-or Python module for modeling and solving linear programming problems

Qoca a library for incrementally solving systems of linear equations with various goal functions

CLP an LP solver from COIN-OR project

R-Project a programming language and software environment for statistical computing and graphics

CVX MATLAB based modeling system for convex optimization, including linear programs; calls either

SDPT3 or SeDuMi as a solver

CVXMOD Python based modeling system, similar to CVX. It calls CVXOPT as its solver. It is still in in alpha

release, as of 2009

SDPT3 MATLAB based convex optimization solver

SeDuMi MATLAB based convex optimization solver

YALMIP

MATLAB based modeling system for convex optimization, including linear programs; relies on

external solvers. For LP, it can call free solvers, such as CDD, glpk, LP_Solve, and QSOPT,

or it can call commercial solvers such as MATLAB's BINTPROG or LINPROG (it can also

call more general purpose solvers, such as SDPT3 or SeDuMi, which are also able to solve

LP)

ببزخای تئری بی سبزیOPTIMIZATION

؟!!بی / بتریي / ببد

(improvement)ثجد • سجی هقبیس ای–

(best)ثتشیي • کوی لی قضبتی–

(optimum)ثی • اذاص گیشی کوی تحلیل سیبضی– دقیق– (optimization)ثی سبصی –

خستدی ثجد1.

ثشای سسیذى ث ثی2.


از ببد تب بی

.حلبی پی دس پی ث سی قغ ثی وگشا است•

.وگشایی داسد“ ذف ثی”ث سی “ ثجد”فشایذ •

سبصی تخ ث وگشایی است• بی ثی .دس سی آیب ث ثی هی سسذ؟–

فشاهضی ػولکشد الگسیتن–


فضبی پبسخبی ضذی

ثجد

ثی

یببی الگریتوبی بی

یبثی• هقبیس الگسیتوبی ثی وگشایی–

آیب ث پبسخ هسد ظش هی سسذ؟•

کبسآیی– ثب چ تؼذاد ػولیبت؟•


یببی الگریتوبی بی

ذف سی بی خستد• یبفتي پبسخ ضذی1. سبصی2. ثی

یبفتي پبسخی دس وسبیگی پبسخ ثی•

سبصی 3. (اثتکبسی)ضج ثی سبصی ضدیک • ای تؼییي ضذ : ثی یبفتي پبسخی ضذی دس فبصل

اص پبسخ ثی سبصی تقشیجی • یبفتي پبسخی ضذی دس ضدیکی پبسخ ثی ثب : ثی

احتوبل ثبال




19/مه/12


سبزی هسبئل بی


هسبئل ثی سبصی

فضبی پبسخ گسست فضبی پبسخ پیست

بهحذة هحذة

غیشخغی خغی

هسبئل تشکیجی ضشایظ هغقی سدی یب خشخی گسست

هسبئل صیشهدوػ هسبئل تالی هسبئل تخصیص

فشضذ دس گشد

هسیشیبثی خدس

صهبجذی کبسگب

کل پطتی

هسبئل تخصیص

صهبجذی گش پشاصی ثبالس خظ

تخصیص دپ

حول قل

ثشبه سیضی هحذدیت

بی حل ری


سیکشدب سضب

یسیستیک دقیق

سیبضی غیشسیبضی

ثشبه سیضی سیبضی

توشکض ثش سبختبس هتبیسیستیک تشکیجی ثب سضبی دقیق خاة

البم اص صیست، خستدی هحلی ...ػلم اختوبػی،

GA

TS

SA

سبصذ

LP

AN

AO

….

DP

MADM

GP

GDM

ILP NLP

SP

MOP

دکتر سلیوی فرد گش هذیشیت صؼتی، داطگب خلیح فبسس، ثضش

http://www.pgu.ac.ir/web/salimifard

adv or 13902 chap3 integer programming

Documents